Владица Андрејић

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНАГЕОМЕТРИЈА

Верзија: 12. јануар 2020.

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУМАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

БЕОГРАД 2020.

Исорија сваке веће алакичке цивилизације ежи а рође кроз ри засене и рео-знаљиве фазе, а о су реживљавање, исраживање и роуховљење, руачије ознаекао фазе Како, Зашо и Ге. На ример, за рву фазу осоено је иање „Како ћемо а јее-мо?“ за руу „Зашо јеемо?“, а за рећу „Куа ћемо на ручак?“

Далас АамсАуосоерски воич кроз алаксију

1 Глатке многострукости 11.1 Историјски увод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Тополошка многострукост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Тополошке осоине многострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Глатке многострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Количничке многострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Глатка пресликавања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Дифеоморфизми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Разијање јединице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Тангентни вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Тангентна пресликавања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11 Сумерзије и имерзије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Подмногострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.13 Векторска поља . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.14 Глоално тангентно пресликавање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.15 Покретни репери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.16 Ковекторска поља . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.17 Тензорска поља . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.18 Извод тензорских поља . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Псеудо-Риманова геометрија 472.1 Скаларни производ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Изотропни вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Псеудо-Риманове многострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Повлачење метричких тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Музички изоморфизми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Изометрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7 Модел простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8 Коваријантни изводи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9 Леви-Чивита повезаност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.10 Паралелно померање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.11 Геодезијске криве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.12 Експоненцијално пресликавање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.13 Тензор кривине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.14 Алгеарски тензор кривине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.15 Секциона кривина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.16 Константна секциона кривина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.17 Ричијев тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.18 Псеудо-Риманове подмногострукости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.19 Псеудо-Риманове хиперповрши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Литература 91

i

ii

Глава 1

Глатке многострукости

Прва глава књиге је увод у глатке многострукости. Увешћемо основне математичке ојекте,нотацију и терминологију коју ћемо користити кроз ову књигу. Материјал из ове главе настаоје позајмљивањем из многих извора, укључујући стандардне текстове из диференцијалне гео-метрије или о многострукостима: О’Нил 1 [28], Ли2 [19], Ли3 [20], Галије4 [14], Морита5 [26],Ту6 [34]. Што се српског језика тиче можемо препоручити уџеник који је написала Антић7[2]. За тополошки преглед препоручујемо материјале које је дао Крајник8 [7].

1.1 Историјски уводЈедан од најзначајнијих догађаја у историји геометрије догодио се 10. јуна 1854. када је

Бернхард Риман9 на Филозофском факултету Универзитета у Гетингену одржао предавањепод називом „О хипотезама које леже у основама геометрије“ (Über die Hypothesen, welche derGeometrie zu Grunde liegen).

Риман је 1851. под руководством Гауса10 одранио докторску дисертацију из основа ком-плексне анализе. Следећи корак у његовој академској каријери ио је да се квалификује запозицију приватдоцента, предавача који нема плату већ му се прослеђује новац од школаринакоје су плаћали студенти који изаеру да слушају његова предавања. Та позиција доијала секроз поступак хаилитације, где се од кандидата захтевало да напише рад (habilitationsschrift),као и да одржи јавно предавање (habilitationsvortrag). Оласт из које ће се држати приступнопредавање ирао је факултет са листе од три предлога коју је начинио кандидат. Прва два Ри-манова предлога иле су оласти у којима је већ радио и имао резултате, те је са пуним правомочекивао изор неке од њих. Међутим, противно традицији, Гаус је одарао трећу предложенутему која је ила из основа геометрије.

Риман је напорно радио да и предавање учинио разумљивим за нематематичаре у пулици(присуствовало је свега неколико геометричара), тако да је имао одличну презентацију у којојсу идеје јасно дефинисане ез употрее аналитичког апарата. Иако је Гаус ио задивљен јер јепредавање превазишло сва његова очекивања, како је оно ило само усмено, а ез техничкихдетаља, не чуди што оно није остварило тренутни утицај на математички свет. Међутим, прво

1Barrett O’Neill (1924–2011), амерички математичар2Jeffrey M Lee (1956), амерички математичар3John M Lee (1950), амерички математичар4Jean Henri Gallier (1949), француско-амерички математичар5Shigeyuki Morita (1946), јапански математичар6Loring Wuliang Tu (1952), тајванско-амерички математичар7Мирослава Антић (1978), српска геометричарка8Marius Crainic (1974), румунско-холандски математичар9Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), немачки математичар10Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855), немачки математичар

1

Глава 1. Глаке мноосрукосиојављивање тог предавања у писаној форми (1868, две године након Риманове смрти) изазвалоје значајне реакције математичара и постало прекретница у историји геометрије.

У то време изучавале су се ствари везане за Еуклидов11 пети постулат (данашња аксио-ма паралелности) у потрази за аксиомама које и чврсто поставиле темеље основног геоме-тријског простора. Такође се трагало и за структуром простора у којем живимо, док су некиматематичари почели да размишљају о егзистенцији другачијих структура. То нас доводи донееуклидских геометрија које су проучавали Бољај12 и Лоачевски13 (пре њих пионирске ра-дове имали су Сакери14 и Омар Хајам15), а које одједном постају само специјални случајевиопштије теорије.

Риман је први дао оиман допринос уопштењу идеје површи на више димензије, а његовавизија поставила је нов концепт простора за који је користио речmannigfaltigkeit. Касније се уенглеском језику усталила речmanifold док ми користимо реч мноосрукос. Ово чувено Ри-маново предавање (преведено на енглески) и прича око њега може се почитати код Спивака16[31, Глава 4].

Многострукости су основни ојекти диференцијалне геометрије. Међутим, Риман није имаопрецизну дефиницију овог концепта. У то време ило је технички неизводљиво дати формалнудефиницију тополошких простора, те затим међу њима издвојити многострукости. Поинкаре17је 1895. у свом делу Analysus situs увео идеју атласа и дао дефиницију многострукости која јеила претеча модерног концепта многострукости. Тек 1931. године, прву строгу аксиоматскудефиницију многострукости дали су Велен18 и Вајтхед19.

Многострукости су свуда око нас у многим олицима и могу се схватити као вишедимензи-она уопштења глатких кривих и глатких површи. Опште говорећи у питању су геометријскиојекти који локално изгледају као еуклидски просторRn и на којима можемо вршити диферен-цијални и интегрални рачун. Наравно, основни примери многострукости су сами еуклидскипростори, глатке раванске криве (као што су елипсе, хипероле, параоле) и глатке површи(као што су елипсоиди, хиперолоиди, параолоиди, торуси). Што се вишедимензионих при-мера тиче, можемо поменути јединичну n-сферу у Rn+1 као и графике глатких пресликавањаизмеђу еуклидских простора.

За разлику од наведених примера многострукост се не јавља увек у доро познатом про-стору. У општем случају, прилично је тешко размишљати о њој као геометријској фигури јерживи у веома апстрактном окружењу. Међутим, када пронађемо локалне координате на та-квом скупу и изучавамо везе између њих, често се постепено појављује скривена геометријскаструктура. Како желимо да укључимошто је више могуће ојеката неизежно је да дефиницијамногострукости уде апстрактна. Додуше, када једном препознамо ојекат као многострукостна основу апстрактне дефиниције, он се кроз координате појављује у доро познатом просторуи постаје веома практичан ојекат.

1.2 Тополошка многострукостИзучавање многострукости подразумева топологију, те претпостављамо да је читалац упу-

ћен у дефиницију и основна својства тополошких простора (као подсетник могу послужитиелешке које је писао Крајник20 [7]). Најпре полазимо од тополошког простора са одређе-ним својствима која нам говоре шта тачно значи да он локално личи на еуклидски простор.Међутим, та сличност са еуклидским простором мора ити довољно дора да можемо засно-вати парцијално диференцирање, а самим тим и све важне карактеристике диференцијалноги интегралног рачуна на многострукости. Једном када успоставимо рачун на многострукости11Еуклид из Александрије, Εὐκλείδης (3. и 4. век п.н.е), грчки математичар12János Bolyai (1802–1860), мађарски математичар13Николай Иванович Лоачевский (1792–1856), руски математичар14Giovanni Girolamo Saccheri (1667–1733), италијански свештеник и математичар15Гијат ад-Дин Ау’л ал-Фатх Умар ин Ирахим ал-Хајам Нишапури (1048–1131), персијски математичар16Michael David Spivak (1940), амерички математичар17Jules Henri Poincaré (1854–1912), француски математичар18Oswald Veblen (1880–1960), амерички математичар19John Henry Constantine Whitehead (1904–1960), ритански математичар20Marius Crainic (1974), румунско-холандски математичар

2

1.2. Тоолошка мноосрукосомогућићемо многе конкретне примене. Можемо рачунати запремину (интеграцијом) или кри-вину (преко формула које укључују други извод), можемо изучавати класичну механику (гдерешавамо системе оичних диференцијалних једначина) или општу релативност (где решава-мо системе парцијалних диференцијалних једначина).

Многострукост можемо замислити као мрачну соу са лампом на располагању. У свакомдатом тренутку, лампа нам дозвољава да осмотримо само један регион сое дајући нам локалнуидеју како та соа изгледа. Лампа овде представља еуклидски простор који долази опремљенса лепим координатним системом. У проучавању географије земље погодно је користити гео-графске мапе различитих делова земље уместо директног испитивања. Зирка географскихкарата које покривају земљу назива се атлас и даје одличан опис, ез стварне визуализацијепланете смештене у тродимензионом простору.

Ову идеју можемо формализовати за тополошки простор M. Кара или локални коор-инани сисем на M је хомеоморфизам φ : U → U отвореног подскупа U ⊆ M на отворенподскуп U = φ(U) ⊆ Rn(φ) еуклидског простора. Домен U карте φ зовемо кооринана око-лина, а како се он често користи то карту φ традиционално оележавамо као уређен пар (U,φ).Кажемо да је (U,φ) кара у p ∈ M уколико је p ∈ U. Алас на M је фамилија карата таква даје унија свих координатних околина једнакаM (свака тачка изM налази се у домену неке картеиз атласа). Кажемо да је M локално еуклиски имензије n ∈ N0 уколико постоји атлас наM такав да је кодомен сваке карте подскуп еуклидског простора Rn.

M

U

φ(U)

Rn

φ

Многострукост захтева да је M локално еуклидски димензије n за неко фиксирано n ∈ N0.Уоичајено захтевамо и додатне техничке претпоставке за тополошки простор да исмо изе-гли неке патолошке случајеве са којима се не срећемо у пракси. Природно претпостављамода је M Хаусорфов21 простор, што значи да за сваке две различите тачке p,q ∈ M постоједисјунктни отворени подскупови U,V ⊂ M са p ∈ U и q ∈ V. Додатно захтевамо да M задо-вољава руу аксиому реројивоси (second countable), односно да његова топологија имапреројиву азу. Иако постоје неки важни тополошки простори који не задовољавају наведенеуслове, слоодно можемо рећи да су ти услови присутни у скоро свим уоичајеним геометриј-ским фигурама.

На пример, Хаусдорфов простор повлачи две суштински важне последице. Прва каже дасваки конвергентан низ има јединствен лимес, док друга говори да су компактни подскупо-ви затворени (посено је сваки коначан скуп затворен), односно да су њихови комплементиотворени. Додатно, Хаусдорфов простор са преројивом азом повлачи егзистенцију разија-ња јединице, веома важне алатке у теорији многострукости, што је сасвим довољно да оправданаше наметнуте услове. Испоставља се да ће ови услови омогућити да се свака многострукостсмести у неки еуклидски простор коначне димензије, као и да јој се додели Риманова метри-ка. Тополошки простор који испуњава горе наведене осоине тополошке структуре зовемотополошка многострукост.

Дефиниција 1.1. Тоолошка n-мноосрукос је Хаусдорфов простор са преројивом а-зом који је локално еуклидски димензије n.21Felix Hausdorff (1868–1942), немачки математичар

3

Глава 1. Глаке мноосрукосиПример 1.1. Основни пример тополошке n-многострукости је свакако еуклидски простор Rn.Он је Хаусдорфов јер је метрички простор, док скуп свих отворених кугли са рационалнимцентрима и рационалним полупречницима чини преројиву азу топологије. Он је локалноеуклидски димензије n што може оправдати атлас са само једном картом (Rn, IdRn). △

Поједини аутори воле да искључе неки од услова из Дефиниције 1.1, али у природи ћемовеома ретко наићи на простор који не задовољава све наведене услове. Независност нашихзахтева илустроваћемо кроз неколико езотеричних примера.

Пример 1.2. Права са очима (line with two origins) је количнички простор дефинисан саM = {(x, y) : x ∈ R, y = ±1}/∼, где је ∼ релација еквиваленције дата са (x,−1) ∼ (x,1) заx = 0. Можемо га видети као M = (R \ {0}) ∪ {0A,0B}, при чему азу топологије чине отворениинтервали у R који не садрже 0 заједно са скуповима олика (−ε,0)∪ {0A} ∪ (0, ε) и скуповимаолика (−ε,0) ∪ {0B} ∪ (0, ε) за ε > 0. Наравно, преројиву азу лако доијамо од наведенеузимајући само интервале са рационалним крајевима, односно са рационалним ε. Очигледанхомеоморфизам f : M \ {0B} → R задат је са f(x) = x за x = 0A и f(0A) = 0. На пример, за0 < a < b је инверзна слика f−1(−a,b) = ((−a,0) ∪ {0A} ∪ (0, a)) ∪ (a/2,b), те је f непрекидно, аможе се показати да је и f−1 непрекидно. Како су иM \ {0A} иM \ {0B} хомеоморфни са R то јеM локално еуклидски димензије 1. Ако и M ио Хаусдорфов тада исмо могли да раздвојимотачке 0A и 0B отвореним скуповима, те и постојали a,b > 0 тако да су (−a,0) ∪ {0A} ∪ (0, a) и(−b,0) ∪ {0B} ∪ (0,b) дисјунктни, што није могуће. Дакле, M има преројиву азу, локално јееуклидски, али није Хаусдорфов. △

Пример 1.3. Оичну полуправу [0,+∞) можемо конструисати на неоичан начин са L = I ×[0,1) тако што узимамо полуотворене интервале индексиране по I = N са топологијом којуиндукује лексикографски поредак на L. Ако је I непреројив доро уређен скуп индекса, тадаје L = I × [0,1) аналогна оичној полуправој [0,+∞), али је у неком смислу дужа. Топологијауређења повлачи да је L Хаусдорфов простор, али он нема преројиву азу јер лако можемонаћи непреројиву дисјунктну фамилију отворених скупова у L (посматрајмо интервале између(i,0) и (i,1) за сваки индекс i ∈ I).

Цермелова22 теорема (која користи аксиому изора) каже да се сваки скуп може доро уре-дити. Ако постоји α ∈ I такво да је Jα = {x ∈ I : x < α} непреројив, тада ниједна отворенаоколина тачке (α,0) ∈ L није сепараилна (не постоји преројив густ подскуп), те није ни хо-меоморфна неком отвореном подскупу од R. Међутим, ако је I = ω1 први непреројив ординал(минимални непреројив доро уређен скуп), онда је Jα преројив за свако α ∈ I и уачка о-лурава L = ω1 × [0,1) ће ити локално еуклидска димензије 1 (L је локално хомеоморфно саR у свакој тачки сем почетне). Да исмо доили уачку раву (long line, Alexandroff 23 line)можемо залепити две дугачке полуправе на почетним тачкама. У питању је чудан простор јерсе не може сместити у неки Rn. △

Пример 1.4. Укрштене праве M = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y2} ⊂ R2 са потпростор топологијомје Хаусдорфов простор са преројивом азом. Ако је φ : V → φ(V) ⊆ Rn хомеоморфизам заотворену повезану околину V ⊆ M тачке 0 = (0,0), онда су V \ {0} и φ(V) \ {φ(0)} хомеоморфни.Међутим, V \ {0} има четири компоненте повезаности, док φ(V) \ {φ(0)} има две компонентеза n = 1 или само једну уколико је n > 1, тако да M није локално еуклидски. △

Провера да топологија има преројиву азу оично се своди на проверу да простор можеити покривен са преројиво много координатних околина (карата). Како отворени подскупо-ви од Rn имају преројиву азу то и значило да је наш простор преројива унија отворенихскупова са преројивом азом, те и и он сам имао преројиву азу. Провера да је простор Ха-усдорфов у принципу је такође једноставна. Ако две тачке леже у истој координатној околинионе се могу лако раздвојити. У супротном, оне никад не леже у истој координатној околини ипотрено је проверити да постоје карте у тим тачкама чији се домени не секу.

Услови тополошке многострукости се у пракси прилично рутински проверавају јер је уои-чајено да су Хаусдорфовост и преројива аза наследне осоине. На пример, оне се наслеђујупотпросторима и производима.22Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871–1953), немачки логичар и математичар23Павел Сергеевич Александров (1896–1982), совјетски математичар

4

1.2. Тоолошка мноосрукосПример 1.5. Нека је M = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2} кружни параолоид. Хаусдорфовост ипреројива аза су наслеђени изR3 релативном топологијом. Нормално пројектовање на раванz = 0 је хомеоморфизам параолоида и равни, тако да је довољно посматрати само једну картуφ : M → R2 која је дата са φ(x, y, z) = (x, y). Зато је параолоид M тополошка многострукостдимензије 2. △

Пример 1.6. За сваки отворен U ⊆ Rn и произвољно непрекидно пресликавање f : U → Rm,рафик од f је подскуп од Rn × Rm дефинисан са Γ(f) = {(x, y) : x ∈ U, y = f(x)}. Топологијаза Γ(f) је наслеђена из Rn+m = Rn × Rm, те је график Хаусдорфов са преројивом азом. Ло-кално је еуклидски јер можемо посматрати атлас са само једном картом φ : Γ(f) → U, где јеφ(x, y) = x пројекција. Очигледно је φ непрекидно, инвертиилно и са непрекидним инверзомφ−1(x) = (x, f(x)), што доказује да је Γ(f) тополошка n-многострукост. Можемо приметити да јепараолоид из Примера 1.5 само један специјални случај графика. △

Пример 1.7. Јединични круг S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} је 1-димензиона тополошкамногострукост, јер пресликавање ψ : R → S1 дато са ψ(t) = (cos t, sin t) има рестрикције намале отворене скупове који су хомеоморфизми. Општије, n-димензиона сфера са јединичнимполупречником центрирана у координатном почетку,

Sn = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : x21 + · · ·+ x2n+1 = 1},

зове се n-сфера. Хаусдорфовост и преројива аза за Sn са релативном топологијом су на-слеђене из Rn+1. Произвољној тачки (a1, . . . , an+1) ∈ Sn можемо доделити отворену хемисферуU = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn : a1x1 + · · · + an+1xn+1 > 0}. Нормална пројекција скупа U на хипер-раван са једначином a1x1 + · · · + an+1xn+1 = 0 је дата формулама (x1, . . . , xn+1) 7→ (x′1, . . . , x′n+1)где је x′i = xi − ai(a1x1 + · · · + an+1xn+1) за 1 6 i 6 n + 1 и одређује хомеоморфизам између U идиска {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : x21 + · · · + x2n+1 < 1, a1x1 + · · · + an+1xn+1 = 0}. Додатно, можемоприметити да је довољно користити само тачке чије су све координате нула осим једне, јер ћењима одговарајуће хемисфере прекрити цело Sn. Дакле, n-сфера је n-димензиона тополошкамногострукост за коју постоји атлас који се састоји од 2n+ 2 карте. Штавише, касније ћемо уПримеру 1.15 показати да постоји атлас на Sn који има свега две карте. △

Пример 1.8. Посматрајмо производM×N са стандардном топологијом производа, где суM иN тополошке многострукости димензија m и n респективно. Хаусдорфовост и преројива азасу наследне осоине производа, тако да преостаје да се испита да ли је локално еуклидски.За сваку тачку (p,q) ∈ M × N можемо изарати карту (U,φ) у p ∈ M и карту (V,ψ) у q ∈ N.Тражени хомеоморфизми на M × N доијају се на очигледан начин од оних дефинисаних наM и N, конкретно имамо φ × ψ : U × V → φ(U) × ψ(V) ⊆ Rm × Rn = Rm+n са (φ × ψ)(u, v) =(φ(u),ψ(v)). Зато је роизво мноосрукос M × N тополошка многострукост димензијеm+n. Конструкција производа многострукости може се лако продужити на производе коначномного тополошких многострукости. На пример, n-орус, Tn = S1 × · · · × S1 (n фактора) јетополошка многострукост димензије n. △

5

Глава 1. Глаке мноосрукоси1.3 Тополошке осоине многострукости

Две најчешће изучаване тополошке осоине кроз историју топологије су свакако повезаности компактност. За тополошки простор кажемо да је овезан уколико није унија два дисјунктнанепразна отворена подскупа. Тополошки простор је уно овезан ако су сваке две тачкеповезане путем (за свако x, y ∈ M постоји непрекидно пресликавање f : [0,1] → M такво да јеf(0) = x и f(1) = y), а локално уно овезан ако има азу која се састоји од путно повезанихскупова (свака тачка има путно повезану околину). Покривач неког скупа је фамилија скуповачија унија садржи тај скуп као подскуп, а уколико су сви елементи те фамилије отворени,онда је то оворен окривач. Поокривач неког покривача је његова потфамилија којаје такође покривач. За тополошки простор кажемо да је комакан ако сваки његов отворенпокривач има коначан потпокривач, а локално комакан ако свака тачка простора имакомпактну околину.

