y ,

para

q.e.d.

cte 0

Continuacióndemostración

Cálculo y demostraciones relativas a la “derivada direccional”, , se facilitan introduciendo el concepto de “vector gradiente”

( )( )

CONCLUSIÓN: ( : versor de dirección )

Teo 3

( versor de dirección))u;u(u yxo

==

x

y

==

Campos Escalares

P : R2 R (x;y) u = P(x; y)

Q : R2 R (x;y) v = Q(x;y)

F

CAMPO VECTORIAL

: R2 R2

(x;y) (x; y)= (P(x; y); Q(x;y))

Con P y Q Campos Escalares

FF

R2

x

y

f : R2 R f : R2 R f f

P Q

u v R2

u

v

(u; v)

los “campos escalares componentes”

son las “derivadas parciales”

x

y

RESUMEN:

b)

f : R2 R ; Po(xo;yo) R2

Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u

xo

yo

u

eses

eses

(40; 30) =

a partir de (40; 30) y en la dirección del gradiente la temperatura aumenta, aprox., a razón de 0.34 ºC por unidad de distancia

e igual a:

P

QQf (P)f (P)

f (P)f (P)

curvas de nivel

PP

QQ

C2

“curvas de nivel” del campo f (x; y) = x . e y

CURVAS de NIVEL:

Ck = {(x; y) R2 / f (x; y) = k }

Ck = {(x; y) R2 / x . e y = k }

para k >0 y x > 0

Ck = { (x; y) R2 / y = - ln x + ln k }

para k = 2 C2

C2 = { (x; y) R2 / y = - ln x + ln 2 }

P(2;0) C2

¿¿ f (P) f (P)

P(2;0) ??

¿¿ f (P) C2 ?? ¿¿ f (P) C2 ??

u

f (P) C2 f (P)

tg a C2 en P

uu

En lo que sigue nos ocupamos de resolver este problema .Para ello necesitamos unos

resultado previos.

REGLA DE LA CADENA : g: R2 R ; h: R R

(x;y) z = g(x;y) z u=h(z)

f (x; y) = ho g (x; y) f : R2 R

(x;y) u = ho g (x;y)

h´(g(x;y)) . h´(g(x;y)) .

x

f

x

g

y

f

y

g

(x;y)Z=g(x;y) u=h(z)

gh

f

u= h(z) = sen z

g(x; y) = yx1

u= hog (x;y)u= hog (x;y)

f = ho g

z´(to) = +

z´(to) =

)t´(x.))t(r(f oox )t´(y.))t(r(f ooy

)t´(r.))t(r(f oo

z = f (x ; y)

(x; y) z

f

h

t

R RR2

z = f ( )

DERIVADA de “REGLA de la CADENA”f o

z = f o

z = h (t )h: R R

))t(y);t(x()t(r x = x(t) ; y = y(t)t

Existen otras formas de “escribir” la “regla de la cadena” ,

formas que “facilitan” el hecho de recordarla.

Si T = f (x ; y)

))t(y);t(x()t(r ; ecuación vectorial de una curva CT = f o

dtdT

T = f (x; y) = 100 – x2 – 4 y2 .

T

Un “alienígena” inicialmente parado en la plancha en el punto A(5; 0) comienza

a moverse sobre la misma según la curva C de ecuación: ))t(y);t(x()t(r t ; 0 ) ; t 0

Se pide: a) Hallar ; interpretar físicamente el resultado.

b) Calcular ; interpretar físicamente el resultado.

T = f o 5)

dtdT (5)

T = f o 0)

dtdT (0)

(t en minutos) (t en minutos)

Si z = f (x ; y)

))t(y);t(x()t(r ; ecuación vectorial de una curva Cz = f o

dtdz

si z = f (x; y) = 100 – x2 – 4 y2 describe una “montaña” entonces “z” da la “altura” respecto al nivel del mar de los puntos de la montaña.

Se pide: a) Hallar ; interpretar físicamente el resultado.

b) Calcular ; interpretar físicamente el resultado.

z = f o 0)

dtdT (0 )

z = f o t)

dtdT (t)

representa la “altura” respecto al nivel del mar de Q(x;y; z)

la “altura”

representa la “altura” respecto al nivel del mar de los puntos de C . representa la “altura” respecto al nivel del mar de los puntos de C .

Un “turista” que sobre la montaña está a 84 mts del nivel del mar, encuentra un senderos que decide recorrer. Si la ecuación que (sobre la base de la montaña)

describe el sendero C, es ))t(y);t(x()t(r (4 cos t, 2 sen t ) ; t 0 (t en minutos) (t en minutos)

f (P)f (P)

curvas de nivel

PP

QQ

C2

“curvas de nivel” del campo f (x; y) = x . e y

u

f (P) C2 f (P)

tg a C2 en P

uu

Tenemos ya las herramientas,(sabemos derivar composición de campo escalar con función vectorial)

entonces…. manos a la obra.

¿¿ f (P) C2 ?? ¿¿ f (P) C2 ??

Habíamos dejado en suspenso la resolución de este problema pues nos

faltaban herramientas teóricas para analizarlo.

RECUERDOS: “CURVA de NIVEL = Ck ” ; f : D R ; D R2 ; graf f = S

C = S π (z = k ) Ck = “proyección” sobre πx y de C

Ck = { P(x; y) D / f (x ; y) = k } πx y

RECUERDOS: “CURVA de NIVEL = Ck ” ; f : D R ; D R2 ; graf f = S

C = S π (z = k ) Ck = “proyección” sobre πx y de C

Ck = { P(x; y) D / f (x ; y) = k } πx y

20

π) z = 20

S

C20 = { P / f = 20 } C20 = { P / f = 20 }

C

C20:

C20 C20

f (P) = 20 f (P) = 20

( )( ) ( )( ) C20 = { P / f = 20 } C20 = { P / f = 20 } ( ) ( )( )( )

h(t) = f ( )

h(t) = f o

P (x; y) P =

x; y x; y

π) z=k

f (x ; y )

z = f (x;y) S = graf f

Ck = { P / f = k } Ck = { P / f = k }

P Ck

( f o )´(t) = 0 ( f o )´(t) = 0

Ck = { P / f o = k } Ck = { P / f o = k }

P(x ; y )

Q(x; y; k )

z = f (x ; y)= k

) x

z

Ck

Ck: P Ck

= OP

x Regla de la Cadenax Regla de la Cadena

Ck curva de nivel que pasa por P(x; y)

: z = k

Q(x ;y ; k)

f (x ; y)

f (x ; y) P (x; y)Ck

r´ (t)

finalmente tenemos que: “en P , el crecimiento más rápido de la función se da en una dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por P ”.

Ck

: z = k

Q(xo;yo; k)

f (xo;yo)

P(xo;yo)Ck

r´(t o )

Derivada “a lo largo de una curva de nivel” . Llamamos derivada

“a lo largo de una curva de nivel” a la

“ derivada direccional

en un punto de la curva de nivel

y en la dirección del vector tangente

a la curva en ese punto”.

0

si uo = r´(t o )

Finalmente tenemos que: la derivada

“a lo largo de una curva de nivel”

es cero.