【展開用】日曜数学会 sinc関数の積分について
TRANSCRIPT
1
Sinc関数の広義積分について
日曜数学者 Kuma
日曜数学会 vol.4
2016年1月30日
0
sin( )n
n
xI dx
x
Agenda
2
1. 自己紹介
2. きっかけ ～２つの疑問～
3.取り組み 3.1 第1の疑問～Fourier変換の妙～ 3.2 第2の疑問
3
簡単な自己紹介
HN：くま (Kuma) 経歴：工学修士卒→会社員（技術屋）
注意!! 数学と本業の接点はなし。全て独学です！
好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論
趣味：バードウォッチャー（見習い）、日本酒、ゆるキャラ
生主やってます。 講座/演習、理系ニュース紹介Co1644269
[数学・物理学の話をしようず]
きっかけ ～２つの疑問～
4
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
𝐶4
2
0
sin( )xdx
x
を求めよ。
とある大学院試験本番にて遭遇
0
sin( )
2
xdx
x
を応用して解けそう・・・・
きっかけ ～２つの疑問～
5
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
𝐶4
2
0
sin( )
2
xdx
x
0
sin( )
2
xdx
x
を応用して解けそう・・・・
なんと…同じく𝜋
2になるのです！
きっかけ ～２つの疑問～
6
【疑問】 なぜ𝑰𝟏 = 𝑰𝟐となるのか？
0
sin( )n
n
xI dx
x
【挑戦】 𝑰𝒏の公式を出してみよう
誰得な公式だけど未発表だったら嬉しいじゃん？
今のところ納得できる理由得られず。。。
取り組み ~第1の疑問～
7
【疑問】 なぜ𝑰𝟏 = 𝑰𝟐となるのか？
0
sin( )n
n
xI dx
x
𝑰𝟏 > 𝑰𝟐となってもよさそう。。
sinc(x) Sinc^2(x) 1/x 1/x^2
減衰遅い 減衰早い
8
【疑問】 なぜ𝑰𝟏 = 𝑰𝟐となるのか？
0
sin( )n
n
xI dx
x
sinc(x) Sinc^2(x) 1/x 1/x^2
Sinc^1の負の積分による損 と sinc^2 の減衰による損 が釣り合う！？
ほんとに“偶然”？
取り組み ~第1の疑問～
9
寄り道 ~第1の疑問～
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
2
0
sin( )xdx
x
を求めよ。
①複素積分を使わずに ②複雑な計算なしで 違うアプローチで導出できないか？ (sincの性質をもう少し知りたい！）
Fourier変換を用いると導出することが出来る！
( ) ( )f x g x
【事実1】
( )× ( )F G Fourier変換対
2( ) ( ) j fxF f x e dx
sinc(x)
【事実2】
rect( ) Fourier変換対
( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d
rect(x) sinc(x) Fourier変換対
2( ) ( ) j fxf x F f e df
( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d
sincf g とする。
sinc sincFourier変換対 2 2rect
2rect rect だから
sinc sincFourier変換対
2 rect
sinc
( ) ( )f x g x
【事実1】
( ) ( )F G Fourier変換対
( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d
sincf g とすると
sinc sinc ( ) sinc( )x x
【事実3】
2
2
0
sinc( )sinc( ) sinc( )
0
sinc( )
sinc sinc( )2
x d x
x
d
d
とすると
は偶関数だから
Sincの累乗に 一般化できないか？
→3連畳み込みは3乗の積分には持ち込めない。。
フーリエ変換のパーセバルの等式使えばすぐ出せるんだけどね・・・。
sinc sinc ( ) sinc( )x x
【寄り道の成果】
をFourier変換を用いて導出できることを示した。 同時に、直感的な（易しい）理解を与えた。
【疑問】 なぜ𝑰𝟏 = 𝑰𝟐となるのか？ は未解決。。
まとめ ~第1の疑問～
【課題】
フーリエ変換がF^2=kF となる任意の関数の二乗積分を求められる。
0
sin( )n
n
xI dx
x
【挑戦】 𝑰𝒏の公式を出してみよう
誰得な公式だけど未発表だったら嬉しいじゃん？
挑戦 ~第2の疑問～
1乗、2乗の時の単純な応用で出すことができた。 （複素積分。計算は大変よ）
0
sin( )
( )C
xdx
x
g z dz
＝？
⇒ を分割して考える。
1.閉路𝐶は留数定理により積分値0
2. 𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)
3. 𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
1 3 20sinc( ) ( ) ( )
C C Cx dx g z dz g z dz
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
𝐶4
( )2
jzeg z
jz
(補足) sinc^1の積分
sin 1
2 2
1( )
2
jx jx jx jxR R R R
r r r r
jxR R R R
r r r r
x e e e edx dx dx
x jx j x x
edx g x dx
j x
𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙+∞
𝟎
に等しい
1 30sinc( ) ( )
C Cx dx g z dz
【証明】
1 3 20sinc( ) ( ) ( )
C C Cx dx g z dz g z dz
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im1
0
1
0
1 ( )( )
2 2 !