Иако је структура компактних подскупова еуклидског простора доро схваћена кроз Хај-не24–Борел25 теорему (подскуп од Rn је компактан ако и само ако је затворен и ограничен),повезани подскупови еуклидског простора су се показали као крупнији залогај. Док свакикомпактан Хаусдорфов простор јесте локално компактан, повезан простор (па чак и повезанподскуп еуклидске равни) не мора ити локално повезан. Многострукости као тополошки про-стори имају доста заједничких осоина са еуклидским просторима, те ћемо испитати које одњих су опстале.

Лема 1.1. Свака оолошка мноосрукос је локално комакна.

Доказ. Тополошка n-многострукост M је локално еуклидска те свака тачка p ∈ M има отво-рену околину U ∋ p и хомеоморфизам φ : U → U ⊆ Rn. Како је еуклидски простор локалнокомпактан то постоји компактна околина K тачке φ(p) ∈ Rn, на пример затворена кугла малогполупречника са центром φ(p), таква да је φ(p) ∈ K ⊂ φ(U), одакле је хомеоморфна инверзнаслика φ−1(K) компактна околина од p.

Ако је M локално компактан Хаусдорфов онда су сви компактни скупови у M затворени, исвака тачка p ∈ M лежи у отвореном скупу чије је затворење компактно.

Лема 1.2. Свака оолошка мноосрукос је локално уно овезана.

Доказ. Слично претходном доказу, посматрамо тачку p ∈ M и хомеоморфизам φ : U → U ⊆ Rn.Изаеримо отворену куглу B малог полупречника са центром φ(p), тако да је φ(p) ∈ B ⊂ φ(U)и доијамо путно повезану околину φ−1(B) тачке p.

Лема 1.3. Тоолошка мноосрукос је овезана ако и само ако је уно овезана.

Доказ. Како је сваки путно повезан тополошки простор повезан, а свака тополошка многостру-кост локално путно повезана (Лема 1.2), то је довољно показати да повезан и локално путноповезан тополошки простор јесте путно повезан. Како је простор локално путно повезан то јесвака компонента путне повезаности простора отворена, те је сам простор унија дисјунктнихотворених скупова који чине компоненте путне повезаности. Одавде следи да су компонентеповезаности и компоненте путне повезаности исте, што доказује тврђење.

Профињење покривача U од M је нови покривач V од M, такав да је свако V ∈ V садржа-но у неком U ∈ U . Једноставан пример профињења је потпокривач, али профињење је многофлексиилније од тога. На пример, покривање метричког простора отвореним куглама полу-пречника 2 може се профинити покривањем отвореним куглама полупречника 1. Фамилијаподскупова одM је локално коначна ако свака тачка изM има околину која сече само конач-но много скупова из те фамилије. Кажемо да је M аракомакно уколико сваки отворенпокривач од M има локално коначно отворено профињење.

Појам паракомпактности је увео Дједоне26 [10] као уопштење појма компактности. Сва-ки компактан простор је очигледно паракомпактан, док је најчувенији пример простора који24Heinrich Eduard Heine (1821–1881), немачки математичар25Félix Édouard Justin Émile Borel (1871–1956), француски математичар и политичар26Jean Dieudonné (1906–1992), француски математичар

6

1.4. Глаке мноосрукосиније паракомпактан дугачка права из Примера 1.3. Хаусдорфовост паракомпактног простораставља нам на располагање додатне јаче осоине.

Теорема 1.4. Сваки аракомакан Хаусорфов росор је реуларан.

Доказ. Нека јеM паракомпактан Хаусдорфов простор, p ∈ M, а C затворен скуп који не садржиp. За свако q ∈ C из Хаусдорфовости имамо дисјунктне отворене скупове Uq ∋ p и Vq ∋ q. Какоје C ⊆

∪q∈C Vq, скупови Vq и M \ C чине отворени покривач од M. Из паракомпактности за M,

постоји локално коначно отворено профињење. Ако из тога искључимо сваки отворен подскупкоји не сече C доијамо локално коначну фамилију A отворених подскупова, од којих је свакисадржан у неком Vq, која је покривач од C. Из локалне коначности за A, постоји отворенскуп W ∋ p такав да постоји само коначно много чланова A1, . . . ,Ak од A који секу W. Нека суq1, . . . ,qk тачке из C такве да Ai ⊆ Vqi ∋ qi важи за 1 6 i 6 k. Дефинишимо U = W∩Uq1 ∩· · ·∩Uqkи V =

∪A. Лако је приметити да су U и V дисјунктни отворени скупови. Зато се p ∈ U и C ⊆ V

могу раздвојити околинама, те је M регуларан.

Штавише, оригинална теорема коју је поставио Дједоне каже да је сваки паракомпактанХаусдорфов простор нормалан, али то тврђење нам није неопходно. Сваки локално компактанХаусдорфов простор са преројивом азом је паракомпактан, те је зато таква и тополошкамногострукост (Дефиниција 1.1, Лема 1.1).

Теорема 1.5. Свака оолошка мноосрукос је аракомакна.

Доказ. Нека је M локално компактан Хаусдорфов простор са преројивом азом. У локалнокомпактном ХаусдорфовомM свака тачка има отворену околину чије је затворење компактно,самим тим и азну такву околину (као затворен подскуп компактног скупа). Дакле, M имапреројиву азу {Wi}i∈N такву да су скуповиWi компактни за свако i ∈ N. Поставимо K1 = W1 ииндуктивно претпоставимо да су компактниKj дефинисани за 1 6 j 6 n. Како је {Wi}i∈N отворенпокривач компактног Kn, то постоји најмањи m ∈ N такав да је Kn ⊂

∪mi=1Wi, те дефинишемо

Kn+1 =∪m

i=1Wi који је компактан као коначна унија компактних скупова. На овај начин кон-струисали смо исцрљивање (exhaustion) одM као фамилију компактних подскупова {Kn}n∈Nод M за коју је Kn ⊂ Int(Kn+1) и M =

∪n∈N Kn.

Нека је U отворен покривач од M за који тражимо локално коначно профињење. За свакоp ∈ M постојиUp ∋ p из U , као и најмање n ∈ N за које важи p ∈ Int(Kn) и p /∈ Int(Kn−1). Скуп (Kn\Int(Kn−1)) је компактан подскуп отвореног (Int(Kn+1) \ Kn−2), те постоји коначна потфамилијакоја га покрива, а састоји се од скупова олика Vp = (Int(Kn+1) \Kn−2)∩Up. Наравно, у случајуn = 1 или n = 2 потрена је мала модификација, рецимо Vp = Int(K3) ∩ Up. У сваком случајуовакав Vp може да исече само скупове таквог олика чије n од оригиналног одступа највишеза један, а њих је коначно много. Дакле, скупови олика Vp чиниће нову азу која је локалноконачно профињење од U .

1.4 Глатке многострукостиДефиниција тополошке многострукости довољна је за изучавање тополошких осоина по-

пут компактности и повезаности. Међутим, глаткоћа није инваријанта хомеоморфизма (круги квадрат су хомеоморфни, али квадрат није гладак), те је тополошка структура недовољна даомогући инфинитезимални рачун. Зог тога тополошка многострукост захтева увођење додат-не структуре која ће ојаснити које функције на многострукости су глатке.

Глатку структуру засноваћемо на инфинитезималном рачуну за пресликавања између еу-клидских простора. Ако су U ⊆ Rn и V ⊆ Rm отворени подскупови еуклидских простора, функ-ција f : U → V је глатка ако свака од њених компонента функција има непрекидне парцијалнеизводе сваког реда. У нашој терминологији појам лаке (или иференцијаилне) функцијезначи да је функција класе C∞, иако неки аутори више воле другачије значење, на примерфункције класе Ck за мале вредности k. Ако је глатка функција f ијективна и има глатку ин-верзну функцију, онда је у питању ифеоморфизам, као специјални случај хомеоморфизма.

Нека је f : M → R реална функција на тополошкој n-многострукости M. Како је M локалноеуклидско, за сваку тачку p ∈ M постоји карта (U,φ) у p. Природно можемо идентификовати

7

Глава 1. Глаке мноосрукосиf са композицијом f ◦ φ−1 : U → R, где је U = φ(U) ⊆ Rn и рећи да је f глатко ако и само ако јеf ◦ φ−1 глатко у уоичајеном еуклидском смислу. Међутим, потрено је оезедити да оваквадефиниција не зависи од изора карте, што нас доводи до појма глатких карата.

Нека је M тополошка n-многострукост и нека су (U,φ) и (V,ψ) карте на M. Функција ре-ласка (transition map) је композиција хомеоморфизама ψ ◦ φ−1 : φ(U ∩ V) → ψ(U ∩ V), где јеU ∩ V = ∅, те је и сама хомеоморфизам. Кажемо да су карте (U,φ) и (V,ψ) саласне (overlapsmoothly) уколико је функција преласка ψ ◦ φ−1 дифеоморфизам или важи U ∩ V = ∅. Какосу домен и кодомен функције преласка отворени подскупови од Rn то значи да су и ψ ◦ φ−1 иφ ◦ ψ−1 глатке функције у оичајеном смислу.

φ(U)

U

φ

ψ(V)

V

ψ

ψ ◦ φ−1

Глаак алас на M је атлас на M чије су сваке две карте сагласне. За произвољне карте(U,φ) и (V,ψ) у p ∈ M из глатког атласа, пресликавање φ ◦ ψ−1 је глатко, те из декомпозиције(f ◦ ψ−1)�ψ(U∩V)= (f ◦ φ−1) ◦ (φ ◦ ψ−1) имамо да је f ◦ ψ−1 глатко у ψ(p) ако и само ако је f ◦ φ−1

глатко у φ(p). Можемо закључити да је f : M → R глатко ако и само ако је f◦φ−1 глатко за свакукарту (U,φ) из фиксираног глатког атласа на M.

Глака срукура на тополошкој многострукости M је додатна структура која недво-смислено одређује које реалне функције на M су глатке. Она се задаје глатким атласом напретходно описан начин. Ипак, овакав приступ има један мањи технички пролем јер постојемноги изори глатког атласа који дају исту глатку структуру. На пример, атлас од једне карте{(Rn, IdRn)} и атлас {(B1(p), IdB1(p)) : p ∈ Rn} чије су координатне околине јединичне кугле, дајуисту глатку структуру на Rn, за коју је f : Rn → R глатко ако и само ако је уоичајено глатко.

Глатка структура може се схватити као класа еквиваленције глатких атласа, али је уои-чајено да захтевамо комплетност атласа. Комлеан лаак алас је максималан гладакатлас у смислу да није садржан ни у једном већем глатком атласу. То заправо значи да је картакоја је сагласна са свим картама из комплетног глатког атласа већ у њему.Лема 1.6. Сваки лаак алас на оолошкој мноосрукоси је саржан у јеинсвеномкомленом лаком аласу.Доказ. Нека је A гладак атлас на тополошкој многострукости M, и нека је B скуп свих каратакоје су сагласне са сваком картом из A. Нека су (U,φ) и (V,ψ) карте из B са U∩V = ∅ и нека јеx ∈ φ(U∩V) произвољна тачка у домену од ψ◦φ−1. За p = φ−1(x) ∈ U∩V постоји карта (W, θ) у pизA. Како је p ∈ U∩V∩W, скуп X = φ(U∩V∩W) је околина од x, и (ψ◦φ−1)�X= (ψ◦θ−1

)◦(θ◦φ−1)је глатко као композиција глатких пресликавања. Зато је ψ ◦φ−1 глатко у околини сваке тачкеиз φ(U∩V), те је ψ ◦ φ−1 глатко. Додатно је A ⊆ B одакле следи да B покриваM, те је B гладакатлас. Ако је нека карта сагласна са сваком картом из B ⊇ A, она је по дефиницији већ у B,те је B комплетан. Сваки комплетан гладак атлас који садржи A мора садржати и B, али зогкомплетности од B важи и орат, те је B јединствено.

8

1.4. Глаке мноосрукосиГлатку структуру на тополошкој многострукости дефинише комплетан гладак атлас. Шта-

више, захваљујући Леми 1.6, за одређивање глатке структуре није неопходно навести конкре-тан комплетан гладак атлас, већ само неки гладак атлас.

Дефиниција 1.2. Глака n-мноосрукос или иференцијална n-мноосрукос јетополошка n-многострукост снадевена комплетним глатким атласом.

У овој књизи, уколико експлицитно не наведемо другачије, реч мноосрукос означаваглатку n-многострукост. Димензија глатке n-многострукости M је n = dimM. Уколико жели-мо да нагласимо димензију n, заM ћемо рећи да је n-мноосрукос или ћемо је наговеститикроз степен и написати да је Mn многострукост.

Важно је разумети да многострукост није само скуп, већ више пар (M,A) који се састоји одскупаM и глатког атласа A наM. Уоичајено је да злоупотреом језика говоримо о многостру-кости M чији се (комплетан) гладак атлас A имплицитно подразумева. При том, карта на Mувек ће означавати карту из тог атласа A

У општем случају није погодно дефинисати глатку структуру тако што експлицитно наве-демо комплетан гладак атлас јер он садржи превише карата. За већину примена довољно јеизарати мањи гладак атлас. На пример, ако је многострукост компактна, тада можемо на-ћи гладак атлас са свега коначно много карата. Комплетан гладак атлас дозвољава великуфлексиилност у изору карте.

Лема 1.7. Ако је (U,φ) кара на n-мноосрукоси M, аа је (V, f◦φ�V) кара у комленомлаком аласу за сваки оворен оску V ⊆ U и ифеоморфизам f : φ(V) → f(φ(V)) ⊆ Rn.

Доказ. Дифеоморфизам између подскупова одRn је хомеоморфизам, тако да су V и f(φ(V)) ⊆ Rn

отворени, док је f ◦ φ�V хомеоморфизам. Додатно, за сваку карту (W,ψ), функција преласка(f ◦ φ�V) ◦ ψ−1 = f ◦ (φ�V ◦ψ−1) је дифеоморфизам.

Кажемо да је карта (U,φ) ценрирана у p ∈ U ако је φ(p) = 0. Честа употреа Леме1.7 односи се на случај када је f транслација дата са f(x) = x − φ(p) која шаље φ(p) у 0 ∈ Rn.Последично, за сваку тачку p ∈ M постоји карта на M центрирана у p.

Сада ћемо размотрити неке доро познате примере многострукости.

Пример 1.9. Једина околина тачке p у 0-многострукости M која је хомеоморфна отвореномподскупу од R0 је само {p}, те постоји јединствена карта φ : {p} → R0. Све карте на M сутривијално сагласне и свака 0-многострукост може ити једино преројив дискретан простор.Напоменимо да услов преројиве азе из Дефиниције 1.1 суштински спречава даR посматрамокао 0-многострукост. △

Пример 1.10. Ако тополошка многострукостM има атлас који се састоји од само једне картеонда услов сагласности тривијално важи и та карта аутоматски одређује глатку структуру наM. Еуклидски простор Rn са картом (Rn, IdRn) је тополошка n-многострукост (Пример 1.1), и таидентичка карта одређује такозвану санарну лаку срукуру наRn. Уколико експли-цитно не нагласимо другачије, Rn ће увек ити n-многострукост са том стандардном глаткомструктуром. Такође, график ило које непрекидне функције на отвореном подскупу од Rn јетополошка n-многострукост са једном картом (Пример 1.6), те самим тим и n-многострукост.Многе познате површи су зог тога многострукости, на пример елиптички или хипероличкипараолоид. △

Пример 1.11. Стандардну глатку структуру на 1-многострукости R одређује само једна карта(R, IdR), што смо видели у Примеру 1.10. Међутим, ако узмемо карту (R,φ), где је φ : R → Rдато са φ(x) = x3, одредићемо неку нову глатку структуру на R. Како функција преласкаIdR ◦φ−1(y) = y 1

3 није глатка у нули, наше две карте нису сагласне и зог тога одређују различи-те глатке структуре. Тако смо доили нову 1-многострукост Rшто показује да иста тополошкамногострукост може имати више различитих глатких структура. △

Пример 1.12. Нека је M произвољна многострукост, а U ⊂ M отворен подскуп. Атлас на Uможе се дефинисати као скуп свих карата (V,φ) из оригиналног комплетног глатког атласаза које важи V ⊆ U. Свака тачка p ∈ U ⊂ M је садржана у домену неке карте (V,φ) на M,

9

Глава 1. Глаке мноосрукосидок је (V ∩ U,φ�(V∩U)) карта у p ∈ U по Леми 1.7 за идентички дифеоморфизам. Како је Uпокривено оваквим координатним околинама то смо конструисали гладак атлас на U. Дакле,сваки отворен подскуп U многострукости M на природан начин и сам постаје многострукостисте димензије као M, а кажемо да је U оворена омноосрукос од M. △Пример 1.13. Заm,n ∈ N, са Rm×n оележићемо векторски простор свих реалнихm×n матри-ца. Како је Rm×n изоморфно са Rmn доделићемо му одговарајућу топологију. Линеарна руаје

GL(n,R) = {A ∈ Rn×n : detA = 0} = det−1(R \ {0}),

те како је детерминанта det : Rn×n → R непрекидна функција, GL(n,R) је отворен подскуп одRn×n ∼= Rn2 и зато је многострукост димензије n2. Слично, комплексна линеарна групаGL(n,C),што је група инвертиилних n × n комплексних матрица, је отворен подскуп од Cn×n ∼= R2n2 изато је многострукост димензије 2n2. △Пример 1.14. Пример 1.13 можемо уопштити на правоугаоне матрице пуног ранга. Нека јеRm×nm подскуп од Rm×n који се састоји од матрица ранга m < n. Свако A ∈ Rm×n

m има некуподматрицу B ∈ GL(m,R). Из непрекидности детерминанте имамо detB = 0 на околини од Aу Rm×n

m , одакле следи да A има околину садржану у Rm×nm , те је Rm×n

m отворен подскуп од Rm×n.Зато је Rm×n

m многострукост димензије mn. △Пример 1.15. У Примеру 1.7 показали смо да је Sn тополошка n-многострукост користећиатлас са 2n+ 2 карте. Број карата у атласу се може значајно смањити, али како је Sn компак-тан, а компактност је инваријанта хомеоморфизма, не постоји атлас са само једном картом.Посматрајмо две тачке p± = (0, . . . ,0,±1) ∈ Sn и два скупа U± = Sn \ {p∓} која покривајуцелокупно Sn.

p+

p−

q

φ−(q)

φ+(q)

Атлас можемо направити од две сереорафске ројекције φ± : U± → Rn дефинисане са

φ±(x1, . . . , xn, xn+1) =1

1± xn+1(x1, . . . , xn).

Оваква пресликавања φ± су непрекидна, инвертиилна, и њихов инверз

φ−1± (y1, . . . , yn) =

11+ y21 + · · ·+ y2n

(2y1, . . . ,2yn,∓(−1+ y21 + · · ·+ y2n))

је такође непрекидан. Функција преласка

φ− ◦ (φ+)−1(y1, . . . , yn) =

1y21 + · · ·+ y2n

(y1, . . . , yn) (1.1)

је очигледан дифеоморфизам из Rn \ {0} у самог сее, те су наше карте сагласне. Дакле,стереографске пројекције на n-сфери чине гладак атлас, те одређују глатку структуру n-многострукости Sn. Важно је напоменути да карте из Примера 1.7 такође чине гладак атлас,као и да су оа наведена атласа сагласна, односно одређују исту глатку структуру, што је стан-дардна глатка структура n-сфере. △

10

1.5. Количничке мноосрукосиПример 1.16. Нека су Mm и Nn многострукости. Већ смо доказали да је M × N тополошка(m+ n)-многострукост (Пример 1.8). Сваке две карте (φ1×ψ1) и (φ2×ψ2) из атласа производасу сагласне зог глатке функције преласка, (φ2 × ψ2) ◦ (φ1 × ψ1)

−1 = (φ2 ◦ φ−11 ) × (ψ2 ◦ ψ−1

1 ).Атлас производа одређује природну глатку структуру на производ многострукостиM×N. Затосу торус S1 × S1 и цилиндар S1 × R многострукости. Као и раније, производ коначно многомногострукости је многострукост, те је и n-торус Tn глатка n-многострукост. △

1.5 Количничке многострукостиЛепљење је доар метод конструкције нових тополошких простора од неких већ познатих.

На пример, лепљењем горње и доње ивице квадрата доијамо цилиндар, док даљим лепљењемграница цилиндра доијамо торус. Количничка конструкција је процес који почиње релацијомеквиваленције ∼ на тополошком простору M, где сваку класу еквиваленције идентификујемоса тачком новог простора. Количнички простор M/∼ је скуп класа еквиваленције, те посто-ји природна пројекција π : M → M/∼ која тачку p ∈ M пресликава у њој одговарајућу класуеквиваленције π(p) = [p].

Количничку топологију наM/∼ дефинишемо тако што скуп U ⊆ M/∼ проглашавамо за отво-рен ако и само ако је π−1(U) ⊆ M отворен. Како је по дефиницији инверзна слика отвореногскупа у M/∼ отворена у M, пројекција π је увек непрекидна. Међутим, чак иако је почетнипростор многострукост, количнички простор често није многострукост. Хаусдорфовост и пре-ројива аза се не чувају количницима (за разлику од подскупова и производа), тако да морамопосено истражити ове осоине.

