УДКББККТК О

Рецензенты:кафедра «Системы управления экономическими объектами» Москов-ского государственного авиационного института — технического университета (заведующий кафедрой, доктор экономических наук, профессор В.Д. Калачанов), заместитель директора Института проблем управления РАН член-корреспондент РАН Д.А. Новиков

Орлов А.И.О Эконометрика:учебникдлявузов/А.И. Орлов. —

Ростовн/Д :Феникс,2009. —000, [1] с. —(Высшееобразование).

ISBN978-5-222-Насовременномуровнепредставленаэконометрика—на-

ука, изучающая конкретные количественныеи качественныевзаимосвязиэкономическихобъектовипроцессовспомощьюматематическихистатистическихметодовимоделей.Вучебниквключеныосновныеэконометрическиеметоды:выборочныеис-следования,проверкаоднородностидвухнезависимыхвыборок,методнаименьшихквадратов,анализдинамикицен,экспертныетехнологии,теорияизмеренийисредниевеличины,статистиканечисловыхданных,теориянечеткихмножеств.Включенный в учебникматериал дает представление об

эконометрике,соответствующееобщепринятомувмире.Изло-жениедоведенодосовременногоуровнянаучныхисследованийв этой области. Большое внимание уделено практическомуприменениюметодовирезультатовэконометрики.Четвертоеизданиеучебникасоответствуетодносеместровомукурсуэко-нометрикидлястудентовфакультета«Инженерныйбизнесименеджмент»МГТУим.Н.Э.Баумана.Длястудентовипреподавателейвузов,слушателейбизнес-

школ,программМВА,институтовповышенияквалификациии структур второго образования,менеджеров, экономистов,инженеров,научныхипрактическихработников,связанныхсанализомэкономическихиуправленческихданных.

УДКББК

ISBN978-5-222-©ОрловА.И.,2009©Оформление:ООО«Феникс»,2009

�

Предисловие

Эконометрика —наука,изучающаяконкретныеколичест-венныеикачественныевзаимосвязиэкономическихобъектови процессов с помощьюматематических и статистическихметодовимоделей.Во вводныхмонографияхпо экономической теории, как

правило,выделяютвкачестве ееразделовмакроэкономику,микроэкономику и эконометрику. Статистические методыанализа экономических данных называют эконометрикой,чтобуквальноозначает:наукаобэкономическихизмерениях.Действительно,термин«эконометрика»состоитиздвухчастей:«эконо-» —от«экономика»и«-метрика» —от«измерение».Оместеэконометрикисредиэкономическихнаукяркоговоритто,чтовосьмиэконометрикамприсужденынобелевскиепремиипоэкономике.Эконометрика — эффективный инструмент научного

анализаимоделированиявпрофессиональнойдеятельностиэкономиста,менеджераиинженера.Настоящийучебникдаетэтотинструментврукибудущимспециалистам.

Содержание учебника. В учебник включены основныеэконометрическиеметоды.Глава1посвященаорганизациивы-борочныхисследованийиметодаманализасобранныхданных.Построенымоделислучайныхвыборок,разобраныпроцедурыдоверительного оценивания доли и проверки однородностидвухбиномиальныхвыборок.Проанализированыприкладныевыборочныеисследования,втомчислеоцениваниефункцииспросаимаркетинговыеопросыпотребителей.Системамоделейпроверкиоднородностидвухнезависимых

выборок —предметглавы2.Рассмотреныметодыпроверкисогласияиоднородностидляпризнаковсконечнымчисломградаций.ДляпроверкиравенстваматематическихожиданийобоснованоприменениенепараметрическогокритерияКраме-ра-Уэлча(вместокритерияСтьюдента).Установленыграницыприменимости двухвыборочного критерия Вилкоксона. ИзсостоятельныхкритериевпроверкиоднородностинезависимыхвыборокразобраныкритерииСмирноваиЛемана —Розенб-

�

латта(типаомега-квадрат).Сопоставленыреальныеиноми-нальныеуровнизначимостивзадачахпроверкистатистическихгипотез.Непараметрическийметоднаименьшихквадратоввглаве

�позволяетвосстановитьлинейнуюзависимостьмеждудвумяпеременными.РассмотреныкоэффициентыкорреляцииПир-сонаиСпирменаиосновылинейногорегрессионногоанализа.Примерприменения —прогнозированиевотраслиломачерныхметаллов.Обсуждаютсяиболееглубокиепроблемы —выборвида регрессионноймодели, непараметрическое оцениваниеточки пересечения регрессионных прямых, модель с перио-дической составляющей (последние две темы основаны нанаучныхпубликациях 2008г.).Эконометрическому анализу инфляции посвящена глава

�. Рассмотреныпрактически используемыепотребительскиекорзиныисоответствующиеиндексыинфляции,в томчис-лекорзинаИнститутавысокихстатистическихтехнологийиэконометрикиирезультатырасчетовиндексовинфляциипонезависимособраннойинформацииза199�–2008гг.Проана-лизированысвойстваиндексовинфляцииивозможностиихиспользованиявэкономическихрасчетах.Обсуждаетсядина-микаценнапродовольственныетоварывнашейстране.Экспертныетехнологиисталинеотъемлемойчастьюнауч-

ногоинструментарияэкономистаименеджера.Импосвященаглава5.Разобранрядпримеровпроцедурэкспертныхоценок,типоваяорганизацияработыэкспертнойкомиссии,основаниядля классификации экспертныхметодов.Для обработки эк-спертныхранжировокпредназначеныметодысреднихариф-метических рангов имедиан рангов, а также согласованиякластеризованных ранжировок. Рассмотрена роль интуицииэкспертаиинформационныхтехнологий.Основныешкалыизмерения(наименований,порядковая,

интервалов, отношений, разностей, абсолютная) введены вглаве6.Поискинвариантныхалгоритмованализаданныхпро-демонстрированнапримересреднихвеличин.ВведенысредниепоКошиисредниепоКолмогорову.Указанывседопустимыесредниевпорядковойшкале(средисреднихпоКоши),вшкалахинтерваловиотношений(средисреднихпоКолмогорову).

5

Центральной области современной статистической на-уки —статистикенечисловыхданных —посвященаглава7.Средивидовстатистическихданныхвыделеныобъектынечис-ловойприроды,проанализированысвязимеждуразличнымиклассамитакихобъектовивероятностныемоделипорождениянечисловыхданных.Рассмотренырасстояниявпространствахпроизвольнойприроды,ихвыводизсистемаксиом.Введеныэмпирическиеитеоретическиесредниевпространствахпро-извольнойприродыиобоснованызаконыбольшихчиселдляних (сходимость эмпирических средних к соответствующимтеоретическимпри росте объемов выборок). В конце главы7введеныиизученынепараметрическиеоценкиплотностивпространствахнечисловыхданных.Сводка используемых в учебнике теоретических инстру-

ментовэконометрикиданавприложении1.Приведеныфор-мулировкизаконовбольшихчисел,Центральныхпредельныхтеорем и теорем о наследовании сходимости. Рассмотреныметодлинеаризацииипринципинвариантности.Нечеткиемножества —важныйчастныйслучайнечисло-

выхданных.Однакоосновытеориинечеткихмножествпоканеявляютсяобщеизвестными.Дляудобствачитателейбазовыефактыэтойтеорииприведенывприложении2.Рассмотреныпримеры практического применения нечетких множеств.Рассказаноосведениинечеткихмножествкслучайным,при-нципиальноважномсметодологическойточкизрения.Данопредставлениеостатистикенечеткихмножеств.Методическомуобеспечениюучебнойдисциплины«Эконо-

метрика»посвященоприложение�.Приведенотиповоесодер-жаниелекций,практическихзанятий(семинаров),контрольныхработ,домашнихзаданий.Приложение � — этометодическая разработка для сту-

дентовипреподавателейповыполнениюдомашнегозадания«Функцияспросаиметоднаименьшихквадратов»ипроведениюсоответствующихпрактическихзанятий(семинаров).Вприложении5приведенакраткаяинформацияобавторе

учебника.Вконцекаждойглавыиприложений1и2приведеныспис-

килитературныхисточников,контрольныевопросыизадачи,

6

атакжетемыдокладов,рефератов,исследовательскихработ.Нумерациятаблиц,рисунков,формул,теоремданапоглавамиприложениям.

Методические комментарии.Теоретическуюбазуэконо-метрики составляютматематические дисциплины — общийкурс(математическийанализ,линейнаяалгебра),теорияверо-ятностейиматематическаястатистика,дискретнаяматематика,исследованиеопераций.Полезнознаниеосновэкономическойтеорииистатистики(общейтеориистатистики,экономическойстатистики).Чтобыполностью овладетьматериалом, пред-ставленнымвучебнике,желательнознатьбазовыепонятияирезультатыуказанныхвышетиповыхучебныхкурсов.Цельюизученияучебнойдисциплины«Эконометрика»яв-

ляетсяовладениесовременнымиэконометрическимиметодамианализаконкретныхэкономическихиуправленческихданныхна уровне, достаточном для использования в практическойдеятельностименеджера, экономиста, инженера. В учебниквключеныкакклассическиенаучныерезультаты,такинедавнополученные. В качестве примеров применения эконометри-ческихметодов описан ряд конкретных прикладных работ,выполненныхподруководствомавтора.Можноутверждать,чтоучебникпозволяетвыйтинасовременныйуровеньтеоре-тическихиприкладныхэконометрическихисследований.Учебникадресованвпервуюочередьстудентамдневных

отделенийэкономическихиуправленческихспециальностей.Онинайдутвесьнеобходимыйматериалдляизученияразлич-ных вариантов эконометрических курсов.Особенно хочетсяпорекомендоватьучебниктем,ктополучаетнаиболееценимоевнастоящеевремяобразование —наэкономическихфакультетахвтехническихвузах.Слушателивечернихотделений,втомчислеполучающиевтороеобразованиепоэкономикеименедж-менту,смогутизучитьосновыэконометрикиипознакомитьсясосновнымивопросамиеепрактическогоиспользования.Менед-жерам,экономистамиинженерам,изучающимэконометрикусамостоятельноиливбизнес-школахиинститутахповышенияквалификации,втомчислепопрограммамМВА(«Мастерде-ловогоадминистрирования»),учебникпозволитпознакомитьсясееключевымиидеямиивыйтинамировойуровеньобразова-

7

ния.Специалистампотеориивероятностейиматематическойстатистикеэтакнигатакжеможетбытьинтереснаиполезна,внейописансовременныйвзгляднастатистическиеметодыиихприменениевэкономике,основныеподходыирезультатывэтойобласти(касающиеся,вчастности,непараметрическихпостановокистатистикинечисловыхданных),открывающиебольшой простор для дальнейшихматематических исследо-ваний.Преподаватели эконометрики найдут в учебнике кактеоретические результаты, так и примерыих практическогоиспользования — в объеме, достаточном для разработкисобственныхпрограммобучения.Материалыучебникаможноиспользоватьтакжепричтениииизучениикурсов«Организаци-онно-экономическоемоделирование»,«Математическиеметодыпрогнозирования»,«Теорияпринятиярешений»идр.В отличие от учебной литературы по математическим

дисциплинам, в настоящей книге практически отсутствуютдоказательства.Внесколькихслучаяхмысочлицелесообраз-нымихпривести.Припервомчтениидоказательстватеоремможнопропустить.Оролилитературныхссылоквучебникенеобходимоска-

затьдостаточноподробно.Преждевсего,этакнигапредставляетсобойзамкнутыйтекст,нетребующийдлясвоегопониманияничего, кроме знания стандартных учебных курсов высшейматематике.Зачемженужныссылки?Доказательствавсехпри-веденныхвучебникетеоремприведенывранееопубликованныхстатьяхимонографиях.Дотошныйчитатель,вчастности,приподготовке рефератов и прижелании глубже проникнуть вматериалучебника,можетобратитьсякприведеннымвкаж-дой главе спискамцитированнойлитературы.Каждая главаучебника —этовведениевбольшуюобластьэконометрики.Приведенныелитературныессылкипомогутчитателямвыйтинапереднийкрайтеоретическихиприкладныхработ,познако-митьсясдоказательствамитеорем,включенныхвучебник.Замногиедесятилетиянакопилисьбольшиекнижныебогатства,иихнадоактивноиспользовать.Включенныевучебникматериалыпрошлимноголетнююи

всестороннююпроверку.КромеМГТУим.Н.Э.Баумана,онииспользовалисьприпреподаваниивомногихдругихотечествен-

8

ныхизарубежныхобразовательныхструктурах,вчастности,вАкадемиинародногохозяйстваприПравительствеРоссийскойФедерации,вРоссийскойэкономическойакадемииим.Г.В.Плеханова,Рижскоминститутемировойэкономики.Нарядусдневнымобразованием,преподаваниевелосьв структурахвторогообразования,повышенияквалификации,бизнес-шко-лах(программыМВА).Первоеизданиеучебника«Эконометрика»быловыпущено

издательством«Экзамен»в2002г.,второе,переработанноеидополненное —в200�г.,третье —в200�г.КнигаширокопредставленавИнтернете.Толькоссайта«Высокиестатисти-ческиетехнологии»http://orlovs.pp.ruеескачалиоколо20тысячпользователей.Всеэтоговоритовостребованностиучебника.В2006г.издательство«Экзамен»выпустилонашиучебни-

ки«Прикладнаястатистика»и«Теорияпринятиярешений».Вэтикниги(атакжеврядиных,перечисленныхвприложении5) была включена частьматериала из первых трех изданийучебника«Эконометрика».Поэтомумысочлинеобходимымсущественнопереработатьучебник.Вчетвертоеиздание«Эконометрики»включеныразделы,

соответствующие семестровому учебному курсу.Такой курсчитается вМГТУим.Н.Э. Баумана нафакультете «Инже-нерныйбизнесименеджмент»подназванием«Эконометри-ка — 1» (к нему близок по содержанию курс «Организаци-онно-экономическоемоделирование —1»).В следующий занимкурс«Эконометрика —2»входятразделы,посвященныеэконометрическимметодамуправлениякачеством,теориииметодам классификации, статистике интервальных данных,временнымрядам,эконометрикепрогнозированияирискаидр.Соответствующийматериалсодержитсявпервыхтрехизданияхучебника,ноисключенизчетвертого,посколькуперенесенвдругиенашиучебники.Включенные в четвертое издание разделы существенно

доработаны. Укажем наиболее существенные изменения.Расширена глава2 —добавленыразделы,посвященные со-стоятельнымкритериямпроверкиоднородностинезависимыхвыборок и взаимосвязи реальных и номинальных уровнейзначимости в задачах проверки статистических гипотез.На

9

основенедавнихразработоксущественнодополненаглава�,втомчислерассмотренымодельспериодическойсоставляющейиметодынепараметрическогооцениванияточкипересечениярегрессионныхпрямых,атакжепримерыпрактическогоис-пользованияметоданаименьшихквадратов.Зановонаписанаглава�,посвященнаяэконометрическимметодаманализади-намикицен,вчастности,внеёвключеныданныепоинфляциив200�–2008гг.Вглаве7«Статистиканечисловыхданных»рассмотренырасстояниявпространствахпроизвольнойпри-родыиподходыкихаксиоматическомувведению.Заметнойдоработкеподверглисьидругиеразделыучебника.

Благодарности. Автор выражает признательность заве-дующемукафедрой«Экономикаиорганизацияпроизводства»факультета«Инженерныйбизнесименеджмент»Московскогогосударственноготехническогоуниверситетаим.Н.Э.Баума-напрофессору,докторуэкономическихнаукС.Г.Фалькозапостояннуюподдержку проекта по разработке и внедрениюэконометрическихкурсов.Хотелосьбысказать«спасибо»все-муколлективукафедрыифакультетавцелом,преждевсегодекану факультета, профессору, доктору экономических итехническихнаукИ.Н.Омельченко,заведующемукафедрой«Промышленнаялогистика»профессору,докторутехническихнаук,заслуженномудеятелюнаукиРФА.А.Колобову —своимсоавторампорядуработ.Автор относится к отечественной вероятностно-статис-

тическойнаучной школе, созданной академиком АНСССРА.Н.Колмогоровым,иискреннеблагодаренсвоимучи-телям —ушедшимотнасакадемикуАНУССРБ.Г.Гнеденко,члену-корреспондентуАНСССРЛ.Н.Большеву,проф.В.В.Налимову.Настоящийучебникразработанвсоответствиисрекоменда-

циямисозданнойв1990г.Всесоюзнойстатистическойассоциа-циииеенаследников —Российскойассоциациистатистическихметодов и Российской академии статистическихметодов, атакжеразработкамиВсесоюзногоцентра статистическихме-тодовиинформатики.Порядупричинисторическогохарактераосновноеместо

публикацийнаучныхработпостатистическимметодаманализа

10

техническихитехнико-экономическихданныхвнашейстра-не —раздел«Математическиеметодыисследования»журнала«Заводскаялаборатория».Многиестатьиэтогоразделаприго-дилисьприподготовкеучебника.Авторискреннеблагодаренруководствуисотрудникамжурнала,коллегампосекцииред-коллегии«Математическиеметодыисследования».Спасибо коллегам и ученикам, работы которых были

использованы при подготовке учебника (В.С.Муравьевой,Е.М.Крюковой,Л.А.Орловойидр.).Авторпользуетсявоз-можностьювыразитьпризнательностьзасовместнуюработусвоимболеечем200соавторампоразличнымпубликациям,преждевсегосотрудникамИнститутавысокихстатистическихтехнологийиэконометрикииЛабораторииэкономико-мате-матическихметодов в контроллингеНУКИБММГТУим.Н.Э.Баумана.Авторблагодаренрецензентам —заместителюдиректора

Института проблем управления РАН члену-корреспондентуРАНД.А.Новиковуизаведующемукафедрой«Системыуправ-ленияэкономическимиобъектами»Московскогогосударствен-ного авиационногоинститута —технического университета,профессору, доктору экономических наукВ.Д.Калачанову.Спасибо сотрудникам издательства «Феникс» за поддержкунашегонаучногонаправленияибольшуюработупоподготовкерукописикизданию.Сбазовымипубликациями (более20книги200 статей)

и текущей научной информацией по эконометрике можнопознакомитьсянасайте«Высокиестатистическиетехнологии»http://orlovs.pp.ru и его форуме http://forum.orlovs.pp.ru/, атакже на страницеЛаборатории экономико-математическихметодов в контроллинге http://www.ibm.bmstu.ru/nil/lab.html(на сайте научно-учебного комплекса «Инженерный бизнесименеджмент»Московского государственного техническогоуниверситетаим.Н.Э.Баумана).Достаточнобольшойобъеминформации содержит еженедельник «Эконометрика» http://subscribe.ru/catalog/science.humanity.econometrika,выпускаемыйсиюля2000г.Авторискреннеблагодаренразработчикусай-товиредакторуэлектронногоеженедельникаА.А.Орловузамноголетнийэнтузиазм.

11

УсловиядлянаписаниякнигисоздаламоялюбимаяженаЛ.А.Орлова.Спасибо!

Включенный в учебник материал дает представление об эко-нометрике, соответствующее общепринятому в мире. Изложение доведено до современного уровня научных исследований в этой области. Конечно, возможны различные точки зрения по тем или иным частным вопросам. Автор будет благодарен читателям, если они направят свои вопросы и замечания по адресу издательства или непосредственно автору по электронной почте Е-mail: prof-orlov@mail.ru (или поместят их на форуме http://forum.orlovs.pp.ru/ сайта «Высокие статистические технологии»).

12

Глава 1

Выборочные исследоВания

Термин «выборочные исследования» применяют, когданевозможно изучить все единицы представляющей интерессовокупности.Приходитсязнакомитьсясчастьюсовокупнос-ти —свыборкой,азатемспомощьювероятностно —статис-тическихметодовимоделейпереноситьвыводысвыборкинавсюсовокупность.Выборочныеисследования —способполу-чениястатистическихданныхиважныйразделэконометрикииприкладнойстатистики[5].

1.1. организация выборочных исследований

Вкачествепримерарассмотримвыборочныеисследованияпредпочтенийпотребителей,которыечастопроводятспециа-листыпомаркетингу(изучениюрынка).

Оценивание функции спроса.Функцияспросачастовстре-чаетсявучебникахпоэкономическойтеории,ноприэтомобыч-нонерассказывается,каконаполучена.Междутемоценитьеепоэмпирическимданнымнетакужтрудно.Например,можновыяснятьожидаемыйспросспомощьюследующегопростого

1�

приема —спрашиваемпотенциальныхпотребителей:«КакуюмаксимальнуюценуВызаплатилибызатакой-тотовар?»Пустьдляопределенностивыборкасостоялаиз20опрошенных.Ониназвалиследующиемаксимальнодопустимыедлянихцены:�0,25,�0,50,�5,20,50,�2,15,�0,20,�0,�5,�0,50,25,�5,20,�5,�0.Сначаланазванныеопрошеннымивеличиныупорядочим

впорядкевозрастания.Результатыпредставленывтабл.1.1.Впервомстолбце —номераразличныхчисленныхзначений(в порядке возрастания), названныхпотребителями.Во вто-ромстолбцеприведенысамизначенияцены,названныеими.Втретьемстолбцеуказано,сколькоразназванотоилииноезначение.

Т а б л и ц а 1 . 1

Эмпирическая оценка функции спроса и ее использование

№п/п(i)

Ценаpi

Повто-ры Ni

СпросD(pi)

Прибыль(pi–10)D(pi)

Прибыль(pi–15)D(pi)

Прибыль(pi–25)D(pi)

1 15 1 20 100 0 -

2 20 � 19 190 95 -

� 25 2 16 2�0 160 0

� �0 2 1� 280 210 70

5 �2 1 12 26� 20� 8�

6 �5 � 11 275 220 110

7 �0 � 8 2�0 200 120

8 �5 1 � 1�0 120 80

9 50 � � 120 105 75

Таким образом, 20 потребителей назвали 9 конкретныхзначенийцены(максимальнодопустимых,илиприемлемыхдлянихзначений),каждоеиззначений,каквидноизтреть-его столбца, названо от 1 до � раз.Теперьлегкопостроитьвыборочнуюфункцию спроса в зависимости от цены.Онабудетпредставленавчетвертомстолбце,которыйзаполнимснизувверх.Спроскакфункцияотценыр обозначенD(p)(отdemand (англ.) —спрос).Еслимыбудемпредлагатьтоварпоценесвыше50руб.,тоегонекупитниктоизопрошенных.

1�

Прицене50руб.появляются�покупателя.Записываем�вчетвертыйстолбецвдевятуюстроку.Аеслиценупонизитьдо�5?Тогдатоваркупятчетверо —тотединственный,длякогомаксимальновозможнаяцена —�5,итетрое,ктобылсогла-сеннаболеевысокуюцену —50руб.Такимобразом,легкозаполнитьстолбец�,действуяпоправилу:значениевклеткечетвертогостолбцаравносуммезначенийвнаходящейсяслеваклеткетретьегостолбцаивлежащейснизуклеткечетвертогостолбца.Например,за�0руб.купяттовар1�человек,аза20руб. —19.Зависимостьспросаотцены —этозависимостьчетверто-

гостолбцаотвторого.Табл.1.1даетнамдевятьточектакойзависимости.Зависимостьможнопредставитьнарисунке,вкоординатах «спрос —цена». Если абсцисса — это спрос, аордината —цена,тодевятьточекнакривойспроса,перечис-ленныевпорядкевозрастанияабсциссы,имеютвид:(�;50),(�;�5),(8;�0),(11;�5),(12;�2),(1�;�0),(16;25),(19;20),(20;15).Эти девять точекможно использовать для построения

кривой спроса каким-либо графическим (сделайте чертеж!)или расчетным способом, например,методом наименьшихквадратов (см.нижеглаву�).Криваяспроса,какиследуетожидатьсогласноучебникамэкономическойтеории,убывает,имеянаправленияотлевоговерхнегоуглачертежакправому.Однакозаметныотклоненияотгладкоговидафункции,связан-ные,вчастности,сестественнымпристрастиемпотребителейккруглымчислам.Заметьте,всеопрошенные,кромеодного,назваличисла,кратные5руб.

Расчет оптимальной цены.Данныетабл.1.1могутбытьиспользованы для выбора цены продавцом-монополистом.Илиорганизацией,действующейнарынкемонополистическойконкуренции.Пусть расходы на изготовление или оптовуюпокупкуединицытовараравны10руб.Покакойценееепро-даватьнатомрынке,функциюспросадлякоторогомытолькочтонашли?Дляответанаэтотвопросвычислимсуммарнуюприбыль,т.е.произведениеприбылинаоднойединицетовара(p–10)начислопроданных(точнее,запрошенных)экземпляровD(p).Результатыприведенывпятомстолбцетабл.1.1.Видно,

15

чтомаксимальнаяприбыль,равная280руб.,достигаетсяприцене�0руб.заединицутовара.Приэтомиз20потенциальныхпокупателейокажутсявсостояниизаплатитьзакнигу1�,т.е.70%.Еслижеудельныеиздержкипроизводства,приходящиеся

наоднуединицутовара(илиоптоваяцена),повысятсядо15руб.,тоданныестолбца6табл.1.1показывают,чтомаксималь-наяприбыль,равная220руб.(она,разумеется,меньше,чемвпредыдущемслучае),достигаетсяприболеевысокойцене —�5руб.Этаценадоступна11потенциальнымпокупателям,т.е.55%отвсехвозможныхпокупателей.Придальнейшемповы-шениииздержек,скажем,до25руб.,каквытекаетизданныхстолбца 7 табл.1,максимальная прибыль, равная 120 руб.,достигаетсяприцене�0руб.заединицутовара,чтодоступно8лицам,т.е.�0%покупателей.Отметьте,чтоприповышенииоптовойценына10руб.оказалосьвыгоднымувеличитьроз-ничнуюлишьна5,посколькуболеерезкоеповышениепривелобыктакомусокращениюспроса,котороеперекрылобыэффектотповышенияудельнойприбыли(т.е.прибыли,приходящейсянаоднупроданнуюединицутовара).

Замечание.Приболеестрогомподходекиспользованиютерминовнадовместо«прибыли»говоритьо«маржинальнойприбыли»,авместо«удельныхиздержек» —о«переменныхиздержках»(наоднуединицупродукции),посколькупостоян-ныеиздержкинеучитываем.Крометого,спросцелесообразновыражатьневчислепотребителей,авпроцентахотобщегочислапотенциальныхпотребителей.Мынесочлинеобходимымпридерживатьсяподобныхуточнений,посколькуцельнасто-ящейглавы —вдемонстрациивозможностииспользованиявмаркетинговыхисследованийподходов,основанныхнаорга-низационно-экономическоммоделировании.Представляетинтересанализоптимальногообъемавыпуска

приразличныхзначенияхудельныхиздержек(табл.1.2).Втабл.1.2звездочкамиуказанымаксимальныезначения

прибылипритомилииномзначениииздержек,невключенномвтабл.1.1.Длялегкостиобозрениярезультатыобоптималь-ныхобъемахвыпускаисоответствующихценахизтабл.1.1итабл.1.2приведенывтабл.1.�.

16

Т а б л и ц а 1 . 2

Прибыль при различных значениях издержек

№(i)

Цена(pi)

СпросD(pi)

Прибыль(pi–5)D(pi)

Прибыль(pi–20)D(pi)

Прибыль(pi–�0)D(pi)

Прибыль(pi–�5)D(pi)

Прибыль(pi–�0)D(pi)

1 15 20 200 — — — —

2 20 19 285 0 — — —

� 25 16 �20 80 — — —

� �0 1� �50* 1�0 0 — —

5 �2 12 �2� 1�� 2� — —

6 �5 11 ��0 165* 55 0 —

7 �0 8 280 160 80* �0 0

8 �5 � 160 100 60 �0 20

9 50 � 1�5 90 60 �5* �0*

Т а б л и ц а 1 . 3

Зависимость оптимального выпуска и цены от издержек

Издержки 5 10 15 20 25 �0 �5 �0

Оптимальныйвыпуск 1� 1� 11 11 8 8 � �

Цена �0 �0 �5 �5 �0 �0 50 50

Каквидноизтабл.1.�,сростомиздержекоптимальныйвыпускпадает,аценарастет.Приэтомизменениеиздержекна5единицможетвызывать,аможетиневызыватьповы-шения цены. В этом проявляетсямикроструктурафункцииспроса —небольшоеповышениеценыможетпривестиктому,чтозначительныегруппыпокупателейоткажутсяотпокупок,иприбыльупадет.Этотэффектнапоминаетизвестноевэкономическойтеории

разделениеналоговогобременимеждупроизводителемипотре-бителем.Неверноговорить,чтопроизводительперекладываетиздержкиили,конкретно,налоги,напотребителя,повышаяценунаихвеличину,посколькуприэтомсокращаетсяспрос(ивыпуск),апотомуиприбыльпроизводителя.Дальнейшееясно —еслиоптоваяценабудетповышаться,

тоидающаямаксимальнуюприбыльрозничнаяцена такжебудетповышаться,ивсеменьшаядоляпокупателейсможет

17

приобреститовар.Крайняяточка —оптоваяцена,равная�5руб.Тогдатолькотрое(15%)купяттоварза50руб.,априбыльпродавцасоставиттолько15руб.Наглядновидно,чтоповы-шениеиздержекпроизводстваприводиткориентациипроизво-дителянанаиболеебогатыеслоинаселения.Ноиповышениецен(дооптимальногодлямонополиста-производителяуровня)неприводиткповышениюприбыли,напротив,онаснижается,и при этом большинство потенциальных потребителей не всостояниикупитьтовар.Отметим,чторыночныеструктурыневсостоянииобес-

печить всехжелающих — это просто не выгодно. Так, из20 опрошенных лишь 1�, т.е. 70%,могут рассчитывать напокупку,дажеприминимальныхиздержкахиценах.Еслиоб-ществожелаетчем-либообеспечитьвсехграждан,онодолжнораздаватьэтоблагобесплатно,какэтоделается,например,сучебникамившколах.Описанныйздесьметодоцениванияспросабылразработан

вИнститутевысокихстатистическихтехнологийиэкономет-рики(Москва)в199�г.Дляизученияпредпочтенийпотребителейчастоиспользуют

болееизощренныеметоды.Рассмотримнекоторыеизних.Маркетинговые опросы потребителей. Потенциального

покупателяинтересуетнетолькоцена,ноикачествотовара,красота упаковки (например, для подарочных наборов кон-фет)имногоедругое.Хочешьузнать,чегожелаетпотреби-тель —спросиего.Этапростаямысльобъясняетпопулярностьмаркетинговыхопросов.

Бесспорно, что основная цель производственной и торговой деятельности — удовлетворение потребностей людей. Как полу-чить представление об этих потребностях? Очевидно, необходимо опросить потребителей. В американском учебнике по рекламному делу [6] подробно рассматриваются различные методы опроса потребителей и обработки результатов с помощью методов эко-нометрики. Расскажем о результатах опроса потребителей рас-творимого кофе. Исследование проведено Институтом высоких статистических технологий и эконометрики по заказу АОЗТ «Д–2» в апреле 1994 г. в Москве.

18

Сбор данных. Одинизважнейшихразделов прикладнойстатистики — сбор данных.Обсудим постановку задачи вслучае опроса потребителей растворимого кофе. Заказчикаинтересуютпредпочтениякакпродавцовкофе (розничныхимелкооптовых),такинепосредственнопотребителей.Врезуль-татесовместногообсуждениябылопризнаноцелесообразнымиспользоватьдляопросаитех,идругиходнуитужеанкетуиз 1� основных и � социально-демографических вопросов сдобавлениемдвухвопросовспециальнодляпродавцов.Анке-табыларазработанасовместнопредставителямизаказчикаиисполнителяиутвержденазаказчиком.Втабл.1.�приведеннесколькосокращенныйвариантэтойанкеты.

Т а б л и ц а 1 . 4

Анкета для потребителей растворимого кофе (в сокращении)______________________________________________________Дорогойпотребительрастворимогокофе,Институтвысокихстатистическихтехнологийиэкономет-

рикипроситВас ответить на несколькопростых вопросов отом,какойкофеВылюбите.Вашиответыпозволятсоставитьобъективное представление о вкусах российских любителейкофеибудутспособствоватьповышениюкачестваэтоготоваранароссийскомрынке.1.ЧастолиВыпьетерастворимыйкофе:иногда,каждый

день1чашку,2–�чашки,больше,чем�чашки.(Здесьидалееподчеркнитенужное.)2.ЧтоВыцените в кофе: вкус, аромат, крепость, цвет,

отсутствиевредныхдляздоровьявеществ,что-либоеще(сооб-щитенам,чтоименно)____________________________.�.Какчастопокупаетекофе:померенадобностиилипо

возможности?�.КакуюмаркурастворимогокофеВыобычнопокупаете?

______5.КакойобъемупаковкиВыпредпочитаете:впакетиках,

маленькаябанка,средняябанка,большаябанка,обязательностекляннаябанка,всеравно.

19

6.Гдепокупаетерастворимыйкофе:вларьках,впродук-товыхмагазинах,вспециализированныхотделахимагазинах,всеравно, гдекупить, где-либо еще (опишите,пожалуйста)______________.7.Былилислучаи,когдакупленныйВамикофеоказывался

низкогокачества?Да,нет.8.СогласнылиВы,чтозавысокоеигарантированноекачес-

твопродуктаможноизаплатитьнесколькодороже?Да,нет.9.НасколькодорожеВыготовыплатитьзаэкологически

безопасныйкофе?_____________________________________.10.СчитаетелиВынужным,чтобывредныедляздоровья

вещества,вчастности,ионытяжелыхметаллов,непроникалиизматериалаупаковкиврастворимыйкофе?Да,нет.Мыпланируем сравнить потребительские предпочтения

различныхкатегорийжителейнашейстраны.Поэтомупросимответитьещенанескольковопросов.11.Пол:женский,мужской.12.Возраст:до20,20–�0,�0–50,более50.1�. Род занятий: учащийся, работающий, пенсионер,

инженер, врач, преподаватель, служащий,менеджер, пред-приниматель,научныйработник, рабочий,др. (пожалуйста,расшифруйте).1�. Вся Ваша семья любит растворимый кофе илиже

Вы —единственныйлюбительэтоговосхитительногонапиткасовременногочеловека?Всясемья,яодин(одна).

СпасибозаВашесодействиеработепоповышениюкачествапродуктовнароссийскомрынке!

Выбор метода опроса. Широкоприменяютсяпроцедурыопроса, когда респонденты (так социологи и маркетологиназываюттех,откогополучаютинформацию,т.е.опрашива-емых)самостоятельнозаполняютанкеты(розданныеимилиполученныепопочте),атакжеличныеителефонныеинтер-вью.Изэтихпроцедурнамибыловыбраноличноеинтервьюпоследующимпричинам.Возвратпочтовыханкетсравнительноневелик(вданном

случаеможно было ожидать не более 5–10%), оттянут повремени и искажает структуру совокупности потребителей

20

(наиболеединамичныелюдиврядлинайдутвремядляответанаподобнуюанкету).Самостоятельное заполнение анкеты, как показали спе-

циальнопроведенныеэксперименты,непозволяетполучитьполныеответынапоставленныевопросы.Респондентутомля-етсяилиотвлекается,отказываетсяотвечатьначастьвопросов,иногданепонимаетихилиотвечаетнепосуществу.Некото-рыекатегорииреспондентов,например,продавцывкиосках,отказываютсязаполнятьанкеты,ноготовыустноответитьнавопросы.Телефонныйопросискажаетсовокупностьпотребителей,

посколькунаиболее активныхиндивидуумов трудно застатьдомаиуговоритьответитьнавопросыанкеты.Репрезентатив-ностьнарушаетсятакжеипотому,чтонаодинномертелефонаможет приходиться различное количество продавцов и пот-ребителейрастворимогокофе,анекоторыеизнихнеимеюттелефоноввообще.Анкетадостаточнодлинна,иразговорподомашнемуитемболееслужебномутелефонуреспондентамо-жетбытьпрекращендосрочнопоегоинициативе.Иногороднихпродавцовипотребителейрастворимогокофе,приехавшихвМоскву,потелефонуопроситьпрактическиневозможно.Методличногоинтервьюлишенперечисленныхнедостат-

ков.Соответствующимобразомподготовленныйинтервьюер,получивсогласиенаинтервью,удерживаетвниманиесобесед-никанаанкете,добиваетсяполученияответовнавсееёвопросы,контролируяприэтомсоответствиеответовреальнойпозицииреспондента.Ясно, что успех интервьюирования зависит отличныхкачествиподготовкиинтервьюера.Однакорасходынаполучениеоднойанкетыприиспользованииэтогометодабольше,чемдлядругихрассмотренныхметодов.

Формулировки вопросов.Вмаркетинговыхисоциологи-ческихопросахиспользуюттритипавопросов —закрытые,открытыеиполузакрытые,онижеполуоткрытые.Приответена закрытые вопросы респондентможет выбирать лишь изсформулированныхсоставителямианкетывариантовответа.В качестве ответа на открытые вопросыреспондента просятизложитьсвоемнениевсвободнойформе.Полузакрытые,онижеполуоткрытыевопросызанимаютпромежуточноеположе-

21

ние —кромеперечисленныхванкетевариантов,респондентможетдобавитьсвоисоображения.Всоциологическихпубликациях,посвященныхвыборочным

исследованиям,продолжаетсядискуссияпоповоду«мягких»и«жестких»формсбораданных.Т.е.фактическиотом,какоготипавопросыболеецелесообразноиспользовать —открытыеили закрытые (см., например, статьюизвестного социологаВ.А.Ядова[7]).Преимущество открытых вопросов состоит в том, что

респондентможет свободновысказать своемнение так, каксочтетнужным.Ихнедостаток —всложностисопоставлениямненийразличныхреспондентов.Длятакогосопоставленияиполучениясводныххарактеристикорганизаторыопросавынуж-денысамишифроватьответынаоткрытыевопросы,применяяразработаннуюимисхемушифровки.Преимущество закрытых вопросов в том и состоит, что

такуюшифровкупроводитсамреспондент.Однакоприэтоморганизаторыопросауподобляютсядревнегреческомумифи-ческомуперсонажуПрокрусту.Какизвестно,Прокрустпри-глашалпутниковзаночеватьунего.Укладывалихнакровать.Если путник былмаленького роста, он вытягивал его ногитак,чтобыонидоставалидоконцакровати.Еслижепутникоказывалсявысокиминогиеготорчали —онобрубалихтак,чтобыдостигнутьстандарта:«рост»путникадолженравнятьсядлинекровати.Такиорганизаторыопроса,применяязакрытыевопросы,заставляютреспондента«вытягивать»или«обрубать»своемнение,чтобывыразитьегоспомощьюприведенныхвформулировкевопросавозможныхответов.Ясно,чтодляобработкиданныхпогруппамисравнения

группмеждусобойнужныформализованныеданные,ифак-тическиречьможетидтилишьотом,кто —респондентилимаркетолог (социолог, психолог и др.) — будетшифроватьответы.Впроекте«Потребителирастворимогокофе»практи-ческидлявсехвопросоввариантыответовможноперечислитьзаранее,т.е.можноширокоиспользоватьзакрытыевопросы.В отличие от опросов с вопросами типа: «Одобряете лиВыидущиевРоссииреформы?»,вкоторыхестественнопроситьреспондентарасшифровать,чтоонпонимаетпод«реформами»

22

(открытыйвопрос).Поэтомувиспользуемойвописываемомпроектеанкетеиспользовалисьвосновномзакрытыеиполу-закрытыевопросы.Какпоказалирезультатыобработки,этотподходоказалсяправильным —лишьвнебольшомчислеанкетоказалисьвписанысвоивариантыответов.Вместестемдемонс-трировалосьуважениекмнениюреспондента,невыдвигалосьтребованиеобязательноговыбораиззаданногомножестваот-ветов —респондентмогдобавитьсвое,норедкопользовалсяэтойвозможностью(неболеечемв5%случаев).В последнем вопросе анкеты респонденту предлагалось

стать постоянным участником опросов о качестве товаровнародногопотребления.Рядреспондентовоткликнулсянаэтопредложение,врезультатесталовозможнымразвертываниепостояннойсети«экспертовпокачеству»,подобнойаналогич-нымвСШАидругихстранах.

1.2. Модели случайных выборок

Статистическиеметодывыборочныхисследованийосно-ваны на вероятностныхмоделях, описывающих получениеответовопрашиваемыхнавопросыанкет.Вслучаеответовтипа«да» —«нет»наиболеераспространеннымиявляютсядвеверо-ятностныемодели—биномиальнаяигипергеометрическая.В биномиальноймодели предполагается, что ответы n

опрашиваемых можно рассматривать как совокупность n независимыходинаковораспределенныхслучайныхвеличинХ1, Х2,....,Хn,гдеХi=1,еслиi-ыйреспондентсказал«да»,иХi =0,еслиегоответ —«нет».ТогдачислоХответов«да»ввыборкеравно

Х= Х1+ Х2+...+ Хn . (1.1)

Изформулы(1.1)иЦентральнойпредельнойтеоремытео-риивероятностей(см.«Приложение1»кнастоящемуучебнику)вытекает,чтоприувеличенииобъемавыборкиn распределениеХ сближаетсяснормальнымраспределением.Известно,чтораспределениеХимеетвид

2�

Р(Х= k) = Cnk pk (1– p)n–k, (1.2)

гдеCnk —числосочетанийизnэлементовпоk,аp —доля

ответов«да»вгенеральнойсовокупности,т.е.p = Р(Хi = 1).Формула (1.2) задает биномиальное распределение, частоиспользуемое при вероятностноммоделировании реальныхявленийипроцессов.

Гипергеометрическое распределение соответствует инойсхеме —случайномуотборуреспондентовввыборку.ПустьсредиNлиц,составляющихгенеральнуюсовокупность,имеетсяDлиц,чьемнение —«да».Случайностьотборареспондентовввыборкуозначает,чтокаждоелицоимеетодинаковыешансыбыть отобранным.Мало того, ни однапарапотенциальныхреспондентовнедолжнаиметьприотбореввыборкупреиму-ществапередлюбойдругойпарой.Тожесамое —длятроек,четверокит.д.Этоусловиевыполненотогдаитолькотогда,когдакаждоеизCN

nсочетанийпоnлицизNимеетодинаковыешансы быть отобранным в качестве выборки. Вероятностьтого,чтобудетотобранозаранеезаданноесочетание,равна,очевидно,1/CN

n.ПустьY —числосказавших«да»лицвслучайнойвыбор-

ке,организованнойтакимобразом.Известно,чтотогдаP(Y = k) —гипергеометрическоераспределение,т.е.

( )k n kD N D

nN

CP Y k

C

C −−= = . (1.�)

Отборслучайнойвыборкисогласноописаннымправиламорганизуют при проведении различных лотерей.Например,отбирают 6 номеров из �9. Тогда генеральная совокупностьсостоитиз�9единиц(номеров),авыборка —из6.Вэтомслу-чаеотбираютномера,анереспондентов,новероятностнаямо-дель —таже.Удобноговорить,чтогенеральнаясовокупностьивыборкасостоятизединиц.Водномслучаеединицы —этолюди(лица,потенциальныереспонденты),вдругом —номера.Встатистическихметодауправлениякачествомрассматрива-ютсяединицыпродукции —деталиилиизделия.

2�

Замечательныйматематическийфактсостоитвтом,чтобиномиальнаямодель(1.2)игипергеометрическаямодель(1.�)весьма близки (спрактическойточкизрениясовпадают),когдаобъемгенеральнойсовокупности(партии)покрайнеймерев10разпревышаетобъемвыборки.Другимисловами,можнопринять,что

Р(Х = k) = P(Y = k), (1.�)

еслиобъемвыборкималпосравнениюсобъемомпартии.Приэтомвкачествеpвлевойчастиформулы(1.�)берутD/N.Близостьрезультатов,получаемыхспомощьюбиномиаль-

нойигипергеометрическоймоделей,весьмаважнанетолькоспрактической,ноисметодологическойточкизрения.Деловтом,чтоэтимоделиисходятизпринципиальноразличныхметодологических предпосылок. В биномиальной моделислучайность присуща каждому респонденту. Он с какой-товероятностьюотвечает«да»,аскакой-то —«нет»(суммаэтихвероятностей,очевидно,равна1).Втожевремявгипергео-метрическоймоделиответреспондентаполностьюопределен,аслучайностьпроявляетсялишьв отборе,вноситсясоциологомилимаркетологомприсоставлениивыборки.Внаукахочеловекепротиворечиемеждурассматриваемы-

мимоделямивыборкичетковыражено.Всредеспециалистов,изучающихчеловека(маркетологов,социологов,психологов,политологовидр.)давноидетдискуссияоролислучайностивповедениичеловека.Аименно,отом,естьлислучайностьвповеденииотдельно взятого человекаилиже случайностьпроявляетсялишьвотборевыборкиизгенеральнойсовокуп-ности.Биномиальнаямодельпредполагает,чтоповедениечелове-

ка,вчастности,выборимопределенноговариантаприответенавопрос,определяетсясучастиемслучайныхпричин.Например,человекможетслучайносказать«да»,случайно —«нет».Неко-торыефилософыотрицаютслучайность,присущуюповедениючеловекасогласнобиномиальноймодели.Ониверятвпричин-ностьисчитаютповедениеконкретногочеловекапрактическиполностьюдетерминированным(еговзглядами,психофизио-

25

логическимиособенностями,прежнимопытомидр.).Поэтомуонипринимаютгипергеометрическуюмодельисчитают,чтослучайностьотличияответовввыборкеотответоввовсейге-неральнойсовокупностиопределяетсявсецелослучайностью,вносимойприотбореединицнаблюденияввыборку.Сформулированные выше математические результаты

(соотношение (1.�))показывают,чтопозицияв этойдавнейдискуссии практически не влияет на алгоритмы обработкиданных.Следовательно,вомногихслучаяхнетнеобходимос-типриниматьчью-либосторонувэтомспоре,посколькуобемоделидаютблизкиечисленныерезультаты.Отличия проявляются лишь при обсуждении вопроса о

том,какуювыборкусчитатьпредставительной.Втерминахконтролякачествапродукции —являетсялитаковойвыборка,составленнаяиз20изделий,лежащихсверхувпервомвскры-томящике?Вбиномиальноймоделивполнедопустимответ«да»,вгипергеометрической —только«нет».Биномиальнаямодельлегчедлятеоретическогоизучения,

поэтомубудемеёрассматриватьвдальнейшем.Однакоприреальномопроселучшеформироватьвыборку,исходяизги-пергеометрическоймодели.Этоделают,выбираяреспондентовизспискаизбирателей(длявключенияввыборку)спомощьюдатчиков псевдослучайных чисел на ЭВМили с помощьютаблицпсевдослучайныхчисел.Алгоритмыформированиявы-боркивстраиваютвовсесовременныепрограммныепродукты,предназначенныедляподдержкипроведениямаркетинговыхили социологических опросов, организации статистическогоконтролякачестваидр.

Обоснование объема выборки и проведение опроса. Вер-немсяканализу результатовопросапотребителейрастворимогокофе, о которомшларечь впредыдущемразделе.Какужеговорилось,модели выборочных исследований часто опира-ютсянапредположениеотом,чтореальнуювыборкуможноописыватькак«случайнуювыборкуизконечнойсовокупности».Типатой,когдаизсписковизбирателейспомощьюдатчикаслучайныхчиселотбираетсянеобходимоечислономеровдляформированияжюриприсяжныхзаседателей.Врассматривае-момисследованиинельзяобеспечитьформированиеподобной

26

выборки — не существует реестра потребителей раствори-могокофе.Однаковэтоминетнеобходимости.Посколькугипергеометрическое распределение хорошо приближаетсябиномиальным,еслиобъемвыборкипокрайнеймерев10разменьшеобъемавсейсовокупности(врассматриваемомслучаеэтотак),топравомерноиспользованиебиномиальноймодели,согласнокотороймнениереспондента(ответынавсевопросыанкеты) рассматривается как случайный вектор, а все такиевекторанезависимымеждусобой.Другимисловами,можноиспользоватьмодельпростойслучайнойвыборки.

1.3. доверительное оценивание доли

Зачемпроводятсявыборочныеисследования?Чтобыполу-читьнеобходимуюинформациюогенеральнойсовокупности.Дляэтогонеобходимоперенестивыводысвыборкинагене-ральнуюсовокупность.Какискакойточностьюможноэтосделать?Рассмотримэтупроблемудляпростейшегослучаяодного

вопросасдвумявозможнымиответами —«да»и«нет».Напомним, что биномиальнаямодель выборки как раз

и применяется для описания ответов на закрытые вопросы,имеющие две подсказки, например, «да» и «нет».Конечно,парыподсказокмогутбытьиными.Например,«согласен»и«не согласен».Или при опросе потребителей кондитерскихтоваров первая подсказкаможет иметь такой вид: «Большелюблю«Марс»,чем«Сникерс»«.Автораятогдатакова:«Большелюблю«Сникерс»,чем«Марс»«.Пустьобъемвыборкиравенn.Тогдаответыопрашиваемых

можнопредставитькакX1, X2 ,…,Xn,гдеXi=1,еслиi-йреспон-дентвыбралпервуюподсказку,иXi=0,еслиi-йреспондентвыбралвторуюподсказку,i=1,2,…,n.Ввероятностноймоделипредполагается,чтослучайныевеличиныX1 , X2,…,Xnнезави-симыи одинаково распределены.Поскольку эти случайныевеличиныпринимаютдвазначения,тоситуацияописываетсяоднимпараметромр —долейвыбирающихпервуюподсказкувовсейгенеральнойсовокупности.Тогда

27

Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1– р, i=1,2,…,n.

Пустьm = X1+ X2 +…+Xn.Оценкойвероятностирявляетсячастотар* = m/n.ПриэтомматематическоеожиданиеМ(р*)идисперсияD(p*)имеютвид

М(р*) = р, D(p*)= p(1–p)/n.

ПоЗаконуБольшихЧисел(ЗБЧ)теориивероятностей(вданномслучае —потеоремеБернулли)частотар*сходится(т.е. безгранично приближается) к вероятности р при ростеобъемавыборки(см.«Приложение1»).Этоозначает,чтооце-ниваниепроводитсятемточнее,чембольшеобъемвыборки.Точностьоцениванияможноуказать.Займемсяэтим.ПотеоремеМуавра-Лапласатеориивероятностей

lim ( ),(1 )n

m npP x x

np p→∞

− ≤ = Φ −

где Φ(x) — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,

2

21

( ) ,2

x y

x e dy−

−∞

Φ =π ∫

где π = 3,1415925… — отношение длины окружности к ее диа-метру, e = 2,718281828… — основание натуральных логарифмов. График плотности стандартного нормального распределения

2

21

( )2

y

x e−

ϕ =π

былоченьточноизображеннагерманскойденежнойбанкнотев10немецкихмарок(довведенияевро).Банкнотабылапосвяще-навеликомунемецкомуматематикуКарлуГауссу(1777–1855),средиосновныхработкоторогоестьотносящиесякнормаль-номураспределению.Этаподробностьдемонстрирует,чтовГермании(итемболееванглосаксонскихстранах)гораздоширераспространенознакомствососновамитеориивероятностейиматематическойстатистики,чемвнашейстране.

28

Внастоящеевремянетнеобходимостивычислятьфункциюстандартногонормального распределенияи ееплотностьпоприведеннымвышеформулам,посколькудавносоставленыподробныетаблицы(см.,например,[1]),араспространенныепрограммныепродуктысодержаталгоритмынахожденияэтихфункций.С помощью теоремыМуавра-Лапласамогут быть пост-

роеныдоверительныеинтервалыдлянеизвестнойстатистикувероятности.Сначалазаметим,чтоизэтойтеоремынепосредс-твенноследует,что

lim ( ) ( ).(1 )n

m npP x x x x

np p→∞

− − ≤ ≤ = Φ − Φ − −

Поскольку функция стандартного нормального распределения симметрична относительно 0, т.е. Φ(x) + Φ(–x) = 1, то справедливо полезное равенство Φ(x) — Φ(—x) = 2 Φ(x) — 1.

Зададим характеристику надежности переноса выводов с выборки на генеральную совокупность — доверительную вероятность γ, близкую к 1. Пусть функция U(γ) удовлетворяет условию

Φ(U(γ)) – Φ(–U(γ)) = γ,

т.е.

1 1( ) .2

U − + γ γ = Φ

Изпоследнегопредельногосоотношенияследует,что

(1 ) (1 )

lim * ( ) * ( ) .n

p p p pP p U p p U

n n→∞

− − − γ ≤ ≤ + γ = γ

К сожалению, это соотношение нельзя непосредственноиспользоватьдлядоверительногооценивания,посколькувер-хняяинижняяграницызависятотнеизвестнойвероятности.Однако с помощьюметода наследования сходимости (см.«Приложение1»кнастоящемуучебникуили[�,п.2.�])можнодоказать,что

29

* (1 *) * (1 *)

lim { * ( ) * ( ) } .n

p p p pP p U p p U

n n→∞

− −− γ ≤ ≤ + γ = γ

Следовательно,нижняядоверительнаяграницаимеетвид

* (1 *)

* ( ) ,нижн

p pp p U

n

−= − γ

втовремякакверхняядоверительнаяграницатакова:

* (1 *)

* ( ) .верх

p pp p U

n

−= + γ

Наиболее распространенным (в прикладных исследованиях) значением доверительной вероятности является γ = 0,95. Иногда употребляют термин «95% доверительный интервал». Тогда U(γ) = 1,96.

Пример 1. Пусть n = 500, m = 200. Тогда p* = 0,40. Найдем доверительный интервал для γ = 0,95:

0,� 0,6

0,�0 1,96 0,�0 0,0�� 0,�57, 0,�0 0,0�� 0,���.500

нижн верхp p×

= − = − = = + =

Таким образом, хотя в достаточно большой выборке 40% респондентов говорят «да», можно утверждать лишь, что во всей генеральной совокупности таких от 35,7% до 44,3% — крайние значения отличаются на 8,6%.

Замечание. С достаточной для практики точностью можно заменить 1,96 на 2.

Величина

* (1 *)

( )p p

Un

−γ

называется ошибкой выборки. Обычно, как в примере 1, исполь-зуют значение доверительной вероятности γ = 0,95 и множитель U(γ) = 1,96.

Удобные для использования в практической работе специа-листа по выборочным исследованиям, маркетолога и социолога таблицы точности оценивания разработаны во ВЦИОМ (Всерос-сийском центре по изучению общественного мнения). Приведем здесь несколько модифицированный вариант одной из них.

�0

Т а б л и ц а 1 . 5

Допустимая величина ошибки выборки (в процентах)

Объемгруппыn 1000 750 600 �00 200 100

Доляр*

Около10%или90% 2 � � � 5 7

Около 20% или 80% � � � 5 7 9

Около 30% или 70% � � � 6 9 10

Около 40% или 60% � � 5 6 8 11

Около 50% 4 4 5 6 8 11

В условиях рассмотренного выше примера надо взять вторую снизу строку. Объема выборки 500 нет в таблице, но есть объемы 400 и 600, которым соответствуют ошибки в 6% и 5% соот-ветственно. Следовательно, в условиях примера целесообразно оценить ошибку как ((5+6)/2)% = 5,5%. Эта величина несколько больше, чем рассчитанная выше (4,3%). С чем связано это разли-чие? Дело в том, что таблица ВЦИОМ связана не с доверительной вероятностью γ = 0,95, а с доверительной вероятностью γ = 0,99, которой соответствует множитель U(γ) = 2,58. Расчет ошибки по приведенным выше формулам дает 5,65%, что практически совпадает со значением, найденным по табл. 1.5.

Необходимый объем выборки. В биномиальной модели выборки оценивание характеристик происходит тем точнее, чем объем выборки больше. Часто спрашивают: «Какой объем выбор-ки нужен?» Разработан ряд методов определения необходимого объема выборки. Они основаны на разных подходах. Либо на задании необходимой точности оценивания параметров. Либо на явной формулировке альтернативных гипотез, между которыми необходимо сделать выбор. Либо на учете погрешностей измере-ний (методы статистики интервальных данных). Ни один из этих подходов нельзя применить в рассматриваемом случае.

Минимальный из обычно используемых объемов выборки n в маркетинговых или социологических исследованиях — 100, максимальный — до 5000 (обычно в исследованиях, охватыва-ющих ряд регионов страны, т.е. фактически разбивающихся на ряд отдельных исследований — как в ряде исследований ВЦИ-ОМ). По данным Института социологии Российской академии

�1

наук [2], среднее число анкет в социологическом исследовании не превышает 700. Поскольку стоимость исследования растет, по крайней мере, как линейная функция объема выборки, а точность повышается как квадратный корень из этого объема, то верхняя граница объема выборки определяется обычно из экономических соображений. Объемы пилотных исследований (т.е. проводящихся впервые, предварительно или как первые в сериях подобных) обычно ниже, чем объемы исследований по обкатанной программе.

Нижняя граница определяется тем, что в минимальной по численности анализируемой подгруппе должно быть несколько десятков человек (не менее 30), поскольку по ответам попавших в эту подгруппу необходимо сделать обоснованные заключения, например, о предпочтениях соответствующей подгруппы в со-вокупности всех потребителей растворимого кофе. Учитывая деление опрашиваемых на продавцов и покупателей, на мужчин и женщин, на четыре градации по возрасту и восемь — по роду занятий, наличие 5– 6 подсказок во многих вопросах, приходим к выводу о том, что в рассматриваемом проекте объем выборки должен быть не менее 400– 500. Вместе с тем существенное превышение этого объема было признано нецелесообразным, поскольку исследование являлось пилотным.

Поэтому в проекте «Потребители растворимого кофе» объем выборки был выбран равным 500. Анализ полученных результатов позволяет утверждать, что в соответствии с целями исследования выборку следует считать репрезентативной.

1.4. два прикладных выборочных исследования

Продолжим обсуждение выборочного исследования потреби-телей растворимого кофе.

Организация опроса. Интервьюерами работали молодые люди — студенты первого курса экономико-математического факультета Московского государственного института электрони-ки и математики (технического университета) и лицея No.1140,

�2

проходившие обучение по экономике, всего 40 человек, имеющих специальную подготовку по изучению рынка и проведению марке-тинговых опросов потребителей и продавцов (в объеме 8 часов). Опрос продавцов проводился на рынках г. Москвы, действующих в Лужниках, у Киевского вокзала и в других местах. Опрос покупа-телей проводился на рынках, в магазинах, на улицах около киосков и ларьков, а также в домашней и служебной обстановке.

Большое внимание уделялось качеству заполнения анкет. Интервьюеры были разбиты на шесть бригад, бригадиры персо-нально отвечали за качество заполнения анкет. Второй уровень контроля осуществляла специально созданная «группа органи-зации опроса», третий происходил при вводе информации в базу данных. Каждая анкета заверена подписями интервьюера и брига-дира, на ней указано место и время интервьюирования. Поэтому необходимо признать высокую достоверность собранных анкет.

Обработка данных. В соответствии с целью исследования основной метод первичной обработки данных — построение частотных таблиц для ответов на отдельные вопросы. Кроме того, проводилось сравнение различных групп потребителей и продавцов, выделенных по социально-демографическим данным, с помощью критериев проверки однородности выборок (см. ниже). При более углубленном анализе применялись различные методы статистики объектов нечисловой природы (более 90% маркетинго-вых и социологических данных имеют нечисловую природу [4]). Использовались средства графического представления данных.

Итоги опроса.Итак,позаданиюоднойизторговыхфирмбыли изучены предпочтения покупателей имелкооптовыхпродавцоврастворимогокофе.Совместноспредставителямизаказчикабылсоставленопросныйлист(анкетатипасоцио-логической) из 16 основных вопросов и � дополнительных,посвященныхсоциально-демографическойинформации.Опроспроводилсявформеинтервьюс500покупателямиипродавца-микофе.Местаопроса —рынки,лотки,киоски,продуктовыеи специализированныемагазины.Другими словами, былиохваченывсевидыместпродажкофе.Интервьюпроводилиболее�0специальноподготовленных(примернопо8-часовойпрограмме)студентов,разбитыхна7бригад.Послетщательнойпроверкибригадирамиигруппойобработкиинформациябыла

��

введенавспециальносозданнуюбазуданных.Затемпроводи-ласьразнообразнаястатистическаяобработка,строилисьтабли-цыидиаграммы,проверялисьстатистическиегипотезыит.д.Заключительныйэтап —осмыслениеиинтерпретацияданных,подготовкаитоговогоотчетаипредложенийдлязаказчиков.Технология организации и проведения маркетинговых

опросовлишьнезначительноотличаетсяоттехнологиисоци-ологических опросов,многократно описанной в литературе.Так,мыпредпочли использовать полуоткрытые вопросы, вкоторых для опрашиваемого дан перечень подсказок, а прижеланиионможетвысказатьсвоемнениевсвободнойфор-ме.Неуложившихсявподсказкиоказалосьоколо5% ,ихмнениябыливнесенывбазуданныхианализировалисьдо-полнительно.Дляповышениянадежностиопросаонаиболееважных с точки зрениямаркетингамоментах спрашивалосьвнесколькихвопросах.Быливопросы —ловушки, спомо-щьюкоторыхконтролировалась«осмысленность»заполненияанкеты.Например,ввопросе:«ЧтоВыценитевкофе:вкус,аромат,крепость,наличиепенки...»ловушкойявляетсявклю-чение «крепости» — ясно, что крепость зависит не от кофесамогопосебе,аотегоколичествавчашке.Вловушкуниктоиз500непопался —никтонеотметил«крепость».Этотфактсвидетельствуетонадежностивыводовпроведенногоопроса.Мысчиталинецелесообразнымзадаватьвопрособуровнедо-ходов(посколькувбольшинствеслучаевотвечают«средний»,чтоневозможносвязатьсопределеннойвеличиной).Вместотакоговопросамыспрашивали:«КакчастоВыпокупаетекофе:померенадобностиилиповозможности?».Посколькукофенеявляетсядефицитнымтоваром,первыйответсвидетельство-валоналичиидостаточныхденежныхсредств,второй —обихограниченности(потребительневсегдаимелвозможностьпозволитьсебекупитьбанкурастворимогокофе).Стоимость подобных исследований — 5–10 долларов

СШАна одного обследованного.При этом трудоемкость (истоимость)начальнойстадии —подготовкианкетыиинтер-вьюеров,пробныйопросидр. —�0%отстоимостиисследо-вания.Стоимостьнепосредственноопроса —тоже�0%,вводинформациивкомпьютерипроведениерасчетов,построение

��

таблициграфиков —20%,интерпретациярезультатов,подго-товкаитоговогоотчетаипредложенийдлязаказчиков —20%.Такимобразом,стоимостьсобственноопросавдваслишнимразаменьшестоимостиостальныхстадийисследования.Иввыполненииработыучаствуютразличныеспециалисты.Напер-войстадии —восновномнужнывысококвалифицированныеаналитики.Навторой —многочисленныеинтервьюеры,вроликоторыхмогутвыступатьстудентыишкольники,прошедшиеконкретныйкурсобученияв8–10часов.Натретьей —работаскомпьютером(надоуметьстроитьиобсчитыватьэлектрон-ныетаблицыилибазыданных,использоватьстатистическиепакеты,составлятьипечататьтаблицыидиаграммыит.п.).Начетвертой —опятьвосновномнужнывысококвалифици-рованныеаналитики.Приведемнекоторыеизполученныхрезультатов.а)Вотличиеотзападныхпотребителей,отечественныене

отдавали предпочтения стеклянным банкампо сравнению сжестяными.Посколькужестяныебанкидешевлестеклянных,томожнобылопорекомендовать (в199�г.,когдапроходилопрос)сцельюснижениярасходовзакупкукофевжестяныхбанках.б)Отечественныепотребителиготовыплатитьна10–20%

большезаэкологическибезопасныйкофеболеевысокогокачес-тва,имеющийсертификатМинздраваисимволэкологическойбезопасностинаупаковке.в)Среднийобъемпотреблениярастворимогокофеодной

семьей —850гвмесяц.г)Потребителирастворимогокофемогутбытьразделены

наклассы (вдругойтерминологии —кластеры).Есть «про-двинутые» потребители, обращающие большое внимание накачествоиэкологическуюбезопасность,маркуистранупроиз-водства,терпимоотносящиесякизменениюцены.Эти«тонкиеценители» —восновномженщиныот�0до50лет,служащие,менеджеры, научные работники, преподаватели, врачи (т.е.лицасвысшимобразованием),пьющиекофекакдома,такинаработе,причем«кофейныйритуал»зачастуювходитвпроце-дуруделовыхпереговоровилисовещаний.Противоположныйпопотребительскомуповедениюкласссостоитизмужчиндвух

�5

крайнихвозрастныхгрупп —школьниковипенсионеров.Длянихважнатолькоцена,чтоочевиднымобразомобъясняетсянедостаткомденег.Результатыбылииспользованызаказчикомврекламной

кампании.Вчастности,обращалосьвниманиенасертификатМинздраваинаэкологическуюбезопасностьупаковки.

Оценивание функции спроса и моделирование рынка. Выпускникпрограммы«Топ-менеджер»АкадемиинародногохозяйстваприПравительствеРоссийскойФедерацииА.А.Пи-веньв200�г.оценилфункциюспросанапродукциюсвоегопредприятия.Расчетиустановлениеоптимальнойценынаиз-делиесточкизрениямаксимизацииприбылибылпроизведенпоописанномувышеметоду.Втабл.1.6приведенафункцияожидаемого спроса в зависимости от цены.Как подсчиталА.А.Пивень, уровень издержек на производство 1 изделиясоставляет�282�,7руб.(1�50у.е.).Дляудобствавсерасчетыбудемпроизводитьвусловныхединицах.

