М.И. Курячий - tu.tusur.rutu.tusur.ru/upload/liblink/cos.pdf · ЦИФРОВАЯ...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение выс-шего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» (ТУСУР)

Кафедра телевидения и управления

М.И. Курячий

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Учебное методическое пособие

2012

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

http://www.novapdf.com/


2

Курячий М.И.

Цифровая обработка сигналов: Учебное методическое пособие. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2012. 73 с.

Учебное методическое пособие по дисциплине «Цифровая обработка сигна-лов» предназначено для студентов, обучающихся с использованием дистан-

ционных технологий обучения, и содержит методические указания по органи-зации самостоятельной работы при изучении данной дисциплины.

Приведены примеры решения задач, организация выполнения лабораторного практикума, контрольных работ и курсового проекта.

Курячий Михаил Иванович, 2012




3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................................................................5 1. Содержание учебно-методического и программного обеспечения................5 2. Список рекомендуемой литературы.................................................................6 3. Организация выполнения лабораторного практикума....................................7

3.1. Требования к персональному компьютеру и программному обеспечению для выполнения лабораторного практикума.......................8

3.2. Особенности выполнения лабораторных работ......................................12 3.2.1. Особенности выполнения лабораторной работы № 1 .....................12 3.2.2. Особенности выполнения лабораторной работы № 2 .....................13 3.2.3. Особенности выполнения лабораторной работы № 3 .....................13 3.2.4. Особенности выполнения лабораторной работы № 4

(разделы 1, 2, 3)..................................................................................14 3.3. Оформление отчетов.................................................................................14

4. Организация выпонения контрольных работ.................................................15 4.1. Контрольная работа №1 ...........................................................................16

4.1.1. Основные формулы для анализа характеристик ЦФ .......................16 4.1.2. Примеры решения задач....................................................................19 4.1.3. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа №1) ......21

4.2. Контрольная работа № 2 ..........................................................................26 4.2.1. Основные формулы для исследования эффектов квантования

в цифровом рекурсивном фильтре второго порядка (ЦРФ2П) .......26 4.2.2. Устойчивость ЦРФ2П........................................................................28 4.2.3. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа №2) ......31

4.3. Контрольная работа № 3 ..........................................................................33 4.3.1. Примеры решения задач по цифровой обработке изображений.....33 4.3.2. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа №3) ......36

5. Методические указания по курсовому проектированию ..............................45 5.1. Варианты индивидуальных заданий........................................................45 5.2. Основные формулы для синтеза цифровых фильтров ...........................47 5.3. Примеры расчетов и оформления курсового проекта ............................49

5.3.1. Синтез цифрового фильтра Баттерворта методом инвариантного преобразования ИХ..................................................49

5.3.2. Синтез ЦФ методом отображения дифференциалов .......................51 5.3.3. Синтез ЦФ методом билинейного преобразования .........................52 5.3.4. Синтез ЦФ по методу Z-форм...........................................................53 5.3.5. Преобразование частотных свойств ЦФ...........................................55

5.3.5.1. Преобразование ФНЧ в ФНЧ1 ...................................................55 5.3.5.2. Преобразование ФНЧ в ФВЧ......................................................57 5.3.5.3. Преобразование ФНЧ в ПФ........................................................59

5.3.6. Нахождение нулей и полюсов...........................................................61




4

5.3.7. Проверка условия устойчивости фильтра ........................................62 5.3.8. Расчет первых 10 отсчетов импульсной и переходной

характеристик, выражение для системной функции и АЧХ ЦФ .......63 5.3.9. Структурная схема фильтра для прямой и канонической форм

реализации..........................................................................................65 5.3.10. Алгоритм обработки фильтра для прямой и канонической

форм реализации и объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала .................................................................66

5.3.11. Расчет среднеквадратического значения шума квантования всех источников .................................................................................66

5.3.12. Изменение значений нулей, полюсов и частотной характеристики при изменении коэффициентов ЦФ.......................71




5

ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Цифровая обработка сигналов» (ЦОС) объединяет в себе

новые фундаментальные идеи по обработке одномерных и двумерных сигна-лов с высокими технологиями их реализации на базе цифровых сигнальных процессоров. Задачей дисциплины ЦОС является обеспечение подготовки студентов в области обработки сигналов в радиотехнических системах и уст-ройствах, в том числе аудио- и видеосигналов на основе:

- изучения математических методов и алгоритмов, применяемых в со-временных и перспективных цифровых устройствах обработки сигналов;

- ознакомление с принципами и средствами реализации алгоритмов ЦОС и элементами систем проектирования.

В результате изучения дисциплины студент должен знать: - методы и средства дискретизации и квантования сигналов и ошибки,

порождаемые этими процессами; - методы построения линейных одномерных и двумерных систем обра-

ботки дискретных и цифровых сигналов, характеристики таких систем; - методы синтеза цифровых устройств обработки сигналов; - особенности построения, основные характеристики цифровых процес-

соров обработки сигналов и принципы проектирования систем на их основе. Студент должен уметь: - анализировать частотные, временные и точностные характеристики

систем ЦОС; - рассчитывать передаточные системные функции цифровых фильтров

(ЦФ); - синтезировать цифровые фильтры с заданными временными, частот-

ными и точностными характеристиками; - проектировать ЦФ на базе цифровых сигнальных процессоров; - пользоваться пакетами прикладных программ.

1. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО

И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

В комплект учебно-методического и программного обеспечения (УМПО) по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» входят:

- учебное пособие; - лабораторный практикум для выполнения 6 компьютерных работ; - данное учебное методическое пособие; - компакт-диск с компьютерными обучающими программами (КОП) к

лабораторному практикуму. По учебным планам дисциплина ЦОС изучается студентами следующих

специальностей:




6

- 210312 «Аудиовизуальная техника» с отчетностью – 4 лабораторных работы, 3 контрольных работы, экзамен, курсовой проект;

- 210303 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура» с отчетностью – 4 лабораторных работы, 3 контрольных работы, экзамен, курсовой проект;

- 100101 «Сервис» (специализация – «Сервис электронных систем безо-пасности») с отчетностью 4 лабораторных работы, 3 контрольных работы, эк-замен, курсовой проект;

- 210302 «Радиотехника» с отчетностью – 4 лабораторных работы, 3 контрольных работы, экзамен.

К основным разделам дисциплины ЦОС, по которым студент проходит итоговую аттестацию (сдает экзамен), относятся следующие вопросы:

1. Математическое описание цифровых сигналов и систем. 2. Цифровые фильтры и их характеристики, формы реализации и приме-

ры построения цифровых фильтров. 3. Квантование сигналов, коэффициентов фильтра и результатов вычис-

лений при ЦОС. Методы уменьшения ошибок квантования и округления дан-ных.

4. Методы синтеза цифровых фильтров по заданному аналоговому фильтру-прототипу или временным, либо частотным характеристикам.

5. Преобразования частотных характеристик ЦФ. Методы синтеза циф-ровых фильтров с КИХ.

6. Цифровая обработка изображений. Двумерные линейные фильтры. Ре-курсивная обработка изображений.

7. Нелинейная (ранговая) обработка изображений. Интерполяция и де-цимация двумерных сигналов.

8. Специализированные устройства для цифровой фильтрации данных. Аппаратное построение цифровых фильтров с КИХ и БИХ.

9. Цифровое сжатие видеосигналов. Пространственная и временная из-быточность. Внутрикадровое кодирование.

10. Стандарты MPEG. Двунаправленное кодирование. Типы данных и структура цифрового потока.

2. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Список литературы, необходимый для успешного освоения дисциплины «Цифровая обработка сигналов», приведен в учебном пособии по ЦОС и в каждом из 6 описаний работ лабораторного практикума. Учитывая то, что не все литературные источники будут доступны студентам, приведем сокращен-ный список литературы, состоящий в основном из ранее изданных учебных пособий и задачников [1-5].




7

Основная литература 1. Курячий М.И. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для ву-

зов с грифом УМО. – Томск: ТУСУР, 2009. – 190 с. – ISBN 978-5-86889-286-8. – 60 экз. (анл (5), счз1 (3), счз5 (2), аул (50)).

2. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / А.В. Оппенгейм, Р.В. Шафер; пер.: С.А. Кулешов; ред. пер.: А.С. Ненашев. – М.: Техносфера, 2006. – 855 с. – 70 экз. (анл (8), счз1 (1), счз5 (1), аул (60)).

Дополнительная литература 3. Цифровая обработка изображений: пер. с англ. / Р.С. Гонсалес, Р.Э.

Вудс; пер. П.А. Чочиа. – М.: Техносфера, 2005. – 1070 с. – ISBN 5-94836-028-8. – 11 экз. (анл (3), счз1 (1), счз5 (1), аул (6)).

4. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB: Пер. с англ. / Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс; пер. : В.В. Чепыжов. – М.: Техносфера, 2006. – 615 с. – ISBN 5-94836092-X. – 30 экз. (анл (5), счз1 (1), счз5 (1), аул (23)).

5. Цифровое телевидение в видеоинформационных системах: моногра-фия / А.Г. Ильин, Г.Д. Казанцев, А.Г. Костевич, М.И. Курячий, И.Н. Пустынский, В.А. Шалимов. – Томск: ТУСУР, 2010. – 465 с. – ISBN 978-5-86889-540-1. – 50 экз. (анл (5), счз1 (3), счз5 (2), аул (40)).

3. ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОГО

ПРАКТИКУМА

Лабораторный практикум состоит из четырёх лабораторных работ. В со-ответствии с учебными планами по специальностям 210312 «Аудиовизуаль-ная техника», 210303 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», 100101 «Сер-вис» (специализация – «Сервис электронных систем безопасности») и специ-альности 210302 «Радиотехника» необходимо выполнить четыре лаборатор-ные работы. Каждая лабораторная работа имеет теоретическую часть, описы-вающую основные понятия. Однако перед ее прочтением следует изучить со-ответствующие разделы учебного пособия и дополнительную литературу по теме выполняемой работы. Полученные таким образом знания необходимо будет применить как при выполнении практической части работы, так и при составлении выводов.

Кроме теоретической части каждая работа имеет практическую часть, описывающую задания, а также порядок и способы их выполнения. Перед выполнением этой части следует внимательно и полностью ее прочесть и прояснить для себя все непонятные моменты.

Ниже приведены названия лабораторных работ: № 1. «Анализ характеристик цифровых фильтров для обработки одно-

мерных сигналов». № 2. «Синтез цифровых фильтров для обработки одномерных сигналов». № 3. «Цифровая обработка двумерных сигналов».




8

№ 4 (раздел 1). «Цифровая линейная фильтрация изображений». № 4 (раздел 2). «Цифровая нелинейная обработка изображений». № 4 (раздел 3). «Цифровые методы коррекции изображений». 3.1. Требования к персональному компьютеру и программному

обеспечению для выполнения лабораторного практикума

Первые две работы выполняются в системе математического моделирования MathCAD 6.0 фирмы MathSoft Inc, поэтому требования к используемому для выполнения лабораторных работ персональному компьютеру обусловлены требованиями этой системы, а именно:

персональный PC-совместимый компьютер на основе процессоров фирмы Intel (начиная с 80486) или совместимых. Арифметический сопроцес-сор не обязателен, но его наличие существенно увеличивает производитель-ность ПК;

не менее 8 Мбайт оперативной памяти для работы системы MathCAD и объем оперативной памяти в 16 – 32 Мбайт для нормального функциониро-вания операционной системы Windows, а именно, 8 Мбайт для Windows 95, не менее 16 Мбайт для Windows NT 4.0, как минимум, 32 Мбайта для Windows 98;

жесткий диск емкостью не менее чем 20 Мбайт свободного простран-ства для файлов системы MathCAD;

дополнительные 3 Мбайта свободного пространства на том диске (или разделе диска), на котором установлена операционная система Windows;

не менее 12 Мбайт виртуальной памяти для свопинга. Задание объема виртуальной памяти описано в руководстве пользователя Windows;

монитор и видеокарта, совместимые с Windows и способные поддер-живать палитру не менее 256 цветов;

мышь, работающая под Windows. На используемом компьютере также должно быть установлено следую-

щее программное обеспечение: Windows 95 или более поздняя версия, или Windows NT версии 4.0,

или более поздней; текстовый процессор Word 7 (Word 95) для чтения электронной версии

методических указаний к лабораторным работам; система MathCAD версии 6.0 или более поздней; утилита аrj.exe для разархивации файлов описания лабораторных работ. Третья лабораторная работа выполняется на персональном компьюте-

ре под управлением операционной системы Windows (основной вариант), дисковой операционной системой DOS или при выгруженной графической оболочке Windows (желательный вариант). Это связано с тем, что лаборатор-ная работа содержит исполняемые утилиты, первоначально разработанные