Веома је захвално имати да је π отворено пресликавање (слика отворене скупове у отво-рене скупове), што се дешава када је скуп свих тачака еквивалентних неким тачкама из U,π−1(π(U)) =

∪p∈U[p], отворен за сваки отворен U ⊆ M. Наравно, треа ити опрезан јер у

општем случају, пројекција на количнички простор није отворено пресликавање.

Пример 1.17. Нека је ∼ релација еквиваленције на R која идентификује тачке 1 и 3. Тадаза пројекцију π : R → R/∼ и отворен скуп U = (0,2) имамо π−1(π(U)) = (0,2) ∪ {3} који нијеотворен, те ни π није отворено. △

Погодности које доијамо из отворене пројекције могу се видети у наредним лемама.

Лема 1.8. Ако је {Bα}α∈Λ аза оолошко росора M, а ројекција π : M → M/∼ овореноресликавање, аа је {π(Bα)}α∈Λ аза количничко росора M/∼.

Доказ. Како је π отворено, {π(Bα)}α∈Λ је фамилија отворених скупова у M/∼. За отворен скупU у M/∼ са [p] ∈ U, p ∈ M, скуп π−1(U) је отворен и постоји α ∈ Λ такво да је p ∈ Bα ⊆ π−1(U).Тада је [p] = π(p) ∈ π(Bα) ⊆ U што доказује да је {π(Bα)}α∈Λ аза.

Лема 1.9. Количнички росор M/∼ са овореном ројекцијом π : M → M/∼ је Хаусорфовако и само ако је рафик {(p,q) ∈ M×M : π(p) = π(q)} заворен у M×M.

Доказ. Нека је R = {(p,q) ∈ M×M : π(p) = π(q)} график релације еквиваленције ∼ на M. Тадаје R затворен у M ×M ако и само ако је (M ×M) \ R отворен у M ×M, што значи да за свако(p,q) ∈ (M×M)\R постоји азни отворен скуп U×V ∋ (p,q) такав да је (U×V)∩R = ∅. Дакле, Rје затворен ако и само ако за сваке две тачке [p] = [q] из M/∼, постоје отворене околине U ∋ pи V ∋ q у M такве да је π(U) ∩ π(V) = ∅.

Ако је R затворен у M×M и π отворено тада су π(U) ∋ [p] и π(V) ∋ [q] дисјунктни отворенискупови у M/∼, те је M/∼ Хаусдорфов. Оратно, ако је M/∼ Хаусдорфов, за [p] = [q] из M/∼постоје дисјунктни отворени скупови P ∋ [p] иQ ∋ [q], тако да суU = π−1(P) ∋ p и V = π−1(Q) ∋ qотворени скупови, одакле су π(U) = P и π(V) = Q дисјунктни.

У случају да је релација еквиваленције∼ аш једнакост, тада јеM/∼ = M, а график R је дија-гонала {(p,p) ∈ M×M}. Тада Лема 1.9 постаје доро позната карактеризација да је тополошкипростор Хаусдорфов ако и само ако му је дијагонала затворена у M×M.

11

Глава 1. Глаке мноосрукосиПример 1.18. Реални ројекивни росор RPn димензије n је скуп свих 1-димензионихпотпростора векторског простора Rn+1. Он је количнички простор одређен пројекцијомπ : Rn+1 \ {0} → RPn које тачке x ∈ Rn+1 \ {0} шаље у класе еквиваленције π(x) = [x] = Span{x},што ће ити тачка простора RPn = (Rn+1 \ {0})/∼. За отворен U ⊆ Rn+1 \ {0}, како је множе-ње са λ = 0 хомеоморфизам од Rn+1 \ {0} то је λU отворен, одакле је π−1(π(U)) =

∪λ =0 λU

отворен, што значи да је пројекција π отворено пресликавање. Из Леме 1.8 одмах следи даRPn има преројиву азу, док је за Хаусдорфовост по Леми 1.9 довољно показати да је графикR = {(x, y) : π(x) = π(y)} затворен у (Rn+1 \ {0}) × (Rn+1 \ {0}). Ако дефинишемо непрекиднуфункцију f : (Rn+1 \ {0})× (Rn+1 \ {0}) → R са

f((x1, . . . , xn+1), (y1, . . . , yn+1)) =∑i=j

(xiyj − yixj)2,

приметићемо да је f(x, y) = 0 ако и само ако је π(x) = π(y), те је R = f−1({0}) затворен, штодоказује да је RPn Хаусдорфов.

Уведимо скупове Ui = {(x1, . . . , xn+1) : xi = 0} ⊂ Rn+1 \ {0} и Ui = π(Ui) ⊆ RPn за 1 6 i 6 n+ 1.Функција φi : Ui → Rn дата са

φi([(x1, . . . , xn+1)]) =

(x1xi, . . . ,

xi−1xi

,xi+1xi

, . . . ,xn+1xi

)је доро дефинисана јер вредност φi([x]) не зависи од множења x = (x1, . . . , xn+1) неким ненуласкаларом. Пројекција π је отворена, те је Ui отворен, а како је φi ◦ π непрекидно, то је φiнепрекидно. Пресликавање φi је очигледно ијективно са инверзом

φ−1i (u1, . . . ,un) = [u1, . . . ,ui−1,1,ui,ui+1, . . . ,un],

тако да је φi хомеоморфизам између Ui и Rn. Како су (Ui,φi) карте на RPn за 1 6 i 6 n + 1и RPn =

∪n+1i=1 Ui, то смо конструисали атлас, те је RPn локално еуклидски простор димензије

n. Додатно, наше карте (Ui,φi) су сагласне и одређују глатку структуру. На пример, за i > jдиректан рачун даје

φj ◦ φ−1i (u1, . . . ,un) =

(u1uj

, . . . ,uj−1uj

,uj+1uj

, . . . ,ui−1uj

,1uj,uiuj, . . . ,

unuj

),

што је дифеоморфизам између φi(Ui ∩Uj) и φj(Ui ∩Uj). Слично можемо показати да је φj ◦ φ−1i

дифеоморфизам и у случају i < j, што доказује да је RPn глатка n-многострукост. △

1.6 Глатка пресликавањаПодсетимо се идеја које стоје иза увођења глатке структуре на многострукостиM. Произво-

љан гладак атлас наM одређује глатку структуру, односно говори које функције на многостру-кости M су глатке. Реална функција f : M → R је глатка уколико је f ◦ φ−1 глатко за неку карту(U,φ) тог атласа, самим тим то важи за сваку карту одговарајућег јединственог комплетногатласа.

Скуп свих глатких реалних функција f : M → R на многострукости M означићемо са F(M).За две функције f,h ∈ F(M) природно дефинишемо функције f + h (зир), fh (производ) и αf(множење скаларом α ∈ R) преко једначина

(f+ h)(p) = f(p) + h(p), (fh)(p) = f(p)h(p), (αf)(p) = αf(p),

које важе за свако p ∈ M. Можемо приметити да ове нове функције такође припадају F(M),односно да скуп F(M) постаје комутативан прстен са јединицом као и алгера над R.

Спремни смо да проширимо појам глаткоће за најопштији случај, што је пресликавање изме-ђу две многострукости. Природна идеја је поистоветити пресликавање између многострукостиf : M → N са њеном кооринаном ререзенацијом ψ ◦ f ◦ φ−1, где је (U,φ) карта на M, а(V,ψ) карта наN. Домен од ψ◦f◦φ−1 је (f◦φ−1)−1(V) = φ(U∩f−1(V)), али он у општем случају немора ити отворен скуп. Отворен домен координатне репрезентације можемо осигурати крознаредну дефиницију.

12

1.6. Глака ресликавањаДефиниција 1.3. Пресликавање f : M → N између две многострукости M и N је лако акоза сваку тачку p ∈ M постоје карте (U,φ) у p ∈ M и (V,ψ) у f(p) ∈ N, са f(U) ⊆ V такве да јеψ ◦ f ◦ φ−1 : φ(U) → ψ(V) еуклидски глатко.

φ(U) ψ(V)

φ

p

U

ψ

V

f(U)

ψ ◦ f ◦ φ−1

f f(p)

Ова дефиниција је одарана као релаксиранија јер се услов глаткоће проверава само за до-вољан рој карата које покривају M и N. За карте из Дефиниције 1.3 важи f(U) ⊆ V, одакле једомен φ(U ∩ f−1(V)) = φ(U) отворен скуп. Са друге стране, најољи начин да осигурамо отво-рен домен координатне репрезентације је непрекидност пресликавања f. Глаткоћа очекиваноповлачи непрекидност, што видимо у наредној леми.

Лема 1.10. Глако ресликавање између мноосрукоси је нерекино.

Доказ. Нека је f : M → N глатко пресликавање између многострукости M и N. За произвољноp ∈ M постоји карта (U,φ) у p ∈ M и карта (V,ψ) у f(p) ∈ N са f(U) ⊆ V, тако да је ψ ◦ f ◦φ−1 еуклидски глатко, самим тим и непрекидно. Рестрикција f�U : U → V се може видети каокомпозиција непрекидних пресликавања ψ−1 ◦ (ψ ◦ f ◦ φ−1) ◦ φ, те је и сама непрекидна. Какоје f непрекидно на околини сваке тачке p ∈ M оно је непрекидно на целом M.

Наравно, сагласност карата продужиће услов глаткоће на све карте. Нека је (U,φ) карта наM, а (V,ψ) карта на N. По Леми 1.10, глатко f : M → N је непрекидно, што даје отворено f−1(V),те функција ψ ◦ f ◦ φ−1 има отворен домен D = φ(U ∩ f−1(V)). За произвољну тачку d ∈ D = ∅,означимо p = φ−1(d), те постоје карте (U1,φ1) у p ∈ M и (V1,ψ1) у f(p) ∈ N са f(U1) ⊆ V1 иглатким ψ1 ◦ f ◦ φ−1

1 . Како је (ψ ◦ f ◦ φ−1)�φ(U∩U1)= (ψ ◦ ψ−11 ) ◦ (ψ1 ◦ f ◦ φ−1

1 ) ◦ (φ1 ◦ φ−1), доксу функције преласка ψ ◦ ψ−1

1 и φ1 ◦ φ−1 глатке на одговарајућим околинама, то је ψ ◦ f ◦ φ−1

глатко на φ(U∩U1) ∋ d као композиција глатких пресликавања. Дакле, глатко f повлачи глаткоψ ◦ f ◦ φ−1 што је алтернативни начин да се постави дефиниција глатких пресликавања.

Лема 1.11. Нерекино ресликавање f : M → N између мноосрукоси M и N је лако акои само ако је за сваку кару (U,φ) на M и сваку кару (V,ψ) на N, функција ψ◦f◦φ−1 еуклискилака.

Доказ. Већ смо размотрили једну страну доказа, те преостаје друга. Нека је функција ψ◦f◦φ−1

глатка за сваку карту (U,φ) наM и сваку карту (V,ψ) на N. За произвољно p ∈ M постоје карте(U,φ) у p ∈ M и (V,ψ) у f(p) ∈ N. Непрекидно f повлачи да је W = U ∩ f−1(V) отворен скуп, те је(W,φ�W) карта у p ∈ M. Одавде следи f(W) ⊆ V као и да је ψ ◦ f ◦ (φ�W)−1 : φ(W) → ψ(V) глатко, теје f глатко по Дефиницији 1.3.

Лема 1.11 покрива у литератури најчешћу дефиницију глаткоће. Пресликавање f : M → Nизмеђу две многострукости је глатко ако је за сваку карту (U,φ) на M и сваку карту (V,ψ) наN, функција ψ ◦ f ◦φ−1 еуклидски глатка уз захтев да је φ(U∩ f−1(V)) отворен скуп. На пример,φ(U∩f−1(V)) ће ити отворен ако је f непрекидно. Уколико дозволимо да домен не уде отворенскуп може се појавити пролем из наредног примера.

13

Глава 1. Глаке мноосрукосиПример 1.19. Карактеристична (индикатор) функција f : R → {0,1} ⊂ R скупа {x ∈ R : x > 0},има репрезентацију ψ ◦ f ◦φ−1 = f�U∩f−1(V). Посматрамо једну карту (R, Id) наM = R и две картена N = R, на пример ((−∞,1), Id) и ((0,+∞), Id). За V = (−∞,1), скуп D = (−∞,0) је отворени ψ ◦ f ◦ φ−1 је константно једнако 0, те је глатко. Међутим, за V = (0,+∞), скуп D = [0,+∞)није отворен, али је ψ ◦ f ◦ φ−1 константно једнако 1 и зато има глатко продужење на отворенскуп. Наш циљ је да уопштимо дефиницију глатке функције између еуклидских простора, тене желимо да овакво пресликавање које није непрекидно, самим тим ни еуклидски глатко,постане глатко. △

Зог претходног примера увек ћемо захтевати да је φ(U ∩ f−1(V)) отворен скуп, те после-дично тражимо непрекидност за f. Приметимо да дефиниција глатких пресликавања измеђумногострукости уопштава претходне концепте. На пример, пресликавање између отворенихподскупова еуклидских простора f : U → Rn са отвореним U ⊆ Rm, има координатну репрезен-тацију (у односу на идентичке карте) једнаку некој рестрикцији од f, те је зато f глатко ако исамо ако је еуклидски глатко. Слично, у случају f : M → R имамо поклапање глатких пресли-кавања између многострукости са глатким функцијама које одређује глатка структура.

Ако је рестрикција пресликавања f : M → N на неку околину од p ∈ M глатка, кажемо да је fлако у p. Пресликавање f је глатко ако и само ако је f глатко у свакој тачки одM, те можеморећи да је глаткоћа локално својство, при чему важи наредна лема.

Лема 1.12. Нека су M и N мноосрукоси и нека је {Uα}α∈Λ фамилија оворених скуоваиз M. Ако су ресликавања fα : Uα → N за α ∈ Λ лака и за свако α, β ∈ Λ важи fα = fβ наUα ∩ Uβ, она осоји јеинсвено лако ресликавање f :

∪α∈Λ → N чија је ресрикција на

Uα јенака fα за свако α ∈ Λ.

Пример 1.20. Очигледан пример глатког пресликавања је идентичко пресликавање, или јошопштије инклузија f : U ↪→ M отворене подмногострукости U ⊆ M. Свако константно преслика-вање c : M → N је такође глатко. △

Лема 1.13. Комозиција лаких ресликавања између мноосрукоси је лака.

Доказ. Нека су f : M → N и h : N → P глатка пресликавања. Како је h глатко, за свако p ∈ Mпостоје карте (V,ψ) у f(p) ∈ N и (W, θ) у h(f(p)) ∈ P, са h(V) ⊆ W такве да је θ ◦ h ◦ ψ−1 : ψ(V) →θ(W) глатко. Пресликавање f је глатко, те и непрекидно (Лема 1.10), одакле је f−1(V) отворенаоколина од M у тачки p, зог чега постоји карта (U,φ) у p ∈ M са U ⊆ f−1(V). Како је f глатко,ψ◦f◦φ−1 : φ(U) → ψ(V) је глатко по Леми 1.11. Даље имамо (h◦f)(U) ⊆ h(V) ⊆ W и θ◦(h◦f)◦φ−1 =(θ ◦ h ◦ ψ−1) ◦ (ψ ◦ f ◦ φ−1) : φ(U) → θ(W) је глатко као композиција глатких функција измеђуеуклидских простора.

Иако сама дефиниција није једноставна, често се праволинијски доказује да је конкретнопресликавање глатко. Најчешће се пресликавање запише у локалним координатама, те сењегове компоненте функције препознају као композиције глатких елементарних функција илипресликавања за која већ знамо да су глатка.

Пример 1.21. Произвољно пресликавање из 0-димензионе многострукости на глатку много-струкост је глатко јер је свака координатна репрезентација константна. △

Пример 1.22. Нека је (U,φ) карта на n-многострукости M у тачки p ∈ M. Нека су πi : Rn → Rза 1 6 i 6 n природне пројекције, πi(u1, . . . ,un) = ui. Кооринане функције карте (U,φ) суфункције xi : U → R дефинисане са xi = πi◦φ за 1 6 i 6 n, што значи да је φ(u) = (x1(u), . . . , xn(u))за свако u ∈ U. Координатне функције су глатке јер је координатна репрезентација xi ◦ φ−1

заправо рестрикција пројекције πi. △

Пример 1.23. Нека су M и N многострукости, а πM : M × N → M, πM(p,q) = p пројекција напрву компоненту. Нека је (U,φ) карта у p ∈ M, а (V,ψ) карта у q ∈ N, тада је (U×V,φ×ψ) картау (p,q) ∈ M×N. Координатна репрезентација од πM је φ ◦ πM ◦ (φ×ψ)−1 : (φ×ψ)(U×V) → φ(U)дата са (a1, . . . , am,b1, . . . ,bn) 7→ (a1, . . . , am), што је глатко, те је зато и πM глатко. △

14

1.7. ДифеоморфизмиПример 1.24. Висинска функција f : Sn → R на n-сфери са стандардном глатком структуромје дата са f(x1, . . . , xn+1) = xn+1. Уз помоћ формула из Примера 1.15 можемо израчунати

(f ◦ φ−1± )(y1, . . . , yn) = ∓

−1+ y21 + · · ·+ y2n1+ y21 + · · ·+ y2n

,

што је глатко, те је f глатко. У општијем случају можемо посматрати глатку функцију f : Rn+1 →R и њену рестрикцију f�Sn= f ◦ ı, где је ı : Sn ↪→ Rn+1 инклузија. Инклузија тополошког потпро-стора је свакако непрекидна. Штавише, њена координатна репрезентација ı ◦ φ−1

± : Rn → Rn+1

јеı ◦ φ−1

± (y1, . . . , yn) =1

1+ y21 + · · ·+ y2n(2y1, . . . ,2yn,∓(−1+ y21 + · · ·+ y2n)),

што је глатко, те је ı глатко и коначно f�Sn је глатко. △

Пример 1.25. Количничка пројекција π : Rn+1 \ {0} → RPn из Примера 1.18 је глатка. Њенакоординатна репрезентација у односу на уведене координате за RPn и стандардне координатеза Rn+1 \ {0} гласи

φi ◦ π ◦ Id−1(x1, . . . , xn+1) = φi([x1, . . . , xn+1]) =

(x1xi, . . . ,

xi−1xi

,xi+1xi

, . . . ,xn+1xi

),

што је очигледно глатко за (x1, . . . , xn+1) ∈ Ui, односно за xi = 0. △

Лијева руа27 је многострукост G која је такође и група у алгеарском смислу са свој-ством да су операције те групе сагласне са глатком структуром. Конкретно, захтева се да имножење μ : G× G → G, μ(a,b) = ab и инверзно пресликавање ı : G → G, ı(a) = a−1 уду глаткапресликавања.

Пример 1.26. Наведимо неколико основних примера Лијевих група. Еуклидски простор Rn јеЛијева група у односу на саирање. Скуп свих ненула комплексних ројева C \ {0} је Лијевагрупа у односу на множење. Јединични круг S1 у C \ {0} је Лијева група у односу на множење.Производ G1 × G2 две Лијеве групе (G1,μ1) и (G2,μ2) је Лијева група у односу на множење покоординатама μ1 × μ2. △

Пример 1.27. Линеарна група GL(n,R) = {A ∈ Rn×n : detA = 0} из Примера 1.13 је много-струкост као отворен подскуп од Rn×n. Како је свака компонента производа AB две матрицеA,B ∈ GL(n,R) (квадратни) полином по компонентама од A и B, множење матрица је очигледноглатко. По Крамеровом 28 правилу, инверзна матрица A−1 је количник адјунговане матрице одA и детерминанте од A. Адјунгована матрица од A је транспонат кофактор матрице од A, те сукомпоненте инверзне матрице полиноми (степена n− 1) по компонентама од A, одакле следида је инверзно пресликавање глатко. △

1.7 ДифеоморфизмиДифеоморфизам између многострукостиM иN је глатко ијективно пресликавање f : M →

N које има гладак инверз. Уколико такав дифеоморфизам постоји кажемо да су M и N ифе-оморфни. Дифеоморфизам између многострукости је ијекција одговарајућих скупова којипоистовећују комплетне глатке атласе тих многострукости. Слично, хомеоморфизам измеђумногострукостиM и N је непрекидно ијективно пресликавање f : M → N које има непрекиданинверз, а за многострукости кажемо да су хомеоморфне. Како је свако глатко пресликавањенепрекидно, то је сваки дифеоморфизам уједно и хомеоморфизам.

Теорија многострукости изучава осоине многострукости које се чувају дифеоморфизмима,тако да ћемо сматрати да су дифеоморфне многострукости суштински исте. За многострукостикоје су хомеоморфне сматрамо да су тополошки исте.27Marius Sophus Lie (1842–1899), норвешки математичар28Gabriel Cramer (1704–1752), швајцарски математичар

15

Глава 1. Глаке мноосрукосиПример 1.28. Ако је f ијективно пресликавање из скупа P на многострукост M, тада посто-ји јединствен начин да P постане многострукост (јединствена топологија и комплетан гладакатлас на P) тако да је f дифеоморфизам. Топологију на P одређују скупови олика f−1(U) гдесу U отворени подскупови од M, док гладак атлас на P чине карте олика (f−1(U),φ ◦ f) где су(U,φ) карте на M. △

Пример 1.29. Нека је Mn многострукост. Свака карта (U,φ) на M индукује дифеоморфизамφ : U → φ(U) из отворене подмногострукости U ⊆ M на отворен подскуп од Rn. Да исмоиспитали глаткоћу за φ и φ−1 можемо искористити карту (U,φ) на U и карту (φ(U), Idφ(U)) наφ(U), одакле доијамо репрезентације Idφ(U) ◦φ ◦φ−1 = Idφ(U) = φ ◦φ−1 ◦ Id−1

φ(U), што је глатко, тесу такви и φ и φ−1. Оратно, сваки дифеоморфизам f : U → f(U) из отвореног подскупа U ⊆ Mна отворен подскуп од Rn јесте карта комплетног глатког атласа. Наиме, ако је (V,ψ) карта наM, већ знамо да су ψ и ψ−1 глатка пресликавања, те су по Леми 1.13 глатке функције преласкаf ◦ ψ−1 и ψ ◦ f−1, што даје сагласност свих карата са (U, f). △

Пример 1.30. Отворена јединична кугла Bn = B1(0) у Rn је дифеоморфна са Rn. У случајудимензије n = 1 постоји много начина да направимо глатку растућу ијекцију f : (−1,1) → R,на пример

f(x) = x1− x2 , f(x) = tg

(π2 x), f(x) = arth(x) = 1

2 ln(1+ x1− x

).

