У СВІТІ МАТЕМАТИКИprobability.univ.kiev.ua/usm/wp-content/uploads/... · У...

У С В І Т І М А Т Е М А Т И К И

ІSSN 2524-2407 (online) ISSN 1029-4171(print)

1 (23) 2017

Видається з 1995 року

Журнал «У світі математики» – єдине українське науково-популярне видання

з математики, яке містить науково-популярні, наукові та методичні математичні

статті. Покликаний відкривати математичні здібності, усебічно розвивати осо-

бистість читача, задовольняти спрагу до математичних знань, привертати ува-

гу до математики як до професії. Адресований у першу чергу школярам, але

буде цікавим також студентам, учителям і викладачам математики, аспіран-

там та всім, хто не байдужий до математики.

Головний редактор Г. М. Шевченко (Україна)

Заступники

головного редактора

Ю. С. Мішура, В. М. Радченко (Україна)

Секретар Є. А. Кочубінська (Україна)

Редакційна колегія О. В. Антонюк, Д. С. Басов, О. О. Безущак, І. М. Боднарчук,

М. Ф. Городній, Я. В. Гончаренко, О. Г. Кукуш, О. О. Курченко,

О. Н. Нестеренко, О. Б. Панасенко, М. О. Перестюк,

А. П. Петравчук, В. В. Плахотник, М. В. Працьовитий,

Л. М. Тимошкевич, Г. М. Торбін, І. О. Шевчук, О. В. Школьний,

І. В. Федак, Д. І. Хілько (Україна);

П. І. Самовол, О. Б. Толесніков (Ізраїль);

Л. Ю. Боднарчук (Німеччина)

Адреса редколегії Механіко-математичний факультет,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

вул. Володимирська, 64/13, м. Київ,

Україна, 01601;

тел. і факс: (38 044) 259 03 92,

e-mail: [email protected]

Засновник Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Зареєстровано Міністерством юстиції України.

Свідоцтво про державну реєстрацію

КВ № 22695-12595ПР від 24.03.17

Видавець Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет»

Свідоцтво внесено до Державного реєстру

ДК № 1103 від 31.10.02

Адреса видавця ВПЦ «Київський університет» (кімн. 43),

б-р Т. Шевченка, 14, м. Київ, Україна, 01601

тел. (38 044) 239 32 22; факс 239 31 28

© Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

ВПЦ «Київський університет», 2017

У СВIТI МАТЕМАТИКИ, 1(23) 2017

ЗМIСТ

Вiд редакцiї. Г. М.Шевченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Простенькi частинки надскладної проблеми. I. М. Коваленко . . . . . . 6

Цiлi напiвгрупи та основна теорема арифметики

для членiв арифметичної прогресiї. М. П. Мороз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Сiрниковi графи. К.М. Пахомова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Деякi застосування ланцюгових дробiв. К. Г. Чудовська . . . . . . . . . . . . 20

ОБРIЇ ГЕОМЕТРIЇ

Пряма через два ортоцентри. Д. I. Хiлько . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

СТУДЕНТСЬКА СТОРIНКА

Теорiя ймовiрностей та iгри:

задача про банкрутство. А.Ю.Юрченко–Титаренко . . . . . . . . . . . . . . . .35

До питання про автентичнiсть

«Слова о полку Iгоревiм». Р. Є. Майборода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ПРОФЕСIЯ: МАТЕМАТИК

Фiнансова iнтуїцiя чи сучасна математика. В. П. Зубченко . . . . . . . . . .51

МАТЕМАТИЧНI ОЛIМПIАДИ

Весняний тур 38 Турнiру мiст. Г. М.Шевченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

XXIVМiжнародна олiмпiада з математики

для студентiв унiверситетiв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ЛIНГВIСТИЧНI ЕТЮДИ

Основи основ. Д. П. Мисак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

ВИДАТНI ПОСТАТI

Єрмаков Василь Петрович. Б. Я. Букреєв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

НАШ КОНКУРС

Задачi 1–4. О. Б. Толеснiков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

МАТЕМАТИКА НА ШАХIВНИЦI

Фiгури треба виводити в бiй! I. Л. Петрова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

2

ВIД РЕДАКЦIЇШевченко Георгiй Михайлович,

Київський нацiональний унiверситет iменi ТарасаШевченка

ШАНОВНI читачi! Перед вами

новий випуск науково-по-

пулярного журналу «У свiтi

математики».Цьогорокувиданнязазна-

ло значних змiн. Засновником журналу

вiднинi є Київський нацiональний унi-

верситет iменi ТарасаШевченка. З одно-

гобоку,цеможнаназвативiдновленням

iсторичної справедливостi, бо з часiв

заснуванняосновнароботазпiдготовки

журналу робилася ентузiастами, що

працюють на механiко-математичному

факультетi Київського нацiонального

унiверситету. З iншого боку, через цi

змiни редакцiя журналу стикнулася з

багатьматруднощами,невсi зякихпоки

щовдалося подолати. Великоювтратою

також стала передчасна смерть голов-

ного редактора журналу, професора

Вiталiя Iвановича Сущанського, пам’ятi

якого був присвячений останнiй випуск

«старої» версiї видання.

Крiм того, у журналi змiнився голов-

ний редактор, а разом iз ним – редакцiй-

на колегiя. Проте її склад не є остато-

чним, i ми закликаємо до спiвпрацi всiх

небайдужих до розвитку та популяриза-

цiї математики. Якщо ви маєте бажання

та можливiсть допомогти журналу, пи-

шiть нам.

До 2016 року журнал видавався чоти-

ри рази на рiк. У 2017 роцi ми планува-

ли випустити два номери, але зрештою

змогли пiдготувати лише один через де-

фiцит матерiалiв. Але ми впевненi, що в

Українi iснує багато ентузiастiв матема-

тики, авторiв, охочих подiлитися своїми

iдеями та знахiдками. Тож ми закликає-

мо всiх небайдужих до спiвпрацi. Надси-

лайте свої рукописи, iдеї щодо наповне-

ння журналу, iншi пропозицiї, ми охоче

розглянемо їх усi.

У новiй версiї журналу ми зберегли

рубрики, до яких уже звикли читачi, та

додали декiлька нових.

У рубрицi «Новини математики»

планується розмiщувати iнформацiю

про вибранi математичнi вiдкриття та

iншi визначнi подiї в математичному

свiтi. Останнiми роками в математицi

вiдбувається багато цiкавого, тож не

доведеться сумувати. Доведено багато

гiпотез,щобентежилилюдство десятки

рокiв: гiпотезу Пуанкаре, abc-гiпотезу

та iншi менш вiдомi гiпотези на кшталт

гауссiвської кореляцiйної нерiвностi.

Приємно, що доведення деяких гiпотез

пов’язанi з вихованцями української

математичної школи; ми плануємо

розповiсти про них у найближчих

випусках.

Новi результати в елементарнiй ма-

тематицi можна буде знайти у рубрицi

«Математичнi обрiї».

Назву рубрики «Видатнi постатi» не

слiд пояснювати, вона мiститиме статтi

вiдомих математикiв, якi запровадили

новi теорiї, змiнили математичний свiт.

У рубрицi «Мiй учитель» про видат-

них педагогiв розповiдатимуть їхнi учнi.

Рубрика «Математичний гурток»

мiститиме статтi, присвяченi методам

розв’язування математичних задач, якi

3

4 У свiтi математики, 1(23) 2017

зможуть стати темами математичних

гурткiв.

У рубрицi «Обрiї геометрiї» будуть

розмiщуватися статтi iз, мабуть, най-

давнiшої тематики математичних дослi-

джень – елементарної геометрiї.

Матерiали, призначенi для студентiв-

математикiв молодших курсiв, розмi-

щуватимуться у роздiлi «Студентська

сторiнка»; деякi з цих матерiалiв будуть

доступними також школярам старших

класiв.

Рубрика «Для маленьких математи-

кiв», навпаки, буде цiкавою читачам

наймолодшого вiку. Простi математичнi

iдеї обговорюватимуться у нiй жваво та

яскраво.

Загальноприйнятим є погляд про те,

що вчених природничих наук та гуманi-

тарiїв роз’єднує прiрва; так нерiдко вва-

жають i самi вченi. Проте є одна галузь,

яка часто за логiкою мiркувань не по-

ступається математицi, проте належить

скорiше до гуманiтарної сфери – лiнгвi-

стика. Статтi про неї та її зв’язок iз мате-

матикою розмiщуватимуться в рубрицi

«Лiнгвiстичнi етюди».

Ми продовжуємо рубрику «Мiй кон-

курс», у якiй пропонуємо розв’язати чи-

тачам новi авторськi задачi. Ця рубрика

– щось на кшталт гладiаторської арени:

читачi змагатимуться за звання чемпiо-

на.Хочамипокищонепридумали,якою

буде нагорода за перемогу, саме звання

найкращогорозв’язувача задач єдоволi

почесним, тож ми закликаємо читачiв

надсилати розв’язки на адресу редакцiї.

Нова рубрика «Професiя: математик»

мiститиме статтi про роль математики

в сучасному свiтi. У нiй буде наведено

розповiдi випускникiв математичних

факультетiв про те, яку роль матема-

тична освiта зiграла в їхнiй кар’єрi,

дослiдження про вплив вивчення

математики на загальний розвиток

людини, описипрофесiй, якi вимагають

досконалого знання математики, тощо.

Ми продовжимо регулярно публiку-

вати статтi про шахи та їхнiй зв’язок iз

математикою у рубрицi «Математика на

шахiвницi». Цiлком вiрогiдно, що ми пи-

сатимемойпро iншi iнтелектуальнi iгри:

бридж (головний редактор журналу є

гравцем у бридж), го, рендзю та iншi.

У рубрицi «Математичнi розваги»

серйознi математичнi проблеми обго-

ворюватимуться з посмiшкою. Вона

мiститиме анекдоти, головоломки,

вiршi та iншiречi, якi свiдчатьпроте,що

математики теж вмiють розважатися.

Цей перелiк рубрик, скорiш за все, не

є повним. Ми радо прислухаємося до

будь-яких пропозицiй читачiв, пишiть!

Журнал також змiнив зовнiшнiй

вигляд, у нього з’явилася веб-сторiнка

http:\\probability.univ.kiev.ua\usm\.

На сайтi доступна електронна версiя,

яка найближчим часом буде вiдкритою

для всiх, тож користуйтеся цiєю наго-

дою, щоб читатижурнал.

Отже, у журналi вiдбулися численнi

змiни, але ми будемо продовжувати змi-

нювати та розвивати журнал – сподiває-

мося, з вашою допомогою.

Декiлька слiв про змiст номера.

Стаття академiка НАН України Iгоря

Коваленка розповiдає, як простi мiрку-

вання можуть бути використанi для до-

ведення часткового випадку Великої те-

оремиФерма.

У статтi Миколи Мороза йдеться про

єдинiсть розкладiв чисел на простi мно-

жники. Автора цiкавить, крiм iншого,

питання, коли числа з арифметичної

прогресiї можна однозначно подати у

виглядi добутку чисел iз цiєї ж прогресiї.

Яскраву та сповнену красивими ри-

сунками статтю Ксенiї Пахомової при-

свячено сiрниковим графам – чарiвним

математичним об’єктам. Cтаття невели-

ка, але задоволення вiд споглядання ви-

тончених конструкцiй гарантовано.

До класичної теми ланцюгових дро-

бiв звернулася Катерина Чудовська. У

Г. М.Шевченко. Вiд редакцiї 5

статтi наведено декiлька цiкавих засто-

сувань, запрошуємо читачiв ознайоми-

тися з ними.

Стаття Данила Хiлька, редактора ру-

брики «Обрiї геометрiї», розповiдає про

численнi знахiдки, якi походять з однiєї

геометричної конструкцiї.

У рубрицi «Студентська сторiнка» –

яскравий виклад Антоном Юрченком–

Титаренком класичної задачi теорiї

ймовiрностей про розорення гравця в

декорацiях «Алiси в Країнi Чудес» Льюї-

са Керрола. Запрошуємо на божевiльне

чаювання!

Хоча в статтi Ростислава Майбороди

використовується набагато серйознiша

та складнiша математика, питання, що

розглядається в нiй, дуже цiкаве. Чим

є «Слово о полку Iгоревiм» – справжнiм

документом епохи чи якiсною пiдроб-

кою пiзнiших часiв? Вiдповiдь дає стати-

стика, шукайте її всерединi статтi.

Нову рубрику «Професiя: математик»

вiдкриває мотивацiйна стаття Володи-

мира Зубченка. Простою мовою без

формул або глибоких математичних

мiркувань автор дискутує про те, як пра-

вильно керувати власнимифiнансами.

Рубрика «Математичнi олiмпiади»

розповiдає про двi подiї цього року:

весняний тур олiмпiади Турнiру мiст

i Мiжнародну олiмпiаду з математики

для студентiв.

У «Лiнгвiстичних етюдах» редактор

рубрики Данило Мисак коротко, але

мiстко та вельми цiкаво розповiдає про

вiдмiнностi чисел i систем числення у

рiзних мовах.

16 березня цього року Київське

математичне товариство вшанувало

пам’ять Василя Петровича Єрмакова,

доктора чистої математики, профе-

сора Київського унiверситету, члена-

кореспондента Петербурзької академiї

наук, одного iз засновникiв фiзико-

математичного товариства, вiд дня

смертi якого минуло 95 рокiв. Ми також

вшануємо його пам’ять, розмiстивши

в рубрицi «Видатнi постатi» статтю

його учня, Бориса Яковича Букреєва,

який сам був видатним математи-

ком i неординарною особистiстю; ми

обов’язково напишемо про нього в

одному з наступних випускiв.

Номер завершує шахова сторiнка.

Мiжнародний майстер iз шахiв Iрина

Петрова у статтi «Фiгуритребавиводити

в бiй» пише про перевагу активної,

агресивної тактики; її шаховi поради

можна та варто застосовувати також в

iншихжиттєвих сферах.

Приємного читання!

ПРОСТЕНЬКI ЧАСТИНКИ

НАДСКЛАДНОЇ ПРОБЛЕМИКоваленко Iгор Миколайович,

академiк НАНУкраїни

ТВЕРДЖЕННЯ, вiдоме пiд назвою

Великої теореми Ферма, сфор-

мульовано П’єром Ферма, разом

iз доведенням, приблизно в 1630 роцi.

Це доведення загублено, i вiдтодi нiхто

не знає, у чому воно полягало та

чи правильне воно. Сама ж теорема

формулюється дуже просто:

Теорема 1. РiвнянняФерма

xn+ y n

= z n (1)

не справджується при жодних нату-

ральних числах x , y , z та n > 2.

Доведення теореми Ферма було

предметом дослiджень визначних

учених (Ейлера, Лежандра, Ламе та

багатьох iнших). Так, Леонард Ейлер

установив, що вона справджується при

n = 3, ще у 1770 роцi. Зусиллями вчених

множина тих n, для котрих рiвняння

Ферма (1) не може виконуватися,

протягом трьох сторiч усе бiльше

розширювалась; огляд див. [1]. Повне

доведення Великої теореми Ферма

здiйснив британський учений Ендрю

Вайлс (Оксфордський унiверситет) за

участi Лоуренса Тейлора. Доведення

опублiковано у журналi «Annals of

Mathematics» [2], його перевiряли два

роки, при цьому жодної помилки не

було виявлено.

Це все свiдчить про те, що Велика те-

орема Ферма є глибоким фактом теорiї

чисел, а його доведення – надзвичайно

складнимнавiть для всесвiтньо вiдомих

спецiалiстiв. Отже, будь-якi спроби вiд-

творити це доведення або знайти про-

сте доведення будуть марними.

Проте для дослiдникiв у галузi мате-

матики звичною є ситуацiя, коли дуже

складна проблема перетворюється на

звичайну вправу за якоїсь додаткової

умови. Так, дослiджуючи громiздкi

рiвняння теорiї стохастичних систем,

отримують простi формули, викори-

стовуючи метод малого параметра –

основний в асимптотичних методах.

Як приклад такої додаткової умови

зупинiмось на доведеннi неможливостi

виконання рiвняння Ферма у випадках

n = 4 таn = 6, якщоприйнятидодаткове

припущення: якесь iз чисел x та y є

простим.

Теорема 2. Рiвняння (1) не справджує-

ться у випадку, коли хоча б одне з чисел

x , y є простим i n ∈ {4, 6}.

Доведення. Нехай y = p – просте. При

n = 4маємо рiвнiсть

(z − x) (z + x)(

z2 + x2)

= p4, (2)

а при n = 6 – таку:

(z − x)(

z2 + zx + x2) (

z3 + x3)

= p6. (3)

Далi використовується така власти-

вiсть простих чисел. Якщо A1A2 · · · Ar =

= pn , де A1,A2, . . . ,Ar – натуральнi числа

6

I. М. Коваленко. Простенькi частинки надскладної проблеми 7

i p – просте число, то A1,A2, . . . ,Ar є цiли-

ми степенями p . Ця властивiсть i слугує

ключем для зведення доведення до зви-

чайної вправи (звiсно, у цих конкретних

прикладах).

Отже, при n = 4 з (2) маємо рiвностi

z − x = pa, z + x = pb

, z2 + x2= pc

,

a + b + c = 4;

при n = 6 з (3) одержуємо

z − x = pk, z2 + zx + x2

= pl,

z3 + x3= pm

,k + l +m = 6.

Очевидно, z > x ≥ 1, тому pa< pb

< pc i

отже, a < b < c . Звiдси такожмаємо

z3 + x3 ≥ 2z2 + x2> z2 + zx + x2

,

тому pk< pl

< pm та k < l < m.

При n = 4 iснує єдиний можливий

набiр чисел a ,b , c , що задовольняє по-

двiйну нерiвнiсть a < b < c та рiвнiсть

a + b + c = 4, а саме:

a = 0,b = 1, c = 3;

z − x = 1, z + x = p , z2 + x2= p3

.

Отже,

z =p + 1

2, x =

p − 1

2, z2 + x2

=

p2+ 1

2.

Прирiвнявши останнiй вираз до p3, дi-

станемо 2p3= p2

+ 1, тож p2 (2p − 1) = 1,

що неможливо, адже p ≥ 2.

Тепер, при n = 6маємо три варiанти:

k = 0, l = 1, m = 5; z − x = 1,

z2 + zx + x2= p , z3 + x3

= p5;

(I)

k = 0, l = 2, m = 4; z − x = 1,

z2 + zx + x2= p2

, z3 + x3= p4

;(II)

k = 1, l = 2, m = 3; z − x = p ,

z2 + zx + x2= p2

, z3 + x3= p3

.(III)

Варiант III неможливий: iз перших

двох його рiвнянь отримуємо 3zx = 0.

В обох iнших варiантах, враховуючи, що

z = x + 1, можна записати

x3+ z3 = (x + z )(x2 − xz + z2) <

< (2x + 1)(x2+ xz + z2).

Для варiанта I маємо

2x + 1 >x3+ z3

x2+ xz + z2

= p4.

Аналогiчно, для варiанта II 2x + 1 > p2.

Тому для обох варiантiв 2x ≥ p2, а отже

x ≥ p2/2. Таким чином,

z2 + zx + x2 ≥ 3x2 ≥3

4p4> p2

.

Але цей вираз має дорiвнювати або p ,

або p2, тобто варiанти I та II також

неможливi. �

На думку автора, таким самим ме-

тодом можна отримати аналогiчний

результат при n = 4 або 6, якщо y = p2,

де p – просте число. Усiм любителям

математики, хто цим зацiкавиться,

пропоную перевiрити.

ЛIТЕРАТУРА

[1] Толстиков А. Ф. Ферма теорема. Ма-

тематическая энциклопедия. В 5 т.

Т. 5 / A. Ф. Толстиков –М. : Советская

энциклопедия, 1985. – С. 606–608.

[2] Wiles A. Modular Elliptic Curves and

Fermat’s Last Theorem / A. Wiles //

Annals ofMathematics Second Series. –

Vol. 141,№ 3. – P. 443–551.

ЦIЛI НАПIВГРУПИ ТА ОСНОВНА

ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЧЛЕНIВ

АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСIЇ

Мороз Микола Петрович,Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М. П. Драгоманова

УЯВIМО, що частина ряду нату-

ральних чисел зникла. Через

це у своїх арифметичних дослi-

дженнях ми зможемо послуговуватися

лише тими числами, що лишилися.

Чи змiняться звичнi нам властивостi

цих чисел? Якщо так, то якi саме?

Вiдповiдi на цi запитання великою

мiрою залежать вiд того, якi числа

лишилися вiд натурального ряду.

У цiй статтi ми з’ясуємо, чи лишить-

ся справедливою основна теорема

арифметики, якщо вiд натурального

ряду залишити тiльки тi числа, якi

складають арифметичну прогресiю.

Аби здiйснити наш задум, будемо

розглядати множину цих чисел як

алгебраїчну структуру. Для цього ми

ознайомимося з основними поняттями,

що стосуються алгебраїчних структур, а

саме з поняттями бiнарної алгебраїчної

операцiї, групи, напiвгрупи, простого та

незвiдного елементiв напiвгрупи.

Наприкiнцi статтi юний дослiдник

зможе знайти для себе декiлька вiд-

критих питань, якi є продовженням

розглянутих у цiй статтi задач i яким

може бути присвячена його перша

науково-дослiдницька робота.

БIНАРНА АЛГЕБРАЇЧНА ДIЯ.

ГРУПА

При виконаннi обчислень ми постiй-

но використовуємо переставнi закони

додавання та множення, правила роз-

криття дужок при множеннi числа на

суму кiлькох чисел тощо. Проте чи за-

мислювалися ви над тим, що не всi опе-

рацiї мають такi базовi для додавання

та множення властивостi? Наприклад,

для операцiї вiднiмання на множинi цi-

лих чисел не виконується переставний

закон:

a − b , b − a , a ,b ∈ Z, a , b .

Операцiї над елементами множини

можуть бути як замкненими (результат

операцiї завжди належить до вихiдної

множини), так i незамкненими; вони

можуть бути однозначними, багатозна-

чними (операцiя знаходження спiльно-

го дiльника двох натуральних чисел),

або й узагалi можуть не мати результату

дляокремихнаборiв елементiв (дiлення

на множинi цiлих чисел).

Якбачимо,пари«множина–операцiя»

в кожному з наведених вище випадкiв

мали свої особливостi. У чомусь вони

8

М. П. Мороз. Цiлi напiвгрупита основнатеорема арифметики 9

були схожими, а в чомусь вiдмiнними.

У сучаснiй математицi таких пар зу-

стрiчається дуже багато: «додають» та

«множать» мiж собою не тiльки числа,

а й вектори, полiноми, функцiї, остачi,

матрицi, рухи фiгур на площинi та в

просторi тощо. Велике рiзноманiття пар

«множина–операцiя» спонукало знайти

загальнийпiдхiд до їх вивчення, якийне

потребував би постiйного опирання на

природу елементiв множини.

Означення 1. Будемо говорити, що на

непорожнiй множинi G задано бiнарну

алгебраїчну операцiю ∗, якщо вказано

правило, за яким кожним двом елемен-

там a i b iз множини G , узятим у пев-

ному порядку, ставиться у вiдповiднiсть

єдиний елемент c iз цiєї ж множини G .

Символiчно це записують так:

a ∗ b = c .

З означення маємо, що операцiя ∗ є

бiнарною алгебраїчною, коли вона:

1) бiнарна, тобто застосовна до пар

елементiв заданої множини;

2) завжди виконувана, тобто для ко-

жної пари елементiв a i b iз мно-

жиниG iснує елемент c – результат

виконання операцiї a ∗ b ;

3) однозначна, тобто елемент c зав-

жди єдиний;

4) замкнена, тобто елемент c = a ∗ b

також належить множинiG .

Для дослiдження множини з уведеною

на нiй бiнарною операцiєю важливо,

щоб операцiя ∗ була ще й алгебраїчною.

Iнакше, якщо для деяких пар результат

операцiї неоднозначний, не належить

заданiй множинi або й узагалi не iснує,

то доведеться це постiйно враховувати,

що викликатиме певнi незручностi.

Однiєю з найважливiших алгебраї-

чних структур є група.

Означення 2. Групою називається впо-

рядкованапара 〈G , ∗〉, деG – непорожня

множина, а для операцiї ∗ виконуються

такi умови:

Г1) ∗ є бiнарною алгебраїчною операцi-

єю на множинiG ;

Г2) операцiя ∗ є асоцiативною на G ,

тобто для довiльних елементiв

a ,b , c ∈ G виконується рiвнiсть

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) .

Г3) у множинi G iснує нейтральний

вiдносно операцiї ∗ елемент e :

для кожного елемента a ∈ G

справедливарiвнiстьa ∗ e = e ∗ a =

= a .

Г4) для кожного елемента a ∈ G iснує

такий елемент a ′ ∈ G , що a ∗ a ′=

= a ′ ∗ a = e ; його називають

симетричним до a .

Якщо операцiя ∗ комутативна, тобто

для довiльних елементiв a ,b ∈ G спра-

ведлива рiвнiсть a ∗ b = b ∗ a , то групу

називають комутативною.

Кожен iз нас добре знає групи –

множини цiлих, рацiональних, дiйсних

та комплексних чисел вiдносно додава-

ння; множини рацiональних та дiйсних

чисел (без нуля) вiдносно операцiї

множення; множину всiх векторiв,

паралельних однiй площинi, вiдносно

додавання тощо. Проте цей перелiк

дуже далекий вiд усього рiзноманiття

груп, якi вивчає алгебра.

Властивостi (Г1) – (Г4) називаються

аксiомами групи. Незважаючи на те,

що цi вихiднi твердження є досить

загальними, уже з них можна вивести

багато фактiв, якi будуть справедли-

вими для всiх груп, незалежно вiд

конкретної природи елементiв та сутi

операцiї. Як тiльки для деякої множини

та введеної на нiй операцiї будуть

виконуватися цi чотири умови, для них

виконуватимуться i всi iншiвластивостi,

справедливi для груп загалом.

Наприклад, у групi iснує рiвно один

нейтральний елемент, для будь-якого

елемента групи iснує єдиний симе-


тричний йому елемент тощо. Для

глибшого дослiдження групи потрiбно

мати додатковi вiдомостi про множину

елементiв групи та задану на нiй

операцiю, наприклад, знати кiлькiсть

елементiв групи, додатковi властивостi

операцiї й елементiв множини.

Теорiя груп є досить розвиненим та

потужним роздiлом сучасної алгебри,

який має багато застосувань як у

самiй математицi, так i в життi. На її

результатах ґрунтується ряд сучасних

алгоритмiв шифрування, зокрема,

алгоритми вироблення i передачi

спiльного секретного ключа через

вiдкритий канал зв’язку, алгоритми

створення цифрових пiдписiв тощо. У

математицi ряд теорем можна дуже

коротко та елегантно довести, вико-

ристовуючи результати теорiї груп.

Наприклад, Мала теорема Ферма є

простимнаслiдком з теоремиЛагранжа

про скiнченнi групи.

Проте багато множин з уведеною на

них бiнарною алгебраїчною операцiєю

не утворюють групу. Наприклад, намно-

жинi натуральних чисел з операцiєю до-

давання не iснує нейтрального елемен-

та, а тому не виконуються третя та че-

тверта аксiоми групи. Вiдносно операцiї

множення у множинi натуральних чи-

сел iснує нейтральний елемент – одини-

ця, проте симетричного елемента для

всiх чисел, крiм одиницi, не iснує. Якщо

на цiй самiй множинi ввести операцiю

пiднесення до степеня, то не буде ви-

конуватися навiть умова асоцiативностi.

Тому в алгебрi, окрiм груп, розглядають

й iншi алгебраїчнi структури.

Здавалося б, коли аксiом менше, то

проводити дослiдження важче, оскiль-

ки про вiдповiдну структуру вiдомо зна-

чно менше, нiж про групу. Проте, додав-

ши до перелiку аксiом специфiчнi вла-

стивостi дослiджуваної множини та вве-

деної на нiй операцiї, можна отримати

цiкавi та несподiванi результати.

У цiй статтi ми познайомимося з та-

кими алгебраїчними структурами, а для

деяких конкретних прикладiв доведемо

ряд цiкавих властивостей.