9

под дисковую операционную систему DOS. К ним относятся утилиты про-смотра изображений, суммирования-вычитания и набора статистики и т.д.:

Содержимое каталога C:\YI

10.08.02 15:08 <КАТАЛОГ> . 10.08.02 15:08 <КАТАЛОГ> .. 01.12.95 17:37 51 892 CUT.EXE 01.06.99 07:03 15 579 EDIT.EXE 01.12.95 17:35 38 234 FIR.EXE 01.12.95 17:35 56 334 NORM.EXE 01.12.95 17:35 52 720 PT.EXE 01.12.95 17:34 28 285 RANG.EXE 01.12.95 17:36 50 037 STAT.EXE 01.12.95 17:35 34 136 SUM.EXE 10 файл(а,ов) 327 217 байт

Для установки лабораторной работы №3 по основному варианту в Windows запускается файл Startlab.bat из папки на CD L:\LAB3_WIN:

if not exist c:\ goto M1 set path=c:\lab3\bat;c:\lab3\bin;%path% set yi=c:\lab3\bin lab3.exe -y c:\ c: goto M3 :M1 set path=d:\lab3\bat;d:\lab3\bin;%path% set yi=d:\lab3\bin lab3.exe -y d:\ d: :M3 cd \lab3 if not exist «c:\Program Files\Far\Far.exe» goto M4 «c:\Program Files\Far\Far.exe» goto endlab :M4 if not exist «d:\Program Files\Far\Far.exe» goto M5 «d:\Program Files\Far\Far.exe» goto endlab :M5 vc :endlab




10

В результате установки и само разархивации файла lab3.exe должна поя-виться папка C:\lab3. Ее содержимое:

Содержимое каталога C:\lab3

10.08.02 14:58 <КАТАЛОГ> . 10.08.02 14:58 <КАТАЛОГ> .. 10.08.02 14:58 <КАТАЛОГ> BAT 10.08.02 14:58 <КАТАЛОГ> bin 11.12.96 15:09 65 408 IM.DAT 07.12.99 18:05 346 112 LAB_3.DOC 05.02.96 09:12 65 408 LENA.DAT 11.12.96 15:10 65 408 N.DAT 11.12.96 15:55 110 720 TV.DAT 9 файл(а,ов) 653 056 байт

Работа готова к выполнению. По второму варианту каталог LAB3_DOS с CD переписывается сначала

на дискету ( привод a:), а затем запускается файл a:\LAB3_DOS\startup.bat. За-тем компьютер перезагружаетя в режиме эмуляции MS-DOS и запускается файл c:\LAB3\BAT\lab3m.bat. Лабораторная работа готова к выполнению. В каталоге LAB3_DOS имеется справка readme.txt. Ее содержание:

1. Запустить с дисковода a:\LAB3_DIS\Setup.bat Появятся каталоги: c:\BAT; c:\DSP; c:\LAB3;

c:\YI и архив с описанием ЛР в Word97: c:\LAB_3.arj

В файле autoexec.bat появятся новые строки: path=c:\bat; c:\yi; ... set yi=c:\yi 2. Перезагрузить компьютер (лучше в режиме

эмуляции MS-DOS) 3. Запустить bat-файл: c:\BAT\lab3m.bat При этом появятся все необходимые файлы в

c:\LAB3\*.* 4. Если нет nc.exe, запустить vc.exe или работать

в режиме командной строки. Лабораторную работу проделать в директории

c:\LAB3 5. Новую лабораторную работу начинать с п.3

Четвертая лабораторная работа (разделы 1, 2, 3) выполняется само-

стоятельно посредством имеющихся BAT и EXE файлов в соответствующих каталогах. Прежде чем выполнять эту работу, следует внимательно прочесть все текстовые файлы, имеющиеся в соответствующих каталогах. Отчётность производится по результатам выполнения всех трёх разделов лабораторной работы.




11

Требования к компьютеру: - IBM PC совместимый компьютер с процессором 80486 и выше; - 10 Mb свободного пространства на жестком диске; - 32 Mb и выше оперативной памяти (зависит от типа используемой OC); - видеодаптер с поддержкой отображения 16 млн. цветов и разрешения

экрана 640х480; - OC: Windows 95, Windows 98, Windows NT 4.0, Windows 2000. Внимание! Для работы с ОС Windows NT 4.0, Windows 2000 пользователь должен

иметь права Администратора системы или привилегированного пользователя. В процессе работы программ создаются временные директории в директории WINNT, которые необходимы для работы программ. Обычные пользователи обычно не имеют прав для создания файлов или директорий в директории WINNT.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММ Исполняемые файлы для лабораторной работы №4 (разделы 1, 2, 3, соот-

ветственно) имеют следующие названия: Labor1.exe; Labor2.exe; Labor3.exe.

Каждая программа лабораторной работы располагается в своей директо-рии, внутри которой находятся:

- файлы компонентов программы; - исполняемый файл программы, например Labor1.exe; - файл конфигурации программы, например Labor1.ini; - поддиректория «Bin» - файлы описания и файлы изображений; - поддиректория «Xtras» - файлы компонентов программы.

УСТАНОВКА ПРОГРАММ Установка лабораторных программ производится простым копированием

всей директории, содержащей лабораторную работу на жесткий диск компь-ютера.

Внимание! Если копирование файлов производится с CD-ROM, по окончании про-

цедуры копирования необходимо сбросить файловый атрибут «Read only» или «Только для чтения» для всех скопированных файлов, в том числе и фай-лов находящихся в поддиректориях. По умолчанию, все файлы находящиеся на CD-ROM имеют установленный атрибут и при копировании на жесткий диск этот атрибут остается установленным.




12

НАСТРОЙКА ПРОГРАММ Для настройки используется текстовый файл конфигурации, который

имеет имя, как у исполняемого файла, и расширение *.ini (например Labor1.ini), файл конфигурации и исполняемый файл располагаются в одной и той же директории. Для настройки программы необходимо открыть файл конфигурации в любом текстовом редакторе (например, в блокноте), и оты-скать в нем следующие строки:

[FileLocationPath] С:\Lab1

Во второй из найденных строк необходимо указать абсолютный путь к директории, куда скопирована (установлена) лабораторная работа, так как указано выше. После правки файла необходимо сохранить изменения.

В примере выше директория с лабораторной работой №4 была скопиро-вана на локальный диск С: в директорию Lab1.

ЗАПУСК ПРОГРАММ Для запуска программы необходимо открыть соответствующую папку и дважды кликнуть по исполняемому файлу для запуска про-граммы. Для упрощения запуска лабораторных работ можно создать на «Рабочем

столе» компьютера ярлык для исполняемого файла. Для справки по созданию ярлыка обратитесь к помощи операционной системы.

3.2. Особенности выполнения лабораторных работ

Все лабораторные работы желательно выполнять под руководством пре-подавателя, знающего как цифровую обработку сигналов и изображений, так и пакеты прикладных программ MathCAD, OTHEWARE. При самостоятель-ном выполнении лабораторных работ, прежде всего, нужно изучить пакет MathCAD, например, по литературе [8] и, особенно, работу символьного процессора [9, 10]. Знание пакета MathCAD необходимо для выполнения первой и, особенно, второй лабораторных работ.

3.2.1. Особенности выполнения лабораторной работы №1 Собственно работа начинается с пункта 2. Определенную трудность

представляет нахождение численных значений коэффициентов цифровых фильтров ai, bj.

Для этого представим системную функцию в виде:

...1...

1)( 3

32

21

1

33

22

110

1

0

zbzbzbzazazaa

zb

zazH N

j

jj

M

i

ii

и сравним соответствующие




13

коэффициенты с заданными в таблице. Не перепутайте знаки у коэффициен-тов bj !

По пункту 3 проделайте все 5 заданий, то есть исследуйте фильтры Бат-терворта, Чебышева, Бесселя, резонатор и режекторный фильтр.

Дискретизировать сигнал по пункту 5 нужно следующим образом. Для примера возьмем инверсный сигнал по варианту 2. Его дискретный аналог на пять точек имеет вид: x(n) = 1/5δ(n-1 ) +2/5δ(n – 2) + 3/5δ(n – 3) + 4/5δ(n – 4) + +δ(n – 5), n ≥ 0. Шестую точку при n = 0 исключаем, как не значимую. Дис-кретизируем и исследуем все 5 пять вариантов сигналов.

В пункте 6 сравните рассчитанное и экспериментальное значение дис-персии при одном значении коэффициента сглаживания K = 0,1 … 0,9.

Выполнение остальных пунктов, как правило не вызывает затруднений.

3.2.2. Особенности выполнения лабораторной работы №2

По пункту 2 обязательно измените центральную частоту, добротность контура и частоту дискретизации режекторного фильтра из заданных диапа-зонов изменения параметров. При каких соотношениях частот исследуемые методы синтеза работают хорошо, а при каких плохо? Поясните это в выво-дах к лабораторной работе.

В пунктах 4-6 проделайте все пять вариантов заданий, а по пунктам 7, 8 выберете один из синтезированных фильтров НЧ.

Ключевым пунктом лабораторной работы является пункт 5 - синтез цифрового фильтра. Его нужно проделать особенно тщательно! Результатом синтеза являются численные значения коэффициентов ko, ai, bj. Проверка пра-вильности синтеза осуществляется в пункте 6. Частотные характеристики ис-ходного ФНЧ должны совпадать с частотными характеристиками, получен-ными по пункту 4. Если это не так, проделайте пункт 5 заново!

Изменение и восстановление коэффициентов bj по пункту 7 производит-ся автоматически. Необходимо лишь в случае каждого фильтра подобрать свою величину , первоначально равную = -2,5 %, так, чтобы максимальное отклонение АЧХ от исходной составляло порядка 10 – 20 %. Зарисовать по-лученные характеристики. Аналогично в пункте 8 выбирается число разрядов дробной части, первоначально равное n = 4.

3.2.3. Особенности выполнения лабораторной работы №3

Работу №3 лучше всего выполнять в операционной системе DOS или при выгруженной графической оболочке Windows. Предварительно изучите рабо-ту дисковой операционной системы DOS в режиме командной строки, напри-мер, по литературе [11].

Первая часть лабораторной работы. Очень внимательно набирайте ко-манды! Не путайте символы «о» и нуль! Команды view, add, med, fir, norm, sub, stat имеют ключи и аргументы. Они вызывают соответствующие утилиты




14

pt, sum, rang и т.д. Сначала просматриваем исходное изображение Lena, им-пульсный im и нормальный шум n. Затем формируем зашумленные изобра-жения портрета i0 и n0 и просматриваем их. Затем фильтруем изображения. Результатом ранговой (медианной) фильтрации будет десять файлов ri1.dat – ri5.dat и rn1.dat – rn5.dat. Результатом линейной (fir) фильтрации будет также десять файлов Li1.dat – Li5.dat и Ln1.dat – Ln5.dat.

Для набора статистики предварительно осуществляется нормировка файлов командой norm/v r??.dat. Нормировка производится десять раз по числу файлов. Особенно тщательно нужно провести нормировку результатов линейной обработки (тоже десяти файлов). Командой dir проконтролируйте правильность нормировки (по числу и размеру файлов). Затем формируются 20 разностных файлов и по ним определяется СКО.

Во второй части лабораторной работы исследуется воздействие различ-ных операторов на изображение тестовой испытательной таблицы ТИТ 0249.

Внимательно изучите и опишите обработанные изображения. Для обра-ботки используйте как все изображение таблицы, так и характерные неболь-шие фрагменты таблицы (крест, наклонные линии и т.д.). Для удобства срав-нения выходные изображения обозначьте out1.dat – out8.dat (по числу иссле-дуемых масок). Просмотрите обработанные изображения командой:

view out?.dat3.

3.2.4. Особенности выполнения лабораторной работы №4 (разделы 1, 2, 3)

Для выполнения лабораторной работы №4, состоящей из трёх разделов, автономно должны быть выполнены требования по установке, настройке и запуску программ. Лабораторная работа №4 имеет простой и понятный ин-терфейс. Выполнение каждого раздела лабораторной работы происходит в три стадии:

изучение теоретических материалов и примеров («Введение»); прохождение теста («Экзамен»); выполнение лабораторной работы («Лабораторная»). При затруднениях в выполнении лабораторной работы обратитесь к

справочной системе программы (кнопка «Помощь»). 3.3. Оформление отчетов По каждой проделанной лабораторной работе оформляется отдельный

отчет. Конкретные требования к отчету приведены в описаниях работ. По лабораторной работе №4 оформляется итоговый отчёт, состоящий из трёх разделов. Общие требования к содержанию отчета:

– титульный лист с названием и номером работы; – цель работы; – основные теоретические положения;




15

– краткое содержание и порядок выполнения работы; – требования к операционной системе и программному обеспечению; – необходимые расчетные данные; – алгоритмы и экспериментальные результаты; – графики, диаграммы, структурные схемы; – аналитические выводы. В отчете весьма желательны описание и комментарии к расчетным

данным, результатам эксперимента, построенным графикам и диаграммам, структурным схемам цифровых фильтров (назначение и особенности исследуемых фильтров). Выводы можно делать не в конце отчета, а по ходу его оформления.

4. ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

В соответствии с учебными планами специальностей 201400 «Аудиови-зуальная техника», 201500 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», 230000 «Сервис» (специализация «Сервис электронных систем безопасности») и 200700 «Радиотехника» необходимо выполнить три контрольные работы. Каждая из контрольных работ содержит 25 вариантов индивидуальных зада-ний.

Названия контрольных работ: №1. «Анализ характеристик цифровых фильтров» (содержит 2 задачи); №2. «Исследование эффектов квантования в цифровом рекурсивном

фильтре второго порядка» (содержит 7 заданий); №3. «Цифровая обработка изображений» (содержит 4 задания). В учебном пособии по ЦОС дана полная информация, позволяющая сту-

денту успешно справиться с данными контрольными работами. Кроме того, по каждой контрольной работе в данном пособии приведены примеры реше-ния задач. Следует внимательно отнестись к оформлению контрольных работ.

Студент должен указать заданный ему вариант задания, повторить пол-ностью формулировку задач, привести промежуточные выводы формул, под-становок и вычислений, а также ход решения с приведением ссылок на под-разделы (страницы) учебного пособия и номера формул данного пособия. Не-допустимо брать ответы из литературы и справочников. Особое внимание следует уделить записи ответов по решенным задачам (заданиям). В конце каждого из пунктов задания следует выделить ответ (сформулировать вывод) по которому в основном и будет формироваться оценка преподавателем. Ра-боты следует подписывать, указывая группу, где студент обучается и дату выполнения контрольной работы, а также номер заданного варианта. В слу-чае затруднений по выполнению контрольных работ студент должен свое-временно обратиться за консультацией к преподавателю через коммуникации ТМЦДО.




16

4.1. Контрольная работа №1 4.1.1. Основные формулы для анализа характеристик ЦФ 1.0. Прогрессии.

1.0.1. Арифметическая прогрессия lanrnankran

k

212

2

1

0,

где l – последний член арифметической прогрессии.

1.0.2. Геометрическая прогрессия 1

11

1

qqaaq

nn

k

k .

1.0.3. Арифметико-геометрическая прогрессия

2

11

0 11

11

qqrq

qqrnaaqkra

nnn

k

k

.

1.1. Аналитическая запись дискретного сигнала

ЕИnTгдеkTnTkTxnTxk

)( ,)()()(0

.

Пример: {x(kT)} = {x(0), x(T), x(2T), x(3T)} = {0; 2; -3; 1}, x(nT) = 2δ(nT – T) – 3δ(nT – 2T) + δ(nT – 3T), n ≥ 0. 1.2. Прямое z-преобразование

)}({)()(0

nTfZznTfzFn

n

.

1.3. Обратное z-преобразование

K

k zz

K

k

n

zzC

n zreszzFresdzzzFj

zFZnTfkk 11

111 )()()(21)}({)(

,

здесь направление обхода интеграла С – против часовой стрелки; K – число полюсов, а zk – полюсы функции Ψ(z). Полюс кратности m > 1:

mkm

m

zzzzzzz

dzd

mzres

kk

)(

)!1(1lim)( 1

1

– вычет в полюсе кратности m.

Простой полюс (m = 1): kzzzz

zzzzreskk

)(lim)( .

1.4. Дискретная свертка

а)

n

k

n

kkTykTnTxkTnTykTxnTynTxnTf

00)()()()()()()( ;

b)

n

k

n

kkThkTnTxkTnThkTxnThnTxnTy

00)()()()()()()( ;

c) )}({)( );()()( )};({)( )};({)( 1 zFZnTfzYzXzFnTyZzYnTxZzX .




17

Нахождение свертки графическим способом

.0 , ...)()(

...)()()()0()()()(

10

0

nnTynTy

TnThTxnThxkTnThkTxnTyn

k

Пример: }2,5 2,5; 2,5; 0;{)( },2,5 2,5; 2,5; 0;{)( nThnTx , )()()( kTnThkTxnTyk .

x(3T) 0 2,502,52,52,5

2,5 2,5x(2T) x(T) x(0)h(0) h(T) h(2T) h(3T)

0 0 0 00 6,25 6,25 6,25

0 6,25 6,25 6,250 6,25 6,25 6,25

12,5 18,75 12,5 6,250 6,250

y0(nT)

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

y1(nT)y2(nT)y3(nT)y(nT)

t

t

Длина свертки: L = 4 + 4 – 1 = 7 отсчетов,

}6,25 12,5; 18,75; 12,5; 6,25; 0; 0;{)}({ nTy . 1.5. Связь ИХ и системной функции в Z-форме

)}({)( ,)()}({)( 1

0zHZnThznThnThZzH

n

n

.

1.6. Разностное уравнение ЛЦФ

N

jj

M

ii jTnTybiTnTxanTy

10

)()()( , n ≥ 0.

...)((...)()()( 110 TnTybTnTxanTxanTy , n ≥ 0. 1.7. Системная функция ЛЦФ

...1...

1)( 3

32

21

1

33

22

110

1

0

zbzbzbzazazaa

zb

zazH N

j

jj

M

i

ii

.

1.8. Частотные характеристики:

КЧХ: TjezTj zHeH

)( ;

АЧХ: TjeHA )( ;

ФЧХ: )](Re[)](Im[

arg)( Tj

TjTj

eHeHarctgeH

.

а) Достаточно рассчитать АЧХ в пяти точках:




18

Ω ν = ωТ˚ z = e jν cos(ν) sin(ν) jezzHA

)()( 0 0˚ 1 1 0 A(0) = |H(1)|

T4

45˚ 2

1 j 22

22

21 jH

T2

90˚ J 0 1 jH

T43 135˚

21 j

22 –

22

21 jH

T

180˚ –1 –1 0 1H

б) Использовать свойство четности АЧХ для действительных коэффици-ентов ai, bj.

в) Использовать свойство периодичности АЧХ и ФЧХ. г) Записать H(z) по положительным степеням

...1...

)( 22

11

22

110

zbzbzazaa

zH ;

Пример: 2

221 8,05,241

8,05,24)(z

zzzzzH

.

1.9. Прямая форма реализации ЛЦФ

0

Im(Z)

Re(Z) ν =180˚ ν = 0˚

ν = 45˚ ν =135˚ ν = 90˚

∑ a0

a1

a2

aM

z-1

z-1

z-1

x(nT) y(nT)

b1

b2

bN

z-1

z-1

z-1




19

4.1.2. Примеры решения задач Задача 1.

Задан дискретный сигнал

.3,0

,3,2,1,5,2,0,0

)(nnn

nTx

1. Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала. 2. Найти изображение входной последовательности X(z). 3. Записать разностное уравнение, считая H(z) = X(z). 4. Привести структурную схему фильтра. 5. Записать выражение для импульсной характеристики. 6. Найти свертку y(nT) = x(nT) * h(nT) графическим способом.

Решение: 1) Аналитическая форма:

)3()2()(5,2)()()(0

TnTTnTTnTkTnTkTxnTxk

.

2) Изображение входной последовательности:

...0)(5,20)()}({)( 43210

0

zzzzzznTxnTxZzXn

n .

3) Разностное уравнение (алгоритм функционирования ЦФ):

.0)],3()2()([5,2)(

])[(5,2)();(5,2)()()( 321321

nTnTxTnTxTnTxnTy

zzzzXzYzzzzXzYzH

4) ИХ: .0)],3()2()([5,2)( nTnTTnTTnTnTh

5) Свертка: ...)()()()0()()()(0

TnThTxnThxkTnThkTxnTyn

k

...};0;25,6;5,12;75,18;5,12;25,6;0;0{)}({ nTy . Свертка прямоугольных сигналов дает треугольный сигнал.

x(3T) 0 2,502,52,52,5

2,5 2,5x(2T) x(T) x(0)h(0) h(T) h(2T) h(3T)

0 0 0 00 6,25 6,25 6,25

0 6,25 6,25 6,250 6,25 6,25 6,25

12,5 18,75 12,5 6,250 6,250

y0(nT)

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

y1(nT)y2(nT)y3(nT)y(nT)

t

t




20

t

7T6T5T4T3T2TT0

y(nT)

6,2512,518,75

6) Структурная схема:

z –1

z –1

z –1

x(nT)

2,5y(nT)

Задача 2. Дано изображение дискретного сигнала 13,01

1)(

z

zX .

1. Найти x(nT) методом вычетов. 2. Считая H(z) = X(z) записать РУ. 3. Привести структурную схему. Решение: 1)

3,0)(

zzzX .

Находим полюсы ...,2,1,0;3,03,0

)( 1

nz

zzz

zzn

n .

Единственный полюс z1 = 0,3; m = 1.

.0;3,0)3,0(3,0

lim)]([)(21)(

3,03,0

1

nzz

zzresdzzzXj

nTx nn

zz

n

Или 0,3,0)()( nnTunTx n . ...};09,0;3,0;1{)}({ nTx .

2) РУ: ;3,0,1;1,0;3,01

1)( 101

bNaMz

zH




21

Вариант 1:

.0),(3,0)(

)()()()()( 1010

nTnTynTx

TnTybnTxajTnTybiTnTxanTyN

jj

M

ii

Вариант 2:

.0),(3,0)()(

;)(3,0)()(;)()()( 1

nTnTynTxnTy

zzYzXzYzXzYzH

3) Структурная схема:

z –1

x(nT)

0,3

y(nT)

Задача 3. Найти обратное Z-преобразование от X(z) = z –1. Решение:

кратностьmznzzzzz

nn 2;0...;,2,1,0;)( 12

11 .

Разностное уравнение:

.0),(,0

1,1lim

!11lim)()}({)(

1

0

2200

1

nTnTиначеn

nz

zzz

dzdzreszXZnTx

n

z

n

zz

Таким образом, {x(nT)} = {0; 1; 0; …} – запись выходного сигнала в виде конечной последовательности.

4.1.3. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа №1) Каждый студент должен по заданному варианту решить две задачи. Ни-

же первая цифра в нумерации – номер контрольной работы (№1), вторая циф-ра – номер одного из 25 вариантов и третья цифра – номер одной из двух за-дач.

1.1.1. Найти Z-преобразование ступенчатой функции

.0,0,0,1

)(nn

nTu




22

1.1.2. На вход цифрового фильтра с импульсной характеристикой

,1,0,1,5,0,0,1

)(nnn

nTh подается сигнал в виде последовательности трех единич-

ных отсчетов. Определить сигнал на выходе фильтра. 1.2.1. Найти Z-преобразование экспоненциально убывающего сигнала

.0,)( nenTx nT 1.2.2. На вход цифрового фильтра с импульсной характеристикой

2exp)( nnTh подается сигнал

.8 ,0,0

,81,1)(

nnn

nTx Найти сигнал на выхо-

де фильтра (первые 10 значений). 1.3.1. Найти Z-преобразование дискретизированного гармонического

сигнала .0,cos)( 0 nTnAnTx

1.3.2. На вход цифрового фильтра с системной функцией 1

1

5,015,01)(

zzzH

подается сигнал

.4,0

,40,1)(

nn

nTx Найти сигнал на выходе фильтра (первые

13 значений). 1.4.1. Найти Z-преобразование степенной функции 0,1 ,)( naanTx n . 1.4.2. На вход цифрового фильтра с системной функцией

21

1

5,012)(

zz

zzH подается сигнал .0 ,32exp)(

nnnTx Найти Z-

преобразование сигнала на выходе фильтра. 1.5.1. Найти Z-преобразование сигнала, состоящего из двух отсчетов

ax )0( и bTx )( . 1.5.2. Для обработки сигнала в виде пяти одинаковых отсчетов (дискре-

тизированный прямоугольный импульс) используется согласованный цифро-вой фильтр, импульсная характеристика которого совпадает по форме с сиг-налом. Определить системную функцию фильтра и алгоритмы фильтрации в рекурсивной и нерекурсивной формах реализации. Найти сигнал на выходе фильтра (первые 10 отсчетов).

1.6.1. Найти Z-преобразование серии из N равных отсчетов, равных а. 1.6.2. При подаче на вход цифрового фильтра единичного импульса на

выходе получается последовательность {1; 1/2; 1/4; …; 1/2n; …}. Найти им-пульсную характеристику и системную функцию фильтра. Записать алгоритм цифровой фильтрации и изобразить схему фильтра.

