[ q s ¸ª ] m / h¶ £ ]¥ª s o s - hwsimonm/bismar.pdf · epmv`dl]pml]gíu%ps_a`jxsnsvotupsb Õ...

16

Upload: others

Post on 21-Jul-2020

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

�������������� ������ ������� ������ ���� �� �!�� "�#�%$&�"���

')(+*-,/.0,/1�,32#405768489":�48;8<�2�,>=�57?A@CBED0F:HG�IKJMLONQPSR!IHTUPWVYX[Z\L]PS^EIQR�L]PS_a`HbdcCedRfJMIQNH_aL]gihjV]gkg/Iml7InVYXpoq`H_aIQT�`dIQcpr�Is`Q^7TtV]g/Vsl]uvLOTtw

Z\IdwO_a`H_xTtIHcCy-VOTtw7VOT�o{z}|�~]���0c��q�F�Z\L]PS^EIQR!L]PS_kb�`Q^EIHb[esTMbHPS_SPS�EPSc��0TM_x�OIQNHbd_xP7�L]P�r���U�H_xT�l7IQTMc�|�~���|]��r���M�Q_kT�l�IHTMcf��IQNHR�LOTMu

��VO�]IHR!�dIHNn�%�OcW�%�7�7�

�������%�����/�M�Q���v�s���]�Q�s���%�E�a���/ t¡������%�\�Y¢E�Y�s��£¤£�������¥�¥/����¦§��s�]§U�]¦7�O�s�/��¦©¨k�s�%�7�s���%¨ª�]�«�]¡E�s�]����O�d�]¥¬¢��s���j�s�­�]�Q�s���]�n�%¨M�]�s�����i®¯�����f�%�����a���/£��������/�%�M�]¥±°%���E²M���/�s��¥/¢��Q³��s���������)£������/¡M£v´7µW¶��·8��¸��/�W��¡�£�¹t����°��±´ �]´��s¶M�[�d�O�s�/�n�%¨0�s¶��p£��]¥�����¡�¥A�º�����/ t¡����/»��/�K¢��]¨8�s¶��"�]¡E�s�����O�d�]¥/¢��Y�W�s���s¶M�O��%¨-�s¶M�"�s�­�O���d�]�7��°U�/�f�O��¹M�/���d�O��¢%´U���"§��s�­»7���s¶M�O�f��¨-�s¶M���/���/�s�A�O¥8§��s�]²M¥����%¨-�s¶���¨A�s�%�7�f�M������¢E��Q³�§t�%�����7�s���]¥�¥¬¢��]�>�]¥/¦%��¹��d�]�/�­�O¥�¥/¢�¸��¬�s¶)��³�§q�]�M���7�3¼\½&¾º¿EÀS®ÂÁ�¾ºÃd°­�s¶M�{�Y§t�����)�]¨M�s¶��ª¨A�s�%�7�3���¹t�%¡��������¨x�O���]¥�¥t�s�/£�����´tÄf¡��Å£��Q�s¶����v�s��¥��/���W�%�v¸ª����¦]¶��s���·8�Q¹q����¦%¡����]���ÇÆ��O¹q�]¥��Q»��a�Y§U�]������Y�s��£��º�s����°>¨k�s�%£È¸�¶��/�H¶�¸ª�©�­�]���s�����]�M�Y���s¡��Q��§t�%�/�7�K¸������©�s����¡M¥¬�s��¨x�]���s¶��©�����­��¢��%¨f�s¶��¨A�s�%�7�j»E�A�"���7�s�Q��§q�]¥A�O�s�/�%�q´�µW¶��Å�s����¡�¥¬�{¦%�/»%���>¹t�]�s¶q°���¨k¡M���Q�s���%�M�]¥U�]�M�]¥¬¢��s����¨x�]¡M���M�O�s�/�%�q°��]����]�«�Q³��s���������%�\�s���O��¹M�/���d�O��¢}·8��¸��/����¡M£�¹q�Q�s��°-�s�©�s¶�����¡M£n���s�/�­�]¥{�Y�s¡����������%¨�Æ�¶��Q���d�O���nÉÊ��O�s�d¶M�]�7�pÀSËKÊ�Ì Í�´%Ìf§�§M¥±´7Ê��O�s¶q´�ÎMÏq°U¾­Ð%Ð]Ñ�°]§M§0´�Ò%Ó%Ð�ÔEÕ]Ö7Ò7ÃC�]���n�s¶����]�Y¢E£n§��s�]�s�/���]�M�]¥/¢�������%¨-×[������¶M�]£ØÉÚÙÅ�O�s������ÀS×[�%��¥/�����­�º�s�/�K¢}Û�Üt°8¾­Ð%Ð%Ð�°M§�§0´MÝM¾HÔEÞ]Ó7Ãd´

ß[à�á�â>ã]äsåEæQçMè]é7ê�ã7ë�è­ê�è]ìíá�æsîïæQðUñkäsã7òOêYæQð�ónîïô�à�å�õmó�ã%ò�ãOê�ã%ò�à�æYá�æYêYàºó�æHðMâjàºîïö%÷Oê�à�åæYøEèºë�à�æ

ùiú�û7ü{ý�þ�ÿ�������ý�� ÿjü���"�Y�s¡M�E¢v���%¥�¡E�s�/�%���Å�s�n�s¶��p�s�­�]�Q�s���]���a���¬ q¡����/�%�Ç�Y¢��Y�s��£

��� ������ ÀY¾ÅÁ Ã��-À��7Ã�� ÀY¾O´A¾���Ã��� � ����� � � ÀY¾WÁ Ã��-À��7Ã�� ÀY¾]´A¾H¹qÃ

�%�v�s¶M�p�s���]¥0¥/�����"¸��/�s¶¨k�s�]�����±�K¢�§q�p¹t�%¡����U�º��¢�M�O�d�)¸�¶��Q�s��� ¾ �]��� � � ¾ �]��� � Á� �� ÀY¾O´A¾��ºÃ�� Ö �]��� � � Ö �]��� �!� �� ÀY¾]´A¾Q�tÃ

¨k�]�v�]¥�¥#"%$ Ö�°ª�]��� ���]£n§U�O�s�/¹M¥��Ç��£����]�s¶ �/���/�s�A�O¥f¨k�s�%�7�!§��s�]²M¥���� À&�'�dÖ�Ã)( +* À&�qÃ��]�����À&�'�sÖ�Ã,(-� * À&�qÃd´WµW¶������/.�¡M�O�s���%� �������Q�s�/¹t����§��s�]§U�]¦7�º�s����¦�¨k�s�]���s���%¨��]¡E�s�����O�d�]¥¬¢��s���©�s����]�Q�s���]�M��´-Ëm��¶M�]�)�]¥/���ǹt�����\§M�s�O§q�]�����#�]���Ç����£)§U¥/�!£�������¥j¨x�O�)���%£�¹M¡��Y�s���]�0°-§t�]§M¡�¥A�º�s���%�¦%�������s�/����°t�O�M���Q§M������£n���%¥/�%¦%�����]¥-����¨x�����s�/�%���10 �����%°�¨x�]�[�Q³��]£n§M¥��]°tÌf�s�]�M���]�}É �«�����7¹t�Q�s¦%���ÀY¾­Ð�2]Ó7Ãd°43>�%¥/§t�Q����IQgjL]g65>ÀY¾­Ð%ÐOÝ�Ãd°0ÙW�/¥�¥/����¦%¶M�]£ ɯ×[������¶M�]£ÈÀY¾­Ð%ÐE¾ºÃd°0�]�����s��¨x�Q�s���������p���/�s����s¶��Q�s���/�0´ËK���s¶��j���]���{�]¨M�]¡E�s�����O�d�]¥¬¢E������°��s¶M�j�E¢E�M�]£��/�j»]�O�s�A�º¹U¥/���8�s��§��s�������7�-�s¶��j���%�������7���d�O�s�/�%���%¨

�s¶��W�O¡��s���­�O�d�O¥/¢E�Y��°7� � ��À&�'�8"�Ãd°O�]�����s¶��ª���%�������7���d�O�s�/�%�)�]¨U�]���]�s¶����C�s���]�Q�d�]�7�i�Q³�§��s��������������s¶��f¨k�]�s£ ¾3Á °�¸�¶����s� �9 À&�'�:"�Ãd´�Ì[¥/¥M»%�º�s�A�O¹M¥����ª�O�s�f���%�E�a����£n���������]�U�O¥��<;����0´EµW¶M�ŧq�]���/��s�¬»7�ŧU�O�d�]£n���s�Q� � �/�>�s¶���·-�Q¸����>��¡�£�¹t����°7¸�¶����d¶����i�s¶M�Å�d�O�s�/���%¨��s¶���£n�%¥�����¡�¥��O�{���/ t¡����/»E�¬�K¢

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV Z\[^]`_�aXb7c@d

Page 2: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

Ò Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN�]¨f�s¶��©�O¡��s���­�O�d�O¥/¢E�Y�)�s�}�s¶M�O���%¨��s¶��v�s���]�Q�d�]�7��´��[�Q�s��¸ª����]�M���/�������H¶���£������]¥ª�s�­�O���s�/�%����]¨W�]�s������®}°8���©�s¶M�O� �-À��7à � ��� ¨x�O� � $ Ö©�]��� ;��Q�s�Ç�O�s¶M�Q��¸������]´-ËK���]¡��)�]�M�]¥¬¢E������°8¸ª���¡E§�§t�%���)�s¶M�O�p®!$+Ò�°�¹M¡E�"® �����������]�[¹q�)�/�7�s��¦%�Q��´qµW¶���§U¶7¢E���/�­�O¥3���7�s�Q��§M�s�Q�d�O�s�/�%���%¨ �O�M� ���s�^.7¡M�¬�s���W�s¶M�O�

Ö� �&¾ �]��� Ö����� ÀY¾]´íÒ7ÃËK���������q°]�s¶��ª§U�O�d�º¹q�]¥����W£��O³���£�¡�£ §��s�������/§M¥����>�/£n§M¥/¢��s¶M�O�C�s¶M�����ª§��s�]§t�Q���s�����i¶M�]¥��n¦%¥��O¹��O¥�¥/¢�/�«�s��£��!§��s�­»��������«�s¶��Q¢«�O�s�!���s¡����/���/�s�A�O¥�¥/¢%´-���v�]����¡�£��v��¡��d¶#¹t�%¡��������s¶E�s�%¡�¦%¶��%¡E�)�s¶��§U�O§t�Q��´� C���M�]¥�¥¬¢7°i�s¶��Q�s��Q³E���Y��¡����S.�¡��¦%¥/�]¹U�]¥Å��¥A�O���������]¥Å���%¥�¡E�s�/�%����À��{�%¥/¥��Q�!É��[�/�&¾�Ð%Ð2%Ãd´� �/�s¶Â�s¶����!��� £������q°j¸ª����¶M�]¥�¥f�%��¥/¢�§��s�������7��¨x�O�s£��]¥f���Y�s�/£��O�s����°j¸�¶����d¶ ���]�¹q�Ç�­�O����¥/¢£��]���"�s��¦%�]�s�]¡M��´µW¶���¹t�%¡��M�M�O��¢����%�����/�s�/�%�}�O�nÁ� �������Q�s�/¹t���[�s¶M���Y�d�O�s��¸�¶��Q�s�n�]¥�¥-�s¶����s�­�O���d�]�7�p¶M�]�

¹M¡E�s������¡�§}�]���Ç�s���]���s�/�%��¶M�]�[�����]�����q°�¸�¶���¥/�n�O� � ���!�s���]���s�/�%��¶M�]�f¢%���[�d���%���©§U¥��]���%´µW¶��Q�s��¨k�]�s���s¶��pXsNsVOTUPS°�¸�¶M�/�H¶q°t�s�]¡M¦]¶M¥¬¢��Y§t�­��������¦�°t���[�s¶����s��¦%�/�%��¸�¶��Q�s���s¶��)¦]�d�O�M�/���7�s�p�%¨ �]��� �)�O�s�"¥A�º�s¦%���Y��°�£�¡��Y��£��­»7�p�s�)�s¶��p�s��¦%¶7��´�ËK�v�s¶����W§U�O§t�Q�Ÿª���]���E�s�����W�s¶M� .�¡����Y�s�/�%��]¨j¸�¶M�Q�s¶����p�s¶M�n�Y§t�����\�O�"¸�¶����d¶}�s¶��n¨k�s�%�7�����"£��­»E�/��¦�s��£��]�/���"²U���¬�s��¨x�]���]¥�¥3�s�/£�����°0�O��/�����s���]�����ª¸��/�s¶��%¡E�ª¹t�%¡�����]�N" � °E���!¸�¶����d¶v���]���[¸ª�[�s��¢��s¶M�O�ª�s¶��[¨A�s�%�7��L7`s`dI�g/IQNsL]PmIHbd´Äf¡��j���7»7���Y�s��¦7�O�s�/�%�����>£��]�s�/»]�O�s����¹�¢)�s¶��Ÿª�O���n�%¨-Æ�¶��Q���d�O���ªÉ�Ê��O�s�d¶U�O���[ÀY¾­Ð%Ð%Ñ7Ãd°]¸�¶M�

��¡�£��Q�s�����]¥�¥¬¢©�]�M�]¥/¢�������s¶��"���­�O¥A�O�� 3�/��¶����YÔ��"�%¥/£��%¦%�]�s��»©�/.�¡M�O�s���%�q°�� � ������� � � ÀY¾WÁ �7Ã�� � � ÀY¾]´íÕ7Ã

µW¶��/�p�/.�¡M�O�s���%�Ç�­�O�ǹt�����������]�p�]���/�M�Y�d�O�M�����%¨i�Y¢E�Y�s��£ ÀY¾]´A¾­ÃÅ�/�Ç�s¶����Y§t�����A�O¥C���]����¸�¶����� � ¾)�]�����s¶��)�/���/�s�A�O¥-§��s�]²M¥����p¨x�]� �]�����!�O�s���������7�s�����]¥±´qµW¶���¢©¨x�%¡������s¶M�O�[¸�¶����Ç�s¶���/���/�s�A�O¥3§��s�]²M¥��)��������¢E�p�Q³�§t�%�����7�s�A�O¥�¥/¢��O���O¥�¦%�Q¹��d�]�����]¥�¥¬¢Ç¸��/�s¶���³�§q�]�M���7�"¼ ½ ¾º¿EÀS® Á ¾ºÃd°�s¶������%¥/¡��s�/�%� ��»%�%¥/»7�����/���s���«�Y�s���]����¥/¢�§��s�]§U�]¦7�O�s�/�M¦«���d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7�%´��[�­¸ª�Q»7����°{¸�¶����¼��&¾º¿�ÀS® Á\¾ºÃd°7�s¶��[¨A�s�%�7�Å�]������¥��Q�d�O�s����´�Ê��]�s���­»7�Q��°��s¶��[¨k�s�]���{�s��¦%�/�%�v�O§�§t�­�º�s�{�s���Y���s�Q�s�H¶q°¸��¬�s¶��s¶��v�­»%���d�]¥/¥W��¥��O§q�v�%¨��s¶��v¨k�s�]�����������s���]������¦\�]�)§t�]���s�/�%�����]¨��s¶��v¨k�s�%�7�n¸�¶����s���s¶�����%�������7���d�O�s�/�%�!²M��¥/�,�����ª��£��O¥�¥�§��s�]§U�]¦7�º�s�p�O�Å��¨S�]�Y�s�Q�ª�d�º�s�%´�×[������¶M�]£ É�ÙÅ�O�s�����"ÀY¾­Ð]Ð%Ð7öM��»%�"�s�������7�s¥¬¢�§��s�­»E�������Ç�n���Q�d�]��¥/���Ç�O�Y¢E£n§��s�]�s�����]�M�]¥¬¢E�����Å�%¨-�s¶M�/�Å�� t������´Æ��%£���¶���¡E�s�/�Y�s����¡��������s�Y�d�O�M���/�M¦��­�O��¹t�Ŧ%¥/�­�]£n����¨A�s�%£ �"�����]¥/����¦��O�s¦]¡M£n���7��´����Q¸Å�s�/�s�

