Cargas de Flambagem e Freqüências de Vibração de Vigas

2014.2 CIV2106 - Instabilidade das Estruturas - Parte II Raul Rosas e Silva Introdução

Aqui é apresentada uma metodologia para cálculo de cargas críticas de flambagem e freqüênciasde vibração de vigas esbeltas (i.e., satisfazendo a aproximação clássica de Euler-Bernoulli). Esteprocedimento pode ser empregado na análise de pórticos planos (com elementos de vigas). Aplanilha é usada para mostrar o cálculo de cargas críticas de flambagem de forma estática edinâmica. Na modelagem do elemento de viga, utilizam-se funções cúbicas convencionais básicas,enriquecidas por um número N de funções adicionais que combinam polinomiais e trigonométricas.Essas funções adicionais satisfazem as condições de contorno nulas em deslocamentos erotações.

Dados iniciais da viga básica (podem assumir outros valores na planilha; podemindicar magnitude de distribuição variável):

E 1 Módulo de elasticidade longitudinal do material [F]/[L]2

M 1 Massa /unidade de comprimento . [M/L]

[L]4I 1 Momento de Inércia da seção transversal

[L]L 1 Comprimento

[F]P 1 Magnitude da Carga Axial

kbase 0 Constante da base elástica

[F]/[L]2

1 3

2 4

Número de funções adicionais: N 3

Geração das funções cúbicas básicas da viga e suas derivadas

Estas funções wP correspondem a deslocamentos unitários em cada um dos 4 graus deliberdade do elemento de viga indicados na figura.

dwP x L( )

6x

L2 6

x2

L3

1 4xL 3

x2

L2

6x

L2 6

x2

L3

2xL 3

x2

L2

wP x L( )

1 3x2

L2 2

x3

L3

x 2x2

L

x3

L2

3x2

L2 2

x3

L3

x2L

x3

L2

ddwP x L( )

6

L212

x

L3

4L

6x

L2

6

L212

x

L3

2L

6x

L2

Gráficos das Funções Básicas das Vigas:

x 0 0.05 1

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.20.40.60.8

1

wP x 1( )1

x0 0.2 0.4 0.6 0.8

00.20.40.60.8

1

wP x 1( )3

x0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.05

0.1

0.15

wP x 1( )2

x0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.15

0.1

0.05

0

wP x 1( )4

x

Geração das funções adicionais

Estas funções wT são a soma de funções cúbicas com a função seno, com a propriedade de valoresnulos das funções e suas primeiras derivadas nas extremidades x=0 e x=L. Desta forma, as funçõesadicionais permitem um refinamento hierárquico, não sendo afetadas pelas condições de contornoessenciais do elemento (deslocamentos e rotações nodais). Para melhorar a aproximação, bastaespecificar um número maior de funções adicionais (as funções básicas permanecem sempre asmesmas).Notar que outras famílias de funções (polinômios de grau maior que 3, p.e.) poderiam ser usadas;basta impor as condições de deslocamentos e rotações nulas nas extremidades para tais funções.Para evitar problemas numéricos com uso de várias funções, pode-se utilizar uma família de funçõesortogonais com respeito à energia de deformação V1.

n 1 N

wT x n L( )n πL

xn π

L22 1( )n x2

n π

L31 1( )n x3

sinn π x

L

dwT x n L( ) nπ

L 2 n π

2 1( )n L2

x 3 n π1 1( )n

L3 x2

cos nπ

L x

nπ

L

ddwT x n L( ) 2 n π2 1( )n

L2 6 n π

1 1( )n L3

x sin nπ

L x

n2

π2

L2

Gráficos das Funções Adicionais:

0 0.2 0.4 0.6 0.8432101

wT x 3 1( )

x

x 0 0.05 1

Integração ao Longo da Barra para Obtenção das Matrizes de Rigidez Elástica, Massa e Rigidez Geométrica

Notar que:

1) as matrizes de rigidez elástica KE (no caso, apenas com energia de flexão), rigidezgeométrica (das tensões) KG ou KS, e massa M, podem ser obtidas, respectivamente, dasenergias V1 (de deformação), proporcional à integral de w"^2, V3 ( das tensões para carga de direção constante = trabalho das cargas),proporcional à integral de w1'^2, e VC (cinética), proporcional à integral de w^2;

