ЧИТАЙТЕ В...

ЧИТАЙТЕ В НОМЕРІ

Курс підготовки до ДПА і ЗНО-2012

Тематичний план «Курсу підготовки до ДПА і ЗНО-2012» .................................................................. 2

Тема 1. Цілі та раціональні числа ................................... 7

Тема 2. Відсотки. Основні задачі на відсотки ............... 23

Тема 3. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості ............................................... 31

Відповіді до тестових і контрольних завдань ................ 41

Тест у форматі ЗНО-2011

Зовнішнє незалежне оцінювання з математики2011 року ..................................................................... 42

.(Т

ІМО

)

Видавництво «ФАКТ»61166, м. Харків, вул. Бакуліна, 11, оф. 4-28.Тел./факс: (057) 760-47-16, 756-43-75Е-mail: [email protected] www.timo.com.uaСвідоцтво про держреєстрацію: серія ДК № 3172 від 22.04.2008 р.

Перший в Україні журнал із підготовки до ДПА і ЗНО-2012

№ 9(1)/2011жовтень

Реєстраційне свідоцтво: серія КВ № 15446-4018 Р від 9.07.2009 р.

Передрук матеріалів без дозволу редакції заборонено

Віддруковано у ФОП В.Є. Гудзинський61072, м. Харків, вул. 23 Серпня, 27.Тел.: (057) 340-52-26. Е-mail: [email protected]Свідоцтво про держреєстрацію: серія ХК № 269 від 23.11.2010 р.

абітурієнт

2 МАТЕМАТИКА


ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН «КУРСУ ПІДГОТОВКИ ДО ДПА І ЗНО-2012»

За програмою ЗНО з математики МОНМС України

Жур-нал Розділ курсу Знання Предметні вміння та способи

навчальної діяльності1 2 3 4

№ 1 Цілі і раціо-нальні числа

▪ Правила дій над цілими і раціо-нальними числами;

▪ порівняння чисел;▪ ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10;▪ правила округлення цілих чисел і десяткових дробів

▪ Розрізняти види чисел;▪ порівнювати числа, значення число-вих виразів;

▪ виконувати обчислення значень числових виразів, що містять ариф-метичні операції над раціональними числами;

▪ виконувати дії над наближенними значеннями

Відсотки. Основні задачі на відсотки

▪ Означення відсотка;▪ правила виконання відсоткових роз-рахунків;

▪ формули простих і складних відсот-ків

▪ Знаходити відношення чисел у ви-гляді відсотка, відсоток від числа; число за значенням його відсотка;

▪ розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки, зокрема використовую-чи формулу складних відсотків

Найпростіші геометрич-ні фігури на площині та їх властивості

▪ Означення відрізка, кута та їх влас-тивості;

▪ міри довжини;▪ величина кута, вимірювання кутів;▪ суміжні і вертикальні кути та їх властивості;

▪ паралельні і перпендикулярні прямі

▪ Знаходити довжини відрізків, гра-дусні міри кутів;

▪ застосовувати означення, властивос-ті та ознаки до розв’язування задач

№ 2 Степінь із на-туральним і цілим показ-никами

▪ Означення та властивості степеня з натуральним та цілим показника-ми

▪ Виконувати дії над степенями з на-туральним і цілим показниками

Одночлени і многочлени та дії над ними

▪ Змінна, вираз зі змінною та його область визначення;

▪ рівність виразів, тотожність;▪ одночлени і многочлени та дії над ними;

▪ формули скороченного множення

▪ Виконувати тотожні перетворення многочленів

Трикутники та їх основні властивості

▪ Означення трикутника та власти-вості трикутників;

▪ означення і ознаки рівності та по-дібності трикутників;

▪ площа трикутника

▪ Застосовувати означення, власти-вості та ознаки трикутників (рівних трикутників і подібних трикутників) до розв’язування задач;

▪ знаходити площі трикутників№ 3 Алгебраїчні

дроби та дії над ними

▪ Алгебраїчні дроби та дії над ними ▪ Виконувати тотожні перетворення алгебраїч них дробів

Квадратний корінь. Дійсні числа

▪ Означення квадратного кореня та арифметичного квадратного ко-реня;

▪ властивості коренів

▪ Розрізняти види чисел;▪ порівнювати дійсні числа, значення числових виразів, зокрема таких, що містять арифметичні квадратні коре-ні (без використання обчислюваль-них засобів);

▪ виконувати основні перетворення виразів, що містять корені


3№ 9(1)/2011


1 2 3 4Коло і круг, їх властивості

▪ Означення і властивості кола, круга;▪ властивості хорд і дотичних;▪ формули довжини кола та його дуги;

▪ формули площі круга та його сектора

▪ Застосовувати означення і власти-вості до розв’язування задач;

▪ обчислювати довжину кола та його дуг, площу круга та його сектора

№ 4 Рівняння, не-рівності та їх системи

▪ Рівняння, корені рівняння;▪ рівносильність рівнянь, рівняння-наслідки;

▪ графік рівняння з двома змінними;▪ нерівності, рівносильні нерівності;▪ системи рівнянь і нерівностей

▪ Доводити нерівності

Функція та її основні власти-вості

▪ Означення функції;▪ способи задання функцій, основні властивості та графік функцій;

▪ функція, обернена до даної

▪ Знаходити область визначення, мно-жину значень функції;

▪ визначити парність (непарність), пері-одичність функції;

▪ установлювати властивості число-вих функцій за їх графіками чи фор-мулами;

▪ застосовувати геометричні перетво-рення при побудові графіків функцій

Вписані та описані три-кутники

▪ Означення вписаних і описаних трикутників та їх властивості

▪ Застосовувати означення, властивос-ті вписаних і описаних трикутників до розв’язування задач

№ 5 Лінійна функ-ція, лінійні рівняння, не-рівності та їх системи

▪ Означення лінійної функції та її основні властивості;

▪ методи розв’язування лінійних рів-нянь, нерівностей та їх систем

▪ Будувати графіки лінійних функцій;▪ розв’язувати лінійні рівняння, нерів-ності та їх системи;

▪ розв’язувати рівняння й нерівності, що містять змінну під знаком модуля

Квадратична функція, ква-дратні рівнян-ня, нерівності та їх системи

▪ Означення квадратичної функції та її основні властивості;

▪ методи розв’язування квадратних рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Будувати графіки квадратичних функцій;

▪ розв’язувати квадратні рівняння, не-рівності та їх системи

Розв’язування прямокутних трикутників

▪ Означення синуса, косинуса, тан-генса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника

▪ Розв’язувати прямокутні трикутники;▪ застосовувати розв’язування прямо-кутних трикутників до розв’язування задач практичного змісту

№ 6 Раціональні рівняння, не-рівності та їх сиситеми

▪ Методи розв’язування раціо-нальних рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Розв’язувати раціональні рівняння і нерівності та системи, що зводяться до них

Числові по-слідовності. Арифметична та геометрична прогресії

▪ Означення арифметичної та геоме-тричної прогресій;

▪ формули п-го члена арифметичної і геометричної прогресій;

▪ формула суми п перших членів прогресій;

▪ формула суми нескінченної геоме-тричної прогресії зі знаменником |q| < 1

▪ Застосовувати формули для розв’язу-вання задач на арифметичну і геоме-тричну прогресії

Розв’язування довільних три-кутників

▪ Означення тригонометричних функцій тупого кута;

▪ теореми косинусів і синусів

▪ Розв’язувати трикутники;▪ застосовувати розв’язування трикут-ників до розв’язування задач прак-тичного змісту




1 2 3 4№ 7 Синус, косинус,

тангенс і котан-генс числового аргументу

▪ Означення синуса, коси-нуса, тангенса, котангенса числового аргументу

▪ Знаходити числові значення тригонометрич-них виразів

Тотожні пере-творення три-гонометричних виразів

▪ Співвідношення між триго-нометричними функціями одного й того самого аргу-менту;

▪ формули зведення;▪ формули додавання і на-слідки з них

▪ Виконувати тотожні перетворення виразів, що містять тригонометричні функції η, та знаходити їх числове значення;

▪ спрощувати тригонометричні вирази;▪ доводити тригонометричні тотожності

Чотирикутники, їх види та основ-ні властивості

▪ Означення чотирикутни-ка, ромба, паралелограма, прямокутника, квадрата, трапеції та їх властивості;

▪ площі чотирикутників

▪ Застосовувати означення, властивості та ознаки чотирикутників до розв’язування задач;

▪ знаходити площі чотирикутників

№ 8 Тригонометрич-ні та обернено тригонометрич-ні функції, їх властивості

▪ Тригонометричні функції та їх основні властивості

▪ Будувати графіки тригонометричних функ-цій

Тригонометрич-ні рівняння і не-рівності

▪ Методи розв’язування три-гонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Розв’язувати тригонометричні рівняння, не-рівності та системи, що зводяться до них

Многокутники та їх властивості

▪ Означення многокутників та їх властивості

▪ Застосовувати означення і властивості мно-гокутників до розв’язування задач

№ 9 Корінь п-го сте-пеня. Степінь із раціональним показником

▪ Означення кореня п-го степеня та арифметичного кореня;

▪ властивості коренів;▪ означення та властивості степеня з раціональним показником

▪ Виконувати обчислення значень числових виразів, що містять арифметичні операції над дійсними числами;

▪ виконувати дії над степенями з раціональ-ним показником;

▪ виконувати дії над наближеними значеннями;▪ виконувати основні перетворення виразів, що містять корені

Степеневі функ-ції та їх власти-вості. Ірраціо-нальні рівняння, нерівності та їх системи

▪ Означення степеневої функції та її основні влас-тивості;

▪ методи розв’язування ірраціо нальних рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Будувати графіки степеневих функцій;▪ виконувати тотожні перетворення виразів, що містять степеневі функції та знаходити їх числове значення;

▪ розв’язувати ірраціональні рівняння і нерів-ності та системи, що зводяться до них

Правильні мно-гокутники та їх властивості

▪ Означення правильних многокутників, їх власти-вості

▪ площі правильних много-кутників

▪ Застосовувати означення, властивості та ознаки правильних многокутників до розв’язування задач;

▪ знаходити площі правильних многокутників

№ 10 Логарифми. Логарифмічна функція. Лога-рифмічні рів-няння, нерівно-сті та їх системи

▪ Означення і властивості логарифма; десятковий і натуральний логарифми;

▪ означення логарифмічної функції та її основні влас-тивості;

▪ методи розв’язування ло-гарифмічних рівнянь, не-рівностей та їх систем

▪ Знаходити логарифми деяких чисел (без ви-користання обчислювальних засобів);

▪ будувати графіки логарифмічних функцій;▪ виконувати тотожні перетворення виразів, що містять логарифмічні функції та знахо-дити їх числове значення;

▪ спрощувати логарифмічні вирази;▪ доводити логарифмічні тотожності;▪ розв’язувати логарифмічні рівняння, нерів-ності та системи, що зводяться до них


5№ 9(1)/2011


1 2 3 4Показнико-ва функція. Показникові рівняння, не-рівності та їх системи

▪ Означення показникової функ-ції та її основні властивості;

▪ методи розв’язування показни-кових рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Будувати графіки показникових функ-цій;

▪ виконувати тотожні перетворення ви-разів, що містять показникові функції, та знаходити їх числове значення;

▪ спрощувати показникові вирази;▪ доводити показникові тотожності;▪ розв’язувати показникові рівняння, не-рівності та системи, що зводяться до них

Прямі і площи-ни в просторі

▪ Аксіоми і теореми стереометрії;▪ взаємне розміщення прямих і площин;

▪ означення відстані: від точки до площини; від прямої до паралельної їй площини; між паралельними площинами; між мимобіжними прямими;

▪ міри кутів між прямими й пло-щинами

▪ Зображати геометричні фігури та їх еле-менти на площини;

▪ використовувати правила паралельного проектування;