У општем случају, можемо поставити дифеоморфизам f : Bn → Rn са

f(x) = x√1− ∥x∥2

, f−1(y) = y√1+ ∥y∥2

,

где увек важи 1− ∥x∥2 = 0 и 1+ ∥y∥2 = 0, тако да су и f и f−1 глатка. Пресликавање

f(x) = x1− ∥x∥2

је такође дифеоморфизам, али је теже доказати да је f−1 глатко, јер немамо експлицитну фор-мулу. Међутим,

f(x) = x1− ∥x∥

није дифеоморфизам, јер норма ∥·∥ : Rn → [0,∞), за разлику од ∥·∥2, није глатка у општемслучају. Конкретно, за n = 1 имамо

f(x) = x1− |x| , f′(x) = 1

(1− |x|)2 , f′′(x) = 2x(1− |x|)3|x| ,

тако да f′′(0) не постоји и самим тим f није глатко. △

16

1.8. Разијање јеиницеПример 1.31. Класичан пример хомеоморфизма између многострукости које није дифеомор-физам је пресликавање φ : R → R дато са φ(x) = x3. Ово пресликавање је глатко и инверти-илно, али инверзно пресликавање није глатко. У Примеру 1.11 направили смо многострукостR од тополошке многострукости R тако што смо глатку структуру одредили користећи карту(R,φ). Ова глатка структура је различита од стандардне, али су многострукости R и R ди-феоморфне. Пресликавање f : R → R дато са f(x) = x3 је дифеоморфизам, јер је координатнарепрезентација (IdR ◦f ◦ φ−1)(u) = u очигледно глатка, као и њен инверз. △

Пример 1.32. Нека јеM многострукост са комплетним глатким атласомA. Произвољан хоме-оморфизам f : M → M одређује нов атлас A′ наM са картама (f(U),φ ◦ f−1) ∈ A′ које су доијенеод карата (U,φ) ∈ A. Тада је f дифеоморфизам ако и само ако је A = A′. Дакле, ако је f хомео-морфизам који није дифеоморфизам, онда f дефинише нов атлас A′ = A. Међутим, нова глаткаструктура на M није суштински различита од постојеће. Иако f : M → M није дифеоморфизам,оно дефинише дифеоморфизам између M и нове многострукости са атласом A′. Зато, иако суA и A′ различити атласи, резултујуће глатке структуре су и даље дифеоморфне. △

За разлику од недифеоморфних хомеоморфизама, тешко је наћи две хомеоморфне много-струкости које нису дифеоморфне. Испоставља се да свака тополошка n-многострукост заn 6 3 има глатку структуру која је јединствена до на дифеоморфизам (видети Моиз29 [25]).Међутим, први пример егзотичне структуре многострукости открио је Милнор30 1956. године[24], тако што је показао да 7-сфера S7 има структуре које нису дифеоморфне са стандардномструктуром.

Занимљиво је питање да ли дата тополошка многострукост може имати глатке структурекоје нису дифеоморфне. Ово питање је прилично компликовано, чак и за еуклидске просторе.Зна се да Rn за n = 4 има јединствену глатку структуру, до на дифеоморфизам (видети Ста-лингс31 [32]). Међутим, коминација резултата које су дали Доналдсон32 [11] и Фридман33 [13]водила је до открића нестандардних глатких структура на R4. Штавише, R4 има непреројивомного различитих глатких структура, међу којима нема дифеоморфних (видети Таус34 [33]).

Са друге стране, неке тополошке многострукости уопште не дозвољавају глатку структуру.Први пример овог дуоког резултата је компактна 10-димензиона многострукост коју је 1960.открио Кервер35 [17]. Заправо, примери тополошких n-многострукости које не могу постатиглатке су познате за свако n > 4. Најпознатији пример је такозвана E8 многострукост, што јетополошка 4-многострукост коју је открио Фридман 1982. године [13].

1.8 Разијање јединицеКако су многострукости доијене лепљењем отворених скупова из Rn преко дифеоморфи-

зама, рад по целокупној многострукости може ити незгодан. Теорија разијања јединице јеприлично технички али важан алат који нам омогућава да радимо у локалним координатама.Идеја је да функцију константне вредности 1 разијемо на гомилу глатких делова са којимадаље лакше радимо.

Постоји велики рој глатких функција на многострукости, али душу разијања јединицечине џомасте (bump) функције. У питању су глатки еквиваленти карактеристичних функцијакоје употрељавамо да камуфлирамо функцију f : M → R. Ако помножимо f карактеристичномфункцијом скупа U ⊂ M, резултат је нула ван U, али тако гуимо непрекидност функције.Ствари се поправљају увођењем џомасте функције b која од јединице глатко опада ка нулиизмеђу унутрашњег скупа V и спољашњег отвореног скупа U ⊃ V. Тада за x ∈ V имамо b(x) = 1одакле следи (fb)(x) = f(x), док за x /∈ U имамо (fb)(x) = 0. Додатно, производ функција fb јеарем онолико глатка колико је то f, осим у случају аналитичких функција.29Edwin Evariste Moise (1918–1998), амерички математичар30John Willard Milnor (1931), амерички математичар31John Robert Stallings Jr. (1935–2008), амерички математичар32Simon Kirwan Donaldson (1957), енглески математичар33Michael Hartley Freedman (1951), амерички математичар34Clifford Henry Taubes (1954), амерички математичар35Michel André Kervaire (1927–2007), француски математичар

17

Глава 1. Глаке мноосрукосиЈезгро ове теорије чини глатка функција f : R → R која је једнака нули за све негативне

вредности домена, а строго је растућа за позитивне вредности. Чувена неаналитичка глаткафункција f : R → R дефинисана са

f(x) ={e− 1

x за x > 00 за x 6 0

(1.2)

има такве осоине. За x < 0 очигледно важи f(n)(x) = 0, док за x > 0 индукцијом по n доказујемода n-ти извод функције f има олик

f(n)(x) = Pn−1(x)x2n f(x), (1.3)

где је Pn−1(x) полином степена n − 1. База индукције важи јер за n = 1 имамо f′(x) = 1x2 f(x)

одакле је P0(x) = 1. Корак индукције се види кроз рачун

f(n+1)(x) =(P′

n−1(x)x2n − 2nPn−1(x)

x2n+1 +Pn−1(x)x2n+2

)f(x)

=x2P′

n−1(x)− (2nx− 1)Pn−1(x)x2n+2 f(x) = Pn(x)

x2(n+1) f(x),

где је Pn(x) полином степена n доијен рекурзијом Pn(x) = x2P′n−1(x)− (2nx− 1)Pn−1(x). Иако је

довољно говорити да је Pn(x) полином степена не већег од n, из рекурентне везе се лако видида је водећи коефицијент од Pn(x) доијен од водећег коефицијента од Pn−1(x) множењем са−(n+ 1), односно да износи (−1)n(n+ 1)! = 0.

Преостаје нам да докажемо да је десни извод функције f у x = 0 једнак нули. Приметимо даекспоненцијална функција доминира степенима од x > 0. На пример, за свако m ∈ N0 имамо

1xm = x

(1x

)m+16 (m+ 1)!x

∞∑i=0

1i!

(1x

)i= (m+ 1)!xe 1

x ,

и отуда

limx↘0

e− 1x

xm 6 (m+ 1)! limx↘0

x = 0. (1.4)

Формула (1.4) за m = 1 даје

f′(0) = limx↘0

f(x)− f(0)x− 0 = lim

x↘0

e− 1x

x = 0.

Како је (1.3) установљено за x > 0, формула (1.4) за m = 2n+ 1 уз претпоставку да је f(n)(0) = 0повлачи

f(n+1)(0) = limx↘0

f(n)(x)− f(n)(0)x− 0 = lim

x↘0

Pn−1(x)x2n+1 e− 1

x = Pn−1(0) limx↘0

e− 1x

x2n+1 = 0,

што индукцијом по n доказује да је f(n)(0) = 0 за свако n ∈ N, односно да је f свуда глатка.Додатно, можемо приметити да функција f није аналитичка (у нули) јер како је f(n)(0) = 0 за

свако n ∈ N0 то Маклоренов36 ред од f конвергира ка нула функцији и није једнак f(x) за x > 0.За произвољне a,b ∈ R за које је a < b можемо искористити функцију f са горенаведеним

осоинама, на пример за функцију дату са (1.2), да дефинишемо глатку функцију h : R → R са

h(x) = f(b− x)f(b− x) + f(x− a) .

Како је ар један од израза b − x и x − a позитиван, именилац је позитиван за свако x. Зато јефункција h доро дефинисана, при чему важи h(x) = 1 за x 6 a, 0 < h(x) < 1 за a < x < b иh(x) = 0 за x > b.36Colin Maclaurin (1698–1746), шкотски математичар

18

1.8. Разијање јеинице

0 x

y = f(x)

a b x

y = h(x)

Наша функција h може се даље уопштити на Rn где користимо отворене кугле дефинисанеса Br(p) = {x ∈ Rn : ∥x − p∥ < r}. За 0 < a < b можемо поставити функцију H : Rn → R саH(x) = h(∥x∥). Она је глатка на Rn \ {0} као композиција глатких функција, док је идентичкиједнака 1 на Ba(0), те је глатка и у 0 ∈ Rn. Овом конструкцијом доијамо наредну лему.

Лема 1.14. За роизвољне a,b ∈ R за које је 0 < a < b, осоји лака функција H : Rn → Rаква а је H(x) = 1 за x ∈ Ba(0), 0 < H(x) < 1 за x ∈ Bb(0) \ Ba(0) и H(x) = 0 за x ∈ Rn \ Bb(0).

Овај концепт се даље може уопштити на многострукости. Носач (support) функције f : M →R на многострукости M је затворење скупа тачака у којима f није нула,

supp(f) = {p ∈ M : f(p) = 0} = f−1(R \ {0}).

Дакле, комплемент од supp(f) је највећи отворен скуп на којем је f идентички једнака нули.Ако је supp(f) садржано у неком скупу U ⊆ M, кажемо да је f оржано (supported) у U. Ако јеsupp(f) компактан скуп, онда кажемо да је f комакно оржано. Наравно, свака функцијана компактном простору је компактно подржана.

Лема 1.15. Нека је M мноосрукос и U оворена околина ачке p ∈ M. Таа осојилака функција f : M → [0,1] ⊂ R која је иенички јенака 1 на некој овореној околиниV ∋ p и која је оржана у U ⊃ V.

Доказ. По Леми 1.7, полазећи од произвољне карте (Y,ψ) у p ∈ Mn, користећи одговарајућукомпозицију хомотетије и транслације у Rn за дифеоморфизам, а W = U ∩ Y за рестрикцију,можемо конструисати карту (W,φ) центрирану у p ∈ M (φ(p) = 0) за коју је B3(0) ⊆ φ(W). Некаје H : Rn → R глатка функција из Леме 1.14 са H(x) = 1 за ∥x∥ 6 1, 0 < H(x) < 1 за 1 < ∥x∥ < 2и H(x) = 0 за ∥x∥ > 2. Нова функција f = H ◦ φ : W → [0,1] ⊂ R је глатка и важи f(x) = 0 заx /∈ φ−1(B2(0)) ⊂ W. Додефинисање f на M \W вршимо упаривањем са нула функцијом чији једомен M \ φ−1(B2(0)), одакле по Леми 1.12 следи f ∈ F(M). Функција f је идентички једнака 1на отвореној околини V = φ−1(B1(0)) ∋ p, а како је supp(f) = φ−1(B2(0)) то је она подржана уU ⊇ W ⊃ supp(f) ⊃ V.

Функцију f ∈ F(M) из Леме 1.15 зовемо џомаса функција (bump function) у p, и онаједноставно продужава домен сваке глатке функције на целокупну многострукостM.

Лема 1.16. Нека је M мноосрукос и U оворена околина ачке p ∈ M. Ако је f : U → Rлака аа осоји оворена околина V ∋ p са V ⊆ U и функција из F(M) оржана у U којасе са f слаже на V.

Доказ. Примена Леме 1.15 даје отворено V ∋ p са V ⊂ U и џомасту функцију b ∈ F(M) подр-жану у U која је идентички једнака 1 на V. Упаривањем функције bf : U → R и нула функциједефинисане на M \ supp(bf) ⊇ M \U, по Леми 1.12 доијамо тражену функцију.

Лема 1.17. Нека је K комакан и U ⊇ K оворен оску мноосрукоси M. Таа осојилака функција f : M → [0,1] ⊂ R оржана у U која је иенички јенака 1 на K.

Доказ. По Леми 1.15, за свако p ∈ K ⊆ U ⊆ M постоји отворен скуп Vp ∋ p и глатка функцијаfp : M → [0,1] ⊂ R подржана у U таква да је fp�Vp= 1. Фамилија {Vp}p∈K је отворен покривачкомпакта K те има коначан потпокривач {Vp1 , . . . ,Vpk}. Функција f : M → [0,1] ⊂ R дата саf = 1− (1− fp1)(1− fp2) · · · (1− fpk) је очигледно подржана у U. Штавише, f је идентички једнака1 на сваком Vpi за 1 6 i 6 k, те је 1 и на целом K ⊆

∪ki=1 Vpi .

19

Глава 1. Глаке мноосрукосиРазијање јединице је декомпозиција

∑α∈Λ fα = 1 константне функције 1 на суму глатких

функција fα. Уоичајено је да радимо са есконачним сумама, тако да су ове функције индекси-ране по неком есконачном скупу Λ и природно је захтевати да за свако p ∈ M имамо fα(p) = 0за све осим коначно много α ∈ Λ. Сума је тада доро дефинисана као функција наM, а глаткоћуможемо задржати кроз наредну дефиницију.

Дефиниција 1.4. Разијање јеинице (partition of unity) на многострукости M је фамилија{fα}α∈Λ глатких функција fα : M → [0,1] ⊂ R, таква да је фамилија носача {supp(fα)}α∈Λ локалноконачна и важи

∑α∈Λ fα(p) = 1 за свако p ∈ M. Кажемо да је разијање јединице оређено

(subordinate) неком покривачу од M ако је фамилија свих носача профињење тог покривача.

Из дефиниције следи да за свако p ∈ M постоји α ∈ Λ за које је fα(p) > 0, те је {supp(fα)}α∈Λпокривач од M. Овај покривач је локално коначан те је (есконачна) сума

∑α∈Λ fα(p) доро

дефинисана. Ако је {Uα}α∈Λ покривач од M и supp(fα) ⊆ Uα важи за свако α ∈ Λ, тада кажемода је {fα}α∈Λ подређено {Uα}α∈Λ са истим скупом индекса као и разијање јединице. Међутим,ако је {fα}α∈Λ разијање јединице подређено покривачу {Vβ}β∈Δ, тада је {supp(fα)}α∈Λ профи-њење од {Vβ}β∈Δ и можемо употреити пресликавање профињења ϕ : Λ → Δ које задовољаваsupp(fα) ⊆ Vϕ(α) за свако α ∈ Λ, и доити разијање јединице {

∑α∈ϕ−1(β) fα}β∈Δ које је подређено

покривачу {Vβ}β∈Δ са истим скупом индекса.

Теорема 1.18. За сваки оворен окривач мноосрукоси осоји разијање јеинице којему је оређено.

Доказ. Нека је U отворен покривач од M. Како је M локално компактан (Лема 1.1) то постојиотворено профињење U ′ од U које се састоји од отворених скупова чије је затворење компактно.Како јеM паракомпактно (Теорема 1.5) то постоји локално коначно отворено профињење V одU ′, самим тим и од U .

Посматрајмо скуп W = {U ⊆ M : U је отворен и U ⊆ V за неко V ∈ V}. Свака тачка p ∈ Mима околину V ∈ V, а како је M регуларан (Теорема 1.4) то тачку p и затворен скуп M \ V ∋ pможемо раздвојити отвореним дисјунктним скуповима P ∋ p и Q ⊇ M \ V. Из P ∩ Q = ∅ имамоP ⊆ M \ Q, те и P ⊆ M \ Q, док из M \ V ⊆ Q следи M \ Q ⊆ V, те важи P ⊆ M \ Q ⊆ V. Одавде јеp ∈ P ∈ W, што значи да је W покривач од M, а самим тим и отворено профињење од V.

Нова примена паракомпактности даје локално коначно отворено профињењеW ′ одW. Садаје W ′ = {Wβ}β∈Δ профињење од V = {Vα}α∈Λ и за свако β ∈ Δ постоји ϕ(β) ∈ Λ тако да јеWβ ⊆ Vϕ(β), што дефинише пресликавање ϕ : Δ → Λ и можемо поставити

Xα =∪

β∈ϕ−1(α)

Wβ

(што је по конвенцији празан скуп за евентуално ϕ−1(α) = ∅). Како је W ′ локално коначна

фамилија, за сваку тачку p ∈ M \∪

β∈ϕ−1(α)Wβ постоји околина U ∋ p која сече само коначномного чланова, рецимо W1, . . . ,Wk. За остале Wβ је тада Wβ ∩ U = ∅, одакле следи Wβ ⊆ M \ U,теWβ ⊆ M \U и важиWβ ∩U = ∅. Зато је U \

∪β∈ϕ−1(α)Wβ = U \ (W1 ∪ · · · ∪Wk) отворена околина

тачке p, одакле следи да је M \∪

β∈ϕ−1(α)Wβ отворен, односно∪

β∈ϕ−1(α)Wβ је затворен. Одавдеје

Xα =∪

β∈ϕ−1(α)

Wβ =∪

β∈ϕ−1(α)

Wβ ⊆ Vα,

те за свако α ∈ Λ постоји компактно Xα садржано у отвореном Vα, одакле по Леми 1.17 постојиглатка функција fα ∈ F(M) подржана у Vα и једнака 1 на Xα. Сума f =

∑α∈Λ fα је глатка функција

која је свуда коначна и није нула. Коначно, сума нових функција fα/f је свуда једнака 1.

1.9 Тангентни векториНајинтуитивнији начин за дефинисање тангентног вектора тиче се кривих на многоструко-

сти. Нека је γ : (−ε, ε) → M глатка крива на n-многострукостиM која пролази кроз тачку p ∈ M,

20

1.9. Таненни векоригде је ε > 0 мали реалан рој. Другим речима, γ је глатко пресликавање за које је γ(0) = p.Тангентни вектор на многострукости M у тачки p може се видети као извод криве γ у нули.Међутим, ако M није смештено у неком еуклидском простору онда извод γ′(0) нема смисла.Стандардна идеја је изарати карту (U,φ) у p ∈ M и идентификовати криву γ на M са кривомφ ◦ γ на Rn, тако да тангентни вектор можемо дефинисати са (φ ◦ γ)′(0).

Како различите глатке криве наM које пролазе кроз p могу дати исти тангентни вектор, топостоји очигледна релација еквиваленције између њих. Две такве криве γ1 и γ2 су еквивалент-не ако постоји карта (U,φ) у p за коју је (φ ◦ γ1)′(0) = (φ ◦ γ2)′(0). За произвољну карту (V,ψ) уp је p ∈ U ∩ V = ∅ и имамо глатко ω = ψ ◦ φ−1, те

(ψ ◦ γ1)′(0) = (ω ◦ φ ◦ γ1)′(0) = ω′(φ(p)) · (φ ◦ γ1)′(0)= ω′(φ(p)) · (φ ◦ γ2)′(0) = (ω ◦ φ ◦ γ2)′(0) = (ψ ◦ γ2)′(0),

одакле следи да оваква дефиниција не зависи од изора карте.Алтернативно, можемо дефинисати γ′(0) као пресликавање γ′(0) : F(M) → R које је задато

са(γ′(0))(f) = (f ◦ γ)′(0) = d(f ◦ γ)

dt

∣∣∣∣t=0

и посматрати везу између различитих дефиниција Φ : (φ◦γ)′(0) 7→ γ′(0). За еквивалентне кривеγ1 и γ2 је (f ◦ γ1)′(0) = (f ◦ φ−1)′(φ(p)) · (φ ◦ γ1)′(0) = (f ◦ φ−1)′(φ(p)) · (φ ◦ γ2)′(0) = (f ◦ γ2)′(0), те Φзависи само од класе еквиваленције криве γ.

φ(U)

φ

p

U

f(p)

Rε

−ε

0 γf

φ ◦ γf ◦ φ−1

Оваква дефиниција тангентног вектора веома је геометријска, али она има недостатке. Например, није одмах уочљиво одакле долази структура векторског простора.