2) quando as cargas são conservativas, mas não permanecem de direção e magnitudeconstante no processo de flambagem, é necessário acrescentar a matriz de rigidez (quetambém as vezes é chamada de "geométrica adicional") das cargas KL, associada à energiaV4 (i.e., trabalho das cargas, além do já computado em V3);

3) quando as cargas não são conservativas, é possível gerar a correspondente matriz derigidez das cargas (não-simétrica) com uso de considerações de equílíbrio ou do trabalhoincremental das cargas -dV4 = dW (aqui não é possível integrar, pois não há função deenergia no caso não-conservativo).

KE, KG, M para funções usuais de viga esbelta (polinô

KEusual E I L( )

12 E I

L3

6 E I

L2

12 E I

L3

6 E I

L2

6 E I

L2

4 E IL

6 E I

L2

2 E IL

12 E I

L3

6 E I

L2

12 E I

L3

6 E I

L2

6 E I

L2

2 E IL

6 E I

L2

4 E I

Tomando apenas funções polinomiais básicas wP: Musual E I L M( )M L420

156

22 L

54

13 L

22 L

4 L2

13 L

3 L2

54

13 L

156

22 L

13 L

3 L2

22 L

4 L2

KGusual P L( )

PL

65

110

L

65

110

L

110

L

215

L2

110

L

130

L2

65

110

L

65

110

L

110

L

130

L2

110

L

215

L2

i 1 4 j 1 4 d L

Energia cinética VC -> matriz de massa: MCpi j0

dxM wP x d( )i wP x d( )j

d

Energia da força axial V3 -> matriz geométrica: KGpi j0

dxdwP x d( )i dwP x d( )j

d

KGp

1.2

0.1

1.2

0.1

0.1

0.13333

0.1

0.03333

1.2

0.1

1.2

0.1

0.1

0.03333

0.1

0.13333

Energia de deformação V1 -> matriz de rigidez elástica:KEpi j

0

dxE I ddwP x d( )i ddwP x d( )j

d

Interação entre as funções básicas e as funções adicionais:

i 1 4 j 1 N KEp

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

Massa: MCpti j0

dxM wP x d( )i wT x j d( )

d MCtp MCptT

Rigidez Geométrica: KGpti j0

dxdwP x d( )i dwT x j d( )

d KGtp KGptT

MCp

0.37143

0.05238

0.12857

0.03095

0.05238

9.52381 10 3

0.03095

7.14286 10 3

0.12857

0.03095

0.37143

0.05238

0.03095

7.14286 10 3

0.05238

9.52381 10 3

Rigidez elástica:

KEpti j0

dxE I ddwP x d( )i ddwT x j d( )

d KEtp KEptT

Funções Adicionais

i 1 N j 1 N

Massa: MCti j 0

dxM wT x i d( ) wT x j d( )

d

Rigidez Geométrica: KGti j 0

dxdwT x i d( ) dwT x j d( )

d

Rigidez elástica: KEti j 0

dxE I ddwT x i d( ) ddwT x j d( )

d

Formação das matrizes completas a partir das submatrizes

Massa: Mc augment MCp MCpt Aux augment MCtp MCt Mc stack Mc Aux

Geométrica: Kg augment KGp KGpt Aux augment KGtp KGt Kg stack Kg Aux

Rigidez elástica: KE augment KEp KEpt Aux augment KEtp KEt

KE stack KE Aux Exemplos diversos1o Caso) Viga Engastada e Livre

Condições de apoio:cmola3 0 1020

[F]/[L]

cmola1 1 1020 [F]/[L]

cmola4 0 1020 [F][L]

cmola2 1 1020 [F][L]

Optamos por resolver o problema de autovalores para as freqüencias. Notar que k é a relação entre acarga axial aplicada e a carga crítica da viga: k = 0 corresponde a vibração livre e k = 1 a vibração deuma viga na situação crítica.

k 0.00 P3.14159212

4

E I

L2 k

P 0ωsquare eigenvals Mc 1 KE2 P Kg

ω sort ωsquare

ω

3.51604

22.03971

62.00156

121.95637

466.79795

3.29511 1010

1.6051 1012

2o Caso) Viga Simplesmente Apoiada

Condições de apoio:

cmola1 1 1020 [F]/[L]

cmola2 0 1020 [F][L]

cmola3 1 1020 [F]/[L]

cmola4 0 1020 [F][L]