1.7.1. Найти Z-преобразование прореженной последовательности

.,0

,,1)(

нечетноеnчетноеn

nTx




23

1.7.2. При подаче на вход цифрового фильтра последовательности {1; 1/4; 1/16; …; 1/4n; …} на выходе получается последовательность {2; 1; 1/2; 1/4; …; 1/2n-1; …}. Определить системную функцию фильтра, импульсную ха-рактеристику и схему фильтра, а также записать алгоритм цифровой фильт-рации.

1.8.1. Z-преобразование дискретного сигнала описывается выражением

KzzzX

)( . Найти сигнал x(nT).

1.8.2. Системная функция цифрового фильтра определяется выражением

1

1

11)(

zzzH . Определить положение нулей и полюсов системной функции на

Z-плоскости. 1.9.1. Z-преобразование дискретного сигнала описывается выражением

111)(

ze

zX T . Найти сигнал x(nT).

1.9.2. Задана системная функция цифрового фильтра

21

21

64,02,115,01)(

zz

zzzH . Определить положение нулей и полюсов системной

функции на Z-плоскости. Устойчив ли такой фильтр? 1.10.1. Найти сигнал, Z-преобразование которого определяется выраже-

нием 11)( zzX . 1.10.2. Найти комплексную частотную характеристику цифрового

фильтра с импульсной характеристикой nT

enTh

)( . Построить график амли-тудно-частотной характеристики при T/τ = 1 и T/τ = 0,1.

1.11.1. Найти сигнал, Z-преобразование которого определяется выраже-нием 11

1)(

z

zX .

1.11.2. Найти амплитудно-частотную характеристику цифрового фильтра

с системной функцией 21

21

28,077,011)(

zz

zzH . Построить график амплитуд-

но-частотной характеристики при интервале дискретизации T = 1 мс. 1.12.1. Найти сигнал, Z-преобразование которого определяется выраже-

нием 1

1

11)(

zzzX .

1.12.2. Системная функция цифрового фильтра имеет вид

21

21

5,05,0121)(

zz

zzzH . Изобразить схемы цифрового фильтра в прямой и ка-

нонической формах реализации. 1.13.1. Найти дискретную свертку двух дискретизированных прямо-

угольных импульсов, заданных пятью отсчетами.




24

1.13.2. Получите формулу X(z) от дискретной ступенчатой функции

.0,1,0,0

)(nn

nx

Указание: Примените формулу суммирования бесконечной геометриче-ской прогрессии. Заметьте, что функция X(z) определена во внешней области единичного круга, т.е. при |z| > 1.

1.14.1. Вычислить Z-преобразование дискретной свертки двух сигналов: x(nT), имеющего два ненулевых отсчета x(0) = 1 и x(Т) = 1 и y(nT), состояще-го из трех отсчетов: y(0) = 2; y(T) = 2; y(2T) = 2.

1.14.2. Найдите дискретный сигнал x(n), которому отвечает Z-преобразование 13,01

1)(

z

zX .

1.15.1. Импульсная характеристика цифрового фильтра определяетс вы-

ражением

.1,0

,1;0,1)(

nn

nTh Записать алгоритм цифровой фильтрации (раз-

ностное уравнение) и изобразить схему фильтра. 1.15.2. Найдите x(6) дискретной последовательности x(n), Z-

преобразование которой 19,0125)(

zzX .

1.16.1. Алгоритм цифровой фильтрации имеет следующий вид: )(5,0)()( TnTxnTxnTy . Найти импульсную характеристику цифрового

фильтра и системную функцию в Z-форме. 1.16.2. Задано Z-преобразование 11 6,014,01

1)(

zz

zX . Найти x(n).

1.17.1. Найти системную функцию и записать разностное уравнение для

цифрового фильтра с импульсной характеристикой

.1,1,0,1

)(nn

nTh

1.17.2. Найдите дискретный сигнал x(n), Z-преобразование которого 2)( zzX . Сигнал найти методом обратного Z-преобразования.

1.18.1. Найти системную функцию и записать разностное уравнение для

цифрового фильтра с импульсной характеристикой

.,0

,,1)(

нечетноеnчетноеn

nTh

1.18.2. Вычислите Z-преобразование F(z) свертки f(n) дискретных сигна-лов ... 0; 0; 0; 1; 1; 1;)( nx и ... 0; 0; 1; 1; 0; 0;)( ny .

1.19.1. Импульсная характеристика цифрового фильтра определяется вы-

ражением

3exp2)( nnTh . Найти системную функцию и записать алгоритм

фильтрации в рекурсивной и нерекурсивной формах реализации. 1.19.2. Найдите комплексную частотную характеристику и амплитудно-

частотную характеристику цифрового фильтра. Его разностное уравнение: )2()(2)()( TnTxTnTxnTxnTy , n ≥ 0.




25

1.20.1. Алгоритм цифровой фильтрации имеет следующий вид )(5,0)(5,0)(2)( TnTyTnTxnTxnTy . Найти импульсную характеристику

цифрового фильтра и его системную функцию. 1.20.2. Цифровой фильтр имеет следующий алгоритм

)2(32,0)1(4,0)2()( nynynxny . Найдите системную функцию, комплекс-ную частотную характеристику и импульсную характеристику фильтра.

1.21.1. Покажите, что цифровой фильтр, алгоритм которого описывается разностным уравнением )3()2(3)1(3)()( nxnxnxnxny осуществляет приближенное трехкратное дифференцирование относительно медленных входных сигналов.

Указание: Найти выражение для КЧХ и разложить в ряд Маклорена при ωT → 0.

1.21.2. Найдите аналитическое выражение m-го члена в импульсной ха-рактеристике h(n) рекурсивного фильтра, работающего в соответствии с алго-ритмом )2(5,0)1()()( nynynxny , n ≥ 0.

1.22.1. Найти системную функцию фильтра (см. рисунок) и записать ал-горитм цифровой фильтрации.

x(nT)

z -10,2 - 0,5 z -1

y(nT)

1.22.2. Цифровой фильтр имеет следующий алгоритм

)1(85,0)1(4)(5,1)( nynxnxny . Фильтр работает с шагом дискретизации по времени T = 0,1 мс. Найдите модуль |H(e jω)| и фазовый угол φ(ω) частотного коэффициента передачи фильтра на частоте срад /102 4 .

1.23.1. Системная функция цифрового фильтра имеет вид 111)(

zzH .

Определить его импульсную характеристику и записать алгоритм цифровой фильтрации.

1.23.2. Собственные колебания в рекурсивном цифровом фильтре второ-го порядка описываются разностным уравнением следующего вида:

)2(5,0)1()()( nynynxny , n ≥ 0. Исследуйте устойчивость данного фильт-ра и определите параметры колебаний на выходе фильтра при подаче на его вход единичного импульса.

1.24.1. Системная функция цифрового фильтра имеет вид 1

1

5,011)(

z

zzH .

Определить его импульсную характеристику и записать алгоритм цифровой фильтрации.




26

1.24.2. На вход цифрового фильтра с импульсной характеристи-

кой nenTh 2)( подается сигнал

.10 ,0,0

,101,1)(

nnn

nTx Определить сигнал на

выходе фильтра. 1.25.1. Системная функция цифрового фильтра имеет вид

321

21

3,04,06,015,03,08,0

)(

zzz

zzzH . Записать алгоритм цифровой фильтрации (раз-

ностное уравнение) и изобразить схему фильтра. 1.25.2. На вход цифрового фильтра с системной функцией

21 5,011)(

zzzH подается сигнал

.4,0

,40,1)(

nn

nTx

Определить сигнал на выходе фильтра. 4.2. Контрольная работа № 2 4.2.1. Основные формулы для исследования эффектов квантования

в цифровом рекурсивном фильтре второго порядка (ЦРФ2П)

2.1. Устойчивость ЦРФ2П (нерекурсивный фильтр всегда устойчив).

2.1.1.

0)(

nnTh .

2.1.2. Корни характеристического уравнения должны находится внутри единичной окружности:

0...22

11

NNNN bzbzbz , т.е. 1iz .

а) Если корни вещественные, то в системе устанавливается аперио-дический режим;

б) Если есть комплексно-сопряженные корни, то система колебательная. 2.2. Разностное уравнение с учетом операций квантования:

N

jj

M

ii jnybRinxaRny

10

)]([)]([)( , n = 0, 1, 2, … ,

где R[.] – оператор квантования.

При вероятностной оценке ошибки квантования операцию квантования

линеаризируем, т.е. вводим сумматор и источник шума ej(n):

jCj

jj

2 ,12

22 .

a0, a1, …, aCj, cj – номер младшего разряда в j-й цепи.

bj ∑ y(n – j) y*(n – j)

ej(n)

bj R[.] y(n – j) bjy(n – j) R[bjy(n – j)] = y*(n – j) A

разрядов (A+B)

разрядов C < (A+B)

разрядов




27

2.3. 12

,)( ,)(2

2вх 0

0

22вх 0

2вых 0

0

22вх

2вых

nnkkk nhnh ,

2j

2вх k либо 2

i – для прямой цепи, Δ – шаг квантования в АЦП.

2.4.

Ck

Ckkkk dzz

jdzzzHzH

j)(

21)()(

21 2

вх 112

вх 2

вых

.

Контурный интеграл находится как сумма вычетов в особых точках подын-тегрального выражения, лежащих внутри единичной окружности |zi| < 1, т.е. по-люса Hk(z –1) не учитываются, т.к. они лежат вне единичной окружности.

2.5.

0

22вх

0

22вх

2вых

1 deHdeHT jkk

TTj

kkk ,

где T – нормированная частота.

2.6.

K

kk

0

2вых

2вых , 2

вых 0 – погрешность, связанная с АЦП.

При вероятностном подходе используются предположения: а) Отсчеты от всех источников погрешностей ek(n) представляются дис-

кретными белыми шумами с равномерным законом распределения и диспер-

сией 12

22 kk

, kC

k 2 .

б) Все источники шума ek(n) не коррелированны между собой. в) Любой из источников шума ek(n) не коррелирован с входным сигналом x(n). 2.7. Учет остатков. Математическая модель j-й цепи ОС.

bj ∑

z –1

∑

R[·] y(n – j) y*(n – j) + + + –

а)

б)

в)

bj ∑

z –1

∑ ∑ y(n – j) y*(n - j) + –

+ +

ej(n)

z –1

bj ∑

z –1

1zz

∑ y(n – j) y*(n – j) + –

ej(n)




28

СФ по сигналу: jj

j

S bz

zb

zz

zz

zbzH

11

11

1)(1

.

СФ по шуму: 1

11

111

11

1)(

zz

z

zzz

zH l .

Таким образом, при учете остатков шумы дополнительно проходят по цепи вычислителя первой разности (цифрового дифференциатора).

4.2.2. Устойчивость ЦРФ2П

212

212

0)(bzbz

azazazH

; 0212 bzbz – характеристическое уравнение;

1. 142 2

211

2,1 bbbz – действительные корни;

2. 142 2

211

2,1

bbibz – комплексно-сопряженные корни;

3. 04 2

21 b

bD – граница колебательности.

12

21

12

21

2

211

1 14

14

142

bbb

bbb

bbb

z ; – 1-е условие.

12

21

12

21

2

211

1 14

14

142

bbb

bbb

bbb

z ; – 2-е условие.

12

21

12

21

2

211

2 14

14

142

bbb

bbb

bbb

z ;

12

21

12

21

2

211

2 14

14

142

bbb

bbb

bbb

z ,

т.е. получились те же условия.

bj ∑

1 – z –1

y(n – j)

lj(n)

y*(n – j)




29

1144 22

21

21

2,1 bbbb

z – 3-е условие.

40

21

2bbD ; – граница между апериодическими и колебательными

режимами.

1) ]2;0[;1 112 bbb ;

;1;1

22144

41

2 1111

21

12,1 b

bbbbb

z

2) ]0;2[;1 112 bbb ;

;1

;12

2144

41

2 1111

21

12,1 b

bbbbb

z

2

211

2,1 42;0 bbbzD – два полюса на действительной оси Z. То есть

область апериодических решений отображается в пары точек на действитель-ной оси Z.

Dib

bb

ib

zD

242;0 1

2

211

2,1 .

Z

1 -1 0

b1

b2

1

-1

-1 1 0

3-е условие

1-е условие 2-е условие




30

Модули 144 22

21

21

2,1 bbbb

z – модуль определяется только зна-

чением b2; при 12 b мы подходим к границе устойчивости; при 02 b модуль 12 b . Граница 12 b ; ;12,1 z отображается на единичную окружность

(конкретная точка зависит от коэффициента b1).

Граница устойчивости: ];2;2[;2

;0 11

2,1 bb

zD

Два полюса сливаются в один

21

2,1b

z .

Учет полюсов дополнительной функции Ψ(z) Для учета шума квантования АЦП.

;1

)( 22

11

22

110

zbzbzazaa

zH

0212 bzbz – характеристическое уравнение. Z1,2 – корни уравнения.