Т а б л и ц а 1 . 6

Функция ожидаемого спроса в зависимости от цены

№п/п

Цена,у.е.

Объемпродажвгод,шт.

Издержкинаобъ-емпроизводства

Выручка,у.е.

Прибыль,у.е.

1 1�00 1600 2160000 22�0000

80000

2 1500 1500 2025000 2250000

225000

� 1600 1200 1620000 1920000

�00000

� 1700 1000 1�50000 1700000

�50000

5 1800 720 972000 12�6000

�2�000

6 1900 500 675000 950000 275000

7 2000 �20 ��2000 6�0000 208000

8 2100 170 229500 �57000 127500

9 2200 110 1�8500 2�2000 9�500

�6

Каквидноизприведенныхрасчетов,оптимальнаяценанаподъемникдолжнанаходитьсявдиапазоне1600–1700у.е.Наосновемногомернойрегрессионнойзависимостимето-

домнаименьшихквадратов(см.нижеглаву�)былапостроенаматематическаямодельрынка.Онадовольноточноотражаетреальноеположениедел.Приисходнойцене1650у.е.прода-жиориентировочнодолжнысоставить1010шт.Нарис.1.1приведенакриваяспроса.Этирасчетыбылисделаныпридопущении,чтоиздержки

неменяются в течение длительного промежутка времени.Однако, в реальных условиях постоянный рост стоимостиэнергоресурсов и непрекращающаяся инфляция издержек(ростзатратнасырье,материалы,комплектующиеизделия,рабочую силу) приводит к увеличению издержек.ПоэтомуА.А. Пивеньпроанализировалоптимальныйобъемвыпускаприихразличныхзначениях.Данныеегорасчетовприведенывтабл.1.7.Посколькуинфляциявнашейстране(см.нижеглаву�)заметноискажаетстоимостныехарактеристики,используемдляихописанияусловныеединицы(у.е.).

Т а б л и ц а 1 . 7

Прибыль в зависимости от цены и издержек

№п/п

Цена,у.е.

Объемпродаж,шт.

Прибыль(тыс.у.е.)прииздержкахнаединицупродукции,у.е.

1�50 1�00 1�50 1500 1550 1600 1650 1700

1 1�00 1600 80 0 - - - - - -

2 1500 1500 225 150 75 0 - - - -

� 1600 1200 �00 2�0 180 120 60 0 - -

� 1700 1000 �50 �00 250 200 150 100 50 0

5 1800 720 �2� 288 252 216 180 1�� 108 72

6 1900 500 275 250 225 200 175 150 125 100

7 2000 �20 208 192 176 160 1�� 128 112 96

8 2100 170 119 102 9�,5 85 76,5 68

9 2200 110 9�,5 88 82,5 77 71,5 66 60,5 55

�7

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0200

400

600

800

1000

1200

14001600

1800

Цена,у.е.

Объем,шт

Рис

.1.1

.Криваяспросанаизделие

�8

Для удобства рассмотренные результаты оптимальныхобъемовпроизводстваприсоответствующихценахприведенывтабл.1.8.

Т а б л и ц а 1 . 8

Оптимальные выпуск и цена в зависимости от издержек

Издержки 1�50 1�00 1�50 1500 1550 1600 1650 1700

Оптимальныйвыпуск

1000 1000 720 720 720 500 500 500

Цена 1700 1700 1800 1800 1800 1900 1900 1900

Каквидноизтабл.1.8,увеличениеиздержекведетксни-жениюоптимальноговыпускаприростецены.Хотяизменениеиздержек на 50 у.е.может не сразу привести к изменениюцены.Необоснованнаяценаможет“переключить”большуюгруппупотребителейнадругое,аналогичноеизделие,имеющеесходныйпоуровнюнабортехническиххарактеристик,ноболеенизкуюрыночнуюцену.По даннымфункции спроса (табл.1.7) проведем расчет

эластичности спроса по цене.Под ценовой эластичностьюспросапонимаетсястепеньреагированиярыночногоспросанаизменениецен.Вклассическомпониманииэластичностьспросапоценепоказывает,насколькоизменитсяобъемспросаприизмененииценына1%.Спросквалифицируетсякакэластич-ный,еслипонижениеценывызываеттакойростоборота,прикотором увеличение объема продаж с лихвой компенсируетболеенизкиецены.Еслижепонижениецены,приводякне-которомуувеличениюобъемапродаж,темнеменее,неведеткувеличениюоборотаилидажеуменьшаетего,тотакойспросназываетсянеэластичным.Коэффициентценовойэластичностиспросаопределяетсяпоформуле:

1 2

1 2

1 2

1 2

( )( )

,( )

( )ЦЭС

Q QQ Q

КP P

P P

−+= −+

гдеQ1,Q2 —значенияобъемапродаж;P1,P2 —значенияценыизделия.

�9

ВрассматриваемомслучаеKЦЭСбудетразличеннапротя-жении всейфункции спроса (рис.1.1).Однако, произведемрасчетнатойчастикривой(втомдиапазоне),гдеприсутствуетрасчетнаяценаподъемника,аименно:Q1=1200шт.;Q2=720шт.;P1=1600у.е.;P2=1800у.е.Вэтомслучае

(1200 720) (1200 720)

�,25.(1600 1800) (1600 1800)ЦЭСК

− += = −− +

КоэффициентKЦЭСимеетотрицательныйзнакиабсолют-нуювеличину,значительнопревышающую1.Этоговоритосильнойобратнойзависимостиобъемовпродажотцены.Спроснаподъемникэластичен.Валоваявыручкаувеличиваетсяприсниженииценыиуменьшаетсяприееповышении.Компаниинеобходимобытьготовойктому,чтопокупателиоченьчуткореагируютнавсякоеповышениеценынаизделиезначитель-нымснижениемобъемовзакупок.КакотмечаетА.А.Пивень,снижениеэластичностиспросанаизделиевозможнотолькоприобщемростеблагосостояниянаселениястраныивчастности,значительногоростадоходнойчастибюджетовпромышленныхпредприятий.

1.5. Проверка однородности двух биномиальных выборок

Проверкаоднородности —однаизбазовыхпроблем,ре-шаемыхстатистическимиметодами.Оначастообсуждаетсявлитературе,аметодыпроверкиоднородностиприменяютсяприрешениимногихпрактическихзадач.Например,каксравнитьдвегруппы —мужчиниженщин,молодыхипожилых,ит.п.?Вмаркетингеэтоважнодлясегментациирынка.Еслидвегруп-пынеотличаютсяпоответам,значит,ихможнообъединитьводинсегментипроводитьпоотношениюкнимоднуитужемаркетинговуюполитику,вчастности,осуществлятьодниитежерекламныевоздействия.Еслижедвегруппыразличаются,тоиотноситьсякнимнадопо-разному.Это —представители

�0

двухразныхсегментоврынка,требующихразногоподходаприборьбезаихзавоевание.

Обсуждаемая далее постановка задачи в статистических тер-минах такова. Рассматривается вопрос с двумя возможными отве-тами, например, «да» и «нет». В первой группе из n1 опрошенных m1 человек сказали «да», а во второй группе из n2 опрошенных m2 сказали «да». В вероятностной модели предполагается, что m1 и m2 — биномиальные случайные величины B(n1, p1) и B(n2, p2) соответственно. Запись B(n, p) означает, что случайная величина m имеет биномиальное распределение с параметрами n — объем выборки и p — вероятность определенного ответа (скажем, ответа «да»). Такая случайная величина может быть представлена в виде суммы m = X1 + X2 +…+Xn , где случайные величины X1, X2,…, Xn независимы, одинаково распределены, принимают два значения 1 и 0, причем Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1-р, i=1,2,…,n.Однородностьдвухгруппозначает,чтосоответствующие

имвероятностиравны,неоднородность —чтоэтивероятностиотличаются.Втерминахприкладнойматематическойстатис-тики задача ставится так: необходимо проверить гипотезуоднородности H0: p1 = p2

приальтернативнойгипотезеоналичииэффекта

H1:p1 ≠p2

(Иногдапредставляютинтересодносторонниеальтернатив-ныегипотезы '

1 1 2:H p p>

и "1 1 2:H p p< .)

Оценкой вероятности р1 является частота р1*=m1/n1, аоценкой вероятности р2 является частота р2*=m2/n2 . Дажепри совпадении вероятностей р1 и р2 частоты, как правило,различаются.Какговорят,«почистослучайнымпричинам».Рассмотримслучайнуювеличинур1* — р2*.Тогда

M(р1* – р2*) = р1 – р2, D(р1* – р2*) = = р1 (1 – р1)/n1 + р2(1–р2)/n2.

�1

Из теоремыМуавра-Лапласа и теоремы о наследованиисходимости(см.«Приложение1»кнастоящемуучебникуили[�,п.2.�])следует,что

1 2

* * * *1 2 1 2

* *,1 2

( )lim ( ),

( )n n

p p M p pP x x

D p p→∞ →∞

− − − ≤ = Φ −

гдеΦ(x) —функциястандартногонормальногораспределениясматематическим ожиданием 0 и дисперсией 1.Для прак-тического применения этого соотношения следует заменитьнеизвестнуюстатистикудисперсиюразностичастотнаоценкуэтойдисперсии:

D*(р1* – р2*) = р*1(1 – р*1)/n1 + р*2 (1–р*2)/n2.

(Могутиспользоватьсяидругиеоценкирассматриваемойдисперсии, например, при справедливости нулевой гипоте-зы —пообъединеннойвыборке.)Спомощьюуказаннойвышематематическойтехникиможнопоказать,чтопритакойзаменепредельноераспределениенеменяется:

1 2

* * * *1 2 1 2

* *,1 2

( )lim ( ).

* ( )n n

p p M p pP x x

D p p→∞ →∞

− − − ≤ = Φ −

При справедливости гипотезы однородности (т.е. приотсутствии эффекта)M(р1* — р2*) = 0. Поэтому правилопринятиярешенияприпроверкеоднородностидвухвыбороквыглядиттак:1.Вычислитьстатистику

* *1 2

* * * *1 1 2 2

1 2

.(1 ) (1 )

p pQ

p p p pn n

−=

− −+

2.Сравнитьзначениемодулястатистика|Q|сграничнымзначениемK.Если|Q|7K,топринятьгипотезуоднородностиH0.Еслиже|Q|>K,тозаявитьоботсутствииоднородностиипринятьальтернативнуюгипотезуH1.

�2

ГраничноезначениеКопределяетсявыборомуровнязна-чимостистатистическогокритерияпроверкиоднородности.Изприведенныхвышепредельныхсоотношенийследует,чтоприсправедливостигипотезыоднородностиH0дляуровнязначи-мостиα=P(|Q|>K)имеем(приn1→∝,n2→∝)

α →1–Φ(K)+Φ(–K)=2–2F(K)

Следовательно,граничноезначениевзависимостиотуров-нязначимостицелесообразновыбиратьизусловия

1( ) 1 .

2K K − α = α = Φ −

ЗдесьΦ—1(·) —функция,обратнаякфункциистандартного

нормальногораспределения.Всоциально-экономическихис-следованияхнаиболеераспространен5%уровеньзначимости,т.е.α=0,05.ДлянегоК=1,96.

Пример 2. Пустьвпервойгруппеиз500опрошенныхмуж-чинответили«да»200,авовторойгруппеиз700опрошенныхженщинсказали«да»�50.Естьлиразницаподолеотвечающих«да»междугенеральнымисовокупностями,представленнымиэтимидвумягруппами?Дляустановлениявзаимопониманиясмаркетологомуберем

изформулировкипримераотносящийсяктеориистатистикитермин «генеральная совокупность». Получим следующуюпостановку.Пустьиз500опрошенныхмужчинответили«да,ялюблю

пепси-колу»200,аиз700опрошенныхженщин�50сказали«да,ялюблюпепси-колу».Естьлиразницамеждумужчинамииженщинамиподолеотвечающих«да»навопросолюбвикпепси-коле?Врассматриваемомпримеренужныедлярасчетоввеличины

таковы:n1=500,p*1=200/500=0,�;n21=700,p*2=�50/700=0,5.Вычислимстатистику

��

0,� 0,5 0,1 0,1

0,� 0,6 0,5 0,5 0,2� 0,25 0,000�8 0,000�571500 700 500 7000,1 0,1

�,�5.0,0290,0008�71

Q− − −

= = =⋅ ⋅ +

+ +

− −= = = −

0,� 0,5 0,1 0,1

0,� 0,6 0,5 0,5 0,2� 0,25 0,000�8 0,000�571500 700 500 7000,1 0,1

�,�5.0,0290,0008�71

Q− − −

= = =⋅ ⋅ +

+ +

− −= = = −

Поскольку|Q|=�,�5>1,96,тонеобходимоотклонитьнулевуюгипотезуипринятьальтернативную.Такимобразом,мужчиныиженщиныотличаютсяпорассматриваемомупри-знаку —любвикпепси-коле.Необходимоотметить, чторезультатпроверки гипотезы

однородностизависитнетолькоотчастот,ноиотобъемоввыборок.Предположим,чточастоты(доли)зафиксированы,аобъемывыборокрастут.Тогдачислительстатистики Qнеменя-ется,азнаменательуменьшается,значит,всядробьвозрастает.Посколькузнаменательстремитсяк0,тодробьвозрастаетдобесконечностиираноилипозднопревзойдетлюбуюграницу.Естьтолькоодноисключение —когдавчислителестоит0.Следовательно,пристрогомподходекформулировкамвыводстатистикадолженвыглядетьтак:«различиеобнаружено»или«различиенеобнаружено».Вовторомслучаеразличие,возмож-но,былобыобнаруженоприувеличенииобъемоввыборок.Какидлядоверительногооцениваниявероятности,воВЦИ-

ОМразработаныдвеполезныетаблицы,позволяющиеоценитьвызванныечистослучайнымипричинамидопустимыерасхож-дениямеждучастотамивгруппах.Этитаблицырассчитаныпривыполнениинулевойгипотезыоднородностиисоответствуютситуациям,когдачастотыблизкик50%(табл.1.9)илик20%(табл.1.10).Еслинаблюдаемыечастоты —от�0%до70%,торекомендуетсяпользоватьсяпервойизэтихтаблиц,еслиот10%до�0%илиот70%до90%—товторой.Еслинаблюдаемыечастотыменьше10%илибольше90%,тотеоремаМуавра-Лап-ласаиоснованныенанейасимптотическиеформулыдаютнеоченьхорошиеприближения,целесообразноприменятьиные,более продвинутыематематические средства, в частности,приближенияспомощьюраспределенияПуассона.

��

В условиях разобранного выше примера табл.1.9 даетдопустимое расхождение 7%.Действительно, объемпервойгруппы500отсутствуетвтаблице,ностроки,соответствующиеобъемам�00и600,совпадаютдляпервыхдвухстолбцовслева.Этистолбцысоответствуютобъемамвторойгруппы750и600,междукоторымирасположенобъем700,данныйвпримере.Онближек750,поэтомуберемвеличинурасхождения,стоящуюнапересечениипервого столбцаи второй (и третьей) строк,т.е.7%.Посколькуреальноерасхождение(10%)больше,чем7%,тоделаемвыводоналичиизначимогоразличиямеждугруппами.Естественно,этотвыводсовпадаетсполученнымранеерасчетнымпутем.

Т а б л и ц а 1 . 9

Допустимые расхождения (в %) между частотами в двух группах, когда наблюдаются частоты от 30% до 70%

Объемыгрупп 750 600 �00 200 100

750 6 7 7 10 12

600 7 8 8 11 1�

�00 7 8 10 11 1�

200 10 11 11 1� 16

100 12 1� 1� 16 18

Т а б л и ц а 1 . 1 0

Допустимые расхождения (в %) между частотами в двух группах, когда наблюдаются частоты от 10% до30% или от 70% до 90%

Объемыгрупп 750 600 �00 200 100

750 5 5 6 8 10

600 5 6 7 8 10

�00 6 7 8 9 11

200 8 8 9 10 12

100 10 10 11 12 1�

Какивслучаетабл.1.5, значениявтаблицах1.9и1.10несколькобольше,чемрассчитанныепоприведеннымвышеформулам.Дело в том, что таблицыВЦИОМсвязаныне с

�5

уровнемзначимостиα=0,05,асуровнемзначимостиα=0,01,которомусоответствуетграничноезначение2,58.Допустимое расхождение∆=∆(α) между частотами

нетрудно получить расчетнымпутем.Для этого достаточновоспользоватьсяформулой для статистикиQ и определить,прикакоммаксимальномрасхождениичастотвсеещеделаетсявыводотом,чтовернагипотезаоднородности.Следовательно,допустимоерасхождение∆=∆(α)находитсяизуравнения

* * * *1 1 2 2

1 2

( )( ) .

(1 ) (1 )K

p p p pn n

∆ αα =

− −+

Такимобразом,

* * * *1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )( ) ( ) .

p p p pK

n n− −

∆ α = α +

Дляданныхпримера2∆=∆(α)=1,96×0,029=0,057,или5,7%,дляуровнязначимости0,05.Длядругихуровнейзначимостинадоиспользоватьдругие

коэффициентыK(α).Так,K(0,01)=2,58дляуровнязначимости1%иK(0,10)=1,6�дляуровнязначимости10%.Дляданныхпримера∆=∆(α)=2,58×0,029=0,7�82≈0,075,или7,5%,дляуровнязначимости0,01.Еслиокруглитьдоближайшегоцелогочислапроцентов,тополучим7%,какприиспользованиитаблицы9выше.Анализтаблиц1.9и1.10показывает,чтодляобнаружения

эффекта (констатацииразличиягенеральныхсовокупностей)частотыдолжныотличатьсянеменеечемна6%.Априне-которых объемах выборок — более чем на 10%, например,приобъемахвыборок100и100 —на19%.Еслижечастотыотличаютсяна5%илименее,можносразусказать,чтоста-тистическийанализприведетквыводуотом,чторазличиенеобнаружено(длявыборокобъемовнеболее750).В связи со сказаннымвозникает вопрос: каково типовое

отличиечастотвдвухвыборкахизоднойитойжесовокуп-

�6

ности?Разностьчастотвэтомслучаеимеетнулевоематема-тическоеожиданиеидисперсию

1 2

1 2 1 2

1 1 (1 )( )(1 ) .

p p n np p

n n n n− + − + =

Величинар(1-р)достигаетмаксимумаприр =1/2,иэтот

максимумравен1/�.Еслир =1/2,аобъемыдвухвыбороксовпадаютиравны500,тодисперсияразностичастотравна

2 0,25 1000 250 1.

500 500 250 1000 1000×

σ = = =× ×Следовательно,среднееквадратическоеотклонениеσрав-

но0,0�2,или�,2%.Посколькудлястандартнойнормальнойслучайнойвеличиныв50%случаевеезначениенепревосходитпомодулю0,67(ав50%случаев —больше0,67),тотиповойразбросравен0,67 σ,аврассматриваемомслучае —2,1%.Приведенные соображения дают возможность построить

методконтроляправильности(корректности)проведенияпов-торныхопросов.Есличастотыизлишнеустойчивы,значенияприповторныхопросахслишкомблизки —этоподозрительно!Возможно,нарушеныправилапроведенияопросов,выборкинеявляютсяслучайными,ответыфальсифицированы,ит.д.

литература

1.Большев Л.Н., Смирнов Н.В.Таблицыматематическойстатис-тики. —М.:Наука,198�. —�16с.2.ОпытпримененияЭВМвсоциологическихисследованиях. —

М.:Институт социологических исследованийАНСССР,Советскаясоциологическаяассоциация,1977. —158с.�.Орлов А.И.Устойчивость в социально-экономическихмоде-

лях. —М.:Наука,1979. —296с.�.Орлов А.И.Общийвзгляднастатистикуобъектовнечисловой

природы. —Всб.:Анализнечисловойинформациивсоциологическихисследованиях. —М.:Наука,1985. —С.58–92.5.Орлов А.И.Прикладнаястатистика. —М.:Экзамен,2006. —

671с.6.Сэндидж Ч., Фрайбургер В., Ротцолл К. Реклама: теория и

практика:Пер.сангл. —М.:Прогресс,1989. —6�0с.

�7

7. Ядов В.А.Стратегии иметоды качественного анализа дан-ных. —Журнал«Социология:методология,методы,математическиемодели».1991.№1.С.1�–�1.

Контрольные вопросы и задачи

1.Почемувыборочныеисследованиянеобходимыдлярешениямногихпрактическихзадач?2.ИзпартиипродукцииобъемаN=100изделий,содержащей

D=10дефектныхизделий,извлекаютвыборкуобъемаn=5.Длябиномиальнойигипергеометрическоймоделейвыборкирассчитайтераспределениячисладефектныхизделийввыборке,постройтеисрав-нитефункциираспределения.�.Какова роль теоремыМуавра-Лапласа в теории выборочных

исследований?Взадачах�–8выберитенаиболееподходящийвариантответа.�.Прикакойценемаксимальнаприбыльвусловияхпункта1.1,

еслииздержки(оптоваяценатовара)равны12?А)�0; Б)�2; В)�5.5.Приисследованиипредпочтенийпотребителейоткрытыевоп-

росы:А)труднеедляопрашиваемых,нолегчедляобработки;Б)легчедляопрашиваемых,нотруднеедляобработки.6.Пустьиз 657 опрошенных289 сказали «да».Доверительный

интервал для доли отвечающих «да» в генеральной совокупности,соответствующийдоверительнойвероятности0,95,таков:А)[0,2�5;0,�98];Б)[0,��5;0,��5];В)[0,�05;0,556];Г)[0,�02;0,�78];Д)[0,2�7;0,6��].7.Из51�юношей19�любят«Сникерс»,аиз7�8девушек —�27.

ЗначениестатистическогокритерияQдляпроверкигипотезыоравенс-твевероятностейравно:А)�,�8; Б)–2,176; В)0,25;Г)12,56; Д )

–0,17�.8.Вусловияхзадачи7гипотезаободинаковойпривлекательности

«Сникерса»дляюношейидевушек(науровнезначимости0,05):А)принимается; Б)отклоняется.9.Какпонятиедопустимогорасхождениямеждучастотамиможно

использоватьприпланированиивыборочныхисследований?10. Рассчитайте коэффициент ценовой эластичности спроса по

даннымтабл.1.1приценер=�5иприценер=�0.

�8

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1.ПроведитевыборочноеисследованиесцельюпостроенияоценкифункцииожидаемогоспросанавыбранныйВамитовар(услугу).2.Найдитеадекватноеприближениефункцииспросавтабл.1.1с

помощьюметоданаименьшихквадратов.�.Постройте экономико-математическуюмодель оптимизации

ценыпризаданныхфункцияхспроса(взависимостиоцены)ииздержек(взависимостиотвыпуска).�.Сопоставьтетеориюквотнойвыборкистеориейпростойслу-

чайнойвыборки.5.Рассмотритестатистическуютеориюдоверительногооценива-

нияипроверкигипотезоравенствевероятностейвслучаенесколькихвозможныхответов(соответственно,сиспользованиеммультиноми-альногораспределениявместобиномиального).6.Вкакихслучаяхможетбытьиспользованатеориямалыхвыбо-

рок(теоремаПуассона)длядоверительногооцениваниявероятностиопределенногоответа?

�9

Глава 2

ПроВерКа однородносТи

Впоследнемразделепредыдущейглавышларечьопроверкеоднородностидвухбиномиальныхвыборок.Внастоящейглавепродолжимобсуждатьпроблемуоднородности —рассмотримсистемуэконометрическихмоделейиметодов,предназначен-ныхдляпроверкиоднородностидвухнезависимыхвыборок.Подобные системы разработаны в прикладной статистике[21]длярешениямногихиныхзадачстатистическогоанализаданных,однакообъемнастоящегоучебниканепозволяетпро-вестиподробныйразборвсехтакихзадачисистем.Настоящуюглавуследуетрассматриватькакпримерразработкисистемыэконометрическихмоделейиметодов,предназначеннойдлярешенияопределеннойзадачи.

2.1. система моделей проверки однородности двух независимых выборок

Вприкладныхисследованиях часто возникает необходи-мостьвыяснить,различаютсялигенеральныесовокупности,изкоторыхвзятыдвенезависимыевыборки.Например,надовыяснить, зависят ли от способа упаковки потребительские

50

качества подшипников, измеренные через год после хране-ния.Или:влияетлисистемаоплатынапроизводительностьтруда.В математико-статистических терминах постановка за-

дачи такова: имеются две выборки x1, x2,...,xm и y1, y2,...,yn,требуетсяпроверитьиходнородность.Напомним,чтовыбор-камоделируется как совокупность независимых одинаковораспределенныхслучайныхвеличин.Термин«однородность»уточняетсяниже.Противоположнымпонятиемявляется«различие»(или«на-

личиеэффекта»).Можнопереформулироватьзадачу:требуетсяпроверить,естьлиразличиемеждувыборками.Еслиразличиянет,тодлядальнейшегоизучениядверассматриваемыевы-боркичастообъединяютводну.Например, вмаркетинге важно выделить сегментыпот-

ребительского рынка. Если установлена однородность двухвыборокмненийпотребителей,товозможнообъединениесег-ментов,изкоторыхэтивыборкивзяты,водин.Вдальнейшемэтопозволитосуществлятьпоотношениюкнимодинаковуюмаркетинговуюполитику(проводитьодниитежерекламныемероприятияит.п.).Еслижеустановленоразличие,топове-дениепотребителейвдвухсегментахразлично,объединятьэтисегментынельзя,имогутпонадобитьсяразличныемаркетин-говыестратегии,своядлякаждогоизэтихсегментов.

Вероятностная модель порождения данных. Дляобосно-ванноговыбораипримененияорганизационно-экономических(эконометрических, статистических) методов необходимопреждевсегопостроитьиобосноватьвероятностнуюмодельпорожденияданных.Припроверкеоднородностидвухвыборокобщепринятамодель,вкоторойx1, x2, ..., xm рассматриваютсякакрезультатыmнезависимыхнаблюденийнекоторойслучай-нойвеличиныХ сфункциейраспределенияF(x),неизвестнойстатистику,аy1, y2, ..., yn —какрезультатыпнезависимыхнаблюдений,вообщеговоря,другойслучайнойвеличиныYсфункциейраспределенияG(x),такженеизвестнойстатистику.Предполагается также, что наблюдения в одной выборке независятотнаблюденийвдругой,поэтомувыборкииназываютнезависимыми.

51

Возможностьприменениямоделивконкретнойреальнойситуации требует обоснования. Независимость и одинако-вая распределенность результатов наблюдений, входящих ввыборку,могут быть установленыили исходя изметодикипроведения конкретных наблюдений, или путем проверкистатистическихгипотезнезависимостииодинаковойраспре-деленностиспомощьюсоответствующихкритериевпроверкистатистическихгипотез[2].Еслипроведено(т+п)измеренийобъемовпродажв(т+п)

торговых точках, то описаннуювышемодель, какправило,можноприменять.Еслиже,например,xiиyi —объемыпродажодногоитогожетоварадоипослеопределенногорекламноговоздействия,торассматриваемуюмодельприменятьнельзя,посколькуочевидно,чтоэтиобъемыпродажопределяютсянетолькоинестолькорекламнымвоздействием,сколькоосо-бенностями конкретной торговой точки (ее расположением,продолжительностьюработы,репутациейит.д.).Впоследнемслучаеиспользуютмодельсвязанныхвыборок.Внейобычностроятновуювыборкуzi = xi —yi ииспользуютстатистическиеметодыанализаоднойвыборки,анедвух.Методыпроверкиод-нородностидлясвязанныхвыборокрассматриваютсяв[21].Придальнейшемизложениипринимаемописаннуювыше

вероятностнуюмодельдвухвыборок.Классификация моделей по типам данных.Впредыду-

щей главе рассматривались результаты измерений по аль-тернативнымпризнакам.Каждоеизчисел xi иyiпринималоодно из двух значений, для определенности, 0 или 1.Еслиреспондентдаетответ«да»навопросанкеты,тоxi=1,еслиегоответ —«нет»,тоxi=0.Такиепризнакиназываюттакжедихотомическимиилибинарными.Распределениеэлементовпервойвыборкиx1, x2, ..., xmописываетсяоднимчисломP(xi=1)=p1.Распределениеэлементоввторойвыборкиy1, y2, ..., ynтакжеописываетсяоднимчисломP(yi=1)=p2.ПроверкаоднородностидвухнезависимыхвыбороксостоитвпроверкестатистическойгипотезыH0: p1 = p2приальтернативнойгипо-тезеоналичииэффектаH1:p1 ≠ p2.МетодпроверкигипотезыH0разобранвконцепредыдущейглавы.Естьидругиеметоды

52

проверкиэтойгипотезы,основанныенаиспользованиииныхстатистик[16].Обобщением альтернативного признака является такой,

значением которого является элемент некоторого конечногомножества.Например,респондентвыбираетнеиздвухответов(«да»или«нет»),аизтрех(«да»,«нет»,«можетбыть»).Пустьмножествозначенийсостоитизkэлементов(ихчастоназываютградациямипризнака).Занумеруемихнатуральнымичисламиj=1,2,…,k.Дляпростотызаписибудемсчитать,чтоэлементвыборки —этономерзначения(градации),котороепринимаетпризнак.Тогдараспределениеслучайногоэлементовдвухвы-бороксозначениямиводномитомжеконечноммножествеописываетсявероятностями

P(xi=j)=pj(1),P(yi=j)=pj(2),j =1,2,…,k.

Таким образом, в отличие от альтернативного признакакаждоераспределениезадаетсянеодномчислом,аkчислами,неотрицательнымиивсуммесоставляющими1,такчто«сво-бодныхпараметров»всего(k —1).Подобные k-значные признаки обычно возникают при

измеренияхпокачественнымшкалам(наименованийипоряд-ковой —см.главу6ниже).Однакоиногдаонивозникаютврезультатегруппировкизначенийколичественных(числовых)признаков.Будемназыватьих«признакисконечнымчисломградаций».Проверкаоднородностидлятакихпризнаков —этопроверкасложнойгипотезы

0 : (1) (2), 1,2,...,j jH p p j k= = .

Альтернативную гипотезу наиболее общего видаможнозаписатьтак:

2

11

: ( (1) (2)) 0k

j jj

H p p=

− >∑ .

Третийтипрассматриваемыхздесьданных —количествен-ныепризнаки,значениякоторых —действительныечисла,афункциираспределениянепрерывны.

5�

Уточнения понятия однородности для количественных данных. Понятие«однородность»,т.е.«отсутствиеразличия»,можетбытьформализовановтерминахвероятностноймоделиразличнымиспособами.Наивысшая степень однородности (абсолютная однород-

ность)достигается, еслиобевыборкивзятыизоднойитойжегенеральнойсовокупности,т.е.справедливанулеваяги-потеза

H0:F(x)=G(x) при всех х.

Отсутствиеабсолютнойоднородностиозначает,чтовернаальтернативнаягипотеза,согласнокоторой

H1: F(x0)≠G(x0)

хотябыприодномзначенииаргументаx0. ЕслигипотезаH0принята,товыборкиможнообъединитьводну,еслинет —тонельзя.Внекоторых случаях целесообразно проверять не совпа-

дениефункцийраспределения,алишьсовпадениенекоторыххарактеристик случайных величинХ иY — математическихожиданий,медиан, дисперсий, коэффициентов вариации идр. (однородность тех или иных характеристик).Например,однородностьматематическихожиданийозначает,чтоспра-ведливагипотеза

H’0: M(X)=M(Y),

гдеM(Х)иM(Y) — математическиеожиданияслучайныхвели-чинХиY, результатынаблюденийнадкоторымисоставляютпервую и вторую выборки соответственно.Доказательстворазличиямеждувыборкамиврассматриваемомслучае —этодоказательствосправедливостиальтернативнойгипотезы

H’1: M(X)≠ M(Y).

ЕслигипотезаH0 верна,тоигипотезаH’0верна,ноизспра-ведливостиH’0 ,вообщеговоря,неследуетсправедливостьH0. Математическиеожиданиямогутсовпадатьдляразличающихся

5�

междусобойфункцийраспределения.Вчастности,есливре-зультатеобработкивыборочныхданныхпринятагипотезаH’0,тоотсюдане следует, чтодвевыборкиможнообъединитьводну.ОднаковрядеситуацийцелесообразнапроверкаименногипотезыH’0 . Например,пустьфункцияспросанаопределен-ныйтоварилиуслугуоцениваетсяпутемопросапотребителей(перваявыборка)илиспомощьюданныхопродажах(втораявыборка).Тогдамаркетологуважнопроверитьгипотезуобот-сутствиисистематическихрасхожденийрезультатовэтихдвухметодов,т.е.гипотезуоравенствематематическихожиданий.Другойпример —изпроизводственногоменеджмента.Пустьизучается эффективность управления бригадами рабочих напредприятииспомощьюдвухорганизационныхсхем,резуль-татынаблюдения —объемпроизводствапродукцииилиуслугнаодногочленабригады(производительность),апоказательэффективностиорганизационнойсхемы —средний(попред-приятию)объемпроизводстванаодногорабочего.Тогдадлясравнения эффективности препаратов достаточно проверитьгипотезуH’0 .Иногданужнопроверитьоднородностьдисперсий.Напри-

мер,различаютсялидваспособаизмеренияповеличинеслучай-нойошибки —т.е.подисперсиислучайныхпогрешностей.Рассмотримпроверку однородностидляпризнаков с ко-

нечным числом градаций, а затем — для количественныхпризнаков.

2.2. Проверка согласия и однородности для признаков с конечным числом градаций

Проведемвкачествепримераобработкуданных,относя-щихсякизвестнойвсемтематике.ДональдА.Уиндзорподсчи-тал,сколькоученыхродилосьподкаждымиззнаковЗодиака(журнал «Химия ижизнь», 1976,№�, с.112–11�).Им быливзятыдвенаучныеспециальности —таксономия(т.е.теорияклассификация биологических организмов) имолекулярнаябиология.Результатыприведенывтабл.2.1.

55

Видно,чтоподзнакомОвнародилосьгораздобольшемо-лекулярныхбиологов,чемподлюбымдругим —почтив1,5разабольше,чемприходитсявсреднемнаодинзнакЗодиака.ТаксономистычащерождалисьподзнакомРака,арежевсе-го —подзнакомСкорпиона.ДляэтойспециальностисреднеечислорожденийбольшечисларожденийподзнакомСкорпионапочтив1,6раза,аотношениемаксимальногочиславстолбцетаксономистовкминимальномуравно�8/18≈ 2,1 (!).Развевсе этифактынедоказывают, что специальность ученогоизнакЗодиака,подкоторымонродился,связанымеждусобой,чтомолекулярныебиологи,скажем,неслучайночащевсегорождаютсяподзнакомОвна?

Т а б л и ц а 2 . 1

Специальности ученых и знаки Зодиака их дней рождений

Номер(i) ЗнакЗодиака Количествотаксоно-метристов(mi(1))

Количествомолекулярныхбиологов

(m2i(2))

1 Овен 28 58

2 Телец �0 �2

� Близнецы �1 �9

� Рак �8 �1

5 Лев �2 �2

6 Дева �1 �2

7 Весы 25 �1

8 Скорпион 18 �1

9 Стрелец 27 �0

10 Козерог 25 ��

11 Водолей 26 �5

12 Рыба �1 �6

Всего(ni) ��2 �70

ВсреднемназнакЗодиака(ni/12)

28,5 �9,17

Нет, не доказывают.Почему превышение над среднимуровнем в 1,5 раза считать большим, а, к примеру, в 1,1

56

раза —малым?Можетбыть,ито,идругоевызываетсячислослучайнымипричинами?Кактеорияорганизационно-экономическогомоделирования

рекомендует поступать?Прежде всего необходимо сформу-лироватьгипотезу,которуюбудемпроверять.Илинесколькогипотез.Адляэтогопостроимвероятностно-статистическуюмодель,втерминахкоторойсформулируемгипотезу.Модельнужна,чтобыдальнейшиерасчетыопиралисьнатеориюма-тематическойстатистики.Принимаем, что для каждой из двух генеральных сово-

купностейученых(таксономистовимолекулярныхбиологов)существуют12вероятностейсобытий,состоящихврожденииученогоподопределеннымзнакомЗодиака.Обозначимp1(1)вероятностьтого,чтотаксономистродилсяподзнакомОвна,p2(1) — что он родился под знакомТельца, и так далее доp12(1) —вероятностирожденияподзнакомРыбы(знакиЗо-диакаперенумерованывтабл.2.1).Крометого,считаем,чтоn1=��2изученныхДональдомА.Уиндзоромтаксономиставыбраны из всей совокупности ученых этой специальноститакимспособом,которыйникакнесвязансднямиимесяцамиихрождений —ведьиначемынеможемраспространитьвы-воды,полученныеповыборке,навсюсовокупность.Короче,рассматриваемаявыборкаявляетсяпредставительной.Итак,вероятностно-статистическаямодельтакова.Счита-

ем,чтовстолбцетаксономистовтабл.2.1записанырезультатыn1=��2опытов,проведенныхнезависимодруготдруга, вкаждомизкоторыхосуществляетсяодноиз12событий —свероятностьюp1(1)качественныйпризнакпринимаетзначение1(интерпретируетсякак«родилсяподзнакомОвна),свероят-ностьюp2(1)признакпринимаетзначение2(т.е.«родилсяподзнакомТельца»), и так далее до значения 12 («родился подзнакомРыбы»),котороеэтотпризнакпринимаетсвероятнос-тьюp12(1).Модельдляописаниярезультатовn2=�70опытов,приведенныхвстолбцемолекулярныхбиологов,отличаетсятолькодругимиобозначениямивероятностей,аименно,p1(2),p2(2),…,p12(2)длярожденийподзнакамиОвна,Тельца,…,Рыбысоответственно.

57

Самаяпростаягипотеза,котораяприходитвголову,тако-ва:шансыродитьсяподкаждымзнакомЗодиакаодинаковы.Посколькувсегознаков12,тоимеется1шансиз12родитьсяподзнакомОвна,1шансиз12 —подзнакомТельца,ит.д.Значит,всевероятностиравнымеждусобойипотомуравны1/12.Речьидетонулевыхгипотезах

0 1 2 12

1(1) : (1) (1) ... (1)

12H p p p= = = = ,

0 1 2 12

1(2) : (2) (2) ... (2)

12H p p p= = = = .

Привзгляденатабл.2.1возникает,скажем,гипотеза,чтодля таксономистовp�(1) большеp8(1) (вероятность родитьсяподзнакомРакабольше,чемвероятностьродитьсяподзнакомСкорпиона).Еслиэтагипотезасправедлива,тознакиЗодиаканеявляютсяравноправными,иреальныймирустроенболеесложно, чем в случае равных вероятностей. По принципуэкономиимышления (известентакжекак «бритваОккама»*)необходимосначалапроверить,несоответствуютливсё-такиданныетабл.2.1гипотезеравноправностишансов,итольковслучаеобнаруженияпротиворечияпереходитькболеесложнымгипотезам.Итак,мыпришликследующимзадачампроверкистатисти-

ческихгипотез:непротиворечатлиданныетабл.2.1гипотезамH0(1)иH0(2)?

Критерий χ2(хи-квадрат) для проверки согласия с фик-сированным распределением. Вматематической статистикесо времен великого английского статистикаКарлаПирсона(1857–19�6) рассматривают задачу проверки согласия эмпи-рического распределения с теоретическим.А именно, пусть

*«Бритва (лезвие)О'ккама» —методологический принцип, полу-чивший название по имени английскогомонаха-францисканца,философа-номиналистаВильямаОккама(Ockham,Ockam,Occam;ок.1285–1��9).Вупрощенномвидеонгласит:«Не следует множить сущее без необходимости» (либо «Не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости»).Этотпринципформируетбазисметодологическогоредукционизма.Егоназываюттакжепринципом бережливости,илизаконом экономии.

58

в результате опыта осуществляется один и только один изk исходов.Пусть эти исходы занумерованы натуральнымичисламиот1до k, иp1,p2,…,pk —вероятностиэтихисходов.Пустьпроведеныnопытов,врезультатекоторыхm1разосу-ществилсяпервыйисход,m2раз —второй,…,mkраз —k-йисход.Поэтимстатистическимданнымтребуетсяпроверитьстатистическуюгипотезуотом,чтовероятностиисходовопытасовпадаютсзаданными:

0 0: , 1,2,...,j jH p p j k= = .

Альтернативнаягипотеза,которуюобычнорассматривают,состоитвтом,чтонарушаетсяхотябыодноизэтихравенств.Ееможнозаписатьтак:

( )21 01

: 0k

j jj

H p p=

− >∑ .

Дляпроверкиэтойгипотезысогласияэмпирическогорас-пределениястеоретическиместественноисходитьизтого,чтоприеесправедливостислучайнаявеличинаmjимеетбиноми-альноераспределениесвероятностьюpj0ичисломопытовn,апотомуеематематическоеожиданиеравноnpj0.Следовательно,отклонение эмпирического распределения от теоретическогоописываетсявеличинамиmj –npj0.Снекоторойестественнойточкизрения[1�]наилучшийспособпроверкисогласияоснованнавведеннойКарломПирсономстатистикекритерияхи-квад-рат,рассчитываемойпоформуле

2

02

01

( )kj j

jj

m npnp=

−χ = ∑ .

При росте объема выборки n распределение только чтовведенной статистики критерия хи-квадрат стремится к из-вестномувтеориивероятностейраспределениюхи-квадратс(k–1)степеньюсвободы,т.е.краспределениюсуммы(k –1)независимыхслучайныхвеличин,каждаяизкоторых —квад-рат стандартной нормальной случайной величины (смате-матическиможиданием0идисперсией 1).Исходяиз этого

59

математическогоутверждения,дляпроверкигипотезысогласияпоуровнюзначимостиαнаходятквантильχ2(α,k–1)порядка(1–α)распределенияхи-квадратс(k–1)степеньюсвободы(спомощьюраспространенныхтаблиц,имеющихся,вчастности,всборнике[2],илиспомощьюразличныхпрограммныхпро-дуктов).Правилопринятиярешенийприпроверке гипотезысогласиятаково:еслирассчитанноепоэмпирическимданнымзначениестатистикихи-квадраттаково,что

χ27χ2(α,k–1),

тогипотезусогласияпринимаютназаданномуровнезначимос-ти(иконстатируют,чтоэмпирическиеданныенепротиворечатгипотезеH0:pj=pj0,j=1,2,…,k);еслиже

χ2>χ2(α,k–1),

тогипотезусогласияотклоняют(ипринимаютальтернативнуюгипотезу).

Замечание 1.Чтобыможнобылоопиратьсянапредельноесоотношение,требуется,чтобывеличиныnpj0небылималыми.Дляэтогодостаточно,чтобыnpj085привсехj=1,2,…, k.

Замечание 2.Вматематическойстатистикеещенесколькокритериевпроверкигипотезназываются«критериямихи-квад-рат»,например,критерийдляпроверкиоднородностираспреде-ленийзначенийконечнозначныхпризнаков(см.ниже),крите-рийдляпроверкинезависимостипризнаковнаосноветаблицысопряженности.Причинапроста —распределениястатистикэтихкритериевсходятсякраспределениюхи-квадрат.

Замечание 3.Еслисоответствующееопытураспределениемалоотличаетсяоттеоретического,топрисравнительноне-большомобъемевыборкискореевсегобудетпринятагипотезасогласия.При увеличенииже объема выборкиможет бытьобнаруженоотличиераспределенияоттеоретического.Поэтомувслучае

χ27χ2(α,k–1),

60

точнееформулировать вывод так: эмпирические данные непозволяютотклонитьгипотезусогласия,втовремякаквслучаеχ2>χ2(α,k —1)констатируем,чтоотклонениеобнаружено.

Замечание 4.Еслизначениестатистикиχ2мало,тоданные,возможно,фальсифицированы.Этоутверждениеоснованонато,чтоприсправедливостигипотезысогласияраспределениестатистикиблизкокхи-квадратраспределению,апотомуосу-ществлениемаловероятных событий — слишком большогоилислишкоммалогозначениястатистикиχ2—практическиневозможно.Вернемсякданнымтабл.2.1.Соответственночислузнаков

Зодиака k=12.Проверяем гипотезу равновероятности, т.е.частныйслучайгипотезысогласиясpj0=1/12,j=1,2,…,12.Изпоследнейстрокитабл.2.1следует,чтоприведенноевзамечании1условиевыполнено.Проведярасчетыпоприведеннойвышеформуле,получаем,

чтодлятаксономистовχ2=9,�6,адлямолекулярныхбиоло-говχ2=1�,85.Потаблицам[2](илюбымдругим)длячисластепенейсвободыk —1=12–1=11квантильраспределенияхи-квадратпорядка0,9есть17,�,аквантильпорядка0,95ра-вен19,7.Этозначит,чтогипотезасогласияпринимается(неотклоняется)приуровняхзначимости)0,1,атакже0,05ивсехиных,используемыхнапрактике.Потемжетаблицам

( ) ( )2 29,�6 0,�1, 1�,85 0,76P Pχ ≤ = χ ≤ = ,

такчтозначениястатистикипопадаютвсреднюючастьраспре-деления —онинеслишкомвеликиинеслишкоммалы.Итак,данныетабл.2.1идеально согласуются с равномер-

ным распределением моментоврожденияпознакамЗодиакакакдлятаксонометристов,такидлямолекулярныхбиологов.Отклоненияотравномерности,отмеченныевначалераздела,объясняютсячистослучайнымипричинами.

Критерий c2 (хи-квадрат) проверки однородности рас-пределений признаков с конечным числом градаций.Можетбыть, хотя гипотезу равноправности знаков Зодиака нельзяотвергнутьнидляоднойгруппыученых,нозатоэтигруппысильноразличаютсямежду собой,отклоняясьосреднего,как

61

сказать,вразныестороны?Речьидет,очевидно,опроверкеоднородности распределений двух признаков с конечнымчислом градаций.Опишем соответствующую вероятностно-статистическуюмодель.Пустьврезультатеопытаосуществляетсяодинитолько

одинизkисходов.Пустьэтиисходызанумерованынатураль-нымичисламиот1до k.Пустьp1(1),p2(1),…,pk(1) —веро-ятностиэтихисходовдляоднойгенеральнойсовокупности,аp1(2),p2(2),…,pk(2) —вероятностиэтихжеисходовдлядругойгенеральнойсовокупности.Другимисловами,рассмотримдвапризнака(двеслучайныевеличины)XиY,возможныезначениякоторых —рассматриваемыеkисходов.Распределенияэтихпризнаковтаковы:

P(X=j)=pi(1),P(Y=j)=pi(2),j=1,2,…,k.

ПустьдляпризнакаXпроведеныn(1)независимыхопытов,врезультатекоторыхm1(1)разосуществилсяпервыйисход,m2(1) раз — второй,…,mk(1) раз — k-ый исход.Другимисловами, проведеноn(1) независимыхиспытаний, в резуль-татекоторыхполученоn(1)независимыхзначенийслучайнойвеличиныX,причемэтаслучайнаявеличинаm1(1)разпринялазначение1,m2(1)раз —значение2,…,mk(1)раз —значениеk.АналогичнымобразомполученыстатистическиеданныедляслучайнойвеличиныY —проведеноn(2)независимыхиспы-таний, в которыхэта случайная величинаm1(2) разпринялазначение1,m2(2)раз —значение2,…,mk(2)раз —значениеk.ПричемиспытаниядляXпроведенынезависимоотиспы-танийдляY.Поэтимстатистическимданным,т.е.подвумнезависимым

выборкам значений двух конечнозначных случайных вели-чин,требуетсяпроверитьстатистическуюгипотезуотом,чтораспределенияэтихслучайныхвеличинсовпадают.Другимисловами,проверитьгипотезуоднородностираспределений,т.е..сложнуюгипотезу

H0:pj(1)=pj(2),j=1,2,…,k.

62

Вкачествеальтернативнойобычнорассматриваютгипотезуотом,чтохотябыодноизэтихkравенствневыполнено.Этугипотезунаиболееобщеговидаможнозаписатьтак:

2

11

: ( (1) (2)) 0k

j jj

H p p=

− >∑ .

Статистикакритерияхи-квадратимеетвид[22,с.275]

2

2 2

1

(1) (2)1( (1), (2)) (1) (2)

(1) (2) (1) (2)

kj j

j jj

m mn n n n

m m n n=

χ = χ = − +

∑ .

Известно,чтоприростеобъемоввыборокn(1)иn(2)рас-пределениестатистикиχ2(n(1),n(2))стремитсякраспределениюхи-квадратс(k —1)степенямисвободы.Поэтомуприбольшихn(1)иn(2)правилопринятиярешенийприпроверкегипотезыоднородности таково: если рассчитанное по эмпирическимданнымзначениестатистикихи-квадраттаково,что

2 2( (1), (2)) ( , 1)n n kχ ≤ χ α − ,

то гипотезу однородности принимают на заданном уровнезначимости;еслиже

2 2( (1), (2)) ( , 1)n n kχ > χ α − ,

то гипотезу однородности отклоняют (и принимают альтер-нативнуюгипотезу).Здесь,какиранее,χ2(α,k —1) —этоквантильпорядка(1 —α)распределенияхи-квадратс(k —1)степеньюсвободы.

Замечание. Более точно, в случаеχ2(n(1), n(2))>χ2(α,k —1)можноконстатировать,чтообнаруженоразличиерас-пределений(какговорят,доказаноналичиеэффекта(наданномуровнезначимости),втомвремякаквслучаеслучаеχ2(n(1),n(2))7χ2(α,k —1)можносказатьлишь,чтоэффектнеобна-ружен(нетоснованийотвергнутьпредположениеосовпадениираспределений).Расчетподаннымтабл.2.1дает,что

χ2=1�,22<(0,1;11),P(χ271�,22)=0,78.

6�

Такимобразом,налюбомизпрактическииспользуемыхуровнейзначимостиконстатируемоднородностьраспределе-ний.Наблюдаемоезначениестатистики(т.е.1�,22)попадаетв среднюю часть распределения — при справедливости ну-левойгипотезызначение статистикив78%случаевменьшенаблюдаемогоив22%случаевбольшенаблюдаемого.Итак,необнаруженоникакойсвязимеждуспециальностьюученогоизнакомЗодиака,подкоторымонрожден.

2.3. Проверка однородности характеристик для количественных признаков

Перейдем к следующему элементу системымоделей,описаннойвпервомразделенастоящейглавы —кмоделям,нацеленнымнапроверкуравенствахарактеристикдвухраспре-делений,изкоторыхвзятыдвенезависимыевыборки.Исходимизобщепринятойбазовоймодели,вкоторойэлементыпервойвыборкиx1, x2, ..., xm рассматриваютсякакрезультатыmнеза-висимыхнаблюденийнекоторойчисловойслучайнойвеличиныХ сфункциейраспределенияF(x),неизвестнойстатистику,аэлементы второй выборки y1, y2, ..., yn — как результатыпнезависимыхнаблюдений,вообщеговоря,другойслучайнойвеличиныYсфункциейраспределенияG(x),такженеизвестнойстатистику.Предполагается также, чтонаблюдения в однойвыборкенезависятотнаблюденийвдругой,поэтомувыборкииназываютнезависимыми.

Замечание.Обратитевнимание,чтообъемывыборокобоз-наченыздесьнетак,каквпредыдущемразделе.Этосделаноспециально,аименно,длятого,чтобыучитателянесоздавалсяложный стереотип,мешающий восприниматьмногообразиелитературныхисточниковссоответствующиммногообразиемобозначений.

Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента). Длядальнейшегокритическогоразбораопишемтрадиционныйстатистическийметодпроверкиоднородности.ОнширокоиспользовалсявтечениевсегоХХв.Хотякнасто-

6�

ящемувремениэтотметодустарел(см.ниже),нопродолжаетвстречатьсявучебнойлитературе,ипотомуиприменятьсядляанализаконкретныхданных.Прииспользованиитрадиционногометодапроверкиодно-

родностивычисляютвыборочныесредниеарифметическиевкаждойвыборке

1 1

1 1,i i

i m i n

x x y ym n

= =∑ ∑7 7 7 7

,

затемвыборочныедисперсии

( ) ( )2 22 2

1 1

1 1, ,

1 1x i y ii m i n

s x x s y ym n

= − = −− −∑ ∑7 7 7 7

истатистикуСтьюдентаt,наосновекоторойпринимаютре-шение,

( ) ( )

( )2 2

2

1 1x y

x y m m nt

m nm s n s

− + −= +− + −

. (2.1)

По заданному уровню значимостиα и числу степенейсвободы(m+n _ 2)изтаблицраспределенияСтьюдента(см.,например,[2])находяткритическоезначениеtкр.Если|t|>tкр,тогипотезуоднородности(отсутствияразличия)отклоняют,еслиже|t|7tкр,топринимают.(Приодностороннихальтер-нативных гипотезах вместо условия |t|>tкрпроверяют, чтоt>tкр;этупостановкурассматриватьнебудем,таккаквнейнетпринципиальныхотличийотобсуждаемойздесь.)Влитературезачастуюописываетсятолькоприведенный

выше алгоритм. Этого недостаточно для квалифицирован-ного анализа статистических данных. Рассмотрим условияприменимости традиционногометода проверки однороднос-ти,основанногонаиспользованиистатистикиtСтьюдента,атакжеобсудимсовременныеметодыпроверкиоднородностидвухвыборок.

Классические условия применимости критерия Стьюден-та. Согласноматематико-статистическойтеориидолжныбыть

65

выполненыдваклассическихусловияприменимостикритерияСтьюдента,основанногонаиспользованиистатистики t,задан-нойформулой(2.1):а)результатынаблюденийимеютнормальныераспреде-

ления:

F(x)=N(x; m1, σ12), G(x)=N(x; m2, σ2

2)

сматематическимиожиданиямиm1иm2идисперсиямиσ12и

σ22впервойивовторойвыборкахсоответственно;б)дисперсиирезультатовнаблюденийвпервойивторой

выборкахсовпадают:

D(X)=σ12=D(Y)=σ2

2.

Если условия а) и б) выполнены, то нормальные рас-пределенияF(x)иG(x)отличаютсятолькоматематическимиожиданиями,апоэтомуобегипотезыH0 иH’0 (см.раздел2.1)сводятсякгипотезе

H”0 : m1= m2,

аобеальтернативныегипотезыH1иH’1сводятсякгипотезе

H”1 : m1 ≠ m2 .

Еслиусловияа)иб)выполнены,тостатистикаtприспра-ведливостиH”0 имеетраспределениеСтьюдентас(т + п — 2)степенямисвободы.Тольковэтомслучаеописанныйвышетрадиционныйметодобоснованбезупречно.Еслихотябыодноизусловийа)иб)невыполнено,тонетникакихоснованийсчитать, что статистика t имеет распределениеСтьюдента,поэтомуприменениетрадиционногометода,строгоговоря,необосновано.Обсудимвозможностьпроверкиэтихусловийипоследствияихнарушений.

Имеют ли результаты наблюдений нормальное распреде-ление? Какподробнопоказановлитературе(см.,например,[21,гл.5.1],[20,гл.�.1]), априоринетоснованийпредполагатьнормальность распределения результатов экономических,технико-экономических, технических,медицинских и иных

66

наблюдений.Следовательно, нормальность надо проверять.Разработаномного статистических критериев для проверкинормальности распределения результатов наблюдений [2].Однакопроверканормальности —болеесложнаяитрудоемкаястатистическаяпроцедура,чемпроверкаоднородности(какспомощью статистики t Стьюдента, так и с использованиемнепараметрическихкритериев,рассматриваемыхниже).Для достаточно надежного установления нормальности

требуется весьма большое число наблюдений. В указанныхвышелитературныхисточникахпоказано,чтодлятого,чтобыгарантировать, чтофункция распределения результатов на-блюденийотличаетсяотнекоторойнормальнойнеболеечемна0,01 (прилюбомзначенииаргумента),требуетсяпорядка2500наблюдений.Вбольшинстве технических, экономичес-ких,медицинских и иных исследований число наблюденийсущественноменьше.Какотмечалосьвлитературе,естьиещеоднаобщаяпричи-

наотклоненийотнормальности:любойрезультатнаблюдениязаписывается конечным (обычно2– 5) количествомцифр, асматематической точки зрения вероятность такого событияравна 0. Точнее, для случайной величины с непрерывнойплотностьюраспределениявероятностьпопаданияв счетноемножестворациональныхчиселравна0.Следовательно,пристатистическойобработкеданныхворганизационно-экономи-ческихисследованияхраспределениерезультатовнаблюденийпрактическивсегдаболееилименееотличаетсяотнормальногораспределения.

Последствия нарушения условия нормальности. Еслиусловие а) не выполнено, то распределение статистики t неявляетсяраспределениемСтьюдента.Однакоможнопоказать,используяЦентральнуюпредельнуютеоремутеориивероят-ностейитеоремыонаследованиисходимости[21,гл.�],чтоприсправедливостиH’0 иусловияб)распределениестатистикиt при росте объемов выборок приближается к стандартномунормальномураспределению Ф(х)= N(x;0,1). Кэтомужераспределениюприближается распределениеСтьюдента привозрастаниичисластепенейсвободы.Другимисловами,не-смотря на нарушение условия нормальности традиционный

67

метод(критерийСтьюдента)можноиспользовать(приопре-деленныхусловиях!)дляпроверкигипотезыH’0прибольшихобъемах выборок.При этом вместо таблиц распределенияСтьюдентадостаточнопользоватьсятаблицамистандартногонормальногораспределенияФ(х).Сформулированное в предыдущем абзаце утверждение

справедливо длялюбыхфункций распределенияF(x) иG(x)таких,чтоM(X)= M(Y), D(X)= D(Y)ивыполненынекоторыевнутриматематическиеусловия,обычносчитающиесясправед-ливымивреальныхзадачах.ЕслижеM(X)≠ M(Y),тонетрудновычислить,чтоприбольшихобъемахвыборок

P(t 7 x)≈Ф(x – amn), (2.2)

где

( ) ( )

( ) ( )nm

nm M X M Ya

Dm X Dn Y

− =+ . (2.�)

Формулы(2.2)–(2.�)позволяютприближенновычислятьмощность t-критерия (точность возрастает при увеличенииобъемоввыборокт и п).

О проверке условия равенства дисперсий. Иногдаусловиеб)вытекаетизметодикиполучениярезультатовнаблюдений,например, когда с помощьюодного и тогоже прибора илиметодикиmразизмеряютхарактеристикупервогообъектаип раз — второго, а параметры распределения погрешностейизмеренияприэтомнеменяются.Однакоясно,чтовпостанов-кахбольшинстваисследовательскихипрактическихзадачнетоснованииаприорипредполагатьравенстводисперсий.Целесообразнолипроверятьравенстводисперсийстатис-

тическимиметодами,например,какэтоиногдапредлагают,с помощьюF-критерияФишера?Этот критерий основан нанормальностираспределенийрезультатовнаблюдений.Аотнормальности неизбежны отклонения (см. выше).Причемхорошоизвестно,чтовотличиеотt-критерияраспределениеF-критерияФишерасильноменяетсяпрималыхотклоненияхотнормальности[�].Крометого,F-критерийотвергаетгипо-

68

тезуD(X)= D(Y)лишьприбольшомразличиивыборочныхдисперсий.Так, дляданных [2] о двух группах результатовхимическиханализовотношениевыборочныхдисперсийравно1,95,т.е.существенноотличаетсяот1.Темнеменее,гипо-теза о равенстве теоретических дисперсий принимается припримененииF-критерияна1%-муровнезначимости.Следо-вательно,припроверкеоднородностиприменениеF-критериядляпредварительнойпроверкиравенствадисперсийсцельюобоснованиявозможностииспользованиякритерияСтьюдентанецелесообразно.Итак,вбольшинстветехнических,экономических,меди-

цинскихииныхзадач условиеб)нельзясчитатьвыполненным,апроверятьегопредпроверкойоднородностинецелесообраз-но.

Последствия нарушения условия равенства дисперсий. Еслиобъемывыборокт ипвелики,томожнопоказать,чтораспределение статистики t описывается с помощью толькоматематическихожиданийM(Х)иM(Y),дисперсийD(X), D(Y)иотношенияобъемоввыборок,аименно:

P(t 7 x) ≈Ф(bmnx – amn), (2.�)

гдеamn определеноформулой(2.�),

( ) ( )

( ) ( )2 ,nm

D X D Y mb

nD X D Yλ +

= λ =+ λ . (2.5)

Если bmn ≠ 1, то распределение статистики t отличаетсяот распределения, заданногоформулой (2.2), полученной впредположении равенства дисперсий.Когда bmn=1? В двухслучаях —приm = nиприD(X) = D(Y).Такимобразом,прибольших и равных объемах выборок требовать выполненияусловия б) нет необходимости.Кроме того, ясно, что еслиобъемывыборокмалоразличаются,тоbmnблизкок1.Так,дляданных[2]одвухгруппахрезультатовхимическиханализовимеемb*mn=0,987,гдеb*mn —оценкаbmn ,полученнаязаменойвформуле(2.5)теоретическихдисперсийнаихвыборочныеоценки.

69

Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента. Подведемито-гирассмотренияt-критерия.ОнпозволяетпроверятьгипотезуH’0оравенствематематическихожиданий,нонегипотезуH0 отом,чтообевыборкивзятыизоднойитойжегенеральнойсовокупности.КлассическиеусловияприменимостикритерияСтьюдентавподавляющембольшинстветехнических,эконо-мических,медицинскихииныхзадачневыполнены.Темнеменее,прибольшихипримерноравныхобъемахвыборокегоможноприменять.Приконечныхобъемахвыбороктрадицион-ныйметодноситнеустранимоприближенныйхарактер.

Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий. Вместо критерияСтьюдента целесообразно дляпроверкиH’0 использоватькритерийКрамера-Уэлча[12,с.�92],основанныйнастатистике

( )2 2 22y x yx

mn x yx yT

s ns mssm n

−−= =

++

. (2.6)

КритерийКрамера-Уэлчаимеетпрозрачныйсмысл —раз-ностьвыборочныхсреднихарифметическихдлядвухвыборокделится на естественную оценку среднего квадратическогоотклоненияэтойразности.Естественностьуказаннойоценкисостоитвтом,чтонеизвестныестатистикудисперсиизамене-ныихвыборочнымиоценками.Измногомернойцентральнойпредельнойтеоремыиизтеоремонаследованиисходимости[21,гл.�]вытекает,чтоприростеобъемоввыборокраспреде-лениестатистикиТ Крамера-Уэлчасходитсякстандартномунормальному распределению сматематическим ожиданием0идисперсией1.Итак,при справедливостиH’0 ибольшихобъемахвыборокраспределениестатистикиТприближаетсяспомощьюстандартногонормальногораспределенияФ(х),изтаблицкоторогоиследуетбратькритическиезначения.Прит = п, какследуетизформул(2.1)и(2.6),t = T.При

т ≠ пэтогоравенстванет.Вчастности,приs2xвформуле(2.1) стоитмножитель(m –1),авформуле(2.6)-множительп.ЕслиM(X)≠ M(Y),топрибольшихобъемахвыборок

70

P(T 7 X)≈ Ф (x – cmn), (2.7)

где

( ) ( )

( ) ( )mn

mn M X M Yс

nD X mD Y

− =+

. (2.8)

Прит = пилиD(X)= D(Y),согласноформулам(2.�)и(2.8),amn = cmn ,востальныхслучаяхравенстванет.ИзасимптотическойнормальностистатистикиТ,формул

(2.7)и(2.8)следует,чтоправилопринятиярешениядлякри-терияКрамера-Уэлчавыглядиттак:— если |T|7F–1(1 –α/2), то гипотеза однородности

(равенства)математическихожиданийпринимаетсянауровнезначимостиα,— еслиже|T|>F–1(1–α/2),тогипотезаоднородности

(равенства)математическихожиданийотклоняетсянауровнезначимостиα.Вприкладнойстатистикенаиболеечастоприменяетсяуро-

веньзначимостиα=0,05.ТогдазначениемодулястатистикиТ Крамера-УэлчанадосравниватьсграничнымзначениемF–1(1–α/2)=1,96.Из сказанного выше следует, что применение критерия

Крамера-Уэлча при анализе организационно-экономическихданных более обосновано, чем применение критерияСтью-дента. Дополнительное преимущество критерияКрамера-УэлчапосравнениюскритериемСтьюдента —нетребуетсяравенствадисперсийD(X)= D(Y).РаспределениестатистикиТнеявляетсяраспределениемСтьюдента,однакоираспреде-лениестатистикиt,какпоказановыше,неявляетсятаковымвреальныхситуациях.РаспределениестатистикиТприобъемахвыборокт = п =

6,8,10,12иразличныхфункцияхраспределенийвыборокF(x)иG(x) изученонамисовместносЮ.Э.КамнемиЯ.Э.Камнемметодомстатистическихиспытаний(Монте-Карло).Рассмот-реныразличныевариантыфункцийраспределенияF(x)иG(x). Результаты(частичноопубликованывстатье[8])показывают,чтодажепритакихнебольшихобъемахвыборокточностьап-

71

проксимациипредельнымстандартнымнормальнымраспре-делениемвполнеудовлетворительна.Поэтомупредставляетсяцелесообразнымвовсехтехслучаях,когдавсоответствиисустаревшимилитературнымиисточникамикритерийСтьюден-та,заменитьегонакритерийКрамера-Уэлча.Конечно,такаязаменапотребуетпеределкиряданормативно-техническихиметодическихдокументов,исправленияучебниковиучебныхпособийдлявузов.

