UTILIZA MATEMÁTICAS:

LAS MATEMÁTICAS Y EL ESPACIO

Carla Martínez Parejo, carla.martinez.parejo@gmail.com

1º Bachillerato, IES Ana María Matute

ÍNDICE

HISTORIA DE LOS SATÉLITES......................................................................................3PRIMEROS SATÉLITES..............................................................................................3SATÉLITES EUROPEOS.............................................................................................4

LEYES DE KEPLER.......................................................................................................6PRIMERA: LEY DE LAS ÓRBITAS...............................................................................6SEGUNDA: LEY DE LAS ÁREAS.................................................................................6TERCERA: LEY DE LOS PERIODOS............................................................................6

EL SISTEMA GPS.........................................................................................................8TELECOMUNICACIONES............................................................................................10 SATÉLITES Y METEREALOGÍA...................................................................................12BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................16

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HISTORIA DE LOS SATÉLITESLa humanidad siempre ha estado muy interesada en el espacio. Ha habido gran cantidad de científicos y personajes célebres que han trabajado en el descubrimiento de teorías matemáticas y en el desarrollo de tecnología que nos permitiera aumentar nuestro conocimiento lo máximo posibles.

En el siglo XX la humanidad dio los primeros pasos para alcanzar la conquista del espacio. Esto se logró con el desarrollo de las diferentes carreras espaciales que iniciaron países como Estados Unidos y la Unión Soviética (URSS), que hoy en día es la actual Rusia. Estas surgieron debido a la rivalidad que había entre estos países durante la Guerra Fría, el deseo de obtener mejores resultados y más rápido que el oponente impulsaron ambas carreras, alcanzando logros como el primer hombre que fue al espacio, el ruso Yuri Gagarin, o la llegada a la Luna de la misión Apolo 11.

PRIMEROS SATÉLITES

Los soviéticos fueron los primeros en situar un satélite artificial en órbita, el Sputnik1 (su traducción al castellano es “Satélite”). Se usaron complejo conocimientos de matemáticas y física para poder realizar su lanzamiento y esas han sido las bases para los posteriores lanzamientos de innumerables misiones que le han precedido.

Algunas teorías que usaron para que el lanzamiento de este satélite fueran:

Leyes de Kepler Ecuación del movimiento

central

r= a (1−e2)1+e cosθ

Relaciona la 1ª y 2ª Ley de Kepler

Ecuación de Gauss o de los mínimos cuadrados

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(HTW 0−1H+P0

−1 )ΔX=HT Δ y+( X−X0 ) P0−1

Relaciona las observaciones de la trayectoria con las ecuaciones del movimiento reduciendo de esa manera el error entre amabas.

Después del lanzamiento del Sputnik 1 muchas misiones le precedieron, enviando diferentes tipos de satélites para obtener información sobre el espacio. Se

centraron en diferentes aspectos, entre los que destacaba el deseo de enviar a seres vivos al espacio, estudiar la composición de la atmósfera y sobre todo, la meta de llegar a la luna.

Entre esas misiones destacan el primer satélite meteorológico llamado Vanguard 2 y que Estados Unidos puso en órbita el 17 de Febrero de 1959. Este fue diseñado para estudiar el movimiento de las nubes en la atmósfera y su densidad. Al ser el primer satélite lanzado de esta categoría no estaba preparado para medir durante un periodo de tiempo prolongado.

Unos años más tarde Estados Unidos volvió a lanzar un satélite, pero esta vez su función principal era las comunicaciones. Telstar fue el primer satélite de telecomunicaciones comercial del mundo, fue lanzado el 10 de Julio de 1962 y fue diseñado principalmente para telefonía y comunicaciones de alta velocidad.

En 1964 Estados Unidos también innovó con el lanzamiento de Transit o NAVSAT (Navy Navigation Satellite System), el primer satélite de navegación y predecesor del GPS. Al principio fue usado para la localización de submarinos y elementos militares, pero posteriormente y tras el lanzamiento de misiones similares empezó a tener un uso cotidiano hasta llegar a nuestros días.

SATÉLITES EUROPEOS

La carrera espacial Europea empezó en 1960 con la creación de diferentes agencias espaciales, pero entre ellas destaca la formación de la ESA en el año 1973, la cual sigue en funcionamiento hasta nuestros días, siendo una delas agencias espaciales más importantes del mundo.

