第九章 重积分 返回 高等数学( xauat ) 典型例题 重点难点 练习题解答...
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第九章 重积分
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高等数学( XAUAT)
典型例题
重点难点重点难点
内容提要
内容提要
练习题解答练习题解答
习题课结构
练习题
练习题
高等数学( XAUAT)
一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的
重点:二重积分、三重积分的计算。
难点:二从重积分、三重积分计算中坐标系的选择,积分 次序的选择与定限
习题课达到的目的:熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、 极坐标),掌握三重积分的计算方法(直角坐标、 柱面坐标、球面坐标)。
高等数学( XAUAT)
1 2
01 2 1 2
, , , ,
2
, , ,
D D D
D D D
kf x y l g x y d k f x y d l g x y d
D D D D D
f x y d f x y d f x y d
0 1
若 ,且 与 处公共边界外,再无公共区
(2).
域
二重积分的性质
则 D2D
1D
1. 二重积分
, 0
,
,D
f x y
f x y d D
z f x y
当 时,
的几何
(1).二重积分
意义是以积分
的几何意义:
区域 为底,以
为顶的曲柱
体的体积
二、内容提要
高等数学( XAUAT)
0 ,
, ,
6
,D
f x y D D
f x y d f
D
设函数 在闭区域 上连续, 是 的面积,则在
内至少存在一点 ,使:
03 1 .D D
d d D 为积分域 的面积
0
,
4 , ,
, ,
,D
D
D
D
D f x y g x y
f x y d g x y d
f x y d f x y d
若在 上 则有:
特别有:
05 ,
,
,
D
M m f x y D
m f yD x d M 设 分别是 在闭区域 上的最大值和最小值,
是 的面积,则有:
高等数学( XAUAT)
2
1
1 2
( )
( )
, , ,
, ,b x
a xD
b f x y D x y a x b x y x
f x y d dx f x y dy
设 在X-型区域
上可积,则:
1 .o利用直角坐标计算二重积分3 .()二重积分的计算
2
1
1 2, , ,
, ,d y
c yD
c f x y D x y c y d y x y
f x y d dy f x y dx
设 在y-型区域
上可积,则:
, , ,
, , ,b d d b
a c c aD
a f x y D x y a x b c y d
f x y d dx f x y dy dy f x y dx
设 在矩形区域
上可积,则:
高等数学( XAUAT)
D o
1
o
2
02 利用极坐标计算2 2x y当被积函数含有( )或积分域为园域、部分园域时考虑
用极坐标计算
2
0 0, cos , sin
D
f x y d d f d
2
1
, cos , sinD
f x y d d f d
(4). 二重积分的应用:01曲面面积的计算
: , , , ,xy xyS z f x y x y D D S xoy 设,曲面 为曲面 在 面上的投影区域
(a)区域D包围极点,
1 2:{ , , }D (b) 区域D不包围极点,
高等数学( XAUAT)
02 .物理上的几种应用
, ,x y D x ya 设 为平面薄片 在点 的面密度,则有
,D
M x y dxoy平面薄片质量 平面 薄片的重心
22
,
1Dxy
xy
z zA d
z zD
x
x yx y
y
d
在 上连续。则曲面S的面积
2 2 2 2
, ,
1 1Dyz Dxz
x x y z y y x z
x x y yA dydz A dxdz
y z x z
类似:曲面 、 的面积分别为
和
高等数学( XAUAT)
薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx ,假定 ),( yx 在D上连续,计算该平面薄片对位于z 轴上的点
),0,0(0 aM 处的单位质点的引力. )0( a
},,,{ zyx FFFF
,)(
),(23
222d
ayx
xyxfFD
x ,
)(
),(23
222d
ayx
yyxfFD
y
.)(
),(23
222d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
(b) 引力
( , )
( , )D
D
y x y d
yx y d
( , )
( , )D
D
x x y d
xx y d
高等数学( XAUAT)
2
2 3
1,2,, 3 ,k k k
D
x y I I
d kI d x yx y
y
d x 1
(c) 转动惯量 平面薄片关于 轴、 轴、坐标圆点的转动轴惯量分别为I , ,
其中 分别为点 到 轴,
轴及坐标原点的距离
1 2
1 2
, , , , , ,
, ,
f x y z z z x y z z x y
z x y z x y z
o 1利用直角坐标计算
设 在 上连续 由
及母线平行于 轴的柱面围成.