Пример 1.Пустьобъемпервойвыборкиm=120,x–=1�,7,sx=5,�.Длявторойвыборкиn=5�0,y–=1�,1,sy=8,�.ВычислимвеличинустатистикиКрамера-Уэлча

2 22 2

( ) 120 5�1(1�,7 1�,1)

5�1 5,� 120 8,�x y

mn x yT

ns ms

− × −= = =

× + ×+

6�920( 0,�) 25�,79 ( 0,�)

5�1 28,09 120 70,56 15196,69 8�67,2

− × −= = =

× + × +

101,916 101,9160,66.

15�,8�2�66�,89

− −= = −

Посколькуполученноезначениепоабсолютнойвеличинеменьше1,96,тогипотезаоднородностиматематическихожи-данийпринимаетсянауровнезначимости0,05.

Непараметрические методы проверки однородности. Вбольшинстве управленческих, технических, экономических,медицинскихииныхзадачпредставляетинтереснепроверкаравенстваматематическихожиданийилииныххарактеристикраспределения,аобнаружениеразличиягенеральныхсовокуп-ностей,изкоторыхизвлеченывыборки,т.е.проверкагипотезыH0.МетодыпроверкигипотезыH0позволяютобнаружитьнетолькоизменениематематическогоожидания,ноилюбыеиныеизмененияфункции распределения результатов наблюденийприпереходеотоднойвыборкикдругой(увеличениеразброса,появлениеасимметрииит.д.).Какустановленовыше,методы,основанныенаиспользованиистатистикt СтьюдентаиТ Кра-мера-Уэлча,непозволяютпроверятьгипотезуH0.Априорноепредположение о принадлежностифункций распределения

72

F(x)иG(x)ккакому-либоопределенномупараметрическомусемейству (например, семействам нормальных, логарифми-ческинормальных,распределенийВейбулла-Гнеденко,гамма-распределенийидр.),кактакжепоказановыше,обычнонельзядостаточно надежно обосновать.Поэтому для проверкиH0следуетиспользоватьметоды,пригодныеприлюбомвидеF(x)иG(x),т.е.непараметрическиеметоды.(Напомним,чтотермин«непараметрическийметод»означает,чтоприиспользованииэтогометоданетнеобходимостипредполагать,чтофункциираспределениярезультатовнаблюденийпринадлежаткакому-либоопределенномупараметрическомусемейству.)ДляпроверкигипотезыH0 разработаномногонепарамет-

рическихметодов —критерииСмирнова,типаомега-квадрат(Лемана —Розенблатта),Вилкоксона(Манна-Уитни),Ван-дер-Вардена,Сэвиджа,хи-квадратидр.[5,21,2�].РаспределениястатистиквсехэтихкритериевприсправедливостиH0независятот конкретного вида совпадающихфункций распределенияF(x)≡ G(x).Следовательно,таблицамиточныхипредельных(прибольшихобъемахвыборок)распределенийстатистикэтихкритериевиихпроцентныхточек[21,2�]можнопользоватьсяприлюбыхнепрерывныхфункцияхраспределениярезультатовнаблюдений.

Каким из непараметрических критериев пользоваться? Какизвестно[�],длявыбораодногоизнесколькихкритери-евнеобходимосравнитьихмощности,определяемыевидомальтернативных гипотез. Сравнениюмощностей критериевпосвященаобширнаялитература.Хорошоизученысвойствакритериевприальтернативной

гипотезесдвига

H1c : G(x)= F(x–d), d ≠ 0.

КритерииВилкоксона,Ван-дер-Варденаиряддругихориен-тированыдляпримененияименновэтойситуации.Еслиmразизмеряютхарактеристикуодногообъектаипраз —другого,афункцияраспределенияпогрешностейизмеренияпроизвольна,нонеменяетсяприпереходеотобъектакобъекту(этоболеежесткое требование, чем условие равенства дисперсий), то

7�

рассмотрениегипотезыH1cоправдано.Однаковбольшинствеорганизационно-экономических,технических,медицинскихииныхисследованийнетоснованийсчитать,чтофункциирас-пределения,соответствующиевыборкам,различаютсятолькосдвигом.

2.4. двухвыборочный критерий Вилкоксона

Рассмотрим подробнее часто используемый непарамет-рический критерий Вилкоксона. В частности, покажем (иэто —основнойтеоретическийрезультатнастоящегораздела),чтодвухвыборочныйкритерийВилкоксона(влитературеегоназываюттакжекритериемМанна-Уитни)предназначендляпроверкигипотезы

H0: P(X < Y)=1/2,

гдеX — случайная величина, распределенная как элементыпервойвыборки,аY —случайнаявеличина,распределеннаякак элементы второй выборки. Это — непараметрическаягипотеза.Ноизнеенеследует,чтофункциираспределениядвухвыбороксовпадают.Обратное,конечно,верно:еслиXиYодинаковораспределены,тоP(X < Y)=Ѕ.

Вописаннойвышевероятностноймоделидвухнезависи-мыхвыборокбезограниченияобщностиможносчитать,чтообъемпервойизнихнепревосходитобъемавторой,m 7 n,впротивномслучаевыборкиможнопоменятьместами.Обычнопредполагается,чтофункцииF(x)иG(x)непрерывныистроговозрастают.Изнепрерывностиэтихфункцийследует,чтосвероятностью1всеm + nрезультатовнаблюденийразличны.При рассмотрении реальных статистических данных иногданаблюдаютсясовпадениярезультатовнаблюдений,носамфактихналичия —свидетельствонарушенийпредпосылоктолькочтоописаннойбазовойматематическоймодели.

Расчет значения статистики критерия Вилкоксона и правило принятия решений.СтатистикаS двухвыборочногокритерияВилкоксонаопределяетсяследующимобразом.Все

7�

элементыобъединеннойвыборкиX1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Ynупорядочиваются в порядке возрастания. Элементы первойвыборкиX1, X2, ..., XmзанимаютвобщемвариационномрядуместасномерамиR1, R2, ..., Rm,другимисловами,имеютрангиR1, R2, ..., Rm (напомним,чторанг —этономервупорядочен-номряду).ТогдастатистикаВилкоксона —этосуммаранговэлементовпервойвыборки

S = R1 + R2 + ...+ Rm.

СтатистикаUМанна-Уитни определяется как число пар(Xi, Yj)таких,чтоXi < Yj,средивсехmn пар,вкоторыхпервыйэлемент —из первой выборки, а второй —из второй.Какизвестно[5,с.160],

U = mn + m(m+1)/2 – S.

ПосколькуSиUлинейносвязаны,тообычноговорятнеодвухкритериях —ВилкоксонаиМанна-Уитни,аободном —критерииВилкоксона(Манна-Уитни).КритерийВилкоксона —одинизсамыхизвестныхинстру-

ментовнепараметрическойстатистики(нарядускритерияминаосновестатистиктипаКолмогорова-Смирнова,омега-квадрати коэффициентами ранговой корреляции).Свойствам этогокритерияитаблицамегокритическихзначенийуделяетсямес-товомногихмонографияхпоматематическойиприкладнойстатистике(см.,например,[2,5,21,2�]).Однако в литературе имеются и неточные утверждения

относительновозможностейкритерияВилкоксона.Так,отде-льныеавторыполагают,чтосегопомощьюможнообнаружитьлюбоеразличиемеждуфункциямираспределенияF(x) иG(x).Помнениюдругих,этоткритерийнацеленнапроверкуравенс-твамедианраспределений,соответствующихвыборкам.Ито,идругоеневерно.Этобудетясноиздальнейшегоизложения.Введемнекоторыеобозначения.ПустьF–1(t) —функция,

обратная кфункции распределенияF(x).Она определена наотрезке [0;1].ПоложимL(t) = G(F–1(t)).ПосколькуF(x) не-прерывнаистроговозрастает,тоF–1(t)иL(t) обладаюттемижесвойствами.Важнуюрольвдальнейшемизложениибудетигратьвеличинаa =P(X < Y).Какнетруднопоказать,

75

( ) ( )1

0

a P X Y tdL t= < = ∫ .

Введемтакжепараметры

( ) ( ) ( )1 1

22 2 2 2 2

0 0

1 ,b L t td a g t dL t a= − − = −∫ ∫ .

Тогдаматематические ожидания и дисперсии статистикВилкоксонаиМанна-Уитни согласно [5, с.160] выражаютсячерезвведенныевеличины:

М(U) = mna , М(S) = mn + m(m+1)/2 – М(U) = mn(1 – a)+ m(m+1)/2,

D(S) = D(U) = mn [(n – 1) b2 + (m – 1) g2 + a(1 –a)]. (2.9)

Когда объемы обеих выборок безгранично растут, рас-пределения статистикВилкоксона иМанна-Уитни являютсяасимптотическинормальными(см.,например,[5,гл.5и6])спараметрами,задаваемымиформулами(2.9).Если выборки полностью однородны, т.е. их функции

распределения совпадают, другими словами, справедливагипотеза

H0: F(x) = G(x) при всех x, (2.10)

тоL(t) = tдляt изотрезка[0,1],L(t)= 0длявсехотрицатель-ныхtи L(t)= 1для t>1,соответственноa= 1/2.Подставляявформулы(2.9),получаем,что

М(S)= m(m+n+1)/2, D(S) = mn(m+n+1)/12. (2.11).

Следовательно,распределениенормированнойицентри-рованнойстатистикиВилкоксона

T = (S – m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/12)–1/2 (2.12)

при росте объемов выборок приближается к стандартномунормальномураспределению (сматематическиможиданием0идисперсией1).

76

ИзасимптотическойнормальностистатистикиТследует,чтоприбольшихобъемахвыборокправилопринятиярешениядлякритерияВилкоксонавыглядиттак:

—если|T|7 ( )21 1 α−Φ−

,тогипотеза(2.10)однородности(тождества)функций распределений принимается на уровнезначимостиα,— еслиже|T|>F–1(1 –α/2), то гипотеза (2.10) одно-

родности(тождества)функцийраспределенийотклоняетсянауровнезначимостиα.В прикладной статистике наиболее часто применяется

уровеньзначимостиα=0,05.Тогдазначениемодулястатис-тикиТ ВилкоксонанадосравниватьсграничнымзначениемF–1(1 –α/2)=1,96.

Пример 1.Пустьданыдвевыборки.Перваясодержитm = 12 элементов17;22;�;5;15;2;0;7;1�;97;66;1�.Втораясодержитn = 1� элементов�7;�0;2;15;1;21;25;7;��;29;��;11;6;15.Проведемпроверкуоднородностифункцийраспреде-лениядвухвыборокспомощьюкритерияВилкоксона.Первымшагомявляетсяпостроениеобщеговариационного

рядадляэлементовдвухвыборок(табл.2.2).Общийвариацион-ныйряд —всреднейстроке.Нижедлякаждогоегоэлементауказано,изкакойвыборкионвзят.Построениеверхнейстроки«Ранги»описанодалее.

Т а б л и ц а 2 . 2

Общий вариационный ряд для элементов двух выборок

Ранги 1 2 �,5 �,5 5 6 7 8,5 8,5 10 11 12 1�

Эле-ментывыборок

0 1 2 2 � 5 6 7 7 11 1� 1� 15

Номеравыборок

1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1

Ранги 1� 1� 16 17 18 19 20 21 22 2� 2� 25 26

Эле-ментывыборок

15 15 17 21 22 25 29 �0 �� �� �7 66 97

Номеравыборок

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1

77

Хотя с точки зрения теорииматематической статистикивероятность совпадения двух элементов выборок равна 0, вреальныхвыборкахстатистическихданныхсовпадениявстреча-ются.Так,врассматриваемыхвыборках,каквидноизтабл.2.2,дваразаповторяетсявеличина2,двараза —величина7итрираза —величина15.Втакихслучаяхговорятоналичии«свя-занныхрангов»,асоответствующимсовпадающимвеличинамприписывают среднее арифметическое тех рангов, которыеонизанимают(т.есреднееарифметическоеномеровтехмест,которыеонизанимаютвобщемвариационномряду).Так,вели-чины2(изпервойвыборки)и2(извторойвыборки)занимаютвобъединенномвариационномрядуместа�и�,поэтомуимприписываетсяранг(�+�)/2=�,5.Величины7и7занимаютвобъединенномвариационномрядуместа8и9,поэтомуимприписываетсяранг(8+9)/2=8,5.Величины15,15и15зани-маютвобъединенномвариационномрядуместа1�,1�и15,поэтомуимприписываетсяранг(1�+1�+15)/�=1�.Такимобразом,послепостроенияобъединенноговариаци-

онногорядавыделяютгруппы«связанныхрангов»ипроводятописанныевышерасчеты.Витогеполучаютстроку«Ранги».Следующийшаг —подсчетзначениястатистикиВилкок-

сона,т.е.суммыранговэлементовпервойвыборки

S = R1 + R2 + ...+ Rm =

= 1+�,5+5+6+8,5+11+12+1�+

+16+18+25+26=1�6.

Подсчитаем также сумму рангов элементов второй вы-борки

S1=2+�,5+7+8,5+10+1�+1�+17+19+20+

+21+22+2�+2�=205.

ВеличинаS1может бытьиспользованадляконтролявы-числений.Деловтом,чтосуммыранговэлементовпервойвыборкиSивторойвыборкиS1 вместесоставляютсуммуранговобъединеннойвыборки,т.е.суммувсехнатуральныхчиселот1доm+n. Следовательно,

78

S + S1 = (m + n)(m + n +1)/2=(12+1�)(12+1�+1)/2=�51.

ВсоответствиисранеепроведеннымирасчетамиS+S1 = 1�6+205=�51. Необходимоеусловиеправильностирасчетоввыполнено.Ясно,чтосправедливостьэтогоусловиянегаран-тируетправильностирасчетов.Перейдем к расчету статистики Т. Согласно формуле

(2.11)М(S) = 12(12+1�+1)/2=162, D(S)=12.1�(12+1�+1)/

12=�78 .Следовательно,

T = (S – 162)(�78)–1/2=(1�6–162)/19,��= –0,82.

Поскольку|T |71,96,тогипотезаоднородностипринима-етсянауровнезначимости0,05.Чтобудет,еслипоменятьвыборкиместами,вторуюназвать

первой?ТогдавместоS надорассматривать S1.Имеем

М(S1) = 1�(12+1�+1)/2 = 189, D(S) = D(S1) = �78,

T1= (S1–189)(�78)–1/2=(205–189)/19,��=0,82.

Такимобразом,значениястатистикикритерияотличаютсятолькознаком (можнопоказать,чтоэтоутверждениеверновсегда).Посколькувправилепринятиярешенияиспользуетсятолькоабсолютнаявеличинастатистики,топринимаемоереше-ниенезависитоттого,какуювыборкусчитаемпервой,акакуювторой.Дляуменьшенияобъематаблицкритическихзначенийпринятосчитатьпервойвыборкуменьшегообъема.

Мощность критерия Вилкоксона.ПродолжимобсуждениекритерияВилкоксона.Правилапринятиярешенийитаблицыкритических значений для критерия Вилкоксона строятся впредположении справедливости гипотезы полной однород-ности,описываемойформулой(2.10).Ачтобудет,еслиэтагипотезаневерна?Другимисловами,каковамощностькритерияВилкоксона?Пустьобъемывыборокдостаточновелики,такчтоможно

пользоватьсяасимптотическойнормальностьюстатистикиВил-

79

коксона.Тогдавсоответствиисформулами(2.9)статистикаTбудетасимптотическинормальнаспараметрами

М(T) = (12mn)1/2(1/2 – a)(m + n + 1)–1/2,

D(T) = 12[(n –1) b2 + (m – 1) g2 + a(1 – a)](m+n+1)–1. (2.1�)

Изформул(2.1�)виднобольшоезначениегипотезы

H01:a = P(X < Y)=1/2. (2.1�)

Еслиэтагипотезаневерна,то,посколькуm7n,справед-ливаоценка

|M(T)| 8 (12m n (2n+1)–1)1/2 |1/2 – a|,

апотому|M(T)|безграничнорастетприростеобъемоввыборок.Втожевремя,поскольку

( ) ( ) ( )1 1

2 2 2 2

0 0

1, 1, 1 1/ �b L t td g t dL t= α − α∫ ∫7 7 7 7 ,

то

D(T) 7 12[(n –1)+(m –1)+1/�](m+n+1)–1712. (2.15)

Следовательно, вероятность отклонения гипотезыH01,когда она неверна, т.е.мощность критерияВилкоксона каккритерияпроверкигипотезы(2.1�),стремитсяк1привозрас-тании объемов выборок, т.е. критерийВилкоксона являетсясостоятельнымдляэтойгипотезыприальтернативе

АH01: a = P(X < Y)≠ 1/2. (2.16).

Еслижегипотеза(2.1�)верна,тостатистикаTасимптоти-ческинормальнасматематическиможиданием0идисперсией,определяемойформулой

D(T) = 12[(n –1)b2 + (m – 1)g2 + 1/�](m+n+1)–1. (2.17)

Гипотеза (2.1�) является сложной,дисперсия (2.17), какпоказывают приводимые ниже примеры, в зависимости от

80

значенийb2иg2можетбытькакбольше1,такименьше1,носогласнонеравенству(2.15)никогданепревосходит12.

Критерий Вилкоксона не позволяет проверять абсолютную однородность.ПриведемпримердвухфункцийраспределенияF(x)иG(x)таких,чтогипотеза(2.1�)выполнена,агипотеза(2.10) —нет.Поскольку

a = P(X < Y) = ( ) ( )F x Gd x+∞

−∞∫ , 1 – a = P(Y < X) =

= ( ) ( )G x Fd x+∞

−∞∫ (2.18)

иa = 1/2вслучаесправедливостигипотезы(2.10),тодлявы-полненияусловия(2.1�)необходимоидостаточно,чтобы

( ) ( )( ) ( ) 0F x G x Fd x+∞

−∞

− =∫ , (2.19)

апотомуестественновкачествеF(x)рассмотретьфункциюрав-номерногораспределениянаинтервале(–1;1).Тогдаформула(2.19)переходитвусловие

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 10

2 2x

F x G x Fd x G x xd+∞ +

−∞ −

+ − = − − =

∫ ∫ .

Этоусловиевыполняется,еслифункция(G(x)–(x +1)/2)являетсянечетной.

Пример 2. ПустьфункциираспределенияF(x)иG(x)сосре-доточенынаинтервале(–1;1),накотором

F(x) = (x +1)/2, G(x) = (x + 1+1/p sinpx)/2.

Тогда

x=F–1(t)=2t –1, L(t)= G(F–1(t))=

= (2t + 1/psinp(2t – 1))/2=t+1/2psin p(2t–1).

81

Условие(2.19)выполнено,посколькуфункция(G(x) – (x + 1)/2)являетсянечетной.Следовательно,a = 1/2.Начнемсвычисления

( ) ( )1 1

2 2 2

0 0

1 1 1sin 2 1

� 2 �g t Ld t t d t t

= − = + π − − π ∫ ∫ .

Поскольку

( ) ( )1sin 2t-1 1 cos 2 1

2d t t dt

+ π = + − π ,

то

( )( ) ( )1 1

2 2 2

0 0

1 11 cos 2 1 cos 2 1

� 12g t t td t t td= + π − − = + π −∫ ∫ .

Спомощьюзаменыпеременныхt = (x +1)/2 получаем,что

( )1 1 1 1

2

0 1 1 1

1cos 2 1 cos 2 cos cos

8t dt x xdx x xdx xdx

− − −

π − = π + π + π

∫ ∫ ∫ ∫ .

В правой части последнего равенства стоят табличныеинтегралы (см., например, справочник [2�, с.71]).Проведясоответствующиевычисления,получаем,чтовправойчастистоит1/8×(–�/p2)= –1/(2p2).Следовательно,

g2 = 1/12–1/(2p2) = 0,0�26727��...

Перейдемквычислениюb2.Поскольку

( ) ( )21 1

2 2

0 0

1 1 1sin 2 1

� 2 �b L t td t t td

= − = π π − − ∫ ∫ ,

то

( )( ) ( )21 1

2 2

0 0

1 1sin 2 1 sin 2 1

2 2b t t td t td

π = + π − + π − π ∫ ∫ .

82

Спомощьюзаменыпеременных t= (x+1)/2переходимк табличным интегралам (см., например, справочник [2�,с.65]):

1 1 1

2 22

1 1 1

1 1 1 1sin sin sin

� � � 8b x xdx xdx xdx

− − −

= + π + π + ππ π π∫ ∫ ∫ .

Проведянеобходимыевычисления,получим,что

22 2

1 1 2 1 1 �0 0,0�5��789�...

12 � 128 8b

= + − + + = − = π π π π Следовательно,длярассматриваемыхфункцийраспределе-

ниянормированнаяицентрированнаястатистикаВилкоксона(см.формулу(2.12))асимптотическинормальнасматемати-ческиможиданием0идисперсией(см.формулу(2.17))

D(T) = (0,5�� n + 0,�92 m + 2,06�)(m+n+1)–1.

Каклегковидеть,дисперсиявсегдаменьше1.Этозначит,чтоврассматриваемомслучаегипотезаполнойоднородности(2.10) при проверке с помощью критерияВилкоксона будетприниматьсячаще,чемеслионанасамомделеверна.Сказанное означает, что критерий Вилкоксона нельзя

считатькритериемдляпроверкигипотезы(2.10)приальтер-нативеобщеговида.Онневсегдапозволяетпроверитьодно-родность —непривсехальтернативах.Точнотакжекритериитипахи-квадратнельзясчитатькритериямипроверкигипотезсогласияиоднородностивслучаенепрерывныхраспределе-ний —онипозволяютобнаружитьневсеразличия,посколькунекоторыеизних«скрадывает»группировка.

Критерий Вилкоксона не позволяет проверять равенство медиан.Обсудимтеперь,действительноликритерийВилкок-сона нацелен на проверку равенствамедиан распределений,соответствующихвыборкам.

Пример 3. ПостроимсемействопарфункцийраспределенияF(x)иG(x)таких,чтоихмедианыразличны,нодляF(x)иG(x)выполненагипотеза(2.1�).Пустьраспределениясосредоточенынаинтервале(0;1),инанемG(x) = x,аF(x) имееткусочно-

8�

линейныйграфиксвершинамивточках(0;0),(l,1/2),(d,�/�),(1;1).Следовательно,

F(x) =0приx<0;

F(x)=x/(2l)на[0;l);

F(x)=1/2+(x –l)/(�d–�l)на[l;d);

F(x)=�/�+(x–d)/(�–�d)на[d;1];

F(x)=1приx>1.

Очевидно,чтомедианаF(x)равнаl,амедианаG(x)равна1/2.Согласно соотношению (2.17)длявыполнения гипотезы

(2.1�)достаточноопределитьdкакфункциюl,т.е.d=d(l),изусловия

( )1

0

1.2

F x td =∫Вычислениядают

d=d(l)=�(1–l)/2.

Учитывая, что d лежитмеждуl и 1, не совпадая ни стем, ни с другим, получаем ограничения наl, а именно,1/� < l < �/5 . Итак, построено искомое семейство парфункцийраспределения.

Пример 4. Пусть,какивпримере�,распределениясосредо-точенынаинтервале(0;1),инанемF(x)=x.АG(x) —функцияраспределения,сосредоточенноговдвухточках —bи1.Т.е.G(x)=0приx,непревосходящемb;G(x) = hна(b;1];G(x)=1приx>1.СтакойфункциейG(x)легкопроводитьрасчеты.Однакоонанеудовлетворяетпринятымвышеусловиямнепре-рывностиистрогоговозрастания.Вместестемлегковидеть,чтоонаявляетсяпредельной(сходимостьвкаждойточкеот-резка[0;1])дляпоследовательностифункцийраспределения,удовлетворяющихэтимусловиям.Араспределениестатистики

8�

Вилкоксонадляпарыфункцийраспределенияпримера�яв-ляетсяпредельнымдляпоследовательностисоответствующихраспределенийстатистикиВилкоксона,полученныхврассмат-риваемыхусловияхнепрерывностиистрогоговозрастания.УсловиеP(X < Y)=1/2выполнено,еслиh = (1 – b)–1/2(при

bизотрезка[0;1/2]).Посколькуh>1/2приположительномb,тоочевидно,чтомедианаG(x)равнаb,втовремякакмедианаF(x)равна1/2.Значит,приb=1/2медианысовпадают,привсехиныхположительныхb—различны.Приb=0медианойG(x)являетсялюбаяточкаизотрезка[0;1].Легко подсчитать, что в условиях примера � параметры

предельногораспределенияимеютвид

b2 = b(1– b)–1/�, g2 = (1–2b)/�.

Следовательно,распределениенормированнойицентриро-ваннойстатистикиВилкоксонабудетасимптотическинормаль-нымсматематическиможиданием0идисперсией

D(T) = �[(n – 1)b(1 – b)–1+(m – 1)(1–2b)+1](m+n+1)–1.

ПроанализируемвеличинуD(T)взависимостиотпараметраbиобъемоввыборокmиn.Придостаточнобольшихmиn

D(T) = �wb(1 – b)–1 + �(1 – w)(1–2b),

с точностью до величин порядка (m+n)–1, гдеw= n/(m+n).Значит,D(T) —линейнаяфункцияотw,апотомудостигаетэкстремальныхзначенийнаграницахинтервалаизмененияw,т.е.приw=0иw=1.Легковидеть,чтоприb(1–b)–1<1 –2bминимум равен �b(1 – b)–1 (приw= 1), амаксимум равен�(1 –2b)(приw=0).Вслучаеb(1–b)–1>1–2bмаксимумравен�b(1–b)–1(приw=1),аминимумравен�(1–2b)(приw=0).Еслижеb(1–b)–1=1–2b(эторавенствосправедливоприb=b0=1–2–1/2=0,29�),тоD(T)=�(21/2–1)=1,2�26...привсехwизотрезка[0;1].Первыйизописанныхвышеслучаевимеетбытьприb <

b0.При этомминимумD(T) возрастает от 0 (приb= 0,w = 1 —предельныйслучай)до�(21/2–1)(приb=b0,w —лю-бом),амаксимумуменьшаетсяот�(приb=0,w =0 —пре-

85

дельныйслучай)до�(21/2–1)(приb=b0,w —любом).Второйслучайотноситсякbизинтервала(b0;1/2].Приэтомминимумубываетотприведенноговышезначениядляb=b0до0(приb=1/2,w =0 —предельныйслучай),амаксимумвозрастаетоттогожезначенияприb=b0до�(приb=1/2,w =0).Таким образом,D(T)может принимать все значения из

интервала(0;�)взависимостиотзначенийbиw.ЕслиD(T)<1,топриприменениикритерияВилкоксонаквыборкамсрассматриваемымифункциямираспределениягипотезаодно-родности(2.10)будетприниматьсячаще(присоответствующихзначенияхbиw —свероятностью,скольугодноблизкойк1),чемеслибыонасамомделебылаверна.Если1<D(T)<�,тогипотеза(2.10)такжепринимаетсядостаточночасто.Так,еслиуровеньзначимостикритерияВилкоксонаравен0,05,то(асимптотическая) критическая область этого критерия, какпоказано выше,имеет вид {T: |T| 8 1,96}.Если — самыйплохойслучай —D(T)= �,тогипотеза(2.10)принимаетсясвероятностью0,7�22.

Гипотеза сдвига.При проверке гипотезы однородностимырассмотрелиразличныевидынулевыхиальтернативныхгипотез —гипотезу(2.10)иееотрицаниевкачествеальтерна-тивы,гипотезу(2.1�)иееотрицание,гипотезыоравенствеилиразличиимедиан.Втеоретическихработахпоматематическойстатистике часто рассматривают гипотезу сдвига, в которойальтернативойгипотезе(2.10)являетсягипотеза

H1: F(x) = G(x + r) (2.20)

привсехxинекоторомсдвигеr,отличнымот0.ЕсливернаальтернативнаягипотезаH1,товероятностьP(X < Y)отличнаот1/2,апотомуприальтернативе(2.20)критерийВилкоксонаявляетсясостоятельным.Внекоторыхприкладныхпостановкахгипотеза(2.20)пред-

ставляетсяестественной.Например,еслиоднимитемжепри-боромпроводятсядвесерииизмеренийдвухзначенийнекоторойвеличины(физической,химическойит.п.).ПриэтомфункцияраспределенияG(x)описываетпогрешностиизмеренияодногозначения,аG(x+r) —другого.Вопрекираспространенномуза-

86

блуждению,хорошоизвестно,чтораспределениепогрешностейизмерений,какправило,неявляетсянормальным(см.обэтом[21,гл.5.1],[20,гл.�.1]).Однакоприанализеподавляющегобольшинстваконкретныхстатистическихданных,какправило,нетникакихоснованийсчитать,чтоотсутствиеоднородностивсегдавыражаетсястольоднозначнымобразом,какследуетизформулы(2.20).Поэтомудляпроверкиоднородностинеобхо-димо использовать статистические критерии, состоятельныепротивлюбогоотклоненияотгипотезыоднородности(2.10),анетолькопротивальтернативысдвига.Почемужематематикитаклюбятгипотезусдвига(2.20)?

Да потому, что она дает возможность доказывать глубокиематематические результаты, например, об асимптотическойоптимальностикритериев.Ксожалению,сточкизренияор-ганизационно-экономическогомоделированияэтонапоминаетпоискключейподфонарем,гдесветло,аневкустах,гдеонипотеряны.Отметимещеоднообстоятельство.Частоговорят(всоот-

ветствиисклассическимподходомматематическойстатисти-ки),чтонельзяпроверятьнулевыегипотезыбезрассмотренияальтернативных.Однако при анализе данных, полученныхв ходе организационно-экономических, технических,меди-цинских или иных исследований, зачастуюполностью яснаформулировкатойгипотезы,которуюжелательнопроверить(например, гипотезы абсолютной (иногда говорят, полной)однородности —см.формулу(2.10)),втовремякакформули-ровкаальтернативнойгипотезынеочевидна.Толиэтогипотезаоневерностиравенства(2.10)хотябыдляодногозначенияx,толиэтоальтернатива (2.16),толи —альтернативасдвига(2.20),ит.д.Втакихслучаяхцелесообразно«обернуть»зада-чу —исходяизстатистическогокритериянайтиальтернативы,относительнокоторыхонсостоятелен.ИменноэтоипроделановнастоящемразделедлякритерияВилкоксона.ПодведемитогирассмотрениякритерияВилкоксона.1.КритерийВилкоксона(Манна-Уитни)являетсяоднимиз

самыхраспространенныхнепараметрическихранговыхкрите-риев,используемыхдляпроверкиоднородностидвухвыборок.Егозначениенеменяетсяприлюбоммонотонномпреобразо-

87

ваниишкалыизмерения(т.е.онпригодендлястатистическогоанализаданных,измеренныхвпорядковойшкале —см.главу6ниже).2.РаспределениестатистикикритерияВилкоксонаопреде-

ляетсяфункциямираспределенияF(x)иG(x)иобъемамиmиnдвухвыборок.ПрибольшихобъемахвыборокраспределениестатистикиВилкоксонаявляетсяасимптотическинормальнымспараметрами,выписаннымивыше(см.формулы(2.9),(2.11)и(2.1�)).�.Приальтернативнойгипотезе,когдафункциираспреде-

лениявыборокF(x)иG(x)несовпадают,распределениестатис-тикиВилкоксоназависитотвеличиныa = P(X < Y).Еслиaотличаетсяот1/2,томощностькритерияВилкоксонастремитсяк1,ионотличаетнулевуюгипотезуF ≡ Gотальтернативной.Еслижеa = 1/2,тоэтоневсегдаимеетместо.Впримере2приведеныдве различные функциираспределениявыборокF(x)иG(x)такие,чтогипотезаоднородностиF ≡ GприпроверкеспомощьюкритерияВилкоксонабудетприниматьсячаще,чемеслибыонанасамомделебылаверна.�.Следовательно,вслучаеобщейальтернативыкритерий

Вилкоксонанеявляетсясостоятельным,т.е.невсегдапозволяетобнаружитьразличиефункцийраспределения.Однакоэтонелишаетегопрактическойценности,точнотакже,какнесосто-ятельностькритериевтипахи-квадратприпроверкесогласия,независимостиилиоднородностинемешаетотклонятьнуле-вуюгипотезувомногихпрактическиважныхслучаях.ОднакопринятиенулевойгипотезыспомощьюкритерияВилкоксонаможетозначатьнесовпадениеFиG,авсеголишьвыполнениеравенстваa = 1/2.5.Иногдаутверждают,чтоспомощьюкритерияВилкоксона

можнопроверятьравенствомедианфункцийраспределенияFиG.Этонетак.Впримерах�и�указаныфункциираспреде-ленияFиGсa = 1/2,носразличнымимедианами.ВомногихслучаяхэторазличиенельзяобнаружитьспомощьюкритерияВилкоксона,какэтопоказанопричисленноманализеасимп-тотическойдисперсиивпримере�.6.УказанныевышенедостаткикритерияВилкоксонаисче-

заютдляспециальноговидаальтернативы —т.н.«альтерна-

88

тивысдвига» H1: F(x) = G(x + r). Вэтомчастномслучаеприсправедливостиальтернативнойгипотезымощностьстремитсяк 1, различиемедиан такжевсегда обнаруживается.Однакоальтернативасдвиганевсегдаестественна.Еецелесообразнопринять,еслиоднимитемжеприборомпроводятсядвесерииизмеренийдвухзначенийнекоторойвеличины(физической,химической и т.п.).При этомфункция распределенияG(x)описываетрезультатыизмерений (спогрешностями) одногозначения, аF(x)=G(x + r) — другого.Другими словами,меняетсялишьизмеряемоезначение,асобственнораспределе-ниепогрешностей —одноитоже,присущееиспользуемомусредствуизмерения (иобычноописанноев еготехническомпаспорте).Однаковбольшинствеприкладныхстатистическихисследованийнетникакихоснованийсчитать,чтоприальтерна-тивефункцияраспределениявторойвыборкилишьсдвигается,нонеменяетсякаким-либоинымобразом.7. ПривсехсвоихнедостаткахкритерийВилкоксонапрост

впримененииичастопозволяетобнаруживатьразличиегрупп(посколькуоночастосводитсякотличиюa = P(X < Y)от1/2).Приведенныездеськритическиезамечаниянеследуетпони-матькакпризывкполномуотказуотиспользованиякритерияВилкоксона.Однакодляпроверкигипотезыоднородностивслучае альтернативы общего видаможно порекомендоватьсостоятельные критерии, в частности, рассматриваемые вследующемразделекритерииСмирноваитипаомега-квадрат(Лемана-Розенблатта).8.Влитературепоприкладнымстатистическимметодам

соседствуютдвастиляизложения.Одинизнихисходитизфор-мулировокнулевойиальтернативныхгипотез(илиописаниянаборагипотез,изкоторогонадовыбратьнаиболееадекват-ную),дляпроверкикоторыхстроятсятеилииныекритерии.Придругомстилеизложенияупорделаетсянаалгоритмическоеописаниекритериевдляпроверкитехилииныхгипотез,аобальтернативахдаженеупоминается.Например, в литературе поматематической статистике

частоговорится,чтодляпроверкинормальностииспользуютсякритерииасимметриииэксцесса(ониописаны,например,влучшемсправочнике1960–1980-хгодов[2,табл.�.7]).Однако

89

эти критерии позволяют проверять некоторые соотношениямеждумоментамираспределения,ноотнюдьнеявляютсясо-стоятельнымикритерияминормальности(невсеотклоненияот нормальности обнаруживают). Впрочем, для прикладнойстатистикиэтикритериибольшогопрактическогозначениянеимеют,посколькузаранееизвестно,чтораспределенияконк-ретныхтехнических,экономических,медицинскихииныхста-тистическихданныхскореевсегоотличныотнормальных.ТакчтонедостаткикритерияВилкоксонанеявляетсяисклю-

чением,мощностьрядаиныхпопулярныхвматематическойстатистикекритериевзаслуживаеттщательногоизучения,приэтомзаранееможносказать,чтозачастуюонинепозволяютпроверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны.При применении подобных критериев к анализу реальныхданныхнеобходимотщательновзвешиватьихдостоинстваинедостатки.Ворганизационно-экономическихисследованияхначинать

следует с построения вероятностно-статистическоймодели,формулировкивеетерминахпроверяемыхгипотез.Лишьнаосновеподобноймоделиможноизучитьсвойстватехилииныхметодовиалгоритмовобработкиданных.Застатистическимкритериемвсегдастоитвероятностно-статистическаямодельпорожденияданных,определяющаяегосвойства.

2.5. состоятельные критерии проверки однородности независимых выборок

Всоответствиисметодологиейорганизационно-экономи-ческогомоделированияестественнопотребовать,чтобыреко-мендуемыйдлямассовогоиспользованиявуправленческих,экономических,технических,медицинскихииныхисследова-нияхкритерийоднородностибылсостоятельным.Напомним:этозначит,чтодлялюбыхотличныхдруготдругафункцийраспределенияF(x)иG(x)(другимисловами,присправедли-вости альтернативной гипотезыH1) вероятность отклонениягипотезыH0 должнастремиться к1приувеличенииобъемов

90

выбороктип.Изперечисленныхвыше(вконцераздела2.�)критериев однородности состоятельными являются толькокритерииСмирноваитипаомега-квадрат.ПроведенноевИнститутевысокихстатистическихтехноло-

гийиэконометрикиисследованиемощности(методомстатис-тическихиспытаний)первыхчетырехизперечисленныхвышекритериев(приразличныхвариантахфункцийраспределенияF(x)иG(x)) подтвердилопреимуществокритериевСмирноваиомега-квадратипрималыхобъемахвыборок6–12.Рассмотримэтикритерииподробнее.

Критерий Смирнова однородности двух независимых выборок. Он был предложен членом-корреспондентомАНСССРН.В.Смирновымв19�9г.(см.справочник[2]).Единс-твенное ограничение —функции распределенияF(x) иG(x)должныбытьнепрерывными.Напомним,чтосогласноЛ.Н.БольшевуиН.В.Смирнову[2]значениеэмпирическойфункциираспределениявточкехравнодолерезультатовнаблюденийввыборке,меньшихх.КритерийСмирноваоснованнаисполь-зованииэмпирическихфункцийраспределенияFm(x)иGn(x),построенных по первой и второй выборкам соответственно.ЗначениестатистикиСмирнова

( ) ( ), supт п m nx

D F x G x= −

сравниваютссоответствующимкритическимзначением(см.,например, [2]) и по результатам сравнения принимают илиотклоняютгипотезуН0 осовпадении(однородности)функцийраспределения.ПрактическизначениестатистикиDm,прекомен-дуетсясогласномонографии[2]вычислятьпоформулам

( ) ( ),1 1

1max maxm n m r n s

r n r n

r sD F y G x

n m+ − ′ ′= − = − 7 7 7 7

, (2.21)

( ) ( ),1 1

1max maxm n m r n s

r n r n

r sD F y G x

n m− − ′ ′= − = − 7 7 7 7

, (2.22)

( ), , ,max ,m n m n m nD D D+ −= (2.2�)

91

гдеx’1<x’2<…<x’m —элементыпервойвыборкиx1, x2, … , xm,переставленныевпорядкевозрастания,аy’1< y’2< … < y’n —элементывторойвыборкиy1, y2, … , yn,такжеперестав-ленныевпорядкевозрастания.Посколькуфункциираспределе-нияF(x)иG(x)предполагаютсянепрерывными,товероятностьсовпадениякаких-либовыборочныхзначенийравна0.

Пример 1.Рассчитаемзначениестатистикидвухвыбороч-ногокритерияСмирновадлятехжевыборок,длякоторыхвпредыдущемразделебылорассчитанозначениестатистикикри-терияВилкоксона.Перваяизнихсодержитm = 12 элементов.Переставимихвпорядкевозрастания0<2<�<17<5<7<1�<1�<15<22<66<97.Втораясодержитn = 1� элементов.Такжепереставимихвпорядкевозрастания1<2<6<7<11<15=15<21<25<29<�0<��<��<�7.Точнее,впорядкенеубывания,посколькудваэлементасовпадают.С точки зрения теории вероятность совпадениядвухэлементовравна0,ноиз-занеизбежныхокругленийэтавероятностьположительна.Посколькусовпадениймало(каквнутриоднойвыборки,такидляэлементовразныхвыборок),тоиспользованиетеории,основаннойнанулевойвероятностисовпаденияэлементоввыборок,являетсядопустимым.Расчетзначенийстатистикпредставленвтабл.2.�(D+m,n)

итабл.2.�(D—m,n).

Т а б л и ц а 2 . 3

Расчет значения статистики D+m,n

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок

Fm(x) r/n r/n –– Fm(x)

Gn(x) 1sm− Gn(x)-

–(s–1)/m

(1) (2) (�) (�) (5) (6) (7) (8) (9)

1 0 1 0 0 0 0

2 1 2 0,08� 0,071 –0,012 0

� 2 1 0,08� 0,071 0,08� –0,012

� 2 2 0,08� 0,1�� 0,06 0,071

5 � 1 0,167 0,1�� 0,167 –0,02�

6 5 1 0,25 0,1�� 0,25 –0,107

92

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок

Fm(x) r/n r/n –– Fm(x)

Gn(x) 1sm− Gn(x)-

–(s–1)/m

7 6 2 0,��� 0,21� –0,119 0,1��

8 7 1 0,��� 0,21� 0,��� –0,119

9 7 2 0,��� 0,286 –0,0�7 0,21�

10 11 2 0,�17 0,�57 –0,06 0,286

11 1� 1 0,�17 0,�57 0,�17 –0,06

12 1� 1 0,5 0,�57 0,5

1� 15 1 0,58� 0,�57 0,58� –0,226

1� 15 2 0,58� 0,�29 –0,15� 0,�57

15 15 2 0,58� 0,5 –0,08� 0,�57

16 17 1 0,667 0,5 0,667 –0,167

17 21 2 0,75 0,571 –0,179 0,5

18 22 1 0,75 0,571 0,75 –0,179

19 25 2 0,8�� 0,6�� –0,19 0,571

20 29 2 0,8�� 0,71� –0,119 0,6��

21 �0 2 0,8�� 0,786 –0,0�7 0,71�

22 �� 2 0,8�� 0,857 0,02� 0,786

2� �� 2 0,8�� 0,929 0,096 0,857

2� �7 2 0,8�� 1,0 0,167 0,929

25 66 1 0,8�� 1,0 0,88� 0,167

26 97 1 0,917 1,0 0,88� 0,167

Т а б л и ц а 2 . 4

Расчет значения статистики D—m,n

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок

Fm(x) (r–1)/n Fm(x)–– (r–1)/n

Gn(x) s/m s/m –– Gn(x)

(1) (2) (�) (�) (5) (6) (7) (8) (9)

1 0 1 0 0 0,08� 0,08�

2 1 2 0,08� 0 0,08� 0

� 2 1 0,08� 0,071 0,167 0,096

� 2 2 0,08� 0,071 0,012 0,071

5 � 1 0,167 0,1�� 0,25 0,107

9�

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок

Fm(x) (r–1)/n Fm(x)–– (r–1)/n

Gn(x) s/m s/m –– Gn(x)

6 5 1 0,25 0,1�� 0,��� 0,19

7 6 2 0,��� 0,1�� 0,19 0,1��

8 7 1 0,��� 0,21� 0,�17 0,20�

9 7 2 0,��� 0,21� 0,119 0,21�

10 11 2 0,�17 0,286 0,1�1 0,286

11 1� 1 0,�17 0,�57 0,5 0,1��

12 1� 1 0,5 0,�57 0,58�

1� 15 1 0,58� 0,�57 0,667 0,�1

1� 15 2 0,58� 0,�57 0,226 0,�57

15 15 2 0,58� 0,�29 0,15� 0,�57

16 17 1 0,667 0,5 0,75 0,25

17 21 2 0,75 0,5 0,25 0,5

18 22 1 0,75 0,571 0,88� 0,�12

19 25 2 0,8�� 0,571 0,262 0,571

20 29 2 0,8�� 0,6�� 0,19 0,6��

21 �0 2 0,8�� 0,71� 0,119 0,71�

22 �� 2 0,8�� 0,786 0,0�7 0,786

2� �� 2 0,8�� 0,857 –0,02� 0,857

2� �7 2 0,8�� 0,929 –0,096 0,929

25 66 1 0,8�� 1,0 0,917 –0,08�

26 97 1 0,917 1,0 0,917 –0,08�

Берямаксимумпостолбцу(6)табл.2.�,получаем,чтоD+m,n=0,167.Таковжемаксимумипостолбцу(9),какидолжнобытьвсоответствиисприведеннымвышеравенством.Макси-мумпостолбцу(6)табл.2.�равен0,262,втовремякакмакси-мумпостолбцу(9)тойжетаблицыесть0,�12.Эторазличиевызванотем,чтонекоторыевыборочныезначениясовпадают,апотомуравенство(2.22),справедливоеприотсутствиисов-падений,невыполняется.Втакихслучаяхрекомендуютбратьмаксимальное из полученных двумя способами значений,т.е.следуетположитьD—m,n=max(0,262;0,�12)=0,�12.Поформуле(2.2�)двухвыборочнаястатистикаСмирноваDm,n=max(0,167;0�12)=0,�12.

9�

Втабл.6.5асправочника[2]приведеныкритическиезна-чениядлядвухвыборочнойстатистикиСмирнова,соответству-ющиеобычноиспользуемымуровнямзначимости(табл.2.5).Поскольку полученное по статистическим данным значениеменьшекритического значениядля уровня значимостиα=0,1,апотомуидлявсехостальныхрассматриваемыхуровнейзначимости,тонетоснованийотклонятьгипотезуоднороднос-ти.КакиприиспользованиикритерияВилкоксона, эффектне обнаружен, нулевую гипотезу абсолютной однородностипринимаем.

Т а б л и ц а 2 . 5

Критические значения и истинные уровни значимости для двухвы-борочной статистики Смирнова (m = 12, n = 14)

Номинальныйуровеньзначимости

10% 5% 2% 1%

Критическоезначение(дробь) �9/8� ��/8� �7/8� 52/8�

Критическоезначение(деся-тичноечисло)

0,�6� 0,512 0,559 0,619

Истинныйуровеньзначимос-ти

8,7 �,� 2,0 0,8

РазработаныалгоритмыипрограммыдляЭВМ,позволя-ющиерассчитыватьточныераспределения,процентныеточкиидостигаемыйуровеньзначимостидлядвухвыборочнойста-тистикиСмирноваDm,n,разработаныподробныетаблицы(см.,например,методику[1�],содержащуюописаниеалгоритмов,текстыпрограммиподробныетаблицы).ОднакоукритерияСмирноваестьинедостатки.Егорас-

пределение сосредоточено в сравнительно небольшом числеточек. Ясно, что принимаемые этой статистикой значенияпропорциональнывеличине1/L,гдеL —наименьшееобщеекратное объемов выборокm и n.Поэтомуфункция распре-деления растет большими скачками.Для рассматриваемогопримераL — наименьшее общее кратное 12 и 1�, т.е. 8�.Следовательно,принимаемыестатистикойСмирновавходятварифметическуюпрогрессиюсшагом1/8�=0,012.Именнопоэтомукритическиезначениявсборнике[2]приведеныввидедробисзнаменателемL =8�.

95

Крометого,неудаетсявыдержатьзаданныйуровеньзна-чимости.Реальный(другимисловами,истинный)уровеньзна-чимостиможетзначительно,дажевнесколькоразотличатьсяот номинального (подробному обсуждениюнеклассическогофеноменасущественногоотличияреальногоуровнязначимостиотноминальногопосвященаработа[8]ираздел2.6ниже).При больших объемах выборокможно воспользоваться

доказаннойН.В.Смирновым в 19�9 г. теоремой: в случаесовпадениянепрерывныхфункцийраспределенияэлементовдвухнезависимыхвыборок

,,lim ( )m n

m n

mnP D y K y

m n→∞ →∞

< = + ,

гдеK(y) —функция распределенияКолмогорова, заданнаяформулой

{ }2 2( ) ( 1) exp 2k

k

K y k y∞

=−∞= − −∑ .

Посколькусогласно[2]квантильпорядка0,9функциирас-пределенияКолмогороваравна1,22�,токритическоезначениедвухвыборочнойстатистикиСмирноваDm,n,соответствующееуровнюзначимости10%,прибольшихобъемахвыборокимеетвид

1,22�m nmn+.

Приm =12,n =1�этаформуладает0,�815,втовремякакточноезначениеравно0,�6�(см.табл.2.5выше).Видим,чтоприближениеудовлетворительное,т.е.рассматриваемыеобъ-емывыборок(более10элементов)можносчитатьбольшими.ДляпостроенияправилпринятиярешенийнаосновезначенийдвухвыборочнойстатистикиСмирнова,соответствующихдру-гимуровнямзначимости,можновоспользоватьсянебольшойтабл.2.6 квантилей функции распределенияКолмогорова,взятойизсправочника[2].

96

Т а б л и ц а 2 . 6

Квантили функции распределения Колмогорова

Величинаa 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99

Квантильпорядкаa

1,07275 1,22�85 1,�5810 1,517�� 1,62762

Критерий типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта).Статистикакритериятипаомега-квадратдляпроверкиодно-родностидвухнезависимыхвыборокимеетвид:

( ) ( )( ) ( )2m n m n

nmA F x G x dH x

n m

∞

+−∞

= −+ ∫ ,

гдеHm+n(x)— эмпирическаяфункцияраспределения,постро-еннаяпообъединеннойвыборке.Легковидеть,что

( ) ( ) ( )m n m n

m nH x F x G x

m n m n+ = ++ +.

СтатистикаA типаомега-квадратбылапредложенаЭ.Ле-маномв1951г.,изученаМ.Розенблаттомв1952г.,азатемидругимиисследователями.Оназависитлишьотранговэле-ментовдвухвыбороквобъединеннойвыборке.Пустьx1,x2,...,xm —перваявыборка,x′1<x′2<...<x′m —соответствующийвариационныйряд,y′1,y′2,...,y′m —втораявыборка,y′1<y′2< ...< y′m — вариационный ряд, соответствующий второйвыборке. Поскольку функции распределения независимыхвыборок непрерывны, то с вероятностью 1 все выборочныезначения различны, совпадения отсутствуют.СтатистикаАпредставляетсяввиде(см.,например,[2]):

( ) ( ) ( ) ( )22

1 1

1 � 1,

6

m n

i ji j

nmA m r i n s j

nm m n m n= =

−= − + − − + +

∑ ∑

гдеri — рангx’iиsj —рангy’j вобщемвариационномряду,построенномпообъединеннойвыборке.

Правила принятия решений при проверке однородностидвух выборок на основе статистикСмирнова и типа омега-квадрат, т.е. таблицы критических значений в зависимости

97

от уровней значимости и объемов значимости приведены,например,втаблицах[2].Придостаточнобольшихобъемахвы-борокправилопринятиярешенияформулируетсяпросто:еслинаблюдаемоезначениестатистикименьшесоответствующегоквантиляпредельногораспределения,гипотезаоднородностипринимается,впротивномслучаеотклоняется.РасчетзначениястатистикиАтипаомега-квадрат(статисти-

киЛемана-Розенблатта)потемжеданным,покоторымбылинайденызначениястатистиккритериевВилкоксонаиСмирно-ва,представленвтабл.2.7.Суммируязначениявстолбце(6),получаем,что

12

2

1

( ) 598ii

r i=

− =∑ .

Аналогичнополучаемспомощьюстолбца(9),что

1�

2

1

( ) 880jj

s j=

− =∑ .

Следовательно,

1 � 12 1� 1[12 598 1� 880]

12 1� 26 6 261 671[7176 12�20] �,�6�� �,�01� 0,1621

��68 156

A× × −

= × + × − =× × ×

= + − = − =

Т а б л и ц а 2 . 7

Расчет значения статистики А Лемана-Розенблатта

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок i ri –i (ri – i)2 j sj – j (sj – j)

2

(1) (2) (�) (�) (5) (6) (7) (8) (9)

1 0 1 1 0 0

2 1 2 1 1 1

� 2 1 2 1 1

� 2 2 2 2 �

5 � 1 � 2 �

6 5 1 � 2 �

98

№п/п

Элементывыборокx

Номеравыборок i ri –i (ri – i)2 j sj – j (sj – j)

2

7 6 2 � � 16

8 7 1 5 � 9

9 7 2 � 5 25

10 11 2 5 5 25

11 1� 1 6 5 25

12 1� 1 7 5 25

1� 15 1 8 5 25

1� 15 2 6 8 6�

15 15 2 7 8 6�

16 17 1 9 7 �9

17 21 2 8 9 81

18 22 1 10 8 6�

19 25 2 9 10 100

20 29 2 10 100 100

21 �0 2 11 10 100

22 �� 2 12 10 100

2� �� 2 1� 10 100

2� �7 2 1� 10 100

25 66 1 11 1� 196

26 97 1 12 1� 196

Известно[21],что

1,lim { ) ( )

m nP A x a x

→∞ →∞< =

(в обозначениях [2]), где a1(x) — предельнаяфункция рас-пределения классической статистики омега-квадрат (Краме-ра-Мизеса-Смирнова), используемой для проверки согласияэмпирическогораспределениясзаданнымтеоретическим.Квантили функции распределения a1(x) приведены в

табл.2.8.Известно[2,21],чтовслучаестатистикиЛемана-Ро-зенблаттапредельнымраспределениемможнопользоватьсяидлявыборокумеренногообъема(5и7,6и7,7и7,8и8ит.д.).ПосколькунаблюдаемоезначениеА=0,1621меньшелюбого

99

критическогозначениявтабл.6,тогипотезуоднородностидвухрассматриваемыхвыборокследуетпринять.

Т а б л и ц а 2 . 8

Квантили предельной функции распределения статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова)

Величинаa 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99

Квантильпорядкаa 0,2�5 0,��7 0,�61 0,620 0,7��

Рекомендации по выбору критерия однородности.Длякритериятипаомега-квадрат(Лемана-Розенблатта)нетвыра-женногоэффектаразличиямеждуноминальнымииреальнымиуровнямизначимости.Поэтомумырекомендуем для проверки однородности функций распределения (гипотеза H0) применять статистику А типа омега-квадрат. Если методическое, таб-личное или программное обеспечение для статистики Лема-на — Розенблатта отсутствует, рекомендуем использовать критерий Смирнова.Для проверки однородности матема-тических ожиданий (гипотеза H’0) целесообразно применять критерий Крамера-Уэлча. По нашемумнению, статистикиСтьюдента,Вилкоксонаидр.допустимоиспользоватьлишьвотдельныхчастныхслучаях,рассмотренныхвыше.Краткосформулируемнекоторыесоображенияовнедрении

современныхметодовприкладнойстатистикивпрактикутех-нических,экономических,медицинскихииныхисследований.Дажеизпроведенноговышеразборалишьоднойизтипичныхстатистическихзадачорганизационно-экономическогомодели-рования —задачипроверкиоднородностидвухнезависимыхвыборок —можносделатьвыводоцелесообразностиширокогоразвертыванияработпокритическомуанализусложившейсяпрактикистатистическойобработкиданныхиповнедрениюна-копленногоарсеналасовременныхметодовприкладнойстатис-тики.Понашемумнению,широкоговнедрениязаслуживают,вчастности,методымногомерногостатистическогоанализа,планированияэксперимента,статистикиобъектовнечисловойприроды.Очевидно,рассматриваемыеработыдолжныбытьплановыми, организационно оформленными, проводиться

100

мощными самостоятельными организациями и подразделе-ниями.Целесообразносозданиеслужбыстатистическихкон-сультацийвсистеменаучно-исследовательскихучрежденийивузовтехнического,экономического,медицинскогопрофиля,атакжеврамкахкорпорацийипромышленныхпредприятий.Этотинновационныйпроектподробноразработанвспециаль-нойлитературе[18,19].

2.6. реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки

статистических гипотез

Вомногихмонографиях,справочникахитаблицах(напри-мер,[1,6,7])припроверкестатистическихгипотезкритическиезначения статистик указаны для априорнофиксированных(номинальныхвтерминологии[8])уровнейзначимостиα?.Вкачестветаковыхобычноиспользуютсязначенияизтройкичи-сел0,01,0,05,0,1,ккоторыминогдадобавляютещенесколько:0,001,0,005,0,02идр.Однакоясно,чтодлядискретныхстатистик(т.е.статис-

тиксдискретнымифункциямираспределения)ккоторым,вчастности, относятся все непараметрические статистическиекритерии[2,2�],реальныеуровнизначимостиα?могутинесовпадатьсноминальными.Подα?понимаетсямаксимальновозможный уровень значимости дискретной статистики, непревосходящийзаданныйноминальныйα?(т.еприпереходекследующемуповеличиневозможномузначениюдискретнойстатистикисоответствующийуровеньзначимостиоказываетсябольшезаданногономинального).Поэтомувлучшихтаблицах[2,2�]дляограниченныхобъемоввыборок (2–100) табули-руются точные распределения дискретных статистик. Длякаждойконкретнойстатистикиреальныйуровеньзначимостиα? —функцияотобъемоввыборокn=(n1,…,nt),т.е.α?=α?(n).(Здесьt —числовыборок,покоторымрассчитываетсязначениестатистики;рассматриваемвосновномслучайдвухвыборок,т.е.t=2.)

101

Воднихтаблицахприведеныα?[2,2�],вдругих —нет[1,6,7].Возникаетестественныйвопрос:счемэтосвязано?Либов работах [1, 6, 7] нарушена культура табулирования, либореальныеα?иноминальныеα?уровнизначимостипрактичес-кисовпадаютдлявсехn.Продемонстрируем,чтопокрайнеймередлянекоторыхстатистиквыполненопервоеизэтихдвухутверждений.В качестве примера рассмотрим критерий серий (Воль-

фовица)проверкиоднородностидвухнезависимыхвыборок.СтатистикаэтогокритерияV —эточислосерий,т.е.частейобщеговариационногорядадвухвыборок,каждаяизкоторыхсостоит из элементов одной выборки.При справедливостинулевойгипотезыотождествефункцийраспределения,соот-ветствующих двумнезависимым выборкам объемовn1иn2,известноточноераспределение[2,табл.6.7]

( )

1 2

1

1 2

1 2 1 2

1

1 2

1 11 1

1 2 1 11 1 1 1

2, =2 ,

| ,

, =2 1,

k kr r

rr r

k k k kr r r r

nn n

С Сесли r k

СP V r n n

С С С Сесли r k+

С

− −− −

+− −

− − − −

+

= = +

гдеr=2,�,…,2n1приn1=n2иr=2,�,…,2n1+1приn1<n2 (безограниченияобщностиможнопринять,чтообъемпервойвыборкинепревосходитобъемавторойвыборки,т.е.n17n2).

Несложныйрасчетдляноминальногоуровнязначимостиα?=0,05показывается,что

приn1=n2=6реальныйуровеньзначимостиα?=0,0260;

приn1=n2=8реальныйуровеньзначимостиα?=0,0178;

приn1=n2=10реальныйуровеньзначимостиα?=0,0�70;

приn1=n2=12реальныйуровеньзначимостиα?=0,0190.

Такимобразом,длярассматриваемыхобъемоввыборокре-альныйуровеньзначимостив2–�разаменьше,чемноминаль-ный.Это,очевидно,необходимоучитыватьприинтерпретациирезультатованализареальныхстатистическихданных.

102

Соотношениереальных(истинных)иноминальныхуровнейзначимостибылоизученонами[8]напримеренепараметри-ческих критериевпроверки однородностидвухнезависимыхвыборок.Втабл.2.9,построеннойв[8]поданным[2,�,2�],дляряданепараметрическихкритериевпроверкиоднородностидвухнезависимыхвыборокприведеныреальныеуровнизначи-мостиα?(n)дляноминальногоуровнязначимостиα?=0,05иобъемоввыборокn1=n2=6,8,10,12.Проанализированыпятькритериев.1.Двухвыборочный критерийВилкоксона, являющийся

линейнойфункциейоткритерияМанна-Уитнииподробнорас-смотренныйвышевразд.2.�.Напомним,чтостатистикаВил-коксонаS —этосуммаранговэлементовпервойвыборки

S = R1 + R2 + … + Rn1

вобщемвариационномряду,построенномпообъединеннойвыборке,включающейвсебявсеэлементыобеихвыборок(безограниченияобщностиможнопринять,чтообъемпервойвы-боркинепревосходитобъемавторойвыборки,т.е.n17n2).2.КритерийВан-дер-Вардена[2,�],представляющийсобой

дальнейшееразвитие(модификацию)критерияВилкоксонаипредназначенныйдляанализавыборок,распределениекоторыхблизкокнормальному.СтатистикаХкритерияВан-дер-Варденаимеетвид

1 21 1 1

1 2 1 2 1 2...

1 1 1nR R R

Xn n n n n n

− − − = Φ + Φ + + Φ + + + + + + ,

гдеΦ–1(p)естьквантильпорядкаpстандартногонормальногораспределенияΦ(x)сматематическиможиданием0идиспер-сией1,т.е.Φ–1(p) —обратнаяфункциякΦ(x).

�.Двухвыборочный двухсторонний критерийСмирноваоднородности двух независимых выборок, рассмотренный вразд.2.5.ОноснованнаиспользованииразностиэмпирическихфункцийраспределенияFn1(x)иGn2(x) построенныхпопервойивторойвыборкамсоответственно.Термин«двухсторонний»

10�

означает,чтоберетсясупремуммодуляэтойразности.Статис-тикадвухвыборочногодвухстороннегокритерияСмирнова

( ) ( )1 21 2( , ) sup n n

xD D n n F x G x= = −

вслучаеравенстваобъемоввыборокn1=n2принимаетзна-чения,кратные1/n1,посколькутолькотакиезначенияприни-маютэмпирическиефункциираспределенияFn1(x)иGn2(x),апотомурассматриваемаястатистикаимеет(n1+1)возможныхзначений.�.КритерийзнаковZиспользуютвслучаеравенстваобъ-

емоввыборокn1=n2.СтатистикаэтогокритерияравначислуположительныхразностейXk — Ykэлементовдвухвыбороксодинаковыминомерами.ПрисправедливостинулевойгипотезыстатистикаZимеетбиномиальноераспределениеB(1/2;n1),апотомуимеет(n1+1)возможныхзначений.5.Критерийсерий (Вольфовица)V,окоторомшларечь

выше в начале настоящего раздела.Число его возможныхзначенийнепревосходит2n1.

Т а б л и ц а 2 . 9

Реальные уровни значимости α? (n) для α? = 0,05

Наименованиеиобозначениекритерия

Объемывыборокn1=n2 Примечанияиссылки6 8 10 12

ВилкоксонаS 0,0�20 0,0�00 0,0�80 0,0�20 [2�,с.280–281],[�,с.�18]

Ван-дер-Варде-наX

0,0�98 0,0�98 0,0500 0,0500 Рассчитанопомето-дике[�,с.2�9–250]

СмирноваD 0,00�� 0,0�72 0,02�6 0,0158 [2,с.�12],[2�,с.�06–�27]

ЗнаковZ 0,0�12 0,0078 0,021� 0,0�86 [2�,с.27�–27�]

Вольфовица(серий)V

0,0260 0,0178 0,0�70 0,0190 Рассчитанопомето-дике[2,с.91–92]

10�

Анализсодержаниятабл.2.9подтверждаетпредположениеосущественностиотличияреальныхуровнейзначимостиα?(n)отноминальныхуровнейзначимости α?.Предположим теперь, что, несмотря на установленные

отличия,мыиспользуемприпроверкегипотезыоднороднос-титаблицы[1,6,7],вкоторыхуказаныα? > α?,анеα?.Этоприводит к снижениюмощности критерия по сравнению ссоответствующимрандомизированнымкритерием,обеспечи-вающимравенствоα?иα?.

Разъяснение. Поясним, что такое рандомизированныйкритерий.ПустьY —статистиканекоторогостатистическогокритерия,принимающаядискретныезначения,числаaиb,гдеa<b —двасоседнихзначенияэтойстатистики,такие,чтоP(Y>b)<α?иP(Y>a)>α?(вероятностивзятывпредположениисправедливостинулевойгипотезы).Есликритическоезначениекритерияравноb,т.е.нулеваягипотезапринимаетсяприY 7 b,тоα?=P(Y>b)<α?.Еслижекритическоезначениеравноследующемувозможному(придвижениивсторонууменьше-ния)значениюa,т.е.нулеваягипотезапринимаетсяприY 7 a,тоα?=P(Y>a)>α?.Рандомизированныйкритерийполучим,еслиприY = bвнекоторойдолеpслучаевбудемприниматьнулевуюгипотезу,авостальныхслучаях —альтернативную.Поскольку

P(Y = b)= P(Y>a)–P(Y>b),

то(реальный)уровеньзначимостирандомизированногокри-терияравен

(1–p)P(Y = b)+P(Y>b)=(1–p) P(Y>a)+pP(Y>b).

Ясно,чтоприсоответствующемвыборепараметрарандо-мизацииpуровеньзначимостирандомизированногокритериясовпадетсзаданнымноминальнымуровнемα?.Длямалыхобъемоввыборок(2–20элементов)понижение

мощностииз-затого,чтоα?>α?,можетбытьсущественным.Для иллюстрации этого в табл.2.10 приведены результатымоделированиянаиболееупотребительных(согласно[2])кри-териевпроверкиоднородностидвухнезависимыхвыборок.