Imposição das Condições de Apoio:

KE2 KE

i 1 4

KE2i iKEi i

cmolai

Resolvendo o Problema de Autovalores para as freqüencias: Pπ

2 E I

L2k

ωsquare eigenvals Mc1 KE2 P Kg

ω sort ωsquare

ω

9.86941

39.47842

88.82641

240.74345

398.13398

6.23148 1010

6.99828 1010

355.30

π2

35.99942

Nota-se que as freqüências devem se anular para cargas novalor crítico, k = 1. (Por que não é exatamente zero a primeirafrequência nestes exemplos?) Isto fornece um método indiretopara calcular a carga crítica. Um método mais direto para calcular cargas críticas, no casoconservativo, consiste em resolver o problema de autovalorespara Ke2 + P.Kg (i.e., zera-se a contribuição do efeito dinâmico,o que equivale a anular a freqüência).

3o Caso) Viga com diferentes condições de apoio - Cálculo de carga crítica

Condições de apoio:

cmola1 1 1020 [F]/[L]

cmola2 0 1020 [F][L]

cmola3 1 1020 [F]/[L]

cmola4 0 1020 [F][L]

Imposição das Condições de Apoio:

KE2 KE

i 1 4

KE2i iKEi i

cmolai

Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (novamente, ressalte-se que éeliminada a matriz de massa, pois o problema é estático, já que a primeira frequência é nula):

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

9.8696

39.47842

88.82644

309.28057

518.75058

5.99539 1017

1 1020

Notar que para simp. apoiada:d 1

i 1 8

PEulerii π( )2 E I

d2

Para outras condições, uarar comp. de flamb.:

Lfl 1 d PEulerπ

2 E I

Lfl2

PEuler 9.8696

PEuler

9.8696

39.47842

88.82644

157.91367

246.74011

355.30576

483.61062

631.65468

Erro 100Pcritico1

PEuler PEuler

Erro 5.39948 10 14

(em %)

5o Caso) Viga Apoiada em molas - Cálculo de carga crítica

Condições de apoio (molas arbitradas):

cmola112000 E I

d3

[F]/[L]

cmola24 E I

d [F][L]

cmola3 cmola1 [F]/[L]

cmola4 cmola2 [F][L]

Imposição das Condições de Apoio:

KE2 KE

i 1 4

KE2i iKEi i

cmolai

Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (novamente, o problema é estático):

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

20.95873

51.64459

103.67151

393.81751

627.91003

6.00814 103

1.4515 1018

Inclusão de base elástica

Para incluir o efeito de uma base elástica, basta incorporar a energia correspondente, seja comoexterna ou como interna (incluindo na energia de deformação). Tomando k como sendo a constante dabase, obtém-se uma matriz de rigidez já acrescida desse efeito, como mostrado abaixo.

dL1

(parte apoiada na base)kbase 200 π

4 E

I

L4 kbase 0

kbase =0 é usado paracomparações.

Integração ao Longo da Barra

Funções Básicas:

i 1 4 j 1 4

Matriz de rigidez associada à energia de deformação da base: KEkpi j0

dxkbase wP x d( )i wP x d( )j

d

Interação entre as funções básicas e as funções adicionais

i 1 4 j 1 N

Matriz de rigidez associada à energia de deformação da base:

KEkpti j0

dxkbase wP x d( )i wT x j d( )

d KEktp KEkptT

Funções Adicionais i 1 N j 1 N

Matriz de rigidez associada à energia de Deformação da base: KEkti j 0

dxkbase wT x i d( ) wT x j d( )

d

Soma na matriz de rigidez:

KEp KEp KEkp KEpt KEpt KEkpt KEtp KEtp KEktp KEt KEt KEkt

Montagem das Matrizes oriundas das diversas energias

Notar que não foi considerado o efeito geométrico na base. Além disso, foi desprezada a massa dabase elástica. Entretanto, as matrizes Mc e Kg são re-geradas abaixo, mostrando que seria possívelconsiderar a massa da base elástica (relevante, em muitos casos) e o efeito geométrico na base(que parece menos importante).

