กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

กลศาสตร์วงโคจร (Orbital Mechanics)

ตามกฎพ้ืนฐานของกลศาสตร์ท้องฟ้า โดยเริ่มต้นจากกฎของการเคลื่อนที่ของนิวตัน ที่จะอธิบายการ

เคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งจะสามารถพิจารณาแรงต่าง ๆ ที่กระท าต่อดาวเทียมได้

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน มี 4 สมการดังนี้

1. (

)

2. 3. 4.

เมื่อ s คือระยะทาง จาก t (เวลา) = 0 ; u= ความเร็วต้น เมื่อ t = 0 และ v = ความเร็วท้ายเมื่อ t=

t ; a คือความเร่งของวัตถุ ; P คือแรงที่กระท าต่อวัตถุ; และ m คือมวลของวัตถุ โดยค่าความเร่ง a จะเป็นค่า

บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับทิศทางของการเคลื่อนที่เทียบการทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว

จากสมการทั้ง 4 ที่ได้กล่าวข้างต้น สามารถน ามาท าความเข้าใจการโคจรของดาวเทียมได้

โดจากสมการจะกล่าวได้ว่า แรงที่กระท าต่อดาวเทียมนั้นเกิดจากผลคูณของมวลกับความเร่งที่ของดาวเทียม

หรือกล่าวอีกนัยว่า ความเร่งของดาวเทียมก็คือค่าอัตราส่วนของแรงที่กระท าต่อดาวเทียมต่อมวลของดาวเทียม

ME

ดาวเทียมมมีวล m เคลื่อนที่ด้วย

ความเร็ว v ในระนาบของการ

โคจร

𝐹𝑜𝑢𝑡 𝑚𝑣

𝑟

Centrifugal Force

𝐹𝑖𝑛 𝐺𝑀𝐸𝑚

𝑟

Centripetal Force

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

แรงที่กระท าต่อดาวเทียมในวงโคจรคงท่ีรอบโลกตามรูปที่ที่แสดงนั้น จะมีแรงที่กระท าต่อดาวเทียมคือ

แรงที่เกิดจากอิทธิพลของแรงโน้มถ่วง ซึ่งจะแปรผกผันตามระยะห่างระหว่างจุกศูนย์กลางโลกและดาวเทียม

ก าลังสอง โดยทิศทางของแรง Fin จะเข้าสู่ศูนย์กลางของโลก และในส่วน Fout ของแรงที่มีทิศทางตรงข้ามกับ

แรง Fin เป็นแรงที่แปรผันตรงกับความเร็วของดาวเทียมยกก าลังสอง ซึ่งหากทั้งแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากัน จะ

ท าให้ดาวเทียมอยู่ในสภาวะ “free fall”

เมื่อความเร่งที่เกิดขึ้นเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่ระยะทาง r จากจุดศูนย์กลางของโลกคือ

Km/s2

และเม่ือค่าคงที่ คือผลคูณระหว่างค่า Universal Gravity = G และค่ามวลของโลก ME

km3/s2 (Kepler’s constant)

เมื่อ G = Nm2/kg2

จึงได้ว่า FIN = (

)

= (

)

ในท านองเดียวกันเมื่อความเร่งของแรงออกสู่ศูนย์กลาง (Centrifugal Force) คือ

จึงได้ว่า Fout = (

)

หากแรงลัพท์ที่กระท าบนดาวเทียมอยู่ในสภาวะสมดุลจะได้ FIN = FOUT จะได้

(

) = (

)

= ( )

หากวงโคจรเป็นวงกลม ระยะทางของวงโคจรใน 1 รอบ จะเท่ากับ โดยที่ คือรัศมีของวงโคจร

จากดาวเทียมไปยังจุดศูนย์กลาง ซึ่งในที่นี้ก็คือจุดศูนย์กลางของโลก เพราะฉะนั้นจึงสามารถทราบถึงเวลาที่

ดาวเทียมโคจรได้ 1 รอบ หรือคาบของดาวเทียม T

=

( ) (

)

=( ) ( )

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

ตารางแสดงค่าความเร็ว คาบ ของระบบดาวเทียมแบบ GEO, MEO, LEO ที่โคจรรอบโลก

Satellite system Orbital height Orbital velocity Orbital period

(km) km/s (h) (min) (s)

Intelsat (GEO) 35,786.03 3.0747 23 56 4.1

New-ICO (MEO) 10,255 4.8954 5 55 48.4

SkyBridge (LEO) 1,469 7.1272 1 55 17.8

Iridium (LEO) 780 7.4624 1 40 27

ค่าเฉลี่ยรัศมีโลก = 6378.137 กม. และรัศมีของวงโคจร GEO จากจุดศูนย์กลางโลก = 42,164.17 km

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างโลกและดาวเทียม

ทิศทางการหมุนของโลกตามแนวแกน CZ โดยจุด C คือจุดศูนย์กลางของโลก CZ มีทิศทางผ่านขั้ว