221121 ; bzzbzz ;

zzzzzbzazaa

zzzzazaza

zzHzHz 1

)()()()(1)()()(

432

2210

21

212

01

;

b1

b2

1

-1

-2 2 0

b1 = -2 0

b1 = 2

b1 = 0

b1 = 0

b1

b2

1

-1

-2 2

Z

1 -1 0




31

Полюсы H(z): 2

4 22

112,1

bbbz

.

Полюсы H(z –1): 2

41

31;1z

zz

z .

Полюс 1/z: 05 z . Учитываем только полюсы: z1, z2 и z5. Пример:

Вычет в z = 0. 2

20

21

20)(Re5 b

aazzaa

zszz

.

Должно выполняться условие

,0,0

2

0

aa

иначе вычет будет равен нулю,

и ничего не добавится к сумме вычетов. 4.2.3. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа №2) Для заданного варианта системной функции рекурсивного цифрового

фильтра 2-го порядка (РЦФ2П) (первая цифра – номер контрольной работы (№2), вторая цифра – номер одного из 25 вариантов) выполнить расчеты и сделать выводы по перечисленным ниже заданиям.

1. Оцените область устойчивости цифрового фильтра второго порядка в зависимости от значений коэффициентов b1 и b2 и разбейте ее на под-области для апериодических и колебательных систем. Область устойчивости оценить: 1 – по характеристическому уравнению; 2 – по критерию Рауса-Гурвица.

2. Определите дисперсию шума АЦП на выходе цифрового фильтра (по-лучите расчетную формулу ...вхвых 2

020 ).

3. Нарисуйте структурную схему цифрового фильтра при канонической форме реализации, и последующие пункты задания выполняйте используя эту форму реализации.

4. Определите выходные дисперсии шумов округления, вносимых при умножении на коэффициенты фильтра b1и b2.

-1 -2

2

1 Re(Z)

Im(Z)

z3

z5 0 z4

z2 z1

Z




32

5. Определите суммарную дисперсию шумов квантования и округления на выходе цифрового фильтра.

6. При предположении, что один из умножителей на b1 (b2) выполняет операции с сохранением остатка, вычислите выходную дисперсию шумов ок-ругления.

7. Сделайте выводы и объяснения процессов формирования ошибок и их представления в виде шумов в цифровом фильтре.

Варианты системных функций РЦФ 2-го порядка:

2.1. 22

111

1)(

zbzb

zH . 2.14. 22

11

21

12)(

zbzb

zzzH .

2.2. 22

11

21

1)(

zbzb

zzzH . 2.15. 22

11

2

11)(

zbzb

zzH .

2.3. 22

11

1

1)(

zbzbzzH . 2.16. 2

21

1

1

12)(

zbzb

zzH .

2.4. 22

11

21

1)(

zbzb

zzzH . 2.17. 22

11

2

11)(

zbzb

zzH .

2.5. 22

11

1

11)(

zbzb

zzH . 2.18. 22

11

2

12)(

zbzb

zzH .

2.6. 22

11

21

11)(

zbzb

zzzH . 2.19. 22

11

1

12)(

zbzb

zzH .

2.7. 22

11

1

11)(

zbzb

zzH . 2.20. 22

11

21

12)(

zbzb

zzzH .

2.8. 22

11

21

11)(

zbzb

zzzH . 2.21. 22

11

2

12)(

zbzb

zzH .

2.9. 22

11

2

1)(

zbzbzzH . 2.23. 2

21

1

21

12)(

zbzb

zzzH .

2.10. 22

11

21

11)(

zbzb

zzzH . 2.22. 22

11

1

121)(

zbzb

zzH .

2.11. 22

11

21

1)1()(

zbzb

zzH . 2.24. 22

11

11

12)(

zbzb

zzzH .

2.12. 22

11

21

11)(

zbzb

zzzH . 2.25. 22

11

21

12)(

zbzb

zzzH .

2.13. 22

11

21

1)1()(

zbzb

zzH .




33

4.3. Контрольная работа №3 4.3.1. Примеры решения задач по цифровой обработке изображений Дан входной двумерный массив чисел (изображение) x(n1, n2). Необхо-

димо получить выходной массив при заданном операторе преобразования T[.].

)]n,n(x[T)n,n(y 2121 , T[.] – оператор системы, представляющей прави-ло или набор правил, по которым происходит преобразование (отображение) входного сигнала на выходной.

Мы будем рассматривать следующие классы многомерных систем: - линейные; - инвариантные к сдвигу (стационарные); - устойчивые; - физически реализуемые; - нерекурсивные (всегда устойчивы). Примеры нерекурсивных двумерных цифровых фильтров: а) оператор двойного дифференцирования (разделимый фильтр)

б) лапласиан не является разделимым фильтром, поэтому поступим сле-дующим образом:

z1–1 – оператор задержки на один элемент;

z2–1 – оператор задержки на одну строку.

Нерекурсивный цифровой фильтр:

РУ: ;0n,0n,)in,in(xa)n,n(y 21

M

0i

M

0i2211i,i21

1

1

2

2

21

При n1 < 0, n2 < 0, x(n1, n2) = 0.

T[.] x(n1, n2) y(n1, n2)

Скользящее среднее

x(n1, n2) y(n1, n2) ∑

9 z1–1 z2

–1

–

+

1 -2 1 -2 4 -2 1 -2 1

-1 2 -1 -1 2 -1

= **

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

= ** ,

-1 -1 -1 -1 8 -1 -1 -1 -1

0 0 0 = – 0 9 0

0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1




34

а) Обработка двойным дифференцированием:

0012345678

x(n1, n2)

n1

n2

-1 2 -1

1 2 3 41

11

11 1 1 1 11 11 11 11 1 1 1 1

0012345678

y1(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 4-1

-1 2-1 2 -1

-1 2 -1-1 1 0 0 0-1 2 -1 -1-1 2 -1 -1-1 2 -1 -1-1 1 0 0 0

5 62 -1-1

1 -12 -12 -12 -11 -1

-12-1

0012345678

y2(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 41

1 -41 -4 6

1 -4 6 -41 -3 5 -4 1

1 -1 1 11 -1 -10 01 -1 0 -1

5 6-2 15 -2-4 11-1 1

-11

1910

-1 1 11 -1 0 0 0

-1-1 1

** =

0012345678

y1(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 4-1

-1 2-1 2 -1

-1 2 -1-1 1 0 0 0-1 2 -1 -1-1 2 -1 -1-1 2 -1 -1-1 1 0 0 0

5 62 -1-1

1 -12 -12 -12 -11 -1

** =

б) Обработка лапласианом:

0012345678

x(n1, n2)

n1

n2

1 1 1

1 2 3 41

11

11 1 1 1 11 11 11 11 1 1 1 1

0012345678

y1(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 41

1 11 1 1

1 1 11 2 3 3 31 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 3

5 61 11

2 11 11 11 12 1

** =




35

111

0012345678

y2(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 41

1 21 2 3

1 2 3 21 3 5 5 42 4 5 4 43 4 5 3 53 3 3 33 4 5 3 5

5 61 12 12 112 13 24 33 34 3

910

2 3 4 3 41 2 3 3 3

3 22 1

0012345678

y1(n1, n2)

n1

n2

1 2 3 41

1 11 1 1

1 1 11 2 3 3 31 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 3

5 61 11

2 11 11 11 12 1

** =

0012345678

y3(n1, n2)

n1n2 1 2 3 4

-1-1 -2

-1 -2 6-1 -2 6 -2

-1 -3 4 -5 -4-2 5 4 5 5-3 5 -5 -3 -5-3 6 -3 -3-3 5 -5 -3 -5

5 6-1 -17 -1-2 -1-1-2 -16 -25 -36 -35 -3

910

-2 6 5 6 5-1 -2 -3 -3 -3

6 -2-2 -1

– =

0012345678

9·x(n1, n2)

n1n2 1 2 3 4

99

99 9 9 9999

5 6

9

9999

910

9 9 9 9 9

0012345678

y2(n1, n2)

n1n2 1 2 3 4

11 2

1 2 31 2 3 2

1 3 5 5 42 4 5 4 43 4 5 3 53 3 3 33 4 5 3 5

5 61 12 12 112 13 24 33 34 3

910

2 3 4 3 41 2 3 3 3

3 22 1

Элементы произвольной маски М и коэффициенты НРЦФ ai1, i2 опреде-

ляются следующим образом:

M a2,1

a2,2

a2,0

a1,1

a1,2

a1,0

a0,1

a0,2

a0,0 .




36

4.3.2. Варианты индивидуальных заданий (контрольная работа № 3) Первая цифра – номер контрольной работы (№ 3), вторая цифра номер

одного из 25 вариантов, третья цифра – номер одного из 4 заданий. 3.1. Вычислить сигналы на выходе двумерных фильтров (представление -

таблица чисел размером 7х11). Входной сигнал представлен в виде бинарного массива чисел, описывающего цифру «1» (представление цифры по методу, принятому при начертании почтового индекса на конверте в матрице отсче-тов 5х9).

Импульсная характеристика двумерного фильтра представляется «мас-кой» 3х3 типа:

3.1.1. «скользящее среднее»; 3.1.2. лапласиан для «восьми соседей»; 3.1.3. оператор выделения вертикальных линий; 3.1.4. оператор «запад». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-

тов выходного сигнала, нарисовать структурную схему двумерного фильтра и записать разностное уравнение. Заданные «маски» импульсных характери-стик следует брать из раздела 3 учебного пособия по ЦОС.

3.2. Вычислить сигналы на выходе двумерных фильтров (представление - таблица чисел размером 7х11). Входной сигнал представлен в виде бинарного массива чисел, описывающего цифру «2» (представление цифры по методу, принятому при начертании почтового индекса на конверте в матрице отсче-тов 5х9).






3.3.1. «скользящее среднее»; 3.3.2. лапласиан для «восьми соседей»;




37

3.3.3. оператор выделения вертикальных линий; 3.3.4. оператор «запад». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-















38















39




3.10. Вычислить сигналы на выходе двумерных фильтров (представление в виде таблицы чисел размером 7х11). Входной сигнал представлен в виде бинарного массива чисел, описывающего цифру «0» (представление цифры по методу, принятому при начертании почтового индекса на конверте в мат-рице отсчетов 5х9).






3.11.1. оператор выделения малоразмерных объектов из шумов и фонов; 3.11.2. лапласиан для «четырех соседей»; 3.11.3. оператор выделения левой диагонали; 3.11.4. оператор «север». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-


3.12. Вычислить сигналы на выходе двумерных фильтров (представление в виде таблицы чисел размером 7х11). Входной сигнал представлен в виде бинарного массива чисел, описывающего цифру «2» (представление цифры




40

по методу, принятому при начертании почтового индекса на конверте в мат-рице отсчетов 5х9).















41











3.17.1. оператор выделения малоразмерных объектов из шумов и фонов; 3.17.2. «лапласиан для четырех соседей»; 3.17.3. оператор выделения левой диагонали; 3.17.4. оператор «север». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-

тов выходного сигнала, нарисовать структурную схему двумерного фильтра




42

и записать разностное уравнение. Заданные «маски» импульсных характери-стик следует брать из раздела 3 учебного пособия по ЦОС.











3.20.1. оператор выделения малоразмерных объектов из шумов и фонов; 3.20.2. лапласиан для «четырех соседей»; 3.20.3. оператор выделения левой диагонали; 3.20.4. оператор «север».




43

Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-тов выходного сигнала, нарисовать структурную схему двумерного фильтра и записать разностное уравнение. Заданные «маски» импульсных характери-стик следует брать из раздела 3 учебного пособия по ЦОС.



3.21.1. оператор выделения правой диагонали; 3.21.2. оператор двойного дифференцирования; 3.21.3. оператор выделения горизонтальных линий; 3.21.4. оператор «юго-запад». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-








3.23.1. оператор выделения правой диагонали; 3.23.2. оператор двойного дифференцирования;




44

3.23.3. оператор выделения горизонтальных линий; 3.23.4. оператор «юго-запад». Для каждого из четырех заданных вариантов представить матрицу отсче-













45

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО КУРСОВОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ

После изучения теоретической и практической частей дисциплины

«Цифровая обработка сигналов» для студентов, обучающихся по специально-стям 201400 «Аудиовизуальная техника», 201500 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», и 230200 «Сервис» (специализация «Сервис электронных систем безопасности») по учебному плану предусмотрено выполнение курсового проекта.

Целью курсового проектирования является освоение студентами методов синтеза цифровых фильтров по заданному аналоговому фильтру-прототипу и преобразование их частотных характеристик (раздел 2 учебного пособия). Анализ характеристик синтезированных фильтров (раздел 1 учебного посо-бия). Проектирование разработанного фильтра на базе цифровой схемотехни-ки (раздел 4). При расчетах возможно использование программных модулей из лабораторных работ №1 и №2, которые могут работать автономно.