log( ), ( 1)
, ( 1)1
, ( 1)
0, ( 1)
jz nn
n
k k
r
e jzg z z
jz j n
z k
z dz zk
k
j k
k
ここで
𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )sinc( )
2 2
jx dx
j
( )
sin
2
1
(2 )
nn jx jxR R
r r
Rjkx jx n k
n kn kr
x e edx dx
x jx
C e e dxjx
Sincのn乗になると何が違う？
二項定理
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
積分するとき𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )
!
nnjz
n
jze
n
nI の公式が得られる！
sinc^nの積分
2 1
1 2
2 12 10
1( 1) ( )( (2 2 1)) / (2 )!
(2 )
m
k mk m
m kmk
I
C j j k m mj
(OEISA049330 and A049331; Grimsey 1945, Medhurst and Roberts 1965).
しかし、残念ながらすでに計算されていた。。
まとめ ~第2の疑問～
目標の公式を得ることができた！
20
まとめ
【疑問】 なぜ𝑰𝟏 = 𝑰𝟐となるのか？ は未解決。。
【課題】
𝑰𝒏の公式の導出に成功。先駆者あり。。
【成果】
𝒔𝒊𝒏𝒄の畳み込み公式の 新たな手法での導出。
【成果】
フーリエ変換がF^2=kF となる任意の関数の二乗積分を求められる。
付録：sincの2乗の計算過程
22
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
sin
2
1 12
(2 )
1 1 1
(2 )
1( ) ( ) ( )
(2 )
jx jxR R
r r
j x j xR R R
r r r
j x j xR R
r r
j xR r
r R
x e edx dx
x jx
e edx
j x x x
e edx
j x x
eh x h x h x dx
j x
とすると
Nが偶数 ⇒expが打ち消し合い 1/x^nが出現
付録：sincの2乗の場合の計算
1.閉路𝐶は留数定理により積分値0
2. 𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)[※]
3. 𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒏𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im
𝐶4
2
2 2
1( )
(2 )
j zeh z
j z
1乗の時の以下の性質は同様に成り立つ。
※2.については1/x^2の項もC4上での積分計算すれば0となることが分かる。
付録：sincの2乗の場合の計算
24
inf .
0
inf .2 1
2 1 2 10
2 1
2 1 2 1
0 2 1
2 1 2 1
0 2 1 2
: (sin / )
2 1, 0,1,2...
1(exp( ) exp( ))
(2 )
(e )
( ) ( e )
( ) (e )
n
n
m
m m
jx jx m
k m jx k jx m k
k m k
k m jx k jx m k k m
k m k k m m
I x x dx
n m m
jx jx dxjx
e
C e
C e
疑問
簡単のため、 について導出を行う。
I
2 1
1
2 1 0 2 1
0 2 1 2 1 2 1
2 1 0 2 1
0 2 1 2 1
2 1
0 2 1
( ) ( e )
2 1
( ) (e ) ( ) ( e )
( ) (e ) ( ) ( e )
( ) (e )
jx k jx m k
k
k m jx k jx m k l jx m l jx l
k m k l m m m l
k m jx k jx m k l jx m l jx l
k m k l m m l
k m jx k jx m k
k m k
C e
l m k
C e C e
C e C e
C e
とおくと
0 2 1
2 1
2 1 2 1
0 2 1 0 2 1
2 1
inf .2 1 0 2 1
0 2 1 2 12 10
inf .