▪ застосовувати означення, властивості та ознаки до розв’язування задач;

▪ визначати відстані та кути в просторі

№ 11 Похідна функ-ції, її геоме-тричний та ме-ханічний зміст

▪ Означення похідної функції в точці;

▪ механічний і геометричний зміст похідної;

▪ таблиця похідних елементар-них функцій;

▪ правила обчислення похідної суми, добутку, частки двох функцій;

▪ похідна складеної функції

▪ Знаходити похідні елементарних функ-цій;

▪ знаходити числове значення похідної функції для даного значення аргументу;

▪ знаходити похідну суми, добутку і част-ки функції;

▪ знаходити похідну складеної функції;▪ розв’язувати задачі з використанням геометричного і механічного змісту по-хідної

Похідна та її застосування

▪ Достатня умова зростання і спадання функції, екстремумів функції;

▪ найбільше і найменше значення функції

▪ Знаходити проміжки монотонності функції;

▪ знаходити екстремуми функції за допо-могою похідної, найбільше та найменше значення функції на заданному відрізку;

▪ досліджувати функції за допомогою по-хідної та будувати графіки функцій;

▪ розв’язувати прикладні задачі на зна-ходження найбільших і найменших зна-чень

Многогран-ники. Призми і піраміди. Правильні мно-гогранники

▪ Означення многогранника, при-зми, паралелепіпеда, піраміди, правильних многогранників та їх властивості;

▪ формули площ поверхонь, об’є-мів многогранників

▪ Зображати многогранники та їх елемен-ти на площині;

▪ використовувати правила паралельного проектування;

▪ будувати перерізи многогранників;▪ застосовувати означення, властивості многогранників до розв’язування задач;

▪ визначати відстані та кути у просторо-вих фігурах;

▪ застосовувати означення і властивості відстаней та кутів у процесі розв’язуван-ня задач;

▪ розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь та об’ємів многогранників




1 2 3 4№ 12 Первісна і ви-

значений інте-грал

▪ Означення первісної функції, ви-значеного інтеграла;

▪ таблиця первісних елементарних функцій;

▪ правила знаходження первісних;▪ формула Ньютона—Лейбніца

▪ Знаходити первісну з використанням таблиці первісних та правил знахо-дження первісних;

▪ застосовувати формулу Ньютона—Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла

Застосування визначеного інтеграла

▪ Означення криволінійної трапеції ▪ Обчислювати площу криволінійної трапеції за допомогою інтеграла;

▪ розв’язувати найпростіші прикладні задачі, що зводяться до знаходження інтеграла

Тіла обертання ▪ Означення циліндра, конуса, кулі (сфери) та їх основні властивості;

▪ формули площ поверхонь, об’ємів тіл обертання

▪ Зображати тіла обертання та їх еле-менти на площині;

▪ будувати перерізи тіл обертання;▪ застосовувати означення, властивості тіл обертання до розв’язання задач;

▪ розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь та об’ємів тіл обер-тання

№ 13 Сполуки. Біном Ньютона

▪ Формули для обчислення числа кожного виду сполук без повто-рень;

▪ біном Ньютона

▪ Обчислювати кількість перестановок, розміщень, комбінацій;

▪ застосовувати набуті знання до розв’я-зування комбінаторних задач

Загальні ме-тоди розв’язу-вання рівнянь, нерівностей та їх систем

▪ Методи розв’язування рівнянь, не-рівностей та їх систем

▪ Застосовувати загальні методи та при-йоми (розкладання на множники, за-міна змінної, застосування властивос-тей функцій) у процесі розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем;

▪ користуватися графічним методом розв’язування та дослідження рів-нянь, нерівностей та їх систем;

▪ застосовувати рівняння, нерівності та їх системи до розв’язування текстових задач

Координати на площині і в просторі

▪ Рівняння прямої та кола;▪ формула для обчислення відстані між точками та формула для обчис-лення координат середини відрізка

▪ Застосовувати координати у процесі розв’язування геометричних та най-простіших прикладних задач

№ 14 Початки теорії ймовірностей

▪ Поняття ймовірності випадкової події; найпростіші випадки підра-хунку ймовірностей

▪ Обчислювати у найпростіших випад-ках ймовірності випадкових подій;

▪ застосовувати правила обчислення ймовірностей суми та добутку подій у процесі розв’язування нескладних задач

Початки мате-матичної ста-тистики

▪ Означення статистичних характе-ристик рядів даних (розмах вибір-ки, мода, медіана, середнє значен-ня випадкової величини)

▪ Аналізувати інформацію, яка подана в різних формах (графічній, таблич-ній, текстовій та ін.)

Вектори на площині і в просторі

▪ Рівні вектори;▪ колінеарні вектори;▪ координати вектора. Додавання векторів;

▪ множення вектора на число, кут між векторами;

▪ скалярний добуток векторів

▪ Виконувати дії над векторами;▪ застосовувати вектори для розв’язу-вання задач


7№ 9(1)/2011


ТЕМА 1. ЦІЛІ ТА РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА

Перевірте свої знанняВиконайте тест 1. На розв’язання його завдань відводиться 60 хвилин. Під час роботи над тестом не можна користуватися будь-якими підручниками, посібниками, довідниками, калькулятором тощо.

Тест 1 (вхідний).

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть пра-вильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Різниця 2 65 79 7

− дорівнює

А Б В Г Д40163

−23163

−40263

−267

−40263

2. Сума дробів 3 53 28 12

+ дорівнює

А Б В Г Д255

5512

14524

19524

1624

3. Рівність 4 20 25: :7 21 6

x= справедлива, якщо х дорівнює

А Б В Г Д25

52

56

65

23

4. У будинку 16 трикімнатних квартир, що становить 421

кількості всіх квартир у будинку. Скільки всього квартир у цьому будинку?

А Б В Г Д68 72 84 96 104

5. Укажіть усі числа х, кратні 3, для яких справджується нерівність 420 < х < 429.

А Б В Г Д420, 423, 426, 429 423, 426, 429 420, 423, 426 423, 426 420, 429

6. Яку цифру треба поставити замість * у числі 1090*, щоб одержане число ділилося націло на 2 і на 9?

А Б В Г Д8 6 4 2 0

7. Якої найменшої довжини слід зробити заготовки, щоб їх можна було розрізати на пластинки за-вдовжки 16 см або на пластинки 24 см без втрат матеріалу?

А Б В Г Д40 см 48 см 64 см 72 см 96 см

8. Токар виточив три однакові деталі. Першу деталь він зробив за 1 хв, другу — за 56 с, третю — за 1 хв 1 с. Скільки часу в середньому витрачав токар на виготовлення однієї деталі?

А Б В Г Д56 с 57 с 58 с 59 с 1 хв




У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правиль-ний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдання на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1 1 27 3

− А 2115

−

2 11 0,23

− + Б 122

−

3 1 11 214 3

− ⋅ В 17

4 2 15 :3 3

Г 1921

Д 1121

−

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Обчисліть 7 1 31 : 2,7 2,7 :1,35 0,4 : 2 4,2 120 2 40

⎛ ⎞+ + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. Поїзд пройшов 171,7 км за 3,4 год. Скільки кілометрів він пройде з тією самою швидкістю за 4,3 год?

12. Швидкість пароплава відноситься до швидкості течії ріки як 36:5. Пароплав рухався за течією 5 год 10 хв. Скільки часу буде потрібно йому, щоб повернутися назад? Відповідь запишіть у хви-линах.

Бланк відповідей А

–9

10 ,

11 ,

12 ,

У завданнях 10–12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9

Приклад написання цифр для заповнення бланка відповідей:

А Б В Г Д1234


9№ 9(1)/2011


Основні теоретичні відомостіЦілі та раціональні числа

Натуральні числа

Натуральні числа — це числа, що використовуються для лічби: 1, 2, 3, ..., n,... Множину натураль-них чисел позначають символом N. N ={1, 2, 3, ...}

Цілі числа

Цілими числами називаються натуральні числа, їм протилежні числа і число 0. Множину цілих чи-сел позначають символом Z. Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Звичайні дроби і мішані числа

Звичайним дробом називається вираз a

b, де а ∈ N, b ∈ N. Число а називається чисельником, а число

b — знаменником. Дробова риска означає знак ділення. Знаменник дробу показує, на скільки рівних частин ділиться число (величина), чисельник — скільки таких частин узято.

Наприклад: дріб 38

показує, що якусь величину розділили на 8 рівних частин і взяли

три таких частини. 3 — чисельник, 8 — знаменник 38

= 3 : 8 (див. рисунок).

Дріб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник.

Дріб називається неправильним, якщо його чисельник дорівнює знаменнику або більший за нього.

Наприклад: дроби 13

; 57

— правильні; дроби 44

; 53

— неправильні.

Мішаним числом називається сума натурального числа і правильного дробу, записана без знака «+».

Наприклад, число 113

— мішане, число 1 — ціла частина мішаного числа, а 13

—

дробова частина мішаного числа (див. рисунок).

Раціональні числа

Раціональні числа — числа, які можна подати у вигляді mn

, де m ∈ Z, n ∈ N. Множину раціональних чисел позначають символом Q.

Наприклад: –1; 13

;−2 13

; 0 — раціональні числа.

Будь-яке раціональне число — нескінченний періодичний десятковий дріб.

Десяткові дроби

Звичайні дроби (і мішані числа), знаменниками яких є числа 10, 100, 1000 і т. д., називаються десят-ковими. Десятковий дріб записують так:

N,n1n2n3…nk,

де N — ціле число, n1n2n3… — десяті, соті, тисячні... частини. Наприклад: 0,25; 3,852; 101,01 — десяткові дроби. Нескінченний десятковий періодичний дріб — десятковий дріб, у якому нескінченно повторю-

ється певна група цифр. Мінімальна група цифр, яка повторюється, називається періодом. Період записується в круглих дужках.

Наприклад: 13

= 0,333... = 0,(3); 3,060606 = 3,(06); 289

= 0,3111... = 0,3(1).




Якщо період починається відразу після коми, то дріб називається чисто періодичним. Якщо ж період починається не відразу після коми, то дріб називається змішаним періодичним.

Додавання чисел

a + b = c доданок доданок сума

Додавання натуральних чисел:

+ = + + + + +��разiв

1 1 1 ... 1b

a b a a a+b

+b

Наприклад: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1 = 8.Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових

чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика). Наприклад: +362 +362=300 + 60 + 2 473 473=400 + 70 + 3 835 700 + 130+5=800+30+5=835.

Додавання десяткових дробів виконується порозрядно (кома розташована під комою).Наприклад: +45,327 +62,2 18,043 49,763 63,370 111,963.

Додавання дробів із рівними знаменниками: ab

cb

a cb

+ =+ .


28

58

+ = .

Додавання дробів із різними знаменниками: ab

cd

ad bcbd

+ =+ , якщо НСД (b; d) = 1.


13

1 3 1 22 3

56

+ =⋅ + ⋅

⋅= .

( (k la c ak clb d m

++ = ,

де m = НСК (b; d), k mb

= , l md

= .

Наприклад: (4 (31 5 1 4 3 5 19

6 8 24 24⋅ + ⋅

+ = = .

a bd

ad bd

+ =+ .

Наприклад: 5 12

5 12

5 2 12

112

+ = =⋅ +

= .

Додавання цілих чисел

Додавання від’ємних чисел: –a + (–b) = –a – b = –(a + b), де а і b — додатні числа.Наприклад: –5 – 3 = –8.

Додавання чисел із різними знаками: – + = – ( – );Наприклад: –10 + 2 = –(10 – 2) = –8.

– + = – .Наприклад: –3 + 10 = 10 – 3 = 7.


11№ 9(1)/2011


Властивості додавання:a + b = b + a (переставна);

(a + b) + c = a + (b + c) (сполучна);a + 0 = a;

a + (–a) = 0.