105

Моделируютсявыборкиодинаковогообъемаизнормальныхзаконовраспределениясматематическимиожиданиямиm1иm2идисперсиямиσ

21иσ

22.Номинальныйуровеньзначимости,

определяющийконкретныекритическиезначениядлякритери-ев,принятравнымα?=0,05.МощностькритерияопределяетсямоделированиемN=5000парвыборок.ПрииспользованииN=5000моделируемыхпарвыбороксреднееквадратическоеотклонениеоценокмощностиσM 70,022�(приM80,95имеемσM70,01).ИзученыкритерииВилкоксонаS,ВольфовицаV,Ван-дер-

ВарденаX,СмирноваD.КритерийСтьюдентаt(см.например,[2]),какравномернонаиболеемощныйвклассенормальныхзаконовраспределения,приведендлясравнительнойоценкимощности рассматриваемых непараметрических критериев.(Моделированиеирасчеты,приведенныевнастоящемразделе,выполненыЮ.Э.КамнемиЯ.Э.Камнем[8].)

Т а б л и ц а 2 . 1 0

Мощности статистических критериев при i = 0,05

Номерэкспери-мента

Объемвыборокn1=n2

Параметры МощностьMстатистическогокритерия

m1 m2 σ21 σ22 S V X D t

1 6 0 1 1 1 0,�18 0,006 0,298 0,2�8 0,�96

2 8 0 1 1 1 0,�52 0,10� 0,�26 0,068 0,�8�

� 10 0 1 1 1 0,520 0,180 0,5�� 0,116 0,598

� 12 0 1 1 1 0,6�2 0,076 0,618 0,�62 0,682

5 6 0 2 1 1 0,828 0,�08 0,808 0,716 0,90�

6 8 0 2 1 1 0,958 0,510 0,95� 0,�58 0,976

7 10 0 2 1 1 0,98� 0,70� 0,990 0,6�2 0,988

8 12 0 2 1 1 0,996 0,568 0,996 0,978 0,998

Замечание. Приведенные в табл.2.10 значениямощнос-тейкритериевинтереснынамсточкизренияобсужденияихзависимости от различия реальныхиноминальныхуровнейзначимости.Приэтомнеобходимоподчеркнуть,чтоэтизначе-ниязависятотпредположений,принятыхпримоделировании.Так,критерииВилкоксонаиВан-дер-Вардена«настроены»на

106

использованиевслучаераспределений,близкихкнормально-мусемейству.Припроверкегипотезыосовпадениифункцийраспределениядвухнезависимыхвыборокизлогистическогораспределения с альтернативой сдвигакритерийВилкоксонаявляетсяасимптотическиоптимальным.АвслучаевыборокизнормальногораспределенияаналогичнымсвойствомобладаеткритерийВан-дер-Вардена,причемизвестно,чтосемействанор-мальныхилогистическихраспределенийвесьмаблизки —рас-стояниеКолмогоровамеждуниминепревышает0,01(см.повопросамасимптотическойоптимальностинепараметрическихкритериев[10,11,15]).Поэтомунетничегоудивительноговтом,чтомощностикритериевВилкоксонаиВан-дер-Варденаблизкикоптимумувслучаенормальногораспределения —кмощностикритерияСтьюдента.ПриэтоммощностикритериевСмирноваиособеннокритерияВольфовицазаметноменьше.Однако для выборок из других распределений (например,распределенийВейбулла-Гнеденкоилигамма-распределений)ситуация иная — критерийСмирнова, как показывает ком-пьютерноемоделирование,оказываетсяболеемощным,чемкритерииВилкоксонаиВан-дер-Вардена.Болеетого,критерийСмирнова —состоятельный,т.е.позволяетотклонитьлюбуюконкретнуюальтернативу(присоответствующихобъемахвы-борок),акритерииВилкоксонаиВан-дер-Варденанеявляютсясостоятельными,некоторыхальтернативони«нечувствуют»(см.разд.2.�).Поэтомувполнеобоснованнойявляетсяреко-мендацияоширокомиспользованиисостоятельныхкритериевСмирноваитипаомега-квадрат(Лемана-Розенблатта),даннаявразд.2.5.Чтожекасаетсякритериясерий(Вольфовица),тоиз-заегоотрицательныхсвойств(выраженнойдискретности,низкоймощности)онвнастоящеевремявыходитизупотреб-ленияприанализереальныхданных,несмотрянапрозрачностьопределения.Рассмотрениянастоящегоразделапозволяютсделатьсле-

дующиевыводы[8].1.Присозданииметодикитаблицнеобходимособлюдать

определенную культуру табулирования. В качестве положи-тельныхпримеровможноуказатьработы[2,2�].

107

2.Прималыхобъемахвыборокиспользоватьноминальныеуровнизначимостиα?вместореальныхуровнейзначимостиα?длядискретныхстатистикнедопустимо.�.Приконечныхобъемахвыбороквыбортогоилииного

критерия с дискретной статистикой должен сопровождатьсяисследованиемвлиянияварьированияуровня значимостинакачественнуюинтерпретациюрезультатовпроверкигипотез.Вчастности,выбородногоиздвухконкурирующихнепараметри-ческихкритериевK1иK2преждевсегодолжензависетьотапри-орноговыбораисследователемреальногоуровнязначимостиα?1илиα?2,соответствующегопервомукритерию K1иливторомуK2,вкачественоминальногоуровнязначимостиα?.Последний вывод демонстрирует сложность сравнения

критериев с дискретными статистикамимежду собой, пос-колькуточкискачковраспределенийихстатистикнесовпада-ют.Следовательно,вотличиеоткритериевснепрерывнымистатистикаминельзявыбратьединыйфиксированныйуровеньзначимостии сравнить свойства критериевпри этомуровнезначимости.Взаключениеотметим,чтодлялюбогокритерияпроверки

статистическихгипотезреальныйуровеньзначимостиприбли-жаетсякноминальномуприбезграничномвозрастанииобъемоввыборок,т.е.α?(n)→α?Приmin(n1,…,nt)→ ∝.Поэтомудляприкладныхисследованийзначительныйинтереспредставляетопределениеверхнейоценкискоростисходимостиα?(n)кα?.Соответствующиетеоретическиерезультатыдлякритериевпро-веркиоднородностидвухнезависимыхилисвязанныхвыборокможнополучить,основываясьнаоценкахскоростисходимостивпринципеинвариантности[21,гл.�].Некоторыеоценкипри-веденыв[17,гл.2].Скоростьсходимоститакжеможетбытьоцененаметодомстатистическихиспытаний (Монте-Карло).Примерподобногоисследованияподробнорассмотренв[9]входеобсужденияпроблемвероятностно-статистическогомоде-лированияпомех,создаваемыхэлектровозами.Внастоящей главе затронута лишьнебольшая часть не-

параметрическихметодов анализа числовых статистическихданных.Вчастности,обратимвниманиенанепараметрическиеоценкиплотности,которыеиспользуютсядляописаниядан-

108

ных,проверкиоднородности,взадачахвосстановлениязави-симостейидругихобластяхэконометрики.Непараметрическиеоценкиплотностирассмотреныв[21,раздел5.6].

литература

1.Афифи А., Эйзен С.Статистическийанализ.Подходсисполь-зованиемЭВМ. —М.:Мир,1982. —�88с.2.Большев Л.Н., Смирнов Н.В.Таблицыматематическойстатис-

тики. —М.:Наука,198�. —�16с.�.Боровков А.А.Математическая статистика. —М.: Наука,

198�. —�72с.�.Ван-дер-Варден Б.Л.Математическаястатистика. —М.:ИЛ,

1960. —���с.5.Гаек Я., Шидак 3.Теорияранговыхкритериев/Пер.сангл. —

М.:Наука,1971. —�76с.6.Гублер Е.В., Генкин А.А.Применение критериев непарамет-

рическойстатистикивмедико-биологическихисследованиях. —Л.:Медицина,197�. —1��с.7.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И.Математическаястатистика. —

М.:Высшаяшкола,198�. —2�8с.8.Камень Ю.Э., Камень Я.Э., Орлов А.И.Реальныеиноминаль-

ныеуровнизначимостивзадачахпроверкистатистическихгипотез. —Журнал«Заводскаялаборатория».1986.Т.52.№12.С.55–57.9.Карякин Р.Н., Орлов А.И., Адамов С.Ю.Вероятностнаятео-

риявысшихгармоникпомех,создаваемыхэлектровозами. —Всб.:Прикладноймногомерныйстатистическийанализ.Ученыезапискипостатистике,т.��. —М.:Наука,1978.С.�76–�80.10.Кендалл М. Дж., Стьюарт А.Статистическиевыводыисвя-

зи. —М.:Наука,197�. —900с.11.Кокс Д.Р., Хинкли Д.В. Теоретическая статистика. —М.:

Мир,1978. —560с.12.Крамер Г.Математическиеметодыстатистики/Пер.сангл.

/2-еизд. —М.:Мир,1975. —6�8с.1�.Леман Э.Проверка статистических гипотез. —М.:Наука,

1979. —�08с.1�.Методика.Проверкаоднородностидвухвыборокпараметров

продукцииприоценкееетехническогоуровняикачества. —М.:ВНИИстандартизации,1987. —116с.15.Никитин Я.Ю.Асимптотическаяэффективностьнепараметри-

ческихкритериев. —М.:Наука,1995. —2�0с.

109

16.Новиков Д.А.Статистическиеметодывпедагогическихиссле-дованиях(типовыеслучаи).М.:МЗ-Пресс,200�. —67с.17.Орлов А.И.Устойчивостьвсоциально-экономическихмоде-

лях. —М.:Наука,1979. —296с.18.Орлов А.И.Осовременныхпроблемахвнедренияприкладной

статистикиидругихстатистическихметодов. —Журнал«Заводскаялаборатория».1992.Т.58.No.1.С.67–7�.19.Орлов А.И.Высокиестатистическиетехнологии. —Журнал

«Заводскаялаборатория».200�.Т.69.No.11.С.55–60.20.Орлов А.И.Эконометрика.Из.�-е,перераб.идополн. —М.:

Экзамен,200�. —576с.21.Орлов А.И.Прикладнаястатистика. —М.:Экзамен,2006. —

671с.22.Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В.Курстеориивероятнос-

тейиматематическойстатистикидлятехническихприложений.Изд.�-е,стереотипное. —М.:Наука,1969. —512с.2�.Смолянский М.Л.Таблицынеопределенныхинтегралов. —М.:

ГИФМЛ,1961. —108с.2�.Холлендер М., Вульф Д.Непараметрическиеметодыстатисти-

ки. —М.:Финансыистатистика,198�. —518с.

Контрольные вопросы и задачи

1.Почемунепараметрическиеметодыанализачисловыхданныхпредпочтительнеепараметрических?2.Поданнымтабл.2.1раздела2.2рассчитайтезначениястатистик

хи-квадратсцельюпроверкисогласияиоднородностидляраспреде-ленийднейрожденияпознакамЗодиака.�.Укажитедоверительныеграницыдляматематическихожиданий

двух независимых выборок (с доверительной вероятностью 0,95) ипроверьтегипотезуоравенствематематическихожиданийспомощьюкритерияКрамера-Уэлча(науровнезначимостиα=0,05):

Номерварианта m X–

sx n Y–

sy1 100 1�,7 7,� 200 12,1 2,5

2 200 10 5,� �00 12 1,7

�.Даныдвевыборки(табл.2.11).Проверьтегипотезуободнород-ностифункцийраспределенияспомощьюкритерияВилкоксона (науровнезначимостиα=0,05):

110

Т а б л и ц а 2 . 1 1

Две выборки

Перваявыборка �� 27 12 27 �9 �2 �7 �8 50 �2

Втораявыборка 11 20 �0 �1 22 18 17 25 28 29

5.Каковарольальтернативныхгипотез,вчастности, гипотезысдвига,ввыборекритериядляпроверкинулевойгипотезы?6.Чемреальный(истинный)уровеньзначимостиотличаетсяот

номинального?7.Каквыбратьпараметррандомизацииp,чтобыуровеньзначи-

мостирандомизированногокритериясовпалсзаданнымноминальнымуровнемα??8.Почемутрудносравниватьмеждусобойстатистическиекри-

терии проверки гипотез, статистики которых имеют дискретныераспределения?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1.Скоростьсходимостираспределенийстатистикхи-квадратдляпроверкисогласияиоднородностикпредельномухи-квадратраспре-делению.2.СравнениедвухвыборочныхкритериевКрамера-УэлчаиСтью-

дента.�. Достоинства и недостатки двухвыборочного критерия Вил-

коксона по сравнению с другими непараметрическими критериямиоднородности.�.Дляданныхзадачи�(табл.2.11)рассчитайтезначениястатистик

Смирноваитипаомега-квадрат(Лемана —Розенблатта)ипроверьтеоднородностьдвухнезависимыхвыборок.

Примечание. В соответствии с [2] для уровня значимости 0,05критическимзначениемдлякритерияСмирноваявляется0,7(т.е.ги-потезаоднородностиотклоняется,еслизначениестатистикиСмирнованеменее0,7).Длятогожеуровнязначимостикритическимзначениемдлякритериятипаомега-квадратявляется0,�61.5.Многообразиенепараметрическихкритериевпроверкигипотез

(помонографиям[2,5,2�]).6.Сравнениемощностейнепараметрическихкритериеводнород-

ности.7.Рандомизированныекритерии.8.Подходыкопределениюасимптотическойэффективностине-

параметрическихкритериев.

111

Глава 3

МеТод наиМеньших КВадраТоВ

Однимизнаиболееважнымэтаповэконометрическогомо-делированияявляетсявосстановление(выявление)зависимостимеждупеременныминаосновестатистическихданных,котораязатемиспользуетсяприорганизационно-экономическоммоде-лировании,вчастности,дляпрогнозирования,оптимизации,принятиярешений.

3.1. Восстановление линейной зависимости между двумя переменными

Начнемсзадачиточечногоидоверительногооцениваниялинейнойфункцииоднойпеременнойx(t)=at + b.Исходныеданные —наборnпарчисел(tk , xk), k = 1,2,…,n,

гдеtk—независимаяпеременная(например,время),аxk—за-висимая (например, индекс инфляции, курс доллараСША,объеммесячногопроизводстваилиразмердневнойвыручкиторговой точки).Предполагается, что переменные связанылинейнойзависимостью

112

xk = a tk + b + ek , k = 1,2,…,n,

гдеaиb —параметры,неизвестныестатистикуиподлежащиеоцениванию,аek—погрешности,искажающиезависимость.

Обычнооцениваютпараметрыaиbлинейнойзависимостиметодом наименьших квадратов, как показано ниже. Затемвосстановленную зависимость используют, например, дляточечногоиинтервальногопрогнозирования.

Оценки метода наименьших квадратов.Немецкиймате-матикФ.Клейн, тщательно изучавшийнаучное наследствосвоеговеликогосоотечественникаК.Гаусса,пишет,чтометоднаименьшихквадратовбылразработанК.Гауссомв1795г.[�,с.�7].(Какмногопозжесказанов[8,с.181],«Гауссуказываетдведаты:179�г.и1795г.Современныеисследователисклоннысчитать,чтовернаядата —это179�г.»)Согласноэтомуметодудлярасчетанаилучшейфункции,приближающейлинейнымобразомзависимостьx отt,следуетрассмотретьфункциюдвухпеременных

2

1

( , ) ( )n

k kk

f a b x at b=

= − −∑ .

Оценкиметоданаименьшихквадратов —этотакиезначе-нияa*иb*,прикоторыхфункция f (a,b)достигаетминимумаповсемзначениямаргументов.Чтобынайтиэтиоценки,надовычислитьчастныепроиз-

водныеотфункцииf (a,b)поаргументамaи b,приравнятьих0,затемизполученныхуравненийнайтиоценки:Имеем:

1

( , )2( )( )

n

k k kk

f a bx at b t

a =

∂= − − −∂ ∑ ,

1

( , )2( )( 1)

n

k kk

f a bx at b

b =

∂= − − −∂ ∑ .

Преобразуем правые части полученных соотношений.Вынесем за знак суммы общиемножители 2 и (–1). Затемрассмотримслагаемые.Раскроемскобкивпервомвыражении,получим,чтокаждоеслагаемоеразбиваетсянатри.Вовтором

11�

выражениитакжекаждоеслагаемоеестьсумматрех.Значит,каждаяизсуммразбиваетсянатрисуммы.Имеем:

2

1 1 1

( , )( 2)

n n n

i i i ii i i

f a bx t a t b t

a = = =

∂ = − − − ∂ ∑ ∑ ∑ ,

1 1

( , )( 2)

n n

i ii i

f a bx a t bn

b = =

∂ = − − − ∂ ∑ ∑ .

Приравняемчастныепроизводные0.Тогдавполученныхуравненияхможносократитьмножитель(–2).Оценкиметоданаименьшихквадратовнаходимиз системыдвухлинейныхуравненийсдвумянеизвестнымиaиb:

2

1 1 1

0n n n

i i i ii i i

x t a t b t= = =

− − =∑ ∑ ∑ ,

1 1

0n n

i ii i

x a t bn= =

− − =∑ ∑ .

Записьрешенияэтойсистемыбудетболеекомпактной,еслииспользоватьнесуммы,асредниеарифметические:

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1, , ,

n n n n

i i i i ii i i i

t t x x xt x t t tn n n n= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ .

Разделивобечастиуравненийнаn,перейдемксистеме:

2 0xt at bt− − = ,

0x at b− − = .

Извторогоуравненияполучаем,что

b x at= − .

Подставимвпервоеуравнение:

2 ( ) 0xt at x at t− − − = .

11�

Раскрывскобки,решаемэтолинейноеуравнениесоднойпеременнойa.Получаемоценкиметоданаименьшихквадра-тов:

*

2 2* , *

( )

xt xta b x a t

t t

−= = −

−. (�.1)

Следовательно,восстановленнаяфункцияимеетвид

x*(t)=a*t + b*.

Замечание.Сточкизрениятеорииоптимизацииравенствочастныхпроизводных0 —необходимоеусловиеминимума,нонедостаточное.Однаковсилуединственностирешениясистемылинейныхуравнений равенства (�.1) дают точкуминимума,поскольку существованиеминимума вытекает из того, чтовкачествеобластиопределениянепрерывнойфункции f(a,b)можетрассматриватьсянекотороеограниченноезамкнутоемно-жество.Еслижеимеютсяаприорныеограничениянапарамет-ры,тоформулы(�.1)невсегдаприменимы.Например,пустьx(t) —издержкипроизводствапривыпускапродукцииобъемаt.Тогдапараметрылинейнойзависимостиимеютэкономическуюинтерпретацию:b —постоянныеиздержки(внезависимостиотобъемапроизводства),a —переменныеиздержки(наоднуединицувыпущеннойпродукции).Очевидно,постоянныеизде-ржкинеотрицательны:b80.Однакоприрасчетахпоформулам(�.1)при«неудачных»исходныхданныхможетбытьполученозначениеb*<0.Очевидно,отрицательнымзначениемпосто-янныхиздержекпользоватьсянельзя.Втакомслучаеможнопорекомендоватьпринятьвисходноймодели b=0иметодомнаименьшихквадратовнайтинаилучшуюоценкуединственногопараметра —переменныхиздержекa.

Пример 1(оценивание по методу наименьших квадратов). Чтобыне отвлекать внимание читателя на содержательнуюинтерпретацию исходных данных и результатов расчетов,рассмотримусловныйпример.Пустьданыn = 6парчисел(tk , xk), k = 1,2,…,6, представленныхвовторомитретьемстол-бцахтабл.�.1(строки1–6).Расчетыпометодунаименьшихквадратовудобнопроводитьспомощьютаблицы,подобной

115

табл.�.1,последовательнозаполняяеестолбцылибовручную,либонакомпьютереспомощьюэлектроннойтаблицыEXCELилииногопрограммногопродукта.Всоответствиисформулами(�.1)длявычисленияоценок

методанаименьшихквадратовнеобходиморассчитатьчетыре

величины 2, , ,t x t xt .Дляполученияпервыхдвухизнихдоста-

точнонайтисуммычисел,представленныхвовторомитреть-ем столбцах табл.�.1.Соответствующие суммы записаны вседьмойстроке(обозначенасимволомΣ),асредниеарифме-тические —ввосьмойстроке.Дляудобствачитателявдевятойстроке приведены обозначения средних величин, стоящихстрокойвыше.Длярасчетадвухоставшихсясреднихзаполненыклетки

четвертогоипятогостолбцов,азатемпроведеносуммированиепоэтимстолбцам.Всенеобходимыеоперации —поэлементноевозведениевквадрат,перемножениестолбцов,суммированиепо столбцам —легко осуществить с помощью электроннойтаблицыEXCEL.Остальные столбцы табл.�.1 используются ниже при

дальнейшемразвертыванииалгоритмовметоданаименьшихквадратов.

Т а б л и ц а 3 . 1

Расчет по методу наименьших квадратов при восстановлении ли-нейной функции одной переменной

i ti xi t2i tixi a·ti ix

xi – ix

(xi – ix

)2

(1) (2) (�) (�) (5) (6) (7) (8) (9)

1 1 12 1 12 �,1� 12,17 –0,17 0,0�

2 � 20 9 60 9,�2 18,�5 1,55 2,�0

� � 20 16 80 12,56 21,59 –1,59 2,5�

� 12 �2 �9 22� 21,98 �1,01 0,99 0,98

5 9 �5 81 �15 28,26 �7,29 –2,29 5,2�

6 10 �2 100 �20 �1,�0 �0,�� 1,57 2,�6

Σ �� 161 256 1111 0,06 1�,6�

116

i ti xi t2i tixi a·ti ix

xi – ix

(xi – ix

)2

nΣ 5,67 26,8� �2,67 185,17 2,27

t– x– t–2 xt– (σ2)*

Всоответствиисформулами(�.1)оценкиметоданаимень-шихквадратовдляприведенныхвтабл.�.1данныхтаковы:

2

185,17 26,8� 5,67 ��,0�* �,1�, * 26,8� �,1� 5,67 9,0�

10,52�2,67 (5,67)a b

− ×= = = = − × =

−

2

185,17 26,8� 5,67 ��,0�* �,1�, * 26,8� �,1� 5,67 9,0�

10,52�2,67 (5,67)a b

− ×= = = = − × =

− ,

авосстановленнаязависимостьимеетвид

x*(t)=�,1�t+9,0�.

Варианты оценок метода наименьших квадратов.Методнаименьшихквадратоврассматриваетсявомногихлитератур-ныхисточниках,иформулыдляоценокпараметровзачастуюимеютразличныйвид.Однаковсеонипереходятдругвдругаврезультатетождественныхпреобразований.Для развертывания вероятностно-статистической теории

нампонадобитсядругаяпараметризациялинейнойзависимос-ти,аименно

xk = a (tk – t–)+ d + ek , k = 1,2,…,n,

гдеaиd —параметры,неизвестныестатистикуиподлежащиеоцениванию,аek—погрешности,искажающиезависимость.Среднееарифметическоемоментоввремениt– введеновмодельдляоблегченияматематико-статистическихвыкладок.

Для оценивания параметров a и d необходимо согласнометодунаименьшихквадратовминимизироватьфункцию

2

1

( , ) ( ( ) )n

i ik

F a d x a t t d=

= − − −∑ .

117

Какираньше,вычисляемчастныепроизводныеиприрав-ниваемих0.Поскольку

1

( ) 0n

kk

t t=

− =∑ , (�.2)

уравненияприобретаютвид

2

1 1

( ) ( ) 0n n

i i ik k

x t t a t t= =

− − − =∑ ∑ ,

1

0n

kk

x dn=

− =∑ .

Следовательно, оценки метода наименьших квадратовимеютвид

( )

( )1

2 1

1

1* , *

n

k k nk

knk

kk

x t ta d x x

nt t

=

=

=

−= = =

−

∑∑

∑. (�.�)

Всилусоотношения(�.2)оценкуа*можнозаписатьвболеесимметричномвиде:

1

2

1

( )( )*

( )

n

k kk

n

ik

x x t ta

t t

=

=

− −=

−

∑

∑.

Этуоценкунетруднопреобразоватьиквиду

1 1 1

22

1 1

1

*1

n n n

i i ii ii i i

n n

i ii i

x t x tn

a

t tn

= = =

= =

−=

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑. (�.�)

Следовательно,восстановленнаяфункция,спомощьюко-торойможнопрогнозироватьиинтерполировать,имеетвид

118

* ( ) * ( ) *x t a t t d= − + .

Обратимвниманиенато,чтоиспользованиеtср впоследнейформуленичутьнеограничиваетееобщность.Сравнимсранеерассмотренноймодельювида

xk = c tk+ b + ek , k = 1,2,…,n.

Ясно,что

,c a b d at= = − .

Аналогичнымобразомсвязаныоценкипараметров:

* *, * * *c a b d a t= = −

Дляданныхтабл.�.1всоответствиисформулой(�.�)d*=26,8�,асогласноформуле(�.�)

2

11111 161 �� 1111 912,�� 198,676* �,1�.

1 256 192,67 6�,��256 (��)

6

a− × −

= = = =−−

Следовательно,прогностическаяфункция(т.е.восстанов-леннаязависимость)имеетвид

x·(t)=�,1�(t–5,67)+26,8�=�,1�t–�,1�×26,8�=�,1�t–17,80+26,8�=�,1�t+9,0�.

Естественно,результаттотже,чтоиприиспользованиипервоначальной параметризации (формы линейной зависи-мости).

Восстановленные значения и оценка точности прибли-жения.Следующий(второй)этапанализаданных —оценкаточностивосстановления(приближения)зависимости(функ-ции)методомнаименьшихквадратов.Сначаларассматриваютсят.н.восстановленныезначения

( )i ix x t= ⋅

,i=1,2,…n.

119

Этотезначения,которыеполученнаяврезультатерасчетовпрогностическаяфункцияпринимаетвтехточках,вкоторыхизвестныистинныезначениязависимойпеременнойxi.Вполнеестественносравнитьвосстановленныеиистинные

значения.Этоисделановшестом —восьмомстолбцахтабл.�.1.Дляпростотырасчетоввшестомстолбцепредставленыпро-изведенияa·ti,седьмойотличаетсяотшестогодобавлениемконстантыb*=9,0�исодержитвосстановленныезначения.Восьмойстолбец —эторазностьтретьегоиседьмого.Непосредственныйанализвосьмогостолбцатабл.�.1пока-

зывает,чтосодержащиесявнемчисласравнительноневеликипо величине по сравнению с третьим столбцом (на порядокменьшеповеличине).Крометого,знаки«+»и«-»чередуются.Этидвапризнакасвидетельствуютоправильностирасчетов.Прииспользованииметода наименьших квадратов знакиневсегдачередуются.Однакоеслисначалаидуттолькоплюсы,апотомтолькоминусы(илинаоборот,сначалатолькомину-сы,апотомтолькоплюсы),тоэтоверныйпоказательтого,что в вычислениях допущена ошибка (неправильно оцененкоэффициентa).Верноследующееутверждение.Теорема 3.1. Справедливо тождество

( )1

0.n

i ii

x x=

− =∑

Доказательствоэтойтеоремыоставляемчитателювкачес-твеупражнения.Однако сумма по восьмому столбцу дает 0,06, а не 0.

Незначительноеотличиеот0связаносошибкамиокругленияпривычислениях.Близостьсуммызначенийзависимойпере-меннойисуммывосстановленныхзначений —практическийкритерий правильности расчетов. Всоответствииснимсуммаэлементоввосьмогостолбцадолжнабытьмалапосравнениюсэлементамиэтогостолбца.Представляетинтересотносительнаяпогрешностьвосста-

новления.Вточкеtkэтовеличина

120

k k

k

x xx−

.

Дляданныхтабл.�.1этовеличины

0,17 1,55 1,59 0,99 2,29 1,57, , , , ,

12 20 20 �2 �5 �2.

Максимальнойизнихявляется1,59/20=0,08.Точностьвосстановленияестественновыразитьвпроцентах:

1max 100% 8%k k

k n k

x xx≤ ≤

−× =

.

Всоциально-экономическихисследованияхточностьвос-становления10–15%признаетсяхорошей.Конечно,вастроно-мическихвычислениях,например,привосстановленииорбитыастероидаЦерера(именнодлярешенияэтойзадачиК.Гауссразработалметод наименьших квадратов), точность должнабытьгораздовыше(т.ерассматриваемыйпоказатель —мак-симуммодуляотносительныхпогрешностей —долженбытьгораздоменьше).

Непараметрическая вероятностная модель.Перейдемктретьемуэтапуанализаданных.Дляполученияоценокпарамет-ровипрогностическойфункциинетнеобходимостиобращатьсяккакой-либовероятностноймодели.Однакодлятого,чтобыизучать погрешности оценок параметров и восстановленнойфункции,т.е.строитьдоверительныеинтервалыдляa*,b*иx*(t),подобнаямодельнеобходима.

Формулировка модели такова. Пусть значения независи-мой переменной t детерминированы, а погрешностиek,k = 1,2,…,n, —независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2неизвестной статистику. В остальном функция распределе-ния погрешностей ek произвольна.Посколькунепредполагается,чтоэтафункциявходитв

тоилииноепараметрическоесемейство,торассматриваемаямодельявляетсянепараметрической.

121

В дальнейшем неоднократно будем использоватьЦент-ральнуюпредельнуютеорему(ЦПТ)теориивероятностей(дляразнораспределенныхслагаемых)длявеличинek , k = 1,2,…,n(свесами),поэтомудлявыполненияееусловийнеобходимопредположить,например,чтопогрешностиek , k = 1,2,…,n, финитныилиимеютконечныйтретийабсолютныймомент.Каждое конкретное слагаемое (с учетом веса) должно бытьбесконечномалымотносительновсейсуммы.Однакозаост-рятьздесьвниманиенаэтихвнутриматематических«условияхрегулярности»нетнеобходимости(см.Приложение1,разделП.1.2).

Асимптотические распределения оценок параметров. Изформулы(�.�)следует,что

1 1 1 1

1 1 1* ( )

n n n n

k k k kk k k k

ad x t t d e d e

n n n n= = = == = − + + = +∑ ∑ ∑ ∑ . (�.5)

СогласноЦПТоценкаd* имеетасимптотическинормальноераспределениесматематическиможиданиемdидисперсиейσ2/n,оценкакоторойприводитсяниже.Сточкизрениямате-матическойстатистикивектороценок(a*,d*)обладаетболеепростымисвойствамиилегчеподдаетсяизучению,чемвектороценок(a*,b*),чтоиявляетсяпричинойвведенияврассмот-рениемоделивидаxk = a(tk – t–)+ d + ek.Изформул(�.�)и(�.5)вытекает,что

1 1

1 1( ) ( )

n n

k k k k k k kk k

x x a t t d e d e a t t e en n= =

− = − + + − − = − + −∑ ∑ ,

2

1

( )( )( ) ( ) ( )

nk

k k k k k kk

t tx x t t a t t e t t e

n =

−− − = − + − − ∑ .

Последнееслагаемоевовторомсоотношенииприсумми-рованиипоkобращаетсяв0,поэтомуизприведенныхвышеформулдляa*следует,что

21

1

( )* , .

( )

nk

k k k nk

kk

t ta a c e c

t t=

=

−= + =

−∑

∑ (�.6)

122

Формула(�.6)показывает,чтооценкаa*являетсяасим-птотически нормальной с математическим ожиданием a идисперсией

22

21

1

( *) ( ) .( )

n

k k nk

kk

D a c D et t=

=

σ= =

−∑

∑Отметим,чтомногомернаянормальностьимеетбыть,когда

каждоеслагаемоевформуле(�.6)малосравнительносовсейсуммой,т.е.когдасправедливопредельноесоотношение

1

2

1

max| |lim 0

( )

kk n

nn

kk

t t

t t

≤ ≤

→∞

=

−=

−∑.

Из формул (�.5) и (�.6) и исходных предположений опогрешностях вытекает также то, чтоматематические ожи-дания оценок равны оцениваемымпараметрам (в терминахматематической статистики -оценки параметров являютсянесмещенными).Несмещенностьиасимптотическаянормальностьоценок

методанаименьшихквадратовпозволяютлегкоуказыватьдлянихасимптотическиедоверительныеграницы(аналогичногра-ницамдлядолейвглаве1выше)ипроверятьстатистическиегипотезы, например, о равенстве определенным значениям,преждевсего0.Предоставляемчитателювозможностьвыпи-сатьформулыдлярасчетадоверительныхграницисформули-роватьправилапроверкиупомянутыхгипотез.

Асимптотическое распределение прогностической фун-кции. Поскольку

1 1 1

1 1* ( ) ( ) ( )

n n n

k k k k kk k k

x t a c e t t d e a t t d c en n= = =

= + − + + = − + + +

∑ ∑ ∑

1 1 1

1 1* ( ) ( ) ( )

n n n

k k k k kk k k

x t a c e t t d e a t t d c en n= = =

= + − + + = − + + +

∑ ∑ ∑ ,

12�

товсилуЦПТслучайнаявеличинаx*(t)имеетасимптотическинормальноераспределение.Изформул(�.5)и(�.6)следует,что

( * ( )) { * ( ) *} ( *)( ) ( *) ( ) ( )M x t M a t t d M a t t M d a t t d x t= − + = − + = − + =

( * ( )) { * ( ) *} ( *)( ) ( *) ( ) ( )M x t M a t t d M a t t M d a t t d x t= − + = − + = − + = ,

т.е.рассматриваемаяоценкапрогностическойфункцииявляетсянесмещенной.Поэтому

* ( ) * ( ) ( * )( ) *x t Mx t a a t t d d− = − − + − .

Следовательно,дисперсияоценкиимеетвид

2( * ( )) ( *)( ) 2 {( * )( * )( )} ( *)D x t D a t t M a a d d t t D d= − + − − − + .

Приэтом,посколькупогрешностиekнезависимывсово-купностииимеютнулевоематематическоеожидание,тоM(ekej)=0,k≠j и

1 1 1 1

1 1{( * )( * )( )} ( ) ( ) ( )

n n n n

k k k k k jk k r j

M a a d d t t M c e e t t t t c M e en n= = = =

− − − = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

1 1{( * )( * )( )} ( ) ( ) ( )

n n n n

k k k k k jk k r j

M a a d d t t M c e e t t t t c M e en n= = = =

− − − = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑

2 2

1 1

1 1( ) ( ) ( ) 0

n n

k k kk k

t t c M e t t cn n= =

= − = − σ =∑ ∑ .

Такимобразом,сучетомнайденныхранеевыраженийдлядисперсийпараметровполучаем,что

2 2 2

2 2

2 2

1 1

1 ( )( * ( )) ( ) 0

( ) ( )n n

k kk k

t tD x t t t

n nt t t t

= =

σ σ − = − + + = σ + − −

∑ ∑.

(�.7)

12�

Итак,оценкаx*(t)прогностическойфункцииявляетсяне-смещеннойиасимптотическинормальной.Дляпрактическогоиспользования ее асимптотического распределения с цельюпостроениядоверительныхпрогностическихинтерваловнеоб-ходимоуметьоцениватьостаточнуюдисперсиюM(e2i)=σ

2.Оценивание остаточной дисперсии.Вточкахtk , k = 1,2,

…,n, имеютсяисходныезначениязависимойпеременнойxk

ивосстановленныезначенияx*(tk).Рассмотриместественнуюхарактеристикурасхождениямеждуисходнымиивосстанов-леннымизначениями

{ }22

1 1

( * ( ) ) ( * )( ) ( * )n n

k k k kk k

SS x t x a a t t d d e= =

= − = − − + − −∑ ∑ .

ВеличинаSSназываетсяостаточнойсуммойквадратов.Всоответствиисформулами(�.5)и(�.6)

2 2

1 1 1 1 1 1

1 1( ) ( )

n n n n n n

k j j j k j k j k kk j j k j k

SS t t c e e e c t t e e SSn n= = = = = =

= − + − = − + − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2 2

1 1 1 1 1 1

1 1( ) ( )

n n n n n n

k j j j k j k j k kk j j k j k

SS t t c e e e c t t e e SSn n= = = = = =

= − + − = − + − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

где

2

1

1( ) , 1,2,...,

n

k j k j kj

SS c t t e e k nn=

= − + − = ∑ .

Найдемматематическое ожидание каждого из слагае-мых:

( )

2 2

1 12

2 2

1 1

2 2

1 1( ) ( ) ( )

1 12 ( ) ( )

12 ( )

n n

k j k j k j k jj j

n n

j k j k k j kj j

k k

M SS M c t t e e M c t t en n

M c t t e e M e c t tn n

c t tn

= =

= =

= − + − = − + − − − + + = − + σ −

− − + σ + σ

∑ ∑

∑ ∑

125

Изсделанныхранеепредположенийвытекает,чтоприn→∞имеемM(SSi)→σ

2,I=1,2,…n.Оценивдисперсиюслу-чайнойвеличиныSS/n,можнопоказать,чтостатистика SS/nявляетсясостоятельнойоценкойдисперсииσ2.Впоследнемдевятомстолбцетабл.�.1приведеныквадраты

значений из восьмого столбца.Их сумма — это остаточнаясумма квадратов SS= 1�,6�. В соответствии со сказаннымвыше рассчитаннымипо исходнымданным табл.�.1 значе-ниямисостоятельных(всмыслематематическойстатистики)оценокдисперсиипогрешностейиихсреднегоквадратическогоотклоненияявляются

2 1�,6� 1�,6�( )* 2,27; * 1,51

6 6SS SSn n

σ = = = σ = = = .

Доверительные границы для прогностической функции.Получениесостоятельнойоценкидисперсиипогрешностейдаетвозможностьзавершитьпоследовательностьзадач,связанныхсрассматриваемымпростейшимвариантомметоданаименьшихквадратов.Исходимизустановленнойранееасимптотическойнормальноститочечногопрогнозаx*(t).НепредставляеттрудавыписываниеверхнейxВ(t)инижнейxН(t)границдляпрогнос-тическойфункции:

( ) * ( ) ( ), ( ) * ( ) ( )В Нx t x t t x t x t t= + δ = − δ ,

гдепогрешностьпрогнозаd(t)имеетвид

( ) ( ) * ( )t U p Dx tδ = .

Оценивдисперсиюx*(t)спомощьюформулы(�.7),вкото-руювместонеизвестнойисследователюдисперсиипогрешнос-тейσ2подставленаеёоценка,получаемокончательныйвидфор-мулыдлярасчетаполушириныдоверительногоинтервала:

( )

2

2

1

1 ( )( ) ( ) * , *

n

kk

t t SSt U p

n nt t

=

−δ = σ + σ =

−∑ .

126

Здесьp — доверительнаявероятность,U(p), какивпре-дыдущих главах, — квантиль нормального распределенияпорядка(1+р)/2,т.е.

11 1

( ( )) , ( )2 2

p pU p U p −+ + Φ = = Φ

.

Приp = 0,95(наиболееприменяемоезначение)имеем U(p) =1,96. Длядругихдоверительныхвероятностейсоответствую-щиезначенияквантилейможнонайтивстатистическихтабли-цах(см.,например,наилучшеевэтойсфереиздание[2]).

Пример 2.Продолжиманализданныхтабл.�.1,исходяизописаннойвышевероятностно-статистическоймодели.Рассмотримраспределенияоценокпараметров.Оценкаd*

имеет асимптотически нормальное распределение сматема-тическиможиданием dидисперсией,котораяоцениваетсякак(σ2)*/n= 2,27/6=0,�8 (здесь считаем, что 6 — «достаточнобольшое»число,что,конечно,можнообосновать,изучивточ-ностьприближенияметодомстатистическихиспытанийилииным).Оценкойсреднегоквадратическогоотклоненияявляется0,615.Следовательно,придоверительнойвероятности0,95до-верительныйинтервалдляпараметраdимеетвид(26,8�–1,96×0,615;26,8�+1,96×0,615)=(25,625;28,0�5).Вформулахдлядисперсийучаствуетвеличина,которую

можнопредставитьдвумяспособами:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2ср ср ср ср ср ср

1 1 1 1 1

2 2 .n n n n n

i i i i i ii i i i i

t t t t t t t t t nt t nt= = = = =

− = − + = − + = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑Подставивчисленныезначения(табл.�.1),получаем,что

2 2 2

ср1

256 6(5,67) 6�,1.n

ii

t nt=

− = − =∑Дисперсияоценкиа*коэффициентаприлинейномчлене

прогностическойфункцииоцениваетсякак2,27/6�,1=0,0�6,асреднееквадратическоеотклонение —как0,19.Следовательно,придоверительнойвероятности0,95доверительныйинтервалдляпараметрааимеетвид(�,1�–1,96×0,19;�,1�+1,96×0,19)=(2,77;�,51).

127

Прогностическаяфункциясучетомпогрешностиимеетвид(придоверительнойвероятности0,95)

21 ( 5,67)

* ( ) �,1� 9,0� 1,96 1,516 6�,1

tx t t

−= + ± × + .

Вэтойзаписисохраненопроисхождениеразличныхсостав-ляющих.Упростим:

21 ( 5,67)

* ( ) �,1� 9,0� 2,966 6�,1

tx t t

−= + ± + . (�.8)

Например,приt=12этаформуладает

x·(12)=�6,71±2,65.

Следовательно, нижняя доверительная граница — это��,06,аверхняядоверительнаяграница —это�9,�6.Насколькодалекоможнопрогнозировать?Обычныйответ

таков —дотехпор,покасохраняетсятотстабильныйкомплексусловий, при котором справедлива рассматриваемая зависи-мость.ИзобретательметоданаименьшихквадратовКарлГауссисходилиззадачивосстановленияорбитыастероида (малойпланеты)Церера.Движение подобных небесных телможетбытьрассчитанонасотнилет.Авотпараметрыкомет(напри-мер,сроквозвращения)неподдаютсястольточномурасчету,посколькузавремяпребываниявокрестностиСолнцасильноменяетсямассакометы.Всоциально-экономическойобластигоризонтынадежногопрогнозированияещеменееопределены.Вчастности,онисильнозависятотрешенийгосударственныхорганов.Чтобы выявить роль погрешностей в прогностической

формуле,рассмотримформальныйпредельныйпереход t→∞.Тогдавходящиевформулу(�.8)величины9,0�;1/6;5,67становятсябесконечномалыми,и

2,96

* ( ) �,1� (�,1� 0,�7)6�,1

x t t t t≈ ± = ± .

128

Такимобразом,погрешностисоставляютоколо

100 0,�7

% 11,8%�,1�×

=

оттренда(математическогоожидания)прогностическойфун-кции. В социально-экономических исследованиях подобныепогрешностисчитаютсявполнеприемлемыми.

Краткое сравнение параметрического и непараметри-ческого подходов. Вомногихлитературныхисточникахрас-сматриваетсяпараметрическая вероятностнаямодельметоданаименьших квадратов. В ней предполагается, что погреш-ностиимеютнормальноераспределение.Этопредположениепозволяетматематическистрогополучитьрядвыводов.Так,распределениястатистиквычисляютсяточно,аневасимпто-тике,соответственновместоквантилейнормальногораспре-деления используются квантили распределенияСтьюдента,априоцениваниидисперсиипогрешностейостаточнаясуммаквадратовSS делитсянена n, ана (n–2).Ясно,чтоприростеобъемаданныхразличиястираются.Рассмотренный выше непараметрический подход не ис-

пользуетнереалистическоепредположениеонормальностипог-решностей.Платойзаэтоявляетсяасимптотическийхарактеррезультатов.Вслучаепростейшеймоделиметоданаименьшихквадратовобаподходадаютпрактическисовпадающиереко-мендации(посколькуквантилираспределенияСтьюдентаприростеобъемавыборкиприближаютсякквантилямнормальногораспределения).Этоневсегдатак,невсегдадваподходадаютблизкиерезультаты.Например,известно,чтовзадачеобнару-жениявыбросовметоды,опирающиесянанормальноераспре-деление,нельзясчитатьобоснованными,иэтоихнеприятноесвойство было обнаружено с помощьюнепараметрическогоподхода(см.[18,п.7.2],[17,п.�.2]).

Об общих принципах организационно-экономического моделирования. Ход проведенного в настоящем разделеисследования позволяет кратко сформулировать несколькообщихпринциповпостроения,описанияииспользованияор-ганизационно-экономическихметодов,вчастности,вобластиприкладнойстатистики.Во-первых,должныбытьчеткосфор-

129

мулированыисходныепредпосылки,т.е.полностьюописанаиспользуемаявероятностно-статистическаямодель.Во-вторых,не следует принимать предпосылки, которые редко выпол-няютсянапрактике.В-третьих,алгоритмырасчетовдолжныбыть корректны с точки зренияматематико-статистическойтеории.В-четвертых,алгоритмыдолжныдаватьполезныедляпрактикивыводы.Применительнокзадачевосстановлениязависимостейэто

означает, что целесообразно применять непараметрическийподход,чтоисделановыше.Однакопредположениенормаль-ности,хотяиоченьсильносужаетвозможностиприменения,счистоматематическойточкизренияпозволяетпродвинутьсядальше.Поэтомудляпервоначальногоизученияситуации,таксказать,«влабораторныхусловиях»,нормальнаямодельможетоказатьсяполезной.

3.2. основы линейного регрессионного анализа

Методнаименьшихквадратов,рассмотренныйвышевпро-стейшемслучае,допускаетразличныеобобщения.Например,метод наименьших квадратов дает алгоритм расчетов, еслиисходныеданные —по-прежнемунаборnпарчисел(tk , xk), k = 1,2,…,n,гдеtk—независимаяпеременная(например,время),аxk—зависимая(например,индексинфляции),новосстанав-ливатьнадонелинейнуюзависимость,аквадратическую:

x(t)=at2+bt+c.

Следуетрассмотретьфункциютрехпеременных

( ) ( )22

1

, ,n

k k kk

f a b c x at bt c=

= − − −∑ .

Оценкиметоданаименьшихквадратов —это такие зна-ченияпараметровa*,b* и с*,прикоторыхфункция f (a,b,с)достигаетминимумаповсемзначениямаргументов.Чтобынайти этиоценки,надовычислитьчастныепроизводныеот

1�0

функцииf (a,b,с)поаргументамa, b и с,приравнятьих0,затемизполученныхуравненийнайтиоценки:Имеем:

( ) ( ) ( )( )22 2 2

1 1

, , n n

k k k k k k kk k

t a b cx at bt с t x at bt c

a a= =

∂ ∂= − − − = − − − −∂ ∂∑ ∑

.

Приравниваячастнуюпроизводнуюк0,получаемлинейноеуравнениеотносительнотрехнеизвестныхпараметровa, b, c:

� � 2 2

1 1 1 1

n n n n

k k k k kk k k k

a t b t с t t x= = = =

+ + =∑ ∑ ∑ ∑Приравнивая частнуюпроизводнуюпо параметру b к 0,

аналогичнымобразомполучаемуравнение

� 2

1 1 1 1

n n n n

k k k k kk k k k

a t b t с t t x= = = =

+ + =∑ ∑ ∑ ∑Наконец,приравниваячастнуюпроизводнуюпопараметру

ск0,получаемуравнение

2

1 1 1

n n n

k k kk k k

a t b t сn x= = =

+ + =∑ ∑ ∑ .

Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными,находимоценкиметоданаименьшихквадратов.Другие задачи, рассмотренные в предыдущем разделе

(доверительные границыдля параметров и прогностическойфункцииидр.),такжемогутбытьрешены.Соответствующиеалгоритмыболеегромоздки.Дляихзаписиполезенаппаратматричной алгебры (см., например, одну из лучших в этойобластимонографий[2�]).Дляреальныхрасчетовиспользуютсоответствующиекомпьютерныепрограммы.

Линейный регрессионный анализ. Раздел прикладнойстатистики,посвященныйвосстановлениюзависимостей,на-зываетсярегрессионныманализом.Термин«линейныйрегрес-сионныйанализ»используют,когдарассматриваемаяфункциялинейнозависитотоцениваемыхпараметров(отнезависимыхпеременныхзависимостьможетбытьпроизвольной).Теория

1�1

оцениваниянеизвестныхпараметровхорошоразвитаименновслучаелинейногорегрессионногоанализа.Еслижелинейнос-тинетинельзяперейтиклинейнойзадаче,то,какправило,хорошихсвойствотоценокожидатьнеприходится.Продемонстрируем подходы в случае зависимостей раз-

личноговида.Еслизависимостьимеетвидмногочлена (по-линома)

x(t)=a0+a1t+a2t2+a�t

2+…+amtm,

токоэффициентымногочленамогутбытьнайденыпутемми-нимизациифункции

( ) ( )22 �0 1 2 � 0 1 2 �

1

, , , , ..., ...n

mm k k k k m k

k

f a a a a a x a a t a t a t a t=

= − − − − − −∑Функцияотt необязательнодолжнабытьмногочленом.

Можно, например, добавить периодическую составляющую,соответствующую сезонным колебаниям.Хорошо известно,например, что инфляция (рост потребительских цен) имеетчетковыраженныйгодовойцикл.Аименно,всреднемценыбыстреевсегорастутзимой,вдекабре —январе,амедленнеевсего(иногдавсреднемдажепадают)летом,виюле —августе(подробнеепроблемыизмеренияинфляциирассмотренывглаве�).Пустьдляопределенности

x(t)=a0+a1t+a2t2+a�t

2+…+amtm+AsinBt,

тогданеизвестныепараметрымогутбытьнайденыпутемми-нимизациифункции

( ) ( )22 �0 1 2 � 0 1 2 �

1

, , , , ..., , , ... sinn

mm k k k k m k k

k

f a a a a a A B x a a t a t a t a t A Bt=

= − − − − − − −∑

( ) ( )22 �0 1 2 � 0 1 2 �

1

, , , , ..., , , ... sinn

mm k k k k m k k

k

f a a a a a A B x a a t a t a t a t A Bt=

= − − − − − − −∑ .

Есливремяизмеряетсявгодах,товкачествепериодическойсоставляющей(спериодомгод)естественновзятьAcos(2πt).

Преобразования переменных.Пусть I(t) -индекс инфля-циивмомент t.Принципстабильностиусловийприводитк

1�2

гипотезеопостоянстветемповростасреднихцен,т.е.индексаинфляции.Такимобразом,естественнаямодельдляиндексаинфляции —это

I(t)=AeBt.

Эта модель не является линейной, метод наименьшихквадратов непосредственно применять нельзя.Однако еслипрологарифмироватьобечастипредыдущегоравенства:

lnI(t)=lnA+Bt,

иввестиновуюпеременнуюx=lnI(t),тополучимлинейнуюзависимостьxотt,процедура(алгоритм)оцениванияпарамет-ровкоторойрассмотренавыше.Вглаве1былописанметодоцениванияфункцииспроса

по экспериментальным данным. Естественно восстановитьзависимостьпонаборампарчисел(pi,Di=D(pi)),i =1,2,…,n.Нацентральнойчастидиапазонаизмененияценывполнеестественноиспользоватьлинейнуюзависимость(поскольку,какотметилиещеНьютониЛейбниц,любуюгладкуюфунк-циюнанебольшоминтервалеможносдостаточнойточностьюприблизитькасательной).Однакопокраямдиапазона(т.е.прималых ценах и при больших ценах) линейную зависимостьприменятьнельзя,посколькуееграфиквыходитзапределыпервого квадранта. Естественно использовать степенную за-висимость

D=D(p)=Cp–α,

гдеC>0,α>0.Этазависимостьнелинейна,методнаимень-шихквадратовнепосредственноприменитьнельзя.Номожнопреобразоватьпеременныесцельюприведениязависимостиклинейной.Логарифмируя,получим:

lnD=lnCαlnp.

Следовательно,есливвестипеременныеx=lnD,t=lnp,томеждуэтимипеременнымиимеетсялинейнаязависимость,параметрыкоторойоцениватьумеем.

1��

Итак,вомногихслучаяхпутемпреобразованияпеременныхудаетсяперейтиотнелинейныхзависимостейклинейнымсцельюобеспечениякорректногопримененияметоданаимень-шихквадратов.Например,если

y at b= + ,

тотакойпереходосуществляетсяпутемвведенияпеременнойx=y2.Аесли

1

yat b

= +,

тозаменаz=1/yприводитклинейнойзависимостиz = a + bx.

Еслиy = (a+bx)2,тозамена z y= приводитклинейнойза-

висимостиz = a + bx. Длякаждогоконкретногослучаяпод-бираютсвоёпреобразование.

Многомерная регрессия. Независимыхпеременныхможетбытьнеодна,анесколько.Пусть,например,поисходнымдан-ным(xk,yk,zk,),k=1,2,…n,требуетсяоценитьнеизвестныепараметрыa и bвзависимости

z = ax+by+ε,

где ε — погрешность. Это можно сделать, минимизируяфункцию

( ) ( )21

,n

k k kk

f a b z ax by=

= − −∑Зависимостьотхиунеобязательнодолжнабытьлиней-

ной.Предположим,чтоизкаких-тосоображенийизвестно,чтозависимостьдолжнаиметьвид

z = ax+by+cx2y + dxy +ey�+ε,

тогдадляоценкипятинеизвестныхпараметровa, b, c, d, eнеобходимоминимизироватьфункцию

( ) ( )22 �

1

, , , ,n

k k k k k k k kk

f a b с d e z ax by cx y dx y ey=

= − − − − −∑

1��

Болееподробнорассмотримважныйпримеризмикроэконо-мики.Воднойизоптимизационныхмоделейповеденияфирмыиспользуетсят.н.производственнаяфункцияf (K,L), задающаяобъемвыпускавзависимостиотзатраткапиталаKитрудаL.ВкачествеконкретноговидапроизводственнойфункциичастоиспользуетсятакназываемаяфункцияКобба —Дугласа

f (K,L)=KαLb.

Однакооткудавзятьзначенияпараметровαиb?Естест-веннопредположить,чтоони —одниитежедлявсехпред-приятийотрасли.Поэтомуцелесообразнособратьинформациюввидетрехмерныхвекторов(f k,Kk,Lk)=k=1,2,…n,гдеf k—объемвыпусканаk-мпредприятии,Kk —объемзатраткапиталанаk-омпредприятии,Lk—объемзатраттруданаk-мпредприятии(вкраткомизложениинепытаемсядатьточныхопределений используемым понятиям из экономики пред-приятия).Пособраннойинформацииестественнопопытатьсяоценитьпараметрыαиb.Ноонивходятвзависимостьнели-нейно,поэтомусразуприменитьметоднаименьшихквадратовнельзя.Помогаетлогарифмирование:

lnf (K, L)=αlnK +blnL.

Следовательно,целесообразносделатьзамену переменных

xk=lnKk, yk=lnLk, zk=lnf k, k,k=1,2,�,…n,

а затем находить оценки параметровα иb, минимизируяфункцию

( ) ( )21

,n

k k kk

g z ax y=

α β = − − β∑

Найдемчастныепроизводные:

( ) ( )( )

1

,2

n

k k k kk

z ax y x=

∂ α β= − − β −∂α ∑ ,

1�5

( ) ( )( )

1

,2

n

k k k kk

z x y y=

∂ α β= − α − β −∂α ∑ ,

Приравняемчастныепроизводныек0,сократимна2,рас-кроемскобки,перенесемсвободныечленывправо.Получимсистемудвухлинейныхуравненийсдвумянеизвестными:

2

1 1 1

n n n

k k k k kk k k

x x y x y= = =

α + β =∑ ∑ ∑

2

1 1 1

n n n

k k k k kk k k

x y y y z= = =

α + β =∑ ∑ ∑Такимобразом,длявычисленияоценокметоданаимень-

шихквадратовнеобходимонайтипятьсумм

2 2

1 1 1 1 1

, , , ,n n n n n

k k k k k k k kk k k k k

x x y y x z y z= = = = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑Дляупорядочениярасчетаэтихсуммможетбытьиспользо-

ванатаблицатипатойтабл.�.1,чтоприменяласьвыше.Отме-тим,чторассмотреннаявпредыдущемподразделепостановкапереходитвразбираемуюсейчасприyk=1,k=1,2,…,n.Решая систему линейных уравнений, получаем оценки

методанаименьшихквадратовα*иb*.Чтоможетдатьсравнениеисходныхf kсвосстановленны-

ми

* *�* ( , )k k k k kf f K L K Lα β= = ?

Если�

k kf f> ,тоэтоозначает,чтопредприятиеработает

лучше,чемвсреднемпоотрасли(из-заразличнойисходнойфондовооруженности нельзя сравнивать предприятия непос-редственно, необходимо сначала восстановить зависимостьвыпускаотфакторовпроизводстваспомощьюмоделиКоб-ба —Дугласа). Это — заслуга руководства предприятия.Следовательно, вышестоящие структуры имеют основанияпродвигатьинаграждатьтоп-менеджеровэтогопредприятия.

1�6

Деловыепартнерыимеютоснованиядляналаживаниядолго-временныхотношений.Банкиимеютоснованиядаватьльгот-ныекредиты.

Если�

k kf f< ,тоситуацияпрямопротивоположная.Пред-

приятиеработаетхуже,чемвсреднемпоотрасли,т.е.хуже,чемможнобылобыожидатьприимеющихсяунегоресурсах.Это —винаруководствапредприятия.Следовательно,вышес-тоящимструктурамцелесообразнонаказатьдиректораи егозаместителей,например,«укрепитьруководствопредприятия»,заменивчастьиливсехтоп-менеджеров.Деловымпартнерамнадоучесть,чтовыполнениедоговорныхотношенийнаходит-сяподугрозойсрыва.Из-заповышенногорискабанкиповысятпроцентплатызакредит,ужесточаттребованиякобеспечениювозвратакредитов,вчастности,беряимуществопредприятиявзалог.

Случай�

k kf f= —промежуточныймеждудвумяописан-

ными.Предприятиеработаетнауровне,среднемдляотрасли.Нетоснованийнихвалитьегоруководство,ниприменятьсан-кции.Какможноиспользоватьвосстановленнуюзависимость?

Например,проектируемновоепредприятие.ОпределяемдлянеговеличиныфакторовпроизводстваK0иL0.Тогдаможемрассчитыватьнавыпускпродукциивобъемеf *( K0,L0).

Пример практического использования линейного рег-рессионного анализа.РуководительмаркетинговойслужбызаводаГАРО(г.ВеликийНовгород)А.А.Пивеньприменилегодляпостроенияматематическоймоделирынкалегковыхподъемников. Требуется выявить факторы (показатели),оказывающиенаибольшеевлияниенаобъемпродажподъем-ников,найтизависимостьобъемапродажотэтихфакторовииспользоватьэтузависимостьдляпрогнозированияобъемапродаж.Зависимаяпеременная —объемпродажV,независимые

переменные:— грузоподъемность(X1),— цена(X2)

1�7

— наличиенапольнойрамы(X�),— наличиесинхронизации(X�),— количестводвигателей(X5),— суммарнаямощностьдвигателей(X6),— высотаподхватавнижнемположении(X7),— максимальнаявысотаподъема(X8),— скоростьподъема(X9),— гарантийныйсрок(X10),— срокслужбы(X11),— времянарынке(X12),— внешнийвид(X1�),— срокпоставки(X1�),— уровеньсервисногообслуживания(X15),— наличиесистемысмазки(X16),— масса(X17).Длявосстановлениязависимостииспользоваласьлинейная

регрессионнаямодель.По результатам пошагового анализаизрассмотренияпоследовательноисключалисьнезависимыепеременные(параметрыподъемника),имеющие(влинейноймодели) коэффициенты, незначимо отличающиеся от нуля,инымисловами,малоотличающиесяот0 в сравнениисихдисперсией. Для этого использовался пакет STATISTICA6.0, конкретномодуль «Множественная регрессия» (Multiple regression).Врезультатерасчетовполученазависимостьобъемапродаж

подъемникаП�-Тот12факторов:

V=–1769.77–65.09X1–0.0�X2+68.79X�+1�7.5�X�

+156.28X5+2.5�X7+1.06X8+25.75X12

–1�2.26X1�–12.�1X1�+107.78X15+�97X16.Влияние остальных пяти факторов оказалось незначи-

мым.Исходяизрасчетов,прогнозноезначениепродажподъемни-

ковнавторойгодпродажсоставиториентировочно1010шт.Свероятностью95%можноутверждать,чтообъемпродажбудетлежатьвграницах[695,1��2]шт.

1�8

3.3. Коэффициенты корреляции

Преждечемвосстанавливатьзависимость,целесообразноубедиться,чтопеременныесвязанымеждусобой.Термин«кор-реляция»иозначает«связь».Вобластистатистическихметодовэтоттерминобычноиспользуетсявсочетании«коэффициентыкорреляции».Рассмотримлинейныйинепараметрическиепар-ныекоэффициентыкорреляции.Обсудимспособыизмерениясвязимеждудвумяслучай-

ными переменными.Пусть исходными данными являетсянаборслучайныхвекторов(xi,yi)=(xi(ω),yi(ω)),i=1,2,…n.Выборочнымкоэффициентомкорреляции,болееподробно,выборочнымлинейнымпарнымкоэффициентомкорреляцииК.Пирсона,какизвестно,называетсячисло

1

2 2

1 1

( )( ).

( ) ( )

n

i ii

n n n

i ii i

x x y yr

x x y y

=

= =

− −=

− −

∑

∑ ∑Еслиrn=1,тоyi=axi+b,причемa >0.Еслижеrn= –1,

тоyi=axi+bпричемa < 0.Такимобразом,близостькоэф-фициентакорреляциик1(поабсолютнойвеличине)говоритодостаточнотеснойлинейнойсвязи.Еслислучайныевектора (xi,yi)=(xi(ω),yi(ω)), i=1,2,

…n,независимыиодинаковораспределены,товыборочныйкоэффициенткорреляциисходитсяктеоретическомуприбез-граничномвозрастанииобъемавыборки:

1 1 1 1

1 1

( ( ))( ( ))

( ) ( )n

M x M x y M yr

D x D y

− −→ ρ =

(сходимостьповероятности).Болеетого,выборочныйкоэффициенткорреляцииявляется

асимптотическинормальным.Этоозначает,что

0

lim ( ),( )

n

nn

rP x x

D r→∞

− ρ< = Φ

1�9

гдеF(x) —функциястандартногонормальногораспределениясматематическиможиданием0идисперсией1,аD0(rn) —асим-птотическая дисперсия выборочного коэффициента корреля-ции.Онаимеетдовольносложноевыражение,приведенноевмонографии[5,с.�9�]:

2

�0 0� 22 22 �1 1�0 2 2 2

20 02 11 20 11 0220 02 11

2 � � �( ) .

�nD rn

ρ µ µ µ µ µ µ = + + + − − µ µ µ µ µ µµ µ µ

Здесьподµkmпонимаютсятеоретическиецентральныемо-ментыпорядкаkиm,аименно,

1 1 1 1( ( )) ( ( ))k mkm M x M x y M yµ = − − .

Коэффициентыкорреляциитипаrnиспользуютсявомногихалгоритмахмногомерногостатистическогоанализа.Втеорети-ческихрассмотренияхчастосчитают,чтослучайныевектора(xi,yi)=(xi(ω),yi(ω)),i=1,2,…n,имеютдвумерноенормальноераспределение.Распределенияреальныхданных,какправило,отличныотнормальных(см.[17,18]).Почемужераспростра-ненопредставлениеодвумерномнормальномраспределении?Дело в том, что теория в этом случае проще.В частности,равенство0теоретическогокоэффициентакорреляцииэквива-лентнонезависимостислучайныхвеличин.Поэтомупроверканезависимостисводитсякпроверкестатистическойгипотезыоравенстве0теоретическогокоэффициентакорреляции.Этагипотезапринимается,если|rn|<C(n,α),гдеC(n,α) —не-котороеграничноезначение,зависящееотобъемавыборкиnиуровнязначимостиα.Если предположение о двумерной нормальности не вы-

полнено, то из равенства 0 теоретического коэффициентакорреляции не вытекает независимость случайных величин.Нетруднопостроитьпримерслучайноговектора,длякоторогокоэффициенткорреляцииравен0,нокоординатызависимы.Крометого,дляпроверкигипотезокоэффициентекорреляциинельзяпользоватьсятаблицами,рассчитаннымивпредполо-жениинормальности.Можнопостроитьправилапринятияре-шенийнаосновеасимптотическойнормальностивыборочного

1�0

коэффициентакорреляции.Ноестьидругойпуть —перейтикнепараметрическимкоэффициентамкорреляции,одинаковопригоднымприлюбомнепрерывномраспределениислучайноговектора.Длярасчетанепараметрическогокоэффициента ранговой

корреляцииСпирмена необходимо сделать следующее.Длякаждогоxiрассчитатьегорангriввариационномряду,постро-енномповыборкеx1,x�,x�.Длякаждогоyi рассчитатьегорангqiввариационномряду,построенномповыборкеy1,y�,y�.Длянабораизnпар(ri,qi)=1,2,…,n,вычислитьлинейныйкоэф-фициенткорреляции.Онназываетсякоэффициентомранговойкорреляции,посколькуопределяетсячерезранги.Вкачествепримерарассмотримданныеизтабл.�.2(см.[6]).

