Конспект лекций

Научный редактор: проф., канд. техн. наук Д.В. Астрецов

Подготовлено кафедрой радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Конспект лекций предназначен

для студентов всех форм обучения

направления 210400 «Радиотехника»

Екатеринбург

2013

Министерство образования

и науки Российской Федерации

А.Е. Манохин

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Электронное текстовое издание

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лекция 1. Введение в предмет ................................................................................ 3

Основные понятия ............................................................................................................................. 3

Представление сообщений случайными процессами ..................................................................... 5

Временная дискретизация непрерывных сообщений ..................................................................... 6

Квантование непрерывных процессов по уровню .......................................................................... 8

Информационные характеристики сообщений ............................................................................. 10

Лекция 2. Модуляция и демодуляция сигналов при передаче непрерывных

сообщений ................................................................................................................. 19

Аналоговые методы модуляции ..................................................................................................... 19

Цифровые методы модуляции ........................................................................................................ 25

Лекция 3. Передача и прием дискретных сообщений в каналах с

постоянными и случайными параметрами ....................................................... 32

Прием сигналов как статистическая задача проверки гипотез ................................................... 32

Системы передачи с когерентной обработкой сигналов.............................................................. 36

Системы передачи с некогерентной обработкой сигналов .......................................................... 40

Прием сигналов в каналах с замираниями .................................................................................... 45

Использование сложных сигналов в каналах с многолучевостью .............................................. 50

Лекция 4. Многоканальные и многостанционные радиосистемы передачи

информации .............................................................................................................. 55

Многоканальные системы передачи информации ........................................................................ 55

Частотное уплотнение (разделение) каналов ................................................................................ 55

Временное уплотнение (разделение) каналов ............................................................................... 58

Многостанционные системы передачи информации ................................................................... 62

Системы с кодовым разделением ................................................................................................... 63

Лекция 5. Помехоустойчивое кодирование при цифровой передаче

информации .............................................................................................................. 68

Корректирующие коды .................................................................................................................... 68

Линейные корректирующие коды .................................................................................................. 73

Заключение ............................................................................................................... 78

Библиографический список .................................................................................. 79

3

ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ

Основные понятия

Под системой связи (рис. 1.1) понимают совокупность технических

средств, предназначенных для передачи информации, включая источник сооб-

щений и получателя сообщений. Система связи состоит из источника сообще-

ний, кодера, модулятора, передатчика, среды распространении, приемника, де-

модулятора, декодера и получателя сообщения.

Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема системы связи (x(t) и )(tx

– переданное и принятое

сообщение, u(t) – модулируемый высокочастотный сигнал, n(t) – помехи в канале связи,

)(tu

– принятый высокочастотный сигнал)

Под сообщением понимается информация, выраженная в определенной

форме и предназначенная для передачи (музыка, речь, тексты и т.д.).

Ист

очн

ик с

оо

бщ

ени

я

Код

ер

Мод

ул

ято

р

Пер

едат

чи

к

Сред

а р

асп

рост

ран

ени

я

При

емн

ик

Дем

од

улято

р

Получат

ель с

ооб

щен

ия

)(tx

Дек

од

ер

x(t)

)(tu

n(t)

u(t)

4

К показателям качества систем передачи информации (СПИ) относятся:

1. Достоверность – степень соответствия принятого сообщения передан-

ному. Количественно при передаче дискретных сообщений этот параметр можно

оценить через вероятность ошибки – отношение числа ошибочно принятых эле-

ментов сообщения к общему числу переданных элементов:

общ

ошош

n

n=p . (1.1)

При передаче непрерывных сообщений различие между переданным со-

общением и принятым определяется величиной случайной ошибки:

)()()ε( txtx= t

, (1.2)

которую можно рассматривать как случайную помеху на выходе системы связи.

Для характеристики достоверности используется квадрат ошибки – отно-

шение средней мощности помехи к средней мощности сообщения на выходе си-

стемы:

2

22

x

. (1.3)

2. Помехоустойчивость – способность системы противостоять мешающе-

му действию различных помех, сохраняя при этом высокую надежность. Для

оценки помехоустойчивости системы используется отношение сигнал-шум или

сигнал-помеха:

п

c2

P

P=q , (1.4)

при котором обеспечивается заданная достоверность передачи δ2 или рош.

3. Скорость передачи информации определяется количеством информа-

ции, поступившей от отправителя к получателю за одну секунду. На практике

пользуются понятием технической скорости передачи информации, которая

определяется как величина обратная длительности передачи одной элементарной

посылки дискретного сообщения:

0

1

TR . (1.5)

5

Представление сообщений случайными процессами

При решении задач анализа и синтеза систем передачи информации широ-

ко используются математические модели сообщений.

Дискретные сообщения. Их математической моделью служит дискрет-

ная случайная последовательность {Xi} – случайный процесс, у которого область

определения и область значений являются дискретными множествами. В даль-

нейшем будем считать, что случайная величина Xi, (элемент последовательно-

сти в момент ti) принимает дискретные значения из множества α1, α2,…αm.

Наиболее простой моделью является дискретная случайная последова-

тельность с независимыми элементами. Для этой последовательности случайные

величины Хi независимы и принимают значения из алфавита α1, α2,…αm c веро-

ятностями p(αr) = рr, r = 1...т. Такая модель описывает сообщения дискретного

источника без памяти:

)()()()()()(

2)(1

)()(2

)(1

2121 nn rj+N

rj+

rj+

rj+N

rj+

rj+ x…pxpx=p,…,x,xxp . (1.6)

Непрерывные сообщения. Их математической моделью является непре-

рывный случайный процесс Х(t). Наиболее полное описание такого процесса да-

ется n-мерной функцией распределения

nnnn xtXxtXxtXPtttxxxF )(,...,)(,)(),...,,;,...,,( 22112121 (1.7)

или n-мерной плотностью распределения вероятности

nn

nnn

nnnxxx

tttxxxFtttxxxw

,...,

),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(

21

21212121 . (1.8)

Однако для решения многих практических задач, связанных с передачей

сообщений, в качестве моделей сообщений обычно используются случайные

процессы, задаваемые одномерным и двумерным законами распределения, а во

многих случаях – более простыми характеристиками:

4. Математическое ожидание случайного процесса

dxtxxwtXMtmx ),()()( . (1.9)

5. Дисперсия случайного процесса

6

dxtxwtmxtmtXMtD xxx ),()()()()(22

. (1.10)

6. Корреляционная функция случайного процесса

.),;,()()(

)()()()(),(

2121212

221121

dxdxttxxwtmxtmx

tmtXtmtXMttR

xx

xxx

(1.11)

Иногда модель задается спектральной плотностью мощности, которая для

стационарного центрированного процесса определяется как

deRG jxx )()( . (1.12)

Временная дискретизация непрерывных сообщений

Под дискретизацией понимается процесс представления непрерывного

сообщения x(t), заданного на интервале (0, ТС), совокупностью координат

c1, c2,...,cN. В общем случае процессы представления и восстановления описыва-

ются выражениями:

)(,...,, 21 txccc N A , (1.13)

Nccctx ,...,,)(~21A , (1.14)

где А – оператор дискретного представления; А’ – оператор восстановления.

При линейных процессах представления и восстановления выражения

(1.13) и (1.14) можно представить в виде

,)()(~

;,...,1,)()(

1

N

iii

ii

tctx

Nidtttxc

(1.15)

где φ и ϕ – базисная и весовая функции;

ij

T

ji

c

dttt 0

)()( – ортонормированная функция.

7

Рис. 1.2. Процесс идеальной дискретизации сообщения

Для модели сообщения с ограниченным спектром решение указанных за-

дач содержится в теореме Котельникова, на основании которой любую непре-

рывную функцию со спектром, ограниченным полосой частот от нуля до Fmax,

можно однозначно определить последовательностью ее мгновенных значений,

взятых через интервалы времени Δt = Тд= 1/2Fmax (рис. 1.2).

Восстановление непрерывной функции производится в соответствии с вы-

ражением

i iTtF

iTtFiTxtx

)(2

)(2sin)()(~

Дmax

ДmaxД , (1.16)

которое называется рядом Котельникова. Базисными функциями в данном слу-

чае служат функции отсчетов

,...1,0,1...,,)(2

)(2sin)(

Дmax

Дmax

i

iTtF

iTtFti (1.17)

Любую функцию φi(t) можно получить на выходе идеального фильтра

нижних частот, подав на его вход сигнал δ(t–iTД).

На практике вместо δ-функций используют короткие импульсы (рис. 1.3), а

вместо идеального фильтра нижних частот – фильтр нижних частот, что, есте-

ственно, приводит к погрешности восстановления.

8

Рис. 1.3. Процесс дискретизации собщений с помощью ключа

Частота дискретизации определяются по приближенной формуле:

maxД 2 FF , (1.18)

где λ – некоторый коэффициент, равный 1,25...2,5

Ограничение спектра сообщения частотой Fmax путем фильтрации приво-

дит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат которой

0

2 )()(

max

dffGdffG

F

F , (1.19)

т. е. равен отношению мощности отброшенной части спектра к средней мощно-

сти исходного сообщения.

Квантование непрерывных процессов по уровню

Операция квантования по уровню заключается в замене непрерывного

множества значений, которые может принимать сообщение x(t), дискретным

множеством заранее определенных значений хiкв, i = l, ..., Lкв, называемых уров-

нями квантования. Такое преобразование выполняет нелинейное устройство с

характеристикой, изображенной на рис. 1.4, следующим образом. Диапазон воз-

можных значений сообщения разбивается на Lкв интервалов. При попадании от-

счета сигнала в i-й интервал ему присваивается значение xiкв.

Различают равномерное и неравномерное квантование. При равномер-

ном квантовании (рис. 1.4) шаг Δх берется постоянным, а уровень xiкв соответ-

9

ствует середине i-интервала квантования. При неравномерном квантовании

(рис. 1.5) шаг Δх является переменным (например, для речевого сигнала).

Рис. 1.4. Характеристика равномерного квантователя

Рис. 1.5. Характеристика неравномерного квантователя

Замена непрерывного множества возможных значений сообщения дис-

кретным множеством фиксированных значений приводит к погрешности, назы-

ваемой шумом квантования. При равномерном квантовании дисперсия погреш-

ности квантования определяется как

dxxwxxDкв

iкв

iкв

L

i

xx

xx

iквкв )(

1

2

2

2)(

)(

)(

, (1.20)

где w(x) – плотность распределения вероятностей мгновенных значений сообще-

ния x(t).

10

При равномерном распределении значений сообщения из (1.20) находим,

что

122

xDкв . (1.21)

Информационные характеристики сообщений

Для сравнения различных систем связи необходимо ввести некоторую ко-

личественную меру, позволяющую оценивать объем информации, содержащейся

в сообщении, и объем передаваемой информации.

Рассмотрим сначала основные положения теории информации для дискрет-

ных систем связи. Обозначим возможные различные символы на входе некото-

рого блока системы передачи информации через αi, i = 1...т, а выходные симво-

лы через уj, j = 1...п. Под символами αi можно подразумевать символы источника,

информационные последовательности, сигналы на входе линии связи, а под

символами yi – символы закодированных сообщений, кодовые последова-

тельности, сигналы на выходе линии связи.

Рис. 1.6. Передача-прием информации через линию связи

Рассмотрим простейший случай, когда символы αi, взаимно независимые.

При этом источник А полностью описывается априорными вероятностями p(αi),

которые и характеризуют первоначальное незнание (первоначальную неопреде-

ленность) о появлении конкретного символа αi на входе блока.

При наличии помех между символами αi и уj нет однозначного соответ-

ствия, т. е. символ αi может перейти в любой символ yj c некоторой условной ве-

роятностью р(уj|αi), которую можно вычислить, если известен механизм такого

перехода. Зная вероятности р(αi) и p(yj|αi), нетрудно найти вероятности p(αi|yj)

появления на входе блока символов αi при условии, что на выходе блока наблю-

дался символ уj. Эти вероятности, называемые апостериорными, характеризуют

Линия

связи

αi yj

11

оставшееся незнание (оставшуюся неопределенность) о появлении на входе

символов αi при наблюдении символа уj на выходе блока.

Таким образом, полученная информация о символе αi при наблюдении

символа уj приводит к изменению вероятности появления символа αi от ее апри-

орного значения р(αi) к ее апостериорному значению p(αi|yj). При этом представ-

ляется обоснованным взять за количество информации о символе αi, содержа-

щейся в символе уj, некоторую функцию (логарифм) вероятностей p(αi) и p(αi|yj):

)(

)|(log);(

i

jiii

p

ypyI

. (1.22)

Количество информации измеряется в битах. Такое определение количе-

ства информации позволяет, в частности, сравнивать различные системы связи

по эффективности. I(αi;уj) называется взаимной информацией двух случайных со-

бытий относительно друг друга. Взаимная информация может быть как по-

ложительной, так и отрицательной величиной.

Информация обладает свойствами аддитивности: количество информации

о символе (событии) αi, доставляемой двумя независимыми символами (события-

ми) уj и zk

);();();( kijikji zIyIzyI . (1.23)

И свойством симметрии по отношению к αi и уj:

);();( iji yIyI , (1.24)

т. е. информация, доставляемая событием уj о событии αi ,равна информации, до-

ставляемой событием αi о событии yj.

Из (1.24) следует, что если события αi, и yj статистически независимы, то

I(αi;уj) = 0, т.е. независимые события не несут друг о друге никакой информации.

Взаимная информация при фиксированной вероятности р(αi) принимает

максимальное значение и называется события собственной информацией собы-

тия αi, когда апостериорная вероятность р(αi|уj) = 1 (нет помех), т. е. когда наблю-

даемое событие уj однозначно определяет событие αi. При этом

)(log)();( iii pIyI . (1.25)

12

Собственную информацию можно интерпретировать как количество ин-

формации, которое доставляет событие αi или любое другое, однозначно связан-

ное с ним. Собственная информация всегда является неотрицательной величи-

ной, причем, чем менее вероятно событие, тем она больше.