ГРУПОЇДИ. НАПIВГРУПИ.

МОНОЇДИ

Означення 3. Групоїдом називається

впорядкована пара 〈G , ∗〉, деG – непоро-

жня множина, а ∗ – бiнарна алгебраїчна

операцiя (виконується умова (Г1) з

означення групи).

Означення 4. Групоїд 〈G , ∗〉 називає-

ться напiвгрупою, якщо операцiя ∗ є

асоцiативною (виконуються умови (Г1)

та (Г2) з означення групи).

Означення 5. Напiвгрупа 〈G , ∗〉 назива-

ється моноїдом, якщо в нiй iснує ней-

тральний вiдносно операцiї ∗ елемент e

(виконуються умови (Г1) – (Г3) з означе-

ння групи).

Приклад 1. Визначимо, групоїдом, на-

пiвгрупою, моноїдом або групою є такi

пари 〈G , ∗〉:

1) G – множина натуральних чисел,

операцiя ∗ – пiднесення до степеня,

тобто a ∗ b = ab ;

2) G – множина натуральних чисел,

операцiя ∗ задається таким чином:

a ∗ b = ab + a + b ;

3) G – множина цiлих чисел, операцiя

∗ така, як у пунктi 2;

4) G – множина дiйних чисел без −1,

операцiя ∗ така, як у пунктi 2.

Пара 1. Операцiя пiднесення до сте-

пеня на множинi натуральних чисел є

бiнарною алгебраїчною, проте не є асо-

цiативною. Справдi, (a ∗ b) ∗ c =(

ab)c=

= abc , а a ∗ (b ∗ c ) = a ∗ (bc ) = abc

. Тому,

взагалi кажучи, (a ∗ b) ∗ c , a ∗ (b ∗ c )

(наприклад, для a = 2,b = 1, c = 3), i

вiдповiдна структура є групоїдом, алене

напiвгрупою.


Пара 2. Операцiя ∗ на множинi нату-

ральних чисел, задана рiвнiстю a ∗ b =

= ab + a + b , є бiнарною алгебраїчною i

асоцiативною (покажiть це самостiйно),

проте в цiй множинi не iснує нейтраль-

ного елемента (якщо його шукати з рiв-

няння a ∗ x = a , то отримаємо x = 0 < N).

Тому 〈G , ∗〉 – напiвгрупа.

Пара 3. Та сама операцiя, тiльки за-

дана вже на множинi цiлих чисел, має

нейтральний елемент – нуль, при цьо-

му лишається бiнарною алгебраїчною

та асоцiативною. Але симетричний еле-

мент iснуєлишедлянулята−2 (доведiть

це). Тому 〈G , ∗〉 – моноїд, який не є гру-

пою.

Пара 4. Та сама операцiя, але задана

на множинi всiх дiйсних чисел без −1,

є асоцiативною та має той самий ней-

тральний елемент. Замкненiсть опера-

цiї на цiймножинi треба додатково дове-

сти – необхiдно показати, що якi б два

елементи a ,b ∈ G не взяти, результат

операцiї a ∗ b не може дорiвнювати −1.

Пiсля цього треба показати, що для ко-

жного елемента a ∈ G iснує симетри-

чний до нього елемент. Тодi переконає-

мося, що 〈G , ∗〉 – група.

Частобiнарнуоперацiю ∗позначають

одним iз бiльш звичних для нас знакiв

+ або ·, причому за традицiєю знак ·

часто пропускають i замiсть виразу a · b

пишуть ab .

Якщо для позначення операцiї

використовують знак +, то згаданi

вище алгебраїчнi структури називають

адитивними, нейтральний елемент

називають нульовим або нулем (позна-

чають 0), а симетричний називають

протилежним (якщо нейтральнi та

симетричнi елементи iснують у цiй

структурi).

Якщо ж використовують знак ·, то цi

структури називаютьмультиплiкатив-

ними, нейтральний елемент називають

одиничним або одиницею (позначають

1), а симетричнийназивають оберненим.

Далi для простоти будемо викори-

стовувати мультиплiкативну форму

запису, тобто вважатимемо операцiю ∗

множенням.

Означення 6. Цiлою напiвгрупою нази-

вається моноїд 〈G , ·〉, для якого викону-

ються додатковi умови:

Ц1) комутативнiсть: для кожних

двох елементiв a ,b ∈ G справедли-

ва рiвнiсть a ∗ b = b ∗ a ;

Ц2) скоротнiсть: iз того, що для еле-

ментiв a ,b , c ∈ G виконується рiв-

нiсть ac = bc , випливає рiвнiсть

a = b ;

Ц3) жодний елемент iзG , крiм 1, не має

оберненого, тобто з того,щоab = 1,

випливає рiвнiсть a = b = 1.

Виявляється, що на таких структурах

можна побудувати теорiю подiльностi,

аналогiчну до теорiї подiльностi на мно-

жинi цiлих чисел. Для цiлих напiвгруп

дамо означення подiльностi, яке можна

поширитинамоноїди, групоїдитанапiв-

групи.

Означення 7. Нехай 〈G , ·〉 – цiла напiв-

група. Елемент b ∈ G називається дiль-

ником елемента a ∈ G , якщо iснує еле-

мент c ∈ G такий, що a = bc . Позначати-

мемо цейфакт як a... b .

Розглянемо основнi типи елементiв

цiлої напiвгрупи. Елемент a , 1 цiлої

напiвгрупи 〈G , ·〉 називається:

• незвiдним, якщо з того, що a = bc ,

випливає, що b = a або c = a ;

• простим, якщо з того, що a є дiль-

никомдобуткуbc , випливає,щоa є

дiльником b або c ;

• звiдним, якщо вiн є добутком кiль-

кох незвiдних елементiв.

Будемо казати, що елемент a , 1 має

однозначний розклад на незвiднi мно-

жники, якщо кожнi два такi його роз-

клади збiгаються з точнiстю до порядку

слiдування множникiв.


Задача 1. Доведiть, що в цiлiй напiвгру-

пi простий елемент завжди є незвiдним,

використовуючи властивостi з означен-

ня цiлої напiвгрупи.

Обернене твердження, взагалi кажу-

чи, не є правильним. Щоб кожен незвi-

дний елемент був простим, необхiдно i

достатньо, щоб напiвгрупа була гауссо-

вою.

Означення 8. Цiла напiвгрупа 〈G , ·〉 на-

зивається гауссовою, якщо кожен її не-

одиничнийелементоднозначнорозкла-

дається в добуток незвiдних елементiв.

З означення маємо, що гауссова

напiвгрупа – це цiла напiвгрупа, для

якої справедлива основна теорема ари-

фметики. Iз гауссовими напiвгрупами

ми вже мали справу. Найпростiший

приклад – напiвгрупа натуральних

чисел з операцiєю множення. Менш

тривiальним є такий приклад гауссової

напiвгрупи – множина, що склада-

ється з одиницi та всiх полiномiв

натурального степеня вiд змiнної x iз

дiйсними коефiцiєнтами та старшим

коефiцiєнтом 1.

Проте далеко не всi цiлi напiвгрупи

є гауссовими. Далi ми розглянемо про-

стий приклад цiлої напiвгрупи, яка не є

гауссовою, та визначимо, якi ще власти-

востi гауссових напiвгруп для неї пере-

стають виконуватися.

ЦIЛI НАПIВГРУПИ НАТУРАЛЬ-

НИХ ЧИСЕЛ, ЩО Є ЧЛЕНАМИ

АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСIЇ

Розглянемо множину

Mk = {1,k + 1, 2k + 1, . . . ,nk + 1, . . . }

всiх натуральних чисел, що є членами

арифметичної прогресiї з першим чле-

ном a1 = 1 та рiзницею d = k ∈ N .

Вiдносно множення ця множина утво-

рює цiлу напiвгрупу. Покажемо це.

1. Операцiя множення на цiй множи-

нi є бiнарною алгебраїчною: вона

завжди виконувана, замкнена, а її

результат є однозначним:

(k n + 1) (k m + 1) =

= k 2nm + k n + k m + 1 =

= k (k nm + n +m) + 1.

2. Множення на цiй множинi є асо-

цiативним, оскiльки елементи да-

ної множини є натуральними чи-

слами, а для них множення асоцiа-

тивне.

3. У множинi Mk iснує нейтральний

елемент – 1.

4. Множення на множинi Mk є кому-

тативним (iз тих самих мiркувань,

що й асоцiативним).

5. Для множення властива скоро-

тнiсть. Це легко можна довести

методом вiд супротивного, вра-

ховуючи, що маємо справу з

натуральними числами.

6. У множинi Mk для жодного еле-

мента, крiм 1, не iснує оберненого.

Оскiльки виконуються всi необхiднi

умови, то 〈Mk , ·〉 – цiла напiвгрупа.

Але чи є вона гауссовою, тобто, чи

виконується на множинi Mk основна

теорема арифметики?

При k = 1 маємо, що множина M1 збi-

гається iз множиною натуральних чи-

сел, для якої основна теорема арифме-

тики виконується.

При k = 2 множина M2 збiгається iз

множиною всiх непарних натуральних

чисел. Той факт, що напiвгрупа 〈M2, ·〉 є

гауссовою, довестинескладно.Спробуй-

те зробити це самостiйно.

Задача 2. Доведiть, що множина непар-

них натуральних чисел разом з операцi-

єю множення є гауссовою напiвгрупою.

Проте вiдповiдь на запитання, чи є

напiвгрупа Mk гауссовою при k ≥ 3,

не така вже й очевидна. Для напiвгруп


Mk при k = 3, 4, 5 можна навести

контрприклади елементiв, що нео-

днозначно розкладаються в добуток

незвiдних множникiв (це неважко

зробити, наприклад, комп’ютерним

перебиранням). Для напiвгрупи M3

найменшим таким елементом є 100, для

M4 – 441, а для M5 – 336. Цi елементи є

33-м, 110-м та 67-м членами вiдповiдних

арифметичних прогресiй.

Задача 3. Наведiть по два приклади

рiзних розкладiв елементiв 100, 441 та

336 у добуток незвiдних множникiв у

напiвгрупахM3,M4 таM5 вiдповiдно.

Проте чи будуть хоча б деякi з на-

ступних напiвгруп гауссовими? Можли-

во, для кожної наступної напiвгрупи

знайдуться приклади елементiв iз

неоднозначним розкладом у добуток

незвiдних елементiв. Але тодi яким

чином їх знайти, не використовуючи

пiдбирання?

Виявляється, можна довести iснуван-

ня елемента iз неоднозначним розкла-

дом у добуток незвiдних множникiв для

кожної напiвгрупиMk , деk ≥ 3. Дляцьо-

го нам знадобиться теорема Дiрiхле про

простi числа в арифметичнiй прогресiї.

Теорема 1 (Дiрiхле). Нехай m та k –

взаємно простi натуральнi числа. Тодi

iснує нескiнченна кiлькiсть простих

чисел p таких, що

p ≡ m (mod k ).

Iншимисловами,якщоm таk –взаєм-

нопростiнатуральнiчисла, то середчле-

нiв арифметичної прогресiї з першим

членом m та рiзницею k мiститься не-

скiнченна кiлькiсть простих чисел.

Розглянемо множину всiх натураль-

них чисел t таких, що t ≡ k − 1 (mod k ).

Оскiлькичислаk −1таk взаємнопростi,

то серед таких чисел t простих чисел

буде нескiнченна кiлькiсть. Оберемо до-

вiльним чином два з них та позначимо

їх через p1 та p2, p1 , p2. Якщо k ≥ 3,

то k − 1 . 1 (mod k ), а тому p1, p2 . 1

(mod k ). Отже, p1, p2 < Mk . Розгляне-

мо числа p21, p2

2та p1p2. Вони належать

до множини Mk , бо мають остачу 1 при

дiленнi на k . Покажемо,що вони є незвi-

дними елементами вMk .

Припустимо, що в напiвгрупi Mk еле-

мент p1p2 є звiдним, тобто iснують такi

два елементи a ,b ∈ Mk , що p1p2 = ab ,

a , p1p2 та b , p1p2. Зауважимо, що

жодне з чисел a та b не рiвне p1 чи p2,

боостаннiненалежатьдоMk . Iзрiвностi

p1p2 = ab , не порушуючи загальностi,

отримуємо, що a... p1 у множинi нату-

ральних чисел. Оскiльки a , p1, то a >

> p1. Також, одне з чисел a та b має

дiлитися на p2. Якщо a... p2, то, в си-

лу простоти чисел p1 та p2, обов’язково

a... p1p2. Але a , p1p2, тому a > p1p2,

що суперечитьрiвностiab = p1p2. Якщо

b... p2, то в силу нерiвностi b , p2,

отримуємо, що b > p2. Звiдси випливає

нерiвнiсть ab > p1p2, що також супере-

чить припущенню. Отже, припущення

хибне i елемент p1p2 єнезвiднимвнапiв-

групi Mk . Незвiднiсть елементiв p21та p2

2

можна довести цим самим способом.

Тому p21, p2

2та p1p2 є незвiдними еле-

ментами напiвгрупи Mk . Тодi елемент

d = p21· p2

2= (p1p2)

2 напiвгрупи Mk

неоднозначно розкладається в добуток

незвiдних елементiв. Отже, напiвгрупа

Mk при k ≥ 3 не є гауссовою.

Таким чином, доведено таку теорему.

Теорема 2. Напiвгрупа 〈Mk , ·〉 є гауссо-

вою тiльки при k = 1, 2, iншими слова-

ми, з усiх напiвгруп 〈Mk , ·〉 основна те-

орема арифметики виконується лише

для напiвгрупи натуральних чисел та

напiвгрупи непарних чисел.

Зауважимо,щооскiлькипростi числа

p1 та p2 з доведення теореми 2 можна

вибрати нескiнченною кiлькiстю спосо-

бiв, то й елементiв, що неоднозначно

розкладаються в добуток незвiдних

множникiв, у кожнiй такiй напiвгрупi

теж iснує нескiнченна кiлькiсть.


ТЕОРЕМА ЕЙЛЕРА ТА n-АРНI

НАПIВГРУПИ

Нехай j,k –взаємнопростiнатуральнi

числа, причому j , 1.

Розглянемо множину Mj,k всiх таких

натуральних чисел, що є членами ари-

фметичної прогресiї з першим членом j

та рiзницею k , тобто

Mj,k = {x ∈ N : x ≡ j (mod k )} .

Задача 4. Доведiть,щодобутокдвохчле-

нiв арифметичної прогресiї з першим

членом j та рiзницею k , де НСД (j,k ) =

= 1, також є членом цiєї арифметичної

прогресiї тодi i тiльки тодi, коли j ≡ 1

(mod k ).

Отже, при j ≡ 1 (mod k ) операцiя

множення на множинi Mj,k не є замкне-

ною, а значить, вiдносно операцiї мно-

женняMj,k напiвгрупу не утворює.

Проте можна розглядати не лише

бiнарнi алгебраїчнi операцiї. Iснує ба-

гато прикладiв замкнених на множинi

операцiй, що виконуються над трьома

чи бiльшою кiлькiстю елементiв одразу.

Наприклад, операцiя знаходження НСД

та НСК кiлькох натуральних чисел.

Операцiя множення на деяких множи-

нах може не бути замкненою, якщо

множити числа по двоє, проте буде

замкненою, якщо знаходити добуток

одразу трьох чисел. Зокрема, якщо

розглянути множину Mj,k при j = 2 та

k = 3, то

(3n + 2) (3m + 2) ≡ 4 ≡ 1 . 2 (mod 3),

тому вiдповiдний добуток не належить

множинiM2,3, але

(3n + 2) (3m + 2) (3t + 2) ≡ 8 ≡ 2 (mod 3).

Тобто «потрiйний» добуток елементiв з

M2,3 завжди належить M2,3. У цьому

випадку ми маємо справу з тернарною

алгебраїчною операцiєю.

Далi нам знадобиться така важлива

теорема теорiї чисел.

Теорема 3. Якщо k – натуральне число,

а j – цiле число, що взаємно просте з k ,

то

jϕ(k ) ≡ 1 (mod k ),

де ϕ(k ) – кiлькiсть взаємно простих iз

k натуральних чисел, що не перевищу-

ють k .

Iз цiєї теореми випливає, що jϕ(k )+1 ≡

≡ j (mod k ), тобто добуток ϕ(k ) + 1 чи-

сел з Mj,k завжди належить Mj,k (якщо

для j та k виконуються вiдповiднi умо-

ви теореми 3). Проте число ϕ(k ) + 1 не

обов’язково є найменшим числом iз та-

кою властивiстю. Наприклад, якщо j =

3 та k = 8, тоϕ(8) = 4, але 32 ≡ 1 (mod 8).

Нехай n є найменшим натуральним

числом, яке має таку властивiсть. Тодi

чином,⟨

Mj,k , ·⟩

– n-арний групоїд, тобто

операцiя множення мiж собою n чисел

є замкненою на множинi Mj,k . Таке мно-

ження має властивiсть асоцiативностi:

(b1b2 · · ·bn) a1a2 · · · an−1 =

= a1 (b1b2 · · ·bn) a2 · · · an−1 = · · · =

= a1a2 · · · an−1 (b1b2 · · ·bn) .

Тому додатково маємо, що⟨

Mj,k , ·⟩

–

n-арна напiвгрупа.

Стосовно n-арної напiвгрупи⟨

Mj,k , ·⟩

можна також поставити запитання

про однозначнiсть розкладу елементiв

Mj,k в добуток незвiдних. Незвiдним в

n-арнiй напiвгрупi⟨

Mj,k , ·⟩

називатиме-

моелемент, якийнеможнапредставити

у виглядi добутку неодиничних еле-

ментiв цiєї множини. Дослiдження

цього питання лишаємо зацiкавленим

читачам.

ЮНОМУ ДОСЛIДНИКУ

Задачу про однозначнiсть розкладу

елементiв на незвiднi множники можна

розглядати для будь-якої напiвгрупи

〈G , ∗〉, де G є деякою пiдмножиною

множини натуральних чисел, а бiнарна


алгебраїчна операцiя ∗ не обов’язково

є множенням (її можна задати свою

за допомогою формули або словесно-

описово).

У цiй статтi розглядалася задача про

однозначнiсть розкладу на незвiднi

множники елементiв напiвгрупи Mk . Iз

нею тiсно пов’язане питання про iсну-

вання найбiльшого спiльного дiльника

i найменшого спiльного кратного двох

елементiв напiвгрупи.

Традицiйно в алгебрi найбiльшим

спiльним дiльником двох елементiв a

та b напiвгрупи 〈G , ·〉 вважають такий

елемент iз G , що є їхнiм спiльним

дiльником i дiлиться на будь-який

iнший їх спiльний дiльник, а наймен-

шим спiльним кратним цих елементiв

вважають таке їх спiльне кратне, що

є дiльником будь-якого iншого їх

спiльного кратного.

Вiдомо, що як тiльки в напiвгрупi не

виконується основна теорема арифме-

тики, тобто напiвгрупа не є гауссовою,

то НСД та НСК будуть iснувати не для

всiх пар елементiв a та b .

З огляду на те, що напiвгрупа 〈Mk , ·〉

при k ≥ 3 не є гауссовою, виникають

такi запитання:

1) якiнеобхiднi тадостатнi умови iсну-

вання НСД та НСК для пар елемен-

тiв напiвгрупиMk ;

2) якщо НСД та НСК двох елементiв

iснують, то як їх знайти;

3) якщо НСД та НСК двох елементiв

iснують, то чи виконується для них

вiдома нам формула для натураль-

них чисел НCД(a ,b) · НCК(a ,b) =

= ab?

I взагалi, як за розкладом деякого нату-

ральногочиславдобутокпростихчисел

визначити, чибудецечислонезвiдниму

напiвгрупi 〈Mk , ·〉?

ЛIТЕРАТУРА

[1] Вечтомов Е. М. Математические

очерки: учебно-методическое посо-

бие / Е. М. Вечтомов. – Киров :

Изд-во ВятГГУ, 2004. – 215 с.

[2] Требенко Д. Я. Алгебра i теорiя чи-

сел. У 2 ч. Ч. 1. / Д. Я. Требенко,

О. О. Требенко. – К. : НПУ iменi

М. П. Драгоманова, 2009. – 420 с.

СIРНИКОВI ГРАФИ

Пахомова Ксенiя Миколаївна

ЧИ знаєш ти, любий читачу, що з

гороху та зубочистокможна буду-

вати красивi та ажурнi графи на

площинi, та й самi задачi теорiї графiв iз

використанням цих засобiв вивчаються

веселiше?

Слово «граф» у математицi означає

картинку, де намальовано декiлька

точок, деякi з них з’єднанi вiдрiзками

або дугами. Точки називаються верши-

нами графа, а вiдрiзки (дуги) – його

ребрами. У нашому випадку вершини –

горошини, прямi ребра – зубочистки. У

ходi конструювання виходять елегантнi

та мiцнi конструкцiї. Методи теорiї

графiв здобули визнання не лише ма-

тематикiв, але й iнженерiв, економiстiв,

психологiв, лiнгвiстiв, бiологiв, хiмiкiв.

Останнi часто за допомогою графiв

зображають молекули рiзних речовин.

Спробуйте побудувати самi, наприклад,

молекули води, бутану та циклогексану:

Ти вже помiтив, що всi ребра цих

трьох молекулярних графiв мають одна-

кову довжину та не перетинаються? Такi

графи в математицi називаються сiр-

никовими. Отримали вони свою назву,

тому що легко викладаються на площи-

нi за допомогою сiрникiв. Побудувати

сiрниковi графи нескладно. Наприкiнцi

минулого сторiччя з’явилась велика

кiлькiсть математичних результатiв

про сiрниковi графи, якi багато у чому

пов’язанi з такими характеристиками,

як кiлькiсть вершин, набiр степенiв та

iншi.

Степенем вершини називається кiль-

кiсть ребер, що виходять з неї. Якщо всi

степенi у графа однаковi, то вiн нази-

вається регулярним. Нижче зображенi

регулярнi сiрниковi графи степенiв 0, 1,

2 i 3, вiдповiдно.

1986 року нiмецький математик

Хейко Харборт знайшов регулярний

сiрниковий граф, який отримав його

iм’я – граф Харборта. У ньому 104 ребра

16

К.М. Пахомова. Сiрниковi графи 17

i 52 вершини, степенi яких дорiвнюють

чотирьом.

Цiкавою математичною задачею є

пошук найменших сiрникових графiв,

тобто графiв, якi мають найменшу

кiлькiсть вершин i наперед заданий

набiр степенiв. Iз наведених вище

регулярних графiв про першi чотири

доведено,що вони найменшi. А регуляр-

них сiрникових графiв степеня 5 i вище

не iснує. Розглянемо сiрниковi графи, у

яких вершинимають два рiзнi значення

степеня {m,n}. Найменшийсiрниковий

граф зi степенями {0,n} – це об’єднання

однiєї вершини та найменшого сiрни-

кового графа степеня n. Найменший

сiрниковий граф зi степенями {1,n} –

це граф-зiрка з n + 1 вершинами.

У таблицi наведенi найменшi вiдомi

сiрниковi графи зi степенями {m,n}.

Мiнiмальнiсть графiв iз першого

рядка таблицi доведено. Спробуйте

продовжити цей рядок – побудуйте

для кожного n = 9, 10, 11, . . . граф зi

степенями {2,n}. Подивiться, якi гарнi

найменшi вiдомi сiрниковi графи за

степенями {4, 5}, {4, 6}, {4, 8}:

До речi, спробуйтешвидко вiдшукати

напершому з цих графiв вершину степе-

ня 5.

Гевiн Теобальд знайшов найменший

вiдомий сiрниковий граф зi степенями

{4, 7}:


Таблиця.Найменшi вiдомi сiрниковi графи зi степенями {m,n}

Перед вами приклади найменших вi-

домих сiрникових графiв зi степенями

{4, 9}, {4, 10}, {4, 11}:

К.М. Пахомова. Сiрниковi графи 19

Сiрниковий граф зi степенями {4, 12}

поки не знайдений. Можливо, що при

n ≥ 12 сiрникових графiв зi степеня-

ми {4,n} немає. А ось графiв зi степеня-

ми {m,n}, де m та n бiльшi 5, точно не

iснує. Є багато iнших задач про сiрнико-

вi графи, причому як на площинi, так i

у просторi. (Детальнiше про iншi зада-

чi на сiрникових графах можна прочи-

тати на сайтi: http://www2.stetson.edu/

~efriedma/mathmagic/1205.html.)

I багато iнших питань ще лишаються

вiдкритими. Дивовижно, що така про-

ста справа, як конструювання з горо-

ху, дозволяє доторкнутися до серйозних

проблем, якi хвилюють сучасних мате-

матикiв. Наостанок наведемо декiлька

не мiнiмальних, але дуже красивих сiр-

никових графiв.

Цю статтю вперше опублiковано в

журналi «Квантик»,№ 8, 2015. Редакцiя

журналу «У свiтi математики» вдячна

головному редактору журналу «Кван-

тик» С. Дорiченку та автору статтi

К. Пахомовiй за люб’язно надану згоду на

публiкацiю.

{4, 10}, 260 вершин

{4, 9}, 806 вершин

{4, 9}, 404 вершини

ДЕЯКI ЗАСТОСУВАННЯ

ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБIВ

Чудовська Катерина Генадiївна,

Житомирський державний унiверситет iменi IванаФранка

ЛАНЦЮГОВI дроби розглядаютьсяв галузi математики, яка має на-зву теорiя чисел. Iсторiя ланцю-

гових дробiв починається зi Стародав-ньої Грецiї. У III ст. до н. е. описано алго-ритм Евклiда, який тiсно пов’язаний iзнеперервними дробами.

У Середньовiччi перський фiлософ,математик, астроном i поет Омар Хайям(1048–1131), займаючись реформува-нням календаря, в основу своєї iдеїпоклав ланцюговi дроби.

Уперше ланцюговi дроби як такiз’являються в роботi «Алгебра» iталiй-ськогоматематика та iнженера РафаеляБомбеллi (1526–1572), яка вийшла у1572 роцi. У нiй описаний процеспослiдовного утворення нескiнченнихнеперервних дробiв, що одержуютьсяпри розкладi деяких дiйсних чисел, атакож вiн використовував ланцюговiдроби для обчислення числа

√13.

У 1613 роцi iталiйський математикП’єтроАнтонiоКатальдi (1548–1626) ввiвпри записi ланцюговогодробуповторнезастосування дробової риски, тобтовжесправжнєпозначенняланцюговогодробу, тiльки замiсть знака «+» вiн писав«et» (сполучник i).

Нiмецький математик Данiель Швен-тер (1585–1636) прийшов до ланцюговихдробiв шляхом наближеного поданнязвичайних дробiв iз великими чисель-никами i знаменниками. Д. Швентервiдкриврекурентнi спiввiдношеннядля

послiдовного обчислення чисельникiв iзнаменникiв пiдхiдних дробiв.

Пiзнiше англiєць Вiльям Броункер(1620–1684) застосовував ланцюговiдроби для уточнення значення числаπ i у 1658 роцi знайшов подання цьогочисла у виглядi неперервного дробу.

Наступний крок у розвитку теорiїланцюгових дробiв був зробленийнiдерландським фiзиком, математикомi астрономом Християном Гюйгенсом(1629–1695). Вiн розглядав ланцюговiдроби у зв’язку iз задачею пiдборузубчастих колiс, що були потрiбнi дляпобудови моделi Сонячної системи.

Першим, хто систематизував знанняпро ланцюговi дроби i виклав повну їхтеорiю був швейцарський математик тафiзик Леонард Ейлер (1707–1783). Самтермiн «ланцюговий дрiб» з’явився ли-ше у XVIII ст., а до цього часу викори-стовували поняття «неперервний дрiб».Також Л. Ейлер знайшов ланцюговийдрiб для числа e = 2,7182818 . . .