2. 三重积分
三重积分具有与二重积分类似的性质
1).三重积( 分的性质
2).三重积( 分的计算
高等数学( XAUAT)
1
1 2
,
, ,
,xy
yz
z
D
x
x y z x x y z D
yoz
f x y z dv dydz
2
(x, y)
z(x, y)
(“先一后二” 法)
类似地,若积分区域 边界面与任何穿过 内部,且
f (x, y, z
平行于 轴
的直线至多交于两点,即有 为 在
面
)
上的投影域
xyD xoy为 在 面上的投影区域,则
2
1
,
,
, , , ,yz
x y z
D x x y
f x y z dv dydz f x y z dz
则
注:根据积分域的情况还可“ 先二后一” 进行计算
高等数学( XAUAT)
2
2
cos sin 0
sin sin 0 sin
cos 0 2
, , ( cos sin , sin sin , cos ) sinr
x
y d d d d
z
f x y z dv f r r r d d d
体积微元
2
1
,
,
cos 0
sin 0 2
, , cos , sin ,z
D z
x
y dv d d dz
z z z
f x y z dv d d f z dz
体积微元
则
2o用柱面坐标计算,柱面坐标与直角坐标的关系为
3 ,o用球面坐标计算 球面坐标与直角坐标的关系为
高等数学( XAUAT)
( 10 )、三重积分的应用
.
dvM 其中
1,x x dv
M
设物体占有空间闭区域,在点 ),,( zyx 处的密度为 ),,( zyx ,假定 ),,( zyx 在上连续,
(a) 物体的重心1
,y y dvM
1
.z z dvM
(b) 转动惯量 设该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯分别为
2 x,y,k kdd dv
k则 分别为点( z)
到坐标面、坐标轴、坐标原点的距离, k=
I
1, 2, 3。
1 2 3I I I、 、
高等数学( XAUAT)
6
6 6
cos
cos 120 0 0
cos
xxy
xxx
dx
dx dy xdx
解: 积不出来,考虑交换积分次序后计算
原式
2 2
2
0 0
2 4 20
6 3
32 3 6
4
d d
z2 22z x y
2 2 2x y
y
x
o
2 26 2z x y
. 三 典型例题 cos x
x dx
6 6
0 y 1.计算二重 积分 dy
2 2 2 26 2 2xyD
x y x y d 解:V
2 2 2 22 6 2z x y z x y 2. 求由二次曲面 所围成立体的体积V
高等数学( XAUAT)
24
0
tan
64
D
ya c dxdy
x
d
2
1
解:
d
y x
2
2
1
1
o
y
x2
2 2 2 21 4 0
tanD
D x y x y y y x
ya c dxdy
x
3. 设 是圆 和圆 及直线 和 围成的
第一象限的区域。计算积分
高等数学( XAUAT)
2
1 1 1
2 2 2
a a a a a
o o o o o
dy f x f y dx f x f y dy f u du
x
y
a
o
y x
a
2
1
2
a x a
o o o
dx f x f y dy f u du
4. 证明:等式
,a a a ax y
o y o x
dy f x f y dx dx f y f x dy 互换
而
a x a a
o o o y
dx f x f y dy dy f x f y dx 交换积分次序
证:
1
2
a x a x a a
o o o o o x
dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy
高等数学( XAUAT)
2
1 212
2 3o
zd
:ZD
z
x
yo
1
2 2 , 1zdv z x y z
5. 计算积分 其中 是由曲面 所围成的,
并将此积分化为球面坐标系下的累次积分。
1 1
0 3zo D
dz zdxdy z zdz 原式
解一:利用柱面坐标计算
2
2 1 1
o o
d d z dz
原式
解二:利用“ 先二后一” 法计算
4
2
4
sec22
0 0 0
tan csc22
0 0
= d cos sin
cos sinc
d r r dr
d d r r dr
原式
2 2x y z
高等数学( XAUAT)
解:z
2 2z x y
x
yo
z 2 22z x y
2 22
2 2
21 12
x yx
o o x y
dx dy z dz
6. 将积分 化为柱面坐标和球面坐标
下的累次积分,并计算该积分的值。
22122
o o
d d z dz
原式 柱
22 42 2 2cos sin
o o o
d d d
球
242 4
42
cos sin2
2 2 5cos cos 2 2 1
2 5 12
o o
o
d d
d
高等数学( XAUAT)
2 21 1
0 0
1 15 21 1 1
2 2 6 3
x x
D o o
o o
k xy k dxdy dx xydy k dx dy
kx dx k x dx
2
, , ,
, , 1 ,
D
f x y f x y xy f u v dudv
D y o y x x f x y
7. 设函数 连续,且
其中 是由 所围区域,求 。
, , ,
D
f x y dxdy k f x y xy k 解:设 则
1 1,
8 8k f x y xy
高等数学( XAUAT)
x
y y x
y x
1
1 2
2
3 4o
x
y
2x1
1
2
2
3
o
2
22 2
1 1
2 3( )
2
x xyyy yy
y
dy e dx ye dy
e e
(2) 由所给累次积分知己积分区域如图
原式
若按原序累次积分不能作出
2 21 2 4
0 1
2 4 2
1 2
8.
