В.Н. ЗАВЬЯЛОВ, Е.А. МАРТЫНОВ,

В.М. РОМАНОВСКИЙ

ОСНОВЫ

СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

ПЛАСТИН

Учебное пособие

Омск 2012

2

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

В.Н. ЗАВЬЯЛОВ, Е.А. МАРТЫНОВ,

В.М. РОМАНОВСКИЙ

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

ПЛАСТИН

Учебное пособие

Издание второе, исправленное

Омск СибАДИ

2012

3

УДК 624+539. 3 ББК 38.112 О93

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Т.А. Ковалевская, зав. каф. "Теоретическая механика" ТГАСУ;

д-р техн. наук, проф. С.А. Макеев, зав. каф. "Строительные конструкции" СибАДИ

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия. Основы строительной механики пластин: учебное пособие /В.Н. Завьялов, Е.А. Мартынов, В.М. Романовский. – 2-е изд., испр. – Омск: СибАДИ, 2012. – 116 с. В настоящем учебном пособии изложены принципиальные основы расчёта прямоугольных пластин, работающих как в упругой, так и в упругопластической стадиях, при различных видах их деформирования. Кроме того, в пособии представлен в необходимом для расчёта пластин объёме математический аппарат, связанный с различными методами вариационного исчисления. Приведены примеры расчёта пластин методом конечных элементов. Данное учебное пособие рекомендуется студентам, занимающимся научно-исследовательской работой, студентам-дипломникам и аспирантам строительных специальностей. Табл. 3. Ил. 45. Библиогр.: 31 назв.

ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2012

4

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие…..…...……………………………………………………… 4 1. Напряженно-деформированное состояние в пластинах …….…… 5 1.1. Основные понятия и гипотезы ………………………….…………. 5 1.2. Определение перемещений и деформаций …………………….…. 7 1.3. Напряжения в пластинах ……………………………………..……. 9 1.4. Определение внутренних усилий и напряжений…………………. 11 2. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины …………………………………………………………….….

16

2.1. Уравнения равновесия элемента пластины …………….……….… 16 2.2. Основные дифференциальные уравнения изгиба пластины ….…. 18 2.3. Граничные условия на контуре пластины ……………….……….. 19 2.4. Изгиб шарнирно опертых прямоугольных пластин ……………… 25 3. Вариационные методы расчета прямоугольных пластин ………. 32 3.1. Основные понятия вариационного исчисления ………………….. 32 3.2. Полная энергия деформации при изгибе пластин ………….…….. 34 3.3. Вариационное уравнение изгиба пластины ………………………. 36 3.4. Метод Ритца ………………………………………………………… 42 3.5. Метод Бубнова-Галеркина ……………………………….………... 48 3.6. Метод Канторовича-Власова ……………………………………… 55 3.7. Метод конечных элементов ………………………………..…..…... 60 3.8. Пример расчета пластины, работающей в упругой стадии, методом конечных элементов ………………………………..…….

67

4. Устойчивость прямоугольных пластин …………………………… 80 4.1. Пластины при совместном действии поперечной нагрузки и нагрузки в срединной плоскости ……………………...

80

4.2. Устойчивость шарнирно опертых прямоугольных пластин при равномерном сжатии в одном направлении ……………….…

83

4.3. Устойчивость свободно опертой пластины, сжатой в двух направлениях ………………………………………………………..

86

4.4. Устойчивость прямоугольных пластин при сдвиге …...…………. 89 5. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости …….…… 94 5.1. Основные положения и гипотезы ………..…………………….…. 94 5.2. Уравнения упругого пластического изгиба пластины ……….….. 98 5.3. Расчет пластин за пределом упругости методом конечных разностей …………..………………………………………….…….

102

5.4. Решение упругопластических задач при изгибе пластин вариационным методом …………………………………………….

104

5.5. Расчет пластин за пределом упругости методом конечных элементов ………………………………………………….…….…..

107

Библиографический список………………………….……………….... 114

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Строительство является той отраслью деятельности промышленного комплекса, которая всегда была, есть и останется востребованной хозяйством страны.

Одним из важных элементов конструкций как транспортных, так и других строительных сооружений являются различного вида пластины. Поэтому вопросы, связанные с теоретическими исследованиями работы пластин, остаются актуальными.

Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие посвящено основным проблемам расчёта пластин, работающих как в пределах закона Гука, так и в упругопластической стадии.

Сначала приведены классические определения пластины и выделен класс пластин, рассматриваемых в данном пособии. Приведены гипотезы, принятые при расчётах таких пластин, а также классические уравнения теории упругости, на базе которых и ведутся дальнейшие теоретические обоснования тех или иных методов расчёта и применяются эти методы на конкретных примерах.

Представляет интерес раздел, в котором в концентрированном виде описаны вариационные методы расчёта прямоугольных пластин. Представлен пример расчёта пластины, работающей в упругой стадии, выполненный современным методом конечных элементов.

В пособии имеется раздел, посвящённый некоторым аспектам расчёта пластин на устойчивость. При этом рассмотрено несколько наиболее характерных условий закрепления пластин.

Особое внимание уделено расчёту пластин, работающих за пределом упругости. Теоретические обоснования такого расчёта подкреплены числовым примером.

Пособие предназначено для студентов-дипломников, аспирантов и практических инженеров, в чью сферу профессиональной деятельности входят рассматриваемые вопросы.

6

1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ПЛАСТИНАХ

1.1. Основные понятия и гипотезы Пластиной называют тело, имеющее форму прямой призмы или цилиндра, высота которого значительно меньше размеров основания. В зависимости от формы основания различают круглые, эллиптические, прямоугольные, треугольные и подобные пластины. В данном пособии рассматриваются только прямоугольные пластины, получившие наибольшее распространение в строительстве различных сооружений. Плоскость, которая делит высоту пластины пополам, называется срединной плоскостью. Линии пересечения срединной плоскости с боковой поверхностью образуют контур пластины. Координатную плоскость xoy будем считать совпадающей со срединной плоскостью пластины (рис. 1.1). Ось z направим вниз, считая прогибы пластины положительными, если они направлены вниз. Под прогибами пластины w подразумеваем перемещения в вертикальном направлении точек срединной поверхности.

y

x

z

0

h

Рис. 1.1

Толщина пластины оказывает влияние на ее свойства при изгибе. Различают три вида пластин в зависимости от отношения толщины к наименьшему размеру в плане.

1. Тонкими (жесткими) называются пластины, у которых 801

51

bh .

7

2. Пластины, у которых прогиб w более 4h , называются гибкими.

3. Пластины, у которых 31

bh , называются толстыми плитами.

Толстые пластины (плиты) рассчитываются с помощью решения основных уравнений трехмерной теории упругости.

Тонкие пластины в зависимости от вида напряженного состояния разделяются на:

1. Жесткие пластины, при изгибе которых можно пренебречь напряжениями в срединной плоскости.

2. Пластины конечной жесткости (гибкие пластины), у которых величины изгибных напряжений и напряжений в срединной плоскости одного порядка.

3. Абсолютно гибкие пластины, у которых учитываются только напряжения в срединной плоскости. Поскольку толщина пластины мала по сравнению с размерами в плане, можно пренебречь некоторыми факторами и ввести гипотезы, упрощающие теоретические выводы. Эти допущения аналогичны тем, которые сделаны в теории изгиба балок и равносильны пренебрежению факторами, мало влияющими на напряженно-деформированное состояние в пластинах.

1. Любой линейный элемент, нормальный к срединной плоскости пластины до ее деформирования, остается прямолинейным и длина его не изменяется после деформирования:

0z .

(1.1) 2. Любой линейный элемент, нормальный к срединной плоскости до

деформирования пластины, остается нормальным к срединной плоскости после деформирования, т.е. угловые относительные деформации

.0 ;0 xzyz

(1.2) 3. В срединной плоскости деформации растяжения, сжатия и сдвига

равны нулю, а следовательно, перемещения в срединной плоскости вдоль осей x и y отсутствуют:

.0 ;0 00 u

(1.3)

8

4. Напряжение z мало по сравнению с x и y , т.е. давлением слоев

вдоль оси z пренебрегаем:

.0z (1.4)

Приведенные гипотезы (допущения) справедливы только для тонких пластин. 1.2. Определение перемещений и деформаций Исследуем пластину, загруженную поперечной нагрузкой, нормальной к срединной плоскости. Под действием такой нагрузки каждая точка k пластины (рис. 1.2) получает перемещения zyxu ,, , zyx ,, , zyxw ,, соответственно вдоль осей x, y, z.

Рис. 1.2

Согласно первой гипотезе имеем

.0

zw

z

(1.5)

Принятая гипотеза позволяет сделать вывод о том, что перемещение zyxw ,, будет функцией только координат x, y, т.е. все точки, лежащие на

перпендикуляре к срединной плоскости, будут иметь одинаковые прогибы. Это позволяет, определив перемещения w для точек срединной поверхности, определять прогибы для всех точек нормали, лежащих на ней.

9

Согласно геометрическим соотношениям Коши [1] и второй гипотезе

,0

;0

yw

z

xw

zu

yz

xz

(1.6)

отсюда

.

;

yw

z

xw

zu

(1.7)

Интегрируя эти уравнения по z, получим

).,(

);,(

2

1

yxfywz

yxfxwzu

(1.8)

Согласно третьей гипотезе

при 0z ; 0u ; 0 0),(1 yxf ; 0),(2 yxf .

Перемещения u, принимают вид

.

;

ywz

xwzu

(1.9)

10

Относительные линейные и угловую деформации для произвольной точки пластины определяем по формулам Коши:

.2

;

;

2

2

2

2

2

yxwz

xyu

ywz

y

xwz

xu

xy

y

x

(1.10)

Полученные формулы показывают, что для точек срединной поверхности (z = 0) деформации x , y , xy равны нулю. 1.3. Напряжения в пластинах Для определения напряжений используем закон Гука для плоской задачи теории упругости. Поскольку согласно четвертой гипотезе ,0z то

.12

;1

;1

xyxy

xy

xyy

yxx

EG

E

E

(1.11)

Решая полученную систему уравнений, находим

.12

;1

;1

2

2

xyхy

xyy

yxx

E

E

E

(1.12)

11

Подставляя в (1.12) выражение (1.10), получаем

,1

;1

;1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yxwzE

xw

ywzE

yw

xwzE

хy

y

x

(1.13) где – коэффициент Пуассона.

Формулы (1.13) показывают, что напряжения x , y , xy в точках срединной поверхности равны нулю. По закону Гука, используя вторую гипотезу, имеем

.012

;012

yzyz

xzхz

E

E

(1.14)

В действительности хz и yz не равны нулю. Рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия Навье при отсутствии объемных сил [1]:

.0

;0

zyx

zyx

zzyzх

хzхyx

(1.15)

Из первого уравнения в (1.15) находим

12

.11 2

3

2

3

3

3

2 yxwzE

yxw

xwzE

yxzõyxõz

(1.16)

После приведения подобных получаем

,11

222

2

2

2

2 wx

zEy

wxw

xzE

zхz

(1.17)

где

2

2

2

22

yw

xww – дифференциальный оператор Лапласа.

Интегрируя (1.17) по z, получаем

.,12

32

2

2yxfw

xzE

zxхz

(1.18)

Используя граничные условия 0 zxхz при 2hz , находим

.18

, 22

2

3 wx

hEyxf

(1.19)

Получаем выражение для zx :

.412

222

2 wx

zhEzxхz

(1.20)

Решая второе уравнение в (1.15), получаем

.412

222

2 wy

zhEzyyz

(1.21)

13

Покажем распределение напряжений на двух взаимно-перпендикулярных кромках (рис. 1.3). Часть напряжений имеет тот же смысл, что и в балках, с той лишь разницей, что в пластинах изгиб происходит в двух направлениях. Это относится к напряжениям x и zx для направления ox и напряжениям y , zy в направлении oy. Пластина, кроме изгиба в двух направлениях, испытывает кручение, в результате чего возникают касательные напряжения xy и yx .

Рис. 1.3

1.4. Определение внутренних усилий и напряжений При расчете пластин в основном используют выражения для определения усилий. Внешними нагрузками, действующими на пластину, как правило, являются усилия, распределенные на единицу длины. В пластинах напряжения и усилия являются переменными по высоте сечения. Вырежем из пластины бесконечно малый элемент размерами dx и dy (рис. 1.4), который находится в равновесии при действии на него усилий:

изгибающего момента xM , создаваемого действием равнодействующей напряжений x ;

изгибающего момента yM , создаваемого действием равнодействующей напряжений y ;

крутящего момента Н, создаваемого действием равнодействующей касательных напряжений xy и yx ;

продольной силы xN , действующей в направлении оси ox;

14

поперечной силы xQ , действующей в сечении с нормалью, совпадающей с осью ox;

поперечной силы yQ , действующей в сечении с нормалью, совпадающей с осью oy.

Рис. 1.4

Определим усилия, приходящиеся на единицу высоты:

;1

2/

2/2

2

2

2

2

2/

2/dzz

yw

xwEdzN

h

h

h

hxx

(1.22)

021

2/

2/

2

2

2

2

2

2

h

hx

zy

wxwEN

.

(1.23)

0

15

Выражение (1.23) показывает, что нормальной силы в сечении с нормалью, совпадающей с осью ox, не возникает. Аналогично 0yN . Далее запишем выражение для определения изгибающего момента Mx:

;1

2/

2/

22

2

2

2

2

2/

2/dzz

yw

xwEzdzM

h

h

h

hxx

(1.24)

;31

2/

2/

3

2

2

2

2

2

h

hx

zy

wxwEM

(1.25)

.121 2

2

2

23

2

yw

xwhEM x

(1.26) Обозначим

.112 2

3

EhD

(1.27)

Параметр D носит название цилиндрической жесткости пластины и является физической и геометрической характеристикой пластины при изгибе. С учетом (1.27) получаем

.2

2

2

2

yw

xwDM x

(1.28)

Аналогично определяем yM :

.2

2

2

22/

2/

xw

ywDzdzM

h

hyy

(1.29)

16

Определим погонную поперечную силу в сечении с нормалью, совпадающей с осью ox:

.2/

2/dzQ

h

hzxx

(1.30)

С учетом выражения zx из (1.20) получаем

.4412

2/

2/

22

222

2

h

hх dzzhw

xzhEQ

(1.31)

После вычислений в (1.31) находим

.2 wx

DQх

(1.32)

Аналогично определяем yQ :

.22/

2/w

yDdzQ

h

hyzy

(1.33)

Определим сдвигающую силу в сечении с нормалью, совпадающей с осью ox:

.0211

2/

2/

2/

2/

2222/

2/

h

h

h

h

h

hyxx

zyxwEzdz

yxwEdzS

(1.34) Таким образом, сдвигающая сила в этом сечении равна нулю. Аналогично

.02/

2/

h

hxyy dzS

(1.35)

17

Определим крутящий момент в сечении с нормалью, совпадающей с осью ox:

2/

2/

2/

2/

322

22/

2/;

311

h

h

h

h

h

hyx

zyx

wEdzzyx

wEzdzH

(1.36)

.1121

2232/

2/ yxwD

yxwhEzdzH

h

hyx

(1.37)

Полученные выражения показывают, что найденные внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях пластины, являются функциями прогиба w и ее производных. Подставляя выражения xM , yM , xQ , yQ , Н в (1.13), (1.20), (1.21), получим формулы для определения напряжений, выраженные через внутренние усилия:

.4

6;

46

;12;12

;12

22

32

2

3

333

zhh

Qzh

hQ

hzH

h

zM

hzM

yzyyz

xzxxz

yxxyy

yx

x

(1.38)

18

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ 2.1. Уравнения равновесия элемента пластины Рассмотрим бесконечно малый элемент срединной плоскости пластины, находящейся под действием внешней, распределенной на единицу площади, нагрузки q (рис. 2.1). В общем случае q может быть переменной, но для бесконечно малого элемента примем ее постоянной.

По граням элемента x=0; y=0 будут действовать изгибающие моменты xM и yM , крутящие моменты Н, а также поперечные силы xQ и yQ . Так

как внутренние усилия являются функциями координат x, y, то на противоположных гранях с координатами dxx и dyy усилия получат соответствующие приращения. Разлагая эти усилия в ряды Тейлора [2] с точностью до малых первого порядка, получаем

.;

;;

;;

dyy

QQdyyQdx

xQ

QdxxQ

dyyHHdyyHdx

xHHdxxH

dyy

MMdyyMdx

xM

MdxxM

yyy

xxx

yyy

xxx

(2.1)

x

z

y

Рис. 2.1

19

Кроме изгибающих и крутящих моментов по граням элемента будут действовать вертикальные поперечные силы, соответствующие касательным напряжениям zx и yz . Поперечные силы для этих напряжений:

;2/

2/dzQ

h

hzxx

.2/

2/dzQ

h

hyzy

(2.2)

Согласно принятым гипотезам ;0Gzx

zx

.0Gyz

yz

Но при составлении уравнений равновесия в них необходимо включить результирующие силы, соответствующие касательным напряжениям zx и zy . Интенсивность нагрузки q равна напряжению z на верхней поверхности пластины, т.е. z является величиной порядка q. Согласно принятым гипотезам величина z пренебрежимо мала, т.е. равна нулю.

Принимаем в выражениях Gx

wzu zx

и .

Gyw

zyz

Слагаемые Gzx

и G

yz малы по сравнению с другими слагаемыми,

считаем поперечные силы xQ и yQ величинами того же порядка, что интенсивность нагрузки q и моменты xM , yM , Н. Составим уравнения равновесия для выделенного элемента:

.0

qdxdydydxy

Qdxdy

xQ

z yx

(2.3)

После сокращения имеем

.0

qy

Qx

Q yx

(2.4)

20

.0222

dyqdxdydydydxx

QQdxdyQdxdydy

yQ

Q

HdydydxxHHdxMdxdy

yM

Mm

xxx

yy

yy

yx

.0222

dxqdxdydxdxdyy

QQdxdxQdxdydx

xQ

Q

HdxdxdyyHHdyMdydx

xM

Mm

yyy

xx

xx

xy

(2.6)

Пренебрегая бесконечно малыми третьего порядка, после упрощения получаем

;xx Q

yH

xM

(2.7)

.yy Q

yM

xH

(2.8)

Уравнения (2.4), (2.7) и (2.8) называются уравнениями равновесия элемента пластины. В эти три статических уравнения входят пять неизвестных функций

xM , yM , Н, xQ , yQ . Поэтому задача определения внутренних усилий в сечениях пластины является статически неопределимой. Эту задачу можно решить, если одновременно определить функцию прогибов w(x,y). 2.2. Основные дифференциальные уравнения изгиба пластины Подставляя в (2.4) найденные значения поперечных сил, получаем

.2 2

22

2

2q

y

Myx

HxM yx

(2.9)

Учитывая выражения моментов (1.28), (1.29) и (1.37),

(2.5)

21

.12 22

4

4

4

22

4

22

4

4

4q

yxw

ywD

yxwD

yxw

xwD

(2.10)

После преобразования получаем

.24

4

22

4

4

4

Dq

yw

yxw

xw

(2.11)

Уравнение (2.11) можно записать так:

,2

2

2

2

2

2

2

2

Dq

yw

xw

yx

(2.12)

или, используя оператор Лапласа, сокращенно

.4

Dqw

(2.13)

Уравнение (2.13) изгиба жестких пластин, которое играет фундаментальную роль в теории изгиба пластин, носит название уравнения С.Жермен-Лагранжа. Уравнение (2.13) по физическому смыслу представляет собой неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. При заданной функции нагрузки q(x,y) путем интегрирования находится функция прогибов w(x,y). Появляющиеся при интегрировании уравнения (2.13) постоянные определяются из граничных условий. 2.3. Граничные условия на контуре пластины На контуре пластины в зависимости от вида закрепления ее граней могут быть известны прогибы, углы поворота срединной поверхности, а также изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы.

Условия, при которых на контуре известны прогибы и углы поворота, называются геометрическими.

Если на контуре известны усилия, то условия называются статическими.

22

Если на контуре одновременно известны перемещения и усилия, то условия называются смешанными.

На каждой грани должны быть заданы два граничных условия. Рассмотрим прямоугольную пластину (рис. 2.2) и сформулируем

граничные условия для различных закреплений ее кромок.

Рис. 2.2

1. Шарнирно опертая грань. Если грань пластины может свободно поворачиваться, то ее называют шарнирно опертой. Пусть грань с координатой x = 0 шарнирно оперта. Прогиб и изгибающий момент вдоль грани должны быть равны нулю:

;00xw .02

2

2

2

0

yw

xwDM xx

(2.14)

Полагая, что грань с координатой x = 0 остается прямолинейной, получаем

.002

2

y

wyy

wx

(2.15)

Следовательно, граничные условия для шарнирно опертого края имеют вид

;00xw .002

2

x

xw

(2.16)

Если шарнирно опертая грань имеет координату x = a, то

23

;0axw .02

2

ax

xw

(2.17)

Если шарнирно опертая грань имеет координату y = 0, то

;00 yw .002

2

y

yw

(2.18)

Если шарнирно опертая грань имеет координату y = b, то

;0byw .02

2

by

yw

(2.19)

2. Защемленная грань. Если грань с координатой x = a защемлена, то прогиб и угол поворота равны нулю:

;0axw .0

axxw

(2.20)

Если защемлена грань с координатой x = 0, то

;00xw .00

xxw

(2.21)

3. Грань, свободная от закрепления. Если грань с координатой x = a не имеет опирания, то изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы равны нулю (рис. 2.3):

;0axxM ;0axH .0axxQ (2.22)

Г.Р. Кирхгофф показал, что для определения w, удовлетворяющего уравнению (2.13), достаточно двух граничных условий [3]. Третье условие можно не учитывать из физических соображений.

24

Указанное противоречие происходит из допущения, что нормаль к срединной плоскости до изгиба переходит в нормаль к срединной поверхности после изгиба. Если не пользоваться этим допущением, то получим дифференциальное уравнение изгиба пластины шестого порядка, при этом могут быть удовлетворены все три граничные условия.

Рис. 2.3

Чтобы избежать противоречий при составлении граничных условий, по замечанию Г.Р. Кирхгоффа два условия для Н и xQ заменяют одним. Крутящий момент, действующий на элемент кромки пластины, заменяют двумя статически эквивалентными силами Qэкв. Эти две силы рассматриваются вместе с вертикальными поперечными силами. Такая замена оказывает влияние на распределение напряжений в непосредственной близости к кромке. На остальной части пластины согласно принципу Сен-Венана распределение напряжений остается без изменений. На элемент dy действует крутящий момент Н. Этот момент можно заменить двумя вертикальными силами, равными Н и действующими на расстоянии dy. Для соседнего элемента dy крутящий момент будет

равен .dydyyHH

Этот момент можно представить в виде вертикальных сил величиной

.dyyHH

25

Переходя к статически эквивалентной системе сил, определяем в

точке А вертикальную силу, величина которой равна .dyyH

На единицу длины приходится вертикальная сила величиной yH .

Для положительного момента Н статически эквивалентные силы направлены вверх. В соответствии с ориентацией оси z они будут отрицательными. Вместо условий равенства нулю Н и xQ вводим условие, согласно которому равна нулю статически эквивалентная им вертикальная сила:

.0

ax

xэквx y

HQQ

(2.23)

Используя выражения xQ (1.32) и Н (1.37), полученное условие принимает вид

.012 2

3

3

3

ax

эквx yx

wxwDQ

(2.24)

Из условия 0xM следует

.02

2

2

2

axyw

xw

(2.25) Полученные формулы (2.24) и (2.25) выражают граничные условия для свободного края пластины с координатой x = a. Если грань пластины с координатой x = 0 свободна от закрепления, то граничные условия имеют вид

26

.0

;012

02

2

2

2

02

3

3

3

x

x

yw

xw

yxw

xw

(2.26)

Если грани пластины с координатами y = 0 и y = b свободны от закрепления, то на этих гранях

.0

;012

;02

2

2

2

;02

3

3

3

byy

byy

xw

yw

xyw

yw

(2.27)

4. Упругозаделанная грань пластины. Предположим, что контур пластины жесткий и нормальные перемещения ее граней отсутствуют, на угловой грани пластины поворот возможен. В этом случае говорят, что грань пластины имеет упругую заделку. Если упругую заделку имеют грани пластины с координатами x = 0; x = a, то

;0;0 axxw ,12

2

2

2

;0 xwK

yw

xwDM axxx

(2.28)

где К1 – коэффициент упругого защемления края. Учитывая, что на прямолинейных гранях пластины с координатами x = 0; x = a

,02

2

yw

yyw

(2.29)

27

условия на гранях пластины с координатами x = 0; x = a примут вид

;0;0 axxw .0;0

12

2

axxxwK

xwD

(2.30)

Аналогично, если упругое защемление имеют грани с координатами y = 0; y = b, то

;0;0 byyw .0;0

12

2

byyywK

ywD

(2.31)

5. Упругоопертая грань пластины. В случае опирания грани пластины на упругий контур граничные условия при x = 0; x = a определяются равенствами

;0;0 axxxM ,;02;0 axxaxxэквx wKQ

(2.32)

где К2 – коэффициент упругого отпора контура. С учетом выражений для xM и экв

xQ получаем

;0;0

2

2

2

2

axxyw

xw

(2.33)

.012 ;02;0

2

3

3

3

axxaxx

wKyxw

xwD

(2.34)

Аналогично для случая упругого опирания граней пластины с координатами y = 0; y = b граничные условия выражаются

28

;0;0

2

2

2

2

byyxw

yw

(2.35)

.012 ;02;0

2

3

3

3

byy

byy

wKxyw

ywD

(2.36) 2.4. Изгиб шарнирно опертых прямоугольных пластин Рассмотрим шарнирно опертую по четырем кромкам прямоугольную пластину, находящуюся под действием поперечной нагрузки интенсивностью q(x,y) (рис. 2.4). Прогиб пластины w(x,y) должен удовлетворять дифференциальному уравнению С. Жермен-Лагранжа (2.13), которое в развернутой форме имеет вид

.,24

4

22

4

4

4

Dyxq

yw

yxw

xw

(2.37)

x

z y

Рис. 2.4

Метод, предложенный Навье в 1820 г. для решения уравнения (2.37),

состоит в том, что искомую функцию прогибов w(x,y) назначают в виде двойного тригонометрического ряда Фурье:

,sinsin,1 1 b

yna

xmAyxwm n

mn

(2.38)

29

где mnA – постоянные числа, коэффициенты ряда; m, n – целые положительные числа 1, 2, 3, … Граничные условия для шарнирно опертой пластины:

при x = 0; x = a ;0w ;02

2

2

2

yw

xw

при y = 0; y = b ;0w .02

2

2

2

xw

yw

На гранях пластины

при x = 0 00sin

am ; при x = a 0sin

a

am ;

при y = 0 00sin

bm ; при y = b 0sin

b

bm .

Следовательно, прогиб на контуре пластины равен нулю. Вторые производные функции прогибов:

.sinsin

;sinsin

1 1

2

2

2

1 1

2

2

2

byn

axm

bnA

yw

byn

axm

amA

xw

m nmn

m nmn

(2.40)

Подставляя в (2.40) координаты граней пластины, доказываем, что на

контуре пластины 2

2

xw

, 2

2

yw

обращаются в ноль.

Таким образом, граничные условия для функции прогибов выполняются.

Разложим функцию нагрузки в двойной тригонометрический ряд Фурье:

.sinsin,1 1 b

yna

xmayxqm n

mn

(2.41)

(2.39)

30

Для того чтобы определить значения коэффициентов mna , умножим

обе части выражения (2.41) на byn

axm 'sin'sin и проинтегрируем по x в

пределах от 0 до а и по y в пределах от 0 до b.

.'sin'sinsinsin

'sin'sin,

1 10 0

0 0

dxdybyn

axm

byn

axma

dxdybyn

axmyxq

m n

a b

mn

a b

Вычисляем интегралы

'. при 2/;' при 0'sinsin

;' при 2/;' при 0'sinsin

0

0

nnbnn

dxbxn

bxn

mmamm

dxa

xma

xm

b

a

(2.43) После интегрирования получаем

.4

'sin'sinsinsin1 10 0

mnm n

a b

mn aabdxdyb

yna

xmb

yna

xma

(2.44)

Отсюда следует

.'sin'sin,4

0 0 a b

mn dxdybyn

axmyxq

aba

(2.45)

Подставляя полученные выражения (2.38) и (2.41) в уравнение (2.37), получим

.0sinsin21 1

424

m n

mnmn b

xna

xmD

ab

na

ma

mA

(2.46)

(2.42)

31

Так как последнее уравнение должно выполняться для всех значений x и y, то

;02

2

2

2

24

Da

bn

amA mn

mn 2

2

2

2

241

bn

am

aD

A mnmn

.

(2.47)

Отсюда функция прогибов принимает вид

.sinsin1,1 1

2

2

2

2

24 byn

axm

bn

am

aD

yxwm n

mn

Коэффициенты mna определяются по (2.45). Полученное выражение для функции прогибов (2.48) является решением задачи об изгибе прямоугольной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки q(x,y). Формулы для определения усилий в пластине можно получить, используя выражения, полученные в разделе 1. Рассмотрим частные случаи загружения пластины. 1. Нагрузка равномерно распределена по всей поверхности пластины. В этом случае q(x,y) = q = const. Из формулы (2.45) находим

,16sinsin,42

0 0 mnqdxdy

byn

axmyxq

aba

a b

mn

где m и n – нечетные числа. Все коэффициенты mna при четных m и n равны нулю.

Функция прогибов принимает вид

.sinsin16,

3...1 3...12

2

2

2

26

m n

bn

ammn

byn

axm

Dqyxw

(2.48)

(2.49)

32

При равномерно распределенной нагрузке изогнутая поверхность

пластины должна быть симметричной. Если оси координат выбраны, как указано на рис. 2.4, то члены с четными m и n отвечают несимметричным прогибам и поэтому равны нулю. Наибольший прогиб пластины имеет место в центре:

.1163....1 3...1

2

2

2

2

2

12

62/;2/

m n

nm

byax

bn

ammn

Dqw

Этот ряд сходится достаточно быстро, и первые несколько членов

дают удовлетворительный результат. В случае квадратной пластинки (a = b), принимая = 0.3, определим прогиб первыми четырьмя членами ряда:

,0443,03

40

2/;2/Eh

aqw byax

где Е – модуль упругости материала пластины; h – толщина пластины. По известной функции прогибов можно найти изгибающие моменты в пластине:

;sinsin16

3...1 3...12

2

2

2

2

2

2

2

2

4

m n

x byn

axm

bn

am

bn

am

qM

.sinsin16

3...1 3...12

2

2

2

2

2

2

2

2

4

m n

y byn

axm

bn

am

am

bn

qM

Наибольший момент будет в центре пластины. Для квадратной пластины (a = b)

.0479,0 22/;2/2/;2/ qaMM byaxybyaxx

(2.50)

(2.51)

(2.52)

33

Изгибные напряжения в пластине:

;12

3z

hM x

x .12

3z

h

M yy

Наибольшие напряжения при изгибе имеют место при 2hz

.287,02

2

minmax

hqa

2. Нагрузка равномерно распределена по площади прямоугольника размерами u, (рис. 2.5). Используя выражение (2.45), получаем

.2

sin2

sinsinsin16

;sinsin4

2

2

2

2

2

bn

aum

bn

am

mnqa

dxdyb

yna

xmab

qa

mn

u

umn

(2.53)

Рис. 2.5

Функцию прогибов w(x,y) определяем по (2.48), и находим внутренние усилия xM , yM , Н, xQ , yQ в пластине, а также напряжения

x , y , xy , xz , yz . 3. Нагрузка в виде сосредоточенной силы.

34

Пусть пластина загружена сосредоточенной силой в точке с координатами x ; y . Полагая, что 0u ; 0 , находим, используя выражение (2.53),

.sinsin4b

na

mabFamn

(2.54)

Находим функцию прогибов

.sinsinsinsin4,

1 12

2

2

2

24

m n b

yna

xm

bn

ammn

bn

am

abDFyxw

Вычислим прогиб в середине пластины, где приложена сила F. В

этом случае 2/ax ; 2/by .

.141 1

2

2

2

2

242/;2/

m n

byax

bn

ammn

abDFw

Зная функцию прогибов, можно найти изгибающие и крутящие

моменты, поперечные силы. Ряды, входящие в выражения внутренних усилий, плохо сходятся, поэтому полученные результаты наиболее точно определяют только прогибы пластин. Для определения изгибающих моментов, поперечных сил, а тем более для напряжений применять рассмотренный метод нерационально.

(2.55)

35

3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН 3.1. Основные понятия вариационного исчисления

Представленные в предыдущих разделах уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние в пластинах вместе с граничными условиями, трудно решить в аналитической форме, а численное решение сопряжено с громоздкими выкладками.

Для решения задач изгиба пластин весьма эффективны вариационные методы, математический аппарат которых разработан в разделе математики "Вариационное исчисление".

Состояние равновесия пластин наряду с дифференциальными уравнениями может быть описано с помощью вариационных принципов, разработанных в механике деформируемого твердого тела на основании вариационных методов [4].

Положение равновесия консервативной системы есть положение, в котором силовая функция системы имеет минимальное значение. Консервативной называется такая система, первоначальное положение внешних нагрузок в которой не изменяется в процессе деформирования системы (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Изложенное свойство упругих механических систем, к которым относится пластина, позволяет отказаться от прямого решения дифференциального уравнения и перейти к проблеме определения функции, обеспечивающей минимум некоторого функционала в теории пластин, носящего название полной энергии. В инженерной практике наряду с задачами, в которых отыскивается экстремум некоторой функции xfy , имеют место такие, в которых необходимо отыскать экстремум некоторой переменной Ф, которая сама зависит от выбора функции xy . Такие переменные Ф называются функционалами.

36

В простейшем случае функционал Ф представляется в виде интеграла

b

adxyyxfФ ,',, (3.1)

где a, b определяют интервал изменения аргумента х. Сравнивая функционал и функцию, замечаем, что они являются переменными, однако первый зависит от вида функции xy , а вторая – от величины аргумента х. В первом случае, изменяя вид функции xy , т.е. варьируя функцию, изменяем величину функционала (рис. 3.2, а), а во втором, изменяя величину переменного х, определяем величину функции (рис. 3.2, б).

Рис. 3.2 Операция варьирования предполагает, что при фиксированном х имеет место переход от одной функции к другой. Операция дифференцирования предполагает неизменность вида функции на участке

x . Методы решения вариационных задач, т.е. описания функций, сообщающих функционалу максимум или минимум, сходны с исследованием функции на максимум и минимум. В задачах на максимум или минимум независимому переменному х дается приращение

1ххx , равное дифференциалу x . В вариационных задачах дается приращение (вариация) для искомой функции xy , равное

.1 xyxyy (3.2)

37

В вариационном исчислении вариация функционала Ф представляет линейную по отношению к вариации функции y часть функционала. Если функция xfy достигает экстремума внутри интервала, то

0dy ; .0' xy Если функционал достигает экстремума, то его вариация равна нулю:

.0Ф (3.3)

Операции дифференцирования и варьирования можно менять местами:

.wxx

w

(3.4)

Вариационные методы, применяемые к расчету пластин, основаны на свойствах полной энергии при изгибе пластин. 3.2. Полная энергия деформации при изгибе пластин Найдем выражение потенциальной энергии деформации, накапливаемой при изгибе пластины, выразив ее через прогибы w(x,y). Общее выражение потенциальной энергии деформации, накопленной в упругом теле [1], задается формулой

,21 dxdydzU

Vyzyzxzxzxyxyzzyyxx (3.5)

где V – объем пластины. Учитывая принятые гипотезы, согласно которым ;0xz ;0yz

,0z выражение (3.5) принимает вид

.1221 222 dxdydz

EEU

Vxyyxyx

(3.6)

Подставляя в приведенную формулу выражения для ,x ,y xy через w(x,y) и интегрируя по z от 2h до 2h , получаем

38

,122

1222

22

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

dxdyyx

wyw

xw

yw

xwD

dxdyyx

wyw

xw

yw

xwDU

A

A

где А – площадь срединной поверхности пластины; D – цилиндрическая жесткость пластины. Проинтегрируем по частям второе выражение в квадратных скобках полученной формулы:

.2

2

2

2

2

22

2

3222

dxdyyw

xwdy

yw

xwdx

xw

yxw

dxdyyxw

xwdx

xw

yxwdxdy

yxw

yxwU

ASS

ASA

Для пластин, грани которых остаются прямыми, должно быть

w = 0 по всем граням;

02

2

xw

xw вдоль граней 0y и by ;

(3.9)

02

2

yw

yw вдоль граней 0x и ax .

Таким образом, получаем

.022

2

2

2

2

dxdyyx

wyw

xw

A

(3.10)

Потенциальная энергия изгиба пластины принимает вид

(3.7)

(3.8)

39

.02 0 0

2

2

2

2

2

dxdyyw

xwDU

a b

(3.11)

Полная энергия пластины представляет сумму потенциальной энергии U и потенциала внешних сил П:

.ПUЭ (3.12)

Для пластин, загруженных только нагрузкой q(x,y), величина П определяется как работа элементарных сил qdxdy на перемещениях w при переходе изогнутой пластины в недеформированное состояние:

.,,0 0

dxdyyxwyxqПa b

(3.13)

Если к пластине приложены еще какие-либо нагрузки, то в выражении для П должна быть добавлена работа этих нагрузок. Так, для пластины, показанной на рис. 3.3,

.,,0 00 0

b

xPP

a bdy

xwmyxPwdxdyyxqwП

(3.14)

Рис. 3.3

В (3.14) учтена работа сосредоточенной силы F и моментов m, распределенных по грани с координатой х = 0. 3.3. Вариационное уравнение изгиба пластины

40

Рассмотрим выражение потенциальной энергии изгиба пластины:

.122

22

2

2

2

22

2

2

2

2dxdy

yxw

yw

xw

yw

xwDU

A

(3.15) Пусть пластина загружена поперечной нагрузкой q на единицу

площади. Потенциал от действия нагрузки q имеет вид

.dxdyqwПА

(3.16)

Полная энергия, как это было рассмотрено ранее, представляет собой сумму потенциала внешних и потенциальной нагрузок энергии пластины:

.ПUЭ (3.17)

Вариационное уравнение Лагранжа [4] в этом случае примет вид

;0Э .0 ПU (3.18)

Геометрические граничные условия для вертикальных линейных

перемещений w могут быть: 1) если пластина оперта по всем граням, то w = 0; 2) если пластина заделана (защемлена) по всему контуру, то

добавляется еще одно геометрическое условие – 0

nw , где производная

взята по внешней нормали к контуру пластины, а n есть элемент нормали к контуру.

Таким образом, на вариации w налагаются условия:

1) 0w на контуре; 2) 0

nw на контуре.

Из выражения для U (3.15) имеем

41

A y

wxwwU

D 2

2

2

221

.2122

2

2

2

2

2

2

2

2dxdy

yxw

yxw

xw

yw

yw

xw

(3.19)

Интегрируя по частям, используем функцию Грина [4]:

;cos

cos

22

4

2

3

2

2

2

2

2

2

wdxdyyx

wnydSwyx

w

nydSyw

xwdxdy

yw

xw

;cos

cos

22

4

2

3

2

2

2

2

2

2

wdxdyxy

wnxdSwxy

w

nxdSxw

ywdxdy

xw

yw

;cos

cos

4

4

3

3

2

2

2

2

2

2

wdxdyxwnxdSw

xw

nxdSxw

xwdxdy

xw

xw

(3.20)

;cos

cos

4

4

3

3

2

2

2

2

2

2

wdxdyywnydSw

yw

nydSyw

ywdxdy

yw

yw

;coscos 22

4

2

32

222

wdxdyyx

wnydSwyx

wnxdSyw

yxw

dxdyyw

xyxwdxdy

yxw

yxw

42

.coscos 22

4

2

32

222

wdxdyyx

wnxdSwyxwnydS

xw

yxw

dxdyxw

yyxwdxdy

yxw

yxw

Подставляя полученные выражения в (3.19), после преобразований

получим

,coscos

cos1cos

cos1cos1

422

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

wdxdywwdSnywx

nxwx

dSywnx

yxwny

yw

xw

dSxwny

yxwnx

yw

xwU

D

где n – внешняя нормаль к контуру пластины (рис. 3.4). Из рис. 3.4 следует, что ;coscos nx ;sincos ny

;sincos sx ;sincos sy

;cossin wn

ws

wx

;sincos wn

ws

wy

.sincos2 wn

ws

nxwn

С учетом (3.22) выражение (3.19) принимает вид

(3.21)

(3.22)

43

(3.23) .2cos1sin

cos2cos

2sin2111

22

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

224

dswnyx

wxw

yw

yw

xwdsw

syxw

xw

ywwdsw

nwdxdywU

D

Заменяя производные от функции прогибов изгибающими моментами tM и крутящими моментами tH для пластины на ее контуре, получим

.

24

dswn

Hdsws

H

wdswn

DwdxdywDU

tt

Рис. 3.4

Для замкнутого контура с учетом однозначности функции tH имеем

.

wds

sHdsw

sH t

t

(3.25)

Внося (3.25) в (3.24), получаем

,4

wdss

HQdswn

HwdxdywDU ttt (3.26)

(3.24)

44

где tQ – поперечная сила на контуре пластины,

.2ws

DQt

(3.27)

Выражение (3.26) впервые получено Г.Р. Кирхгоффом [5]. С учетом (3.26) уравнение Лагранжа (3.18) принимает вид

.04

wds

sH

QdsnwHwdxdyqwD t

tt

(3.28)

Из полученного уравнения можно получить уравнение равновесия пластины С. Жермен-Лагранжа, а также условия для функции прогибов w(x,y). Поскольку w внутри контура пластины произвольна, то из (3.28) следует известное уравнение изгиба пластины qwD 4 .

Кроме того, поскольку на контуре пластины выполняются условия

0w ; 0

nw , то граничное условие

0

wds

sHQds

nwH t

tt

(3.29)

выполняется соответствующим выбором искомой функции w(x,y). Тогда в выражении (3.28) остается одно слагаемое

.04 wdxdyqwD (3.30)

Полученное уравнение (3.30) называется вариационным уравнением Б.Г. Галеркина. При решении задачи об изгибе прямоугольной пластины вариационными методами функцию вертикальных перемещений w задают выражением, представляющим собой ряд

m

mm yxwCw .,

(3.31)

45

При этом функции yxwm , выбирают так, чтобы они удовлетворяли геометрическим граничным условиям на контуре пластины 0mw ;

0

nwm .

Для вариации w получаем m

mm Cww .

Внося (3.31) и геометрические условия в (3.30), получим для определения неизвестных постоянных mC столько линейных уравнений, сколько имеется постоянных. На опертом контуре пластины .0mw Вследствие этого из (3.29) следует граничное условие на опертой части контура .0tH Это есть статическое граничное условие, получаемое из вариационного уравнения. При решении это условие можно заранее не удовлетворять. На свободной части контура вариация w отлична от нуля, поэтому из граничного условия (3.29) следуют граничные условия на свободной

части контура пластины ;0tH .0

s

HQ tt

Эти статические условия на свободной части контура получаются как следствие вариационного уравнения. Ранее эти условия были получены в виде (2.22) ;0axxM ;0axH .0axxQ При приближенном решении, когда исходят из вариационного уравнения (3.18), не надо заранее удовлетворять статические граничные условия, т.к. они выполняются автоматически. Геометрические граничные условия следует удовлетворять обязательно. При решении вариационного уравнения, когда удовлетворяются геометрические и статические граничные условия, остается уравнение (3.30). При приближенном решении изгиба пластин, основанном на вариационном уравнении Лагранжа, ограничивается свобода деформаций пластин, т.е. на нее налагаются связи. Пластина становится жесткой, и деформации по величине становятся меньше. Значения прогибов, получаемые вариационным методом, получаются меньше прогибов, получаемых при точном решении, когда удовлетворяются дифференциальное уравнение равновесия и все граничные условия.

3.4. Метод Ритца

Вариационный метод, предложенный швейцарским физиком В. Ритцем [4] в 1908 г., состоит в том, чтобы от континуальной формулировки задачи

46

перейти к дискретной, когда функционал )(wЭ заменяется функцией )( ijСЭ , зависящей от конечного числа аргументов ijС .

Задача определения экстремума функционала переходит в задачу исследования функции дискретного числа аргументов на экстремум. Задача с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования пластины переходит в задачу для системы с конечным числом степеней свободы.

Рассмотрим применение метода Ритца к решению задачи изгиба пластин.

Полную энергию пластины определяем по известному уравнению ПUЭ .

Пусть прямоугольная пластина со сторонами а , b и толщиной h оперта по контуру, нагружена равномерно распределенной нагрузкой q и сосредоточенной силой F, приложенной в точке K с координатами Fx , Fy (рис. 3.5).

y

x

Рис. 3.5

Полная энергия пластины, согласно вышеизложенному, будет равна

a b

dxdyyw

xw

yxw

yw

xwDЭ

0 02

2

2

2222

2

2

2

212

2

.,0 0

FF

a byxFwqwdxdy

(3.32) Если кромки пластины остаются прямолинейными при ее деформировании, то выражение (3.32) принимает вид

FF

a ba byxFwqwdxdydxdy

yw

xwDЭ ,

2 0 00 0

2

2

2

2

2

.

(3.33)

К

47

Функцию прогибов задаем в виде двойного ряда

m

i

n

jjiijmn yxfCyxw , ,

(3.34)

где ijC – коэффициенты, подлежащие определению; yxf ji , – функции, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям на гранях пластины. Подставляя (3.34) в (3.33), получаем полную энергию как функцию, зависящую от коэффициентов mnC . Из условия стационарности полной энергии следует

0ijСЭ . (3.35)

Имея в виду, что ijC произвольны, можно записать, что

0

ijСЭ .

(3.36) Получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ijC . Решив систему уравнений, найдем ijC . Произведение найденных значений ijC на принятые функции xfi и

yj дает возможность получить функцию w(x,y), удовлетворяющую

уравнению qwD 4 по всей поверхности пластины. Определив функцию прогибов, можно найти внутренние усилия и напряжения в любой точке пластины. При удачном выборе координатных функций yxf ji , , при условии их ортогональности система уравнений упрощается, и для любого коэффициента ijC получается формула

.

ij

ijij a

KС

(3.37)

48

Коэффициенты ijK и ija из решения системы получаются

a b

FjFijiij yxFfdydxfqD

K0 0

1 ;

(3.38)

a b

ji

a b a

iijiij dydxfdxffdydxfa0 0

22

0 0 0

222 ,

(3.39)

где if – вторая производная по x;

j – вторая производная по y. Вычислив интегралы и коэффициенты ijC , находим функцию прогибов w(x,y). Внутренние усилия в пластине находим по известным зависимостям, подставляя в них найденное выражение w(x,y).

jijiijx ffDCM ;

jijiijj ffDCM ;

;1 jiij fCDH (3.40)

ijjiijx ffDCQ ' ;

'

jijiijy ffCDQ .

Напряжения по толщине пластины находим по формулам

;123 z

hM x

x ;12

3 zh

M yy ,12

3 zh

Hxy

(3.41)

где z – расстояние от нейтральной плоскости пластины до точки, где определяем напряжения. Рассмотрим ряд случаев опирания граней пластины.

1. Все четыре грани имеют шарнирное опирание (рис. 3.6).

49

x

y

Рис. 3.6 В этом случае функцию прогибов, удерживая m и n членов разложения, задаем в виде

;sinsinb

yjaxiCw

m

i

n

jijmn

axixf isin ;

byjyj

sin ;

(3.42)

ax

aixf i

sin2

;

bj

bjyj

sin2

.

Значение коэффициента ijC получаем в виде

2

2

2

2

22

16

bj

aijiD

qСij

.

(3.43) Выражение для функции прогиба w

m

i

n

j

bn

aiij

bjny

axi

Dqw

1 12

2

2

2

26

sinsin16

.

(3.44) Полученная формула совпадает с методом Фурье; если ограничиться одним членом ряда ( 1m ; 1n ), то для maxw получаем

50

2

2

26

40

max

1

16

baD

aqw

.

(3.45) Максимальные изгибные напряжения имеют место в центре пластины при 2

ax ; 2by .

2

2

2

2

2

24

2

2

max

1

196

ba

ba

hqa

hzx

; 2

2

2

2

2

24

2

2

max

1

96

ba

ba

hqa

hzy

.

(3.46) Касательные напряжения от крутящего момента в центре пластины равны нулю.

2. Кромки пластины защемлены (рис. 3.7).

x

y

Рис. 3.7

В этом случае функцию прогибов, удерживая в разложении функции один член ряда, задаем в виде

2222 ybyxaxCw ij . (3.47)

Функция прогибов w удовлетворяет геометрическим граничным условиям

при 0x ; ax 0w ;

00

xxw ; 0

axxw ;

(3.48)

51

при 0y ; by 0w ;

00

yyw ; 0

byyw .

Для коэффициента ijC после вычислений получаем

244

4

11

233

14

ba

baD

qaC

.

(3.49) Для квадратной пластины ( ba ; 3,0 )

3

4

max0140,0

Ehqaw

.

(3.50) Если прямоугольная пластина загружена сосредоточенной силой F , расположенной в центре, то наибольший прогиб будет

3

2

max0593,0

EhFaw

.

(3.51)

3. Две грани защемлены, а две другие шарнирно оперты. Рассмотрим прямоугольную пластину, края которой 0x ; ax защемлены, а два края 0y ; by шарнирно оперты (рис. 3.8). Функцию прогибов в первом приближении задаем в виде

byaxxCw sin22

11 .

(3.52) Геометрические граничные условия на кромках при 0x ; ax :

0w ; 022sin 2211,0

axxaxxbyС

xw

axx .

(3.53)

52

x

y

Рис. 3.8 Как видно, геометрические граничные условия на кромках пластины выполняются. После интегрирования находим значение коэффициента

DqC 3072,011 .

Функция прогибов имеет вид

byaxx

Dqaw sin3072,0 22

4 .

(3.54)

Прогиб в центре пластины

Dqaww bxax

4

2,2max 0192,0

.

(3.55) Полученное значение maxw совпадает с решением по методу Фурье.

Зная выражение функции прогибов во всех приведенных случаях, можно найти xM , yM , H , xQ , yQ в любой точке пластины, а также напряжения x , y , xy .

3.5. Метод Бубнова-Галеркина

Как было ранее отмечено, из вариационного уравнения Лагранжа при выполнении геометрических и статических граничных условий следует уравнение

04 Dqw .

(3.56)

По методу Б.Г. Галеркина [6] функцию перемещений yxw , задаем в виде

53

m

i

n

jjiijmn yxfCw

1 1 ,

(3.57)

где ijC – коэффициенты, подлежащие определению; xf i , yj – функции, удовлетворяющие геометрическим и статическим условиям на гранях пластины. Подставляя yxw , в уравнение (3.56), получаем функцию - "невязку", отличную от нуля:

.04 xyФDqwmn

Требуя, чтобы работа "невязки" на возможных перемещениях xf i ,

yj по всей площади пластины равнялась нулю, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ijC .

a b

jimn dxdyyxfDqw

0 0

4 0 .

(3.58)

Число линейных уравнений равно nm . При удачном выборе аппроксимирующих функций xf i , yj можно ограничиться одним членом ряда

yxfCw jiij . (3.59)

Подставляя (3.59) в (3.58), получаем одно уравнение для определения параметра ijC :

a b

ji dxdyyxfDq

yw

xxw

xw

0 04

4

22

4

4

402 .

После упрощений имеем

54

b

jj

a

ii

b

j

a

iIV

i

b

j

a

i

ij

dyyydxxfxfdyydxxfxf

dyydxxfDq

C

000

2

0

00

2

bIVjj

a

i dyyydxxf00

2 ,

(3.60)

где 2

2

dxfd

xf ii ;

4

4

dxfd

xf iIVi ;

2

2

dy

dy j

j

; 4

4

dy

dy jIV

j

.

После определения ijC находим функцию прогибов yxw , . Тем самым можем найти внутренние усилия и напряжения в любой точке пластины. Рассмотрим несколько примеров расчета пластины методом Бубнова-Галеркина.

1. Пластина, шарнирно опертая по всем граням, нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 3.9).

q=const x

y

Рис. 3.9

Граничные условия опирания:

0x : 0w ; 0xM ; 02

2

xw ;

ax : 0w ; 0xM ; 02

2

xw ;

0y : 0w ; 0yM ; 02

2

yw ;

(3.61)

55

by : 0w ; 0yM ; 02

2

yw .

Функцию прогибов задаем в виде

byj

axiCw ijij

sinsin .

(3.62)

Найдем значения ijw и ее вторых производных на гранях пластины:

0x : b

yja

iCw ijij sin0sin ;

b

yjaxi

aiC

x

wij

ij sinsin2

2

2

;

002

2

x

ij

x

w;

ax : b

yjaaiCw ijij

sinsin ;

0sinsin2

2

2

byj

aai

aiC

x

wij

ij ;

0y : bj

axiCw ijij

0sinsin ;

b

yjaxi

bj

y

wij sinsin

2

2

2

;

002

2

y

ij

y

w;

by : bbi

axCw ijij

sinsin ;

0sinsin2

2

2

byi

axi

bjC

y

wij

ij .

Таким образом, функция ijyxw , удовлетворяет на гранях пластины и геометрическим, и статическим граничным условиям. Вычисляя производные функций xf i и yj , получим

(3.63)

56

ax

aixf i

sin2

;

ax

aixf IV

i sin

4

;

(3.64)

by

bjyj

sin

2

;

by

bjyIV

j

sin4

.

После подстановки производных в (3.60) и интегрирования получаем

byj

axi

ijjbaiD

qaCij

sinsin16

22

226

4

.

(3.65) Функция прогибов при удержании в ее разложении одного члена ряда примет вид

byj

axi

ijjbaiD

qawij

sinsin16

22

226

4

.

(3.66)

Поскольку система линейных уравнений (3.58) распадается по отдельным гармоникам, то, удерживая в разложении (3.57) m членов ряда в направлении x и n членов ряда в направлении y , для функции прогибов получим

m

i

n

jmn

ijjbai

byj

axi

Dqaw

1 1 22

26

4 sinsin16

.

(3.67)

Функция прогибов, полученная по методу Галеркина, совпадает с выражениями yxw , , полученными по методу Фурье и методу Ритца. Функция, которая в методе Бубнова-Галеркина удовлетворяет только геометрическим граничным условиям, не всегда приводит к точному решению. Зададим функцию прогибов в виде

57

ybyaxxCw 11 ,

(3.68)

где при вычислении С11 по формуле (3.60)

xaxxf 1 ; axxf II 21 ; 01 xf IV ; ybyy 1 ; byyII 21 ; 01 yIV . Эта функция удовлетворяет на контуре пластины только геометрическим граничным условиям:

0x : 000 byyaw ; 0022

2

a

xwM x ;

ax : 0 byyaaaw ; 022

2

aа

xwM x ;

0y : 000 baxxw ; 0022

2

baxx

ywM y ;

by : 0 bbbaxxw ; 022

2

bbaxx

ywM y .

Определяем 11C по формуле (3.60):

53524

4224

22

11bbaaD

bqaC .

(3.70)

Прогиб пластины определяется

53524

,4224

22

bbaaD

byaxxybqayxw .

(3.71)

Определим максимальный прогиб для центра квадратной пластины, если ab ; 2

ax ; 2by :

(3.69)

58

Dqaw

4

max00356,0

.

(3.72) Полученный результат отличается от точного решения на 12,8 %. Очевидно, что выражение (3.68) не подходит для решения данной задачи, т.к. не выполняются статические граничные условия.

2. Пластина, защемленная по контуру.

Рассмотрим пластину под действием равномерно распределенной нагрузки q , грани которой защемлены (рис. 3.10).

x

y

q=const

Рис. 3.10

Приближенное выражение прогибов выражаем в виде ряда

byj

axiCw

m

i

n

jijmn

2cos12cos11 1

;

(3.73)

a

xixf i2cos1 ;

byjyj

2cos1 .

Граничные условия на кромках пластины:

:0x 02cos102cos11 1

byj

aiCw

m

i

n

jijmn

;

:ax 02cos12cos11 1

byj

aaiCw

m

i

n

jijmn

;

b

yjaxiC

axw m

i

n

jij

mn 2cos1sin21 1

;

02cos1sin21 1

byj

aaiC

axw m

i

n

jijax

mn ;

59

02cos10sin21 1

0

byj

aiC

axw m

i

n

jijx

mn ; (3.74)

002cos12cos11 1

0

b

ja

xiCwm

i

n

jijymn

;

02cos12cos11 1

b

bja

xiCwm

i

n

jijbymn

;

02cos102sin21 1

0

axi

bjC

byw m

i

n

jijy

mn ;

02cos12sin21 1

axi

bbjC

byw m

i

n

jijby

mn .

Таким образом, геометрические граничные условия на кромках пластины выполняются. Для определения коэффициентов ijC необходимо решить систему уравнений (3.74). В первом приближении принимаем

by

axCw 2cos12cos11111 ;

(3.75)

axxf 2cos11 ;

byy

2cos11 .

Используя (3.60), находим

b

jj

a

ii

b

j

a

iIV

i

b

j

a

i

ij

dyyydxxfxfdyydxxfxf

dyydxxfDq

C

000

2

0

00

2

bIVjj

a

i dyyydxxf00

2 ,

(3.76)

где a

xa

xf i 2sin2

; b

yb

yj

2sin2

;

60

a

xa

xf i 2cos2 2

;

by

byj

2cos2 2

;

a

xa

xf IVi

2cos2 4

;

by

byIV

j

2cos2 4

.

Подставляя выражение производных функции в 11C и проводя интегрирование, получаем

4

4

2

26

4

11

323

14

ba

baD

qaC

.

(3.77)

Функция прогибов принимает вид

4

4

2

26

4

11

323

2cos12cos1

4ba

ba

by

ax

Dqaw

.

(3.78)

Максимальный прогиб в центре квадратной пластины 2ax ,

2by :

Dqaw

6

4

max 8 .

Полученное значение совпадает с решением, полученным по методу

Ритца. 3.6. Метод Канторовича-Власова

Л.В. Канторович [7] предложил метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла, что позволило двумерную задачу свести к одномерной.

В.З. Власов [8] метод Канторовича применил к решению задачи об изгибе пластин.

61

Для сведения двумерной задачи об изгибе пластин функция прогибов w(x,y) представляется в виде суммы произведений функций, одна из которых известна, а функция другого направления определяется из решения дифференциального уравнения. Уравнения равновесия для пластин В.З. Власовым получены из вариационного уравнения Лагранжа. В отличие от метода Бубнова-Галеркина, где интегрирование дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, в методе Канторовича-Власова интегрирование дифференциального уравнения в частных производных заменяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим пластину, две грани которой имеют шарнирное (рис. 3.11), а две другие – произвольное опирания:

при ;0x ax ;0w 0

xw ; 0

2

2

xw .

y

x

Рис. 3.11

Представим прогиб пластины в виде

1mmm xfyУw ,

(3.79)

где yУ m – функция, которую необходимо найти. В качестве функции направления x выбираем

a

xmxf msin .

(3.80)

Выбранная функция удовлетворяет граничным условиям на гранях 0x и ax .

62

Функция прогибов в этом случае принимает вид

1sin

mm a

xmyУw .

(3.81)

Распределенную нагрузку yxq , представим в виде ряда

1sin,

mm a

xmyqyxq .

(3.82)

Составим уравнение Бубнова-Галеркина при заданных w и q :

0sin,

0

4 dxa

xmyxqwDa .

(3.83) Расписывая оператор Лапласа, получаем

a

mmm

IVm a

xmyУa

myУa

myУD0 1

4

44

2

22sin2

0sinsin1

dx

axm

axmyq

m

.

(3.84)

После интегрирования получим

024

44

2

22

1

mmm

IVm

mqyУ

amyУ

amyУD .

(3.85)

Поскольку yУm линейно независимы, то

D

yqyУ

amyУ

amyУ m

mmIVm

4

44

2

222 . (3.86)

63

Решая данное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим функцию yУ m при заданных граничных условиях на гранях пластины

2by .

Определив функцию yУ m , можно определить функцию прогибов yxw , , а тем самым – внутренние усилия и напряжения в пластине.

В качестве примера рассмотрим квадратную защепленную по контуру, загруженную равномерно распределенной нагрузкой q пластину (рис. 3.12).

Зададим функцию прогибов w в виде

xfyУw , (3.87)

где a

xxf 2cos1 .

y

x

Рис. 3.12

Функция xf удовлетворяет геометрическим граничным условиям опирания пластины на гранях ( 0x ; ax ).

0x : 002cos1

ayУw ;

ax : 02cos1

aayУw ;

0x : 002sin2

aaxw ;

ax : 02sin2

aa

axw .

(3.88)

64

Подставляя функцию прогибов в уравнение Бубнова-Галеркина, получаем

aIV

axyУ

ax

axyУD

0

2 2cos222cos1

02cos12cos2 4

dx

axq

ax

axyУ

.

(3.89)

Производя интегрирования, получаем линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами

0322

312

32 0

42

Dq

yУa

yУa

yУ IV . (3.90)

Обозначим 2

2 231

ap . Тогда уравнение (3.90) примет вид

DqyУpyУpyУ IV

3232 42 .

(3.91)

Находим четыре корня характеристического уравнения

i

aaz 698,0355,12,1 ;

i

aaz 698,0355,14,3 .

Общее решение уравнения (3.90) отыскиваем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения, зависящего от вида правой части:

ay

aychC

ay

aychCyУ 698,0sin355,1698,0cos355,1 21

Dqa

ay

aychC

ay

aychC

4

4

438

698,0sin355,1698,0cos355,1

.

(3.92)

65

Поскольку функция yУ в силу выбора осей координат симметричная, то следует 032 СС . Тогда получаем

.8

698,0sin355,1

698,0cos355,1

4

4

4

1

Dqa

ay

aychC

ay

aychCyУ

Постоянные 1С и 2С находим из граничных условий

02cos12

axyУw ay ; 02cos1

2

axyУ

dydw

ay ;

D

qaÑ6

4

1 8501,0

;

DqaÑ

6

4

4 80057,0

.

(3.94) Подставляя найденные значения 1С и 4С в (3.93), получаем

ay

aych

DqayÓ

698,0cos355,1501,018 6

4

ax

ay

aych 2cos1698,0sin355,10057,0 .

(3.95)

Максимальный прогиб в центре пластины ( 2ax ; 0y ) равен

Dqaw

4

max 00129,0 .

Найденное значение максимального прогиба с точностью до 1 % совпало с решениями, полученными методами Ритца и Бубнова-Галеркина. 3.7. Метод конечных элементов Одним из вариантов вариационных методов, применяемых при расчетах пластин, является метод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрим

(3.93)

66

прямоугольную пластину под действием произвольной поперечной нагрузки q (рис. 3.13). Разобьем пластину на прямоугольные элементы со сторонами a и b .

x

y

z Рис. 3.13

В каждом узле задаем по три перемещения: одно линейное w и два

угловых (xw и

yw ).

Прогибы и углы поворота в узловых точках для прилегающих к узлу конечных элементов равны между собой.

Перемещение в узлах конечного элемента обозначим через 1z , 2z , …, 12z (рис. 3.14).

Прямоугольный конечный элемент ABCD (см. рис. 3.13) имеет двенадцать степеней свободы перемещений.

В соответствии с этим функцию перемещений между узловыми точками зададим полиномом двенадцатой степени:

37

265

24321, xyxyxyxyxw

312

311

310

29

28 xyyxyxyyx . (3.96)

Перемещение i -го узла при этом будет равным

3

72

652

4321, iiiiiiii xyyxxyxyxw 3

123

113

102

92

8 iiiiiiiii yxyxyyxyx . (3.97)

67

x

y

z, w

Рис. 3.14

Углы поворота i -го узла:

;33

22

212

311

210

92

8653

iiii

iiiiii

yxxy

yxxyxyw

(3.98)

.3

232

212

211

29

82

7542

iiii

iiiiii

yyxy

yxxxxxw

На рис. 3.14 показаны положительные направления векторов перемещения узловых точек 1z , …, 12z . Для узловых перемещений можно получить выражения

0,01 wz ; 0,02 xwz

; 0,03 ywz

;

0,4 awz ; 0,5 axwz

; 0,6 aywz

;

bawz ,7 ; baxwz ,8

; baywz ,9

;

bwz ,010 ; bxwz ,011

; bywz ,012

.

(3.99)

68

Функцию yxw , можно представить в виде полиномов Эрмита [8]

yЭxЭcyЭxЭbyЭxЭbyЭxЭbyЭxЭbyЭxЭa

yЭxЭayЭxЭayЭxЭaw

110111021222012121

021112011111020222

010221020112010111

.120222110221120112 yЭxЭcyЭxЭcyЭxЭc (3.100)

Полиномы Эрмита имеют вид

3

323

0123

axaxaxЭ

; 3

32

0223

axaxxЭ

;

2

322

112a

xaxxaxЭ ;

2

32

122

axaxxЭ

;

3

323

0123

bybybyЭ

; 3

32

0223

bybyyЭ

;

2

322

112b

ybyybyЭ ;

2

32

122

bybyyЭ

.

Используя свойства полиномов Эрмита, получаем 1001 Э ;

0000 121102 ЭЭЭ ; 0000 120201

xЭ

xЭ

xЭ

; 1011

xЭ

;

0110201

ax

Эa

xЭ

ax

Э; 112

ax

Э.

Заменяя x на y , a на b , получим выражения yЭ j0 , yЭ j1 и их производных по y при значениях by . Из условий (3.99) с учетом свойств функций Эрмита получаем

1110,0 azw ; 1120,0 bzxw

; 1130,0 czyw

;

2140, azaw ; 2150, bzaxw

; 2160, czayw

;

227, azbaw ; 228, bzbaxw

; 229, czbayw

;

1210,0 azbw ; 1211,0 bzbxw

; 1212,0 czbyw

.

(3.101)

(3.102)

69

Функцию прогибов представим через перемещения iz :

yЭxЭzyЭxЭzyЭxЭzyЭxЭzyЭxЭzyЭxЭz

yЭxЭzyЭxЭzyЭxЭzw

120290212802027

110260112501024

110130111201011

.12029021280202 yЭxЭzyЭxЭzyЭxЭ (3.103)

Вводим функции yxi , :

yЭxЭ 01011 ; yЭxЭ 01112 ; yЭxЭ 11013 ; yЭxЭ 01024 ; yЭxЭ 01125 ; yЭxЭ 11026 ; yЭxЭ 02027 ; yЭxЭ 02128 ; yЭxЭ 12029 ; yЭxЭ 020210 ; yЭxЭ 021211 ; yЭxЭ 120212 .

Функцию прогибов выразим через yxi , , тогда узловые перемещения будет определять выражение

12

1,

iii yxzw .

(3.105)

Выражение (3.105) обеспечивает условие непрерывности w , xw ,

yw

между узлами по линии контакта элементов. Выразим узловые усилия iR через узловые перемещения, используя принцип возможных перемещений. Уравнение Лагранжа для равновесия пластины через выражение перемещения iz для отдельного элемента имеет вид

UzR ii . (3.106)

Выражение потенциальной энергии конечного элемента пластины при его изгибе берем в виде

dxdyy

wx

wyxwwDU

a b

0 0

2

2

2

222 12

2 .

(3.107)

(3.104)

70

Используя (3.105), находим

12

1

22

iiizw ;

ji j

iji zzw 212

1

12

1

222

;

12

1

22

i

ii yx

zyx

w ;

(3.108)

yxyxzz

yxw j

i j

iji

212

1

12

1

222;

yxyxzz

yw

xw j

i j

iji

212

1

12

1

2

2

2

2

2.

Потенциальная энергия изгиба принимает вид

dxdyyxyxyx

zzDUa b

jijiji

i jji

0 0

2

2

2

22222

12

1

12

112

2

.

Обозначим

dxdyyxyxyx

zzDKa b

jijiji

i jjiij

0 0

2

2

2

22222

12

1

12

112

.

Для потенциальной энергии элемента пластины получаем выражение

12

1

12

121

i jijji KzzU .

(3.111)

Находим первую вариацию энергии:

112,1122,121,11 ... zKzKzKzU

(3.109)

(3.110)

71

...... 212,2122,221,21 zKzKzKz 212,2122,1221,121 1... zKzKzKz . (3.112)

Из уравнения (3.106), учитывая, что вариации 2z произвольны, определяем iR :

12

1jijii KzR .

(3.113)

Связь между узловыми усилиями элемента и перемещениями получаем в матричной форме

zKR , (3.114)

где R – вектор-столбец узловых усилий; K – матрица жесткости конечного элемента пластины; z – вектор-столбец узловых перемещений.

Коэффициенты jiK , матрицы жесткости представляют собой усилия в направлении i от единичного перемещения в направлении j . Для всех узловых точек необходимо составить уравнение равновесия. В уравнение равновесия войдут эквивалентные внешние силы и внутренние усилия iR . Согласно принципу возможных перемещений работу, совершаемую узловыми эквивалентными силами на возможных узловых перемещениях

iz , приравняем работе внешней нагрузки yxq , на перемещении w . Для определения узловых сил iF имеем уравнение

dxdywyxqqFa b

i jii

0 0

12

1

12

1, ,

(3.115)

где

12

1jii zw .

Из выражения (3.115) следует

dxdyyxqFa

i

b

i 0 0

, .

(3.116) В случае если в пределах элемента qxyq = const, получаем

72

dxdyqFa b

ii 0 0 .

(3.117)

Учитывая, что функции i выражены через полиномы Эрмита, получаем

20

01adxxЭ

a ;

2002

adxxЭa

;

12

2

011

adxxЭa

; 12

2

012

adxxЭa

;

20

01bdyyЭ

b ;

2002

bdyyЭb

;

12

2

011

bdyyЭb

; 12

2

011

bdyyЭb

.

Учитывая выражение i , через ijЭ найдем интегралы dxdya b

i 0 0 , а

затем iF по (3.117):

41qabF ;

24

2

2bqaF ;

24

2

3qabF ;

44qabF ;

24

2

5bqaF ;

24

2

6qabF ;

47qabF ;

24

2

8bqaF ;

24

2

9qabF ;

410qabF ;

24

2

11bqaF ;

24

2

12qabF .

В матричной форме последние соотношения можно записать в виде

661

661

661

661

4babababaqabF T .

(3.120)

(3.118)

(3.119)

73

Чтобы определить узловые перемещения iz для каждого узла, составляем уравнения равновесия. В эти уравнения входят усилия iR и эквивалентные узловые нагрузки iF . Внутренние усилия iR связаны с узловыми перемещениями iz . Полученные соотношения для iR и iF относятся к отдельному элементу в местной системе координат. Для определения матрицы внутренних усилий R всей пластины необходимо найти матрицу жесткости всей пластины K , а это возможно путем перехода от местной к общей системе координат. Это выполняется с помощью матрицы индексов. Решая систему уравнений, определяем узловые перемещения iz и функцию w . По известным соотношениям определяем внутренние усилия в пластине и напряжения. Для пластины методом конечных элементов создано множество стандартных программ, составление которых представляет значительные математические трудности. Для решения простых задач изгиба пластин целесообразно применять вариационные методы. Метод конечных элементов рационально применять для решения задач изгиба пластин со сложными конфигурациями (подкрепления, отверстия) и сложными граничными условиями (частично свободный край, неоднородные условия закрепления).

3.8. Пример расчета пластины, работающей в упругой стадии, методом конечных элементов Рассмотрим работу прямоугольной (рис. 3.15) пластины, защемленной

по всем четырем ее граням. Поверхность пластины разбита на шестнад-цать конечных элементов, имеющих форму прямоугольника со сторонами а и b.

Рис. 3.15

74

В соответствии с принятыми в настоящем пособии положениями будем считать, что каждый конечный элемент имеет двенадцать степеней свободы – по три в каждом узле (рис. 3.16). Для данного примера примем обход узлов против хода часовой стрелки, а начало локальной системы координат хоу – в узле, совпадающем с началом этой системы координат.

Примем за положительные такие направления векторов углов поворота, при которых они вращаются против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления рассматриваемой оси. При этом учитывались известные дифференциальные зависимости

yw

х

и xw

y

.

Рис. 3.16

Из анализа рис. 3.16 следует, что принятый прямоугольный элемент

имеет двенадцать степеней свободы и поэтому в качестве аппроксимирующей функции, описывающей поверхность прогибов срединной поверхности конечного элемента, можно принять выражение (3.96).

Коэффициенты в выражении (3.96) можно находить с помощью функций Эрмита так, как это показано в предыдущем подразделе. Однако такой приём определения коэффициентов не является единственным. Рассмотрим прием, в соответствии с которым приравняем выражение (3.96) соответствующему перемещению zi ( )12,...,1i , учтя координаты расположения каждого перемещения, и найдем коэффициенты , выраженные через перемещения z. При этом перемещения 741 ,, zzz и 10z представляют собой линейные вертикальные перемещения (см. рис. 3.16) из плоскости конечного элемента, а остальные – угловые перемещения соответственно в каждом из четырёх узлов относительно осей х и у.

Для определения угловых перемещений необходимо, согласно дифференциальной зависимости между линейными и угловыми

х

у

0

75

перемещениями, взять первые частные производные от выражения (3.96) по координатам х и у соответственно.

312

211

298

27542 3232 yyxyxyxyx

xw

. (3.121)

212

311

2109

28653 3322 xyxyxyxyx

yw . (3.122)

Тогда система уравнений относительно коэффициентов примет вид ;11 z ;32 z

;23 z

;37

24214 aaaz

;311

28535 aaaz

;32 27426 aaz

;212

311

310

29

28

37

265

243217

abbabab

baabababaz

;332 312

211

29

275428 bbababaz

;3322 212

211

2109

286539 ababababaz

;310

263110 bbbz

;312

295211 bbbz

.32 2106312 abz

Из анализа полученной системы (3.123) линейных алгебраических

уравнений относительно неизвестных, которыми являются искомые коэффициенты , очевидно, что она распадается на ряд независимых систем уравнений. Так, первые три из них сразу определяют значения через перемещения z. Четвёртое и шестое представляют собой систему уравнений второго порядка относительно искомых 4 и 7, а десятое и двенадцатое – аналогичную систему относительно 6 и 10 соответственно. После подстановки найденных значений в оставшиеся уравнения можно найти остальные значения . Определённые таким образом коэффициенты представлены в выражениях (3.124).

После подстановки найденных значений коэффициентов в аппроксимирующую функцию поверхности прогибов (3.96) она принимает вид выражения (3.125).

Проведя в этом выражении раскрытие скобок и группировку слагаемых относительно перемещений z, получают выражение, с помощью

(3.123)

76

которого ведётся дальнейший расчёт пластины. В выражении (3.126) символом Ф обозначены коэффициенты, являющиеся функциями координат х и у и стоящие перед неизвестными перемещениями z. Они приведены в системе выражений (3.127).

Используя выражение (3.127), представляющее собой функцию прогибов конечного элемента, можно находить параметры матрицы жёсткости. Для этого запишем выражение (3.107), развернув в нём дифференциальный оператор Лапласа ( w2 ) второго порядка.

.2222

;2222

;22

;332323

;23323

;22

;323

;

;323

;;;

211

310

28

37

25

34

22

31

12

212

311

29

37

26

34

23

31

11

211

310

22

31

10

112

108275

242

21

9

12210

29

276

243

21

8

26

34

23

31

7

1110221

6

12107543215

6243

21

4233211

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

baz

baz

baz

baz

baz

baz

baz

baz

bz

bz

bz

bz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

baz

baz

baz

abz

baz

abz

baz

az

az

az

az

bz

bz

bz

bz

bz

abz

abz

az

abz

bz

az

abz

az

az

az

az

zzz

az

abz

xyaz

az

az

az

xyzxzzyxw 216243

212

231323

,

baz

abz

baz

abz

baz

yxaz

az

az

az

x

bz

bz

bz

bz

yb

zabz

abz

az

abz

bz

276

243

212

26

34

23

313

1110221212107543

332322

323

(3.124)

77

2

108275

242

21212

210

29 33232323

abz

abz

abz

abz

abz

abz

abz

xyabz

baz

baz

ba

zba

zba

zba

zyx

bz

bz

bz

bz

yabz

26

34

23

313

211

310

22

31311 2222

37

25

34

22

313

212

311

29

37 22222

abz

abz

abz

abz

abz

xyba

zba

zba

zba

z

2

113

102

8 2abz

abz

abz

.

(3.125)

121211 ....),( zФzФyxw . (3.126)

78

.2

;

;222333

;

;

;2233

;

;2

;223323

;22

;22

;222332331

2

32

12

2

3

2

322

11

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

10

2

32

9

2

32

8

3

3

3

3

2

2

2

2

7

2

32

2

32

6

2

32

5

3

3

3

3

2

2

2

2

2

3

2

2

4

2

32

2

32

3

2

3

2

322

2

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

1

bayx

abyx

bxyФ

abxy

by

abxy

byФ

abxy

bayx

by

abxy

bayx

by

abxyФ

bayx

abyxФ

abxy

abxyФ

abxy

bayx

abxy

bayx

abxyФ

bayx

abyx

ax

axФ

abxy

abxy

axyФ

abxy

bayx

abxy

bayx

bax

abxy

axФ

bayx

abxy

ax

bxy

axxФ

abxy

by

abxy

by

axyyФ

abxy

bayx

by

abxy

bayx

ax

by

аbху

ахФ

a bdxdy

yw

xw

yxw

yw

xwDU

0 02

2

2

2222

2

2

2

212

2 .

(3.128) Определим потенциал внешних нагрузок.

(3.127)

79

a b n

iFFi yxwFdxdyyxwyxqA

0 0 1,,, .

(3.129) Полный потенциал конечного элемента, как известно, представляет

собой сумму двух последних выражений, т.е. AUП . Согласно вариационному принципу Лагранжа, беря первую вариацию

Ï от полного потенциала конечного элемента по искомым перемещениям iz , получим систему алгебраических уравнений относительно искомых

перемещений iz . Процедурно первая вариация соответствует взятию первой производной. Тогда в соответствии со сказанным должно выполняться условие

0 RzКzП

i,

(3.130)

где К матрица реактивных усилий конечного элемента (матрица жесткости); z вектор-столбец искомых узловых перемещений; R вектор-столбец узловых усилий, создаваемых внешней нагрузкой.

Элементы матрицы реактивных усилий jiK , , которые в дальнейшем будем обозначать символом jir , , представляют собой реактивные усилия в условной связи в направлении i-го перемещения от перемещения 1jz . Элементы матрицы реактивных усилий jir , определяют исходя из

соотношения jii

rzU

, . В соответствии с этим получено выражение для

определения элементов jir , матрицы реактивных усилий:

b bjijiji

ji yxФ

yxФ

y

Ф

yФ

x

Ф

xФ

Dr0 0

22

2

2

2

2

2

2

2

2

, 12

dxdyyФ

x

Ф

y

Ф

хФ

v ijji

2

2

2

2

2

2

2

2.

(3.131)

После взятия соответствующих производных и подстановки их в выражение (3.131) получают элементы jir , локальной матрицы жесткости, описываемые формулами (3.132).

80

Вектор-столбцы iR узловых усилий, создаваемых внешней нагрузкой согласно выражению (3.113) для рассматриваемого примера, получились равными: от равномерно распределенной по всей поверхности конечного элемента нагрузки интенсивностью q выражение (3.133) и от сосредоточенной силы F , приложенной в центре поверхности конечного элемента, выражение (3.134).

81

.2571244

;15212

32

;30

123

;30

1232

;15212

34

;30

1232;

3012

3

;15212

32;

;15212

34

;110

112

;10

1122

;2571242

;10

112

;10

112

;2571222

;10

1122

;110

112

;271224

;110

1122

;110

1122

;2571244

3310,107,74,4

9,612,3

12,69,312,96,3

12,129,96,63,3

8,511,211,58,2

11,85,212,119,86,53,2

11,118,85,52,2

29,410.37,612,1

210,28,47,511,1

337,410,1

212,410,67,39,1

210,511,47,28,1

3310,47,1

24,312,710,96,1

24,210,811,75,1

3310,74,1

212,109,76,43,1

211,108,75,42,1

3310.107,74,41,1

ababba

abrrr

ba

abrr

ba

abrr

ba

abrr

ba

abrrrr

ab

barr

аb

barr

ab

barrrrrr

ab

barrrr

bbabrrrr

abarrrr

ababba

abrr

babrrrr

abarrrr

ababba

abrr

babrrrr

aabarrrr

ababba

abrr

bbabrrrr

aabarrrr

ababba

abrrrr

(3.132)

82

661

661

661

661

4ababababqabR Т .

(3.133)

441

441

441

441

4ababababFR T .

(3.134) Для построения глобальной матрицы жесткости используется так

называемая структурная матрица, в качестве которой используется матрица индексов. Использование такой матрицы позволяет учитывать не только различные условия закрепления пластины, но и отверстия, если таковые имеются на поверхности рассчитываемой пластины.

На рис. 3.17 показана схема рассматриваемой в данном примере пластины с нумерацией ее узлов и конечных элементов.

Рис. 3.17

Порядок матрицы индексов в общем виде содержит число столбцов,

равных числу принятых для конечного элемента неизвестных (в данном случае 12), а число строк равно произведению числа неизвестных на число конечных элементов. Однако в таком виде матрицу индексов формировать нерационально.

Согласно принятому разбиению (см. рис. 3.17) на конечные элементы рассматриваемой пластины, порядок глобальной матрицы жесткости равен произведению числа степеней свободы одного узла конечного элемента (в данном случае 3) на число узлов в принятом разбиении на конечные элементы (в данном случае 25), что составило 75. С учетом условий закрепления рассматриваемой пластины, когда все ее грани защемлены, порядок глобальной матрицы жесткости снижается до 27.

Ниже приводится матрица индексов для пластины, изображенной на рис. 3.17.

83

В соответствии с приведенной матрицей индексов (табл. 3.1) элементы глобальной матрицы жесткости будут представлять собой сумму соответствующих элементов локальной матрицы жесткости. Так, например, для узла №12 некоторые элементы

,sr глобальной матрицы жесткости будут представлять собой следующие суммы:

VIIVIIIIII rrrrr 10,107,71,14,4*

16,16 ; VIIVIIIIII rrrrr 11,108,72,15,4*

17,16 и т.д.

Таблица 3.1

Индексы узловых перемещений в локальной системе координат i,j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Номер конечн.

эл-та Индексы узловых перемещений в глобальной системе координат m,n I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 II 4 5 6 13 14 15 16 17 18 7 8 9 III 13 14 15 19 20 21 22 23 24 16 17 18 IV 19 20 21 25 26 27 28 29 30 22 23 24 V 31 32 33 34 35 36 4 5 6 1 2 3 VI 34 35 36 37 38 39 13 14 15 4 5 6 VII 37 38 39 40 41 42 19 20 21 13 14 15 VIII 40 41 42 43 44 45 25 26 27 19 20 21 IX 46 47 48 49 50 51 34 35 36 31 32 33 X 49 50 51 52 53 54 37 38 39 34 35 36 XI 52 53 54 55 56 57 40 41 42 37 38 39 XII 55 56 57 58 59 60 43 44 45 40 41 42 XIII 61 62 63 64 65 66 49 50 51 46 47 48 XIV 64 65 66 67 68 69 52 53 54 49 50 51 XV 67 68 69 70 71 72 55 56 57 52 53 54 XVI 70 71 72 73 74 75 58 59 60 55 56 57

Анализ представленных сумм показывает, что они являются

идентичными для всех внутренних узлов. Нижние индексы являются соответствующими индексами элементов локальной матрицы жесткости, а верхние соответствуют номерам конечных элементов, сходящихся в этом узле.

Сформированная таким образом глобальная матрица жесткости *

,*

nmrR

получается квазидиагональной.

Вектор-столбец *FR

свободных членов от действия заданной внешней нагрузки в глобальной системе координат формируется по такому же принципу для каждого узла.

84

В результате решения любым известным способом системы линейных алгебраических уравнений 0** Fk RZR

определяют значения

элементов вектора kZ

искомых перемещений для всех стыковых узлов конечных элементов рассчитываемой пластины. Индекс k соответствует порядку последней системы линейных алгебраических уравнений. В рассматриваемом примере для пластины, все грани которой защемлены, число k = 27.

Программная реализация изложенного алгоритма была реализована для пластины с размерами граней по 40 см и толщиной 1 см. Коэффициент Пуассона = 0,3; а модуль упругости Е = 2,1106 кг/см2. Результаты определения перемещений Zi сведены в табл. 3.2, общим множителем к

данным которой является отношение 54

10Daq .

Таблица 3.2

Перемещения Узлы линейные угловые

xw

угловые yw

1 50.23 6.26 6.26 2 83.83 10.27 0 3 50.23 6.26 6.26 4 83.83 0 10.27 5 140.33 0 0 6 83.33 0 10.27 7 50.23 6.26 6.26 8 83.33 10.27 0 9 50.23 6.26 6.26

По данным табл. 3.2 построено поле (эпюры) линейных перемещений

(прогибов), представленное на рис. 3.18. Аналогичные эпюры можно построить и для угловых перемещений.

Определение значений внутренних усилий, изгибающих М и крутящих Н моментов в узлах, в которых стыкуются конечные элементы, осуществляют на основании известных формул из теории пластин.

85

Рис. 3.18 Применительно к МКЭ, когда найдены значения дискретных значений

перемещений Zi, эти формулы для локальной системы координат принимают следующий вид:

для изгибающего момента Мх:

xy

bay

bax

aaDМ х 3232

126126 Z1 +

xy

bay

abх

аа 226464 Z3+

+

xy

bay

bах

аа 3232126126 Z4 +

xy

bay

abx

aa 226262 Z6 +

+

xy

bay

ba 32126 Z7 +

xy

bay

ab 262 Z9 +

xy

bay

ba 32126 Z10 +

+

122

64 Zxyba

yab

+

xy

aby

bx

abb 3322121266 Z1 +

+

xy

aby

bx

abb 226644 Z2 +

xy

abx

ab 32126 Z4 +

+

xy

abx

ab 264 Z5 +

xy

abx

ab 32126 Z7 +

xy

abx

ab 262 Z8 +

+

xy

aby

bx

abb 3322121266 Z10 +

11222

66622 Zxyab

ybbabb

;

для изгибающего момента Му:

xy

abx

aby

bbDМ у 3232

126126 Z1+

xy

abx

aby

bb 226464 Z+

+

xy

abх

ab 32126 Z4 +

xy

abx

ab 264 Z5 +

xy

abx

ab 32126 Z7 +

86

+

xy

abx

ab 262 Z8 +

xy

aby

bx

abb 3322121266 Z10 +

+

1122

6622 Zxyab

yb

xabb

+

xy

bay

bax

aa 3232126126 Z1 +

+

xy

bay

abх

аа 226464 Z3 +

xy

bay

bах

аа 3232126126 Z4 +

+

xy

bay

abx

aa 226262 Z6 +

xy

bay

ba 32126 Z7 +

xy

bay

ab 262 Z9 +

+

xy

bay

ba 32126 Z10 +

122

64 Zxybaab

;

для крутящего момента Н:

1

23

2322

666611 Zyab

xba

yab

xbaab

DН +

+

2

2341 y

aby

abaZ2 +

2

2341 xba

xabb

Z3 +

+

2

32

32266661 y

abx

bay

abx

baabZ4 +

2

2341 y

aby

abaZ5 +

+

2

232 xba

xab

Z6 +

2

32

32266661 y

abx

bay

abx

baabZ7 +

+

2

232 y

aby

abZ8 +

2

232 xba

xab

Z9 + 2

3226661 xba

yab

xbaab

+

+ 2

36 y

abZ10 +

2

232 y

aby

abZ11 +

12

22341 Zxba

xabb

.

В глобальной системе координат для каждого конкретного конечного

элемента приведенные формулы принимают вид, соответствующий положению этого конкретного конечного элемента в пластине. Так, например, для конечного элемента I (см. рис. 3.17) эти формулы принимают следующий вид:

xy

bay

baax

aDМ х 3223

126612 Z1 +

322

6262 Zxyba

yab

xaa

+

+

xy

abx

ab 32126 Z1 +

22

64 Zxyab

xab

.

87

x

abxy

abDМ у 23

612 Z1 +

22

46 Zxab

xyab

+ xaa

32

126

xy

bay

ba 32126 Z1 +

322

6262 Zxyba

yab

xaa

.

2

32

322666611 y

abx

bay

abx

baabDH Z1 +

+

2

2341 y

aby

abaZ2 +

3

2232 Zxba

xab

.

Аналогично можно получить выражения для построения эпюр поперечных сил Qx и Qy.

На рис. 3.19, учитывая симметрию, показаны значения изгибающих моментов для четверти рассматриваемой пластины.

Рис. 3.19

После построения эпюр внутренних усилий и перемещений можно приступать к определению напряжений и конструированию пластины.

88

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН 4.1. Пластины при совместном действии поперечной нагрузки

и нагрузки в срединной плоскости В случае действия на пластину и поперечной нагрузки, и сил, расположенных в срединной плоскости, в дифференциальное уравнение С.Жермен войдут члены, учитывающие влияние этих сил. Обозначим напряжения в срединной плоскости через 0

x , 0y , 0

xy . Усилия в срединной плоскости, приходящиеся на единицу длины сечения, будут определяться известными произведениями

0xx hN ; 0

yy hN ; 0xyyxxy hTT . (4.1)

Примем, что прогиб w (x,y) мал, а произведение сил, лежащих в срединной плоскости, или их производных на производные от w (x,y) будут величинами того же порядка, что и производные от поперечных сил xQ и

yQ . Напряжения изгиба в пластине и внутренние усилия определяются по формулам, приведенным в предыдущих разделах настоящего пособия. Рассмотрим показанное на рис. 4.1 равновесие элемента пластины со сторонами dx и dy .

Рис. 4.1

89

Сумма проекций на ось ox сил dyN x и dydxx

NN x

x

равна

.cos'cos dyNdydxx

NNX x

xx

(4.2)

Учитывая, что ,' dxx

...2

1...sin211sin1cos

225,02

Для малого угла величина 2

2 меньше 1 и 1cos .

Соответственно 1'cos . Выражение (4.2) тогда принимает вид

.dxdyx

NX x

(4.3)

Согласно изложенному уравнения равновесия на осях ox, oy принимают следующий вид:

.0

;0

yN

xT

Y

yT

xN

X

yyx

xyx

(4.4)

Для малых углов и ' имеем ;sinxw

.''sin2

2dx

xw

xwdx

x

Проекции сил dyN x и dydxx

NN x

x

на ось oz дают

результирующую, которая описывается выражением

dxx

wxwdydx

xN

NxwdyN x

xx 2

2

90

.2

2

dxdyxw

xNdxdy

xwN x

x

(4.5) Пренебрегая членами высшего порядка малости, получим

результирующие проекции сил dxN y и dxdyy

NN y

y

на ось oz,

которая будет равна

.2

2dxdy

yw

yN

dxdyy

wNZ yy

(4.6)

Найдем проекции сил xyT и dydxx

TT xy

xy

на ось oz (рис. 4.2).

z

x

y

Рис. 4.2

Прогиб в точке О равен w . Прогиб в точке 1B равен .dyyww

Кромка 11BO повернута вниз под углом yw к оси oy. Таким же образом

кромка 11CA повернута под углом dxyxw

yw

2

к оси oy.

Поперечные силы xyT и dydxx

TT xy

xy

на ось oz дают проекции

91

dxyx

wywdydx

xT

TxwdyТ xy

xyxy

2

.2

dxdyyw

xT

dxdyyx

wT xyxy

(4.7)

Сумма проекций сил yxT и dxdyy

TT yx

yx

на ось oz будет равна

.2

dxdyxw

yT

dxdyyxwT yx

yx

(4.8)

Суммируя проекции всех сил на ось oz и сокращая на dxdy , получим

yxwT

ywN

xwNq

yQ

xQ

xyyxyx

2

2

2

2

22

.0

yw

yN

xT

xw

yT

xN yyxxyx (4.9)

Учитывая, что выражения в скобках равны нулю, получим

.2122

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

yx

wTy

wNxwNq

Dyw

yxw

xw

xyyx (4.10)

Уравнение (4.10) является основным уравнением для расчета

пластины, находящейся в условиях совместного действия поперечной нагрузки q и сил, лежащих в срединной плоскости.

4.2. Устойчивость шарнирно опертых прямоугольных пластин при равномерном сжатии в одном направлении

Рассмотрим пластину при действии на нее сжимающих усилий, лежащих в срединной плоскости (рис. 4.3). При некотором значении сжимающих сил xN плоская форма равновесия становится неустойчивой и пластина начнет выпучиваться.

92

y

x

Рис. 4.3 Примем, что пластина имеет шарнирное опирание по контуру и сжата равномерно распределенными силами xN , действующими вдоль граней с координатами 0x и .ax В этом случае xN const и .0 qTN xyy Уравнения равновесия (4.4) выполняются, а уравнение (4.10) принимает вид

.02

24

xwNwD x

(4.11)

Функцию прогибов задаем в виде двойного ряда

.sinsin,1 1

m nmn b

yna

xmAyxw (4.12)

Граничные условия на гранях пластины 0x ; ax и 0y ; by для принятой функции выполняются. Подставляя (4.12) в уравнение (4.11), получим

.0sinsin1 1

2

22

2

2

2

2

24

m nmnx b

yna

xmAamN

bn

amD

(4.13)

Полученное уравнение (4.13) имеет два решения. Первое решение, когда 0mnA . Тогда прогибы .0w Однако это решение не удовлетворяет условию задачи, т.к. мы ищем функцию прогибов, отличную от нуля. Второе решение имеет место при 0mnA . Тогда в (4.13) выражение в квадратной скобке должно быть равно нулю:

93

.02

22

2

2

2

2

24

amN

bn

amD x (4.14)

Из условия (4.14) следует, что

.22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

mb

ana

mbb

D

am

bn

amD

N x

(4.15) Это решение отвечает выпучиванию пластины. Из выражения (4.15) следует, что значение сил xN будет наименьшим при 1n . Отсюда следует вывод о том, что при выпучивании пластины может образовываться несколько полуволн в направлении сжатия, и только одна полуволна – в поперечном направлении oy. Критическая нагрузка крxN , при которой происходит потеря устойчивости пластины, равна

,2

22

2

2

bDK

mba

amb

bDN крx

(4.16)

где .2

mba

ambK

Наименьшее значение крxN имеет место при условии

.0112

22

2

ambmb

aa

mbb

D

ambd

Nd крx

(4.17)

Отсюда следует следующее равенство: 1a

mb .

94

Рис. 4.4

Минимальное значение критической нагрузки .42

2

bDN крx

При определенных значениях m величина K зависит от отношения

ba . На рис. 4.4 показаны значения K в зависимости от

ba для m = 1, 2, 3, 4,

5. Используя полученные кривые, можно определять величину

критической нагрузки и число полуволн при любом отношении ba . При

значении 5,2ba находим K = 4,133 и m = 3. Это показывает, что

выпучивание пластины сопровождается образованием трех полуволн в направлении действия нагрузки. Критическая нагрузка при этом равна

.133,42

2

bDN крx

4.3. Устойчивость свободно опертой пластины, сжатой в двух направлениях Рассмотрим прямоугольную пластину, сжатую в двух взаимно-перпен-дикулярных направлениях (рис. 4.5). В этом случае ;0xyT

xN const; yN const. Полагаем, что края пластины имеют шарнирное опирание. Решение уравнения (4.11) снова будем искать в виде двойного ряда

95

.sinsin1 1

m nmn b

yna

xmAw

(4.18)

Выбранная функция w (x,y) удовлетворяет граничным условиям на гранях пластины при 0x ; ax ; 0y ; by .

y

x

Рис. 4.5 Подставляя (4.18) в уравнение (4.11), получим

.0sinsin1 1

2

22

2

22

2

2

2

2

24

m nyxmn b

yna

xmbnN

amN

bn

amDA

(4.19)

Условие 0mnA возможно в случае, если

.02

22

2

22

2

2

2

2

24

bnN

amN

bn

amD yx

(4.20)

Из уравнения (4.20) следует

.2

2

2

22

2

22

2

22

bn

amD

bnN

amN yx

(4.21)

Рассмотрим частные случаи:

96

а) ;NNN yx .22

2

2

n

amb

bDNN

крyкрx

Наименьшая критическая сила будет при m=1; n=1:

.12

2

2

ab

bDN кр

Пластина при этом будет терять устойчивость по форме

.sinsin, 11 by

axAyxw

Для квадратной пластинки при ba 2

22

bDN кр

;

б) если сжимающие нагрузки возрастают пропорционально одному параметру ;NN x ,NN y то критическая нагрузка будет равна

.2

2

22

2

2

2

na

mb

na

mb

bDN кр

(4.22)

При соотношении сторон ba наименьшее значение критической

силы равно ,2

2

bDCN кр

где .

1

2

22

amb

amb

C

При разных соотношениях ba и каждого число n следует выбирать

из условия минимума С, как это делалось для пластины, сжатой в одном направлении; в) если пластина сжата в одном направлении ox и растянута в другом направлении oy, то ;0xyT xN const; yN const. Уравнение (4.11) принимает вид

97

.2

2

2

2

22

2

22

2

22

bn

amD

bnN

amN yx

(4.23)

При yx NN получаем критическую нагрузку

.22

222

2

bn

am

bn

am

DN кр

(4.24)

Для квадратной пластины ba

.22

222

2

2

nmnm

bDN кр

(4.25)

Наименьшее значение возможно при m = 1, а n необходимо подобрать так, чтобы крN было наименьшим. Так, при потере

устойчивости пластины по форме by

axAyxw sin2sin, 21 критическая

сила равна (m = 2; n = 1)

.325

2

2

bDN кр

(4.26)

Во всех случаях для пластин с конечным отношением сторон при растяжении в направлении одной из осей увеличивается критическая сила в направлении другой оси. 4.4. Устойчивость прямоугольных пластин при сдвиге

98

Критическую нагрузку для пластины (рис. 4.6) под действием касательных усилий xyT , равномерно распределенных вдоль кромок, определим энергетическим методом.

y

x

Рис. 4.6 Предполагаем, что пластина подвергается действию малых возмущений, вызывающих выпучивание. При переходе от одной равновесной формы к другой полная энергия не изменяется, т.е. работа усилий в срединной плоскости равна энергии изгиба, накопленной в пластине. Найдем деформацию сдвига, сопровождающую изгиб пластины (рис. 4.7).

x

y

z

Рис. 4.7

Определим направляющие косинусы 1l , 1m , 1n и 2l , 2m , 2n для элементов 11 AO и 11BO :

;

211

2

5,022

1

xw

dx

dxxwdx

l

;01 m

99

;1 xw

dx

dxxw

n

;02 l

(4.27)

;

211

2

5,022

2

yw

dy

dyywdy

m

.2 yw

dy

dyyw

n

Деформация сдвига будет равна

111111111 cos

2sin

2BOABOABOAxy

.212121 yw

xwnnmmll

(4.28)

Работа касательных усилий yxxy TT равна

.0 0

dxdyyw

xwTW

a b

xy

(4.29)

Потенциальная энергия изгиба пластины описана выражением (3.7). Согласно принципу Лагранжа при выпучивании пластины полная энергия П должна соответствовать условию .0 WUП Рассмотрим шарнирно опертую пластинку. Функцию прогибов, удовлетворяющую условиям, принимаем в виде (4.18). Подставим принятое выражение (4.18) в (4.29). Вычислим соотношения:

0sinsin0

dxb

ypa

xma , если pm – четное число;

100

22

0

2sinsinpm

madxb

ypa

xma

, если pm – нечетное число.

После интегрирования получаем

,42222 nqpm

mnpqAATWm n p q

pqmnxy

(4.30)

где m, n, p, q – такие индексы, для которых pm и qn будут нечетными числами. Потенциальная энергия выпученной пластины U после интегрирования примет вид

.42 1 1

2

2

2

2

22

4

m nmn

bn

amAabDU

(4.31)

Выражение энергии П принимает вид

1 1

2

2

2

2

22

4

8 m nmn

bn

amAabDП

.04 2222

nqpm

mnpqAATm n p q

pqmnxy (4.32)

Определим критическое значение xyT . Для этого необходимо найти такие параметры mnA , чтобы П была минимальной, т.е. должно

соблюдаться условие .0

mnAП

Продифференцировав полную энергию, получим

,084 2222

2

2

2

2

24

nqpmmnpqAT

bn

amAabD

p qpqxymn

(4.33)

где p и q должны быть такими, чтобы pm , qn были нечетными числами.

101

Обозначим ;ba .

32 2

4

xyTb

D Тогда уравнение (4.33)

примет вид

.022222

2222

nqpmmnpqAnmA

p qpqmn

(4.34)

Получили систему линейных однородных уравнений относительно параметров mnA . Для нахождения xyT приравняем определитель из коэффициентов при mnA нулю. В связи с тем, что число уравнений бесконечно, точное решение будет получено, если раскрыть определитель с бесконечным числом строк и столбцов. Приближенное решение можно получить, взяв конечное число параметров mnA . Учитывая два параметра 11A и 22A , получаем выражения

.094116

;0941

11222

22

22112

22

AA

AA

(4.35)

Приравняем нулю определитель системы (4.35):

.0116

94

941

2

22

2

22

(4.36)

Раскрывая определитель (4.36), находим

.19

122

2

Учитывая выражение , получаем

102

.1329

3

22

2

4

b

DTкрxy

(4.37) Знаки плюс и минус указывают на то, что значение критических сил не зависит от их направления. Выражение (4.37) дает приближенное значение

крxyT с

погрешностью около 10 % для квадратных пластин и с еще большей

погрешностью при других отношениях ba .

Чтобы получить более точный результат, следует учитывать большее число параметров mnA . Так, если учитывать шесть параметров: 11A , 22A ,

13A , 31A , 33A , 42A , то критическое усилие оказывается равным

,2

2

bDKT

крxy

(4.38)

где K – постоянная, зависящая от отношения ba . Значения K приведены в

табл. 4.1 для различных .

Таблица 4.1

1,0 1,2 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 K 9,4 8,0 7,3 7,1 7,0 6,8 6,6 6,3 6,1

103

5. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

5.1. Основные положения и гипотезы

При изучении прямоугольных пластин за пределом упругости используют теорию пластичности, в которой рассматриваются и условия работы пластины, и свойства материала. Решение задач изгиба пластин за пределом упругости может быть получено в предположении выполнения принципа простого нагружения. А.А. Ильюшин [12] назвал простым нагружением такой процесс, при котором все приложенные к телу усилия возрастают пропорционально одной и той же величине. При этом тензор напряжений в каждой точке пропорционален тензору деформаций. Доказано, что если тело до нагружения было изотропным и нагружение простое, то неупругое поведение пластин описывается теорией малых упругопластических деформаций. Для описания неупругого деформирования пластин широкое применение находят две теории – деформационная теория пластичности и теория пластического течения. Деформационная теория устанавливает связь между деформацией и напряжением, а также только начальное и конечное напряженно-деформированное состояние. Эта теория основана на двух законах, определяющих процесс активной деформации и процесс разгрузки. Теория течения устанавливает зависимость между напряжениями и скоростями деформаций, предполагая пластическую деформацию как процесс движения, т.е. пластическая деформация оказывается зависящей от пути нагружения. Пределы применимости деформационной теории и теории пластического течения определяются опытным путем. При расчете пластин за пределом упругости в основном применяется разновидность деформационной теории – теория малых упруго-пластических деформаций. В основе этой теории справедливы гипотезы:

1) объемная деформация пропорциональна среднему напряжению; 2) направляющие тензора напряжений и тензора деформаций

совпадают; 3) интенсивность напряжений является функцией интенсивности

деформаций, не зависящей от вида напряженного состояния. Принятые гипотезы справедливы в случае простого нагружения, при

котором направляющие тензора напряжений в каждой точке постоянны.

104

В случае однородного напряженного состояния тела нагружение будет простым при пропорциональном увеличении всех внешних нагрузок, а диаграмма "напряжения – деформация" описывается функцией

mii A ,

(5.1)

где i , mi – интенсивности напряжений и деформаций; A – постоянная

величина. Зависимость между параметром внешних сил m, напряжений и

деформаций определяется

m1

; 00ij

ij

ij

ij

P

P

.

(5.2)

Приведенной зависимостью (5.1) могут описываться кривые ii материалов, работающих в пластической области. При 0m имеем упругопластический материал. Соотношения теории малых упругопластических деформаций выполняются для материалов с разными диаграммами ii при активной пластической деформации в каждой точке тела.

Согласно деформационной теории различие в физических уравнениях для пластических и нелинейно-упругих тел проявляется лишь при рассмотрении процесса разгрузки. Физические соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид

,,,

;2

;2

;2

yzyzxzxzxyxy

ñðzñðz

ñðyñðy

ñðxñðx

GGGGGG

(5.3)

где x , y , z , yz ; x , y , z , yz – компоненты напряжений и деформаций; ср , ср – средние напряжения и деформации;G – модуль сдвига.

105

i

iG

; zyxср 31 ; zyxср

31 . (5.4)

222222 66

1yzxzxyzxzyyxxy . (5.5)

222222

23

32

yzxzxyzxzyyxi . (5.6)

Если известна диаграмма ii , то устанавливается зависимость

ii Е , в которой Е – переменный модуль деформации. Тогда i и i выражаются

,12

3;3

;12

iiii

GЕ

(5.7)

где – коэффициент поперечной деформации, равный 0,5. Переменный модуль деформации выражается через модуль упругости

1ЕЕ , (5.8)

где носит название функции пластичности. Из уравнений (5.3) находим

.1;13

21

;1;13

21

;1;13

21

yzyzсрzz

xzxzсрyy

xyxyсрxx

GG

GG

GG

(5.9) Зависимость между средним напряжением и средней деформацией выражается с помощью К – модуля всестороннего сжатия.

106

срср К ;

21

12GК .

(5.10)

Полагая 0z ; 0xy ; 0yz , получаем выражения для определения напряжений в пластине:

.12

;1

;1

2

2

xyyx

xy

xyy

yxx

Е

Е

Е

(5.11) Из выражений (5.7), (5.8), (5.10) и (5.11) получаем

212

' .

(5.12) Пределы значения получим при 1 , равном 0,5. В упругопластическом состоянии пластины в наиболее напряженном сечении возникают пластические деформации. Условие, соответствующее появлению текучести, называется критерием текучести. Это условие может формулироваться по-разному. Условие текучести выполняется при следующих допущениях:

1. Элемент пластины испытывает только активные деформации, при этом эффект Баушингера отсутствует.

2. Условие текучести может быть выражено через напряжение. Это условие не зависит от пути напряжения.

3. Материал предполагается изотропным. 4. Среднее напряжение ср не оказывает влияния на условие

текучести. Условие текучести в общем виде записывается

eij KSf ; zyxji ,,,, ,

(5.13)

где K – критерий текучести; ijS – компоненты девиатора напряжений.

107

М. Губером и Р. Мизесом в качестве критерия текучести принято условие постоянства потенциальной энергии упругого изменения объема

Ti . (5.14)

Для пластин это условие имеет вид

22222 3 Txyyxyxi . (5.15)

5.2. Уравнения упругого пластического изгиба пластины

Расчет прямоугольных пластин в упругопластической стадии проводится на основании деформационной теории пластичности с использованием метода упругих решений. Рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия в моментах (2.5) и (2.6) для элемента пластины (рис. 5.1).

y

x

Рис. 5.1 Изгибающие и крутящие моменты для упругопластического состояния на основе метода упругих решений [18] можно представить

0x

yxx МММ ; 0

yyyy МММ ; 0HHH y ,

(5.16)

108

где yxМ , y

yМ , yH – моменты при упругом решении, описанные

выражениями (1.28), (1.29) и (1.37); 0xМ , 0

yМ , 0H – моменты от разности напряжений, изменяющихся по упругому и неупругому законам в пластических областях пластин. Эти моменты зависят от вида диаграммы ii материала и определяются

xyxx ММ 0 ; y

yyy ММ 0 ; xy

yHH 0 . (5.17)

С учетом изложенного получается выражение

yxH

y

М

xМ

qyx

Hy

М

xМ yx

yy

yx

02

2

02

2

0222

2

2

2

222 .

(5.18)

Подставляя в (5.18) выражения (5.17), получаем

yx

H

y

М

xМ

qDy

wyxw

xw xy

yy

yyx

yx 2

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4212 .(5.19)

Уравнение (5.19) упругопластического деформирования пластины в перемещениях отличается от уравнения (5.18) в упругом состоянии дополнительными слагаемыми в правой части, зависящими от распространения зон текучести. Для определения границ пластических деформаций на поверхности и по толщине пластины используем условие пластичности Губера-Мизеса

2222 3 еxyyxyx . (5.20)

Упругие напряжения определяются

109

,

;

2121

;

2121

32

32

z

y

xy

z

yy

z

yy

yy

yy

y

z

yx

z

yx

yx

yx

x

WH

WM

hW

zM

h

zMD

MzE

WM

hW

zMh

zMD

MzE

(5.21)

где 6

1 2hWz

; hz2

определяют границу упругой и пластической зон

по толщине пластины. Условие пластичности (5.20) с учетом (5.21) принимает вид

22222

2

23

41 ze

yyy

yx

yy

yx WHMMMM

h

z

.

(5.22) Заменяя моменты нагрузкой, определяем расстояние с границы упругой зоны от срединной поверхности пластины в рассматриваемом сечении (узле):

ФaW

hc

hz ze

22 ; (5.23)

222 3HMMMMФ yxyx , (5.24)

где dxdyqa (для случая действия распределенной нагрузки на пластину). Нагрузка, при которой появляется текучесть в данном узле, определяется из условий

2hс ; 1 ;

ФW

q zee

.

(5.25)

110

Зная нагрузки текучести для нескольких точек пластины, можно построить поверхность текучести. Как было ранее отмечено, 0

xМ , 0yМ , 0H зависят от вида диаграммы

ii . Рассмотрим (рис. 5.2) диаграмму деформирования материала с площадкой текучести (диаграмма Прандтля).

Площадка текучести

Рис. 5.2

Распределение нормальных и касательных напряжений по толщине сечения приведено на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Определим выражения моментов

111

.23

1

;23

1

;23

123

221

22

00

00

000

chchH

chchМ

chchcchchМ

xy

yy

xxx

(5.26)

Напряжения 0x , 0

y , 0xy через упругие напряжения выражаются

.21

;21

;2122

00

0

0

hc

hc

hcchh

xyxy

yyy

yx

yxx

(5.27)

С учетом (5.27) определим 0xМ , 0

yМ , 0H :

.

;

;1211216

0

0

20

xyy

yyyy

xyx

yx

z

yx

x

HH

MM

Mhc

hcM

hc

hc

WMhM

(5.28) В упругопластическом состоянии пластины после получения с (границы раздела упругой и пластической зон по толщине пластины) в разных точках можно получить границы пластических зон на поверхности пластины между точками.

5.3. Расчет пластин за пределом упругости методом конечных разностей

112

При расчете методом конечных разностей пластину мысленно покрываем сеткой с шагом yx . Уравнение (5.19) запишем в конечных разностях. Для i узла (рис. 5.4) это уравнение принимает вид

rqpmnlki wwwwwwwww 02820

iyixiuvts ММDD

qwwww 2

24

nxnmxmкxкlxl ММММ

rrqqppoo ММММ

21 .

(5.29)

Рис. 5.4

Уравнение (5.29) приведено в [18]. Решая систему уравнений (5.29), находим значения прогибов в узлах сетки iw , …, uw . Изгибающие и крутящие моменты в узлах находим

.4

1

;12;12

orpqi

lкnmiyi

nmlкixi

wwwwvH

wwvwwwvМwwvwwwvМ

(5.30)

113

Используя условие Губера-Мизеса, определяем нагрузку при

появлении текучести в узлах пластины, полагая 2hz .

i

T

i

zTi

ФM

ФW

q 22

,

(5.31)

где 21

222 32 iyixiyixii HMMMMФ . Наименьшая нагрузка iq будет нагрузкой, при которой появляется фибровая текучесть. При нагрузке q больше iq находим границу раздела упругой и пластической зон по толщине пластины

i

T

i

zTii

ФqM

ФqW

hс

222

.

(5.32) Имея значения i в узлах сетки, определяем интерполяцией границы пластических зон на поверхности пластины. Зная i , определяем пластические коэффициенты i , зависящие от пластических зон и вида диаграммы ii . Для диаграммы (см. рис. 5.2) получаем

2

11 2 iii

.

(5.33)

Правые части уравнений (5.29) принимают вид

mymixikxkiyixii MMMMMK 21

rrqqppoonyn HHHHM 21 .

(5.34) Решаем систему линейных уравнений (5.29) при найденных iK и находим значения упругопластических прогибов iw , …, pw в первом приближении.

114

Количество последовательных приближений зависит от разности значений i двух соседних приближений. Расчеты пластин за пределом упругости методом конечных разностей приведены в [18] для разных условий опирания пластин и при разных диаграммах деформирования материала ii .

5.4. Решение упругопластических задач при изгибе пластин вариационным методом

Расчет пластин за пределом упругости проводится вариационными методами, основанными на принципе минимума полной энергии пластины, состоящей из потенциальной энергии деформации и потенциала внешних нагрузок. Функции прогибов, доставляющие минимум полной энергии, находятся либо путем прямой минимизации функционала [28], либо путем решения систем линейных уравнений, правая часть которых зависит от глубины пластических деформаций по толщине пластины. Применение энергетических методов к решению упругопластических задач нашло в работах [24], [26]. Зависимость между G и переменным (секущим) модулем сдвига принимаем в виде

GG ,

(5.35)

где i

i

iG

– функция пластичности, которая определяется физическими

свойствами материала. Работу внутренних сил представим как сумму работ по изменению объема и формы и применим принцип минимума полной энергии пластины

023

0

2

AViiср qwdAdVdK

i

,

(5.36)

где V – объем пластины; A – площадь пластины. Поскольку функция пластичности зависит от искомой функции прогибов, то энергетический функционал получается неквадратичным. В работе [30] минимум неквадратичного функционала определялся методом сопряженных градиентов.

115

В работах [18] получено квадратичное выражение функционала путем замены функции пластичности в k-м приближении ее значением в k–1 приближении:

1 kk . (5.37)

Тогда энергетический функционал становится квадратичным:

.2

2

10

i

KKii

GdGi

(5.38)

Коэффициент поперечной деформации через функцию пластичности представим в виде

;2

'0

0

mm

v

.1

21

0

00 v

vm

(5.39)

Энергия изменения объема выражается

.'1'21

32

2

2

00 yx

vv

mGЭ

(5.40)

Выражение для i :

.'13''1

;412

2

2

1

21

2

vvv

xyyxyxi

(5.41) Работу по изменению формы для k-го приближения получаем в виде

116

.412 2

12

1

xyyxyx

KK

GV

(5.42)

Суммируя 0Э и KV , получаем уравнение для упругопластического изгиба пластин:

V tK vyw

xwzG

1

2

2

2

2

2

1

2

'1212

.022

2

2

2

2

A

qwdAdVyx

wyw

xw (5.43)

Искомая функция прогибов задается в виде ряда

,,1

n

KKK wCyxw

(5.44)

где wK – функции, удовлетворяющие геометрическим условиям опирания пластины; CK – искомые параметры, подлежащие определению.

При условии 0' vv const уравнение (5.43) принимает вид

,0'1 21

tF

xK qwPDv

(5.45)

где ;22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yxw

yw

xw

yw

xwPx ;3

1

2

1

K

Kd

,'121

2 v

здесь '16

3

vGhD

– цилиндрическая жесткость пластины; 1K –

пластическая функция, интегрально учитывающая размягчение материала по толщине пластины.

117

Выражение 1KD характеризует переменную жесткость пластины в k-м приближении. Нулевым приближением решения является расчет в упругом состоянии, при этом функция пластичности принимается равной единице. При заданном значении внешней нагрузки находится величина , которая подставляется в уравнение (5.45), и находится величина прогибов пластины в первом приближении w. Расчет продолжается до тех пор, пока разность между решениями двух последних приближений не достигнет заданной величины. 5.5. Расчет пластин за пределом упругости методом конечных

элементов

Выражение, описывающее изгиб срединной поверхности пластины, работающей в упругопластической стадии, соответствует дифференциальному уравнению (5.19). В этом уравнении величины внутренних усилий с верхним индексом у определяются с применением известных классических уравнений (1.28), (1.29), (1.32), (1.33), (1.37) расчета пластин с использованием в рассматриваемой методике аппроксимирующей функции (3.96), выраженной через найденные с помощью МКЭ перемещения Zi. Эти формулы представлены на стр. 77 и 78 настоящего пособия.

На рис. 3.19 показаны значения внутренних усилий ( ухМ и у

уМ ), полученных при упругом расчете МКЭ, рассмотренном в настоящем пособии.

Параметр , соответствующий диаграмме Прандтля, принят согласно выражению (5.33). Параметры, входящие в выражение (5.33), показаны на

рис. 5.3. При этом безразмерный параметр hс2

.

Для анализа развития пластических деформаций была принята гипотеза Губера-Мизеса (5.20).

Из рис. 3.19 видно, что наибольшие значения внутренних усилий для рассматриваемой схемы загружения пластины имеют место в срединах защемленных граней. Именно в этих точках и должны в первую очередь появиться пластические деформации. Для оценки напряженного состояния пластины имеет значение не только нагрузка текучести qe, но и так называемая предельная нагрузка прq , при которой по всей высоте опасного сечения происходит развитие пластических деформаций.

118

Эта величина определяется также из выражения (5.22) при замене в правой части момента сопротивления zW на пластический момент сопротивления eW . В рассматриваемом примере наименьшие значения этих нагрузок оказались следующими: 84,5eq кг/см2 и 76,8прq кг/см2.

В дальнейшем расчет предполагает определение как размеров зон текучести в плане, так и размеров развития пластических деформаций по высоте сечения. Последнее легко определить из (5.22), если задавать значение q в пределах: прq q eq . Если, например, задать q = 1,2 eq , то

42,13 2222

222

eyy

yyx

yy

yx

ee

qHMMMM

Whс

.

(5.46) Для определения размеров в плане зон развития пластических

деформаций целесообразно перейти к безразмерному параметру i , определяемому из выражения

i

eei Фq

W

2,1

,

(5.47)

где iФ квадратный корень из выражения в квадратных скобках в (5.46) для i - го стыка конечного элемента.

Если величина i 1, это свидетельствует о том, что в данном узле имеет место развитие пластических деформаций. На рис. 5.5 показано поле значений параметров i для четверти рассматриваемой пластины.

119

Рис. 5.5 Из анализа представленных значений параметров i видно, что вслед

за развитием пластических деформаций в серединах защемленных граней произойдет развитие пластических деформаций в середине пластины.

Для определения размеров в плане зон развития пластических деформаций использовалась прямая пропорциональная зависимость между параметрами i для соседних узлов стыков конечных элементов. В соответствии с этим находилась величина ika , представляющая длину прямой, соединяющей рассматриваемые соседние узлы. Величина ika в соответствии с этим может быть найдена из выражения

ik

iik аa

1 .

(5.48) На рис. 5.6 показана схема определения ika , где i и k – соответственно

узел и точка определения зоны пластичности.

Рис. 5.6 Определив параметры i в узлах, определяем в рассматриваемом

примере (диаграмма Прандтля) по (5.33) пластические коэффициенты i . При найденных для каждого узла стыков конечных элементов значениях

i определяем правую часть уравнения (5.19). По предлагаемой методике это соответствует формированию глобального вектора свободных членов системы алгебраических уравнений по определению Zi. Решая эту систему, находим на каждом шаге итерации новые величины упругопластических w прогибов в узлах пластины. Количество последовательных приближений определяется из условия, чтобы разность между двумя последующими значениями i для контролируемого узла не превышала заранее заданной точности. При нагрузке q = 1,2 eq на рис. 5.7 показаны зоны пластичности

120

как в плане по поверхности пластины, так и по высоте сечения, расположенного в середине защемленной грани [27].

Рис. 5.7

Рассмотрим теперь решение этой задачи для диаграммы напряжений, имеющей площадку текучести (рис. 5.8) и упрочнение материала, происходящего по линейному закону.

Рис. 5.8 По деформационной теории функция пластичности на площадке

текучести gf может быть описана выражением

121

yi

eyi

eyi

1 .

(5.49) Функция пластичности на участке упрочнения fe имеет вид

yi

iyi

iyi

1 .

(5.50) В выражениях (5.49) и (5.50) напряжения соответственно определяются

выражениями

.;;

011 ieei

ee

iyi

EEedEE

(5.51)

В соответствии с гипотезой плоских сечений, иллюстрируемой на рис. 5.9 эпюрой напряжений, можно записать следующие соотношения:

;zc

i

e

z

c

i

i 00

.

(5.52)

Рис. 5.9

122

Для различных участков диаграммы напряжений, представленной на рис. 5.8, функции пластичности имеют следующий вид:

на участке площадки текучести при c z c0

;111 zc

i

e

(5.53)

на участке упрочнения при c0 z 2h

;111 01012

z

cEE

zc

EE

iii

e

(5.54) для точек в конце площадки текучести при z=c0

;10

0 сс

(5.55)

на поверхности пластины при z = 2h

hc

EE

hc

I01 2

121 .

(5.56)

Для частного случая, если материал пластины линейно упрочняется, но не имеет площадки текучести (пунктирная линия ga на рис. 5.8), то в выражениях (5.53) – (5.56) нужно принять с = с0.

В случае полного отсутствия упрочнения материала

(жесткопластический материал) действительно 01 ЕЕ

.

С учетом изложенного получено выражение для определения изгибающего момента 0

хМ для части эпюры (см. рис. 5.9) agfe:

00020

020

00200

232

212 cchссМ

хх

ххххх

cccccx 00

02

32

21 .

(5.57)

123

Для определения напряжений 0х и 02

х , выраженных через упругие ух

и пластические х , с напряжения, получены выражения

суххх

ухх h

с

5,0; 0020 .

(5.58) Выражения напряжений через функции пластичности принимают вид

.1

;

002

xcx

Iухх

(5.59)

Подставляя (5.59) в выражение (5.57), после арифметических преобразований получим

hc

hc

hc

hc

hc

hchМ I

yxх

000

002

0 2212112

123

1 .(5.60)

В последнее выражение вместо ух подставим отношение

WМ у

х и

функции пластичности 0 и 1 . В итоге получим формулу для определения коэффициента пластичности

hc

hc

EE

hc

hс

ММ

ух

х 02

0120

12

1121 .

(5.61) При отсутствии на диаграмме напряжений площадки текучести, т.е. при

сс 0 , выражение (5.61) принимает вид

EE

hc

hc 1

2

1121 .

(5.62) Как показано в примерах настоящего пособия, при нагружении жестко-

защемленной пластины равномерно распределенной нагрузкой впервые ра-звитие пластических деформаций начинается в краевых точках, расположенных в срединах каждой грани.

124

Рассмотрен изгиб пластины, материал которой соответствует диаграмме напряжений с линейным упрочнением, для ряда нагрузок (q1 = 1,5qe;

q2 = 2qe; q3 =2,3qe) и ряда отношений ЕЕ1 (0; 0,25; 0,50; 0,75). На рис. 5.10

представлены графики «нагрузка – прогиб» для узла, расположенного в центре пластины.

Рис. 5.10

При разных нагрузках q и для разных отношений ЕЕ1 можно

определить зоны распространения деформаций текучести, построить эпюры изгибающих моментов в различных сечениях пластины.

125

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В.

Александров, В.Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 1998. – 398 с. 2. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин / И.Г. Бубнов. – М.:

Гостехиздат, 1953. – 453 с. 3. Власов В.З. Избранные труды / В.З. Власов. – М.: Изд-во АН СССР,

1962. – Т. I.– 528 с. 4. Власов В.З. Строительная механика тонких упругих пластинок / В.З.

Власов. // ПММ. – 1946. – № 1. – С. 173–192. 5. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. – М.:

Физматгиз, 1963. – 877 с. 6. Ван Цзи Де. Прикладная теория упругости / Ван Цзи Де. – М.: Гос.

изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. – 400 с. 7. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты / Б.Г. Галеркин – М.:

Госстройиздат, 1933. – 370 с. 8. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки / Л.Г. Доннелл. – М.:

Наука, 1982. – 567 с. 9. Жемочкин Б.Н. Теория упругости / Б.Н. Жемочкин. – М.:

Госстройиздат, 1957. – 255 с. 10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. / О.

Зенкевич. – М.: Мир, 1975. – 511 с. 11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в

механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Ианг. – М.: Недра, 1974. – 238 с. 12. Илюшин А.А. Пластичность / А.А. Илюшин. – М.: Гостехиздат,

1948. – 376 с. 13. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В.

Канторович, В.И. Крылов. – М.; Л.: Физматгиз, 1962. – 450 с. 14. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости / Л.С. Лейбензон. –

М.: Гостехиздат, 1942. – 304 с. 15. Папкович П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. – М.; Л.: Гос.

изд-во оборонной промышленности, 1939. – 640 с. 16. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике /

Я.А Пратусевич. – М.: Гостехиздат, 1948. – 280 с. 17. Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности / О.И.

Теребушко. – М.: Наука, 1984. – 536 с. 18. Стрельбицкая А.И. Изгиб прямоугольных пластин за пределом

упругости / А.И. Стрельбицкая, В.А. Колгадин, С.И. Матошко. – Киев: Наукова думка, 1971. – 244 с.

19. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания / В.А. Смирнов. – М.: Стройиздат, 1978. – 296 с.

20. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. – М.: Наука, 1971. – 807 с.

21. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / С.П. Тимошенко. – М., 1914. – Ч. I – 239 с.

126

22. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко – М.: Гостехиздат, 1934. – 451 с.

23. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. – М.: Наука, 1966. – 635 с.

24. Попов О.Н. Расчет плитно-балочных конструкций за пределами упругости / О.Н. Попов. // Пространственные конструкции. – Красноярск: Красноярский политехн. ин-т, 1974. – Вып. VII. – С. 87–93.

25. Попов О.Н. Расчет пластинчато-стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейности на ЭВМ / О.Н. Попов. // Применение математических методов в управлении производственными процессами. – Новосибирск: Ин-т экономики и организации промышленного производства АН СССР. Сибирское отделение, 1978. – С. 10–13.

26. Попов О.Н. К расчету плитно-балочных конструкций на поперечную нагрузку с учетом упругопластических деформаций / О.Н. Попов. // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. – Томск: Томский инж.-строит. ин-т, 1977. – С. 190–197.

27. Попов О.Н. Расчет плитно-балочных конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности на ЭВМ / О.Н. Попов. // Матер. науч.-практ. конф. "Молодые ученые и специалисты народному хозяйству". – Томск, 1977. – Т. II. – С. 160–162.

28. Завьялов В.Н. Анализ плитно-балочных конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности / В.Н. Завьялов, О.Н. Попов. // Краткие тезисы докладов к VII науч. конф. по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела. – Ташкент, 1975. – Ч. II. – С. 51–52.

29. Завьялов В.Н. Расчет пластинчато-стержневых конструкций за пределом упругости / В.Н. Завьялов, О.Н. Попов. // Нелинейные задачи строительной механики. Оптимизация конструкций. – Киев, 1978. – С. 20–23.

30. Завьялов В.Н. Изгиб прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейностей / В.Н. Завьялов, О.Н. Попов. // Исследования по строительным конструкциям и фундаментам. – Томск: Томский инж.-строит. ин-т, 1980. – С. 51–56.

31. Завьялов В.Н. Исследование напряженного состояния пластин, работающих в упругопластической стадии / В.Н. Завьялов, А.Е. Ищенко, Ж.Б.Ищенко, В.М. Романовский. //Тр. СибАДИ. Вып. 1, ч. 1: Совершенствование технологий и конструктивных систем в отраслях автомобильного, дорожного, промышленного и гражданского строительства. – Омск: Изд-во СибАДИ, 1997. – С. 69–76.

127

Учебное издание

Виктор Николаевич Завьялов, Евгений Анатольевич Мартынов,

Владимир Михайлович Романовский

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

Издание второе, исправленное

* * *

Редактор И.Г. Кузнецова

* * *

Подписано к печати 27.04.12 Формат 60х90 1/16. Бумага писчая

Оперативный способ печати Гарнитура Таймс

Усл. п.л. 7,25, уч.-изд. л. 5,3 Тираж 100 экз. Заказ №

Цена договорная

Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10

Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