matematicasiesoja.files.wordpress.com · web viewel lenguaje algebraico consta principalmente de...
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UNIDAD DIDÁCTICA 3
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
1. LAS LETRAS EN MATEMÁTICAS: codificación y decodificación.
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS: valor numérico.
3. CLASIFICACIÓN de las expresiones algebraicas.
4. OPERACIONES con polinomios: suma y resta.
5. OPERACIONES con polinomios: multiplicaciones y divisiones.
6. PRODUCTOS NOTABLES: potencias de un polinomio.
http://roble.pntic.mec.es/mdes0029/eda2010/descartes/materiales/
david_tejido_p3/lenguaje_algebraico/lenguaje_algebraico.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/
polinomios/impresos/quincena3.pdf
http://es.scribd.com/doc/19475709/14-Polinomios-Operaciones
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0. EL LENGUAJE ALGEBRAICO.
El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.
La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.
El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
Características del lenguaje algebraico
1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.
2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera.
3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.
El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.
1. LAS LETRAS EN MATEMÁTICAS: codificación y decodificación.
Cómo aparecen las letras en matemáticas
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Para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa con ellas. Una cantidad desconocida se suele representar con alguna letra llamada variable. Ejemplos:
Sea x mi edad. Sea y la edad de mi madre. Entonces y – x son los años que tenía mi madre cuando yo nací.
Como vemos, empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico (ver ecuaciones).
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente: Se usan todas las letras del alfabeto. Letras distintas, cantidades distintas. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es
decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X, Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la
función o expresión algebraica.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.
Codificación y decodificación
Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:
un número cualquieraSe puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:a = un número cualquierab = un número cualquierac = un número cualquiera... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
la suma de dos números cualesquieraa+b = la suma de dos números cualesquierax+y = la suma de dos números cualesquiera
la resta de dos números cualesquieraa-b = la resta de dos números cualesquieram-n = la resta de dos números cualesquiera
la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquieraa-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
el producto de dos números cualesquieraab = el producto de dos números cualesquiera
el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)a/b= el cociente de dos números cualesquiera
la semisuma de dos números cualesquiera(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera
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el semiproducto de dos números cualesquiera(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
2. LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: valor numérico
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.
Las expresiones algebraicas surgen al traducir el impreciso lenguaje ordinario al preciso lenguaje matemático. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas al lenguaje algebraico:
Frase Expresión algebraica
La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número x + 3La diferencia entre un número y 5 a - 54 menos que n 4 - nUn número aumentado en 1 k + 1Un número disminuido en 10 z - 10El producto de dos números a • bDos veces la suma de dos números 2 ( a + b)Dos veces un número sumado a otro 2a + bCinco veces un número 5xEne veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números a b
La suma de dos números x + y10 más que n n + 10Un número aumentado en 3 a + 3Un número disminuido en 2 a – 2El producto de p y q p • qUno restado a un número n – 1El antecesor de un número cualquiera x – 1El sucesor de un número cualquiera x + 1
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3 veces la diferencia de dos números 3(a – b)10 más que 3 veces un número 10 + 3bLa diferencia de dos números a – bLa suma de 24 y 19 24 + 19 = 4319 más que 33 33 + 19 = 52Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10El producto de 6 y 16 6 • 16 = 963 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 312 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5
1. Practicando: expresa en lenguaje algebraico._____________________________________________________________________
Escribe de forma simbólica las siguientes expresiones:
El triple de un número:
El cuádruple de un número:
El séxtuplo de un número:
El óctuple de un número:
El décuplo de un número:
La mitad de un número:
La cuarta parte de un número:
Un quinto de un número:
Los dos tercios de un número:
Las tres quintas partes de un número:
Los ocho séptimos de un número:
Los tres novenos de un número:
Un número es igual a la novena parte de otro:
Un número es igual a la décima parte de otro:
Un número es igual al doble de otro:
Un número es igual al triple de otro:
Un número es cinco veces otro:
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Un número es nueve veces otro:
El cuadrado de un número:
El cubo de un número:
La cuarta potencia de un número:
La quinta potencia de un número:
La raíz cuadrada de un número:
La raíz cúbica de un número:
El cuadrado de un número más su doble:
Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:
o Teresa tiene x años.
o Su hija tiene 25 años menos que ella.
o Su madre tiene el doble de edad que ella.
o Su padre le saca 6 años a su madre.
o Lorenzo tiene 5 años más que Teresa.