โลกเหนือ แกน CX, CY, CZ ต่างตั้งฉากซ่ึงกันและกัน (Orthogonal axes) แกน CX, CY มีทิศทางเส้นศูนย์

สูตรของโลก และเวกเตอร์คือเวิกเตอร์ทิศทางของดาวเทียมเทียบกับโลก

Z

Y

r Earth Rotation

Equatorial plane c

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

ระนาบการโคจรของดาวเทียม (Orbital Plane)

ระนาบการโคจรของดาวเทียมจะใช้เป็นระนาบอ้างอิง โดย แกน X0, Y0 วางตัวอยู่ในระนาบเดียวกับ

วงโคจรดาวเทียมท่ีมีแกน Z0 ทิศทางตั้งฉากกับระนาบอยู่ Z และ C นั้นไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ยกเว้นแต่ว่า

ดาวเทียมนั้นโคจรผ่านแนวเส้นศูนย์สูตร

พิกัดเชิงมุมของระนาบการโคจรของดาวเทียม (Polar coordinate system

รัศมีวงโคจรของดาวเทียม

( )

= ค่าเยื้องศูนย์ของวงรี , โดย h = Magnitude of the orbital

angular momentum

Z

Y0

Earth Rotation

Equatorial plane c

Z0

X0

X0

Y0

Z0

r0

ø0

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์

1.วงโคจรของวัตถุขนาดเล็กที่โคจรรอบวัตถุท่ีใหญ่กว่าจะเป็นวงรีเสมอ ด้วยจุดศูนย์กลางของมวลวัตถุ

ขนาดใหญ่กว่าคือหนึ่งในสองของจุดโฟกัส (Foci)

2. พ้ืนที่ของการกวาดวงโคจรจะมีขนาดเท่ากัน ณ เวลาของการโคจรเท่ากัน

จากรูป ส่วนที่แรเงาเป็นพ้ืนที่การกวาดโดยดาวเทียม ส่วนแรกจะเป็นส่วนที่ดาวเทียมโคจรใกล้โลก

(Perigee) และอีกส่วนของพ้ืนที่ที่เกิดจากการโคจรของดาวเทียม ณ จุดที่อยู่ห่างโลก (Apogee)

จะได้ เมื่อ t1-t2 = t3-t4 จะท าให้พ้ืนที่ A12 มีขนาดเท่ากันกับ A34

3.คาบของการเคลื่อนที่ยกก าลังสองจะแปรผันโดยตรงกับค่าของก าลังสามของความยาวแกนหลัก (Major

Axes) ตามสมการ ( )

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

การระบุต าแหน่งดาวเทียมเมื่อเทียบกับโลก

เมื่อดาวเทียมเคลื่อนที่ผ่านระบบของแนวศูนย์สูตรของโลก ค่า Ω คือค่าไรต์แอสเซนชันของ

Ascending node, มุม i คือมุมระหว่างระนาบของเส้นศูนย์สูตรและระนาบของการโคจร และมุม ω คือมุม

ระหว่างจุด Perigee และระนาบเส้นศูนย์สูตร

ตัวอย่างการค านวณรัศมีการโคจรขอดาวเทียมจากสมการ

หากการโคจรของดาวเทียมรอบโลกใช้เวลา 1 รอบคือ 23 ชั่วโมง 56 นาที 4.09 วินาที จะแสดงว่า

ดาวเทียมนั้นมีรัศมีการโคจรคือ 42,164.17 กิโลเมตร

จากสมการ ( )

จัดรูปใหม่

เมื่อ T = 86,164.09 Sec จะได้

( )

km (GEO Orbit)

Zi

Xi

Yi

Perigee

Ascending Node Ω

ω

i

Satellite

กลศาสตร์วงโคจร

ร.ท.สุทธิพงษ์ โตสงวน

การก าหนดมุมมอง (Look Angle Determination)

ระบบพิกัดที่ใช้ส าหรับการตั้งสายอากาศจากสถานีภาคพ้ืนเพ่ือท าการติดต่อสื่อสารกับดาวเทียมนั้น

เรียกว่า “มุมมอง (Look Angles)” ซึ่งส่วนใหญ่จะแสดงเป็นมุมกวาด (Azimuth : Az) หรือมุมเงย

(Elevation : El)

จุดย่อยดาวเทียม หรือ The Subsatellite point คือจุดที่อยู่บนพ้ืนผิวโลกที่อยู่ในแนวเดียวระหว่าง

จุกศูนย์กลางของโลกไปยังดาวเทียม ซึ่งเรียกว่า Nadir

จากรูปแสดงการก าหนดมุม El และ Az โดย El คือมุมที่วัดจากระนาบเส้นขอบฟ้าไปยังดาวเทียม

ส่วน Az คือมุมที่วัดระหว่างทิศเหนือ (True North) มาทางทิศตะวันออกกับเส้นเงาของทิศทางดาวเทียมบน

ระนาบเส้นขอบฟ้า

รูปแสดง Subsatellite และ Nadir

Local Vertical

North EL

East

Path to Satellite

Projection of path onto

local horizontal plane

Az

c

Sub

Nadir Direction

Zenith Direction