Віднімання чисел

a – b = cзменшуване від’ємник різниця

Відняти від числа а число b означає знайти таке число с, що a = b + c.

Віднімання натуральних чисел

разiв

1 1 1 ... 1b

a b a− = − − − − −�� . aa–b

–b

Наприклад: 10 – 3 = 10 – 1 – 1 – 1 = 7. Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання чисел кожного

стовпчика, починаючи з правого стовпчика):

–672 –672=600+70+2=500+170+2 281 281=200+80+1=200 + 80+1 391 300 + 90+1=391.Віднімання десяткових дробів виконується порозрядно (кома розташована під комою):

–45,327 –62,2 18,043 49,763 27,284 12,437

Віднімання дробів iз рівними знаменниками

ab

cb

a cb

− =− .


48

38

− = .

Віднімання дробів iз різними знаменникамиa c ad bc

b d bd

−− = , якщо НДС (b; d) = 1.

Наприклад: 1 1 3 2 12 3 6 6

−− = = .

( (k la c ak clb d m

−− = , де m=НСК (b; d), k m

b= , l m

d= .

Наприклад: (5 (35 7 25 21 4

9 15 45 45−

− = = .

a bd

ad bd

− =− .

Наприклад: 1 3 1 213 3 3

−− = = ;

1 5 2 1 952 2 2

⋅ −− = = .

Віднімання цілих чиселВідняти від числа а число b означає додати до числа а число, протилежне b:

а – b = а + (–b).Наприклад: 5 – 6 = 5 + (–6) = –1; –3 – (–5) = –3 + 5 = 2.




Властивості віднімання:a – (b + c) = a – b – c;

(a + b) – c = (a – c) + b;a – 0 = a.

Множення чисел

a · b = cмножник множник добуток

Множення натуральних чиселa b a a a a

b⋅ = + + + +...

4>40=: V2� ��

доданків.

Наприклад: 2 · 3 = 2 + 2 + 2 = 6.

Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик».Наприклад: × 459 × 459 275 275 2295 459·5=2 295 → 2295 + 3213 459·70=32 130 → + 3213 918 459·200=91 800 → 918 126225 126225

Множення десяткових дробів виконується як множення натуральних чисел, у добутку справа від-окремлюють комою стільки десяткових знаків, скільки їх мають обидва множники.

Наприклад: × 1,03 0,044

+ 412 412 0,04532

Множення звичайних дробівab

cd

acbd

⋅ = .


13

16

⋅ = ; 23

38

2 33 8

28

14

⋅ =⋅⋅

= = .

a bc

abc

⋅ = .


5 25

2⋅ =⋅

= ; 3 12

32

112

⋅ = = .

Множення від’ємних і додатних чисел

–a · b = a · (–b) = – (ab), де a, b — додатні числа.Наприклад: –3 · 5 = –15; 8 · (–2) = –16.

–a · (–b) = ab, де a, b — додатні числа.Наприклад: –3 · (–5) = 15. Властивості множення:

a · b = b · a (переставна)(a · b) ·c = a · (b · c) (сполучна)


13№ 9(1)/2011


(a + b) · c = a · c + b · c (розподільна властивість множення відносно додавання)(a – b) · c = a · c – b · c (розподільна властивість множення відносно віднімання)

a · 1 = a; a · 0 = 0

aa

⋅ =1 1, якщо a ≠ 0.

Ділення чисел

a : b = cділене дільник частка

Розділити число а на число b означає знайти число с таке, що a = b · c.Натуральне число а розділити на натуральне число b означає підрахувати, скільки разів треба від-

няти число b від числа а, щоб одержати нуль.Наприклад: 6 : 3 = 2, бо 6 – 3 – 3 = 0. Натуральне число а ділиться на натуральне число b націло (a � b), якщо існує натуральне число с

таке, що а = bс.Наприклад: 6 � 2; 15 � 5.Якщо a � b, то b — дільник а; а — кратне b.Властивості подільності:0 � a, a∈N; a � 1, a∈N; a � a, a∈N.Якщо a � b, a∈N, b∈N, то a ≥ b.Якщо a � b, b � c, a∈N, b∈N, c∈N, то a � c.Якщо a � c, b � c, a∈N, b∈N, c∈N, то (a + b) � c.Якщо a � b i b � a, a∈N, b∈N, то a = b.Якщо a � b, k ≠ 0, то ak � bk.Якщо a � c, b � c, a∈N, b∈N, c∈N, m∈N, n∈N, то (am + bn) � c.Якщо a � (bc), a∈N, b∈N, c∈N, то a � b, a � c i (a : b) � c.Якщо a � c i (a + b) � c, a∈N, b∈N, c∈N, то b � c.Ознаки подільності:

Число ділиться на

2, якщо його остання цифра ділиться на 25, якщо його остання цифра ділиться на 54, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 425, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 253, якщо сума його цифр ділиться на 39, якщо сума його цифр ділиться на 910, якщо його остання цифра є 0

Ділення натуральних чисел з остачеюЯкщо а — ділене, b — дільник і а = bс + r, де r < b, то говорять, що при діленні числа а на число b

маємо неповну частку с та остачу r: a : b = c (остача r).

Наприклад: 10 : 4 = 2 (остача 2), 10 = 4 · 2 + 2.Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом».Наприклад: – 11396 28

112 407– 196

1960

113 сотень: 28 = 4 сотні (остача 1 сотня), 19 десятків: 28 = 0 десятків (остача 19 десятків), 196 : 28 = 7.




Ділення десяткового дробу на натуральне число виконується так само, як ділення натуральних чи-сел, тільки, закінчивши ділення цілої частини числа, треба в частці поставити кому.

Наприклад: – 10,5 3 9 3,5–15150

– 3 40 0,75

–3028– 20

200

Щоб поділити на десятковий дріб, треба в діленому і дільнику перенести кому вправо на стільки знаків, скільки їх є в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число:

0,00945 : 0,035 = 9,45 : 35 = 0,27. Наприклад:

– 9,45 350 0,27

– 9470

– 245245

0

Найбільший спільний дільникНайбільшим спільним дільником чисел а і b називається найбільше число, на яке ділиться і число а,

і число b. Позначення — НСД (а; b).Наприклад: НСД (5; 15) = 5, НСД (15; 9) = 3.

Найменше спільне кратнеНайменшим спільним кратним чисел а і b називається найменше число, яке ділиться і на число а,

і на число b. Позначення — НСК (а; b).Наприклад: НСК (5; 15) = 15; НСК (15; 9) = 45. НСК (а; b) · НСД (а; b) = аb.

Взаємно прості числаЧисла а і b називаються взаємно простими, якщо НСД (а; b) = 1.Наприклад: числа 3 і 5 взаємно прості, бо НСД (3; 5) = 1.

Прості і складені числаПрості числа — натуральні числа, які мають рівно два різних дільники (одиницю і саме число). На-

приклад: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... — прості числа.Складені числа — натуральні числа, які мають більше двох дільників. Наприклад: 4; 6; 9; 10; ... —

складені числа. Ділення додатних і від’ємних чисел

a : (–b) = –a : b = –(a : b), де а і b — додатні числа.Наприклад: 6 : (–2) = –3; –12 : 3 = –4.

–a: (–b) = a : b, де а і b — додатні числа.Наприклад: –15 : (–5) = 3.

Ділення дробівab

cd

ab

dc

adbc

: = ⋅ = .


35

13

53

59

: = ⋅ = .


15№ 9(1)/2011


a cd

a dc

adc

: = ⋅ = .


12 32

12 32

6 31

18: = ⋅ =⋅

=⋅

= .

ab

c ab c

abc

: = ⋅ =1 .


154 8 1

15 42 1

15 12

15: =

⋅⋅

=⋅⋅

= .

Властивості ділення:a : 1 = a;

a : a = 1, a ≠ 0;0 : a = 0, a ≠ 0.

На нуль ділити не можна!

Порівняння чисел (натуральних, цілих, дробових)

Із двох натуральних чисел більшим (меншим) є те число, яке при лічбі з’являється пізніше (рані-ше).

Наприклад: 17 < 20; 129 > 120.

Найменшим натуральним числом є число 1. Найбільшого натурального числа не існує.Із двох натуральних чисел із різною кількістю цифр більшим є те, яке позначене більшою кількістю

цифр. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість цифр, то більшим є те число, в якому біль-ше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді однакова, то порівнюються розряди, що на один ступінь нижче і т. д.

Наприклад: 10256 > 989; 10256 < 10356.

Із двох дробів із рівними знаменниками більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший).


917

< , 710

310

> .

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба їх звести до спільного знаменника, а потім порівняти.


12

< , оскільки 13

26

= , 12

36

= , 26

36

< .

Із двох мішаних чисел з однаковими цілими частинами більше те число, дробова частина яко-го більша. З двох мішаних чисел із різними цілими частинами більше те, ціла частина якого більша.


123

> , 5 37

5 17

> .

Щоб порівняти два десяткових дроби, треба спочатку порівняти цілі частини дробів; у разі їх рівно-сті послідовно порівнюють десяті, якщо рівні десяті — порівнюють соті і т. д.

Наприклад: 10,23 > 9,85; 3,759 < 3,81.

Будь-яке від’ємне число менше нуля і будь-якого додатного числа. Нуль менше будь-якого додатного числа.

Наприклад: –5 < 0; –5 < 1; 0 < 10.




Перетворення чисел

Будь-яке натуральне число n у десятковій системі числення можна подати у вигляді:n = ak · 10k + ak–1 · 10k–1 + ... + a2 ·102 + a1 · 101 + a0,

де а0, а1, а2, ..., аk–1 можуть набувати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а число аk — значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний запис цього числа має вигляд:

1 2 2 1 0...k k kn a a a a a a− −= .

Наприклад: 732 = 7·102 + 3·10 + 2; 13 859 = 1·104 + 3·103 + 8·102 + 5·10 + 9.Будь-яке складене число n можна розкласти на прості множники, тобто подати його у вигляді:

1 21 2 ... kmm m

kn P P P= ⋅ ⋅ ⋅ ,де P1, P2, …, Pk — прості числа, а k, m1, m2, …, mk — натуральні числа.

Наприклад: 128 = 27; 24 = 23 · 3; 108 = 22 · 33.Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, треба розділити з остачею чисельник на знамен-

ник: неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником, а знаменник — той самий.

Наприклад: 5 213 3

= ; 17 253 3

= .

Щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба помножити його цілу частину на знаменник дробової частини; до одержаного добутку додати чисельник дробової частини і записати суму чисельником, а знаменник залишити той самий.

Наприклад: 1 2 3 1 723 3 3

⋅ += = ; 1 12 2 1 2512

2 2 2⋅ +

= = .

Будь-яке ціле число а можна подати у вигляді дробу:

a ann

= , n∈N, a∈Z.


202

303

= = = = ...

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то одержимо дріб, який дорівнює даному.


24

36

48

= = = (див. рисунок)

Скорочення дробу — ділення чисельника і знаменника дробу на спільний дільник чисельника і зна-менника дробу, більший за одиницю.


12

= ; 721

13

= .

Щоб десятковий дріб записати у вигляді звичайного дробу (мішаного числа), треба число, що стоїть до коми, записати цілою частиною; число, що стоїть після коми, записати у чисельник, а в знаменнику поставити одиницю і стільки нулів, скільки стоїть цифр після коми.

Наприклад: 5 62 5 62100

5 3150

, = = .

Щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба чисельник дробу поділити на знамен-ник.


0 625= , ; 23

0 666 0 6= =, ... , ( ) .


17№ 9(1)/2011


Чисто періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, чисельник якого є період, а зна-менник — цифра 9, що записана стільки разів, скільки цифр у періоді.

Наприклад: 0 3 39

13

,( ) = = ; 0 81 8199

911

,( ) = = .

Для того щоб перетворити змішаний нескінченний періодичний дріб на звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду. Потім записати цю різницю чисельником, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, а після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр стоїть між комою і першим періодом.