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Esta agencia empezó mucho más tarde que en otros países, pero cuentan con un amplio abanico de satélites que proporcionan gran partes de servicios alrededor del mundo. Entre ellos destacan el Meteosat, que proporciona información meteorológica a gran cantidad de países europeos y que ya se encuentra en su tercera generación, que está siendo puesta en funcionamiento este año. Hispasat, que es el primer satélite español de comunicaciones, centrándose en el ámbito comercial y gubernamental. Y por último la misión Galileo, que es el sistema de la ESA equivalente al GPS que se encuentra aún en proceso de finalización estimando este en 2020.

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LEYES DE KEPLERLas Leyes de Kepler son unas de las más importantes leyes de física relacionadas con astronomía que existen. Fueron formuladas por Johannes Kepler para describir el movimiento de las órbitas de los diferentes planetas del sistema solar alrededor del Sol. Las dos primeras leyes fueron formuladas en 1609 y la tercera años después, en 1618.

PRIMERA: LEY DE LAS ÓRBITAS

SEGUNDA: LEY DE LAS ÁREAS

TERCERA: LEY DE LOS PERIODOS

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Los planetas describen órbitas elípticas, encontrándose el sol

en uno de los focos.

El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales

El cuadrado del periodo de cualquier planeta, es

proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

DESARROLLO DE LA TERCERA LEYo La fórmula de la fuerza centrípeta es la fuerza que actúa sobre un cuerpo en

movimiento sobre una trayectoria curvilínea: Fc=mv2

ro La fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitatoria. Fc=Fg

Por tanto:

o Fórmula velocidad orbital de un satélite: v=2πrT

Por tanto:

o C= constante

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mv2

r=GMm

r2 v2=

GMmrr 2

m

( 2πrT )2

=GMr

v2=GMr

4 π2 r2

T 2=GM

T T 2=

4π 2r2

GMr

T 2=4 π2 r3

GM

Sustituimos Simplificamos

Sustituimos Simplificam

os

C= 4π2

GM T 2=4 π2 r3

GM

Periodo revoluciones satélite

Constante gravitacional

Distancia

Masas

T 2=Cr3

EL SISTEMA GPS

El GPS, o Sistema de Posicionamiento Global (Global Positioning Sistema) es un sistema de navegación que consta de 24 satélites que se encuentran en seis órbitas alrededor de la tierra. Originalmente el sistema GPS estaba pensado para uso específico militar para el rastreo de fuerzas enemigas. En los años 80 el gobierno de Estados Unidos lo puso a disposición de la población civil.

Para la localización de un objeto en la Tierra es necesario que al menos cuatro satélites sean capaces de transmitir su posición y hora a un receptor que se

encuentra en la superficie terrestre. El sistema GPS es capaz de acceder a cualquier objeto, incluso a un objeto móvil.

También, a lo largo de los años, ha mejorado considerablemente la cartografía y la topografía de la que

disponemos. Para esto los diferentes satélites realizan barridos de la superficie para la obtención de mapas obteniendo la latitud, longitud y altitud. Otra de sus funciones, y relacionada con la anterior, es establecer rutas para elementos en movimiento, sus usos principales son marítimos o aéreos, pero se ha empezado a aplicar a vehículos terrestres de todo tipo, para ello estos deben

disponer de un ordenador con mapas actualizados.

CÁLCULO DE LA POSICIÓN DE UN OBJETO EN LA SUPERFICIE TERRESTRE

Pi=√(x−x i )2+( y− y i )

2+ ( z−z i )2+bc

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DEFINICIÓN: El sistema GPS permite conocer las coordenadas de un objeto deseado en cualquier momento y con una gran precisión gracias a los cálculos que realizan una serie de satélites que giran alrededor de la Tierra en una órbita geoestacionaria.