Дев’ятнадцяте столiття називається«золотим столiттям неперервних дро-бiв». Теорiя ланцюгових дробiв почаластрiмко розвиватися, розглядалисяланцюговi дроби з комплекснимизмiнними.ПочинаючизробiтвидатногоросiйськогоматематикаП. Л. Чебишова(1821–1894), бурхливого розвитку набу-ла теорiя, пов’язана зфункцiональнимиланцюговими дробами. Важливийвнесок у розвиток теорiї неперервних

20

К. Г. Чудовська. Деякi застосування ланцюгових дробiв 21

дробiв зробили такi вченi, як К. Якобi,Ш. Ермiт, К. Ф. Гаусс, О. Л. Кошi,Т. Стiлтьєс.

Iз початку XX ст. ланцюговi дробипочали застосовувати в iнших галузях,зокрема в комп’ютерних алгоритмахдля обчислення рацiональних набли-жень дiйсних чисел.

Уведемо поняття ланцюгового дробу.

Нехай α – деяке дiйсне число, i нехайq0 –найбiльшецiле число,щонепереви-щує α. Тодi, якщо α не цiле, матимемо

α = q0 + x0 = q0 +1

α1

, де α1 > 1.

Аналогiчно, якщо α1 не цiле, запишемо

α1 = q1 + x1 = q1 +1

α2

, де α2 > 1;

якщо α2 не цiле, запишемо

α2 = q2 + x2 = q2 +1

α3

, де α3 > 1.

Продовжуючи, наn-му кроцi, якщоαn−1не цiле, одержимо

αn−1 = qn−1+xn−1 = qn−1+1

αn

, де αn > 1,

i так далi.

Спираючись на цi рiвностi, ми може-мо записати

α = q0 +1

q1 +1

q2 +1

. . . +1

qn−1 +1

qn + · · ·

,

де q0,q1,q2, . . . – деякi цiлi числа. Такийвираз називають ланцюговим, або непе-рервним, дробом. Якщо число α рацiо-нальне, то при деякому n станеться так,що αn – цiле, i ланцюг обiрветься. Вiдпо-

вiдний ланцюговий дрiб

α = q0 +1

q1 +1

q2 +1

. . . +1

qn−1 +1

qn

називають скiнченним, або, точнiше, n-членним ланцюговим дробом. Якщож α – iррацiональне, то ланцюг будепродовжуватися до нескiнченностi; вiд-повiдний дрiб називають нескiнченнимланцюговим дробом. У скороченомувиглядi записують α = [q0;q1,q2, . . . ,qn]для рацiонального числа або α =

[q0;q1,q2, . . . ,qn , . . . ] для iррацiонально-го.

Для ланцюгового дробу розглядаю-ться пiдхiднi дроби:

P0

Q0

= q0,

P1

Q1

= q0 +1

q1,

P2

Q2

= q0 +1

q1 +1

q2

,

· · · · · · · · · · · ·Pn

Qn

= [q0;q1,q2, . . . ,qn] =

= q0 +1

q1 +1

q2 +1

. . . +1

qn−1 +1

qn

.

Якщо число α рацiональне, то останнiйпiдхiдний дрiб дорiвнює йому самому.Якщо α iррацiональне, то α дорiвнюєграницi послiдовностi пiдхiдних дробiв.

Приклад 1. Розкладемо число√35 у

ланцюговий дрiб. Спочатку видiлимо


цiлу частину:

√35 = 5 +

1

α1

,α1 > 1.

Перетворимо

1

α1

=

√35 − 5 ⇒ α1 =

1√35 − 5

=

=

1√35 − 5

=

√35 + 5

(√35 − 5

) (√35 + 5

)=

=

√35 + 5

10= 1 +

1

α2

, α2 > 1.

Оскiльки

1

α2

= α1 − 1 =

√35 + 5

10− 1 =

√35 − 5

10,

то

α2 =10

√35 − 5

=

10(√35 + 5

)

(√35 − 5

) (√35 + 5

)=

=

√35 + 5 = 10 +

1

α3

, α3 > 1.

Звiдси

α3 =1

√35 − 5

= α1,

тому далi повторюватимуться неповнiчастки, починаючи з α1. Отже, маємотакий розклад у ланцюговий дрiб:√35 = [5; (1, 10)] = [5; 1, 10, 1, 10, . . . ] =

= 5 +1

1 +1

10 +1

1 +1

10 +. . .

.

Мiж чисельниками та знаменникамитрьох послiдовних пiдхiдних дробiв ви-конується, починаючи з k = 2, зале-жнiсть

{

Pk = qk Pk−1 + Pk−2,Qk = qkQk−1 +Qk−2.

Ця властивiсть доводиться за допомо-гоюметодуматематичної iндукцiї. Якщо

покластиP0 = q0,Q0 = 1,P−1 = 1,Q−1 = 0,то можна починати з k = 1 [2].

Також, використовуючи iндукцiю, мо-жна довести для будь-якого k ≥ 1 нерiв-нiсть

�

�

�

�

α − Pk

Qk

�

�

�

�

<

1

QkQk+1

, (1)

яка задає точнiсть наближення числа αйого пiдхiдними дробами.

Ланцюговi дроби широко засто-совують у рiзних сферах науки татехнiки для розв’язання рiзноманiтнихзадач. Цiкавим є таке застосуванняланцюгових дробiв у календарнихсистемах.

Астрономи пiдрахували величину ро-ку, яка становить

1 рiк = 365 дiб 5 год 48 хв 46 с =

= 36510463

43200доби.

Розкладемо це число в ланцюговийдрiб:

36510463

43200= [365; 4, 7, 1, 3, 5, 64] =

= 365 +1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +1

64

.

Порахуємо пiдхiднi дроби для нього:

P0

Q0

= 365,P1

Q1

= 3651

4,

P2

Q2

= 3657

29,

P3

Q3

= 3658

33,

P4

Q4

= 36531

128,

P5

Q5

= 365163

673,

P6

Q6

= 36510463

43200.

Як вiдомо, упродовж iсторiї розвиткусвiту iснували рiзнi календарi: китай-ський, єгипетський, вавилонський,римський, грецький, мусульманський,


юлiанський та григорiанський, кален-дар Омара Хайяма та iншi. Розглянемо,яким же чином вони пов’язанi з ланцю-говими дробами.

Деякi отриманi пiдхiднi дроби вiд-повiдають упровадженим ранiше ка-лендарним системам. Так, першийпiдхiдний дрiб

P1

Q1

= 3651

4

вiдповiдає юлiанському календарю, деза середню тривалiсть року було взятозначення: 1рiк = 365 1

4доби.Третiйпiдхi-

дний дрiб розкладу року в ланцюговийдрiб

P3

Q3

= 3658

33

знаходимо в роботах Омара Хайяма, девчений за середню тривалiсть року про-понував узяти саме це число, а високо-сними роками вважалися 8 рокiв iз ко-жних 33. Четвертий пiдхiдний дрiб

P4

Q4

= 36531

128

вiдповiдає системi Йоганна Медлера iдає найточнiшенаближення тривалостiроку, оскiльки воно вiдрiзняється мен-ше, нiж на секунду вiд визначеної астро-номами величини року. Але цей кален-дар не був прийнятий нiде у свiтi, то-му що перiод у 128 рокiв практично ви-глядає досить незручно, i це вважаєтьсяосновною причиною того, чому ця ка-лендарна система не була прийнята [3].

Цiкавим є застосування неперервнихдробiв Християном Гюйгенсом. Займа-ючись побудовою моделi Сонячноїсистемизадопомогоюнабору зубчастихколiс, вiн зiткнувся iз труднощами: длятого, щоб вiдношення часу поворотудвох зубчастих колiс, якi з’єднуються,дорiвнювало вiдношенню часу поворо-ту навколо Сонця двох зображуванихцими колесами планет, потрiбно, щобтаке саме вiдношення мали кiлькостi

зубцiв цих двох колiс. Але це вiдноше-ння виражалося настiльки великимичислами, що технiчно було неможливовиготовити колеса з такою кiлькiстюзубцiв. Тому виникла необхiднiстьвикористовувати наближену модель,обираючи кiлькостi зубцiв, якi технiчноможна сконструювати, вiдношенняяких близьке до заданого вiдношеннядуже великих чисел. У цiй задачi при-йшли на допомогу ланцюговi дроби, якiГюйгенс використав для її розв’язання.

Ця задача була розв’язана таким чи-ном: для передачi обертання з одногоколеса на iнше необхiдно нарiзатиq зуб-цiв на одному колесi i p на iншому так,щоб їх вiдношення p

qякнайкраще на-

ближало задане на початку число куто-вихшвидкостейω.

За розрахунками Гюйгенса потрiбнобуло виготовити зубчастi колеса з вiдно-шенням кутових швидкостей x = 938

727.

Виробити мiцнi колеса з 938 i 727 зубця-ми неможливо, тому потрiбно пiдiбратиколеса з меншою кiлькiстю зубцiв, при-чому похибка повинна бути якнаймен-шою.

Число x = 938

727розкладемо у ланцюго-

вий дрiб: 938727= [1; 3, 2, 4, 11, 2]. Знайдемо

пiдхiднi дроби цього дробу:

P0

Q0

= 1,P1

Q1

=

4

3,

P2

Q2

=

9

7,

P3

Q3

=

40

31,

P4

Q4

=

449

348,

P5

Q5

=

938

727.

Оцiнимо третiй i четвертий пiдхiднiдроби. Маємо P4

Q4< x <

P3

Q3, тому

x ≈ P3

Q3

=

40

31.

За нерiвнiстю (1) похибка наближення

ε <

1

Q3Q4

=

1

31 · 348 =1

10788<

1

10000.

Тому, якщо виготовити зубчастi коле-са з 40 i 31 зубцями, то вiдношення їхкутових швидкостей дорiвнюватиме 40

31


i буде вiдрiзнятися вiд заданого вiдно-шення 938

727менше нiж на 1

10000, що пра-

ктично буде не вiдчутно [1].Важливим i цiкавим є застосування

ланцюгових дробiв до добування ква-дратного кореня за допомогоюматрицьдругого порядку [4]. Нехай u – це число,з якого добуваємо квадратний корiнь,a – наближення кореня з надлишком.Уведемо узагальнення ланцюговихдробiв, у яких чисельники i знаменникидвох послiдовних пiдхiдних дробiвпов’язанi залежнiстю

{

Pn = a Pn−1 + u Qn−1,

Qn = Pn−1 + a Qn−1(2)

для n ≥ 1; припустимо, що початковiзначення P0 = a ,Q0 = 1.

Цi формули можна одержати за допо-могою дiй над матрицями:

(

Pn

Qn

)

=

(

a u

1 a

)

·(

Pn−1Qn−1

)

.

Припустимо, що iснує границя

limn→∞

Pn

Qn

= x .

(Згодом ми доведемо її iснування.)Тодi, подiливши рiвняння системи (2)

одне на iнше, одержимо

Pn

Qn

=

a · Pn−1Qn−1+ u

Pn−1Qn−1+ a

.

Перейшовши до границi, отримаємо

x =ax + u

x + a,

звiдки x2= u . Оскiльки всi дроби були

додатними, то x =√

u . Вiднiмемо x вiдлiвої i правої частин виразу для Pn

Qn:

Pn

Qn

− x =a · Pn−1

Qn−1+ u

Pn−1Qn−1+ a

− x .

Враховуючи рiвностiu = x2 та (2), маємо

Pn

Qn

− x =a − x

Qn

· Qn−1

(

Pn−1Qn−1

− x

)

.

Перетворимо вираз Pn−1Qn−1

− x , викори-

ставши рiвностi (2) iu = x2:

Pn−1Qn−1

− x =a − x

Qn−1· Qn−2

(

Pn−2Qn−2

− x

)

.

Пiдставляючи у рiвняння знайденi зна-чення для Pn

Qn− x та Pn−1

Qn−1− x , отримаємо

Pn

Qn

− x =(a − x)2 · Qn−2

Qn

(

Pn−2Qn−2

− x

)

.

Продовжуючи цей процес, через n кро-кiв одержимо

Pn

Qn

− x =(a − x)n

Qn

· Q0 ·(

P0

Q0

− x

)

.

За припущенням P0

Q0=

a1, тодi

Pn

Qn

− x =(a − x)n+1

Qn

.

Iз цiєї рiвностi, якщо a – наближенняквадратногокоренязнадлишком,тобтоa > x , то Pn

Qn> x для довiльного n.

Тепер порiвняємо вирази Pn

Qni Pn−1

Qn−1.

Виразивши Pn i Qn через Pn−1 i Qn−1, урезультатi одержуємо

Pn

Qn

− Pn−1Qn−1

=

a · Pn−1Qn−1+ u

Pn−1Qn−1+ a

− Pn−1Qn−1

=

=

u − P 2n−1

Q 2n−1

Pn−1Qn−1+ a=

(

x +Pn−1Qn−1

) (

x − Pn−1Qn−1

)

Pn−1Qn−1+ a

.

Бачимо, що Pn−1Qn−1

>Pn

Qn, тому послiдов-

нiсть «пiдхiдних дробiв» спадає за умовиa > x :

a >P1

Q1

> · · · > Pn−1Qn−1

>

Pn

Qn

> · · · > x .

Звiдси випливає, що послiдовнiсть Pn

Qn

має границю; ми вже показали, що цяграниця дорiвнює x =

√u .

Приклад 2. Нехай потрiбно наближенообчислити

√63. Маємо x =

√63. Оскiль-

ки√63 <

√64 = 8, то можна взяти як


наближення з надлишком a = 8. Такожпокладемоu = 63.

Складемо матрицю другого порядку:

(

a u

1 a

)

=

(

8 63

1 8

)

.

Починаємо з

P0

Q0

=

8

1.

Знайдемо пiдхiднi дроби:

(

P1

Q1

)

=

(

8 63

1 8

)

·(

8

1

)

=

(

127

16

)

,

P1

Q1

=

127

16≈ 7,9375;

(

P2

Q2

)

=

(

8 63

1 8

)

·(

127

16

)

=

(

2024

255

)

,

P2

Q2

=

2024

255≈ 7,9372549;

(

P3

Q3

)

=

(

8 63

1 8

)

·(

2024

255

)

=

(

32257

4064

)

,

P3

Q3

=

32257

4064≈ 7,937253937.

Отже, √63≈7,937253937;

ви можете переконатися, що розбi-жнiсть з iстинним значенням лише востанньому знаку.

Так за допомогою ланцюгових дробiвможна знаходити наближено квадратнiкоренi з чисел.

Отже, ланцюговi дроби мають широ-ке застосування у рiзних галузях. Вони

покликанi розв’язувати рiзнi задачi, якiвиникають на шляху нових вiдкриттiвта досягнень. Вiдомими на сьогоднi є за-стосування ланцюгових дробiв у мате-матичнiй науцi, фiзицi, астрономiї, тех-нiчному конструюваннi тощо. У статтiрозглянута лише незначна частина за-стосувань цих цiкавих дробiв. Але свiтне стоїть намiсцi, вiн невпиннорозвива-ється, так само, як i апарат ланцюговихдробiв та їхнiх застосувань.

ЛIТЕРАТУРА

[1] Дiдкiвська Т. В. Визначнi iсто-ричнi задачi з теорiї чисел /Т. В. Дiдкiвська, Т. А. Сверчевська //Актуальнi питання природничо-математичної освiти: зб. наук. пр. –Суми : Мрiя, 2013. –№ 1. – С. 8–18.

[2] ЗавалоС.Т.Алгебра i теорiячисел.У2ч.Ч. 2 /С. Т. Завало. –К. : Вищашк.,1976. – 384 с.

[3] Призва Г. Й. Ланцюговi дроби i ка-лендарнi системи / Г. Й. Призва //У свiтi математики: зб. наук.-попул.статей. – 1978. – Вип. 9. – C. 19–42.

[4] Хованский А. Н. Приложениецепных дробей и их обобщений квопросам приближенного анализа/ А. Н. Хованский. – М. : Госуд. изд-во технико-теоретической л-ры,1956. – 203 с.

ОБРIЇ ГЕОМЕТРIЇ

ПРЯМА ЧЕРЕЗ ДВА ОРТОЦЕНТРИХiлько Данило Iгорович,

Ecole normale superieure de Paris

В2014 роцi на Європейську олiм-

пiаду для дiвчат (EGMO 2014 [1])

автором запропоновано таку

задачу (сформульовану нижче у виглядi

теореми).

Теорема 1. На сторонах AB та AC го-

строкутноготрикутникаABC вiдмiче-

но вiдмiннi вiд вершин точки D та E

вiдповiдно так, що DB = C E . Прямi

C D та BE перетинаються в точцi F .

Тодi ортоцентр трикутника BF C , ор-

тоцентр трикутника E F D i середина

M дуги BAC описаного кола трикутни-

ка ABC лежать на однiй прямiй 1.

Нампотрiбнапроста, аледужеважли-

ва i корисна лема. Тут i надалi в форму-

люваннях лем, задач та тверджень бу-

демо користуватися позначеннями, якi

введено ранiше.

Лема 1. DM = E M .

Доведення. Маємо зi вписаних кутiв

∠M C A = ∠M BA (рис. 1). Оскiльки M –

середина дуги BAC , то ∠M C B = ∠M BC ,

тобто трикутник BM C рiвнобедрений i

BM =M C . Тодi трикутникиC E M iBDM

рiвнi, звiдкиDM = E M . �

Зауваження 1. До того ж, оскiльки три-

кутники C E M i BDM рiвнi, то ∠M EC =

1Насправдi, задачаформулюваласятрохи iна-

кше: якщо DB = BC = C E , треба довести, що

наоднiйпрямiй з ортоцентромтрикутникаE F D

i точкою M лежить iнцентр трикутника ABC .

Читач може переконатися, що за цiєї умови

iнцентр ABC збiгається з ортоцентром BF C .

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

Рис. 1

= ∠M DB , тобто ∠ADM = ∠AE M . Отже,

точки A,M , E ,D лежать на одному колi.

Цю лему можна перекласти «фiзико-

зоологiчною»мовою: якщо з вершинB i

C одночасно починають рух двi комахи,

що рухаються по вiдрiзках BA та C A у

бiк точки A з однаковимишвидкостями,

то в будь-який момент часу комахи бу-

дуть рiвновiддаленими вiд точки M . До

того ж, згiдно iз зауваженням, комахи,

а також точки A, M належать одному

колу. Ця мова i цей принцип дотичнi до

методу лiнiйної неперервностi в геоме-

трiї, який дозволяє, застосувавши де-

яки загальнi факти, довести тверджен-

ня для загального випадку, перевiрив-

ши кiлька часткових. Докладнiше про

цей метод можна дiзнатися з матерiалiв

Ф. Iвлева [2].

26

Д. I. Хiлько. Пряма через два ортоцентри 27






O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1O1

O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2O2

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2L2

L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1L1

K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K1

K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2K2

H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2H2


Рис. 2

Сюжет леми – мандрiвний. Вiн часто

з’являється в олiмпiадних задачах, а за

допомогою цiєї леми, а також iнших, на

першийпогляд,ненадтовибагливихфа-

ктiв можна розв’язати дуже складнi гео-

метричнi задачi. Докладнiше дивiться

статтю А. Полянського [3], а також мате-

рiали занять його гуртка [4]. Цю статтю

також можна розглядати як подальше

дослiдження сюжету.

Для простоти викладу в усiх доведе-

ннях будемо вважати, що точки розта-

шованi саме так, як на вiдповiдному ри-

сунку.Хочазвичайномiркуванняможна

узагальнити i на iншi конфiгурацiї.

Доведеннятеореми 1. Позначимо орто-

центри трикутникiв BF C та DF E через

H1 i H2. Розглянемо кола ω1 i ω2, що

побудованi на вiдрiзках BD i C E вiдпо-

вiдно як на дiаметрах (рис. 2). Будемо

доводити, що у кожної з точокH1,H2,M

однаковий степiнь вiдносно кiл ω1 i ω2.

Тодi всi вони належать радикальнiй осi

кiлω1 iω2, яка є прямою.

НехайDK1, E K2—висоти трикутника

DF E ; BL1, C L2 — висоти трикутника

BF C . Тодi, оскiльки ∠DL1B = ∠DK1B =

= ∠C L2E = ∠C K2E = 90◦, точки L1,K1

належать ω1, а точки L2,K2 належать

ω2. Тодi степенi точок можна записати

так: p(H1,ω1) = H1L1 · H1B , p(H1,ω2) =

= H1L2 · H1C , p(H2,ω1) = H2K1 · H2D ,

p(H2,ω2) = H2K2 · H2E . З iншого боку,

маємо ∠DK1E = ∠DK2E = ∠BL1C =

= ∠BL2C = 90◦, тому чотирикутники

DK1K2E i BL1L2C вписанi. Звiдси H2K1 ×

× H2D = H2K2 · H2E , H1L1 · H1B =

H1L2 × H1C , а тому степенi точки H1, а

також точки H2, рiвнi вiдносно кiл ω1 i

ω2. Тому H1 i H2 належать радикальнiй

осiω1,ω2.

Залишається показати, що точка M

також належить радикальнiй осi ω1,

ω2. Нехай O1 i O2 – центри ω1 i ω2вiдповiдно. Зрозумiло,щоO1 – середина

BD , а O2 – середина C E . Тодi BO1 =

CO2, отже можна застосувати лему 1

для точок O1 i O2. За лемою O1M =

MO2. Тодi p(M ,ω1) = MO2

1− O1D2

=


MO2

1− BD2/4 = MO2

2− C E 2/4 =

MO2

2− O2C

2= p(M ,ω2). Отже, M

також належить радикальнiй осi кiл ω1iω2. �

Наша мета – дослiдити властивостi

прямоїH1H2. Ми вже багато знаємо про

одну з точок перетину H1H2 з описаним

колом ABC – це середина дуги BAC . Що

можна сказати про iншу точку?

Теорема 2. Нехай пряма H1H2 вдруге

перетинає описане коло ABC в точцi

T . Позначимо через A ′ точку, яка є

симетричною до A вiдносно серединного

перпендикуляра вiдрiзкаBC . Тодi точки

T ,H2, F i A ′ лежать на одному колi.

Для доведення теореми 2 нам потрi-

бна пiдготовка.

Розглянемо колоω iз центром у точцi

M i радiусом M A. Очевидно, що ω про-

ходить через A ′. Згiдно iз зауваженням

до леми 1, точки A, M , E , D лежать на

одному колi. Позначимо його через γ.

Нехай γ вдруге перетинає ω в точцi Z , а

пряма A ′Z вдруге перетинає γ в точцiV .

Твердження 1. Прямi AZ i DE пара-

лельнi, аточка V лежитьна серединно-

му перпендикулярi до вiдрiзка BC .

Доведення. Зрозумiло, що M A = M Z

(рис. 3). За лемою 1 M D = M E . Тодi

маємо такi рiвностi менших дуг кола γ:

M A = M Z , M D = M E . Тодi AD = Z E як

дуги, звiдки маємо рiвнiсть вiдповiдних

вiдрiзкiв. Це означає, що чотирикутник

DAZ E —трапецiя.

Запишемо ∠AMV = ∠AZV = 180◦ −

− ∠AZ A ′= 180

◦ − (180◦ − ∠AM A ′/2) =

= ∠AM A ′/2. Бачимо, що пряма MV є бi-

сектрисою кута ∠AM A ′. Оскiльки AM =

= M A ′, трикутник AM A ′ – рiвнобедре-

ний, а тому прямаMV є перпендикуляр-

ною до хорди AA ′ описаного кола ABC .

Отже,MV – дiаметрцього кола, тобто се-

рединний перпендикуляр вiдрiзка BC ,






VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′A′

Рис. 3







VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV




Рис. 4

бо уже доведено, щоM належить цьому

серединному перпендикуляру. �

Наступний факт є ключовим для до-

ведення задачi 2, хоча вiн дуже цiкавий

i сам по собi.

Твердження 2. Точка F належить пря-

мiй A ′Z .

Доведення. Будемо доводити, що точка

F належить прямiй V Z (рис. 4). Для цьо-

го застосуємо кутову форму оберненої

теореми Чеви до трикутникаDV E i пря-

мих DC , E B , V Z . За кутовою формою

оберненої теореми Чеви достатньо по-

казати, що

sin ∠E DC

sin ∠C DV·sin ∠DV Z

sin ∠ZV E·sin ∠V E B

sin ∠BE D= 1.

За твердженням 1 DAZ E – трапецiя,

тому, згiдно iз теоремою синусiв,

sin ∠DV Z

sin ∠ZV E=

DZ

Z E=

AE

AD.

Далi застосуємо теорему синусiв для

трикутникiвDEC iDV C :

sin ∠E DC

C E=

sin ∠DEC

C D,

sin ∠V DC

V C=

sin ∠DV C

DC,

звiдки

sin ∠E DC

sin ∠C DV=

C E

V C·

C D · sin ∠DEC

C D · sin ∠DV C=

=

sin ∠DEC · C E

sin ∠DV C ·V C.

Аналогiчно iз трикутникiвDE B i BEV

sin ∠DE B

BD=

sin ∠BDE

BE,

sin ∠V E B

V B=

sin ∠BV E

BE,

звiдки

sin ∠V E B

sin ∠BE D=

V B

BD·

BE · sin ∠BV E

BE · sin ∠BDE=

=

sin ∠BV E ·V B

sin ∠BDE · BD.







F


TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT


Q


Рис. 5

Пiсля пiдстановки отримуємо,що потрi-

бно довести рiвнiсть

sin ∠DEC · C E

sin ∠DV C ·V C·

AE

AD·sin ∠BV E ·V B

sin ∠BDE · BD= 1.

За умовою BD = C E , а за тверджен-

ням 1 точка V лежить на серединному

перпендикулярi до вiдрiзка BC разом iз

точкою M . Тому V B = V C i ∠MV C =

= ∠MV B . Крiм того, як уже неодноразо-

во сказано,M – середина дугиDAE кола

γ, тому ∠DV C = ∠BV E . Тодi пiсля спро-

щення отримуємо, що достатньо дове-

сти таке:

sin ∠DEC · AE

sin ∠BDE · AD= 1,

що є простим наслiдком теореми сину-

сiв для трикутникаDAE . �

Доведеннятеореми 2. Нехай прямi F Z

i DE перетинаються в точцi Q (рис. 5).

Внаслiдок тверджень 1 i 2 ∠DQ F =

= ∠AZ F = 180◦ − ∠AZ A ′

= ∠AM A ′/2.

Тодi, оскiлькиH2F ⊥ DE , ∠A ′F H2 = 90◦+

+ ∠DQ F = 90◦ + ∠AM A ′/2. З iншого боку,

∠H2T A ′= ∠MT A ′

= ∠AT A ′/2. Звiдси

∠H2T A ′+ ∠H2F A ′

= 90◦+ ∠AM A ′/2 +

+ ∠AT A ′/2 = 90◦+ 90

◦= 180

◦, отже

чотирикутникT H2F A ′ вписаний. �

Нехай колоω вдруге перетинає прямi

AB i AC в точках X iY (рис. 6).

Зауваження 2. Точки X , Y можна

охарактеризувати й iнакше. ∠MY C =

180◦ − ∠MY A = 180

◦ − ∠M AC = 180◦ −

− ∠M C B = ∠M AB . Також ∠ABM =

∠AC M . Отже, трикутники M AB i MY C





XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

Рис. 6

подiбнi за двома кутами, а оскiльки

AM = MY , то вони рiвнi. Аналогiчно,

трикутники BX M i M AC рiвнi. Звiдси

X – така точка на BA, що BX = C A,

а Y – така точка на C A, що CY =

= BA. Тобто точки X i Y є крайнiми

положеннями точок D i E , коли одна

з цих точок збiгається з вершиною A.

Справдi, точки D та E обираються на

BA iC A довiльним чином, але так, щоби

задовольняти умову BD = C E , тож,

якщо брати D = A, то E = Y , а якщо

E = A, то D = X . Останнє є скорiше

фiлософським аргументом, хоча б тому,

щомиобмежилисярозгляданнямточок

D i E всерединi вiдрiзкiвBA,C A, але цей

аргумент висвiтлює природу точок X ,Y .

Наша остаточна мета: довести насту-

пну теорему.

Нехай K – основа висоти трикутника

BF C , що проведена з вершини F (рис. 7).

Теорема 3. ПрямаT A ′ проходить через

точку K .

Твердження 3. Пряма XY проходить

через середину вiдрiзкаH1H2.










KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1

Рис. 7

Доведення. Покажемо, що

sin ∠BT K

sin ∠K T C=

sin ∠B

sin ∠C.

Якщо виконується ця рiвнiсть, то,

оскiльки ∠BT K + ∠K T C = ∠B + ∠C , за

вiдомим фактом ∠BT K = ∠B , звiдки

випливає, що пряма T K проходить

через A ′ (рис. 7).

За теоремою синусiв, застосованою

до трикутникiв BK T ,T K C ,

sin ∠BT K

BK=

sin ∠BK T

BT,

sin ∠K T C

K C=

sin ∠C K T

T C,

звiдки

sin ∠BT K

sin ∠K T C=

T C

K C·

BK

BT=

sin ∠H1M C

sin ∠BM H1

·BK

K C.

Iз теореми синусiв, застосованої до три-

кутникiвM BH1,M H1C ,

sin ∠BM H1

BH1

=

sin ∠M BH1

M H1

,

sin ∠H1M C

H1C=

sin ∠M C H1

M H1

.


Легко перевiрити, що

BK

BH1

= sin ∠F C B ,C K

C H1

= sin ∠F BC .

Iз цього всього виводимо, що

sin ∠BT K

sin ∠K T C=

sin ∠C M H1

sin ∠H1M B·

BK

K C=

=

sin ∠M C H1

sin ∠M BH1

·C H1

BH1

·BK

C K=

=

sin ∠M C H1

sin ∠M BH1

·sin ∠F C B

sin ∠F BC.

Чомудорiвнюютькути ∠M BH1 i ∠M C H1?

Виконаємо їх пiдрахунок, позначивши

α = ∠A/2:

∠M BH1 = ∠M BC − ∠H1BC =

= 90◦ − α − (90◦ − ∠F C B) = ∠F C B − α.

Аналогiчно ∠M C H1 = ∠F BC − α. Таким

чином, застосовуючи тригонометричнi

формули,

sin ∠BT K

sin ∠K T C=

sin(∠F BC − α)/sin ∠F BC

sin(∠F C B − α)/sin ∠F C B=

=

cosα − cot ∠F BC sinα

cosα − cot ∠F C B sinα.

Легкобачити iз трикутника, утвореного

точками B , E i проекцiєю E на BC , що

cot F BC =BC −C E cos ∠C

C E sin ∠C.

Аналогiчно

cot F C B =BC − BD cos ∠B

BD sin ∠B.

Достатньо довести, що

(cosα − cot ∠F BC sinα) · sin ∠C =

= (cosα − cot ∠F C B sinα) · sin ∠B ,

або, пiсля пiдстановки котангенсiв,

sin ∠C cosα − sinα ·BC −C E cos ∠C

C E=

= sin ∠B cosα − sinα ·BC − BD

BD sin ∠B.

З урахуванням умови C E = BD ця

рiвнiсть рiвносильна

sin ∠C cosα + cos ∠C sinα =

= sin ∠B cosα + cos ∠B sinα,

або

sin(∠C + α) = sin(∠B + α),

яка є очевидною, бо

∠C + α + ∠B + α = 180◦. �

Твердження 4. Точка, що є симетри-

чною до H1 вiдносно BC , належить опи-

саному колу точокT ,H2, F , A ′ (див. тео-

рему 2).

Доведення. Позначимо через H ′1точку,

симетричнуH1 вiдносноBC (рис. 7). Тодi

H1K = K H ′1. Як вiдомо, K F · K H1 =

= K B · K C , тобто H ′1

K · K F = BK · K C .

Зрозумiло,щоBK ·K C = T K ·K A ′. Отже,

T K · K A ′= K F · K H ′

1, тобто точки A ′, F ,

T ,H ′1лежать на одному колi. �

Твердження 5. Пряма XY проходить

через F .

Доведення. Застосуємо обернене твер-

дженнятеоремиМенелаядлятрикутни-

каBAE i точокX ,Y , F (рис. 8). Достатньо

довести, що

BX

X A·

AY

Y E·

E F

F B= 1.

З iншого боку, згiдно iз теоремоюМене-

лая для трикутника ABE i прямоїDC ,

E F

F B·

BD

DA·

AC

C E= 1.

Пiдставимо значення E F /F B у рiвнiсть,

яку хочемо довести:

BX

X A·

AY

Y E·

DA

BD·

C E

AC= 1.

За умовою BD = C E , а згiдно iз зауваже-

нням 2, BX = AC , AY = AX , AD = Y E ,

тобто лiва частина попередньої рiвностi

справдi рiвна 1. �











KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1H ′

1



NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN


Рис. 8


Нехай пряма XY перетинає H1H2 в

точцiN .

Твердження 6. Точки T , K , F , N нале-

жать одному колу.

Доведення. Зрозумiло, що AM – бiсе-

ктриса зовнiшньогокутапривершинiA,

X A = X B − AB = AC − CY = AY (див.

рис. 6 i зауваження 1), тобто трикутник

X AY рiвнобедрений. Тодi бiсектриса

AM кута X AY є також висотою в цьому

трикутнику. Тому XY ⊥ AM . Звiдси,

враховуючи те, що X ,Y, F колiнеарнi,

∠F NT = 90◦ − ∠AMT = 90

◦ − ∠BCT −

− ∠A ′T C = 90◦− ∠BK C = ∠F K A ′= 180

◦−

− ∠F K T , тобто точки T , K , F , N лежать

на одному колi (рис. 8). �

Доведеннятеореми 3. Маємо два кола:

коло, на якомулежать точкиH ′1,T ,H2,F ,

A ′; а такожколо,наякомулежатьT ,K ,F ,

N (рис. 8). Обчислимо степiнь точки H1

вiдносноцихдвохкiл:H1N ·H1T = H1F ×

× H1K , H1H2 · H1T = H1F · H1H ′1. Однак

H1H ′1= 2H1K , звiдки маємо рiвнiсть

H1F · H1H ′1= 2H1F · H1K , а тому H1H2 ×

×H1T = 2H1N · H1T , тобтоH1H2 = 2H1N .

Отже,N – серединаH1H2. �

ЛIТЕРАТУРА

[1] European Girls’ Mathematical

Olympiad 2014, Antalya, Turkey:

Problems and Solutions [Електрон-

ний ресурс]. – Режим доступу :

http://egmo2014.tubitak.gov.tr/

index.html

[2] Материалы занятий кружков

Ф. А. Ивлева: Линейность-1 [Эле-

ктронный ресурс]. – Режим досту-

па : http://geometry.ru/materials/

kruzhki_big.php

[3] Полянский A. Воробьями по

пушкам / A. Полянский // Квант. –

2012. –№ 2.

[4] Материалы занятий кружков

А. Полянского: Воробьями по

пушкам и окрестности [Электрон-

ный ресурс]. – Режим доступа :

http://geometry.ru/materials/

kruzhki_big.php

СТУДЕНТСЬКА СТОРIНКА

ТЕОРIЯ ЙМОВIРНОСТЕЙ ТА IГРИ:

ЗАДАЧА ПРО БАНКРУТСТВОЮрченко–Титаренко Антон Юрiйович,


УЯВIМО ситуацiю – Алiса, потрапив-

ши у Країну чудес, побачила таку

картину: перед будинком, пiд де-

ревом, був виставлений стiл, за яким

грали в якусь гру Березневий Заєць та

Капелюшник.Мiжними спав як убитий

Сонько-Гризун, який бачив цiкавий сон

та вiд цього дригав своїми м’якими нiж-

ками. Якщо Сонько ворушив лiвою нiж-

кою, тоБерезневийЗаєцьвiддававКапе-

люшнику монетку; якщо правою – нав-

паки; одночасно двома нiжками Сонько

ворушити не мiг. Кiлькiсть монеток в

обох друзiв обмежена i дорiвнюєA у Зай-

ця та B у Капелюшника (рис. 1).

Алiса з першого погляду зрозумiла:

герої дуже азартнi i гратимуть доти, до-

киукогось iзнихнезалишитьсягрошей

узагалi. Вважаємо, що ймовiрнiсть ви-

грашу Зайця дорiвнює p , а ймовiрнiсть

його програшу (i, вiдповiдно, виграшу

Капелюшника) – q = 1 − p . Крiм того,

ми припускаємо, що Соньку наснився

настiльки цiкавий сон, що на те, якою

нiжкою вiн поворушить у наступну хви-

лину, не впливають його рухи в попере-

днi моменти часу 1.

1 Така ситуацiя дiйсно могла б вiдбутися в

оригiнальному творi – «Алiса в країнi чудес».

Льюїс Керролл, його автор та до того ж про-

фесiйний математик, зашифрував у романi цiлу

низку цiкавих математичних концепцiй, сатиру

на своїх колег та математичну науку загалом.

Тож ця казка насправдi має подвiйне (а то й по-

трiйне!) днотарекомендуєтьсядообов’язкового

ознайомлення.

Алiса – дуже вихована дiвчинка, тому

вирiшила почекати до закiнчення гри,

перш нiж звернутися до чудернацької

трiйки. «А чи закiнчиться це взагалi?»

– раптово подумала вона, спостерiгаю-

чи, як Заєць та Капелюшник по черзi

вiддають один одному невеликi срiбнi

монетки. – «Та й цiкаво, хто виграє. . .»

На щастя, вiдповiдi на запитання Алi-

си є добре вiдомими; бiльше того, вiдо-

мимище здавна – задача такого вигляду

єприкладомтакзваноїкласичної задачi

про банкрутство. Немає сумнiву в то-

му,що в iсторiї теорiї ймовiрностей вона

вiдiграла досить важливу роль: саме в

цiй задачi вперше почали вивчати змi-

ни стохастичної системи в часi, тобто

певною мiрою вона стала першим кро-

комдоствореннятеорiї випадковихпро-

цесiв.

Уперше задачу про банкрутство в де-

що спрощеному виглядi було запропо-

новано ще у 1657 роцi Х. Гюйгенсом у

книжцi «Про розрахунки в азартнiй грi»

(назва твору зайвий раз пiдкреслює, що

коренi теорiї ймовiрностей слiд шукати

в казино). Пiзнiше, вже в 1710–1713 ро-

ках задачу було сформульовано у вигля-

дi, схожому на наведений вище, та зна-

йдено першi пiдходи до її розв’язку. Так,

у 1710 роцi ймовiрностi виграшу у такiй

грi у випадку p = q знайшов П. Мон-

мор, у 1711 роцi Н. Бернуллi узагальнив

цей результат на випадок p , q , а в

1711 роцi А. де Муавр повторив резуль-

35


Рис. 1. Божевiльне чаювання (iлюстрацiя Пiтера Ньювелла)

тати Монмора i Бернуллi та додатково

обчислив середню кiлькiсть партiй до

завершення.

Тут треба зауважити, що анi Монмор,

анi Бернуллi, анi де Муавр не мали апа-

рату сьогоднiшньої теорiї ймовiрностей,

а тому їхнi мiркування були як на суча-

снi стандарти досить нестрогими. Про-

те зараз завдяки розвитку математики

ми можемо навести чiтко визначену мо-

дель такої гри.

Нехай ξn – виграш Зайця в n-й партiї,

тобто

ξn =

{1 з iмовiрнiстю p ,

−1 з iмовiрнiстю q .

Згiдно з нашими припущеннями,

послiдовнiсть {ξn ,n ≥ 0} – це послiдов-

нiсть незалежних однаково розподiле-

них випадкових величин.

Щоб не обтяжувати читача, не зна-

йомого з теорiєю мiри, викладенням

досить складних означень, будемо

сприймати випадкову величину як

деяке значення, яке ми не знаємо точно

наперед, але можемо спрогнозувати

з деякою ймовiрнiстю 2. Iнтуїтивно

незалежнiсть випадкових величин

означає, що на значення однiєї випад-

кової величини не впливають значення

2 У випадку, якщо читач бажає дiзнатися

бiльше, зокрема ознайомитися з формальним

означенням випадкової величини, радимо звер-

нутися до книжок [5], [7] або [8].

iнших. Такий погляд добре iлюструє

суть незалежностi, проте далi нам

буде потрiбна певна формалiзацiя

цього поняття, а тому наведемо таке

означення.

Означення 1. Умовною ймовiрнiстю

подiї E2 за умови настання подiї E1 (з

P(E1) > 0) називається величина

P(E2 | E1) =P(настали подiї E1 i E2)

P(настала подiя E1).

Зауваження 1. Подiю, що полягає в на-

станнi одразу i E1, i E2, зазвичай позна-

чають E1 ∩ E2 або E1E2. У таких позначе-

ннях умовна ймовiрнiсть перепишеться

як

P(E2 | E1) =P(E1 ∩ E2)

P(E2).

Тут значок ∩ – нiщо iнше, як теоретико-

множинний перетин. Сенс такого

позначення полягає в тому, що в

теорiї ймовiрностей на подiї дивляться

як на множини – iз таким пiдходом

можна ознайомитися, наприклад, у

роздiлi I книжки В. Феллера [7]. Цей

пiдхiд не потребує вiд читача знань за

межами шкiльної програми. Надалi

ми користуватимемося саме таким

позначенням, а також будемо вживати

нотацiю E1 ∪ E2 для подiї, що полягає

в настаннi E1 або E2 (можливо, обох

одночасно).

Зауваження 2. Iмовiрнiсть можна спри-

ймати як «вагу», що ми приписуємо тiй

А.Ю.Юрченко–Титаренко. Теорiя ймовiрностейта iгри 37

чи iншiй подiї. Вiдповiдно, умовна ймо-

вiрнiсть P(E2 | E1) – нiщо iнше, як доля

«ваги» подiї E1 ∩ E2 (тобто можливих пе-

ребiгiв подiй, що призводять не тiльки

до E1, але одночасно i до E2) у загальнiй

«вазi» подiї E1.

Зауваження 3. У чому полягає змiст

означення 1? P(E2 | E1) – це ймовiрнiсть

настання подiї E2, якщо вiдомо, що

настала подiя E1.

Означимо поняття незалежностi ви-

падкових подiй, яке грає важливу роль

у теорiї ймовiрностей. Ясно, що подiї E1

та E2 природно вважати незалежними,

якщо знання тiєї обставини, що подiя

E1 вiдбулася, не впливає на ймовiрнiсть

настання подiї E2.

Означення 2. Подiї E1 та E2 називаю-

ться незалежними, якщо

P(E2 | E1) = P(E2).

Наступне означення фактично є

прикладом застосування означення 2

до послiдовностi випадкових величин.

На перший погляд для людини, незна-

йомої з теорiєю ймовiрностi, воно може

здатися громiздким, але означає воно

в точно те саме, що було сказано вище:

випадковi величини з певного набору

є незалежними, якщо значення одних

величин iз цього набору не впливає на

значення iнших.

Означення 3. Нехай задано послiдов-

нiсть випадкових величин {ξn ,n ≥ 0},

якi, для простоти, можуть набувати ли-

ше цiлих значень. Цi випадковi величи-

ниназиваютьсянезалежнимив сукупно-

стi, або просто незалежними, якщо для

будь-якого m ≥ 2 та будь-якого набо-

руцiлихчиселx1, x2, . . . , xm виконується

спiввiдношення

P(ξ1 = x1, ξ2 = x2, . . . , ξm = xm) =

= P(ξ1 = x1)P(ξ2 = x2) · · · P(ξm = xm).

Перед тим, як перейти до розв’язку

задачi, наведемо дуже просту теорему.

Теорема 1 (формула повної ймовiр-

ностi). Нехай задано подiї A,E1,E2,

причому вiдомо, що подiї E1 та E2

несумiснi (не можуть трапитися

разом) та

P(вiдбудеться E1 або E2) = 1.

Тодi

P(A) = P(A | E1) · P(E1) + P(A | E2) · P(E2).

Повернемося до нашої чудернацької

гри. Через Sn позначимо загальний ви-

граш Зайця пiсля n партiй, тобто

Sn = ξ1 + ξ2 + · · · + ξn =

n∑

k=1

ξk .

Також ясно, що до першої партiї су-

марний виграш Зайця становив 0 гри-

вень, тобто покладемо S0 = 0.

У такомуформулюваннi гра закiнчує-

ться, якщо при деякому N виконується

рiвнiсть SN = B (i тодi Заєць виграє)

або SN = −A (у цьому випадку виграє

Капелюшник). Така модель дуже добре

iлюструється геометрично: кожному ва-

рiанту перебiгу подiй у грi можна поста-

вити у вiдповiднiсть траєкторiю-ламану

на паперi в клiтинку. Ламана починає-

тьсявнулi; якщоξn = 1 (з iмовiрнiстюp),

толаманана iнтервалi (n −1,n] iде вгору

i вправо, якщо ξn = −1 (з iмовiрнiстю

q) – то вниз i влiво (рис. 2). Мiркувати

в термiнах таких геометричних траєкто-

рiй дуже зручно, адже вони дозволяють

вiзуалiзувати перебiг подiй у нашiй грi,

причому за кожною траєкторiєюможна

однозначно встановити, як саме прохо-

диласерiяпартiй. Зауважимотакож,що

в нашому випадку закiнченню гри вiд-

повiдаєдосягненнятраєкторiєюрiвняB

або−A.

Уявiмо на хвилинку, що початковий

розподiл капiталуA +B мiжБерезневим

Зайцем та Капелюшником iнший: на по-

чатку в Зайця A + x замiсть A гривень, а

у КапелюшникаB − x замiстьB гривень,


//

n

OO Sn

.1

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

Рис. 2. Ламана, що вiдповiдає такому перебiгу подiй у перших семи партiях: спочатку ви-

гравЗаєць, потiмтриразипоспiльКапелюшник, потiмперемiг Заєць, потiмКапелюшник,

потiм знов Заєць

x ∈ {−A,−A + 1, . . . ,B − 1,B} (за такого

припущенняугеометричнiй iнтерпрета-

цiї задачi траєкторiї стартують не з нуля,

а з точки x ). На перший погляд це зда-

ється дивним, але для розв’язку задачi

дуже зручно одночасно розглядати всi

можливi варiанти початкового розподi-

лу капiталу, а не лише той єдиний, який

нам«потрiбен».Саметомунадалiмироз-

глядаємо питання досягнення рiвнiв B

та −A всiма можливими траекторiями,

кожна з яких починається в однiй iз то-

чок {−A,−A + 1, . . . ,B − 1,B}.

Уведемо деякi позначення. Через τ

позначимо час першого потрапляння

ламаної на один iз рiвнiв B або −A

(якщо ламана нiколи не потрапляє на

жоден iз цих рiвнiв, то τ = ∞). Подiю,

що полягає в досягненнi ламаною саме

рiвня B , позначимо

W1 = {τ < ∞,Sτ = B},

а рiвня−A

W + 2 = {τ < ∞,Sτ = −A}.

Ясно, що {τ < ∞} =W1 ∪W2. Далi, нехай

−A ≤ x ≤ B . α(x) := P(W1 | S0 = x) –

iмовiрнiсть того,щоламана, яка стартує

з точки x , досягла рiвняB , жодного разу

не потрапивши при цьому на рiвень −A,

β(x) := P(W2 | S0 = x) – iмовiрнiсть

того, що ламана, яка стартує з точки x ,

досягла рiвня −A, не потрапивши при

цьому на рiвень B .

Розглянемо деякi властивостi фун-

кцiйα таβ. Якщоламана стартує з точки

B , то вона вже потрапила на рiвень B , а

тому

α(B) = 1, β(B) = 0. (1)

Аналогiчно,

α(−A) = 0, β(−A) = 1. (2)

Тепер нехай ламана стартує з точки

x ∈ {−A + 1,−A + 2, . . . ,B − 2,B − 1}.

У момент часу 1 вона опиниться в точцi

x + 1 з iмовiрнiстю p та в точцi x − 1 з

iмовiрнiстю q . Помiтимо дуже важливу

особливiсть: якщо вiдомо, що ламана,

що стартує з x , у момент часу 1 опини-

лася в точцi x + 1, то ймовiрнiсть того,

що вона досягне рiвня B , не потрапив-

шижодногоразунарiвень−A, дорiвнює

α(x + 1). Дiйсно, ми можемо вважати

початковим саме момент часу 1, iгнору-

ючи попередню поведiнку ламаної, яка в

цьому випадку не є важливою. Саме тому,

за формулою повної ймовiрностi:

α(x) = pα(x + 1) + qα(x − 1), (3)

β(x) = pβ(x + 1) + qβ(x − 1), (4)

де x ∈ {−A + 1,−A + 2, . . . ,B − 2,B − 1}.

А.Ю.Юрченко–Титаренко. Теорiя ймовiрностейта iгри 39

Вправа 1. Подумати, як саме у цьому

випадку використано формулу повної

ймовiрностi.

Ми отримали двi системи рiзницевих

рiвнянь (3), (4), разом iз граничними

умовами (1), (2).

Нехай p , q . Рiвняння для α має два

очевиднi розв’язки: α1(x) = 1 та α2(x) =

=

( q

p

)x. Надалi позначимо θ =

q

p.

Вправа 2. Перевiрити, що α1 та α2 –

справдi частиннi розв’язки системи

рiзницевих рiвнянь (3).

Шукатимемо тепер функцiю α у ви-

глядi

α(x) = c1α1(x) + c2α2(x) = c1 + c2θx. (5)

З урахуванням граничних умов (1), (2)

маємо

α(x) =θx − θ−A

θB − θ−A. (6)

Вправа 3. Перевiрити формулу (6) та

отримати аналогiчну формулу для β:

β(x) =θB − θx

θB − θ−A. (7)

Чи достатньо цього? Нi: ми фактично

«вгадали» вигляд функцiї α (i знайшли

єдинуможливуфункцiю такого вигляду,

яка задовольняє всi потрiбнi умови),

проте не можна гарантувати, що всi

розв’язки можна подати у формi (5).

Тобто може статися, що знайдеться

iнший розв’язок нашої задачi, який ми

«загубили», коли припустили, як саме

виглядаєшукана функцiя.

Саме тому необхiдно додатково пере-

вiрити, чи дiйсно знайдена нами α є єди-

ним розв’язком задачi. Зрозумiло, що

для цього достатньо довести, що якщо

α –деякийрозв’язок системи (3), тойого

можна подати у виглядi (5).

Дiйсно, неважко перевiрити, що зна-

йдуться такi двi сталi c1, c2, що

c1 + c2θ−A= α(−A),

c1 + c2θ−A+1

= α(−A + 1).

Вправа 4. Довести це.

Вказiвка. Розглянути двi рiвностi, наве-

денi вище, як систему рiвнянь вiдносно

c1, c2.

Тодi з рiзницевого рiвняння (3) одер-

жуємо:

α(−A + 1) = pα(−A + 2) + q α(−A),

c1 + c2θ−A+1

= pα(−A + 2) + q(c1 + c2θ−A),

1 − q

pc1 +

1

pc2θ

−A+1 −q

pc2θ

−A= α(−A + 2).

Застосувавшите,щоp +q = 1таθ =q

p,

спростимо останнiй вираз:

c1 + c2θ−A+2

= α(−A + 2).

Аналогiчно перевiряється, що

c1 + c2θ−A+3

= α(−A + 3),

c1 + c2θ−A+4

= α(−A + 4),

· · · · · ·

та, загалом,

c1 + c2θx= α(x),

де−A ≤ x ≤ B .

Як бачимо, довiльний розв’язок

системи подається у виглядi (5), а отже

ми довели єдинiсть знайденої нами

функцiї. Випадок iз β розглядається

аналогiчно.

Вправа 5. Отримати при p = q = 1

2

розв’язок системи (6)–(7) з граничними

умовами (1)–(2)

α(x) =x + A

B + A,

β(x) =B − x

B + A,

та довести єдинiсть цього розв’язку.

Вказiвка. Повторити мiркування випад-

ку p , q , взявши α1(x) = 1,α2(x) = x .

Вправа 6. Показати, що

limp→ 1

2

θx − θ−A

θB − θ−A=

x + A

B + A.


Отже,

P(τ < ∞,Sτ = B | S0 = x) =

=

θx − θ−A

θB − θ−A, p , 1

2,

x + A

B + A, p = 1

2;

P(τ < ∞,Sτ = −A | S0 = x) =

=

θB − θx

θB − θ−A, p , 1

2,

B − x

B + A, p = 1

2.

Вiдзначимо, що ∀x ,−A ≤ x ≤ B ,

P(τ < ∞ | S0 = x) =

= P(τ < ∞,Sτ = B | S0 = x) +

+ P(τ < ∞,Sτ = −A | S0 = x) = 1,

а звiдси ламана, що починається в точцi

−A ≤ x ≤ B з iмовiрнiстю 1 досягне

одного з рiвнiв−A,B .

Повернемося тепер до нашої гри.

Iз попереднiх обчислень, гра мiж

Капелюшником та Зайцем обов’язково

закiнчиться, причому ймовiрностi

перемоги Зайця (ПЗ) та перемоги

Капелюшника (ПК) такi:

P(ПЗ) =

1 − θ−A

θB − θ−A, p , 1

2,

A

B + A, p = 1

2;

P(ПК) =

θB − 1

θB − θ−A, p , 1

2,

B

B + A, p = 1

2.

Отже, ми вiдповiли на запитання

Алiси. Залишається вiдзначити, що

цей приклад – лише проста iлюстрацiя

того, як за допомогою математики

можна описати явища нашого життя.

Ми живемо у Всесвiтi, де робити

абсолютно точнi прогнози неможливо,

але апарат теорiї ймовiрностей та

математичної статистики настiльки

гнучкий та зручний, що дозволяє

аналiзувати навiть тi процеси, якi, на

перший погляд, аналiзу принципово не

пiддаються.

Якщо ж читач бажає докладнiше

ознайомитися iз теорiєю ймовiрностей

та цiкавими задачами з неї (зокрема де-

тальнiше розiбрати описану тут задачу

про банкрутство), радимо звернутися

до книжок [2] та [6], для розумiння яких

достатньо знання шкiльної програми з

математики.

ЛIТЕРАТУРА

[1] Гнеденко Б. В. Курс теории вероя-

тностей: учебник / Б. В. Гнеденко. –

М. : Наука, 1988. – 448 с.

[2] Гнеденко Б. В. Элементарное

введение в теорию вероятностей /

Б. В. Гнеденко, А. Я. Хинчин. – М. :

Наука, 1970. – 168 с.

[3] Голомозий В. В. Збiрник задач з

теорiї ймовiрностей та математи-

чної статистики / В. В. Голомозий,

М. В. Карташов, К. В. Ральченко. –

К. : ВПЦ «Київський унiверситет»,

2015. – 366 с.

[4] Збiрник задач з теорiї випадкових

процесiв та її застосувань у фiнан-

совiй математицi та теорiї ризику /

Д. В. Гусак та iн. – К. : ВПЦ «Київ-

ський унiверситет», 2008. – 287 с.

[5] КарташовМ.В. Iмовiрнiсть, проце-

си, статистика. / М. В. Карташов. –

К. : ВПЦ «Київський унiверситет»,

2008. – 494 с.

[6] Мостеллер Ф. Пятьдесят занима-

тельных вероятностных задач с ре-

шениями / Ф. Мостеллер. – М. :

Наука, 1975. – 112 с.

[7] Феллер В. Введение в теорию веро-

ятностей и ее приложения / В.Фел-

лер. – М. : Мир, 1967. – 498 с.

[8] Ширяев А. Н. Вероятность /

А. Н. Ширяев. – М. : Наука, 1989. –

640 с.

ДО ПИТАННЯ ПРО АВТЕНТИЧНIСТЬ

«СЛОВА О ПОЛКУ IГОРЕВIМ»Майборода Ростислав Євгенович,


ДУМКА написати цю статтю вини-кла в мене пiсля обговорення до-машнього завданняводнiй акаде-

мiчнiй групi, де я викладав статистику.Студентам було запропоновано самимвибрати данi для статистичного аналi-зу в тiй областi, яка їх цiкавить. Виби-рають звичайно фiнансову, спортивнуабо маркетингову статистику. Але якосьодна студентка сказала, що її цiкавитьiсторiя, а до iсторiї статистичнi методизастосувати не можна: кожна iсторичнаподiя є унiкальною. Тому безглуздо усе-реднювати iсторичнi данi, кожен фактслiд аналiзувати окремо. Також немаєрацiї оцiнювати ймовiрностi або робитипрогнози iсторичнихподiй: усi вонивжевiдбулись.