Т а б л и ц а 3 . 2

Данные для расчета коэффициентов корреляции

i 1 2 � � 5

xi 5 10 15 20 25

yi 6 7 �0 81 �00

ri 1 2 � � 5

qi 1 2 � � 5

Дляданныхтабл.�.2коэффициентлинейнойкорреляцииравен0,8�,непосредственнойлинейнойсвязинет.Авоткоэф-фициентранговойкорреляцииравен1,посколькуувеличениеоднойпеременнойоднозначносоответствуетувеличениюдру-гойпеременной.Вомногихэкономическихзадачах,например,при выборе инвестиционных проектов, достаточно именномонотоннойзависимостиоднойпеременнойотдругой.Посколькусуммыранговиихквадратовнетрудноподсчи-

тать,токоэффициент ранговой корреляцииСпирменаравен

2

1�

6 ( )1 .

n

i ii

n

r q

n n=

−ρ = −

−

∑ .

Отметим,чтокоэффициент ранговой корреляцииСпирменаостаетсяпостояннымприлюбомстроговозрастающемпреобра-

1�1

зованиишкалыизмерениярезультатовнаблюдений.Другимисловами, он является адекватным в порядковойшкале (см.главу6),какидругиеранговыестатистики,например,статис-тикиВилкоксона,Смирнова,типаомега-квадратдляпроверкиоднородностинезависимыхвыборок(глава2).Широкоиспользуетсятакжекоэффициентранговойкорре-

ляцииτКендалла,коэффициентранговойконкордацииКен-даллаиБ.Смита(речьидетосуммепопарныхкоэффициентовранговойкорреляцииКендаллавслучаеболеечемдвухпере-менных)идр.Наиболееподробноеобсуждениеэтойтематикисодержитсявмонографии[�],необходимыедляпрактическихрасчетов таблицы имеются в справочнике [2].Дискуссия онаиболееадекватномвыборевидакоэффициентовкорреляциипродолжаетсяивнастоящеевремя[6].

3.4. Прогнозирование в отрасли лома черных металлов�

Среди статистическихметолов прогнозирования [19] ос-новной —методнаименьшихквадратов.Продемонстрируемегопрактическуюпользунапримереисследования[7],посвя-щенногорешениюзадачпрогнозированияценыломачерныхметаллов — сырья дляМагнитогорскогометаллургическогоконбината.Как показано в [7], в настоящее время длямировой и

российскойметаллургии одна из наиболее актуальных про-блем —повышение эффективности использования ресурсовломачерныхметаллов.Каждаяпромышленноразвитаястранастремитсямаксимальноувеличитьдолюиспользованияметал-лоломавсталеплавильномпроизводстве,решаятакимобразомнетольковопросыэкологии,ноипроблемудефицитарудногосырья,коксующихсяуглей,которыепостояннодорожают.ВРоссиипроизводствосталиежегодновозрастает.Запос-

ледние период 2001–2006 гг. суммарный прирост выплавки

*Раздел�.�составленпоматериаламстатьи[7]ведущегоменеджераотделамаркетингаЗАО«Профит»Е.М.Крюковой,подготовленнойв2007г.

1�2

согласно [25] составил свыше 28% (рис.�.1).Помере уве-личения выплавки стали возрастаетмасса необходимой дляее производстваметаллическойшихты.Одним из главныхсоставляющихшихтывыступаетметаллолом.Егопотребле-ниеопределяетсяструктуройсталеплавильногопроизводства,развитиемновыхтехнологийвыплавки,разливкиипрокаткистали.

Рис. 3.1.ВыплавкасталивРоссии

На сменумартеновскому производству стали вмировойметаллургиипришликислородно-конвертерныйиэлектроста-леплавильныйпроцессы.Еслипервыйимеетограничениепоприменениюметаллолома,товторойбазируетсяпреимущест-веннонапотреблениистальноголома[9].Современные конвертерный и электросталеплавильный

процессыориентированына100%непрерывнуюразливкуста-ли,чтосущественносокращаетобразованиеоборотноголомавпроцессепроизводства.Внастоящеевремяпотребностьчернойметаллургиивресурсахломапрактическив2разапревышаетобъем внутризаводского оборотаметаллолома [9]. Все этоведеткзначительномуроступотребностиметаллургическойпромышленностивломечерныхметаллов,поставляемомспе-циализированнымиломоперерабатывающимипредприятиями,усилениюконкуренциизаломнароссийскомрынке.

1��

Увеличениеспроса, естественно, сопровождаетсяростомценналомчерныхметаллов.Запериод2002–2006гг.сред-невзвешенные цены на металлолом на российском рынкеувеличилисьболеечемв2раза (табл.�.�).Этоувеличиваетпривлекательностьломоперерабатывающегобизнеса.

Т а б л и ц а 3 . 3

Изменение среднегодовой цены на внутреннем рынке в 2002–2006 гг.

Период

Среднегодоваяцена,руб./тс

НДСиЖДТ*

Изм.,руб./т Изм.,%

Индексинфляции,ед.**

Среднегодоваяцена,руб./тс

НДСиЖДТ(сопоставимые

ценына2002год—без

учетавлиянияинфляции)

Изм.,%

2002 1812 1812

200� �0�9 1226 167,7% 1,12 271� 1�9,7%

200� �169 11�0 1�7,2% 1,117 ���2 122,8%

2005 ���9 181 10�,�% 1,109 �1�5 9�,1%

2006 5559 1210 127,8% 1,09 �676 117,�%

* Средневзвешенная цена на лом черных металлов (по крупнейшим металлургическим комбинатам России), НДС — налог на добав-ленную стоимость, ЖДТ — железнодорожный тариф.

** По данным Росстата РФСтруктуру рынка ломаможно представить в виде взаи-

мосвязитрехважнейшихучастниковрынка:ломосдатчиков,ломопереработчиковипотребителейлома(рис.�.2).Ломосдат-чики —этоюридическиелицаифизическиелица, которыелибосписываютмашины,оборудование,либонаходятих«наземле», проводят демонтаж и отгружают ломопереработчи-кам.Ломопереработчикив своюочередьподразделяютсянапредприятия, имеющие собственные ломозаготовительныеплощадкииосуществляющиенанихсборипереработкулома,инатранзитныеорганизации,которыенеимеютсобственных

1��

площадок, а просто осуществляют транспортировку и реа-лизациюметаллолома. Замыкают эту цепочку потребителилома —металлургическиекомбинатыизаводы,которыеосу-ществляютприемку,складированиеломавкопровыхцехахиподготовкудлясталеплавильногопроцесса.

Рис. 3.2. Структураучастниковрынка,каналысбыта

Система ценообразования на рынке лома выглядит сле-дующим образом.Потребители лома устанавливают ценынаматериал,исходяизпотребностипроизводстваиналичияостатковнаскладах.Всвоюочередьломоперерабатывающие

1�5

предприятия устанавливают цены «на земле», то есть ценызакупаломауломосдаткиков.Задачаломопереработчика —ус-танавливатьвразныепериодытакиецены,которыеобеспечатиммаксимальную рентабельность. Таким образом, эффек-тивностьдеятельностиломопереработчиказависитотоценкирыночнойконъюнктуры,характеристикивлияниярыночныхфакторовипрогнозадальнейшейдинамикизакупочныхценсталепроизводителейналомчерныхметаллов.Динамикаценналомчерныхметалловимеет своиосо-

бенности.Во-первых,этоизменениеноситсезонныйхарактер.Рост

ценежегодноначинаетсявмарте-апреле,этосвязанос«подъ-еданием»зимнихзапасовнаскладахметаллургическихпред-приятийиростомпотребностисталепроизводителейвпривоз-номметаллоломе.Кмаюсвязисокончаниемзимнихусловий,увеличиваетсяломозаготовкаиподходломанасклады,чтоведеткснижениюзакупочныхценналом.Вконцелетавновьначинаетсярост:потребностьпредприятийвломевозрастаетвсвязисначаломнакоплениязимнихзапасовматериаланаскладах.Последостижениямаксимумаценвсентябре-октябре,следуетпонижение.Даннаятенденцияснебольшимисдвигамиповторяетсяизгодавгод.

Во-вторых,последниегодыочевиднатенденциясглажива-нияценвтечениегода,ценаизменяетсяравномернобезрезкихскачкови«провалов»(рис.�.�).Наконец,ценаналомзависитотмножествафакторов:—Потребность металлургического предприятий в ломе

черных металлов (месячные планы поставки) и остатки лома на складах копровых цехов комбинатов.Чемвышепотребностьсталепроизводителявломенатекущиймесяц,тембольшуюценуонготовзаплатитьзасырье.Спомощьюценпотребителирегулируют потокиматериала в сторону комбината: невы-полнениезапланированныхпоказателейведеткувеличениюзакупочныхценнаметаллолом;перевыполнение,напротив,какправило,приводиткпонижениюцен.Последнеесвязано,впервуюочередь,сограниченнымипроизводственнымимощ-ностямикопровыхцеховкомбинатов(перегрузочнаятехника,железнодорожные тупики), которые не могут обеспечить

1�6

Рис

. 3.

3. Динамикасреднихценаналоммарки�А

1�7

Рис

. 3.

4. Динамикаценнаарматуруиметаллолом

1�8

своевременнуювыгрузкуискладированиевсегопоступающегообъемаметаллолома.—Суммарный объем потребления внутреннего рынка.Как

ужебылосказановыше,потреблениеломачерныхметалловносит сезонный характер: потребность сталепроизводителейсущественновозрастаетвпериодыформированияостатковломанаскладах.Этоведеткростуконкуренциизасырьенарынкеи,какследствие,кростусреднерыночныхцен.

— Объемы поставки российского лома на экспорт и цены на мировых рынках.Значительныеобъемыметаллоломапо-прежнемуотвлекаютсянаэкспорт.Крупнейшимимпортеромроссийскогометаллолома является Турция.Поэтому когдатурецкиезаводыдаютвысокиеценынаметаллолом,возрас-таютзакупочныеценыэкспортероввроссийскихпортах,чтонеизбежно ведет к ответному росту цен производителямивнутреннегорынка.—Цены на готовую продукцию металлургических комбина-

тов.Важнейшимфакторомизмененияценнасырьеявляютсяценынаготовуюпродукцию.Таккакзначительныеобъемыметаллопродукциироссийскихсталезаводовнаправляютсянаэкспорт,вкачествеиндикаторовв[7]выбраныценынаарматурувпортахЧерногоиБалтийскогоморе.Каквидноизрис.�.�,динамикаценналомчерныхметалловвтечениегодаповторяетдинамикуценнаарматуру.Отоценкирыночнойконъюнктуры,характеристикивлия-

ниярыночныхфакторовипрогнозадальнейшейдинамикиценналомчерныхметаллов,зависитэффективностьдеятельностиломопереработчика.Рассмотримэконометрическуюмодельпрогнозазакупоч-

ныхценналомнапримереОАО«Магнитогорскийметаллурги-ческийкомбинат».Адекватностьмоделивомногомзависитотвыборафакторов,ихточностиидостоверности.В[7]отобраныследующиефакторыдляпостроениямодели:—Поставканавнутреннийрынок,тыс.тонн(X1).—Поставканаэкспорт,тыс.тонн(X2).—Ценыналом,Турция,cif,руб./т[21](X�).—ПоставканаОАО«ММК»,тыс.тонн(X�).—ОстатокломанаОАО«ММК»,тыс.тонн(X5).

1�9

—Ценынаарматуру,fob,портыЧерногоморяиБалтики,руб./т[21](X6).Исходяизпониманиятого,чтореальныеданныевсегда

имеютраспределение,отличноеотнормального,длявосста-новлениязависимостицелесообразноприменятьнепараметри-ческийподход,включаядоверительноеоцениваниепараметроввероятностноймоделиипрогностическойфункции[17].Предполагается,чтопеременныесвязанылинейнойрегрес-

сионнойзависимостьювида:

Y=a+b1x1+b2x2+b3x3+….+bnxn,

где Y — зависимая переменная (цена на лом марки �А),xi —независимыепеременные(факторы),bi —регрессионныекоэффициенты.

Исходные данные за период 200�–2005 гг. приведены втабл.�.�.

Т а б л и ц а 3 . 4

Исходные данные для построения модели расчета цен ОАО «ММК» на лом марки 3А

Период

Поставкана

внутреннийрынок,

тыс.т**

Поставканаэкспорт,

тыс.т**

Ценыналом,Турция,

cif,руб./т**

ПоставканаОАО

«ММК»,тыс.т*

ОстатокломанаОАО

«ММК»,тыс.т*

Ценынаарматуру,fob,

портыЧерногоморяи

Балтики,руб./т**

ЗакупочныеценыОАО

«ММК»налом,руб./т*

X1 X2 X� X� X5 X6 Y

янв.03 662 256 ��6� 65810 778�9 67�5 2 750

фев.03 715 212 5092 850�6 67695 78�0 2 950

мар.03 8�2 �16 50�� 10�212 ��5�� 8178 3 050

апр.03 1209 �82 �760 16620� ��091 7865 3 800

май.03 1�92 5�2 �267 2�772�109589 76�7 3 800

июн.03 1298 628 �860 2�7555217976 7�68 3 150

150

Период

Поставкана

внутреннийрынок,

тыс.т**

Поставканаэкспорт,

тыс.т**

Ценыналом,Турция,

cif,руб./т**

ПоставканаОАО

«ММК»,тыс.т*

ОстатокломанаОАО

«ММК»,тыс.т*

Ценынаарматуру,fob,

портыЧерногоморяи

Балтики,руб./т**

ЗакупочныеценыОАО

«ММК»налом,руб./т*

июл.03 1057 667 �250 16856826��61 77�2 2 900

авг.03 1126 725 ��60 1255�1281170 7798 2 825

сен.03 11�� 702 �88� 116��92822�� 786� 2 950

окт.03 12�� 802 �826 119978282971 790� 3 100

ноя.03 112� 717 �92� 12�509296580 8��7 3 100

дек.03 10�� 92� 5521 867072829�� 8�81 2 950

янв.04 719 869 65�7 �002722��76 92�� 2 761

фев.04 789 8�7 7520 271��1��178 11��8 2 824

мар.04 1210 969 7562 207�0� 97722 12�1� 4 602

апр.04 1199 11�1 6�5� 78�75112797 12��5 4 602

май.04 155� 1256 �58� 1�70�21979�6 10987 4 050

июн.04 1179 12�1 51�5 2167652��0�2 10189 3 298

июл.04 12�0 1189 67�2 18850�2�29�6 11196 3 540

авг.04 1��7 1��0 6975 120708222165 1�1�6 5 201

сен.04 1�59 1�00 7086 1��8�0�19025 1�150 5 201

окт.04 16�9 1�18 7795 261�97�7�111 1�0�0 5 268

151

Период

Поставкана

внутреннийрынок,

тыс.т**

Поставканаэкспорт,

тыс.т**

Ценыналом,Турция,

cif,руб./т**

ПоставканаОАО

«ММК»,тыс.т*

ОстатокломанаОАО

«ММК»,тыс.т*

Ценынаарматуру,fob,

портыЧерногоморяи

Балтики,руб./т**

ЗакупочныеценыОАО

«ММК»налом,руб./т*

ноя.04 1�2� 1�9� 7579 191016�98175 1258� 5 141

дек.04 12�7 1�05 6557 152518�09001 11106 4 543

янв.05 7�� 926 71�2 58251�19696 111�8 4 307

фев.05 957 816 6771 5676�219�97 11��8 4 661

мар.05 11�2 10�2 7�28 750061�9786 111�� 4 661

апр.05 15�2 1�29 6578 12�000100000 1101� 4 779

май.05 17�0 1��7 5501 29�79�2�22�� 9891 4 661

июн.05 1599 1252 �952 2959���97205 91�8 4 130

июл.05 1�07 968 6026 16180��5�555 96�2 4 071

авг.05 1�27 1189 68�� 1�7785�57��6 9710 4 660

сен.05 19�2 1�66 7095 207267�0�595 10217 4 660

окт.05 2005 121� 6055 2725��529�78 105�9 5 723

ноя.05 15�2 980 6126 15595651�7�� 10�70 5 133

дек.05 1�01 1210 5905 1�1797�960�9 10��1 4 130

* Фактические данные ОАО «ММК».

** По данным аналитического агентства «Металл-Курьер»

152

С помощьюмодуля «Множественная регрессия» пакетаSTATISTICAопределенырегрессионныекоэффициенты(табл.�.5) [1, 2�] и коээфициенты линейной корреляцииПирсона(табл.�.5,�.6).Наиболеесильныесвязиможноотметитьмеждуценами

наломитакимифакторами,какценынаарматурувпортах,ценынаимпортируемыйломвТурциииобъемыпоставкинавнутреннийрынокРоссииинаэкспорт.

Т а б л и ц а 3 . 5

Характеристика связи цены и факторов

Независимыепеременные Регрессионныекоэффициенты

Коэффициентыкорреляции

X1 Поставканавнутреннийрынок,тыс.т

2,009 0,772

X2 Поставканаэкспорт,тыс.т –1,076 0,806

X3 Ценыналом,Турция,cif,руб./т

0,1�6 0,768

X4 ПоставканаОАО«ММК»,тыс.т

–0,925 0,6��

X5 ОстатокломанаОАО«ММК»,тыс.т

0,708 0,�9�

X6 Ценынаарматуру,fob,пор-тыЧерногоморяиБалтики,руб./т

0,�26 0,8�7

* Для осуществления расчетов применяем пакет STATISTICA, а именно модуль «Множественная регрессия» (Multiple Regression).

Приэтомнеобходимоотметитьсущественнуювзаимозави-симостьмеждутакимифакторами,какпоставканавнутреннийрынокипоставканаОАО«ММК»(табл.�.6).Этосвязаностем,чтопериодыростаобъемовзакупаломаинакоплениязимнихзапасовпоразнымкомбинатам(которыеизадаютсовокупныйроствнутреннегорынка)частосовпадают.

15�

Т а б л и ц а 3 . 6

Взаимозависимость факторов

X1 X2 X� X� X5 X6

X1 - –0,089 0,00� –0,�52 –0,0�5 0,001

X2 –0,089 - 0,001 0,056 –0,102 –0,021

X3 0,00� 0,001 - 0,0�8 –0,016 –0,008

X4 –0,�52 0,056 0,0�8 - –0,028 –0,005

X5 –0,0�5 –0,102 –0,016 –0,028 - 0,018

X6 0,001 –0,021 –0,008 –0,005 0,018 -

Результаты прогнозирования приведены в табл. �.7Ко-эффициентдетерминациидлямоделисоставляетR2=0,91.(Коэффициент детерминации — это квадрат коэффициенталинейнойкорреляциимеждузависимойпеременнойипрогнос-тическойфункцией.)Этоозначает,чтоотобранныефакторына91%объясняютдисперсиюзависимойпеременной —ценыналомчерныхметаллов.Нарис.�.5видно,чтоматематическаямодельдостаточно

точнопоказываетдинамикуценвтечениегода,естьоснованияиспользоватьеедлядолгосрочногопрогнозирования.Прогно-зирование на краткосрочные периоды требует ежемесячногопересчетадляуточнениямодели.Наиболее высокие ошибки прогноз показывает в янва-

ре-феврале (27%), августе (12%) и октябре (17%). Средняяабсолютная ошибкапрогноза составляет �66 руб./т, средняяотносительнаяошибка —8,�%,среднеквадратическаяошибкапрогноза —59�руб./т.Ошибки(т.е.отклоненияфактаотпрогноза)объясняются

воздействием неучтенных вмоделифакторов. В частности,отклонение в январе-феврале связано с суровыми зимнимиусловиямив2006году,которыепривеликосложнениюипрак-тическомупрекращениюломосборанатерриторииРоссии.Врезультатепервыемесяцыгодасталепроизводителиработаливосновномзасчетнакопленныхнаканунеостатковнаскладах,поступлениеломабыломинимальным,чтопривелоксущес-твенномуростуцен.

15�

Та

бл

иц

а 3

.7

Про

гноз

зак

упоч

ных

цен

ОА

О «

ММ

К»

на л

ом ч

ерны

х м

етал

лов

Период

Поставкана

внутренний

рынок,

тыс.т

Поставка

на

экспорт,

тыс.т

Цены

налом,

Турция,

cif,

руб./т

Поставка

наОАО

«ММК»,

тыс.т

Остаток

лома

наОАО

«ММК»,

тыс.т

Ценына

арматуру,

fob,порты

Черного

моряи

Балтики,

руб./т

Прогноз

ценОАО

«ММК»на

лом,руб./т

Закупочные

ценыОАО

«ММК»на

лом,руб./т

Отклонения

К

оэф

фиц

иент

ы р

егре

ссии

X

1X

2X

3X

4X

5X

6Y

2,

01–1

,08

0,14

–0,9

30,

710,

33–1

570,

3ру

б./т

%ян

в.06

5�2

576

59�751

�5�

100�7

�16�

4 33

61

172

27,0

3%ф

ев.0

6875

�6�

65695�

256

10178

�1�2

4 77

363

113

,21%

мар

.06

1��6

57�

682991

17�

11150

5122

5 43

030

85,

68%

апр.

061652

925

7�0820�

180

1158�

5�6�

5 43

0–3

4–0

,63%

май

.06

1776

1199

70�6�00

292

1158�

5�71

5 13

3–2

38–4

,64%

июн.

061816

1298

7717295

��5

12277

5707

5 80

093

1,60

%ию

л.06

1980

1�01

75�6�71

�70

12650

6150

6 37

222

23,

49%

авг.

06

2128

1588

6771�10

609

12177

59�2

6 72

678

411

,65%

сен.

06

2171

97�

72�8�9�

71�

1286�

7066

6 60

8–4

58–6

,93%

окт.

0620�7

757

7������

827

1�700

7�50

6 28

1–1

069

–17,

01%

ноя.

061815

901

7�86�90

881

1�575

680�

6 28

1–5

23–8

,32%

дек.

061692

1008

7525275

81�

1�01�

6��6

6 28

1–5

5–0

,87%

155

Рис

. 3.

5.СопоставлнеипрогнозныхифактическихзакупочныхценОАО«ММК»наломчерныхметалловв2006году

156

По аналогии с прошлыми годами в июле-августе 2006годапрогнозпоказываетснижениеценнарынке,авсентяб-ре —октябре,наоборот,рост.Однаколетом2006комбинатыповелисебяиначе.Низкийуровеньломосборанатерриториистранывпервойполовинегода(всвязисзатяжнойзимой)инедостаточныеобъемыпоступленияметаллоломапотребите-лямявилисьпричинойтого,чтокконцупервогополугодиянаскладахкомбинатовоставалосьнеболее�0–�0%необходимогоуровняскладскихзапасов.Врезультатеужевиюлепотребителиприступиликформированиюзимнихзапасовнаскладах,чтоповлеклозасобойростцен.Ценовоймаксимумв2006годубылдостигнутневоктябре,каквпредыдущиегоды,ававгусте,ивсентябреуженачалосьпостепенноснижениеуровняцен.Ещеоднимфакторомтакойдинамикипослужилсущест-

венныйростпотреблениянарынкевсвязисвводомновыхпро-изводственныхмощностей.Вчастности,ОАО«ММК»в2006годузапустилодвеэлектросталеплавильныепечи,врезультатепотребностьвпривозномметаллоломевырослас1,9млнтоннв 2005 годудо �,2млн тонн в 2006 году,прирост составил65,�%.Ростпотребностиведеткобострениюконкуренциинарынке,итаккакценаявляетсяосновнымрычагомпривлечениялома,комбинатыначинаютвестиактивнуюценовуюполитику,стараясьрегулироватьпотокилома.Крометого,нарыночнуюконъюнктуруоказываютвлияние

политическиефакторы,реализацияразличныхгосударствен-ныхпрограмм —лицензированиепоставщиковметаллолома,изменениеэкспортныхпошлин,изменениеправилналогообло-женияломозаготовительныхорганизаций(например,введениельготногорежимапоналогунадобавленнуюстоимостьдляломоперерабатывающих организаций). Также значительноевлияние на цены оказывает внутренняя политика организа-ции — волевые решенияменеджеров, наличие оборотныхсредствдляосуществлениярасчетовспоставщикамиифор-мированиязапасовнаскладах.Такимобразом,однойизосновныхсложностейвполуче-

нииточныхпрогнозовэкономическихпоказателейявляютсянеожиданные и важные сдвиги в ключевых экономическихфакторах,атакжевлияниесоциально-экономическихфакторов,

157

которыеневозможноучестьспомощьюматематики.Очевид-но, что для корректировкиматематического прогноза, дляпринятияобоснованныхрешенийвобластиценообразованияважнотакжеопиратьсянаопыт,знанияиинтуициюспециа-листов[17].Дляэтихцелейиспользуютсяметодыэкспертныхоценок (см. главу 5 ниже). В состав экспертной комиссиицелесообразновключить,во-первых,высококвалифицирован-ныхопытныхспециалистов,непосредственноучаствующихвпроцессеценообразованияизанимающихсяреализациейломачерныхметаллом(руководителейотделовсбыта,маркетингаисотрудниковданныхотделов),атакженезависимыханали-тиков, оказывающих информационные и консультационныеуслуги на рынке (представителей аналитических агентств).Сборэкспертнойинформациидляцелейпрогнозированияценналомпредлагаетсяпроводятежемесячно.Прогнозныеоценкиэкспертовмогутбытьполученына1месяцвперединадлитель-ныйпериод —до1года.Полученнаяотэкспертовинформацияпозволяетскорректироватьпрогноз,полученныйспомощьюметоданатменьшихквадратов,ивыработать«грамотную»це-новуюстратегиюистратегиюповедениянарынке(подходящихмоментовдлязакупаиреализацииметаллолома).

Таким образом, в ходе анализа реальных данных установ-лено, что эконометрическая регрессионная модель достаточно точно описывает динамику цен на рынке лома в течение года, поэтому есть основания использовать ее для долгосрочного прогнозирования. С другой стороны, можно отметить су-щественные отклонения в отдельные периоды, что связано, в первую очередь, с действием неучтенных в модели факторов. Учесть их влияние и скорректировать результаты, полученные с помощью метода наименьших квадратов, возможно с помо-щью метода экспертных оценок. Применение статистических и экспертных методов в совокупности для целей прогнозирования цен на лом черных металлов позволяет ломоперерабатываю-щему предприятию своевременно реагировать на изменения рыночных факторов и строить с учетом этого свою ценовую политику.

158

3.5. о выборе вида регрессионной модели

Одни и теже данныеможно обрабатывать различнымиспособами.Например,какужеотмечалось,функциюспросаможноприближатьлинейной зависимостьюили степенной.Можнопробоватьприменитьквадратическуюзависимость,илимногочлентретьегопорядка,ит.д.Какуюжеорганизационно-экономическуюмодельиспользовать?Очевидно,ту,котораялучшедругихсоответствуетреальнымданным.Ночтозначит«лучшесоответствует»?Какизмерятькачествомодели?

Основной показатель качества регрессионной модели. Напервыйвзгляд,показателемотклоненийданныхотмоделиможетслужитьостаточнаясуммаквадратовSS.Чемэтотпо-казательменьше,темприближениелучше,значит,имодельлучшеописываетреальныеданные.Однакоэторассуждениегодитсятолькодлямоделейсодинаковымчисломпараметров.Ведьеслидобавляетсяновыйпараметр,покоторомуможноминимизировать, то иминимум, как правило, оказываетсяменьше.Вкачествеосновногопоказателякачестварегрессионноймо-

делииспользуютоценкуостаточнойдисперсии(т.е.дисперсиипогрешностейek),скорректированнуюначислоmпараметров,оцениваемыхпонаблюдаемымданным:

( )2 SSm

n m∂ = −

где,какираньше,n —объемданных(числовекторов,покото-орымвосстанавливаетсязависимость).Вслучаезадачивосста-новлениялинейнойфункцииоднойпеременной,рассмотреннойвначалеглавы,оценкаостаточнойдисперсииимеетвид

2

2SS

n∂ = −

посколькучислооцениваемыхпараметровm=2.Почемуэтаформулаотличаетсяотприведеннойвразделе

�.1?Тамвзнаменателеn,аздесь —(n–2).Деловтом,чтотамбыларассмотренанепараметрическаятеорияприбольшом

159

объемеданных(приn → ∞).Априбезграничномвозрастанииnразницамеждуnи(n–2)сходитнанет;точнее,отношениеэтихвеличинстремитсяк1).Однакопри подборе вида моделизнаменательдроби,оцени-

вающейостаточнуюдисперсию,приходитсякорректироватьначислопараметров.Еслиэтогонеделать,топридетсязаключить,чтовсегдамногочленвторойстепенилучшесоответствуетдан-ным,чемлинейнаяфункция,многочлентретьейстепенилучшеприближаетисходныеданные,чеммногочленвторойстепени,ит.д.Вконцеконцовдоходимдомногочленастепени(n–1)сnкоэффициентами,которыйпроходитчерезвсезаданныеточки(существованиетакогомногочленадоказываютвкурсевысшейалгебры).Ноегопрогностическиевозможности,скореевсего,существенноменьше, чем у линейнойфункции.Излишнее усложнение статистических моделей вредно.Типовоеповедениескорректированнойоценкиостаточной

дисперсии

( ) ( )2m mν = σ

в зависимости от параметраm в случае расширяющейсясистемымоделейвыглядиттак.Сначаланаблюдаемзаметноеубывание.Затемоценкаостаточнойдисперсииколеблетсяоко-лонекоторойконстанты(теоретическогозначениядисперсиипогрешности).Поясним ситуацию на примеремодели восстановления

зависимости,выраженноймногочленом:

x(t)=a0+a2t+a2t2+a�t

2+…++amtm.

Пустьэтамодельсправедливаприm=m0Приm<m0вскорректированнойоценкеостаточнойдисперсииучитывают-сянетолькопогрешностиизмерений,ноисоответствующие(старшие)членымногочлена(предполагаем,чтокоэффициентыпринихотличныот0).Приm8m0имеем

( ) 2limn

m→∞

ν = σ

160

Следовательно,скорректированнаяоценкаостаточнойдис-персиибудетколебатьсяоколоуказанногопредела.Поэтомувкачествеоценкинеизвестнойстатистикустепенимногочлена(полинома)можноиспользовать,например,первыйлокальныйминимум скорректированной оценки остаточной дисперсии,т.е.

m*=min{m:ν(m–1)>ν(m),ν(m)7ν(m+1)}.

Вработе[1�]найденопредельноераспределениеэтойоцен-кистепенимногочлена.

Теорема 3.2. При справедливости некоторых внутримате-матических условий регулярности

( ) ( ) ( )0 0lim * 0, lim * 1 , 0,1, 2,...,u

n nP m m P m m u u

→∞ →∞< = = + = λ − λ =

где

( ) ( )21

1

11 1 exp 0,68268

22

xdx

−

λ = Φ − Φ − = − ≈ π

∫Такимобразом,предельноераспределениеоценкиm* сте-

пенимногочлена(полинома)являетсягеометрическим(одноизизвестныхвтеориивероятностейпараметрическихсемействраспределений).Этоозначает,вчастности,чтооценканеявля-етсясостоятельной.Приэтомвероятностьполучитьменьшеезначение,чемистинное,исчезающемала.Далееимеем:

P(m*=m0)→0,68268,P(m*=m0+1)→ →0,68268(1–0,68268)=0,2166�

P(m*=m0+2)→0,68268(1–0,68268)2=0,0687��,

P(m*=m0+�)→0,68268(1–0,68268)�=0,02181�…

Разработаныииныеметодыоцениваниянеизвестнойсте-пенимногочлена,например,путеммногократногопримененияпроцедурыпроверкиадекватностирегрессионнойзависимостис помощью статистикиФишера [1�].Предельное поведениеоценок —таковоже,каквприведеннойвышетеореме,только

161

значениепараметраlиное.Разработанытакжесостоятельныеоценкистепениполинома[15].

Регрессия как условное математическое ожидание. Вовсех рассмотренных выше постановках вид регрессионнойзависимости задавался исследователем.Это линейнаяфун-кция, илимногочлен, или элемент иного параметрическогосемейства.Однакооткудауверенность,чтосемействовыбраноправильно?Аеслиисследовательошибся?Тогдакслучайнымошибкамдобавляетсяметодическая.Например,данныепри-ближаютсялинейнойфункцией,анасамомделезависимостьквадратическая.Тогдаразностьмеждуэтимифункциями(тожеквадратическаяфункция)иестьметодическаяошибка.Избежатьметодическойошибкиможно,незадаваяаприо-

ривидрегрессионнойзависимости.Продемонстрируемэтонапримереоцениванияусловногоматематическогоожидания.Рассмотримобщеепонятиерегрессиикакусловногомате-

матическогоожидания.Пустьслучайныйвектор (x(ω),y(ω))(здесьω — элементарный исход опыта) имеет плотностьp(x, y). Какизвестно из любого курса теории вероятностей,плотностьусловногораспределенияy(ω)приусловииx(ω)=x0имеетвид

( ) ( )( ) ( )

( )0

,| |

,

p x yp y x p y x x

p x y dy+∞

−∞

= ω = =

∫Условноематематическое ожидание, т.е. регрессионная

зависимостьyотx,имеетвид

( ) ( )( )

( )

,

|

,

yp x y dy

f x yp y x dy

p x y dy

+∞

+∞−∞+∞

−∞

−∞

= =∫

∫∫

Таким образом, для нахождения оценок регрессионнойзависимостидостаточнонайтиоценкисовместнойплотностираспределениявероятностиpn(x,y)такие,что

162

pn(x,y)→p(x,y)

приn→ ∞. Тогда непараметрическая оценка регрессионнойзависимости, построенная с помощью замены неизвестнойисследователюплотностисовместногораспределениянанепа-раметрическуюсостоятельнуюоценкуэтойплотности,т.е.

( )( )

( )

,

,

n

n

n

yp x y dy

f x

p x y dy

+∞

−∞+∞

−∞

==∫

∫,

приn→ ∞являетсясостоятельнойоценкойрегрессиикакус-ловногоматематическогоожидания:

f x → f (x).

Общий подход к построению непараметрических оце-нокплотностираспределениявероятностейразвитв главе7ниже.Регрессионному анализу (т.е. методам восстановления

зависимостей) посвящена огромная литература (по нашейоценке,неменее100тыс.книгистатейнаразличныхязыках).Онхорошопредставленвпрограммныхпродуктахпоанализуданных,особеннотаегочасть,котораясвязанасметодомна-именьшихквадратов.

3.6. непараметрическое оценивание точки пересечения регрессионных прямых

Рассмотримнесколько конкретных практически важныхзадач регрессионного анализа.Онинужныдля решения ор-ганизационно-экономических проблем прогнозирования напромышленном предприятии [12]. В настоящем разделе врамках непараметрической вероятностно-статистическоймо-дели(т.е.безпредположенияонормальностираспределенияпогрешностей)получимасимптотическоераспределениеточки

16�

пересечения(встречи)двухрегрессионныхлинейныхзависи-мостей.Дляэтогонаосновеметодалинеаризациивыпишемвыражениядляасимптотическойдисперсииточкивстречииграницдоверительногоинтерваладлянеё[1�].

Постановка задачи. Пусть зависимость от времени tнекоторого показателя x1(t) технического уровня или качес-тва продукции предприятия «Альфа» описывается линейнойфункцией

x1(t)=a1t+d1.

Пусть аналогичный показатель у его конкурента (ОАО«Бета»)такжеописываетсялинейнойфункцией,носдругимикоэффициентами:

x2(t)=a2t+d2.

Предположим, что предприятие «Альфа» находится вположениидогоняющейстороны.Этозначит,чтоврассмат-риваемыймоментвремени t0(например,«сегодня»)значениепоказателяуегопродукцииниже:x1(t0)<x2(t0),нотемпростаупредприятия«Альфа»выше,чемуконкурента:a1>a2.Возникает естественный вопрос — когда предприятие

«Альфа»догонитконкурента?Другимисловами,вкакоймо-ментвременибудетвыполненоравенствоx1(t)=x2(t)?Решаяотносительноtуравнение

a1t+d1=a2t+d2,

получаем,чтовстречапроизойдетвмомент

2 1

1 2B

d dt

a a−

= −

Представляют интерес еще две величины. Во-первых,уровенькачества,прикоторомпредприятие«Альфа»сравня-ется сконкурентом,т. е.общийуровенькачествавмоментвстречи:

( ) ( ) 1 2 2 11 2

1 2B B

a d a dx x t x t

a a−

= = = −

16�

Вовторых,временнойлаг,т.е.величинаотставанияпред-приятия «Альфа» в рассматриваемыймомент времени t0. Вкакой(болееранний)моментвремени tkконкурентимелтотуровень качества, которого предприятие «Альфа» достиглосейчас?Дляответанаэтотвопроснадорешитьуравнениеx2(t)=x1(t0).Решениемявляется

1 0 2

2

( )k

x t dt

a−

= .

Следовательно,предприятие«Альфа»отстаетна

2 1 0 2 1 2 0 1 0

02 2

( ) ( ) ( )k

a a t d d x t x tL t t

a a− + − −

= − = =

единицвремени(лет).Вреальныхситуацияхлинейныезависимостинеизвестны.

Однакоизвестныисходныеданные(ti1;xi1),i=1,2,…,n(1),дляпредприятие«Альфа»и(tj2;xj2),j=1,2,…,n(2),дляпредпри-ятия-конкурента.Приэтомзначенияпоказателяx1(ti1)=xi1упредприятие«Альфа»вмоментывремени ti1представляютсяввиде

x1(ti1)=xi1=a1ti1+d1+ei1,i=1,2,…,n(1),

гдекоэффициентыa1 иd1неизвестныстатистику,аei1 —пог-решностиизмерения(невязки).Будемсчитать,чтоei1,i=1,2,…,n(1), —совокупностьнезависимыходинаковораспределен-ныхслучайныхвеличинснулевымматематическиможиданиемидисперсиейD(ei1)=σ1

2неизвестнойстатистику.

Для предприятия-конкурента справедливо аналогичноепредставление

x2(tj2)=xj2=a2tj2+d2+ej2,j=1,2,…,n(2),

гдекоэффициентыa2 иd2неизвестныстатистику,аej2 —пог-решностиизмерения(невязки).Примем,чтоej2,j=1,2,…,n(2), —совокупностьнезависимыходинаковораспределенныхслучайныхвеличинснулевымматематическиможиданиемидисперсиейD(ei2)=σ2

2неизвестнойстатистику.

165

Примем, что две совокупности случайных величин ei1, i=1,2,…,n(1),иej2,j=1,2,…,n(2),независимымеждусо-бой.Вкаждойсовокупностислучайныевеличиныодинаковораспределены,нофункциираспределения,соответствующиеразнымсовокупностям(т.е.предприятию«Альфа»ипредпри-ятию-конкуренту),могутразличатьсямеждусобой.Подчеркнем,чтоврассматриваемойвероятностно-статис-

тическоймоделинепредполагается,чтоэтифункциираспре-делениявходятвкакое-либопараметрическоесемействорас-пределений(вчастности,непредполагаем,чтоневязкиимеютнормальноераспределение).Этоизначит,чторассматриваетсянепараметрическаяпостановка.Однакосчитаем,чтообъемыданныхn(1)иn(2)достаточновелики,такчтоможноприменятьЦентральнуюпредельнуютеоремуиприближатьсовместноераспределениеоценокметоданаименьшихквадратовспомо-щьюмногомерногонормальногораспределения.Итак,решениезадачиоточкевстречиполучимврамках

непараметрической вероятностно-статистической модели.Весьмачастныйслучай,когданевязкиei1,i=1,2,…,n(1),иej2,j=1,2,…,n(2),имеютнормальноераспределение,рас-смотренв[26].

Метод решения. Рассмотримметодрешениязадачиовстрече.Вместонеизвестныхстатистикузависимостейx1(t)иx2(t)будемиспользоватьихоценкиx1

*(t)иx2*(t),полученные

методомнаименьшихквадратов.Дляэтогонеобходимооценитькоэффициентыпоправилам,полученнымвразделе�.1,азатемрассчитатьоценкимоментавстречиtB

*,уровнякачествавмо-

ментвстречи ( ) ( )* * * *1 2* B Bx x t x t= = ивременноголага(величи-

ныотставания)

( ) ( )* *2 0 1 0

*2

*x t x t

La

−= ,

используя оценки коэффициентов зависимостей x1(t) и x2(t)вместонеизвестныхистинныхкоэффициентов.

166

Полезнымявляется, как и в разделе �.1, использованиецентрированиясреднимизначенияминезависимойпеременнойприпараметризациизависимостей:

x1(t)=a1(t–tср(1))+b1=a1t+d1,

x2(t)=a2(t–tср(2))+b2=a2t+d2,

где

( ) ( ) ( ) ( )11 21 (1)1 12 22 (2)2

ср ср

... ...1 , 2

1 2n nt t t t t t

t tn n

+ + + + + += = (�.9)

Такимобразом,

dk =bk = ak tср(k),k=1,2

Деловтом,чточтоасимптотическоеописаниесовместно-гораспределениякоэффициентовпрощевслучаецентрирован-ной зависимости, в частности, оценки коэффициентов* *, , 1, 2k ka b k = асимптотическинезависимы.

Как известно (раздел �.1), оценкиметода наименьшихквадратовимеютвид

( )( )( )

( )( )( )

ср* 1

2

ср1

n k

ik iki

k n k

iki

x t t ka

t t k

=

=

−=

−

∑

∑, (�.10)

( ) ( )

( )1 2*

..., 1, 2

k k n k kk ср

x x xb x k k

n k

+ + += = = , (�.11)

Точечныеоценкимоментавстречиt*B,уровнякачествавмомент встречи x* и временного лагаL* выражаются черезоценкикоэффициентовлинейныхзависимостейтак:

( ) ( )* * * ** *

2 1 1 22 1** * * *1 2 1 2

1 2ср срk

b b a t a td dt

a a a a

− + −−= =

− −, (�.12)

167

( ) ( )( )* * * * * ** * * *

1 2 2 1 1 21 2 2 1* * * *1 2 1 2

1 2* ср срa b a b a a t ta d a d

xa a a a

− + −−= =

− −, (�.1�)

( ) ( )* * * * * ** * * *

1 2 0 2 1 1 21 2 0 2 1* *2 2

( ) 1 2( )* ср срa a t b b a t a ta a t d d

La a

− + − + −− + −= = ,

(�.1�)

Изприведенныхформулвытекает,что

( ) ( ) ( )* * * * * * * * * * * * * * *1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , ,Bt f a a b b x f a a b b L f a a b b= = =

где

( ) ( ) ( )� � 1 2* * * *1 1 2 � �

1 2

1 2, , , , ср срz z z t z t

f z z z zz z

− + −= −

( ) ( ) ( )( )1 � 2 � 1 2* * * *2 1 2 � �

1 2

1 2, , , , ср срz z z z z z t t

f z z z zz z

− + −= − ,

( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 � � 1 2* * * *� 1 2 � �

2

1 2, , , , ср срz z t z z z t z t

f z z z zz

− + − + −= .

Посколькувсевходящиевполученныеформулымоментывременипредполагаютсязаданными(детерминированными),тоинтересующиенасоценкизадаютсягладкимифункциямиот четырехмерного вектора * * * *

1 2 1 2( , , , )a a b b оценокметодана-

именьшихквадратовкоэффициентоввлинейныхзависимос-тях.Рассмотримасимптотическоераспределениевектораоценок

МНКврамкахописаннойвышенепараметрическойвероятнос-тно-статистическоймодели(см.раздел�.1). Оценки * * * *

1 2 1 2, , ,a a b b

являютсянесмещенными,ихдисперсиитаковы:

( )

( )( )( ) ( ) ( )

2 2* 2

2

1

, , 1, 2k kk kn k

ik срi

D a D b kn k

t t k=

σ σ= = =

−∑ .

168

Отметим, что в соответствии спринятымипредположе-ниямивсечетыредисперсиистремятсяк0прибезграничномростеn(1)иn(2).Все ковариации вектора * * * *

1 2 1 2( , , , )a a b b равны 0.Для пар

координатсразличающимисянижнимииндексамиэтовыте-каетизпредположенияонезависимостимеждусобойсовокуп-ностейневязок,соответствующимизмерениямзначенийдвухразныхлинейныхфункций.Дляпаркоординатсодинаковыминижнимииндексами, т.е.дляпар (a*1,b1*)и (a*2,b2*), этоустановленовразделе�.1.Такимобразом,вковариационнойматрицевектора(a*1,a*2,b1*,b*2)отличныот0толькоэле-менты,стоящиенаглавнойдиагонали,т.е.дисперсии.Каждыйизвекторов(a*1,b*1)и(a*2,b*2)являетсясуммой

n(1)иn(2)слагаемыхсоответственно.Есликаждоеизслагае-мыхмалопосравнениюсовсейсуммой,т.е.если

( ) ( )

( ) ( )( )( ) 1

22

1 1

lim max 0, 1, 2n k

ik ср ik срn k i n k i

t t k t t k k→∞ =

− − = = ∑

7 7,

топрибольшихn(1)иn(2)распределениевектора(a*1,a*2,b*1,b*2)приближаетсянормальнораспределеннымслучайнымвек-торомснезависимымикоординатами.Математическиеожида-нияидисперсиикоординатприближающеговекторасовпадаютсодноименнымихарактеристикамивектора(a*1,a*2,b*1,b*2).Другимисловами,вектор(a*1,a*2,b*1,b*2)являетсяасимпто-тическинормальнымсуказаннымивышепараметрами.Рассмотрим распределениефункции от вектора оценок

МНК. Еслифункцияf (z1,z2, z�, z�)достаточногладкая,тосо-гласнометодулинеаризации(см.Приложение1,разделП.1.�,или[18,п.�.�])

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* * * * *1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1

* * *2 2 � � � �

2 � �

, , , , , ,f

f a a b b f a a b b a az

f f fa a a a a a

z z z

∂− = − +∂

∂ ∂ ∂+ − + − + −∂ ∂ ∂

с точностью до бесконечномалых величин более высокогопорядка.

169

Какпоказановыше,праваячастьпоследнейформулыпри-ближаетсясуммойчетырехнезависимыхнормальнораспреде-ленныхвеличинснулевымиматематическимиожиданиями.Следовательно,функция f (a*1,a*2,b*1,b*2) от вектора оценокМНКявляетсяасимптотическинормальнойслучайнойвеличи-нойсматематическиможиданиемf (a1,a2,b1,b2),совпадающимстеоретическимзначением,идисперсией

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

* * * * * * * *1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 �, , ,

f f f fDf a a b b D a D a D b D b

z z z z∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

* * * * * * * *1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 �, , ,

f f f fDf a a b b D a D a D b D b

z z z z∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ Подставивприведенныевышезначениядисперсий,полу-

чаем,что

( )( )( )

( )

( )( )( ) ( ) ( )

2 21* * * *

1 2 1 2 121

11

2 2 22 2 22 1 2

222 2 �

21

, , ,

1

1 22

n

i срi

n

i срi

fDf a a b b

zt t

f f fz z zn n

t t

=

=

∂ σ = + ∂ −

∂ σ ∂ σ ∂ σ + + + ∂ ∂ ∂ −

∑

∑Асимптотическое решение. Рассмотримасимптотическое

распределениемоментавстречи.Начнемсфункцииf *B(a*1,a*2,b*1,b*2).Имеем:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )� � 2 � � 11 1

2 21 21 2 1 2

2 1 2 1,ср ср ср срz z z t t z z z t tf f

z zz z z z

− + − − + −∂ ∂= =∂ ∂− −

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )� � 2 � � 11 1

2 21 21 2 1 2

2 1 2 1,ср ср ср срz z z t t z z z t tf f

z zz z z z

− + − − + −∂ ∂= =∂ ∂− −

,

1 1

� 1 2 � 1 2

1 1,

f fz z z z z z

∂ ∂= =∂ − ∂ − .

В приведенных вышеформулах частные производныеможнобратькаквточке(a1,a2,b1,b2),такивточке(a*1,a*2,

170

b*1,b*2).Различие —бесконечномалыевеличиныболеевысо-когопорядка.Посколькуистинныезначениякоэффициентовлинейных зависимостей неизвестны, частные производныебудембратьвточке.Изпоследнихформулспомощьюнесложныхпреобразо-

ванийполучаем,что

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2* * * 21 2 2 1*

2 1* * 21 2

11

2* * * 2 2 21 2 1 2 1 2

2 22* * * *21 2 1 2

21

2 1

1

2 1 11 2

2

ср срB n

i срi

ср ср

n

i срi

b b a t tD t

a a t t

b b a t t

n na a a at t

=

=

− + − σ = + − −

− + − σ σ σ + + + − − −

∑

∑

(�.15)

Для практического применения полученных результатовостаетсязаменитьнеизвестныедисперсииневязокσ1

2иσ22на

ихсостоятельныеоценки.Прибольшихобъемахданныхn(1)иn(2)используютоценкидисперсийневязок

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 21 2

1 2* , * ,

1 2SS SSn n

σ = σ =

гдеSS(1)иSS(2) —соответствующиеостаточныесуммыквад-ратов,

( ) ( )( )( )

2*

1

, 1, 2n k

ik k iki

SS k x x t k=

= − =∑ . (�.16)

Иногда рекомендуют применение несмещенных оценокдисперсийневязок

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 21 2

1 2** , ** .

1 2 2 2SS SS

n nσ = σ =

− − . (�.17)

Ясно,чтосростомобъемовданныхn(1)иn(2)различиемеждудвумяпоследнимиформуламиисчезает.Наосновеполученныхрезультатовлегкоуказатьметоды

доверительногооцениванияипроверкигипотездлямомента

171

встречи tB. Так, асимптотический доверительный интервал,соответствующийдоверительнойвероятности p,имеетвид

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 2 1 2* * * ** ; *B B B Bt U p D t t U p D t − . (�.18)

ЗдесьD*(tB*) —толькочтоописаннаяоценкадисперсиислучайнойвеличиныtB(сиспользованиемтойилиинойоцен-ки дисперсий невязок),U(p) — квантиль стандартного нор-

мальногораспределенияпорядка(1+р)/2,т.е.1

( ( ))2

pU p

+Φ =

,гдеΦ(w) —функциястандартногонормальногораспределениясматематическиможиданием0идисперсией1.

Пример. Вкачествепримерарассмотримпоказателитехни-ческогоуровняпродукции(вусловныхединицах)двухпредпри-ятий —ОАО«Альфа»иОАО«Бета».Приведенныевтабл.�.8данныепоказывают,чтов1999г.первоепредприятиеотстаетотвторого,нопостепенносокращаетразрыв,болеебыстрымитемпаминаращиваяпоказательтехническогоуровня.Когдажеонодогонитвтороепредприятие?

Т а б л и ц а 3 . 8

Показатели технического уровня продукции двух предприятий (в условных единицах, на конец года)

Годы 1999 2000 2001 2002 200� 200� 2005

Условныемоментывре-мениti1=ti2

1 2 � � 5 6 7

ПоказателиОАО«Альфа»xi1

0,1 0,2 0,6 0,5 0,8 0,9 1,�

Восстановленныезначе-ния(предприятие«Аль-фа»)

0,06 0,25 0,�� 0,6� 0,82 1,01 1,2

ПоказателиОАО«Бета»xj2 0,6 0,95 0,8 1,2 1,1 1,2 1,�

Восстановленныезначе-ния(предприятие«Бета»)

0,71 0,82 0,9� 1,0� 1,15 1,26 1,�7

Для проведения расчетов естественным образом введемусловныемоментывремени (табл.�.8).Методомнаименьшихквадратов восстановимлинейныенезависимости.Поформуле

172

(�.9)получаем,чтоtср(1)=tср(2)=�.Поформулам(�.10)и(�.11)находимоценкикоэффициентовлинейныхзависимостей

a*1=0,19,a*2=0,11,a*1=0,6�,a*2=1,0�.

Восстановленныезависимостиимеютвид

x*1(t)=0,19(t–�)+0,6�,x*2(t)=0,11(t–�)+1.0�

Восстановленныезначенияприведенывтабл.�.2.Оценкумоментавстречиtв*определимпоформуле(�.12)

* 1,0� 0,6� 0,19 � 0,11 �9,1�

0,19 0,11Bt− + ⋅ − ⋅

= =− .

Другими словами, значения показателей техническогоуровняпредприятийсравняютсявначале2008года.Этообщеезначениенайдемпоформуле(�.1�):

( )0,19 0,6 0,11 ( 0,1�) 0,19 0,11 � �

* 1,60,19 0,11

x⋅ − ⋅ − + ⋅ −

= =− .

Для определения временного лага, т.е. величины, пока-зывающейнасколькоОАО«Альфа»отстаетотпредприятия-конкурента,дляопределенности,в200�году,воспользуемсяформулой(�.1�)

( ) ( )0,11 0,19 6 0,6 0,1�

* 2,270,11

L− ⋅ + − −

= = .

Рассчитаемпоформуле(�.18)асимптотическийдоверитель-ныйинтервал,соответствующийдоверительнойвероятностир=0,95.Дляэтогозначениянесмещенныхоценокдисперсийневязок найдем поформуле (�.17), а значения остаточнойсуммыквадратовSS(1)иSS(2)определимпоформуле(�.16).Получаемσ21=0,01�82,σ

21=0,0157.Асимптотическуюдис-

персиюмоментавстречинайдемпоформуле(�.15):D(t*a)=�,�79.ПосколькуU(р)=1,96прир=0,95,тодоверительныйинтервалтаков(рис.�.6):

[ ]9,1� 1,96 �,�79; 9,1� 1,96 �,�79 5,028;1�,28 − + = .

17�

Такимобразом,возможно,чтообгонужесостоялся(в200�илив2005году),ноэтонеотраженовтабл.�.8из-запогреш-ностей,искажающихзависимости.

О практическом применении статистических оценок точки встречи. Необходимость получения приведенныхвышерезультатов,касающихсяоценокмоментавстречи t*B,уровнякачествавмоментвстречиx*ивременноголагаL*,была выявлена в результате решения прикладныхпроблем,возникшихприразработкесистемыавтоматическогопроекти-рования(САПР)стандартовнапродукцию[10].Вэтойсистемереализуютсяфункцииинформационногообеспеченияианализаданныхохарактеристикахкачествагруппыотечественныхизарубежныхобразцов(марок,моделей)аналогичнойпродук-ции,требованийнормативно-техническойдокументациинаэтупродукцию,атакжеподдерживаютсяфункцииинтерактивного(человеко-машинного)принятиярешенийпоуправлениюка-чеством,сертификацииистандартизации.

Рис.3.6. Динамикапоказателейтехническогоуровнядвухпредприятий,восстановленныезависимостиидоверительное

оцениваниемоментавстречи

17�

СтатистическиеметодывСАПРстандартовиспользуютсядляанализараспределенийпоказателейкачествапродукции,исследованиявзаимосвязейпоказателей,выявлениягруппиро-вокпродукциипоуровнюкачества,анализавременныхрядовипрогнозированиякачествапродукции.Основныепроблемыпрограммнойреализацииэтихметодовсвязанысобеспечениеминтерактивногорешениязадачпользователями(инженерамипостандартизацииитехническомурегулированию),неимею-щими специальнойподготовкипо статистическимметодам.Крометого,возниклиспецифическиезадачи,требующиесо-вершенствованиястатистическогоаппарата,вчастности,задачасравнительногоанализатенденцийразвитияотечественнойизарубежной групппродукции, решениюкоторойипосвяще-ныпредыдущие страницы.Разработанноематематическоеипрограммноеобеспечениеприменялосьдляанализаданныхохарактеристикахкачестваизделийэлектроннойтехники.Разработанныевнастоящемразделеметодымогутбыть

использованыпри решении различных практических задач,связанных с интервальной оценкой точки пересечения двухрегрессионныхпрямых.Вчастности,онииспользованыдляполучения асимптотических дисперсий уровня качества вмоментвстречиивременноголага (величиныотставания)иразработкиметодовдоверительногооцениванияэтихвеличин,используемыхвсистемахуправленияпромышленнымипред-приятиями[11].

3.7. Модель с периодической составляющей

Рассмотримзадачувосстановлениязависимостиx=x(t)наосновенабораnпарчисел(tk , xk), k = 1,2, …, n,гдеtk——зна-чениянезависимойпеременной,аxk—соответствующиеимзначениязависимойпеременной.Прианализеэкономическихданныхвозникаетнеобходи-

мостьиспользованиямоделейвременныхрядов,включающихтрисоставляющие:трендовую(T),периодическую,илицикли-

175

ческую(S)ислучайную(E).Рассматривают[22]аддитивнуюмодельT+S + EимультипликативнуюмодельT ×S ×E.Простейшаяаддитивнаямодельимеетвид

xk = a (tk – t–)+ d + ek = a (tk – t–)+ d+f (tk)+Ek, k = 1,2,…,n. (�.19)

Здесь трендовая составляющая — линейная функцияa (tk – t–)+ d (какивразделе�.1,такаязаписьтрендапредпоч-тительнеедляоблегчениявыкладок);периодическаясоставля-ющаяf (t)обычноописываетсезонность,т.епериодизвестен(взависимостиотмоделируемойорганиазционно-экономическойситуациионравенгоду,неделе,суткамит.п.);случайнаясо-ставляющаяпредставленаслагаемымиEk,которыеявляютсяреализацияминезависимыходинаковораспределенныхслучай-ныхвеличинснулевымматематическиможиданиемидиспер-сиейσ2,неизвестнойстатистику.Вмодели(�.19)имеем:

ek = f (tk)+Ek,= 1,2,…,n.

Вотличиеотмодели,изученнойвразделе�.1,отклоненияотлинейноготрендаek вмодели(�.19)неявляютсяодинаковораспределенными.Однакоихраспределенияотличаютсялишьсдвигами (на значения детерминированной периодическойсоставляющей).Соответствующаямультипликативнаямодельимеетвид

( ) [ ]1 1 , 1, 2, ...,ak k k ky Bt f t k n = × × + ε = . (�.20)

В (�.20) сомножители имеют описанный выше смысл.Прилогарифмированиимодель(�.20)переходитваналогмо-дели(�.19),следовательно,достаточнорассматриватьмодель(�.19).Практическаязначимостьэтоймоделиочевидна.Однако

расчетныеметоды,описанныев[22],являютсяэвристическими.Цельнастоящегораздела —построить непараметрическую вероятностно-статистическую теорию прогноза временного

176

ряда на базе линейного тренда с учетом аддитивной перио-дической составляющей. Изложениеследуетработе[20].Следуяэвристическомуподходу[22],изучимасимптотичес-

коеповедениеоценокМНКa*иd*,заданныхформулами(�.�),установимихасимптотическуюнормальностьвпредположени-яхмодели(�.19),азатемсостоятельнооценимпериодическуюсоставляющуюf (t)ипостроиминтервальныйпрогноздляx(t).В частности, выявится целесообразность анализа данных заполноечислолет(периодов).Вотличиеот[16](см.также[17,п.6.�],[18,п.10.2]),длинупериодаоцениватьнетребуется,пос-колькуоназаданаизсодержательныхсоображений(например,дляданныхраздела�.� —одингод).

Асимптотические распределения оценок параметров. Изформулы(�.�)следует,чтовпринятыхвышепредположенияхиобозначенияхнастоящегораздела

( ) ( )1 1 1 1 1

1 1 1 1*

n n n n n

k k k k kk k k k k

ad t t d e d e d f t E

n n n n n= = = = == − + + = + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )1 1 1 1 1

1 1 1 1*

n n n n n

k k k k kk k k k k

ad t t d e d e d f t E

n n n n n= = = = == − + + = + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . (�.21)

СогласноЦентральнойпредельнойтеореме(см.Приложе-ние1)оценкаd* имеетасимптотическинормальноераспреде-

лениесматематическиможиданием ( )1

1 n

kk

d f tn =

+ ∑ идиспер-

сиейσ2/n,оценкакоторойприводитсяниже.Изформул(�.�)и(�.21)вытекает,что

( ) ( )1 1

1 1n n

k k k k k k kk k

x x a t t d e d e a t t e en n= =

− = − + + − − = − + −∑ ∑ ,

( )( ) ( ) ( ) ( )2

1

nk

k k k k k kk

t tx x t t a t t e t t e

n =

−− − = − + − − ∑ .

Последнееслагаемоевовторомсоотношенииприсумми-рованиипоk обращаетсяв0,поэтому

177

( )

( )21 1 1

1

* ( ) ,n n n

kk k k k k k k n

k k kk

k

t ta a c e a c f t c E c

t t= = =

=

−= + = + + =

−∑ ∑ ∑

∑

(�.22)

Формулы(�.22)показывают,чтооценкаa*являетсяасим-птотически нормальной с математическим ожиданием

1

( )n

k kk

a c f t=

+ ∑ идисперсией

( )2

2

21

1

* ( )( )

n

k k nk

kk

D a c D Et t=

=

σ= =

−∑

∑.

Отметим, что многомерная нормальность имеет быть,когдакаждоеслагаемоевформуле(�.22)малосравнительносовсейсуммой,т.е.

1 2

2

1

lim max ( ) 0n

k kn

k

i t t t→∞ =

− − = ∑ . (�.2�)

Условие(�.2�)выполнено,еслиtk образуют(полную,т.е.без пропусков) арифметическую прогрессию, число членовкоторойбезграничнорастет.Итак,дисперсииоценокМНКпараметровa*иb*линейного

тренда —теже,чтоиприотсутствиисезонныхискажений(см.раздел�.1).Авотихматематическиеожиданиязависятотпериодическойсоставляющей.Однаковслучае

( )( )( ){ } ( ) ( ) ( )2 2

1 1

1 1* * 0

n n

k k k k k kk k

M a a d d t t c t t M E t t cn n= =

− − − − = − σ =∑ ∑

( )( )( ){ } ( ) ( ) ( )2 2

1 1

1 1* * 0

n n

k k k k k kk k

M a a d d t t c t t M E t t cn n= =

− − − − = − σ =∑ ∑ (�.2�)

оценкиa*иb*являютсянесмещенными.Условия (�.2�) являютсяпринципиально важными.Они

являютсянеобходимымиидостаточнымидлянесмещеннос-

178

ти и состоятельности оценок, рассмотренных в настоящемразделе.Справедливостипервогоизусловий(�.21)можнодобиться,

измениввслучаенеобходимостисвободныйчленdвмодели(�.19).Некотораяпроблемасостоитвтом,какуюсуммузначе-нийпериодическойсоставляющейприравнивать0 —запериод(например,загод)илизавсёвремянаблюдений(какизаписанов(�.2�).Сорганизационно-экономическойточкизренияестес-твеннеепервое(т.е.приоритетотдаетсясвойствамзапериод,интервалнаблюденийможетменяться,например,расширятьсясовременем).Когдаобавариантадаютодноитоже?Первое из условий (�.2�)можно считать выполненным,

еслиti образуют(полную,т.е.безпропусков)арифметическуюпрогрессию,причемцелоечислошаговсоставляетодинпериод(например,еслиизмеренияпроводятсяежемесячноилиразвквартал,апериод —год),и,крометого,данныевзятызацелоечислопериодов.Действительно, тогда естественнопринять,чтосуммазначенийпериодическойсоставляющейзапериодравна0,посколькувпротивномслучае,какужеотмечалось,можнобылобыскорректироватьсвободныйчлен(т.е.потемжесоображениям,покоторымпринятоусловиенулевогома-тематическогоожиданияслучайныхсоставляющихEi).Длясправедливостивторогоизусловий(�.2�)достаточно

добавитьксказанномупредположениясимметричностимно-жества{tk, k=1,2,…,n}относительноt

–(например,началагода)ичетностипериодическойсоставляющейf (t)относительнотойжеточки.Последнеевыполнено,если,например,графикf (t)симметриченотносительносерединыгода.Несмещенность(впредположениях(�.2�))иасимптотичес-

каянормальностьоценокметоданаименьшихквадратовпозво-ляютлегкоуказыватьдлянихасимптотическиедоверительныеграницыипроверять статистические гипотезы, например, оравенствеопределеннымзначениям,преждевсего0.

Асимптотическое распределение трендовой составляю-щей. Изформул(�.21)и(�.22)следует,чтоприсправедливости(�.2�)

M{a*(t–t–)+d*}=M(a*)(t–t–)+M(d*)=a(t–t–)+d,

179

т.е.оценкаy*(t)=a* (t – t–)+d* трендовойсоставляющейy(t)= a (t – t–)+ d рассматриваемой зависимости являетсянесмещенной.Поэтому

D(y*(t))=D(a*)(t–t–)2+2M{(a*–a)(d*–d)(t–t–)+D(d*)}.

Приэтом,посколькупогрешностиEkнезависимывсово-купностииM(Ek)=0,то

( )( )( ){ } ( ) ( ) ( )2 2

1 1

1 1* * 0

n n

k k k k k kk k

M a a d d t t c t t M E t t cn n= =

− − − − = − σ =∑ ∑

.

Такимобразом,

( )( ) ( )

( )

22

2

1

1* k

n

k kk

t tD y t

nc t t

=

− = σ + −

∑. (�.25)

Итак,оценкаy*(t)являетсянесмещеннойиасимптотическинормальной.Для ее практического использования (постро-ения доверительных интервалов, проверки статистическихгипотез)необходимоуметьоцениватьостаточнуюдисперсиюM(E2k) = σ

2.Вчастности,непредставляеттрудавыписываниенижнейи

верхнейграницдлятрендовойсоставляющейпрогностическойфункции:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * , * * ,нижн верхy t a t t d t y t a t t d t= − + −δ = − + −δ

гдеполуширинадоверительногоинтервалаd(t)имеетвид

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

1

1* * *

n

kk

t tt U D y t U

nt t

=

−δ = γ = γ σ +

−∑ .(�.26)

Здесь γ — доверительная вероятность,U(γ) — квантиль

нормальногораспределенияпорядка12+ γ,т.е.