�s¶��� 3����¶��Q�YÔ��"�%¥�£��]¦%�]�s�­»�^.�¡M�O�s�/�%����©�)���d�]����¥A�O�s�/�M¦������]�s�����M�O�s�"¨A�d�]£���� � ��Á! "d°�� � ����"#" � � ��" � � ÀY¾WÁ �7à � � � ÀY¾]´ Ý�Ã

Æ�¡E§�§t�%�����s¶U�º�[�/���/�s�A�O¥�¥/¢%°4�%$&�('*)�]�+� � ´�µW¶����Ǩk�]�f¥A�O�s¦]��»]�]¥�¡����f�]¨,�)¸ª��¶M��»7���s¶M�O��-" �%$ÚÁ.�('*)('8:Å�O�M�\ÀY¾{Á �7Ã@���/$0�('*)1��°�¸�¶���¥/�p�s¶��[�M�¬ t¡M���/�%�v�s�Q�s£ �/�Ũk�]�s£��]¥/¥/¢!�%¨8¥���¸ª����O�s�M�Q��´2�[��������¸�¶�����¼&½ ¾º¿EÀS® Á ¾ºÃd°0�s¶M������¦7�O�s�¬»7��¥��/�M���O���s�Q�s£¤¸��/¥�¥j���%£��/�M�O�s���]��� �¸��/¥�¥i�M���Q�s�­�]���]°q§t�%�����/¹M¥¬¢}¡��M���Q���s¶������%�����/�s�/�%�}�s¶U�º�3 �¹t��¥��O�s¦%�������%¡�¦%¶}�s�v¹U�]¥A�O�M���n�s¶���/�(4U¡��������Å�%¨����/ t¡������]���­»%���>¥/�%��¦"�s�/£��Å���­�O¥�����´EÄf�n�s¶��W�]�s¶����>¶U�O�M�q°%��¨U¼��&¾º¿EÀS®�Áv¾ºÃd°]�s¶���s���]�Q�s���%���s�Q�s£Ú���%£��/�M�O�s���C�M���O�3���E²M���/�K¢����p£��O���s���C¶��­¸�¥A�O�s¦%�j¸ª�ª�d¶����%���{�s¶��j���d�]����¥��O�s����¦�Y§t�����5 º´µW¶��Å�s����¡�¥/�s�>¨x�]�i�s¶��6 3����¶��Q�YÔ����]¥�£��%¦]�]�s�­»�£n������¥M���]���]¥����"¹t�Å¡��������s�Y�s�����n�s��¦%�O�s�%¡���¥/¢

�O�!¨x�]¥�¥���¸���´{ÌبS�O£���¥¬¢��%¨[���d��»7��¥/¥��/�M¦O�±¸W��»7�Ç���%¥/¡��s�/�%��� ��À&�'�8"�à � �87­À9�7Ãd°>���7»]�O�s�A�]�7�!¡�����������d�O�M��¥��O�s���]�0°0�Q³E�/�Y�s�"�%�\�v¶M�]¥/¨k�m�O³����"�%¨j¸W��»7���a�Y§t��������´8µW¶M�)���d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7���%¨j£������/£�¡�£�Y§t�����}��������¢E�"��³�§q�]�M���7�s�A�]¥/¥/¢%° �87­À9��Ã+$ ��³�§-ÀYÁ� :��Ãf�]��� � °q¸�¶����s���]�p�s¶��%���n�%¨{¶��/¦%¶����¸W��»7���a�Y§t�����©��������¢�O¥�¦%�Q¹��d�]�����]¥�¥¬¢

�;7­À9��Ã,$�< ÀS® Á¾­Ã=�?> :�@'-: � ÀY¾]´íÞ7Ã

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 3: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ

0

500

1000 010

2030

40

0

1

2

t

θ(x,t) Surface

x

θ

0 500 10000

10

20

30

40

x

t

θ(x,t) Contours

��������� ������������������������ ��������� �!�"��#%$'&)(* +,�-.&0/1,�2!&43,5�6�798;:=<�>?&@/6(�(�(1�������BA���CD��E���������A�6��F����"���E�6���"G��7D�!�"��#IH�J�KL8NM=&)OPJ�KL8NM=&QKR�NST8UMWVBXD���I��#F��������RY6���[Z (1\�8 :=<R>P] �6�7^#;��Y�F���C%����"�_�6�` ����7;���Ra'�����7�"���"���A�Hb&cOI&d�D����8'&c(9���7eHb&cOI&c(%���?8'&f8;:=<�>��BgF# ���57 �"A ` ��A��7���ih jlknmFo�p ` aeqr_�6A��rsute����IKR�_v�v�PMw�F�"��#x�P(�(�(9������7eyN��������A_�Bz{Iy���6�?��#DA�����|����IOKL8}\�~RM������#n�"��E���6�7���#n���������A�yN���7����^��A��5�������������������������������������AF������#n������#��_�

0

50

100

150

200 0

1000

2000

30000

1

2

t

θ(x,t) Surface

x

θ

0 50 100 150 2000

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

t

θ(x,t) Contours

����������/1������1���6������������������^���������w�!�"��#�$'&Q��,-.&c�_(,52!&)(1*���,;�6�7�8 :=<�> &@�6(�(1�

M¡E���s¶M�Q��°������%¥�¡E�s���]�©¸��¬�s¶Ç£��]�M�O�s�%�����/���/�s�A�O¥8�M�O�d�E°U�Q³�§t�%�����7�s���]¥�¥¬¢��¥��%���"�s�!�n���d��»7��¥�¥/����¦]�¸W��»%�"¨k�]�W¥A�O�s¦]����°�¸���¥�¥t���%�7»7���s¦]�[�s�n�����d�O�M��¥��O�s�p�]¨0�s¶M�O�ª¸W��»7��ÀS�����#3j�%¥¬§t������I�P{L]g650¾­Ð]ÐOÝ�Ãd´�[�������]°q¸�¶���� � * �/����¡N�����������s¥¬¢�¸ª��¥�¥/�±¹t��¶M��»7���«�O� � � Á# �]���������­��¢E����³�§q�]�M���7�s�A�]¥/¥/¢�]�Å��������¢E�W�]¥�¦%�Q¹��d�]�����]¥/¥/¢�¨S�]�Y�s�Q�W�s¶M�]�q°��]�Å�Q»7���v���s�¬�s�����]¥�¥¬¢v�O�U� � °��¬�W¸���¥/¥q����»7��¥��O§���7�s��©���d��»7��¥�¥/����¦]�±¸W��»%�%´CÙª¢\¡�������¦}�Ç���%£n§U�O�s�/���%�«§��s�������¬§M¥����/�«�s¶��!�Y§U�¬�s�/�)�%¨.�f�O�s¶M��ÀY¾­Ð�2]Ó7Ãd°¸ª�p�]¥����3�E���­¸ �s¶M�O�W�/¨-�����]¥�¡E�s���%�������¬�s�A�]¥/¥/¢!���%£��/�U�º�s���W�]���]�s¶��Q�Å�]�M�[�]���s¶��f¸�¶��%¥��[�Y§U�]���]°�s¶����Å�]�s�����Å�s��¥��O�s���]�M��¶��¬§��/��§��s��������»%���©¡����������s¶��"��»7�]¥�¡E�s���%�q´������­�O��s¶�¡M�Å���]£n§U�O�s���]�7¢���%¥/¡E�s���%�n�]¦7�]�/�M�Y�3���d��»7��¥�¥/����¦]�±¸W��»%�W���%¥�¡E�s�/�%�����%ËK¨��s¶M�{�d�O�s�ª�%¨��M������¢����3��¥/�­¸ª���i�s¶M�]�)�Q�s�/�s�/�­�O¥±°�s¶������ * �M�]£����M�O�s�������d�O�M��¥��O�s�����%¨����d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7�����]¨[�]�7¢#¸W��»%���a�Y§t�����q°>���}�s¶��¨k�s�]����]������¥/���d�O�s����´µW¶���£��O������]�M���Q�s�©�]¨8�s¶M�/�W§U�O§t�����/�W�s¶M�p�­�]���p¸�¶���� ���� ¾]´MµW¶��"¹U�]���/�"§M¶������%£n�����%¥¬�

�%¦O¢����j����£n��¥A�º�{�s� �#� ¾O´� U�]�{�����¬�s�A�]¥U�M�O�d�"�%¨q��¥/�­¸��]¥/¦%��¹��d�]�/���M������¢7°7�s¶���¨k�s�]���{�]������¥��Q�d�O�s����]�)��� C��¦%¡E�s�\¾O´3� ¶����«�s¶��v�����­��¢��O�n�/�E²U���¬�K¢#�/����¡N���������7�s¥/¢«¨S�]�Y��°C�s¶�����»7�]¥/»E�/�M¦�¨k�s�]���£���¢��O§�§��s�7�]�d¶}�!�Y�s�­�O��¢���d��»7��¥�¥��/��¦]�±¸W��»7�n�]�[��� C��¦%¡E�s��Ò^0Â�s¶M� �i�� ¾����d��»7��¥/¥��/�M¦O�±¸W��»7���=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 4: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

Ý Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN

0

200

400

600 0

200

400

6000

1

2

t

θ(x,t) Surface

x

θ

0 200 400 6000

100

200

300

400

500

600

x

t

θ(x,t) Contours

0

200

400

600 0

200

400

6000

1

2

t

ψ(x,t) Surface

x

ψ

0 200 400 6000

100

200

300

400

500

600

xt

ψ(x,t) Contours

���"��������jl���A���������,5����1� �6�����������6���"��^��������� �!� ��#T$e&c��,1-.&c�P(1,�2!&c�_(,�6�7T8 :�<�> &0/�(�(�(1�gw#'���������%y���A �����A�,=�!� ��# OKL8}\�~RMI��A��������E�������� � ` �PY�'�6�7 ` ����_� O & ���!#�"�����#'��AR��_�671a���������lY���������"� aI�6yyN�����Al���n���C%���"�^����������C%�"a ` ����7�7 ��gF#!���������l��A AR����yB�� ���I��#FH Y��6���E� ` ��` ��_�6�A�r2��0���

¶M��»%�����/£���¥��O��§M�s�O§q�Q���s�������s�©�s¶�� 3����¶��Q��� ���%¥/£��%¦%�O�s�­»����d��»7��¥�¥/����¦]�±¸W��»%���vÀSÙW��¥/¥��/�M¦]¶U�O£ É×[�����M¶M�]£ ¾­Ð%ÐE¾­Ãd´ �[�­¸ª�Q»7�Q��°-¸�¶������s¶���·8�Q¸�������¡�£�¹t���n�]�����s¶��!�]�s�����)�]¨W�s���]�Q�s���%�«�O�s�¥��O�s¦%�]°-��¡��H¶«�M�O�d�£���¢��O¥������Q»7�%¥¬»7�����7�s���©¨A�s�%�7���s¶M�O���Y�d�º���s���s�§M¡�¥��s�O�s�!�]����¥/¥�¡��Y���d�O�s����/�5 3��¦]¡��s��Õ�´UËK��s¶����ŧU�O�d�]£��Q�s�����s��¦%��£n�%°M�s¶���¡��������s¥¬¢E����¦����d��»7��¥/¥��/�M¦O�±¸W��»7���f¹t�����%£n��¡M�E��Y�d�º¹U¥/�©�s����£��]¥/¥�§t�����s¡E��¹U�O�s�/�%����°ª��§U¶������%£����M�]� �E���­¸�� �]���s¶��§U¡�¥/�s�O�s����¦������Y�d�O¹M��¥/�/�K¢ÀSÊ��Q�s�­�O¥�¨x�\I�P�L]g65ž�Ð%ÐOÝ��iÙW�]¥�£�¨k�]���s¶�IQP�L]g<5W¾­Ð]Ð%Ð7Ãd´iÌ[���s¶M�v�O�s�M�Q���%¨Å�s�­�O���s�/�%��® �/��¨k¡E����s¶��Q���/�����s���]�����0°q§t�Q�s�����E�a���%¡E¹M¥��/�M¦¹M��¨k¡��s���O�s�/�%����������¡���°8�O�M���s¶���¨A�s�%�7��§M¡�¥��s�º�s���%�����Q»7���E��s¡M�]¥/¥/¢}¹t�����%£n�!�d¶U�O�]�s���]´iÄf���s¶M���]�s¶�����¶M�]���0°-¨x�O�n�O��¢\¦%�/»%�����������%¨{§��º�d�]£��Q�s����»]�]¥�¡����¨k�]� � �]���®�°i���d��»7��¥/¥��/�M¦O�±¸W��»7�����%¨f��¡N�����������s¥¬¢�¨S�]�Y��¸W��»7���a�Y§t����� �½ ��]À � ��®�Ãd°C¸�¶M�Q�s� QF � $�� Õ]ÒO®7£��O³���¾7� �� °i�O�s�©�]�Y¢�£n§��s�]�s�����]¥�¥¬¢#�Y�d�O¹M¥��v¸��/�s¶���¶���¨A��À±µ-���]�]���ÇÉ Æ�¥/����£��]�¾�Ð%Ð%Ð7Ãd´0Äf¨i���]¡��s���]°U¸�¶���� � �]����® �º�s��¥A�O�s¦]�%°U�s¶���� ���½/ ���� ��°U¸�¶����s� ���� ���M�����]�s���f�s¶��£n������£�¡�£ �Y§q�����©�%¨3�º�Ÿ�¶M�/�H¶v���d��»7��¥�¥��/��¦]�±¸W��»7������³E�/�Y��°U�]���©�/���Y�d�O¹M��¥��¬�s������������¡���´µW¶��)��³����Y�s���M�����%¨3�s¶���§M¡�¥��s�O�s�/��¦v�/�M�Y�d�º¹U�/¥��¬�K¢Ç§��s����¥/¡M�����p¡�������¦v�!���%£n§U�O�s�����]��§��s�������/�

§M¥/���s��¹t�%¡��������]¥�¡E�s���%���[���%£)§q�]�M���7�K¸�������¹�¢©���d�]����¥A�O�s���f�%¨i���d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7����´tËK�ǨS�]�Q��°���¨�s¶��/�f¸ª���s��§t�%�����/¹M¥��]°t�%����¸ª�]¡M¥/��¶U��»7�)·8¢7�O§M¡M���­»©�Y�d�O¹M��¥��¬�K¢Ç�%¨3���d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7���"�O�[�%�����%´µW¶��/�����E����¡�¥/�K¢#�­�O�Â�]¥�����¹q�v¡��M���Q�s�Y�s�����Â�]�n¨x�%¥/¥��­¸���´i� ¶M��� �@�� ¾]°3�s¶���Y¢E�Y�s��£È�/���%¨£n�/³E���E�a£��%���]�s�%���]°E£��%���%�Y�d�O¹M¥/�f�K¢�§t�%´ �{�%£)§��º�s�����%�!§��s�������¬§M¥����{�s���]����¥/¢��Q³��s�������s��£��%���]��s�]�M�p�Y¢E�Y�s��£n��ÀO3>�%¥/§t�Q����I�PªL]g650¾­Ð]ÐOÝ�Ãd°M�]���¶M��»%���]¥����)¹q������§M�s��»7���¨k�]�Å£��¬³E���E�a£��]�M�O�s�%���

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 5: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Þ

�Y¢E�Y�s��£��"¹�¢�·-¡«É Æ�¥�����£��]� ÀY¾­Ð]Ð%Õ7Ãd´?�[�­¸ª�Q»7�Q��°0�s¶����d¶U�º�d�]���s�Q���%¨j�s¶��������s����¡�¥/�s��������¡��H¶�s¶M�O�3���d��»7��¥�¥/����¦]�±¸W��»7���>���"���]�I.�¡M�]¥/��¨k¢)�]���í��¡E¹��%�]���í��¡E§t�����]���%¥�¡E�s���]�M�i¡��M¥/�����3�s¶����í��¡E¹��7�]���� ��¡�§t�Q���3���%¥/¡E�s���%�#���%�����������%´ �[�������%°C�Ç���/�s�����n�O§�§M¥������O�s�/�%�#�%¨W�s¶������%£n§U�O�s�/���%�#§��s�������/§M¥���%��¥¬¢v¢E�/��¥/���W���s�/»E���]¥0�/�M¨k�]�s£��O�s�/�%�q´ËK���s¶����0§U�O§t���0¸ª�{��»7�%�/���s¶������j��������¡�¥¬�s�����8¹�¢p�s��§M¥��]���/��¦f£��O³E��£�¡M£&§M�s�/�����¬§U¥/����°­�±´ �%´���

���Y�s��£��º�s����°�¸��/�s¶�������s¦]¢��±�K¢�§t�"���Y�s�/£��O�s����´UµW¶��p¹��O���������������/�W�s�n§��s�­»7�"�s¶M�O�W�s¶������%¥/¡E�s���%��s�vÀY¾]´A¾­Ãi�s��£��]�����ª¹t�%¡������������v��¸ª���/¦%¶7�s�������7�s��¦]�d�]¥t���]�s£°������s¶U�º�W���7�s��¦]�d�O¹M��¥/�/�K¢��]¦%�]�����Y��]�)��³�§q�]�M���7�s�A�]¥/¥/¢�ÀS�]�j�O¥�¦%�Q¹��d�]�����]¥�¥¬¢UÃ8¦]�s��¸�����¦[¸ª���/¦%¶7�i§M�s��»7���3�Q³�§t�%�����7�s�A�O¥0ÀS�]�>�]¥/¦%��¹��d�]�/�OÃ�����­��¢)�%¨��s¶��Å���%¥/¡E�s���%���O�j�/�E²U���¬�K¢n���n�s¶M�Å���������Å�s¶M�O�i�s¶M��í�O�s���"¡��������>�s¶��Ũk�s�%�7���%¹t�����]£�����Q³�§t�%�����7�s���]¥�¥¬¢\ÀS�]�f�]¥/¦%��¹��d�]�/�­�O¥�¥/¢MÃ{��£��]¥�¥0¨S�O�f�]¶����]��%¨-�s¶��"¨k�s�%�7��´ËK���QÒf¸ª����£n§M¥/��£����7�j�s¶��Å�������������"����£)§U¥/� � F �������s�/�M¦E°��]���!�º�s�f�O¹M¥��Å�s�"�����s�¬»7�f�p²��s�Y�

�s����¡�¥/�>¨x�O�>��³�§t�%�����7�s�A�]¥�¸ª����¦%¶7�s��´-�[�­¸ª�Q»7�Q��°O�s�"��¥/�%���W¡�§n�s¶����3�K¢�§q�ª�%¨U���Y�s�/£��O�s�W�/�)�s¶M�W���]����%¨U�]¥/¦%��¹��d�]�/�{¸ª���/¦%¶7�s�i�%���ª���������3§t�%�/�7�K¸������ª���]�����s�]¥E�%���s¶��ª���%¥/¡��s�/�%�q°]���%£��Q�s¶�����¦[�s¶U�º�i�­�O��%��¥¬¢n¹t�f�]�d¶����Q»7����¹�¢)�d���E�/�M¦����Y�s��£��O�s���>����¶���¦%¶��Q�{�Y§U�]������°��Y§t�����¬²U���]¥/¥/¢)¸ª����¦%¶7�s����� : �]���� F�� �Y§U�]�����W¨x�]������¡N�����������s¥¬¢�¥A�O�s¦%�]´��3�%���7�K¸��/���p¹t�%¡��M���W���]���s¶�����¹t�[�s�����%���Y���s¡����s���!»E�A��]����7�s����§t�%¥��O�s���]�©�/���^.�¡M�]¥/�/�K¢%´Ä[¡E�{£��]�����s����¡�¥/��°%»%�]¥/����¨k�]�{�]¥�¥�§t�%���/�s�¬»7��·8��¸��/�j��¡�£�¹t���s��°��/�>�s¶���¨x�]¥�¥���¸�����¦�´�ËK¨��s¶����/���/�

�s���]¥-¨k�s�%�7�f§��s�]²M¥���¶M�]�p�n§q�]���7�K¸���������³�§q�]�M���7�s�A�]¥-¡E§�§t���f¹t�%¡����0°U�s¶������]¥�¡E�s���%�Ǹ��/¥�¥-��������¢�Q³�§t�%�����7�s���]¥�¥¬¢)¨k�]�>�]¥�¥��s��£�����´]ËK¨M�s¶��W�����/�s���]¥�¨A�s�%�7�i§��s�]²M¥/�Å�����­��¢��>�]¥�¦%�Q¹��d�]�����]¥/¥/¢�¸��/�s¶)��³�§t�]��������>¼}½&¾º¿EÀS® Áv¾ºÃd°O�s¶��W��»%�%¥/»E�/��¦"¨k�s�%�7�3¸���¥/¥���������¢)¨x�]�Y�s�Q�i�s¶M�]�n�]�7¢�����ÀY¾º¿�ÀS® Á�¾ºÃ �s¼-Ãd´ËK��¹t�]�s¶)���]�����C�s¶��ª�Y§t�����)�%¨��s¶��ª¨k�s�]���3���C¹t�%¡��������)¡�����¨k�]�s£�¥/¢��/���s��£��]´� M�]�j�f£��]�s�{¨x�]�s£��O¥�Y�d�O�s��£����7�Ÿª�"�s��¨k���Å�s¶��p�s�­�]���Q�Å�s��µW¶����O�s��£��fÕ�´ïÕ)�]����Õ�´ Ýn�s���Y§q���Q�s�/»7��¥/¢%´µW¶���¡M�����]¨C���M�Q�s¦]¢v���Y�s��£��O�s���ŶM�]�Å�K¸ª�����7���s�������/�����d��¸Å¹��O�:�E��´ 3�/�s�Y��°��s¶��"�s�����%���Y���s¡M�Q�

�s�/�%�#�%¨Å§q�]���7�K¸�������¹t�%¡������n¨k�s�]£ �/���s��¦]�d�]¥{¹t�%¡�������°3¸�¶��/�H¶��/���]�#���������7�s�A�]¥ª�Y�s�Q§����#�%¡E���¥��%��¡E�s�]°q¨S�O��¥���L]PÅ�s¶��)���s�¬�s�����]¥C��³�§q�]�M���7��°t��»7����¨k�]� � � ¾]´ �[�­¸ª�Q»7�Q��°t¸ª�)���]��¦%�Q�p�s����¡�¥/�s��­JÚPmV#�s¶��}�Q�s�/�s�/�­�O¥p�Q³�§t�%�����7��¸��/�s¶ ¹t�%¡��M���v�s¶M�O�v�M�¬»7�Q�s¦%�}��� �s¶��}¥/��£��¬��´WÌ[��#���]�M���Q�.�¡��������]°U¸ª���������]�[��³�§t�����f�%¡E�p£��Q�s¶������f�s�!¦%�/»7����¶U�º��§8°��]�p�Q»7���Ç��¥/�%���]°�¡�§�§t�Q�[¹q�]¡M������%�!�s¶��[¸W��»%�p�Y§t�����q´UÆ������%���q°E¸ª�[���]�����]�ª§��s�­»7�[�s¶M�O�W¨k�]�W¼��&¾º¿EÀS® Á�¾ºÃ3�s¶M�[¨k�s�%�7�W£�¡��Y��]������¥/���d�O�s�]´EÆ�¡��H¶!�"�s����¡�¥/�j¸ª�%¡�¥����s�/.�¡��/�s��¥/�­¸ª���>¹q�]¡M�����{�%���%¡E�{���]�s£n��°�¸�¶����d¶��O�s�����]�s�]��s�/�%¡���¥/¢����E����¡�¥/�p�s�v�]�H¶��/��»7��»��A�!�����Q�s¦]¢��±�K¢�§t�)���Y�s��£��O�s����´�����¹q��¥��/��»%���s¶M�����)¥��/£��/�d�º�s���%����O�s���s���d¶��������]¥W�d�º�s¶M�Q�n�s¶M�]���/�7���s���������v§��s�]§t�����s�/���n�%¨Å�s¶M�v�Y¢E�Y�s��£´>Ì[�����7�s�Q�s���Y�s�/��¦\�]§t���.�¡����Y�s���%�q°��s¶����s��¨x�O�s�%°����Ÿ�¶����s¶��Q�Å�s¶M�Q�s�����������%£n§U�O�s�/���%�§M�s�/�����¬§U¥/��¨k�]�f�������d�O����­�º�s��¨k¡M¥/¥/¢���%���Y���s¡����s�����í��¡E¹��q�]����� ��¡�§t�Q�p¨k¡��M�Q�s���]�U�O¥������%¨C�s¶������]¥�¡E�s���%�q´tµW¶�����¸ª�%¡�¥����]¥�¥/�­¸ �!£n�]�s����/�s���Q�ŧM�s���%¨-§U�O�d�]¥/¥���¥q�s�n�s¶��"§��s���%¨C��»]�]��¥��O¹M¥��"¸�¶���� �Q� ¾]´

�ªú����! #"7ý��%$'&Cý( )"+*sÿ>þ, .-0/�ÿjü 8ü{ý �1&32%254 � '�.&�4Q�Yü 6'*�þMÿjü{ý�"µ8�}���/£n§M¥���¨A¢#���]�d�º�s���%�q°C¸ª��¸Å�s�¬�s�87 � À � �%Ã19��]���#�s�������]¥��!�s¶��v�/.�¡M�O�s���]�������s¶M�O�)�s¶�������P�����/���7�s���%¨C£��%¥/����¡�¥A�O�f���/ t¡������]�����©�/.�¡M�O�s���%����ÀY¾]´A¾��7ÃW�]���#ÀY¾]´�¾Q¹tÃW�O�s��¾º¿;:��]����¾º¿<: � °�s���Y§t���Q�s�/»7��¥/¢%°8¸�¶M�Q�s��: � ¾ ��� �]���!: � � ¾ � ¾º¿ � �O�s� �>=�%¥����Q�)���%�@?Y¡�¦7�O�s�!�Q³�§t�%�����7�s��´µW¶�����s¶����Y¢E�Y�s��£ �Q³�§��s���������©�/��s¶��"���d��»%��¥/¥�����¦]�±¸W��»7�������]�s�����M�O�s��� � �!Á! "{�/�

��� 7 � �A7 �CB ÀD7qÃ�� ÀaÒ�´A¾ºÃ

¸�¶��Q�s�

� � ÁFE ��"#" Á! ��" �GE � �M���]¦ < ¾:� ¾: � > � �]��� B ÀD7qà � < ¾¾ > ÀY¾ÅÁ à � � � ÀaÒ�´ïÒ7Ã

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 6: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

Ñ Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN���p���7���s����¡����[¸ª����¦%¶7�s����� F �Y§��O�����W¸�¶��%���[¸ª����¦%¶7�Ũk¡��M�Q�s���]�������ª���%�7�s�/��¡��%¡���°E§U�/�����Q¸���������%�7�s����¡��%¡���¥/¢)���/ t�Q�s���7�s�A�º¹U¥/�%°O§t�%���¬�s�/»7�]°]�]�����Y���s�/���s¥¬¢�£��%���]�s�%���/�­�]¥/¥/¢������Q�s�­�O������¦�´- M¡E���s¶������£n�]�s�%°-¸ª�!�s�/.�¡��/�s�!�s¶M�O���s¶���¦O�s�­¸Å�s¶#�%¨��Ú���n�º�n£��]�Y�n��³�§t�%�����7�s�A�]¥S°C�±´ �]´-�s¶����s�!��³E�/�Y�s�n�§t�%���¬�s�/»7�����%���Y�d�]�7���!��¡��H¶�s¶M�O��¨x�]�f�O¥�£��%�Y����»%����¢ �>������mÀ9��à ���fÀ9�7à � ÀaÒ�´íÕ7à M�]�f�������]¥A�º�f¨x¡����Q�s���%���©¸ª�������

� F��������� ������� �3À9�7à � F �fÀ9�7Ã�� � � ÀaÒ�´ Ý�Ã

ËK��§U�O���s����¡�¥A�O��° � F À��{Ãj�/�W�s¶��"���%£n§M¥��Q�s���]��%¨�� * �����s¶M�/�Å���]�s£´ M�]�Å»%���Q�s�]���±»]�]¥�¡����¨x¡����Q��s�/�%���07'���!��� � �ªF�¸ª��¶M��»%�"�s¶M�"���]���%�������]¥q¸ª����¦%¶7�s���©�������Q��§��s����¡�����°

7'����! � � ����� ����� ÀD7 9 ��ÃQÀ9�7Ã"��À9��Ã�� � � ÀaÒ�´íÞ7Ã

�O�Ÿª��¥�¥8�]�f�O�©�/���M�Q��§��s����¡��Q�Ÿ��/�s¶Ç�n£��O���s�/³�¸ª����¦]¶��$#[° 7'����!&% � �(')� � � � 7 9 À9��Ã�#"À9�7Ã*�tÀ9�7Ã�� � � ÀaÒ�´íÑ7Ã