Рисунок. Титульна сторiнка першого вида-

ння «Слова о полку Iгоревiм»

Така позицiя заслуговує на увагу,однак, це ще не вся правда. У цiй статтiрозглядається приклад застосовуваннястатистичної аргументацiї в iсторичнiйдискусiї до питання про авторство«Слова о полку Iгоревiм».

Ми розглянемо реальнi данi та цiка-ву iсторичнупроблему.Алеобмежимосьлише дуже малою частинкою цiєї про-блеми, тому, звичайно, наше дослiдже-ння матиме бiльше iлюстративний ха-рактер.Докладнийстатистичнийаналiзусiх даних, що стосуються «Слова» по-требував би, мабуть, монографiї обсягубiльшого, нiж весь цейжурнал.

1. IСТОРИЧНА ПРОБЛЕМА

ТА СТАТИСТИЧНI ДАНI

Як вiдомо, «Слово о полку Iгоре-вiм» було опублiковано у 1800 роцiО. I. Мусiним–Пушкiним як передрукдавньоруського рукопису. В українськiйта росiйськiй науцi прийнято вважати«Слово» автентичним твором невiдо-мого давньоруського автора кiнцяXII–XIII ст. (Гiпотеза А).

Однак значної популярностi (осо-бливо у захiдному лiтературознавствi)набули гiпотези про те, що «Слово»є iмiтацiєю/пiдробкою, виконаною уXVIII ст. (Гiпотеза I).Деякiдослiдникина-зивають такожможливих кандидатiв на

41


роль автора-iмiтатора. Американськийславiст ЕдвардКiнан обстоює авторствочеського фiлолога Йосефа Добров-ського (1753–1859) [6] (Гiпотеза IД).Французький славiст Андре Мазон [7]та росiйський iсторик О. О. Зiмiн [2]вважали автором архiмандрита IоїляБиковського, вiдякогоотримаврукописМусiн–Пушкiн (Гiпотеза IБ).

Росiйський фiлолог А. А. Залiзнякпровiв лiнгвiстичний аналiз мови«Слова», порiвнюючи її з мовою рi-зних схiднослов’янських лiтературнихджерел та мовою берестяних грамот,якi, починаючи iз середини ХХ ст.знаходять археологи при розкопкахдавньоруськихмiст (уНовгородi,Псковi,Старiй Русi, Торжку, Звенигородi Гали-цькому, Києвi та iн.). Результати йогодослiджень викладенi у книзi [1]: мова«Слова» має специфiчнi особливостiдавньоруської мови кiнця XII–XIII ст. 1,якi не були вiдомi лiтераторам талiнгвiстам XVIII ст. Цi особливостiне могли бути вiдтворенi авторамиXVIII ст. випадково або несвiдомо. ТомуА. А. Залiзняк приходить до висновкупро вiрнiсть гiпотези А.

Ми розглянемо тут лише одинаргумент iз книжки А. А. Залiзняка,що стосується положення у реченнiчастки ся. Як вiдомо, у сучасних лi-тературних українськiй та росiйськiймовах, ся з дiєсловами вживаєтьсяяк «постфiкс», тобто частина слова,що стоїть наприкiнцi (постпозицiя ся,наприклад: стосується, вживається).У сучасних дiалектах української мовита у деяких iнших слов’янських мовах ся

1 Точнiше, «. . .текст СПИ был создан в концеXII – начале XIII века и переписан где-то насеверо-западе в XV или XVI веке.» [1, c. 33–34]. Зрозумiло, що «Слово» не могло з’явитисьранiше походу Iгоря 1185 року, отже за спогада-ми учасникiв подiй його могли б написати абонаприкiнцiXII, абоуXIII ст.Далi ябудувказуватиXIII ст. як крайню межу, пiсля якої «Слово» вжене можна розглядати як автентичний твiр.

вживають також як самостiйну частку(клiтику), яка зазвичай розмiщуєтьсябiля початку речення, або його логiчноїчастини:

Хто по кладцi мудро ступає,

той ся в болотi не купає 2.

(препозицiя ся).За спостереженнями А. А. Залiзняка,

у давньоруськiймовi вживання ся розрi-знялось залежно вiд роду тексту та часуйого написання. Стародавнi церковно-слов’янськi тексти використовують ся

у постпозицiї, але у живiй розмовнiймовi переважала препозицiя ся. Цевидно, зокрема, iз мови берестянихграмот. Мова грамот значно ближчадо тодiшньої живої, розмовної, нiжмова лiтописiв та церковних пам’ятокписьменства. У XIII ст., коли, за гiпо-тезою А, було створено «Слово», пiдвпливом живої мови, вживання ся упрепозицiї зустрiчалось у лiтературнихтекстах, але не часто. Зокрема, частiшезустрiчається препозицiя там, де автортексту намагається передати живу мовуперсонажiв:

Аз уже бородат, ати ся еси родил

(Я вже був бородатим, коли ти народив-ся) – каже у лiтописi князь В’ячеславМономаховичЮрiєвi Долгорукому.

Досить часто препозицiя зустрiчає-ться i у «Словi», наприклад:

А чи диво ся братiє

стару помолодити

(а чи дивно, браття, коли старий омоло-джується).

У рiзних граматичних конструкцiяхчастота вживання препозицiї буларiзною, причому вона залежала та-кож вiд типу тексту: свiтського чицерковного. Пiзнiше, пiд впливомлiтературної мови, постпозицiя ся

2 Зi збiрки М. Номис «Украiнськi приказки,прислiвъя и таке инше» (1864).

Р. Є. Майборода. До питання про автентичнiсть «Слова о полку Iгоревiм» 43

Таблиця.Частоти препозицiї ся у фразах з рiзних лiтературних джерел

Розряд 2 Розряд 3 Розряд 4Пряма мова 81% 81% 57%

Авторський текст 49% 12% 3%«Слово» 1/1 3/3 6/10

стала загальноприйнятою i у живiймовi, а препозицiя збереглась лише удiалектах.

Таким чином, на кiнець XVIII ст.,коли «Слово» мало бути написане загiпотезою I, стандартний правописцерковнослов’янської мови не пе-редбачав можливостi препозицiї ся,але людина, яка хотiла б iмiтуватистародавнiй рукопис, могла бачитизразки такої препозицiї в iснуючихтекстах. Однак зрозумiти, що причи-ною появ препозицї є вплив живоїмови, фiлолог XVIII ст. не мiг би,оскiльки для цього потрiбно було бзнайомство з берестяними грамотами,якi почали знаходити та аналiзуватилише у ХХ ст. Бiльше того, граматичнеправило, за яким у слов’янських (таiнших iндоєвропейських мовах) частки-клiтики розташовуються на початкуфрази, було виявлено Я. Вакернагелемлише наприкiнцi ХIХ ст. Таким чином,навiть найдосвiдченiшийфiлолог кiнцяXVIII ст. не змiг би правильно вiдтво-рити частоту вживання препозицiї сяу фразах рiзного типу.

А. А. Залiзняк розглядає сiм рiзнихтипiв (розрядiв) вживання ся зале-жно вiд побудови фрази. Для аналiзу«Слова» важливими є розряди 2–4, пояких iснує достатнiй обсяг iнформацiїпро частотнiсть вживання препози-цiї/постпозицiї ся у фразах такого типуу XII–XIII ст. як у свiтськiй, так i уцерковнiй мовi. У таблицi наведеначастина даних iз таблицi на с. 67книги [1].

Першi два рядки мiстять частотуфраз iз препозицiєю ся (серед усiх

фраз вiдповiдного розряду) у Київ-ському лiтописi за 1118-–1200 роки(за Iпатiївським списком). Як вiдмiчаєА. А. Залiзняк, цi частоти помiтновiдрiзняються в авторському текстiлiтопису (коли лiтописець веде власнурозповiдь про подiї) та у тих мiсцях, делiтописець передає пряму мову свiт-ських персонажiв (наприклад, промовикнязiв). Вiдповiдно, у першому рядочкутаблицi мiстяться вiдноснi частотипрепозицiї ся у прямiй мовi свiтськихперсонажiв, а у другому – у авторськомутекстi та у промовах церковних дiячiв,процитованих у лiтописi.

Як бачимо, частота препозицiй ся увiдтворенiй лiтописцем мовi свiтськихперсонажiв помiтно бiльша, нiж у автор-ськiй мовi. Це можна пояснити бажа-нням лiтописця передати особливостiживої мови, якi виявляються також уберестяних грамотах 3. Якщо «Слово» єтвором свiтської лiтератури ХIII ст., мо-жна очiкувати, що частоти препозицiїся у ньому будуть близькими до такихчастот у книжнiй передачi живої мови –тобто у прямiй мовi Київського лiтопи-су. Частоти «Слова» вмiщенi у третьомурядочку таблицi у виглядi дробiв, де чи-сельник – кiлькiсть препозицiй ся, зна-менник – кiлькiсть всiх фраз з ся з да-ного розряду, якi зустрiчаються у «Сло-вi». Вочевидь, частоти «Слова» цiлкомподiбнi частотам прямої мови лiтописуi сильно вiдрiзняються вiд частот автор-ської.

3 У книзi [1] наведено значно бiльше стати-стичної iнформацiї по рiзних джерелах, включа-ючи грамоти, але у цьому прикладi ми обмежи-мось лише аналiзом даних нашої таблицi.


Це – сильний аргумент на користьгiпотези А про автентичнiсть «Сло-ва»: фiлологи XVIII ст. не знали проособливостi живої мови XIII ст. i немогли б так точно вiдтворити частотнiхарактеристики її передачi у письмовихтекстах того часу. Але як статисти-чний аргумент, цi мiркування маютьважливий недолiк: малу кiлькiсть спо-стережень. Маємо всього 14 випадкiввживання ся, причому на першийрозряд припадає лише один випадок.Опоненти А. А. Залiзняка (зокремаМ. Мозер [8]) зауважують, що притакому обсязi даних спостережуванийрозподiл препозицiй мiг скластисьподiбно до живої мови ХIII ст. цiлкомвипадково.

Нашою метою буде перевiрити стати-стичну обґрунтованiсть спостереженьА. А. Залiзняка iз препозицiї ся у «Словi».

2. ЧАСТОТИ ТА ЙМОВIРНО-

СТI ДЛЯ АВТОРIВ «СЛОВА»

У сучаснiй статистицi прийнято об-ґрунтовувати висновки ймовiрнiснимиаргументами. Подивимось, якi ймовiр-ностi можуть бути пов’язанi з рiзнимигiпотезами про авторство «Слова».

Статистичнi данi X, з якими ми пра-цюємо – це набiр частот препозицiй ся урiзнихфразахслова,щовiдповiдаютьрi-зним граматичним розрядам, тобто чи-сельники у третьому рядку таблицi:

x = (x1, x2, x3) = (1, 3, 6).

Почнемо з гiпотези IБ: автор «Слова» –книжник XVIII ст. без спецiальної фiло-логiчної освiти, яким був архiмандритIоїль Биковський. Для такої людиниправильним було виключно вживанняпостпозицiї (за шкiльними правиламиXVIII ст.) а препозицiя виглядала якознака неграмотної мови. Але, читаючи

старовиннi рукописи, Биковськиймiг бачити, що така неграмотнiстьзустрiчається в них досить часто. Тому,бажаючи надати своєму твору архаї-чного колориту, автор (якщо це бувБиковський) скорiше за все, обирав бипре- i постпозицiї чисто випадково укожнiй фразi, де йому знадобилася бчастка ся.

Наприклад, у «Словi» є лише однафраза з другого розряду, де вживаєтьсяся. Гiпотетичний автор-Биковський мiгвжити пре- i постпозицiї з однаковимиймовiрностями 4 1/2. Отже, якщо миприймемо гiпотезу IБ, то ймовiрнiстьтого, що X1 = 1, така:

P{X1 = 1 | IБ} = P{X1 = x1 | IБ} =1

2,

i

P{X1 = 0 | IБ} =1

2.

(Тут iдалiямалимилiтерамиx1,x2, . . . по-значаю справжнi значення частот, якiспостерiгаються у «Словi», а великимиX1, X2, . . . – гiпотетичнi значення, якi мо-гли б бути при рiзних рiшеннях автора.)

Далi, у «Словi» є трифрази iз третьогорозряду, причому в усiх автор вибравпрепозицiю. Якою була б iмовiрнiсть та-кої подiї, якби автором був Биковський?Природно припустити, що вiн робив бивибiр незалежно для кожної фрази зiмовiрнiстю 1/2. Оскiльки для X3 = 3

потрiбно,щобв усiх трьохфразах одразуавтор обрав препозицiю, а ймовiрнiстьтакої подiї є добутком iмовiрностей пре-позицiй у кожнiй фразi окремо, то

P{X2 = 3 | IБ} =1

23.

Нарештi, фраз iз четвертого розрядубуло 10, i у 6 iз них автор обрав пре-позицiї, а у чотирьох – постпозицiї.

4Навряд чи вiн став би пiдкидати монеткукожного разу як писав ся, але природа випад-ковостi його рiшень мала б бути подiбною довипадковостi випадань монетки.


Яка ймовiрнiсть такої подiї для автора-Биковського?

P{X3 = 6 | IБ} = C 610 ·

1

210.

(Iснує C 610 способiв розташувати 6 пре-

позицiй серед 10 фраз i кожен спосiбреалiзується з iмовiрнiстю 1/210).

Остаточно отримуємо, що ймовiр-нiсть вибору Биковським саме такогонабору частот x, який ми спостерiгаємоу «Словi», така:

L(IБ) = P{X = x | IБ} =

= P{X1 = x1 | IБ} · P{X2 = x2 | IБ} ×

× P{X3 = x3 | IБ} ≈ 0,01281738.

Скажете, малоймовiрно? Так, але поди-вимось, що дадуть iншi гiпотези.

Розглянемо гiпотезу IД: авторомслова був один iз кращих тогочаснихспецiалiстiв зi слов’янської фiлологiїЙосеф Добровський. Вiн, як i всiавтори XVIII ст., не був знайомийiз правилами граматики XIII ст., якiкерують положенням ся у фразахрiзних розрядiв. Проте, як фiлолог, щовивчав давньоруськi лiтописи саме зфiлологiчної точки зору, вiн мiг вiдчути,що у рiзних ситуацiях поява препозицiїся можлива з рiзними ймовiрностями.

Але, звичайно, вiн не мiг би видiлитипряму мову свiтських персонажiв якособливий, бiльш «живий» рiзновид,тому, що для цього у нього не булоiнших порiвняльних матерiалiв (як-от –берестянi грамоти). Тому його вiдтво-рення мало вiдповiдати усередненомукнижному стилю лiтопису. Оскiлькипряма мова займає менше 10 % текстулiтопису, цей усереднений стиль мавби приблизно такi ж вiдноснi частотипрепозицiй у рiзних розрядах, якавторський текст лiтопису, тобто

pI = (p1,I , p2,I , p3,I ) = (0,49, 0,12, 0,03).

Отже, ймовiрнiсть отримати препози-цiю у фразi другого розряду дорiвнюєp1,I = 0.49 i т. д.

Чому тодi дорiвнюватиме ймовiр-нiсть P{Xk = x |IД} того, що в умовнiйверсiї «Слова», написанiй Добровським,середфраз (k + 1)-го розряду виявитьсярiвно x iз препозицiєю ся?

Аналогiчно попереднiм мiркуванням,отримуємо

P{Xk = x |IД} = C xnk(pk ,I )

x (qk ,I )nk−x

, (1)

де nk – кiлькостi всiх фраз «Слова», щоналежать до вiдповiдного розряду (зна-менники третього рядочка у таблицi), аx можебутибудь-якимцiлимчисломвiд0 до nk .

Формула (1) описуєбiномiальнийроз-подiл випадкової величини Xk з кiль-кiстю випробувань nk та ймовiрнiстюуспiху pk ,I = 1 − qk ,I (про бiномiальнийрозподiл див. [3, роздiл 1.6.4]).

Таким чином, iмовiрнiсть того, що вумовному «Словi», написаному Добров-ським, частоти препозицiй ся вiдповiда-ли б справжнiм частотам «Слова», дорiв-нює

L(IД) = P{X = x | IД} =

= P{X1 = x1 | IД} · P{X2 = x2 | IД}×

× P{X3 = x3 | IД} =

=

3∏

k=1

Cxknk

pxk

k ,I(qk ,I )

nk−xk ≈

≈ 1,147555 × 10−13.

Цевже,яктокажуть, «практичнонеймо-вiрно».

А якi ймовiрностi ми отримаємо,якщо автором «Слова» була люди-на XIII ст.? Досить природно 5 для

5 Коли б текст створював iмiтатор XVIII ст., томусив обирати пре- або постпозицiю випадково,навмання, iмiтуючи незрозумiлi йому особливо-стi граматики XIII ст. Автор XIII ст. знав тогоча-сну граматику i обирав варiанти пре- чи пост-не випадково, а враховуючи якiсь бiльш тонкiмiркування, можливо, не тiльки граматичнi.Мине знаємо цих мiркувань, тому на наш поглядїх результат виглядає випадковим i його лишегрубо можна описати бiномiальним розподiломiз такими ймовiрностями. Але для нашої метитакої точностi опису досить.


їх обчислення скористатись тiєю жформулою (1), але ймовiрностi брати здругого рядочка таблицi (що вiдповiдаєпередачi розмовної мови у рукописахXIII ст.), тобто

(p1,A , p2,A , p3,A) = (0,81, 0,81, 0,57).

Тодi

L(IД) = P{X = x | А} =

=

3∏

k=1

Cxknk

pxk

k ,A(qk ,A)

nk−xk ≈ 0,1059943.

Теж небагато, але бiльше за всi iншi.

3. ДЕКIЛЬКА СЛIВ ПРО

СТАТИСТИЧНI ТЕСТИ

Отже, ми маємо статистичнi данi(частоти препозицiй ся у «Словi») iгiпотези про те, у який спосiб (автен-тичний чи iмiтацiйний) вони отриманi.Наявнi данi могли б бути отриманiкожним iз цих способiв, але один iзних виглядає бiльш вiрогiдним нiжiншi. Тому виникає потреба визначити,чи дiйсно, така «бiльша вiрогiднiсть»свiдчить на користь якоїсь конкретноїгiпотези, чи нею насправдi можназнехтувати.

Для цього у статистицi прийнятовикористовувати спецiальнi процеду-ри, якi звуть статистичними тестами(критерiями); бiльше про них можнапрочитати у книжцi [3, роздiл 3.12]. Уцьому роздiлi ми розглянемо загальнусхему побудови таких тестiв, а їх засто-сування до нашої iсторичної задачi – унаступному.

Для того, щоб застосувати статисти-чний тест, потрiбно визначити, якийймовiрнiснийрозподiлданихвiдповiдаєкожнiй гiпотезi. Нехай X – статистичнiданi (набiр спостережуваних частот унашому випадку). Теоретично кажу-чи, цi данi можуть набувати рiзних

значень 6, якi ми позначатимемо x .Ми розглядаємо двi взаємовиключнiгiпотези про утворення X – H0 (нульову)iH1 (першу).

Позначимо

Li (x) = P{X = x | Hi } (i = 0 або 1)

– iмовiрнiсть того, що спостережуванiданi набудуть значення x за умови, щовиконана гiпотеза Hi . Якщо пiдставитив цю функцiю значення X, що спостерi-гаються, отримуємо Li (X) – вiрогiднiстьгiпотези Hi для значення даних X (такiвiрогiдностi для гiпотез про «Слово» миобчислили у роздiлi 2). Величина

LR(X) =L1(X)

L0(X)

зветься статистикоювiдношеннявiрогi-дностi для перевiрки гiпотези H0 протиH1 (статистикаминазиваютьфункцiї вiдспостережуваних даних). Великi значе-ння LR(X) свiдчать на користь гiпотезиH1: ймовiрнiсть утворення спостережу-ваного набору даних X при H1 бiльшанiж при H0. Малi значення LR(X) свiд-чать на користь H0. Використане намиозначення вiдношення вiрогiдностi ви-користовують у випадку простих гiпо-тез, коли немає невiдомих параметрiвi кожна гiпотеза однозначно визначаєрозподiл даних.

Наприклад, у нас для перевiрки гiпо-тези IБ протиА вiдношення вiрогiдностiна реальних даних

LR(x) =L(A)

L(IБ)=

0,1059943

0,01281738= 8,269576,

тому автентичнiсть «Слова» у 8 разiв вi-рогiднiша, нiж авторство Боровського.Чи досить цього щоб упевнено вiдхили-ти гiпотезу IБ?

Стандартний тест для перевiрки гiпо-тез на основi вiдношення вiрогiдностi

6 Тут ми розглядаємо тiльки дискретний ви-падок, коли рiзних можливих значень даних єлише скiнченна кiлькiсть – як у нашiй задачi.


будується такимчином: обирають деякепорогове значенняC i

• приймаютьH0, якщо LR(X) ≤ C ,• приймаютьH1, якщо LR(X) > C .

Така процедура зветься тестом вiдно-

шення вiрогiдностi. Якщо позначитичерез π(X;C ) номер гiпотези, яку зарезультатами тесту приймають дляданих X, то

π(X;C ) = ✶{LR(X) > C } =

=

{

1, якщо LR(X) > C ,

0, якщо LR(X) ≤ C .

Для того, щоб цей тест можна булозастосовувати до реальних даних,потрiбне правило для визначенняпорога C : наскiльки великим повиннобути вiдношення вiрогiдностi, щобможнабулоприйнятиH1?Устандартнiйтеорiї статистичних тестiв це робитьсятаким чином.

Гiпотези H0 i H1 вважаються нерiвно-правними. Гiпотеза H0 – основна, тобтотака, якої ми вирiшили дотримуватисьдоти, доки данi не переконають нас, щовона хибна. ГiпотезаH1 – альтернативна.Ми приймемо її лише тодi, коли данiбудуть переконливо свiдчити на її ко-ристь.

Щоб забезпечити саме таку роботу те-стової процедури, задають α – найбiль-ше допустиме значення ймовiрностiтого,щотествiдхилитьосновнугiпотезу,коли вона є правильною. У соцiальнихнауках традицiйно прийнято вважатидопустимим значення α = 0,05. Цявеличина зветься стандартним рiвнем

значущостi. Таким чином, C потрiбновибирати так, щоб

P{π(X,C ) = 1 | H0} =

= P{LR(X) > C |H0} ≤ α. (2)

Тести, для яких виконується ця умова,називають тестами рiвня α.

Чим менше C , тим бiльше будеP{LR(X) > C | H0}. Виберемо на рольпорога тесту Cα найменше значення C ,при якому виконується (2):

Cα = min{C : π(X,C ) = 1 | H0} ≤ α}.

Чому найменше? Поки що ми контро-лювали похибку тесту, яка полягала увiдхиленнiправильноїH0 (цезветьсяпо-хибкою першого роду). Але також мо-жлива похибка другого роду: прийнятиH0, колиправильнаH1 (не помiтити пра-вильну альтернативу). Iмовiрнiсть цiєїпохибки –

P{π(X,C ) = 0 | H1} = P{LR(X) ≤ C | H1}.

Вона зменшується при зменшеннi C .Отже вибiр Cα забезпечує найменшуймовiрнiсть похибки другого роду привиконаннi (2).

За теоремою Неймана–Пiрсона (див.[3, роздiл 3.17]), не iснує тестiв, якiбули б у цьому розумiннi кращими,нiж тест вiдношення вiрогiдностi:iмовiрнiсть похибки другого роду будь-якого тесту рiвня α бiльша або рiвнавiдповiднiй iмовiрностi тесту вiдноше-ння вiрогiдностi цього ж рiвня. Саметому застосування тестiв вiдношеннявiрогiдностi є стандартом.

Реалiзувати один i той же тест можнабагатьма рiзними способами. Напри-клад, часто замiсть статистики LR(X)для побудови тесту використовують їїлогарифм

lr(X) = ln(LR(X)) = ln L1(X) − ln L0(X),

який називають логарифмiчним вiдно-шенням вiрогiдностi (iз логарифмамизручнопрацювати, колипотрiбнопорiв-нювати числа зовсiм рiзних порядкiв,таких, як у нас L(A) i L(IД)).

Враховуючи,щологарифмємонотон-но зростаючоюфункцiєю, отримуємо

π(X;Cα) = ✶{lr(X) > cα},

де cα = ln(Cα).


Перш, нiж перейти до застосуванняцiєї технiки тестування, скажу два сло-ва про α = 0,05. Звiдки це взялось iщо дає? Стандартний рiвень значущо-стi –церiвеньнашої готовностi довiрятистатистичним аргументам, якi можутьвиявитись хибними внаслiдок випадко-вого розкиду даних. Правильна логiказастосування статистичних тестiв така:спочатку вчений висуває гiпотезу, потiмзбирає данi, якими сподiвається її пiд-крiпити, а потiм застосовує до цих данихтест, щоб перевiрити, наскiльки впев-нено вони пiдтверджують гiпотезу. Затакого пiдходу гiпотезу, яку збираютьсяперевiряти, слiд обрати як альтернатив-ну – H1. Якщо внаслiдок застосуваннятесту її прийнято, це буде свiдчити, щовона пiдкрiплюється даними.

Нехай ми перевiряємо багато рiзнихгiпотез (H1) тестами (можливо рiзними),у яких α = 0,05. Тодi в середньому 1 разна 20 випадкiв, коли проводиться пере-вiрка хибної гiпотези, наш тест буде по-милково вважати її iстинною. Прийма-ючи α = 0,05, ми погоджуємось iз цi-єю небезпекою. Якщо такий рiвень насне влаштовує, можна знизити α, напри-клад, до 0,001 – одне невiрне рiшенняна 1000 перевiрок (таке α прийнято припроведеннi фiзичних експериментiв).

А чому б не обрати одразу α = 0, щобпомилок не було взагалi? Тому, що тодiймовiрнiсть помилки другого роду у на-шого тесту дорiвнюватиме 1: ми взагалiне зможемо прийняти жоден статисти-чний аргумент на користьH1. Значенняα = 0,05 прийнято науковою спiльно-тою як компромiс мiж цими двома не-безпеками: можливим прийняттям не-достатньо обґрунтованих даними гiпо-тез i вiдхиленням усiх нових гiпотез уза-галi.Часвiдчасуможначутикритикута-кого вибору [9], але нинi вiн є загально-прийнятим у медико-бiологiчних, пси-хологiчних, економiчних, соцiальних до-слiдженнях.

4. ПЕРЕВIРКА ГIПОТЕЗ

I РЕЗУЛЬТАТИ

Отже, розглянемо нашу задачу як пе-ревiрку статистичної гiпотези i застосує-мо тест вiдношення вiрогiдностi. Порiв-няємо гiпотези А та IД.

Для того, щоб обґрунтувати статисти-чну значущiсть даних А. А. Залiзняка якаргументу на користь гiпотези А протигiпотези IД, потрiбно як основну гiпоте-зу обрати IД. Тодi, якщоданi будуть супе-речити цiй гiпотезi, ми зможемо ствер-джувати, що вони свiдчать на користь А– проти IД.

Таким чином, нашою основною гiпо-тезоюH0 буде IД, аальтернативою,H1 –А.Логарифмiчне вiдношення вiрогiдностiмає вигляд

lr = log

(

L(A)

L(IД)

)

= S + K ,

де

S = S(x) =

3∑

i=1

xi log

(

pi ,A(1 − pi ,I )

pi ,I (1 − pi ,A)

)

,

K – стала (не залежна вiд спостережува-них частот xi ), яка не впливає на резуль-тати тесту. Надалi як статистку нашоготесту ми будемо використовувати S .