5.1. Варианты индивидуальных заданий Исходные данные:

кГцf d 100 - частота дискретизации; f)(N-ffср Δ10 - частота среза по уровню -3 дб;

срff 22 - частота среза по уровню -12 дб; ,100 кГцf кГцf 1 , N = 1; 2;….25 (номер варианта).

Использовать в качестве аналогового фильтра-прототипа фильтр Баттер-ворта 2-го порядка, операторный коэффициент передачи которого выражает-ся формулой

2

)(22

2

cpcp

cp

pppK

,

а его амплитудно-частотная характеристика 4

1

1)(

ср

jK

.

Импульсная характеристика фильтра описывается выражением

ttth cpcp

cp 2sin

2exp2)(

, t ≥ 0.

Необходимо синтезировать ЦФ Баттерворта следующими методами: 1. Инвариантного преобразования импульсной характеристики. 2. Отображения дифференциалов. 3. Билинейного преобразования.




46

4. Z-форм. 5. Выбрать ЦФ, синтезированный выше методом билинейного преобра-

зования, и получить используя частотные преобразования фильтры с другими частотными характеристиками.

5.1. ФНЧ --> ФНЧ1. 5.2. ФНЧ --> ФВЧ. 5.3. ФНЧ --> ПФ.

срср f2 - угловая частота среза исходного цифрового ФНЧ,

срср 5,1 - угловая частота среза преобразованного цифрового ФНЧ1,

срср - угловая частота среза преобразованного цифрового ФВЧ,

21ср

, ср 22 - угловые частоты среза полосового цифрового

фильтра. Для синтезированных фильтров получить выражение для системной

функции H(z), символьные и численные значения ее коэффициентов ai, bj. Зарисовать структурные схемы синтезированных ЦФ. На одном графике построить АЧХ аналогового фильтра и цифровых

фильтров, синтезированных по пп. 1 – 4. На одном графике построить АЧХ исходного цифрового фильтра и циф-

ровых фильтров, синтезированных по п.п. 5.1; 5.2; 5.3. 6. Найти значения нулей и полюсов. Показать картину нулей и полюсов

на комплексной Z – плоскости. 7. Проверить условие устойчивости фильтра. 8. Записать выражение для системной функции и амплитудно-частотной

характеристики. Рассчитать и построить первые 10 отсчетов импульсной и переходной характеристик.

9. Показать структурную схему фильтра для прямой и канонической форм реализации.

10. Записать алгоритм обработки фильтра (разностное уравнение) для прямой и канонической форм реализации. Привести объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала.

11. Нарисовать эквивалентную шумовую схему фильтра для прямой и канонической форм реализации. Рассчитать среднеквадратические значения шума квантования всех источников.

12. Показать, как изменяются значения нулей, полюсов и, соответствен-но, амплитудно-частотная характеристика фильтра при:

а) a1 = 0; б) a2 = 0; в) a1 = a2 = 0; г) a2 = b2 = 0; д) b1 = 0. 13. Составить схемную реализацию цифрового фильтра. 14. Заключение и выводы по результатам проектирования ЦФ.




47

5.2. Основные формулы для синтеза цифровых фильтров 1. Инвариантное преобразование ИХ

nTta thTnTh )()( , n ≥ 0. Домножение на Т производится по двум при-чинам:

а) для выполнения одинаковых условий передачи по постоянной состав-ляющей, т.е. пусть K(0) = 1, тогда 1)1(0 HeH Tj

. Но нормировка все

равно нужна, т.е. )1(H

eHeHTj

Tjн

;

б) ИХ ЦФ должна быть безразмерной. 2. Метод отображения дифференциалов

Известен операторный коэффициент передачи K(p) фильтра-прототипа.

z1z

T1p – отображающая замена (замена Эйлера).

3. Метод билинейного преобразования (БЛП)

Известен K(p, ωa), где

22 T

tgT

cpa

,

где ωcp – необходимая частота среза ЦФ,

112

zz

Tp – отображающая замена.

4. Метод Z-форм Преобразуем K(p) к виду, когда показатели степеней p – отрицательные;

затем отображающие замены:

;11

21

zzTp

2

222

1110

12

zzzTp .

5. Частотные преобразования ФНЧ ФНЧ → ФНЧ1 Выбираем ЦФ, синтезированный методом БЛП, с частотой среза Θcp по

уровню –3 дб; H(z) – системная функция ФНЧ;

замена

T

T

zzz

cpcp

cpcp

2sin

2sin

,1 1

11

,

где ωcp – требуемая частота среза ФНЧ1. ФНЧ → ФВЧ H(z) с Θcp – СФ исходного ФНЧ;




48

замена

T

T

zzz

cpcp

cpcp

2cos

2cos

;1 1

11

,

где ωcp – требуемая частота среза ФВЧ. ФНЧ → ПФ H(z) с Θcp – СФ исходного ФНЧ;

замена

T

T

zk

kzkk

kkz

kkz

z

2cos

2cos

;1

12

11

11

12

12

12

12

12

1

;

22

12T

tgTctgk cp .

Дадим некоторые пояснения по использованию приведенных формул. Найдем ИХ фильтра Баттерворта второго порядка исходя из K(p)

)()( ;2

)( 122

2

pKLthpp

pKcpcp

cp

;

ttth cpcp

cpa 2sin

2exp2)(

, t ≥ 0. При замене t на nT получим:

0),()( nnThTnTh a .

jeenn

T njnjcp

2sin

2sin

, где

2Tcp

;

;1

1 ;)()(00 qqznThzH

n

n

n

n

Задача: найти q1 и q2 и свернуть ряд, затем привести H(z) к стандартному виду:

...1...

1)( 2

21

1

22

110

0

1

001

zbzbzazaak

zb

zakzH

j

jj

i

ii

.

Определить сначала ai, bj в символьном виде, затем в числовом виде. При использовании метода отображения дифференциалов производим в

K(p) отображающую замену z

zT

p 11 , получаем выражение для H2(z) и




49

приводим его к стандартному виду. Затем находим коэффициенты ai и bj сна-чала в символьном, а затем в числовом виде.

При БЛП переопределяем частоту:

22 T

tgT

cpa

и записываем выра-

жение для операторного коэффициента 22

2

2)(

aa

a

pppK

; проводим

замену 112

zz

Tp , получаем выражение для H3(z), которое приводим к

стандартному виду (должен присутствовать k0, а коэффициенты ai были бы как можно проще).

При использовании метода Z-форм приводим выражение для оператор-

ного коэффициента к виду 2

2

)()()(

ppNppMpK к отрицательным степеням р.

Производя соответствующие замены для р –1 и р –2, находим выражение для H4(z).

5.3. Примеры расчетов и оформления курсового проекта Приведенные расчеты по проектированию ЦФ являются достаточно пол-

ными, но обучающийся должен избежать искушения, встать на путь повторе-ния и копирования приведенного ниже примера оформления курсового про-екта.

Именно поэтому, в приведенном примере использованы частотные пре-образования ЦФ, синтезированного по методу Z-форм, а не по методу били-нейного преобразования, которое задано в курсовом проекте. По этой же при-чине не раскрыт п. 13, в котором обучающийся должен показать самостоя-тельность подхода к проектированию ЦФ, и п. 14, подводящий итог по изуче-нию дисциплины «Цифровая обработка сигналов».

5.3.1. Синтез цифрового фильтра Баттерворта методом инвариант-ного преобразования ИХ

Задана импульсная характеристика (ИХ):

, t2sint2exp2h(t) срсрср

где ωср = 2π fср;

. с

рад 1056.12102014,32ω

; кГц201)111(10f)1-N(ff

43ср

0ср

Для того чтобы получить ИХ цифрового фильтра (ЦФ) необходимо про-дискретизировать ИХ аналогового фильтра – прототипа:




50

, h(t)Th(nt)ntt

где Т – это период дискретизации. 55

d10

101

f1T с.

Для дискретизации воспользуемся прямым Z – преобразованием: n-срср

ср0n

n-

0nznT

2-sinnT

2-exp2Tzh(nT)H(z)

1-срср1-срсрср

0n

n1-срср

n

0n

1-срсрср

0n

n-срср

0n

n-срсрср

0n

n-срсрсрср

n-срсрсрср

0n

zT2jT2-exp1

1

zT2jT2-exp1

12T2j

zT2jT2-expzT2jT2-exp2T2j

znT2jnT2-expznT2jnT2-exp2T2j

znT2j-expnT2jexpnT2-exp2T2j

znT2j-expnT2jexp2jnT2-exp2TH(z)

, zT2

2-expzT2cosT2-exp2-1

zT2sinT2-exp2T

2-ср1-срср

1-срср

ср

таким образом, получили системную функцию H(z): 2-2

1-1

-11

zbzb-1zаH(z)

,

56726.0а

1021056.12sin102

1056.12-exp21056.1210 T2sinT2-exp2Tа

1

5-45-445срсрср1

51859.0b

1021056.12cos10

21056.12-exp2T

2cosT

2-exp2b

1

5-45-4срср1

16912.0b

102

1056.122-expT2

2-expb

2

5-4ср2

Структурная схема для инвариантного преобразования ИХ

Z-1

Z-1

a0

b1

b2

Z-1x(nT) y(nT)




51

АЧХ аналогового фильтра (сплошная) и ЦФ (пунктир)

5.3.2. Синтез ЦФ методом отображения дифференциалов

Передаточная характеристика: ; p2p

K(p) 2срср

2

2ср

. z

TT211z

TT21T22

1

TT21T

zT1zT

2T2

T2

T1

zT2

T2

zT1z

T2

T1z1T

12z2z-1T1H(z)

тогда , )z1(T1p

2-22

срср1-

22срср

ср

22срср

22ср

2-2

1-ср2

2ср

ср2

2ср

2ср

1-срср2-2

1-22

2ср

2ср1ср21-2

2ср

1-

Таким образом, получили системную функцию H(z): 2-2

1-1

0zbzb-1

аH(z)

.

3625.0a )1.256(1.25621

)1.256(TT21

Ta 02

2

22срср

22ср

0

86706.0b 256.1256.121

256.122TT21

T22b 1222

срср

ср1

22955.0b

256.1256.1211

TT211b 2222

срср2

Структурная схема ЦФ, рассчитанного по методу отображения дифференциалов x(nT) y(nT)

Z-1

Z-1

a0

b1

b2

0 2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 5 1.2 10 5

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.1

0.04

K w( )

AI w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2




52

АЧХ ЦФ (пунктир) и фильтра-прототипа (сплошная)

0 2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 5 1.2 10 5

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.1

0.04

K w( )

AI w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2

5.3.3. Синтез ЦФ методом билинейного преобразования

Обычно, в билинейном преобразовании делается коррекция частоты. Это производится заменой ωср → ωк.

.срад 10453.12

1.256 tg10

22TtgT

2 55

срk

1z1z

T2p

, Тогда

2-22

kk

22kk1-

22kk

22k

2-1-22

kk

22k

2-22kk

1-22k

22kk

2-1-22k

2k

2k

22kk2k22

22

22k

22k

2k

22

22k

22kk

22

22k

2kk

2

2

2k

zTT224TT224

zTT224

T281

zz21TT224

TzTT224zT28TT224

zz21Tz2zT

22zT22

T4z

T8z

T4

zz21zz211-zT

22zz21T4

zz21

z1z11-zT221-z

T4

z1

11-z

T221

1-zT4

H(z)

zz

20657.0a 453.1453.1224

453.1TT224

Ta 02

2

22kk

22k

0

.

41314.0a 453.1453.1224

453.12TT224

T2a 12

2

22kk

22k

1

.

20657.0a 453.1453.1224

453.1TT224

Ta 22

2

22kk

22k

2

.




53

36953.0b 453.1453.1224

453.128TT224

T28b 12

2

22kk

22k

1

.

19582.0b 453.1453.1224453.1453.1224

TT224TT224b 22

2

22kk

22kk

2

.


1-1

-22

-110

zbzb-1zаzааH(z)

.

Структурная схема ЦФ, рассчитанного по методу билинейного преобразования

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

a1

a0

a2

b1

b2

x(nT) y(nT)


5.3.4. Синтез ЦФ по методу Z-форм

2-2ср

1-ср

-22ср

2срср

2

2ср

pp21

p

p2pK(p)

,

1z1z

2Tp 1

,

2

222

1z1z10z

12Tp .