En. Cinética: Mc augment MCp MCpt Aux augment MCtp MCt Mc stack Mc Aux

En. da Força Axial: Kg augment KGp KGpt Aux augment KGtp KGt Kg stack Kg Aux

En, de Deformação: KE augment KEp KEpt Aux augment KEtp KEt KE stack KE Aux

A seguir, continua-se a apresentação de exemplos.

6o. Caso) Viga Simplesmente Apoiada, sobre base elástica - Cálculo de carga crítica

Condições de apoio:

cmola1 1 1010 [F]/[L]

cmola2 0 1010 [F][L]

cmola3 1 1010 [F]/[L]

cmola4 0 1010 [F][L]

Imposição das Condições de Apoio:

KE2 KE

i 1 4

KE2i iKEi i

cmolai

Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (problema é estático):

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

9.8696

39.47842

88.82644

309.28057

518.75058

5 109

2.36532 1018

Notar que i 1 8

Panaliticoii2 kbase

L4

i2 π4

E I

π2

EI

L2

Panalitico

9.8696

39.47842

88.82644

157.91367

246.74011

355.30576

483.61062

631.65468

Deve-se observar que no caso da base elástica surgem problemasnuméricos com mais facilidade devido ao modo de translação rígidainteragir com a base elástica.

7o. Caso) Viga em balanço, carga dirigida para o apoio - Cálculo de carga crítica

Condições de apoio:

cmola1 1 1010 [F]/[L]

cmola2 1 1010 [F][L]

cmola3 0 1010 [F]/[L]

KE2 KEcmola4 0 1010 [F][L]

i 1 4

KE2i iKEi i

cmolaiImposição das Condições de Apoio:

Resolvendo para a carga crítica de direção constante (problema é estático):

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

2.46741

22.21443

61.95801

132.83458

410.41774

2.99917 1011

5.09313 1042

Notar que

i 1 8 Panaliticoi2 i 1( )2 π

2 E I

4 L2

Panalitico

2.4674

22.20661

61.68503

120.90265

199.85949

298.55553

416.99079

555.16525

Matriz de rigidez da carga dirigida para ponto a distância c (4 graus de liberdade convencionais):c L (se dirigida para o apoio)

Matriz geométrica corrigida:Kcarga

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1c

0

0

0

0

0

i 1 4 j 1 4

Kgi jKgi j

Kcargai j

Resolvendo para a carga crítica (notar que o problema é estático, Kcarga é simétrica):

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

9.8696

39.47842

88.82644

309.28047

518.75024

3.00251 1011

3.33056 108

Notar que a carga crítica é 4 vezes maior que no caso anterior.Se o sinal de Kcarga é invertido, observa-se que Pcritico = -1.35853

8o. Caso) Viga em balanço, carga tangente ("follower" ) - Cálculo de carga crítica

Condições de apoio:

cmola1 1 1015 [F]/[L]

cmola2 1 1015 [F][L]

cmola3 0 1010 [F]/[L]

KE2 KEcmola4 0 1010

[F][L]i 1 4

Imposição das Condições de Apoio: KE2i iKEi i

cmolai

Retirada da matriz geométrica do caso anterior:i 1 4 j 1 4

Kgi jKgi j

Kcargai j

Matriz de "rigidez" da carga tangente ou seguidora (4 graus de liberdade convencionais):

Matriz geométrica corrigida:

i 1 4 j 1 4Kcarga

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

Kgi j

Kgi jKcargai j

Resolvendo como se fosse estático o problema:

InvPcritico eigenvals KE21

Kg

Pcritico sort InvPcritico 1

Pcritico

48.01316 78.33998i

48.01316 78.33998i

5.70126 1018

6.40948 1016

26.08427 52.71762i

26.08427 52.71762i

50.27425

Este resultado confirma o resultado da análise da equação diferencial estática, que indica não existir carga crítica finita real. Abaixo, fazemos o cálculo dinâmico que mostra a existênciade carga crítica de flutter.