Наприклад: 0 11 7 117 11900

106900

53450

, ( ) =−

= = .

Пропорції

ab

cd

= або a : b = c : d, де a, d — крайні члени, b, c — середні члени.

Пропорція ab

cd

= рівносильна рівностям:аd = bc

ac

bd

= ; db

ca

= ; ba

dc

= .

Похідні пропорції

Якщо ab

cd

= і bd ≠ 0, то:a b

bc d

d+

=+ ; a b

bc d

d−

=− ;

aa b

cc d+

=+

; a

a b

c

c d−=

−;

a b c da b c d

+ +=

− −.

Середнє арифметичне

двох чисел а і b: 2

a b+ ;

n чисел а1, а2, ..., аn: 1 2 ... na a an

+ + + .

Середнє геометричне (середнє пропорційне)

двох чисел а і b: a b⋅ ;

n чисел а1, а2, ..., аn: 1 2 ...nna a a⋅ ⋅ ⋅ .

Середнє квадратичне

двох чисел а і b: 2 2

2a b+

;

n чисел а1, а2, ..., аn: 2 2 21 2

1 ( ... )na a an

+ + + .




Наближені значення даного числа

Якщо дане число заміняємо на інше число, близьке за значенням до даного, то одержуємо наближе-не значення даного числа.

Наприклад: 122 ≈ 120 (читаємо: «122 наближено дорівнює 120») 1,9 ≈ 2 (читаємо: «одна ціла дев’ять десятих наближено дорівнює двом»).

Якщо а < х < b, то а називають наближеним значенням числа х із недостачею, а b — наближеним значенням х із надлишком.

Округлення чисел

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба: 1) замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду; 2) якщо наступна за цим розрядом цифра була 5, 6, 7, 8 або 9, то цифру розряду, до якого виконується

округлення, збільшити на одиницю; якщо наступна за цим розрядом цифра була 0, 1, 2, 3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишити без змін.

Наприклад: числа 125 128, 59 393 округлені до десятків, до сотень відповідно дорівнюють 125 130, 59 390 і 125 100 і 59 400, тобто 125 128 ≈ 126 130, 59 393 ≈ 59 390, 125 128 ≈ 125 100, 59 393 ≈ 59 400.При округленні десяткових дробів користуються одним із таких двох правил.Правило 1Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду дробової частини (до певного десяткового зна-

ка), треба: 1) відкинути всі десяткові знаки, які стоять після цього розряду; 2) якщо перша з відкинутих цифр була 5, 6, 7, 8 або 9, то останню залишену цифру збільшити на

одиницю; 3) якщо перша з відкинутих цифр була 0, 1, 2, 3 або 4, то останню залишену цифру записати без

змін.Приклад. Округлити дріб 3,212 до сотих і дріб 18,091 до десятих.Розв’язання. 3,212 ≈ 3,21; 18,091 ≈ 18,1.

Правило 2Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду цілої частини вищого розряду одиниць, тре-

ба: відкинути всі цифри дробової частини (всі десяткові знаки); цілу частину округлюємо за правилом округлення натуральних чисел.

Приклад. Округлити дроби 12 931,3102 і 118,35 до десятків.Розв’язання. 12 931,3102 ≈ 12 930; 118,35 ≈ 120.


19№ 9(1)/2011


Виконайте контрольний тест

На розв’язання його завдань відводиться 60 хвилин. Під час роботи над тестом не можна користуватися будь-якими підручниками, посібниками, довідниками, калькулятором тощо.

Тест 2 (контрольний).


1. Різниця 7 23 111 11

− дорівнює

А Б В Г Д7211

5211

2 911

5211

−51

11

2. Сума 1 19 27

+ дорівнює

А Б В Г Д4

271

181

24313

124

3. Рівність 0,30,7 14

x= справедлива, якщо х дорівнює

А Б В Г Д1 2 4 6 8

4. Розфасували 182

кг сиру у пачки по 14 кг. Скільки вийшло пачок сиру?

А Б В Г Д30 34 40 44 48

5. Скільки хвилин становить 36 години?

А Б В Г Д10 15 20 25 30

6. Яку із цифр 0; 6; 7; 5; 4 треба поставити замість * у числі 14*2 , щоб одержане число було кратне 3?

А Б В Г Д0 6 7 5 4

7. За виконання виробничого завдання робітник мав отримати 90 грн. Яку частину завдання виконав би робітник, якби отримав 30 грн?

А Б В Г Д34

13

12

15

16

8. На який дріб треба помножити 58

, щоб у результаті отримати 1?

А Б В Г Д38

58

85

12

15





9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1 5,36 + 3,23 А 20,1182 6,7 – 2,1 Б 9,573 57,48 · 0,35 В 8,594 28,71 :3 Г 4,6

Д 8,27


10. Обчисліть ( ) ( )

7,5 3 3 52,5 0,5 6 3 55 5 14 6

2 1,8 : 0,4 21 1,25 : 2,5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

− −.

11. Площа прямокутника дорівнює 710

дм2, а довжина — 25

дм. Знайдіть ширину прямокутника (у дм).

12. Басейн наповнюється через першу трубу за 8 год, через другу — за 6 год. Яку частину басейну зали-шиться наповнити після спільної роботи обох труб упродовж 3 год? Відповідь запишіть десятковим дробом.


–9

10 ,

11 ,

12 ,


1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9


А Б В Г Д1234


21№ 9(1)/2011


КОНТРОЛЬНА РОБОТА У ФОРМАТІ ДПА З ТЕМИ

«ЦІЛІ ТА РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА»

Час виконання — 45 хвилин. Перевірте свої відповіді за розділом «Відповіді до тестових і контрольних робіт» на с. 42.

Завдання 1—8 мають по чотири варіанти відповідей, серед яких лише один правильний. Виберіть пра-вильну, на Вашу думку, відповідь.

1. Яку частину години складають 36 хвилин?

А 13

Б 23

В 35

Г 38

2. Знайдіть відношення величин 30 см і 1,5 м.

А 0,1 Б 0,2 В 0,3 Г 0,5

3. Порівняйте числа –а і b, якщо числа а і b — додатні.

А – а < b Б – а = b В – а > b Г порівняти не можна

4. Виразіть у гривнях і запишіть десятковим дробом 3154 копійок.

А 0,3154 грн Б 3,154 грн В 31,54 грн Г 315,4 грн

5. Власна швидкість катера 40,5 км/год, а швидкість течії — 5,8 км/год. Знайдіть швидкість катера, який пливе проти течії.

А 17,5 км/год Б 34,7 км/год В 46,3 км/год Г 98,5 км/год

6. Купили 3 кг яблук по 2,5 грн за 1 кг і 4 кг груш. За груші заплатили на 1,5 грн менше, ніж за яблука. Скільки коштує 1 кг груш?

А 1,5 грн Б 2,5 грн В 3,5 грн Г 4,5 грн

7. Запишіть цифрами число, що є в реченні «Екваторіальний радіус Землі дорівнює шести мільйонам трьомстам сімдесяти восьми тисячам ста сорока метрам».

А 60378140 Б 63781400 В 63780140 Г 6378140

8. Як зміниться різниця, якщо зменшуване збільшити на 10?

А збільшиться на 10 В не зміниться Б зменшиться на 10 Г визначити не можна

Розв’яжіть завдання 9—11. Одержані відповіді запишіть.

9. Мельхіор — це сплав нікелю й міді, маси яких пропорційні числам 2 і 9.Скільки потрібно взяти кілограмів міді для виготовлення 25,3 кг мельхіору?

Відповідь: _________________




10. Металева кулька об’ємом 2,5 см3 має масу 19,5 г. Яка маса кульки (у г) з такого самого металу, якщо її об’єм становить 6 см3?

Відповідь: _________________

11. Виконайте дії 5 1 53 7 2 2,496 :1,218 12 9

⎛ ⎞− + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Відповідь: _________________

Розв’язання задачі 12 повинно мати обґрунтування. У ньому треба записати послідовні логічні дії та по-яснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхід-ності проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

12. У квартирі три кімнати. Площа першої кімнати дорівнює 20,3 м2, пло ща другої — на 2,9 м2 більша, а площа третьої кімнати на 1,8 м2 менша, ніж площа другої. Знайдіть загальну площу (у м2) трьох кімнат.

Відповідь: _________________


23№ 9(1)/2011


ТЕМА 2. ВІДСОТКИ. ОСНОВНІ ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ

Перевірте свої знання

Виконайте тест 1. На розв’язання його завдань відводиться 60 хвилин. Під час роботи над тестом не мож-на користуватися будь-якими підручниками, посібниками, довідниками, калькулятором тощо.


Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповідей, серед яких лише один правильний. Виберіть пра-вильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Перше число 60, друге становить 80 % першого, а третє — 50 % суми першого і другого. Знайдіть середнє арифметичне цих чисел.

А Б В Г Д48 54 56 58 60

2. Скільки сухої ромашки можна отримати з 50 кг свіжої, якщо вона при сушінні втрачає 84 % своєї маси?

А Б В Г Д8 10 12 14 16

3. Тракторист зорав 12 % поля площею 600 га. Скільки гектарів він зорав?

А Б В Г Д48 га 52 га 64 га 72 га 80 га

4. Відстань між містами становить 210 км. Автомобіль проїхав 84 км. Який відсоток відстані між міс-тами проїхав автомобіль?

А Б В Г Д20 % 30 % 40 % 50 % 60 %

5. Банк виплачує 15 % річних. Через рік вкладник вирішив забрати гроші. Яку суму отримає вкладник, якщо його вклад становив 440 грн?

А Б В Г Д452 468 474 484 506

6. У класі навчаються 40 учнів, із них 55 % — дівчата. На скільки у класі більше дівчат, ніж хлопців?

А Б В Г Дна 1 на 2 на 3 на 4 на 5

7. Знайдіть число, якщо 16 % цього числа дорівнює 32.

А Б В Г Д160 180 200 220 240

8. Книжка має 250 сторінок. Учень прочитав першого дня 32 % усіх її сторінок, другого дня — 36 %, а третього — решту. Скільки сторінок прочитав учень третього дня?

А Б В Г Д50 55 60 75 80





9. Установіть відповідність між числами (1—4) та відповідними відсоткам (А—Д).

1 0,0009 А 90 %2 0,009 Б 9 %3 0,09 В 0,09 %4 0,9 Г 0,9 %

Д 900 %


10. Сплав складається з міді, цинку та алюмінію. Міді в ньому 62 %, цинку — 30 %. Скільки алюмі-нію (у г) міститься у сплаві масою 300 г?

11. Ціну товару спочатку підвищили на 20 %. Нову ціну підвищили ще на 10 % і нарешті, після пере-рахування, її підвищили ще на 5 %. На скільки відсотків підвищили початкову ціну товару?

12. Вкладник Ощадбанку вніс деяку суму на терміновий вклад і через два роки у нього на рахунку було 677,6 грн. Обчислить суму внеску (у грн), якщо по термінових внесках Ощадбанк сплачує 10 % річ-них.


–9

10 ,

11 ,

12 ,


1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9


А Б В Г Д1234


25№ 9(1)/2011


Основні теоретичні відомості

Відсоток

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентом). Слово «відсоток» замінюють знаком %, тобто

1 1100

0 01% , .= =

Наприклад: 1 копійка — один відсоток від гривні, 1 см — один відсоток від метра, тобто

1 коп. = 1 % грн, 1 см = 1 % м.

Щоб перетворити десятковий дріб на відсотки, треба його помножити на 100.

Наприклад: 0,35 = 35 %; 0,3 = 30 %; 1,5 = 150 %.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100.

Наприклад: 30 % = 0,3; 53 % = 0,53; 1,58 % = 0,0158.

Основні задачі на відсотки

Для того щоб знайти р відсотків від даного числа а, треба:1) перевести р відсотків у десятковий дріб;2) помножити число а на одержаний десятковий дріб.

