UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICAFÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 9: ONDAS MECÁNICAS –DINÁMICA-Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas Introducción La ley de Hooke generalizada para medios continuos La ecuación diferencial de onda de orden 2 generalizada para ondas mecánicas Solución de onda viajera a la ecuación diferencial de onda de orden 2 Ejemplos típicos de ondas mecánicas: explicación de la forma cómo se abordan en éste

módulo Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en cuerdas Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en slinky Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en slinky Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en barras sólidas Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en barras sólidas Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en fluidos Resumen sobre velocidad de propagación en ondas mecánicas Temas de interés: ondas sísmicas Temas de interés: Tsunami Taller

Introducción

Robert Hooke (Freshwater, 18 de julio de 1635 - Londres, 3 de marzo de 1703) científico inglés. Fue uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la ciencia, polemista incansable con un genio creativo de primer orden. Sus intereses abarcaron campos tan dispares como la biología, la medicina, la cronometría, la física planetaria, la mecánica de sólidos deformables, la microscopía, la náutica y la arquitectura.

En este módulo se generaliza los resultados de Hooke en sus estudios de los sólidos deformables a los demás estados de la materia (líquido y gas). Esta generalización

permitirá demostrar que la materia en cualquiera de sus estados (sólido, líquido o gaseoso) es elástica lo que posibilita que sus partes oscilen y que en el rango de las deformaciones en el cual se cumple la ley de Hooke, las perturbaciones que se propagan a través de la materia, lo hacen como ondas.

La ley de Hooke generalizada para medios continuos

Los medios materiales reales son deformables, y por tanto, dentro determinados rangos son elásticos. Es esta propiedad la que permite explicar que a través de ellos se propaguen ondas mecánicas. Los pequeños elementos del medio oscilan cuando una onda se propaga en el mismo.

En éste módulo se considerará sistemas elásticos (que en la realidad, corresponde a todos los cuerpos), homogéneos e isotrópicos que se encuentran bajo la acción de fuerzas constantes que le causan pequeñas deformaciones.

Cuando un sistema sólido en equilibrio estático, por ejemplo una varilla de longitud L, es sometido a la acción de un par de fuerzas de tracción de magnitud f, que se va variando muy lentamente hasta llegar a una fuerza de magnitud F, este responderá deformándose (estirándose) una longitud L , como se muestra en la Figura 1.

Figura 1

Se asume que el proceso se lleva tan lentamente que se puede suponer que el sistema siempre está en equilibrio estático, de tal forma que no hay energía cinética involucrada en el proceso, situación que caracteriza los denominados procesos cuasiestáticos. Esta forma de ver el comportamiento elástico de los sistemas reales, permitirá aproximarse a una explicación de la forma como se comportan las pequeñas deformaciones causadas por fuerzas externas.

En cualquier sección recta C aparecen fuerzas de tracción hechas por una parte de la barra sobre la otra, fuerzas iguales en magnitud a F puesto que cada trozo se encuentra en equilibrio, Figura 2. Realmente la fuerza de contacto de magnitud F hecha por un trozo de barra sobre el trozo contiguo es la resultante de una cantidad de pequeñas fuerzas normales de magnitud F distribuidas en toda el área A de la sección.

Figura 2

Se llama esfuerzo normal de tracción S a la magnitud F de la fuerza normal por unidad de área A. Si la sección C es homogénea, isotrópica y no está muy cerca al extremo de la barra se puede asumir que las pequeñas fuerzas normales de magnitud F se distribuyen de manera uniforme en toda la sección y el esfuerzo S es constante. En ese caso, la fuerza normal resultante de magnitud F cumple que en toda la sección,

En la Figura 1 A se observa como la barra en el estado inicial tiene longitud igual a L (sin deformación). En la Figura 1 C la barra está en situación de equilibrio bajo las fuerzas de tracción de magnitud F en sus extremos, y en este caso la barra ha sufrido una deformación L (alargamiento) por tracción. Ahora bien, la deformación L es la deformación de toda la barra de longitud L, de modo que para caracterizar la deformación de una manera que no dependa de la longitud concreta de la barra, se define la deformación unitaria por tracción ε como,

Esta magnitud es adimensional.

Sustentación experimental de la ley de Hooke

Si se realiza experimentalmente la tracción de una barra, se obtiene la curva de la Figura 3, típica de todos los materiales elásticos. En ella se distinguen tres (3) comportamientos distintos:

Zona elástica lineal (oa).

Zona elástica no lineal (ab).

Zona plástica (bc).

Figura 3

Zona Elástica Lineal (oa)

Desde que aparecen los esfuerzos S (punto o) hasta el punto a, llamado límite de proporcionalidad, hay dos hechos a destacar:

La relación entre S y ε es lineal,

El material regresará a su forma inicial, si se quitan los esfuerzos que actúan sobre él; hecho que caracteriza el comportamiento elástico del material.

Zona Elástica No Lineal (ab)

El sistema sigue teniendo un comportamiento elástico, en el sentido de que si se suspende las fuerzas, recupera su forma original, pero ahora la relación entre S y ε no es lineal. El punto b, llamado límite elástico, marca el punto hasta el cual el material tiene un comportamiento elástico.

Zona Plástica (bc)

A partir del punto b el comportamiento es plástico, es decir, si se suprimieran las fuerzas quedan deformaciones permanentes en el material. El punto c es el punto de ruptura, donde el material se "destruye" debido a la acción de las fuerzas sobre él.

Este comportamiento, entre el esfuerzo S y la deformación unitaria ε, se presenta de igual forma en todos los materiales deformables, es decir, cada material tendrá sus puntos a, b y c que lo caracterizan. No queda demás afirmar que los valores de los esfuerzos asociados a cada punto (a, b y c) dependen del material y caracterizan el mismo.

En resumen, la experiencia muestra que para pequeñas deformaciones hay un rango para el cual el esfuerzo normal S es directamente proporcional a la deformación unitaria ε (zona oa en la gráfica) y que el material volverá a su longitud inicial si el esfuerzo sobre él se quita; situación que caracteriza el denominado rango elástico del material. En dicho rango, el comportamiento de las pequeñas deformaciones está determinado por la ley de Hooke, que se escribe como,

La constante de proporcionalidad se denomina Módulo de elasticidad de Young que es único para cada material,

no depende de sus dimensiones y se mide en Pascales ( 1 Pa=1 N/m2).

Adicionalmente, el comportamiento de un material a compresión es análogo al comportamiento a tracción.Es válida la ley de Hooke con el mismo módulo de Young ( ), sólo que ahora, como S < 0 (compresión), ε < 0 y por tanto L < 0 y el material, por supuesto, se acorta debido a la compresión.

Igualmente la experiencia demuestra, un idéntico comportamiento para el caso de deformaciones debido a esfuerzos transversales o de cizalladura.

La generalización de la ley de Hooke

Para pequeñas deformaciones existe una proporcionalidad entre el esfuerzo (S) y la deformación unitaria (ε) generada. Esta es la denominada ley de Hooke, y se expresa así,

donde la constante de proporcionalidad da cuenta de la elasticidad del medio. El esfuerzo se define como el cociente entre la magnitud de la fuerza aplicada (normal o tangencialmente, F) a una superficie y el área (A) de esta. La deformación unitaria se define como el cociente entre la deformación (longitudinal o transversal, L) del elemento analizado y su longitud original (L). Es decir,

El esfuerzo se mide en N.m-2 (Pascal, abreviado Pa) y es una cantidad escalar. La deformación unitaria ε es adimensional. El módulo de elasticidad se mide en Pa.

En la Figura 4 se aplicaran estas definiciones a un elemento del medio continuo de longitud dx. El trozo de material se considera de sección transversal constante, homogéneo e isotrópico. El material es sometido a fuerzas iguales (en magnitud, F) en sus extremos. Por lo tanto él y cada elemento del mismo estará en equilibrio y bajo la acción de las fuerzas externas opuestas aplicadas en sus extremos y de magnitudes iguales a F. Bajo la acción de los esfuerzos debidos a estas fuerzas, cada elemento se deformara en dy.

Figura 4

Como se observa en la Figura 4, el extremo izquierdo del elemento, el cual tiene su posición de equilibrio en x se elonga en una cantidad y, mientras que su extremo derecho que tiene su posición de equilibrio en x + dx se elonga en y + dy. Así este elemento pasa de tener una longitud dx a tener una longitud dx + dy, es decir su deformación es igual a dy. La ley de Hooke aplicada al elemento dx toma la siguiente forma,

En el caso de la Figura 4 la deformación dy está en la misma dirección del elemento dx y por ello se denomina deformación longitudinal. En la Figura 5 se ilustra el caso de la deformación transversal. En este caso dy es ortogonal a dx.

Figura 5

La ecuación diferencial de onda de orden 2 generalizada para ondas mecánicas

Cuando una onda elástica (onda mecánica) se propaga por el medio material, el centro de masa de cada porción del medio se sale de su posición de equilibrio xc, Figura 4, perdiendo éste estado

debido a que los esfuerzos a ambos lados de cada trozo de material no son iguales; el centro de masa adquirirá aceleración presentando cambios tanto en su energía cinética como en su energía potencial. La elongación y dependerá del valor de la posición x y del tiempo t, es decir, y (x,t), de tal forma que la ley de Hooke tomará la forma,

Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento material de longitud dx y de masa dm, Figura 4, y teniendo en cuenta que en esta situación las fuerzas llamadas de volumen (como la fuerza gravitacional) se desprecian frente a las fuerzas llamadas de superficie (las que generan los esfuerzos), se obtiene,

donde la aceleración de vibración es la del centro de masa del elemento dx. Aplicando la ley de Hooke en los extremos del elemento, y sabiendo que A es el área de la sección transversal y que

, la densidad del material, es el esfuerzo sobre la superficie de la derecha

del trozo de material y el esfuerzo sobre su superficie izquierda, se obtiene,

Aplicando la ley de Hooke, la expresión se transforma en,

si , se obtiene,

o en su forma comprimida,

donde las derivadas quedarán evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como se quiera). A esta ecuación se le conoce con el nombre de ecuación diferencial de onda de orden 2. Analizándola

dimensionalmente se concluye que tiene las dimensiones de velocidad al cuadrado. Como se mostrará en la sección sobre la cinemática de

ondas viajeras, esta corresponde a la velocidad de propagación de la onda a través del medio material,

es decir, la velocidad de propagación V de una onda mecánica depende sólo de las propiedades del medio material (su elasticidad y su densidad) y la ecuación de onda toma la forma,

Conclusión:

Se acaba de mostrar que combinando la segunda ley de Newton y la ley de Hooke se obtiene la ecuación diferencial de onda de orden 2. Por lo tanto, se puede concluir que en el rango en el cual un medio material continuo cumple la ley de Hooke, la energía mecánica que se propaga a través de las vibraciones lo hace cumpliendo la ecuación diferencial de onda de orden 2: es decir el transporte energético se hace a través de una ONDA.

Solución de onda viajera a la ecuación diferencial de onda de orden 2

Pulso Viajero

En la Figura 6 se ilustra cómo una función que tenga la forma representa una curva

cuyo perfil es el de la función y que viaja en el sentido creciente de las x con velocidad V. En la figura se ilustra dos sistemas de coordenadas O y O’. El sistema O está fijo y el sistema O’ está rígidamente pegado a la curva que se mueve con velocidad V. Se ha supuesto que O y O’ coinciden en el instante t=0.

Se representa un punto de la curva que tendrá abscisa x en el sistema O y abscisa x’ en el sistema

O’. La curva en el instante t=0, se representa por la función a la que se le denomina perfil

de onda y en cualquier otro instante se representará por la función en el sistema O’, o lo

que es lo mismo por la función en el sistema O, ya que se puede observar de la figura

que . Por lo tanto se concluye que la curva representada por la función , tiene

perfil igual a y viaja en el sentido creciente de las x con velocidad V.

Figura 6

Ejercicio:

Demostrar que si la curva viaja en el sentido decreciente de las x con velocidad V y perfil igual a

, se representará por la función .

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Pulso viajando. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 7. Se despliega la simulación de la Figura 8. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 7

Figura 8

Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2

Toda función de la forma es solución de la ecuación diferencial de onda de orden 2, ecuación [6],

Esto se puede verificar haciendo y procediendo a realizar las correspondientes derivadas,

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,

por lo que queda verificado que cualquier función que tenga la forma , es solución de esta ecuación diferencial y corresponde a una onda viajando en dirección x con velocidad V. Con el signo + corresponde a una onda viajando hacia valores decrecientes de x y con signo -

corresponde a una onda viajando hacia valores crecientes de x. A se le denomina perfil de la onda.

Onda Viajera Armónica Unidimensional

El perfil de una onda viajera armónica es una función sinusoidal, Figura 9, es decir,

en A es la amplitud, se mide en m, k es el número de onda, se mide en rad/m. El periodo espacial es la denominada longitud de onda , que se mide en m y que cumple que,

Figura 9

Si se propaga en el sentido positivo de x con velocidad V, se representa como,

Otra forma más común de escribir la relación anterior es la siguiente,

donde , siendo w la frecuencia angular de la onda que se mide en rad/s y siendo f la frecuencia medida en Hz.

Una forma más general es la siguiente,

donde corresponde a la fase de la onda y corresponde a la fase inicial: se miden en radianes. Esta es precisamente la ecuación para ondas planas armónicas viajeras analizada suficientemente en el módulo 7: con signo – se propaga en dirección creciente de x y con signo + en dirección decreciente de x.

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: explicación de la forma cómo se abordan en éste módulo

En diferentes situaciones de la ingeniería es necesario conocer a profundidad el comportamiento de la materia cuando a través de ella se propaga una onda. Ejemplos son: el diseño de estructuras sismoresistentes, el estudio de los tzunami, el análisis geofísico, el diseño de salas acústicas, el diseño de máquinas, el control del ruido, entre otros.

Las ondas mecánicas (también denominadas ondas materiales o elásticas) se caracterizan por que se propagan a través de la vibración de la materia: en cada porción de ésta se realiza, mientras se propaga la onda, una transformación de energía cinética en energía potencial y viceversa.

En este módulo se estudiarán algunas de estas ondas mecánicas: ondas transversales en una cuerda, ondas trasversales en un slinky, ondas longitudinales en un slinky, ondas longitudinales en barras sólidas, ondas transversales en barras sólidas y ondas longitudinales en fluidos.

Se podría hacer un análisis detallado de la dinámica en cada una de estas ondas mecánicas, es decir, a través de la aplicación de la segunda ley de Newton y de la ley de Hooke en una porción del medio material continuo para cada caso, y combinándolas llegar a la ecuación de onda y de aquí deducir la velocidad de propagación V. Este es el camino que normalmente se sigue en los textos de física general, sin embargo, el camino que se sigue en éste módulo es el que se describe a continuación:

Como se supondrá que estos medios se encuentran bajo la acción de esfuerzos para los cuales éstos se encuentran en la región hookeana, es decir, en la región donde se cumple la ley de Hooke, se asumirá que la energía que se propaga a través de las vibraciones se propaga en forma de ONDA.

Se analizará la forma de la ley de Hooke correspondiente para las deformaciones que se están presentando en dicho medio y de aquí se deducirá el factor de elasticidad .

Conocido el factor se obtiene la expresión de la velocidad de propagación V de las ondas en este medio aplicando la expresión [7],

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en cuerdas

Ley de Hooke en una cuerda

En la Figura 10 se ilustra un segmento de una cuerda tensionada cuyo extremo derecho está en la posición x. F es magnitud de la fuerza de tensión que ejerce la sección derecha de la cuerda sobre este segmento.

Figura 10

La componente vertical de F es,

Si la elongación transversal es pequeña (esto es, la pendiente de la cuerda es pequeña), y la relación anterior se transforma en,

Considerando que la cuerda tiene sección transversal igual a A, se obtiene la ley de Hooke en la cuerda,

Comparando con la ley de Hooke generalizada, ecuación [4], se obtiene que el parámetro de elasticidad para la cuerda tensionada es,

Adicionalmente en la cuerda se prefiere hablar de densidad lineal de masa µ (se mide en kg/m) en lugar de densidad volumétrica de masa (se mide en kg/m3) las cuales se relacionan como sigue,

En donde el diferencial de volumen dv es igual a Adx siendo A la el área de la sección transversal de la cuerda. Por lo tanto,

Reemplazando [8] y [9] en la ecuación [7] se obtiene,

Es decir, la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda

depende de la tensión y de su densidad lineal de masa, ecuación [10].

Ejemplo 1:

Una cuerda está atada en uno de sus extremos a un parlante que oscila armónicamente. El otro

pasa por una polea que se encuentra a 1,20 m del extremo fijo y lleva una carga de 200 g, Figura 11. La masa del segmento de cuerda comprendido entre el extremo fijo al parlante y la polea es de 3,60 g: (a) encontrar la velocidad de propagación de las ondas transversales viajeras a lo largo de la cuerda, (b) suponer que la onda que se propaga tienen amplitud igual a 1,00x10-2 m y longitud de onda igual a 0,400 m; hallar la rapidez de vibración máxima de cualquier punto de la cuerda.

Figura 11

Solución:

(a) La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda está dada por la ecuación [10],

en donde F es la fuerza de tensión en la cuerda y µ la densidad lineal de masa. En la Figura 12 se

ilustra el diagrama de fuerzas para el bloque el cual se encuentra en reposo por lo que,

.

Figura 12

La densidad lineal de masa es igual a,

Por lo tanto la velocidad de propagación es,

(b) Como la onda es armónica cumple,

Por lo tanto el valor máximo de la rapidez es,

Ahora,

Reemplazando en (1),

Ejemplo 2:Una cuerda consta de dos secciones distintas, Figura 13. La sección de la izquierda tiene una masa por unidad de longitud , mientras que la sección de la derecha tiene una masa por unidad de longitud . La tensión en la cuerda es F0. Si se excita el extremo izquierdo de la cuerda con una fuente que vibra con frecuencia f, encontrar la relación numérica entre las longitudes de onda de las ondas transversales que se propagan en cada segmento de la cuerda.

Figura 13

Solución:

Cuando la onda cambia de medio NO le cambia la frecuencia: cambia la velocidad de propagación

y la longitud de onda. Adicionalmente la tensión en cualquiere sección de la cuerda es la misma,

Fo. En la parte izquierda de la cuerda la onda se propaga con mayor velocidad (tiene menor

densidad lineal para la misma tensión) y por lo tanto la longitud de onda también es mayor. Con

base en la ecaución [10] se tiene,

y por lo tanto,

Pero,

Reemplazando (2) y (3) en (1) y sabiendo que f1=f2=f, se obtiene,

Ejemplo 3:

Para la cuerda del ejemplo 1 (Figura 11), si el parlante oscila

con una frecuencia de igual a 25 Hz, si se requiere que se

genere la onda estacionaria correspondiente al modo de oscilación 2: (a) dejando la longitud de la

cuerda constante en cuánto habrá que variar el valor de la carga que se suspende en el otro

extremo, b) dejando la carga igual cuánto se tendrá que desplazar el parlante.

Solución:

La resonancia se puede lograr de dos formas:

Dejando las propiedades mecánicas y el tamaño del sistema (en este caso la longitud de la

cuerda) fijos del sitema y cambiando la frecuencia externa al valor de la frecuencia propia del

armónico deseado. Aquí se cambia la frecuencia externa y permenece constantes las

frecuencias propias (es decir, el espectro de frecuencias).

Dejando la frecuencia externa fija y cambiando las propiedades mecánicas o el tamaño del

sistema hasta lograr que la frecuencia propia del armónico deseado se igual a la frecuencia

externa. Aquí permanece constante la frecuencia externa y cambian las frecuencias propias

(es decir, se cambia el espectro de frecuencias).

El segundo caso es el correspondiente a este ejemplo.

Las frecuencias porpias de este sistema con fronteras NODO-NODO son,

En donde L es la longitud de la cuerda oscilante, V la velocidad de propagación de las ondas

trasnversales viajeras,

Esta cuerda tiene una densidad lineal de masa igual a,

(a) Para que haya resonancia en el armónico 2 se tiene que f2=f= 25 Hz,

Es decir en la longitud de la cuerda cabe una longitud de onda en este armómónico,

y como,

que corresponde a una masa de la carga igual a 276 g. Por lo tanto habrá que agregar una carga

de 76 g de masa a la original que es de 200 g.

(b) Si se deja la carga igual habrá que cambiar la longitud L del sistema. Sabiendo que,

Como,

entonces,

La longitud original era 120 cm, por lo tanto habrá que desplazar el parlante hacia la polea 17,6

cm.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Velocidad de onda en cuerda. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 14. Se despliega la simulación de la Figura 15. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 14

Figura 15

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras transversales en cuerda. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 16. Se despliega la simulación de la Figura 17. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 16

Figura 17

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en slinky

En la Figura 18A se ilustra un resorte de constante de rigidez k, longitud natural L y masa total m. En la Figura 18B el resorte se estiró mediante la acción de una fuerza cuya magnitud es Fo, su longitud es ahora Lo y se encuentra aún en estado de equilibrio. Su masa por unidad de longitud

es . Por tanto aplicando la ley de Hooke para el resorte,

Figura 18

El análisis de las ondas transversales de pequeñas amplitudes en un slinky es idéntico al de las ondas en la cuerda tensa: aquí la tensión es Fo y la densidad lineal µ, por lo tanto aplicando la ecuación [10] la velocidad de propagación es,

y reemplazando (1) y se obtiene,

Aproximación Slinky: un slinky es un resorte con longitud natural muy pequeña comparada con los estiramientos que admite (Lo puede ser 10 o 20 veces L). Por lo tanto,

reduciéndose la expresión de la velocidad de propagación de las ondas transversales en un slinky a,

donde Lo es la longitud del slinky situación de equilibrio, con el resorte estirado, situación a partir de la cual se producen las ondas transversales. Muy IMPORTANTE es observar que las ondas sólo se pueden propagar a través del slinky si éste en situación de equilibrio ya está deformado.

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en slinky

Ley de Hooke para la deformación longitudinal en un slinky

En la Figura 19A se ilustra un resorte de constante de rigidez k, longitud natural L y masa total m. En la Figura 19B el resorte se estiró mediante la acción de una fuerza cuya magnitud es Fo, su longitud es ahora Lo y se encuentra aún en estado de equilibrio. Esta es la situación a partir de la cual se van a producir las ondas longitudinales.

Con el fin de expresar adecuadamente la ley de Hooke, se estudiará en primer lugar otra situación de equilibrio, con una deformación (L’- Lo) respecto a la primera situación de equilibrio, Figura 17C. Si es el exceso de fuerza respecto al equilibrio, de la ley de Hooke se obtiene,

Figura 19

El exceso de fuerza sobre el equilibrio base es proporcional al exceso de deformación respecto a dicho equilibrio base. Esta ley (ley de Hooke) expresada en términos de la deformación unitaria

, donde se ha tomado como referencia la longitud en el equilibrio de base es de (1),

esta ley de Hooke es ahora válida, no sólo para todo el resorte sino para cualquier trozo de él. Considerar que es el exceso de fuerza sobre la fuerza de magnitud Fo en el estado de equilibrio base. De esta forma si se tiene un elemento de resorte cuya longitud en el estado base es dx (longitud del elemento de resorte, el cual tiene una longitud Lo estirado bajo la acción de una fuerza de magnitud Fo) y dy es la deformación de este elemento después de aplicar una fuerza adicional de magnitud , se puede escribir la ley de Hooke, ecuación (2), así,

Esta ecuación expresada en términos del esfuerzo S es,

en donde A corresponde a la sección transversal del resorte. Por lo tanto según (3) el parámetro es,

Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un slinky es con base en las ecuaciones [7], [9] y [12],

y como se obtiene,

Observar que las ondas longitudinales y las ondas transversales en el slinky se propagan con la misma velocidad, ecuaciones [11] y [13].

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras longitudinales en slinky. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 20. Se despliega la simulación de la Figura 21. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 20

Figura 21

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en barras sólidas

Ley de Hooke para la deformación longitudinal en barras sólidas

Se ejerce una fuerza longitudinal de magnitud F sobre una barra que está empotrada en una pared, Figura 22. En la parte de arriba de la figura, la barra no ha sido deformada. En la parte de abajo se ilustra la deformación longitudinal de un elemento dx de la barra, el cual está sometido a dos fuerzas ejercidas por las porciones de la barra que se encuentran a su lado y que en situación de equilibrio serán iguales en magnitud a F. La fuerza deformadora se propaga, sin disminuir su magnitud, a todos los puntos de la barra.En este elemento dx la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en la posición x, se elonga longitudinalmente en una cantidad igual a y, y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x + dx se elonga en una cantidad igual a y + dy. La deformación en dirección longitudinal (deformación longitudinal) de la porción de barra dx es igual a dy. La ley de Hooke para pequeñas deformaciones longitudinales en barras sólidas (por ejemplo, en una barra de acero usada en construcción, podría ser del orden de 1 mm en 1 m) establece que estas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas, ecuación [3],

Figura 22siendo S el esfuerzo longitudinal responsable de la deformación longitudinal dy del elemento de barra dx. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es Y y se le conoce con el nombre de módulo de Young del material (se mide en pascales, Pa),

Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en barras sólida según la ecuación [7] es,

siendo la densidad volumétrica de masa de la barra.

Se debe anotar que con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en barras sólidas, ya que su parte lateral se expande y comprime levemente cuando las ondas se propagan a través de ellas. En caso de que la onda se esté propagando en un medio sólido "ilimitado" de materia, donde el material contiguo no permite esos abombamientos y encogimientos, el modo de calcular la velocidad de propagación es diferente. Por ejemplo, la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es del orden de 1 200 m/s, mientras que en un medio "ilimitado" de plomo es del orden de 1 960 m/s.

También es importante señalar que cuando la frecuencia de una onda longitudinal está dentro del rango auditivo (16 a 20 000 Hz), se le denomina sonido.

Ejemplo 4:

Se generan ondas longitudinales en una barra metálica de 60,0 cm de larga afianzada en un extremo, cuando esta es golpeada con un martillo. Si la frecuencia mínima con la cual resonará la barra es igual a 1,88 kHz, ¿cuánto vale el módulo de Young de dicho metal si su densidad es igual a 7.20x103 kg.m-3?

Solución:

Se trata de la formación de ondas estacionarias en una barra sólida con condiciones de frontera NODO-VIENTRE por lo que la regla de cuantización de las frecuencias propias es,

en donde L es la longitud de la barra y V la velocidad de propagación de las ondas longitudinales viajeras incidente y reflejada que se propagan en la barra y que superpuestas originan la onda estacionaria. Claramente se dice que el armónico correspondiente a la frecuencia de 1,88 kHz es el fundamental, por lo tanto,

y como,

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Tabla Periódica > Propiedades Mecánicas > Módulo de Young. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 23. Se despliega la simulación de la Figura 24. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 23

Figura24

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Tabla Periódica > Propiedades Mecánicas > Densidad. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 25. Se despliega la simulación de la Figura 26. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 25

Figura 26

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Tabla Periódica > Propiedades Mecánicas > Velocidad del sonido. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 27. Se despliega la simulación de la Figura 28. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 27

Figura 28

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas transversales en barras sólidas

Ley de Hooke para la deformación transversal en barras sólidas

Se ejerce una fuerza transversal (fuerza de cizalladura) de magnitud F sobre una barra que está empotrada en la pared, Figura 29. En la figura se ilustra la deformación de un elemento dx de la barra, el cual estará sometido a dos fuerzas ejercidas por las porciones de la barra que se encuentran a su lado.

Figura 29

En este elemento dx la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en la posición x, se elonga transversalmente en una cantidad igual a y, y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x + dx se elonga en una cantidad igual a y +dy. La deformación en dirección transversal (deformación transversal) de la porción de barra dx es igual a dy. La ley de Hooke para pequeñas deformaciones transversales en barras sólidas establece que estas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas,

siendo S el esfuerzo transversal responsable de la deformación transversal dy del elemento de barra dx.De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es G y se le conoce con el nombre de módulo de rigidez del material (se mide en pascales, Pa),

Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas transversales en barras sólida según la ecuación [7] es,

siendo la densidad volumétrica de masa de la barra.

Como dato, la velocidad de propagación de las ondas transversales en una barra de acero es del orden de 3 200 m/s, mientras que las longitudinales en la misma se propagan con una velocidad aproximada de 5 100 m/s.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Tabla Periódica > Propiedades Mecánicas > Módulo de rigidez. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 30. Se despliega la simulación de la Figura 31. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 30

Figura 31

Ejemplos típicos de ondas mecánicas: ondas longitudinales en fluidos

Ley de Hooke para la deformación longitudinal en fluidos (Esfuerzo de Volumen: Presión)

Se tiene un fluido (gas o líquido) dentro de un tubo, Figura 32A. En equilibrio todas las porciones del fluido estarán a la presión atmosférica Po (o a la presión externa de equilibrio). Si se escoge un elemento de la columna de fluido de longitud dx, mientras el sistema esté en equilibrio, tanto la cara izquierda como la derecha de éste, Figura 32C, estarán sometidas a iguales fuerzas debido a los efectos de las presiones sobre ellas que ejerce el resto de fluido a izquierda y derecha respectivamente. Si se comprime (o se expande) el fluido, por ejemplo desplazando leve y lentamente un pistón -proceso cuasiestático- de izquierda (derecha) a derecha (izquierda), aparecerá una compresión (expansión) del elemento dx. La compresión implicará una pequeña elevación de la presión por encima de la presión de equilibrio y la expansión una pequeña disminución por debajo de la misma. Sin embargo, debido a la forma como se llevó el proceso, el

sistema pasa a otro estado instantáneo de equilibrio con una presión P por encima de la de equilibrio, Po (por debajo de la de equilibrio).

Figura 32

En este elemento dx, la cara ubicada en la posición de equilibrio x, se elonga longitudinalmente en una cantidad igual a y, y la cara ubicada en la posición de equilibrio x + dx se elonga en una cantidad igual a y + dy, Figura 32B. La deformación en dirección longitudal (deformación longitudinal) de la porción de la columna de fluido dx es igual a dy. La ley de Hooke para

deformaciones volumétricas en fluidos, establece que el exceso o defecto en la presión, (que en el caso de que Po sea la presión atmosférica, es llamada presión manométrica) es

proporcional y opuesta al cociente ,

donde B corresponde al módulo de compresibilidad del fluido (se mide en pascales, Pa), A el área de la sección transversal del tubo, V0 es el volumen del elemento de fluido dx a la presión P0, dV es el cambio de volumen del mismo cuando se cambia levemente la presión al valor P. El signo menos (-) de la expresión se debe a que un aumento en la presión siempre causa una reducción en el volumen y viceversa.

Si los esfuerzos de tracción se toman como positivos, los esfuerzos de compresión serán negativos. Con base en esto la presión se define como el esfuerzo normal de compresión, tomado como positivo (también se le denomina esfuerzo de volumen). Es decir la presión P en la ley de Hooke generalizada hace el papel de un esfuerzo negativo, y por tanto se concluye que P es el esfuerzo longitudinal responsable de la deformación longitudinal dy del elemento de fluido dx y que el módulo de elasticidad del fluido será su módulo de compresibilidad,

Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en fluidos según la ecuación [7] es,

siendo la densidad volumétrica del fluido en estado de equilibrio.

Este tipo de ondas son de gran aplicación ya que son las que están asociadas con las ondas sonoras. Si están en el rango de frecuencias audibles (16 a 20 000 Hz) se les denomina sonido.

Aunque la ley de Hooke explicada en esta sección se aplicó a fluidos (gases o líquidos), es también aplicable a los cuerpos en el estado sólido. La diferencia radica en que para pequeños cambios de presión, B se considera constante para sólidos y líquidos, en cambio en los gases dependerá de la presión inicial P0. Por lo tanto a través de los sólidos también se propagan estas ondas longitudinales y la velocidad de propagación también cumplen la expresión [21]. Surge entonces la pregunta, ¿cómo saber cuál expresión utilizar para calcular la velocidad de propagación de las

ondas longitudinales en sólidos, o ? La respuesta es la siguiente:

Si se trata de una barra su parte lateral se expande y comprime levemente cuando las ondas longitudinales se propagan a través de ella y en este caso se debe aplicar la expresión,

Si se trata de un sólido “extenso” (materiales no en forma de barras) no se presentara la

expansión y compresión lateral a la que se refiere en el caso de la barra ya que el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido por el material circundante. En este caso se emplea la expresión,

Como dato pensar en que la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es del orden de 1 200 m/s mientras que ésta en un medio "ilimitado" (material extenso y no como barra) de plomo es del orden de 1 960 m/s. Otro dato, por ejemplo, para el aluminio, la velocidad de la onda longitudinal en un medio “extenso” es 6 420 m/s, la velocidad de la onda transversal 3 040 m/s y la velocidad de la onda longitudinal en una barra delgada 5 000 m/s. Siempre la velocidad de la onda transversal es menor que la de la onda longitudinal y la velocidad de las ondas longitudinales a lo largo de una barra sólida delgada es en general menor que la velocidad en el medio sólido extenso.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras longitudinales en un gas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 33. Se despliega la simulación de la Figura 34. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 33

Figura 34

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Ondas estacionarias longitudinales en columna de gas (tubo cerrado). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 35. Se despliega la simulación de la Figura 36. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 35

Figura 36

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Ondas estacionarias longitudinales en columna de gas (tubo abierto). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 37. Se despliega la simulación de la Figura 38. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 37

Figura 38

Resumen sobre velocidad de propagación en ondas mecánicas

En la tabla 1 se presenta un resumen sobre la velocidad de propagación en ondas mecánicas.

Onda mecánica Parámetro (Pa)

Densidad en kg/m3, en kg/m

Velocidad de propagación (m/s)

Onda transversal en cuerda

Onda longitudinal en slinky

Onda transversal en slinky

Onda longitudinal en barra sólida

Onda transversal en barra sólida

Onda longitudinal en fluido

Temas de interés: ondas sísmicas

(Tomado de: http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io3/public_html/Ondas/Ondas.html)

En un terremoto se producen ondas sísmicas que son las vibraciones en las que se dispersa la energía a partir del foco o hipocentro de un terremoto.

Estas ondas sísmicas pueden se internas o superficiales. Las ondas internas son las que se propagan por el interior de la Tierra y su estudio es muy importante ya que aportan datos sobre la estructura y composición de ésta. Las ondas superficiales sólo viajan por la superficie de la Tierra y son las responsables de las catástrofes.

Las ondas internas se clasifican en: ondas primarias (P) y ondas secundarias (S). Las ondas superficiales se clasifican en: ondas de Rayleigh y ondas de Love.

Ondas internas

Ondas Primarias (P)

Son ondas longitudinales. Estas ondas generalmente viajan a una velocidad 1,73 veces de las ondas S y pueden viajar a través de cualquier tipo de material (líquidos, gases y sólidos). Velocidades típicas son 330m/s en el aire, 1 450m/s en el agua y cerca de 5 000m/s en el granito.

Ondas Secundarias (S)

Son ondas transversales o de corte. Pueden viajar únicamente a través de sólidos debido a que los fluidos no pueden soportar esfuerzos de corte: la ausencia de ondas S detectadas a grandes distancias de los terremotos fue el primer indicio de que la tierra tiene un núcleo líquido. Su velocidad es alrededor de 58% la de una onda P para cualquier material sólido. Usualmente la onda S tiene mayor amplitud que la P y se siente más fuerte que ésta: suelen ser más perjudiciales que las ondas P.

Ondas superficiales

Las ondas superficiales pueden causar movimiento perpendicular o paralelo a la superficie. Las ondas que mueven la superficie hacia arriba y hacia abajo se llaman ondas de Rayleigh y se describen a veces como “rodillo de tierra”. Las ondas cuya oscilación es paralela a la superficie se denominan ondas de Love.

Se desplazan a menor velocidad que las ondas internas. Debido a su baja frecuencia provocan resonancia en edificios con mayor facilidad que las ondas de cuerpo y son por ende las ondas sísmicas más destructivas.

Ondas de Rayleigh

Cuando un sólido posee una superficie libre, como la superficie de la tierra, pueden generarse ondas que viajan a lo largo de la superficie. Estas ondas tienen su máxima amplitud en la superficie libre, la cual decrece exponencialmente con la profundidad, y son conocidas como ondas de Rayleigh en honor al científico que predijo su existencia. Se propagan aproximadamente a un 90% de la velocidad de las ondas S.

Ondas de Love

Llamadas así en honor del científico que las estudió. Estas se generan sólo cuando un medio elástico se encuentra estratificado, situación que se cumple en nuestro planeta pues se encuentra formado por capas de diferentes características físicas y químicas. Las ondas de Love son transversales como las ondas S y como para las ondas de Rayleigh, su amplitud decrece rápidamente con la profundidad. Se propagan por lo general un poco más rápido que las ondas de Rayleigh.

La secuencia típica de un terremoto es: primero el arribo de un ruido sordo causado por las ondas ("P"), luego las ondas ("S") y finalmente el "retumbar" de la tierra causado por las ondas superficiales

Temas de interés: Tsunami

(Tomado textualmente de: http://blogs.eldiariomontanes.es/scientia-mater/2011/03/14/un-poco-fisica-tsunamis/)

Los tsunamis son ondas en el agua, con longitudes de onda de muchos kilómetros (desde las decenas hasta las centenas), que se producen, principalmente, como consecuencia de terremotos submarinos. Cuando se produce un terremoto en el mar, con un ligero hundimiento de la

plataforma terrestre, se produce una perturbación en toda la columna de agua por encima del fondo afectado por el terremoto.

La velocidad de éstas ondas, que como son ondas esencialmente volumétricas no superficiales como las generadas por los vientos, son afectadas por la fuerza de gravedad (el peso de las columnas de agua) se puede estimar mediante la siguiente ecuación,

siendo g la aceleración de la gravedad (g=9,81 m.s-2) y h la profundidad del mar.

El efecto devastador de la onda al llegar a la orilla no se debe a la conservación de la masa de agua, pues las moléculas de agua apenas se mueven de sus posiciones al oscilar, sino a la conservación de la energía, que termina por transformar una masa de agua muy grande que se desplaza verticalmente muy poco (unos centímetros), cuya onda de perturbación tiene una longitud de onda muy grande (decenas de km) y que avanza horizontalmente muy rápido (a la velocidad de un avión) en una masa de agua, relativamente pequeña, que avanza horizontalmente de forma lenta (al paso de una persona) pero con una amplitud vertical mucho mayor (algunos metros): para una profundidad de  h=4 000 m, la ecuación anterior indica que la ola producida por el terremoto se mueve a unos 200 m. s -1, es decir, unos 700 km.h-1 que es del orden de la velocidad de un avión; cuando esta onda se aproxime a la costa, h =10 m, la velocidad baja a 10 m.s-1, unos 36 km.h-1.

Para una ola con longitud de onda  , en un mar de profundidad h = 4 000 m (V=700 km.h-1), el tiempo necesario para recorrer una longitud de onda es de unos 9 minutos. Cuando esta onda se acerca a la costa, su longitud de onda es de unos 5, 50 km (V= 36 km.h-1), y por lo tanto el tiempo entre crestas es también de unos 9 minutos. Dependiendo de esto, si el tiempo característico entre eventos en la costa es de una hora, se puede observar el fenómeno de que primero se retira el agua de la playa, presencia de los valles de la onda (fenómeno que suele atraer a los curiosos), para luego dar lugar a la llegada de la ola gigante (cresta gigante de alturas del orden de los 20 m).

Taller

En este taller recapitula los temas de los módulos 7, 8 y 9

1. Una onda transversal se propaga a través de una cuerda. La ecuación que la describe escrita en el SI es,

Calcular la tensión (en N y en kgf) a la que está sometida la cuerda sabiendo que su densidad lineal es igual a 3,20 g/m.

2. Una cuerda con extremos fijos oscila en el quinto armónico el cual está descrito por la siguiente ecuación escrita en el SI,

Calcular: (a) la tensión (en N y en kgf) a la que está sometida la cuerda sabiendo que su densidad lineal es igual a 3,20 g/m, (b) la frecuencia del agente externo que la excita, (c) la longitud de la cuerda.

3. Una onda elástica transversal se propaga a través de una cuerda. Si su elongación tiene

como componentes y : (a) Mostrar que está onda mecánica está circularmente polarizada. (b) Determinar el sentido de rotación del vector resultante

. Hacer una representación gráfica de la propagación de esta onda.

4. Una barra de 60 cm de longitud, sujetada por su parte media está vibrando longitudinalmente en su armónico fundamental al ser excitada por una fuerza externa de frecuencia 3,00 kHz, ¿Cuál es la rapidez de las ondas longitudinales en la barra? Rp. 3,60 km/s

Más ejercicios: Pendientes