Edad
Teresa
La hija
La madre
El padre
Lorenzo
Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:
o La mitad de un número.
o El triple de la mitad de un número.
o La distancia recorrida en x horas por un tren que viaja a 60 Km/h.
o El precio de x kilos de naranjas que cuestan 1´3 € el kilo.
o La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60
cuando nació Pedro.
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o El área de un triángulo de base 1´3 m y altura x metros.
Diferencia entre: El cuadrado de la suma de dos números / La suma del cuadrado de dos números.
El triple de la diferencia de dos números / La diferencia del triple de dos números.
Traduce los siguientes enunciados:
El doble de la tercera parte de un número.
El triple de la mitad de la quinta parte de un número.
La quinta parte de cuádruplo de un número.
2. Practicando: expresa en lenguaje algebraico.
1) El doble de un número menos su cuarta parte.
2) Años de Ana Belén dentro de 12 años.
3) Años de Isabel hace tres años.
4) La cuarta parte de un número más su siguiente.
5) Perímetro de un cuadrado.
6) Un número par.
7) Un número impar.
8) Un múltiplo de 7.
9) Dos números enteros consecutivos.
10) Dos números que se diferencian en dos unidades.
11) El doble de un número menos su quinta parte.
12) El quíntuplo de un número más su quinta parte.
13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.
14) Dos números se diferencian en 13 unidades.
15) Dos números suman 13.
16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.
17) Dos números cuya suma es 25.
18) La cuarta parte de la mitad de un número.
19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho.
20) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona.
21) Repartir una caja de manzanas entre seis personas.
22) Un número es 10 unidades mayor que otro.
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23) Un número menos su mitad más su doble.
24) Un número 5 unidades menor que otro.
25) El cuadrado de un número.
26) Un número y su opuesto.
27) Un número y su inverso.
28) Veinticinco menos el cuadrado de un número.
29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte.
30) Dividir 25 en dos partes.
31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo.
32) La suma de un número con su consecutivo al cuadrado.
33) El cociente entre un número y su cuadrado.
34) La diferencia de dos números impares consecutivos.
35) El producto de un número con su consecutivo.
36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado.
37) Triple de un número elevado al cuadrado.
38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.
39) Roberto es cinco años más joven que Arturo.
40) Antonio tiene 20 euros más que Juan.
41) Carmen supera a Concha en tres años.
42) El precio de “m” libros a 49 euros cada uno.
43) El número que es la cuarta parte del número “y”.
44) Dos múltiplos de tres consecutivos.
45) El 25% de un número.
46) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros.
47) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende
por “b” euros.
48) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros.
49) El número que representa 12 unidades más que el número “x”.
50) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael.
51) El número que representa 20 unidades menos que el número “h”.
52) El número que es tres veces mayor que el número “n”.
Considerando un rebaño de “x” ovejas:
53) Número de patas del rebaño.
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54) Número de patas si se mueren 6 ovejas.
55) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos.
56) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año.
Considerando que Ana tiene “x” euros:
57) Enrique tiene 100 euros más que Ana.
58) Susana tiene el doble de Enrique.
59) Charo tiene 400 euros menos que Susana.
SOLUCIONES
1) 2x− x/42) x + 123) x – 34)x/4x1
5) 4x6) 2x7) 2x + 18) 7x9) x , x + 110) x , x + 211) 2x−x/512) 5xx/513) 2x – 514) x , x + 1315) x , 13 – x16) x – 2217) x , 25 - x18) x/419) x , x+620) x – 321) x/6
31) x2x1
32) xx12
33) x/x2
34) 2x3−2x1
35) x( x + 1)36) x12−x2
37) 3⋅x2
38) 2x2−739) x – 540) x + 2041) x + 342) 49m43) y/444) 3x , 3x + 345) 25/100⋅x46) 8c47) b – a48) 15/p49) x + 1250) 8x51) h – 20
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22) x + 1023) x−x/22⋅x24) x – 525) x2
26) x , -x27) x , 1/x28) 25−x229) x2−x/430) x , 25 – x
52) 3n53) 4x54) 4(x-6)55) x + 1856) xx/41/4⋅xx/4
57) x + 10058) 2(x + 100)59) 2(x + 100) - 400
Control: el lenguaje algebraico.
1. la mitad de un númeroA) 2 · xB) x/2C) x²
2. el doble de un número más tresA) 2x + 3B) 2 · (x + 3)C) x/2 + 3
3. el triple de un número menos cuatroA) x - 3 · 4B) 3 · 4 - xC) 3x – 4
4. la mitad del cubo de un númeroA) 3 · x /2B) 3/2 · xC) x3/2
5. siete menos un númeroA) 7 - 3B) 7 - xC) x – 7
6. el doble de la suma de dos númerosA) 2 · (m + n)B) 2 · m + nC) m + n · 2
7. la edad de una persona hace cinco añosA) 5 - xB) 32 - 5C) x – 5
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Empareja números y letras
8. el cuadrado más el triple de un númeroA) 32 + 3 · xB) x2 + 3 · xC) x + 32
9. la quinta parte del triple de un númeroA) 3 · 5 /xB) 3 · x / 5C) x/3 · 5
10. el triple de la suma de tres númerosA) 3 · (a + b + c)B) 3 + a + b + cC) a + b + c · 3
1.
El anterior de un número A.
5x
2. El doble de un número, más 3 B. x/2 – 4 3. El siguiente de un número C. 3x - 54. El triple de un número D. 2x + 35. El triple de un número menos 5 E. 2x6. La mitad de un número menos 4 F. 2x + 17. Un múltiplo cualquiera de 2 G. x + 18. Un múltiplo cualquiera de 5 H. 2x9. Un número impar I. 3x10. Un número par J. x - 1
1. Dos nºs impares consecutivos. A. x - x2
2. El cuadrado de la + de dos nºs B. 2x3. El triple de un número impar. C. 2y, 2y + 2, 2y + 44. La suma de los cubos de dos nº D. 2a + 15. Resta de un nº y su cuadrado. E. (a + b)2
6. Tres nºs pares consecutivos. F. 2a + 1, 2a + 37. Tres nº naturales consecutivos G. n, n + 1, n + 28. Un número impar. H. 3(2n + 1)9. Un número par. I. 2x +210. Un número par siguiente a 2x J. x3 +y3
1. Dos nºs cuya suma sea 12. K. x + y = 122. El perímetro de un cuadrado. L. x2
3. El perímetro de un rectángulo. M. 4x4. El área de un cuadrado. N. x · y5. El área de un rectángulo. O. x/56. La mitad de n menos 4 unidades P. x - x/2
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7. La mitad de un número. Q. x/28. Reparte dinero entre 5 amigos R. n/2 - 49. Un múltiplo de cinco. S. 5a10. Un nº menos su mitad. T. 2x + 2y
1. (b·h)/2 A. El área de un rectángulo cualquiera.2. 2a+2b B. La edad de Juan dentro de dos años.3. 3x C. la edad de María hace dos años4. 3x+2 D. El área de un cuadrado de lado l.5. 4l E. El perímetro de un triángulo equilátero.6. b·h F. Al triple de un número le sumamos dos unidades.7. l² G. El área de un triángulo cualquiera.8. x(x+1) H. El producto de un número y su consecutivo.9. x+2 I. El perímetro de un rectángulo.10. x-2 J. El perímetro de un cuadrado de lado l.Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. Se trata de una simple sustitución de letras por números para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:
Ejemplo:
Dada la expresión:
Respuesta: 1066
Solución:Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:
9.25 Calcula el valor numérico de:3a – 2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3
Respuesta: 17
9.26 Calcula el valor numérico de:
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Respuesta: 7
9.27 Calcula el valor numérico de:
Respuesta:
9.28 Halla el valor numérico: para a = 3, b = 4 y c = 5 Respuesta:
9.29 Calcula el valor numérico de:
Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4
Respuesta:
Solución:
9.30 Calcula el valor numérico de: Para a = 5 y b = 3
Respuesta:
Solución:Recuerda que si entre paréntesis no hay signos aritméticos, se entiende que se encuentra el signo X.
9.31 Calcula el valor numérico de:
Respuesta: 15
9.32 Calcula el valor numérico de: Para a = 1 y b = 2
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Cuidado con los signos negativos.Respuesta: -3
9.33 Calcula el valor numérico de: Para
Respuesta:
9.34 Halla el valor numérico de:
Respuesta:
3. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Monomios
Un monomio se define como aquella expresión algebraica que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.
Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.
Ejemplos:7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4
– 3x2 = – x2 – x2 – x2
Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.Ejemplos:5x3 = 5 (x) (x) (x)8(– x + 5)2 = 8(– x + 5) (– x + 5)
Polinomios
Un polinomio es así:
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un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos
Están hechos de:constantes (como 3, -20, o ½)variables (como x e y)exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:+ - × sumas, restas y multiplicaciones... ... ¡pero no divisiones!
Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!¿Son polinomios o no?
Estos son polinomios: 3x x - 2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido: x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5) también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios
Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:
¿Cómo te aprendes los nombres? ¡Piensa en bicicletas!
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(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)
“Poli” + “nomios” = Muchos términosLos polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.
¿Qué tienen de especial los polinomios?Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que: Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.
GradoEl grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable. Ejemplo:
El grado es 3 (el mayor exponente de x)
Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).
4. OPERACIONES CON POLINOMIOS: sumas y restas.
Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son términos similares?
Términos similares
"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos.
En otras palabras, términos que "se parecen".
Ejemplos:Términos Por qué son "similares"
7x x -2x porque las variables son todas x
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(1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2
Sumar polinomios
Dos pasos: Pon juntos los términos similares Suma los términos similaresEjemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1
Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1
Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1) = 5x2 + 4x + 4
Sumar en columnasPuedes sumar varios polinomios juntos así.
Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy), (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:2x2 + 6y + 3xy3x2 - 5xy - x 6xy + 5 5x2 + 6y + 4xy - x + 5
Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.
Restar polinomios
Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4xP(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
5. OPERACIONES CON POLINOMIOS: multiplicación y división.
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Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y
como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que
forman el polinomio.3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomiosP(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xSe multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los
elementos segundo polinomio.P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) == 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12xSe obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de
los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es
completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
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Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
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x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división: (x 4 −3x2 +2) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término
independendiente del divisor.4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al
dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.x3 + 3 x2 + 6x +18
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Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) == x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6== x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 == x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) == 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x == 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x == 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) == 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x ++18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 == 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 ++8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 == 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 181Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2R(x) = 6x2 + x + 1S(x) = 1/2x2 + 4T(x) = 3/2x2 +5U(x) = x2 + 2
Calcular:1P(x) + Q (x) == (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) == x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 == x3 + x2+ 6x − 32P(x) − U (x) == (4x2 − 1) − (x2 + 2) == 4x2 − 1 − x2 − 2 == 3x2 − 33P(x) + R (x) == (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) == 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 == 10x2 + x42P(x) − R (x) == 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) == 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 == 2x2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) == (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) == 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 == 3x2 + 11
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6S(x) − T (x) + U(x) == (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) == 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1Q(x) = x3 − 6x2 + 4R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:P(x) + Q(x) − R(x) == (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) == x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 == x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 == −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5P(x) + 2 Q(x) − R(x) ==(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)== x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 == x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 == −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9Q(x)+ R(x) − P(x)== (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) == x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1== 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1== x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
3Dividir los polinomios:
1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
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3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
4 Dividir por Ruffini:
1 (x3 + 2x +70):(x+4)
2(x5 − 32):(x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0
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3 (x4 −3x2 +2 ):(x −3)
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56
F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
3) (3x3 –x + 5) (2x3 +1)4) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)5) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)
6. PRODUCTOS NOTABLES: potencia de un polinomio.
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Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x +2)2
b) (x -1)2
c) (2x +3)2
d) (x +2)(x –2)
e) (2x –1)(2x +1)
f) (3x – y)2
g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
7. BINOMIO DE NEWTON
Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton)Se trata de buscar una regla general para elevar un binomio a cualquier
exponente. Tenemos, por tanto:
Si queremos buscar la cuarta potencia:
Para ver si todos estos desarrollos siguen alguna regla general, vamos a poner sus coeficientes como números combinatorios.
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Como vemos, van siguiendo la siguiente regla general:
De donde se desprenden las siguientes conclusiones:
1.-El desarrollo es un polinomio ordenado, homogéneo y completo en a y b, de grado igual al exponente del polinomio.
2.-Los coeficientes de los términos del desarrollo o “coeficientes binómicos” son números combinatorios, cuyo numerador es igual al exponente n y cuyos órdenes crecen desde 0 hasta n.
3.-El número de términos del desarrollo es igual a n + 1.4.-La parte literal (lo que no es coeficiente) de los términos del desarrollo está
formada por el primero de los monomios elevado a un exponente que es la diferencia entre el numerador y el orden del número combinatorio que lleva por coeficiente, y por el segundo monomio elevado a un exponente igual al orden de dicho número combinatorio.
Por tanto, si queremos hallar un término general que ocupe el lugar m + 1 del desarrollo sin necesidad de hacerlo todo él, podemos aplicar la siguiente fórmula:
Ejemplo: En el desarrollo de , escribir el término que ocupa el lugar 13 del mismo.
Relaciones entre los coeficientes binómicos
Son las siguientes:
1.-Los coeficientes de dos términos equidistantes de los extremos son iguales.Esto se debe a que dichos coeficientes son números combinatorios de igual
numerador y órdenes complementarios y por tanto son iguales.De acuerdo con esto, basta calcular la mitad de los coeficientes.
2.-Cada coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiéndole por el exponente de b en el término que se calcula.
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Triángulo de TartagliaAl estudiar los números combinatorios vimos una propiedad de éstos que
decía: la suma de dos números combinatorios de igual numerador y órdenes consecutivos es igual a otro número combinatorio de numerador una unidad más y el orden del mayor.
Esto nos permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m conocidos los de base m -1 y, por tanto, los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con exponente m, conocido el de desarrollo de la misma potencia con exponente m -1.
En este triángulo aritmético o de Tartaglia están representados los coeficientes de los desarrollos de las potencias de un binomio con exponentes sucesivos 1, 2, 3, 4, 5…, y como vemos, una vez escritas las oblicuas 1, 1, 1,… y según la propiedad antes enunciada, cada elemento es la suma de los dos que lleva encima. En él apreciamos también la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos.
Problema de aplicación. El tercero y el cuarto término del desarrollo de son iguales a 90 y 270. Halla x e y.
Dividiendo miembro a miembro:
valor que sustituido en una de las ecuaciones y resuelta ésta da como soluciones:
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REPASO DE POLINOMIOS
1.- Indica cuál es el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno de los siguientes monomios: a) –3a4c2 b) 12x5y3z2 c) 4/3 x7 d) x3y5 e) 17
2.- Realiza las siguientes operaciones con monomios:a) 3x2y2 . (-4xy2) = b) –5p2q7 . (-6p5) =c) 2/3 a2b3 . 9b4c2 = d) 4x3 – 3x3 =e) 6x4 + 3x5 + 2x4 – x5 = f) 1/3 x6 + 3x6 =g) 7ab2 – 4ab2 = h) 1/3 a3 + 2a3 =i) (3x2y) / (xy) = j) (12x2y3z4) / (4xy2z2) =
3.- Escribe un polinomio de grado 7 cuyo término independiente sea –3, el coeficiente de segundo grado sea 0, y el coeficiente de 5º grado sea 17.
4.- Halla los siguientes valores numéricos:a) p(x)= 4x2-3x-1 para x=2, x=1, x=-3 y x=1/4b) q(x)= -3x2+5 para x=0, x=1/2, x=1 y x=2/3
5.- Dados los polinomios p(x)= 3x3-5x2+2; q(x)= -3x3+12x2+4x-3 y r(x)= 4x3-3/2 x+5, calcula: a) p(x) + q(x) b) q(x) – r(x) c) p(x) – q(x) + r(x)
d) 5.p(x) + 4.q(x) e) 3.p(x) – x.r(x) f) p(x) . (2x2+1)
6.- Calcula los siguientes productos notables:a) (x-6)2 b) (3x+5)2 c) (4x-2) (4x+2)d) (4x-3)2 e) (4x-5) (4x+5) f) (1/2 x – 3)2
7.- Efectúa las siguientes operaciones:a) (x+1)2 – x(x-3)(x+3) – (2x-3)2 =b) (2x-1)2 – x(3x+5)2 + (5x-4)(5x+4) =c) (3x+2)2 – (2x-5)(2x+5) + (x+1)3 =
8.- Completa las siguientes igualdades:(a+b)2 = a2 + ____ + ____ ( ____- x )2 = 9 – 6x + x2
( ____ - ____ )2 = ____ - 110c +121 ( ____ + 1 )2 = t4 + ____ + 1( ____ + ____ ) ( ____ - ____ ) = a2 – b2 ( 2x + 5 ) ( ____ - ____ ) = ____ - _____( ____ - 5x )2 = 144 - ____ + ____ ( 1 + ____ )2 = ____ + ____ + x2
( 4y + ____ )2 = ____ + 8yz + z2 ( ____ - 2 )2 = ____ - 12x + ____( 7n – p ) ( ____ + ____ ) = ____ - p2
9.- Las siguientes expresiones corresponden a desarrollos de productos notables. Encuentra estos productos.a) a2 + 2a + 1 b) x2 + 6x + 9 c) x2 - 4x + 4 d) x2 – 64e) x2 –12x + 36 f) 25x2 – 10xa + a2 g) 100 – 49m2 h) x2 + 4ax + 4a2
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i) 16 – 24y + 9y2 j) 4a2 + 12ay + 9y2 k) 121 – x4 l) 25y2 – 36 x2
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