Приклад. Знайти 20 % від числа 120. Розв’язання. 20 % = 0,2, 120 · 0,2 = 24. Відповідь: 24.

Для того щоб знайти все число за відомою частиною b і числом відповідних відсотків p, треба:1) перевести р відсотків у десятковий дріб;2) розділити b на одержаний десятковий дріб.

Приклад. Знайти число, 12 % якого складає 60. Розв’язання. 60 : 0,12 = 6000 : 12 = 500. Відповідь: 500.

Щоб знайти відсоток числа b від числа а, треба дріб b/a помножити на 100 %.

Приклад. Скільки відсотків складає число 0,3 від 20?

Розв’язання. 0 320

100 0 3 10020

0 3 5 1 5, % , % , % , %⋅ =⋅

= ⋅ = .

Відповідь: 1,5 %.

Збільшення на р % Зменшення на р % Формула складних відсотківЯкщо число а збільшити на р %, то одержимо число

1100

pa⎛ ⎞⎟⎜⋅ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

Якщо число 200 збільшити на 30 %, то одержимо число200 (1 + 0,3) = 200 · 1,3 = 260.

Якщо число а зменшити на р %, то одержимо число

1100

pa⎛ ⎞⎟⎜⋅ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

Якщо число 120 зменшити на 30 %, то одержимо число 120 · (1 – 0,3) = 120 · 0,7 = 84.

Якщо А — початковий вклад (капітал), р — річний відсоток, то в кінці п-го року вклад (капітал) становитиме

1100

npA⎛ ⎞⎟⎜⋅ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.




Розглянемо розв’язання деяких задач

Задача 1.На заводі 40 % усіх верстатів переведено на підвищені швидкості, внаслідок чого продуктив-

ність праці зросла на 30 %. На скільки відсотків збільшилося виробництво заводської продукції?

Розв’язанняНехай х — загальний обсяг продукції, що випускав завод раніше.Знайдемо, на скільки збільшився загальний обсяг продукції: х · 0,4 · 0,3 = 0,12х. Знайдемо, на скільки відсотків збільшилося виробництво заводської продукції:

0 12 100 12, % %.xx

⋅ =

Відповідь: на 12%.

Задача 2.На скільки відсотків збільшиться продуктивність праці робітників, якщо час на виконання певної

операції скоротити на 20 %?

Розв’язання

Нехай х — час виконання операції, тоді 1x

— продуктивність праці; 0,8х — час на виконання опе-

рації після його скорочення, тоді 10 8

54, x x

= — нова продуктивність праці, 5

41 1

4x x x− = — величина,

на яку збільшиться продуктивність праці.

Отже, продуктивність праці робітників збільшиться на 100 1 14

1004

25% : % %.x x

xx

⋅ =⋅

⋅=


Задача 3.На скільки відсотків збільшиться реальна зарплатня, якщо ціни на всі продовольчі та промислові

товари зменшити на 20 %?

Розв’язання

Нехай х — початкова ціна товарів, тоді 1x

— реальна заробітна плата. 0,8х — нова ціна

товарів, тоді 1

0 85

4, x x= — реальна заробітна плата. Отже, реальна платня збільшилася на

100 1 54

1 1004

25% : ( ) % %.x x x

xx

⋅ − =⋅

=



27№ 9(1)/2011






1. Із 50 зерен пшениці зійшло 48. Який відсоток схожості насіння?

А Б В Г Д80 % 84 % 92 % 94 % 96 %

2. Яблуко антонівка містить 10,7 % цукру. Скільки цукру міститься в 20 кг цих яблук?

А Б В Г Д2,08 кг 1,92 кг 2,14 кг 1,84 кг 2 кг

3. Ціна товару — 64 грн. Після зниження ціни товар коштує 56 грн. На скільки відсотків була знижена ціна товару?

А Б В Г Д5,2 % 7,25 % 11,75 % 12,5 % 13,5 %

4. Із двох міст, відстань між якими 280 км, виїхали одночасно назустріч один одному легковий і ван-тажний автомобілі. Швидкість легкового автомобіля 80 км/год, а швидкість вантажівки — 75 % швидкості легкового. Через скільки годин автомобілі зустрінуться?

А Б В Г Д1 год 2 год 2,5 год 3 год 4 год

5. Число збільшили на 25 %. На скільки відсотків потрібно зменшити отримане число, щоб знову ви-йшло задане число?

А Б В Г Д5 % 10 % 15 % 20 % 25 %

6. Хлопці у класі становлять 75 % від усієї кількості учнів. Дівчат у класі 8. Скільки всього учнів у класі?

А Б В Г Д24 28 30 32 34

7. Скільки солі слід додати до 7,5 кг 12 % розчину солі, щоб одержати 20 % розчин?

А Б В Г Д0,75 кг 1 кг 1,25 кг 1,75 кг 2 кг

8. Від шматка проводу спочатку відрізали 55 %, а потім 40 % остачі. Скільки відсотків шматка залиши-лося?

А Б В Г Д27 % 31 % 33 % 37 % 42 %





9. Установіть відповідність між рівняннями (1—4) та відповідними значеннями змінної х, коренями (А—Д).

1 13% 65x⋅ = А 402 60% 24x⋅ = Б 483 150% (3 5) 60x⋅ − = В 5004 120% ( 8) 144x⋅ + = Г 112

Д 15


10. Знайдіть значення виразу 2,1 1,2x y− , якщо х і у становлять, відповідно, 25 % і 30 % від числа 6.

11. Периметр трикутника дорівнює 36 см. Довжина однієї сторони становить 25 % периметра і 75 % довжини іншої сторони. Знайдіть більшу сторону трикутника (у см).

12. Три робітники виготовили замовлену партію деталей. Перший і другий робітники виготовили, від-повідно, 30 % і 40 % усіх деталей, а третій — на 8 деталей менше, ніж другий. Скільки всього дета-лей виготовили робітники?


–9

10 ,

11 ,

12 ,


1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9


А Б В Г Д1234


29№ 9(1)/2011



«ВІДСОТКИ. ОСНОВНІ ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ»



1. Скільки гривень становить 5 % від 100 грн?

А 0,5 грн Б 5 грн В 10 грн Г 50 грн

2. Запишіть число 0,13 у відсотках.

А 0,013 % Б 0,13 % В 1,3 % Г 13%

3. Запишіть у вигляді дробу 15 %

А 0,0015 Б 0,015 В 0,15 Г 1,5

4. Знайдіть відсотковий вихід яблучного пюре із яблук, якщо із 100 кг виготовляють 80 кг пюре.

А 40 % Б 50 % В 80 % Г 90 %

5. Бронза — це сплав 90 % міді та 10 % олова. Скільки кілограмів олова треба взяти для виготовлення 100 кг бронзи ?

А 10 кг Б 20 кг В 30 кг Г 40 кг

6. Банк сплачує своїм вкладникам 8 % річних. Скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн прибутку?

А 1150 грн Б 1050 грн В 950 грн Г 750 грн

7. Кількість дівчат у класі становить 60 % від кількості хлопців. Який відсоток усіх учнів становлять хлопці?

А 60 % Б 62,5 % В 75 % Г 85 %

8. Як зміниться ціна товару, якщо спочатку вона знизилася на 10 %, а потім підвищилася на 20 %?

А підвищиться на 8 % В підвищиться на 12 % Б підвищиться на 10 % Г підвищиться на 15 %

Розв’яжіть завдання 9—11. Одержані відповіді запишіть.

9. Як зміниться величина дробу, якщо чисельник збільшити на 100 %, а знаменник зменшити на 50 %?

Відповідь: _________________




10. У домашній бібліотеці Марії було 50 книжок. Через певний час їх стало 150. На скільки відсотків зросла кількість книжок у бібліотеці дівчини?

Відповідь: _________________

11. У саду зібрали 100 кг слив і поклали їх у три корзини. У першу кор зину поклали на 40 % більше, ніж у другу, а в третю — на 15 кг більше, ніж у другу. Скільки кілограмів слив було в кожній корзині?

Відповідь: _________________


12. Фермер засіяв пшеницею три поля, загальна площа яких 1800 га. Площа першого поля становить 50 % площі другого, а площа третього більша площі першого в 3 рази. Визначте площу кожного поля.

Відповідь: _________________


31№ 9(1)/2011


ТЕМА 3. НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Перевірте свої знанняВиконайте тест 1. На розв’язання його завдань відводиться 60 хвилин. Під час роботи над тестом не мож-на користуватися будь-якими підручниками, посібниками, довідниками, калькулятором тощо.



1. М — внутрішня точка відрізка KD, KM = 8 см, KD = 23 см. Знайдіть довжину відрізка MD.


2. Величина кута АОВ дорівнює 140°, ОМ — його внутрішній промінь, ∠BOМ = 80°. Знайдіть градус-ну міру кута АОМ.

А Б В Г Д50° 60° 70° 80° 90°

3. Чому дорівнює кут, якщо два суміжних із ним кути дорівнюють у сумі 100°?

А Б В Г Д60° 90° 100° 120° 130°

4. На рисунку зображено три прямі, які перетинаються в точці О. Знайдіть суму кутів ∠1 + ∠2 + ∠3.

А Б В Г Д60° 90° 120° 180° 210°

5. Різниця двох внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній дорівнює 30°. Знайдіть ці кути.

А Б В Г Д90° і 60° 100° і 70° 105° і 75° 110° і 80° 120° і 90°

6. Кут АВС дорівнює 160°, промені ВК і ВМ проходять між сторонами цього кута і перпендикулярні променям ВС і ВА відповідно. Знайдіть кут МВК.

А Б В Г Д10° 20° 30° 40° 50°

7. На який кут повернеться годинна стрілка за 4 год?

А Б В Г Д60° 75° 90° 120° 150°

8. На рисунку ∠СОD = 40°, ∠BOC = 30°. Знайдіть величину ∠АOВ.

А Б В Г Д140° 150° 110° 170° 180°

а b

12

3 сО

D

C

О

B

A





9. На рисунку зображено суміжні кути 1 та 2. До кожної задачі (1—4) доберіть правильну відповідь (А—Д).

1 Якщо ∠2 = 150°, то ∠1 = ? А 72°2 Якщо ∠2 = 5∠1, то ∠2 = ? Б 30°3 Якщо ∠2 : ∠1 = 8 : 1, то ∠1 = ? В 108°

4 Якщо 32 12

∠ = ∠ , то ∠2 = ? Г 150°

Д 20°


10. На відрізку АВ, який дорівнює 192 см, узято точку С так, що АС : СВ = 15 : 17. На відрізку АС від-клали відрізок CD, який дорівнює 2

3BC . Знайдіть відстань між серединами крайніх відрізків (у см).

11. Із вершини прямого кута виходять два промені, що поділяють його на три кути, один із яких дорів-нює різниці двох інших кутів. Знайдіть величину більшого з цих трьох кутів (у градусах).

12. Скільки точок потрібно взяти між точками А і В, щоб разом із відрізком АВ утворилося шість від-різків?


–9

10 ,

11 ,

12 ,


1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9


А Б В Г Д1234

12


33№ 9(1)/2011


Основні теоретичні відомості

Початкові поняття планіметрії. Геометрична фігура.

Поняття про аксіоми і теореми, поняття про обернену теорему

Початкові поняття

Геометрія — це наука, яка вивчає властивості геометричних фігур. При-кладами геометричних фігур є трикутник, квадрат, коло (рис. 1). Розділ гео-метрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині, називається плані-метрією.

Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині.Точка не має розмірів. Уявлення про точку дає слід кінчика олівця на

папері. Точки позначаються великими латинськими літерами A, B, C, D, ... (рис. 2).

Уявлення про пряму дає натягнута нитка. Пряма нескінченна. Пря-мі позначають або однією латинською літерою: a, b, c, ... , або двома ве-ликими латинськими літерами, які лежать на прямій: AВ, ВС, ... (рис. 3).