Како је (αf+ βh) ◦ γ = α(f ◦ γ) + β(h ◦ γ), евидентно својство функције γ′(0) је линеарност. Садруге стране из (fh) ◦ γ = (f ◦ γ)(h ◦ γ) следи

(γ′(0))(fh) = ((f ◦ γ)(h ◦ γ))′(0) = (f ◦ γ)′(0) · h(γ(0)) + (h ◦ γ)′(0) · f(γ(0))= h(p)(γ′(0))(f) + f(p)(γ′(0))(h),

те γ′(0) задовољава Лајницов37 закон (правило за извод производа) у тачки p. Дакле, γ′(0)има својства карактеристична за извод, R-линеарност и Лајницовост у p, те за реалну функ-цију на F(M) са тим осоинама кажемо да је иференцирање у ачки (derivation at) p ∈ M.Ове осоине пресликавања γ′(0) мотивишу нас да уведемо дефиницију тангентног вектора наследећи начин.37Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

21

Глава 1. Глаке мноосрукосиТаненни векор на многострукости M у тачки p ∈ M је свако диференцирање у тачки

p, X : F(M) → R. Скуп TpM свих тангентних вектора на многострукостиM у тачки p ∈ M зовемоаненни росор одM у p. Конкретно, уколико је X ∈ TpM, тада за све α, β ∈ R и f,h ∈ F(M)важи линеарност X(αf+ βh) = αX(f) + βX(h) и Лајницовост X(fh) = f(p)X(h) + h(p)X(f).

Додатно дефинишемо саирање и множење скаларом на природан начин, односно тако даза X,Y ∈ TpM, f ∈ F(M) и α ∈ R важи (X+ Y)(f) = X(f) + Y(f) и (αX)(f) = αX(f). Овако дефинисаниX+ Y и αX су такође тангентни вектори, те је TpM векторски простор над R.

По својој природи многострукости су закривљени простори, и они могу ити веома компли-ковани за изучавање, док су векторски простори једноставнији и погоднији за рад. Кључнаидеја инфинитезималног рачуна је линеарна апроксимација. Тангентни простор TpM је век-торски простор и можемо га схватити као најољу линеарну апроксимацију многострукостиMу тачки p ∈ M, те га често користимо уместо оригиналне многострукости.

Природно, изводи константне функције се поништавају. За X ∈ TpM и константну јединичнуфункцију 1 ∈ F(M), из Лајницовости имамо X(1) = X(1 · 1) = 1(p)X(1) + 1(p)X(1) = 2X(1), те јеX(1) = 0, док за произвољно α ∈ R, линеарност даје X(α1) = αX(1) = 0.

Лема 1.19. Ако је f ∈ F(M) консана, аа је X(f) = 0 за свако X ∈ TpM.

Тангентни простор је дефинисан у терминима глатких функција на целокупној многоструко-сти, док су карте у општем случају дефинисане на неким отвореним подскуповима. Међутим,тангентни вектори ипак делују локално на F(M).

Лема 1.20. Нека је M мноосрукос, p ∈ M, X ∈ TpM и f,h ∈ F(M). Ако се f и h слажу нанекој околини о p, аа је X(f) = X(h).

Доказ. Нека је f = h на некој околини U ∋ p. По Леми 1.15 постоји околина V ∋ p и глаткафункција b ∈ F(M) таква да је b�V= 1 и b�M\U= 0. Тада је (f − h)b = 0 на целом M, те имамо0 = X((f− h)b) = b(p)X(f− h) + (f− h)(p)X(b) = X(f− h) одакле следи X(f) = X(h).

Претходна лема је веома важна јер дозвољава појам микроа. Две функције f : U → R иh : V → R, локално дефинисане на неким околинама од p ∈ M, су еквивалентне ако постојинеки отворен подскуп W ⊆ U ∩ V, који садржи p, такав да важи f�W= h�W. Класу еквиваленцијетаквих функција зовемо микро (germ) у p.

Како радимо са глатким функцијама (за разлику од функција класе Ck са k < ∞), свака ло-кално дефинисана глатка функција по Леми 1.16 има еквивалентну глатку функцију дефини-сану на целој многострукостиM. Приметимо да ако су f и h продужења еквивалентних глаткихфункција, по Леми 1.20 имамо X(f) = X(h) за свако X ∈ TpM. Дакле, тангентни вектор X ∈ TpM јесуштински дефинисан на микроима у p, те ћемо користити ознаку X(f) и за функције f ∈ F(U)где је U ∋ p отворен подскуп од M, подразумевајући вредност X у произвољној (самим тим исвакој) функцији из F(M) која је еквивалентна са f у p.

Да исмо дефинисали парцијални извод на многострукости, потрено је да функцију f по-шаљемо назад у еуклидски простор преко неке карте, а затим узмемо уоичајене парцијалнеизводе. Нека је (U,φ) карта на n-многострукостиM у тачки p ∈ M и нека су xi = πi◦φ за 1 6 i 6 nодговарајуће координатне функције. Парцијални изво функције f ∈ F(M) за 1 6 i 6 n дефи-нишемо са

(∂i)p(f) =(

∂

∂xi

)p(f) = ∂f

∂xi(p) = ∂(f ◦ φ−1)

∂πi(φ(p)).

Како ова дефиниција потиче од извода, линеарност и Лајницовост аутоматски важе, те је(∂i)p : F(M) → R тангентни вектор од M у p. Штавише, испоставља се да парцијални изводичине азу тангентног простора TpM. За потрее доказа поставићемо наредно једноставно, алисуштинско тврђење, познато као Адамарова38 лема.

Лема 1.21. Нека је f лака реална функција ефинисана на овореној конвексној околиниU ∋ a у Rn. Таа се f(x) за свако x ∈ U може изразии са

f(x) = f(a) +n∑i=1

(πi(x)− πi(a))li(x), (1.5)

38Jacques Salomon Hadamard (1865–1963), француски математичар

22

1.9. Таненни векорие је li ∈ F(U) за 1 6 i 6 n.Доказ. Дефинишимо h : [0,1] → R са h(t) = f(a+ t(x− a)), те како је

h′(t) =n∑i=1

∂f∂πi

(a+ t(x− a))(πi(x)− πi(a)),

имамо

f(x)− f(a) = h(1)− h(0) =∫ 1

0h′(t)dt =

n∑i=1

(πi(x)− πi(a))∫ 1

0

∂f∂πi

(a+ t(x− a))dt.

Пресликавање li(x) =∫ 10

∂f∂πi (a+ t(x− a))dt је глатко што доказује лему.

Адамарова лема је заправо олик првог реда Тејлорове39 теореме. Наредна итерација ра-звоја (1.5) доводи нас до олика другог реда,

f(x) = f(a) +n∑i=1

(πi(x)− πi(a))

li(a) + n∑j=1

(πj(x)− πj(a))lij(x)

= f(a) +

n∑i=1

(πi(x)− πi(a))∂f∂πi

(a) +n∑

i,j=1(πi(x)− πi(a))(πj(x)− πj(a))lij(x), (1.6)

где је lij ∈ F(U) за 1 6 i, j 6 n.Нека је (U,φ) карта у p ∈ M таква да је φ(U) конвексно (на пример отворена кугла), и нека је

f ∈ F(U). Ако применимо (1.6) на глатку функцију f ◦ φ−1 ∈ F(φ(U)) и тачке a = φ(p) и x = φ(q),доијамо

f(q) = f(p) +n∑i=1

(xi(q)− xi(p))∂(f ◦ φ−1)

∂πi(φ(p)) +

n∑i,j=1

(xi(q)− xi(p))(xj(q)− xj(p))lij(φ(q)),

где је lij ◦ φ глатко за 1 6 i, j 6 n.Испитајмо X(f) за произвољан тангентни вектор X ∈ TpM. Почетни члан f(p) је константа

која се поништава по Леми 1.19. Лајницовост повлачи да X поништава последњу суму јерсваки од три доијена члана има ар један фактор олика (xi(q) − xi(p))(p) = 0. Преостаје јошсума у средини, где имамо X(f) = X(

∑ni=1(xi(q)− xi(p))(∂i)p(f)) =

∑ni=1 X(xi)(∂i)p(f), одакле је

X =

n∑i=1

X(xi)(

∂

∂xi

)p. (1.7)

Из формуле (1.7) видимо да парцијални изводи (∂i)p генеришу тангентни простор TpM.Ако применимо парцијалне изводе на координатне функције доијамо (∂i)p(xj) = δij. Тада∑n

i=1 λi(∂i)p = 0 повлачи λj = (λ1(∂1)p + · · · + λn(∂n)p)(xj) = 0 за свако 1 6 j 6 n, одакле су(∂1)p, . . . , (∂n)p линеарно независни, те чине азу, што доказује наредну теорему о ази.Теорема 1.22. Нека је M n-мноосрукос, а (U,φ) кара у p ∈ M са xi = πi ◦ φ. Таа арци-јални извои (∂1)p, . . . , (∂n)p чине азу за TpM и (1.7) важи за свако X ∈ TpM.

Вратимо се на почетак приче где смо имали глатку криву γ : (−ε, ε) → M, карту (U,φ) уp = γ(0) и везу Φ : (φ ◦ γ)′(0) 7→ γ′(0) која не зависи од изора еквивалентне криве. Раније смоприметили да је γ′(0) диференцирање у тачки p, односно да γ′(0) ∈ TpM.

Пресликавање Φ је инјективно јер (φ ◦ γ1)′(0) = (φ ◦ γ2)′(0) значи да постоји неко 1 6 i 6 nтакво да је (πi ◦ φ ◦ γ1)′(0) = (πi ◦ φ ◦ γ2)′(0), односно (γ′1(0))(xi) = (γ′2(0))(xi), одакле следиγ′1(0) = γ′2(0). Пресликавање Φ је такође и сурјективно јер произвољно X ∈ TpM по (1.7) имаолик X =

∑ni=1 λi(∂i)p за неке λ1, . . . , λn ∈ R и за мало ε > 0 можемо конструисати криву

γ : (−ε, ε) → M са γ(t) = φ−1(φ(p) + t(λ1, . . . , λn)), за коју важи (γ′(0))(f) = (f ◦ γ)′(0) = (f ◦φ−1)′(φ(p)) · (λ1, . . . , λn) = X(f). Овим смо показали да TpM можемо поистоветити са класамаеквиваленције глатких кривих које пролазе кроз тачку p.39Brook Taylor (1685–1731), енглески математичар

23

Глава 1. Глаке мноосрукоси1.10 Тангентна пресликавања

Основна идеја диференцијалног рачуна је апроксимирати глатке ојекте линеарним ојек-тима. Тангентни простор TpM је линеарна апроксимација многострукости M у тачки p ∈ M.Наредна идеја је апроксимирати глатко пресликавање f : M → N између многострукости лине-арном трансформацијом тангентних простора.

За X ∈ TpM и h ∈ F(N) природно можемо поставити (Tpf(X))(h) = X(h ◦ f). Тако дефинисанопресликавање Tpf(X) : F(N) → R је очигледно линеарно. Штавише, за h1,h2 ∈ F(N) је

Tpf(X)(h1h2) = X((h1h2) ◦ f) = X((h1 ◦ f)(h2 ◦ f))= (h1 ◦ f)(p)X(h2 ◦ f) + (h2 ◦ f)(p)X(h1 ◦ f)= h1(f(p))Tpf(X)(h2) + h2(f(p))Tpf(X)(h1),

одакле доијамо Лајницовост у тачки f(p). Дакле, Tpf(X) је диференцирање у тачки f(p) ∈ N,те можемо писати Tpf(X) ∈ Tf(p)N.

На овај начин, за свако глатко пресликавање f : M → N између многострукости дефинишемоаненно ресликавање од f у тачки p ∈ M са Tpf : TpM → Tf(p)N и Tpf(X)(h) = X(h ◦ f), гдеје X ∈ TpM и h ∈ F(N). Није тешко приметити да је овако дефинисано тангентно пресликавањелинеарно. Напоменимо да неки аутори тангентно пресликавање Tpf зову иференцијал од fу p, а користе се и ознаке dfp, f′p и Dpf.

Пример 1.33. Тангентно пресликавање за идентичко пресликавање IdM : M → M у некој тач-ки p ∈ M је идентичко пресликавање IdTpM : TpM → TpM јер за X ∈ TpM и f ∈ F(M) важи((Tp(IdM))(X))(f) = X(f ◦ IdM) = X(f). △

Извод сложене функције може се једноставно уопштити за многострукости, односно тан-гентно пресликавање композиције једнако је композицији тангентних пресликавања.

Теорема 1.23. Ако су f : M → N и h : N → P лака ресликавања између мноосрукоси,аа за свако p ∈ M важи Tp(h ◦ f) = Tf(p)h ◦ Tpf.

Доказ. Ако су f : M → N и h : N → P глатка пресликавања између многострукости, p ∈ M иX ∈ TpM, тада за l ∈ F(P) имамо

Tp(h ◦ f)(X)(l) = X(l ◦ h ◦ f) = Tpf(X)(l ◦ h) = (Tf(p)h(Tpf(X)))(l),

што доказује тврђење.

Теорема 1.24. Ако је f : M → N ифеоморфизам између мноосрукоси и p ∈ M, аа јеTpf : TpM → Tf(p)N изоморфизам између векорских росора и важи (Tpf)−1 = Tf(p)(f−1).

Доказ. Како су f : M → N и f−1 : N → M глатка пресликавања, то по Теореми 1.23 имамо IdTpM =

Tp(IdM) = Tp(f−1 ◦ f) = Tf(p)(f−1) ◦ Tpf, као и IdTf(p)M = Tf(p)(IdN) = Tf(p)(f ◦ f−1) = Tpf ◦ Tf(p)(f−1).

Лема 1.25. Нека је U ⊆ M оворен оску са инклузијом ı : U ↪→ M. За свако p ∈ U, ан-енно ресликавање Tpı : TpU → TpM је изоморфизам.

Доказ. За произвољно f ∈ F(U), по Леми 1.16 постоји продужење F ∈ F(M) подржано у U којесе слаже са f на некој отвореној околини тачке p. Ако је Tpı(X) = 0 ∈ TpM за неко X ∈ TpU, ондаје X(f) = X(F�U) = X(F ◦ ı) = ((Tpı)(X))(F) = 0 за свако f ∈ F(U), што даје X = 0 и доказује да је Tpıинјективно. За произвољно Y ∈ TpM можемо дефинисати TpU ∋ X : F(U) → R са X(f) = Y(F), гдеза F ∈ F(M) важи (Tpı(X))(F) = X(F ◦ ı) = X(f) = Y(F), те је Tpı и сурјективно.

Пример 1.34. Нека су M и N многострукости, а πM : M × N → M и πN : M × N → N канонскепројекције производаM×N. За свако (p,q) ∈ M×N, пресликавање π : T(p,q)(M×N) → TpM×TqNзадато са π(X) = (T(p,q)πM(X),T(p,q)πN(X)) је изоморфизам векторских простора. △

24

1.11. Сумерзије и имерзијеИако смо до сада видели прилично апстрактну причу о тангентним просторима и тангент-

ним пресликавањима, можемо погледати како изгледају рачуни у локалним координатама.Нека су Mm и Nn многострукости, a f : M → N глатко пресликавање. Нека је (U,φ) карта уp ∈ M са xj = πj ◦ φ за 1 6 j 6 m, а (V,ψ) карта у f(p) ∈ N са yi = πi ◦ ψ за 1 6 i 6 n. На основу(1.7) за свако 1 6 j 6 m важи

Tpf(

∂

∂xj

)p=

n∑i=1

(Tpf(

∂

∂xj

)p

)(yi)

(∂

∂yi

)f(p)

=

n∑i=1

∂(yi ◦ f)∂xj

(p)(

∂

∂yi

)f(p)

. (1.8)

Матрица тангентног пресликавања Tpf у односу на ове координатне азе је(∂(yi ◦ f)

∂xj(p))16i6n, 16j6m

и зовемо је Јакоијан марица40 од f у тачки p у односу на карте φ и ψ. Посено уколико јеf = IdM : M → M доијамо (

∂

∂xj

)p=

n∑i=1

∂yi∂xj

(p)(

∂

∂yi

)p, (1.9)

што показује како се променом карте мењају координате, док Јакоијан матрица у овом случајуодговара функцији преласка ψ ◦ φ−1 у тачки φ(p).

Пример 1.35. Функција преласка између поларних и стандардних координата у одговарајућимотвореним подскуповима равни је дата са (x, y) = (r cos θ, r sin θ). Нека је p ∈ R2 дато поларнимкоординатама (r, θ) = (3, π2 ) и нека је X ∈ TpR2 тангентни вектор чија је поларна репрезентацијаX = 2( ∂

∂r )p − ( ∂∂θ )p. Конкретним рачуном по формули (1.9) имамо(

∂

∂r

)p=

∂x∂r (p)

(∂

∂x

)p+

∂y∂r (p)

(∂

∂y

)p= cos

(π2)( ∂

∂x

)p+ sin

(π2)( ∂

∂y

)p=

(∂

∂y

)p(

∂

∂θ

)p=

∂x∂θ (p)

(∂

∂x

)p+

∂y∂θ (p)

(∂

∂y

)p= −3 sin

(π2)( ∂

∂x

)p+ 3 cos

(π2)( ∂

∂y

)p= −3

(∂

∂x

)p,

одакле доијамо X = 2( ∂∂r )p − ( ∂

∂θ )p = 3( ∂∂x )p + 2( ∂

∂y )p. △

1.11 Сумерзије и имерзијеНека је f : M → N глатко пресликавање између многострукости. Како тангентно преслика-

вање Tpf : TpM → Tf(p)N представља најољу линеарну апроксимацију од f у тачки p ∈ M, тоизучавањем алгеарских осоина пресликавања Tpf можемо доста тога закључити o самом f.Најважнија карактеристика тангентног пресликавања је њен ранг, јер он не зависи од изо-ра азе. Ран ресликавања f у тачки p ∈ M је димензија слике тангентног пресликавањаrangp f = dim Im(Tpf). Ако ранг пресликавања не зависи од изора тачке p ∈ M, кажемо да је fконсанно рана и пишемо rang f = rangp f.

Ранг линеарног пресликавања има природна горња ограничења јер никад није већи од ди-мензија како домена (rangp f 6 dimM), тако и кодомена (rangp f 6 dimN). Уколико се достигнегорња граница за rangp f кажемо да је f уно рана у p, а ако је додатно константног рангакажемо да је f уно рана. Најважнија пресликавања која изучавамо су константног ранга, амеђу њима она која су пуног ранга.

У случају да је rang f = dimM, односно да је за свако p ∈ M пресликавање Tpf инјективнокажемо да је f имерзија (immersion) или оаање и тада се f локално понаша као инјективнопресликавање. У случају да је rang f = dimN, односно да је за свако p ∈ M пресликавање Tpfсурјективно кажемо да је f сумерзија (submersion) и тада се f локално понаша као сурјективнопресликавање.40Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), немачки математичар

25

Глава 1. Глаке мноосрукосиПример 1.36. Прототип имерзије је инклузија ı : Rm ↪→ Rn еуклидског простора у еуклидскипростор веће димензије (m 6 n) дата са ı(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm,0, . . . ,0). Прототип сумерзијеје пројекција π : Rm → Rn еуклидског простора на еуклидски простор мање димензије (m > n)дата са π(x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn). △

Лема 1.26. Нека је f : M → N лако ресликавање између мноосрукоси и p ∈ M. Ако јеTpf инјекивно, аа p има околину U акву а је f�U имерзија. Ако је Tpf сурјекивно, ааp има околину U акву а је f�U сумерзија.

Доказ. Ако изаеремо карту (U,φ) у p ∈ Mm и карту (V,ψ) у f(p) ∈ Nn, свака од хипотеза значида је Јакоијан матрица од f у односу на φ и ψ пуног ранга у p. Како матрице пуног ранга чинеотворени подскуп од Rm×n (Пример 1.14), из непрекидности, Јакоијан од f је пуног ранга унекој околини од p.

Пресликавање f : M → N између многострукости је локални ифеоморфизам ако свакaтачкa p ∈ M има околинуU такву да је f(U) отворен уN, а f�U : U → f(U) дифеоморфизам. Кључнеосоине локалних дифеоморфизама виде се кроз теорему о инверзној функцији за многостру-кости.

Теорема 1.27. Нека је f : M → N лако ресликавање између мноосрукоси. Ако је Tpfинвериилно за неку ачку p ∈ M, аа осоје овезане околине U ∋ p и V ∋ f(p) акве аје f�U : U → V ифеоморфизам.

Доказ. Како је Tpf ијекција, то је dimM = dimN = n. Изаеримо карту (U1,φ) центрирану уp ∈ M и карту (V1,ψ) центрирану у f(p) ∈ N тако да је f(U1) ⊆ V1, а ψ ◦ f◦φ−1 глатко. Како су φ иψ дифеоморфизми, тангентно пресликавање T0(ψ◦f◦φ−1) = Tf(p)ψ◦Tpf◦T0φ−1 је инвертиилно.Оична теорема о инверзној функцији гарантује повезане отворене скупове U ⊆ φ(U1) ⊆ Rn иV ⊆ ψ(V1) ⊆ Rn који садрже нулу тако да је рестрикција од ψ ◦ f ◦ φ−1 дифеоморфизам измеђуU и V. Сада су U = φ−1(U) и V = ψ−1(V) повезане околине од p и f(p), и следи да је f�U : U → Vдифеоморфизам као композиција дифеоморфизама.

Теорема 1.28. Глако ресликавање f : M → N је локални ифеоморфизам ако и само ако јеи имерзија и сумерзија.