, ,x x
o o
xx yy x
x x
dx f x y dy dx f x y dy
dx e dy dx e dy
改变下列累次积分的积分次序
(1)
(2)
4 41 3
0 1 1
( , ) ( , )y y
y
dy f x y dx dy f x y dx
解:1 由所给累次积分知己分区域如图
原式
高等数学( XAUAT)
: OBA
cos sinD D
y
x
xydxdy x ydxdy
解 连接OB,则区域 关于 轴为对称 区域CBO关于 轴为对称。
原式
y
xO
C
ABD
( , ) 0
( , ) cos sin
cos sin 2 cos sin
D
D D
f x y xy x y xydxdy
f x y x y x y
x ydxdy x ydxdy A
因为函数 对 和对 都是奇函数所以
关于 是偶函数,关于 是奇函数
故,应选
1 1
1
1
1 1
cos sin
2 cos sin ( )2
( )4 cos sin ( )0
D
D D
D
D xoy
D D xy x y dxdy
A x ydxdy B xydxdy
C xy x y dxdy D
9. 设 是 平面上以 1,1,(-1,1), , 为顶点的三角形
区域 是 在第一象限的部分,则 等于()
高等数学( XAUAT)
2 2
1
2 3
1 1
1
3
nl xe
D o
e e
n n
I x t d dx x t dy
x t l xdx l xd x t
解:
x
1
1 2 eo
y
ny l x
3 3
1
1
3 2 2
1 1
3
2 1 1 1
9 2 2 9
ee
nx t l x x t dxx
e e t t t
,ny l x x x e
x t I t
I
10. 设有曲线 轴及直线 所围成的(密度为1)
匀质薄板,求此薄板对 轴的转量惯量 及当为何值 时, 最小?
0
2' 2
0
2''
1 1 12 0
2 2 4
12 0
4
t
t
eI e t t
eI t I
得
当 时, 最小
高等数学( XAUAT)
例 11
解
.10,11:.2 yxDdxyD
其中计算
1D2D
3D
先去掉绝对值符号,如图
dxydyx
dxy
DDD
D
321
)()( 22
2
12
1
10
21
1 2
2
)()(x
x
dyxydxdyyxdx .1511
高等数学( XAUAT)
一、选择题:
1、x
dyyxfdx1
0
1
0),( =( )
(A) 1
0
1
0),( dxyxfdy
x
; (B) x
dxyxfdy1
0
1
0),( ;
(C) 1
0
1
0),( dxyxfdy ; (D)
ydxyxfdy
1
0
1
0),( .
2、设D为 222 ayx ,当a( )时,
D
dxdyyxa 222.
(A) 1 ; (B) 32
3 ;
(C) 34
3; (D) 3
2
1 .
四 . 练 习 题
高等数学( XAUAT)
3、设 D
dxdyyxI )( 22 ,其中 D由 222 ayx 所
围成,则 I=( ).
(A) 4
0
22
0ardrad
a
;(B) 4
0
22
0 21ardrrd
a
;
(C) 3
0
22
0 32adrrd
a
;(D) 4
0
22
02 aadrad
a
.
4、设是由三个坐标面与平面 zyx 2 =1所围成的 空间区域,则
xdxdydz=( ).
(A) 48
1 ; (B)
48
1 ;
(C) 24
1 ; (D)
24
1 .
高等数学( XAUAT)
5、设是锥面 ,0(2
2
2
2
2
2
ab
y
a
x
c
z)0,0 cb 与平面
czyx ,0,0 所围成的空间区域在第一卦限
的部分,则
dxdydzz
xy=( ).
(A) cba 22
361 ; (B) bba 22
361 ;
(C) acb 22
361 ; (D) abc
361
.
22 yxz xyx 222 s
( ) 3A 2
( ) 5C 22
6 、曲面 包含在圆柱
内部的那部分面积 ( ).
; (B)
; (D)
.
高等数学( XAUAT)
7、由直线 2,2,2 yxyx 所围成的质量分布均匀 (设面密度为 )的平面薄板,关于x轴的转动惯量 xI =( ). (A) 3 ; (B) 5 ; (C) 4 ; (D) 6 .
二、计算下列二重积分: 1、
D
dyx )( 22 ,其中 D是闭区域:
.0,sin0 xxy 域: 222 Ryx 2、
D
dyx 222 ,其中D: 322 yx .
yy
dxyxfdydxyxfdy3
0
3
1
2
0
1
0),(),(
2111
0),(
x
xdyyxfdx
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的序 :
2 、
;1 、
高等数学( XAUAT)
2、 ,)( 22
dvzy 其中 是由xoy平面上曲线
xy 22 绕 x轴旋转而成的曲面与平面 5x 所围 成的闭区域 .
3、 ,1
)1ln(222
222
dv
zyx
zyxz其中 是由球面
1222 zyx 所围成的闭区域 .
五、求平面 1c
z
b
y
a
x被三坐标面所割出的有限部分
的面积 . .
四、计算下列三重积分: 1、
,)cos( dxdydzzxy :抛物柱面 xy
2
,,
zxozoy及平面 所围成的区域 .
高等数学( XAUAT)
一、 1、D; 2、C; 3、B; 4、A; 5、A; 6、B; 7、C.
二、1、9
402 ;2、 .25
三、1、 x
x dyyxfdx3
2
2
0),( ;
2、
22 2
0
2
10
1
0),(),(
yyydxyxfdydxyxfdy ;
四、1、21
16
2
; 2、
3250
; 3、0.
五 . 练习题答案
五、 222222
2
1accbba