カオスと分岐非線形システム特論

池口徹

埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻338–8570さいたま市桜区下大久保 255Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716

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カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.1/34

分岐 (bifurcation)とは

(離散時間)力学系

x(t + 1) = fµ(x(t))

におけるパラメータ µの値を変化させて解を求める

⇒パラメータ値に応じて，様々な解のタイプ＝力学系の解の構造が変化＝分岐

例: カオスでない状態→カオス (カオスへ至るルート)固定点 (不動点)⇒周期解⇒ · · · ⇒カオス

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.2/34

分岐の例

ロジスティック写像の分岐図 (bifurcation diagram)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.3/34

ロジスティック写像と分岐

ロジスティック写像

x(t + 1) = ax(t)(1 − x(t)) � fa(x(t))を対象にして，

不動点

m−周期点初期値 x(0)に関する軌道

不動点の安定性

を考えよう．

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.4/34

不動点と周期点

不動点，固定点 (fixed point)

x̄ s.t. fa(x̄) = x̄

m−周期点 (mは自然数)

f ma (x) = xf na (x) � x (n = 1, 2, 3, . . . ,m − 1)

(注意) f na (x) � { fa(x)}n例)

fa(x) = ax(1 − x)f 2a (x) = fa( fa(x)) = a {ax(1 − x)} (1 − {ax(1 − x)})

= · · · � a2x2(1 − x)2 = { fa(x)}2

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.5/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

軌道と図式解法

初期値 x(0)に関する軌道

{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34

ロジスティック写像と図式解法

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

a = 2.4 a = 3.2 a = 3.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)

x(t +

1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)x(

t +1)

a = 3.7 a = 3.84 a = 4.0カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.7/34

不動点の安定性

安定な不動点x̄ = fa(x̄)| f ′a(x̄)| < 1

x̄ + �(t + 1) = fa(x̄ + �(t))≈ fa(x̄) + f ′a(x̄)�(t)= x̄ + f ′a(x̄)�(t)

∴ �(t + 1) = f ′a(x̄)�(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.8/34

不動点の安定性

[定理]力学系 f (x)が微分可能で， f ′(x)は連続であるとする．x̄を力学系 f (x)の不動点とする．| f ′(x̄)| < 1であるとき，x̄の近傍V が存在して，

x̄ ∈ V ⇒ limn→∞ f

n(x̄) = x̄

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.9/34

不動点の安定性

今，| f ′a(x̄)| < 1であるから

0

不動点の安定性

次に， fa(p) ∈ I なので fa(p)と fa(x̄)に同じことを適用すると，∣∣∣ f 2a (p) − f 2a (x̄)∣∣∣ = | fa( fa(p)) − fa( fa(x̄))| < λ| fa(p) − fa(x̄)|つまり ∣∣∣ f 2a (p) − x̄∣∣∣ < λ2|p − x̄|これを n回繰り返すと

∣∣∣ f na (p) − x̄∣∣∣ < λn|p − x̄|0 < λ < 1であるから λn → 0(n→ ∞)

∴ f na (p)→ x̄(n→ ∞)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.11/34

不動点の安定性 (補足)

状態空間の中で x̄に収束する pの集合をベイスン(basin)，引き込み領域

この定理は，不動点の近傍のみにおいて成立．大域的には何も言えない．

但し，ロジスティック写像の場合は，不動点がこの意味で安定であれば，I ∈ [0, 1]に対して大域的吸引不動点．不安定な不動点

x̄ = fa(x̄), | f ′a(x̄)| > 1n周期点については， fa → f na とする．

x̄ = f na (x̄), |(f na

)′ (x̄)| < 1カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.12/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0

2. u = 1 − 1a

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a

2. u = 1 − 1a

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a

0 ≤ a < 1 0 ≤ f ′a(0) < 1 安定1 < a f ′a(0) > 1 不安定

2. u = 1 − 1a

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))

不動点 uは?

u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a

0 ≤ a < 1 0 ≤ f ′a(0) < 1 安定1 < a f ′a(0) > 1 不安定

2. u = 1 − 1aまず，解の存在を考える必要がある．

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34

ロジスティック写像の場合

2. u = 1 − 1a

0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34

ロジスティック写像の場合

2. u = 1 − 1a

0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する

このとき，

f ′a

(1 − 1

a

)= a − 2a

(1 − 1

a

)= 2 − a

より，

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34

ロジスティック写像の場合

2. u = 1 − 1a

0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する

このとき，

f ′a

(1 − 1

a

)= a − 2a

(1 − 1

a

)= 2 − a

より，0 ≤ a < 1 | f ′a

(1 − 1a

)| > 1 u = 1 − 1a は不安定

1 ≤ a < 3 | f ′a(1 − 1a

)| < 1 u = 1 − 1a は安定

3 < a ≤ 4 | f ′a(1 − 1a

)| > 1 u = 1 − 1a は不安定

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34

トランスクリティカル分岐

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5

0

0.5

1

a

x

u = 0, u = 1 − 1a ,実線:安定，破線:不安定

2つの不動点の間で，安定性が入れ替わる

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.15/34

ロジスティック写像の分岐図

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34

ロジスティック写像の分岐図

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34

ロジスティック写像の分岐図

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34

周期倍分岐

a = 3以降では何が起きているか?