Частина прямої, обмежена двома точками, називається відрізком. Точки, які обмежують відрізок, називають його кінцями. На рис. 4 зображено від-різок із кінцями в точках А і B. Такий відрізок позначають АВ або ВA.

O

aB

A

Ol

BA AРис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Променем, або півпрямою, називається частина прямої, обме жена з однієї сторони точкою. На рис. 5 точка О обмежує пряму. Точка О називається початком променя. Промінь позначають або однією латин-ською літерою (промінь l), або двома великими латинськими літерами, перша із яких позначає початок прометя, а друга — довільну точку на промені (промінь ОА, рис. 5). Точка О, яка лежить на прямій, по-діляє її на два промені, напрями яких протилежні. Ці промені називають доповнювальними (рис. 6).

Геометрична фігура

Геометричною фігурою називається будь-яке утворення з точок. Геоме-тричні фігури назива ються рівними, якщо вони збігаються при накладанні. На рис. 7 зображено рівні відрізки AВ і CD. Це записується так: AВ = CD.

O1 B

A

O BAРис. 8 Рис. 9

1 2

Рис. 10

Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута). Кут позначається знаком ∠. На рис. 8 зображено кут із вершиною О і сторонами ОА і ОВ. Цей кут позначається так: ∠АОВ (літера, яка позначає вер-шину, завжди ставиться всередині) або ∠О. Нерідко кут позначається цифрою: ∠1. Кут називається розгорнутим, якщо кожна його сторона є продовженням іншої сторони (рис. 9). Два кути називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Наприклад: на рис. 10 ∠1 = ∠2.

Рис. 1

C

BA

D

Рис. 2

C

B

D

A

Рис. 7

a

B

A

Рис. 3

bсС




Поняття про аксіоми і теоремиГеометрія вивчає властивості фігур, які виражають ся різними твердженнями: означеннями, аксіома-

ми, теоремами.Означення — це твердження, яке пояснює дане поняття через уже відомі поняття.Аксіома — це твердження, яке приймається на віру (без дове дення). Наприклад:1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй

(рис. 11).2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну (рис. 12).3. Пряма розбиває площину на дві півплощини (рис. 13).4. Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими (рис. 14).

C

BD

A

Рис. 11

A B

Рис. 12 Рис. 14Рис. 13

CA B а

Теоремою називається твердження про властивість фігури, істинність якого встановлюється у ре-зультаті міркувань. Ці міркування називаються доведенням. Наведемо приклад.

Теорема. Дві різні прямі можуть перетинатися тільки в одній точці.Доведення

Якби дві різні прямі мали дві точки перетину, то через ці точки проходили б дві різні прямі. А це не-можливо, оскільки через дві різні точки можна провести тільки одну пряму (аксіома 2). Отже, дві різні прямі не можуть мати дві різні точки перетину.

Поняття про обернену теоремуБудь-яка теорема складається із двох частин: перша частина — умова (тобто те, що задано), друга

частина — висновок (тобто те, що треба довести).Приклад. Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (ви-

сновок).Якщо поміняти місцями висновок і умову в теоремі, то одержимо теорему, обернену до даної. Дану

теорему називають прямою.Наприклад, теорема «Якщо дві різні прямі мають спільну точку (умова), то вони перетинаються (ви-

сновок)» є оберненою до теореми «Якщо дві різні прямі перетинаються (умова), то вони мають лише одну спільну точку (висновок)».

Слід зазначити, що з істинності прямої теореми не завжди випливає справедливість (істинність) оберненого твердження.

Довжина відрізка та ї ї властивості. Відстань між точками

Довжина відрізка та її властивостіОсновні властивості вимірювання відрізків виражаються аксіомами.Аксіома вимірювання відрізківКожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка до-

рівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою, тобто якщо С — точка відрізка АВ (рис. 15), то АВ = АС + СВ.

Знаходження довжини відрізка засноване на порівнянні його з деяким відрізком, який приймається за одиницю вимірювання. Вибравши одиницю вимірювання, можна знайти довжину будь-якого відріз-ка. На практиці для вимірювання довжин відрізків частіше за все використовують міліметр, сантиметр, дециметр, метр, кілометр. Ці одиниці вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, 1 км = 1000 м, 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм.

Рис. 15

A BС


35№ 9(1)/2011


Рівні відрізки мають однакову довжину і навпаки: якщо відрізки мають однакову довжину, то вони рівні.

Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить його навпіл (тобто на два рівних відрізки).

На рис. 16 точка С — середина відрізка АВ, оскільки АС = CВ (рівні відрізки на рисунках позначають однаковою кількістю рисок).

Основна властивість відкладання відрізків виражається аксіомою.Аксіома відкладання відрізківНа будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, причому

тільки один.

Відстань між точкамиВідстанню між точками А і В називається довжина відрізка AВ.Відстань між точками має такі властивості.1. Відстань між різними точками є величиною додатною.2. Відстань від точки А до точки B дорівнює відстані від точки В до точки

А, для будь-яких різних точок А і В виконується рівність: AВ = ВА.3. Для будь-яких точок А, В, С відстань між двома точками менше або до-

рівнює сумі двох інших відстаней: АВ ≤ АС + СВ (рис. 17, 18).

Величина кута та ї ї властивості

Основні властивості вимірювання кутів виражаються аксіомами.Аксіома вимірювання кутівКожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут до-

рівнює 180 º. Гра дусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами, тобто якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ, то ∠АОВ = ∠АОС + ∠COB (рис. 19).

За одиницю вимірюваная кутів приймається градус (позначається — 1°) — кут, який дорівнює 1

180

частині розгорнутого кута. Меншими одиницями вимірювання кутів є мінута (позначається знаком ′) і секунда (позначається знаком ′′): 1° = 60′, 1′ = 60′′.

Додатне число, яке показує скільки разів градус і його частини вкладуються в даному куті, нази-вається градусною мірою кута.

Рівні кути мають рівні градусні міри і навпаки: якщо кути мають рівні градусні міри, то кути рівні.Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (рис. 20); гострим, якщо він менше 90° (рис. 21);

тупим, якщо він більше 90°, але менше 180° (рис. 22).

О B

A

Рис. 20A

B

Рис. 21ОО

B

A Рис. 22 Рис. 23О

C

B

A

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута і поділяє його на два рівних кути. На рис. 23 промінь ОС — бісектриса кута АОВ, оскільки ∠AOC = ∠COВ (рівні кути на рисунках позначають однаковими дужками).

Основна властивість відкладання кутів виражається аксіомою.

Рис. 16

A BС

Рис. 19О

C

B

A

Рис. 18

A BС

A

С

B

Рис. 17




Аксіома відкладання кутівВід будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусного мірою, мен-

шою за 180°, причому тільки один.

Суміжні і вертикальні кути та їх властивості. Паралельні прямі і прямі,

що перетинаються. Ознаки паралельності прямих. Перпендикулярні прямі.

Теореми про паралельність і перпендикулярність прямих.

Відстань від точки до прямої

Суміжні і вертикальні кути та їх властивостіОзначення. Суміжними називаються два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовжен-

ням одна одної.На рис. 24 кути АОВ і ВОС — суміжні. Суміжні кути мають таку властивість.Теорема. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.∠АОВ + ∠ВОС = 180° (рис. 24), оскільки ∠АОВ і ∠ВОС — суміжні.Означення. Вертикальними називаються два кути, у яких сторони одного кута є продовженням

сторін другого.На рис. 25 вертикальними кутами будуть ∠АОВ і ∠СОD; ∠АОC і ∠BОD.Вертикальні кути мають таку властивість. Теорема. Вертикальні кути рівні.∠АОВ = ∠СОD, ∠АОC = ∠BОD (рис. 25), оскільки ∠АОВ і ∠СОD; ∠АОC

і ∠BОD — вертикальні.

Паралельні прямі і прямі, що перетинаються

Дві прямі на площині можуть мати спільну точку або не мати спільних точок.Дві прямі, які мають спільну точку, називаються прямими, що перетинаються.Означення. Дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, назива-

ються паралельними (рис. 26).Паралельність прямих позначається знаком ||. Паралельність прямих а і b (рис.

26) записується так: а || b.Аксіома паралельних прямихЧерез точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести в площині єдину

пряму, паралельну даній прямій (рис. 27).Нехай прямі а і b перетинаються третьою прямою с (рис. 28), яка називається

січною. Tоді утворюється вісім кутів, які мають спеціальні назви: кути 3, 4, 5, 6 — внутрішні, кути 1, 2, 7, 8 — зовнішні.

Пари кутів 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8 називаються відповідними, пари кутів 3 і 6, 4 і 5 — внутрішніми різносторонніми, пари кутів 1 і 8, 2 і 7 — зовнішніми різносто-ронніми. Пари кутів 3 і 5, 4 і 6 називаються внутрішніми односторонніми, 1 і 7, 2 і 8 — зовнішніми односторонніми.

Якщо дві паралельні прямі а і b перетнуті прямою с (рис. 29), то:1) внутрішні різносторонні кути рівні, тобто ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠3 + ∠5 = 180°,

∠4 + ∠6 = 180°;3) відповідні кути рівні, тобто ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8;4) зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ∠1 = ∠8, ∠2 = ∠7; 5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠1 + ∠7 = 180°,

∠2 + ∠8 = 180°.

Рис. 24О

B

A С

Рис. 25

О

B

A

D

С

b

а

Рис. 26

а

А

Рис. 27

Рис. 28

с

b

а 1 23

5

4

67 8

Рис. 29

а b

с 12

34

56

78


37№ 9(1)/2011


Ознаки паралельності прямихДві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.Якщо а || b, а || с, то b || с (рис. 30).Якщо дві прямі а і b перетинаються третьою прямою с, то прямі а і b (рис. 29)

паралельні, якщо:1) внутрішні різносторонні кути рівні, тобто ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°;3) відповідні кути рівні, тобто ∠1 = ∠5, або ∠2 = ∠6, або ∠3 = ∠7, або ∠4 = ∠8;4) зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ∠1 = ∠8 або ∠2 = ∠7; 5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ∠1 + ∠7 = 180°, ∠2 + ∠8 = 180°.

Перпендикулярні прямі

Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.На рис. 31 зображено перпендикулярні прямі а і b (позначення а ⊥ b), оскільки ∠АОВ = 90°.Теорема. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, причому тільки

одну (рис. 32).Теорема. Через дану точку поза прямою можна провести перпендикулярну даній пряму, причому

тільки одну (рис. 33).

О

B

A

Рис. 31 Рис. 32A

Рис. 33

b

а b

а

A

а

Теореми пpo паралельність і перпендикулярність прямих

Теорема. Дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою.Оскільки а ⊥ с, b ⊥ с, то а || b (рис. 34).Теорема. Якщо одна із двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої,

то і друга пряма перпендикулярна до третьої.Оскільки а || b, а ⊥ с, то b ⊥ с (рис. 34).

Відстань від точки до прямоїВідстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на

дану пряму.На рис. 35 відстанню від точки А до прямої а є довжина перпендикуляра АО.Відстанню між паралельними прямими називаються відстань від будь-якої точки однієї прямої до

другої прямої.На рис. 36 відстанню між паралельними прямими а і b є довжина відрізка АО (АО ⊥ b).Відстані від усіх точок прямої до паралельної прямої — рівні.

Рис. 35О

Рис. 36

А

а

Aа

b

О

b

а

сРис. 30

Рис. 34

bа

с








1. На відрізку АВ завдовжки 75 см взято точку О. Знайдіть довжину відрізка АО, якщо вона становить 23

довжини відрізка ОВ.


2. Відрізок АВ поділили на 10 рівних частин. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо відстань між сере-динами крайніх частин дорівнює а см.

