授课教师: pyg zhhpx
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弦. 定. 正. 理. 授课教师: pyg zhhpx. —— 2004 年 5 月 10 日 ——. 一 . 引入. .C. 引例: 为了测定河岸 A 点到对岸 C 点的距离,在岸边选定 1 公里长的基线 AB , 并测得 ∠ ABC =120 o ,∠ BAC =45 o ,如何 求 A 、 C 两点的距离?. .B. .A. A. c. b. B. a. C. 1. 特例 : 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90° ,. ,是否成立 ?. =. =. 初中学过锐角三角函数定义 :. sinB=. sinA=. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
授课教师:授课教师: pyg zhhpxpyg zhhpx
————20042004 年年 55 月月 1010 日日————
一 .引入
.C
.B.A
引例:引例:
为了测定河岸为了测定河岸 AA点到对岸点到对岸 CC 点的点的距离,在岸边选定距离,在岸边选定 11 公里长的基线公里长的基线 ABAB ,,并测得并测得∠∠ ABCABC=120=120oo ,∠,∠ BACBAC=45=45oo ,,如何如何求求 AA 、、 CC 两点的距离?两点的距离?
Asin
aBsin
b
Csin
c
Asin
a
Bsin
b
Csin
c
c
b
c
a
1. 特例 : 在 Rt ABC△ 中 , C=9∠0° ,
= = ,是否成立 ?
初中学过锐角三角函数定义 :
sinA= sinB=
∠C= 90°, 易证 = =
B C
A
cb
a
2 .能否推广到斜三角形?
证明一(传统证法)在任意斜△ ABC 当中: AbcBacCabS ABC sin
2
1sin
2
1sin
2
1
两边同除以 abc2
1即得:
.sinsinsin C
c
B
b
A
a
3 .用向量证明:证二:过 A 作单位向量 j垂直于 ,AC AC CB AB
两边同乘以单位向量 ,j AC( )CB ABj j
则: AC CB ABj jj)90cos()90cos(90cos AABjCCBjACj ooo
AcCa sinsin .
sinsin C
c
A
a
同理:若过 C 作 垂直于 j CB
得: .sinsin C
c
B
b .
sinsinsin C
c
B
b
A
a
j A C
B
图
当△ ABC 为钝角三角形时, 设 A>90 过 A 作单位向量 j垂直于向量 ,AC
j
A C
B
图
则 j与 ,AB 的夹角为 A- 90,
j与 ,BC 的夹角为 90-C.
同样可证得
.sinsinsin C
c
B
b
A
a
这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说,上面的关系式均成立 . 因此 . 我们得到下面的定理 .
二 .正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
.sinsinsin C
c
B
b
A
a
1 正弦定理的叙述:在一个三角形中。各边和它所.
sinsinsin C
c
B
b
A
a对角的正弦比相等,即:
它适合于任何三角形。 2 可以证明 .2
sinsinsinR
C
c
B
b
A
a
( R 为△ ABC 外接圆半径) 3 每个等式可视为一个方程:知三求一
三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1 .两角和任意一边,求其它两边和一角; 2 .两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
例一、在△ ABC 中,已知 10c A=45 C=30
A=45 C=30 求 b (保留两个有效数字) .
sinsin C
c
B
b解:
00000 105)3045(180)(180 CAB
1930sin
105sin10
sin
sin0
0
C
Bcb
例二、在△ ABC 中,已知 20a b=28 A=40
求 B ( 精确到 1) 和 c (保留两个有效数字)
8999.020
40sin28sinsin
0
a
AbB解:
.116,64 02
01 BB
.76)4064(180)(180,64 00001
01
01 ABCB 时当
.3040sin
76sin20
sin
sin0
01
1 A
Cac
.24)40116(180)(180,116 00002
02
02 ABCB 时当
.1340sin
24sin20
sin
sin0
02
2 A
Cac
例三、在△ ABC 中,已知 60a b=50 A=38 求 B ( 精确到 1) 和 c (保留两个有效数字)
解:已知 b <a ,所以 B<A ,因此 B 也是锐角 .
a
AbB
sinsin
60
36sin50 0
5131.0031B
00000 111)3138(180)(180 BAC
.9138sin
111sin60
sin
sin0
0
A
Cac
三、小结:正弦定理,两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解
或一解(见图示) C
CC
C
A B AAA BB
b ab
bb a a aa
1B2B
a=bsinA 一解
bsinA<a<b 两解 一解
a=bsinA 一解
讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解:讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解:
AA为钝角或直角为钝角或直角
AA为锐角为锐角
aa >> bb
aa≤≤bb
aa≥≥bb
aa << bbsinsinAA
aa==bbsinsinAA
aa >> bbsinsinAA
一解一解无解无解一解一解无解无解一解一解两解两解
AA的范围的范围 a,ba,b关系关系 解的情况解的情况
(按角(按角 AA分类)分类)
11 、、判断题判断题 :: 根据已知条件判断△根据已知条件判断△ ABCABC 解的情解的情况况 ..
(1) (1) bb=1 =1 ,, aa=2=2 ,, BB=30=30o o 有一解有一解; ; .
(2)(2)bb=1=1 , , aa=3=3 ,, B=30B=30oo 无解无解; ; .
(3)(3)bb=1=1 ,, aa= = ,, BB=30=30oo 有一解有一解; ; .
(4)(4)bb=1=1 ,, aa= = ,, BB=150=150oo 有一解有一解;; .
(5)(5)bb= = ,, aa=1=1 ,, BB=120=120oo 有两解有两解 . . .
33
33
33
五、作业
P 134 1, 2,3
2004.5