Як i ранiше, при значеннях S , меншихабо рiвних порогу cα, слiд прийнятигiпотезу H0, якщо ж S бiльше cα, то H0

треба вiдхилити. Порiг cα обираєтьсяза заданим рiвнем значущостi α якнайменше c , при якому PH0

{S > c } < α.Такi ймовiрностi можна пiдрахувати уявному виглядi, але ми для реалiзацiїтесту скористаємось технiкою iмiтацiй-ного моделювання. А саме, згенеруємоB = 10000 наборiв псевдоданих X(j ),j = 1, . . . ,B . Кожен набiр X(j ) складає-ться з трьох цiлих чисел, якi могли бвiдповiдати частотам препозицiй ся у«Словi». Числа вибираються випадковоз розподiлом, що вiдповiдає основнiй


гiпотезi – IД. Тобто ми B разiв iмiтуємороботу гiпотетичного Добровсько-го, який вибирає варiанти пре- абопостпозицiй для чергового варiантасвоєї фальсифiкацiї. Пiдрахуємо накожному наборi статистику S j = S(X(j )),j = 1, . . . ,B . Упорядкуємо отрима-ний набiр S j у порядку зростання тавiдкинемо в ньому 100α % = 5 %

найбiльших значень. Найбiльше з тих,що залишаться, i виберемо як порiгнашого тесту – cα. Тобто cα – це рiвень,який результати роботи нашого iмiто-ваного Добровського-фальсифiкатораперевищили приблизно у 5 % випадкiв.

Ця iдея булареалiзована у скриптiмо-вою статистичного програмування R 7.

Запустивши скрипт на комп’ютерi,отримали такi результати. Статистиканашого тесту S(x) на реальних даних до-рiвнює 34,36504, порiг тесту cα для рiвнязначущостi α = 0,05 дорiвнює 8,690406.Статистика тесту перевищує порiг, отжеосновну гiпотезу слiд вiдхилити: данiсуперечать припущенню про авторствоДобровського.

Аналогiчно була розглянута гiпотезаIБ про авторство Iоїля Биковського.Отримали S = 7,491148, c0,05 = 6,927445.Отже, данi суперечать також i гiпотезiпро те, що «Слово» є iмiтацiєю, написа-ною людиною XVIII ст., яка, хоч i не булапрофесiйнимфiлологом, проте зналасяна старовинних рукописах i намагаласянавмання вiдтворити їх стиль (як це мiгби зробити Iоїль Биковський).

Таким чином, незважаючи на малийобсяг наявних даних, вони є статисти-чнозначущимаргументомнакористьгi-потези про автентичнiсть «Слова о пол-ку Iгоревiм» 8.

7Цейскриптможнаподивитисьукнижцiпростатистику з використанням R [4]. Буду радийвашим зауваженням про неї.

8 Зрозумiло, що цей аргумент не вирiшуєостаточно поставленого iсторичного питання.Iз цього приводу нагадаю iсторiю, яку оповiдаєС.П.Новiков у своїх спогадах [5] проА.М.Колмо-

5. ОБГОВОРЕННЯ

Сподiваюсь, читач не забув, iз чогоми почали розмову: як статистика можедопомогти iсторичнiй науцi, незважаю-чи на те, що кожна iсторична подiя –iндивiдуальна i повторнi випробуваннянеможливi. Тi, хто дочитав до цього мi-сця, мабуть уже зрозумiли, як працюєстатистична технiка.

Але чому вона має працювати у да-ному випадку? Який сенс мають iмовiр-ностi, котрi ми розглядали у двох по-переднiх роздiлах? Хiба можна вважати,що нашi «статистичнi данi» про частотипрепозицiй у «Словi» є випадковими, –аджеце унiкальна, неповторнапам’яткалiтератури, коли б вона не була створе-на?

Так, «Слово» є унiкальним. Але мовнiмеханiзми, якi використав автор «Сло-ва», працювали також i при створеннiбагатьох iнших текстiв. Причому стати-стичнi особливостi текстiв, породженихцими механiзмами, мають бути рiзнимизалежно вiд того, чи є «Слово» автенти-чним твором XIII ст., чи пiзнiшою iмi-тацiєю. Отже, за тим, як вiдобразилисьособливостi мови у текстi «Слова», мо-жна робити висновки про його автенти-чнiсть.

Однак нашi висновки мають ли-ше ймовiрнiсний характер: ми неможемо стверджувати, що виявленiособливостi абсолютно неможливi уне автентичному тестi. Правильнимє лише те, що їх поява у пiдробцiдуже малоймовiрна. Чи є прийнятним

горова. У молодостi Андрiй Миколайович хотiвстати iсториком i навiть написав статтюпро еко-номiку давнього Новгорода, де висловив цiкавуiсторичну гiпотезу. Коли цю статтю показалирецензенту, той сказав,щонапiдкрiплення гiпо-тези наведено дуже мало доказiв, треба зiбратиiншi. Колмогоров розчарувався в iсторичнiйнауцi i остаточно присвятив себе математицi, дедосить навести одне доведення, щоб теоремавважалась iстинною.


такий аргумент? Це залежить вiдступеня малоймовiрностi. У статтi миспробували показати, як на основiзагальних статистичних принципiвможна визначити цей ступiнь дляодного з аргументiв А. А. Залiзнякау дискусiї про автентичнiсть «Слова».Звернiть увагу, що при цьому ми невикористовували якихось припущеньпро «ймовiрнiсть того, що Слово булонаписано у XIII ст.» i не оцiнювалитаку ймовiрнiсть. Ми навiть не роз-глядали припущення про iснуванняймовiрностей такого роду. Тому слушнiзауваження, з яких починається цястаття, не є контраргументом протитакого пiдходу.

Наш висновок – так, розглянутийаргумент задовольняє прийнятi усучаснiй науцi вимоги до значущостiстатистичних доказiв. А iсториковi ко-рисно знати, як працюють статистичнiтести та вмiти їх застосовувати.

POST SCRIPTUM

При обговореннi цiєї статтi на фейс-буцi виникла досить жвава дискусiя,яка дозволила менi подивитись напитання з багатьох нових точок зору.За це я дуже вдячний усiм учасникамдискусiї. На жаль, обмеження обсягузаважають повнiстю врахувати у статтiвсi висловленi тамдумкита зауваження.Найбiльш цiкавi реплiки я вмiстив уфайл, якийможна подивитись тут: http://probability.univ.kiev.ua/userfiles/

mre/slovo1disc.pdf

Якщо у читачiв є бажання долучи-тись до дискусiї, можна написати менiна фейсбуцi: RostyslavMaiboroda, або наадресу [email protected].

ЛIТЕРАТУРА

[1] Зализняк А. А. Слово о полку Иго-реве: взгляд лингвиста / А. А. За-лизняк. – 3-е изд., доп. – М. : Руко-писные памятники Древней Руси,2008. – 480 c.

[2] ЗиминА. А.Слово о полкуИгореве /А. А. Зимин. – СПб : Дмитрий Була-нин, 2006. – 516 с.

[3] КарташовМ. В. Iмовiрнiсть, проце-си, статистика / М. В. Карташов. –К. : ВПЦ «Київський унiверситет»,2007. – 494 с.

[4] Майборода Р. Комп’ютернастатистика: професiйний старт,2017 р. [Електронний ресурс]. –Режим доступу:http://probability.univ.kiev.ua/

userfiles/mre/compsta.pdf

[5] Новиков С. П. Воспоминанияоб А. Н. Колмогорове /С. П. Новиков. // УМН. – Т. 43,№ 6(264). – 1988. – C. 35–36.

[6] Keenan Edward L. Josef Dobrovskyand the Origins of the Igor’ Tale, /Edward L. Keenan. –HarvardUniversi-ty Press, 2003. – 541 p.

[7] Mazon A. Le Slovo d’Igor / A. Mazon. –Paris : Librairie Droz, 1940. – 182 p.

[8] Moser M. Sind der «Relativisator» mound die Syntax anderer Enklitika alsklare Beweise fur die Authentizitat desIgorlieds zu werten? / M. Moser //Studia Slavica. – № 50/3. – 2005. –S. 267–282.

[9] Estimating the reproducibility ofpsychological science / B. A. Noseket al. // Science. – 2015. – Vol. 349. –№ 6251.

ПРОФЕСIЯ: МАТЕМАТИК

ФIНАНСОВА IНТУЇЦIЯ ЧИ СУЧАСНА

МАТЕМАТИКАЗубченко Володимир Петрович,


ПОЧУВШИ слово «математика»,

бiльшiсть згадує свої шкiльнi

роки, квадратнi рiвняння, три-

гонометричнi тотожностi, трикутники,

паралельнiсть та перпендикулярнiсть.

«Просунутi» студенти можуть згадати

диференцiальне та iнтегральне числе-

ння з «вищої математики».

Однак у сучасному життi все частiше

виникають питання iншого характеру:

• Чи потрiбно купувати долари?

• Якобратибанкдлярозмiщенняде-

позиту, i чивартовзагалi вiдносити

грошi до банку?

• Назбирати грошiнаомрiянийтеле-

фон, чи взяти за 20 хвилин спожив-

чийкредит тапочатинасолоджува-

тись покупкою вже сьогоднi?

• Якзаробитистiлькигрошей, скiль-

ки треба? I скiльки треба?

• Витрачати всi заробленi грошi,

або ж намагатися «вiдкладати»

принаймнi частинку з них?

• Чи справдi активно розрекламова-

не iнвестування приносить гаран-

тований обiцяний прибуток?

Iзособистiснимтакар’єрнимзростан-

ням питання стаютьще складнiшими:

• Купити нарештi машину чи про-

довжувати збирати грошi на

квартиру?

• Обрати недорогу маленьку квар-

тиру на околицi найвiддаленiшого

району мiста, чи взяти iпотечний

кредит i придбати квартиру в

районi з бiльш розвиненою iнфра-

структурою? Або ж продовжувати

ще кiлька рокiв процес активного

заробляння грошей?

• Продовжувати бути менеджером

«середньої ланки» або ж задума-

тись про власний стартап?

• Як оцiнити перспективнiсть вла-

сного проекту та пiдiбрати ефе-

ктивну команду?

Вiдповiдi на поставленi питання мо-

жна шукати методом спроб та помилок,

абожможнаперевiрити успiшнiсть вла-

сної фiнансової iнтуїцiї. Та кращим варi-

антом видається початкове моделюван-

ня реальностi. Тодi до практичних кро-

кiв пiдходиш iз розумiнням найкращих

сценарiїв.

I саме тут свою значущiсть виявляє

сучасна математика! Фiнансова iнтуїцiя

та власний досвiд починають пiдкрi-

плюватись чисельними показниками.

То де ж саме математика у повсякден-

ному життi? Дiзнаємось просто зараз!

Вiд власних фiнансiв будемо рухатись

до бiльш складних та масштабних прое-

ктiв.

Моделювання власних фiнансiв поля-

гає в аналiзi доходної та витратної ча-

стин.

Найприємнiша частина – дохiдна,

особливо якщо її обсяг зростає. Типовi

51


статтi доходiв змiнюються з часом.

Починається все з одержаних вiд

батькiв кишенькових грошей, далi

доповнюється стипендiєю, переходить

у зарплату. Iз подальшим зростанням

з’являються додатковi статтi доходу:

вiдсотки з депозитiв, дивiденди з

облiгацiй чи акцiй, рента вiд зданої

в оренду нерухомостi, прибуток вiд

власного проекту.

Витратну частинку можна роздiлити

на поточну, середньострокову та довго-

строкову.

Поточнi фiнанси – це наше звичайне

повсякденне життя, чiтку картинку уяв-

ляє кожен.

Типовi середньостроковi фiнансовi

планимаютьтермiнреалiзацiї доодного

року: купiвлякрутогоноутбука, яскрава

вiдпустка, подорож до омрiяної Євро-

пи, невеличке смiливе дизайнерське

рiшення у твоїй кiмнатi – все те, що

приносить задоволення, але потребує

деякого накопичення грошей.

Найприємнiше, коли певнi покупки

для тебе перемiщуються iз середньо-

строкових до короткострокових – iз

власним зростанням уже не потрiбно

збирати грошi на певну рiч, придбати її

ти можеш одразу iз зарплати.

Довгостроковi фiнанси накопичую-

ться протягом рокiв. Купiвля машини,

квартири, вартiсна освiта за кордоном

(наприклад, MBA), створення фiнан-

сових резервiв – класичнi приклади

цiлей, якi потребують тривалого нако-

пичення.

Особисте фiнансове планування має

сенс лише в тому випадку, якщо доходи

перевищують витрати. Для того, щоб це

справдi було так, потрiбно вже зараз за-

мислитись про якiсну освiту. I йдеться

тут не лише про класичну унiверситет-

ську освiту.

Для того, аби стати економiстом-

мiжнародником, потрiбно вже зараз

розпочати вивчення англiйської мо-

ви. Щоб успiшно пройти спiвбесiду-

iнтерв’ю для одержання бажаної поса-

ди, варто вiдвiдати тренiнги з особистi-

сного та професiйного розвитку. Хочеш

упевнено просунутись кар’єрними

сходинками – окрiм професiйних знань

та основ менеджменту в нагодi ста-

нуть навички ефективного дiлового

спiлкування. Певну частину знань

можна, безумовно, отримати iз книг

та Iнтернету, але головне – практика,

взаємодiя, досвiд, невпинний процес

самовдосконалення!

I не забувай при цьому про спорт та

здоров’я, друзiв та родину, хобi та вiдпо-

чинок – саме вони надають справжньо-

го сенсу заробленим грошам, напрацьо-

ваним дипломам та посадам!

Отож,нарештi типочинаєшвиходити

на той рiвень, коли зведена таблиця

доходiв та витрат переконливою мовою

математики вказує, що доходи нарештi

почали переважати поточнi витрати.

Як зберегти, примножити та ефе-

ктивновитратитирiзницюмiжпоточни-

ми доходами та видатками? Розглянемо

типовi фiнансовi iнструменти, їх перева-

ги та недолiки.

Готiвка

Iдеально пiдходить для зберiган-

ня вiдносно невеликих сум грошей.

Якщо протягом 3-6 мiсяцiв плануєш

«назбирати» грошей на новенький

мобiльнийтелефон– готiвка єнайбiльш

природноюдлянакопиченнягрошейна

таку покупку.

Депозит

Є засобом зберiгання та примножен-

ня грошей – вiд невеликих сум коротко-

строкових фiнансiв, до тривалих нако-

пичень для досягнення довгострокової

мети. Класично депозит вважають без-

ризиковим iнструментом. Тобто, розмi-

стивши в банку грошi, ти чiтко знаєш,

коли i скiльки грошей отримаєш назад.

В. П. Зубченко. Фiнансова iнтуїцiя чи сучасна математика 53

//

Ризик

OO

Дохiднiсть

Низький ризикНизький прибуток

Високий ризикПотенцiйно високий

прибуток

Рис. 1. Спiввiдношення дохiднiсть–ризик

Українськi реалiї диктують необхi-

днiсть дуже уважного та обережного

виборубанку–лишезаостаннi трироки

в понад 75 банках уведена тимчасова

адмiнiстрацiя.

Саме тут i починають працювати най-

простiшi математичнi моделi. Перша з

них – спiввiдношення дохiднiсть–ризик

(рис. 1). Чим вищий вiдсотковий дохiд

пропонує банк, тим бiльший ризик май-

бутнiх фiнансових труднощiв iз таким

банком.

Фахiвцiрекомендуютьобиратибанки

iз середнiми помiркованими вiдсотко-

вими ставками по ринку.

Наступний важливий фактор для ви-

бору банку – його «власник». У нинiшнiх

економiчних умовах перевагу природно

вiддати великиммiжнароднимфiнансо-

вим групам абож державному банку.

Для бiльш «просунутих» математикiв-

економiстiв цiкавою та корисною

задачею стане аналiз основнихфiнансо-

вих показникiв дiяльностi банку. Навiть

використовуючи усього декiлька публi-

чних показникiв фiнансової звiтностi –

можна зробити важливi висновки

щодо перспектив та ризикiв розвитку

фiнансової установи на найближчi

кiлька рокiв.

Повертаючись до депозитiв, далi

робимо вибiр виду та строку депозиту.

Для невеликих середньострокових

накопичень краще обрати так званий

«легкий» депозит: вiдсотки за ним

середнi, але покласти та зняти грошi

можна в будь-який зручний момент.

По сутi, це аналог звичайної платiжної

картки – зарплатної чи стипендiальної.

Для довгострокових накопичень краще

обрати довгостроковий депозит. Вiд-

сотки за ним бiльшi, проте у випадку

дострокового розриву втрачаються

вiдсотки чи навiть стягується комiсiя.

У нинiшнiх економiчних умовах найча-

стiше обирають строк депозиту в межах

вiд 3 до 6 мiсяцiв.

Важливо звернути увагу, що зараз у

нашiй країнi рiвень iнфляцiї перевищує

середнi ставки за депозитами, тому фа-

ктичнодепозит став iнструментомнако-

пичення грошей iз пом’якшеннямвпли-


ву iнфляцiї, але точно не примножен-

ня грошей. Цiкавою математичною мо-

деллю є динамiка вiдсоткових ставок пi-

сля вирахування рiвня iнфляцiї. Сере-

днi вiдсотковi ставки останнiх кiлькох

рокiв виявляються вiд’ємними, тожмає-

мо парадокс – чим довше тримаємо гро-

шi на депозитi, тим менше зможемо на

них придбати у майбутньому.

Можливо, це означає,щовигiднобра-

ти кредит?

Кредит

Кредити класифiкуються на спожив-

чi – для купiвлi товарiв на порiвняно

невеликi суми (телефони, комп’ютери,

побутова технiка), та iпотечнi – на ку-

пiвлю квартири. Залежно вiд суми та

специфiки кредити можуть передбача-

ти необхiднiсть застави (наприклад, ку-

пiвля машини пiд заставу квартири), чи

бути беззаставними.

Здавалося б, якихось 4% за кредитом.

На кредитi в 5000 грн якихось 200 грн на

мiсяць переплати. Але за рiк кредиту ти

переплатиш майже половину вартостi

товару, за кредитом на 2 рокифактично

заплатиш подвiйну цiну за товар.

Навiть якщо продавецьщиро переко-

нує тебе про «безвiдсотковiсть» креди-

ту –ще раз уважно помiркуй: чи справдi

банкiрисхожiнаспонсорiвабоблагодiй-

никiв?

Бiльшiсть акцiйних знижок у торго-

вельнихмережахздiйснюютьсявмежах

заздалегiдь пiднятої до необхiдного рiв-

ня початкової цiни товару. Те саме стосу-

ється i так званих «безвiдсоткових» кре-

дитiв.

Окрiм того, позичаючи чужi грошi,

потiм доводиться вiддавати свої! Та

й мабуть недарма iснує жартiвливий

вислiв, що iпотечний кредит – то на

все життя. Нiколи не знаєш, якi ще

прихованi комiсiї, додатковi умови,

особливi застереження були вказанi в

текстi кредитного договору. Тим паче,

хто i коли з клiєнтiв його уважно читав!

Валюта

Питання про доцiльнiсть купiвлi

«твердої» валюти в нинiшнiх умовах

особливо актуальне. Лише протягом

останнiх двох рокiв курс долара зрiс

бiльш нiж у 3 рази.

Дохiднiстю бiльше нiж 100 % рiчних,

яку ми побачили в цi роки щодо дола-

ра вiдносно гривнi, не змiг би похизува-

тись жоден депозит!

Тож для довгострокових накопичень

цей фiнансових iнструмент виявився,

мабуть, найбiльш вдалим. Однак щодо

середньострокових накопичень купiв-

лявалютиможебутияквиграшною, так

i програшною.

Звiсно, можна побудувати матема-

тичну модель, та на основi аналiзу

iсторiї курсiв упопереднiднi спробувати

спрогнозувати курс кiлькох наступних

перiодiв. При цьому можна викори-

стовувати рiзнi математичнi технiки

(дис. рис. 2). Наприклад, поцiновувачi

класичної геометрiї можуть з’єднати

прямою два минулi перiоди i прогноз

одержати у виглядi її продовжен-

ня. Фанати теорiї ймовiрностей та

математичної статистики ймовiрно

скористаються методами регресiйного

аналiзу: побудують криву лiнiйної чи

якоїсь бiльш витонченої регресiї та

скористаються нею для знаходження

прогнозованих значень майбутнiх

перiодiв. Аксакали вищої математики

неодмiнно спробують змоделювати ди-

намiку за допомогою кубiчних сплайнiв.

Така технiка активно використовується

вЄвропiдляефективногомоделювання

вiдсоткових ставок та iншихфiнансових

показникiв; попит на фiнансових мате-

матикiв iз вiдповiдними професiйними

знаннями доволi високий, як i зарплати

таких фахiвцiв.

Однакпри аналiзi динамiкиреальних

фiнансових даних в Українi сьогоднi чи

ненапершийпланвиходитьфакторний

аналiз. Окрiм суто економiчних факто-

В. П. Зубченко. Фiнансова iнтуїцiя чи сучасна математика 55

//

Дата

OO

Курс

.

•

t1

.

•

t2

.

•

t3

.

•

t4

.

•

t5

.

×

t6

.

×

t7

«Лiнiйний» прогноз

//

Дата

OO

Курс

.

•

t1

.

•

t2

.

•

t3

.

•

t4

.

•

t5

.

×

t6

.

×

t7

«Регресiйний» прогноз

//

Дата

OO

Курс

.

•

t1

.

•

t2

.

•

t3

.

•

t4

.

•

t5

.

×

t6

.

×

t7

Прогноз за допомогою сплайнiв

Рис. 2. Аналiз тренду

рiв досить часто визначальний вплив

мають полiтичнi чи навiть спекулятивнi

фактори.

Тому iнодi тривiальний грубий про-

гноз «завтра – так само, як сьогоднi» мо-

же виявитись бiльш точним, анiж одер-

жанийзадопомогоюскладноїбагатофа-

кторної математичної моделi.

Якщонавiтьвiдомiфiнансовi аналiти-

ки далеко не завжди можуть спрогнозу-

вативалютнийкурсбодайнанайближчi

кiлька тижнiв, – навряд чи це вдасться

зробити i нам.

Тожабиневтратитивiдпадiннявалю-

тногокурсу,рiзницiмiжцiноюкупiвлi та

продажу, фiнансовогошахрайства спра-

глих обмiняти тобi валюту за бiльш ви-

гiдним курсом – невеликi суми грошей

нанетривалийчасбiльшбезпечновида-

ється все ж зберiгати та накопичувати у

нацiональнiй валютi.

Проте ж так i хочеться не просто збе-

регти, але й примножити грошi! Тим па-

че реклама невпинно твердить – «Iнве-

стуй!» Чи справдi iнвестування прино-

сить гарантований обiцяний прибуток?

Iнвестування

Уявiмо себе на хвилину власниками

невеличкої iнвестицiйної компанiї. Ми

наймаємо кiлька трейдерiв, завдання

яких – залучити якомога бiльше клiєн-

тiв, адже їх заробiтна плата та, будемо

вiдвертими, наш прибуток, залежать

вiд того, скiльки акцiй придбають нашi

клiєнти.

Тожпоставившимету «продати акцiю

за будь яких умов», трейдер починає

створювати арсенал аргументiв на

користь купiвлi акцiї.

Якщо клiєнт прийшов у момент

часу t1 (рис. 1), природним аргументом

трейдера буде такий: «Безумовно зараз

слiд купувати цю акцiю: динамiка її цiни

зростаюча, прослiдковується стiйкий

up-trend. Придбавши акцiю зараз, у


//

Дата

OOКурсакцiї

t1

��

t2

��t3

��

t4

��

t5

JJ

Рис. 3.Динамiка акцiї

майбутньому її можна буде продати в

рази дорожче!». Клiєнт, що прийде на

бiржу в момент часу t2, почує схожi

аргументи: «Уже бiльше пiвроку акцiї

цiєї компанiї демонструють стiйке та

стабiльне зростання, iнвестування є

ефективним та безпечним».

Натомiсть, навiть простий математи-

чний аналiз показникiв дiяльностi цiєї

компанiї мiг би спрогнозувати те розча-

рування, яке вiдчує «щасливий» новий

власник акцiї цiєї компанiї через кiлька

днiв.

Момент часу t3. Прийшовши на

фiнансову бiржу, аргументи трейдерiв,

як не дивно, залишаються незмiнними:

«Потрiбно цю акцiю купувати просто

зараз: уже кiлька мiсяцiв поспiль

цiна акцiї спадала, зараз вона якраз

перебуває на цiновому днi! Завтра

неодмiнно почнеться зростання, яке

принесе примноження твоїх грошей!»

Але «завтра» приносить такому

iнвестору розчарування. Звiсно, дещо

менше, анiж iнвестору, що проiнвесту-

вав власнi заробленi грошi в момент

t2. Та все одно прагнення заробити

змiнюється на мрiю хоча б повернути

вкладене.

Звiсно, не виключається твоя блиску-

ча фiнансова iнтуїцiя – проiнвестувати

грошi в момент t4 та продати акцiю в

момент t5. У такому випадку, можливо,

«Лото-Забава» створена саме для тебе?

Якщо ж говорити серйозно, аналiз

трендiв є доволi складною задачею на

перетинi математики, економiки i так

званих «поведiнковихфiнансiв», тожпо-

требує досить серйозних професiйних

знань i, що головне, чималого досвiду.

Тож залишимо цю справу фаховим

трейдерам-казначеям, а для себе зроби-

мо висновок про те, що прибуток одних

часто забезпечується збитком iнших, та

що збiльшення доходностi призводить

також до значного збiльшення ризику.

Чи маєш ти зайвi грошi, якими гото-

вийризикувати? З якоюметоюпрагнеш

накопичити та примножити грошi? Якi

активи насправдi роблять тебе незале-

жним та успiшним?

Про це – у наступнiй статтi «Роби те,

що любиш – грошi прийдуть!»

МАТЕМАТИЧНI ОЛIМПIАДИ

ВЕСНЯНИЙ ТУР 38 ТУРНIРУ МIСТШевченко Георгiй Михайлович,


МIЖНАРОДНЕ математичне змага-ння «Турнiр мiст» проходить удекiлькаетапiв.Навеснi тавосе-

нi кожного року проводиться олiмпiадау два етапи: спочатку «базовий» варiант,через два тижнi «складний» варiант. Якневажко здогадатися з назви, завданнябазового варiанта є простiшими за зав-дання складного. Незважаючи на це, навиконання завдань кожного етапу вiд-водиться однаковий час – 5 годин.

Завдання є рiзними для молодших(8–9) та старших (10–11) класiв. Мо-жлива також участь учнiв 6–7 класiв.Система оцiнювання є своєрiдною.По-перше, бали учасникiв iз рiзнихкласiв множаться на вiдповiдний кое-фiцiєнт: у шостому класi на 2/1 = 2, усьомому – на 3/2 = 1,5, у восьмому – на4/3 = 1,33, у десятому – на 5/4 = 1,25 (упопереднi роки результати учнiв молод-ших класiв, якi виконували завданнястарших класiв, також множилися наспецiальний коефiцiєнт; зараз вонимножаться на коефiцiєнт 1,25, як длядесятикласникiв). По-друге, у залiкiдуть лише три задачi з варiанта, заякими отримано найвищого результату(бали за пункти однiєю задачi додаю-ться). Потiм порiвнюються результатиза базовим i за складним варiантами,найкращий iз них стає результатомучасника в турi. Учасник, який набрав увесняному чи в осiнньому турi достатнюкiлькiсть балiв (вона залежить вiд року,але звичайно це вiд 10 до 12 балiв),одержує диплом переможця Турнiру.

Крiм того, найкращих учасникiв запро-шують на iншi заходи Турнiру мiст –старших на очний тур, молодших налiтню конференцiю.

У завдань олiмпiади Турнiру мiсттакож є своя специфiка. Завдання бiль-шостi математичних олiмпiад слiдуютьзразкам Мiжнародної математичноїолiмпiади: вони вимагають знанняспецiальнихметодiв i технiк, якi вивчаю-ться на заняттях математичних гурткiв;бiльше шансiв мають тi учасники, щобiльше натренованi у використаннi цихтехнiк. На вiдмiну вiд них, в олiмпiадiТурнiру мiст нечасто зустрiнеш задачiна готовi прийоми й усталенi схеми,вони частiше вимагають нестандартнихходiв i несподiваних iдей, спонукають доматематичної творчостi. Таким чином,на мою думку, Турнiр мiст дає бiльшешансiв математично обдарованимдiтямбез спецiальної олiмпiадної пiдготовки.