А Б В Г Д109

a 54

a 89

a 75

a 119

a

3. Кут АОВ дорівнює 100°. Промінь ОС поділяє кут АОВ на два кути АОС і СОВ, при-чому кут АОС утричі більший кута СОВ. Знайдіть градусну міру кута АОС.

А Б В Г Д25° 40° 50° 75° 80°

4. Який кут утворюють стрілки годинника о 20-й годині?

А Б В Г Д60° 90° 150° 180° 240°

5. Бісектриса кута утворює з його стороною кут 36°. Знайдіть кут, суміжний із даним.

А Б В Г Д72° 108° 144° 164° 36°

6. Під яким кутом перетинаються дві прямі, якщо сума градусних мір двох із чотирьох утворених кутів дорівнює 290°.

А Б В Г Д15° 25° 35° 45° 55°

7. На який кут повернеться годинна стрілка за 5 годин?

А Б В Г Д60° 75° 90° 120° 150°

8. На рисунку ∠MOD = 145°, ∠AON = 155°. Знайдіть кут між прямими АВ і CD.

А Б В Г Д30° 45° 60° 75° 90°

О

CB

A

ОC

MDN

B

A


39№ 9(1)/2011



9. На рисунку зображено кути 1, 2, 3, 4. До кожної задачі (1—4) доберіть правильну відповідь (А—Д).

1 Якщо ∠2 + ∠4 = 300°, то ∠2 = ? А 100°2 Якщо ∠1 + ∠3 + ∠4 = 240°, то ∠2 = ? Б 30°3 Якщо ∠2 – ∠3 = 20°, то ∠2 = ? В 120°4 Якщо ∠2 = 5∠3, то ∠2 = ? Г 150°

Д 20°


10. Прямі АВ і СD — паралельні. За даними градусними мірами кутів BAО і DCO зна-йдіть градусну міру кута АОС.

11. Відрізок, довжина якого дорівнює 32 см, поділили на три нерівних відрізки. Відстань між середина-ми крайніх відрізків дорівнює 18 см. Знайдіть довжину середнього відрізка (у см).

12. Дано п’ять точок. Будь-які три з них не лежать на одній прямій. Скільки можна провести прямих, яким належать кожні дві дані точки?


–9

10 ,

11 ,

12 ,


1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9


А Б В Г Д1234

123 4

О

C

30°

50°x

D

BA





«НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ»



1. Якщо кут дорівнює 120°, то суміжний з ним кут дорівнює А 50° Б 60° В 100° Г 120°2. Якщо кут дорівнює 50°, то вертикальний до нього кут дорівнює А 50° Б 60° В 90° Г 130°3. Скільки всього відрізків позначено на рисунку? А один Б два В чотири Г шість 4. Скільки всього гострих кутів позначено на рисунку? А один Б два В три Г шість

5. Бісектриса кута, величина якого дорівнює 60°, утворює з його стороною кут величиною А 60° Б 120° В 30° Г 180°6. Дано чотири точки. Яку найбільшу кількість прямих можна провести так, щоб кожній прямій на-

лежала пара даних точок? А 1 Б 4 В 6 Г 77. На рисунку паралельні прямі а і b перетнуто прямою с; ∠ 1 = 135°. Знайдіть

величину ∠2. А 15° Б 25° В 35° Г 45°

8. На рисунку паралельні прямі а і b перетнуто прямою с; ∠ 1 = 135°. Знайдіть величину ∠3.

А 120° Б 135° В 150° Г 175°

Розв’яжіть завдання 9—11. Одержані відповіді запишіть.9. Довжина відрізка АВ дорівнює 18 см. Точка С лежить між точками А і В. Знайдіть BС, якщо АС : ВС =

= 1 : 5. Відповідь: _________________

10. Градусна міра кута АВC дорівнює 140°. Промінь BD лежить між сторонами кута АВC. Знайдіть ∠ABD, якщо ∠ ABD – ∠ DВС = 20°.

Відповідь: _________________

11. На рисунку точки А, В, О лежать на одній прямій і ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = = ∠6. Знайдіть ∠АОD.

Відповідь: _________________


12. На рисунку ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Доведіть, що OC ⊥ ОF.

Відповідь: _________________

D

C

О

B

A

A B С D

а bс

1 23

а bс

1 23

DC

C1

C2

C3

12

3456

О BA

DFC

123

4О BA


41№ 9(1)/2011


ВІДПОВІДІ ДО ТЕСТОВИХ І КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

Тема 1. ЦІЛІ ТА РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА

Тест 1 (вхідний)

Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь В Г Б В Г А Б Г 2,097 217,15 410

Завдання 9: 1-Д; 2-А; 3-Б; 4-В.

Тест 2 (контрольний)

Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь Б А Г Б Д Г Б В 3,5 1,75 0,125

Завдання 9: 1-В; 2-Г; 3-А; 4-Б.

Контрольна робота

1. В. 2. Б. 3. А. 4. В. 5. Б. 6. А. 7. Г. 8. А. 9. 20,7 кг. 10. 46,8 г. 11. –2,6. 12. 64,9 м2.

Тема 2. ВІДСОТКИ. ОСНОВНІ ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ


Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь Б А Г В Д Г В Д 24 г 38,6 560

Завдання 9: 1-В; 2-Г; 3-Б; 4-А.


Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь Д В Г Б Г Г А А 0,99 15 80

Завдання 9: 1-В; 2-А; 3-Д; 4-Г.


1. Б. 2. Г. 3. В. 4. В. 5. А. 6. Г. 7. Б. 8. А. 9. Збільшиться в 4 рази 10. на 200 %. 11. 35 кг, 25 кг, 40 кг. 12. 300 га; 600 га; 900 га.

Тема 3. НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ


Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь В Б Д Г В Б Г В 130 45 2

Завдання 9: 1-Б; 2-Г; 3-Д; 4-В.


Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Відповідь Г А Г Д Б В Д В 80 4 10

Завдання 9: 1-Г; 2-В; 3-А; 4-Б.


1. Б. 2. А. 3. Г. 4. В. 5. В. 6. В. 7. Г. 8. Б. 9. 15 см. 10. 80°. 11. 90°.




А

А1

В1 С1

D1

D

СВ

1. 2 25; 5 , 0; 5 2; 0,4.1x x x x x

x x= ⋅ = ≠ = =

Відповідь: Г.

2. Загальна кількість зошитів повинна націло ділитися на кіль-кість учнів класу. Оскільки 72 націло не ділиться на 7, то в класі не може бути 7 учнів. Оскільки 72 націло ділиться на 9, то в кла-сі може бути 9 учнів.

Відповідь: Б.

3. ( ) ( )( ) 69 3 9 3 9 30,8 : 8 0,8 :8 : 0,1 0,1 .b b b b b b−= = =

Відповідь: А.

4. Якщо графік лінійної функції паралельний вісі абсцис, то ліній-на функція має вигляд у = а. Враховуючи, що графік лінійної функції проходить через точку А(– 2; 3), то а = 3. Отже, у = 3.

Відповідь: Д.

5. Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює ква-драту гіпотенузи.

Відповідь: В.

6. 3 22 5 2 5 2 5

1log log 25 log 2 log 5 3log 2 2log 5 3 2 1.8

−+ = + = − + = − + = −


7. Прямі CD1 і A1B — паралельні; прямі CD1 і C1D перетинаються; прямі CD1 і CВ1 пе-ретинаються; прямі CD1 і АВ мимобіжні.


Розв’язання тесту з математики ЗНО-2011

Пропонуємо розв’язання тесту з математики у форматі зовнішнього незалежного оцінювання 2011 року.

Увага! Під час «бойового» тестування з математики такі розлогі записи не потрібні, оскільки пе-ревіряються лише відповіді до завдань.

Завдання Розв’язання

1. Розв’яжіть рівняння 2 5x

= .

2. Учитель роздав учням сво-го класу 72 зошити. Кожен учень отримав однакову кіль-кість зошитів. Якому з на-ведених нижче чисел може дорівнювати кількість учнів у цьому класі?

3. Спростіть вираз 9 30,8 : (8 )b b .

4. Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку А(– 2; 3).

5. Доберіть таке закінчення ре-чення, щоб утворилося пра-вильне твердження: «Сума квадратів катетів прямо-кутного трикутника дорів-нює…».

6. Обчисліть 2 51log log 258

+ .

7. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1. Укажіть се-ред поданих нижче пряму, що утворює із CD1 пару ми-мобіжних прямих.


43№ 9(1)/2011


Р

–1

–1

1

1у

х

α

0

A

BC

D1

2

32

5

у

х0

8. Журнал коштував 25 грн. Через два місяці цей журнал став коштувати 21 грн. На скільки відсотків знизилася ціна журналу?

9. На одиничному колі зо-бражено точку P(– 0,8; 0,6) і кут α (див. рисунок). Визна-чте cos α.

10. Знайдіть градусну міру вну-трішнього кута правильного десятикутника.

11. Спростіть вираз a – |a|, якщо a < 0.

12. Об’єм кулі дорівнює 36 см2. Знайдіть її діаметр.

13. Визначте знаменник геоме-тричної прогресії (bn), якщо

9 6124, .9

b b= = −

14. Розв’яжіть нерівність 3 7

1 1x

x x<

+ +.

15. Обчисліть площу чотирикут-ника ABCD (див. рисунок), сторони AB i CD якого пара-лельні вісі Oy.

16. Якому з наведених нижче проміжків належить корінь

рівняння 3 15125

xx+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠?

8. 25 21 4100% 100% 16%.25 25−

⋅ = ⋅ =


9. Оскільки косинус кута α — абсциса точки Р(– 0,8; 0,6) одиничного кола.

Отже, cos α = – 0,8.


10. Градусна міра внутрішнього кута правильного десятикутника

дорівнює ( )180 10 218 8 144 .

10° −

= ° ⋅ = °


11. Якщо a < 0, то |a| = – а і тоді ( ) 2 .a a a a a a a− = − − = + = Відповідь: А.

12. Оскільки об’єм V кулі, радіус якої дорівнює R, обчислюється

за формулою 34 ,3

V R= π то 3436 ,3

Rπ = π тоді R3 = 27; R = 3. Отже,

діаметр кулі 2R = 2 · 3 = 6 (см).


13. Оскільки (bn) — знаменник геометричної прогресії, то b9 = b6q3,

тоді 31249

q= − . Звідси q3 = – 216; q = – 6.


14. 3 7 3 7; 0.1 1 1

x xx x x

−< <

+ + + Застосовуючи метод інтервалів до розв’я-

зування нерівностей, маємо 71;3

x ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


15. Площа паралелограма ABCD дорівнює пло-щі прямокутника, обмеженого прямими y = 0, y = 2, x = 2, x = 5. Тоді S = 3 · 2 = 6.


16. ( )3 3 3 3 315 ; 5 5 ; 5 5 ; 3 3 ; 4 3;125

3 .4

xxx x x x x x x

x

+ + − + −⎛ ⎞= = = + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − Отже, x ∈(– 1; 0].





O

M

A

BN

D

В

А D

С

3 см

5 см

17. На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівно-сторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках М і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN.

18. Функція y = f (x) є спадною на проміжку (– ∞; + ∞). Ука-жіть правильну нерівність.

19. У прямокутник ABCD впи-сано три круги одного й того самого радіуса (див. рису-нок). Визначте довжину сто-рони ВС, якщо загальна пло-ща кругів дорівнює 3 .

20. О шостій годині ранку визна-чено температуру на деся-ти метеостанціях. Отримані дані відображені в таблиці.

Температура (у градусах) 1 3 4 xКількість метеостанцій 2 3 4 1

Визначте число х, якщо се-реднє арифметичне усіх цих даних дорівнює 3,5°.

21. У трикутнику АВС: АВ = 31 см, ВС = 15 см, АС = 26 см. Пря-ма а паралельна стороні АВ, перетинає сторони ВС і АС у точках М і N відповідно. Об-числіть периметр трикутника MNC, якщо MC = 5 см.