Pseudo rango

Ecuación del pseudo rango

? ? ? ? r

Error reloj

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Receptor Receptor (mensaje de

navegación) ti, xi, yi, zi

1. Para poder calcular la posición de un objeto primero obtendremos las ecuaciones del pseudo rango, que contienen información que nos aportan los satélites mediante un mensaje de navegación. Habrá una ecuación por satélite necesitando un mínimo de cuatro (para poder resolver las cuatro incógnitas x, y, z, b).

f ( x , y , z ,b )=(x−xi )2+( y− y i )

2+ ( z−zi )2−(bc−P i )

2

2. Aplicamos mínimos cuadrados en la ecuación principal

min∑i

N

[(x−xi )2+( y− y i )2+( z−zi )

2−(bc−P i )2 ]

H=¿

3. Ecuación de mínimos cuadrados: (HT H )∆ X=HT p

Y se resuelve: ∆ X=(HT H )−1HT p

∆ X tiene x , y , z , b

H tiene x , y , z , b

4. Aplicamos un método iterativo y damos un valor inicial arbitrario (elegido de manera inteligente como un punto cercano que se conozca) hasta acercarnos al valor deseado

∆ X=X K+1−X K=(HT H )−1HT p

X K+1=X K+(HKT H K )−1H K

T p

K=o→X0→H (X0 )=H 0 X1=X0+(H 0T H 0)

−1H 0T p

K=1→X1→H (X1 )=H 1 X2=X1+(H1T H )−1H1

T p

K=2→…

K=3→…

K=K final

Error mínimo aceptable: d K+1=√ (X K+1−X K )2+( yK+1− yK )2+ ( zK+1−ZK )2<error aceptable

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Ecuación principal para mínimos cuadrados

Matriz de observación

No se puede despejar, no tiene solución

cerrada

Diferencia entre dos iteraciones

N

filas

4 columnas

TELECOMUNICACIONES

Para poder realizar la transmisión de la información se hace mediante ondas electromagnéticas. Estas ondas obedecen las leyes descritas por las ecuaciones de Maxwell en el espacio.

∇ · E=0∇× E=−∂ B∂ t ∇ · B=0∇×B=μ0 ϵ 0

∂ E∂ t

Los satélites actúan como repetidores de la señal en el espacio. Se transmite la señal desde la Tierra al espacio y este se encarga de enviarlo a otro satélite o de vuelta a receptores terrestres. De esta manera podemos clasificar los satélites en:

o Satélites pasivos que se limitan a reflejar la señal.o Satélites activos que amplifican la señal antes de retransmitirla de vuelta a la

Tierra.

También puede hacerse una clasificación de satélites de comunicaciones en función de sus tipos de órbitas. Todos los satélites de este tipo se encuentran en orbitas relativamente cercanas a la tierra fuera de la atmosfera.

Satélites LEO (Low Earth Orbit o satélites de órbita baja) que orbitan alrededor de la Tierra a una distancia aproximada de 1000 km y a causa de

su velocidad son capaces de dar una vuelta planeta en aproximadamente en dos horas. Su función básica es proporcionar datos sobre movimientos sísmicos y de las placas tectónicas, pero su uso principal se basa en las comunicaciones.

Satélites MEO (Medium Earth Orbita o satélites de órbita media). La distancia a

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DEFINICIÓN: El término telecomunicación abarca a la técnica de transmisión de información desde un punto hacia otro. Entre este tipo de comunicación podemos encontrar aquellas en las que intervienen los satélites.

Campo eléctrico

Campo magnético

Permisividad eléctrica en el vacío

Permeabilidad magnética en el vacío

la que orbitan es aproximadamente de 10000 km y su uso principal es la telefonía y la televisión.

Satélites HEO (Highly Earth Orbit o de orbita alta). A diferencia de los demás describen na órbita elíptica.

Satélites GEO, describen una órbita geoestacionaria, se destinan a emisiones de televisión y telefonía. La mayoría de las comunicaciones que tenemos hoy en día se basan en este tipo de satélites.

ESQUEMA SOBRE TIPOS DE TELECOMUNICACIONES Y LA FRECUENCIA DE TRANSMISIÓN DE LOS SATÉLITES

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SATÉLITES Y METEREALOGÍA

Existen dos tipos de satélites meteorológicos en función de las órbitas que realizan: los geoestacionarios y los polares.

o Los satélites geoestacionarios:

Giran alrededor de la tierra sobre el ecuador a una altura aproximada de 36000km en lo que se llama órbita geo-síncrona. Transmiten información del hemisferio que se encuentra por debajo de él. La información de estos satélites es la que suele usarse en los medios de comunicación para el pronóstico meteorológico.