u = 1 − 1a = 1 − 13 = 23 であるから，

f ′a(u) = a − 2au = 3 − 2 · 3 ·23= −1

つまり，a > 3では f ′a(u) < −1となり不安定化分岐図をみると，a > 3では 2周期解が現れているfa(x)と f 2a (x)のグラフを描いてみよう

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.17/34

ロジスティック写像 a = 3付近

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f1,f2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xf1

,f20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f1,f2

a = 2.8 a = 3.0 a = 3.3

a = 2.8 < 3では不動点 u = 1 − 1a ≈ 0.6429 · · · が安定a = 3では f 2 が u = 2/3において接している

a = 3.3 > 3では f 2 と 45度の直線が 4箇所 (不動点 uと2周期解 q1, q2)で交わっている．

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.18/34

周期倍分岐

まず，不動点 uに対して，2回写像 f 2a に関する安定性，不安定性を考えてみよう．

(f 2a

)′(u) = f ′a( fa(u)) · f ′a(u)= f ′a(u) · f ′a(u)=

{f ′a(u)

}2

1 < a < 3では | f ′a(u)| < 1⇐⇒(

f 2a)′

(u) < 1

a = 3では | f ′a(u)| = −1⇐⇒(

f 2a)′

(u) = 1

a > 3では | f ′a(u)| > −1⇐⇒(

f 2a)′

(u) > 1

a = 3を越えると不動点 uも f 2a について不安定

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.19/34

周期倍分岐

2周期点 q1, q2 を求めると

f 2a (q) = q⇐⇒ f 2a (q) = a {aq(1 − q)} {1 − aq(1 − q)} = q⇐⇒ q

(q − 1 + 1

a

) {a2q2 − (a2 + a)q + a + 1

}= 0

⇐⇒ qi = a + 1√

(a + 1)(a − 3)2a

, (i = 1, 2)

2周期点の点の安定性を見るためには，2回写像に関する微分

係数(

f 2a)′

(q1),(

f 2a)′

(q2)の値を求めてやれば良い

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.20/34

周期倍分岐

まず，q1, q2 は 2周期点なので，

fa(q1) = q2, fa(q2) = q1

であることに注意すると，(

f 2a)′

(q1) = ( fa ( fa(q1)))′

= f ′a( fa(q1)) · f ′a(q1)= f ′a(q2) · f ′a(q1) =

(f 2a

)′(q2)

f ′a(x) = a − 2ax = a(1 − 2x)であるから，

f ′a(q1) = a(1 − 2q1)f ′a(q2) = a(1 − 2q2)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.21/34

周期倍分岐

従って，(

f 2a)′

(q1) =(

f 2a)′

(q2) = f ′a(q2) · f ′a(q1)= a2(1 − 2q1)(1 − 2q2)= a2 {1 − 2(q1 + q2) + 4q1q2}

ここで q1, q2 は以下の方程式の解である

a2q2 − (a2 + a)q + a + 1 = 0解と係数の関係より

q1 + q2 =a2 + a

a2, q1q2 =

a + 1a2

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.22/34

周期倍分岐

まとめると(

f 2a)′

(q1) =(

f 2a)′

(q2) = f ′a(q2) · f ′a(q1)= a2(1 − 2q1)(1 − 2q2)= a2 {1 − 2(q1 + q2) + 4q1q2}= −a2 + 2a + 4 = −(a − 1)2 + 5

(f 2a

)′(q1) = −1より

a = 1 +√

6 = 3.44948974278318 . . .(と a = 1 − √6 < 0)(

f 2a)′

(q1) = 1より a = 3 (と a = −1 < 0)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.23/34

2周期解から4周期解へ

a = 3.67付近で 2周期解が消え，4周期解が現れる．

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

f 2, f 4 を描くとどうなるか？

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.24/34

2周期解から4周期解

f → f 2 と類似の関係が， f 2 → f 4 にもある

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f2,f4

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.25/34

2周期解から4周期解

f → f 2 と類似の関係が， f 2 → f 4 にもある

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f2,f4

4周期解から 8周期解は?

