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信頼性工学資料T.Kurashiki

1講義「信頼性工学」

担当：倉敷哲生（ビジネスエンジニアリング専攻）

確率紙による分布推定

１．ワイブル分布について

２．２母数ワイブル分布の故障率

３．ワイブル確率紙とは

４．ワイブル確率紙による母数推定

内容


2

さまざまな確率分布

連続分布離散分布

・正規分布

・対数正規分布

・指数分布

・ガンマ分布

・ベータ分布

・ワイブル分布（２母数，３母数）

・二重指数分布

・二項分布

・ポアソン分布

・負の二項分布

・超幾何分布


3

代表的な確率分布

正規分布

ある時点で集中的に故障する摩耗や老化現象の記述に適用．

対数正規分布

寿命時間の分布ばかりでなく，修理時間の分布等にもよく適用．

2

2

2 2

)(exp

2

1)(

ttf

2

2

2 2

)(lnexp

1

2

1)(

L

L

L

t

ttf

指数分布

一定の故障率に落ち着いた箇所は，システムや機器の最も働き盛りの時期．

)exp()( 00 ttf

f (z)

f (z)


4

ワイブル分布の特徴

・n 個の環からなる鎖について，環の破壊強度にばらつきがある場合，鎖の強度は n 個のうち最弱のもので決まる．

)}(exp{1)(

)1()}(exp{

])}(1exp[log{

)](1[

])(Pr[

]Pr[)(1

0

0

0

0

xFnxF

nxFn

xF

xF

x

xxF

n

n

n

の場合

１個の環の強度

鎖の強度

F0(x): 環の強度の分布関数，

F(x): 鎖の強度の分布関数

・要素数 n が大きくなると，一般にある型の分布形に近づく（最小値の漸近分布）

このうち，分布の左裾野がべき乗型( ) の場合，ワイブル分布となる．mxxf )(

Gumbel の最弱リンクモデル


5

ワイブル分布の特徴

最弱リンクモデルは，多数の欠陥の中のいずれか一つからき裂が発生すると直ちに最終破壊に至るような場合（鉄鋼の低温脆性やセラミックスの破壊）や，一部の故障が機能全体の停止に至る現象に適用される．

３つのパラメータ（a : 形状母数，b : 尺度母数，g : 位置母数）により，様々なデータに適用可能．

また，確率紙によりパラメータの推定が比較的に容易．

形状母数の値に着目すれば，故障パターンの分類を容易になし得る．

Gumbel の最弱リンクモデルに基づく．

パラメータを変えることにより，様々な分布形状に対応可能．

ワイブル分布は故障率と密接な関係をもつ．


6

ワイブル分布の確率密度関数

0t

f (t)a=3

a=1

a=0.5a=2

0t

f (t)

g >0g <0

g =0

a

bgt

tF exp1)(

a : 形状母数，b : 尺度母数，g : 位置母数

３母数ワイブル分布の確率密度関数

(a) 形状母数による違い (b) 位置母数による違い

aa

bg

bg

ba tt

dt

tdFtf exp

)()(

1

３母数ワイブル分布の分布関数 F (t)，確率密度関数 f (t)


7

ワイブル分布と故障率

1

)(

)()(

a

bba t

tR

tft

0 t

(t)

a =1

a >1

a <1

a を求めることにより，容易に故障のパターンを分類できる．

２母数ワイブル分布の場合の故障率


8

ワイブル確率紙

a

bt

tF exp1)(

ワイブル確率紙とは

について，式変形をし，a

b

t

tFexp

)(1

1

・２回対数をとり， baa lnln)(1

1lnln

t

tF

tXtF

Y ln,)(1

1lnln

とし，ワイブル分布関数が直線となるように横軸と縦軸の

・２母数ワイブル分布

・

目盛を定めたもの．

F(t

)

(%

)

t

lnln{1-F

(t)}-1

ln t


9

ワイブル解析

制御素子を寿命試験に掛け，7個が故障した．寿命データは次の通りである．

7， 19， 35， 41， 62， 84， 124 （hr）このデータをワイブル解析せよ．

i : 順位n : データ数

i ti メジアンランク

F(ti)

ミーンランク

F(ti)

1

2

3

4

5

6

7

順位寿命（データ）累積確率累積確率ミーンランク法

1)(

n

itF i

4.0

3.0)(

n

itF i

メジアンランク法

例題９


10

確率紙によるワイブル分布の母数推定手順

データ ti ( i =1,･･･,n ) の並べ替え（昇順）

ランク法による累積確率 Fi の割り当て

{ ti , Fi }を確率紙上にプロット

直線の当てはめ

母数の推定

i ti F(ti)

1

2

3

4

5

6

7


11

ランク法

F(t) を確率変数と考えたとき，その平均値を代表値として用いるもの

1)(

n

itF i

t

F(t)

0

1

ti の分布

F(ti) の分布

4.0

3.0)(

n

itF i

F(t) を確率変数と考えたとき，その中央値を代表値として用いるもの

n

itF i

5.0)(

F(ti) = i/n と F(ti) = (i-1)/n の平均値を用いるもの

F dFFg~

0 )(

F(t)の確率密度関数をg(F)とすると，分布関数は

(n: データ数)

ミーンランク法

メジアンランク法

対称ランク法


12

確率紙へのデータのプロットと母数推定法

メジアンランク法を用いた場合

(n=7 の場合）

1.0 2.0 3.0

2 5 10 200.1

1

10

99.9

0.2

0.5

2

5

2030

50

909599

70

1

0.0

0.0

1.0

-1.0

-2.0

0.5

-3.0

-4.0

t (×101 )

F(t)

ln t

lnln1-F(t)

1

①X =1, Y=0の点を通る平行な直線を引く

a = 1.1

②X =0 と交わる点を右側の軸で読み取り形状母数a を求める

b = 60

③Y =0 と交わる点を下側の軸で読み取り，尺度母数b を求める

baa lnln)(1

1lnln

t

tF

Y Xi ti F(ti)

1

2

3

4

5

6

7


13

ワイブル解析

制御素子を寿命試験に掛け，９個が故障した．寿命データは次の通りである．

200, 20, 65, 85, 35, 40, 8, 125, 150 （hr）このデータをワイブル解析せよ．

課題

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