Una órbita geoestacionaria es aquella en la cual el periodo orbital (T) tiene la duración de un día sidéreo con lo que el satélite gira a la vez que la Tierra manteniendo su posición fija respecto a esta.

T2

r 3= 4 π

2

GM

r=3√T 2GM4 π 2

Sirve para calcular cualquier orbita de un satélite geoestacionario

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DEFINICIÓN: Los satélites meteorológicos son un tipo de satélites que se usan para supervisar tanto el clima en la tierra como en la atmosfera, además de ser capaces de ver la contaminación.

3ª Ley de Kepler

398600,4418 km3/s2

CÁLCULO DE LA ÓRBITA DE METEOSAT Y DEMÁS SATÉLITES CON LA MISMA ÓRBITA

r=3√T 2GM4 π 2

r=3√ 861642 ·398600,44184 π2=42164 km

h=r−R⊕

h=42164−6378=35786 km

o Los satélites polares:

Orbitan de norte a sur a una altura aproximada de 800 km, pudiendo captar así información de cualquier punto de la Tierra, además de que sus imágenes tienen mayor resolución debido a su proximidad. Este tipo de satélites se utilizan para estudiar los fenómenos climatológicos y su evolución. Estos satélites suelen moverse en órbitas helio-síncronas que mantienen su orientación respecto de la dirección del Sol.

Debido a esto puede ir haciendo barridos de toda la superficie terrestre al combinar el movimiento del satélite con el movimiento de rotación de la Tierra.

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T= 24h 56’ 04’’=86164sGM= 398600,4418

Sustituimos

Radio Tierra

Satélite MSG (METEOSAT SECOND GENERATION) EUMETSAT, Darmstadt, Alemania

CONSEGUIR QUE EL PLANO ORBITAL SIGA LA DIRECCIÓN DEL SOL

Ω=−32J 2[ Re

a (1−e ) ]22 πTcos i

T=2π √ a3

GM→ 2 π

T=√GMa3

Ω=−32J 2

Re2

a2 (a−e )2 √GMa3 cos i

Ω= kcos i

a72

= 360 °365,25días

Un claro ejemplo de esto es MetOp (satélite polar meteorológico de EUMETSAT):

a= 7200km

i= 98,7º

Ω = 1,72·10-4 rad/día =0,98º

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Excentricidad

Inclinación órbita

Semieje mayor

Radio Tierra

Achatamiento Tierra1,082·10-3 e =0 en una órbita

circular

Quieres alcanza el valor para seguir el movimiento del Sol

Gira al día en plano

Satélite MetOpEUMETSAT, Darmstadt, Alemania

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Sala de control de MetOpEUMETSAT, Darmstadt, Alemania

BIBLIOGRAFIA

https://es.wikipedia.org/wiki/Telstar_(sat%C3%A9lite)

http://88.12.30.36/joomla/index.php?option=com_content&view=article&id=184:satelite-atmosferico&catid=56:medio-ambiente&Itemid=88

http://www.monografias.com/trabajos5/graun/graun.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/comsat/comsat.shtml

https://es.wikipedia.org/wiki/Hispasat

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler

https://en.wikipedia.org/wiki/Eccentricity_(mathematics)

http://forum.lawebdefisica.com/entries/251-Demostraci%C3%B3n-de-la-3%C2%AA-ley-de-Kepler-para-%C3%B3rbitas-circulares

http://www.monografias.com/trabajos18/gps-solucion/gps-solucion.shtml

https://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_meteorol%C3%B3gico

https://en.wikipedia.org/wiki/Nodal_precession

http://study.com/academy/lesson/sun-synchronous-orbit-vs-geostationary-orbit.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_meteorol%C3%B3gico

http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-calculate-the-period-and-orbiting-radius-of.html

http://www.esa.int/spaceinimages/Images/2013/11/Satellite_frequency_bands

http://definicion.de/telecomunicacion/

https://ccrma.stanford.edu/~juanig/articles/fundfm/Teoria_FM.html

La enciclopedia del estudiante: 13. Tecnología e Informática ISBN 84-9815-183-X

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