µW¶��n���]���s���Y§t�%��������¦���]�s£����]���\�Y§U�]�������O�s�)�M�Q²M�����\�]�"�����s¶��n�����]¥A�O�����]���%´qËK���s¶��n¨x�%¥¬�¥/�­¸�����¦�°�¸ª�����Q�$# �+ �W°�¸�¶M�Q�s���Â���f�O���O¹t�­»7�]°��O�M�

+ � < :), : � ÁA:ÁA: ¾ > � ÀaÒ�´ 2%Ã

�[�Q�s� + ¶U�O�"¹t�������H¶��%�����\���v�s¶M�O�"�/�"���p§q�]���/�s�/»%�����Q²M�M�¬�s���]���\�]¥�����s�O�s�/�Y²U���p�K¸ª��]�s¶��Q�§��s�]§t�Q���s�����Å�s¶M�O�W¸���¥/¥0¹t�����]£����º§M§U�O�s���7��¹t��¥��­¸�´Ùª¢��d�;�E����¦n�s¶���- F À.#�Ã{���������ŧ��s����¡������%¨C�/.�¡M�O�s�/�%��ÀaÒ�´A¾ºÃ>¸��/�s¶�78°�¸ª�"�]¹��d�]���

¾Ò�� " 7 F% �/�(')� � 7'�;�370! % �1�2')� �3��� 7 9 # B ÀD7qÃ�� ��� ÀaÒ�´íÓ7Ã

µW¶������%�7���s�/¹M¡E�s���%���%¨��s¶���¥/�����­�º�{�]§t���d�º�s�]���«���>�s�Q¸Å�s�/���s���n�s¶E�s�%¡�¦%¶!�/���s��¦]�d�O�s�/�%�n¹�¢)§U�O���s��° 7'�<�A70! % � �(')� � Á ��� 7 9 #�E ��"#" 7f� �pÁ ��� 7 9 # ��" 7f� �

��� � �-" 7 9 #�E ��" 7f� � �4� � 7 9 # � E ��" 7f� � � Ò � � 7 9 # � 7f� � � ÀaÒ�´íÐ7Ã

×[�O�s����¦��s¶M�O��: : � $ Ý�°��%�����­�O�����]����¥¬¢Ç�d¶���� ��s¶M�O���s¶M��£��O���s�/³ + E�����§t�%���/�s�¬»7�����Q²U���¬�s�%°�O�M���s¶��Q�s��¨k�]�s�{�s¶��j²M�s�Y�3�/���s��¦]�d�]¥��%���s¶��{�s�/¦%¶7�3���3�/.�¡��/»]�]¥����7�C�s�f�s¶M�{�­�O�M�]�M�/�­�O¥*�3�±¸ª���/¦%¶7�s���� F �M�O�s£ �%¨ ��" 78´ M¡����s¶��Q��°i����������� �/�n£��%���]�s�]�M�/�­�O¥�¥/¢«�����Q�s�­�O������¦�°3�s¶��v¥A�O�Y�����7�s��¦]�d�]¥ª�%�#�s¶����s�/¦%¶7���%¨ÀaÒ�´ïÐ7Ã[����§t�%���/�s�¬»7�!���Q²U���¬�s�%´-µW¶�¡���°-�s¶���£��¬³E���\�s�Q�s£ ���]�\¹q�����Y�s��£��O�s�������}�s���s£����%¨{�s¶���O�s¶M�Q�s�Ź�¢v¡�������¦��s¶��3�ª�]¡��H¶7¢�ÔEÆ��d¶7¸W�O�8;��/���^.�¡M�]¥/�/�K¢v¨k�]��»%���Q�s�]�s���]����s¶����©¨k�]�����7�s��¦]�d�]¥/��°

� � 7 9 À.# � à :65sF À.# � à :75�F E ��" 7f� �� � �98 7 9 # � 7;: :75sF 8 ��" 7 9 E�# � E ��" 7;: :65sF � �� 7 % �/�(')<=� ��" 7 % �/��>)')<?>@��A� 7 % �1�2')<=� ��" 7 % �/��>)'�>@� � ÀaÒ�´�¾�Ö�Ã

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 7: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb 2

ËK���s¶M�p¥A�]�Y�Å�Y�s��§¸ª�"¶M��»%���]¥����n¡M������ÀaÒ�´ïÕ%Ãd´MµW¶M�p£��O���s�/³�¸ª���/¦%¶7�s��° E�#�E �]����#�Ef°�������¡�����/.�¡��/»]�]¥����7�"�M�O�s£���´CÆ���O§�§M¥/¢�����¦v�s¶����>�%¡���¦v�����^.7¡U�O¥��/�K¢��O�M�}�/���������s�/�M¦��s¶����s����¡�¥/�p¹��O�:��/���s�ÇÀaÒ�´íÐ7Ãj²M�U�O¥�¥/¢�¦%�/»7���

Ò 7'�;�370!&% � �(')� $ ��" 7 F% � �2'�>@� � À {Á! : à 7 F% � �(')<=� � ÀaÒ�´A¾%¾ºÃ

¸�¶��Q�s�3 : ����§t�����M�Å�%� �M° + °U�]����Ef´µW¶������%�7���s�¬¹U¡E�s�/�%��s�©ÀaÒ�´ïÓ%Ã{¨k�s�%£ �s¶������%��¥��/���­�O�Å�s���s£v°�¸Å�s�/���s����%¡E����³�§U¥/�����/�s¥¬¢7°����

�"� 7 9 # B ÀD7qÃ�� � � ����� :�À : F : � Á¾­Ã ÁÂÀ :�Á¾ºÃ ���3ÀY¾ÅÁ à � � ��� ��� ÀaÒ�´A¾­Ò7Ã

Æ��������Ö � �ؾ]°-�s¶��!�s���s£ �/���8.7¡U�º�s�!¹��d�]�:�%���s�)���]�#�]�M¥¬¢�¹t�!§t�%���/�s�¬»7��¨k�]� �!��� (:-À :tF5: � Á�¾ºÃ�¿EÀ :�Á�¾ºÃd´ M�]���s¶��%���p»]�]¥�¡������%¨ ��¸ª������¦%¥����Q�Å�s¶M�p�s�Q�s£ À :�Á¾ºÃ@�����n�s¶M�O�

� � 7 9 # B ÀD7qÃ�� � � :�À : F : � Á¾ºÃ � � ÀY¾WÁ à � � ��� �� :�À : F : � Á¾ºÃ�� � 'tF 7 F% � �(')<=� ��¡E§" � �fÀ9�7Ã� � À9��à � ÀaÒ�´A¾­Õ7Ã

M�]�[��³��O£n§M¥��]°���¨C�s¶M���d¶����%��� ��À9��à � �Q³�§-À&���7Ãd°M¸ª�����]�Ç��¥/�%�����s¶������/ t���s���7�s�A�]¥-�/���^.�¡M�]¥/�/�K¢¨k�]�Å�s¶�� - F À.#�Ãm�a���]�s£ �

�� " 7 F% � �(')� � ��" 7 F% � �('�>@� � À {Á F à 7 F% � �(')<�� �ÂÖ�� ÀaÒ�´A¾�Ý�Ã

µW¶�¡���°�¨k�]�ª���d�O�M��¥��O�s����¦�»7��¥������¬�s�����6 [½ F °��s¶�� - F À.#�Ãm�a�M�O�s£ �/�W�Q³�§t�%�������s���]¥�¥¬¢!�������s���]���/�M¦E´ËK��]�s¶��Q�Ÿª�]�s����°��s¶��"¨k�d�O£����]¨8�s��¨k���s�������p�%¨-�%¡E���Q³�§t�%�����7�s���]¥q¸ª����¦%¶7��£���»7���Ũx�]�Y�s�Q�Å�s¶U�O��s¶��"¨k�s�%�7��´UµW¶�¡M�W¸ª��¶M��»7�"§��s�­»7����s¶���¨k�%¥�¥/�­¸�����¦�´� ����������� Ü��SÛ�� � bsbd�ER�InPS^EL]P)7 * _xb"b�Q�MLONsI�_xTUPmIal]NsL7��g/I�L�l�LO_xT�bHPÅLOT«I��dJMVOTtIQTUPS_±L]g��{IQ_/l]^�PXs�ETt`QPS_aVOT45�r-^EIHT\PS^EIQNsInI��O_xbHPSb)L�R!L��O_xR�L]g%XdNsVOTUP{b±JUIsIdw ���� �Çb�V�PS^EL]PWL]gkg�XQIdL]PS�ENsIHb�R�VO�­_xT�lXQLObHPmIQN�PS^ELOT ���� ��LONsI)w7Id`dLOuO_xT�l�_kT}PS^EInI!�HJMVOTtIHTUPS_aL]gkgíu"�{IQ_/l]^�PmIdw � F b�IHTMb�I/5µW¶����3�Y�d�O�s��£����7�3���C¡����s�O�s����¨x�]�Q�s�]��¢�¨x�]�-�K¸ª�f�s�­�O���%����´1 3�¬�s�Y��°O�/�C�������C���]�C¦%�/»7�j§t�%���7�K¸������

¹t�%¡������p�%�Ç�s¶�����¶M�O§t�)�]¨3�s¶M��¨k�s�%�7��°q�O�M���������]�M�q°U�s¶M���s����¡�¥/�p�/�[���]�p�­�O����¥/¢©�Q³��s���M�����Ç�s��s¶������]�����%¨>�O¥�¦%�Q¹��d�]���������­��¢7´�ËK¨3¸ª�����/£n§M¥/¢©�s�Q§M¥A�]������� ¹�¢Ç�]���]¥�¦]��¹��d�]�/�­�]¥/¥/¢©�����Q�s�­�O������¦¨k¡M���Q�s���%�q°7¸ª�����]���M�O�{��¥/�%���f¡E§!�s¶������Y�s��£��O�s�Źt���­�]¡������s¶�����¡E§��s��£�¡�£¯�/��ÀaÒ�´�¾­Õ7ÃC¹t�����]£�����/��²M���/�s�]´%Ê��]�s�Å����»%���s��¥/¢%°%¶M��¸ª��»7�Q��°7¨k�]�>��������¢)�M���O�i�s¶M�W�Q�s�/�s�����]¥E��³�§t�%�����7�j¨x�]¡M���n¹�¢�Æ�¶M�Q����d�O���{É�Ê��O�s�d¶M�]�7��°7�s¶��Å���Y�s��£��O�s�W¸ª�%¡�¥����s�/.�¡��/�s���"�������s���]������¦"¸ª����¦%¶7��°%�s¶����s�Q¹�¢)�s�Q»7�Q�s������¦�s¶��!���/¦%���%¨W�Q»7����¢��s�Q�s£¤�s¶U�º�����%�7�d�]����� � � ´CµW¶�¡M���¸ª���/¦%¶7�s���+� F �a���]�s£ �/���s���©�s���Y���s�/����s�¬»7�%°7¹M¡��ª�������{���%�����s¶���¥�������°E�/�7���s����¡M�����ª�s¶���¹U�]�����[�/�M����¸��/�s¶��%¡E�{�s¶��f�s���d¶��M�/�­�O¥��/�s�/���j�s¶M�O��O§�§t���O�f¨k�]��¶���¦%¶��Q���]�s�������M�O�s£���´ËK�ǧ��º���s����¡M¥��O��°U�s¶�� � F ���Y�s�/£��O�s���/¥�¥/¡M�Y���d�º�s���f¶��­¸Ú�s¶���£��O���s�¬³ + ¸W�]�[�H¶��%�������tËK���]�E�

���/�s�/�%���s� + ¹t���/�M¦}§q�]���/�s�/»%�©����²M���/�s�]°>¸ª�Ç�O¥�����¡������Â�s¶M�O� + E ����§t�%���/�s�¬»7�©���Q²U���¬�s�©����s¶M�O���s¶M�����%�7���s�/¹M¡E�s���]��¨k�s�%£¤�s¶������/ t¡����/»%��§U�O�����]¨F�������%¨{§t�%���¬�s�/»7�����/¦%�q´2 3���M�]¥/¥/¢%°8�s¶�������P�����/���7�s���%¨ �]��� �n�/�#ÀaÒ�´A¾­Ò7Ã{£�¡��Y�f¹t��§t�%���¬�s�/»7�������s¶U�º�f¥A�º�s¦%��»]�]¥�¡������%¨I�)�U�O£n§t����d�O�s¶��Q�p�s¶U�O�}�E�s�/»%�n�s¶��)���Y�s�/£��O�s�]´t���)¸���¥/¥C�s�Q�a�������%¡����s�Q��¦%�������d�O¥��<;�����»7�Q�s�����]�M�"�%¨>�s¶�������s¶E�s�������%�����/�s���]�M�W¸�¶����¸ª�"���%���Y���s¡M�Q��¶���¦%¶��Q�f�]�s���Q�f���]�s£��Å���©·8��£�£���Õ�´A¾p¹t��¥��­¸�´

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 8: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

Ó Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN�Wú����8&>ü�� ����� )"%ý ��$'&3ý( #"�{�]�M���/�������s¶�� #{�±¸ª����¦%¶7�s���\���������"§��s����¡M�Q���%¨ �-" 7�¸��¬�s¶}�s¶���º�a�M�Q�s�/»]�O�s�¬»7�n�%¨j�s¶��n»%���Q�s�]�

¨k�]�s£ �%¨-�s¶��p�s�­�]�Q�s���]���a���¬ q¡����/�%�Ç�/.�¡M�O�s�/�%��ÀaÒ�´A¾ºÃs´tÄf����¦%�Q�s�¾Ò���" ��" 7 F% �/�(')� � ��" 7'�;� ��" 70! % �/�(')� ��������" 7 9 # �-"�B ÀD7qÃ�� � � ÀaÕ�´�¾ºÃ

µW¶��i���%�7���s�¬¹U¡E�s�/�%��¨k�s�%£��s¶��i¥��������O�0§U�O���8���8���Y�s��£��º�s���"¥��¬�s���d�]¥/¥/¢"�]�0�/�"�s¶��i§��s�Q»E���]¡M�0�����Q�s���%�q°Ò ��" 7'�;� ��" 70! % � �(')� $ ��"�" 7 F% � �('�>)� � À {Á : à ��" 7 F% � �(')<�� � ÀaÕ�´íÒ7Ã

ËK���s¶��©���7�s��¦]�d�]¥W�%���s¶���s�/¦%¶7�!�%¨©ÀaÕ�´�¾ºÃs°i¸ª�©���/ t���s���7�s�A�O�s�v�s¶E�s�%¡�¦%¶Â�]�����d���7�©�O¹M���%¥/¡E�s�»]�]¥/¡M����´tÆ�������� ���W¹t�%¡��M�����q°M¸ª����������%��¥¬¢ �7����§©�s¶��"���]�����s�¬¹M¡��s�/�%����¨A�s�%£ ��°M�±´ �%´/°