( ) ( e )
( ) (e ) ( ) (e )
1( ( ) (e ) ( ) (e ) )
(2 )
lim
l jx m l jx l
l m m l
k m jx k jx m k l m jx l jx m l
k m k l m l
m
k m jx k jx m k l jx l jx m l
k m k l m m lm
R
C e
C e C e
I
C e C e dxjx
.2 1 0 2 1
0 0 2 1 2 12 1
.2 1
inf . 0 0 2 12 1
2 1 0
22 1
1lim ( ( ) (e ) ( ) (e ) )
(2 )
1lim lim ( ( ) (e ) )
(2 )
1( 1) (
(2 )
Rk m jx k jx m k l jx l jx m l
r k m k l m m lmr
Rk m jx k jx m k
R r k m kmr
m l
l mm
C e C e dxjx
x x
C e dxjx
jx
第二項のみ を とおきかえると
2 1
1
2 1 2 1
inf . 0 0 2 12 1 2 1 2 1
1
( ) (e ) )
(
1 1 1lim lim ( 1) ( ) (e ) ( ) (e )
(2 )
I
rjx l jx m l
m lR
R Rk m k jx k jx m k jx k jx m k
R r k m km m mr r
C e dx
dx dx
C e ej x x
ここで が に置き換わる際の負号を利用して、積分区間を反転した）
=
を求める場合と同様の積分路を利用する。半径r
2 1
2 1 inf . 0 0 2 12 1 2 1
2 2 1
inf . 0 0 2 12 1 2 1
1 1lim lim ( 1) ( ) (e )
(2 )
1 1lim lim ( 1) ( )
(2 )
1/
k m k jx k jx m k
m R r k m km mC
k m k jx k m
R r k m km mC
I C ej x
C ej x
x
で時計回りに-rから+rまで回る積分路をCとして
の中身で非零な積分値を与えるのは の項
2
1 2
2 1 0 2 12 1
exp
11/ ( (2 2 1)) 1/
(2 )!
1( 1) ( )( (2 2 1)) / (2 )!
(2 )
m
k m k m
m k m km
x j k m xdx jm
I C j j k m mj
だけ。 のマクローリン展開を行うと
の項の係数は とわかるので, より
sinc^nの積分
拡大するかMath Typeで開いてください。
付録：sinc^1の計算（詳細)
𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR RRe
Im
閉路𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4とすると
1 2 3 4
( ) ( )C C C C C
g z dz g z dz
( )2
jzeg z
jz
𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR RRe
Im
閉路𝐶は留数定理により積分値0
1 2 3 4
0 ( )C C C C
g z dz
0
𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR RRe
Im
𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)
1 2 3
0 ( )C C C
g z dz
0
( )2
jzeg z
jz
𝐶1
𝐶2
𝐶3 r rR R
Re
Im
𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙+∞
𝟎
に等しい
1 3 20sinc( ) ( ) ( )
C C Cx dx g z dz g z dz
𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙+∞
𝟎
1 3 20sinc( ) ( ) ( )
C C Cx dx g z dz g z dz
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR RRe
Im1
0
1
0
1 ( )( )
2 2 !
log( ), ( 1)
, ( 1)1
, ( 1)
0, ( 1)
jz nn
n
k k
r
e jzg z z
jz j n
z k
z dz zk
k
j k
k
ここで
𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )sinc( )
2 2
jx dx
j
付録：sinc^2の パーセバルの等式による方法
22( ) ( )f x dx F k dk
【事実1】
2( ) ( ) j fxF f x e dx
sinc(x)
【事実2】
rect( )Fourier変換対
rect(x) sinc(x) Fourier変換対
2( ) ( ) j fxf x F f e df
22( ) ( )f x dx F k dk
【事実1】
2( ) ( ) j fxF f x e dx
sinc(x)
【事実2】
rect( )Fourier変換対
rect(x) sinc(x) Fourier変換対
2( ) ( ) j fxf x F f e df
22sinc( ) ( )x dx rect k dk
π
1/2p -1/2p