Доказ. Ако је f локални дифеоморфизам то за свако p ∈ M имамо околину U ∋ p такву да јеf�U : U → f(U) дифеоморфизам, те је по Теореми 1.24, Tpf : TpM → Tf(p)N изоморфизам, штодоказује да је f и имерзија и сумерзија. Оратно, уколико је f имерзија и сумерзија то је Tpfза свако p ∈ M изоморфизам, те Теорема 1.27 даје околину тачке p на којој је рестрикција од fдифеоморфизам на своју слику.

Уколико знамо да су многострукости M и N истих димензија, довољно је да имамо условимерзије или сумерзије за f, јер је онда други услов директно испуњен и f је локални дифео-морфизам по Теореми 1.28.

Најважнија ствар у вези пресликавања константног ранга је наредна теорема која говори отоме да се она могу локално написати у једноставној канонској форми променом координата.

Теорема 1.29. Нека је f : M → N лако ресликавање консанно рана r = rang f измеђумноосрукоси Mm и Nn. За свако p ∈ M осоји кара (U,φ) ценрирана у p ∈ M и кара(V,ψ) ценрирана у f(p) ∈ Nако а је f(U) ⊆ V и у којима f има кооринану ререзенацијуолика ψ ◦ f ◦ φ−1(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr,0, . . . ,0).

Доказ. За свако p ∈ M постоји карта (U1,φ1) центрирана у p ∈ M и карта (V1,ψ1) центриранау f(p) ∈ N тако да је f(U1) ⊆ V1 и ψ1 ◦ f ◦ φ−1

1 глатко. Јакоијан матрица од f у тачки p имакомпоненте олика

∂(yi ◦ f)∂xj

(p) = ∂(πi ◦ ψ1 ◦ f ◦ φ−11 )

∂πj(0)

за 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m. Како је rangp f = r, то можемо испермутовати одговарајуће координате,односно врсте и колоне Јакоијан матрице тако да у горњем левом ћошку доијемо инвертиил-ну квадратну подматрицу реда r. Формално, пермутовање координата је дифеоморфизам који

26

1.11. Сумерзије и имерзијенас по Леми 1.7 доводи до нових карата (U1,φ2) и (V1,ψ2), где посматрамо глатко пресликавањеψ2 ◦ f ◦ φ−1

2 , при чему је подматрица

∂(πi ◦ ψ2 ◦ f ◦ φ−12 )

∂πj(0)

за 1 6 i, j 6 r, инвертиилна. Посматрајмо функцију θ1 : Rm → Rm дефинисану са

θ1(a1, . . . , am) = (π1 ◦ ψ2 ◦ f ◦ φ−12 (a1, . . . , am), . . . , πr ◦ ψ2 ◦ f ◦ φ−1

2 (a1, . . . , am), ar+1, . . . , am).

Одговарајућа Јакоијан матрица за θ1 у тачки 0 ∈ Rm је лок горња троугаона матрица где надијагонали имамо претходно описану квадратну подматрицу ранга r, као и јединичну подма-трицу редаm−r, те по теореми о инверзној функцији имамо легитимну промену координата нанекој отвореној околини W1 ∋ 0. То нас доводи до нове карте (U3,φ3) центриране у p ∈ M, гдеје U3 = U1 ∩φ−1

2 (W1) и φ3 = θ1 ◦φ2�U3 . Нова координатна репрезентација за f може се записатиса

ψ2 ◦ f ◦ φ−13 (b1, . . . ,br, ar+1, . . . , am) = (b1, . . . ,br,br+1, . . . ,bn),

где је bi = πi ◦ ψ2 ◦ f ◦ φ−12 (a1, . . . , am) за 1 6 i 6 n. Одавде видимо да је Јакоијан матрица од f

у тачки p у односу на нове карте лок доња троугаона матрица која на дијагонали има најпрејединичну подматрицу реда r. Како је r ранг пресликавања f, то на дијагонали мора ити нулаподматрица, што значи да br+1, . . . ,bn не зависе од ar+1, . . . , am, већ само од b1, . . . ,br. То намомогућава да уведемо нове промене координата θ2 : Rn → Rn са

θ2(u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,ur,ur+1 − br+1(u1, . . . ,ur), . . . ,un − bn(u1, . . . ,ur)),

на некој отвореној околини W2 ∋ 0. Тако доијамо нову карту (V,ψ) центрирану у f(p) ∈ N,где је V = V1 ∩ ψ−1

2 (W2) и ψ = θ2 ◦ ψ2�V, те за додатно U = U3 ∩ f−1(V) и φ = φ3�U имамоψ ◦ f ◦ φ−1(b1, . . . ,br,br+1, . . . ,bm) = (b1, . . . ,br,0, . . . ,0).

Смешање (embedding) или улаање је имерзија f : M → N која је такође тополошко сме-штање, односно хомеоморфизам на слику f(M) ⊆ N у релативној топологији. Овај посеан слу-чај имерзије је прилично важан јер нам омогућава појам подмногострукости што ћемо видетиу наредној секцији.

Теорема 1.30. Ако је f : M → N инјекивна имерзија и M комакан, аа је f смешање.

Доказ. Затворен X ⊆ M је компактан, а како је f непрекидно (јер је глатко) то је и f(X) ⊆ Nкомпактан, те и затворен. Како је f затворено и непрекидно пресликавање, то је f−1 непрекиднои имамо одговарајући хомеоморфизам.

Пример 1.37. Глатко пресликавање γ : R → R2 дато са γ(t) = (t2, t3) је тополошко смештање.Међутим, иако јесте инјективно, оно није имерзија зог γ′(0) = 0, односно rang0 γ = 0. △

Пример 1.38. Посматрајмо пресликавање γ : (−π, π) → R2 дато са γ(t) = (sin 2t, sin t). У питањује инјективна имерзија (γ′(t) = 0 за свако t ∈ (−π, π)) чија слика {(x, y) ∈ R2 : x2 = 4y2(1 − y2)}је компактан скуп у R2, али како домен није компактан то γ није тополошко смештање, самимтим није ни смештање. △

27

Глава 1. Глаке мноосрукоси1.12 Подмногострукости

Многе познате многострукости природно се јављају као подскупови других многоструко-сти. Груо говорећи, подмногострукост неке многострукости M је подскуп P ⊆ M који имасопствену структуру многострукости. Та структура стиче се из M преко одговарајуће инклу-зије која има неке лепе осоине. За подскуп P ⊆ M глатке многострукости M кажемо да јеомноосрукос одM уколико је одговарајућа инклузија ı : P ↪→ M смештање. Дакле, под-многострукост има релативну топологију наслеђену из многострукости која је садржи и глаткуструктуру у односу на коју је инклузија смештање.

Ако је P подмногострукост одM, тада јеM амијенна мноосрукос за P, док је разли-ка dimM − dimP коимензија од P у M. Напоменимо да за овако дефинисане подмногостру-кости неки аутори користе изразе смешена омноосрукос и реуларна омноо-срукос.

Пример 1.39. У Примеру 1.24 смо показали да је инклузија ı : Sn ↪→ Rn+1 глатка, а може сепроверити и да је Tpı инјективно за свако p ∈ Sn. Дакле, ı је инјективна имерзија, док је Snкомпактан (затворен и ограничен у Rn+1), те је ı смештање по Теореми 1.30, одакле следи даје Sn подмногострукост од Rn+1. △

Теорема 1.31. Помноосрукоси коимензије 0 мноосрукоси M су ачно оворенеомноосрукоси о M.

Доказ. Ако је U ⊆ M отворена подмногострукост са инклузијом ı : U ↪→ M, тада је очигледно даје ı смештање (U има релативну топологију, док је координатна репрезентација од ı идентич-ко), као и да је кодимензија 0, односно dimU = dimM. Оратно, ако је ı : U ↪→ M смештање сакодимензијом 0, оно је имерзија, али и сумерзија, те по Теореми 1.28 оно је локални дифео-морфизам, из чега следи да је U отворен подскуп од M.

Теорема 1.32. Ако је f : M → N смешање између мноосрукоси, аа је P = f(M) сарелаивном оолоијом оолошка мноосрукос и има јеинсвену лаку срукуруса којом осаје омноосрукос о N ако а је f ифеоморфизам између M и P.

Доказ. Како је f смештање, оно је хомеоморфизам између M и P. Свакој карти (U,φ) на Mдодељујемо карту (f(U),φ ◦ f−1) на P, што одређује јединствену глатку структуру такву да јеf одговарајући дифеоморфизам. Инклузија P ↪→ N је композиција f ◦ f−1 где је f−1 : P → Mдифеоморфизам, а f : M → N смештање, те је P подмногострукост од N.

Пример 1.40. Како је за неко фиксирано p ∈ N, пресликавање f : M → M×N дато са f(x) = (x,p)смештање, то је кришка M× {p} подмногострукост од M×N која је дифеоморфна са M. △

Пример 1.41. Нека су M и N многострукости, а f : U → N глатко за отворен U ⊆ M. Тадаје график Γ(f) = {(x, y) ∈ M × N : x ∈ U, y = f(x)} подмногострукост од M × N. Пресликавањеγ : U → M×N са γ(x) = (x, f(x)) је глатко и има слику Γ(f). Како је πM◦γ = IdU, то је Tγ(x)πM◦Txγ =IdTxM за свако x ∈ U. Зато је Txγ инјективно, те је γ имерзија. Инверз од γ : U → Γ(f) је πM�Γ(f),што је непрекидно, те је γ хомеоморфизам на слику, одакле је Γ(f) подмногострукост одM×Nдифеоморфна са U. △

Ако је P ⊆ M подмногострукост димензије r то је инклузија ı : P ↪→ M имерзија и по Теореми1.29 за свако p ∈ P постоје карте, (U,φ) центрирана у p ∈ P и (V,ψ) центрирана у p ∈ M, такведа инклузија има координатну репрезентацију олика ψ◦ ı◦φ−1(x1, . . . , xr) = (x1, . . . , xr,0, . . . ,0).

Теорема 1.33. Ако је M мноосрукос, она је P ⊆ M омноосрукос о M имензијеn ако и само ако за сваку ачку p ∈ P осоји кара (U,φ) у p ∈ M аква а је φ(U ∩ P) =φ(U) ∩ (Rn × {0}).

До сада смо подмногострукости налазили у кодомену глатког пресликавања (по Теореми1.32), међутим можемо их приметити и у домену. У пракси, подмногострукости су најчешћеприказане као скуп решења једначина или система једначина.

28

1.13. Векорска ољаТеорема 1.34. Ако је f : M → N лако ресликавање консанно рана r између мноосру-коси, аа је за свако q ∈ f(M), ску нивоа P = f−1(q) омноосрукос о M коимензијеr.

Доказ. За свако p ∈ P, по Теореми 1.29, постоји карта (U,φ) центрирана у p ∈ M и карта (V,ψ)центрирана у q = f(p) ∈ N у односу на које пресликавање f има координатну репрезентацијуолика ψ ◦ f ◦ φ−1(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr,0, . . . ,0). Теорема 1.33 завршава доказ јерје φ(U ∩ P) = {(x1, . . . , xm) ∈ φ(U) : x1 = · · · = xr = 0} = φ(U) ∩ ({0} × Rm−r).

Посено, ако је f из претходне теореме сумерзија, то је скуп нивоа подмногострукост ко-димензије dimN. За тачку p ∈ M кажемо да је реуларна ачка ако је Tpf сурјективно, доку супротном за p кажемо да је криична ачка. За тачку q ∈ N кажемо да је реуларнавренос ако њена инверзна слика f−1(q) садржи само регуларне тачке. Скуп нивоа f−1(q) јереуларан ску нивоа ако је q регуларна вредност од f.

Теорема 1.35. Сваки реуларан ску нивоа лако ресликавања између мноосрукоси јеомноосрукос чија је коимензија јенака имензији коомена.

Доказ. Нека је f : M → N глатко пресликавање и нека је q ∈ N регуларна вредност. По Леми1.26 скуп U свих тачака p ∈ M таквих да Tpf има ранг dimN је отворен у M и садржи f−1(q).Следи да је f�U сумерзија, те по Теореми 1.34, f−1(q) је подмногострукост од U. Композицијасмештања f−1(q) ↪→ U ↪→ M је такође смештање.

Испоставља се да такође имамо лепо растављање тангентног простора у свакој тачки регу-ларног скупа нивоа.

Лема 1.36. Ако је P реуларан ску нивоа лако ресликавања f : M → N, аа је TpP =KerTpf за свако p ∈ P.

Доказ. Нека је ı : P = f−1(q) ↪→ M природна инклузија. Како је f�P= f ◦ ı константно једнакоq ∈ N доијамо Tpf ◦ Tpı = Tpf�P= 0, одакле је Tpı(TpP) ⊆ KerTpf ⊆ TpM. Потпростор TpP имаисту димензију као KerTpf те можемо закључити да су једнаки при природној идентификацијиTpı(TpP) = TpP.

Пример 1.42. Ако је функција f : Rn+1 \ {0} → R дата са f(x1, . . . , xn+1) = x21+ · · ·+ x2n+1−1, тадаје f сумерзија те је Sn = f−1({0}) подмногострукост од Rn+1 димензије n. △

1.13 Векторска пољаУ основи, векторско поље на многострукостиM је пресликавање p 7→ X(p) које свакој тачки

p ∈ M додељује тангентни вектор X(p) ∈ TpM. Како желимо да то додељивање уде глаткодок p варира у M, потрено је да све тангентне просторе TpM за p ∈ M окупимо у јединственузаједничку многострукост TM коју зовемо тангентно раслојење.

Таненно раслојење многострукости M је дисјунктна унија тангентних простора од M,

TM =⊔p∈M

TpM =∪p∈M

({p} × TpM) =∪p∈M

{(p,X) : X ∈ TpM}.

Елемент тангентног раслојења TM можемо схватити као уређен пар (p,X), где је p тачка изM, а X тангентни вектор на M у p. Тангентно раслојење долази у пакету са природном про-јекцијом π : TM → M дефинисаном са π(p,X) = p, која сваки тангентни вектор из TpM шаље уњегову основну тачку p. Напоменимо да је често погодно пар (p,X) ∈ TM идентификовати сатангентним вектором X ∈ TpM, а влакно π−1(p) са TpM.

Како имамо n степена слооде за p ∈ M и још толико за сваки тангентни простор TpM, тоочекујемо да TM уде многострукост димензије 2n. Како желимо да од скупа TM направимомногострукост потрено је да му на неки природан начин доделимо топологију и гладак атлас.

Нека је (U,φ) карта на M са координатним функцијама xi = πi ◦ φ. За p ∈ U по Леми 1.25важи TpU = TpM, те је TU =

⊔p∈U TpU =

⊔p∈U TpM ⊆ TM. Тангентни вектор X ∈ TpM у тачки

29

Глава 1. Глаке мноосрукосиp ∈ U је по (1.7) јединствена линеарна коминација X =

∑ni=1 X(xi)(∂i)p, што нас мотивише да

поставимо пресликавање φ : π−1(U) = TU → φ(U)× Rn ⊆ R2n са

φ(p,X) = (x1(p), . . . , xn(p),X(x1), . . . ,X(xn)). (1.10)

Овако дефинисано φ је ијекција са инверзом φ−1(φ(p), λ1, . . . , λn) = (p,

∑ni=1 λi(∂i)p). Тангентно

раслојење TM јесте дисјунктна унија, али његова топологија није топологија дисјунктне уније,иначе TM не и имало преројиву азу. Свакој карти (U,φ) на M доделили смо одговарајућепресликавање φ за које желимо да уде хомеоморфизам. То постижемо тако што скупу TM до-делимо најгруљу топологију у којој је свако од пресликавања φ непрекидно. Конструктивније,можемо рећи да пресликавање φ индукује топологију из φ(U)× Rn, где је скуп A отворен у TUако и само ако је φ(A) отворен у φ(U)×Rn са стандардном топологијом отвореног подскупа одR2n. Дакле, азу топологије чине азни скупови од TU где је U азни скуп од M, одакле следида TM има преројиву азу. Тангентно раслојење је Хаусдорфов простор јер се сваке две тачкемогу раздвојити „хоризонтално“ или „вертикално“.

Нека су (U,φ) и (V,ψ) карте на M, тада на TM имамо одговарајуће карте (TU, φ) и (TV, ψ).Скупови φ(TU ∩ TV) = φ(U ∩ V) × Rn и ψ(TU ∩ TV) = ψ(U ∩ V) × Rn су отворени у R2n, док запресликавање ψ ◦ φ−1

: φ(U ∩ V)× Rn → ψ(U ∩ V)× Rn важи

(ψ ◦ φ−1)(φ(p), λ1, . . . , λn) = ψ

(p,

n∑i=1

λi(

∂

∂xi

)p

)

=

(ψ(p),

n∑i=1

λi(

∂

∂xi

)p(π1 ◦ ψ), . . . ,

n∑i=1

λi(

∂

∂xi

)p(πn ◦ ψ)

)

=

((ψ ◦ φ−1)(φ(p)),

n∑i=1

λi∂(π1 ◦ (ψ ◦ φ−1))

∂πi(φ(p)), . . . ,

n∑i=1

λi∂(πn ◦ (ψ ◦ φ−1))

∂πi(φ(p))

),

одакле се види да је глатко. Закључујемо да је TM са природно дефинисаном топологијом инаведеним глатким атласом глатка многострукост димензије 2n.

Сечење тангентног раслојења TM је пресликавање X : M → TM за које важи π ◦X = IdM, гдеје π : TM → M природна пројекција. Векторско поље на многострукости M можемо схватитикао глатко сечење тангентног раслојења TM, односно глатко пресликавање X : M → TM којесвакој тачки p ∈ M додељује тангентни вектор Xp = X(p) ∈ TpM.

Нека је (U,φ) карта на M са координатним функцијама xi = πi ◦ φ. Сечење X : M → TM имакоординатну репрезентацију φ ◦ X ◦ φ−1 : φ(U) → φ(U) × Rn која се захваљујући (1.10) можеизразити са φ(p) 7→ (φ(p),Xp(x1), . . . ,Xp(xn)) за p ∈ U. Свако сечење X може се посматратикао пресликавање које глаткој функцији f ∈ F(M) додељује функцију Xf : M → R одређену са(Xf)(p) = Xp(f). Тада је Xp(xi) = (Xxi ◦ φ−1)(φ(p)) и за v ∈ φ(U) имамо

(φ ◦ X ◦ φ−1)(v) = (v,Xx1 ◦ φ−1(v), . . . ,Xxn ◦ φ−1(v)), (1.11)

те је сечење X глатко на U ако и само ако су Xxi глатке функције за 1 6 i 6 n.Са друге стране, за парцијалне изводе функције f ∈ F(U) можемо дефинисати функцију

∂if : U → R са (∂if)(p) = (∂i)pf. Њена координатна репрезентација ∂if ◦ φ−1 је глатка функција

φ(p) 7→(

∂

∂xi

)pf = ∂(f ◦ φ−1)

∂πi(φ(p)),

одакле следи ∂if ∈ F(U). Из

(Xf)(p) = Xp(f) =( n∑

i=1Xp(xi)

(∂

∂xi

)p

)f =

n∑i=1

Xp(xi)∂f∂xi

(p) =( n∑

i=1(Xxi)

∂f∂xi

)(p)

следи Xf =∑n

i=1(Xxi)∂if. Уколико је X глатко сечење имамо глатке Xxi, те је Xf глатко на U, акако то важи за сваку карту, доијамо да глатко X повлачи Xf ∈ F(M).

30

1.13. Векорска ољаСвака појединачна функција Xp : F(M) → R је диференцирање у p, те ће се линеарност и

Лајницовост једноставно продужити на глатко сечење X : F(M) → F(M). Лајницовост по тач-кама даје X(fh) = f(Xh) + h(Xf) за свако f,h ∈ F(M), а ако је X додатно и линеарно, кажемо даје X иференцирање, што нас као у случају тангентних вектора мотивише да уведемо дефи-ницију векторског поља. Векорско оље на многострукостиM је ило које диференцирањеX : F(M) → F(M), а скуп свих векторских поља на многострукости M оележавамо са X(M).

Пример 1.43. Основни пример векторског поља, арем на отвореној подмногострукости Un-многострукости M, где је (U,φ) карта на M, је i-то кооринано векорско оље ∂i за1 6 i 6 n, које смо увели са (∂if)(p) = (∂i)pf за f ∈ F(U) и p ∈ U. Наиме, већ смо показали да је∂if ∈ F(U), а како су (∂i)p диференцирања у тачки p, то је ∂i диференцирање. △

Наравно, свако диференцирање X ∈ X(M) индукује диференцирање у тачки p ∈ M, те је саXp(f) = (Xf)(p) за f ∈ F(M) дефинисан тангентни вектор у p, а самим тим и сечење тангентнограслојења X : M → TM. Како у свакој карти (U,φ) важи xi = πi ◦ φ ∈ F(U), то је Xxi ∈ F(U), теиз (1.11) видимо да је то сечење глатко на U, а самим тим и на целом M. То комплетира доказнаредне теореме која повезује интуитивни приступ глатких сечења са диференцирањима.

Теорема 1.37. Векорска оља на мноосрукоси M су ачно лака сечења њеово ан-енно раслојења.

Основне операције на X(M) можемо увести на природан начин. Саирање и множење ска-ларом, (αX+ βY)(h) = α(X(h)) + β(Y(h)) за X,Y ∈ X(M), α, β ∈ R, h ∈ F(M), чине да X(M) постаневекторски простор над R. Додатно, векторско поље може се множити са f ∈ F(M) преко једна-чине (fX)(h) = fX(h), која чини да X(M) уде модул над прстеном F(M).