Iнша особливiсть завдань стосуєтьсязадач iз запитаннями «Чи можна», «Чиобов’язково», «Чи iснує» тощо.Убiльшо-стi звичайних олiмпiадних задач вiдпо-вiдь негативна. А в Турнiрi мiст частiшезустрiчаються стверднi вiдповiдi, багатоз яких дуже несподiванi.

Бiльше iнформацiї про Турнiр можназнайти на його сайтi [1].

Весняний тур 38-го Турнiру мiстпройшов 26 лютого (базовий варiант) та12 березня (складний варiант). У ньомувзяли участь десятки тисяч учнiв iзпонад 150 мiст та понад 50 рiзних країнсвiту. УКиєвi,щонезмiнно бере участь у

57


Турнiрi, починаючи з його заснування,олiмпiада проходила за традицiєю вприродничо-науковому лiцеї № 145. Унiй взяли участь приблизно 50 учасни-кiв, в основному з молодших класiв.Переможцями 38 Турнiру мiст у Києвiстали:

• Абдулаєв Андрiй, 8-й клас, лiцей«Наукова змiна», 24 бали;

• Азаров Євген, 9-й клас, лiцей№ 208, 14 балiв;

• Андреєва Марiя, 9-й клас, лiцей№ 208, 14 балiв;

• Бiлик Олеся, 9-й клас, ПНЛ№ 145,14 балiв;

• Бриль Камiлла, 7-й клас, лiцей№ 208, 12 балiв;

• Вахiтов Антон, 8-й клас, лiцей «Нау-кова змiна», 24 бали;

• Гаврилюк Данило, 8-й клас, Руса-нiвський лiцей, 16 балiв;

• ГлуховськийПавло, 10-йклас,ПНЛ№145, 13,75 бала;

• Дехтяр Богдан-Ярема, 9-й клас, лi-цей «Наукова змiна», 12 балiв;

• ДехтярЮр-Любомисл, 9-й клас, лi-цей «Наукова змiна», 13 балiв;

• IльяшПетро, 9-й клас, лiцей№208,13 балiв;

• Кисленко Олена, 9-й клас, лiцей№ 208, 14 балiв;

• Коваль Вадим, 9-й клас, Україн-ськийфiзико-математичнийлiцей,14 балiв;

• Ляпкiн Ростислав, 8-й клас, Руса-нiвський лiцей, 17,33 бала;

• Нечипорук Карина, 9-й клас, лiцей№ 208, 21 бал;

• Нiколаєв Арсенiй, 10-й клас, ПНЛ№145, 28,75 бала;

• Паламарчук Роман, 9-й клас, лiцей№ 208, 13 балiв;

• Петрусенко Влада, 9-й клас, Ново-печерськашкола, 19 балiв;

• Радомський Владислав, 8-й клас,Русанiвський лiцей, 18,67 бала;

• Стахурська Iнга, 8-й клас, ПНЛ№145, 17,33 бала;

• ТочонийВолодимир, 8-йклас, Руса-нiвський лiцей, 17,33 бала;

• ХасiнМарк, 8-й клас, Русанiвськийлiцей, 25,33 бала.

Вiтаємопереможцiвтазичимоподаль-ших успiхiв! Бiльш докладну iнфор-мацiю про Турнiр мiст у Києвi можназнайти на сторiнцi facebook [2].

ЗАДАЧI

Числоуквадратнихдужкахпiсляумо-ви задачi означає кiлькiсть балiв за неї.

БАЗОВИЙ ВАРIАНТ

МОЛОДШI КЛАСИ

Задача 1. Знайдiть найменше на-туральне число, яке починається (удесятковому запису) на 2016 i дiлитьсяна 2017. [3].

Задача 2. Доведiть, що на графiкубудь-якого квадратного тричлена зiстаршимкоефiцiєнтом1,якиймаєрiвноодин корiнь, знайдеться така точка(p ,q), що тричлен x2

+ px + q такожмаєрiвно один корiнь. [4].

Задача 3. Iз вершини A гострокутно-го трикутника ABC по бiсектрисi кута A

випустили бiльярдну кульку, яка вiдби-лася вiд сторони BC за законом «кут па-дiннядорiвнюєкуту вiдбиття» i далi про-довжила котитися по прямiй, нi вiд чо-го не вiдбиваючись. Доведiть, що коли∠A = 60

◦, то траєкторiя кульки прохо-дить через центр описаного кола трику-тника ABC . [5].

Задача 4. У ряд стоїть 100 дiтей рi-зного зросту. Дозволяється робити та-кi операцiї: переставляти мiж собою якзавгодно будь-яких 50 дiтей, що стоятьпоспiль (решта залишається на своїх мi-сцях). Як шiстьма такими операцiями

Г. М.Шевченко. Веснянийтур 38 Турнiру мiст 59

гарантовано вишикувати усiх дiтей заспаданням зросту злiва направо? [5].

Задача 5. а) На кожнiй сторонi10-кутника (не обов’язково опуклого)як на дiаметрi побудували коло. Чиможе виявитися, що всi цi кола маютьспiльну точку, яка не збiгається зжодною вершиною цього 10-кутни-ка? [2]; б) Розв’яжiть ту саму задачу для11-кутника. [3].

СТАРШI КЛАСИ

Задача 1. Дано правильний 12-кут-ник A1A2 . . .A12. Чи можна з 12 векто-рiв

−−−→A1A2,

−−−→A2A3, . . . ,

−−−−−→A11A12,

−−−−→A12A1 вибрати

7, сума яких дорiвнює нульовому векто-ру? [3].

Задача 2. Дано два концентричнi ко-ла, усерединi меншого кола вiдмiченоточку A. Кут величиною α з вершиноюв A вiдтинає на цих колах по дузi. До-ведiть, що коли дуга бiльшого кола маєкутовийрозмiрα, то й дугаменшогомаєкутовий розмiр α. [4].

Задача 3. Укожну клiтинку квадрата1000 × 1000 вписано числа так, щов будь-якому прямокутнику площi s

зi сторонами, якi проходять по межiклiтинок, сума чисел одна й та сама.Для яких s числа у всiх клiтинкахобов’язково однаковi? [5].

Задача 4. По колу стоїть 10 дiтей рiз-ного зросту. Час вiд часу хтось iз них пе-ребiгає на iнше мiсце (мiж якимись дво-ма дiтьми). Дiти хочуть якомога швид-ше вишикуватися за зростом вiд най-нижчого до найвищого за годиннико-воюстрiлкою.Якоїнайменшоїкiлькостiтаких перебiжок їм точно вистачить не-залежно вiд того, як вони стояли споча-тку? [5].

Задача 5. Графiки двох квадратнихтричленiв перетинаються у двох точках.В обох точках дотичнi до графiкiв пер-пендикулярнi. Чи обов’язково осi симе-трiї графiкiв збiгаються? [6].

СКЛАДНИЙ ВАРIАНТ


Задача 1. У шаховому турнiрi було10 учасникiв. У кожному турi учасникирозбивалися на пари, й у кожнiй парiграли один з одним гру. У результатi ко-женучасникзiгравзкожнимрiвноодинраз, причому не менше нiж у половинiвсiх iгор учасники були земляками (зодного мiста). Доведiть, що в кожномутурi хоча б одна гра була мiж земляка-ми. [5].

Задача 2. а) Чи можна намалюватина клiтчастому паперi багатокутник iподiлити його на двi однаковi частинирозрiзом (уздовж межi клiтинок) такоїформи, як показано на лiвому рисункунижче? [1].

б) Розв’яжiть ту самузадачудлярозрi-зу, як на середньому рисунку. [2].

в) Розв’яжiть ту самузадачудлярозрi-зу, як на правому рисунку. [4].

(У всiх пунктах розрiз лежить усерединiбагатокутника,намежувиходятьтiлькикiнцi розрiзу. Сторони багатокутника таланки розрiзу йдуть уздовж лiнiй сiт-ки; маленькi ланки на правому рисункувдвiчi коротшi за великi.)

Задача 3. Узяли декiлька додатнихчисел i побудували за ними таку послi-довнiсть:a1 –сумапочатковихчисел,a2 –сума квадратiв початкових чисел, a3 –сума кубiв початкових чисел тощо.

а)Чимогло трапитися,щодоa5 послi-довнiсть спадає (a1 > a2 > a3 > a4 > a5),а починаючи з a5 – зростає (a5 < a6 <

< a7 < . . . )? [4].б) А чи могло трапитися навпаки: до

a5 послiдовнiсть зростає, а починаючиз a5 – спадає? [4].


Задача 4. В опуклому шестикутникуABC DE F усi сторони однаковi, а такожAD = BE = C F . Доведiть, що у цейшестикутник можна вписати коло. [8].

Задача 5. Маса кожної гирi набору –нецiле число грамiв. Ними можна врiв-новажити будь-яку цiлу вагу вiд 1 г до40 г (гирi кладутьсянаоднушальку тере-зiв, вимiрювана вага – на iншу). Яке най-менше число гир у такому наборi? [8].

Задача 6. Коник умiє стрибати посмужцi з n клiтинок на 8, 9 або 10 клi-тинок у будь-який бiк. Будемо назива-тинатуральнечислоn прострибуваним,якщоконикможе, почавши з деякої клi-тинки, обiйти всю смужку, побувавшина кожнiй клiтинцi рiвно один раз. Зна-йдiть хоча б одне n > 50, яке не є про-стрибуваним. [10].

Задача 7. Костi домiно 1 × 2 кладутьбез накладень на шахову дошку 8 × 8.При цьому костi можуть виходити замежi дошки, але центр кожної костi по-винен лежати строго всерединi дошки(не на межi). Покладiть таким чиномна дошку: а) принаймнi 40 костей. [6];б) принаймнi 41 кiсть. [3]; в) бiльше41 костi. [3].


Задача 1. На площинi дано трику-тник i 10 прямих. Виявилося, що кожнапряма рiвновiддалена вiд деяких двохвершин трикутника. Доведiть, що абодвi з цих прямих паралельнi, або три зних перетинаються в однiй точцi. [4].

Задача 2. Задача 3 молодших класiв(обидва пункти оцiнюються по 3 бали).

Задача 3. Василько стверджує, щовiн розрiзав опуклий многогранник, уякого є лише трикутнi i шестикутнiгранi, на двi частини та склеїв iз цихчастин куб. Чи можуть слова Василькабути правдою? [7].

Задача4. Петрикрозфарбувавкожнуклiтинку квадрата 1000 × 1000 в одинз 10 кольорiв. Також вiн вигадав такий

10-клiтинний багатокутник Φ, що прибудь-якомуспособiпокластийогопоме-жi клiтинок на розфарбований квадрат,усi 10 накритих ним клiтинок будуть рiз-ного кольору. Чиобов’язковоΦ – прямо-кутник? [8].

Задача 5. У трикутнику ABC з кутомA, якийдорiвнює45◦, проведеномедiануAM . Пряма b симетрична прямiй AM

вiдносно висоти BB1, а пряма c симе-трична прямiй AM вiдносно висотиCC1.Прямi b i c перетнулися в точцi X . Дове-дiть, що AX = BC . [9].

Задача 6. При яких натуральних n

для будь-якого цiлого k ≥ n знайдетьсякратне n число iз сумою цифр k ? [10].

Задача7. УЧикагомешкають36ганг-стерiв, деякi з яких ворогують мiж со-бою. Кожен гангстер є членом декiль-кох банд, причому немає жодних двохбанд з однаковим складом. Виявилося,що гангстери, якi є членами однiєї бан-ди, не ворогують, але якщо гангстер неє членом деякої банди, то вiн ворогуєхоча б з одним з її членiв. Яке найбiльшечисло банд могло бути в Чикаго? [12].

РОЗВ’ЯЗКИ

Бiльшiсть розв’язкiв даються вiдпо-вiдно до [1].

БАЗОВИЙ ВАРIАНТ


Розв’язок задачi 1. Нехай це число n.Найближче число, яке починається на2017 та закiнчується нулями, має бутибiльшим n принаймнi на 2017, тому в n

щонайменше 8 цифр. Тодi

n = 20170000 − 4 · 2017 = 20161932.

Розв’язокзадачi 2. Якщоквадратнийтричлен f зi старшим коефiцiєнтом 1має рiвно один корiнь a , то вiн дорiвнює


f (x) = (x − a)2. Тодi його графiк мiститьточку (2a , a2), а тричленx2

+2ax +a2маєрiвно один корiнь−a .

Вправа. Графiк f мiстить ще одну то-чку, що задовольняє умову задачi. Зна-йдiть її.

Розв’язок задачi 3. Вiддзеркалимовiдносно сторониBC центрO описаногокола ω трикутника ABC , отримавшиточку O ′. Оскiльки ∠BO ′C = ∠BOC =

= 180◦ − ∠A, тоO ′ лежить наω (рис. 1).

Рис. 1

Отже, бiсектриса кута A проходить че-резO ′, а це й означає, що пiсля вiдбиттякулька пройде через точкуO .

Розв’язок задачi 4. Позначимо злiванаправо групи по 25 дiтей, що стоять врядупоспiль, черезA,B ,C ,D . Коженраз,вибираючи 50 дiтей, будемо вишикува-ти їх за спаданням зросту злiва направо.Спочатку зробимо це з AB , потiм з BC

i нарештi з C D . Пiсля першої переста-новки 25 найменших за зростом дiтейопиняться в групi BC D , пiсля другої –в C D , пiсля третьої – в D , тобто їх будерозставлено правильно. Вишиковуючизнов дiтей з AB та з BC , розставимо пра-вильно 25 наступних за зростом дiтей.Нарештi, вишиковуючизновAB , розста-вимо всiх дiтей правильно.

Вправа. Спробуйте довести, щоп’ятьох перестановок, взагалi кажучи,недостатньо.

Розв’язок задачi 5. а) Так, див. рис. 2.

Рис. 2

б) Нi. Припустимо, що iснує такийбагатокутник A1A2 . . .A11 та точкаO , щозадовольняють умову задачi. ТодiO A1 ⊥

⊥ O A2 ⊥ · · · ⊥ O A11. ЗвiдсиO A1 ‖ O A11,суперечнiсть.


Розв’язок задачi 1. Так, можна. Ве-ктори

−−−→A1A2,

−−−→A5A6,

−−−−→A9A10 паралельнi сто-

ронам−→AB ,

−−→BC ,

−→C A певного рiвносторон-

нього трикутника, тому їхня сума дорiв-нює нулю. Сума векторiв кожної пари−−−→A2A3,

−−−→A8A9 та

−−−→A4A5,

−−−−−→A10A11 також рiвна

нулю, оскiльки вони рiвнi за довжиноюта рiзнонапрямленi. Отже, можна взятивказанi сiм векторiв.

Розв’язок задачi 2. Нехай на бiльшо-муколiкутвiдтинаєдугуBC .ПозначимочерезB ′ таC ′ другi точки перетину бiль-шого кола з прямими AC та AB вiдповiд-но (рис. 3).

Рис. 3

Сума дуг BC та B ′C ′ дорiвнює 2α, томуцi дуги рiвнi. Отже, BB ′C ′C – рiвнобiч-на трапецiя з основою BB ′ або прямоку-


а)

б)

в)

Рис. 4

тник. Вiсь симетрiї цiєї трапецiї прохо-дить через спiльний центр O кiл, томумалюнок симетричний вiдносно осi. От-же, кути BAC та B ′AC ′ вiдтинають наменшому колi рiвнi дуги. Оскiльки їхнясума дорiвнює 2α, то вони рiвнi α.

Розв’язок задачi 3. Тiльки для s = 1.Зрозумiло, що для s = 1 числа у всiх

клiтинках однаковi.Нехай s > 1, p – простий дiльник s . У

клiтинки, сумакоординатякихдiлитьсяна p , впишемо одиницi, у решту – нулi. Удовiльному прямокутнику площi s дов-жина однiєї зi сторiн дiлиться на p , томуйогоможнарозбитина s/p смужокp ×1.У кожну таку смужку потрапляє рiвнооднаодиниця.Отже, сумачиселупрямо-кутнику дорiвнює s/p i не залежить вiдвибору прямокутника.

Розв’язок задачi 4. Нехай початководiти стоять у зворотномупорядку. Якщобуло менше восьми перебiжок, то якiсьтри дитини залишилися на своїх мiсцях,а їхнiй порядок протилежний потрiбно-му, тому семи перебiжок не вистачить.

Восьми перебiжок точно вистачить,оскiлькидвi дитининайменшогозростуможуть залишатися на мiсцi, а всi iншiпослiдовно вишикуватися за ними зазростом.

Отже, вiдповiдь – 8 перебiжок.Розв’язокзадачi5. Нi,необов’язково.

Розглянемо параболу y = x2. Виберемона нiй двi точки A таB з рiзними ордина-тами, дотичнi a та b в яких перпендику-лярнi. Вiдобразимо параболу симетри-

чно вiдносно серединиO вiдрiзка AB . Унової параболи дотична в точцi A пара-лельна b , тому перпендикулярна a ; ана-логiчна ситуацiя в точцi B . Оскiльки то-чка O не лежить на осi ординат, то осiпарабол рiзнi.

СКЛАДНИЙ ВАРIАНТ


Розв’язок задачi 1. Припустимо, щокожен учасник зiграв менше половинисвоїх iгор iз земляками. Пiдсумуємокiлькостi таких iгор у всiх учасникiвi роздiлимо на 2. Ми отримаємо, щоменше половини всiх iгор на турнiрiбули мiж земляками, що суперечитьумовi. Значить, хоча б один учасникзiграв не менше половини своїх iгорiз земляками. Враховуючи те, що вiнусього зiграв 9 iгор, то шахiстiв iз йогомiста (включаючи його самого) неменшешести.Отже, укожномутурi булагра мiж учасниками з цього мiста.

Вправа. Доведiть, що в кожному турiвiдбулися навiть двi гри мiж земляками.

Розв’язок задачi 2. Див. рис. 4.

Розв’язок задачi 3. а) Могло. Вiзьме-мо число 2 i 1024 числа, рiвнi 1/2. Тодian = 2

n+ 1024 · 2−n

= 32(2n−5+ 2

5−n).Сума двох взаємно обернених чисел тимменша, чим ближчi вони одне до одного.Тому побудована послiдовнiсть спадаєдо n = 5, потiм зростає.


б) Не могло. Припустимо вiд супро-тивного, що таке сталося. Тодi серед ви-хiдних чисел є число x , бiльше 1, iнакшепослiдовнiсть не могла б зростати. Алетодi an ≥ xn , тобто послiдовнiсть an

необмежена, зокрема, вонанеможе спа-дати пiсля n = 5. Суперечнiсть.

Розв’язок задачi 4. Оскiльки трикут-ники ABD i E DB рiвнi за трьома сторо-нами, то чотирикутник ABDE – рiвно-бiчна трапецiя або прямокутник. Її вiсьсиметрiї – серединний перпендикулярдо основ BD i AE (рис. 5).

Рис. 5

На цьому ж перпендикулярi лежать iвершиниC i F рiвнобедрених трикутни-кiвBC D iAF E . АналогiчнопрямiAD iBE

є осями симетрiї шестикутника. Усi триосi перетинаються в центрiO описаногокола трикутника BDF .

Оскiльки бiсектриси всiх кутiв бага-токутника перетинаються в однiй точцi,то його сторони рiвновiддаленi вiд неї.Залишилося помiтити, що перпендику-ляри, опущенi з точкиO на сторони ше-стикутника, потрапляють саме на них, ане на їх продовження. Так вiдбуваєтьсятому, що, наприклад, кути трикутникаAOB при сторонi AB рiвнi половинам ку-тiвA iB опуклогошестикутника, тобто єгострими.

Розв’язок задачi 5. Вiдповiдь: 7 гир.Приклад. За допомогою гир 1, 2, 4, 8,

16, 32, 64 г можна зважити будь-яку цiлувагу до 127 г включно. Подiлимо вагукожної гирi на 3. Ваги гирстанутьнецiлi,

i ними можна буде зважити будь-якуцiлу вагу до 42 г.

Оцiнка. Припустимо, що в наборi є6 гир. Рiзних пiднаборiв 2

6= 64. По-

фарбуємо одну гирю жовтим кольоромi розiб’ємо пiднабори на пари, що вiдрi-зняються лише наявнiстю в них жовтоїгирi.Оскiлькивагипiднаборiв упарi вiд-рiзняються нецiлою вагою жовтої гирi,то максимум один iз них може мати цiлувагу у грамах. Тому пiднаборiв iз цiлоювагою не бiльше 32, i 40 рiзних цiлих вагцим набором гир не зважити.

Розв’язок задачi 6. Доведемо, що чи-сло 62 – непрострибуване. Вiд супротив-ного, припустимо, що коник простри-бав смужку з 62 клiтин. Пофарбуємо8 лiвих її клiтин бiлим, наступнi 10 –чорним, потiм знову 8 – бiлим i так далi.Усього буде 32 бiлi клiтини i 30 чорних.Оскiльки рiзниця кiлькостей бiлих iчорних клiтин бiльше 1, то був стрибокмiж бiлими клiтинами. Оскiльки такiстрибки неможливi, ми прийшли досуперечностi.

Вправа. Доведiть аналогiчним чином,що числа вiд 59 до 66 непрострибуванi.

Розв’язок задачi 7. Достатньо лишепоказати приклад для пункту в). Нарис. 6 показано укладання 42 костей.

Рис. 6

Центри лiвої верхньої та правої ни-жньої костей лежать на межi квадратаз дiагоналлю 11, яка менше дiагоналiдошки 8 × 8. Тому центри всiх костейумiстяться на дошцi.



Розв’язок задачi 1. Пряма рiвновiд-далена вiд кiнцiв вiдрiзка у двох випад-ках: коли вона паралельна йому або ко-ли вона проходить через його середи-ну. Якщо серед даних прямих немає па-ралельних, то не менше семи з них за-довольняють другу умову, тобто прохо-дять через одну iз трьох середин сторiнтрикутника. Значить, через одну з цихточок проходить не менше трьох данихпрямих.

Розв’язок задачi 2. Див. розв’язокзадачi 3 для молодших класiв.

Розв’язок задачi 3. Як вiдомо, у кубає шестикутний перерiз, що проходитьчерез середини ребер; вiн розрiзає кубна двi рiвнi частини. Склавши їх, як нарис. 7, отримаємо опуклий багатогран-ник, у якого лише трикутнi iшестикутнiгранi. Оберненою операцiєю з нього мо-жна скласти куб.

Рис. 7

Розв’язокзадачi4. Нi,необов’язково.Розфарбуємо спочаткуклiтинкиквадра-та вшаховому порядку. Занумеруємо всiбiлi клiтинкип’ятьмацифрами так,щоббудь-який шматок довжини 5 бiлої дiа-гоналi мiстив рiзнi цифри.

Це легко зробити: при поворотi ква-драта на 45

◦ бiлi клiтинки утворюютьзвичну прямокутну сiтку, а шматкидiагоналей перетворюються на прямо-кутники 1 × 5, i ми можемо використатизвичайне циклiчне розфарбування.Аналогiчно занумеруємо чорнi клiтин-ки п’ятьма iншими цифрами.

На рис. 8 наведено приклад такогорозфарбування i два положення бага-токутника Петрика. Зрозумiло, що вбудь-якому можливому положеннi вiннакриває два рiзнокольоровi дiагональ-нi шматки довжини 5, отже, мiстить всi10 цифр.

0 1

3 2

4 5

7 6

8 9

1 0

2 3

5 4

6 7

9 8

0 1

3 2

4 5

7 6

8 9

1 0

2 3

5 4

6 7

9 8

0 1

3 2

4 5

7 6

8 9

1 0

2 3

5 4

6 7

9 8

0 1

3 2

4 5

7 6

8 9

1 0

2 3

5 4

6 7

9 8

0 1

3 2

4 5

7 6

8 9

1 0

2 3

5 4

6 7

9 8

Рис. 8

Розв’язок задачi 5. Проведемочерез вершини трикутника ABC прямi,паралельнi його сторонам. Цi прямiутворюють «подвоєний» трикутникA ′B ′C ′ (рис. 9).

Рис. 9

Зауважимо,щоBB1 – серединнийпер-пендикуляр до A ′C ′, а A ′ лежить на пря-мiй AM . Тому при симетрiї вiдносно BB1

точка A ′ переходить у C ′, значить, C ′


лежить на b . Аналогiчно B ′ лежить наc . При переходi вiд прямих до перпен-дикулярних їм, кути зберiгаються. Томукут мiж висотами BB1 i CC1 теж дорiв-нює 45◦. Прямi b i c отримуються одназ одної композицiєю симетрiй вiдносноцих висот, тобто поворотом на подвоє-ний кут мiж ними. Отже, b i c перпенди-кулярнi. Медiана X A прямокутного три-кутника X B ′C ′ дорiвнює половинi гiпо-тенузи B ′C ′, тобто дорiвнює BC .

Розв’язок задачi 6. Вiдповiдь: при n,що не дiляться на 3.

Якщо n кратне 3, то будь-яке число,кратнеn, дiлитьсяна3. Отже, сумацифрцього числа дiлиться на 3, тому не можебути рiвною, наприклад, n + 1.

Далi вважаємо, що n не кратне 3.Тодi знайдеться розв’язок x конгруенцiїпорiвняння9x ≡ −k (mod n)в iнтервалi0 < x ≤ n ≤ k . Якщо n взаємно простез 10, то 10a ≡ 1 (mod n) при деякомунатуральному a . Тодi при k > n пiдiйдечисло (10a+1

+ 102a+1

+ · · · + 10ax+1) +

+ (10a+ 10

2a+ · · · + 10a(k−x)), при k = n –

число 10a+1+ 10

2a+1+ · · · + 10an+1. Його

сума цифр дорiвнює x + (k − x) = k , а помодулю n воно порiвнянне з 10x + (k −

− x) ≡ 0.Якщо ж n = 2

b5

c d , де d взаємнопросте з 10, то k > d . Як показановище, iснує кратне d число iз сумоюцифр k . Домноживши його на 10max(b ,c ),отримаємошукане число.

Розв’язокзадачi7. Вiдповiдь:312 банд.Якщо гангстери не ворогують, то бу-

демо вважати, що вони дружать. Тодiбанда – це максимальна дружня компа-нiя (додавання будь-якого гангстера по-рушує її дружнiсть). I всяку таку компа-нiю оголосимо бандою, якщо вона та-коюще не є.

Приклад. Нехай гангстерiв розбитона 12 трiйок, гангстери з однiєї трiйки

ворогують, а з рiзних – дружать. Тодiкожна банда мiстить iз кожної трiйкирiвно по одному гангстеру, тому буде312 банд.Оцiнка. Нехай B(n) – найбiльша мо-

жлива кiлькiсть банд,що утворюється умножинi з n гангстерiв. Доведемо iнду-кцiєю за n, що B(n) ≤ 3

n/3.База. Нам зручнiше почати з n = 0.

У цьому випадку (i тiльки в ньому) по-рожня множина є бандою. Тому B(0) =

= 1 ≤ 30/3.

Крок iндукцiї. Нехай є n > 0 гангсте-рiв, вони складають B(n) банд, причомунайбiльш дружний гангстер A має a −

− 1 ворога. Розглянемо довiльного ганг-стера C , що має c − 1 ворога. Кожна«його» банда мiстить крiм нього тiлькидеяких його друзiв, якi, як легко перевi-рити, утворюють банду у множинi всiхn − c його друзiв. Тому, з огляду на при-пущення iндукцiї, «його» бандне бiльшеB(n − c ) ≤ 3

(n−c )/3 ≤ 3(n−a)/3. Кожна бан-

да мiстить A або когось iз його ворогiв.Як показано вище, для кожного з цих a

гангстерiв кiлькiсть «його» банднепере-вищує 3(n−a)/3, отже, B(n) ≤ a · 3(n−a)/3.Це число не перевищує 3n/3, оскiльки,як легко переконатися, a3 ≤ 3

a для ко-жного a ≥ 1.

ЛIТЕРАТУРА

[1] Сайт Турнiру мiст [Електронний ре-сурс]. – Режим доступу : http://www.turgor.ru.

[2] Сторiнка facebook Турнiру мiст вКиєвi [Електронний ресурс]. – Ре-жимдоступу :https://facebook.com/kievturgor.

XXIVМIЖНАРОДНА ОЛIМПIАДА З

МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТIВ

УНIВЕРСИТЕТIВ

Уперiод з 31 липня по 6 серпня

2017 року у мiстi Благоєвград,

Болгарiя, вiдбулася XXIV Мiжна-

родна олiмпiада з математики для сту-

дентiв унiверситетiв. За традицiєю, вона

була органiзована Унiверситетським

коледжем Лондона (University College

London) i вже котрий рiк поспiль була

гостинно прийнята Американським

унiверситетом у Болгарiї (American

University in Bulgaria). В олiмпiадi брали

участь студенти 1–4 курсiв унiверси-

тетiв, чий вiк на момент змагань не

перевищував 23 роки, обмеження на

мiнiмальний вiк вiдсутнi.

Цього року в олiмпiадi взяв участь

331 студент iз 71 унiверситету 34 країн

свiту (у дужках зазначено кiлькiсть

команд вiд країни, яку представляло

бiльше однiєї команди): Австрiя, Бiло-

русь, Бельгiя (2), Бразилiя (3), Велика

Британiя (3), Вiрменiя (2), Грецiя (3),

Естонiя, Iзраїль, Iндонезiя (2), Iран (2),

Iспанiя (6), Казахстан (3), Колумбiя,

Коста-Рiка, Мексика (2), Нiдерланди (6),

Нiмеччина (3), Норвегiя, Пiвденно-

Африканська Республiка, Польща (3),

Росiя (6), Румунiя (2), Сингапур, Сло-

ваччина, Словенiя (2), Україна (2),

Угорщина (3), Узбекистан, Фiнляндiя,

Францiя, Хорватiя (2), Чехiя (2), Шрi-

Ланка.

У командному залiку перше мiсце по-

сiла нацiональна команда Iзраїля, друге

мiсце – команда Санкт-Петербурзького

державного унiверситету, третє мiс-

це – команда Московського фiзико-

технiчного унiверситету. Варто вiдзна-

чити, що цього року було присуджено

три Гран-прi. Ними було нагороджено

Д.Клюєва (Санкт-Петербург), А. Рейтера

та А. Опенгайма (обидва представники

нацiональної команди Iзраїля). Д. Клю-

єв та А. Рейтер набрали максимально

можливi 100 балiв.

Україну цього року представляла ли-

ше команда Київського нацiонального

унiверситету iменi Тараса Шевченка. До

складу команди входили Денис Пушкiн,

Нiкiта Скибицький, Iван Яковлєв та

Ярослав Кiвва. У командному залiку

команда КНУ посiла 18 мiсце. В особи-

стому залiку Д. Пушкiн отримав диплом

першого ступеня, Н. Скибицький та

I. Яковлєв – дипломи другого ступеня,

Я. Кiвва – диплом третього ступеня.

Змагання вiдбувалися у два тури. У

кожному турi до розв’язання пропону-

валося по п’ять задач, на розв’язування

якихвiдводилосяп’ятьгодин.Наводимо

умови задач, якi пропонувалися цього-

рiч на Мiжнароднiй олiмпiадi з матема-

тики для студентiв унiверситетiв. Пов-

ний розв’язок кожної задачi оцiнював-

ся у 10 балiв.

66

XXIVМiжнародна олiмпiада з математики для студентiв 67

УМОВИ ЗАДАЧ

У дужках зазначено авторiв задач.

ПЕРШИЙ ДЕНЬ

Задача 1. Знайдiть усi комплекснi

числа λ, для яких iснують натуральне

числоn та дiйснаматрицярозмiруn ×n,

такi, що виконано рiвнiсть

A2= AT

,

та λ – власне число матрицi A.

(ОлександрБолбот,Новосибiрськийдер-жавний унiверситет, Росiя)

Задача 2. Нехай f : R → (0,∞) –

диференцiйовна функцiя. Припустимо,

що iснує така стала L > 0, що

|f ′(x) − f ′(y )| ≤ L |x − y |

для всiх x , y ∈ R. Доведiть, що для всiх x

виконується

(

f ′(x))2

≤ 2L f (x).

(ЯнШустек, Остравський унiверситет,Чехiя)

Задача 3. Для довiльного нату-

рального числа m позначимо через

P (m) добуток усiх додатних дiльникiв

(наприклад, P (6) = 36). Для кожного

натурального числа n визначимо послi-

довнiсть

a1(n) = n,

ak+1(n) = P (ak (n)),k = 1, 2, . . . , 2016.

З’ясуйте, чи для кожної пiдмножини

S ⊆ {1, 2, . . . , 2017} iснуєтакенатуральне

число n, що виконується умова:

Для кожного k , 1 ≤ k ≤ 2017,

число ak (n) є повним квадратом

тодi i лише тодi, коли k ∈ S .

(Матко Люль, Загребський унiверси-тет, Хорватiя)

Задача4. Умiстi проживаєn мешкан-

цiв, кожен з яких має рiвно 1000 друзiв

(дружба завжди симетрична). Доведiть,

що можна обрати таку групу S мешкан-

цiв, що щонайменше n/2017 осiб iз S

матиме рiвно двох друзiв в S .

(Ралухах Маждодiн, Федiр Петров,Санкт-Петербурзький унiверситет,Росiя)

Задача 5. Нехай k та n – натуральнi

числа, для яких n ≥ k 2 − 3k + 4.

Коефiцiєнти c1, . . . , cn полiнома

f (z ) = z n−1+ cn−2z n−2

+ . . . + c0

є комплексними числами, що задоволь-

няють умову

c0cn−2 = c1cn−3 = . . . = cn−2c0 = 0.

Доведiть, що полiноми f (z ) та z n − 1

мають щонайбiльше n − k спiльних

коренiв.

(Всеволод Лев, Федiр Петров, Росiя,Санкт-Петербурзький унiверситет)

ДРУГИЙ ДЕНЬ

Задача 6. Нехай функцiя f : [0,∞) →

→ R неперервна, та iснує границя

limx→+∞

f (x) = L

(вона може бути скiнченною або нескiн-

ченною). Доведiть, що

limn→∞

∫ 1

0

f (nx)dx = L .


Задача 7. Нехай p(x) – несталий по-

лiном iз дiйсними коефiцiєнтами. Нехай

для кожного натурального числа n

qn(x) = (x + 1)n p(x) + xn p(x + 1).

Доведiть, що iснує лише скiнченна кiль-

кiсть таких чисел n, що всi коренi qn(x)

дiйснi.



Задача 8. Визначимо послiдовнiсть

A1,A2, . . . матриць таким рекурентним

спiввiдношенням:

A1 =

(

0 1

1 0

)

,

An+1 =

(

An I2n

I2n An

)

, n = 1, 2, . . . ,

де Im позначає одиничну матрицю по-

рядкуm.

Доведiть,щоAn маєn + 1 рiзних цiлих

власних чисел λ0 < λ1 < . . . < λn

кратностей(n0

)

,(n1

)

, . . .,(n

n

)

, вiдповiдно.

(Снєжана Майстрович, унiверситетiменi Й. Ю. Штросмайера, м. Осiєк,Хорватiя)

Задача 9. Визначимо послiдовнiсть

f1, f2, . . . : [0, 1) → R неперервно дифе-

ренцiйовнихфункцiйрекурентнимспiв-

вiдношенням

f1 = 1;

f ′n+1 = fn fn+1 на (0, 1); fn+1(0) = 1.

Покажiть, що для кожного x ∈ [0, 1)

iснує границя limn→∞

fn(x) та знайдiть

граничну функцiю.

(Томаш Барта, Карлов унiверситет,м. Прага, Чехiя)

Задача 10. Нехай K – рiвностороннiй

трикутник на площинi. Доведiть, що

для кожного p > 0 iснує ε > 0 iз такою

властивiстю.

Якщо n – натуральне число,T1,T2, . . .,

Tn – трикутники всерединi K , якi не на-

кладаються, такi, що кожен iз них го-

мотетичнийK з вiд’ємнимкоефiцiєнтом

гомотетiї, та

n∑

l=1

площа(Tl) > площа(K ) − ε,

тодin∑

l=1

периметр(Tl) > p .

(Федiр Малишев, Математичний iн-ститут iменi Стеклова; Iлля Богданов,МФТI, Росiя)

Переглянути повну таблицю резуль-

татiв та авторськi розв’язки можна на

офiцiйному сайтi олiмпiади

http://www.imc-math.org.uk

ЛIНГВIСТИЧНI ЕТЮДИ

ОСНОВИ ОСНОВ

Мисак Данило Петрович,


Задача 1. Нижче подано назви восьмипослiдовних натуральних чисел мовоюавстралiйських аборигенiв ґуматж. Чи-сла йдуть у порядку зростання.

dambumiriw

wanggang rulu

wanggang rulu ga wanggang

wanggang rulu gamarrma

wanggang rulu ga lurrkun

wanggang rulu ga dambumiriw

marrma rulu

marrma rulu ga wanggang

Щоце за числа i як утворено їхнi назви?

ЧИ замислювалися ви коли-небудьнад тим, чому ми користуємосядесятковою системою числення?

Чому число 236 називаємо двiстi трид-цять шiсть, тобто двiчi по сто, тричi подесять i шiсть, а не як-небудь iнакше?

Те, що ми звикли сприймати числадесятковими, є, звичайно, заслугою(або навпаки – провиною) наших давнiхпредкiв. Вони вдало скористалися тим,що кiлькостi предметiв або тваринпiд час полювання можна показуватиодне одному на пальцях. А що пальцiвна руках усього 10, то свої особливi йнеповторнi словеснi назви одержалисаме10першихнатуральнихчисел.Щобпередавати на пальцях бiльшi числа,потрiбно вдаватися до тих чи iншихприйомiв – наприклад, показувати рукикiлька разiв з рiзною кiлькiстю загну-тих пальцiв – тож i назви бiльших чисел

стають уже похiдними вiд основнихдесяти.

Утiм, далеко не в усiх культурах закрi-пилосяоцечисло10.Комусьвистачило iп’яти пальцiв та вiдповiдних п’яти цифр.П’ятiрковою системою числення послу-говуються зокрема i носiї мови ґуматж,описаної в задачi 1. Умовi ґуматжпершiчисла – це «wanggang» (один), «marrma»(два), «lurrkun» (три), «dambumiriw» (чо-тири) i «rulu» (п’ять), а назви бiльшихчисел утворюються за схемою «кiлькаразiв по п’ять плюс залишок». Плюс –це «ga». Таким чином, наприклад, 13 – цедвiчi по п’ять плюс три, тобто «marrmarulu ga lurrkun». Крiм того, за загальнимправилом уже й число 5 насправдi нази-ваютьнепросто «rulu», а «wanggang rulu»(один раз по п’ять).

Не завжди основа системи численняпов’язана з подiльнiстю на 5 чи взагалiз лiчбою на пальцях. У мовах свiтутрапляютьсятакiоснови,як4 (кiлькiстькiнцiвок у людини або тварини), 6 (ста-ни руки вiд 0 до 5 зiгнутих/розiгнутихпальцiв), 8 (кiлькiсть промiжкiв мiжпальцямирук), 12 (кiлькiсть кiсточок начотирьох пальцях однiєї руки; це числоще й зручне, бо має багато дiльникiв) таiншi.

Хоча основа системи числення можедосягати таких значень, як 60 чи навiть80, це зовсiм не значить, що нещаснимнародам доводиться пам’ятати назвикiлькох десяткiв рiзних чисел (точнiше,цифр). На допомогу приходять такзванi пiдоснови. Працюють вони таким

69


чином: тi числа, що є меншими заоснову системи числення, – як самi пособi, так i в складi бiльших чисел, –записуються за допомогою системи зменшою основою, яка й називаєтьсяпiдосновою. Нерiдко в такої пiдосновиє своя пiдпiдоснова. Наприклад, воднiй iз мов Iндонезiї ско основою є12, пiдосновою 8, а пiдпiдосновою – 5.Число 18 у цiй мовi звучить буквальнояк 12 + 5 + 1, а 20 – це вже 12 + 8. Доволiтиповою є ситуацiя, коли основоюсистеми числення є 20, пiдосновою 10,а пiдпiдосновою – 5. Назва числа 77розкладається тодi як 3 × 20 + 10 + 5 + 2.

Не слiд думати, однак, що в мовах, десистеми числення мають однаковi осно-ви, вони достеменно повторюють однаодну, вiдрiзняючись лишеконкретниминазвами чисел. Скажiмо, iснує чималомов, де формування назв чисел вiдбува-ється цiлком регулярно, тобто без жо-дних виняткiв; а от в українськiй ми ка-жемо двадцять, тридцять, потiм виня-ток сорок, а далi вже п’ятдесят, шiстде-сят i т. д. А ще в українськiй, як i в ба-гатьох iншихєвропейськихмовах, числавiд 11 до 19 мають спецiальнi назви, якiне вiдповiдають загальному принципутворення назв чисел у наступних деся-тках (адже кажемо п’ятнадцять замiстьодиндесят п’ять).

Навiть в однiй i тiй самiй мовi можутьiснувати суттєвi регiональнi варiацiї. Убританськiй англiйськiй число 2500 на-зивають «two thousand five hundred» (двiтисячi п’ять сотень), а в американськiй –«twenty five hundred» (двадцять п’ять со-тень). У традицiйнiй англiйськiй число10

5 називають «one hundred thousand»

(одна сотня тисяч), а в iндiйському варi-антi – «one lakh» (один лакх).

Наостанок пропонуємо спробува-ти свої сили i розв’язати задачу начислiвники мови ндом, придуманусвого часу для мiжнародної олiмпiади злiнгвiстики; автор – Iван Держанський(Болгарiя). Задача непроста, але в разiнеобхiдностi пiд її умовою ви знайдетепiдказку.

Задача 2. Вiдомi назви квадратiв чиселвiд 1 до 10 мовою ндом. У довiльномупорядку це:

nif abomer an thef abo sas

nif thef abo tondor abomer abo thonith

mer an thef abo thonith

nif

mer abo ithin

thonith

sas

nif thef abomer abo ithin

nif abo tondor abomer abo thonith

tondor abomer abo sas

1. Визначте, що єщо.2. Запишiть цифрами

mer abo sas×meregh == tondor abomer an thef abomeregh.

3. Запишiть цифрами числа nif ithinabo ithin таmer an thef abomeregh.

4. Запишiть мовою ндом числа 58 та87.

Примiтка. Ндом належить до транс-новогвiнейської мовної родини. Цiєюмовою розмовляє близько 1200 лю-дей на iндонезiйському островi Йос-Сударсо.

Пiдказка. Основа системи числення умовi ндом – 6.

ВИДАТНI ПОСТАТI

ЄРМАКОВ ВАСИЛЬ ПЕТРОВИЧ

Букреєв Борис Якович

ВАСИЛЬ Петрович Єрмаков наро-

дився 11 березня 1845 року в

селi Терюхи, що пiд Гомелем, у

бiднiй сiм’ї сiльського вчителя, усе

майно якого становила хата з городом.

Початкову освiту Василь Петрович

здобув у тiй самiйшколi, де вчителював

батько. Середню освiту дiстав спочатку

в Гомельськiй, а потiм у Чернiгiвськiй

гiмназiї, закiнчивши яку, вступив до

Київського унiверситету на фiзико-

математичнийфакультет.

Уже студентом виявив неабиякi ма-

тематичнi здiбностi. Жити доводилося

виключно уроками. Чуйнiсть та увагу

до Василя Петровича у цей час виявили

професор унiверситету М. Ю. Ващенко–

Захарченко та його дружина Вiра

Миколаївна – засновниця й директор

першої приватної жiночої гiмназiї в

Києвi, жiнка з широкою лiтературною

освiтою, поетеса. У 1868 роцi Василь

Петрович закiнчив унiверситет зi

ступенем кандидата i був залишений

при унiверситетi стипендiатом для пiд-

готовки до професорської дiяльностi.

Ще студентом вiн написав конкурсний

твiр з механiки («Загальна теорiя

рiвноваги i коливання пружних тiл»,

1871 р.), за який його нагороджено

золотою медаллю. Невдовзi пiсля

закiнчення унiверситету з’явилася

одна з найвизначнiших його праць, що

завоювала йому iм’я в науцi не тiльки в

Росiї, а i в усiх країнахЄвропи, «Загальна

теорiя збiжностi рядiв», у якiй данонову

Статтю вперше надруковано у 1984 р. у

збiрнику «У свiтi математики», вип. 15, С. 26–29.

достатню ознаку, що бiльш за будь-яку

iншунаближаєтьсядоумовиБольцано –

Кошi.П.Л.Чебишовбувузахопленнi вiд

цiєї працi i деякийчасдумав,щообласть

застосування цiєї ознаки безмежна,

докисамВасильПетрович, а заним iншi

математики не знайшли таких рядiв,

щодо яких нова ознака була безсилою.

У 1871 роцi В. П. Єрмакова вiдря-

джено за кордон, де вiн слухав лекцiї

в Берлiнi й Парижi. Там, очевидно, вiн

багато i наполегливо працював i вiдразу

пiсля повернення надрукував другу

значну працю – «Загальна теорiя iнте-

грування лiнiйних диференцiальних

рiвнянь вищих порядкiв з частинними

похiдними», яку подав 1874 року до

фiзико-математичного факультету

Петербурзького унiверситету як ди-

сертацiю i здобув ступiнь магiстра.

Вiдразу пiсля цього Василя Петровича

обрано радою Київського унiверси-

тету в доценти, i вiн почав читати

лекцiї. (Одночасно, з 1874 по 1881 рiк,

викладав математику в Київському

кадетcькому корпусi.) У 1879 роцi його

обрали на кафедру екстраординарним

професором. Майже щороку протягом

близькосорокарокiв урiзнихжурналах,

росiйських i зарубiжних, з’являються

його працi. 1877 року В. П. Єрмаков

захистив докторську дисертацiю «Iн-

тегрування диференцiальних рiвнянь

механiки» i здобув ступiнь доктора

чистої математики.

ВасильПетровичнадрукуваврядкур-

сiв i посiбникiв iз тих дисциплiн, якi ви-

кладав (теорiя ймовiрностей – 1879 р.,

71


iнтегрування нелiнiйних рiвнянь iз ча-

стинними похiдними i конiчнi рiвнян-

ня – 1882 р., рiвняння першого порядку

з двома змiнними – 1887 р., теорiя ве-

кторiв на площинi – 1887 р., аналiтична

геометрiя на площинi i в просторi, ди-

ференцiальне та iнтегральне числення).

Усi цi курси написанi ясно i тому дуже

популярнi серед учнiвської молодi.

З 1884 року Василь Петрович почав

видавати надзвичайно популярний у

викладацьких колах журнал «Вестник

опытной физики и элементарной

математики», навколоякого гуртуються

численнi викладачi середнiх шкiл,

математики й фiзики. Iм’я Василя

Петровича стає вiдомим усiм учням

середньої школи. Приблизно в цей

самий час, за поданням П. Л. Чеби-

шова, Василя Петровича було обрано

членом-кореспондентомПетербурзької

академiї наук.

На початку 90-х рокiв Василь Пе-

трович став одним iз засновникiв

Київського фiзико-математичного

товариства. Вiн читає публiчнi лекцiї

та курси з питань викладання матема-

тики в середнiй школi, якi викликали

жвавий обмiн думками серед педагогiв

i знайшли вiдгук серед московських

викладачiв. Наприкiнцi 90-х рокiв,

пропрацювавши 30 рокiв в унiверситетi,

Василь Петрович переходить у щойно

органiзований тодi Київський полiте-

хнiчний iнститут, професором якого

лишається до кiнця своїх днiв. За цей

час вiн надрукував (у кiлькох виданнях)

курси для студентiв з аналiтичної

геометрiї й аналiзу нескiнченно малих,

а також численнi статтi в росiйських

i зарубiжних виданнях. Серед них

особливої уваги заслуговують статтi з

варiацiйного числення за Вейєрштрас-

сом, спрощення способу Зюндманна в

задачi трьох тiл, узагальнення задачi

Чебишова про функцiї, що найменше

вiдхиляються вiд нуля, нова форма

рiвняння руху планети навколо Сонця

та iн.

В. П. Єрмаков уважно стежив за суча-

сною йому математичною лiтературою

i вiдгукувався на всi працi, якi станови-

ли бiльш чи менш значний науковий

iнтерес. Завдяки своїй математичнiй iн-

туїцiї вiн вiдразу схоплював суть питан-

ня i намагався розв’язати його самостiй-

но, користуючись найпростiшими при-

йомамидослiджень.Прицьому дуже ча-

сто розкривалися новi напрями дослi-

джень.

Лекцiї Василь Петрович читав напро-

чуд просто, зрозумiло й доступно. Над

деякими питаннями вiн нерiдко довго

й напружено розмiрковував (задача Га-

луа, велика теоремаФерма та iн.). У цей

час – часто в найменшпiдходящiй обста-

новцi – йогоможна було бачити крокую-

чим iзкуткавкуток,прицьомулiварука

швидко перебирала кiльця годиннико-

вого ланцюжка, а права погладжувала

довгу хвилясту бороду. У цi хвилини все

навколишнє для нього не iснувало. Iно-

дi йому здавалося, що вiн уже прийшов

до розв’язання якогось важкого питан-

ня, зопалу вiн писав свої висновки, про-

те згодом переконувався в їх помилко-

востi.

Крiм математики, Василь Петрович

захоплено любив природу. У години вiд-

починку нiщо не давало йому бiльшої

насолоди, нiж далекi прогулянки чи

робота в маленькому садочку в Китаєвi

наКоньку. Навряд чи навiть математику

любив вiн бiльше за природу, цю

величну книгу, яку людство повiльно,

але неухильно перегортає, сторiнку за

сторiнкою, знаходячи невичерпне дже-

релонасолоди i засобiв дляполiпшення

свого життя. 16 березня 1922 року Ва-

силя Петровича не стало. До останньої

хвилини вiн зберiг яснiсть думки i

iнтерес до всього навколишнього.

Загальна кiлькiсть написаних ним

праць – близько пiвтори сотнi.

НАШ КОНКУРС

ЗАДАЧI 1 –4Роздiл веде Толеснiков Олександр Борисович

Задача 1. Є поле у виглядi пра-

вильного: а) трикутника, б) квадрата.

У вершинах поля – ворота, через якi

можна втекти. У центрi поля перебу-

ває в’язень, уздовж периметра бiгає

охоронець. При якому спiввiдношеннi

швидкостей в’язень може втекти, як би

не дiяв охоронець?

Задача 2. Є нескiнченно багато

трикутникiв, площа кожного з яких

дорiвнює1.Чиобов’язковоможнаними

покрити площину? (Трикутники можна

обертати та накладати один на iнший.)

Задача3. Єконик, якийможенаk -му

кроцi стрибнути не бiльше, нiж на√

k .

Чиможецейконикпобувати у всiх цiлих

точках прямої рiвно по одному разу?

Задача 4. В рiвнобiчнiй трапецiї

ABC D (AB ‖ C D) проведено висоту AH

i вiдмiченi точки M i N — середини

вiдрiзкiв AC i AD вiдповiдно. Прямi

N H i AC перетинаються в точцi X , а

прямi M H i AD перетинаються в точцi

Y . Доведiть, що прямi X D , Y C i BH

перетинаються в однiй точцi.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC




HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Рисунок

73

МАТЕМАТИКА НА ШАХIВНИЦI

ФIГУРИ ТРЕБА ВИВОДИТИ В БIЙ!Петрова Iрина Леонiдiвна,

мiжнародний майстер iз шахiв

Осьчудова iлюстрацiятого,щорозви-

ток фiгур важливiший за матерiал! Пар-

тiя мiж китайським та iранським шахi-

стами гралася вМосквi в 2017 роцi.

Сюй I – Пойя Iданi

1. e4 c5 2. Nf3 d6 3. Bb5+ Nd7 4. 0–0

a6 5. Bd3 На дошцi розiграно досить

популярний на сьогоднiшнiй день

московський варiант сицилiйського за-

хисту. Бiльшуживаним ходом є 5.B×d7 з

подальшим 6. d4 i стабiльно невеликою

перевагою у бiлих. 5. . .Ngf6 6. Re1 g6

7. c3 Bg7 8. Bc2 b5 9. d4. Бiлi дiють за

шаховим принципом — розкривають

центр при нерокiрованому королi

чорних. 9.. .c×d4 10. c×d4Bb7.

rZ0lkZ0sZbZnopappZ0o0mpZZpZ0Z0Z00Z0OPZ0ZZ0Z0ZNZ0POBZ0OPOSNAQS0J0

11. e5?! Цiкавий момент партiї! З

одного боку, хочеться пiти вперед i

завадити рокiровцi чорних. А з iншого

боку, постає питання: чи готовi бiлi фi-

гури до цього? Гросмейстер П. Свiдлер

у 2015 роцi обрав спокiйне 11. Nс3 та

перемiг. 11. . .d×e5 12. d×e5 Nd5 13. e6

f×e6 14. Ng5 Уже виведений кiнь iде

вперед, а весь ферзевий фланг бiлих

стоїть на початковiй позицiї. 14. . .Nc5

15. N×h7 Qd6 Симпатичний удар

обертається для бiлих трагедiєю: адже

тепер чорна тура прямо з мiсця буде

допомагати своєму ферзю атакувати

бiлого короля! 16. B×g6+ Kd7 17. h3

Треба було врештi вивести коня 17. Nd2

i на 17. . .R×h7 грати 18.B×h7Rh8 19.Ne4

N×e4 20. B×e4 Q×h2+ 21. Kf1 Qd6

22. Kg1 Qh2+ 23. Kf1, рятуючи партiю

повторенням ходiв. 17. . .Rag8.

0Z0Z0ZrsZbZko0aNpZ0lpZBZZpmnZ0Z00Z0Z0Z0ZZ0Z0Z0ZPPO0Z0OPZSNAQS0J0

А тепер поглянемо на позицiю та

з’ясуємо, що вiдбувається. У бiлих

зайвий пiшак. Але чорнi за це мають

колосальну перевагу у розвитку фiгур,

причому чорнi фiгури скерованi на

атаку бiлого короля. 18.Ng5Bf6 19.Nf7.

74

I. Л. Петрова. Фiгуритреба виводити в бiй! 75

0Z0Z0ZrsZbZkoNZ0pZ0lpaBZZpmnZ0Z00Z0Z0Z0ZZ0Z0Z0ZPPO0Z0OPZSNAQS0J0

19.. .R×g6!! Чорнi жертвують ще й

ферзя! Михайло Таль був би задоволе-

ний! 20. N×d6 e×d6 21. g3 Показовий

варiант, що закiнчується матом: 21. Kf1

R×g2! 22. K×g2 Ne3+ 23. Kh2 Be5+

24. f4 B×f4 25. Kg1 Rg8+ 26. Kf2 Rg2m

21. . .R×h3 22. Kf1 Nb4. Заслуговувало

на увагу i 22. . .Rh1+ 23.Ke2Rh2 з атакою.

23.Ke2Nbd324.Rf1Rg×g325. f×g3Rh2+

26.Ke3Bg5+.

0Z0Z0Z0ZZbZkZ0Z0pZ0opZ0ZZpm0Z0a00Z0Z0Z0ZZ0ZnJ0O0PO0Z0Z0sSNAQZRZ027. Rf4 N×f4. Хiд 27. . .Rh3 швидше

змушував бiлих капiтулювати: 28. Kе2

B×f4 29. B×f4 N×f4 30. Ke3 Nd5+ 31. Kd2

Rh2+ 32. Kc1 Ne3! з перемогою. 28. g×f4

Rh3+ 29.Kf2Bh4+ 30.Kf1Rh1+ 31.Ke2

Bf3+! 32. K×f3 R×d1 33. Nc3. Уже пiзно

виводитифiгури.33. . .Rf1+34.Ke2Rf2+

35. Ke3 Rc2 36. Rb1 Bf2+ 37. Kf3 Nd3.

Бiлi не витримали натиску чорних i

здалися. Пiсля 38. Nd1 Bh4 39. Be3 Bf6

чорнi виграють ще одного пiшака та

легко перемагають.

У СВІТІ МАТЕМАТИКИprobability.univ.kiev.ua/usm/wp-content/uploads/... · У...

Documents