�"���-" 7 9 # ��"�B ÀD7qÃ�� � ���"�#��" 7 9 #}À�� B ÃQÀD7qà ��" 7f� �� : ��� � ��" 7 � F 8 � � '8: � � � :;��� �� F À ��à � � ��� � �-" 7 � F � � '8: ��� � � , À ��à � � ��� � ��" 7 � F � � ��� ���

ÀaÕ�´íÕ7à M�]�f�s¶���£��%£����7��°U¸ª����¡�§�§t�%��� ��s��¹t���O��¢v§t�%���¬�s�/»7�����]�M�Y�d�O���@0¸ª��¸���¥�¥q²M³�¬�f¥A�O�s�Q�f�%�¸�¶�����¸ª�[��¥/�%���f�s¶��[���Y�s�/£��O�s�]´�µW¶��[¦%�7�]¥����{�s�n�º¹U���O��¹v�s¶M�[���%�7���s�/¹M¡E�s���]�v¨A�s�%£ � � ���/���s��s¶��"���]��»%���Q�s����¦n�s���s£ �]¨�ÀaÕ�´�¾ºÃs´�µ8�������s¶��/��°U���%���������Q���s¶��"¨x�%¥/¥��­¸��/�M¦����Y�s��£��O�s�

������

� ��" 7 � F � � '8: ��� �� �� ���

� ��" 7 � F ����� � \��¡E§"�� ����� � � '8: �� � � ÀaÕ�´ Ý�Ã

�[�������]°�¸ª�p���]�v�]�H¶��/��»7�f�s¶����ª��¥/�%��¡E�s�[§M�s��»E��������¸ª�[�­�]�!²M�����¹t�%¡����v�]���s¶��p��¡E§��s��£�¡�£�]���s¶��i�s��¦%¶7�-�%¨jÀaÕ�´ Ý�Ãs´]Æ��/�����i¸ª�>�­�O�M���]�8¢7�Q�8¶U�O�M��¥/�>�s¶��j¥��]�Y�8�s�Q�s£��/��ÀaÕ�´ Ý�Ãd°�¸ª�j��¡�£�£��º�s�<;���s¶��"���/ t���s���7�s�A�]¥0�/�M�/.�¡M�]¥/�/�K¢v¨k�]�Å�s¶�� � : �a����£��/���]�s£{����" ��" 7 F% � �(')� � ��"#" 7 F% � �('�>)� � À {Á F à �-" 7 F% � �(')<=� �� , � ����� � ��" 7 � F � � ��� �N�ÀaÕ�´íÞ7Ã

¸�¶��Q�s�

F � : � ��¡E§"�� ����� ���@'-:��� � � ÀaÕ�´íÑ7Ã

µW¶��©£��%�Y�����E����¡�¥/��§U�O�����]¨f�s¶M�v§��s�%¦]�d�O£�£��©���n�s���O¹M�d�O��� �O�����H�a���Y�s��£��O�s�©¨x�O��78°¸�¶��Q�s����£�¡��Y�W¹t�p¥��O�s¦%�[�����%¡�¦%¶��s�)¦%�]���v���%�7���s�%¥t�­»%���ª�s¶��f�s��£��]��������¦��s���s£ �%�!�s¶��[�s�/¦%¶7��/�©���Y�s��£��O�s��ÀaÕ�´íÞ7Ãd´MÌÚ¦%�������d�O¥0�Q³�§��s�������/�%�©¨x�O�[�)¸ª����¦%¶7�s��� � F�� �a�M�O�s£°U¨x�O�0�}���7�s��¦]����°M���

7 F��% �������9� � ����� F%� ÀD7CÀ9�7Ã�Ã� }À9�7Ã�� �I� ÀaÕ�´ 2%Ã

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 9: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Ð

¸�¶��Q�s� � ( � F�� ���[��¶��%£��%¦%�������]¡M�f§t�%¥¬¢E���%£����]¥-�/� �]���`�n�%¨3����¦]�s���)Ò@�3´M�«����£n§t�%������Q»7�Q�d�]¥U���%�����/�s�/�%���j�%� � °7�%�������i�s¶U�º� � ¹t�ŧt�%���/�s�¬»7�����Q²U���¬�s�%°7�����s¶M�O�>�s¶������]�s£ �M�Q²M������O¹t�­»%�[���ª�^.7¡M�¬»%�O¥������{�s���s¶��[�­�O�M�]�M�/�­�O¥�¸ª����¦]¶��s�����M�O�s£ �%�8� F�� ´(�[��¸ª��»7�Q��°��s¶��[�Y���s¡M�Q�s¡E�s��%¨q�%¡E�{§��s�]¹M¥���£ £��;�7���{�/�{���]��»%���������7�ª�s���/£n§t�%���f¨x¡E���s¶����ª���%�����/�s���]�M�{�%� � °�¸�¶����d¶�£��;�7��s¶��p�H¶��%�/���p�%¨0�/�s�W�����P�����/���7�s�W���%�E�±���s�¬»E�A�]¥S´MµW¶����ª�s���H¶����S.7¡M�[¸W�]�ª���7���s����¡������v¹�¢�Ê��]¥/¶M�]£É �[�/�«ÀY¾�Ð%Ð%Ó7Ã{�]���©���Å��¡�£�£��O�s�6;����Ç�/��s¶���¨k�%¥�¥/�­¸�����¦�¥���£�£��E´� ��� ����� �SÛ�� � bdbs�ER�I�PS^EL]P{Ö�� � ¾\LOT�w�Ö�� �#LOTtwÇb�IQP�7 � À � �7à 9 5�r-^EIHTX�VONIH�]IQNHu�� $ ¾©PS^EIHNdI!I!�]_kbHPSb�Lv^EVOR�Vdl7IQTtIsVO�Eb�JMV]gíu]T�VORn_aL]g � ÀD7qÃnVYX�w7ImlONsIdI�Ò@��_kT LOTtw �bd�M`Q^PS^EL]PjPS^EI{XQV]gkg/V �i_xT�lLONsI�PSNH�MI^5��� �� � ÀD7qÃp_xb{JMVObd_SPS_k�]I)w7I�iTM_SPmI/5��� ~��&r8^EIQNsInI!�O_xbHPSb�Lv`dVOTMbdPmLOTUP �½ÂÖÇbs�U`H^PS^EL]P � � � � � � � �ÂÖ �i^EIHTtIQ�OIQN ��$ �'5����� �&r8^EI[JUV]gíuOTtVORn_±L]g;� 9 ��F � E9�«_xb�JMVObd_SPS_k�]I!w7I�iT�_SPmI�LOb�L�Ò@���ïXQVONHRncª_�5kI^5jPS^EIQNsI!I��O_kbHPSb

Lv`dVOT�bHPmLOTUP��)½ÂÖ©bd�M`Q^PS^EL]P�XQVON)IH�]IHNHu ����� F c� 9 � F � E9� $�� � � � F � 7 � F%�('tF � ÀaÕ�´ïÓ7Ã

µW¶���§M�s���%¨ª�������]�����E����¡�¥/��°0¹U¡E���s���H¶��������]¥±°-�]���\¸���¥/¥>¹t��¦%�¬»7���«�/� �dÝE´8����¡M�����s¶M�O��� À � ÀD7qÃ�à � À�� � ÃQÀD7qà ��� 78°O¸�¶����s� � � � À ��� � � � � � Ãd°7�]�����/���������i�s¶M�W�Q³�§��s�������/�%��¨x�O� �� 7¨A�s�%£ �]¡��Å�s���]�Q�s���%�E�a���/ t¡������]�Ç£����M��¥jÀaÒ�´A¾­Ãd´MµW¶M���©�/���s��¦]�d�O�s�/�%�©�]¦7�]�/���Y�� ئ%�¬»7���

�� " 7 F%�% � � � �9� � ��� À�� � ÃQÀD7qÃ(�37� � � � ��� À�� � ÃQÀD7qà B ÀD7qÃ� Â� �.� ÀaÕ�´ïÐ7Ã

���"���7�s��¦O�d�O�s�"¹�¢�§U�O���s�W�s�n�s�Q¸Å�s�/�s�p�s¶M�"���%�7���s�/¹M¡E�s���%�©¨A�s�%£ �s¶��"¥��������O���s�Q�s£°

��� À�� � ÃQÀD7qÃ(�37� � � � Á �"� À�� � ÃQÀD7qÃ(E �-"�" 7� � �"Á! ��� ��" À � ÀD7qÃ�Ã� � ���������" 7 9 À�� F � EÅÃQÀD7qà ��" 7� � � �4��� À�� � ÃQÀD7qÃ(E ��" 7� ���� � � 7 F%�% � �����9<=� �

ÀaÕ�´A¾�Ö�Ã

µW¶���²M�s�Y�ª���7�s��¦]�d�]¥��/�ª���%������¦%�O�s�/»7�f��¡��f�s�vÀD�ªÕ7Ãd°7¸�¶���¥/�f�s¶��f�������%����¶M�]�j�s��¹t�[���Y�s��£��º�s�����

� � À�� � ÃQÀD7qÃ(E ��" 7� � � � �� � � � 7 � F%�('8: � ��" 7 � � � ��� < ��� � 7 � F��('qF � ��" 7 � F ��� � > :F < �"� � 7 � F%� ���� � > :F �#ÀaÕ�´A¾%¾ºÃ

�����O§�§M¥/¢!§M�s�O§q�Q���K¢}ÀD�ªÕ7Ã{�O�M�v�s¶��p¹t�%¡�����%� � °M�/.�¡M�O�s���]��ÀaÒ�´íÕ7Ãd°E�s�)�s¶M�[²M�s�Y�Å���7�s��¦]�d�]¥S´�p¡��"�s��ÀD��¾ºÃd°��s¶����������%���©���7�s��¦]�d�]¥0����²M�����f�n���]�s£ �s¶M�O�f�/���/.�¡��/»]�]¥����7���s�n�s¶M��- F%� À � Ãm����]�s£´ �[�������]°�¹�¢�O§�§U¥¬¢E����¦n�s¶�� �>�%¡��M¦n�����^.7¡U�O¥��/�K¢%°�¸ª�"²M����s¶M�O�

��� À�� � ÃQÀD7qÃ��37� Â� ��$ �Ò ��� � ��" 7 � F � 7 � F%�('tF � � � À {Á! , à 7 F%�% � �����9<=� � ÀaÕ�´A¾­Ò7Ã

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 10: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

¾�Ö Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN·8�Q��¡M�Å���­¸��s¡E�s�v�s�n�s¶������%�7���s�/¹M¡E�s���]�©¨k�s�%£ �s¶������%��¥/�����­�º�s�/�K¢%´ �p¡��p�s�ÇÀD�ªÒ7Ãd°

� � À�� � ÃQÀD7qà B ÀD7qÃ� Â� �� ������À � � � � � � � ÃqÀY¾WÁ à � � � �

� 7 F%�% � � � � < � }��¡E§"�� � ��� ��� '8: � � ÀaÕ�´�¾­Õ7Ã

Ì[¥¬�s�%¦%�Q�s¶�����°E�s¶M��- F�� ���Y�s�/£��O�s�"���­¸��s���]����� " 7 F%�% � � � � � � �

Ò �"� � ��" 7 � F � 7 � F��('qF � � � À jÁ � à 7 F��% � � � � <=� �ÂÖN� ÀaÕ�´�¾�Ý�Ã

¸�¶��Q�s�

� � , � }��¡E§"�� ����� ���@'-: � � ÀaÕ�´�¾­Þ7Ã

ËK��s¶���¨x�]¥�¥���¸�����¦�¸ª�"¸��/¥�¥0���%£�¹M�������s¶��/� - F%� ���Y�s��£��º�s�"¸��/�s¶�s¶�� � : �a����£������]�s£ ���Y�s�¬�£��O�s��¦%�¬»7���©¹�¢�����/.�¡M�]¥��¬�K¢«ÀaÕ�´ïÞ7Ãd´tÆ���������¸ª���O�s���%��¥¬¢���%�������s�����©¸��¬�s¶©�s¶��"¹t��¶U��»E���%¡E�f�%¨�s¶��"���%¥�¡E�s�/�%���º� � °M�/���/�����%�7»7���M�/���7�Å�s�����7���s����¡����"���s¡������O�s����¸ª���/¦%¶7�s�

��� ���mÀ9��à � � � � À9��à ¨x�]����$&¾7�� � ÀY¾ºÃ�� " '8: ¨x�]��� �&¾1� ÀaÕ�´�¾­Ñ7Ã

µW¶�¡���°t�/¨ � ���[�]���]��£��������¬¹U¥/��¸ª����¦]¶��nÀS�������s¶���¹t��¦%����������¦!�%¨��QÒ%ÃW�%��ï¾7� ÂÃd°M�s¶M����� � ��� ����O�Ç�]��£��������¬¹M¥���¸ª����¦]¶����%� ��¨k�]����»%����¢�)½ÂÖE´ M�]�!�Q³�§t�%�������s���]¥�¥¬¢������­��¢�����¦\�/�M�¬�s�A�]¥W�M�O�d�E°3¸ª������ � � ��³�§���°>�]���Â���%���������Q��ÀaÕ�´íÞ7ø��¬�s¶ �fÀ9�7à � � � F�� � °%�O�M�n�]¥����nÀaÕ�´A¾QÝ�Ã0¸��/�s¶ �À&�qà � � � F%��� � ´º���/�s¶��s¶��/�3�H¶��%�/���]°O�s¶��ª��¡�§��s��£��������¡E���s����¦p�/�)���]�d¶)�%¨��s¶��{�����/.�¡M�]¥��¬�s�����i�O�s�ª�/£�£������A�O�s��¥/¢�¹t�%¡��������)�/���s���s£��C�%¨M�[���%���Y�d�]�7��s¶M�O�p���Q§t�������[�%��¥/¢Ç�]� �q° �3°t�]�����t´ M¡����s¶��Q��°t��¨3� $�®�¿]Ò � ¾)�O�M�������^.7¡U�O¥��/�K¢�ÀaÕ�´ïÞ7ÃW���£�¡M¥¬�s�/§M¥��/���©¸��/�s¶Ç����¡N���������7�s¥/¢��£��]¥�¥0§t�%���/�s�¬»7�����%���Y�d�]�7���7°M�s¶�����s¶��"�s���s£ �%��s¶����s�/¦%¶7��]¨�ÀaÕ�´íÞ7Ã{���Å���]�����s�]¥�¥����¹�¢��s¶��"�M�/�����/§U�O�s�/�%�©�s�Q�s£ ���v�s¶�� - F%� �/���^.�¡M�]¥/�/�K¢%´MÌ[¥¬�s�%¦%�Q�s¶M�Q��°���"�� 7 F%�% � ��� � � � � �-" 7 F% �1�(')��� � À >Á! ��­Ã � 7 F%�% � �@� � < � � � �-" 7 F% �1�(' < ��� �ÂÖ.��ÀaÕ�´�¾ 2%ÃÆ��/�M��� � � �� ¸��/�s¶ � � £��/� ��¾7�<� °3�s¶��/��¥A�]�Y���/�M�/.�¡M�]¥/�/�K¢#��£)§U¥/�������s¶��v��³�§t�%�����7�s�A�]¥¹t�%¡����

� 7 F%�% � � ���9� � � �-" 7 F% � �(')� � � � 7 * F%�% � � � � � � � ��" 7 * F% � �(')� � � � 7�� ' 7 ��� � � ÀaÕ�´�¾­Ó7ÃÙ{¢�H¶����%���/��¦v�n���d�]����¥A�O�s�/��¦!»%��¥/�����¬�K¢5 "½& ��O°M¸ª� � �%¡E���s¡����M�s¶���§M�s�O§��O¦7�O�s����¦�¨k�s�%�7��´qÆ�����¨�s¶��)���%¥/¡E�s���%���/�p�/�M�¬�s�A�]¥/¥/¢Ç��³�§q�]�M���7�s�A�]¥/¥/¢Ç�����­��¢E����¦������s¶��n��»7�Q�d�]¦%�������������)�%¨i�s¶M�����]�s£���/�«ÀaÕ�´�¾­Ó7Ãs°M�s¶��/�ŧ��s�]§t�����K¢�����£��]���7�d�]�/�M���©¨k�]�f�]¥�¥q�s�/£�����´Ê��]�s���­»7�Q��°q¸ª�����]�}�]¹��d�]���\�!§q�]���7�K¸������n�s����¡�¥/���]�"¨x�%¥/¥��­¸���´CÆ�¡E§�§q�]���n�s¶M�O� � 7 * À9��à � ���* �Q³�§8ÀYÁż �7Ãv�O�M�&�s�º�s���Y²M����s¶��}¹t�%¡����M�O��¢����%�����/�s���]���%¨��s¶��}�^.�¡M�O�s�/�%�q´fµW¶���� 7 * �

� F%� À�� � F%��� � ÃÅ�]��� �-" 7 * � � F À�� � F�� � ÃW¨x�O�[��»%����¢ � � ¼3´ U�]�� "��¡N���������7�s¥/¢©¥A�º�s¦%�%°��/���M�Q§t���E������7���%¨ ��* °-�s¶M�����]�s£ �%¨07��/�#�s¶��������Y§U�]�����n�����­��¢E�)��³�§q�]�M���7�s�A�]¥/¥/¢«�/�#�s��£n�%´-�«�����]��s¶�����s�����%���Y���s¡��Q�[�)§q�]���7�K¸��������Q³�§t�%�����7�s���]¥�¥¬¢�����­��¢�����¦�¹t�%¡����¸��/�s¶©�]�7¢�Y§U�O�s�A�]¥0�����­��¢�Q³�§t�%��������¥/�������s¶M�]�+�}¹�¢��O§�§M¥/¢E�/��¦Ç�s¶���¨x�%¥/¥��­¸��/��¦����7�s�Q��§t�%¥A�O�s�/�%��¥/��£�£��©¸��/�s¶ � � �E°� � �#�t°M�]��� � ���t´=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 11: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb ¾%¾

� ��� ��� � �kÜ��!y-IQP � �dI©LOT L7wORn_kbdbd_±��g/I �{IH_�lO^�PiXd��Tt`�PS_±VOTMc�w7I�3TtIdw�VOT �¬¾7� ÂÃdc"LOT�w}g/I�P�!��� : À��Wà �i_SPS^ �CÀ9��à � `dVOTMbHP{LOb�� � Á# 5qy-IQP#�}½�¾�LOTtw � � � $ Ö��dI"NsIdL]g�TM�ER��dIQNHbX5r8^EIQT��¡E§" � �� � ���C: À9�7Ã"��� � ��� �±À9��à �� �A� : ��" � F� � ����� ��� � � � F � F%�� � � ����� � �� � � � ,�� À��ªÃ � ÀaÕ�´A¾­Ð7ÃJ�NsVO�­_±w7Idw�PS^EL]P

� À��{à � � F%��� 'tF ��('8: ÀY¾­Ã �4� :

� ��" � � F%��('-: � 'qF � �.�('��@��('8: À9�7Ã�� � ÀaÕ�´ïÒ]Ö�Ã

_kb�3TM_SPmI/5 � JMVObdbd_±��g/I�`H^EVO_a`dI�VYXp`sVOTMbHPmLOTUPSbf_kb � : � ÀD� � ¾ºÃ�¿]Ò�c0� , � £��O³ �7¾7� � � � ciLOTtw� F � � : � � , 5µW¶��p§��s���%¨-�%¨8�s¶����W¥���£�£��)���Ŧ%�¬»7���v���!�dÝ�´E���"���­¸&��¡�£�£��O�s�6;����]¡��W�s����¡M¥¬��¨k�]�Å��³�§t�]�

�������s���]¥�¥¬¢�����­��¢E����¦�¨A�s�%�7�s��´� ����������� � � � �[y8I�P � � ��³�§���5UoU�­J7JMVOb�IfPS^EL]P 7�b�V]gí�OIQbfI��Q�ML]PS_aVOT�ÀY¾]´A¾ºÃ �i_xPS^)_xTM_xPS_aL]g�w7L]PmL7 * � � F%� À�� � F�� � � Ã8XQVONfb�VOR!I���$�®Ç¿]Ò � ¾�LOTtw)PS^EL]P ��" 7 * � � F À�� � F�� � à 5jr8^EIQT©PS^EI[�OI�g/V­`Q_xPSuVYX�PS^EIpXsNsVOTUPf_xb��sVO�ETtw7Isw}�Qu\L}`sVOTMbHPmLOTUP. � � � �i^7_a`Q^}R!LOu}w7ImJUIHTtw\VOT � LOTtw8�tcp�H��Pf_xbV]PS^EIHN �i_xb�I�_xTtw7ImJUIHTtw7IQTMPÅVYX�7 * ci_xT�PS^EI�b�IHTMb�I�PS^EL]P

7 � ��� ����� � ����� � � Ö LOTtw ��" 7 � � ����� ���� � � Ö ÀaÕ�´ïÒE¾ºÃ

I!�HJMVOTtIHTUPS_aL]gkgíuLObU" � �i^EIHTtIQ�OIQN [½ �� � ��5Z�VONsIdVO�OIQNHcj_ X 7 * À9��Ã6� ��* �Q³�§-ÀYÁW¼ ��ÃjXQVON+��½ ÖEc{PS^EIQT�XQVONnIQ�]IHNHu �5� ¼ PS^EIQNsI�I��O_kbHPSb

L�Xd��Tt`�PS_±VOT � À � �8"�Ã�LOT�wvLv`dVOT�bHPmLOTUP, ���� �bd�U`H^PS^EL]P� 7CÀ9���:"�à � � � À � �8"�Ã�� ' � " ÀaÕ�´ïÒ%Ò7Ã

LOTtw � À � �8"�à � Ö�X�VONQ" � �i^EIHTtIQ�OIQN@ p½ � � ���>_xT�PS^7_xb�`dLObQI ���� �©R!LOuvw7ImJMIQTtwvVOTv¼�H��Pj_kb"_kTtw7IKJMIHTtw7IQTUPWVYX ��* LOT�w �'5 U�O�n�]¥�¦]��¹��d�]�/�­�]¥/¥/¢\�����­��¢�����¦Ç¨k�s�%�7�s��¸ª�!���%£�¹M�/�M���s¶���� : �a����£n�����]�s£ ���Y�s��£��O�s��¸��¬�s¶� � � � F����3: � �O�M�v�s¶M��- F%� ���Y�s��£��º�s�"¸��¬�s¶ � � � F�� ��'8: � ´MµW¶M�O�Å�s¶������d¶��%�����"�%¨-¸ª����¦%¶7�s�Å����s¶��8� �s��¦]¶����0�%�������]�}¹t�����������/£�£������A�O�s��¥/¢}¨A�s�%£ �v����£)§U¥/�����­�O¥�����¦Ç�O�s¦%¡�£����7�6�-Ì[����¡�£���s¶M�O� � 7 � $ �('*)�°7�s¶������s¶�����³�§t�%�����7�s�{�%� ���/���s¶������7�s��¦]�d�]�����{�%¨t�s¶����K¸ª�����]�s£��j¹t�����]£���/�M���7�s�����]¥0��³E�]���s¥¬¢�����s¶��"���s�¬�s�����]¥0���]���p¸�¶M���!� � ¼3°U�]���©�/�7�s��¦]�d�º¹U�/¥��¬�K¢¨x�]��¥/��´µ-�\�O¹M���]��¹Â�s¶��v�s�Q�s£È�]���s¶M���s��¦%¶7���]¨©ÀaÕ�´íÞ7Ã����7�s�}�s¶�����/ t¡������%���s���s£ �%¨��s¶���- F%� �

���Y�s��£��º�s�%°�¸ª�p£�¡��Y�Å���­¸��s�/.�¡��/�s�]°E����]�����/�s�/�%���s� ��$�®Ç¿]Ò � ¾]°��s¶M�O��Ò � � ¾�� Ò@�#��Á«¾]°¸�¶����d¶���]���­�O����¥/¢�¹t�"�s�º�s���Y²M���q´UÆ7§q�����/²M�­�O¥�¥/¢%°E��¨ �v½�¾º¿�ÀS®¯Á«¾­Ãd°M����¡N���������7�����%�����/�s���]�v����`$�®}´µW¶�����¡�§��s��£��n���«ÀaÕ�´íÑ7Ã{�]���«ÀaÕ�´A¾�Þ7Ãj¹t�]�s¶¶U��»7���)¹t�%¡����©�%¨-�s¶��"¨x�]�s£

��¡�§"�� ����� ��� '8: � � �����" � � ��� ��À 7Ã{£��O³�� � � '8: ����¡E§" � : �� � � '8: � ���� � ÀaÕ�´ïÒ%Õ7Ã

Æ��Q� � � Ò@�#�nÁÂ¾Ò �0ÀS® Á�¾ºÃ � � � Ò � � ¾

Ò �0ÀS® Á¾­Ã � ÀaÕ�´ïÒOÝ�Ã

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 12: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

¾�Ò Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN�s�n¡M����·8��£�£���Õ�´ïÒ)¨k�]���s¶��"��¡E§M�s��£�¡�£ �%��s¶��p�s��¦%¶7���%¨�ÀaÕ�´íÒ%Õ7Ã��

��¡E§" � : �� � �@'-: � �� � � ��¡E§" � �� � ���C: � � � ��� � �� � � '8:���C:� � � : ��" � F� � � " � ��� � � � F � F%�� � � � " � � �� � � � ,�� � � '8:� �C: ÀaÕ�´íÒ%Þ7Ã

¸�¶��Q�s�� � ¾ � �

:� '8: � � � �C: �.� : ' � � � '-: ����

� '8: � � � � '8: � � � ÀaÕ�´íÒ%Ñ7Ã�/�>²M���/�s�W¸�¶������Q»7�Q�j�s¶��[Æ�¶������d�º���WÉ Ê��O�s�H¶M�]�7�>¹t�%¡���� �v½�¾º¿�ÀS®�Á©¾ºÃ-���>�s�O�s�/�Y²U���q´��[�����Q��s¶��/�3���%�����/�s�/�%�q°º¸ª�ª�O¥����[¶M��»7�j�s¶M�O�iÒ � � Ò@�#�CÁ�¾{�]���nÒ � � Ò � � ¾]°º�����s¶U�º�C¸ª�ª�]¥¬�s�%¦%�Q�s¶M�Q��O¹M�d�O���Ç�)¹t�%¡����©�%¨8�s¶���¨k�]�s£

��¡E§"�� ����� ���@'-: � � ����-" � � ��� ��� � � � ��� � " � � ������� � � � �-" � � � � " � ���� � � � � ÀaÕ�´íÒ2%Ã

¸�¶��Q�s��� �/�>�f¹t�%¡����M���n¨k¡��M�Q�s���]�0°]�]���n¶M�]�3�����������/���7�s�C¸�¶M�/�H¶n�]¥����p���Q§q�����)�%�"�t° �M¿EÀS® Á¾­Ãd°U�]��� �3´µW¶����{�]¥�¥/�­¸��j¡M�i�s����¥/�%����¡�§��s¶������Y�s��£��O�s�]´� U�]� �[��¡U�����/���7�s¥/¢���£��O¥�¥±°%¸ª��¦%�Q�pÀx§t�%�����¬¹M¥/¢

�º¹U���O��¹U�/��¦�¨x¡E���s¶��������%���Y�d�]�7�s���/���s�n�s¶����Q³�§��s���������%�©¨k�]����Ã�� "�� 7 F��% ����� �9� � � ��" 7 F% �/�(')� � � À {Á ��à � 7 F��% ����� �9<=� � � ��" 7 F% �/�(')<=� � �ÂÖ.��ÀaÕ�´íÒ%Ó7ø�¶��Q�s�

� � � � 7 % � � � � � � � ��" 7 % � �(')� � ÀaÕ�´íÒ%Ð7Ã�[�������]°0§��s�­»E���������s¶M�O� )�����d¶��%��������¡N�����������s¥¬¢�¥��O�s¦%�]°-���Q§t����������¦Ç�%�\�s¶��������/�s���]¥>£��]¦]����¬�s¡M���Ç�%¨p�s¶����O�s¦%¡�£����7�s���%¨��n°>�s¶������Ç�s�]£��%.�¡M�]�7�s�/�s�������O�s�����%�E�a�/�M�Q�s���]������¦#�/� �s�/£���O�M�\�s¶������Y�s��£��O�s����³��s���������s�Ç�º��¹U�¬���d�O��¢}¥A�O�s�Q���s��£������/�#�v����¥/¨k�a���%�������Y�s������¸W��¢7´8·8����¡����¡�£�£��O�s�<;��%´� ����������� � �����[y-IQP��v½&¾º¿EÀS®�ÁǾºÃfLOTtw �`$® 5UoU�ºJ7JMVOb�IfPS^EL]P.7}b�V]gí�OIQb[I��H�UL]PS_±VOT�ÀY¾]´�¾ºÃ�i_xPS^_xTM_xPS_aL]gCw7L]PmL 7 * � � F%� À9� � F%����'-: � Ã)LOTtw!PS^EL]P ��" 7 * � � F À9� � F����C: � à 5fr8^EIQT\PS^EI��]I�g/V­`Q_xPSuVYX)PS^EI�XdNsVOTUPW_xb��dVO��Ttw7IdwÇ�Qu�LÇ`dVOTMbHPmLOTUP �� � � �i^7_a`H^�R!LOu�w7IKJMIQT�w�VOT ��ci®�c�LOTtw��3cfLOb�{IQgkg3LOb�VOT}PS^EI�T�VONHRnb�VYX�7 * _xT}PS^EI[lO_x�OIQT�baJML7`dIQb 5Z\VONdIsVO�]IQNHc[_ X � 7 * À9��à � � ��* �('*)}X�VON� $¤¾#LOTtw¼ ½¤¾º¿EÀS®¤Á�¾ºÃdcpPS^EIQT�X�VON©IQ�]IHNHu