180

( ) 1 12

U − + γ γ = Φ

,

гдеΦ(x) —функция стандартного нормального распределе-ниясматематическиможиданием0идисперсией1.Приγ = 0,95(наиболееприменяемоезначение)имеем U(γ)= 1,96. Вформуле (�.26)D*(y*(t)) — состоятельная оценка дисперсииy*(t).Всоответствиис(�.25)онаявляетсяпроизведениемсо-стоятельнойоценкиσ*среднегоквадратическогоотклоненияσслучайныхпогрешностейEk наизвестнуюстатистикудетер-минированнуюфункциюотt.

Математическое ожидание остаточной суммы квадра-тов. Вточкахtk , k = 1,2,…,n, имеютсяисходныезначениязависимойпеременнойxk ивосстановленные значенияy*(tk).Рассмотримостаточнуюсуммуквадратов

( )( ) ( )( )( ) ( ){ }22

1 1

* * *n n

k k k k kk k

SS y t x a a t t d d f t E= =

= − = − − − − −∑ ∑Напомним, чтопри отсутствиипериодической составля-

ющейиспользуют(см.раздел�.1и[17,пп.5.1,5.2]состоя-тельные оценкиσ* среднего квадратического отклоненияσслучайныхпогрешностей,построенныенаосновеостаточнойсуммыквадратов

* или *2

SS SSn n

σ = σ = −.

Всоответствиисформулами(�.21)и(�.22)присправед-ливостиусловий(�.2�)

( ) ( )

( ) ( )

2

1 1 12

1 1 1

1

1

n n n

k j j j k kk j j

n n n

j k j k k kk j k

SS t t c E E f t En

c t t E f t E SSn

= = =

= = =

= − + − −

= − + − − =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑.

Найдемматематическое ожидание каждого из слагае-мых:

181

( ) ( ) ( )

2

1

1n

k j k j k kj

M SS M c t t E f t En=

= − + − − = ∑

( ) ( ) ( )( )11 1

1 12

n n

j k j j k j k kj j

M c t t E M c t t E f t En n= =

= − + − − + + + ∑ ∑

( )( )2k kM f t E+ − .

ПосколькуEkнезависимы,одинаковораспределеныииме-ютнулевоематематическоеожидание,то

( ) ( )2 2

2

1 1

1 1n n

j k j j kj j

M c t t E c t tn n= =

− + = − + σ ∑ ∑ .

Далее,

( ) ( )( ) ( ) 2

1

1 12 2

n

j k j k k k kj

M c t t E f t E c t tn n=

− − + = − − + σ ∑ .

Наконец,

M(f (tk)–Ek)2=f 2(tk)+σ2.

Наосноветрехпоследнихравенствможнопоказать,чтопривыполненииусловияасимптотическойнормальности(�.2�)

( ) ( )2 2lim k kn

M SS f t→∞

= + σ .

Следовательно,

( )2 2

1

1 n

kk

SSM f t

n n =

= σ +

∑ . (�.27)

Вправойчасти(�.27)первоеслагаемоесоответствуетвкла-дуслучайнойсоставляющей,второе —вкладупериодическойсоставляющей.Внекоторыхслучаяхвтороеслагаемоевправойчасти(�.27)

можетбытьизвестноизпредыдущегоопытаилижеоценено

182

экспертами, однако в большинстве ситуаций целесообразноисходитьизоценкипериодическойсоставляющей.

Оценивание сезонной компоненты. Рассматривают какпараметрические,такинепараметрическиеподходы.Популяр-ныйметодисходитизтого,чтодостаточногладкуюфункциюможноразложитьврядФурьеиполучитьхорошееприбли-жениеспомощьюнебольшогочислагармоник.Впростейшемслучае —однагармоника.Так,динамикуиндексаинфляцииможнопопытатьсяизучатьспомощьюмодели

xk = a (tk – t–)+ d+f (tk)+Ek =

= a (tk – t–)+ d+g cos(2πtk)+Ek, k = 1,2,…,n

(времяt измеряетсявгодах).Тогданеизвестныепараметрыa, b, gоцениваютсяметодомнаименьшихквадратов.Однакообычнонетоснованийпредполагать,чтопериоди-

ческаясоставляющаявходитвтоилииноепараметрическоесемействофункций.Приходится строитьнепараметрическиеоценки.Опишемоднуизвозможныхпостановок.Пустьвсогласииспредположениями(�.2�)рассматривает-

сяцелоечислопериодов,т.е.n = mq,гдеn —объемнаблюде-ний,m —количествопериодов,q —числонаблюденийводномпериоде.Тогдавсоответствиисопределениемпериодическойсоставляющейсправедливыравенства

f (ts)=f (tq+s)=f (t2q+s)=…= f (t(m–1)q+s),s=1,2,…,q.(�.28)

Еслинаблюденияпроводятсяежемесячновтечениеmлет,точислонаблюденийводномпериодеq=12,общийобъемнаблюденийn=12m,далее,s —номермесяцавгоду,s=1,2,…,12.Пустьgs—общеезначениев(�.28).Требуетсяоценитьg1,g2,…,gq.Естественныйподходсостоитвтом.чтобыусреднитьm

значений xk — y*(tk), соответствующихмоментам времени,отстоящимдруготдруганацелоечислопериодов.Другимисловами,усреднить«очищенные»оттрендовойсоставляющейисходные данные, соответствующие одноименныммесяцамразличныхлет.Речьидетобоценках

18�

( ) ( )( )( )*1 1

1

1* , 1, 2, ...,

m

s s j q s j qj

g x y t s qm + − + −

== − =∑ . (�.29)

Оценкапериодическойсоставляющейраспространяетсянавесьинтервалнаблюденийочевиднымобразом:

f (ts)=f *(tq+s)=f *(t2q+s)=…= f *(t(m–1)q+s)=g*s,

s=1,2,…,q. (�.�0)

Сложиввосстановленныезначениятрендовойипериодичес-койоставляющей,получимоценкузависимости,«очищенную»отслучайнойсоставляющей

x*(t)=y*(t)+ f *(t)=a*(t –t–)+d* + f *(t) (�.�1)

Здесьоценкиa*иd*находятпоформулам(�.�),аоценкиf *(t) —поформулам(�.29) —(�.�0).С помощьюформулы (�.�1) можно строить точечный

прогноз,используяеевнеинтерваланаблюдений.Дляэтогодостаточно распространить сезонную составляющую f *(t)вплотьдорассматриваемогомоментавременипоправилу(�.�0)исуммироватьееспрогнозомтрендовойсоставляющейy*(t).Интерполяцияиэкстраполяциянамоментывремениt,невхо-дящиевисходноемножество{tk, k=1,2,…,n}имножества,полученныеизнегосдвигаминацелоечислопериодов,можетбытьосуществленапутемлинейнойинтерполяцииближайшихзначенийилиинымметодомсглаживания.Обсудимсвойстваоценок(�.29)–(�.�1).Прибезграничномростеобъемаданныхисправедливости

условий(�.2�)и(�.2�)оценкиa*иd*параметровтрендовойсоставляющейявляютсясостоятельнымиинесмещенными,апотому,какможнопоказать,врассматриваемыхвнастоящемразделе условиях суммы (�.29) оценивают периодическуюсоставляющуюсостоятельно(приm→∞)инесмещенно.Какследствие,

( ) ( )2 2

1 1

1 1* 0

m m

k kk k

f t f tn n= =

− → ∑ ∑ (�.�2)

18�

повероятностиприn →∞.Всоответствиис(�.27)последнеесоотношениедаетвозможностьоценитьσ2,азатемпостроитьинтервальныйпрогноздлятрендовойсоставляющейсогласно(�.26).Отметим,чтоврассматриваемойситуации,какправило,

nрастет,увеличиваясьнавеличины,кратныеq —числуна-блюдений в одномпериоде.Как следствие, уменьшаемое в(�.�2) —константа, зависимости отn нет.Этиособенностисвязаныстем,чтовыполнениеусловий(�.2�)предполагаетрассмотрениецелогочислапериодов.Рассмотрим оценки (�.29) подробнее.Как вытекает из

(�.19),(�.28)и(�.29),

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )*

1 11 1

1 1* * , 1, 2,...,

m m

s s k j q s j qj j

g f t a a t t d d E s qn m+ − + −

= == − − − − − + =∑ ∑

.

Сучетом(�.21),(�.22)и(�.2�)получаем,что

( ) ( )( ) ( )*

1 11 1 1 1

1 1 1, 1, 2,...,

n m n m

s s k k kk j q s j qk j k j

g f t c E t t E E s qm n m+ − + −

= = = =

= − − − + = ∑ ∑ ∑ ∑

.

Такимобразом,

( )*

1

, 1, 2,...,n

s s ks kk

g f t h E s q=

= + =∑ (�.��)

где1 1

ks k sh c rn m

= − − + ,еслиk = {s+(j —1)q,=1,2,…,m},

и1

ks k sh c rn

= − − привсехостальныхзначенияхиндексасум-

мированияk,и ( )( )11

1 m

s s j qj

r t tm −

== −∑ .

Соотношение(�.��)означает,чторассматриваемыеоцен-киестьсуммынезависимыхслучайныхвеличин,апотомуспомощьюЦентральнойпредельнойтеоремыможнопостроитьдоверительныеинтервалыдлярассматриваемыхзначенийпе-

185

риодическойсоставляющей(впредположениисправедливостиусловий(�.2�)).

Интервальный прогноз. Точечныйпрогнозстроятпофор-муле(�.28)наосновеx*(t) —оценкизависимости,«очищенной»отслучайнойсоставляющей,новключающейтрендовыйипери-одическийкомпоненты.Есливыполненыусловия(�.2�),то

Mx*(t)=x(t)=a (t – t–)+ d +f (t),

т.е.оценкаx*(t)являетсянесмещенной.Присправедливостиусловий(�.2�)сучетом(�.21),(�.22)

и (�.��)получаем,чтодлямоментавремени t,входящеговисходноемножество{tk, k=1,2,…,n}иливмножества,по-лученныеизнегосдвигаминацелоечислопериодов,

( ) ( ) ( )1 1 1

1*

n n n

k k k ks kk k k

x t x t t t c E E h En= = =

− = − +∑ ∑ ∑ . (�.��)

В (�.��) при определении значений коэффициентовhks вкачестве s следует взять номер наименьшего из исходныхмоментоввремени{tk, k=1,2,…,n},отстоящихотрассмат-риваемогомомента t на целое число периодов.Спомощью(�.��)заключаем,что

( ) ( )1

*n

ks kk

x t x t w E=

− = ∑ ,

где1

( )ks k sw c t t rm

= − − + ,еслиk ∈ {s+(j —1)q,=1,2,…,

m},и ( )ks k sw c t t r= − − привсехостальныхзначенияхиндек-

сасуммированияk,иrs —тоже,чтоивформуле(�.��).

Вправойчастиформулы(�.��)стоитсумманезависимыхслучайныхвеличин,поэтомуоценкаx*(t)являетсяасимпто-тически нормальной (при справедливости условий (�.2�)) сматематическиможиданиемx(t)идисперсией

( )( ) ( )2 2 2

1 1

n n

ks k ksk k

D x t w D E w= =

= = σ∑ ∑ . (�.�5)

186

Следовательно,нижняяxнижн(t)иверхняяxнижн(t)xверх(t)дове-рительныеграницыдляпрогностическойфункции(сучетомкактрендовой,такипериодическойсоставляющих)имеютвид:

( ) * ( ) * * ( ) ( ), ( ) * ( ) * * ( ) ( )нижн верхx t a t t d f t t x t a t t d f t t= − + + − ∆ = − + + + ∆

( ) * ( ) * * ( ) ( ), ( ) * ( ) * * ( ) ( )нижн верхx t a t t d f t t x t a t t d f t t= − + + − ∆ = − + + + ∆ ,

где

( )( ) ( ) 2

1

( ) ( )n

ksk

t U D x t U w=

∆ = γ ⋅ ⋅ = γ σ ⋅ ∑ . (�.�6)

Здесь γ — доверительная вероятность,U(γ) — квантиль

нормальногораспределенияпорядка12+ γ.Вформуле(�.�6)

D·(x ·(t)) —состоятельнаяоценкадисперсииточечногопро-гнозаx*(t).Всоответствиис(�.�5)онаявляетсяпроизведениемсостоятельнойоценкиσ*среднегоквадратическогоотклоненияσслучайныхпогрешностейEk наизвестнуюстатистикудетер-минированнуюфункциюотt.Величинуσ∗рассчитываютсо-гласно(�.27)и(�.�2).Подведемитоги.Посравнениюсэвристическимиалгорит-

мами,разобраннымив[22]идругихлитературныхисточниках,разработаннаявнастоящемразделетеорияпозволила:1) дать общее обоснование этим алгоритмам в рамках

асимптотическихметодовматематическойстатистикииуказатьусловияихприменимости(формула(�.2�));2)выявитьпринципиальноважныеусловия(�.2�),необхо-

димыеидостаточныедлянесмещенностиисостоятельностирассматриваемыхоценок;�)построитьдоверительныеинтервалыдлязависимости

(прогностическойфункции)иеетрендовойсоставляющей.Врамкахматематическойстатистикиудаетсяпровестиана-

лизневсехраспространенныхэвристическихалгоритмов.Так,довольно часто рекомендуют вначале провести сглаживание(«выравнивание»)временногоряда,например,методомсколь-зящихсредних[22,с.1�7].Приэтомпериодическая(сезонная)составляющаяменяется,апогрешности(отклоненияотсуммытрендовойипериодической составляющих) становятся зави-

187

симымислучайнымивеличинами,чтоделаетневозможнымприменениеописанныхвнастоящемразделеметодов.

Пример применения непараметрического метода наимень-ших квадратов в модели с периодической составляющей.Обработаемфактические данныеОАО «Магнитогорскийме-таллургическийкомбинат»озакупочныхценахналомчерныхметаллов(табл.�.�).Какпоказываютобсуждениявразд.�.�,можетбытьиспользованарассмотреннаявнастоящемразделеаддитивнаямодель(�.19)линейноготрендаспериодическойсоставляющей.Дляоблегченияпониманияоставимизкаждогокварталаданныетолькопоодномумесяцу.Введемусловныемоментывремени,аименно,будемизмерятьвремявкварта-лах,начинаяспервогоквартала200�г.Исходныеданныедлядемонстрациипримераприменениянепараметрическогометоданаименьшихквадратоввмоделиспериодическойсоставляю-щей —парычисел(tk , xk), k = 1,2, …,12, — представленывтабл.�.9встолбцах(�)и(�)соответственно.

Т а б л и ц а 3 . 9

Построение модели прогнозирования цен на лом марки 3А

№п/п Период

Услов-ные

моментывремени

Закупоч-ныецены,руб./т

Оценкатренда

Отклоне-нияотоценкитренда

Восста-новлен-ныезна-чения

Кажу-щиесяневяз-ки

k tk xk y*( tk) xk –y*(tk) xk* xk – xk*

1 янв.0� 1 2750 2800 –50 2�2� �26

2 апр.0� 2 �800 �012 788 �5�5 255

� июл.0� � 2900 �22� –�2� 2655 2�5

� окт.0� � �100 ���7 –��7 �8�8 –7�8

5 янв.0� 5 2761 �6�9 –888 �27� –512

6 апр.0� 6 �602 �861 7�1 ��9� 208

7 июл.0� 7 �5�0 �07� –5�� �50� �6

8 окт.0� 8 5268 �286 982 �697 571

9 янв.05 9 ��07 ��98 –191 �122 185

10 апр.05 10 �779 �710 69 52�� –�6�

11 июл.05 11 �071 �922 –851 ��5� –280

12 окт.05 12 572� 51�5 588 55�6 177

188

Поформулам(�.�)найдемоценкипараметровa*иd*,чтопозволяетпостроитьоценкутрендовойсоставляющей

y*(t)=a*(t–t–)+d*=212,26(t–6,5)+�967,17= =212,26t+2587,�8.

Численныезначениятрендовойсоставляющейприведенывстолбце(5)табл.�.9.Рассчитавотклоненияисходныхзначенийзакупочныхцен

от оценок трендовой составляющей (столбец (6) табл.�.9),возведяихвквадратисложив,получаемостаточнуюсуммуквадратовSS=�5�921�иSS/n=SS/12=�78267,8�.Сгруппировавотклоненияисходныхзначенийзакупочных

ценотоценоктрендовойсоставляющейпомесяцам(табл.�.10),наглядно убеждаемся в наличии периодической составляю-щей.Взявсреднееарифметическоеотклоненийоттрендазаконкретныймесяц,рассчитываемоценкуf *(ts)периодическойсоставляющей(всоответствиисформулой(�.29)).Результатыприведенывтабл.�.10.

Т а б л и ц а 3 . 1 0

Оценивание периодической составляющей

Номерквартала

sМесяц

Отклоненияоттренда Оценкаg*s=f *(ts)периодическойсоставляющейв200�г. в200�г. в2005г.

1 Январь –50 –888 –191 –�76

2 Апрель 788 7�1 69 5��

� Июль –�2� –5�� –851 –569

� Октябрь –��7 982 588 �11

Рассчитавпоформуле(�.�0)оценкипериодическойсостав-ляющейна весьинтервал времении сложивих с оценкамитрендловой составляющей, получаем в соответствии сфор-мулой(�.�1)оценкузависимости,«очищенную»отслучайнойсоставляющей, т.е. восстановленные значения (столбец (7)табл.�.9).Кажущиесяневязки,т.е.отклоненияисходныхзначе-нийзакупочныхценотвосстановленныхзначений,приведенывстолбце(8)табл.�.9.Сравниваястолбцы(6)и(8),убеждаемсявцелесообразностивведениявмодельпериодическойсостав-

189

ляющей.В9случаяхиз12абсолютныевеличиныотклоненийуменьшились,востальныхтрех,хотяивозросли,нолищьдосреднегоуровнясредиостальных.Возведя в квадрат оценки периодической составляющей

(табл.�.10), сложив эти квадраты, умножив на число лет иподеливнаn,получаем,что

( )21

1* ( )

n

kk

f tn =∑ =2295�7.

Всоответствиисформулой(�.27)оценкойдисперсиислу-чайнойсоставляющейявляется

( ) ( )22

1

1* * ( )

n

kk

SSf t

n n =σ = − ∑ =�78267,8�–2295�7=1�87�1,

аоценкойсреднегоквадратическогоотклонения

* 1�87�1 �85,7σ = = .

Всоответствиисформулами(�.21)и(�.22)оценимдиспер-сииоценокпараметров

22

21

1

( *) 1��7�1* ( *) * ( ) 10�0,

1��( )

n

k k nk

kk

D a c D Et t=

=

σ= = = =

−∑

∑

2( *) 1��7�1

* ( *) 12�9�.12

D dn

σ= = =

Средниеквадратическиеотклоненияa*иd*оцениваютсякак�2,25и111,��соответственно,адоверительныеинтервалы,соответствующиедоверительнойвероятности0,95,таковы:

[amin;amax]=[1�9,05;275,�7],[dmin;dmax]=[�7�8,96;�185,�8].

Первое из условий (�.2�) выполнено в силу построенияоценокпериодическойсоставляющейпоцеломучислуперио-дов.Действительно,согласноданнымтабл.�.10суммаоценокпериодическойсоставляющейдля12точекнаблюденийравна

190

(–�),незначительноеотклонениеот0вызваноошибкамиок-ругления.В соответствии сформулой (�.22) смещение оценки a*

оцениваетсякак

1

21

1

( ) * ( )5568

* ( ) �8,9�1��

( )

n

k knk

k k nk

kk

t t f tc f t

t t

=

=

=

−= = =

−

∑∑

∑.

Таким образом, смещение имеет тотже порядок, что исреднееквадратичноеотклонениеоценкиа*,изаведомомень-ше,чемполуширинадоверительногоинтервала.Дальнейшеесравнениеможетбытьпроведенонаосновеоценкидисперсиисмещения —случайнойвеличины

1

2

1

( ) * ( )

( )

n

k kk

n

kk

t t f tZ

t t

=

=

−=

−

∑

∑.

АлгоритмвычислениядисперсииZ аналогичен таковымдляпериодической составляющейиинтервальногопрогноза(см.(�.��)и(�.�5)соответственно),ноболеесложен,поэтомуневключенвучебник.Такимобразом,можносчитать,чтопредположения(�.2�)

модели(�.19)выполненыдляданныхтабл.�.9.Перейдем к оценке дисперсий значений периодической

составляющей.Какследуетизравенства(�.��),

* 2 2

1

( ) , 1,2,...,n

s ksk

D g h s q=

= σ =∑ ,

где1 1

ks k sh c rn m

= − − + , если { ( 1) , 1,2,..., }k s j q j m∈ + − = , и

1ks k sh c r

n= − − прииныхзначенияхиндексасуммированияk,

и ( 1)1

1( )

m

s s j qj

r t tm + −

== −∑ .

191

Начнемсозначенияs=1(периодическаясоставляющая

дляянваря).Тогда ( )1

1(1 6,5) (5 6,5) (9 6,5) 1,5

�r = − + − + − = −

.Понадобятсязначения

2

1

6,5 6,51�� 1��

( )

k kk n

kk

t t t kc

t t=

− − −= = =

−∑ .

Расчетудобнопроводитьспомощьютаблицы(табл.�.11).

Т а б л и ц а 3 . 1 1

Расчет дисперсии периодической составляющей

k tk –t– ckr1 –1/n +1/m hk1 h2k1

(1) (2) (�) (�) (5) (6) (7)

1 –5,5 0,0577 –0,08�� 0,���� 0,�077 0,09�68

2 –�,5 0,0�72 –0,08�� – –0,0�61 0,001�0

� –�,5 0,0�67 –0,08�� – –0,0�66 0,00217

� –2,5 0,0262 –0,08�� – –0,0571 0,00�26

5 –1,5 0,0157 –0,08�� 0,���� 0,2657 0,07060

6 –0,5 0,0052 –0,08�� – –0,0781 0,00610

7 0,5 –0,0052 –0,08�� – –0,0885 0,0078�

8 1,5 –0,0157 –0,08�� – –0,0990 0,00980

9 2,5 –0,0262 –0,08�� 0,���� 0,22�8 0,05009

10 �,5 –0,0�67 –0,08�� – 0,1200 0,01��0

11 �,5 –0,0�72 –0,08�� – 0,1�05 0,0170�

12 5,5 –0,0577 –0,08�� – 0,1�10 0,01988

Втаблице�.11столбец(�)полученизстолбца(2)умноже-

ниемна 1 1,50,010�9

1�� 1��r −

= = − ,каждыйэлементстолбца(6)

равенсуммаэлементовстолбцов(�),(�)и(5),стоящихвтойжестроке,австолбце(7)стоятквадратысоседнихэлементовиз столбца (6).Цельпостроения табл.�.11 —расчет суммыэлементовстолбца(7).Этасуммаравна0,28275.Следователь-но,

192

* 21 1

1

* ( ) * �85,7 0,28275 20�,8n

kk

D g h=

= σ = × =∑ .

Доверительныйинтервалдлязначенияпериодическойсо-ставляющейвянваре(–�76–1,96 ×204,8;–�76+1,96×20�,8)захватывает0(придоверительнойвероятности0,95),отличиезначения периодической составляющей от 0 не значимо (науровнезначимости0,05).Аналогичныйслучайдлязначенияs=2(периодическая

составляющаядляапреля)дает

2 * 22 2 2

1 1

0,2552�, * ( ) * �85,7 0,2552� 19�,86n n

k kk k

h D g h= =

= = σ = × =∑ ∑.

Доверительныйинтервалдлязначенияпериодическойсо-ставляющейвапреле(5��–1,96×19�,86;5��+1,96×19�,86)=(5��–�81,9�;5��+�81,9�)незахватывает0(придовери-тельнойвероятности0,95),отличиезначенияпериодическойсоставляющейот0значимо(науровнезначимости0,05).Приступим к завершающему этапу анализа данных

табл.�.9 —построениюинтервальногопрогноза.Необходимо

рассчитать величины1

( )ks k sw c t t rm

= − − + , если k∈ {s+

(j —1)q,j=1,2,…m},иwks=c(t–t– –rs)привсехостальных

значенияхиндексасуммированияk,гдеrs —тоже,чтоивформуле (�.��), поскольку точечный прогноз x*(t) являетсянесмещенным,асимптотическинормальным,аегодисперсияоцениваетсясогласно(�.�5)так:

2 2

1

* ( * ( )) ( *)n

ksk

D x t w=

= σ ∑ .

Начнемспрогнозанаянварь2006г.(поданнымза200�–

2005гг.).Тогдаt=1�,s=1,r1=—1,5, 1

18

�k kw c= + ,если

k∈{1+�(j —1),j=1,2,�},иwk1=8ckпривсехостальныхзначенияхиндексасуммирования.Приэтом

19�

6,5 8 52

8 81�� 1��k

k kc

− −= = .

Расчетудобнопроводитьспомощьютаблицы(табл.�.12).

Т а б л и ц а 3 . 1 2

Расчет дисперсии прогностической функции

k8 521��k −

1/m wk1 w2k1

1 –0,�077 0,���� 0,0256 0,00066

2 –0,2517 — –0,2517 0,06��6

� –0,1958 — –0,1958 0,0�8��

� –0,1�99 — –0,1�99 0,01957

5 –0,08�9 0,���� 0,2�9� 0,06220

6 –0,0280 — –0,0280 0,00078

7 0,0280 — 0,0280 0,00078

8 0,08�9 — 0,08�9 0,00700

9 0,1�99 0,���� 0,�7�2 0,22�92

10 0,1958 — 0,1958 0,0�8��

11 0,2517 — 0,2517 0,06��6

12 0,�077 — 0,�077 0,09�68

Суммазначений,стоящихвпоследнемстолбцетабл.�.12,равна0,61299.Согласноформуле(�.�6)

(1�) (0,95) * ( * (1�)) 1,96 �85,7 0,61299 591,88U D x∆ = = × × = .

Согласно(�.�1)точечныйпрогнозтаков:

* (1�) * (1� ) * * (1�) 212,26 1� 2587,�8 ( �76) �971x a t d f= − + + = × + + − =

* (1�) * (1� ) * * (1�) 212,26 1� 2587,�8 ( �76) �971x a t d f= − + + = × + + − = .

Нижняяиверхняядоверительныеграницыдляпрогности-ческойфункции(сучетомкактрендовой,такипериодическойсоставляющих)имеютвид:

(1�) �971 592 ��79, (1�) �971 592 556�нижн верхx x= − = = + = .

19�

Реальное значение (табл.�.7) — ���6.Оно практическисовпадаетспрогнознымзначениемxнижн(1�).Прогнозоправ-дался.Аналогичныерасчетыдляапреля2006г.(t=1�,s=2,r2

=–0,5)дают

(1�) 1,96 �85,7 0,72�80 6��,60∆ = × × = .

Точечныйпрогнозравенx*(1�)=6092,анижняяиверхняядоверительныеграницытаковы:xнижн(1�)=5��8,xверх(1�)=67�6.Реальноезначение(табл.�.7) —5��0.Онопрактическисовпадаетспрогнознымзначениемxнижн(1�).Какивпредыду-щемслучае,прогнозоправдался.Какпоказановнастоящейглаве,методнаименьшихквад-

ратов —мощныйинструменторганизационно-экономическогомоделирования.Этотразделэконометрикиприноситощутимуюпользуэкономистамиуправленцам(менеджерам).

литература

1.Бобровиков В.STATISTICA.Искусствоанализаданныхнаком-пьютере:Дляпрофессионалов.2-еизд. —СПб.:Питер,200�. —688с.2.Большев Л.Н., Смирнов Н.В.Таблицыматематическойстатис-

тики. —М.:Наука,198�. —�16с.�.КендэлМ.Ранговыекорреляции. —М.:Статистика,1975. —

216с.�.Клейн Ф.ЛекцииоразвитииматематикивХIХстолетии.Часть

I. —М.-Л.:Объединенноенаучно-техническоеиздательствоНКТПСССР,19�7. —��2с.5.Крамер Г.Математическиеметодыстатистики. —М.:Мир,

1975. —6�8с.6.Красильников В.В. Статистика объектов нечисловой приро-

ды. —НабережныеЧелны:Изд-воКамскогополитехническогоинс-титута,2001. —1��с.7.Крюкова Е.М.Применениеметодоворганизационно-экономи-

ческогопрогнозированиявотраслиломачерныхметаллов/Заводскаялаборатория.2008.Т.7�.№7.С.67–72.8.Майстров Л.Е.Теориявероятностей:Историческийочерк. —

М.:Наука,1967. —�20с.

195

9.Макаров Л.П.Образованиеипотреблениеломачерныхметаллов/Рыноквторичныхметаллов. —200�.№5.С.7–9.10.Медведев В.Н.,Орлов А.И. Программно-алгоритмическое

обеспечение статистическихметодов вСАПР стандартов. —В сб.:ТезисыдокладовIIIВсесоюзнойшколы-семинара“Программно-алго-ритмическоеобеспечениеприкладногомногомерногостатистическогоанализа”. —М.:ЦЭМИАНСССР,1987. —С.�1�–�1�.11.Муравьева В.С.Точкавстречи:асимптотическоераспределение

уровнякачестваивременноголага/Заводскаялаборатория.2008.Т.7�.№�.С.70–7�.12.Муравьева В.С., Орлов А.И. Организационно-экономичес-

кие проблемы прогнозирования на промышленном предприятии/Управление большими системами. Выпуск 17. —М.:ИПУРАН,2007. —С.1��–158.1�.Муравьева В.С., Орлов А.И.Непараметрическоеоценивание

точкипересечения регрессионныхпрямых / Заводскаялаборатория.Диагностикаматериалов.2008.Т.7�.№1.С.6�–68.1�.Орлов А.И.Оценкаразмерностимоделиврегрессии. —Всб.:

Алгоритмическоеипрограммноеобеспечениеприкладногостатисти-ческогоанализа.Ученыезапискипостатистике,т.�6. —М.:Наука,1980. —С.92–99.15.Орлов А.И.Асимптотиканекоторыхоценокразмерностимо-

деливрегрессии. —Всб.:Прикладнаястатистика.Ученыезапискипостатистике,т.�5. —М.:Наука,198�. —С.260–265.16.Орлов А.И.Методоцениваниядлиныпериодаипериодической

составляющейсигнала. —Всб.:Статистическиеметодыоцениванияипроверкигипотез.Межвузовскийсборникнаучныхтрудов. —Пермь:Изд-воПермскогогосударственногоуниверситета,1999. —С.�8–�9.17.Орлов А.И.Эконометрика.Изд.�-е,перераб.идополн. —М.:

Экзамен,200�. —576с.18.Орлов А.И.Прикладнаястатистика. —М.:Экзамен,2006. —

671с.19.Орлов А.И. Статистическиеметодыпрогнозирования. —В

кн.:Малаяроссийскаяэнциклопедияпрогностики. —М.:Институтэкономическихстратегий,2007. —С.1�8–15�.20.Орлов А.И.Непараметрическийметоднаименьшихквадратов:

учетсезонности. —Всб.:Статистическиеметодыоцениванияипро-веркигипотез:межвуз.сб.науч.тр.Вып.21. —Пермь:Перм.ун-т,2008. —С.1�5–1�8.21.Плотников А.Ю.Базисныеусловияпоставкимеждународных

контрактовИнкотермс–2000. —Экономика,2002.

196

22.Практикумпоэконометрике:Учеб.пособие/И.И.Елисеева,С.В.Курышева,Н.М.Гордеенкоидр.;Подред.И.И.Елисеевой. —М.:Финансыистатистика.2001. —192с.2�.Себер Дж.Линейный регрессионный анализ. —М.:Мир,

1980. —�56с.2�.Сидельников Ю.В., Танасова А.С. Прогнозирование знака

разностимеждуценойметаллаифорвардногоконтрактананего(напримеремеди, алюминия, никеля) / Заводская лаборатория. 2006.№11.С.59–65.25.Супрун И.В.Российскийрынокломаипрогнозценна2007год

/Рыноквторичныхметаллов. —2005.№6.С.10–1�.26.Robinson D.E. Estimates for the points of intersection of two

polynomialregressions/JournalofAmericanStatisticalAssociation.196�.V.19.N2.P.21�–2�8.

Контрольные вопросы и задачи

1.Имеются данные за несколько лет о торговом оборотеY за-падногерманскогопредприятияиегорасходахнарекламуX.Данныепредставленывтабл.�.1�.

Т а б л и ц а 3 . 1 3

Расходы на рекламу и торговый оборот предприятия.

Годы,t 68 69 70 71 72 7� 7� 75

РасходынарекламуX(t),тыс.марок

� � 5 6 8 8 10 11

ТорговыйоборотY(t),млн.марок � 5 6 6 8 10 12 1�

Спомощьюметоданаименьшихквадратовопределитекоэффи-циентылинейнойрегрессииY =aX + b.Постройтеграфик(заданныеточки(xi,yi)ипрямуюY= a*X+b*).Найдитедоверительныеграницыдлярегрессионнойзависимости(придоверительнойвероятностиγ=0,95).Нанеситедоверительныеграницынаграфик.Сделайтеточеч-ныйиинтервальныйпрогноздляторговогооборотаприрасходахнарекламу,равных15(тыс.марокФРГ).Аналогичнымобразомизучитезависимостирасходахнарекламу

XиторговогооборотаYотвремениt(заначалоотсчетацелесообразновзять1971год).

197

2.Исходныеданные(табл.�.1�) —наборnпарчисел(tk , xk ), k = 1,2,…,n, где tk— независимая переменная (например, время), аxk— зависимая (например, индекс инфляции).Предполагается, чтопеременныесвязанызависимостью

xk = a tk + b + ek , k = 1,2, …, n,

гдеaи b —параметры,неизвестныестатистикуиподлежащиеоцени-ванию,аek—погрешности,искажающиезависимость.

Т а б л и ц а 3 . 1 4

Исходные данные для расчетов по методу наименьших квадратов

tk 1 � � 7 9 10

xk 12 20 20 �2 �5 �2

Методомнаименьшихквадратовоценитепараметрыaиbлинейнойзависимости.Выпишитевосстановленнуюзависимость.Вычислите восстановленные значения зависимой переменной,

сравнитеихсисходнымизначениями(найдитеразности)ипроверьтеусловиеточностивычислений(приотсутствииошибокввычисленияхсумма исходных значений должна равняться сумме восстановлен-ных).Найдитеостаточнуюсуммуквадратовиоценитедисперсиюпог-

решностей.Выпишитеточечныйпрогноз,атакжеверхнююинижнююдове-

рительныеграницыдлянего(длядоверительнойвероятности0,95).Рассчитайтепрогнозноезначениеидоверительныеграницыдля

негодлямоментаt=12.Какизменятсярезультаты,еслидоверительнаявероятностьбудет

увеличена?Аеслионабудетуменьшена?�.Покажите,чтоформулы(�.1),(�.�)и(�.�)задаютоднуитуже

оценкуa*параметраa.�.Выведитеформулырасчета асимптотических доверительных

границдляпараметровaиd(сзаменойввыраженияхдлядисперсийоценокa*иd*неизвестнойвеличиныσ2наеесостоятельнуюоцен-ку).5.Разработайтеметодыпроверкистатистическихгипотезоравенс-

твепараметровaиdопределеннымзначениям,преждевсего0.6.Каквметоденаименьшихквадратовиспользуютсяпреобразо-

ванияпеременных?

198

7.Как связаны коэффициент линейной корреляцииПирсона инепараметрическийкоэффициентранговойкорреляцииСпирмена?8.Какметоднаименьшихквадратовиспользуетсядляпрогнози-

рованияценвотраслиломачерныхметаллов?9.Какметодлинеаризациипозволяетпостроитьдоверительный

интервалдляточкипересечениядвухрегрессионныхпрямых?10.Сравнитемодели порождения данных при наличии перио-

дическойсоставляющей(разд.�.7)ибезтаковой(разд.�.1).Чтоприрасчетахпометодунаименьшихквадратовявляетсяобщимивчемпроявляетсяразличие?11.Применитеметодыраздела�.7кданнымтабл.�.�(шестьвари-

антов —соответственнозависимымпеременнымХ1 —Х6).Образецрасчетовприведенвпримеревконцераздела�.7.

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1.Примеры практического использованияметода наименьшихквадратов.2.Длянепараметрическоймоделиметоданаименьшихквадратов

вслучаелинейнойфункцииоднойпеременнойразработайтеалгорит-мыа)расчетадоверительныхграницдлякоэффициентовмодели;б)проверкигипотезотносительноэтихкоэффициентов.�.Докажите,чтосуммаисходныхзначенийзависимойпеременной

должныбытьравнасуммевосстановленныхзначений.�.Критериикачестварегрессионноймодели.5.Доказательство теоремы о предельном геометрическом рас-

пределениипервоголокальногоминимумаостаточнойдисперсиикакоценкистепенимногочлена,описывающегозависимость.6. Состоятельные оценки степенимногочлена, описывающего

регрессионнуюзависимость.7.Использованиенепараметрическихоценокплотностидлявос-

становлениязависимости.8.Статистическиеметодыпрогнозированияирольвнихметода

наименьшихквадратов(наоснове[19]).9.Разработайтеспособыпроверкиусловийприменимостимето-

дов раздела �.7 (условий (�.2�)).Для этого изучите распределениеслучайнойвеличины

199

1

2

1

( ) * ( )

( )

n

k kk

n

kk

t t f tZ

t t

=

=

−=

−

∑

∑.

Докажите асимптотическуюнормальность случайнойвеличиныZ,найдитееематематическоеожиданиеидисперсию,проведитевы-числениядляданныхтабл.�.9.10.Методывыявленияинформативногоподмножествапризнаков

врегрессионноманализе(наоснове[2�]).11.Проблемамультиколлениарностиврегрессионноманализе(на

основе[2�]).(Мультиколлинеарность(multicollinearity) —ситуация,прикоторойоднаилиболеенезависимыхпеременных,входящихвурав-нениерегрессии,являютсяточнымилинейнымифункциямиотоднойилиболеедругихнезависимыхпеременныхтогожеуравнения.Приприближенииктакойситуацииоценкипараметровмоделистановятсянеустойчивыми.Чтобысделатьихболееустойчивыми,применяютспециальныеприемы,например,гребневуюрегрессию.)12.Вариантыметоданаименьших квадратов в нелинейных (по

параметрам)моделях.1�.Применениематричнойалгебрывлинейномрегрессионном

анализе.1�.Регрессионныйанализвстатистикенечисловыхданных.15.Регрессионныйанализинтервальныхданных.16.Регрессионныйанализнечеткихпеременных(см.Приложение

2кнастоящемуучебнику).

200

Глава 4

ЭКоноМеТричесКий анализ инфляции

Каждыйденьмывстречаемсястакимиэкономическимивеличинами,какценынатоварыиуслуги.Какправило,ониизменяютсястечениемвремени.Вполнеестественноподверг-нутьдинамикуценнатоварыиуслугианализуспозицийорга-низационно-экономическогомоделированияиэконометрики.Подинфляциейвнастоящейглаве,какивучебнике[17],

понимаемповсеместнонаблюдаемыйростцен.Какследствие,покупательнаяспособностьденежныхединиц(рублей,евро,долларовСШАи др.) падает. Следовательно, при анализеэкономических процессов, протяженных во времени, присравнениистоимостныххарактеристикнеобходимопереходитьксопоставимымценам.Этоневозможносделатьбезрасчетаиндексаростацен,т.е.индексаинфляции.Проблемасостоитвтом,чтоценынаразныетоварырастутсразличнойскоростью,и необходимо эти скорости усреднять. Продемонстрируемсвойстваиндексаинфляциииалгоритмыегорасчетанапримереминимальной потребительской корзиныпродовольственныхтоваров,котораябыларазработанавИнститутевысокихстатис-тическихтехнологийиэконометрикинаосновефизиологичес-кихнормпотребления.Затемразберемразличныепримененияиндексовинфляциивэкономическихрасчетах.

201

4.1. определение и расчет индекса инфляции

Краткая история инфляции в России на рубеже тысяче-летий. Ценынапродовольственныетовары(хлеб,молокоит.п.)вСССРопределялисьгосударственнымиорганамиинеменялисьвтечениедесятилетий —сначала60-х.Конецэтогопериода —2апреля1991г.,когдаПостановлениемПравитель-стваСССРценынаосновныепотребительскиетоварыбылиподнятыв2–�раза.ПосообщениюГосударственногокомите-тапостатистике,кконцу1991г.(кмоментуразвалаСССР)ценывырослив2,6раза.Со2января1992г.началась —ужевРоссийскойФедерации —т.н.«либерализацияцен»,входекоторойторговыеорганизациисталисамостоятельноустанав-ливатьцены.Врезультатезагодценывырослив26,1раз.Стехпорростценнепрекращался.Киюлю2007г.ценывырослипримернов60000раз,акдекабрю2008г. —в100000раз.Однаковянваре1998г.былапроведенат.н.«деноминация»,вовсехзаписяхстоимостныххарактеристикбылиотброшенытринуля,т.е.цены(идоходы)формальноуменьшилисьв1000раз.Какследствие,ценыиюля2007г.в60разпревышаютценымарта1991г.(ипредыдущихлет),аценыдекабря2008г. —соответственнов100раз.Итак,ценыкиюлю2007г.вырослив60раз,т.е.поку-

пательнаяспособностьрублясократиласьв60раз.Другимисловами,60руб.июля2007г. соответствуют1руб.1990г.Это простое соотношение позволяет сопоставлять доходыирасходы,разделенные17годами.

Замечание. С течением времени любая конкретная датауходитвпрошлое.Авместесней —ивсеконкретныечислен-ныезначенияэкономическихвеличин.Примемдлясравненияценмарт1991г.ииюль2007г.Перваяизэтихдат —конецстабильностиценвСССР,вторая —началомировогоэконо-мическогокризиса,прервавшегоростроссийскойэкономикивпериодстабильности(1999–2007).Читательсможетперейтикинтересующемуегомоментуспомощьюэконометрическихметодов,разобранныхвнастоящейглаве.

202

Пример приведения к сопоставимым ценам.Рассмотримчасто обсуждаемый экономический показатель — среднююзаработную плату в России. По данным государственныхстатистических органов средняя заработная плата в 1990 г.составляла�0�руб.,авапреле2007г. —12510руб.Роств�1,29раза.Однакоценывырослив60раз,поэтомунынешние12510руб.соответствуют12510/60=208,50руб.1990г.,т.е.внастоящеевремяреальнаясредняязаработнаяплатасостав-ляет208,50/�0�×100%=68,81%отуровня1990г.,другимисловами,сократиласьв1,�5раза.Приэтомспособерасчетамыпривелиданные2007г.ксопоставимымценам1990г.Можнопоступитьипротивоположнымобразом —привес-

тиданные1990г.ксопоставимымценам2007г.Аименно,еслипроиндексироватьзаработнуюплату1990г.,т.е.умножитьеенаиндексинфляции,показывающийростцен(врассматривае-момслучае —на60),тополучим�0�×60=18180руб. —воттакойдолжнабылабыбытьсредняязаработнаяплатав2007 г.,еслибыонарослатемижетемпами,какицены.Проиндек-сированнаязаработнаяплатав18180/12510=1,�5развышереальноначисленной,т.е.реальнаясредняязаработнаяплатауменьшиласьза17летв1,�5раз,какибылополученоприпредыдущемрасчете.

Рост цен для различных товаров и услуг.Ценынатеилииныетоварыиуслугирастутсразличнойскоростью.Напри-мер,втабл.�.1приведеныданныеоценахнанескольковидовтоваровиуслуг.

Т а б л и ц а 4 . 1

Примеры цен (в руб.) товаров и услуг в 1990 и 2007 гг. (Москва)

№ Наименованиетовара(услуги) Цены Ростцен

1990 2007

1 Однапоездкавметро 0,05 17,00 ��0

2 Батонбелогохлеба«Нарезной» 0,1� 9,50–11,80 7�–91

� Газета 0,0� 2,00–6,60 67–220

� Водкасреднегокачества(0,5л) 10–00 80,00–120,00 8–12

5 Электроэнергия(1квт-ч) 0,0� 2,08 52

20�

Наблюдаемзначительноеразличиевтемпахростацен—вдесяткираз.Поэтомудляполучениясводногопоказателянеобхо-димоусреднятьтемпыростацендляотдельныхтоваровиуслуг.Этотфактподчеркиваетиназваниярассматриваемыхвнастоящейглавепоказателей—индексыинфляции,индексыпотребитель-скихцен.Введемиспользуемыевдальнейшемпонятия.

Индексы и их применение. Индекс(лат.index —показа-тель,список) —этостатистическийотносительныйпоказатель,характеризующий соотношение во времени (динамическийиндекс)иливпространстве (территориальныйиндекс)соци-ально-экономическихявлений.Речьидетоценахнатоварыиуслуги,объемахпроизводства,себестоимости,объемахпродажидр.Индексыделятсянаиндивидуальныеисводные.Так,индивидуальныйдинамическийиндексописываетизменениетех или иных явлений во времени. Например, измененияценынаотдельныйтовар,объемавыплавкистали,урожай-ностикартофеля.Длявычисленияиндивидуальногоиндексазначениеизмеряемойвеличинывтекущемпериодеделятнаеезначениевбазисномпериоде.Сводныйиндексслужитдлясопоставлениянепосредственнонесоизмеримых,разнородныхявлений.Например,объемовпродажразличныхпродовольс-твенныхтоваров(вкилограммах).Длятребуемогосопоставле-ниянеобходимосоставныеэлементынесоизмеримыхявленийсделатьсоизмеримыми,выразивихобщеймерой:стоимостью,трудовымизатратамиит.д.Сводныеиндексыобычноимеютодинизтрехвидов:

1 0 1 1 1 1

1 2 �0 0 0 1 0 0

, , ,x f x f x f

I I Ix f x f x f

= = =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

где х — индексируемая величина, f — веса индексов, 0 и1 —знакисоответственнобазисногоитекущегопериодов,сум-мированиеведетсяпоодномуитомужемножеству«индексовсуммирования» [27,с.15�]. (Обратитевниманиенато,чтовстатистическихметодах согласно традиции термин «индекс»можетиспользоватьсявомногихразныхсмыслах.)Такимоб-разом,индексызависятотдвухпеременных —индексируемойвеличины х ивесовиндексовf .

20�

Определение понятия «Индекс инфляции».Вкачествепри-мерапостроенияииспользованияиндексоврассмотриминдекспотребительскихцен,онже —индексинфляции.Наблюдаем,чтоценынаразличныетоварыменяютсяпо-

разному.Какусреднитьтемпыростацен?Однаизосновныхпроблемвсовременнойэкономике —проблемаагрегированияс целью сжатия информации (см., например, монографию[15]).Каксвестикоднойвеличинетемпыростаценразличныхтоваровиуслуг?Уровеньценвыражаетсяввидеиндекса.Онявляетсяиз-

мерителемсоотношениямеждусовокупнойценойопределен-ногонаборатоваров,называемого«рыночнойкорзиной»(или«потребительскойкорзиной»),дляданного(текущего)моментавремени,исовокупнойценойидентичнойлибосходнойгруппытовароввбазовыймоментвремени.Первое,чтоприходитвголову —усреднитьиндексыдля

отдельныхтоваровиуслуг.Нокакоесреднеевзять?Среднееарифметическое?Среднеегеометрическое?Среднеегармони-ческое?Среднее квадратическое?В экономике используетсямногоразличныхвидовсредних(см.,например,главу6ниже).Опишемнаиболеераспространенныйподход.Рассмотримконкретногопокупателятоваровиуслуг,т.е.

конкретногоэкономическогосубъекта:физическоелицо,до-мохозяйствоилифирму.Онпокупаетнеодинтовар,амного.Обозначимчерезnколичествотиповтоваровилиуслуг(далеекратко —товаров),которыеонхочетиможеткупить.Пусть

Qi = Qi(t), i=1,2,...,n,

—объемыпокупокэтихтовароввмоментвремени tпоце-нам:

pi = pi(t), i=1,2,...,n

(имеетсяввидуценазаединицуизмерениясоответствующеготовара,например,заштукуиликилограмм...).Подходкизмерениюростаценоснованнавыбореифик-

сации потребительской корзины (Q1(t), Q2(t), ..., Qn(t)), не меняющейся со временем,т.е.(Q1(t), Q2(t), ..., Qn(t)) ≡ (Q1, Q2,

205

..., Qn). Стоимость S(t) потребительской корзины вмоментвремениt такова:

( ) ( )1

i ii n

S t p t Q= ∑7 7

.

ЗатемнеобходимосравнитьстоимостиS(t1)иS(t2)потреби-тельскойкорзины(Q1, Q2, ..., Qn) встарыхpi(t1), i=1,2,…,n, иновыхpi(t2),i=1,2,…,n, ценах.

Определение.Индексом инфляции называется

( ) ( )( )

( )

( )2

2 11 2

1 11

,i i

i n

i ii n

p t QS t

I t tS t p t Q

= =∑∑7 7

7 7

.

Здесьиндексируемаявеличина —цены,авесамислужатобъемыпотребления,зафиксированныевпринятойисследова-телемпотребительскойкорзине.Сматематическойточкизренияиндексинфляции —это

функциядвухпеременных,аименно,двухмоментоввреме-ни —начального,илибазового,моментаt1иконечного,илитекущего,моментаt2.Когдаговорятобинфляциизаопреде-ленныйпромежутоквремени,тоt1 —началоэтогопромежутка(года,месяца),аt2 —егоконец.Обычноt1<t2,хотявприве-денномопределенииэтонетребуется.Подчеркнем,чтокаждойконкретнойпотребительскойкор-

зине соответствует свойиндексинфляции.Потребительскаякорзина —этоинструмент экономиста,предназначенныйдляусредненияиндивидуальныхиндексовинфляции

( ) ( )( )2

1 21

, , 1, 2, ...,i

i

p tI t t i n

p t= = ,

—темповростаценотдельныхтоваров(услуг).Потребитель-скаякорзинанеимеетотношениякреальномупотреблениюэкономического субъекта. В частности, структура реальногопотреблениявсоответствиисзакономЭнгеляменяетсявза-висимостиотдоходаэтогосубъекта,втовремякакпотреби-тельскаякорзина,используемаядлярасчетаиндексаинфляции,зафиксированаиникакнесвязанасдоходомсубъекта.

206

Обсудимподробнееразличиепонятий«реальноепотребле-ние»и«фиксированнаяпотребительскаякорзина,используемаяприрасчетеиндексаинфляции».Расходынапокупкитоваровиуслугнекоторогоэкономическогосубъекта

( ) ( ) ( )1

n

i ii

C C t r t Q t=

= = ∑следуетсопоставлятьсегодоходомD.ЕслиD — C>0,тоэкономическоеположениесубъектаблагоприятно,егодоходбольше расходов. ЕслижеD — C< 0, то его положениенеблагоприятно, доходменьше расходов.Это означает, чтоон расходует ранее накопленные средства, делает долги (вчастности,береткредиты)ит.д.Изсказанноговытекает,чтовеличинарасходовC(t)обяза-

тельнорегулируетсяэкономическимсубъектомвсоответствиисегодоходом.Изменение(рост)ценpi(t)стечениемвремениtделаетневозможнымсохранениепрежнейструктурыпотреб-ления(Q1, Q2, ..., Qn), еслиростдоходаотстаетотростацен.Структурапотребленияизменяется,сокращаетсяпотреблениеотносительнодорогихтоваровиуслуг,впорядкекомпенсацииувеличиваетсяпотреблениеотносительнодешевых.Например,уменьшается потреблениемяса и увеличивается — хлеба икартофеля.При быстром росте цен возможен и другой эф-фект —«бегствоотрубля».Всвязисобесцениваниемсбере-женийэкономическиесубъектынаправляютдоходнатекущеепотребление,ценойотказаотнакоплениясредствнаприобре-тениедорогостоящихтоваровдлительногопользования.Таким образом, реальное потребление товаров и услуг

определяется как действующими ценами, так и величинойдоходовэкономическихсубъектов.Чтобыизмерятьростцен,нужноизбавитьсяотвлиянияизменениядоходов.Именнодляэтогозафиксированапотребительскаякорзина,используемаядляизмеренияинфляции.

Замечание.Приведем выписку из «Экономического сло-варя» (http://abc.informbureau.com). «ЗаконЭнгеля — зависи-мостьдолирасходовнапродуктыпитаниявдоходахсемьиотихуровня,установленнаявXIXв.немецкимстатистикоми

207

экономистомЭрнстомЭнгелем(1821–1896).Согласноэтомузаконупомереростадоходовсемьипадаетдолярасходовнапродовольствие,почтинеменяетсяудельныйвесзатратнажи-лище,отопление,освещение,одежду;заторастетдолярасходовнапрочиенужды(преждевсегонасбережения)ВыведеннаяЭнгелемэмпирическаязависимостьподтверждаетсядлитель-нымопытомэкономическогоразвития.Статистическиерядыпоказывают,чтовструктурерасходовамериканскихсемейза1909–1985гг.устойчивоснижаетсядоляфизическихимате-риально-вещественныхпотребностей(продуктовпитания —на�5%,расходовнажилище —на5,5%,предметовдомашнегообихода —на26%,расходовнаодеждуиобувь —на�7%).Втожевремясистематическивозрастаетудельныйвесболеевысоких«гуманитарных»потребностейвобразовании,меди-цинскомобслуживании,организациидосугаиотдыха.ОбэтомжесвидетельствуетистатистикасемейныхбюджетоввСССР(табл.�.2).

Т а б л и ц а 4 . 2

Расходы на питание в СССР (1963 г.)

Совокупныйдоходвмесяц(руб.) Расходынапитание,%

До75 51,5

75–100 �2,7

100–150 �5,8

150–200 �1,9

Свыше200 28,�

Всесемьи ��,�

Современнаязападнаянаукасущественнодополнилараз-витыеЭнгелемположения,используядляэтогоновыйанали-тическийаппарат.Наосновеформулыэластичностиспросаподоходамподсчитано,чтовконце1980-хгг.вСШАсростомдоходана1%спроснапродуктыпитаниявозрастална0,77%,наодежду —на0,�2%,натранспортныесредства —на1,1%,нажилище —на0,89%,намедицинскиеуслуги —на1,9%,напредметыроскоши —на�,6%,наспортивныетовары —на�,7%,науслугитакси —на2,8%»

208

(http://abc.informbureau.com/html/caeii_yiaaess.html)Разброс цен в пространстве. В определении индекса

инфляцииучаствуютценыpi(t).Однакоценыменяютсяприпереходеотоднойторговойточкикдругой.Этоотраженоивтабл.�.1.Дваполностьюидентичныхбатонахлебамогутпро-даватьсяпоразнойценедажевсоседнихмагазинах.Обсудимэффект разброса цен в пространстве и его учет при расчетеиндексаинфляции.Вконкретномактекупли-продажиценатовараилиуслуги

полностьюопределена.Однаковсовременныхусловиях,когдавбольшинствеслучаевпродавец,аиногдаипокупатель,могутвлиятьнаценутовараилиуслуги,этаценазачастуюменяетсяотодного актакупли-продажикдругому.Можновыделитьнескольковариантов.1.Конкретный продавецменяет цену в зависимости от

поведенияконкретногопокупателя.Пример:индивидуальныйпродавецнабазаре.2.Вконкретноммагазинеценафиксирована,ноотмагази-

накмагазинуонаменяется.Примеры:большинствотоваров(продаваемыхвмагазинахикиосках),ценыкоторыхуказаныдлясведенияпокупателей.�.Единыеценыврегионе,например,наэлектроэнергию,

услугитранспортаипочтовойсвязи.Впервомивторомслучаяхимеетбытьразбросценнаод-

нотипныйтовар.Этотэффектпроявляетсякакинашейстране,такизарубежом.Например,всовременнойФранцииценынаопределенныйтоварвфешенебельныхцентральныхмагазинахивокраинныхнепрестижныхсупермаркетахмогутотличатьсявнесколькораз.Это —одноизпроявленийтакназываемой«ценовойдиверсификации».Какиежеценыиспользоватьприрасчетеиндексаинфля-

ции?Возможныдваподходакпроведениюорганизационно-эко-номическогоисследования —среднейценыификсированногомаршрута.Подходнаосновесреднейценыпредполагаетпроведение

обширного статистического исследования, позволяющего сдостаточной степенью точности установить распределениеценыопределенноготовара (рассматриваемойкакслучайная

209

величина).По распределению рассчитывается средняя цена.Нужныеданныеполучают,например,входепроводимогоор-ганамиРосстатабюджетногообследованиянесколькихтысячсемей, при котором ежедневнофиксируют все их расходы.Тогдадостаточнополучитьсреднееарифметическоевсехценпри покупках рассматриваемого товара, осуществленных вопределенныйдень,взвешиваяихпообъемупокупок.Вдру-гомвариантепланированияисследованиянаоснове анализарасходов семей устанавливают доли покупок (по объему),приходящиеся на торговые организации различных типов(базары,магазины,супермаркетыит.п.),азатемспециальноподготовленныенаблюдателиснимаютцены,действующиевэтихторговыхорганизациях.Подход, основанный на использованиификсированного

маршрута,предполагаетпостоянноеслежениезаценамивтор-говыхточках,расположенныхвдольразинавсегдавыбранногомаршрута(видеальномварианте —водномитомжемагазине,вкоторомпродаютсявсетовары,включенныевпотребитель-скуюкорзину).Спомощьютакойметодикиизмеренияудаетсяизбавитьсяотразбросаценвпространствеисосредоточитьсянаизученииихдинамикивовремени.ИменнотаксобиралиценысотрудникиИнститутавысокихстатистическихтехнологийиэконометрики,наосновеисследовательскогоопытакоторогоподготовленучебныйматериал,представленныйвнастоящейглавеи —несколькоподробнее —вучебнике[17,гл.7].

4.2. Практически используемые потребительские корзины и соответствующие

индексы инфляции

Каждыйчеловек,семья(домохозяйство),фирма,выбравподходящуюпотребительскую корзину,может без большихтрудозатратоцениватьвлияниеростаценнасвоеэкономическоеположение(подробнее —вразделе�.�ниже).Однакообычноиндексинфляциирассматриваютдляболее

илименееобширнойсовокупностиэкономическихсубъектов —

210

дляжителейрегионаилистраны,предприятийопределеннойотраслиит.д.Приэтомпотребительскуюкорзину(Q1, Q2, ..., Qn)стараютсяприблизитьксуммарнымобъемампотреблениядлярассматриваемойсовокупности,авкачествеценрассмат-риваются средневзвешенные цены в осуществленных актахкупли-продажи.

Пример. В макроэкономике используют т.н. дефляторвалового внутреннего продукта (ВВП) —индекс цен на всепроизведенные в течение года конечные товары и услуги,составляющиеобъемВВП,используемыйдляучетавлиянияинфляциинавеличинуноминальногоВВП.НоминальныйВВПисчисляется в текущихрыночныхценах.ЧтобыопределитьреальнуювеличинуВВП,необходимовыразитьеговсопоста-вимыхценахбазисногогода.Дляэтогоприменяетсяиндексинфляции,которыйотражаетизменениесреднегоуровняценмаксимальноширокойгруппытоваровиуслуг(охватывающейвсесоставляющиеВВП)зарассматриваемыйпериод.Согласнопринятомуопределению,индексинфляцииоп-

ределяется номенклатурой (т.е. набором, перечнем) товаровиуслуг,длякоторыхонвычисляется,объемамипотребленияиценами этих товаровиуслугнаначальныйина текущиймоментывремени.Отсюдавытекает,вчастности,чтоиндексинфляциидляпродовольственныхтоваровотличается,вообщеговоря, от такового для промышленных товаров, для услугиотиндексаинфляцииоптовыхцен;индексинфляциидлямосквичаотличаетсяоттаковогодляжителяКраснодара(хотябыпотому,чтоклиматразличается,апотомуиобъемпотреб-ляемойэнергии);индексинфляциидлямашиностроительнойпродукциименяетсяотиндексаинфляциивстроительстве;этотиндексменяетсявзависимостиотиндивидуальныхструктурпотребностейвсемьяхит.д.Дляадекватногорассматриваемо-муэкономическомусубъектуопределенияиндексаинфляциинеобходимознатьтиповыеобъемыкупли-продажииценывсоответствующихактахкупли-продажи,иначеможноговоритьтолькоотойилиинойоценкеэтогоиндекса.

Конкретизация задачи вычисления индекса инфляции.Преждевсегонеобходимосформулироватьцельэкономичес-когоанализаростацен.Будемориентироватьсянаположение

211

основноймассы населения.Это означает, в частности, чтоперсональныекомпьютеры(в2001г.ихимели6%российс-кихсемей)и автомашиныиностранныхмарок (в2001 г.ихимели 0,5%российских семей) в потребительскую корзину,предназначеннуюдляиспользованиянарубежетысячелетий,включатьнецелесообразно.Как показывают бюджетные исследования, количество

видовтоваровиуслуг,потребляемыхфизическимилицами,измеряется тысячами (а в классификаторах промышленнойпродукции указанымиллионымарок различных товаров).Поэтомупервыйшаг —ограничениеноменклатурытоваровиуслуг,используемыхдлявычисленияиндексаинфляции.Нарубежетысячелетийсущественнаячастьдоходовнасе-

ленияРоссии(зачастуюнеменееполовины)идетнапокупкупродовольственных товаров (что по классическому законуЭнгеля — см. также, например, учебник нобелевского лау-реатапоэкономикеП.Самуэльсона [25] —свидетельствуето сравнительно низкомжизненном уровне).Поэтому пред-ставляется естественным рассчитать индекс инфляции дляпродовольственныхтоваров.

Потребительская корзина Центра экономической конъ-юнктуры.Впервойполовине90-хгодовЦентрэкономическойконъюнктуры(ЦЭК)приПравительствеРоссийскойФедерациииГосударственныйкомитетРоссийскойФедерациипостатис-тике следили задвижениемценпофиксированномунаборутоваров (табл.�.�),которыеотносительнопостояннобываютвмагазинах(поразличнымпричинамвремяотвремениэтотнаборменяется).

Т а б л и ц а 4 . 3

Объемы годового потребления продовольственных товаров (потре-бительская корзина Центра экономической конъюнктуры в сравне-

нии с компонентами потребительской корзины ИВСТЭ)

№ Продуктыпитания,кгПотребительскиекорзины

ЦЭКна199�г. ИВСТЭ

1 Хлебржаной 92,0 65,�

2 Хлебпшеничный 86,7 59,8

212

№ Продуктыпитания,кгПотребительскиекорзины

ЦЭКна199�г. ИВСТЭ

� Пшено 18,1 �,9

� Вермишель 7,� �,9

5 Сахар 2�,8 19,0

6 Маслорастительное,л 10,0 �,8

7 Масложивотное �,6 2,5

8 Говядина �2,0 �,�

9 Колбасавареная 2,2 0,7

10 Колбасаполукопченая 1,1 0,7

11 Молоко,л 18�,� 110,0

12 Сметана �,2 1,6

1� Сыртвердый 2,0 2,�

1� Яйца,шт. 18� 152

15 Картофель 1�6,0 12�,2

16 Капустасвежая 29,8 �0,�

17 Лукрепчатый 10,2 27,9

18 Яблоки 11,0 15,1

19 Сигареты,пачки 96 -

Потребительская корзина Института высоких статис-тических технологий и эконометрики (ИВСТЭ) на основе данных Института питания РАМН. Однакоприведенныйв табл.�.� наборЦЭКне полностью соответствует перечнюпродуктовпитания,рекомендованномумедиками.Иделонетольковсигаретах.Рассмотрим минимальную потребительскую корзину

физиологически необходимых продовольственных товаров,разработаннуюв199�г.ИнститутомвысокихстатистическихтехнологийиэконометрикинаосновеисходныхданныхИнсти-тутапитанияРоссийскойакадемиимедицинскихнаук(РАМН).ЭтиданныеиспользовалисьтакжеМинистерствомтрудаРос-сийскойФедерации.Рассматриваемуюминимальнуюпотреби-тельскуюкорзинуобозначимсокращенно«корзинаИВСТЭ».ВотличиеотприведеннойвышекорзиныЦентраэкономическойконъюнктурывнейсодержаниебелков,жировиуглеводамсо-

21�

ответствует(минимальным)медицинскимнормам.ВкорзинеИВСТЭпродуктыпитанияразделенына11групп:1.Хлебихлебопродукты;2.Картофель;�.Овощи;�.Фруктыиягоды;5.Сахар;6.Мясопродукты;7.Рыбаирыбопродукты;8.Молокоимолочныепродукты;9.Яйца;10.Маслорастительноеимаргарин;11.Прочие.Общаястоимость«прочих»видовпродуктов —до6%от

стоимостипервых10групппродуктовданнойпотребительскойкорзины.НаосновефизиологическихнормпотребленияИнститута

питанияРАМНвИВСТЭсоставленаминимальнаяпотреби-тельскаякорзина,т.е.указангодовойобъемпотребленияпоосновным продовольственным товарам, необходимый дляподдержания нормальнойжизнедеятельности человеческогоорганизма (табл.�.�).При разработке корзины специалистыИнститутапитанияисходилиизтрехпринципов:1. Суммарное содержание белков,жиров, углеводов и

калорий должно быть неменее нормативов, определяющихсогласнонаукеопитании(какчастимедицины)возможностьпродолжениясуществованиячеловеческогоорганизмабезфи-зиологическоговырождения.2.Наосновевключенныхвкорзинупродуктовможетбыть

разработаноменютрехразовогопитаниянагод.�.Стоимостькорзиныдолжнабытьминимальна.Первый и третий принципыпозволяют сформулировать

задачу оптимизации (линейного программирования). Ее ре-шениетаково(врасчетенадень):812гчерногохлеба,705гкартофеля,180гмолокаи10гсыра.Хотяэтотнаборпродуктовобеспечиваетнеобходимоеколичествобелков,жиров,углеводовикалорий,ежедневнопитатьсятакимобразомневозможно.Второйпринципобеспечиваетчеловекаполноценнымтрехра-

21�

зовымпитанием.Ностоимостькорзинывозрастаетпримерноначетверть.Потребительская корзина, представленная в табл.�.�, не

описываетреальноепотреблениебольшинстваграждан.Напри-мер,типовоймосквичпокупаетзначительнобольшеколбасы,сала, копченостей, чем включено в корзину, и в несколькоразменьшемуки.Корзина табл.�.� предназначена преждевсегодляизмеренияинфляции.Однакоещеодноееисполь-зование —оценка(снизу)минимальнодопустимыхрасходовнапродовольственныетовары,обеспечивающихнормальнуюжизнедеятельностьчеловеческогоорганизма.Таковырасходывнекоторыхзакрытыхучреждениях —больницах,тюрьмах,приютах,домахпрестарелых.