Множење векторских поља X,Y ∈ X(M) дефинишемо са (XY)(h) = X(Y(h)) за h ∈ F(M), штоје очигледно R-линеарно. Међутим, ако искористимо Лајницовост за X и Y доијамо

XY(fh) = X(Y(fh)) = X(fYh+ hYf) = fX(Yh) + (Xf)(Yh) + hX(Yf) + (Xh)(Yf).

Пажљивим посматрањем претходне формуле, уочавамо два члана „вишка“, (Xf)(Yh) и (Xh)(Yf).Како у општем случају нема разлога се они међусоно пониште, XY нема Лајницовост, те нијени векторско поље. Међутим, ти додатни чланови су симетрични по X и Y, а пократиће сеако израчунамо YX(fh) и одузмемо од XY(fh). Дакле, XY − YX поседује Лајницовост и самимтим јесте векторско поље, које зовемо комуаор или Лијева зараа и оележавамо са[X,Y] = XY− YX ∈ X(M).

Комутатор на X(M) поседује неке лепе осоине. На пример, из саме дефиниције следи анти-симетрија [Y,X] = −[X,Y], док линеарност векторских поља директно повлачи R-илинеарност[αX+ βY,Z] = α[X,Z]+ β[Y,Z] и [X,αY+ βZ] = α[X,Y]+ β[X,Z] за α, β ∈ R и X,Y,Z ∈ X(M). Међутим,иако комутатор јесте R-илинеаран он није F(M)-илинеаран јер можемо израчунати

[fX,hY] = fh[X,Y] + f(Xh)Y− h(Yf)X. (1.12)

Још једно лепо својство векторских поља је Јакоијев иение

[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y]] = 0, (1.13)

који важи за све X,Y,Z ∈ X(M) јер директан рачун по дефиницији даје дванаест чланова којисе поништавају у паровима, [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y]] = XYZ − XZY − YZX + ZYX + YZX −YXZ−ZXY+XZY+ZXY−ZYX−XYZ+YXZ = 0. Последично, простор X(M) је векторски просторса R-илинеарном операцијом [−,−] која задовољава Јакоијев идентитет, те је зато Лијеваалгера.

Пример 1.44. Како изгледају координатна векторска поља ∂∂x и

∂∂y у поларним координатама,

датим са x = r cos θ, y = r sin θ за r > 0, −π < θ < π? Директан рачун нам даје

∂

∂r =∂x∂r

∂

∂x +∂y∂r

∂

∂y = cos θ ∂

∂x + sin θ ∂

∂y ,∂

∂θ =∂x∂θ

∂

∂x +∂y∂θ

∂

∂y = −r sin θ ∂

∂x + r cos θ ∂

∂y .

31

Глава 1. Глаке мноосрукосиМатрица коефицијената је Јакоијан матрица промене координата, а из њеног инверза(

cos θ sin θ−r sin θ r cos θ

)−1=1r

(r cos θ − sin θr sin θ cos θ

),

доијамо∂

∂x = cos θ ∂

∂r − 1r sin θ

∂

∂θ ,∂

∂y = sin θ ∂

∂r +1r cos θ

∂

∂θ .

△

Важно је имати у виду да је комутатор свуда једнак нули у два специјална случаја. У првомслучају, као последица антисиметрије [X,X] = 0 важи за свако X ∈ X(M). Други случај тиче секоординатних векторских поља из исте карте (U,φ). Парцијални изводи глатких функција суисти у ило ком редоследу,

∂2f∂xi∂xj

=∂

∂xi∂

∂xjf = ∂

∂xi

(∂(f ◦ φ−1)

∂πj◦ φ)

=∂

∂πi

(∂(f ◦ φ−1)

∂πj◦ φ ◦ φ−1

)◦ φ

=∂2(f ◦ φ−1)

∂πi∂πj◦ φ =

∂2(f ◦ φ−1)

∂πj∂πi◦ φ =

∂2f∂xj∂xi

,

одакле следи [∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0. (1.14)

Пример 1.45. Посматрајмо два векторска поља у R2,

X =∂

∂x , Y = (1+ x2) ∂

∂y .

Рачун даје XY = (1+ x2) ∂2

∂x∂y + 2x ∂∂y и YX = (1+ x2) ∂2

∂y∂x , одакле доијамо [X,Y] = XY− YX = 2x ∂∂y .

Да ли је могуће пронаћи нове координате (u, v) = f(x, y) такве да су X и Y аш координатнавекторска поља ∂

∂u и ∂∂v? Приметимо да су векторска поља X и Y свуда линеарно независна,

али то није довољно доро. Из (1.14) за координатна векторска поља важи [ ∂∂u ,

∂∂v ] = 0 тако да

је одговор негативан. △

Пример 1.46. Поновимо претходни пример за векторска поља у R2 на отвореном подскупугде је xy > 0,

X =xy

∂

∂x +∂

∂y , Y = 2√xy ∂

∂x .

Директан рачун показује да су и XY и YX једнаки 2√

xy

∂∂x плус неки други изводи које не морамо

да рачунамо јер ће нужно ити исти, одакле је [X,Y] = 0.Овог пута има смисла тражити промену координата x = x(u, v), y = y(u, v) за коју је потрено

наместитиxy

∂

∂x +∂

∂y = X =∂

∂u =∂x∂u

∂

∂x +∂y∂u

∂

∂y

2√xy ∂

∂x = Y =∂

∂v =∂x∂v

∂

∂x +∂y∂v

∂

∂y ,

одакле следи∂x∂u =

xy ,

∂y∂u = 1, ∂x

∂v = 2√xy, ∂y∂v = 0.

Најпре видимо да је y = u+ C за неку константу C. Затим, ∂xx = ∂u

u+C даје x = (u+ C)f(v). Даљеје (u + C)f′(v) = 2

√(u+ C)f(v)(u+ C), одакле f′(v) = ±2

√f(v), те

√f = ±v + Const, односно

f = (v+ D)2 за неку константу D. Дакле, за произвољне константе C и D, промена координатаx = (u+ C)(v+ D)2, y = u+ C даје X = ∂

∂u , Y = ∂∂v и доијамо позитиван одговор. △

32

1.14. Глоално аненно ресликавањеПример 1.47. Размотримо исто питање као раније, овог пута у случају векторских поља

X = x ∂

∂y − y ∂

∂x , Y = x ∂

∂x + y ∂

∂y .

Наконшто установимо да је [X,Y] = 0, можемо увести поларне координате x = r cos θ, y = r sin θ,што је доро дефинисано за r > 0, −π < θ < π. Тада нам рачун даје

∂

∂r =∂x∂r

∂

∂x +∂y∂r

∂

∂y =xr∂

∂x +yr∂

∂y =1r Y,

∂

∂θ =∂x∂θ

∂

∂x +∂y∂θ

∂

∂y = −yθ ∂

∂x + x ∂

∂y = X.

Можемо увести нову промену координата са ρ = f(r) (при чему сачувамо θ као другу коорди-нату) тако да доијемо жељени олик Y = ∂

∂ρ . Како је ∂∂r = ∂ρ

∂r∂∂ρ = f′(r) ∂

∂ρ , потрено нам јеf′(r) = 1

r , односно f(r) = ln(r) + Const, одакле је r = Ceρ и тражена промена координата гласиx = Ceρ cos θ, Cy = eρ sin θ, за произвољну константу C > 0. △

1.14 Глоално тангентно пресликавањеНека је f : M → N глатко пресликавање између многострукости. Ако ојединимо тангентна

пресликавања од f у свим тачкама одM, доићемо глоално дефинисано пресликавање измеђутангентних раслојења Tf : TM → TN где је Tf(Xp) = Tpf(Xp) за Xp ∈ TpM. Овако дефинисанопресликавање Tf зовемо лоалноаненно ресликавање, а његова рестрикција на свакиод тангентних простора TpM ⊆ TM је управо тангентно пресликавање Tpf.

Глоално тангентно пресликавање Tf гура тангентни вектор X ∈ TpM из домен многоструко-сти у тангентни вектор из кодомен многострукости f∗(X) = Tpf(X) који називамо урање (push-forward) од X. Гурање вектора X можемо оележавати са Tpf(X), Tf(X) или f∗(X) у зависности одтога на које везе желимо да укажемо, те да ли желимо да нагласимо основну тачку p = π(X).Приметимо да за канонске пројекције тангентних раслојења πM : TM → M и πN : TN → N важиочигледна веза πN ◦ Tf = f ◦ πM.

Теорема 1.38. Глоално аненно ресликавање је лако.

Доказ. Нека је dimM = m, dimN = n, а p ∈ M произвољна тачка. Како је f : M → N глатко,постоји карта (U,φ) у p ∈ M са xj = πj ◦ φ (1 6 j 6 m) и карта (V,ψ) у f(p) ∈ N са yi = πi ◦ ψ (1 6i 6 n), где је f(U) ⊆ V тако да је ψ◦f◦φ−1 глатко. За одговарајуће карте (TU, φ) на TM и (TV, ψ) наTN очигледно важи Tf(TU) ⊆ TV. Координатну репрезентацију ψ◦Tf◦φ−1

: φ(U)×Rm → ψ(V)×Rn

глоалног тангентног пресликавања Tf можемо израчунати користећи формулу (1.8),

(ψ ◦ Tf ◦ φ−1

)(φ(p), λ1, . . . , λm) =

(ψ ◦ Tf

)p, m∑j=1

λj(

∂

∂xj

)p

=ψ

f(p), m∑j=1

λjTpf(

∂

∂xj

)p

= ψ

f(p), m∑j=1

λjn∑i=1

∂(yi ◦ f)∂xj

(p)(

∂

∂yi

)f(p)

=

(ψ ◦ f ◦ φ−1)(φ(p)),m∑j=1

λj∂(π1 ◦ ψ ◦ f ◦ φ−1)

∂πj(φ(p)), . . . ,

m∑j=1

λj∂(πn ◦ ψ ◦ f ◦ φ−1)

∂πj(φ(p))

,

што је глатко јер је такво ψ ◦ f ◦ φ−1, одакле следи да је Tf глатко.

Ако је f : M → N константно пресликавање онда као директну последицу Леме 1.19 имамоTpf ≡ 0 за свако p ∈ M, те важи Tf ≡ 0. Штавише, важи и орат, али очекивано само накомпонентама повезаности.

Лема 1.39. Нека је f : M → N лако ресликавање између овезане мноосрукоси M имноосрукоси N. Ако је лоално аненно ресликавање Tf : TM → TN јенако нули онаје f консанно.

33

Глава 1. Глаке мноосрукосиДоказ. Као и раније, за произвољно p ∈ M ирамо карту (U,φ) у p ∈ M и карту (V,ψ) у f(p) ∈ Nса f(U) ⊆ V тако да је ψ ◦ f ◦ φ−1 глатко. Ако Tf ≡ 0 применимо на координатне векторе из TpM,то из формуле (1.8) доијамо

∂(yi ◦ f)∂xj

(p) = ∂(πi ◦ (ψ ◦ f ◦ φ−1))

∂πj(φ(p)) = 0,

за свако 1 6 j 6 dimM и 1 6 i 6 dimN. Одавде је ψ ◦ f ◦ φ−1 константно, те је такво и f�U.Посматрајмо затворен скуп Q = f−1({f(q)}) који садржи неку фиксирану тачку q ∈ M. Какосвако p ∈ Q има околинуU ∋ p на којој је f�U константно, то јеU ⊆ Q, одакле јеQ отворен. Једининепразан затворен и отворен подскуп повезаног простора M је само M, те је f константно нацелом M.

Нека је f : M → N глатко пресликавање између многострукости. Ако применимо тангентнопресликавање на векторско поље X ∈ X(M), за сваку тачку p ∈ M доијамо вектор Tpf(Xp) ∈Tf(p)N. Међутим, у општем случају овако нећемо доити векторско поље на N. На пример,ако f није сурјективно тада постоји пролем који вектор доделити тачкама из N \ f(M). Садруге стране, ако f није инјективно имамо f(p) = f(q) за неке различите тачке p,q ∈ M, али непостоји разлог зашто и вектори Tpf(Xp) и Tqf(Xq), који припадају истом тангентном просторуTf(p)N = Tf(q)N, или једнаки.

У случају да векторска поља X ∈ X(M) и Y ∈ X(N) имају осоину да за свако p ∈ M важиTpf(Xp) = Yf(p), за X и Y кажемо да су f-овезана (f-related) и пишемо X ∼f Y. Како за свакоp ∈ M важи (X(h ◦ f))(p) = Xp(h ◦ f) = (Tpf(Xp))(h) и ((Yh) ◦ f)(p) = (Yh)(f(p)) = Yf(p)(h), то имамонаредно тврђење.

Лема 1.40. Нека је f : M → N лако ресликавање између мноосрукоси. За X ∈ X(M) иY ∈ X(M) важи X ∼f Y ако и само ако је X(h ◦ f) = (Yh) ◦ f за свако h ∈ F(N).

Пример 1.48. Нека је f : R → R2 глатко пресликавање f(t) = (cos t, sin t) и X = ddt ∈ X(R). Да ли

постоји Y ∈ X(R2) такво да је X ∼f Y? За неко решење Y = μ(x, y) ∂∂x + ν(x, y) ∂

∂y и h ∈ F(N) имамо

(X(h ◦ f))(t) = ddt (h(cos t, sin t)) = − sin t

(∂

∂x

)f(t)

h+ cos t(

∂

∂y

)f(t)

h,

((Yh) ◦ f)(t) = Yf(t)h = μ(cos t, sin t)(

∂

∂x

)f(t)

h+ ν(cos t, sin t)(

∂

∂y

)f(t)

h.

Одавде следи да нам је потрено μ(cos t, sin t) = − sin t и ν(cos t, sin t) = cos t, што је испуњеноза μ(x, y) = −y и ν(x, y) = x, при чему доијамо решење Y = −y ∂

∂x + x ∂∂y .

Приметимо да иако f није сурјективно решење постоји јер услов из дефиниције тривијалноважи за тачке које нису у слици f(R). Међутим, тражено векторско поље Y није једнозначноодређено, на пример Y = −y(x2 + y2) ∂

∂x + x(x2 + y2) ∂∂y такође испуњава услове задатка. △

Теорема 1.41. Ако је f : M → N ифеоморфизам између мноосрукоси, аа за свако X ∈X(M) осоји јеинсвено Y ∈ X(N) акво а је X ∼f Y.

Доказ. Како је f ијекција, то свакој тачки q ∈ N следује јединствено Yq = Tf−1(q)f(Xf−1(q)), штодефинише сечење Y : N → TN, које је глатко као композиција Y = Tf ◦ X ◦ f−1. Наиме, Tf јеглатко по Теореми 1.38, а X по Теореми 1.37, те је Y глатко сечење, односно Y ∈ X(N) поТеореми 1.37.

Јединствено Y ∈ X(N) из претходне теореме за које је X ∼f Y зовемо урање (pushforward) заf од X ∈ X(M) и оележавамо са f∗X. Дакле, f∗X ∈ X(N) је дефинисано само за дифеоморфизмеf : M → N и може се рачунати формулом

(f∗X)q = Tf−1(q)f(Xf−1(q)),

док по Леми 1.40 за свако h ∈ F(N) имамо ((f∗X)h) ◦ f = X(h ◦ f).Кључна ствар у вези повезаних векторских поља је њихова сарадња у односу на комутатор,

о чему говори наредна теорема.

34

1.15. Покрени реериТеорема 1.42. Нека је f : M → N лако ресликавање између мноосрукоси. Ако завекорска оља X1,X2 ∈ X(M) и Y1,Y2 ∈ X(N) важи X1 ∼f Y1 и X2 ∼f Y2, она важи и[X1,X2] ∼f [Y1,Y2].

Доказ. Из Леме 1.40 за h ∈ F(N) можемо рачунати X1X2(h ◦ f) = X1((Y2h) ◦ f) = (Y1Y2(h)) ◦ f иX2X1(h ◦ f) = (Y2Y1(h)) ◦ f, те је [X1,X2](h ◦ f) = (Y1Y2(h)) ◦ f − (Y2Y1(h)) ◦ f = ([Y1,Y2]h) ◦ f. Доказзавршава поновна примена Леме 1.40, али у супротном смеру.

Уколико у претходној теореми имамо дифеоморфизам f : M → N, следи да за X1,X2 ∈ X(M)имамо лепу формулу f∗[X1,X2] = [f∗X1, f∗X2].

1.15 Покретни репериКоординатна векторска поља у оквиру неке карте омогућавају да се векторска поља изразе

на згодан начин јер њихове вредности у произвољној тачки чине азу тангентног простора утој тачки. Међутим, она нису једини могући изор.

Локални окрени реер n-многострукости M је уређена n-торка векторских поља(E1, . . . ,En) дефинисаних на неком отвореном подскупу U ⊆ M тако да вектори (E1)p, . . . , (En)pчине азу тангентног простора TpM за свако p ∈ U. Уколико су ова векторска поља дефиниса-на на целој многострукости, односно за U = M, онда је у питању лоални окрени реер.Уколико многострукост дозвољава глоални покретни репер кажемо да је аралелизаилна.

Ако је (U,φ) произвољна карта многострукости M, тада координатна векторска поља чинелокални покретни репер (∂1, . . . , ∂n) на U и зовемо га кооринани окрени реер. Нарав-но, свака тачка многострукости има околину на којој постоји такав локални покретни репер.У том случају имамо природан дифеоморфизам између TU и U × Rn што нас доводи до појматривијалног тангентног раслојења.

Тангентно раслојење TM n-многострукостиM јеривијално уколико постоји дифеоморфи-зам f : TM → M×Rn који чува целокупну структуру. Другим речима, захтевамо да је πM ◦ f = π,где су πM : M × Rn → M и π : TM → M канонске пројекције, као и да је за сваку тачку p ∈ Mрестрикција f�TpM изоморфизам. Испоставља се да је тангентно раслојење TM тривијално ако исамо ако је многострукост M паралелизаилна јер је лако увидети везу f((Ei)p) = (p, ei), где је(e1, . . . , en) аза од Rn, а (E1, . . . ,En) глоални покретни репер на M.

Пример 1.49. Многострукост Mn са атласом од само једне карте {(M,φ)} индукује природандифеоморфизам (φ−1 × IdRn) ◦ φ : TM → M× Rn, одакле је тангентно раслојење TM тривијално,а сама многострукост M паралелизаилна. △

Пример 1.50. За Лијеву групуG са неутралом e ∈ Gможемо посматрати f : G×TeG → TG задатоса f(g,X) = (TeLg)(X), где је Lg : G → G дифеоморфизам дат са Lg(h) = gh. Пресликавање f−1 ћеити дифеоморфизам између TG и G×TeG ∼= G×Rn, те је свака Лијева група паралелизаилна.

△

Занимљиво је посматрати егзистенцију векторских поља на сфери Sn−1 ⊂ Rn. Свакој тачкиx ∈ Sn−1 желимо да на гладак начин доделимо вектор V(x) тангентан на x, односно ортогоналанна позициони вектор тачке x. Нула вектор је ортогоналан на све, што нам не одговара, те ћемотражити векторска поља која нигде нису нула. Такво векторско поље можемо (глатко) норми-рати да доијемо ∥V(x)∥ = 1 за свако x, после чега се потрага своди на глатка пресликавањаV : Sn−1 → Sn−1 таква да V(x) ⊥ x важи за свако x ∈ Sn−1.

Размотримо наредни тополошки аргумент. Тражено векторско поље V генерише хомотопи-ју ht(x) = x cos(πt) + V(x) sin(πt) између идентичког h0 = IdSn−1 и антиподалног пресликавањаh1 = − IdSn−1 . Степен непрекидног пресликавања сфере Sn−1 на саму сее је исти за хомотопнапресликавања, те је (−1)n (степен антиподалног пресликавања као композиција n рефлексија)једнак 1 (степен идентичког пресликавања), одакле је n нужно парно. Дакле, за непарно nтражена векторска поља не постоје.

За парно n = 2k можемо идентификовати R2k ∼= Ck, те поставити V(x) = ix што очигледнојесте векторско поље на свим сферама непарне димензије. У специјалном случају за n = 2имамо глоални покретни репер на кругу S1 који се састоји од једног векторског поља V(x) = ix,

35

Глава 1. Глаке мноосрукосишто можемо описати као јединично тангентно векторско поље које је усмерено математичкипозитивно.

Један од начина да се конструише векторско поље на Sn−1 је V(x) = Ax, где је A ∈ Rn×n

матрица, при чему захтевамо Ax ⊥ x, односно да је xTAx = 0 за све x ∈ Sn−1. Како за свако x, yважи 0 = (x + y)TA(x + y) = xTAy + yTAx = xTAy + xTATy = xT(A + AT)y, то је A + AT = 0. Важии орат јер за A + AT = 0 имамо xTAx = 1

2xT(A + AT)x = 0 из чега закључујумо да траженомвекторском пољу одговара антисиметрична матрица A = −AT. Додатно, из услова ∥V(x)∥ = ∥x∥имамо (Ax)T(Ax) = xTx, одакле је xT(ATA− Id)x = 0, те уз исте резоне као малопре закључујемода је симетрична матрица ATA− Id антисиметрична, одакле следи ATA = Id, односно A2 = − Id.Дакле, тражено векторско поље зависи од антисиметричне ортогоналне матрице A, а како јетада (detA)2 = det(A2) = det(− Id) = (−1)n, то можемо потврдити да непарно n не долази уозир.