� � ÀY¾­¿EÀS® Á ¾ºÃ ��¼-ÃdcªPS^EIQNsI!I!�]_kbHPSb�LOT � À �MÃnLOTtwÇL©`dVOTMbHPmLOTUP �� � ��bs�U`H^�PS^EL]P � 7CÀ9���:"�à � �� À �Mà �(' ��X�VONvL]gkg'"�$ Ö�LOTtw�PSNsLOTMbdg�L]PS_kT�l��]IQg�V­`H_SPS_aIHb �½ ���� � ��_kT�PS^7_xb�`sLOb�I �� � ��R�LOuw7ImJMIQTtwvVOTv® LOT�w�¼�LOb �{I�gkg-LOb�VOT ��* LOTtw �'5�ÅIQR!LON���Õ�´íÞ�5fËK�©§U�O���s����¡�¥A�O��°U�s¶M�Q�s�����f�s¶���§t�%�����/¹M��¥/�/�K¢©�s¶M�O�� ���� � � �]�� � ¼3´tµW¶�����/�j���/ t�Q�s���7�{¨A�s�%£ �s¶����Q³�§t�%�����7�s�A�O¥M�­�O���Ÿ�¶����s�]°��]¥¬�s¶��%¡�¦%¶��s¶������%���Y�d�]�7�{���n�s¶��ŧt�%���7�K¸��/������Y�s��£��O�s��£���¢¦O�s�­¸�¸��¬�s¶M�]¡��Źt�%¡������f�]� � � ¼3° ���� �)���Å���]�f�O t���Q�s���0´�ÅIQR!LON��!Õ�´íÑ�5ÅÆ���£n��¥A�º�s¥/¢%° ���� �"£���¢����¬»7���s¦]�[�O�����O§�§M�s�%�]�H¶����j�s¶��"Æ�¶��Q���d�O���WÉ�Ê��O�s�H¶M�]�7��Q�s�/�s�/�­�O¥{�Q³�§t�%�����7��¾º¿EÀS® Á&¾ºÃd´8���!�Y§t����¡�¥A�O�s���s¶M�O���s¶������/�n�]�#�º���s��¨S�O�����%¨W�%¡E�)£��Q�s¶����¹t���­�O¡M�����s����¡�¥/�s�f¹��O�������%�����]£n§U�O�s�����%���s¶����O�s��£��f�s¶M�O�"�O�s�n��»]�]��¥��O¹M¥���¨x�]� � � ¾������M�O��Q³E¶��/¹M�¬�Å�s¶M�/�Źt��¶U��»E���%¡E��´

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 13: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb ¾­Õ

� ú���þ�ÿWÿ *<"#ÿ *�� #$ $'& �WúYù &>ü���� #$ $'& �Åú �� NsV­VYX�VYXfy-IQR)R!L � 5S��5W������¥A�]�/£ �s¶M�O�f�)§t�%�����¬¹U¥/���d¶��%�������/�

� À�� � à � F������ * ÀYÁ"¾ºÃ� � � � F%�(' � � ÀSÝ�´A¾ºÃ

¸�¶�����s¶��"§t�%���¬�s�/»7�"���������������7�s� * � ��� � � F�� �O�s�"¦%�/»%���¹�¢ � ( � ÀaÕ%Ñ �8F�: : � Ã1� ' � 5sF�¨k�]� �!�Q»7���0°Ý � � �C: ¨k�]� �!�����q´ ÀSÝ�´ïÒ7Ã

�{�%�����/�s�/�%�«ÀD�f¾­Ã{�­�]�v¹t�"�H¶����:�7���©���/�s���Q�s¥/¢%´Uµ-�)»7���s�/¨k¢\ÀD�{Ò7Ãd°�¸ª�p²��s�Y�f���%������������ � � � � � � �

F�� '8:���� * ÀYÁ"¾ºÃ� � � ÀaÒ@�Á ��ÃCÁ � �C: À&� � ¾­Ã �/� � F%�(' � '8:

� �� ����� �� � F��('qF� 8 � ÀaÒ@�Á ��ÃCÁ � �C: À&� � ¾­Ã7: Á 8 � �C: ÀaÒ@�Á ��Á¾ºÃCÁ � �8F À&� � Ò7Ã7:/����� � F%�(' � 'tF � ÀSÝ�´ïÕ7Ã

Ì[� �&¾]°�¸ª���%��¥¬¢v�������©£����%����¡E�s�"�s¶M�O� � �C: ÀaÒ@�Á ��Á¾ºÃCÁ � �8F À&� � Ò7ê½ÂÖ ÀSÝ�´ Ý�èk�]��� � Ò@�Á«Ò���»7���q°M�]��°M�/.�¡��/»]�]¥����7�s¥/¢%°��s¶M�O�

� ½ � � ¾Ò �©Á � � �C: ÀSÝ�´ïÞ7Ã

¨k�]���!�����0´MÙª¢!�d���E����¦ � � Ý � � �3: ÀSÝ�´ïÑ7ø�¶���� �!�������M�q°E¸ª���]¥/¸W��¢����s�O�s�/��¨k¢��s¶M�/�Å���]�M���¬�s���%�q´µ-�n»7�Q�s��¨k¢}ÀD�ªÕ%Ãd°M���Q� � � À&�'����Ã19>´MÌÚ���/�s���Q���­�]¥/��¡�¥��O�s���%�¦%�/»7���� 9 � F � E9� � F������ * ÀYÁ"¾ºÃ � � � � 'qF F�� ' � 'qF

2< �tÀ&��Á¾ºÃ:

� F F � ÀaÒ �©Á ��Ã�� ��� � � ÀaÒ@�Á ��ÃQÀaÒ@�vÁ ��Á¾ºÃ: � � F � F > � ÀSÝ�´B2%Ã

µW¶��p£n�%�Y�Å���E����¡�¥/�ª�d�]�#�!�/�ª�s��¹t�%¡������s¶��[���s�]���ª�s���s£n�ª§��s�]§t�]���s���%�M�]¥U�s�����U´���¶���� �������§t�%���¬�s�/»7�]°­�s¶M�F� ¹U�]� �º�s�Q�s£��C�O�s�j�s¶��%���{¨k�]�C¸�¶��/�H¶ �p���C���M�q´ºËK���s¶����-�­�O���j¸ª�{�M��¦%¥/���Q�3�]¥�¥��Q�s�%����s�Q�s£��j¨x�]� �n�Q»7���0°��O�M�!���%�7���s�%¥M�s¶����]�s¶����s�j¸��¬�s¶��"�s¶��/�s�!¨A�d�]�Q�s���%���%¨t�s¶��%�����M����¦]¶�¹t�%¡E�s�/�M¦.�¡M�]�E�d�O�s�/���s�Q�s£����s¶M�O��¶M��»7���s¶��!�s�]£���¶��%£��%¦%�������¬�K¢\��� ��]��� ´8���!£�¡M�Y���s¶M�Q�s��¨x�]�s������ �!�s¶U�º�Å�s¶M�"��¡�£ �]¨C�s¶����/�������P�����/���7�s�W¹t�"�M�]���a����¦7�O�s�¬»7�%°M�S´ �]´�° � '8:Õ ÀaÒ �©Á � � ¾­ÃQÀaÒ@�Á ��Ã

: � � F Á � ÀaÒ@�vÁ ��Ã�� ��� � � �3:Õ À&� � ¾ºÃ��:

� F $ Ö.� ÀSÝ�´ïÓ7Ã=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 14: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

¾QÝ Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHNÌ ��¡U�����/���7�[���%�����/�s�/�%��¨k�]�f�s¶����������Q�s��£��/�U�O���p�]¨3�s¶�����.�¡M�]�E�d�O�s�/��¨k�]�s£ �/�%�}�O�M� ���s��¹t����%�E�a����¦7�O�s�/»%�����Å�s¶M�O�

Ý � '8: � �C: $ Ð.: : � F� � ÀSÝ�´íÐ7Ã�O��°M�d�;�E����¦n�s��¥A�O�s�/�%��ÀSÝ�´ïÑ%Ã{���7�s�!�O�����%¡��7��°��s¶M�O� � '-: $ Õ%Ñ � F : : � � �C: � ÀSÝ�´�¾�Ö�Ã

µW¶��W���]���ª¸�¶����)�s¶M�/�i¥��]�Y�3�s��¥��O�s���%�)���i�s�O�s�/�Y²M�����]�i�]�n�/.�¡M�]¥/�/�K¢%°%�]��� F%� (Ú¾]°]���]���s���Y§q�]�M����s�)�s¶M�"�d¶M�]������£��]�����O¹t�­»7�"���«ÀSÝE´ïÒ7Ãs´Äf�©�s¶M���O�s¶M�Q�f¶M�]���q°M¸�¶M���,���v�/�f����¦7�O�s�¬»7�%°��s¶���� ¹U�]� �U���s�]�����s���s£n�f���]���s���Y§t�%���©�s���

�Q»7���q°8¸��¬�s¶#Ò � � � Ò@��ÁÂÒ�´��j�]�H¶\�%¨{�s¶M�������s�Q�s£������]�}¹t�����%�7���s�%¥/¥����\¹�¢\¶M�]¥/¨ª�%¨{�s¶��������¦%¶7¹t�%¡E�s����¦ � ¦%����� �­�Q�s�%���8�s�Q�s£���´ºµW¶����s��¨x�]�s�]°�¨x�]�8�s¶��j���]���s���Y§t�%���M�/��¦f��¡�£+�]¨E�����P���������7�s�¸ª��£�¡M�Y�Å�s�^.7¡M�¬�s�"�s¶M�O� � '-:Ò ÀaÒ@�jÁ � � ¾ºÃQÀ&�0Á�¾­Ã F Á � ÀaÒ@�jÁ ��Ã�� � � � �C:Ò ÀaÒ@�{Á��0Á�¾ºÃQÀ&� � ¾ºÃ � F $ÂÖ.��ÀSÝ�´�¾%¾ºÃµW¶����������Q�s��£n���M�]�7�f�%¨-�s¶����Q.�¡M�]�E�d�O�s���"¨x�O�s£ ��� �]���%�)�/�����%�E�a����¦%�O�s�/»7�"¸�¶�������»7�Q�

� '8: � �C: $ ÀaÒ �Á �EÃYFÀaÒ@�Á �)Á�¾ºÃQÀaÒ@�Á � � ¾­Ã �EF

À&��Á ¾­ÃQÀ&� � ¾ºÃ F� � ÀSÝ�´�¾­Ò7Ã

¸�¶��/�H¶©�/�Ÿª�����7�Q���s¶M�]��ÀSÝ�´íÐ7Ãd´Ëm���s��£��]�/�����s�¹t����¶��­¸��\�s¶U�º���s¶M������¦%�O�s�/»7� .�¡M�]�E�d�O�s�/���s�Q�s£������]�\¹t�n¹t�%¡��M�����«�]�

¸ª��¥�¥S´��«�[²M�s�Y�����%���������Q�f���]�d¶©����¦7�O�s�¬»7�p�s�Q�s£ §��s�]§t�]���s�/�%�M�]¥q�s� �tF"�]���v¹t�%¡����©�/�Å¡�������¦!��s¶��¬�s���]¨t�s¶M�]���f�����/¦%¶7¹q�]¡��s�/��¦�§t�%���¬�s�/»7���s�Q�s£��j�s¶M�O�ª�º�s��§��s�]§t�]���s���%�M�]¥M�s� �tF��]�j¸ª��¥�¥±´��[���s��!�/�������q°;� $ Õ�°U�]���v¸ª������� ���s¶M�O� � '8:Õ À&��Á ¾­ÃQÀ&��Á�Ò7Ã

: F Á � �tÀ&��Á¾ºÃ

: � �

� �C:Õ À&� � ¾ºÃ��:

� F $ÂÖ�� ÀSÝ�´�¾­Õ7Ã

µW¶����������Q�s��£n���M�]�7�f�%¨-�s¶����Q.�¡M�]�E�d�O�s���"¨x�O�s£ ��� �]���%�)�/�����%�E�a����¦%�O�s�/»7�"¸�¶�������»7�Q�

Ý � '8: � �C: $ Ð �� � ¾ ��Á¾��Á«Ò F� � ÀSÝ�´�¾�Ý�Ã

Æ��/�M���0: : � $ Ý�°��s¶��������%���M�¬�s���%�©���f�]¥/����¸ª�­�;�7�����s¶M�]�«ÀSÝE´ïÐ7Ãd´ 3�/�U�O¥�¥/¢%°M�s¶M������¦7�O�s�¬»7�"�s���s£n�§��s�]§t�]���s�/�%�M�]¥q�s� �EF[�­�]�v¹t�"���Y�s��£��º�s���v�����³E�]���s¥¬¢!�s¶��"�s�]£n�"¸W��¢���¡��"�s�)�s¶��"�Y¢E£n£�������¢�]¨-�s¶�����¡�£�£��O�s���%�©����ÀSÝ�´B2%Ãs´Ùª¢)�­�º�s��¨k¡M¥/¥/¢3�7����§M����¦"���d�]� �)�%¨q�]¥/¥��s¶��W�s���s£��i���ÇÀSÝ�´B2]Ãd°%¸ª�Å���]�s�����W�s¶M�O�j�/���s¶��W§��s���������

�]¨f�­�O�M����¥�¥��/��¦}�%¡E�n�s¶������¦7�O�s�/»%���s���s£���°C¸ª�¶M��»7�v¡M������¡E§ �O¥�¥ª�s¶��v§t�%���¬�s�/»7�).7¡U�O���d�º�s����s�Q�s£��W¹U¡E�f�)�s¶��/�s��%¨C���]�d¶©�%¨8�s¶M�"���]�s�����Å�s�Q�s£����/��s¶������d¶���£n�%°M�M�]£���¥/¢

Ò@�>ÀaÒ@�vÁ¾ºÃ: � � F F%�('qF � Ò

:� F F%�('tF � Ò@�>ÀaÒ@�Á�¾ºÃ

:� F � F%�('tF � �]��� Ò

: � � F � F��('qF �ÀSÝ�´�¾­Þ7Ã

µW¶������"�s��£��]��������¦n�s���s£n����£)§U¥¬¢v�s¶��p¹t�%¡��M��%�v�s¶M�p�s��¦]¶������������%¨�ÀaÕ�´ïÓ%Ãd´

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV

Page 15: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

� �EPmV­`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb ¾­Þ

� NsV­VYX�VYXfy-IQR)R!L � 5�~�5ÅÙª¢!�s¶���¨k¡M���M�]£����7�d�]¥0�s¶����]�s��£ �%¨C���]¥���¡�¥�¡���°