На практике наибольший интерес представляет не взаимная информация

(1.22), а количество информации о множестве А передаваемых символов, кото-

рое в среднем содержится в множестве Y принимаемых символов

m

i

n

j i

jiji

m

i

n

jjiji

p

ypypyIypYAI

1 11 1 )(

)|(log),();(),();( , (1.26)

где )()|(),( jjiji ypypyp – вероятность появления сложного события.

Величина I(A; Y) называется средней взаимной информацией.

На практике также вызывает интерес не собственная информация (1.25),

а средняя собственная информация

)()(log)()()()(11

AHppIpAIm

iii

m

iii

. (1.27)

Она характеризует количество информации, которое в среднем необхо-

димо для определения любого символа из множества А возможных передавае-

мых символов. Поэтому величину H(А) называют энтропией дискретного ис-

точника А. Чем больше Н(А), тем более неопределенным является ожидаемый

символ. Поэтому энтропию можно рассматривать как меру неопределенности

символа до того, как он был принят.

Основные свойства энтропии:

7. Н(А) ≥ 0, т. е. энтропия является неотрицательной величиной. Она об-

ращается в нуль, когда одна из вероятностей р(αi) равна единице, а остальные

нулю. Действительно, такая ситуация возникает, например, когда передается

только один символ. Поскольку он заранее известен, то неопределенность ис-

точника равна нулю и с появлением символа мы не получаем никакой информа-

ции.

8. Н(А) ≤ logm, причем знак равенства имеет место при равновероятном

появлении символов, когда р(αi) =1/m, i = 1...m, где m – число возможных собы-

13

тий αi (число различных символов, сообщений и т. п.). При этом, энтропия при-

нимает максимальное значение.

Пример 1.1. Для алфавита, состоящего из двух символов, энтропия равна

(рис. 1.7)

)1log()1(log)( ppppAH ,

где р – вероятность появления одного из символов.

Рис. 1.7. Зависимость энтропии дискретного источника от вероятности появления

одного из символов

Подобно тому, как было введено понятие средней собственной информа-

ции, можно ввести понятие средней условной собственной информации:

)|()|(log),()|(),()|( ZAHzpzpzIzpZAIi k

kikii k

kiki .(1.28)

Величина I(A|Z) характеризует количество информации, которое в сред-

нем необходимо для определения любого символа из алфавита А при известном

множестве событий Z, т. е. характеризует неопределенность символа алфавита А

до того, как он был принят, при условии, что множество событий Z известно.

Она называется условной энтропией и обозначается через H(A|Z). Нетрудно по-

нять, что

)()|( AHZAH . (1.29)

Причем знак равенства имеет место, когда события αi и zk статистически незави-

симы (p(αi|zk) = p(αi) для всех индексов i и k).

14

Соотношение (1.29) играет важную роль в теории кодирования. На его ос-

нове можно сделать следующий вывод: для того чтобы каждый символ кодовой

комбинации доставлял как можно больше информации, необходимо обеспечи-

вать статистическую независимость каждого символа кодовой комбинации от

предыдущих символов.

Используя (1.26–1.28), среднюю взаимную информацию можно предста-

вить как

)|()();( YAHAHYAI , (1.30)

)|()();( AYHYHYAI . (1.31)

Выражение (1.30) имеет простую физическую интерпретацию, когда αi –

переданный символ, а уj – принятый. При этом Н(А) можно рассматривать как

среднее количество передаваемой информации, H(A|Y) – как среднее количество

информации, теряемое в канале связи (величину H(A|Y) обычно называют нена-

дежностью), I(A;Y) как среднее количество информации, получаемой с прихо-

дом каждого символа. Энтропия H(Y|A) определяется только помехой в канале

связи и называется шумовой.

Пусть Тс – среднее время передачи одного символа. Тогда скоростью пере-

дачи информации

);(1

),(' YAIT

YAIRc

(1.32)

характеризует среднее количество информации, передаваемое в единицу вре-

мени.

Производительность источника

)(1

)(' AHT

AHc

(1.33)

характеризует среднее количество информации, выдаваемое источником.

Пример 1.2. Найдем среднее количество информации, передаваемое по

двоичному симметричному каналу (рис. 1.8). Пусть на вход канала поступают

двоичные символы α1 и α2 с вероятностями р и (1-р) соответственно. На выхо-

де канала появляются двоичные символы у1 и у2. Вероятность ошибки при пере-

15

даче любого символа равна рош. Таким образом, р(у1|α 1) = 1–рош; р(y1)|α2) = pош,

р(у2|α2) = 1–рош; p(y2|α1) = pош.

Рис. 1.8. Диаграмма переходных вероятностей в двоичном сииметричном канале

Воспользуемся формулой (1.31). Энтропия

)(log)()(log)()( 2211 ypypypypYH .

С учетом рассматриваемой модели канала

.21)(1)(

,2)|()()|()()(

12

2121111

ошош

ошош

ppppypyp

ppppyppyppyp

Нетрудно убедиться, что H(Y) принимает максимальное значение, рав-

ное 1, при р = 1/2. Условная энтропия

).1log()1(log

)|(log)|()()|(2

1

2

1

ошошошош

iji j

iji

pppp

ypyppAYH

Заметим, что для рассматриваемого случая H(Y|A) не зависит от вероятно-

сти р.

Подставляя выражения для H(Y) и H(Y\A) в (1.31), находим I(A;Y). В част-

ности, при р = 1/2

)1log()1(log1);( ошошошош ppppYAI

Таким образом, среднее количество информации, передаваемое каждым

символом по двоичному симметричному каналу, при р = 1/2 зависит только от

вероятности ошибочного приема символа (рис. 1.9).

16

Рис. 1.9. Зависимость передаваемой информации в двоичном сииметричном канале от

вероятности ошибки

В отсутствии помех (рош=0) I(A;Y)=1 дв. ед., при pош =1/2 I(A;Y) = 0, т. е.

никакой информации не передается; при рош = 1 I(A;Y)=1 дв. ед. В последнем

случае, хотя все принятые символы ошибочные, однако передаваемые сообще-

ния можно легко восстановить, поставив в соответствие сигналу у1 символ α2, а

сигналу у2 символ α1.

Избыточность сообщений

Рассмотрим ансамбль А, состоящий из т различных символов α1,α 2,..., αт.

Энтропия такого дискретного источника достигает максимального значения

Нтах(А) = log m, когда символы статистически независимы и появляются на его

выходе с одинаковой вероятностью 1/m. На практике часто символы неравнове-

роятны и зависимы. Поэтому энтропия источника Н(А)<Нтах(А). Соответственно

количество информации, доставляемое такими символами, меньше возможного в

Нтах(А) / Н(А) раз.

Пусть сообщение состоит из n символов. Очевидно, что количество ин-

формации в нем I = nН(А). При использовании алфавита с максимальной энтро-

пией для передачи такого же объема информации потребовалось бы число сим-

волов

nAH

nAHn

)(

)(

maxmin , (1.34)

17

где μ = Н(А)/ Нтах(А) – коэффициент, характеризующий допустимую степень

сжатия сообщений.

Величина )()(11 max AHAH называется избыточностью источ-

ника.

Основная теорема о кодировании при отсутствии помех К. Шеннона

Она утверждает: минимальное среднее число кодовых символов, прихо-

дящихся на один символ сообщения, можно сделать сколь угодно близким к

H(A)/log L, где Н(А) – энтропия источника, состоящего из символов сообщения, L

– число кодовых символов (объем алфавита).

Общие правила экономного кодирования, при выполнении которых сред-

няя длина кодовых комбинаций оказывается достаточно близкой к границе, ука-

занной в теореме:

в каждом из разрядов кодовой комбинации различные символы алфавита

должны использоваться с равными вероятностями;

вероятности появления символов в каждом разряде кодового слова не

должны зависеть от всех предыдущих символов.

Экономное кодирование

Идея метода экономного кодирования сообщений, символы алфавита ко-

торых неравновероятны и независимы, заключается в следующем: наиболее ча-

сто встречающимся символам сообщений надо ставить в соответствие более ко-

роткие кодовые комбинации, а менее вероятным символам – более длинные.

Пропускная способность дискретных каналов с шумом

Обратимся к формулам 1.30, 1.31. Энтропия Н(А) определяется только ис-

точником входных символов. Энтропии H(A|Y) и H(Y|A) в общем случае зависит

как от источника входных символов, так и от свойств канала. Поэтому скорость

передачи информации зависит не только от канала, но и от источника сообще-

ний. Максимальное количество переданной в единицу времени информации,

взятое по всевозможным источникам входных символов (по всем многомер-

ным распределениям вероятностей Р(А), характеризующим эти источники),

18

)(

);(max1

APc

YAIT

C (1.35)

называется пропускной способностью канала.

Пропускную способность можно определить и в расчете на символ:

)(

симв );(maxAP

YAIC . (1.36)

Из определений (1.35) и (1.36) следует, что скорость передачи информации

не может быть больше С.

Теорема кодирования для канала с помехами для дискретного источ-

ника

Если производительность источника сообщений Н’(А) меньше пропускной

способности канала С, то существует по крайней мере одна процедура кодирова-

ния и декодирования, при которой вероятность ошибочного декодирования и не-

надежность H(A|Y) могут быть сколь угодно малы. Если Н’(А) > С, то такой про-

цедуры не существует.

19

ЛЕКЦИЯ 2. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕМОДУЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ ПРИ

ПЕРЕДАЧЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

Аналоговые методы модуляции

Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции огибающая гармонического колебания ста-

новится линейной функцией сообщения, т. е.

)cos()(1)( 000 ttxMSts aАМ , (2.1)

где Ma – коэффициент амплитудной модуляции.

Ширина спектра AM сигнала равна

В2FfАМ , (2.2)

где FB – верхняя граничная частота спектра сообщения x(t).

Так как полезная информация заключена только в боковых полосах AM

сигнала, а мощность боковых полос составляет не более 10–20% мощности не-

сущей, с информационной точки зрения при AM мощность передатчика ис-

пользуется неэффективно.

Для устранения этого недостатка иногда применяют AM сигналы с по-

давленной несущей (АМ-ПН). В этом случае мощность боковых полос сигнала

AM-ПН можно увеличить в четыре раза по сравнению с AM-сигналом (при Ma =

1).

Более эффективной разновидностью AM-сигналов является однополосная

амплитудная модуляция с подавленной несущей (или модуляция с одной боковой

полосой – ОБП). Этот вид модуляции представляет собой такое преобразование,

при котором спектр сигнала полностью совпадает со спектром сообщения, пере-

несенным по оси частот в нужную область. Полоса частот сигнала с одной боко-

вой полосой равна ширине спектра сообщения, т. е.

ВFfОБ . (2.3)

Наиболее широкое применение ОБП находит в многоканальных системах

передачи телефонных сообщений.

20

Угловая модуляция

При угловой модуляции сообщение изменяет фазу несущего колебания.

Амплитуда и средняя мощность сигнала остаются при этом неизменными. Раз-

новидностями угловой модуляции являются фазовая и частотная модуляция.

Фазовая модуляция. При фазовой модуляции амплитуда сигнала остается

неизменной (S(t) = S0), а фаза изменяется в соответствии с сообщением, т. е.

)(cos)( 00 txtSts mФМ , (2.4)

где Δφm – максимальное отклонение фазы, называемое индексом фазовой моду-

ляции.

Ширину спектра ФМ сигнала можно определять по приближенной фор-

муле

)1(2ФМ mBFf , (2.5)

где FB – граничная частота спектра сообщения.

Частотная модуляция. При частотной модуляции амплитуда сигнала

остается неизменной, а мгновенная частота изменяется в соответствии с сообще-

нием

t

m dttxtSts

0

00ЧМ )(cos)( , (2.6)

где mm f 2 – максимальное отклонение частоты при модуляции (девиация

частоты).

Для расчета ширины спектра ЧМ в инженерных расчетах часто пользуют-

ся приближенным выражением

mff 6.2ЧМ . (2.7)

Импульсная модуляция

Импульсные модулированные колебания получаются при модуляции пе-

риодической последовательности импульсов (импульсной поднесущей). Харак-

терной особенностью импульсных видов модуляции является то, что все они

широкополосные – их спектр намного шире спектра сообщения и простирается

от постоянной составляющей до частоты

21

1имп вF . (2.8)

Рис. 2.1. Различные виды модуляции

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ). При АИМ амплитуда им-

пульсов изменяется в соответствии со значениями сообщения, а остальные па-

раметры последовательности остаются неизменными, т. е.

k

kaАИМ ttftxMUtu )()(1)( 00 , (2.9)

где U0 – амплитуда импульсов; t0k = t0+kTп – тактовые точки; Тп – период повто-

рения импульсов; f(t–t0k) – огибающая импульса с единичной амплитудой.

Спектр АИМ имеет вид, показанный на рис. 2.2. Чтобы соседние участки

спектра АИМ не перекрывались, необходимо выполнить условие Fп ≥ 2FB,

предельное значение которого соответствует теореме Котельникова.

22

Рис. 2.2. Часть спектра АИМ

Последовательность АИМ можно получить с помощью ключевых

устройств (ключей). На один вход такого устройства (рис. 2.3) подается перио-

дическая последовательность коротких прямоугольных импульсов, а на другой –

непрерывное сообщение (модулирующая функция) ux(t).

Рис. 2.3. Принцип ключевого формирования АИМ-последовательностей

Каждый коммутационный импульс открывает ключ на короткое время, в

течение которого образуется выходной импульс с амплитудой, пропорциональ-

ной мгновенному значению, сообщения.

Заметим, что, применив фильтр нижних частот с характеристикой КФНЧ(F)

и полосой пропускания, определяемой шириной спектра сообщения, можно вы-

делить это сообщение из АИМ последовательности.

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ). При ШИМ модулируется ши-

рина (длительность) импульсов, а остальные параметры остаются неизменными.

Различают одностороннюю и двустороннюю ШИМ.

23

Рис. 2.4. Односторонняя ШИМ

В соответствии с определением ШИМ ее аналитическая запись имеет вид

k

kk

kШИМ tfUttfUtu )()()( 00 , (2.10)

где fk(t) – огибающая импульса с номером k; tk – момент времени, соответствую-

щий середине этого импульса. Для прямоугольных импульсов

.другихдля0

1)(

21

t

ttttf

kkk (2.11)

Здесь t1k и t2k – моменты времени, соответствующие началу и окончанию им-

пульса с номером k. Значения моментов t1k, t2k и tk зависят от конкретного вида

ШИМ (односторонняя или двухсторонняя).

Для односторонней ШИМ с модуляцией заднего фронта импульса имеем:

),(2

1)(

2

1

),(2

,22

2021

202

п001

kmkkkk

kmkk

kk

txtttt

txtt

kTttt

(2.12)

где Δτm – девиацией фронта импульса, τ – минимальная длительность импульса.

Длительность импульса односторонней ШИМ

)(5.0)(),()( 0 txttttxt mkkm . (2.13)

Отличие спектральной структуры ШИМ от АИМ состоит в том, что гар-

моники частоты повторения модулированы более сложным образом: они изме-

няются одновременно и по амплитуде и по фазе. При двусторонней симметрич-

ной ШИМ фазовая модуляция гармоник отсутствует. Для всех гармоник с номе-

рами k ≤ 0.1Q (где Q – скважность) спектральная структура АИМ и ШИМ прак-

тически одинакова.

t1k t0k Δτm

t2k

2

2

24

Последовательность ШИМ можно получать различными способами. Одна

из структурных схем такого модулятора ШИМ приведена на рис. 2.5. Генератор

коротких импульсов, следующих с периодом ТП, запускает каждым импульсом

генератор пилообразного напряжения и одновременно с этим переводит триггер

из одного устойчивого состояния в другое.

Рис. 2.5. Структурная схема модулятора ШИМ

В тот момент, когда подаваемые на схему сравнения модулирующее

напряжение ux(t), и нарастающее пилообразное напряжение становятся равными,

на выходе этой схемы формируется короткий импульс, возвращающий триггер в

первоначальное состояние. В результате напряжение, снимаемое с нагрузки од-

ного из плеч триггера, представляет собой последовательность импульсов с од-

носторонней ШИМ.

Демодуляция ШИМ может быть непосредственно осуществлена с помо-

щью линейной системы – фильтра нижних частот.

Время-импульсная модуляция (ВИМ). При ВИМ модулируется положе-

ние импульсов относительно тактовых точек t0k. немодулированной последова-

тельности. Длительность импульсов и их амплитуда при модуляции сохраня-

ются неизменными. В соответствии с этим

constUUconsttxtt mkk 00 ;);( . (2.14)

Максимальный временной сдвиг импульса Δτm относительно тактовой

точки называется девиацией импульса.

При ВИМ значения t1k и t2k определяются так:

Схема

сравнения Триггер

Генератор

пилообразного

напряжения

Генератор

коротких

ипульсов

ux(t) ШИМ

25

).(2

),(2

202

101

kmkk

kmkk

txtt

txtt

(2.15)

При ВИМ влияние амплитудной модуляции гармоник проявляется незна-

чительно по сравнению с фазовой, т. е. информация в основном содержится в

фазе гармоник. При двухсторонней ВИМ спектр содержит постоянную состав-

ляющую и бесконечное число гармоник частоты повторения, модулированных

сообщением только по фазе.

Для последовательностей с ВИМ демодуляция с помощью фильтра ниж-

них частот обычно не применяется. Это объясняется тем, что уровень полезного

сообщения на выходе фильтра оказывается значительно меньше, чем при АИМ

или ШИМ. Демодуляцию ВИМ обычно осуществляют косвенным методом: сна-

чала преобразуют последовательность ВИМ в последовательность ШИМ, а затем

уже проводят демодуляцию.

Средний квадрат ошибки демодуляционных искажений для последова-

тельностей АИМ и ШИМ с прямоугольными импульсами можно оценить по

формуле

В222

п2демод 2 FКМk ФНЧx , (2.16)

где М = Ма для АИМ; М = Δτm/τ для ШИМ: kпx – пик-фактор сообщения.

Цифровые методы модуляции

Импульсно-кодовая модуляция

Непрерывные сообщения можно передавать по дискретным системам свя-

зи. Для этого их преобразуют в цифровую форму с помощью операций дискре-

тизации по времени, квантования по уровню и кодирования.

Наиболее распространенным способом преобразования непрерывных со-

общений в цифровую форму является импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), при

которой из передаваемого сообщения берутся отсчеты с интервалом ТД, таким,

чтобы по отсчетам можно было с требуемой точностью восстановить сообщение.

Отсчеты квантуются по уровню, и передаче подлежат номера уровней квантова-

ния, представляемые, как правило, тем или иным двоичным кодом. Значность

26

кода k и число уровней квантования Lкв в данном случае связаны соотношением

Lкв ≤ 2k, причем обычно имеет место знак равенства. В результате непрерывное

сообщение преобразуется в поток двоичных символов, который поступает на

вход дискретного канала связи. Операции, связанные с преобразованием непре-

рывного сообщения, поступающего от источника И, осуществляются в аналого-

цифровом преобразователе (АЦП) (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Структурная схема системы с ИКМ

Двоичные символы с выхода дискретного канала связи подаются на циф-

роаналоговый преобразователь (ЦАП), преобразующий кодовые комбинации в

отсчеты, по которым и производится восстановление переданного непрерывного

сообщения, предназначенного для получателя П.

Для передачи двоичных символов могут использоваться различные виды

манипуляции: амплитудная, фазовая, частотная. В соответствии с этим произво-

дится классификация систем: ИКМ-АМ, ИКМ-ФМ, ИКМ-ЧМ.

Ошибки передачи непрерывных сообщений цифровыми методами связаны

с дискретизацией непрерывных сообщений по времени, квантованием отсчетов

по уровню и неверной передачей отдельных символов цифрового потока по дис-

кретному каналу связи. Далее считается, что причиной ошибок передачи цифро-

вых символов является шум, действующий в канале. Поэтому соответствующая

ошибка называется шумовой. Можно полагать, что при ИКМ относительный

средний квадрат ошибки

2ш

2кв

2д

2 ИКМ . (2.17)

Ошибка дискретизации по времени δ2д определяется свойствами передава-

емого сообщения и способом восстановления сообщения по отсчетам.

И АЦП Пер Прм ЦАП П

Дискретный канал

связи

27

При равномерном квантовании по уровню с учетом (1.21) можно найти

kxxx kPxPD 2

п2

кв2кв 2312 . (2.18)

Здесь принято, что –1 ≤ x(t) ≤ 1, Δx = 2/Lкв, Lкв = 2k.

Рис. 2.7. Формирование ИКМ

Например, если при АИМ для передачи отсчета требуется один импульс,

то при ИКМ k импульсов, т. е. полоса расширяется в k раз.

Полоса частот сигнала при ИКМ определяется скоростью цифрового пото-

ка на выходе АЦП:

ДTkRцп , (2.19)

при этом k влияет на δ2кв, а ТД – на δ

2д. Задача оптимизации цифрового представ-

ления заключается в том, чтобы при заданном значении суммарной ошибки

δ2кв+δ

2д выбрать такие значения k и ТД, при которых Rцп минимально. Если при-

нять во внимание (2.18), то нетрудно видеть, что обычно δ2кв < δ

2д.

Воздействие шума квантования на принимаемые сообщения можно замет-

но уменьшить, применяя компандирование. Практически это реализуется в так

называемых компандерных системах (рис. 2.8), представляющих собой комплекс

из двух нелинейных преобразователей с взаимообратными характеристиками:

компрессора (устройства “сжатия” динамического диапазона), на передающей

стороне и экспандера (устройства восстановления динамического диапазона).

28

Рис. 2.8. Структурная схема компандирования

Дифференциальная импульсно-кодовая модуляция

Соседние отсчеты реальных сообщений, как правило, сильно коррелиро-

ванны. Это позволяет, исходя из значений предыдущих отсчетов, прогнозиро-

вать значение данного отсчета. При дифференциальной импульсно-кодовой мо-

дуляции (ДИКМ, рис. 2.9) квантуются не отсчеты, а разности между предсказан-

ным xпp(kTД) и истинным x(kTД) значениями отсчета.

Рис. 2.9. Струтурная схема системы ДИКМ

В ДИКМ можно уменьшить значность кодовых комбинаций по сравне-

нию с ИКМ и тем самым сократить скорость цифрового потока Rцп (2.19),

уменьшить полосу частот сигнала и повысить помехоустойчивость. На прием-

ной стороне (рис. 2.9) принятое значение отсчета разности добавляется к

предсказанному и в результате формируется оценка отсчета.

Часто в качестве xпp(kTД) берут предыдущее значение отсчета

))1(()( ДДпр TkxkTx . (2.20)

Поэтому

))1((()()( ДДД TkxkTxkTr . (2.21)

Известно несколько вариантов технической реализации ДИКМ. Основное

различие между ними состоит в операциях формирования разностного сиг-

нала r(kTД) в одних системах r(kТД) формируется в аналоговой форме, а затем

Компрессор

Квантователь

равномерный Экспандер

x(t) Выход

Предсказатель

Дискретный

канал

Предсказатель

x(kTД) r(kTД) )(~

ДkTr )(~

ДkTx

29

квантуется и кодируется, в других – сообщение x(t) превращается в цифровую

форму и все операции выполняются в цифровом виде.

Из сказанного видно, что при разностных методах кодер и декодер слож-

нее. Дополнительные трудности возникают при построении многоканальных си-

стем: при ИКМ кодер и декодер могут быть общими для всех каналов, а при

ДИКМ они, как правило, индивидуальные.

Специфическая ошибка систем ДИКМ связана с «перегрузкой по накло-

ну». Она возникает при быстром изменении сообщения, когда r(kTД) оказывается

больше, чем можно передать с помощью кодовой комбинации.

При оценке помехоустойчивости ДИКМ надо принимать во внимание

эффект, связанный с «накоплением» ошибок. Дело в том, что ошибочный при-

ем кодовой комбинации сопровождается ошибкой приема не только данного,

но и последующих отсчетов, поскольку предсказанные значения на приемной

стороне будут отличаться от предсказанных значений на передающей.

Применение ДИКМ позволяет значительно снизить скорость потока, одна-

ко ошибка при восстановлении сигнала зависит от величины шага квантования

передаваемого кода. Уменьшение шага квантования (увеличение разрядности

кодового слова) уменьшает ошибку и соответственно качество восстановленного

сигнала, но увеличивает скорость потока. Увеличение шага квантования умень-

шает скорость потока, но увеличивает ошибку восстановления. В рамках класси-

ческой ДИКМ с фиксированным шагом квантования это противоречие неразре-

шимо.

Одно из решений состоит во введении адаптации шага квантования в про-

цесс кодирования-декодирования. Такой вид модуляции называется адаптивная

дифференциальная импульсно-кодовая модуляция (АДИКМ).

Адаптивная дифференциальная импульсно-кодовая модуляция

Анализируются статистические характеристики отдельного абонента –

среднее значение, разброс (СКО), а затем выбирается шаг квантования. При этом

задается минимальный и максимальный шаг квантования. Таким образом, с од-

30

ной стороны снижается скорость цифрового потока, а с другой – сохраняется

приемлемая ошибка восстановления.

Дельта-модуляция

Частным случаем ДИКМ является дельта-модуляция (ДМ), при которой

кодовая комбинация состоит из одного разряда, передающего знак разности.

Принцип передачи сообщения при ДМ показан на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Структурная схема системы с дельта-модуляцией

Рис. 2.11. Диаграмма формирования сигнала с ДМ

Отсчеты x(kTД) сравниваются с квантованными отсчетами xкв((k–1)ТД), по-

лученными в результате суммирования в накопителе (интеграторе) всех преды-

дущих квантованных сигналов ошибок. Если x(kTД) > xкв((k–1)ТД), то квантова-

тель формирует +1 (знак разности положителен), в противном случает получаем

–1 (знак разности отрицателен). На выходе накопителя квантованный сигнал

xкв((k–1)ТД) имеет вид ступенчатой функции (рис. 2.11), причем каждый импульс

+1 увеличивает, а –1 уменьшает ступенчатую функцию на один шаг квантова-

ния. В данном случае роль предсказателя играет накопитель (интегратор).

Кванвтователь Накопитель Фильтр Дискретный

канал

Накопитель

x(kTД) )(~ tx

)(~кв tx

31

На приемной стороне сигнал ДМ декодирует накопитель, аналогичный

тому, что расположен на передающей стороне. На его выходе (при отсутствии

сбоев в дискретном канале) образуется ступенчатое напряжение xкв(t). После

фильтрации получается оценка сообщения x(t).

Шумы в дискретном канале связи не приводят к образованию аномальных

ошибок, но накопление ошибок имеет место. Скорость цифрового потока Rцп в

рассмотренном варианте ДМ, как правило, получается больше, чем при ИКМ.

Достоинствами ДМ являются меньшая чувствительность к искажениям в

канале связи, а также отсутствие необходимости в синхронизации.

При дельта-модуляции шаг квантования, с одной стороны, должен быть

настолько мал, чтобы шум квантования не превысил допустимого значения, а с

другой – достаточно велик, чтобы не возникали шумы перегрузки. Если шаг

квантования остается постоянным, удовлетворить этим требованиям удается

только при большой скорости цифрового потока Rцп в 2–3 раза превышающей

скорость цифрового потока при ИКМ (при одинаковых значениях шума кванто-

вания).

Снизить скорость цифрового потока без увеличения шума квантования

можно, применяя ДМ с компандированием. При этом шаг квантования в процес-

се модуляции не остается постоянным, а изменяется в зависимости от парамет-

ров сообщения. Командирование бывает мгновенным и инерционным. В первом

случае шаг квантования может изменяться в каждом такте, а во втором случае

изменение шага происходит медленно, за время, соизмеримое с временем изме-

нения огибающей сообщения.

Наиболее часто ДИКМ используется при передаче речи, позволяя обеспе-

чить такое же качество передачи, что и при восьмиразрядной ИКМ, но при ско-

рости цифрового потока в 1,5–2 раза более низкой.

32

ЛЕКЦИЯ 3. ПЕРЕДАЧА И ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ В

КАНАЛАХ С ПОСТОЯННЫМИ И СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Прием сигналов как статистическая задача проверки гипотез

Известно, что прием сигналов, как правило, ведется на фоне помех. Если

бы помехи отсутствовали, то задача разделения заранее известных сигналов бы-

ла бы тривиальна. Однако на фоне помех все намного сложнее и поэтому ставит-

ся задача определить, какой из m возможных полезных сигналов sr(t), r = 1, 2, ...,

m, в данный момент поступает на вход приемного устройства. При этом для ка-

нала с аддитивной помехой n(t) принятый сигнал

ar Tttntstu 0),()()( , (3.1)

где Та – интервал анализа.

Любые стратегии принятия решения сводятся в конечном счете к тому, что

множество всех возможных реализаций входного процесса и(t) на интервале ана-

лиза Та разбивается на т непересекающихся подмножеств U, каждому из кото-

рых ставится во взаимооднозначное соответствие то или иное решение (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Процесс разбиения множества реализаций u(t) на подмножества Um и выдвижения

гипотез Hm о принадлежности реализации к сигналу sl (u1, u2, ..., uм – выборочные значения

реализации)

В зависимости от того, какому из указанных подмножеств принадлежит

анализируемый отрезок реализации процесса u(t),выносится соответствующее

решение о том, что принятым является некоторый сигнал sl(t) из множества воз-

U1

H1:s1

U2

H2:s2

U3

H3:s3

U4

H4:s4

Um-1

Hm-1:sm-1

Um

Hm:sm

u1, u2, ..., uм

u1, u2, ..., uм

u1, u2, ..., uм

u1, u2, ..., uм

u1, u2, ..., uм

u1, u2, ..., uм

33

можных sm(t).Таким образом, задача принятия решения сводится к задаче про-

верки гипотез Нm о принадлежности анализируемой реализации и(t) тому или

иному подмножеству Ur (т.е. принимается решение – «присутствует сигнал sl»).

Однако после принятия решения (т. е. выбора той или иной гипотезы Нr)

не может быть полной уверенности, что это решение правильное.

Рассмотрим случай т = 2. При справедливости гипотезы Н1, когда значе-

ния процесса u(t) подчиняются условной плотности вероятности (функции прав-

доподобия) w(u|H1) существует отличная от нуля вероятность того, что принятая

реализация u(t) на анализируемом отрезке времени окажется принадлежащей не

к подмножеству U1, а к подмножеству U2. Тогда решение окажется принятым в

пользу гипотезы Н2 и это решение будет ошибочным. Вероятность такого оши-

бочного решения при справедливости гипотезы Н1

2

)()( 112

U

ош dHwHHp uu . (3.2)

При справедливости гипотезы Н2 вероятность ошибочного решения вы-

числяется аналогично:

1

)()( 221

U

ош dHwHHp uu . (3.3)

Как видно из (3.2), (3.3), вероятности ошибочных решений существенно

зависят от способа разделения множества U всех возможных реализаций процес-

са u(t) на непересекающиеся подмножества Ur.

Способ разделения зависит от стратегии принятия решения, т.е. от того,

какие показатели рассматриваемой радиотехнической системы являются опреде-

ляющими. Поэтому, необходимо выбрать критерий оптимальности.

Введем понятие условного риска. Это потери при ошибочном выборе ги-

потезы. В нашем случае при справедливости гипотезы Н1 условные риски соста-

вят

)( 12121 HHpcc ош , (3.4)

а при справедливости гипотезы Н2

)( 21212 HHpcc ош , (3.5)

34

где с12 и с21 – весовые коэффициенты, подчеркивающие значимость ошибки.

Первая и вторая гипотезы оказываются справедливыми с некоторыми ве-

роятностями р(Н1) и р(Н2), называемыми априорными. Например, сигналы s1(t) и

s2(t) могут передаваться с разной частотой, следовательно, иметь различные ве-

роятности появления на входе устройства обработки. В то же время необходимо

учесть, что p(H1)+р(Н2) = 1, поскольку одна из двух гипотез обязательно оказы-

вается справедливой. Тогда средний риск вычисляется

)()( 2211 HpcHpcc . (3.6)

Затем необходимо выбрать такую стратегию принятия решений, чтобы

средний риск с оказался минимальным. Эта стратегия называется оптимальной

байесовской стратегией, а соответствующий критерий оптимальности – мини-

мум среднего риска. Можно показать, что эта стратегия записывается в виде:

. гипотеза асправедлив (u) при

, гипотеза асправедлив (u) при

20 м)(

10 м)(

H

H

(3.7)

где Λ(м)

(u) = w(u|H1)/w(u|H2) – отношение правдоподобия, а )(

)(

1

2

12

210

Hp

Hp

c

c – по-

рог принятия решения.

Если любая ошибка одинаково нежелательна, то такая стратегия носит

название стратегии, оптимальной по Котельникову (по критерию идеального

наблюдателя). В этом случае порог принятия решения:

)(

)(

1

20

Hp

Hp . (3.8)

В системах передачи дискретной информации при использовании опти-

мальных методов кодирования, как правило, можно считать априорные вероят-

ности всех гипотез одинаковыми. Тогда порог принятия решения (3.8)

Λ0=1 (3.9)

Оптимальная стратегия (3.7) при условии (3.9) называется стратегией, оп-

тимальной по критерию максимума отношения правдоподобия.

35

Функционал отношения правдоподобия

Использование любой из рассмотренных стратегий принятия решения

предполагает вычисление отношения правдоподобия Λ(м)

(u). Интуитивно понят-

но, что многомерная плотность вероятности процесса u(t) определяется много-

мерной плотностью вероятности w(n) процесса n(t). Следовательно, необходимо

задать статистику случайного процесса n(t). Будем полагать, что процесс n(t) –

стационарный гауссовский случайный с нулевым математическим ожиданием.

Для вычисления отношения правдоподобия Λ(м)

(u) необходимо определить

функции правдоподобия w(u|Hr), причем с учетом выражения

)()()( tstutn r . (3.10)

Дальнейший анализ и его результаты существенно определяются видом

многомерной выборки n = (n1, n2, ..., пм) процесса n(t).

Тогда, учитывая свойства разложения Карунена–Лоэва и распределение

процесса n(t), можно утверждать, что координаты пк являются независимыми

гауссовскими случайными величинами с нулевыми математическими ожидани-

ями и дисперсиями σ2k. Соответственно их совместная M-мерная плотность веро-

ятностей определяется как

M

k

n

k

M

M

k k

k

ew1

2

1

1 12

2

2)(n . (3.11)

Тогда отношение правдоподобия Λ(м)

(u) с учетом 3.10 можно представить

в следующей форме:

M

k k

kk

M

k k

k

M

k k

kk

M

k k

k

M

k k

kk

M

k k

kk

sus

sus

su

su

M

Hw

Hw

12

2

12

2

2

12

1

12

2

1

12

22

12

21

ee

ee

e

e

)|(

)|()(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

u

uu . (3.12)

Получаемая при М→∞ предельная форма отношения правдоподобия

)(lim)( )(uu

M

M

называется функционалом отношения правдоподобия.

36

Поскольку все рассмотренные оптимальные стратегии принятия решений

предусматривают сравнение Λ(u) с пороговым значением Λ0, можно перейти к

более удобной форме записи:

12

22

21

1212 2

1)(ln

k k

kk

kkk

k

k ssss

uu . (3.13)

Системы передачи с когерентной обработкой сигналов

Обработка сигналов в условиях, когда полностью используется информа-

ция о значении φ, называется когерентной. Рассмотрим ситуацию, когда реше-

ние принимают на основании анализа отрезка [0, Тс] реализации процесса u(t),

определяемого выражением (3.1), при полностью известных возможных сигна-

лах sr(t), имеющих длительность Тс. При этом выражение (3.13) приобретает вид:

1

22

21

0121

0

12)(ln

kkk

kkkk ss

Nssu

Nu . (3.14)

С другой стороны, можно записать:

2100

210

1)()()(

2)(ln EE

Ndttststu

N

cT

u , (3.15)

где cT

rr dttsE

0

2 )( – энергия сигнала sr(t).

При одинаковых априорных вероятностях полезных сигналов, используя

критерий идеального наблюдателя, алгоритм работы оптимального демодулято-

ра с учетом (3.7), (3.9) и (3.15) для m = 2 записываем в виде: регистрируется сиг-

нал s1(t),если

0

0

21 )()()( ldttststuqcT

, (3.16)

где l0=(E1–E2)/2.

На практике часто Е1=Е2. Тогда

0)()()(

0

21 cT

dttststuq . (3.16)

37

Демодулятор на рис. 3.2 называют корреляционным, поскольку напряже-

ние на выходе интегратора любого его канала в момент окончания анализа про-

порционально значению функции взаимной корреляции сигнала u(t) и опорного

напряжения si(t).

Рис. 3.2. Структурная схема демодулятора m детерминированных сигналов с использованием

корреляторов

Определим потенциальную помехоустойчивость двоичной системы пере-

дачи информации. Пусть сигнал на входе приемника имеет вид

u(t) =λs1(t) + (1–λ)s2(t)+n(t), (3.17)

где λ – случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями p1 и р2

соответственно;

p1 + p2 = 1;

s1(t) и s2(t) – полезные сигналы с известными параметрами.

Средняя (полная) вероятность ошибки, используемая для количественной

оценки помехоустойчивости, для рассматриваемого случая

)|()|( 21ош212ош1ош ssppssppp , (3.18)

где условные вероятности ошибок

,)|()|(

,)|()|(

0

0

221ош

112ош

lq

lq

dqsqwssp

dqsqwssp

(3.19)

s1(t)

sm(t)

cT

0

cT

0

. . .

E1/2

Em/2

РУ . . .

u(t)

38

w(q|s1) и w(q|s2) – плотности вероятности случайной величины q при наличии на

входе сигналов s1(t) и s2(t) соответственно.

Найдем распределение величины q для указанных случаев, подставляя

вместо u(t) сначала первый сигнал с помехой, а затем второй:

.e)1(2

1)|(

,e)1(2

1)|(

)1(2

)1(

02

)1(2

)1(

01

0

2

0

2

s

s

s

s

rEN

rEq

s

rEN

rEq

s

rENsqw

rENsqw

Теперь, используя (3.19), нетрудно определить условные вероятности

ошибок:

.e)1(2

1)|(

,e)1(2

1)|(

0

0

2

00

2

)1(2

)1(

021ош

)1(2

)1(

012ош

l

rEN

rEq

s

lrEN

rEq

s

dqrEN

ssp

dqrEN

ssp

s

s

s

s

Для p1=p2=1/2 и E1=E2=E порог l0=0. При этом

021ош12ош /)1(1)|()|( NrEsspssp s , (3.20)

где

x t

dtx 2

2

e2

1)(

– интеграл вероятности;

cT

s dttstsE

r

0

21 )()(1

.

Используя (3.18) и (3.19), окончательно находим

hrNrEp ss )1(1/)1(1 0ош , (3.21)

где h2 = E/N0.

Из (3.21) видно, что средняя вероятность ошибки зависит не только от

энергии сигнала и спектральной плотности мощности шума, но и от коэффици-

39

ента взаимной корреляции между сигналами, т. е. от используемой системы сиг-

налов.

Произведем расчет помехоустойчивости двоичной системы передачи ин-

формации с использованием конкретных сигналов.

Наибольшей помехоустойчивостью обладают сигналы с rs=–1. Они имеют

одинаковую форму, но противоположные знаки и называются противополож-

ными. Для них

hNEp 21/21 0ош . (3.22)

Примером противоположных сигналов являются фазоманипулированные

сигналы с манипуляцией фазы на π:

cTttAtstAts 0),cos()(,cos)( 002001 .

Меньшей помехоустойчивостью обладают ортогональные сигналы (rs=0).

Для них

hNEp 1/1 0ош . (3.23)

Такие ортогональные сигналы можно получить на основе частотной мани-

пуляции. Действительно, в этом случае

cTttAtstAts 0),cos()(,cos)( 22021101 .

Наименьшей помехоустойчивостью обладают амплитудно-

манипулированные сигналы

cTttstAts 0,0)(,cos)( 2001 .

Для них

21/25.01 0ош hNEp . (3.24)

На рис. 3.3 представлены зависимости вероятности ошибок от отношения

E/N0 для фазо- (ФМ), частотно- (ЧМ) и амплитудно-манипулированных (AM)

сигналов, рассчитанные соответственно по формулам (3.22), (3.23), (3.24)

(сплошные линии).

40

Рис. 3.3. Зависимость вероятности ошибки от отношения E/N0 для детерминированных

сигналов АМ, ЧМ, ФМ

Системы передачи с некогерентной обработкой сигналов

В отличие от когерентного приема в данном случае начальная фаза сигна-

ла полагается неизвестной и случайной. Таким образом, сигнал на входе прием-

ника

)(),()( tntstu rr , (3.25)

где rjrrr tts

e)(Re),( ; φr – случайная начальная фаза; ξr(t) – аналитический

сигнал, соответствующий вещественному sr(t).

Представим sr(t, φr) в виде

rrrrrrrrrr tststtts sin)(ˆcos)(sin)(Imcos)(Re),( ,

где sr(t) – преобразование по Гильберту sr(t)

В рассматриваемых условиях входящий в функционал отношения правдо-

подобия (3.15) интеграл преобразуется:

)cos(),()(

0

rrr

T

rr Vdttstuc

, (3.26)

41

где

.)()()(ˆ)(ψtan

,)(ˆ)()()(

00

2

0

2

0

cc

cc

T

r

T

rr

T

r

T

rr

dttstudttstu

dttstudttstuV

Таким образом, функционал отношения правдоподобия Λ(u) приобретает

форму

)cos(

2

)cos(2

21

22200

2

11100

1

ee

ee),|(

V

NN

E

VNN

E

u .

Положим распределение величины φ равномерным, т. е. w(φ) = 1/2π, 0≤φ≤2π. То-

гда, усредняя числитель и знаменатель функционала отношения правдоподобия,

имеем

2

0

)cos(2

2

0

)cos(2

22200

2

11100

1

e2

1e

e2

1e

)(

d

d

VNN

E

VNN

E

u .

Учитывая, что

)(e2

10

2

0

cos aIda

,

где I0(а) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка,

получаем

0

20

0

10

2e

2e)( 0

2

0

1

N

VI

N

VI

N

E

N

E

u .

Тогда алгоритм оптимального демодулятора с учетом (3.14) и (3.9) запи-

сывается в виде: регистрируется сигнал s1(t), если

0

21

0

20

0

10

2ln

2ln

N

EE

N

VI

N

VI

. (3.27)

42

Рис. 3.4. Структурная схема некогерентного демодулятора m сигналов с использованием

корреляторов

Рис. 3.5. Структурная схема некогерентного демодулятора m сигналов с использованием

согласованных фильтров

При E1=E2 условие (3.27) принимает вид

V1≥V2. (3.28)

s1(t)

)(1̂ ts

cT

0

cT

0

. . .

РУ

. . .

u(t) Квадратор

Квадратор

sm(t)

)(ˆ tsm

cT

0

cT

0

Квадратор

Квадратор

Выход

СФ1

СФm

u(t) Детектор

огибающей

Детектор

огибающей Реш

еющ

ее у

строй

ство

Выход

43

Реализация алгоритма (3.27) возможна на основе корреляторов (рис. 3.4) и

согласованных фильтров (рис. 3.5).

Определим потенциальную помехоустойчивость двоичной системы пере-

дачи информации при некогерентном приеме. Пусть сигнал на входе приемника

имеет вид

u(t) = λs1(t, φ1) + (1–λ)s2(t, φ2)+n(t),

где λ – случайная величина, принимающая значение 1 и 0 с вероятностями р1 и р2

соответственно;

φ1 и φ2 – начальные фазы, представляющие собой независимые случайные вели-

чины, распределенные равномерно в интервале [-π, π];

n(t) – помеха типа белого гауссовского шума со спектральной плотностью N0/2.

В качестве полезных сигналов si(t), i=1,2, в данном случае нельзя исполь-

зовать противоположные сигналы, отличающиеся сдвигом фаз на π, так как при

неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Поэтому оценим по-

мехоустойчивость для ортогональной системы сигналов.

Ортогональные системы с активной паузой. Примером таких сигналов

являются частотно-манипулированные сигналы s1(t)=A0cos(ω1t+φ1),

s2(t)=A0cos(ω2t+φ2), где φ1 и φ2 – произвольные начальные фазы, а частоты ω1 и

ω2 удовлетворяют соотношениям ω1=2πk1/Tc, ω2=2πk2/Тc, k1 и k2 – натуральные

числа.

Исследование показывает, что ортогональные в усиленном смысле сигна-

лы с активной паузой обеспечивают в канале с неопределенной фазой и адди-

тивной гауссовской помехой минимальную вероятность ошибки, т. е. они явля-

ются оптимальными для указанных условий.

Средняя вероятность ошибки равна

22ош

2

0 e5.0e5.0

h

N

E

p

(3.29)

На рис. 3.3 (штриховая линия, ЧМ) показана зависимость pош = f(E/N0), вы-

численная по формуле (3.29). Анализ показывает, что некогерентный прием ор-

тогональных сигналов дает небольшой энергетический проигрыш по сравнению

44

с когерентным приемом. При малых вероятностях ошибки (рош=10-4

) он не пре-

вышает 1 дБ.

Системы с пассивной паузой. В данном случае s1(t)=A0cos(ω1t+φ1), s2(t)=0,

где начальная фаза φ представляет собой случайную величину, распределенную

равномерно в интервале [–π, π]. По-прежнему будем полагать, что p1= p2 = 0.5.

Решение принимается на основе сравнения значения огибающей напряже-

ния на выходе оптимального приемника (например, согласованного фильтра,

настроенного на сигнал s1(t)) с некоторым порогом Uп. При превышении порога

принимается решение в пользу сигнала s1(t), в противном случае – в пользу сиг-

нала s2(t).

Средняя вероятность ошибки

п

п

222

0

11121ош12ошош )|()|(2

1)|()|(

2

1

U

U

dVsVwdVsVwsspsspp , (3.30)

где V1 и V2 – значения огибающих напряжений на выходе оптимального прием-

ника в момент t=Tc при передаче сигналов s1(t) и s2(t) соответственно.

Величина V1 распределена по закону Раиса

0

10

0

111

2e

2)|( 0

221

N

VI

EN

VsVw

EN

EV

,

а величина V2 – по закону Рэлея

0

22

e2

)|(0

222

EN

V

EN

VsVw

.

Подставляя распределения огибающих V1 и V2 в (3.30), получаем:

0

2п

п

0

221

e2

e2

2

1

0

10

10

0

1ош

EN

UUEN

EV

dVN

VI

EN

Vp . (3.31)

Оптимальное значение порога Uп opt находится из условия минимизации

вероятности ошибки (3.31).

Взяв производную п

ош

dU

dpи приравняв ее к нулю, имеем

45

0e22

e2

0

2п

0

22п

0

п

0

п0

0

п

EN

U

EN

EU

EN

U

N

UI

EN

U (3.32)

или после упрощений

I0(2Uп/N0) = eE/No

. (3.33)

Прологарифмируем (3.33): lnIo(2Uп/N0)=E/N0. Учитывая, что

,1,4

,1,)(ln

20xx

xxxI (3.34)

находим:

шум.-сигнал отношенияхмалых при

шум,-сигнал отношенияхбольших при2

0opt п

EN

EU

Таким образом, при больших отношениях сигнал-шум

00

221

42/

0

10

10

0

1ош e

2

12e

2

2

1 N

EE

EN

EV

dVN

VI

EN

Vp . (3.35)

При E/N0≥10 первым слагаемым в (3.35) можно пренебречь. Тогда

04ош e5.0

N

E

p

. (3.36)

При неоптимальном пороге вероятность ошибки может оказаться значи-

тельно больше, чем (3.36). Поэтому при изменении уровня приходящего сигнала

порог приходится подстраивать, что является существенным недостатком систем

с пассивной паузой.

На рис. 3.3 (штриховая линия, AM) показана зависимость, рассчитанная по

(3.36). Сравнение с соответствующей кривой для когерентного случая позволяет

сделать вывод, что при вероятности ошибки 10-3

... 10-6

некогерентный прием

проигрывает в энергетике на 1...0,5 дБ.

Прием сигналов в каналах с замираниями

Замирания – это процессы изменения уровня сигнала на входе приемника.

Замирания в канале могут происходить, например, вследствие многолучевости

распространения радиоволн или изменения коэффициента передачи канала μ.

46

Учитывая, что коэффициент μ принимает случайные значения, качество

передачи информации можно задавать средней вероятностью ошибки )(ош p и

надежностью по помехоустойчивости Р(рош ≤ рдоп), характеризующей вероят-

ность непревышения pош(μ) допустимого значения рдоп.

Оценим, как влияют общие замирания на помехоустойчивость и надеж-

ность для двоичной СПИ. Среднюю вероятность ошибки при медленных общих

замираниях можно оценить, усредняя рош(μ) по закону распределения w(μ):

0

ош

0

ошошош )()()()()()( dhhwhpdwphpp .

Тогда для канала с рэлеевскими замираниями при некогерентном приеме

ортогональных сигналов с активной паузой

2ср0

2ср

2ош

2

1e

2e

2

1)(

2ср

22

hdh

h

hhp

h

hh

, (3.37)

где h2

CP – среднее значение отношения сигнал-шум по мощности в канале.

Сравнивая формулы для вероятности ошибки в канале с замираниями

(3.37) и без замирания (3.29), видно, что замирания приводят к увеличению веро-

ятности ошибки независимо от вида распределения w(h), т. е. )(ош p ≥ рош(hср).

Надежность по помехоустойчивости можно вычислить:

доп

)()()( допдопош

h

dhhwhhPppP .

Для канала с рэлеевскими замираниями

2ср

2доп

доп

2ср

2

ee2

)(2ср

допош

h

h

h

h

h

dhh

hppP

. (3.38)

Учитывая, что при некогерентном приеме двоичных символов рдоп =

0.5ехр(–h2доп/2), получаем

2ср

2

допдопош 2)(h

pppP . (3.39)

47

При низкой достоверности и надежности принимаемой информации в ка-

нале с замираниями требуются специальные меры для их повышения. Применя-

ют помехоустойчивые коды с перемежением, разнесенный прием и передачу с

переменной скоростью. Рассмотрим здесь более подробно последние две меры.

Передача с переменной скоростью. Принципиально в приемнике можно

избавиться от флуктуации уровня сигнала на входе решающей схемы, если дли-

тельность сигнала сделать обратно пропорциональной коэффициенту передачи

канала по мощности. Действительно, на выходе согласованного фильтра отно-

шение сигнал-шум по мощности

0

2ср

22 2

N

TPg cc

,

где cP – средняя мощность сигнала.

Если теперь предположить, что 22cpcp TTc то g

2 станет величиной по-

стоянной. Система, использующая такой принцип работы, должна быть адаптив-

ной с переменной длительностью посылки (рис. 3.6).

В состав такой СПИ входит прямой канал, по которому передается инфор-

мация от источника к потребителю, и обратный для получения информации о

требуемой скорости передачи. На приемной стороне в анализаторе канала АК

оценивается текущее отношение h2 и определяется требуемое значение скорости

передачи которое кодируется в кодере К, модулирует высокочастотную несу-

щую в модуляторе М2 и по обратному каналу передается на передающую сторо-

ну. Там эта информация демодулируется в демодуляторе ДМ2, декодируется в

декодере ДК и управляет работой модулятора M1, обеспечивая необходимую

скорость передачи.

48

Рис. 3.6. Структурная схема СПИ с переменной скростью передачи информации

Поскольку в большинстве случаев источник выдает информацию с посто-

янной скоростью, а передача ее по каналу осуществляется с переменной скоро-

стью, то на входе модулятора МЛ и выходе демодулятора ДМ1 прямого канала

включают буферные накопители БН, которые выполняют согласование источни-

ка и канала. Для управления работой модема служат устройства УУ1 и УУ2.

Эффективность работы СПИ с адаптацией по скорости передачи определяется

тем, насколько синхронно будет изменяться Тс и коэффициент передачи μ. Оче-

видно, что запаздывание информации о параметрах прямого канала должно быть

значительно меньше интервала корреляции замираний.

Разнесенный прием. Сущность его заключается в том, что демодулятор

принимает решение о переданном символе по нескольким сигналам, несущим

одну и ту же информацию. Основным условием для эффективного приема раз-

несенных сигналов является независимость замираний в каналах. Разнесенный

прием подобен резервированию устройств, обладающих конечной надежностью.

Если, например, надежность передачи в одном канале Р1(рош ≤ рдоп), то вероят-

ность того, что рош будет меньше рдоп в одном из L каналов:

РL(рош ≤ рдоп)=1–[1-Р1(рош ≤ рдоп)]L.

При низкой надежности P1 ≤ l/L разнесенный прием позволяет ее повысить

примерно в L раз.

Следует различать способы разнесения и объединения сигналов. Разнесе-

ние сигналов заключается в организации каналов, в которых полностью отсут-

ствует или мала степень корреляции уровней сигналов.

БН М1

УУ1

ДК ДМ2

ДМ1

АК УУ2

БН

М2 К

Прямой канал

Обратный канал

Выход Вход

49

В СПИ применяют следующие способы разнесения сигналов:

9. По времени (он сводится к повторению сигнала через промежутки вре-

мени, превышающие интервал корреляции замираний).

10. По частоте (сигнал дублируется по многим частотным каналам).

11. Прием на различные антенны, разнесенные в пространстве или распо-

ложенные в одном месте, но с узкими диаграммами направленности, позволяю-

щими разделить сигналы по углу прихода.

12. Прием на две антенны, расположенные в одном месте, но принимаю-

щие электромагнитные волны различной поляризации (поляризационное разне-

сение).

Рис. 3.7. Схема объединения каналов при разнесенном приеме

Поскольку демодулятор дискретных сигналов (рис. 3.7) в общем случае

содержит набор согласованных фильтров СФ, детекторы огибающих и решаю-

щую схему PC, то сигналы можно объединять на входе согласованных фильтров,

на входе решающей схемы и на ее выходе. Соответственно различают разнесен-

ный прием с когерентным сложением сигналов (точка а), с последетекторным

некогерентным сложением сигналов (точки б) и с дискретным сложением сигна-

лов (точка в).

В первых двух случаях для получения максимального отношения сигнал-

шум на входе решающей схемы необходимо складывать сигналы с весовыми ко-

СФ1

СФm

а

Детектор

огибающей

Детектор

огибающей

Реш

еющ

ее у

строй

ство

в СФm

Детектор

огибающей

б

1

2

l

m

50

эффициентами, определяемыми μi(t). Кроме того, при когерентном сложении фа-

зы всех суммируемых сигналов должны быть одинаковы. Поэтому для реализа-

ции разнесенного приема необходимо измерять уровень и фазу сигналов, прихо-

дящих по разным каналам, осуществлять их коррекцию и только потом склады-

вать. Кроме того, разнесенный прием с когерентным сложением сигналов требу-

ет оценки комплексных коэффициентов передачи по отдельным каналам.

Дискретное сложение сигналов реализуется наиболее просто. В этом слу-

чае решение о переданном символе принимается методом мажоритарного сло-

жения. Для однозначного принятия решения необходимо, чтобы число ветвей

разнесения было нечетным L= 2n–1, где n =1,2,.... Ошибка при дискретном сло-

жении возникает в том случае, если число ошибочно принятых символов превы-

сит п–1.

В отличие от схемы разнесенного приема с когерентным сложением сиг-

налов, где увеличение L при фиксированной суммарной средней мощности при-

нимаемого по всем каналам сигнала приводит к монотонному уменьшению

средней вероятности ошибки, во всех остальных схемах объединения каналов

эта зависимость носит экстремальный характер. Это связано с тем, что при уве-

личении L уменьшается средняя мощность сигнала в каждом канале и соответ-

ственно растет вероятность ошибок при приеме. При превышении L оптималь-

ного значения Lопт рост вероятности ошибки на символ может превысить выиг-

рыш от применения разнесения и в итоге привести к снижению помехоустойчи-

вости в целом.

Использование сложных сигналов в каналах с многолучевостью

Одной из причин возникновения замираний является рассеяние сигнала во

времени. При рассеянии сигнал от передатчика к приемнику приходит многими

путями различной протяженности. В результате сложения переданный сигнал

искажается. Характер искажений зависит от соотношения параметров передава-

емых сигналов и канала. Для сигналов такими параметрами являются несущая

частота fн, ширина спектра Fc и длительность посылки Тс, а для канала – вид рас-

сеяния сигнала, время рассеяния τп и скорость изменения параметров канала.

51

В канале с импульсной характеристикой h(t, τ) в общем случае на вход

приемника поступает смесь искаженного сигнала и шума

)()(),()(1

0

)( tndkTtsthtuN

kc

kr

, (3.40)

где s(k)

r – последовательность m-посылок, r=1...т; k=0,1,..., N–1; N – число пере-

данных посылок за время, в течение которого рассеивается сигнал (N ≈ τп/Tc).

О рассеянии сигнала в канале имеет смысл говорить тогда, когда τп соиз-

меримо или больше периода высокочастотной несущей. В противном случае ка-

нал искажений не вносит, так как все рассеянные во времени сигналы складыва-

ются без относительных задержек практически синфазно. Если τп соизмеримо с

длительностью посылки Тс или больше ее, то возникают межсимвольные иска-

жения, при которых в точке приема складываются соседние посылки. При τп<<Tс

межсимвольными искажениями можно пренебречь и выражение (3.40) упро-

стить:

)()(),()(

0

tndtsthtucT

r . (3.41)

Далее, используя дискретную модель канала с многолучевостью, можно

заменить интеграл в выражении (3.41) суммой

)()(),()(1 c

tnF

itstihtu

L

ir

,

где L=[Fcτn+1] – целая часть числа Fcτn+1.

Таким образом, характер искажений при τп<<Tс определяется значением

Fcτп. Для простых сигналов (Fс ≈1/Tс, L = l) будем иметь однолучевой канал с об-

щими замираниями, а для сложных сигналов (Fc>>1/τп) – многолучевой канал с

селективными замираниями, при которых спектр сигнала изменяется.

Оценим влияние базы сигналов на помехоустойчивость СПИ в канале с

рассеянием для неадаптивного приемника, предназначенного для оптимальной

обработки сигналов в канале без искажений, и адаптивного, оптимального для

обработки сигналов, прошедших через канал с рассеянием (прием с оценкой па-

раметров сигналов).

52

В отсутствие шума напряжение на выходе коррелятора, согласованного с

сигналом sj(t)h(1, t), приходящим по первому лучу.

cT

j

L

i cr dttsth

F

itstihq

0

*

1

)(),1()(),( . (3.42)

Для ансамбля сигналов с идеальными корреляционными функциями вы-

полняется условие

0,,0)()(

0

irjdttsF

its

cT

jc

r , и

напряжение q=H2(1,t)E, где

cT

r dttsE

0

2 )( . Поскольку полная энергия пришедше-

го сигнала равна

L

ii EtiH

1

2 ),( , то при неадаптивном алгоритме обработки слож-

ные сигналы приводят к энергетическим потерям по сравнению с простыми сиг-

налами. Объясняется это разделением сигналов, пришедших с разным запазды-

ванием, за счет их высокой разрешающей способности при сохранении характе-

ра флуктуации амплитуды сигнала на входе решающей схемы. Следует к тому

же напомнить, что здесь не учитывались помехи из-за неидеальности корреляци-

онных свойств используемых сигналов. Эти помехи являются результатом воз-

действия на основной луч сигналов, пришедших другими путями. Таким обра-

зом, использование сложных сигналов в канале с дисперсным рассеянием без

изменения алгоритма работы приемника приводит к ухудшению качества прие-

ма. Это ухудшение эквивалентно уменьшению энергии сигнала примерно в L

раз.

Принятая нами модель дисперсного рассеяния сигнала не всегда имеет ме-

сто на практике. Часто рассеяние носит дискретный характер, т. е. имеет место

многолучевость с ограниченным числом лучей. Например, если сигналы прихо-

дят в точку приема двумя независимыми путями с одинаковыми и постоянными

во времени уровнями, то в результате их сложения

)(cos)()(cos)(cos)( н2н1н ttUtUtu .

53

При случайном характере разности Δτ=τ2–τ1 возникнут замирания сигнала

μ(Δτ) =2соs[ω(τ2–τ1)/2] (рис. 3.8), которые приведут к значительному увеличению

средней вероятности ошибки. При этом использование сложных сигналов с раз-

решающей способностью во времени, позволяющей выделить один из сигналов,

даст выигрыш в помехоустойчивости.

Рис. 3.8. Изменение коэффициента передачи μ в двухлучевом канале

Теперь остановимся на том, как следует доработать приемник, чтобы

обеспечить минимальную вероятность ошибки в канале с рассеянием. Так как

входной сигнал при прохождении по каналу с рассеянием искажается, то опор-

ные сигналы корреляторов или частотные характеристики согласованных филь-

тров должны быть скорректированы. Для упрощения аппаратурной реализации

целесообразно ставить один корректирующий фильтр на входе. Его импульсная

характеристика hK(t,τ)=h(t,–τ), а частотная характеристика Kk(jω) должна быть

комплексно сопряженной с частотной характеристикой канала. Тогда с учетом

действия корректирующего фильтра для канала с медленно изменяющимися па-

раметрами получим на входе решающей схемы для сигналов с идеальными кор-

реляционными функциями

L

ii EtiHq

1

2 ),( ,

где

L

ii tiH

1

2 ),( – сумма независимых случайных величин. Следует заметить, что

так как рассеивающий объем ограничен и, естественно, не меняет своих разме-

ров с изменением параметров передаваемых по каналу сигналов, то среднее зна-

54

чение величины

L

ii tiH

1

2 ),( будет оставаться постоянным при увеличении базы

сигнала, а ее дисперсия уменьшаться.

Применение сложных сигналов при адаптивной обработке дает примерно

такой же результат, что и разнесенный прием с оптимальным когерентным сло-

жением сигналов в L каналах разнесения при фиксированной суммарной мощно-

сти передатчиков.

Теперь снимем ограничение Tс >> τп. Тогда в точке приема будет иметь ме-

сто суммирование соседних посылок – межсимвольная интерференция. Она по-

разному будет сказываться на приеме сложных и простых сигналов. Сложные

сигналы, обладая разрешающей способностью, позволяют избавиться от эффекта

межсимвольной интерференции, если Тс>τп. Для простых сигналов межсимволь-

ная интерференция будет проявляться одновременно с замираниями.

55

ЛЕКЦИЯ 4. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ И МНОГОСТАНЦИОННЫЕ

РАДИОСИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Многоканальные системы передачи информации

Для организации многоканальной передачи по одной линии связи необхо-

димы операция уплотнения каналов в передающей части системы связи и опера-

ция разделения каналов в ее приемной части.

Суть операции уплотнения каналов состоит в следующем. Сообщения xi(t)

от N независимых источников необходимо преобразовать в единое колебание –

многоканальный групповой сигнал sгр(t). Для этого нужно иметь N вспомога-

тельных колебаний φi(t), где i=1, 2, ..., N. Обычно стремятся, чтобы эти колебания

были ортогональны. Наиболее широко применяются ортогональные колебания

следующих видов: гармонические, импульсные и кодовые последовательности.

Их использование позволяет получить три основных вида уплотнения: частот-

ное, временное и кодовое (или уплотнение по форме).

Частотное уплотнение (разделение) каналов

Такое уплотнение (разделение) основано на принципе частотного преобра-

зования спектров сообщений отдельных источников на передающей стороне си-

стемы связи. Для этого используется набор гармонических поднесущих φi с раз-

ными частотами fп1, fп2, .., fпN. Модулируя (или манипулируя) поднесущие, мож-

но получить N канальных сигналов si(t), каждый из которых занимает полосу ча-

стот ΔFi, зависящую от ширины спектра исходных сообщений xi(t) и вида моду-

ляции.

Работа многоканальной системы передачи информации с частотным раз-

делением каналов состоит в следующем (рис. 4.1).

Сообщение от каждого i-источника поступает на соответствующий ка-

нальный модулятор (КМi), где модулирует по одному из параметров вспомога-

тельное синусоидальное колебание (поднесущую), вырабатываемое генератором

поднесущей (ГПi). Частоты поднесущих отдельных каналов fпi различаются

56

между собой, при этом разность частот соседних поднесущих выбирается так,

чтобы спектры модулированных поднесущих почти не перекрывались. Модули-

рованные поднесущие есть канальные сигналы, которые поступают на полосо-

вые фильтры (ПФi), ограничивающие основной спектр сигнала и не допускаю-

щие перекрывание спектров соседних канальных сигналов.

Рис. 4.1. Структурная схема многоканальной системы передачи информации с частотным

разделением каналов

В зависимости от вида модуляции канальные сигналы могут быть ампли-

тудно-модулированными (АМ), с угловой модуляцией (УМ) и модулированными

с одной боковой полосой (ОБП). После линейного объединения канальных сиг-

налов в сумматоре образуется групповой сигнал sгр(t).

И1

Сумматор

КМ1

ГП1

ПФ1

ОМ

Передатчик

ИN КМN

ГПN

ПФN

Передающая часть

УПЧ

Входная

часть

ОД

КПФ1 ФНЧ1

КПФN ФНЧN

N

П1

ПN

КД1

КДN

Приемная часть

. . .

. . .

. . .

57

Групповой сигнал при частотном уплотнении, как правило, образуется ли-

нейным сложением канальных сигналов, а его спектр определяется суммой спек-

тров этих сигналов (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2. Спектр группового сигнала при частотном уплотнении каналов

Он поступает на общий модулятор (ОМ) для модуляции несущего колеба-

ния, создаваемого в передатчике. Причем, может также использоваться один из

видов модуляции – АМ, УМ, ОБП и т. д.

Таким образом, в многоканальных системах используется двухступенчатая

модуляция, например АМ-АМ или ОБП-ЧМ, причем первым указывается вид

модуляции в канальных трактах, вторым – в общем тракте. Далее высокочастот-

ное колебание, модулированное групповым сигналом, поступает в антенну и

среду распространения.

В приемном устройстве происходит усиление (во входной части) и филь-

трация (в УПЧ) принятого сигнала. Затем высокочастотный сигнал преобразует-

ся в общем демодуляторе (ОД) в групповой сигнал, который подается на каналь-

ные полосовые фильтры (КПФi). Частотная характеристика каждого канального

полосового фильтра настроена таким образом, чтобы на его выходе выделялся

только канальный сигнал данного канала, а остальные подавлялись. Выделенные

канальными демодуляторами сообщения подаются на ФНЧ, и далее поступают к

получателям сообщений (Пi).

Число частотных подканалов определяется из выражения:

зc

cп1в.грЧРК

2/

f

ffFN , (4.1)

58

где Fв.гр – верхняя частота спектра группового сигнала; γз – коэффициент защит-

ной полосы (обычно 1.1…1.3); fп1 – частота первой поднесущей первого частот-

ного подканала.

Значение частоты первой поднесущей можно определить следующим об-

разом:

cпп1 ff , (4.2)

где γп – коэффициент запаса по нижней поднесущей (для экономии полосы мож-

но выбрать в диапазоне 2..3).

Перекрестные искажения

Перекрестные искажения проявляются во взаимном влиянии каналов. Они

в основном вызваны перекрытием спектров канальных сигналов, неполным по-

давлением канальных сигналов других каналов в разделительных полосовых

фильтрах, нелинейностью общего тракта (вход общего модулятора – выход об-

щего демодулятора). Для борьбы с первыми двумя причинами перекрестных по-

мех надо уменьшать уровень внеполосных составляющих канальных сигналов,

улучшать фильтрующие свойства полосовых фильтров и вводить защитные про-

межутки.

Временное уплотнение (разделение) каналов

Временное уплотнение (разделение) каналов основано на дискретизации

непрерывных сообщений по времени. При таком уплотнении используется набор

импульсных поднесущих, не перекрывающихся во времени. Каждая поднесущая

модулируется в соответствующем канальном модуляторе своим непрерывным

сообщением с верхней частотой спектра Fв. Естественно, что частота повторения

импульсов в этих поднесущих должна удовлетворять Fп=μFвi для всех каналов

(i=1, 2,..., N; μ – коэффициент запаса, равный 2…4).

Ритм работы системы передачи с временным разделением каналов

(рис. 4.3) задается высокостабильным генератором тактовых импульсов (ГТИ).

59

Рис. 4.3. Структурная схема многоканальной системы передачи информации с временным

разделением каналов

Тактовые импульсы с периодом Тп поступают на генератор канальных им-

пульсов (ГКИ), имеющий N+1 выходов, где N – число каналов. На выходах фор-

мируются периодические последовательности импульсов, показанные на рис. 4.4

(эпюры s01, s02, s03). Канальные импульсы s01(t), s02(t), s03(t) поступают на ка-

нальные модуляторы (КМ), где модулируются сообщениями, поступающими

от источников (И). На выходах КМ формируются модулированные канальные

сигналы.

Параметры модуляции подбираются так, чтобы импульсы различных мо-

дулированных канальных сигналов не перекрывались. Канальные сигналы по-

Сумматор

КМN

ГТИ

ОМ

Передатчик

И1 КМ1

ГКИ

Передающая часть

УПЧ

Входная

часть

ОД

КCN

КC1

ПN

П1

КДN

КД1

Приемная часть

. . .

ИN

.

.

.

ССИ ГКСИ

. . .

УФСИ

. . .

. . .

60

даются на линейный сумматор одновременно с последовательностью синхрони-

зирующих импульсов (рис. 4.4, эпюра uсх), вырабатываемых устройством фор-

мирования синхронизирующих импульсов (УФСИ), которые необходимы для

синхронизации работы приемной части. Они должны резко отличаться от ка-

нальных импульсов, чтобы их можно было выделить из общего потока импуль-

сов.

Рис. 4.4. Эпюры сигналов при временном разделении каналов

На выходе сумматора образуется групповой сигнал, состоящий из после-

довательности синхронизирующих и модулированных канальных импульсов

(рис. 4.4, эпюра sгр). Групповой сигнал поступает на общий модулятор (ОМ) и

модулирует высокочастотную несущую, вырабатываемую передатчиком.

В приемной части системы с временным разделением каналов (рис. 4.3)

принятый сигнал усиливается и фильтруется в линейной части приемника (вход-

ная часть и УПЧ), затем демодулируется в общем демодуляторе (ОД), на выходе

которого выделяется оценка группового сигнала sгр(t). Выделенный групповой

сигнал sгр(t) подается на селектор синхроимпульсов (ССИ), который может пред-

ставлять собой, например, интегрирующую цепь с пороговым устройством на

выходе, срабатывающим при действии на входе интегрирующей цепи синхро-

импульса. Выделенные синхроимпульсы поступают на генератор канальных се-

61

лекторных импульсов (ГКСИ), имеющий N выходов. На каждом выходе ГКСИ

формируется импульсная последовательность, временное положение которой

совпадает с одним из канальных сигналов. Эти последовательности подаются на

канальные селекторы (КС), которые выделяют канальные сигналы. Эти сигналы

поступают на канальные демодуляторы (КД), где формируются оценки передан-

ных сообщений, поступающие к получателям П1, ..., ПN.

Очевидно, что ширина спектра группового сигнала Fв.гр однозначно опре-

деляется длительностью импульсов поднесущих τ и приблизительно равна вели-

чине:

1в.грF . (4.3)

Число каналов, которое может быть получено при временном уплотнении:

кT

TN

схпврк . (4.4)

Нетрудно показать, что при временном уплотнении число каналов про-

порционально скважности импульсов Q. Так как выбор Тп определяется макси-

мальной шириной спектра передаваемых сообщений Fв.max и не может быть про-

извольным (Tп≤1/2Fв.max), то увеличить число каналов можно лишь укорачивая

длительность импульсов, т.е. расширяя полосу частот, занимаемую групповым

сигналом.

Перекрестные искажения

Перекрестные искажения в системах с временным разделением каналов

обусловлены нестационарными процессами, сопровождающими появление и ис-

чезновение импульсов. Перекрестные искажения в системах с временным разде-

лением каналов разделяются на искажения I и II рода.

Перекрестные искажения I рода возникают вследствие спада частотной ха-

рактеристики общего тракта K(jΩ) в области высоких частот. В результате им-

пульсы искажаются – их длительность увеличивается, а амплитуда изменяется

(рис. 4.5).

62

Рис. 4.5. Импульсы на выходе устройства уплотнения каналов (а) и на выходе общего тракта

приемной части (б) системы с временным разделением каналов

Искажения I рода не опасны, т.к. они действуют только на соседний канал.

Для борьбы с такого рода искажениями необходимо увеличивать защитные ин-

тервалы между импульсами.

Искажения II рода возникают за счет скоса АЧХ в области НЧ. Искажения

II рода не зависят от номера канала и влияют на все каналы одновременно.

Многостанционные системы передачи информации

Многостанционные системы передачи информации играют основную роль

при построении систем связи с подвижными объектами. В таких системах необ-

ходимо осуществлять многостанционный доступ (МСД) в общий канал, при ко-

тором корреспонденты передают (и принимают) независимо друг от друга ин-

формацию тогда, когда в этом возникает необходимость. В состав многостанци-

онных систем входит обычно l корреспондентов, каждый из которых является

источником дискретной или непрерывной информации (Иi, где i=1...l). Сообще-

ние каждого корреспондента c помощью передатчика преобразуется в сигнал si(t)

и передается в канал.

Необходимо отметить, что системы МСД имеют существенное отличие от

многоканальных систем – групповой сигнал sгр(t) образуется в результате сложе-

ния радиосигналов корреспондентов непосредственно в канале (рис. 4.6). На

приемной стороне соответствующий корреспондент (получатель сообщения Пi,

63

где i = 1...l) принимает сигнал и с помощью приемника преобразует его в сооб-

щение x(t).

Рис. 4.6. Структурная схема многостанционной системы передачи информации

В системах МСД, как и в многоканальных системах, применяется частот-

ное, временное и кодовое уплотнение каналов. Частотное и временное уплотне-

ние каналов реализуется аналогично многоканальным системам. Поэтому рас-

смотрим кодовое уплотнение (разделение) каналов.

Системы с кодовым разделением

Кодовое уплотнение позволяет создавать как синхронные, так и асинхрон-

ные системы МСД. Достоинством синхронных систем является возможность до-

стижения полной ортогональности адресных сигналов. В асинхронных системах

не требуется синхронизация по времени между сигналами корреспондентов. По-

скольку форма каждого сигнала является адресом корреспондента, такие систе-

мы называют асинхронными адресными (ААС).

В ААС этого типа для разделения сигналов корреспондентов можно ис-

пользовать время-интервальные и частотно-временные адресные коды. В первом

случае коды различных адресов отличаются друг от друга интервалами между

импульсами (рис. 4.7а). Во втором дополнительным признаком кодообразования

является частота заполнения импульсов. Данный код удобно изображать на ча-

канал

И1

И2

Иl

Пер1

Пер2

Перl

П1

П2

Пl

Пр1

Пр 2

Пр l

x2(t)

xl(t)

s1(t)

s2(t)

sl(t)

x2(t)

xl(t)

sгр(t)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x1(t) x1(t)

64

стотно-временной плоскости в виде частотно-временной матрицы ЧВМ

(рис. 4.7б).

Рис. 4.7. Структура сигналов в ААС с частотно-временным кодированием

Частотно-временная матрица имеет размер FΣ по частоте и Tс по длитель-

ности, где FΣ определяется полосой, выделяемой для работы системы, а Tс – дли-

тельностью кодируемых двоичных символов. Временной интервал Тс разбивает-

ся на N дискретных интервалов, а полоса FΣ – на М частотных неперекрываю-

щихся подканалов. Длительность каждого дискретного интервала Т0 = Tc/N, по-

лоса частотного подканала F0 = FΣ/M.

При образовании адресных кодовых комбинаций каждая комбинация со-

стоит из n импульсов, расположенных на различных дискретных интервалах,

65

каждый из которых передается на одной из m неповторяющихся частот, соответ-

ствующих частотным подканалам матрицы. База такого сигнала при F0≈1/T0:

mnnTmFBчвк 00 . (4.5)

Максимальная база адресного сигнала:

MNNTMFTFB cчвк 00max . (4.6)

Учитывая, что при работе lа корреспондентов на вход каждого приемного

устройства одновременно поступает несколько независимых последо-

вательностей радиоимпульсов, из которых (l–1) – мешающие и формирующие

межстанционную помеху, то при большом числе корреспондентов всегда воз-

можны такие комбинации мешающих импульсов, которые в случайном сочета-

нии могут образовать ложный адресный код данного корреспондента. Вероят-

ность его образования тем меньше, чем в большем числе параметров отличаются

друг от друга используемые адресные коды.

В этой связи в ААС используют рациональные адреса, у которых все вре-

менные интервалы между импульсами с одинаковыми частотами заполнения от-

личаются друг от друга для всех сигналов, используемых в системе.

Для частотно-временного кодирования число рациональных адресов вы-

бирается из условия:

!!2

!!212

nM

MnNk рац

(4.7)

При использовании рациональных кодов в качестве адресных уменьшается

вероятность перехода одной адресной комбинации в другую из-за действия меж-

станционных помех.

Один из методов формирования и обработки адресных частотно-

временных сигналов в ААС представлен структурной схемой на рис. 4.8.

66

Рис. 4.8. Структурная схема устройств формирования и обработки сигналов в асинхронной

адресной системе

Дискретная информация от источника (И) поступает на блок формирова-

ния импульсов (БФ) и блок синхронизации (БС), синхронизирующий работу си-

стемы. Импульсы с БФ подаются на линию задержки (ЛЗ) с N-отводами через

интервалы Т0. Импульсы с отводов ЛЗ через временной коммутатор (ВК) посту-

пают на модуляторы (Мод), где заполняются сигналами генераторов с частотами

f1,…,fM в соответствии с выбранным для корреспондентов кодом. С выходов мо-

дуляторов радиоимпульсы через сумматор (Σ) поступают в передатчик, где про-

изводится перенос их спектров в область частот, отведенную для группового

сигнала, и излучение. Пройдя по каналу, адресный сигнал попадает в приемное

устройство, где обрабатывается по высокой частоте, а затем поступает на поло-

И БФ

БС

ЛЗ

ВК

1 . . . N

ГПf1 Мод1

МодM ГПfM

Σ

Передатчик

Передающая часть

Приемная часть

Приемник

ПФ1 Д1 ЛЗ1

Σ

ПФM ДM ЛЗM

ПУ

. . .

. . .

67

совые фильтры (ПФ), каждый из которых настроен на одну из центральных ча-

стот радиоимпульсов кодовой комбинации. Напряжения с выходов фильтров че-

рез демодуляторы (Д) и линии задержки (ЛЗ) подаются на входы сумматора (Σ).

Решение о наличии или отсутствии комбинации, переносящей информацию со-

ответствующему корреспонденту, выносится путем сравнения выходного сигна-

ла сумматора с порогом в пороговом устройстве (ПУ).

Межстанционные помехи в асинхронных адресных системах

При работе ААС возникают межстанционные (или системные) помехи.

При малом динамическом диапазоне сигналов и при одновременной работе

большого числа корреспондентов межстанционная помеха, равная сумме слож-

ных сигналов от отдельных корреспондентов, по своим статистическим характе-

ристикам близка к гауссовому случайному процессу, т. е. к шуму в полосе ча-

стот, занимаемой сигналами ААС.

Тогда помехоустойчивость когерентного и некогерентного приема полно-

стью определяется отношением

11 cп

2

l

B

Pl

FTP

N

TPq cccc , (4.8)

где B = FΣTc – база сигнала.

Из (4.8) следует, что для надежной передачи информации (q2>>l) необхо-

димо, чтобы база В была много больше числа мешающих корреспондентов l–1.

68

ЛЕКЦИЯ 5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ ПРИ

ЦИФРОВОЙ ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ

Корректирующие коды

Под помехоустойчивыми понимаются коды, позволяющие обнаруживать и

исправлять ошибки, возникающие при передаче из-за действия помех. Идея их

построения заключается в том, что из N0 возможных комбинаций длиной n при-

меняется лишь некоторая часть (рис. 5.1). Пусть их число равно N. Используе-

мые при передаче кодовые комбинации обычно называются разрешенными, а

остальные, число которых N0–N – запрещенными. Если под действием помехи

передаваемая кодовая комбинация переходит в запрещенную, то такую ошибку

можно обнаружить.

Поясним способность кода исправлять ошибки. Разобьем множество за-

прещенных кодовых комбинаций на N подмножеств Мi, i = 1...N1, и каждому

подмножеству Мi поставим в соответствие разрешенную кодовую комбинацию

Вi. Зададимся следующим правилом приема: если принятая кодовая комбинация

попадает в подмножество Мi, то принимается решение в пользу кодовой комби-

нации Вi. Очевидно, что при таком правиле приема будут исправляться все те

ошибки, которые не выводят передаваемую кодовую комбинацию за пределы

принадлежащего ей подмножества.

Рис. 5.1. Идея помехоустойчивого кодирования

B1 B2 BN …

M1 M2 MN1

…

Разрешенные комбинации Запрещенные комбинации

N0

N N1

69

При построении кода для уменьшения вероятности ошибочного декодиро-

вания в подмножество Мi следует включать те запрещенные кодовые ком-

бинации Bk, которые отличаются от Bi в меньшем числе символов по сравнению

с другими разрешенными кодовыми комбинациями, т.е.

ijNjPPPP jkjiki ,,...,1),|()()|()( BBBBBB

где Р(Вi) – априорная вероятность передачи кодовой комбинации Вi, Р(Bk|Bi) –

условная вероятность принятия кодовой комбинации Bk при передаче кодовой

комбинации Bi.

Соответственно декодер принимает решение, что передана кодовая ком-

бинация Вi, если принятая комбинация Bk отличается от нее на меньшее число

символов по сравнению с другими. Такое правило принятия решения является

оптимальным по критерию максимума правдоподобия.

Кодер представляет собой запоминающее устройство (ЗУ), в памяти кото-

рого хранятся N разрешенных кодовых комбинаций. Алгоритм декодирования

заключается в сличении принятой кодовой комбинации со всеми N разрешенны-

ми и нахождении разрешенной кодовой комбинации, которая отличается от при-

нятой в меньшем числе символов (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Структурная схема устройства кодирования (а) и декодирования (б)

Классификация кодов

Помехоустойчивые коды можно разделить на два класса: блочные и непре-

рывные. При блочном кодировании последовательность элементарных сообще-

ний источника разбивается на отрезки и каждому отрезку ставится в соответ-

АЦП Кодер x(t) xi Bi

a)

Схема

сравнения

Декодер Bk

xi Bi

б)

ЗУ

70

ствие определенная последовательность (блок) кодовых символов, называемая

обычно кодовой комбинацией. Множество всех кодовых комбинаций, возмож-

ных при данном способе блочного кодирования, и есть блочный код.

Длина блока может быть как постоянной, так и переменной. Соответ-

ственно различают равномерные и неравномерные блочные коды. Помехоустой-

чивые коды являются, как правило, равномерными. Поэтому неравномерные ко-

ды в дальнейшем не рассматриваются.

Блочные коды бывают разделимыми и неразделимыми. К разделимым от-

носятся коды, в которых символы по их назначению могут быть разделены на

информационные (символы, несущие информацию о сообщениях) и провероч-

ные. Такие коды обозначаются как (n, k), где n – длина кода, k – число информа-

ционных символов. Число комбинаций в коде не превышает 2k. К неразделимым

относятся коды, символы которых нельзя разделить по их назначению на ин-

формационные и проверочные. К ним относятся, например, коды с постоянным

весом (содержат одинаковое число единиц) и коды на основе матриц Адамара.

Среди разделимых кодов различают линейные и нелинейные. К линейным

относятся коды, в которых поразрядная сумма по модулю 2 любых двух кодовых

слов также является кодовым словом. Линейный код называется систематиче-

ским, если первые k символов его любой кодовой комбинации являются инфор-

мационными, остальные (n–k) символов – проверочными.

Подклассом линейных кодов являются циклические коды. Они характери-

зуются тем, что все наборы, образованные циклической перестановкой любой

кодовой комбинации, являются также кодовыми комбинациями. Это свойство

позволяет в значительной степени упростить кодирующее и декодирующее

устройства, особенно при обнаружении ошибок и исправлении одиночной

ошибки. Примерами циклических кодов являются коды Хэмминга, коды БЧХ

и др.

Примером нелинейного кода является код Бергера, у которого проверочные

символы представляют двоичную запись числа единиц в последовательности

71

информационных символов. Например, таким является код: 00000; 00101; 01001;

01110; 10001; 10110; 11010; 11111.

Непрерывные коды характеризуются тем, что операции кодирования и де-

кодирования производятся над непрерывной последовательностью символов без

разбиения ее на блоки. Среди непрерывных наиболее применимы сверточные

коды.

Основные характеристики и корректирующие свойства блочных ко-

дов

К числу основных характеристик кода относятся:

длина кода n,

основание m,

мощность N (число разрешенных кодовых комбинаций),

полное число кодовых комбинаций N0,

число информационных символов k,

число проверочных символов r=n–k,

вес кодовой комбинации (число единиц в комбинации),

избыточность кода 0loglog1 NN ,

кодовое расстояние

n

kjkikji bbd

1

),( BB , где bik и bjk – k-символы ко-

довых комбинаций Bi и Bj соответственно.

При независимых ошибках в канале корректирующую способность кода

удается выразить через кодовое расстояние. Например, для обнаружения всех

ошибок кратности l требуется код с

1 ld . (5.1)

Поясним на примере. Пусть имеется код с d = 1. Учитывая, что искажение

одного символа изменяет расстояние Хэмминга на одну единицу, при примене-

нии кода с d = 1 обнаруживаются не все одиночные ошибки. Для того чтобы код

мог обнаруживать любую одиночную ошибку, необходимо обеспечить кодовое

расстояние, равное двум.

72

Для исправления всех ошибок некоторой кратности требуется большее ко-

довое расстояние, нежели для их обнаружения:

12 ld . (5.2)

Поясним на основе следующих рассуждений. Пусть имеется код с кодо-

вым расстоянием d. Следовательно, в таком коде имеются, по крайней мере, две

кодовые комбинации Bi и Bj, отличающиеся в d символах. Введем понятие век-

тора ошибки еi, i=1, 2,..., который будем записывать в виде двоичного числа той

же длины, что и кодовые комбинации. Условимся, что наличие единицы в i-м

разряде вектора еi означает искажение i-символа передаваемой комбинации. То-

гда принятую комбинацию можно представить в виде суммы по модулю 2 пере-

даваемой кодовой комбинации и вектора ошибки.

rik eBB .

Очевидно, что для рассматриваемых комбинаций можно всегда подобрать

два вектора ошибок еl и еr с числом единиц d/2, которые переводят Вi и Bj в одну

и ту же запрещенную комбинацию Bk. Например: В1=11101 и В2=11110. Вектора

ошибок e1=00010 и e2=00001. Тогда оба вектора ошибок переводят разрешенные

кодовые комбинации в одну запрещенную Вk=11111.

Учитывая, что любая запрещенная комбинация входит только в одно из

подмножеств Мi, i=1,... ,N, по крайней мере, одна ошибка кратности d/2 не будет

исправлена.

Таким образом, задача построения кода с заданной корректирующей спо-

собностью сводится к обеспечению необходимого кодового расстояния путем

введения избыточности. При этом желательно, чтобы число используемых про-

верочных символов было минимальным.

Имеется ряд оценок для максимального кодового расстояния при фикси-

рованных n и k, которые часто используются при выяснении того, насколько по-

строенный код близок к оптимальному.

Если существует блочный линейный код (n, k), то для больших значений

k/n него справедливо неравенство, называемое границей Хэмминга:

73

2

1

02log

d

i

inCr , (5.3)

где

2

1d означает целую часть числа

2

1d.

Для кодов с малыми значениями k/n более точной является верхняя грани-

ца Плоткина:

ddr 2log22 (5.3)

Можно также показать, что существует блочный линейный код (n, k) с ко-

довым расстоянием d, для которого справедливо неравенство, называемое ниж-

ней границей Варшамова – Гильберта:

2

02log

d

i

inCr (5.4)

Таким образом, границы Хэмминга и Плоткина являются необходимыми

условиями существования кода, а граница Варшамова – Гильберта – достаточ-

ным.

Пример 5.1. Оценим, насколько близок к оптимальному БЧХ-код (31, 21) с

d = 5. Рассматриваемый код имеет r = 10. Из верхней границы Хэмминга (5.3)

находим, что r ≥ 9. С другой стороны, из нижней границы Варшамова-Гильберта

(5.4) получаем r ≤ 13. Таким образом, не существует кодов длиной n = 31 с d = 5

и r < 9, но существуют коды длиной n = 31 с d = 5 и r < 13. Таким образом, код

оптимален.

Линейные корректирующие коды

Из определения линейности следует, что любой линейный код (n, k) можно

получить из k линейно независимых кодовых комбинаций путем их посимволь-

ного суммирования по модулю 2 в различных сочетаниях. Исходные линейно не-

зависимые кодовые комбинации называются базисными.

Представим базисные кодовые комбинации в виде порождающей матрицы

размерностью n∙k

74

nkkk

nk

nk

gg

gg

gg

...10...000

...........................

...00...010

...00...001

1

212

111

PIG , (5.5)

где I – единичная k∙k-подматрица, Р k∙(n–k) – подматрица проверочных симво-

лов, определяющая свойства кода. Матрица (5.5) задает систематический код.

Тогда процесс кодирования заключается в выполнении операции

AGB ,

где А – вектор размерностью k, соответствующий сообщению, В – вектор раз-

мерностью n, соответствующий кодовой комбинации.

Линейный (n, k) код может быть задан так называемой проверочной мат-

рицей Н размерности (r∙n). При этом комбинация В принадлежит коду только в

том случае, если вектор В ортогонален всем строкам матрицы Н, т.е. если вы-

полняется равенство

0т BH , (5.6)

где т – символ транспонирования матрицы.

Так как (5.6) справедливо для любой кодовой комбинации, то

0т GH .

Каноническая форма матрицы Н имеет вид:

10...000...

...............................

00...010...

00...001...

21

22221

11211

т

nknn

kkkk

kkkk

ggg

ggg

ggg

IPH , (5.7)

где Рт – подматрица, столбцами которой служат строки подматрицы Р (5.5), I –

единичная r∙r подматрица.

Подставляя (5.7) в (5.6), можно получать n–k уравнений вида:

knjbgbk

iijkijk

,...,1,

1

, (5.8)

которые называются уравнениями проверки. Из (5.8) следует, что проверочные

символы кодовых комбинаций линейного кода образуются различными линей-

75

ными комбинациями информационных символов. Единицы в любой j-й строке

подматрицы Рт, входящей в проверочную матрицу (5.7), указывают, какие ин-

формационные символы участвуют в формировании j-проверочного символа.

Очевидно, что линейный (n, k) код можно построить, используя уравнения

проверки (5.8). При этом первые k символов кодовой комбинации информацион-

ные, а остальные n–k символов – проверочные, образуемые в соответствии с

(5.8).

Рис. 5.3. Структурная схема кодера линейного кода

Кодирующее устройство для линейного (n, k) кода (рис. 5.3) состоит из k-

разрядного сдвигающего регистра и r=n–k блоков сумматоров по модулю 2. Ин-

формационные символы одновременно поступают на вход регистра и на выход

кодирующего устройства через коммутатор К. С поступлением k-

информационного символа на выходах блоков сумматоров в соответствии с

уравнениями (5.8) формируются проверочные символы, которые затем последо-

вательно поступают на выход кодера.

Процесс декодирования сводится к выполнению операции

т~HBS ,

где S – вектор размерностью (n-k), называемый синдромом, B~

– вектор принятой

кодовой комбинации.

76

Если принятая кодовая комбинация B~

совпадает с одной из разрешенных

В (это имеет место тогда, когда либо ошибки в принятых символах отсутствуют,

либо из-за действия помех одна разрешенная кодовая комбинация переходит в

другую), то

0т HBS .

В противном случае S≠0, причем вид синдрома зависит только от вектора

ошибок е. Действительно,

ттт~eHHeBHBS ,

где B~

– вектор, соответствующий передаваемой кодовой комбинации.

При S=0 декодер принимает решение об отсутствии ошибок, а при S≠0 – о

наличии ошибок. Число различных синдромов, соответствующих различным со-

четаниям ошибок, равно 2n-k-1

. По конкретному виду синдрома можно в пределах

корректирующей способности кода указать на ошибочные символы и их испра-

вить.

Декодер линейного кода (рис. 5.4) состоит из k-разрядного сдвигающего

регистра, n–k блоков сумматоров по модулю 2, схемы сравнения, анализатора

ошибок и корректора. Регистр служит для запоминания информационных сим-

волов принятой кодовой последовательности, из которых в блоках сумматоров

формируются проверочные символы. Анализатор ошибок по конкретному виду

синдрома, получаемого в результате сравнения формируемых на приемной сто-

роне и принятых проверочных символов, Определяет места ошибочных симво-

лов. Исправление информационных символов производится в корректоре.

77

Рис. 5.4. Структурная схема декодера линейного кода (m2 – сумматор по модулю 2)

Заметим, что в общем случае при декодировании линейного кода с ис-

правлением ошибок в памяти декодера должна храниться таблица соответствий

между синдромами и векторами ошибок содержащая 2n–k

строк. С приходом

каждой кодовой комбинации декодер должен перебрать всю таблицу. При не-

больших значениях n–k эта операция не вызывает затруднений. Однако для вы-

сокоэффективных кодов длиной n, равной нескольким десяткам, разность n–k

принимает такие значения, что перебор таблицы го 2n–k

строк оказывается прак-

тически невозможным.

78

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с требованиями Федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего профессионального образования по направлению

210400 «Радиотехника» дисциплина «Радиотехнические системы передачи ин-

формации» участвует в формировании у студента следующих компетенций:

способность использовать результаты освоения фундаментальных и

прикладных дисциплин магистерской программы (ПК-1);

способность понимать основные проблемы в своей предметной области,

выбирать методы и средства их решения (ПК-3);

способность самостоятельно осуществлять постановку задачи исследо-

вания, формировать план ее реализации, выбирать методы исследования и обра-

ботку результатов (ПК-16);

способность к профессиональной эксплуатации современного оборудо-

вания и приборов (ПК-5);

готовность оформлять, представлять и докладывать результаты выпол-

ненной работы (ПК-6).

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

принципы построения радиотехнических систем передачи информации;

характеристики передаваемых сообщений, критерии и предельные ха-

рактеристики качества передачи информации;

методы разделения каналов, модуляции и кодирования, разнесенного

приема и синхронизации радиотехнических СПИ;

методы анализа помехоустойчивости передачи сообщений.

Уметь:

применять методы теории оптимальных решений при проектировании

радиотехнических СПИ;

выполнять цифровое моделирование устройств и СПИ.

79

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основная литература

1. Васин, В.А. Информационные технологии в радиотехнических системах /

В.А. Васин, И.Б. Власов, Ю.М. Егоров и др. ; под ред. И.Б. Федорова – М. :

Изд. МГТУ, 2004.

2. Васин, В.А. Радиосистемы передачи информации : учебное пособие для ву-

зов / В.А. Васин, В.В. Калмыков, Ю.Н. Себекин, А.И. Сенин, И.Б. Федоров

; под ред. И.Б. Федорова и В.В. Калмыкова. – М. : Горячая линия – Теле-

ком, 2005. – 472 с. : ил.

3. Астрецов, Д.В. Общая теория связи. Лабораторный цикл : учебно-

методическое пособие / Д.В. Астрецов, М.П. Трухин. – Екатеринбург :

УрФУ, 2012.

4. Биккенин, Р.Р. Теория электрической связи: учеб. пособие для студ. выс-

ших учебных заведений / Р.Р. Биккенин, М.Н. Чесноков. – М. : Издатель-

ский центр «Академия», 2010. – 336 с.

5. Клюев, Л.Л. Теория электрической связи : учебник / Л.Л. Клюев. – Минск :

Техноперспектива, 2008.

6. Васюков, В.Н. Теория электрической связи : учебник / В.Н. Васюков. – Но-

восибирск : Изд-во НГТУ, 2005. – 392 с.

Дополнительная литература

7. Борисов, В.А. Радиотехнические системы передачи информации : учеб. по-

собие для вузов / В.А. Борисов, В.В. Калмыков, Я.М. Ковальчук и др. ; под

ред. В.В. Калмыкова. – М. : Радио и связь, 1990. – 304 с. : ил.

8. Борисов, Ю.П. Основы многоканальной передачи информации : учебное

пособие для вузов / Ю.П. Борисов, П.И. Пенин. – М. : Связь, 1967. – 435 с.

9. Варакин, Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами : монография /

Л.Е. Варакин. – М. : Радио и связь, 1985. – 384 с. : ил.

80

10. Венедиктов, М.Д. Асинхронные адресные системы связи : учебное посо-

бие для вузов / М.Д. Венедиктов, В.В. Марков, Г.С .Эйдус. – М. : Связь,

1967. – 271 с.

11. Пащенко, Е.Г. Радиотехнические системы передачи информации : кон-

спект лекций / Е.Г. Пащенко, О.Л. Соколов. – Л. : СЗПИ, 1990. – 60 с.

12. Пенин, П.И. Радиотехнические системы передачи информации : учеб. по-

собие для вузов / П.И. Пенин, Л.И. Филиппов. – М. : Радио и связь, 1984. –

256 с.

13. Борисов, В.А. Принципы построения и помехоустойчивость систем пере-

дачи непрерывных и дискретных сообщений : учебное пособие по курсу

«Системы передачи информации» / Л.В. Когновицкий, Е.Е. Лазарева, П.И.

Пенин ; под ред. П.И. Пенина. – М. : Типография МЭИ, 1982. – 84 с.

Учебное электронное текстовое издание

Манохин Антон Евгеньевич

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ

ИНФОРМАЦИИ

Редактор А.В. Овчинникова

Компьютерная верстка авторская

Рекомендовано Методическим советом

Разрешен к публикации 23.09.2013

Электронный формат – pdf

Объем 4,23 уч.-изд. л.

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Информационный портал УрФУ

http://www.ustu.ru