0 2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 5 1.2 10 5

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.1

1.301 10 6

K w( )

AB w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2




54

z

12T

2T21

12T

2T21

z

12T

2T21

12T102

1

1z10z

12T

2T21

12T

z12T

2T21z

12T102

12T

2T21

1z10z12T

12Tz

12T10z

12T

2T2z

2T21z2z

1z10z12T

1z10z12T1z1z

2T21-z

1z10z12T

1-z1z10z

12T

1-z1z

2T21

1-z1z10z

12T

H(z)

2-2

2срср

22срср1-

22срср

22ср

1-2-2

2срср

22ср

2-2

2срср

1-2

2ср

22срср

1-2-2

2ср

22ср

22ср

22

2срср

2ср

2

22

2ср

22

2срср

2

22

2ср

2

222срср

2

222ср


1-1

-22

-110

zbzb-1zаzааH(z)

06514.0

12256.1

2256.121

12256.1

12T

2T21

12T

aa 2

2

22срср

22ср

20

;

0.6514a10a 01 ;

33861.0b

12256.1

2256.121

12256.1102

12T

2T21

12T102

b 12

2

22срср

22ср

1

1203.0b

12256.1

2256.121

12256.1

2256.121

12T

2T21

12T

2T21

b 22

2

22срср

22срср

2




55

Структурная схема ЦФ, рассчитанного по методу Z-форм, аналогична структурной схеме ЦФ, рассчитанного по методу билинейного преобразова-ния.


|К(w)| - аналоговый фильтр; АI(w) – ЦФ инвариантным методом; АО(w) – ЦФ методом отображения дифференциалов ; АB(w) – ЦФ билинейным методом ; АZ(w) – ЦФ методом

Z – форм 5.3.5. Преобразование частотных свойств ЦФ 5.3.5.1. Преобразование ФНЧ в ФНЧ1 Для преобразования возьмем системную функцию ЦФ синтезированного

по методу Z-форм:

2-2

1-1

-22

-110

zbzb-1zаzааH(z)

,

где 0.06514a0 , 0.6514a1 , 0.06514a2 , 33861.0b 1 , 1203.0b 2 . Для преобразования делаем замену:

0 2 10 4 4 104 6 104 8 10 4 1 105 1.2 10 5

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.1

0.04

K w( )

AZ w( )

1.001 1051.592 10 4 w2

0 2 104 4 104 6 104 8 104 1 105 1.2 105

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.1

1.301 10 6

K w( )

AI w( )

AO w( )

AB w( )

AZ w( )

1.001 1051.592 10 4 w2




56

1

11

zα1αzz

, где

30902,0T2

ωΘsin

T2ωΘ

sinα

срср

срср

т.к.

510T с. - период дискретизации. 5

срср 10256,1fπ2Θ - частота среза исходного ЦФ ФНЧ.

срад101,885Θ1,5ω 5

срср - частота среза преобразованного ЦФ ФНЧ1.

Нахождение H(z) для ФНЧ1:

2

1

1

21

1

1

2

1

1

21

1

10

zα1αzb

zα1αzb-1

zα1αzа

zα1αzаа

H(z)

212

111

21

212

111

210

αzbzα1αzbzα1

αzazα1αzazα1a

2122

12211

221

2122

12211

2210

αzα2zbzαzααzbzαzα21αzα2zazαzααzazαzα21a

2122

212

112

21

212

02

22

1101

22

10

bαbαzαb2bαbα2zαbαb1aαaαazaα2αaaaα2zaααaa

2-2

21

212

1-2

21

212

1

2-2

21

212

01-2

21

22

1102

21

22

10

zαbαb1bαbαz

αbαb1bα2bαbα2-1

zαbαb1aαаαaz

αbαb1aα2αaaaα2-

αbαb1aααаa

2-n2

1-n1

-2n2

-1n1n0

zbzb-1zаzаа

, где 30066,0αbαb1aααаaa 2

21

22

10n0

,

8757,0αbαb1

aα2αaaaα2-a 221

22

110n1

, 30066,0αbαb1aαаαaa 2

21

212

0n2

,

35445,0αbαb1

bα2bαbα2b 221

212

1n1

, 12257,0αbαb1bαbαb 2

21

212

n2

.




57

Структурная схема ЦФ ФНЧ1

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

an1

an0

an2

bn1

bn1

x(nT) y(nT)

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ЦФ ФНЧ1 (сплошная)

2 104 4 104 6 104 8 104 1 1050.2

0.4

0.6

0.8

1

An w( )

A w( )

w2

5.3.5.2. Преобразование ФНЧ в ФВЧ Для преобразования возьмем системную функцию ЦФ синтезированного


2-2

1-1

-22

-110

zbzb-1zаzааH(z)

,


1

11

zα1αzz

, где 30902,0

T2wΘ

cos

T2wΘ

cosα

срср

срср

т.к.

510T с. - период дискретизации, 5

срср 10256,1fπ2Θ - частота среза исходного ЦФ ФНЧ,

срад101,256Θω 5

срср - частота среза преобразованного ЦФ ФВЧ.




58

Нахождение H(z) для ФВЧ:

2

1

1

21

1

1

2

1

1

21

1

10

zα1αzb

zα1αzb-1

zα1αzа

zα1αzаа

H(z)

212

111

21

212

111

210

αzbzα1αzbzα1

αzazα1αzazα1a

2122

1211

221

2122

12211

210

αzα2zbzαzααzbzαzα21αzα2zazαzααzazαzα21a

2122

212

112

21

21022

22

1101

22

10

bαbαzbα2bαbα2zαbbα1aαaaαzaα2αaaaα2zaααaa

2-

221

212

1-2

21

212

1

2-2

21

212

01-2

21

22

1102

21

22

10

zαbαb1

bαbαzαbαb1

bα2bαbα21

zαbαb1aαаαaz

αbαb1aα2αaaaα2

αbαb1aααаa

2-v2

1-v1

-2v2

-1v1v0

zbzb-1zаzаа

, где 30066,0αbαb1aααаaa 2

21

22

10v0

,

8757,0αbαb1

aα2αaaaα2a 221

22

110v1

,

30066,0αbαb1

aαаαaa

221

212

0v2

,

0,35445αbαb1

bα2bαbα2b 221

212

1v1

, 12257,0αbαb1

bαbα2

21

212

2

vb .

Структурная схема ЦФ ФBЧ

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

aV1

aV0

aV2

bV1

bV2

x(nT) y(nT)




59

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ЦФ ФBЧ (сплошная)

0 2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 5 1.2 10 50.2

0.4

0.6

0.8

11.1

0.357

Av w( )

A w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2

5.3.5.3. Преобразование ФНЧ в ПФ Для преобразования возьмем системную функцию ЦФ синтезированного


2-2

1-1

-22

-110

zbzb-1zаzааH(z)

,


11z1kkα22z1k

1k1k

1k1z1kkα22z

1z,

26103,0

2cos

2cos

12

12

T

T

,

52625,12

TΘtgT

2ωωctgk ср12

, где

5срср 10256,1fπ2Θ - частота среза исходного ЦФ ФНЧ, Т=10-5 с,

срад

100,892

Θω 5ср

1 , с

рад1,7762Θω ср2 .

Нахождение H(z) для ПФ: H(z)=

2

11z1kkα22z

1k1k

1k1k1z

1kkα22z

2b11z

1kkα22z

1k1k

1k1k1z

1kkα22z

1b-1

2

11z1kkα22z

1k1k

1k1k1z

1kkα22z

2а11z

1kkα22z

1k1k

1k1k1z

1kkα22z

1а0а

В результате упрощений была получена системная функция ПФ:




60

4-pf4

3-pf3

2-pf2

1-pf1

-4pf4

-3pf3

-2pf2

-1pf1pf0

zbzb-zbzb-1

zаzаzаzааH(z)

,

где 222

21

221

222

21

200012

pf0 kbkb2kbkbbk21kaka2kakaka2aaa

a

,

222

21

221

22

22

102

0pf1 kbkb2kbkbbk21

kαa4kαa4kαa4kαa4kαa4a

,

2

222

12

21

222

221

220

20210

21

22

pf2kbkb2kbkbbk21

kαa4kαa4kαa4ka2aaa2ka2ka2a

222

21

221

200

222

21

pf3 kbkb2kbkbbk21kαa4kαa4kαa4kαa4kαa4a

,

222

21

221

222

21

200120

pf4 kbkb2kbkbbk21kaka2kakaaaaka2a

,

222

21

221

22

22

12

pf1 kbkb2kbkbbk21kαb4kαb4kαb4kα4kα4b

,

222

21

221

22

221

222

221

2221

pf2kbkb2kbkbbk21

kb22k2b2b2kαb4kαb4kα4kb2b

,

222

21

221

2222

21

pf3 kbkb2kbkbbk21kα4kαb4kαb4kαb4kα4

b

,

222

21

221

12

22

122

2pf4 kbkb2kbkbbk21

b1k2kbkbkb2kbb

.

Численные значения коэффициентов цифрового ПФ:

0,21773b 0,31266,b 0,89722,b 0,72106,b0,06296,a,18462,0a 0,62954,a 0,18462,a 0,06296,a

pf4pf3pf2pf1pf4pf3pf2pf1pf0

Структурная схема цифрового ПФ

apf0

apf2

Z-1

Z-1

apf1

Z -1

Z -1

bpf1

bpf2

apf4

Z-1

Z-1

apf3

Z -1

Z -1

bpf3

bpf4

x(nT) y(nT)




61

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ПФ (сплошная)

0 2 104 4 104 6 104 8 104 1 105 1.2 1050.2

0.4

0.6

0.8

11.1

0.357

Apf w( )

A w( )

1.001 1051.592 10 4 w2

A(w)-АЧХ исходного ЦФ, An(w)-АЧХ ЦФНЧ, Av(w)-АЧХ ЦФВЧ (точки),

Apf(w)-АЧХ ПФ (пунктир)

1 10 4 2 10 4 3 10 4 4 10 4 5 10 40.2

0.4

0.6

0.8

11.1

0.357

A w( )

An w( )

Av w( )

Apf w( )

5.005 10 41.592 10 4 w2

5.3.6. Нахождение нулей и полюсов

Возьмем системную функцию ЦФ, синтезированного по методу Z-форм

22

11

22

110

zbzb1zazaaH(z)

,

где .1203.0b;33861.0b;06514.0a;6514.0a;06514.0a 21210 . Чтобы найти значения нулей и полюсов, перейдем к положительным

степеням z: 0,1203z33861.0z

0,06514z0,6514z0,06514H(z) 2

2

.

Найдем значения полюсов, для этого приравняем знаменатель системной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравне-ние: 00,1203z33861.0z2 , найдем корни этого уравнения:

0,303i0,169

20,1203140,338610,33861

z2

1

,

0,303i-0,169

20,1203140,33861-0,33861

z2

2

.




62

Значения полюсов: 0,303i0,169zп1 и 0,303i-0,169zп2 . Для нахождения значения нулей вынесем общий множитель 0,06514 из

числителя, чтобы получить характеристическое уравнение: 01z10z2 , корни этого уравнения:

0,101

21141010

z2

1

, 9,89

21141010

z2

2

.

Значения нулей: ,1010zн1 и ,899zн2 .

Картина нулей и полюсов на комплексной Z-плоскости

0,5Re(Z)

Im(Z)

-i0,5

-0,5-1,5-10

Zн1 = -9,9 Zн1 = -0,1

Zп2 = 0,169 – i0,303

Zп1 = 0,169 + i0,303

Окружность с R=1

i0,5

5.3.7. Проверка условия устойчивости фильтра Устойчивость фильтра определяется значениями коэффициентов b1 и b2.

0bzbz 212 .

Корни этого уравнения:2

b4bbz 2

211

1

, 2

b4bbz 2

211

2

.

Фильтр устойчив, когда Z 1.или 1,2z1 , т.е. 2

b4bb1 2

211

.

Рассмотрим два случая: 7.1. Когда дискриминант больше либо равен нулю 0b4b 2

21 , отсю-

да:

2

2112

211

22

11 b4bb2b4bb22

b4bb1 в ре-

зультате решения этого неравенства получаем четыре попарно равных нера-венства: 2121 bb1,bb1 .




63

7.2. Когда дискриминант меньше нуля 0b4b 22

1 , то:

4b4b-

4b

12

b4bj

2b

12

b4bb1 2

21

212

2112

211

1bb1 22 .

По полученным неравенствам построим треугольник устойчивости:

Треугольник устойчивости

b1

b2

-1

-1

1

1

2-2

КС

АС

1 - b1 b2

1 + b1 b2

b2 -1

Так как точка с координатами ( b1,b2 ) внутри треугольника устойчиво-сти, то ЦФ ФНЧ является устойчивым.

Колебательные системы (КС): 2122

1 b2jb0b4b . Апериодические системы (АС): 212

21 b2jb0b4b .

Судя по треугольнику устойчивости, данный ЦФ ФНЧ является колеба-тельной системой.

5.3.8. Расчет первых 10 отсчетов импульсной и переходной

характеристик, выражение для системной функции и АЧХ ЦФ Выражение для передаточной функции фильтра рассчитанного по мето-

ду Z-форм

22

11

22

110

zbzb1zazaaH(z)

,

где .1203.0b;33861.0b;06514.0a;6514.0a;06514.0a 21210 Расчет АЧХ для фильтра синтезированного по методу Z-форм:

TωjexpHωA , В системной функции H(z) производится замена z-1 exp(-jT):




64

Tω2jexpbTωjexpb1

Tω2jexpaTωjexpaazbzb1zazaaH(z)

21

2102

21

1

22

110

,

разложение экспоненты через синусы и косинусы:

Tω2sinjTω2cosbTωsinjTωcosb1Tω2sinjTω2cosaTωsinjTωcosaaT))ωH(exp(j

21

210

Tω2sinbTωsinbjTω2cosbTωcosb1Tω2sinaTωsinajTω2cosaTωcosaa

2121

21210

2

212

21

21210

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2cosbTωcosb1Tω2cosaTωcosaa

2

212

21

2121

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2sinbTωsinbTω2sinaTωsina

2

212

21

21210

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2sinbTωsinbTω2cosaTωcosaaj

2

212

21

2121

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2cosbTωcosb1Tω2sinaTωsinaj

TωjexpHJmjTωjexpHRe , где

2

212

21

21210

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2cosbTωcosb1Tω2cosaTωcosaaTωjexpHRe

221

221

2121

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2sinbTωsinbTω2sinaTωsina

,

2

212

21

21210

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2sinbTωsinbTω2cosaTωcosaaTωjexpHJm

221

221

2121

Tω2sinbTωsinbTω2cosbTωcosb1Tω2cosbTωcosb1Tω2sinaTωsina

.

АЧХ: 22 TωjexpHJmTωjexpHReTωjexpHωA .

С помощью передаточной функции запишем разностное уравнение:

T2nTybTnTybT2nTxaTnTxanTxanTy 21210 , n0.

Для расчета первых 10 отсчетов импульсной характеристики произво-дится замена: nTδnTx , где

0n,0

0n,1nTδ ,

T2nTybTnTybT2nTδaTnTδanTδanTy 21210 .

Численные значения первых 10 отсчетов импульсной характеристики:

.10,054010y;100,0129y;100,488y

;1025,17y;100,476y;0,011715y;0,029044y;0,01563y;0,285342y;0,673461y;0,065140y

3-3-3-

3-3-




65

График импульсной характеристики

0 5 10 15 200.5

0

0.5

10.673

0.029

yn

0

202 n

Для расчета первых 10 отсчетов переходной характеристики в разност-ном уравнении производится замена: nTUnTx ,

где

0.n,00,n,1

nTU

.T2nTybTnTybT2nTUaTnTUanTUanTy 21210

Численные значения первых 10 отсчетов переходной характеристики: 1.10y;19y;18y;17y;0,9986y;,99905y

;1,014y;,0413y;1,0242y;0,7391y;0,0650y

График переходной характеристики

5.3.9. Структурная схема фильтра для прямой и канонической форм

реализации Системная функция ЦФ ФНЧ, синтезированного в пункте 4:

22

11

22

110

zbzb1zazaaH(z)

.

5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.51.04

0

y n

0

205 n




66

Структурная схема фильтра для прямой формы реализации

x(nT) y(nT)

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

a1

a0

a2

b1

b1

Структурная схема фильтра для канонической формы реализации

x(nT) y(nT)

Z-1

Z-1

a2

b1

b2

a1

a0

5.3.10. Алгоритм обработки фильтра для прямой и канонической

форм реализации и объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала

Исходя из структурной схемы фильтра для прямой и канонической форм

реализации следует записать разностное уравнение и пояснить алгоритм формирования выходного сигнала по каждому из тактов его обработки.

5.3.11. Расчет среднеквадратического значения шума квантования

всех источников

Т.к. 2120 a10a ,aa , то для уменьшения 2выхσ схему ЦФ можно уп-

ростить. Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализа-ции учитывая то что 1a;1a 20 т.е. умножения не происходит, и то что

10a1 при умножении на целое число шумы не вносятся:




67

Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации x(nT) y(nT)

z-1

z-1

a1

z-1

b1

e2(nT)

b2

e3(nT)

z-1

e0(nT)

k

e1(nT)

Где - nTe0 это шумы АЦП, nTe1 это шумы вносимые при умножении на коэффициент 0k , nTe2 и nTe3 это шумы вносимые при умножении на коэффициенты 1b и 2b соответственно. Нахождение среднеквадратического значения шума АЦП:

dzzjπ2

1σdzzzHzHjπ2

1σσ 02

вх011

002

вх02

вых0 .

21

21

2

022

11

211

00 bzbz1zazk

zbzb1zza1kzH

,

221

21

02

11

2

11

2

01-

0 zbzb1zza1k

bzbz1zazkzH

,

12

21

21

021

21

2

011

000 zzbzb1

zza1kbzbz1zazkzzHzHz

212121

2212

021

2221

2212

0zzzzzzzzzzz

zza1kbzbzzbzb1

zza1k ,

где 1z и 2z корни характеристического уравнения 0bzbz 212 , а

1z и 2z

корни характеристического уравнения 0b1z

bbz

2

1

2

12 .

.b4bb

2z;

b4bb

2z;

2b4bb

z;2

b4bbz

22

112

22

111

22

111

22

111

То есть 2

21

1z

1z,z

1z .

dz

zzzzzzzzzzz

zza1kjπ2

1σσ212121

2212

02

вх02

вых0




68

0z

zzzzzzzzzzz

zza1kσ212121

2212

00z

2вх0 lim

1

212121

2212

0zz

zzzzzzzzzzzzz

zza1klim1

2

212121

2212

0zz

zzzzzzzzzzzzz

zza1klim2

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

1bb1bbb1b2aba2ba4b2kσσ

21212

22

212

2111

212

02

вх02

вых0

.

12Δσ

22

вх0 , С2Δ , где С разрядность АЦП.

Принимаем разрядность АЦП равной 8. Тогда: 628

2вх0 101,272

122σ

,

отсюда 72вых0 10872,6σ .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при ум-ножении на k0:

dzzjπ2

1σdzzzHzHjπ2

1σσ 12вх1

1111

2вх1

2вых1 .

21

21

2

22

11

211

1 bzbz1zaz

zbzb1zza1zH

,

221

21

21

12

11

21-

1 zbzb1zza1

bzbz1zazzH

,

12

21

21

212

12

11111 z

zbzb1zza1

bzbz1zazzzHzHz

212121

2211

2122

21

221

zzzzzzzzzzz

zza1bzbzzbzb1

zza1 z .

Произведя расчет аналогичный расчету среднеквадратического значения шума АЦП, запишем аналитическое выражение для среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на k0:

1bb1bbb1

b2aba2ba4b2σσ21212

22

212

2111

212

вх12вых1

.

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на k0 в численном виде: 62

вх1 101,272σ , отсюда 42вых1 1062,1σ .




69

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при ум-ножении на коэффициент b1:

dzzjπ2

1σdzzzHzHjπ2

1σσ 22

вх211

222

вх22

вых2 .

21

2

2

22

11

2 bzbzz

zbzb11zH

,

2212

11

2

21-

2 zbzb11

bzbzzzH

,

12

21212

211

222 zzbzb1

1bzbz

zzzHzHz

2121212122

21 zzzzzzzzzz

zbzbzzbzb1

z .

dz

zzzzzzzzzz

zjπ2

1σσ212121

2вх2

2вых2

1212121zz

2вх2 zz

zzzzzzzzzz

zσ lim1

2212121zz

zzzzzzzzzzzz

zlim2

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

1bb1bbb11bσσ

21212

22вх2

2вых2

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при ум-ножении на коэффициент b1 в численном виде:

62вх2 101,272σ , отсюда: 62

вых2 1042,1σ .


dzzjπ2

1σdzzzHzHjπ2

1σσ 32

вх311

332

вх32

вых3 .

12

21212

211

333 zzbzb1

1bzbz

zzzHzHz

Вывод аналитического выражения для 2

вых3σ коэффициента b2 и расчет численного его значения аналогичен, приведенному выше для коэффициента b1.

1bb1bbb1

1bσσ21212

22вх3

2вых3




70

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на ко-эффициент b2 в численном виде:

62вх3 101,272σ , отсюда 62

вых3 1042,1σ .

Эквивалентная шумовая схема фильтра для канонической формы реализации x(nT) y(nT)

e0(nT)

k0

e1(nT)a1

z-1

b1

e2(nT)

b2

e3(nT)

z-1

Нахождение аналитического выражения для 2вых0σ , вносимого со сторо-

ны АЦП, и 2вых1σ , вносимого при умножении на коэффициент k0, аналогично

проведенному выше для прямой формы реализации ЦФ. Численные значения также будут совпадать.

1bb1bbb1

b2aba2ba4b2kσσ21212

22

212

2111

212

02

вх02

вых0

,

1bb1bbb1


22

212

2111

212

вх12вых1

,

72вых0 10872,6σ , 42

вых1 1062,1σ .


dzzjπ2

1σdzzzHzHjπ2

1σσ 22

вх211

222

вх22

вых2 .

212121

2211

2122

21

221

2zzzzzzzzzzz

zza1bzbzzbzb1

zza1z z

1bb1bbb1


22

212

2111

212

вх22

вых2

В численном виде: 62вх2 101,272σ , 42

вых2 1062,1σ .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при ум-ножении на коэффициент b2 аналогично:




71

1bb1bbb1


22

212

2111

212

вх32

вых3

.

В численном виде: 62вх3 101,272σ , отсюда 42

вых3 1062,1σ . 5.3.12. Изменение значений нулей, полюсов и частотной характери-

стики при изменении коэффициентов ЦФ Системная функция ЦФ ФНЧ синтезированного в пункте 4:

22

11

22

110

zbzb1zazaaH(z)

,

где .1203.0b;33861.0b;06514.0a;6514.0a;06514.0a 21210

а) а1 = 0; системная функция имеет вид: 22

11

220

zbzb1zaaH(z)

,

Чтобы найти значения нулей и полюсов, перейдем к положительным степеням z:

Значения полюсов не изменяются т.к. не изменяется знаменатель H(z). Найдем значения нулей:

т.к. 20 aa , то 01z 2 , т.е. j1zн1 , j1zн2 .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ, при а1 = 0 - сплошная

2 104 4 104 6 104 8 104 1 105

0.18

0.37

0.55

0.73

0.92

1.11.1

2.168 10 4

A w( )

A1 w( )

1.001 1051.592 10 4 w2

б) а2 = 0; системная функция имеет вид: 22

11

110

zbzb1zaaH(z)

,

Значения полюсов не изменяются т.к. не изменяется знаменатель H(z). Найдем значения нулей: т.к. 10 a10a , то 010zzz10z 2 , Получили значения нулей: 10z,0z н2н1 .




72

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при а2 = 0 - сплошная

2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 50.2

0.35

0.5

0.65

0.8

0.95

1.1

0.357

A w( )

A2 w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2

в) а1 = а2= 0; системная функция имеет вид: 22

11

0

zbzb1aH(z)

,

Значения полюсов не изменяются т.к. не изменяется знаменатель H(z). Найдем значения нулей: 0z 2 , получили значения нулей: 0z,0z н2н1 .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при а1 = а2= 0 - сплошная

2 104 4 104 6 104 8 104 1 105

0.18

0.37

0.55

0.73

0.92

1.11.1

0.045

A w( )

A3 w( )

1.001 1051.592 10 4 w2

г) b2 = а2= 0; системная функция имеет вид:, 11

110

zb1zaaH(z)

.

Найдем значения полюсов: Для этого приравняем знаменатель систем-ной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение:

00,33861z , Значение полюса: 33861,0zп1 . Найдем значения нулей: т.к. 10 a10a , то 010zzz10z 2 , Получили значения нулей: 10z,0z н2н1 .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при b2 = а2= 0.- сплошная

2 10 4 4 10 4 6 10 4 8 10 4 1 10 50.2

0.35

0.5

0.65

0.8

0.95

1.1

0.357

A w( )

A4 w( )

1.001 10 51.592 10 4 w2




73

д) b1 = 0; системная функция имеет вид:, 22

22

110

zb1zazaaH(z)

.

Найдем значения полюсов: Для этого приравняем знаменатель систем-ной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение:

00,1203z2 , Получили значения полюсов: 347,0jzп1 , 347,0jzп2 Значения нулей не изменятся.

АЧХ исходного ЦФ – пунктир, АЧХ ЦФ при b1 = 0 – сплошная.

2 104 4 104 6 104 8 104 1 1050.2

0.35

0.5

0.65

0.8

0.95

1.1

0.357

A w( )

A1 w( )

1.001 1051.592 10 4 w2




М.И. Курячий - tu.tusur.rutu.tusur.ru/upload/liblink/cos.pdf · ЦИФРОВАЯ...

Documents