Т а б л и ц а 4 . 4

Номенклатура, годовые нормы потребления и цены для потребительской корзины ИВСТЭ

Наименованиепродуктапитания

Годоваянорма,кг

Ценана1�.0�.91

Ценана1�.0�.9�

Ростцен,раз

1.Хлебихлебопродукты

1.1Мукапшеничная 18,5 0–�6 6�6 1�0�

1.2Рис �,5 0–88 620 705

1.�Другиекрупы �,9 0–62 750 1210

1.�Хлебпшеничный 59,8 0–50 720 1��0

1.5Хлебржаной 65,� 0–20 �90 1950

1.6Макаронныеизделия �,9 0–70 1200 171�

2.Картофель 12�,2 0–10 �90 �900

�.Овощи

�.1Капуста �0,� 0–20 500 2500

�.2Огурцыипомидоры 2,8 0–85 2500 29�1

�.�Столовыекорнеплоды �0,6 0–20 �50 2250

�.�Прочие(лукидр.) 27,9 0–50 900 1800

�.Фруктыиягоды

�.1Яблокисвежие 15,1 1–50 960 6�0

�.2Яблокисушены 1,0 �–00 1900 6��

5.Сахарикондитерскиеизделия

215

Наименованиепродуктапитания

Годоваянорма,кг

Ценана1�.0�.91

Ценана1�.0�.9�

Ростцен,раз

5.1Сахар 19,0 0–90 650 722

5.2Конфеты 0,8 �–50 �500 778

5.�Печеньеиторты 1,2 1–�0 1�700 ��57

6.Мясоимясопродукты

6.1Говядина �,� 2–00 2700 1�50

6.2Баранина 0,8 1–80 19�0 1078

6.�Свинина 1,� 2–00 2�00 1150

6.�Субпродукты(печень) 0,5 1–�0 �500 2500

6.5Птица 16,1 2–�0 2600 108�

6.6Сало 0,7 2–�0 ��00 1�75

6.7Копчености 0,7 �–70 15000 �05�

7.Рыбаирыбопродукты

7.1Свежая(минтай) 10,9 0–�7 2200 59�6

7.2Сельди 0,8 1–�0 2500 1786

8.Молокоимолочныепродукты

8.1Молоко,кефир,л 110,0 0–�2 520 1625

8.2Сметана,сливки 1,6 1–70 2500 1�71

8.�Масложивотное 2,5 �–60 �000 1111

8.�Творог 9,8 1–00 2000 2000

8.5Сырибрынза 2,� �–60 6000 1667

9.Яйца,шт. 152,0 0–09 100 1111

10.Маслорастительное,маргарин

10.1Маслорастительное,л

�,8 1–80 2000 1111

10.2Маргарин 6,� 1–20 2000 1667

11.Прочие(6%отстои-моститоваровгрупп1–10)

Примечание . Пункт 1.3 — геркулес (в этой таблице и далее).

Расчет стоимости минимальной потребительской кор-зины продовольственных товаров.Чтобыполучитьиндексинфляции,рассчитаемстоимостьминимальнойпотребитель-скойкорзиныпродовольственныхтоваров,исходяизобъемовпотребления,заданныхвразработкахИнститутапитания,ицен

216

посостояниюнамарт1991г.(т.е.допервогозначительногоповышенияценвапреле1991г.иих«либерализации»вянваре1992г.)и —вкачествепримера —намарт199�г.(очевидно,расчетымогутбытьпроведеныиналюбойиноймоментвре-мени)сцельюустановитьдинамикуцензаполныетригода.Исходныеданныедлярасчетаприведенывтабл.�.�.Мы

видим,чтотемпыростаценнаразличныепродуктыпитаниясущественно отличаются друг от друга.Минимальный ростцен —в6��раза(яблокисушеные),максимальный —в59�6раз(минтай).Длянахождениярасходовнаопределенныепродуктыпи-

тания(врасчетенагод)достаточноумножитьценынаобъемыпотребления,какэтосделановтабл.�.5.Тамжеприведеныгодовыерасходыдлякаждойиз11товарныхгрупп.

Т а б л и ц а 4 . 5

Годовые расходы на покупку продуктов, в рублях

Наименованиепродуктовпитанияигрупппродуктов

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.91

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.9�

1.Хлебихлебопродукты

1.1Мукапшеничная 8–51 11951

1.2Рис �–08 2170

1.�Прочиекрупы �–0� �675

1.�Хлебпшеничный 29–90 ��056

1.5Хлебржаной 1�–06 25�67

1.6Макаронныеизделия �–�� 5880

Всегопогруппе1: 61–02 92199

2.Картофель 12–�2 60858

�.Овощи

�.1Капуста 6–08 15200

�.2Огурцыипомидоры 2–�8 7000

�.�Столовыекорнеплоды 8–12 18270

�.�Прочие(лукидр.) 1�–95 25110

Всегопогруппе�: �0–5� 65580

�.Фруктыиягоды

217

Наименованиепродуктовпитанияигрупппродуктов

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.91

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.9�

�.1Яблокисвежие 22–65 1��96

�.2Яблокисушеные �–00 1900

Всегопогруппе�: 25–65 16�96

5.Сахарикондитерскиеизделия

5.1Сахар 17–10 12�50

5.2Конфеты �–60 2800

5.�Печеньеиторты 1–68 56�0

Всегопогруппе5: 22–�8 20790

6.Мясоимясопродукты

6.1Говядина 8–80 11880

6.2Баранина 1–�� 1552

6.�Свинина 2–80 �220

6.�Субпродукты(печень) 0–70 1750

6.5Птица �8–6� �1860

6.6Сало 1–68 2�10

6.7Копчености 2–59 10500

Всегопогруппе6: 56–65 7�072

7.Рыбаирыбопродукты

7.1Свежая(минтай) �–0� 2�980

7.2Сельди 1–12 2000

Всегопогруппе7: 5–15 25980

8.Молокоимолочныепро-дукты

8.1Молоко,кефир �5–20 57200

8.2Сметана,сливки 2–72 �000

8.�Масложивотное 9–00 10000

8.�Творог 9–80 19600

8.5Сырибрынза 8–28 1�800

Всегопогруппе8: 65–00 10�600

9.Яйца 1�–68 15200

10.Маслорастительное,маргарин

218

Наименованиепродуктовпитанияигрупппродуктов

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.91

Годовыерасходыпоценамна1�.0�.9�

10.1Маслорастительное 6–8� 7600

10.2Маргарин 7–56 12600

Всегопогруппе10: 1�–�0 20200

Всегопо10группам: �06–89 �90675

11.Прочие(6%отстоимоститоваровгрупп1–10)

18–�1 29��1

Суммарнаястоимостьми-нимальнойпотребительскойкорзиныпродуктовпитанияврасчетенагод

�25–�0 520116

Еестоимостьврасчетенамесяц

27–11 ���99

Каквытекаетизтабл.�.5,индексинфляции(ростацен)попродуктампитанияисходяизминимальнойпотребительскойкорзиныИВСТЭ,составленнойпофизиологическимнормампотребленияпродуктовпитаниядлягородаМосквы(согласноразработкамИнститутапитанияРАМНиМинистерстватрудаРФ), за три года (1�.0�.91–1�.0�.9�) составил (520116–00) /(�25–�0)=1598,88или159788%.Таблицытипаприведенныхвышетабл.�.�и�.5могутбыть

составленылюбымисследователем(студентом,менеджеромилиинымзаинтересованнымгражданином,сотрудникомтойилиинойфирмы,органавласти,профсоюзнойорганизации)сцельюизучениядинамикиреальногоэкономическогоположе-ния.Втабл.�.6приведенырассчитанныесотрудникамиИВСТЭпонезависимособраннойинформациизначениястоимостипот-ребительскойкорзиныииндексаинфляцииза1991–2007гг.

Т а б л и ц а 4 . 6

Стоимость потребительской корзины ИВСТЭ и индекс инфляции

№п/п Датаснятияценt

СтоимостьпотребительскойкорзиныS(t)(руб.)

ИндексинфляцииI(�1.0�.91;t)

1 �1.0�.91 26.60 1.00

2 1�.08.9� 17,691.00 665.08

219

№п/п Датаснятияценt

СтоимостьпотребительскойкорзиныS(t)(руб.)

ИндексинфляцииI(�1.0�.91;t)

� 15.11.9� 28,050.00 105�.51

� 1�.0�.9� �0,88�.00 15�6.95

5 1�.0�.9� ��,��1.00 1670.71

6 28.0�.9� �7,778.00 1796.17

7 26.05.9� 52,600.00 1977.��

8 08.09.9� 58,61�.00 220�.5�

9 06.10.9� 55,�58.00 2081.1�

10 10.11.9� 72,867.00 27�9.�6

11 01.12.9� 78,955.00 2968.2�

12 29.12.9� 97,897.00 �680.��

1� 02.02.95 129,165.00 �855.8�

1� 02.0�.95 151,�75.00 5690.79

15 �0.0�.95 160,817.00 60�5.75

16 27.0�.95 159,780.00 6006.77

17 01.06.95 167,590.00 6�00.�8

18 29.06.95 170,721.00 6�18.08

19 27.07.95 175,�99.00 6597.71

20 �1.08.95 17�,676.00 6529.17

21 28.09.95 217,5�2.00 8178.27

22 26.10.95 2��,�79.00 915�.�5

2� �0.11.95 222,�17.00 8�61.5�

2� 28.12.95 265,716.00 9989.�2

25 01.02.96 287,�72.55 10,807.2�

26 05.0�.96 297,958.00 11,201.��

27 05.0�.96 �0�,0��.�� 11,�29.8�

28 08.05.96 �05,809.55 11,�96.60

29 05.06.96 �02,�81.69 11,�67.7�

�0 0�.07.96 �06,065.21 11,506.21

�1 0�.08.96 �08,96�.�2 11,615.17

�2 07.09.96 288,8�5.07 10,858.�6

�� 01.10.96 278,2�5.�5 10,�59.98

�� 05.11.96 287,09�.77 10,79�.0�

�5 0�.12.96 298,02�.76 11,20�.9�

220

№п/п Датаснятияценt

СтоимостьпотребительскойкорзиныS(t)(руб.)

ИндексинфляцииI(�1.0�.91;t)

�6 0�.01.97 �1�,287.16 11,815.�1

�7 0�.02.97 ���,7�8.2� 12,58�.1�

�8 0�.01.98 ��5.72 12.997

�9 0�.01.99 6�0.07 20.�95

�0 05.01.00 7�7.80 27.7�7

�1 0�.01.01 886.8� ��.��0

�2 0�.01.02 1051.79 �9.5�1

�� 0�.01.0� 1210.62 �5.512

�� 0�.01.0� 1�55.91 50.97�

�5 1�.05.200� 1�69.10 51,�70

�6 11.01.05 1�6�.98 55.0�7

�7 10.01.06 1525.62 57.�5�

�8 26.11.06 1571.26 59,070

�9 10.01.07 1580.89 59,��2

50 02.07.07 16��.�8 61,819

51 �0.12.07 2286.5� 85,960

Примечание.Втабл.�.6целаячастьотделяетсяотдробнойдесятичнойточкой,азапятаяиспользуетсядляделениячислапоразрядам.Учитываетсяпроведенная01.01.98деноминациярубля.Стоимость потребительской корзиныприводится безвключениягруппы«прочие».

4.3. свойства индексов инфляции

Передтем,какпереходитькрассмотрениюпримеровис-пользования индексов инфляции в экономических расчетах,целесообразнорассмотретьнекоторыеихсвойства.

Соотношение индексов инфляции для трех моментов вре-мени.Рассмотримтрипроизвольныхмоментавремениt1, t2, t�исоответствующиеиндексыинфляцииI(t1,t1),I(t2,t�),иI(t1,t�).Изопределенияиндексаинфляциикакотношениястоимостейпотребительскойкорзинывсоответствующиемоментывременивытекаетследующееутверждение.

221

Теорема 4.1(теорема умножения).Для любых трех мо-ментов времени t1, t2, t� справедливо равенство

I(t1,t�)=I(t1,t2) I(t2,t�).

Доказательство. Поопределениюиндексаинфляции

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 �

1 2 2 �1 2

, , ,S t S t

I t t I t tS t S t

= = .

где S(t) —стоимостьпотребительскойкорзинывмоментвре-мениt.Следовательно,

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 �1 2 2 �

1 2

, ,S t S t

I t t I t tS t S t

= .

ВчислителеизнаменателестоитодноитожевыражениеS(t2).Сократимнанего,получим

( ) ( ) ( )( )�

1 2 2 �1

, ,S t

I t t I t tS t

= .

Выражениесправа —этопоопределениюиндексинфляцииI(t1,t�).Теорема�.1доказана.Пусть,например,t1 —это�1декабря200�г.,t2 —это�1

декабря2005г.,t� —это�1декабря2006г.ТогдаI(t1,t2) —этоиндекс инфляции за 2005 г., равный 10,9% (официальныеданныеРосстата).АI(t2, t�) —этоиндексинфляцииза2006г.,согласнотомужеисточникуонравен9%.Теоремаумно-жениядаетвозможностьрассчитатьпоэтимданныминдексинфляциизадвагода(2005–2006),т.е.с�1декабря200�г.по�1декабря2006г.Согласноприведенномуопределениюиндексинфляции —

действительноечисло.Еслиценыпостоянны,тоиндексинф-ляцииравен1.Еслиценырастут,тоиндексинфляциибольше1.Однакочастоприводятиндексинфляциивпроцентах.Приэтомвпроцентахвыражаютотклонениеотситуациипостоян-ныхцен,т.е.отклонениеот1.Обозначимчерезa=а(t1,t2),илиа%=а(t1,t2)%индексинфляциивпроцентахзаинтервалвремени(t1,t2).Тогда

222

( ) ( )( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2

,, % , 1 100%, , 1

100a t t

a t t I t t I t t= − × = + .

Иливсокращеннойформе:

( ) %% 100 1 %, 1

100a

a I I= − = +

Чтобы перейти к выражениюиндекса инфляции в про-центах,надозначение«вразах»уменьшитьна1ирезультатумножить на 100.Наоборот, чтобы от процентов перейти к«разам»,надозначение«в«процентах»поделитьна100ире-зультатувеличитьна1.Таким образом, 1,25 и 25%— это две записи одного и

тогожезначенияиндексаинфляции.Инфляция9%за2006г.означает,чтоценывыросливсреднемв1,09раза.Ростценв1992г.в26,1разозначает,чтоиндексинфляциизаэтотгодсоставил(26,1–1) ×100%=2510%.Итак, используютдва основных способа записииндекса

инфляции —в«разах»ив«процентах».В«разах» —этоимен-нототспособ,которыйданвопределениииндексаинфляциикак отношения стоимостей потребительской корзины в двамоментавремени.Однаковсредствахмассовойинформациипредпочитаютприводитьинфляциюв«процентах».В теореме умножения индексы инфляции выражены «в

разах».Следовательно,длярасчетаиндексаинфляциизадвагоданадоот«процентов»перейтик«разам».Индексинфляцииза2005г.составляет

( )1 2

10,9, 1 1,109

100I t t = + = ,

аиндексинфляцииза2006г.равен

( )1 2

9, 1 1,09

100I t t = + = .

Потеоремеумноженияиндексинфляциизадвагодата-ков:

I(t1,t�)=I(t1,t2) I(t2,t�)=1,109×1,09=1,20881.

22�

Переведемвпроценты:

I(t1,t�)=100(1,20881–1)%=20,881%.

Сдостаточнойдляпрактикиточностьюможноокруглить:I(t1,t�)=20,9%.Обратитевнимание,чтоприсложениииндексовинфляции,

выраженных«впроцентах»,получим10,9%+9%=19,9%,чтоменьшеправильногорезультата20,881%почтина1%.Ксожалению,невернаярекомендацияосложении«процентов»(вместоумножения«разов»)иногдавстречаетсявлитературныхисточниках.Теорема умножения позволяет переходить от индексов

инфляциизаотдельныенеделикиндексаминфляциизаме-сяц(четыренедели),отпомесячныхиндексовинфляции —кквартальными годовым, от годовых — к индексаминфля-циизанескольколет.Например,индексинфляциизавторойквартал —с01.0�.9�по01.07.9� —т.е.I(01.0�.9�,01.07.9�),выражается через индексы инфляции за апрель I(01.0�.9�,01.05.9�),майI(01.05.9�,01.06.9�)ииюньI(01.06.9�,01.07.9�)соответственнокакпроизведениеэтихиндексов,т.е.находитсяпоформуле

I(01.0�.9�,01.07.9�)= =I(01.0�.9�,01.05.9�)I(01.05.9�,01.06.9�) I(01.06.9�, 01.07.9�).

Аналогичноиндексинфляциизагодравенпроизведениюдвенадцатииндексовинфляции: за январь,февраль,мартиостальныедевятьмесяцев.Наскольковеликаошибкаотсложенияиндексовинфляции

в«процентах»?Найдемеевобщемвиде.Посколькудлялюбыхчиселxи yсправедливотождество

(1 + x)(1 + y)=1 + x + y + xy,

то,каклегкопроверить,дляиндексовинфляции«впроцен-тах»

i(t1,t2)=100(I(t1,t2)–1)

22�

(впрежнихобозначенияхi(t1,t2)=а)справедливотождество

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 �1 � 1 2 2 �

, ,, , , .

100i t t i t t

i t t i t t i t t= + +

Еслииндексыинфляции«впроцентах»i(t1,t2)иi(t2,t�)малы,т.е.индексыинфляции«вразах»I(t1,t2)иI(t2,t�)малоотлича-ютсяотединицы,тосправедливаприближеннаяформула

( ) ( ) ( )1 � 1 2 2 �, , , .i t t i t t i t t= +

Погрешность этойформулы, измеряемая в процентах,равна

( ) ( )1 2 2 �, ,100

i t t i t t

Эта величина становится заметной, если сомножите-ли — порядка десятков и сотен (процентов).Еслиформулаприменяется несколько раз, то погрешность накапливается.Противоположныйслучай —прималыхиндексахинфляциипогрешностьприближеннойформулымала (являетсябеско-нечномалойболеевысокогопорядка).

Период удвоения цен.Рассмотримпример.Визвестномучебникеэкономическойтеории[10]рассмотренасвязьмеждуежегоднымувеличениемценичисломлет,необходимыхдляувеличения цен вдвое.Приведено правило, которое вначалевыглядитсовершеннонепонятным:(приблизительное количество лет, необходимое для удвое-

ния удвоение цен)=70/(темп ежегодного увеличения уровня ценв%).Действительно,пустьn —количестволет,необходимое

дляудвоенияцен,аx —темпежегодногоувеличенияуровняцен(в% —100x%).При«подходепрофана»ростзаn летсо-ставит100nx,апотомусрокудвоенияцендолженнаходитьсяизусловия

100nx =100, n = 100/(100x),

т.е.вчислителедробидолжностоятьчисло100,ане70.В чемдело?

225

Аделовтом,чторостописываетсянелинейнойфункци-ей, а экспоненциальной, надоне складывать, а возводить встепень.Заn летростценсоставит(1+x)n.Периодудвоениянаходитсяизуравнения

(1+x)n=2.

Тогда

( )ln 2

ln 1n

x=

+

Воспользуемсяприближеннойформулойматематическогоанализа

ln (1 + x)= x + O(х2),

тогдасточностьюдобесконечномалыхболеевысокогопо-рядка

n = 100ln 2 / 100 x.

Остаетсязаметить,что

100ln2=100×0,69�1�718,

т.е.сдостаточнойдляподобныхрасчетовточностью 100ln2=70.«Таинственное»правилополностьюобосновано.

Следствия теоремы умножения.Этатеоремапозволяетбезтрудасменитьначалоотсчета.Например,втабл.�.6началь-ныймоментвремени —�1марта1991г.(можнозаменитьна1990г.,посколькуценыбылипостоянными).Посколькупотеоремеумножения

( ) ( )( )2

21 2

,,

,I t t

I t tI t t

= ,

тобезтрудаможноперейтикотсчетуинфляцииотпервогоднятретьеготысячелетия.Действительно,всоответствиисострокой�1табл.�.6имеем:

226

( ) ( )( )

( )�1.0�.91, �1.0�.91,01.01.01,

��,���1.0�.91, 01.01.01I t I t

I tI

= = .

Например,получаем,чтоинфляцияза6лет(2001–2006)составляет

( ) 59,��201.01.01,10.01.07 1,7826

��,��0I = = ,

т.е.78,26%.Обсудимсоотношениеинфляциипомесяцамизагод,а

также понятие среднего темпа роста цен и среднемесячнойинфляции.Пусть I1 —индекс инфляции за январь, I2 — зафевраль,I� —замарт,…,I12 —задекабрь,аIгод —загодвцелом.Тогдасогласнотеоремеумножения

Iгод=I1I2 I�… I12.

Какввестипонятиесреднегоиндексаинфляции?Естест-венноисходитьизтребования,чтобыприподстановкесреднегоиндексаинфляциивместовсехусредняемыхвеличинитогнеизменялся.ПустьI1I2 I�… Ik.-индексыинфляциизаkпоследо-вательныхинтерваловвремени,аIср —среднийиндексинфля-циидляэтойсовокупности.Тогдаисходноетребование —этотребованиевыполненияравенства

I1 I2 I�…Ik=Iсрk.

Такимобразом,

1 2 2...kср kI I I I I= ,

т.е. средний индекс инфляции рассчитывается как среднеегеометрическое. Например, средний индекс инфляции за2005–2006годыравен(поофициальнымданным)

Iср 1,109 1,09 1,099�6× = .

Отметим,чтовсегдасреднеегеометрическоеменьшесред-негоарифметического

227

1 2 �1 2 �

...... kk

k

I I I II I I I

k+ + + +

< ,

заисключениемединственногослучая,когдавсеусредняемыевеличиныравнымеждусобой(иравныихсреднемуарифме-тическомуисреднемугеометрическому).Среднееарифмети-ческоеиндексовинфляцииза2005г.и2006г.равно(1,109+1,09)/2=2,199/2=1,0995,чтобольшесреднегогеометричес-кого1,099�6,хотяпревышениеиневелико.Среднемесячнаяинфляция,какисреднийтемпростадля

любоговременногоряда,рассчитываетсявпредположении,чтоежемесячныйростценнеменяетсяотмесяцакмесяцу.Дляданныхтабл.�.5онаравна

�6 1598,88 1,227�= или22,7�%.

Другими словами, с 1�.0�.91 по 1�.0�.9� цены каждыймесяцувеличивалисьвсреднемна22,7�%.

Примеры ошибок при расчетах с индексами инфляции.Информацияобиндексахинфляцииирассуждения,связанныесними,постояннопоявляютсянастраницахпечатииобсужда-ютсявиныхсредствахмассовойинформации.Ксожалению,достаточноширокораспространеныошибки.Так,воднойизэкономических (!) газетбылапомещена

публикация,вкоторойосновнойисходныйматериалдляоб-суждения —индексыинфляциипомесяцам(табл.�.7).

Т а б л и ц а 4 . 7

Индексы инфляции по месяцам

Месяц Индексинфляции

Месяц Индексинфляции

Месяц Индексинфляции

Январь 1,00 Май 1,29 Сентябрь 1,22

Февраль 1,2� Июнь 1,�0 Октябрь 1,19

Март 1,19 Июль 1,2� Ноябрь 1,2�

Апрель 1,25 Август 1,22 Декабрь 1,25

Автору публикации были нужны индексы инфляцииза несколькомесяцев. Рассчитывая их, он без каких-либо

228

сомнений пользовался ранее рассмотренной приближеннойформулой(сложениеиндексов«впроцентах»)вместоточной(перемножениеиндексовинфляции,выраженных«вразах»).Врезультатеонполучилдляпериодаянварь-декабрь(т.е.загод)значениеиндексаинфляции�,60(поскольку0%+2�%+19%+25%+29%+�0%+2�%+22%+22%+19%+2�%+25%=260%),втовремякакнасамомделеиндексинфляции,рассчитанныйврезультатеперемноженияиндексовпомесяцам,равен10,2�.Допущеннаяошибкав10,2�/�,60=2,8�разасущественноисказиладальнейшиерасчеты(фондаоплаты труда, средней зарплаты и других экономическиххарактеристик) в рассматриваемойпубликации, названной вспециализированной экономической газете не как-нибудь, а«консультацией»!Веженедельнике«Аргументыифакты»вапреле199�г.в

рубрике«Прогноз»помещенабеседажурналисткиТатьяныКо-ростиковойспервымзаместителемминистраэкономикиРоссииЯковомУринсоном[7],вкоторойЯ.Уринсонпрогнозирует:

«...Мы предполагаем рост цен за 1994 г. в 5 раз...В месяц- 7– 8%...».Сказанноепротиворечиво.Еслииндексинфляциизагод

равен5,0,тозамесяц,очевидно,ростценравенвсреднем

12 5,0 1,1��5=

т.е.1�,�5%вмесяц,ане7–8%.Еслижеростценсоставляет7–8%вмесяц,тоиндексинфляциизагодлежитмежду

(1,07)12=2,25и(1,08)12=2,25

т.е. по крайнеймере в два разаменьше, чем названный вбеседедостаточнореальныйпрогноз —роств5раз.Остает-ся неясным, кто дезориентировал читателямноготиражногоиздания —чиновникилижурналист.Нашзапрособэтомвредакцию«Аргументовифактов»осталсябезответа.Покажемнапримереэтихданныхнакоплениепогрешнос-

тейприиспользованииприближеннойформулы,основаннойна суммировании индексов инфляции «в процентах». Есливмесяцростна1�,�5%,тозагодпоприближеннойформу-

229

ле —на1�,�5×12=172,2%(вместо�00%—роств5раз).Есливмесяц —на7%,тозагод —на7×12=8�%(вместо125%).Есливмесяц —на8%,тозагод —на8×12=96%(вместо152%).Приведенныхпримеровдостаточнодляконстатациитого,

чтоксообщениямвсредствахмассовойинформации,посвя-щеннымростуцен,следуетотноситьсясизвестнойосторож-ностью.

Теорема сложения. Целью введения индекса инфляциибылавыдвинутанеобходимостьусредненияиндивидуальныхтемповростацен(индивидуальныхиндексовинфляции)

( ) ( )( )2

1 21

, , 1, 2, ...,ii

i

p tI t t i n

p t= = .

Однакоиндексинфляциибылопределеннекак среднеетакихвеличин,акакотношениестоимостейпотребительскихкорзин.Темнеменееиндексинфляциидействительноявля-етсясреднимвзвешеннымарифметическиминдивидуальныхиндексовинфляции,какпоказываетследующаятеорема.

Теорема 4.2 (теорема сложения).Существуют положи-тельные весовые коэффициенты bi, i =1, 2,…, n,такие, что

( ) ( )1 2 1 21

, ,i ii n

I t t I t t= β∑7 7

,

причемb1+b2+…+bn=1.При этомbi —это доля стои-мости потребительской корзины, приходящаяся на соответс-твующий (i-й) товар (услугу) в начальный (базовый) момент времени,

( )( )

( )( )

1 1

1 11

, 1, 2, ...,i i i ii

k kk n

p t Q p t Qi n

S t p t Qβ = = =

∑7 7

.

Доказательстводаетсяследующейпоследовательностьюпреобразований:

2�0

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 21 2

1 11 1

2 22 1 2

1 1 11 1

,

1, .

i i ii i

ii n i n

i ii i

i n i n

p t Q p tI t t

S t p t

p t Q S tp t Q I t t

S t S t S t

β = × =

= = =

∑ ∑

∑ ∑

7 7 7 7

7 7 7 7

(сокращаетсявыражениеpi(t1),оказывающеесякаквчислителе,такивзнаменателеi—гослагаемого).Теоремасложениясправедливаивслучае,когдавместо

индивидуальныхкоэффициентовинфляциистоятгрупповые(доказательство опущено).Например, при расчете индексаинфляции по потребительской корзине ИВСТЭ (табл.�.�)можносначаларассчитатьиндексыинфляциипо10группам,выделеннымвэтойкорзине(хлебихлебопродукты,овощи,сахарикондитерскиеизделияидр.),азатемобъединитьихвединыйиндексспомощьювесовыхкоэффициентовсогласнотеоремесложения.Аналогичноможно,получивиндексыин-фляцииотдельнопопродовольственнойкорзине,отдельнопотоварамповседневногоспроса,длительногоспроса,отдельнопоразличнымвидамуслуг(жилищно-коммунальных,транс-портных,информационныхидр.),получитьитоговыйиндексинфляции по объединенной корзине, например, предусмот-реннойвФедеральномЗаконе«ОпрожиточномминимумевРоссийскойФедерации»(вредакцииФедеральныхзаконовРФот27.05.2000№75-ФЗ,от22.08.200�№122-ФЗ).Большоезна-чениеимееттеоремасложенияприрасчетадефлятораваловоговнутреннегопродукта(сцельюприведенияегоксопоставимымценам),посколькупотребительскаякорзинаприэтомдолжнаохватыватьвесьспектрконечныхтоваровиуслуг,производи-мыхнатерриториистранызагод.

4.4. использование индекса инфляции в экономических расчетах

Хорошоизвестно,чтовлюбойстранестоимостьееденеж-ныхединицсовременемменяется.Например,наодиндоллар

2�1

СШАполвеканазадможнобылокупитьпримерноввосемьраз большематериальныхценностей (например,продоволь-ствия),чемсейчас(см.таблицупересчетавучебнике[10]),аеслисравниватьсвременамиТомаСойера —в100разбольше.Причемстоимостьденежныхединицстечениемвремени,какправило,падает.Этомуестьдвеосновныепричины —бан-ковскийпроцентиинфляция.Вэкономикеестьинструментыдляучетаизменениястоимостиденежныхединицстечениемвремени.Один из наиболее известных — расчетNPV (Net Present Value) —чистойтекущейстоимости.Однакобухгал-терскийучетипостроенныйнаданныхбалансапредприятияэкономическийанализфинансово-хозяйственнойдеятельностироссийскогопредприятияпокачто,какправило,игнорируютсамфактналичияинфляции.Отличиефинансистаотбухгалтерапроявляется,вчастности,втом,чтоимеетделосвеличинами,выраженнымивноминальныхденежныхединицах(посколькувдокументахпервичногобухгалтерскогоучетаиспользуютсяименноони),афинансистнеможетигнорироватьизменениепокупательнойспособностиденежныхединицвовремени.В настоящем разделе обсудим некоторые возможности

использованияиндексаинфляциив экономических расчетахвпроцессеподготовкиипринятиярешений.Чтобыизбежатьнепродуктивныхэмоцийприобсуждениясовременногоэконо-мическогоположения,отнесембольшинстворассматриваемыхпримеровкушедшейвисториюсередине1990-хгодов.БудемпользоватьсякакданнымиИВСТЭ(табл.�.6),так

и официальными (табл.�.8). Сравнение столбцов (�) и (5)показывает,чтоофициальнаястатистиказанижалареальнуюинфляциюв1,5–2,0раза.Именноэтобылопричинойтого,чтоИВСТЭпозаказуМинобороныРФв90-егодыпроводилсборианализданныходинамикецен.ЗаказчикаинтересовалиразмерыфинансированияНИР в реальных (сопоставимых)ценах.Частьполученныхрезультатовбылаопубликована[5,11,21].Мониторингценпродолжается[20,22].Необходимоотметить,чтовначалеXXIв.темпыроста

цен,фиксируемыенезависимымиисследователями(вчастнос-ти,ИВСТЭ)иофициальнойстатистикой,достаточноблизки.Прежниерасхождениябылипорожденыреалиями90-хгодов

2�2

иосталисьвпрошломтысячелетии.Однаконачинаяс2007г.проявилисьрасхожденияновоготипа(см.ниже).Специа-листыотмечаютнерешенныепроблемывобластиизмеренияинфляции, имеющие расхождения в подходах, отсутствиепрозрачности в деятельности официальных статистическихорганов[2�].

Т а б л и ц а 4 . 8

Индексы инфляции в РФ (1992–2007) (по данным официальных статистических органов)

Год Индексинфляции

Индексинфляциив%

Накопленнаяинфляциясянваря1992

Накопленнаяинфляциясмарта1991

ДанныеИВСТЭкстолбцу(�)

(1) (2) (�) (�) (5)

1991 2,6 -

1992 26,1 25100 26,1 67,86 -

199� 9,� 8�0 2�5,�� 6�7,88 12�5,�2

199� �,15 215 772,82 2009,�� �680,��

1995 2,�1 1�1 1785,22 �6�1,56 9989,�2

1996 1,218 21,8 217�,�9 565�,�2 11815,�1

1997 1,11 11,0 2�1�,58 627�,�0 12997

1998 1,8�� 8�,� �,�51 11,572 20,�95

1999 1,�65 �6,5 6,075 15,795 27,7�7

2000 1,202 20,2 7,�0� 18,986 ��,��0

2001 1,186 18,6 8,661 22,517 �9,5�1

2002 1,151 15,1 9,968 25,917 �5,512

200� 1,12 12,0 11,16� 29,028 50,97�

200� 1,117 11,7 12,�71 �2,�2� 550�7

2005 1,109 10,9 1�,8�0 �5,958 57,�5�

2006 1,09 9,0 15,075 �9,19� 59,��2

2007 1,119 11,9 17,8�0 �6,�58 85,960

Примечание . Накопленныеиндексыинфляциис1998г.даютсясучетомденоминации.

Переход к сопоставимым ценам.Индексинфляциидаствозможность перехода к сопоставимым ценам, расходам,доходамидругимэкономическимвеличинам.Например,по

2��

даннымИВСТЭ(ср.табл.�.6,вкоторойприведенызначенияиндексаинфляциина02.0�.95и�0.0�.95)индексинфляцииза�года —с1�.0�.91г.по16.0�.95г. —составил59�6.Этоозначает,чтопокупательнойспособности1рублямарта1991г.соответствуетпримерно6000(аточнее59�6)рублеймарта1995г.Рассмотрим приведение доходов к неизменным ценам.

ПустьИванИвановичИванов получал в 1990 г. �00 руб. вмесяц,авначалемая1995г.емувыдали1миллионруб.заапрель(т.езапредыдущиймесяц).Увеличилисьегодоходыилиуменьшились?Номинальнаязаработнаяплатавырослав1000000/�00=

����раза.Однакоиндексинфляциина18мая1995г.составлял6180(датавзятаисходяизтого,чтосредства,полученныевна-чалемая,ИванИвановичИвановтратитвтечениеэтогомесяца).Этозначит,что1руб.1990г.соответствовалпопокупательнойспособности6180руб.вценахна18.05.95г.Следовательно,вценах1990г.доходИ.И.Ивановасоставлял1000000/70806180=161руб.81коп.,т.е.5�,9%отдоходав1990г.Можнопоступитьнаоборот,привестидоход1990г.кценам

на18мая1995г.Дляэтогодостаточноумножитьегонаиндексинфляции:доход1990г.соответствует�00×6180=1миллион85�тыс.руб.вценахмая1995г.,чтов185�000/100000=1,85�разабольше,чеммесячныйдоходв1990г.Следовательно,доходмая1995г.составляет100(1/1,85�)%=5�,9%отдохода1990г.Нетруднопоказать,чтообаспособарасчетовприводяткодномуитомужерезультату.

Средняя зарплата. Сопоставим инфляцию со среднейзаработнойплатой.Вмарте1991г.онаравняласьприблизи-тельно�00руб.вмесяц,т.е.минимальнаяпродуктоваякорзинаИВСТЭсоставлялаоколо8,9%отсреднейзаработнойплаты.Вмарте199�г.среднемесячнаязарплатавМосквесоставила206076руб.(данныеМосковскогогородскогостатистическогокомитета), следовательно, стоимость корзиныИВСТЭ со-ставляла���9900/206076%=21,11%отнее.Еслисудитьпоценамнапродукты,затригодауровеньжизниосновноймассынаселенияпонизилсяв21,1/11,�=1,85раз.

2��

Воктябре1995г.вМосквесредняязаработнаяплата —520тыс.руб., астоимостьпотребительскойкорзиныИВСТЭ —196,6тыс.руб.,т.е.�7,8%отсреднейзарплаты,падениеуровняжизни —в�,2раза.ПоданнымГоскомстатаРФсредняязаработнаяплатасо-

ставлялав1990г.�0�руб.,воктябре199�г. —9�тыс.руб.,вянваре1995г. —�0�тыс.руб.Посколькузарплататратитсявосновномвследующеммесяцепослеполучки,торассмотриминдексыинфляциина15.11.9�г.и02.02.95г.,равные105�и�856соответственно(см.табл.�).Вценах1990г.средняяза-рплатасоставила88руб.2�коп.и62руб.�0коп.соответственно,т.е.26,�8%и20,59%отзарплаты1990г.Среднемесячная заработная плата в РФ (номинальная и

впроцентахотуровня1990г.)представленавтабл.�.9.ОнасоставленаподаннымПенсионногофондаРФ,использующе-госведенияосреднейзаработнойплатеприрасчетавеличинпенсий.Обратимвнимание, что средняя заработнаяплата вдекабре199�г.(�5�тыс.руб.)больше,чемвянваре1995г.(�0�тыс.руб.).Проявляетсяэффектконцагода —дополнительныевыплатыпоитогамгодавсочетанииснекоторымзатишьемпроизводственнойдеятельностивначалеследующегогода.

Т а б л и ц а 4 . 9

Среднемесячная заработная плата в РФ

№п/п Дата

СреднемесячнаязаработнаяплатавРФ(поданнымПенсионногофондаРФ,ноябрь200�),руб.

ИндексинфляцииI(�1.�.91;t)

Среднемесячнаязаработная

платавРФ,в%отуровня1990

1 1990 �0�(за1990г.) 1,00 100

2 Август199�

65�00 665,08 �2,�5

� Декабрь199�

�5�200 �680,�� �2,08

� Декабрь1995

7�5500 9989,�2 2�,�0

5 Декабрь1996

1017000 11815,�1 28,�2

2�5

№п/п Дата

СреднемесячнаязаработнаяплатавРФ(поданнымПенсионногофондаРФ,ноябрь200�),руб.

ИндексинфляцииI(�1.�.91;t)

Среднемесячнаязаработная

платавРФ,в%отуровня1990

6 Декабрь1997

760000 12997,00 19,�0

7 Декабрь1998

760,0 2�,�95 10,72

8 Декабрь1999

1086,0 �2,00� 10,97

9 Декабрь2000

158�,0 �5,68� 1�,80

10 Декабрь2001

1671,0 ��,�21 12,7�

Средняя зарплата рассчитывается путем деленияфондаоплатытруданачислоработников.Приэтомобъединяютсядоходы и низкооплачиваемых лиц и сравнительно высоко-оплачиваемых.Известно, что распределение доходов резкоасимметрично,большомучислунизкооплачиваемыхработни-ковсоответствуетмалоечислолицсвысокимидоходами.За1991–1995-егодыдифференциациядоходоврезкоувеличилась.Этоозначает,чтодоходыосновноймассытрудящихсясдвину-лисьвлевоотносительносреднейзарплаты.Понашейоценке50%получаютнеболее70%отсреднейзарплаты(медианарас-пределения),т.е.неболее212100руб.посостояниюнаянварь1995г.,анаиболеемассовойявляетсяоплатав50%отсредней(модараспределения),т.е.около150тыс.руб.вмесяц.Известно, что типичное распределение доходов таково,

чтомодавеличиндоходоввесьмаменьшемедианы,котораявсвоюочередьсущественноменьшесреднегоарифметического(центральнаячастьраспределениядоходов —заисключениембольших доходов — хорошоприближается логарифмическинормальным распределением).Дифференциация доходов вРоссиибыстронарасталавплотьдовторойполовины1990-хгодов и сильно превзошла уровень всех т.н. промышленноразвитыхстран.Правда,уровеньБразилиииКениипоканедостигнут, но и климат в этих странах существенно иной,

2�6

такчтоминимальноежизнеобеспечениетребуетсущественноменьшихзатрат.Доходыотдельныхслоевтрудящихсяснизилисьещесущес-

твеннее.ЗарплатапрофессораМосковскогогосударственногоинститутаэлектроникииматематики(техническогоуниверси-тета)составлялавмарте199�г. —�2руб.92коп.(вценах1990г.),виюле1995г. —��руб.01коп.,т.е.с1990г.(�00руб.)снизиласьв9,�раза,дошладоуровняпрежнейстуденческойстипендии.Астуденческиестипендииснизилисьпримерновтойжепропорцииисоставляли�–5руб.вценах1990г.Крометого,необходимоучесть,чтоГоскомстат(иРосстат)

учитываетначисленнуюзарплату,аневыплаченную.Вотде-льные периоды отечественной истории выплата заработнойплатыоткладываласьнадолго.

Минимальная зарплата и прожиточный минимум. Ми-нимальная зарплата в сентябре 199� г. (22500руб.)и вмае1995г.(��700руб.)составляла�8%и2�,�%соответственноот стоимости минимальной физиологически необходимойпродовольственнойкорзины.Послеподъемадо55тыс.руб.онавсентябре1995г.составлялаоколо26,��%отстоимостикорзины,т.е.реальноуменьшиласьв1,��разапосравнениюссентябрем199�г.Вдальнейшемуменьшениесталоещеболеезаметным.Минимальнаязарплатавместесединойтарифнойсеткой

вомногомопределялазарплатуработниковбюджетнойсферы.Учитывая снижениекоэффициентовтарифнойсетки,прове-денное весной 1995 г., снижение в 1,5 раза покупательнойспособностиминимальнойзарплаты,необходимозаключить,чтовсентябре1995г.доходбюджетниковв2разаменьше,чемгодназад.Оценимпрожиточныйминимум.Бюджетныеобследования

в1990г.показали,чтодлялицснизкимидоходамирасходынапродовольствиесоставляютоколо50%всехрасходов,т.е.напромтоварыиуслугиидетоколо50%доходов.ЭтосоотношениеподтвердилоипроведенноеИВСТЭбюджетноеобследованиеконца1995г.Исходяизнего,среднедушевойпрожиточныйминимумможнооценить,умножаяна2,0стоимостьмини-мальной продовольственной корзиныИВСТЭ (этот метод

2�7

расчета прожиточногоминимума разработан американскойисследовательницей бедности польского происхожденияМ.Оршански[29]).Например,на28декабря1995г. —5�1��2руб.(см.табл.�.6).Т.е.прожиточныйуровеньдлясемьиизтрехчеловек —муж,женаиребенок —долженбылна28декабря1995г.составлять1,59�миллионаруб.(вмесяц).Например,муждолженполучать900тыс.руб.,жена —700тыс.руб.вмесяц(чистыми,т.е.послевычетаподоходногоналога).Вде-кабре1995г.средняязаработнаяплатасоставляла7�5500руб.(табл.�.9).Сопоставлениеприведенныхчисленныхзначенийпоказывает,чтосреднеоплачиваемыеработникинемоглиобес-печитьпрожиточныйминимумдлясвоейсемьи(мужиженасуммарномоглизаработатьлишь1,�71млн.«грязными»,чтозаметноменьшепрожиточногоминимума).Численныезначениястоимостейпотребительскихкорзини

индексовинфляциирассчитаныИВСТЭвосновномпоценамнапродуктывМосквеиПодмосковье.Однакодлядругихрегионовчисленные значения отличаютсямало.ДляМосквыиндексинфляции на 27.07.95 г. — 6598, а дляИванова на 1.08.95г. —75�2.Посколькупотребительскаякорзинана1�.0�.91г.вобластномцентрег.Ивановебылана95коп.дешевле,тоина1.08.95г.онанесколькодешевле,чембылабыпритомжеин-дексеинфляциивМоскве,иравна19��52руб.,апрожиточныйминимумравен�86905руб.Этотидругиеподобныерасчетыпоказывают,чтоприведенныевышечисленныезначениядляМосквывкачествепервогоприближенияможноиспользоватьдляразличныхрегионовРоссии.Индексыинфляцииспомощьюописаннойвышеметодики

можнорассчитатьдлялюбогорегиона,профессиональнойилисоциальнойгруппы,отдельногопредприятияилидажеконк-ретнойсемьи.Этизначениямогутбытьэффективноисполь-зованына трехсторонних переговорахмежду профсоюзами,работодателямиипредставителямигосударства.

Проценты по вкладам в банк, плата за кредит и инфля-ция. Рассмотримбанк,честновыполняющийсвоиобязательс-тва.Пустьондает10%вмесяцподепозитнымвкладам.Тогда1руб.,положенныйвбанк,черезмесяцпревращаетсяв1,1руб.,ачерез2 —поформулесложныхпроцентов —в1,12=1,21

2�8

руб.,...,черезгод —в1,112=�,1�руб.Однакозагодрослинетольковклады,ноицены.Например,с19.05.9�г.по18.05.95г.индексинфляциисоставил�,7�.Значит,вценахнамоментоформлениявкладовитоггодовогохраненияравен�,1�/�,7�=0,8�руб.Хранениеоказалосьневыгодным —реальнаясто-имостьвкладауменьшиласьна16%,несмотряна,казалосьбы,оченьвыгодныеусловиябанка.Другимисловами,реальныйпроцентплатызадепозитотказалсяотрицательным,равным(–16)%вгодовомисчислении,притом,чтовноминальныхруб.договорсбанкомобеспечивает21�%годовых.Пустьфирмаполучилакредитпод200%годовых.Значит,

вместо1рубля,полученноговнастоящиймоментвкредит,че-резгодейнадоотдать�рубля.Пустьонавзялакредит19.05.9�г.,аотдает18.05.95г.Тогдавценахнамоментвзятиякредитаонаотдает�/�,7�=0,80руб.за1руб.кредита(всопостави-мыхценахнамоментвыдачикредита).Такимобразом,кредитчастичнопревратилсявподарок —возвращатьнадона20%меньше,чемполучил,реальнаяставкакредитаотрицательна,онаравна(–20)%!ТаковабылатипичнаяситуациявРоссиивтечениерядалетначинаяс1992г.,особеннов1992–199�гг.Нобесплатныхподарковвбизнесенебывает —занихнадоплатитьподругимканалам,какправило,криминальным.

Сколько стоит доллар?На1�августа199�г.курсдол-лараСШАсоставлялвРФ198�,5руб.,аинфляция —665,08.Следовательно,всопоставимыхценах1990г.реальныйкурсдоллараСШАравнялся198�,5/665,08=2руб.98коп.Виюле1995г.индексинфляцииоколо6500(табл.�),акурс

доллараСША—около�500руб.задоллар.Следовательно,долларСШАстоит�500/6500=0,69руб.вценах1990г.,т.е.примерносоответствуетофициальномуобменномукурсув1980-хгодах.Сопоставимстем,чтовсентябре199�г.курсдолларабылоколо2000,аиндексинфляции —около2200,т.е.долларстоилоколо0,91руб.вценах1990г.Реальнаяпокупа-тельнаяспособностьдоллараупалаза10месяцевв1,�2раза.Пикреальногокурсадоллараприходилсянавремяпосле

дефолта1998г.Наначалоянваря1999г.курсбыл20руб.65коп.прииндексеинфляции20,�95,т.е.вреальномисчислениионсоставлял20,65/20,�95=1руб.01коп.Загоддоэтого,вначале

2�9

1998г.,индексинфляцииравнялся12,997,курсдоллара —5руб.96коп.,вреальномисчислении5,96/12,997=0,�6,т.е�6коп. —в2слишнимразаменьше,чемвначале1999г.Всередине200�г.курсдолларабылнесколькобольше�0

руб.(�0руб.�8коп.),индексинфляциисоставлял�8,56,следо-вательно,1долларСШАпосвоейпокупательнойспособностивРоссиинаиюль200�г.соответствовал6�копейкамначала1991г.Вначале200�г.курсдолларасоставлялоколо28руб.50коп.прииндексеинфляции50,97�,следовательно,1долларСШАпосвоейпокупательнойспособностивРоссиинаначало200� г. соответствовал 55 копейкамначала 1991 г.Всего заполгодадолларподешевелна15%.Вконцеиюля2007г.курсдоллараСША—25руб.�1коп.

прииндексеинфляции61,819,следовательно,реальныйегокурс —�1копейка(всопоставимыхценах1990г.).Вконцедекабря2008г.курсдоллараСША—29руб.00

коп. при индексе инфляции около 100, следовательнго, егореальныйкурс —29копеек(всопоставимыхценах1990г.).РеальныйкурсдоллараСШАналюбоймоментвремени

можнополучить,располагаядвумяширокодоступнымивре-меннымирядами —ежедневнымиданнымиономинальномкурседоллараСШАнаМосковскоймежбанковскойвалютнойбиржеирядомзначенийиндексовинфляции(табл.�.6и�.8).В90-егодыбылраспространенмифотом,чтоможноизба-витьсяотвлиянияинфляции,ведярасчетывдолларахСША.Этотмиф опровергается приведенными выше результатамирасчетов.Инфляция уменьшает покупательную способностьдоллараСША—каквнашейстране,такивсамихСША[10],атакжеивдругихстранах.Как известно, курс доллараСША в РФ определяется в

результате торгов наМосковскоймежбанковской валютнойбирже.Каковысвойствавалютногорынка?Легковидно,чтоэтоотнюдьнерынокчистойконкуренции[10,25].Игрокинеявляютсяравноправными.Участвующиевторгахкоммерческиебанки административно зависят отЦентральногоБанкаРФ.Другой инструмент влиянияЦентрального Банка — долла-ровыеилирублевыеинтервенции.Необходимопризнать,чтореальнокурсдолларавомногомопределяетсяруководством

2�0

страны,решающимпоставленныепередсобойзадачи,действуячерезЦентральныйБанкРФ.Небудемпытатьсяобсуждатьэтизадачи,констатируемтолько,чтоофициальныйкурсдол-лараСШАвРФопределяетсявомногомадминистративнымпутем.Возникаетестественныйвопрос —акаковжереальныйкурс?

Международные сопоставления на основе паритета поку-пательной способности. Процитируемтипичнуюпубликациювсредствахмассовойинформации:«Российскийрубльвходитвчислосамыхнедооцененных

мировыхвалютпопаритетупокупательнойспособности,го-ворится в очередном исследованиижурнала The Economist.Исходяизрезультатовисследованиясправедливаяценадолларасоставляет 15,2 руб.Однако участники рынка считают, чтоподешеветьдо15руб.долларсможетлишьчерез15–20лет.Индекс«БигМака»основываетсянапаритетепокупатель-

скойспособности(ППС),рассчитаннойспомощьюодинаковогововсехстранахмирапродукта(вданномслучае«БигМака»).Согласнометодикерасчетаиндекса«БигМака»,курсывалютдолжныбытьтакими,чтобыстоимостьэтогопродуктабылавовсехстранаходинаковой.Индекс«БигМака»,рассчитанныйжурналомTheEconomist,

показал,чторубльнедооцененна�1%.Приэтомкитайскийюань, например, недооценен на 58%» (ежедневная деловаягазета«РБКDaily»,09.07.2007).Обсудим три вопроса.По какимпричинам реальное со-

отношение валютможет отличаться от официального?Какустановитьреальныйкурс?Какиепоследствиявлечетпересчетсофициальныхкурсовнареальные?ЕслиофициальныйкурсдоллараСШАпоотношениюкруб-

лювышереального,тоэтоозначает,чтогосударствозащищаетотечественныхтоваропроизводителей,посколькузарубежныетовары(издолларовойзоны)продаютсявнутристраныдороже,чембылобыприсоответствииофициальногокурсареально-му. Государство поддерживает также работу отечественныхпредприятий на экспорт, искусственно занижая издержкипроизводства.Одновременнозавышениеофициальногокурсаставит препятствия на пути закупки новейших зарубежных

2�1

технологий,делаетневыгоднымполучениекредитов.Ясно,чтовозвращатьдолгивдолларахлегчепринизкомкурседоллара,чемпривысоком.Остановившисьнасказанном,констатиру-ем,чтовтеилииныепериодысвоегоразвитиягосударство,ведущееактивнуюэкономическуюполитику,имеетоснованияустанавливатьофициальныйкурсобменавалюты,отличныйотреального,соответствующегосвободномурынку.Какже установить реальный курс?Принцип паритета

покупательной способности (ППС) предлагает исходить изтого,чтооднаитажепотребительскаякорзинадолжнастоитьодинаково в разных странах. Если потребительская корзинаИВСТЭстоитвначалеиюля2007г.вМоскве16��руб.,.авНью-Йорке,кпримеру,100долларов,топриравниваем:16��руб.=100долларовСША,т.е.курсдолларапоППС —16руб.��коп.ВпроцитированнойпубликацииизСМИприравниваласьстоимость«БигМака» —продукта,которыйвраспространен-нойпомногимстранаммирасетиресторановбыстрогопитания«Макдоналдс»всюдуизготавливаетсяпооднойитойжерецеп-туре.Другимисловами,вкачествеиспользуемойдлясравне-нияпотребительскойкорзиныберетсянабортоваровиуслуг,необходимыхдляизготовления«БигМака»(включаяпродуктыпитания,электроэнергию,оплатутруда,амортизациюоборудо-ванияит.п.).Надоотметить,чтовзависимостиотконкретнойметодикимеждународногосопоставления,выбраннойтемилиинымэкономистом(вчастности,конкретнойпотребительскойкорзиныиспособаизмеренияеестоимости),оценкиреальногокурсавалютпоППСмогутзаметноразличаться.Например,курсдоллараСША—от8до15рублей(посостояниюна2007г.).Несмотрянаразногласия,общийвывододинаков —курсдоллараСШАвРФзавышенвнесколькораз.МеждународныесопоставлениянаосновеППСприводятк

принципиальноинымрезультатам,чемнаосновеофициальныхкурсовобменавалют.Вкачествепримераприведемтабл.�.10,де-монстрирующуюэторазличиенапримереваловогонациональногодохода(ВНД)десятиведущихстранмира[6].Таблицасоставленанаоснове«Докладаомировомразвитии»,представленногоВсе-мирнымбанкомв200�г.[�].Валовойнациональныйдоходстра-ны—однаизосновныхеёмакроэкономическиххарактеристик

2�2

[10,25].ВНДменьшеваловогонациональногопродукта(ВНП)навеличинуамортизационныхотчислений.Другимисловами,ВНДаккумулируетдобавленнуюстоимость,произведеннуюживымтрудомвтечениегода,втовремякаквВНПвходятиперенесен-ныенавновьсозданныетоварыиуслугирезультатыпрошлоготруда.Всепоказателитабл.�.10рассчитаныспециалистамиВсе-мирногобанкапопринятымвэтойорганизацииметодикам.

Т а б л и ц а 4 . 1 0

Валовой национальный доход (ВНД) на 2002 г., млрд. долларов

№ Страна ОбъемВНД МестовмирепоППС

ОбъемВНДпоППС

1 США 10110 1 10100

2 Китай 1210 6 5625

� Япония �266 2 ��15

� Индия 502 11 2691

5 Германия 1870 � 216�

6 Франция 1��� 5 1556

7 Великобритания 1�86 � 152�

8 Италия 1098 7 1�67

9 Бразилия �97 12 1266

10 Россия �08 16 1127

Втабл.�.10страныупорядоченывсоответствиисубыва-ниемобъемаВНД,рассчитанногопопаритетупокупательнойспособности.Видно,чтоупорядочениепоэтомупоказателюзначительно отличается от упорядочения поВНД, соответс-твующегосреднимобменнымкурсам2002г.Китайсшестогоместаподнялсянавторое,далекоопередивЯпонию,Германию,Великобританию,Францию, которые предшествовали емупо«официальному»ВНД.Индияподняласьсодиннадцатогоместаначетвертое,Бразилия —сдвенадцатогонадевятое,Россия —сшестнадцатогонадесятое.Соответственносдви-нулисьвнизведущиеевропейскиестраны.ОсобенноинтереснообсудитьположениеэкономикиКитая

вмире.Понекоторымоценкам,ужесейчасКитайобладаетсамоймощнойэкономикойвмире,егоВВПпревышаетВВП

2��

США.По«экономическойсиле»напервомместе —Китай,навтором —ЕвропейскийСоюз,итольконатретьем —США.Это упорядочение необходимо учитывать российским орга-низациям при стратегическом планировании.А студентам,нацеленнымнаперспективу,пораучитькитайскийязык.

Проблема учета инфляции при экономическом анализе фи-нансово-хозяйственной деятельности предприятия. Индексыинфляциииспользуютсядляпересчетаноминальныхценвне-изменные(сопоставимые).Другимисловами,дляприведениядоходовирасходовкценамопределенногомоментавремени.Потребительскиекорзиныдляпромышленныхпредприятий,конечно,должнывключатьпромышленныетовары,апотомуотличатьсяотпотребительскихкорзин,ориентированныхдляизученияжизненногоуровня.Однако«впервомприближении»можно использовать потребительскую корзинуИВСТЭилиприменятьиндексыинфляцииРосстата,особеннодлятехорга-низаций,длякоторыхвструктуресебестоимостивыпускаемыхтоваровиуслугбольшоеместозанимаетоплататруда.Рассмотримусловноепредприятие.Втабл.�.11представле-

наинформацияоприбылипредприятияпогодам.Этизначениявзятыизежегодныхотчетов,сданныхвналоговыеорганы,ивыраженывноминальныхденежных единицах.Видим,чтоприбыльгодотгодурастет,за6летвырослана80%.Напра-шиваетсявывод,чтопредприятиепроцветает,егоруководителизаслуживаютпохвалинаград.Однаконебудемторопиться.Приведемприбыльксопоста-

вимымценам.Вкачестветочкиотсчетаестественновзятьнача-лотысячелетия,т.е.конец2000г. —начало2001г.Другимисловами,приведеминтересующуюнасхарактеристикуработыпредприятияксопоставимымценамна1января2001г.Именновэтихценахвыраженаприбыль2000г.БудемиспользоватьофициальныеданныеРосстата(табл.�.8).Индексыинфляции«вразах»приведенывстолбце(�)табл.�.11.Дляприведенияприбыли2001г.ксопоставимымценам

на начало года достаточно разделить ее на годовой индексинфляции:1,1/1,186=0,927.Вотужеперваянеожиданность:реальнаяприбыльневырослав2001г.на10%посравнениюс2000г.,какноминальная,а,наоборот,упалана7,�%.

2��

Т а б л и ц а 4 . 1 1

Динамика прибыли предприятия, млн. руб.

№ Год Прибыль,млн.руб.

Индексинфляции

Накопленнаяинфляция

Прибыльвсопо-ставимыхценах

(1) (2) (�) (�) (5) (6)

1 2000 1,0 1,0

2 2001 1,1 1,186 1,186 1,1/1,186=0,927

� 2002 1,� 1,151 1,�65 1,�/1,�65=0,952

� 200� 1,� 1,12 1,529 1,�/1,529=0,912

5 200� 1,5 1,117 1,708 1,5/1,708=0,878

6 2005 1,7 1,109 1,89� 1,7/1,89�=0,896

7 2006 1,8 1,09 2,06� 1,8/2,06�=0,872

Чтобыпривестиксопоставимымценамприбыль2002г.(иследующихлет),надосначаланайтинакопленнуюинфляциюзапрошедшиегоды.За2001–2002гг.индексинфляциинаходитсяпутемперемноженияиндексовзаотдельныегоды:1,186 ×1,151=1,�65.Аналогичноиндексинфляциизатригода(2001–200�)равен1,186×1,151×1,12=1,�65×1,12=1,529.Зачетырегодаиндекстаков:1,529×1,117=1,708.Запятьлет:1,708×1,109=1,89�.Наконец,за6лет(2001–2006):1,89�×1,09=2,06�.Рассчитанные значения прибыли в сопоставимых ценах

приведенывстолбце(6)табл.�.11.Наблюдаемсовсемдругуюкартинупосравнениюсноминальнойприбылью.Реальнаяпри-быльотнюдьнерастет,наоборот,имеетустойчивуютенденциюкснижению.К2006.онаснизиласьна12,6%,втовремякакноминальнаяприбыльвырослана80%.И выводы получаются совсем другие. Нельзя сказать,

что предприятие прогрессивно развивается. Констатируемтенденциюкзастоюидеградации.Руководителиврядлиза-служиваютпохвалинаград,наоборот,имследуеттщательно

2�5

проанализировать ситуациюи разработатьмеры улучшенияработыпредприятия.Хотяинадо отметить, что говорить окатастрофепреждевременно:прибыльостаетсяположительной,ееснижениенеслишкомбольшое.Какизвестно,разработанаиширокоприменяетсяразверну-

таясистемакоэффициентов,используемыхприэкономическоманализефинансово-хозяйственнойдеятельностипредприятия[1].Онаосновананаданныхбухгалтерскогобаланса.Естествен-но,опираетсянадвастолбцабаланса —данныена«началопе-риода»иданныена«конецпериода».Записываютвэтистолбцыноминальныезначения.Внастоящеевремясогласноправиламбухгалтерскогоучетаинфляциюполностьюигнорируют(заис-ключениемпериодическихкорректировокстоимостиосновныхфондоввсоответствииспринимаемымируководствомстранынормативными документами). Это приводит к искажениюоценкиреальногоположенияпредприятия —еслипользоватьсятолько данными текущего бухгалтерского учета.Денежныесредства преувеличиваются, а реальная стоимость основныхфондовзанижается.Поофициальнойотчетностипредприятиеможетсчитатьсяполучившимхорошуюприбыль,апосущес-тву —неиметьсредствдляпродолженияпроизводственнойдеятельности,например,длязакупкинеобходимогосырья.Ясно,чтоучитыватьинфляциюнадо.Вопросвдругом —

как именно.Потребительская корзина должна, видимо, со-стоятьизтехтоваровиуслуг,которыепредприятиезакупает.Стоимостьосновныхфондовможетнеубыватьвсоответствиисамортизацией,авозрастатьсогласноотраслевомутемпуин-фляции(уменьшенномунаамортизационныекоэффициенты),ит.д.Обсуждениеконкретныхметодикрасчетоввыходятзапределынастоящегоучебника.Сколькостоитпредприятие?Специалистыпооценкебизне-

саиспользуюттриподхода —затратный,доходныйисравни-тельный[26].Согласнопервомуизнихважнооценитьосновныефонды.Дляэтогонужновзятьихстоимостьвопределенныймоментвремени,например,в1990г.,иумножитьнаиндексинфляции(иучестьамортизационныеотчисления).Вспомнимздесь,чтоофициальныйиндексинфляцииГоскомстата-Росста-тав1,5разаменьше,чемнаш,еслиотсчитыватьот1990г.

2�6

(см.табл.�.8).Естьмногоспособовисказитьэкономическиепоказатели, и «специалисты» ими умело пользуются. Зани-жениеиндексаинфляциивыгоднотем,ктохочетобзавестисьсобственностьюпозаниженнойцене.Вмировойпрактикеизвестныразличныевариантыучета

инфляциивбухгалтерскойдеятельностиивработефинансовыханалитиков[1�].

4.5. динамика цен на продовольственные товары

Проведемсравнительныйанализрезультатоврасчетовнаоснове различных потребительских корзин с целью оценкиточностиопределениятемповростацен.

Сравнение индексов инфляции Госкомстата РФ и ИВСТЭ.Результатырасчетовпоразличнымпотребительскимкорзинамдают, естественно, различные значенияиндексов инфляции,хотяэтиразличия,какпредставляется,неслишкомзначительны.Таквтабл.�.�приведенапотребительскаякорзинаЦентраэконо-мическойконъюнктуры (ЦЭК)приПравительствеРоссийскойФедерациииГосударственногокомитетаРоссийскойФедерациипостатистике,короче—корзинаГоскомстатаРФ.Автабл.�.�данапотребительскаякорзинаИВСТЭ.Былопроведеносравнениесоответствующихиндексовинфляции.Полученныерезультаты(табл.�.12)показали,чтоэтииндексыдостаточноблизки.