22. На рисунку зображено роз-гортку циліндра. Знайдіть його об’єм.

17. Оскільки ΔAOB рівносторонній, то ∠AOB = = 60° і градусна міра дуги MN дорівнює 60°. Оскільки ∠MDN вписаний, то

1 1 60 302 2

MDN MN∠ = ∪ = ⋅ ° = ° .


18. Оскільки функція y = f (x) є спадною на проміжку (– ∞; + ∞), то більшому значенню x відповідає менше значення y і, отже,f (1) < f (– 1), f (1) > f (8), f (1) < f (0), f (– 1) > f (0), f (1) > f (10).


19. Якщо загальна площа кругів дорівнює 3 , то площа S одного круга дорівнює . Тоді радіус R круга дорівнює 1, оскільки

2S R= π . Отже, 3 2 3 2 1 6BC R= ⋅ = ⋅ ⋅ = . Відповідь: В.

20. Cереднє арифметичне всіх цих даних дорівнює

1 2 3 3 4 4 110

x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ , що за умовою задачі дорівнює 3,5°.

Отже, маємо рівняння 2 9 1̀6 3,510

x+ + += .

Тоді 27 3,5;27 35; 810

x x x+= + = = .


21. Оскільки пряма a, паралельна стороні АВ і перетинає сторо-ни ВС і АС у точках М і N відповідно, то ΔABC " ΔNMC і тоді

ABC

NMC

P BCP MC

Δ

Δ

= . Звідси 31 15 26 15 72; 3; 3 72;5 NMC

NMC NMC

PP P Δ

Δ Δ

+ += = =

72 :3 24NMCPΔ = = . Отже, PΔNMC = 24 (см).


22. Оскільки об’єм V циліндра, радіус основи якого дорівнює R, а висота його дорівнює H, обчислюється за формулою 2 ,V R H= π та, враховуючи, що R = 3 см, Н = 5 см, маємо:

23 5 45V = π ⋅ ⋅ = π (см3). Відповідь: Д.


45№ 9(1)/2011


23. Розв’яжіть нерівність ( )0,5log 1 2x − > .

24. Функція ( ) 6sin(2 ) 1F x x= − є первісною функції f (x). Зна-йдіть функцію f (x).

25. Діагональним перерізом пра-вильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 40 см2. Периметр основи призми дорівнює 20 2 см. Визначте висоту призми.

26. Установіть відповідність між функціями (1—4) та ескіза-ми їхніх графіків (А—Д).

1 tgy x= 2 ctgy x= −

3 12

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

4 1yx

=

А у

х0

Б у

х0

В у

х0

Г у

х0

Д у

х0

23. Нерівність ( )0,5log 1 2x − > рівносильна системі 1 0,25;

1 0.x

x− <⎧

⎨ − >⎩ Тоді ( )

1,25;1;1,25 .

1;x

xx<⎧

∈⎨ >⎩ Відповідь: А.

24. Якщо функція ( ) 6sin(2 ) 1F x x= − є первісною функції f (x), то ( )( ) ( ) 6sin(2 ) 1 12cos(2 ).f x F x x x′′= = − =


25. Оскільки периметр основи призми дорівнює 20 2 см, то сторо-

на основи дорівнює 20 2 5 24

= см, а діагональ основи дорів-

нює 5 2 25 2 :sin 45 2

=°

= 10 (см). Тоді висота приз ми дорівнює

40 410

= (см).


26. Графік функції tgy x= зображено на рисунку Г, графік функ-

ції ctgy x= − зображено на рисунку Б, графік функції 12

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

зоб ражено на рисунку Д, графік функції 1yx

= зображено на ри-

сунку А.

Відповідь: А Б В Г Д1 х

2 х

3 х

4 х




27. На рисунку зображено векто-ри , , ,a b c d

� �� у прямокутній

системі координат. Устано-віть відповідність між парою векторів (1—4) і твердження-ми (А—Д), що є правильним для цієї пари.

Вектори 1 ia b

��

2 ia c� �

3 ic d��

4 ib c� �

Твердження А вектори перпендикулярні Б вектори колінеарні, але

не рівні В скалярний добуток векто-

рів більший за 0 Г вектори рівні Д кут між векторами тупий

28. Установіть відповідність між виразами (1—4) та їхніми значеннями, якщо х = 0,5 (А—Д).

1 2 9

3x

x−

+

2 ( ) ( )25 5 2 5x x− + −

3 3

21

1x

x x+

− +

4 2

3 68 4 4x x

x x x−

⋅− +

А – 2,5 Б – 0,25 В 0,25 Г 1,5 Д 2,5

29. Обчисліть значення виразу

3 2 5 24 300

2 1 3− −

+−

.

27. Вектори ia b�� мають скалярний добуток векто-

рів більший за 0 (В), вектори ia c� � утворюють

тупий кут (Д), вектори ic d��

— вектори перпен-дикулярні (А), вектори ib c

� � вектори колінеар-ні, але не рівні (Б).


2 х

3 х

4 х

28. Якщо х = 0,5, то ( )( )2 3 39 3 0,5 3 2,5.

3 3x xx x

x x− +−

= = − = − = −+ +

Якщо х = 0,5, то ( ) ( )2 25 5 2 5 10 25 10 25x x x x x− + − = − + + − =

2 20,5 0,25.x= = =

Якщо х = 0,5, то ( )( )23

2 2

1 11 1 0,5 1 1,5.1 1

x x xx xx x x x

+ − ++= = + = + =

− + − +

Якщо х = 0,5, то ( )( )2 2

3 23 6 18 84 4 2

xx xx x x x

−−⋅ = ⋅ =

− + −

( ) ( )

3 3 0,258 2 8 0,5 2x

= = = −− ⋅ −

.


2 х

3 х

4 х

29. ( )( )( )( )3 2 5 2 13 2 5 24 300 24 300

2 1 3 3 32 1 2 1

6 3 2 5 2 5 8 100 1 2 2 2 2 10 9.2 1

− +− −+ = + − =

− − +

+ − −= + − = − + − = −

−

Відповідь: – 9.

у

х0

a�

b�

c�

d�


47№ 9(1)/2011


30. Матеріальна точка рухаєть-ся за законом 2( ) 2 3s t t t= + , де s вимірюється у метрах, а t — у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість ма-теріальної точки 76 м/c.

31. У відділі працює певна кіль-кість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибра-ли одного зі співробітників. Імовірність того, що це чо-ловік, дорівнює 2

7. Знайдіть

відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.

32. Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за 2 години 6 хви-лин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи само-стійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на 4 години більше, ніж пер-шому робітникові?

33. У чотирикутну піраміду, в ос-нові якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 13 см і основами 18 см і 8 см, уписано конус. Знайдіть пло-щу бічної поверхні конуса Sбічн. (у см2), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. У відповіді запишіть зна-чення .á³÷íS

πSбічн. .

30. Оскільки матеріальна точка рухається за законом 2( ) 2 3s t t t= + , де s вимірюється в метрах, а t у секундах, то миттєва швид-кість v матеріальної точки змінюється за законом ( ) ( )v t s t′= =( )22 3 4 3t t t′= + = + . Отже, маємо рівняння: 4 3 76t + = , звідси

4 73; 73: 4; 18,25t t t= = = (см).

Відповідь: 18,25.

31. Оскільки для анкетування навмання вибрали одного зі співро-бітників і ймовірність того, що це чоловік, дорівнює 2

7, звід-

си можемо вважати, що у відділі 7х співробітників, а серед них: чоловіків — 2х, а жінок — 5х. Тоді відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі, дорівнює 5 2,52

xx

= .

Відповідь: 2,5.

32. Нехай другому робітнику треба витратити х годин на скошуван-ня трави на цій ділянці, тоді першому робітнику треба витратити (х – 4) годин на скошування трави на цій ділянці. Маємо рівнян-

ня 1 1 164 260

x x+ =

−. Розв’яжемо це рівняння:

1 1 1 1 1 10; ;64 4 21260

x x x x+ = + =

− − ( ) ( )21 4 21 10 4 ;x x x x− + = −

221 84 21 10 40 ;x x x x− + = −

2 210 82 84 0; 5 41 42 0;x x x x− + = − + =

х1 = 7, х2 = 1,2. х2 = 1,2 — умову задачі не задовольняє (1,2 – 4 < 0). Отже, другому робітнику треба витратити 7 годин на скошуван-ня трави на цій ділянці.

Відповідь: 7.

33. Нехай в піраміду MABCD уписано конус. ABCD — трапеція, в якій AD || BC, AB = CD = 13 см, AD = = 18 см, BC = 8 см. Проведемо через центр О кола основи конуса висоту KН трапеції, тоді

2 2

2 2 18 8132 2

AD BCKH AB − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

169 25 144 12= − = = (см).

Тоді 12 6

2 2KHKO = = =

(см). Оскільки всі біч-

ні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°, то твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 60° і Sбіч. = Sосн.

2 1: cos60 6 : 722

° = π ⋅ = π (см2). Отже, .á³÷íS

πSбічн. 72 72.π

= =π


A

M

C

DB

A Н

K

O

C

D

B




ГОЛОВНИЙ РЕДАКТОР

Ю. О. Захарі йченко, кандидат фізико- математичних наук, доцент Національного університету «Києво-Могилянська академія»

РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ:

О. М. Роганін, науковий редакторТ. П. Мартиняк, випусковий редакторЛ. М. Гудзинська

РЕДАКЦІЙНА РАДА:

В. Є. Гудзинський, керівник проекту «ТІМО»С. А. Раков, доктор педагогічних наук, професор,

головний редактор журналу «Вісник. ТІМО»О. П. Томащ ук, кандидат педагогічних наук, доцент Національного

авіаційного університетуВ. П. Горох, кандидат фізико- математичних наук, доцент

ЗАСНОВНИК

ТОВ «Факт»

«ТІМО-абітурієнт. Математика»

Виходить двічі на місяць. Передплатний індекс 49003

Адреса для листування:

Видавництво «ФАКТ» 61166, Харків, вул. Бакуліна, 11, оф. 4-28

Тел./факс: (057) 760-47-16, 756-43-75Е-mail: [email protected]

у

х0 1

2

6 9–1

у = f (x)34. На рисунку зображено графік

функції у = f (x), що визначена на проміжку (– ∞; + ∞) і має лише три нулі. Розв’яжіть

систему 2

( ) 0,6 0

f xx x

≥⎧⎨

+ − >⎩. У від-

повідь запишіть суму цілих розв’язків системи.

35. Знайдіть найменше значення а, при якому має розв’язки рівняння

( ) 21 sin 3 cos 6 5 22

x x a a+ = − − .

34. Оскільки f (x) > 0 і функція у = f (x) визначена на проміжку (– ∞; + ∞) і має лише три нулі – 1; 6; 9 то х ∈[–1; 6]∪{9}.

Другу нерівність x2 + х – 6 > 0 розв’яжемо методом інтервалів: ( )( ) ( ) ( )3 2 0; ; 3 2;x x x+ − > ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Тоді розв’язками даної системи 2

( ) 0,6 0

f xx x

≥⎧⎨

+ − >⎩ є (2; 6]∪{9}. Ці-

лими розвязками даної системи є числа: 3; 4; 5; 6; 9, а їх сума дорівнює 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27.


35. Ураховуючи, що ( )1 1 3sin 3 cos sin cos2 2 2

x x x x+ = + =

sin cos cos sin sin

3 3 3x x xπ π π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠, а 1 sin 1

3x π⎛ ⎞− ≤ + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠ і об-

ласть значень функції 26 5 2y a a= − − є проміжок (– ∞; 1,4]. Тоді маємо 21 6 5 2a a− = − − . Розв’яжемо це рівняння: 22 5 7 0;a a+ − =

1 23,5, 1.a a= − = Отже, найменше значення a = – 3,5.

Відповідь: – 3,5.

ЧИТАЙТЕ В...

Documents