Resolvendo repetidamente para as freqüencias, com P crescente:

k 0.99999P 20.051775E I

L2 k

ωsquare eigenvals Mc1 KE2 P Kg

ω

9.86941

39.47842

88.82641

240.74345

398.13398

6.23148 1010

6.99828 1010

ω sort ωsquare

Com o crescimento da carga, a primeira e a segunda freqüênciasse aproximam (valores para P=0: 3.52 e 22.0), coincidem ao seatingir a carga crítica e a seguir passam a ter uma parcelaimaginária, o que indica uma vibração de amplitude crescente(com frequência aproximadamente 3.1 vezes a primeirafreq.natural, no caso de n).

Video de flutter da PUC: https://www.youtube.com/watch?v=dVSSSsWDlt4&feature=youtu.be&t=1m7s

Comparação entre matrizes de rigidez e geométricas com interpolação cúbica e as oriundas da solução analítica da equação diferencial da viga-coluna

KE E I L( )

12 E I

L3

6 E I

L2

12 E I

L3

6 E I

L2

6 E I

L2

4 E IL

6 E I

L2

2 E IL

12 E I

L3

6 E I

L2

12 E I

L3

6 E I

L2

6 E I

L2

2 E IL

6 E I

L2

4 E I

KG P L( )PL

65

110

L

65

110

L

110

L

215

L2

110

L

130

L2

65

110

L

65

110

L

110

L

130

L2

110

L

215

L2

A solução analítica da eq. diferencial homogênea da viga-coluna (P é positivo quando de tração) émostrada abaixo. Notar que no caso de tração surgem funções hiperbólicas, e no caso decompressão surgem funções trigonométricas.

w x( ) A B x C exp k x( ) D exp k x( )=

dw x( ) B C k exp k x( ) D k exp k x( )=

onde k

PE I

= (de maneira a ter P < 0 para compressão)

Com base na solução acima, podemos obter a matriz de rigidez aplicando deslocamentos unitários nascoordenadas convencionais e computando as forças nodais correspondentes (refs.: Weaver e Gere,Matrix Analysis of Structures, 3rd. ed.; Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, 2nd. ed.; Bazant eCedolin, Stability of Structures). A matriz de rigidez também poderia ser obtida com o uso de funções de forma, que seriam obtidas pelatransformação dos parâmetros A, B, C, D para os graus de liberdade w(0), w'(0), w(L), w'(L), umprocedimento simples mas levando a matrizes um tanto complicadas, como indicado abaixo.

q1

q2

q3

q4

w 0( )

dw 0( )

w L( )

dw L( )

=

1

0

1

0

0

1

L

1

1

k

exp k L( )

k exp k L( )

1

k

exp k L( )

k exp k L( )

A

B

C

D

=

Por qualquer método, a matriz deve resultar como indicado abaixo (Weaver e Gere, p. 429).

Εc 2 2 cos k L( ) k L sin k L( )=

K2 E I

L3

6 s1

3 L s2

6 s1

3 L s2

3 L s2

2 L2 s3

3 L s2

L2 s4

6 s1

3 L s2

6 s1

3 L s2

3 L s2

L2 s4

3 L s2

2 L2 s3

=

com

s1k L( )3 sin k L( )

12 Εc=

s2k L( )2 1 cos k L( )( )

6 Εc=

As expressões ao lado valem para força decompressão (P<0). Para tração, invertem-se ossinais de s2, s3 e s4, substituem-se as funções sin ecos por sinh e cosh, e toma-se

s3k L sin k L( ) k L cos k L( )( )

4 Εc= Expandindo em série a matriz K, em torno de k=0,

obtemos como primeiro termo a matriz de rigidezelástica convencional, e como segundo termo a matrizgeométrica para interpolação cúbica. Termos de ordemsuperior podem ser usados para montar matrizesgeométricas melhoradas para quando se desejamodelar a viga-coluna por um único elemento (isto teriavantagens discutíveis). Por exemplo, no caso de K11obtemos o resultado abaixo.

s4k L k L sin k L( )( )

2 Εc=

Εt 2 2 cos k L( ) k L sin k L( )=

zP L2E I

=

s1z

32 sin z

12 2 2 cos z z sin z = 1

110

z1

8400z2

1756000

z3 O z4 =

Logo, K1112 E I

L31

110

P L2E I

...

= 12 E I

L365

PL ...=

Uma observação semelhante pode ser feita com relação à matriz de massa. Quando se utilizam asfunções convencionais cúbicas, obtêm-se uma aproximação da matriz "exata" para análise devibrações ('chamada por Clough e Penzien de "rigidez dinâmica" - mas cuidado com essa formulação, pois há problemas de singularidade envolvidos - caso de freqüências correspondendoa modos internos).

Matriz geométrica de uma barra de treliça ou segmento de cabo

No caso de uma barra sujeita apenas a alongamento/encurtamento (barra de treliça ou segmento decabo), o campo de deslocamentos convencional é uma função linear dos deslocamentos nodais.

A 1 Área da seção transversal da barra

uP x L( )

1xL

0

xL

0

duP x L( )

1L

0

1L

0

wP x L( )

0

1xL

0

xL

dwP x L( )

0

1L

0

1L

A energia de deformação V1 agora provém apenas da deformação axial ( derivada do deslocamentou, associado aos deslocamentos nodais 1 e 3). Já a energia V3 (de segunda ordem), associada aoefeito da força axial, está associada às mudanças de ângulo (derivada do deslocamento w, associadoaos deslocamentos 2 e 4). Não há necessidade de funções adicionais para o cálculo da matrizgeométrica da barra de treliça. Tais funções seriam necessárias, no entanto, para o estudo devibrações longitudinais. Naturalmente, existe ainda interesse prático no comportamento à flexão dasbarras, o que exigiria inclusão de deslocamentos transversais de viga.

Integração ao Longo da Barra

Funções Básicas:

i 1 4 j 1 4 d 1

Energia Cinética: MCpi j0

dxM wP x d( )i wP x d( )j uP x d( )i uP x d( )j

d

Energia da Carga Axial: KGpi j0

dxdwP x d( )i dwP x d( )j

d

Energia de Deformação:KEpi j

0

dxE A duP x d( )i duP x d( )j

d

Montagem das Matrizes

Energia Cinética: Mc MCp

Energia da Carga Axial: Kg KGp

Energia de Deformação: KE KEp

Kg

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

KE

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

Mc

0.33333

0

0.16667

0

0

0.33333

0

0.16667

0.16667

0

0.33333

0

0

0.16667

0

0.33333

Em forma literal, obtemos as expressões abaixo.

KEE AL

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

=Mcρ A L

6

2

0

1

0

0

2

0

1

1

0

2

0

0

1

0

2

= KgPL

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

=

É importante observar que uma carga do tipo "dirigida para um ponto " corresponde a uma barra detreliça ou cabo, sujeita a uma força axial, ligada aos pontos de aplicação e origem da carga. Assim,uma energia do tipo V4 (associada ao efeito de segunda ordem carregamento) pode ser consideradaequivalente a uma do tipo V3 (seg. ordem, interna, associada às tensões), e vice-versa. Na literaturahá diversos resultados contraditórios, devido a desatenção com este aspecto.

Tópicos adicionais

Variação de Inércia ou propriedades do material ao longa da viga: tomamos EI = função de x nasintegrais acima.Variação de carga: tomamos P(x) = p multiplicado por função de x. Entrando com p unitário nasintegrais da energia V3, o resultado para o autovalor será a magnitude crítica da carga.Vigas não-esbeltas: é necessário introduzir graus de liberdade correspondendo ao cisalhamentoou adotar rotações da seção independentes das translações, e adicionar a energiacorrespondente ao cisalhamento (pode ser suficiente tomar como primeira aproximação desseefeito apenas a contribuição em V1).Não-linearidade do material, em primeira aproximação: podemos tomar E como função de umparâmetro de carga p, e admitir Etang = dE/dp. Se houver uma aproximação linear para Etang,então haverá uma matriz elástica adicional, proporcional a p, a ser introduzida no problema deautovalor. Isto acontece pois a energia V1 passa a ter uma contribuição de 2a. ordem, similar àgeométrica.Não-linearidades do material ou do comportamento da carga: no caso de uma aproximaçãoquadrática da energia (ou seja, linear das matrizes envolvidas na formulação tangente) não sersuficiente, pode-se resolver incrementalmente o problema não-linear de autovalor. Ou seja,atualizam-se as matrizes e verificam-se os pivôs da decomposição de Gauss a cada passo decarga.

ômio cúbico, vide literatura)