Т а б л и ц а 4 . 1 2

Сравнение результатов подсчета стоимостей потребительских корзин и индексов инфляции Госкомстата РФ и ИВСТЭ

Промежутоквремени Стоимостькорзиныииндексинфляции

ГоскомстатРФ ИВСТЭ

с1�.0�.91по1�.0�.9�

�0,82/�8990,��1589,8

26,85/�0889,11598,88

с15.11.9�по1�.0�.9�

�1255/�8990,��1,57

28050/�0889,11,�6

с19.05.9�по26.05.9�

56670,2/57667,751,02

55615/56��21,01

2�7

Примечание . Втабл.�.12верхниечисла —стоимостипотребитель-скихкорзин(вруб.)соответственнонапервуюуказаннуюдатуичерездробь —навторую,нижнеечисло —индексинфляциизаданныйпериод.Близостьразличныхиндексовинфляциизабольшойпро-

межутоквремениобъясняетсятем,чтоценырастутвцеломдостаточносогласованно,«аномалии»выправляются:еслитемпростаценыопределенногопродуктаотстаетотсреднегоростацен,тоимеютсяоснованияполагать,чтоегоценавближайшеевремясильновозрастет.Однаконамалыхисреднихпроме-жуткахвременипроявляетсяразличиеростаценнаотдельныетовары.Темболее интересно, что официальнопубликуемыеин-

дексыинфляцииГоскомстатаРФприотсчетес1990г.(или,чтотожесамое,с1�.0�.91)даваливсередине90-хпокрайнеймеревдвоеменьшиезначения,чемрасчетыИнститутавысокихстатистических технологий и эконометрики (подробнее см.коллективнуюмонографию[12]техлет).

Изучение динамики цен в условиях реформ. Уже болеесемнадцатилетвРоссииосуществляетсят.н.радикальнаяэко-номическаяреформа.Однимизсопутствующихейэффектовявляетсяизменениесложившейсяк1991г.системыценнавсетовары,услуги,труд(рабочуюсилу).Этиизмененияценпри-обрелиярковыраженныйинфляционныйхарактер.Втечениисемнадцатилет«радикальнойреформы»произошлиизменениянетолькоабсолютныхвеличинцен,ноиихпропорций.Масштабыинфляциибылиопределенынетолькодисба-

лансоммеждускопившейсяк1992г.унаселениязначительноймассойналичныхденегиналичиемтоваров,ноимассовымпреобразованиембезналичныхсредствпредприятийвналичныеденьгивпериодрасцветасовместныхпредприятийикоопера-тивовв1989–91гг.(атакжеотменоймонополиивнешнейтор-говли,врезультатечего,например,около1/�произведенныхвСССРв1990г.товаровмассовогопотреблениябыловывезенозаграницу).Вдальнейшемврезультатепримененияжесткихмер(например,невыплатызаработнойплаты),ограничиваю-щихпоступлениеналичныхденегнарыноктоваровиуслуг,а также ограничивающих количество покупателей среднего

2�8

классаитемсамымобеспечивающихискусственноеснижениеспроса,темпыинфляциизаметноснизились,ноинфляциянепрекратилась.Болезньнеисчезла.Удалосьсбитьтемпературубольного,т.е.отключитьсигнальнуюсистему,ноневылечитьболезнь.Стоиттольколишьначатьплатитьлюдямнаемноготрудазаработанныеимиденьгиприусловиикорректнойоценкитрудакакрыночноготовара,какинфляционнаяболезньвозоб-новится(какэтоипроизошлов2007г. —см.ниже).Вавгусте1998г.инфляциябылаподстегнутаруководствомстраныпутемискусственногоподъемакурсадоллара.Институтвысокихстатистическихтехнологийиэкономет-

рикиизучает динамику экономическогоположения гражданРоссиинаосновенезависимособраннойинформации.Приве-дениексопоставимымценам(спомощьюиндексовинфляциии дефляторов) — составная часть любого экономическогорасчета, связанного более чем с одниммоментом времени.Какпоказалинашинаблюдениянадценами,использованиепубликуемыхГоскомстатомРФзначенийиндексовинфляцииприводитксистематическимошибкам.Так,например,пона-шимданнымценыза6снебольшимлет(смарта1991г.помай1997г.)выросливсреднемпримернов12500раз,аподаннымГоскомстатаРФ —примернов6000раз.СказанноеопределяетактуальностьиспользованиянезависимойинформацииоценахииндексахинфляцииприанализеэкономическогоположенияРоссии,атакжеприразработкеприкладныхмоделейиметодовуправлениявсовременныхусловиях.ПредметомописанногоздесьисследованияИВСТЭ[5,21]

являетсяоценкаизменениявходереформфактическогосред-негоиминимальногофизиологическинеобходимогоуровнейжизнигражданРФчерезсравнениеиндексовинфляции,вы-численныхнаоснованиипотребительскихкорзин,ииндексаизменениявеличинысреднейзаработнойплаты.

Организация сбора и анализа данных.В199�–97гг.еже-недельнособралисьданныеоценах�5продуктовв12точкахМосквы,ПодмосковьяиКрыма.Аименно,информацияоце-нахсобираласьв9точкахг.Москвы;в2-хточкахМосковскойобласти(г.Раменскоеиг.Ногинск)ивКрыму(г.Симферо-

2�9

поль).Регулярноеизмерениеценпроизводилосьсинтерваломводнунеделюпо�5различнымтоварам.Расчетыпособраннымценампродовольственныхтоваров

проводилисьдляследующих5потребительскихкорзин:ИВСТЭ —продовольственная потребительская (продук-

товая)корзинаИнститутавысокихстатистическихтехнологийи эконометрики (табл.�.�).Составлена с учетом разработокИнститута питания РАМН. Является сбалансированной побелкам,жирамиуглеводам.Обеспечиваетминимальныефи-зиологическинеобходимыепотребностичеловека;

ГКС–1 —продуктоваякорзинаиз19продуктовпитания(включаясигареты)ГосударственногокомитетаРФпостатис-тике,применявшаясяв199�–1996гг.(табл.�.�);

ГКС–2 —продуктоваякорзинаГосударственногокомите-таРФпостатистике,используемаяс1января1997г.НормыпотребленияпредложеныМинистерствомтруда;

Бюдж–1 — продуктоваякорзина,разработаннаянаосновебюджетногообследования«бедныхсемей»студентовМосков-скогогосударственногоинститутаэлектроникииматематики(технического университета) (среднедушевое потребление непревосходит90%отмедианыобследованнойсовокупностисе-мей).Этакорзинаопределяетусредненныефактическиеобъемыпотребления(кг/год/человеки,соответственно,кг/мес./человек)�5продуктовыхтоваров,покоторымпроизводилисьизмеренияценприиспользованиикорзиныИВСТЭ.Общийобъемзатрат«бедныхсемей»напродуктовыеииныетоварыпредлагаетсянаходитьумножениемстоимостикорзиныБюдж–1 насоот-ветствующиекоэффициентыпометодуОршански;

Бюдж–2 — продовольственная потребительскихкорзина,разработаннаянаосновебюджетногообследованиясемейсту-дентовМосковскогогосударственногоинститутаэлектроникииматематики(техническогоуниверситета)(октябрь-ноябрь1995г.).Совокупностьобследованныхсемейвцеломхарактеризу-етсясреднимуровнемпотребления.Этакорзинаопределяетусредненныефактическиеобъемыпотребления(кг/год/человеки,соответственно,кг/мес./человек)�5продуктовыхтоваров,покоторымпроизводилисьизмеренияценвкорзинеИВСТЭ.Общийобъемзатрат«семейсосреднимдостатком»напродук-

250

товыеииныетоварыпредлагаетсянаходитьумножениемстои-мостикорзиныБюдж–2насоответствующиекоэффициенты.Количествоэлементарныхизмерений(значенийсобранных

ценпродовольственныхтоваров)приблизительноравно�0000.СобранныеданныеоценахобрабатывалисьнакомпьютерахMacintoshкакизвестными,такиоригинальнымиметодами.ТочностьвычисленийравнаобычнойкомпьютернойточностинакомпьютереМаcintoshприработесчисламисплавающейточкой.Вдальнейшемвсесредниевеличиныценприведенысточностьюдоодногорубля,авеличиныпроцентов —сточ-ностьюдо1/10процента.При проведении мониторинга за ценами на продукты

питанияисследователиобычно создаюткомпьютернуюбазуданных,вкоторуюзаносятсведениявида:1)названиепродуктапитания;2)объемпотребленияпродукта;�)ценапродукта;�)датаснятияцены;5)названиеторговойточки.Крометого,естьвполнепонятнаяпоследовательностьдейс-

твий(алгоритм)повычислениюиндексаинфляциисмоментавремениt1 помоментвремениt2:1)вычислитьсумму(повсемсоставляющимпотребитель-

скойкорзины)произведенийценнаобъемпотреблениядлямоментавремениt1;2)вычислитьсуммупроизведенийценнаобъемпотребле-

ниядлямоментавремениt2;�)найтиихотношение.Длянахожденияиндексовинфляциипотоварнымгруппам

этидействиявыполняютсядляпродуктовискомойгруппы.Длявычисленияиндексаинфляциипопродуктампитания

разработаныразличныепрограммныесредствадляIBMPCидляперсональныхкомпьютеровфирмы«Apple».

Результаты анализа динамики цен.Приведемнекоторыерезультатыанализаданныхоценах.Начнемсвременныхря-довстоимостейпотребительскихкорзинвМоскве.Оказалось,чтостоимостьпотребительскойкорзиныГКС–2примернов1,5разаменьшестоимостипотребительскойкорзиныГКС–1.

251

ПотребительскаякорзинаИВСТЭрасполагаласьпостоимостипримернопосерединемеждуГКС–1иГКС–2.Несмотрянаразличиестоимостей,индексыинфляциидлявсехтрехкорзинГКС–1, ГКС–2,ИВСТЭблизкиисоставляют82��–8896наконецдекабря1995г.и10�96–10890наконецфевраля1997г.Любопытноотметить,чтоГКС–1 имеетнаименьшиезначенияиндексаизтрехкорзин,аГКС–2 —наибольшие,еслисрав-ниватьсмартом1991г.(ГоскомстатРФтакиесравнениянепроводит),втовремякакростцензаисследуемыйпромежутоквремени (сконцадекабря1995г.поконецфевраля1997г.)наибольшийростдаеткорзинаИВСТЭ(28,05%),анаимень-ший —ГКС–2(22,�2%).Совсем иная картина со стоимостями потребительских

корзинБюдж–1иБюдж–2.Ониотносятсякреальномупот-реблениюсравнительнообеспеченныхмосквичей, включаютв себя стоимостинетолькопродуктов,ноидругихтоваровиуслуг,втовремякаккорзиныИВСТЭ,ГКС–1иГКС–2даютпредставлениеостоимостиминимальногонаборатова-ровиуслуг,обеспечивающегофизиологическиепотребностичеловека.Вконцедекабря1995г.стоимостькорзиныБюдж–1(для «бедных») составляла 659852 руб., а корзиныБюдж–2(для «средних» семей) — 726�6� руб., а кфевралю 1997 г.они«подросли»до8�2�98руб.(на26,16%)и950989руб.(на�0,92%)соответственно.ЭтивеличиныбольшепрожиточногоминимумасогласноданнымМосковскойфедерациипрофсою-зов(750тыс.руб.вмае1997г.),хотяразницунельзяназватьзаметной.Интереснеедругое —общийростцен(нафевраль1997г.)

составил8060–8��6,т.е.примернона20%меньше,чемростстоимостейкорзинИВСТЭ,ГКС–1,ГКС–2.Значит,«рефор-мы» тяжелее всего ударили по наиболее дешевым товарам,предназначеннымдлянаиболеебеднойчастинаселения.Этосвязано,видимо,ссокращениемипрекращениемдотацийдлятакихтоваров.Правда,затемтемпыроставыровнялись —присравнениифевраля 1997 г. с декабрем 1995 г. они состав-ляют 28,05%для корзиныИВСТЭ, 26,27%—дляГКС–1,26,16%—дляБюдж–1и�0,92%дляБюдж–2.Особнякомсто-итГКС–2–22,�2%,заметноменьше,чемдлядругихкорзин.

252

ВтожевремянаибольшийростдлякорзиныБюдж–2можетуказыватьнатенденциюболеебыстрогоростаценнатовары,предназначенныедляболеесостоятельныхлюдей.Анализ временных рядов стоимостей потребительских

корзинииндексовинфляциипоПодмосковьювцеломпод-тверждаетприведенныевышевыводы,сделанныепомосков-скимданным.Снованаблюдаемблизостьростаценс1991г.длякорзинИВСТЭ,ГКС–1,ГКС–2,сноваГКС–2вполтораразадорожеГКС–1,сноватемпростасдекабря1995г.меньшевсегоизэтихтрехкорзинуГКС–2.Сноваиндексыс1991г.длякорзинБюдж–1иБюдж–2на20–25%меньше,чемдляпервых трех корзин.Однако с декабря 1995 г. наибольшийростстоимостикорзины —неудвухпоследних,ауГКС–1(навторомместе —корзинаИВСТЭ).Возможно, этоотра-жаетменьшуюдолюсостоятельныхлюдейвПодмосковьеисоответственноменьшуюориентациюторговцевнаих«поку-пательные»возможности.Обращаетнасебявниманиеменьшаявеличинаиндексовс

марта1991г.вПодмосковьепосравнениюсМосквой.Возможно,деловтом,чтостоимостипотребительскихкорзинпосостояниюна�1марта1991г.бралисьтеже,чтоивМоскве,посколькусве-денияоценахнатотмоментвМосковскойобластиунасотсутс-твуют.Этоприводиткзанижениюистинныхзначенийиндексовинфляции,посколькуидо�1марта1991г.ценывПодмосковьебылинесколькониже,чемвМоскве.Этоотносится,вчастности,кценамнаовощиифрукты,молочныепродуктыидр.Вполнеестественно,чтосмарта1991г.ценынаразличные

товарывырослипо-разному.Так,ценынарыбу(треска,мин-тай)вырослипримернов25000раз,аценанасахар —менеечемв�000раз.Ценынатворогвырослив2,5разабольше,чемнасыр,ит.д.ВМосквеиМосковскойобластиростцендостаточнохорошосогласован.Можнобылобыпредположить,что в рыночных условиях были исправлены диспропорциипрежнейдотационнойплановойсистемы.Тогдаростценпоследекабря1995г.долженбылбыбытьпримерноравномерным,отражающимдинамикуобщеэкономическихпроцессов.Однакоконкретныеэмпирическиеданныеодинамикеценотвергаютэтопредположение.

25�

ВМосквеприобщемсреднемростеценна20–�0%большевсеговырослиценынаогурцы(7�,8%),баранину(75,9%),птицу(7�,5%),упалиценынакапусту(-�,6%),сахар( —5,5%).ВМосковскойобластипритакомжесреднемростеценбольшевсеговырослиценынамясо —наговядину(82,6%),свинину(88,6%),баранину(107,6%),приэтомупалиценынакартофель(–10%), капусту (–10%), сахар (–1�,1%), конфеты (–21,1%),минтай (–6,5%), растительное масло (–20,6%) и маргарин( —1�%).Приходитсяконстатировать,чтоценырастутнепропорцио-

нально,стабилизацияценненаступила,болеетого,динамикаценнаотдельныетоварынетольконесогласована,ноиотнюдьне близка.Нет никаких признаков приближения к равно-весным ценам,чегоможнобылобыожидатьпослепятилет«либерализации»всоответствиисучебникамиэкономическойтеории.Вкачестведополнительногоследствияизсказанноговытекает, что,подбираянужнымобразомноменклатуруто-варовдляпотребительскойкорзины,можнополучитьиндексинфляциижелательнойвеличины —отзначительногороста(+80%)допаденияцен(-20%).Временныерядынаименьшей,среднейинаибольшейиз

зарегистрированныхпоМосквецен�5продовольственныхтова-ровпоказывают,чтотакое понятие, как «цена товара», строго говоря, не корректно.Оноприменимокединственномуактукупли-продажиопределенноготоваравфиксированномместе,вкрайнемслучае —кактамкупли-продаживопределенноммагазине,нонекогромномугородувцелом.Действительно,зафиксированныенашимисотрудникамиценынаодинитотжетоварводинитотжеденьмогутразличатьсявнесколькораз.Так,26июня1996г.максимальнаязафиксированнаяценанариспревышаетминимальнуюв�,0�раза,анакартофель —в�,1�раза.Аналогичноепревышениедлябаранины27декабря1996 г. равно 2,79. Типовоеже превышениемаксимальнойцены надмаксимальной — в 1,5 раза.Ничего странного всказанномнет —всеммосковскимпотребителямизвестно,чтонаибольшиецены —вцентральныхпрестижныхмагазинах,средние —врядовыхмагазинах,наименьшие —на«оптовых»рынках.

25�

СцельюобеспечениесопоставимостиданныхсотрудникиИВСТЭсобиралиданныеводнихитехжеместах(магазинах,киосках, рынках). Это позволяло отслеживать рост цен иполучать корректные значения индексов инфляции.Однакоэто делало несколько условной стоимость потребительскойкорзины —потребитель,потративвремяиобойдядостаточноеколичествоместпродажи,,могобеспечитьсебятемижепро-дуктамипоменеевысокимценам.Дополнительнуюсложностьвноситбольшаяноменклатуравидоводногоитогожетовара.Накакойтипбатонабелогохлебаориентироваться?Чтопони-матьподговядиной —отечественнуюилиимпортную,вырезкуиликостидлясупа?Объективносуществующаясвободаприрешении организаторами исследованияжизненного уровняподобныхвопросовдаетвозможностьдлясдвигарезультатоввзаранеезаданномнаправлении.Объективноценынеявляютсястабильнымивпространствеивовремени.Напрактикеуказанныесложностивосновномпреодолимы.

Оказалось,вчастности,чтостоимостьпотребительскихкорзинвразличныхрайонахМосквыотличаетсяхотяиотличается,нонеболеечемна5–10%.Отклонениявстоимостиотдельныхпродуктовчастичнокомпенсируютдругдруга.Намиизученывкладыотдельныхпродовольственныхто-

вароввстоимостипотребительскихкорзин.Обращаетнасебявнимание различиемежду нормативными (т.е. заданнымиаприори)корзинамиИВСТЭ,ГКС–1,ГКС–2иполученнымиврезультатеанализареальногопотреблениякорзинамиБюдж–1иБюдж–2. В реальномпотреблении гораздоменьшемуки,пшена,геркулеса,ржаногохлеба,картофеля,трески,минтая,молока,маргарина,ногораздобольшелука,яблок,конфет,колбасы,сельди,сливочногомасла,сыра.Объяснениедоста-точноочевидное:корзиныИВСТЭ,ГКС–1,ГКС–2 —это«кор-зинывыживания»,действительноминимальныепостоимостикорзины,втовремякаккорзиныБюдж.1иБюдж.2 —этокорзиныреальногопотреблениявсемьяхстудентовМосков-скогогосударственногоинститутаэлектроникииматематики(техническогоуниверситета)различногодостатка.Продовольственныетовары,нанашвзгляд,можноразде-

литьнадвегруппы.Ценынаоднирастутмонотонно,безвсякой

255

связисовременемгода,т.е.ведутсебяпримернотакже,какпромышленныетовары.Можнопредположить,чтоиндексыинфляции,построенныепоподмножествутакихтоваров,пред-ставляютсобойобщиеиндексы,«очищенныеотсезонности»,апотомулучшеописывающиереальноесостояниеэкономики,чемисходныеиндексы.Однакоприихприменениитеряетсясвязь со стоимостью корзины выживания, обеспечивающейсуществованиебезфизиологическоговырождения.Второеподмножество —это товары с ярко выраженной

сезонностью,преждевсегоовощи,ценынакоторыепадаютвовторойполовинелетаиосенью,азатемначинаютвозрастать.Наличиеэтойсоставляющейприводитктому,чторостстои-мостейкорзинпрактическиостанавливаетсялетом,анаиболеебыстрымявляетсязимой.Можнолиуправлятьпроцессомростацен?Мынаблюдали

результаты явно административного воздействия: в ноябре1995 г., перед выборами в ГосударственнуюДуму, цены вМоскве внезапно упали на 9%, хотя в ноябре цены обычнорастутбыстрее,чемвиноевремягода.Темнеменеенеобхо-димоконстатировать,чтообычноизменениеценпроисходитнамикроэкономическом уровне, хотя и провоцируетсямак-роэкономическимипроцессами,вчастности,монопольнымиизменениямиценнаэнергоносители.Ложная,нанашвзгляд,идеямонетаристовсостоитвтом,

чтоонисчитаютнеобходимымборотьсясинфляцией,сокращаяденежнуюмассувстране,например,невыплачиваявовремязарплату и пенсии.Однако, как пишет академик-секретарьОтделенияэкономикиРАНД.С.Львов:«Макроэкономическиерасчетыпоказывают,чтозакаждыйпроцентсокращенияин-фляцииприходитсярасплачиватьсятремя-пятьюпроцентамиспадапроизводства»[9,с.11].Основнойудармонетаристскойполитикиприходитсянепоинфляции,апопроизводству.Процессинфляциичастичноуправляемадминистративны-

миметодами.Осенью1996г.спрогнозированногоИВСТЭростаценнепроизошло,чтообъясняетсяизменениемусловий —пра-вительствоперешлокборьбесинфляциейпутемгигантскогоростазадолженностейпозарплате,пенсиямидругимплатежам(например,детскимпособиям,стипендиямстудентов).

256

Если у населения нет денег — торговцыне поднимаютцены.Так,вМосквеза2года —слета1995г.полето1997г.ценывырослипримернона50%,втовремякаквг.Ивано-во —лишьна15%,аимпортныетоварынаивановскихрынкахстоятна1/�дешевле,чемнамосковских(хотяэтиимпортныетовары закупаются вМоскве). Объяснить это можно тем,что экономическоеположениевИваново гораздохуже,чемвМоскве, ниже уровень доходов, больше безработных, чтовынужденыучитыватьторговцы.Расчет индекса инфляции — вспомогательная задача,

решениекоторойнеобходимодляприведенияэкономическиххарактеристикксопоставимомувиду.Важнейшейзадачейяв-ляетсярасчетреальнойзаработнойплаты,равнойчастномуотделенияноминальнойзаработнойплатынаиндексинфляции.Известно,чтоценынапромышленныетоварыинауслуги,какправило,растутбыстрее,чемнапродовольствие.Поэто-мурассчитываемыепопродовольственнымпотребительскимкорзинамзначенияиндексовинфляциидаютоценкуснизудляростапотребительскихценистоимостижизнивцелом.Минимальныйпрожиточныйминимумоцениваемпомето-

дуамериканскойисследовательницыпольскогопроисхожденияМ.Оршански[29]скоэффициентомЭнгеля0,5.Этотметодоснованнарасчетестоимостиминимальнойпродовольственнойкорзиныиучетестоимостейостальныхминимальнонеобхо-димыхзатратспомощьюкоэффициентов.Так,для«бедныхсемей» студентовМосковского государственного институтаэлектроники иматематики (технического университета) вовремя пробного бюджетного обследования в октябре-ноябре1995 г. затраты на продовольствие составили 52% от всехрасходов.Поэтому стоимость прожиточногоминимума длянихполучим,принявза52%стоимостьминимальнойпродо-вольственнойкорзиныИВСТЭ,т.е.умноживеестоимостьна1/0,52=1,92.МетодМ.Оршанскипредполагает, что структура затрат

практическинеменяется.Однако,какужеотмечалось,ценынапромышленныетоварыинауслугирастутбыстрее,чемнапродовольствие.Поэтомузамена1,92на2,00представляетсяобоснованной.Полученные значения (намай1997 г. —700

257

тыс.руб.вмесяцначеловека)хорошосогласуетсясужеци-тированными даннымиМосковскойфедерации профсоюзов(750тыс.руб.).Отметим,чтодлявсейсовокупностисемей,чьибюджетыбылиобследованыв1996г.,затратынапродо-вольствиесоставили�2%,т.е.длянихкоэффициентОршанскиравен1/0,�2=2,�8.Средняя(начисленная)заработнаяплатавМосквесоставля-

лавдекабре1996г.1,12миллионаруб.(вРоссии —0,8�млн.).Всопоставлениисосказаннымвыше(сучетомлогнормальногохарактерафункциираспределениядоходовиналичиядетей)этоозначает, чтодажевМосквепокрайнеймереполовинасемейживет нижепрожиточного уровня.В 1990 г. средняязарплатапревышалапрожиточныйминимумв5,5раз,ав1997г. —лишьв1,2раза(поРоссии),т.е.уровеньжизниупалвсреднемв�,6раза.Онвесной1998г.соответствовалконцу50-х —началу60-хгодов.Заавгуст-сентябрь1998г.корзинаИВСТЭподорожалав1,5раза(асредняязарплатапрактическинеизменилась),следовательно,уровеньжизниупалужев7раз,ипопокупательнойспособностизарплатырядовыеграждане«приблизились»квозможностямначала50-хгодов.Переходксопоставимымценамнеобходимоиспользовать

такжеприрасчететакихмакроэкономическиххарактеристик,какваловойвнутреннийпродукт,объембюджетныхассигнова-нийит.д.Сучетомсказанноговышеможноутверждать,чтоэкономикаРоссиис1990г.по1998г.была«сокращена»в�–6раз,чтосоответствуетсдвигуназадповременина�5–�5лет.МатериалыописанногоисследованияИВСТЭбылиопуб-

ликованыв1998–1999гг.вработах[5,21].Инфляция в XXI веке. Использованиеоднойитойжепотре-

бительскойкорзиныобеспечиваетвозможностьсопоставлениярезультатоврасчетовзаразличныевременныепериоды.ЭтимработыИВСТЭвыгодноотличаетсяотподходаофициальнойстатистики.Какизвестно,ГоскомстатРФ(ныне —Росстат)в199�–2008гг.изконъюнктурныхсоображенийнеоднократноменялсоставпотребительскойкорзиныиобъемыпотреблениявходящихвнеетоваров.ОднаковначалеXXIв.потребитель-ская корзина официальной статистикимало отличалась отнашей. Здравый смысл восторжествовал — статистическое

258

ведомстворешилоисходитьизтехжеразработокспециалис-тов-диетологовРАМН,накоторыемыопиралисьещев199�г.Наосновенашихисследованийинфляциибыласоставленаглава7учебника[17]исоответствующийразделучебногокурса.СледующийшагбылсделанИВСТЭвесной200�г.[22].Студентыфакультета«Инженерныйбизнесименеджмент»

МГТУим.Н.Э.Бауманаразвмесяцсобиралиданныеоценахирассчитывалииндексинфляции.Сцельюсопоставимостире-зультатовстудентвсечетыреразасобиралданныенапродуктыоднихитехжеконкретныхнаименований(марок,сортов)иводнихитехжеторговыхорганизациях.Поданнымзафев-раль,мартиапрель200�г.методомнаименьшихквадратовстроилсяточечныйинепараметрическийинтервальныйпрогноз(см. главу � выше) намай, который затем сопоставлялся среальностью.Собранныеданныепозволилиизучить разброс значений

индексаинфляциивзависимостиотконкретныхместсбораданных. Рассмотрим значения индекса инфляции I(t1, t2) натекущиймоментt2=1�мая200�г.,соответствующиебазо-вомумоментуt1=1�марта1991г.(табл.�.1� —поМоскве,табл.�.1� —поМосковскойобласти).Статистическиехарактеристикидлядвухвыборокиндек-

совинфляции,приведенныхвтабл.�.1�и�.1�,содержатсявтабл.�.15.Онипоказывают,чтоиндексинфляции —этонечисло,атипичнаянечисловаяэкономическаявеличина(см.[16]иглаву7ниже).ИндексинфляциивМосквеможноописатьинтервалом[�9,1;62,��],авМосковскойобласти —интерва-лом[��,02;57,�2].

Т а б л и ц а 4 . 1 3

Индексы инфляции в Москве в мае 2004 г.

�9,10 �0,50 �0,56 �0,70 �1,56 �1,7� ��,0� �7,18

�7,18 �7,�0 �8,�0 �9,27 51,�5 52,67 52,70 5�,0�

5�,60 55,00 55,01 55,�� 55,62 56,�0 57,15 57,29

57,65 57,72 57,80 58,26 58,�0 59,59 62,��

259

Т а б л и ц а 4 . 1 4

Индексы инфляции в Московской области в мае 2004 г.

��,02 �8,11 50,�0

51,02 51,08 5�,12

5�,12 55,65 57,�2

Т а б л и ц а 4 . 1 5

Результаты статистической обработки данных об инфляции (май 2004 г.)

Статистическиехарактеристики Москва Подмосковье

Минимум �9,1 ��,02

Максимум 62,�� 57,�2

Объемвыборки �1 9

Выборочноесреднееарифметическое 51,�7 51,76

Среднееквадратическоеотклонение 6,80 �,08

Нечисловой характер индекса инфляции позволяет, темнеменее, сделать полезные для практического применениявыводы:1)Вмае200�г.индексинфляцииравенприблизительно

50(+20%),т.е.50руб.мая200�г.посвоейпокупательнойспособностисоответствуют1руб.марта1991г.2)Индексы инфляции вМоскве иМосковской области

практическисовпадают.Вмае 200� г. вМоскве стоимостьминимальной продо-

вольственной корзины оценивается как (27 руб. 11 коп.)×51,�7=1�00руб.,апрожиточныйминимум —как2800руб.вмесяц.Индексинфляции —это эконометрическийинструмент,

позволяющийдоказательнообсуждатьирешатьтеилииныеэкономическиепроблемы.Например,проблемусоотношениязарплатыипрожиточногоминимума[28].Средствамассовойинформациичасторассматриваютэтутематику.Ксожалению,невсегдаобсуждениеявляетсядоказательным,авыводы —обоснованными.Так,встатье[2]утверждается,чтомывконце200�г.«живем,какв1985году».Этонетак.

260

Сравнимуровнижизнив 1985 г.и в 200� г.Посколькуценынаосновныепродовольственныетоварыдомарта1991г.неросли,можнопризнать,чтоиндексинфляциис1985г.поконец200�г.совпадаетстаковымсмарта1991г.поконец200�г.,т.е.согласно[17,�-еизд.]сдостаточнойдлярасчетовточностьюравен50(см.табл.�.6,�.8).Встатье[2]приведенызначениясреднейзарплатыпостране —199руб.в1985г.и5722 руб. в конце 200� г.Номинальная зарплата выросла в29раз,ацены —в50раз.Значит,реальнаязарплатасокра-тиласьв1,7раза.В1985г.средняязарплатапочтив�разапревосходилапрожиточныйминимум,ав200�г. —лишьв2cнебольшимраза.В200�г.среднестатистическийгражданинРФживетгораз-

дохуже,чемв1985г.ОсновнуюпричинуназвалПрезидентРФВ.В.ПутинвПослании200�г.ФедеральномуСобраниюРФ:валовойвнутреннийпродукт(всопоставимыхценах)в200�г.меньше,чемв1989г.(динамикамакроэкономическихпоказа-телейРоссиианализируетсяв[19,с.285]).Большоезначениеимеетрезковозросшаядифференциациядоходов.Измеряющийеедецильныйкоэффициентувеличилсязаэтигодыс�до15;вразвитыхстранахегозначение —около7.Крупноеисследованиебылопроведеночерезтрисполо-

винойгода.СтудентысобралиданныеоценахирассчиталииндексыинфляциивМосквеиМосковскойобл.запериодсt1=1�марта1991г.доt2=26ноября2006г.(табл.�.16,�.17).ОбработкаданныхбылапроведенаО.Ю.Проскуриной.

Т а б л и ц а 4 . 1 6

Индексы инфляции в Москве в ноябре 2006 г.

�6,1� �6,�� �8,26 �9,21 �9,27 �9,71

50,29 51,05 51,07 52,52 5�,6� 5�,75

5�,8� 5�,�6 5�,68 55,07 57,16 57,8�

57,8� 58,7 59,11 59,12 60,�1 60,�1

60,5� 60,57 6�,81 65,9 68,01 72,15

72,15 72,15 72,15 72,2� 7�,� 8�,61

261

ВМосквеиндексыинфляциибылирассчитаныпоценамвтакихторговыхорганизациях,какгипермаркет«Ашан»,су-пермаркет«SPAR»,гипермаркет«Метро»,супермаркет«Пере-кресток»,другиемагазины,рынки.Проверканаоднородностьдвухвыборок —индексовинфляциивгипермаркете«Ашан»и индексов инфляции в «другихмагазинах», не входящих всети —спомощьюкритерияКрамера-Уэлча[17]показала,чтовыборкиоднородны,а,следовательно,ихможнообъединитьводну.Слушателипрограммы«Топ-менеджер»(Мастерделового

администрирования /МВА)Академии народного хозяйстваприПравительствеРФсобралиданныеоценахирассчиталииндексыинфляцииврядерегионовРФ2006г.(табл.�.18).

Т а б л и ц а 4 . 1 7

Индексы инфляции в Московской области в ноябре 2006 г.

�9,8� �9,15 52,58 58,65

6�,51 66,09 68,09 69,18

Т а б л и ц а 4 . 1 8

Индексы инфляции по регионам России

№ Город,регион Дата Индекс

1 Владимир 22.02.07 ��,5

22.0�.07 �6,8

2 Иркутск 09.01.07 �2,�8

09.02.07 �2,97

� Красноярск(1) 25.11.06 59,50

�0.01.07 61,77

� Красноярск(2) 25.11.06 6�,60

08.02.07 66,86

5 Калужскаяобл.,г.Малоярос-лавец

20.12.06 �6,86

10.02.07 �8,51

6 НижнийНовгород 10.11.06 ��,16

21.05.07 �7,0

262

№ Город,регион Дата Индекс

7 Новосибирск 01.0�.07 51,79

01.05.07 5�,7�

8 Петропавловск-Камчатский 10.11.06 28,9�

25.01.07 �2,96

9 Ростов-на-Дону(1) 01.02.05 51,99

01.02.07 67,67

10 Ростов-на-Дону(2) 01.02.07 �9,66

01.0�.07 �6,6�

11 Ростов-на-Дону(�) 01.02.07 ��,8�

12 Татарстан,г.Бавлы 10.11.06 ��,72

25.01.07 �6,05

1� Томск 25.12.06 �9,86

01.02.07 51,0�

1� Тюменскаяобл.,п.Боровский Янв.07 �8,�7

Март07 �1,27

15 Череповец 01.11.06 �8,1

20.01.07 5�,�

Примечание. Несколько исследований, проведенных водномгороде,указаныподразнымипорядковыминомерами.Следуетиметьввиду,чтостоимостипотребительскойкорзи-ныИВСТЭвмарте1991г.дляразныхрегионовразличаются,иногдасущественно.Статистическиехарактеристикидлявыборокиндексовинф-

ляции,приведенныхвтабл.�.16–�.17,содержатсявтабл.�.19.Они показывают, что индекс инфляции имеет заметныйразброс,этонечисло,атипичнаянечисловаяэкономическаявеличина[16].Всоответствиисприведеннымиданнымиин-дексинфляциивМосквеможноописатьинтервалом[�6,1�;8�,61], вМосковской области —интервалом [�9,8�; 69,18].Статистическуюобработкуданных,приведенныхвтабл.�.18,проводить было бы необоснованно, поскольку регионы, вкоторых проводились исследования, не представляют собойпредставительную(репрезентативную)выборкуизгенеральнойсовокупностирегионовРоссии(см.главу1).Крометого,разли-

26�

чаютсядатыснятияинформацииоценах.Поэтомудлявключе-ниявпосвященныйРФстолбецотобраналишьчастьданных.Темнеменеетабл.�.18даетпредварительноепредставлениеодинамикеценврегионахРоссии.Вчастности,подтвержда-етсявысказанноеранееутверждениеотом,чтоофициальныестатистические органы систематические занижают индексыинфляции:приведенноевтабл.�.8значение�9,19�меньше2�из29индексовинфляции,замеренныхслушателямиАкадемиинародногохозяйства.

Т а б л и ц а 4 . 1 9

Результаты статистической обработки данных об индексах инфляции I(1990, 11.2006) в ноябре 2006 г.

Статистическиехарактеристики Москва Подмосковье РФ

Минимум �6,1� �9,8� �2,�8

Максимум 8�,61 69,18 6�,6

Объемвыборки �6 8 6

Выборочноесреднееарифметичес-кое 59,07 58,�9

5�,�0

Среднееквадратическоеотклонение 9,7� 9,0� 7,67

Судяпособраннымданным,структурастоимостипотре-бительскойкорзинывсреднемпоМосквесравнительномалоизмениласьсмарта1991г.подекабрь2006г.(рис.�.1).

Рис.�.1.Структурастоимостиминимальногонаборапродуктовпитания

Нечисловой характер индекса инфляции позволяет, темнеменее, сделать полезные для практического применениявыводы:1)в2007г.индексинфляцииравенприблизительно60,

т.е.современные60руб.посвоейпокупательнойспособностипримерносоответствуют1руб.марта1991г.;

РыбопродуктыЖиры

МолочныепродуктыЯйцаСахарХлеби

хлебопродуктыПлодыиовощимарт1991г.19%2%5%

21%

�%7%20%22%21%�%5%

20%

�%�%22%21%

декабрь 2006 г.г.

26�

2)индексыинфляциивМосквеиМосковскойобластипрак-тическисовпадаютидостаточноблизкикиндексаминфляциипобольшинствудругихрегионовРФ;�)вноябре2006г.вМосквестоимостьминимальнойпро-

довольственнойкорзиныоцениваетсякак(27,11руб.) ×59,07=1601,�руб.,апрожиточныйминимум —как�202,8руб.вмесяц(всоответствиисметодомОршански[29]скоэффици-ентомЭнгеляC=2,0).Отметимдлясравнения,чтопометодикеиданнымРос-

стата(www.gks.ru),стоимостьминимальногонаборапродуктовпитаниявсреднемпоРоссиивконценоября2006г.составила1���,6рубляврасчетенамесяц.В2007–2008гг.наблюдаемвсплескростацен(табл.�.19–

�.21).Табл.�.19(МоскваиПодмосковье)рассчитанаподаннымф-таИБММГТУим.Н.Э.Баумана,табл.�.19(РФ)итабл.�.20получена слушателями программы «Топ-менеджер» (МБА)Бизнес-школыАНХприПравительствеРФ,табл.�.21 —слу-шателямиБизнес-школыМВАМИРБИС,т.е.действующимименеджерамивысшегозвенаорганизацийипредприятийраз-личныхрегионовРФиМосквы.

Т а б л и ц а 4 . 2 0

Индексы инфляции в РФ на конец 2007 г. — начало 2008 г.

№ Регион Датаt1 I(90,t1) Датаt2 S(t2),мес I(90,t2) I(t1,t2)

1 Якутск 01.11.07 76,067 01.01.08 207�,67 8�,519 11,1%

2 Хабаровск �0.11.07 66.87 �0.12.07 1759.21 68,79 2,9%

� Петропав-ловск-Кам-чатский

09.12.07 9�,70 10.01.08 2576,69 102,�1 9%

� Малоярос-лавец

12.06 55,09 01.08 215�,�9 8�,21 5�%

5 Красноярск 08.12.07 82,81 12.01.08 2�86,29 97,58 18%

6 Тюмень 05.12.07 75,�6 10.01.08 2297,28 82,9� 10%

7 Красноярск 26.10.07 �7,77 10.01.08 159�,�2 6�,17 �2,2%

8 Нижневар-товск

01.11.07 5�,�5 01.01.08 19�9,92 62,51� 1�,8%

265

№ Регион Датаt1 I(90,t1) Датаt2 S(t2),мес I(90,t2) I(t1,t2)

9 Екатерин-бург

01.12.07 50,28 10.01.08 21�2,82 8�,10 67%

10 Рязань 01.11.07 6�,28 01.01.08 1785,92 69,8� 10%

11 Москва 26.11.07 88,80 26.12.07 2280,69 88,8� 0,05%

12 Новоси-бирск

01.12.07 8�,09 1�.01.08 2167,�0 8�,75 0,78%

1� Самара 28.11.07 67,5 08.01.08 1762,17 68,9 2%

Анализприведенныхвтабл.�.19–�.21результатовизме-ренийростаценприводиткрядуинтересныхипрактическиполезныхвыводов[20].Вчастности,вЕкатеринбургеценызаполторамесяцавырослина67%,вКрасноярскезадваспо-ловиной —на�2%,вМалоярославцезапоследнийгод —на5�%.ДанныеРосстата —11,9%за2007год.Среднийрезультатпотабл.�.20и�.21–1�,8%запоследниемесяц-два.Среднийростценс1990г. —в81,69раз,т.е.наодинрубльможнобылокупитьв1990-мгодустолькоже,сколькона81рубль69копееквянваре2008года.Агодназадиндексинфляциибылзаметноменьше —59,07(табл.�.19,Москва).Ростна�8,�%.Втрислишнимразабольше,чемподаннымРосстата.

Т а б л и ц а 4 . 2 1

Индексы инфляции на конец 2007 г. — начало 2008 г., Москва)

№ Датаt1 I(90,t1) Датаt2 S(t2),мес. I(90,t2) I(t1,t2)

1 28.12.07 115,08 �0.01.08 2992.�2 117,01 1,68%

2 28.12.07 7�,61 29.01.08 19��.66 76,0� �,�0%

� 27.12.07 76,60 �1.01.08 20��,95 79,57 �,88%

� 27.12.07 65,5� �1.01.08 - 68,�7 �,��%

5 27.12.07 79,25 �1.01.08 207�.60 81,12 2,�6%

6 28.12.07 115,�92 29.01.08 �109.9� 121,01 5,�0%

7 01.01.08 75,�8 01.02.08 20�5,�5 79,59 5,58%

8 16.01.08 92,7� �1.01.08 2�72,8� 96,70 �,28%

9 01.01.08 98,96 01.02.08 2695,68 105,�1 6,52%

10 10.12.07 66,99 10.01.08 17�5,22 67,85 1,29%

266

Отметим,чторасхождениерезультатоврасчетовпонеза-висимособраннойинформациииданныхофициальнойстатис-тикичастичнообъясняетсятем,чтовпоследниегодыРосстатвочереднойразсменилпотребительскуюкорзину.Этоделаетещеболеенеяснойсвязьсообщаемыхимчисленныхзначенийинфляции с динамикой реальных экономических процессов(на этунеясностьобращаливниманиеучастникидискуссии,проведеннойвходежурналистскогорасследования[2�]).Какследствие,констатируем,чтокаждоефизическоеиюридическоелицоможетсамостоятельноизмерятьростценспомощьюме-тодики,подробноизложеннойвнастоящейглаве.ТакимпутемцелесобразноборотьсясмонополиейРосстатанарезультатыизмеренийинфляции.Отметимещеоднуособенностьпоследнихлет.Коэффи-

циентЭнгеляС =2,0приоценкепрожиточногоминимумабылполучен на основе бюджетного исследования середины90-х.Имможнопользоватьсялишьприусловиипостоянстваструктуры расходов.Однако в последние годы резко растетдолярасходовнаоплатужилищно-коммунальныхуслуг.Этоозначает,чтодолярасходовнапродовольствиеувсехсемейиособенноубедныхзаметноснижается.Следовательно,коэф-фициентЭнгеляС =2,0долженбытьповышен,поэкспертнойоценке,до�,0(в2009г.).

Инфляция за 80 лет.Нетнеобходимостисвязыватьвоз-можностьрасчетаиндексаинфляциискаким-либоопределен-ныминтерваломвремениидажесопределеннымсоциально-экономическимстроем.Можноформальновычислитьиндексыинфляцииизавесьмадлительныепромежуткивремени.Так,например,ростценнаосновныепродуктыпитанияс191�г.поапрель199�г.представленвтабл.�.22.

Т а б л и ц а 4 . 2 2

Цены в 1913 г. и в апреле 1994 г. (руб./кг)

Наименованиепродукта Ценав191�г. Ценавапреле199�г.

Хлебпшеничный 0–05 7�0

Хлебржаной 0–0� �00

267

Наименованиепродукта Ценав191�г. Ценавапреле199�г.

Молоко 0–1� 625

Сыр 0–�0 6150

Маслосливочное 0–55 5100

Маслорастительное. 0–1� 2�00

Сметана 0–�0 2500

Говядина 0–2� 2760

Свинина 0–20 �000

Баранина 0–17 2000

Используяобъемыпотребленияизпотребительскойкорзи-ныИВСТЭ,получаем,чтоиндексинфляцииза191�–199�гг.составил11297,или1129600%.Подобныерасчетыпозволяютоценить реальное значение количественных экономическихвеличин,используемыхвпубликацияхразныхлет.Отметим, что представление о прожиточномминимуме

меняетсясовременем.ЕщедвадцатьлетназадвыходвИнтер-нетимобильнаятелефоннаясвязьбылиуделомизбранных,асейчасэтиуслугипоравключатьвпрожиточныйминимум.Сдругойстороны,вомногихгородахдровапересталибытьпредметомпервойнеобходимости,апотомунетнеобходимостии возможности отслеживать ценына дрова.Необходимостьмодернизациипотребительскихкорзинсоздаетдополнитель-ные проблемыпо обеспечению сопоставимости результатоврасчетов.

Потребительские корзины, включающие в себя промто-вары и услуги, и соответствующие индексы инфляции. Внастоящее время, чтобы не только быть в курсе проблем,касающихсяинфляциивнашейстране,ноихорошоориенти-роватьсявсоздавшейсяситуации,недостаточноотслеживатьтолькоизменениеценнапродовольственныетовары.Необхо-димотакжефиксироватьинфляциюивсферекоммунальных,транспортных,медицинских,образовательныхидругихуслуг,атакжеанализироватьценынапромышленныетоварыширо-когопотребления.Ростценвэтихобластяхдостаточнозаметен(еслив1990г.проездвметровМосквеобходилсяв5коп.,товноябре1995г.онстоил1000руб.,вфеврале1999г.,после

268

деноминациив1000раз —�рубля,в2001г. —разоваяпоездкаобходиласьв5руб.,ав2009г. —ужев22руб.).Следуеттакжеотметить,чтотемпыростаценнатеилииныепромышленныетоварыиуслугиневсегдасовпадаютстемпамиростомценнапродовольственныетовары.Например,наблюдалосьподоро-жаниехлебобулочныхтоваровпримернов2000раззатригода(1991–199�),аценынакомпьютерныетоварывырослазаэтовремявсреднемтольков80раз.Приобсуждениипроблеминфляциичастообращаютвни-

маниенато,чтовнастоящеевремязаметнаячастьдоходовкаждойсемьиидетнаоплатукоммунальныхуслугипокрытиерасходовнатранспортисвязь.Необходимоучитыватьрасходынауслугипрачечной,парикмахерской,наремонтобувиит.д.Увеличиваютсярасходынаудовлетворениекультурныхпот-ребностейиз-заростаценнакниги,журналы,газеты,билетывтеатрыикино,спортивныйинвентарьит.д.Стечениемвре-мениподобныерасходыконкретныхфизическихлицмогутисокращатьсяиз-запрекращенияпокупоккниг,журналов,газет,прекращенияпоходоввтеатрыит.д.Дорогимисегодняявляютсяипромышленныетовары.Но

приподсчетеиндексаинфляциипоэтимтоварамвозникаетрядтрудностей.Например,наблюдаетсяразбросценпоторговымточкам или имеетместо временное отсутствие вмагазинахнекоторыхтоваров.Крометого,меняетсямода,многиевидыодеждывыходятизупотребления,вместонихпоявляютсяно-вые.Тожесамое,всвязисразвитиемтехники,происходитистоварамидлительногопользования(когда-тораньшенебылотелевизоров, холодильников, стиральныхмашин,железныхдорогисамолетов).Крометого,покаещемыможемпользо-ватьсяотдельнымибесплатнымиуслугамивобластимедициныиобразования,носкоро,очевидно,иэтобудетплатным,покрайнеймеречастично.Длятого,чтобыподсчитатьиндексинфляцииподостаточно

обширнойпотребительскойкорзине,включающейнетолькопродовольственныетовары,ноиодежду,товарыдлительногопользования,услугиит.п.,необходимоиметьсоответствую-щиенормыпотребления.Определитьихвесьматрудно.(Принормативномподходекэкономическимявлениям —откуда

269

взятьнормы?Припозитивном —каквнестабильнойситуациизамерить потребительские бюджеты?)Поэтому в настоящейглавемыограничилисьиндексамиинфляции,рассчитаннымидля продовольственной потребительской корзины.ИндексинфляцииможносчитатьнетолькодляМосквывцелом,ноидляотдельныхеерайоновидажедляпокупателейотдельныхмагазинов —достаточноизмеритьсоответствующиецены;нетолькодлянаселениявцелом,ноидляотдельныхслоевидажеотдельныхсемей —достаточнознатьсоответствующиепотребительскиекорзины.Какужеотмечалось,внастоящеевремя(2009г.),вчаст-

ности,всвязисрезкимростомстоимостижилищно-комму-нальныхуслуг,коэффициент2,0вметодеОршанскирасчетапрожиточногоминимумапредставляетсязаниженным.Адек-ватное значениеможетбытьполученоврезультате анализарезультатов бюджетного обследования типа того, что былопроведеноИВСТЭв1995г.Альтернативныйподходсостоитв использованииинойпотребительской корзины,например,предусмотреннойвФедеральномЗаконе«Опрожиточномми-нимумевРоссийскойФедерации» (вредакцииФедеральныхзаконовРФот27.05.2000№75-ФЗ,от22.08.200�№122-ФЗ).

Инфляция и ВВП. Валовой внутренний продукт (ВВП),валовойнациональныйпродукт(ВНД)идругиехарактеристикиэкономическогоположениястранырассчитываютсявтекущихценах.Дляпереходакнеизменнымценамнадоподелитьнаин-дексинфляции(т.е.умножитьнадефлятор).В2разазанизишьиндексинфляции —в2разазавысишьваловойнациональныйпродукт,валовойвнутреннийпродукт,национальныйдоходииныемакроэкономическиехарактеристики.ПоданнымПравительстваРФкконцу1998г.валовойвнут-

реннийпродуктсоставил55,7%отуровня1990г.(динамикамакроэкономическихпоказателейРоссиианализируетсяв[19,с.285]).Падениебольше,чемвГерманииврезультатеразгромафашизма.Иэтопоофициальнымданным!Используяжеко-эффициентзаниженияинфляциисостороныГоскомстатаРФ,равный2,получаемболеереальнуюцифру —25%отуровня1990г.Падениев�раза!Этаоценкаблизкаквыводамрядаспециалистов,независимыхотправительства.

270

Напомним,чтономинальныйВВПисчисляетсявтекущихрыночныхценах.ЧтобыопределитьреальныйВВП,необхо-димовыразитьеговсопоставимыхценахбазисногогода.ДляэтогоприменяетсятакназываемыйдефляторВВП,т.е.индексинфляции,которыйотражаетизменениесреднегоуровняценсамойширокойгруппытоваровиуслугзаопределенныйпери-од,охватывающейвсесоставляющиеВВП.Расчетыпроводятспомощьют.н.«системынациональныхсчетов»[1�].Нетничегоудивительноговтом,чтодефляторВВПотли-

чаетсяотиндексаинфляцииРосстата.Так,индекс-дефляторВВПза2006г.поотношениюкценам2005г.составил15,�%,втовремякакиндексинфляцииРосстатаза2006г.равен9%.Разныекорзины —разныерезультаты.

Виды инфляции. Эконометрика описывает инфляцию.Причиныинфляции —этопредметиныхэкономическихнаук.Однаконесколькословсказатьобэтомполезно.Всегдаговорятобинфляции спроса. Этоситуация,когда

унаселениямногоденег, которые оно хочет истратить, атоваровмало.Тогдаценырастут.Либонепосредственно,либочерезмеханизм«черногорынка».Другойвидинфляции —инфляция издержек.Производи-

тельвынужденповышатьценунасвоюпродукцию,потомучтоегопоставщикиповышаютценынасобственнуюпродукцию.Этотпорочныйкругоченьтрудноразорвать.Третий вид инфляции — административная инфляция.

Цены повышает государство. Естественно, на то, что оноконтролирует.Например, с августа по декабрь 1998 г. курсдоллараСШАбыл поднят примерно в � раза.Последствиябылипонятные:адекватныйподъемценнаимпортныетова-ры,потомростценнапродукцию,дляизготовлениякоторойиспользовалисьимпортныекомплектующие,азатемиростценначистоотечественнуюпродукцию.Врезультатеинфляциязагодсоставилаболее80%.Вышеужеприводилисьпримерыадминистративногорегу-

лированияцен.Политикагосударственныхоргановвобластиэнергетики,транспорта,экспортаиимпорта,налогообложенияи других сфер государственного регулирования экономикиоказываетнепосредственноевлияниенаинфляцию.

271

Заключительные замечания. Нобелевскийлауреатпоэко-номикеВасилийВасильевичЛеонтьев(1905–1999)подсчитал,чтолишь1%ученых-экономистованализируетвновьсобранныеданные,�0%используютданные,приведенныевпубликацияхпредшественников,аостальныевсвоихрассужденияхвообщенеобращаютсякреальномумиру[8].Настоящаяглавасоставле-нанаосновеработИВСТЭ,относящихсяктому1%,окоторомписалВ.В.Леонтьев.Судяпоопытудвухпоследнихдесятилетий,инфляционные

процессысталипостояннойсоставляющейотечественнойэко-номическойжизни,иэкономистам,менеджерам,инженерамразличныхспециальностейпридетсяучитыватьихсвойствавсвоейработе.Внастоящейглаверассмотреныосновыэкономет-рическойтеорииинфляции.Однаконевсепроблемыраскрытыдостаточноподробно.Краткорассмотримнекоторыеизних.Прогнозированиеиндексаинфляцииосуществляетсяспо-

мощьюметодовнаименьшихквадратов(глава�),экспертныхтехнологий(глава5),втомчислеоснованныхнасценарномподходе,иразличныхиныхпроцедур,разработанныхворгани-зационно-экономическоммоделировании.Обратимвниманиенапериодическуюсоставляющуювовременномрядуиндексовинфляции.Темпростаценмаксималенвзимниемесяцы(де-кабрь —январь),затемпостепенноуменьшаетсядоминимумавлетниемесяцы(июль —август),иногдапереходявдефля-цию,затемсноварастет.Непараметрическийметодвыделенияпериодическойсоставляющейвременногорядарассмотренв[17,разд.6.�], [18,разд.10.2],атакже —инойподход —вглаве�выше.СтоимостипотребительскойкорзиныИВСТЭнаодинитот

жемоментвременивнашихпубликациях,какмогзаметитьвнимательныйчитатель,несколькоотличаются.Вэтомнетни-чегостранного,таккакисходныеценынапродуктынесколькоотличались.Строгоговоря,цены,стоимостипотребительскихкорзин, индексыинфляцииимногиедругие экономическиевеличиныследовалобысчитатьнечисловымиданными(см.главу7ниже,[16],[17,разд.1.5]),например,интервальнымиилинечеткими.Развитиенечисловойэкономики —перспек-тивноенаправлениенаучныхисследований.

272

Неоднозначностьвыборапотребительскойкорзины,при-водящая к неоднозначности индекса инфляции, порождаетестественныйвопрос:можнолиописатьростценоднозначно,т.е.полностьюопределеннойфункциейвремени?Строгийответизвестен —нет,нельзя.Ещев�0-егодыВ.В.Леонтьевпоказал,чтооднозначно

можно сравнивать только состояния экономик, имеющиходинаковуюотраслевуюструктуру,такчтоописывающиеихвектора(объемовпроизводствапоотраслям)отличаютсятолькомножителем[8].Реальнотакихдвухэкономикнесуществует.Каждыйгодструктураэкономикименяется.Поэтому,строгоговоря,нельзясравниватьсостоянияэкономикразныхстран,идажесостоянияэкономикиоднойитойжестранывразныегоды.Этомужефеноменупосвященатеоремапроф.В.В.По-диновского:любоеизменениекоэффициентоввесомостиеди-ничныхпоказателейкачествапродукцииприводиткизменениюупорядочениянекоторыхпаризделийпосредневзвешенномупоказателю(глава6).Однако реальномы, несмотря на теоретический запрет,

сравниваемэкономическоеположениевразныегоды —зная,чтоэтосравнениепроводитсяснекоторойстепеньюусловности,допустимойврассматриваемыхпостановкахприкладныхзадач.Точнонатехжеоснованияхмыдолжныприниматьвовниманиеростцен,выражаемыйтемилииныминдексоминфляции.Мыпочтине затрагивалиисториюинфляции.Наиболее

быстроценыросливГерманиипослепервойивтороймировыхвойнивСССРпослегражданскойвойны.НемецкийписательЭрихМарияРемарквсвоемромане«Черныйобелиск»опи-сываетГерманию192�г.:«Долларсталнеистовствовать,онподскакиваетежедневноужененатысячиидесяткитысяч,анасотнитысячмарок.Позавчераонстоилмиллиондвеститысяч,вчера —миллиончетыреста.Ожидают,чтозавтраондойдетдодвухмиллионов,авконцемесяца —додесяти.Рабочиеполучаюттеперьзаработнуюплатудваразавдень —утромиподвечер,икаждыйразимдаютполучасовойперерыв,чтобыониуспелисбегатьвмагазиныипоскореесделатьпокупки —ведьеслиониподождутдовечера,топотеряютстолько,чтоихдетиостанутсяполуголодными»[2�,с.�20].Рассмотрение

27�

методоввыходаизинфляциинаходитсявнерамокнастоящегоучебника.Знание динамики индекса инфляции повышает обосно-

ванность принятия хозяйственных решений.Отслеживаниеизменения индекса инфляции полезно и одновременно до-ступновсемюридическимифизическимлицам.Трудоемкостьрасчетаодногозначенияиндексаинфляциинепревосходит2–�часов.Проведениетакойработыобеспечиваетсвязьобученияэкономическим и управленческим дисциплинам с реальнойэкономическойжизньюиможетбытьрекомендованонавсехуровняхэкономическихдисциплин,отсреднейшколыдопосле-вузовскогообразования.Полученныепонезависимособраннойинформацииоценкиинфляции, рассмотренныевнастоящейглаве, используются в научных исследованиях и учебномпроцессе различных образовательных структур, а также впроизводственнойдеятельностипредприятийиорганизаций,например,наМагнитогорскомметаллургическомкомбинате.

литература

1.Баканов М.И., Шеремет А.Д.Теорияэкономическогоанали-за. —М.:Финансыистатистика,2000. —�16с.2.Добротворский Н., Седов А.Курсхолодильникаккошельку:жи-

вем,какв1985году!/«Комсомольскаяправда»,10декабря,200�г.�.Докладомировомразвитии200�г.Всемирныйбанк. —М.:

ВесьМир,200�.�.Елисеева И.И., Юзбашев М.М.Общаятеориястатистики. —М.:

Финансыистатистика,1998. —�68с.5.Какоцениватьуровеньжизни?(Напримеремосковскогорегио-

на)/ОрловА.И.,ЖихаревВ.Н.,ЦупинВ.А.,БалашовВ.В. —Журнал«Обозреватель-Observer».1999.No.5(112).С.80–8�.6.Ковнир В.Н.ИсторияэкономикиРоссии:Учебноепособие. —

М.:Логос,2005. —�72с.7.Коростикова Т.Ценывырастутв5раз//Аргументыифакты,

199�,No.16,с.5.8.Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теория, исследования,

фактыиполитика. —М.:Политиздат,1991. —�1�с.

27�

9.Львов Д.С.Реформыспозициисовременнойнауки. —НаучныетрудыМеждународногосоюзаэкономистовиВольногоэкономическогообществаРоссии.Томвторой. —М.-СПб:1995,с.7–16.10.Макконнелл Кэмпбелл Р., Брю Стэнли Л.Экономикс:Принци-

пы,проблемыиполитика.В2-хт.:Пер.сангл.11-гоизд.Т.1. —М.:Республика,1995. —�00с.11.Математическиемоделивэкономике.Расчетиндексаинфляции

/ОрловА.И.,БалашовВ.В.,КуроптевО.В.,КанаковаЕ.М.,Рафаль-скаяА.С. —М.:Изд-воМосковского государственного институтаэлектроникииматематики(техническогоун-та),199�. —�2с.12.Математическоемоделированиепроцессовналогообложения

(подходы к проблеме) / Под ред. В.Н.Жихарева, А.И.Орлова идр. —М.:Изд-воЦЭОМинистерстваобщегоипрофессиональногообразованияРФ,1997. —2�2с.1�.Мюллер Г., Гернон Х., Миик Г.Учет:международнаяперспек-

тива:Пер.сангл. —2-еизд.,стереотип. —М.:Финансыистатистика,1996. —1�6с.1�.Национальноесчетоводство/Подред.Г.Д.Кулагиной. —М.:

Финансыистатистика,1997. —��8с.15.Орлов А.И.Устойчивостьвсоциально-экономическихмоде-

лях. —М.:Наука,1979. —296с.16.Орлов А.И.Размытыецены.Нечисловаяэкономикаиуправ-

лениеинвестиционнымпроцессом. —Журнал«Российскоепредпри-нимательство».2001.№12.С.10�–108.17.Орлов А.И.Эконометрика:Учебникдлявузов.Изд.�-е,пере-

работанноеидополненное. —М.:Изд-во«Экзамен»,200�. —576с.18.Орлов А.И.Прикладнаястатистика. —М.:Экзамен,2006. —

671с.19.Орлов А.И. Теория принятия решений. —М.: Экзамен,

2006. —57�с.20.Орлов А.И. Организационно-экономическоемоделирование

процессов управленияпромышленнымипредприятиями в условияхрисковинфляции. —Стратегическоепланированиеиразвитиепред-приятий.Секция�/МатериалыДевятоговсероссийскогосимпозиума.Москва,15–16апреля2008г.Подред.чл.-корр.РАНГ.Б.Клейне-ра. —М.:ЦЭМИРАН,2008. —С.12�–126.21.Орлов А.И., Жихарев В.Н., Цупин В.А.Анализдинамикиценна

продовольственныетоварывМосквеиМосковскойобласти. —Всб.:НаучныетрудыРижскогоинститутамировойэкономики.Вып.2. —Рига:РИМЭ,1998.С.19–25.

275

22.Орлов А.И., Орлова Л.А.Интервальнаяоценкаинфляциипонезависимойинформации. —Журнал«Российскоепредприниматель-ство».200�.№10.С.��–�9.2�.Панфилова Ю., Угодников К.Каквысчитаете? —Журнал

«Итоги»,2005,1�ноября,№�6(�92).2�.Ремарк Э.М.Черныйобелиск. —М.:АО «ВИТА-ЦЕНТР»,

1992. —�8�с.25.Самуэльсон П.Экономика.Т. 1,2. —М.:МГП«Алгон» —

ВНИИСИ,1992. —���с.—�15с.26.Сычева Г.И., Колбачев Е.Б., Сычев В.А.Оценкастоимости

предприятия(бизнеса). —Ростовн/Д:«Феникс»,200�. —�8�с.27.Статистическийсловарь/Гл.ред.М.А.Королев. —М.:Фи-

нансыистатистика,1989. —62�с.28.Федосеев В.Н., Орлов А.И. Зачтонаспокупают (состояние

рыночноймотивациитрудавРоссии). —Журнал«Российскоепред-принимательство».2000.No.6.С.10–19.29.OrshanskyM.HowPovertyismeasured? —MonthlyLaborReview,

1969,v.92,No,2,p.�7–�1.

Контрольные вопросы и задачи

1. Рассчитайте индекс инфляции с 1�.0�.1991 по 1�.0�.2001 наосновепотребительскойкорзиныицентабл.�.2�.

Т а б л и ц а 4 . 2 3

Номенклатура, годовые нормы потребления и цены (руб.)

№п/п

Наименованиепродуктапитания

Годоваянорма,кг

Ценана1�.0�.1991

Ценана1�.0�.2001

1 Хлебржаной 65,� 0–20 10

2 Столовыекорнеплоды �0,6 0–20 9

� Колбасадокторская 0,� 2–�0 95

� Молоко,кефир 110,0 0–�2 17

5 Сметана,сливки 1,6 1–70 50

6 Маргарин 6,� 1–20 �5

2.ГражданинИвановвмарте1991г.получил200руб.,авмарте2001г. —5000руб.Восколькоразизменилсяегодоход?Увеличилсяилиуменьшился?(Используйтеиндексинфляциииззадачи1).

276

�.Заянварьиндексинфляциисоставил50%,азафевраль —200%.Чему равен индекс инфляции за двамесяца?Каков средний темп(уровень)инфляции?�.ВыразитетекущийкурсдоллараСШАвценахмарта1991г.

(индексинфляцииможнопринятьравным100).5.РасскажитеодинамикеиндексаинфляциивРоссии.6.Почемудляопределенияиндексаинфляции(впроцентах)задва

годанельзяскладыватьиндексыинфляциизапервыйгодизавторойгод,выраженныевпроцентах?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1.Местоиндексовинфляциивсистемеэкономическихиндексов(сравнитесиндексамиЛаспейреса,Пааше,И.Фишера[�]).2.Теоремыумножения(вслучаечетырехиболеемоментоввреме-

ни)исложения(длягрупповыхиндексовинфляции),ихдоказательстваииспользование.�.Экспериментальнаяработа:соберитеданныеоценахирассчи-

тайтеиндексинфляциидлясвоегорегиона(наосновепотребительскойкорзиныИВСТЭ).�.Прогнозирование индекса инфляции:методы, практическая

реализация,использованиедляпринятияуправленческихрешений.5.Учетинфляцииприпроведениианализафинансово-хозяйствен-

нойдеятельностипредприятия.6.Обеспечениесопоставимостирезультатоврасчетовпримодер-

низациипотребительскойкорзины.7.Влияниеинфляциинахозяйственнуюжизнь.8.Методывыходаизинфляции.

277