�� � ���C: À9��Ã"� � � ��� �aÀ9��à �� � ��� ���� ���� 8 � � �C: À��MÃ"� � � ��� �mÀ��MÃ7: ���� ����+ÀD� � ¾ºÃ � :' � �-" � � � � � � � � ��� ÀY¾ºÃ�� " '-: � � � ÀD� � ¾ºÃ � : � ��" � � � � � � � � � � À9��Ã�� �� � :' � � � � �C: � � ��� ÀY¾ºÃ�� " '8: � � � À � � �-à � : � � � � �C: � ��" � � � � ��� '8: À9��Ã�� � � ÀSÝE´A¾­Ñ7Ã

���[�O§�§U¥¬¢�²��s�Y�ª�s¶����ª�]¡��H¶7¢�Ô�Æ��d¶7¸W�O�8;p�/�M�/.�¡M�]¥/�/�K¢%°E�]���!�s¶����!�s¶����>�%¡���¦)�/�M�/.�¡M�]¥/�/�K¢�¸��¬�s¶���%�@?Y¡�¦7�O�s�f�Q³�§t�%�����7�s�p¾­¿]Ò��s���­�]�d¶��%¨t�s¶��f²M�s�Y�{�K¸ª�)�/�7�s��¦]�d�O¥���´EµW¶����{¢E����¥����j�s¶M�f¨x�]¥�¥���¸�����¦¨k�%¡E�f���7�s��¦]�d�]¥/��°

¾Ò � :' � �-" � � F � F�� ÀY¾ºÃ�� " '-: � � � ¾Ò � :' � � � F%� � F �UÀY¾ºÃ�� " '8: � �

� ¾Ò � : � ��" � � F � F�� À9�7Ã�� � � ¾Ò � : � � � F%� � F �UÀ9��Ã�� � � ÀSÝE´A¾ 2%Ã

¸�¶����d¶!���]��¹t�Å�s�����%£�¹M�/�M���!�/�7�s���s¶����M�O�s£��j§��s�]§t�]���s�/�%�M�]¥��s� � : �]���s¶��Å�s�/¦%¶7�ª���/�M���%¨��s¶���/���s�Q��§t�%¥A�º�s���%�©�/���^.�¡M�]¥/�/�K¢%´µ-�Ç���Y�s��£��º�s���s¶M���s¶��¬�s�«�/���s��¦]�d�]¥>��� ÀSÝ�´�¾­Ñ7Ãd°8�������Q�����s¶M��§��s����¡��Q� � � ÀY¾ºÃ��6' � ÀY¾ºÃ[¸��¬�s¶

� � � ¿ ��Á �C°]�]���n�O§�§M¥/¢��s¶����>=�]¥������i�]��� �>�%¡��M¦[�����/.�¡M�]¥��¬�s�����C¸��/�s¶����]� ? ¡�¦7�O�s�ª�Q³�§t�%�������s�Ò@�-¿�ÀD� � ¾ºÃ-�O�M��Ò@�-¿EÀD�pÁv¾­Ãd´�Äf���Å�%¨M�s¶��W���7�s��¦]�d�]¥��i�­�O�n¹t�W���]¥/»7�����Q³��]�Q�s¥/¢%°%�]���n¸ª�W�]¹��d�]�/��s¶��p�s���s£��

� � ¾Ò@� � :' � � � F%� � F �UÀY¾ºÃ�� " '8: � � � �Á¾

Ò@� � F%����'qF �� '8: ÀY¾ºÃ � ÀSÝE´A¾­Ó7Ã

M�]�j�s¶M��¥��]�Y�{���7�s��¦]�d�]¥U�/��ÀSÝ�´A¾­Ñ%Ãd°��/�M���Q���j�s¶��ŧ��s����¡M�Q� � � À9��Ã��6' � À9��Ã-¸��/�s¶ � � ¾CÁ � � � ¿ ��/���s���s¶����������%�����/�7�s��¦]�d�O¥±°q�O�M���O§�§M¥/¢�s¶��3�>=�]¥������[�]��� �j�]¡M��¦!�����/.�¡M�]¥��¬�s������°t�]¦7�]�/�Ǹ��¬�s¶���%�@?Y¡�¦7�O�s�"�Q³�§t�%�����7�s�fÒ@�-¿EÀD� � ¾ºÃª�O�M�ÇÒ@�-¿EÀD�Á�¾ºÃd´UµW¶��/�Å¢E�/��¥/�M�W�s¶��"�s�Q�s£��

� � ¾Ò@� �

:� � � F�� � F � À9��Ã�� � � �Á¾

Ò@� � :

� �-" � � F%��('-: � 'qF � �.�(' � ��('8: � � ÀSÝE´A¾­Ð7Ã

Ùª¢����%£�¹M�����/�M¦�ÀSÝ�´�¾­Ó7Ã)�]���+ÀSÝ�´A¾­Ð%Ãd°i¸ª�Ç�]¹��d�]�/���s¶M�v�s��£��O��������¦\�s���s£����]�Â�s¶���s�/¦%¶7�!�%¨ÀaÕ�´�¾­Ð7Ãd´

z{���#;�6�����!��� #;����74m ���6A�����%�6�7����6������� �����%#���y����!7��A����A�A��"���A�,��!�"�W#;�6��7 ��� y;�6�R�����������������ny���PY1�"7�������#^A��������%���57^�����r��#^�5�C^����������=� 1�6C%y���A_�������?t �w�6AnA��yyB���R���7{�"� y;���R���#�������#9�r�����^���7^�B����7;���������^����bp}������������ A��?���6��� �6�7^��#��?���C%�6���5��������F�B����7;����������5��� ����/5�

� )* 8þ 8ü��. #"�������A���� , kD���D� suz{���� ` ��������, � � � �=�_v�!"��te��"����7�"C%��A������;�6�������"���_�6�n7��#U�A������ �����"A���������yN��y��E��������������W������A_�%$'&)(+*-,/."021�*%354 , � �)6�!6+1�

� �6��C%�����R��# ,_� � �;�",�m ���6AR�����,)��� 7D�6sbt �6��#;�6C�,"�N� �;� � �5�_v�v�v98��A������71a�����������A ���D�6�D�6�1���5�_��� �6�"a5���"�A�a1AR���C��%:<;>=@?)*-AB*�C%=@?)*-D =)E%&F*;� �>G-HIHU,}��3�(1�J6N��3��63�

=�>@?BADC@EGFIH�J�KMLNA<?<?OF�PQ?SRUT'R8V/WXEY�R:C1ADF@?BV

Page 16: [ Q s ¸ª ] M / H¶ £ ]¥ª s O s - HWsimonm/bismar.pdf · EPmV`dL]PmL]gíu%PS_a`jXsNsVOTUPSb Õ 0 500 1000 0 10 20 30 40 0 1 2 t θ(x,t) Surface x θ 0 500 1000 0 10 20 30 40 x

¾�Ñ Z\L]gï^ELOR����ªgï_k�]IHN� ����"a��6�7 ,Np �Us ���� ,-�� �Pv�v��^p �6���� ���"C%D�6ARa1C^y1�������"��A����lA������1�������A����T�9C^�57��[����C ` �A��������A�a5A����Cu�!�"��#������"���������U�����"���_�6���"� a����B="E�� � E�� .);��20�� ,}�_+1�J6B�)!"�1�

� ������C^�����_,����,5qr�y�E�6����� ,1� �s ��"� ,5��N�_v�v�+ ����� ` �6�N�E�6����!����C^�A�����E� A���C^���E�6���"��a^���[����#���C%��� �7� #U�A�� Y�9����C ` �A�������� A�a1AR���C �!�"��#x�����"�����_�6� ���������_�6���"��a�� ��*���� ����;���E�0�� .���� ����."0�� ="E���� 3I4 ,v 6 ���5�

� �����"�����#;��C�, ��1sf����7#;�6C',5kD�N�_v�v1�?gw#?7�Y������yC^���� ��� �����_Y���"���� �w�_Y��A ��� ���;��7���������?�6�7��� ` ���9���1�����_��� �6�"a1A���Ar�!�"��#{������;�6� 7� #U�A������ ���6���A_,"!n�6�7#!$! ��:<1%�&� *�'�;>."E���*�AB*<C%=@? *�D ="EI&F*�/3I3�G[,}�J6N�P/�3,;�6�7 3I3)( ,;3�v�!@6����v1�

� ����C�,��;��� � s+*N�������"��;,lj � � �F�_v�v63 ����������� ��#C !��1�-,=� C^�PY1����6� �����"7 ����������L�6��������^A�a5A����C^A�������W� 7��C^��A��"���;�6� ����C%W� 7�yB��7����9y;�6�R���E�6�F7��#U�������������w.�5�;���������A_�<$0/�,1'�;>."E���*�,/."021�*C%=$203<.);4�6554 ,}�_v63"61/5��3�

m ��������_,Fj �Fs ���� ,9��n�_v�v�! ����� ` �6�r� 1�"A�������{�6�7)�E�6���� ����C^ �6A�a5C%y1���6����� ` ����7A�����7 8A������1�������A ���N��#���C9�6�;7� #U�A�� Y�F����C ` �AR�������^A�a5A����C^A ����9;:U��$'E5E%*-CI?���=�� .��B=";�< *�C��>=-*I:?�&��./@� *�CI?�� *BADCFE�553 ,B+�/�� 65+63�/5�

���"�|6, j � m?�ls t'��p[���7 ,<�� �?�w�_v��1��� y#;�6A��y�E�6�'7��A����A�A��"��� ���?������Y�������������� ������Y��������������������AF�|���w�����"���_�6�F7� #U�A������ �%$';>?�1�*-A�."0�� ="EI.��-,G� ?�1�*�$'E%.�� *IHIHU,N/"�1��6 �1��3�

qr_�6A��_,Nj �Ns te�����,Nj � � �[�_v�v1�������������"��#C ++�+�%h jlknmFo�p 6��%C^����n��%���"����?jlkrh mFo�px����7��$0/�,J'�;>."E���*-,/."0 1�* CI=$20�3 .";��;��HN,}����� 6B�_+�+1�

qr����C^���������PYN,U� ��, j�������_Y1A ��a�,I! �}s jl��A��������"#�,U� ���Pv ��!LKh=���7^7D� � K����;���������i7I�E�T7��#U�A�������_Y������������A�A��6����7��E�M���;�������"� K�7�C9�����N���nW�?A����'��yy�"���_���������e�^��ey��� ` ��N�C^ ` �����������O�����PQ�R�&� *�S�E�� ("*"�<0 .)0�,/=��J?=��D�T�B,}�J61/��5�

p[�6��A���� ,5kD� � �;�Pv�!"��g ���6�A������� ` ����7Aw�6�7%����C%W���6A�a5C%y1���6����� ` �#;��Y1����� ��� A������1�������Al��� ���������1�_�6�F��5�;���������AF��� ����A�#��w� a5yN6� CRU>$',V��*-$B=-=)� * ,/."021�*I3�G},Bv�� 6B�_( ��

p}� ,��D��s �5����C9�6� ,)�?� kD���Pv�v ��t �) 5��CD�Cfy���"�����y���A=�6�7 ����C%y;�6����A�������#������C%A ����� A��C^�����������y;�6��� ` �������nARa1A����C%AF�6�7���#����!��yy�"���_���������A_�I:<; =@? *-A9=���* CI=@?)*"��&�� E�W���;�X)1 �T��553 ,I���+!@6��+���5�

te�6��#;�6C',+�N� �� � �6s ���� ,+��5�Pv�v+�B�?��� ` �6�5A������1�������A[���r�?������W���"Y��� ���A�A�����AY�nA�a5A����Cc�F�"��# �|�������7;��� �I���e�6�����[Z;��"��r7��C%�6��� ��/�=�<\< *-,/."0 1�* :<1-����*��[]I3 ,N/+��!@6 �1�P+1�

t'����_�6����,Ft � ���,Ft'��>�5��� ,'�� � �Fs �5���6���_,'�N� qI�n�_v�v63bo?A����������6���"�� �w�_Y�i����������A����0��A��6��#���C9�6��W#�C%������� A�a5A����C^A��!� ��#x�6� ` �"�����6�Ra{yN�P� ���A ���!�6�1���5���6� �6�"a5A���A���:<;>=@?)* AB* C%=@? *<D =)E%&F* � G5G^HU,�P���@6B� !�3;�

����7#;�6C',}kD� �;�}s � ������A_,}� � � �=�Pv�v�v �!_�6���������1� 7� #U�A������{���7 y#;�6A�I�F��Y��A��5�������������'���{����E�6A�AF���[A��_�6�E�6�w��_�6���������1� 7� #U�A���������5�;���������A����B="E�� � E�� .);��20�_��5U,3;�J61�"�1�

jl���6�������,6t{� � �6s z{���� ` ��������,"� � � �5�_v+��3B,/.>`F�D<\�R<a=I;�� EI?�� =)�O�.�B� E &�� �b�J;4�JE50� .F�I���.��."0�� ="E�� �6����cl���>�),%�5y���������R� 7l���������

�F����#6,}� ���_vF!"��m ����Y����������I���T������Y����������T����������Ar���iA��C^�����"�_�6�?y;�6��� ` �������D��5�;���������A�� :<; =@? *A9=F�F* CI=@?)*"��&�� E�W�� ;dX)1 �eI4 ,N/5��� 6/��63�

�1��������������,�kD� � �B�_v�!6+Do��%��#�AR� � ` �����"��aI���N�w�_Y��A ���U������������� y;�6��� ` �������!A�a5A����C^A_� $'&"("*%,/."021�*5)5U, �1�P/@6 �����5�

�5#������6���_, �� � �}s t �6��� #;�6���_, ��� j �=�_v�v�+T������ ` ���6���I7��_�_ai�6�7iY6�6���E� ` ��IA�yB��7An��� �w�_Y�����������A������1�������Aw��� �IA��_�6�E�6�w��_�6�����"���1� 7� #U�A��"������5�;��������� �IU>, $L��*-$B=-=)� * ,/."021�*%H�( ,N/"��v 6 ��(�/5�

g �+���6A�6,B� �ns �5�"��C%��� , �?� kI�D�_v�v�v4g ����Y����������4�w�_Y� A������1�������A ���0C^�����A�� � ` ��x��_�6���������1�7� #U�A��"����A�a5A����C^Aw��� C%�� 1�7�C^����������?� a5yN��%:<; =@? *-A *�CI=@?)*-D ="EI&F*;� G-H5HU,}�P��+1�J6B�P��v+�1�

7l����yB��R�_, � � ! ��, 7l���"yN��R�_, 7D� � � s 7l����yB��R�_,�7D� � � �Pv�v63a'�;>."(f���g� ERXh3 ."(�� ��=F�g� 0�� ="E�� =i2�=�.";>.%W =�� � ?�4�F�0i��<\� �;g[�����A��E���������AF��� C%����#�C9�����������NC%����������6y#A_,1���}��3�(1,;�?t �N�

=�>@?BASC:EGFIH�J�K�LUA<?<?DF�PQ?SRUT�R V/W E Y�R:C1ADF@?BV