Ако постоје векторска поља V1, . . . ,Vk ∈ X(Sn−1) таква да су V1(x), . . . ,Vk(x) ∈ TxSn−1 ∼= x⊥линеарно независни за свако x ∈ Sn−1, тада Грам41–Шмитов42 поступак конструише векторскапоља са условом да су V1(x), . . . ,Vk(x) међусоно ортогонални за свако x ∈ Sn−1. Тако за одго-варајуће матрице A1, . . . ,Ak ∈ Rn×n можемо претпоставити да за 1 6 i = j 6 k додатно важиAix ⊥ Ajx, односно xT(ATi Aj)x = 0 што даје антисиметричност матрице ATi Aj = −AiAj. Коначно,наведени услови могу се описати Хурвицовом43 релацијом

AiAj + AjAi = −2δij Id, (1.15)

која важи за свако 1 6 i, j 6 k.Класичан пролем је одредити које сфере Sn−1 ⊂ Rn су паралелизаилне. Користећи ме-

тоде алгеарске топологије, Бот44 и Милнор [5], и независно од њих Кервер [16], доказали су1958. године да једине паралелизаилне сфере имамо за n ∈ {1,2,4,8}. Ово питање уско је по-везано са егзистенцијом нормираних алгери са дељењем над реалним ројевима којих укупноима четири, а то су: реални ројеви R, комплексни ројеви C, кватерниони H и октониони O.Конкретно, једине паралелизаилне сфере су S0, S1, S3 и S7, које редом одговарају алгерамаR, C, H и O.Пример 1.51. У случају n = 4 можемо поставити три антисиметричне ортогоналне матрицекоје испуњавају Хурвицове релације (1.15) са

A1 =

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

, A2 =

0 0 −1 00 0 0 11 0 0 00 −1 0 0

, A3 =

0 0 0 −10 0 −1 00 1 0 01 0 0 0

.

На овај начин доијамо три ортонормирана векторска поља на S3, те је сфера S3 паралелиза-илна. Можемо приметити да матрице A1,A2,A3 одговарају множењу јединичним кватернио-нима i, j, k ∈ H. △

У општијем случају можемо са Span(M) означити максималан рој линеарно независнихвекторских поља на многострукости M. Веома јак резултат који је 1962. изложио Адамс45 [1]каже да важи Span(Sn−1) = ρ − 1, где је

ρ((2a+ 1) · 24b+c) = 8b+ 2c за 0 6 c 6 3. (1.16)

Заправо, Адамс је показао да наSn−1 не постоји ρ(n) линеарно независних векторских поља, докје егзистенција за њих ρ(n) − 1 још раније ила позната кроз радове које су дали Хурвиц [15],Радон46 [29] и Екман47 [12]. Вредности функције ρ : N → N зову се Хурвиц–Раон ројеви.Последично, једине паралелизаилне сфере Sn−1 су оне за које је ρ(n) = n, што се дешава самоза n ∈ {1,2,4,8}.41Jørgen Pedersen Gram (1850–1916), дански математичар42Erhard Schmidt (1876–1959), немачки математичар43Adolf Hurwitz (1859–1919), немачки математичар44Raoul Bott (1923–2005), Hungarian-American mathematician45John Frank Adams (1930–1989), ритански математичар46Johann Karl August Radon (1887–1956), аустријски математичар47Beno Eckmann (1917–2008), швајцарски математичар

36

1.16. Ковекорска ољаПример 1.52. Иако сфера S2 ⊂ R3 није паралелизаилна, на њој постоји векторско поље које јенула у тачно једној тачки. Стереографској пројекцији φ−(x, y, z) = ( x

1−z ,y

1−z ) = (u, v) одговаракоординатно векторско поље ∂

∂u ∈ X(R2), односно (φ−1− )∗(

∂∂u ) ∈ X(S2 \ {p+}). Друга карта,

φ+(x, y, z) = ( x1+z ,

y1+z ) = (u, v) се глатко преклапа са φ− на пресеку S2\{p+,p−}, а везе доијене

из (1.1) су

(u, v) = φ− ◦ φ−1+ (u, v) =

(u

u2 + v2 ,v

u2 + v2),

(u, v) = φ+ ◦ φ−1− (u, v) =

(u

u2 + v2 ,v

u2 + v2).

Даље је

∂

∂u =∂u∂u

∂

∂u +∂v∂u

∂

∂v =v2 − u2

(u2 + v2)2∂

∂u +−2uv

(u2 + v2)2∂

∂v = (v2 − u2) ∂

∂u − 2uv ∂

∂v ,

те се (φ−1− )∗(

∂∂u ) може продужити и на тачку p+. Конкретна формула гласи

Vq =

((φ−1

− )∗∂

∂u

)q

за q ∈ S2 \ {p+}((φ−1

+ )∗((v2 − u2) ∂

∂u − 2uv ∂

∂v))

qза q ∈ S2 \ {p−}

и њом се V доро дефинише у свакој тачки сфере S2, а како је глатко у локалним координатамаочигледно имамо V ∈ X(S2). Наравно, Vp+ = 0, док је Vq = ((φ−1

− )∗(∂∂u ))q = 0 на S2 \ {p+}. △

1.16 Ковекторска пољаКоаненни росор многострукости M у тачки p ∈ M је дуални простор тангентног

простора,T∗pM = (TpM)∗ = Hom(TpM,R).

Елементи котангентног простора T∗pM суаненни ковекори у p, што су линеарне функ-

ције ωp : TpM → R. По узору на векторско поље, желимо да истражимо пресликавање ω којеће свакој тачки p ∈ M глатко доделити ковектор ωp у p.

На пример, за сваку функцију f ∈ F(M) дефинишемо њен иференцијал df, тако што тачкиp ∈ M доделимо ковектор dfp ∈ T∗

pM дат са dfp(Xp) = Xp(f) за Xp ∈ TpM. Тангентно пресли-кавање у овом важном специјалном случају f ∈ F(M) можемо рачунати у некој карти (U,φ)у p ∈ M по формули (1.8), одакле доијамо Tpf( ∂

∂xj )p = ∂f∂xj (p)(

ddt )f(p), те из линеарности следи

Tpf(Xp) = Xp(f)( ddt )f(p) за Xp ∈ TpM. Одавде можемо закључити да ако искористимо предностиидентификације Tf(p)R ∼= R, тада диференцијал dfp природно можемо поистоветити са тангент-ним пресликавањем Tpf.

Нека јеMn-многострукост, а (U,φ) карта у произвољној тачки p ∈ M са координатним функ-цијама xi = πi ◦ φ. По Теореми 1.22, вектори ( ∂

∂x1 )p, . . . , (∂∂xn )p чине азу тангентног простора

TpM. Како је (dxi)p( ∂∂xj )p = ( ∂

∂xj )p(xi) = δij за 1 6 i, j 6 n, то ковектори (dx1)p, . . . , (dxn)p чине азукотангентог простора T∗

pM која је дуална датој ази за TpM. Додатно, за ωp ∈ T∗pM и Xp ∈ TpM,

из (1.7) имамо

ωp(Xp) = ωp

( n∑i=1

Xp(xi)(

∂

∂xi

)p

)=

n∑i=1

Xp(xi)ωp

(∂

∂xi

)p=

n∑i=1

ωp

(∂

∂xi

)p(dxi)p(Xp),

одакле је

ωp =

n∑i=1

ωp

(∂

∂xi

)p(dxi)p. (1.17)

37

Глава 1. Глаке мноосрукосиТеорема 1.43. Нека је M n-мноосрукос, а (U,φ) кара у p ∈ M са xi = πi ◦ φ. Таа ковек-ори (dx1)p, . . . , (dxn)p чине азу за T∗

pM и (1.17) важи за свако ωp ∈ T∗pM.

Како желимо да пресликавање ω : p 7→ ωp уде глатко потрено је да кодомен уде некамногострукост. По узору на тангентно раслојење направићемо коаненно раслојење

T∗M =⊔p∈M

T∗pM

многострукости M као унију свих котангентних простора. Као и раније, оно иде у пакету саприродном пројекцијом π : T∗M → M која је дата са π(ωp) = p за ωp ∈ T∗

pM. Можемо имитиратикострукцију тангентног раслојења да исмо скупу T∗M доделили топологију.

Нека је (U,φ) карта на M са координатним функцијама xi = πi ◦ φ. Ковектор ωp ∈ T∗pM у

тачки p ∈ U је по (1.17) јединствена линеарна коминација ωp =∑n

i=1 ωp((∂i)p) (dxi)p, што насмотивише да поставимо пресликавање φ : T∗U → φ(U)× Rn ⊆ R2n са

φ(ωp) =

(x1(p), . . . , xn(p),ωp

(∂

∂x1

)p, . . . ,ωp

(∂

∂xn

)p

).

Пресликавање φ је ијекција са инверзом φ−1(φ(p), λ1, . . . , λn) =

∑ni=1 λi (dxi)p, што нам помаже

да из φ(U) × Rn индукујемо топологију на T∗U. Као и раније, азу топологије можемо доититако што покупимо азне скупове од T∗U за сваки азни скуп U од M.

Испитајмо сагласност карата (T∗U, φ) и (T∗V, ψ) на T∗M, где су (U,φ) и (V,ψ) карте на M.Из промене координата (1.9) је ( ∂

∂yk )p =∑n

j=1∂xj∂yk (p)(

∂∂xj )p, одакле важи (dxi)p( ∂

∂yk )p = ∂xi∂yk (p), те

рачунамо функцију преласка са

(ψ ◦ φ−1)(φ(p), λ1, . . . , λn) = ψ

( n∑i=1

λi (dxi)p

)

=

(ψ(p),

n∑i=1

λi (dxi)p(

∂

∂y1

)p, . . . ,

n∑i=1

λi (dxi)p(

∂

∂yn

)p

)

=

(ψ(p),

n∑i=1

λi∂(πi ◦ (φ ◦ ψ−1))

∂π1(ψ(p)), . . . ,

n∑i=1

λi∂(πi ◦ (φ ◦ ψ−1))

∂πn(ψ(p))

),

што је глатко јер је ψ(p) = (ψ ◦φ−1)(φ(p)). Након преосталих техничких детаља које остављамоза вежу, испоставља се да је котангентно раслојење T∗M глатка многострукост димензије 2n.

Посматрајмо сечења котангентног раслојења, односно пресликавања ω : M → T∗M за којаважи π ◦ ω = IdM. Ковекорско оље дефинишемо као глатко сечење котангентног расло-јења T∗M, а скуп свих ковекторских поља оележавамо са X∗(M). Ако је (U,φ) карта на M сакоординатним функцијама xi = πi ◦ φ, тада се свако сечење ω котангентног раслојења T∗U мо-же записати као линеарна коминација ω =

∑ni=1 ai dxi, где су коефицијенти ai : U → R неке

функције. Глаткоћа тих коефицијената зависиће од глаткоће сечења.

Лема 1.44. Ако је (U,φ) кара на мноосрукоси M са xi = πi ◦ φ, аа је сечење ω =∑ni=1 ai dxi коаненно раслојења T∗U лако ако и само ако су све коефицијен функције

ai : U → R лаке.

Доказ. Из (1.17) је ai(p) = ωp(∂∂xi )p, те за одговарајућу карту (T

∗U, φ) важи φ = (φ×a1×· · ·×an)◦π,односно φ◦ω = φ×a1×· · ·×an. Како је φ дифеоморфизам то је ω глатко ако и само ако ai ∈ F(U)за 1 6 i 6 n.

На пример, за f ∈ F(M), можемо посматрати диференцијал df који у оквиру карте (U,φ)мора ити олика df =

∑ni=1 ai dxi. Применом на координатне векторе доијамо коефицијент

функције∂f∂xj

=

(∂

∂xj

)f = (df)

(∂

∂xj

)=

n∑i=1

ai dxi(

∂

∂xj

)=

n∑i=1

aiδij = aj,

38

1.16. Ковекорска ољакоје су очигледно глатке, те имамо ковекторско поље df ∈ X∗(M), као и локално изражавање,

df =n∑i=1

∂f∂xi

dxi. (1.18)

Пример 1.53. Диференцијал функције f : R2 → R дате са f(x, y) = xy2 sin x рачунамо по формули(1.18),

df = ∂(xy2 sin x)∂x dx+ ∂(xy2 sin x)

∂y dy = (y2 sin x+ xy2 cos x)dx+ (2xy sin x)dy.

△

Из формуле (1.18), директно се можемо уверити да диференцијал d : F(M) → X∗(M) имаследеће лепе осоине,

d(αf+ βh) = αdf+ βdhd(fh) = fdh+ hdf

d(l ◦ f) = (l′ ◦ f)df,

које важе за свако f,h ∈ F(M), l ∈ F(R), α, β ∈ R. Наравно, за константно f ∈ F(M) је df = 0, докdf = 0 за повезано M повлачи константно f, што је последица Леме 1.39.

За произвољно сечење ω котангентног раслојења T∗M и векторско поље X ∈ X(M), природ-но можемо дефинисати функцију ω(X) : M → R са ω(X)p = ωp(Xp) за p ∈ M. Одмах можемоприметити да произвољна функција f : M → R пролази кроз ω јер важи ω(fX)p = ωp(f(p)Xp) =f(p)ωp(Xp) = (fω(X))p, одакле следи ω(fX) = fω(X). У некој карти (U,φ) на M, из (1.17) и (1.7)можемо израчунати

ω(X) =n∑i=1

ω(∂i)dxi

n∑j=1

X(xj)∂j

=

n∑i,j=1

ω(∂i)X(xj)dxi(∂j) =n∑i=1

ω(∂i)X(xi).

Уколико је ω глатко сечење, Лема 1.44 даје ω(∂i) ∈ F(U), одакле је ω(X) глатко на произвољнојкоординатној околини, те је ω(X) ∈ F(M). Оратно, ако је ω(X) ∈ F(M) за свако X ∈ X(M), топосено важи за ∂i, те је ω =

∑ni=1 ω(∂i)dxi глатко по Леми 1.44. Дакле, ковекторско поље

ω ∈ X∗(M) се може тумачити и као пресликавање ω : X(M) → F(M).

Лема 1.45. Сечење ω коаненно раслојења T∗M је лако ако и само ако за свако X ∈ X(M)важи ω(X) ∈ F(M).

Нека је f : M → N глатко пресликавање између многострукости. Дуално глоалном тан-гентном пресликавању f∗ = Tf : TM → TN које гура векторе из M у N, можемо посматратипресликавање које окреће стрелицу и враћа назад ковекторе из N у M. Повлачење (pullback)је пресликавање f∗ : T∗N → T∗M дефинисано са

(f∗(ωf(p)))(Xp) = ωf(p)(f∗(Xp))

за ковектор ωf(p) ∈ T∗f(p)N и вектор Xp ∈ TpM у тачки p ∈ M.

За разлику од векторских поља која у општем случају не можемо гурнути глатким пресли-кавањем, ковекторска поља се увек могу повући глатким пресликавањем. За ковекторско пољеω ∈ X∗(N) дефинишемо овлачење f∗ω као сечење котангентног раслојења T∗M такво да је(f∗ω)p = f∗(ωf(p)) за p ∈ M, односно такво да (f∗ω)p(Xp) = ωf(p)(f∗(Xp)) важи за свако Xp ∈ TpM.

Нека је f : M → N глатко, p ∈ M и Xp ∈ TpM. Функције h ∈ F(N) такође се могу повлачити саf∗h = h ◦ f ∈ F(M). Из (f∗dh)p(Xp) = (dh)f(p)(f∗(Xp)) = (f∗(Xp))h = Xp(h ◦ f) = Xp(f∗h) = (d(f∗h))p(Xp)следи да повлачење и диференцијал комутирају, f∗(dh) = d(f∗h). Такође, једноставно се можедоказати да за ковекторска поља ω, τ ∈ X∗(N) важи f∗(ω+τ) = f∗ω+f∗τ, као и f∗(hω) = (f∗h)(f∗ω)где је h ∈ F(N).

Теорема 1.46. Ако је f : M → N лако и ω ∈ X∗(N) она је f∗ω ∈ X∗(M).

39

Глава 1. Глаке мноосрукосиДоказ. За p ∈ M имамо карту (U,φ) у p ∈ M са xj = πj ◦ φ за 1 6 j 6 m = dimM и карту (V,ψ)у f(p) ∈ N са yi = πi ◦ ψ за 1 6 i 6 n = dimN тако да је f(U) ⊆ V и ψ ◦ f ◦ φ−1 глатко. Како јеω�V=

∑ni=1 ai dyi за неке ai ∈ F(V), то из (1.18) имамо

(f∗ω)�U=n∑i=1

(f∗ai)f∗(dyi) =n∑i=1

(f∗ai)d(f∗yi) =n∑i=1

(ai ◦ f)d(yi ◦ f) =n∑i=1

m∑j=1

(ai ◦ f)∂(yi ◦ f)

∂xjdxj.

Како су коефицијент функције∑n

i=1(ai ◦ f)∂(yi◦f)∂xj глатке, то је f∗ω глатко на U по Леми 1.44.

Дакле, f∗ω је глатко у свакој тачки p ∈ M, те имамо f∗ω ∈ X∗(M).

Пример 1.54. Нека је f : R3 → R2 дато са (u, v) = f(x, y, z) = (x2y, y sin z) и нека је ω ∈ X∗(R2)дато са ω = udv+ v du. Директним рачуном имамо

f∗ω = (f∗u)(f∗dv) + (f∗v)(f∗du) = (u ◦ f)d(v ◦ f) + (v ◦ f)d(u ◦ f)= (x2y)d(y sin z) + (y sin z)d(x2y) = x2y(sin z dy+ y cos z dz) + y sin z(2xy dx+ x2 dy)

одакле доијамо f∗ω = 2xy2 sin z dx+ 2x2y sin z dy+ x2y2 cos z dz. △

1.17 Тензорска пољаПојам тензорског поља на многострукости M уопштава појмове глатких реалних функција

F(M), векторских поља X(M) и ковекторских поља X∗(M), те омогућава још компликованијеојекте на многострукости. Тензори се јављају у много различитих олика, а њихова општакарактеристика је мултилинеарност.

У неком општем случају можемо посматрати модул V над прстеном K, као и њему дуаланмодул V∗ = Hom(V,K). Тензор типа (r, s) ∈ N0 × N0 над V је K-мултилинеарно пресликавањеA : (V∗)r × (V)s → K. Скуп Tr

s(V) свих тензора типа (r, s) над V је модул над K са уоичајенимдефиницијама саирања и множења са елементом из K.

Тензорско оље A на многострукости M је тензор над F(M)-модулом X(M). То заправозначи да је F(M)-мултилинеарно пресликавање

A : X∗(M)× · · · × X∗(M)︸ ︷︷ ︸r

×X(M)× · · · × X(M)︸ ︷︷ ︸s

→ F(M),

тензорско поље типа (r, s) ∈ N0 × N0. Самим тим, скуп Trs(M) свих тензорских поља на M типа

(r, s) је модул над F(M).

Пример 1.55. Тензорско поље уопштава раније уведене појмове. На пример, у специјалномслучају (r, s) = (0,0) тензорска поља су једноставно глатке функције на M, T0

0(M) = F(M). ПоЛеми 1.45, ковекторска поља ω ∈ X∗(M) су F(M)-линеарна пресликавања ω : X(M) → F(M), такода је T0

1(M) = X∗(M). Што се векторских поља тиче, свако X ∈ X(M) одређује тензорско пољеA : X∗(M) → F(M) са A(ω) = ω(X), док је очигледна оратна веза X(f) = df(X) = A(df) за f ∈ F(M),при чему доијамо идентификацију T1

0(M) = X(M). △

Испитивање да је неко пресликавање A : X∗(M)r × X(M)s → F(M) тензорско поље своди сена проверу да је оно F(M)-линеарно по свакој компоненти (односно по свакој променљивој по-наосо). Често је адитивност по компонентама очигледна, тако да је суштинско питање да лисе функције из F(M) могу извући испред A на свакој компоненти,

A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . , fXi, . . . ,Xs) = fA(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xi, . . . ,Xs).

Пример 1.56. Нека је пресликавање E : X∗(M) × X(M) → F(M) дефинисано са E(ω,X) = ω(X).Она је очигледно F(M)-линеарно и по првој и по другој компоненти тако да је E ∈ T1

1(M). △

Пример 1.57. За фиксирано 0 = ω ∈ X∗(M) можемо дефинисати F : X(M) × X(M) → F(M) саF(X,Y) = X(ω(Y)). Пресликавање F јесте F(M)-линеарно по првој компоненти, али је по другојкомпоненти само адитивно јер важи F(X, fY) = X(ω(fY)) = X(fω(Y)) = (Xf)ω(Y)+ fF(X,Y), тако даF није тензорско поље. △

40

1.17. Тензорска ољаПример 1.58. Свако F(M)-мултилинеарно пресликавање A : X(M)s → X(M) може се природноидентификовати са A : X∗(M) × X(M)s → F(M), A(ω,X1, . . . ,Xs) = ω(A(X1, . . . ,Xs)), при чему јеиндуковано тензорско поље A ∈ T1

s (M). △

За тензоре типа (0, s) кажемо да су коваријанни реда s, док за тензоре типа (r,0) кажемода су конраваријанни реда r > 1. На пример, реалне глатке функције и ковекторска пољасу коваријантни тензори, док су векторска поља контраваријантни тензори.

Док се могу саирати само тензори истог типа, ило која два тензора могу се множити. ