1 нұсқа. №18.

Қиық конустың табан радиустары 11 см және 4 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 45° бұрыш жасай көлбеген. Қиық конустың осьтік қимасының ауданын табыңыз.

n Берілгені:

R1 = O'A' = 4 см

R2 = OA = 11 см ∠α = 45°

Табу керек: SABB'A' - ?

Шешуі:

1) AK = AO - O'A' = 7см

2) онда A'K = KA (трапецияның биіктігі)

3) Sтр=a+b

2∙ h

Sтр=8+22

2∙7=105 см2

Жауабы: Sтр=105 см2 (E)

2 нұсқа. №18.

ABCDA1B1C1D1 кубы берілген. CB1 түзуі мен ABCD жазықтығының арасындағы бұрыш

Берілгені:

ABCDA'B'C'D' – куб B ∠B'CA = ∠α

Табу керек: ∠α - ?

Шешуі:

1) Қарастырамыз ∆AB'C – тең бүйірлі үшбұрыш

2) AB' = B'C

3) B'C = x қабырғасы, онда

AC=√x2+x2=√2 x2=x√2

4) ∆AB'C – тік үшбұрыш∠CB'A = 90°

5) онда ∠α = 45°

Жауабы: ∠α = 45° (B)

3 нұсқа. №18.

Тік призманың табаны катеттері 3 см тікбұрышты тең бүйірлі үшбұрыш. Бір катеті арқылы және қарама қарсы табанының төбесі арқылы өткен қиманың ауданы 7,5 см2 болса, призманың көлемін табыңыз.

Берілгені:

ABCA'B'C' – призма

∆ABC – тік үшбұрыш

AB = BC = 3 см

SAC'B = 7,5 см2

Табу керек: Vпризма - ?

Шешуі:

1) ∆ABC' – тік үшбұрыш∠ABC' = 90°

2) V=Sтаб ∙ H=12

AB ∙BC ∙CC'

3) SAB C '=12

∙3 ∙BC '

7,5 = 1,5∙ BC'

BC '=7,51,5

=5см

4) CC '=√25−9=√16=4

5) V=12

∙ 3 ∙3 ∙ 4=18 см3

Жауабы: 18 см3 (A)

4 нұсқа. №18.

Тік бұрышты үшбұрышты призманың табан қабырғалары 58 см, 50 см, 12 см, ал бүйір қыры табанының үлкен биіктігіне тең. Призманың толық бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені:

ABCA'B'C '- призма

AB = A'B' = 50

BC = B'C' = 12

AC = A'C' = 58

AA' = AB (биіктігі)

Табу керек: Sт.б - ?

Шешуі:

1) Sт.б = 2Sтаб + Sб.б

2) Sб .б=pl

3) Sгерон=√60 (60−58 ) (60−50 )(60−12)=240

( p=50+58+122

=60)

4) 240 = 12

∙12 ∙ h ⇒ h = 40

5) Sт . б=2∙ 240+120 ∙ 40=4800+480=5280

Жауабы: Sт. б=5280 (C)

5 нұсқа. №18.

Шар мен цилиндрдің көлемдері бірдей. Шар диаметрі цилиндрдің биіктігіне тең. Цилиндр радиусын шар радиусы арқылы өрнектегенде:

Берілгені:

Vшар = Vцилиндр

Dшар = Hцилиндр

Табу керек: Rцилиндр - ?

Шешуі:

1) V шар=43

π Rшар3

V цилиндр=π Rцилиндр2 H

2) 43

π Rшар3 = π Rцилиндр

2 H

3) 43

Rшар3 = Rцилиндр

2 ∙ 2 Rшар ⇒ 43

Rшар2 = 2 Rцилиндр

2

4) 4 Rшар2 = 6 Rцилиндр

2

5) Rцилиндр2 =

4 Rшар2

6

6) Rцилиндр=√ 4 Rшар2

6=√ 2

3Rшар

Жауабы: Rцилиндр=√ 23

Rшар

(E)

6 нұсқа. №18.

Конус табанының радиусы 8 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 60° бұрыш жасай көлбеген. Конустың толық бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені:

R = 8 cм∠α = 60°

Табу керек: Sт.б - ?

Шешуі:

Sт. б=π R(R+ l)

1) Қарастырамыз ∆AOS - тік үшбұрыш ∠A = 60°, oнда

AS = 16 cм = l

l - жасаушысы

2) Онда Sт. б=π ∙8 (8+16 )=24 ∙ 8 π=192 π см2

Жауабы: Sт. б=192 π см2 (B)

7 нұсқа. №18.

Қиық конустың табандарының радиусы 1 см және 5 см, ал жасаушысы 5 см. Биіктігі осы қиық конустың биіктігіне, бүйір бетінің ауданы осы қиық конустың бүйір бетінің ауданына тең болатын цилиндрдың табан радиусын табыңыз.

Берілгені:

A'O' = 1 cм

AO = 5 cм

AA' = l = 5 cм

OO' = H

Табу керек: Rцилиндр - ?

Шешуі:

1)

⇒ онда

A'K = H (биіктігі) ⇒ A ' K=√25−16=√9=3

2) H = h = 3 см

3) Sцилиндр = Sконус ⇒ Sцил .б .б .=2 π Rц ∙ Hц

Sкон . б .б .=πl(r+R)

4) 2 π Rц ∙ H ц=πl (r+R)

2π Rц ∙3=π ∙5 ∙6

6 π Rц=30 π

Rц=5 см

Жауабы: Rц=5см (B)

8 нұсқа. № 18.

Биіктігі 30 см, табанының диаметрі 20 см болатын цилиндр тәрізді шелек жасау үшін қанша қаңылтыр керек?

Берілгені:

OO' = 30 см

AO' = 20 см

Табу керек: Sт.б - ?

Шешуі:

30 см = 0,3 метр

20 см = 0,2 метр ⇒ R = 0.1 метр

Sт. б=2 π R(R+H )

Sт.б = 2Sтаб + Sб.б

Sт.б = Sтаб + 2πRH

Sт.б = π ∙0.01+2 ∙ π ∙0.1∙ 0.3=0.0314+0.1884=0.2198

Жауабы: Sт.б = 0.2198 м2 ≈ 0,22 м2 (B)

9 нұсқа. № 18.

Бүйір бетінің ауданы 136√π см2, ал көлемі 17 см3 болатын тік дөңгелек цилиндрдің биіктігін табыңыз.

Берілгені:

Цилиндр:

Sб.б = 136√π см2

V = 17 см3

Табу керек: Hцилиндр -?

Шешуі:

Sб.б = 2πRH

136√π= 2πRH

R=136√ π2 π ∙H

=68√ ππH

⇒ R=68√ ππH

V=Sтаб ∙ H

17 = πR2H

17=π ( 68√ππH )

2

∙ H ⇒ 17=π ∙ 4624 ∙ ππ2 ∙ H 2 ∙ H ⇒ 17=4624

H ⇒ H= 462417

онда H = 272 см

Жауабы: H = 272 см (Е)

10 нұсқа. №18.

Бүйір бетінің ауданы 36 π см2, көлемі 108 π см3 болатын цилиндрдің биіктігін табыңыз.

Берілгені:

Sб.б = 36 π см2

Vцилиндр = 108 π см3

Табу керек: H - ?

Шешуі:

Sб.б = 2πRH

V цилиндр=π Rцилиндр2 H

1) 36π = 2πRH ⇒ 18 = RH ⇒ R=18H

2) 108π = πR2H ⇒ 108 π=π ∙ 324H 2 ∙ H ⇒ 1=

3H ⇒ H = 3 см

Жауабы: H = 3 см (С)

11 нұсқа. № 18.

Екі дұрыс n бұрышты призманың биіктіктері бірдей, табандарының аудандарының қатынасы 1:81. Олардың бүйір беттерінің аудандарының қатынастарын табыңыз.

Берілгені:

ABCA'B'C' – призма

DEKD'E'K' - призма

SS1

= 181

\

Табу керек: S1б . бS2б . б - ?

Шешуі:

1) Sб .б=P ∙l

Sб .б=P ∙ H (l-ны онай шығару үшін, дұрыс төртбұрыш алайық, сонда табанында квадрат жатады)

Берілгені: Квадрат

H = h ⇒ биіктіктері

1) a2

b2 =181 ⇒ a2= b2

81 ⇒ a=√ b2

81=b

9

2) 3 b9

∙ H :3 b ∙ H⇒ b ∙ H3

:3b ∙ H= b∙ H3 ∙3b ∙ H

=19

3) Онда S1б . бS2б . б

=19

Жауабы: 1:9 (A)

12 нұсқа. № 18.

Бүйір беті 20 болатын дұрыс үшбұрышты призмаға іштей цилиндр салынған. Цилиндр осімен призма жағының диагоналінің арасы 3√3 болса, цилиндр көлемін табыңыз.

Берілгені:

ABCA'B'C' – призма,

іштей сызылған цилиндр

Sпр .б .б=20; KN=3√3

Табу керек: Vцилиндр - ?

Шешуі:

1) KN=Rцилиндр

2) V=Sтаб ∙ H ; Sб .б=P ∙l

3) 20=3a ∙l (a үшбұрыш табаны)

(l биіктігі және жасаушысы)

4) KN = r (үшбұрыштың ішіне сызылған радиусы)

5) r=3√3

r=a√36

⇒3√3=a√36

⇒a=18

6) V ц=π R2 ∙ H және Sб .б=p ∙l

20=3 a ∙l⇒ l=1027

7) V ц=π (3√3 )2 ∙ 1027

=π ∙ 27 ∙ 1027

=10 π

Жауабы: V ц=10 π

(D)

13 нұсқа. № 18.

Конустың жасаушысы 4 және табан жазықтығына 45° бұрыш жасай көлбеген. Конустың бүйір бетінің ауданын және көлемін табыңыз.

Берілгені:∠α = 45°

l = 4

Табу керек: Sб.б = ? ; V = ?

Шешуі:

1) Sб .б=πRl ; V=13

π R2 ∙ H

2) қарастырамыз ∆SOB - тік үшбұрыш

sin 45 °= H4⇒ H=4 ∙sin 45°

H=4 ∙ √22

=2√2

3) Онда R=H=2√2

4) Sб .б=π ∙2√2∙4=8√2 ∙ π

5) V=13

π ∙ (2√2 )2 ∙2√2=13

π ∙8 ∙ 2√2=16√23

π

Жауабы: Sб .б=8√2∙ π және V=16√23

π

(B)

14 нұсқа. № 18.

Конустың остік қимасы тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш, гипотенузасы 12 болса, конустың толық бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені:

∆ASB - тең бүйірлі

тік бұрышты үшбұрыш∠ASB = 90°

AB = 12

Табу керек: Sт.б = ?

Шешуі:

Sт. б=πR (R+l)

1) AB = 12 ⇒ AO = R = 6

2) қарастырамыз ∆ASB

OB = 6 см, онда OS = OB = 6 см

SO = H ⇒ SB = l ⇒ sin 45°=6l⇒ l=6 ∙2

√2= 12

√2=12 ∙√2

2=6 √2 (l

жасаушысы)

3) Sт . б=π ∙6 (6+6√6 )=36 π+36√2 π=36 ( π+√2 π )=36 π (1+√2)

Жауабы: Sт. б=36 π (1+√2) (D)

15 нұсқа. № 19.

Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2 м, ал қалғандары 3 м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4 м. Осы призмамен көлемдері бірдей кубтың қырын табыңыз.

Берілгені:

ABCA'B'C' – призма

AC = A'C' = 2 м

AB = BC = A'B' = B'C' = 3 м

AA' = 4 м

Табу керек: кубтың қыры - ?

Шешуі:

1) V пр=Sтаб ∙ H ; V куб=a3

2) V пр=S∆ ∙ 4 ⇒ ∆ABC қарастырамыз

3) S∆=12

∙2 ∙ BK ;

BK=√32−12=√8=2√2

S∆=12

∙2 ∙2√2=2√2

4) V пр=V куб⇒2∙√2∙4=a3⇒ 8 ∙√2=a3⇒ a=2 6√2

Жауабы: a=2 6√2 (A)

16 нұсқа. № 19.

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз. ∠PEO = 60°

Берілгені:

ABCD - квадрат

AD = 6∠PEO = 60°

Табу керек: Sт.б = ?

Шешуі:

1) Sт. б=Sтаб+Sб .б ; Sб .б=12

p ∙l

2) Sтаб=a2=62=36 см

∆ PEO – тік үшбұрыш, егер ∠PEO = 60°

Онда ∠OPE = 30°, сондықтан PE = 6 см

4) Sт . б=36+ 12

∙24 ∙6=36+72=108

Жауабы: Sт. б=108 (D)

17 нұсқа. № 18.

Цилиндрдің көлемі 50 π см3, ал осьтік қимасының ауданы 20 см2. Цилиндр табанының радиусын табыңыз.

Берілгені:

V ц=50 π см3

AB B'A' – 20 см2

Табу керек: Rцилиндр - ?

Шешуі:

1) V ц=Sтаб ∙ H =π R2 ∙ H

2) SAB B ' A '=20 см2 ⇒ 20 см2=2 R∙ H

3) {50π=π R2 H20=2 R ∙ H ⇒ { H=50

R2

10=R ∙ 50R2 ⇒10=50

R⇒R=50

10⇒R=5 см

Жауабы: R=5 см (А)

18 нұсқа. № 18.

Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 30 π және 16 π. Жазықтықтар арақашықтығы 7 болса, сфера беті ауданын табыңыз.

Берілгені:

Сфера

С1=30 π ; С=16 π

O1O2=7 см

Табу керек: Sсфера = ?

Шешуі:

1) Sсфера=4 π R2 (сфераның ауданы)

С=2 πr (шеңбердің ұзындығы)

2) С1=2π r1⇒30π=2π r1⇒r1=15

3) С2=2π r2⇒16π=2π r2⇒r2=8

4) ∆ OA O1⇒OO1=x⇒O A2=152+x2

O A2=225+x2

5) ∆ OB O2⇒O O2=x+7⇒O B2= (x+7 )2+82

O B2=x2+14 x+49+64

O B2=x2+14 x+113

6) OA = OB =R, онда

225+x2=x2+14 x+113

14 x=112

x=8

7) R=√64+225=√289=17

8) V=4 π ∙289=1156 π

Жауабы: V=1156 π(D)

19 нұсқа. № 19.

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемі 3 см3, биіктігі 2 см-ге тең. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені:

V = 3 см3

SO = 2 см (биіктігі)

Табу керек: Sб.б = ?

Шешуі:

1) ABCD - квадрат

2) Sб .б=12

p ∙l

3) V=13

Sтаб ∙ H ⇒3=13

a2 ∙2⇒9=2 a2⇒a2=92⇒a= 3

√2= 3√2

2

4) Қарастырамыз ∆ SOK

AD=3√22

⇒KO=3√24

, онда

l=√4+(3√24 )

2

=√4+ 1816

=√ 64+1816

=√ 8216

=√ 418

5) Sб .б=12

∙ 4 ∙ 3√22

∙√ 418

=3 ∙√2 ∙√412√2

=3√412

Жауабы: Sб .б=3√41

2см2 (D)

20 нұсқа. № 19.

Көлемі 4 см3, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

Берілгені:

V = 4 см3

AD = 2 см

Табу керек: SD = ?

Шешуі:

1) V=13

Sтаб ∙H ⇒ 4=13

∙4 ∙ H⇒H=3см

2) ABCD - квадрат

OD=2√22

=√2

3) онда SD=√32+(√2 )2=√9+2=√11

Жауабы: SD=√11см (C)

21 нұсқа. № 18.

Сферада жатпайтын нүктеден сфераны жанайтын екі жазықтық жүргізілген. Егер жазықтықтар арасы 60°, ал сфера ауданы 32 π болса, сфераның центрінен

жазықтықтардың қиылысу сызығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Берілгені:∠BAC = 60°

Sсфера = 32 π

Табу керек: ОА - ?

Шешуі:

1) ∠BAC = 60°, онда ∠BAО = 30° және OB = R

2) ∆ AOB = тік үшбұрыш ∠OBA = 90°, онда ∠ AOB = 60°

3) 32 π=4 π R2

R2=8⇒R=2√2

4) Онда AO=2√2 ∙2=4 √2 (30°-қа қарсы жатқан қабырға гипотенузаның жартысына тең болады)

Жауабы: AO=4

21 нұсқа. № 24.

Трапеция табандары a және b . Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кесінді ұзындығын табыңыз.

Берілгені:

ABCD - трапеция

BC = a; AD = b

Табу керек: KN = ?

Шешуі:

a2

b2 =S1

S2

1) S1 ∞ S2 ; S3=S4

Табу керек h1 -? ; h2 - ?

2) Трапецияның ауданын қарастырамыз: KN = x

S1=a+x

2∙ h1 ;S2=

x+b2

∙ h2

3) Sтр 1+Sтр 2=Sортақ

SKBCN+S AKND=SABCD

4) a+x2

∙ h1+x+b

2∙ h2=

a+b2

(h1+h2)

a+x2

∙ h1+x+b

2∙ h2=¿

( x−b2 )∙ h1=( a−x

2 ) ∙ h2

h1=a−xx−b

∙h2

5) Енді пропорциямызға қайтамыз

a2

b2 =

12

∙ a ∙( a−xx−b )∙ h2

12

∙ b ∙ h2

⇒ a2

b2=a (a−x)b (x−b)

⇒ ab=a−x

x−b⇒

a ( x−b )=b ( a−x )

ax−ab=ab−xb

ax−bx=2 ab

x (a−b )=2ab

x= 2 aba−b

Жауабы: KN=x= 2 aba−b

(D)

22 нұсқа. № 18.

Шарды жазықтық қияды. Қиылысу сызығының нүктесінен жүргізілген шардың диаметрі жазықтықпен 45° бұрыш жасайды. Шардың диаметрі 4 √2 болса қиманың ауданын табыңыз.

Берілгені: Шар

СВ - диаметрі

О'В – шеңбердің радиусы

R=OB=2√2

Табу керек: Sшеңбер = ?

Шешуі:

1) Sшеңбер=π R2

2) O'BO = 45°, онда ∆ O'BO ∠ - тік үшбұрыш

sin 45°=O ' B2√2

⇒O' B=2√2 ∙ √22

=2см

O' B=r=2 см

S=π ∙4=4π Жауабы: Sшеңбер=4 π (А)

23 нұсқа. № 19.

Қиық конустың жасаушысы, биіктігі және үлкен табанының радиусы сәйкес 15 см, 12 см, 10 см. Осы конустың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені:

AA' = 15 см

OO' = 12 см

OB = 10 см

Табу керек: Sб.б = ?

Шешуі:

1) Sб .б=πl (r+R) табу үшін

2) O2B' = 12 см

Қарастырамыз ∆ O2B'B табамыз O⇒ 2B = ?

O2 B=√152−122=√225−144=√81=9

3) O ' B '=OB−O2 B=10−9=1 см

r=O' B '=1см

4) Sб .б=π ∙15 (1+10 )=π ∙15 ∙11=165 π см2

Жауабы: Sб .б=165 π см2

(Е)

24 нұсқа. №19.

Төрт бұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120°-тан . Пирамиданың көлемін табыңыз.

Берілгені:

SABDC-пирамида

АВ=a; PD=PB∠DPB=120°Табу керек:V-?

Шешуі:

1) қарастырамыз

РDB=теңбүйірлі

OD=a√22

2) sin60°=ODPD => PD=a√2

3 =PB

3)AP2=AB2-PB2 => AB2=a2-a2

3∗2; AB=

a√3

4) AO2=AP*AS => AS=a√32

5)SO=a2

6) V=13*a2*a

2=a3

6

Жауабы: V=a3

6 (С)

25 нұсқа. № 18.

Шардың радиусы 75 см. Табанындағы шеңбердің радиусы 60 см болатын шар сегментінің көлемін есептеңіз.

Берілгені:

Rшар=75с м

r=O' B=60 см

Табу керек: Vшар - ?

Шешуі:

V=π h2(R−h3)

1) O ' O=√752−602=√5625−3600=√2025=45

2) h=75−45=30 см

3) V 1=π ∙ 900 (75−10 )=π ∙900 ∙65=58500 см3

4) V шар=43

π R3=43

π ∙753=4 π ∙ 4218753

=562500 π

5) V 2=562500 π−58500 π=504000 см3

Жауабы: V 1=58500 см3 және V 2=504000 см3

(D)

Қабанбай батыр ауылы

№41 орта мектебі

МАТЕМАТИКА

2014 жылғы ТЕСТ ЖИНАҒЫНЫҢ

СТЕРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІНІҢ

ШЕШУЛЕРІ

(ҰБТ дайындалуына көмек ретінде ұсынылады)

2014 жыл