三角関数に関する計算問題 - phoenix c
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△ について, = , = , = のとき,
問題 ~ について,それぞれの値を求めよ。
ただし,
△ の外心,内心,重心,垂心を
それぞれ , , , とする。
と の交点を , と外接円の
交点を とする。
内接円と , , との接点を
それぞれ とする。
, , は 点 で交わる。
( 点)
直線 と内接円の 以外の交点を
とする。
△ の面積,外接円の半径,内接円の
半径をそれぞれ , , とする。
また,問題 ~ の問いに答えよ。
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三角関数に関する計算問題
-1-
19.
20.
辺 上に点 を固定し, = とおく。辺 上に動点 ,辺 上に動点 をとるとき, + + を最小21.
にする点 , を求め,そのときの + + の値を求めよ。
辺 上に動点 ,辺 上に動点 ,辺 上に動点 をとるとき, + + を最小にする点 , を求め,22.
そのときの + + の値を求めよ。
△ 内部に点 をとるとき, + + を最小にする点 を求め,そのときの + + の値を求めよ。23.
, , とするとき,24.
25.
・26.
27.
のとき,28.
29.
30.
△ の外心,内心,垂心, 内の傍心をそれぞれ , , , とする。 点 , , , , が同一円周上に31.
あるとき, を求めよ。
△ の外心,内心をそれぞれ , とする。 辺 , , が等差数列をなすとき, を求めよ。32.
△ において,次の場合の の大きさを求めよ。ただし, とする。33.
, ,
, ,
円に内接する四角形 ( = , = , = , = )の面積 を求めよ。34.
-2-
余弦定理より,
から に下した垂線の足を とおき, = とおくと, = 。
△ ,△ に三平方の定理を適用すると,
- = - より,
1.
第 余弦定理より, , ,
これらを連立させて , , について解くと,
, ,
2.
=
=
ここで, とおくと
・・・ (ヘロンの公式)
より であるから,正弦定理 より,3.
・
△ の内心を とすると,△ =△ +△ +△ であるから,4.
より,
外心を とし, の延長と外接円との交点を とすると,
四角形 は平行四辺形となるから,
= = ・ ・
頂点 , から対辺に下した垂線の足をそれぞれ , とする。
△ △ より, : = :
=・ ・
= ・ ・
5.
= , = , = とおくと,
-3-
と の交点を とおくと,中線定理により,6.
より
= ・
中線定理(パップスの定理)
△ の の中点を とすると,
+ = であるから,
余弦定理を適用して,
・ ・
分母を払って,
= を代入すると,
問題 より, = 7.
-4-
: = のとき,スチュアートの定理 ・ より8.
・ ・
より
が角の二等分線であるとき, = , = とおくと, =
の延長と△ の外接円の交点を , = , = とおく。
△ △ より,
方べきの定理より,
より
△ +△ =△ より
・ より,
ここで, であるから
スチュアートの定理
△ の 上の点を とし, = , = , = , , とおくと,
+ = であるから,
余弦定理を適用して,
分母を払って,
と の交点を とすると, : = : より,
= ・
9.
-5-
, から に下した垂線の足をそれぞれ , とし, から に下した
垂線の足を とする。
= - = - - =
=
= - =
直角三角形 に三平方の定理を適用すると,
10.
= ・
= ・ ・ ・ ・
= =
=
= (ここで, )
= =
= =
より, =
ただし, , , ,
, ,
, , とすると,問題 , より,
=
= =
△ の垂心 ,重心 ,外心 は 直線上にあり, = である。
頂点 , から対辺に下した垂線の足をそれぞれ , , の中点を ,
△ の外接円と の交点を とする。
四角形 は平行四辺形となり, は の中点であるから, の中点である。
△ において, は , の交点であるから重心である。
は△ の中線で : = : であるから, は△ の重心と一致する。
よって,△ の垂心 と重心 と外心 は 直線(オイラー線)上にあり,
= である。
11.
-6-
= とおく。△ に正弦定理を適用して,
=
問題 より, であるから
= =
12.
= とおくと, = + = = = 13.
問題 と より, = ・ 14.
方べきの定理により = + - = -15.
= - =
=
オイラー チャップルの定理により = - = ・ ・
=
オイラー チャップルの定理
△ の外心,内心をそれぞれ , ,外接円,内接円の半径をそれぞれ , とすると,
=
と外接円の交点を とすると,方べきの定理により
=
また, = = ・
・
より (等号は正三角形の場合)
-7-
= + = 16.
= と変形できる。また,問題 の結果と合わせて, ・
問題 より, = であるから,
△ △ より, : = : =・
四角形 にトレミーの定理を適用すると, = + であるから
=・ ・
・ ・
トレミーの定理 円に内接する四角形 について, + = が成り立つ。
上に点 を△ △ となるようにとると,
: = : = …①
また, = , = より,△ △ であるから,
: = : = …②
①+②より, + = + = + =
よって, + =
, , とおくと,
この 式を辺々加え, で割ると,
よって,
17.
スチュアートの定理により 18.
より,
・ ・ ・ ・ ,チェバの定理の逆により, , , は 点で交19.
わる。
△ と直線 にメネラウスの定理を適用して,
・ ・ ・ ・
・
=
( についての対称式)
-8-
方べきの定理により ・20.
=
の , に関する対称点をそれぞれ , とし, と ,
の交点をそれぞれ , とすると,
+ + = + + = (直線)が最小となる。
= = = であるから,△ に余弦定理を適用して,
= ・
= ・ ・
21.
前問より, から に下した垂線の足を としたとき,最小となる。
また, の , に関する対称点をそれぞれ , とし, と ,
の交点をそれぞれ , とする。
このとき, + + = の値は最小となる。
求める最小値は, のときであるから,
= ・・
22.
△ 内に = = (= )となる点 ( 点)をとると,
= において, + は最小となる。
, , を△ ,△ ,△ が正三角形になるようにとると,
+ + = + (= + + )となるからである。
, であるから,△ に余弦定理を適用すると
= ・ ・ =
より, =
23.
となる点 をとると, ・ ・24.
同様に, となるので, は垂心,すなわち =
よって,
問題 で, = より, ・
問題 より, 25.
・26.
=
-9-
・ ・ ・27.
ここで,
=
= ・ より
=
より,
問題 より,この値は に等しい。(問題 の別解)
28.
半角の公式 を用いても計算できる。
, より,29.
半角の公式より,
30.
半角の公式より,
= , = , = , = である。
= とおくと, より
このとき, = = = となり,
点 , , , は同一円周上にある。
また, = となり, は に関して と反対側にあるから
も同じ円周上にある。
よって, =
31.
-10-
= , = , = とおくと,
仮定より, …①
と外接円の交点を とおく。
四角形 にトレミーの定理を適用すると,
+ =
= より, =
①を代入すると, = =
とおくと, = = より,
= =
32.
は の中点となるから, より, =
余弦定理を適用すると
= =
=
より,
のとき,
のとき, 名古屋
のとき,
33.
同様に, =
= =
より,
のとき, 七五三
のとき,
-11-
より, , である。
…①
…②
…③
③-②より, …④
①の両辺を 乗すると,
34.
= = ( ④を代入した。)
=
= =
ここで, とおくと, = = = ,等より
= ・ ・ ・ =
より, (プラマグプダの定理)
( 時岡)
-12-