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.25/34

4周期解から8周期解

再び， f → f 2， f 2 → f 4 と類似の関係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f4,f8

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34

4周期解から8周期解

再び， f → f 2， f 2 → f 4 と類似の関係

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

x

f4,f8

0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

x

f4,f8

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34

4周期解から8周期解

再び， f → f 2， f 2 → f 4 と類似の関係

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

x

f4,f8

0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

x

f4,f8

以降 (8→ 16→ 32→ · · · )も同様カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34

2→4→8→16→ · · · → 2∞

3.54 3.545 3.55 3.555 3.56 3.565 3.570.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.27/34

2→4→8→16→ · · · → 2∞

3.54 3.545 3.55 3.555 3.56 3.565 3.570.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

分岐点を an : 2n−1 → 2n とすると...

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.27/34

ファイゲンバウム定数

limn→∞

an − an−1an+1 − an = 4.669201609103

なぜこれが人々を驚かせたか?

1次元写像で求められた定数が，実験系においてもかなりの精度で推定されたため →

Universality普遍性

条件1. unimodal (単峰性) 1次元写像2. f ′′(x) � 0 at peak

3. Schwarz微分 S ( f ) = f′′′f ′ − 32

(f ′′f ′)2< 0

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.28/34

3周期の窓

一番目立つ (?) 窓→周期 3

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a

x(t)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.29/34

3周期の窓

なぜ，周期 3の窓が出現するのか⇒ f 3a を考える

f 3a (x) = x⇐⇒ x(x − 1 + 1a

) (xの 6次式

)⇐⇒ a2 − 2a − 7 = 0⇐⇒ a = 1 ± √8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f,f3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f,f3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f,f3

a = 3.8 a = 1 +√

8 a = 3.84

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.30/34

a = 1 +√

8前後

各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +

√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835

安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34

a = 1 +√

8前後

各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +

√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835

安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f3

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34

a = 1 +√

8前後

各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +

√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835

安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.560.48

0.49

0.5

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

x

f3

0.95 0.952 0.954 0.956 0.958 0.96 0.962 0.9640.95

0.952

0.954

0.956

0.958

0.96

0.962

0.964

x

f3

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34

3周期の窓付近

3→ 6→ 12→ 24→ · · · → 3 · 2n · · · → ∞(n→ ∞)

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.32/34

接線分岐

安定な周期解と不安定な周期解がペアになって生じる

接線分岐 (tangent bifurcation)安定な 3周期点 ⇒周期倍分岐を経てカオス不安定な 3周期点

接線分岐を逆に辿ると間欠性カオス (intermittency)が発生

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.33/34

参考文献

M. J. Feigenbaum : J. Stat. Phys, 19(1), 25–32, 1978;21(6), 669–766, 1979

山口昌哉: カオスとフラクタル，ブルーバックス，講談社．

早間慧 (はやまさとし): カオス力学の基礎第 2版，現代数学社．

R. L. Devaney: カオス力学系入門第 2版，共立出版．

他

カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.34/34

ʬ´ô (bifurcation)¤È¤Ïʬ´ô¤ÎÎã¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü¤Èʬ´ôÉÔÆ°ÅÀ¤È¼þ´üÅÀµ°Æ»¤È¿Þ¼°²òË¡¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü¤È¿Þ¼°²òË¡ÉÔÆ°ÅÀ¤Î°ÂÄêÀ�ÉÔÆ°ÅÀ¤Î°ÂÄêÀ�ÉÔÆ°ÅÀ¤Î°ÂÄêÀ�ÉÔÆ°ÅÀ¤Î°ÂÄêÀ�ÉÔÆ°ÅÀ¤Î°ÂÄêÀ� (ÊäÂ�)¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü¤Î¾ì¹ç¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü¤Î¾ì¹ç¥È¥é¥ó¥¹¥¯¥ê¥Æ¥£¥«¥ëʬ´ô¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü¤Îʬ´ô¿Þ¼þ´üÇÜʬ´ô¥í¥¸¥¹¥Æ¥£¥Ã¥¯¼ÌÁü $a=3$ ÉÕ¶á¼þ´üÇÜʬ´ô¼þ´üÇÜʬ´ô¼þ´üÇÜʬ´ô¼þ´üÇÜʬ´ô¼þ´üÇÜʬ´ô2¼þ´ü²ò¤«¤é4¼þ´ü²ò¤Ø2¼þ´ü²ò¤«¤é4¼þ´ü²ò4¼þ´ü²ò¤«¤é8¼þ´ü²ò2$ightarrow $4$ightarrow $8 $ightarrow $16$ightarrow cdots ightarrow 2^infty $¥Õ¥¡¥¤¥²¥ó¥Ð¥¦¥àÄê¿ô3¼þ´ü¤ÎÁë3¼þ´ü¤ÎÁë$a=1+sqrt 8$ Á°¸å3¼þ´ü¤ÎÁëÉÕ¶áÀÜÀþʬ´ô»²¹Íʸ¸¥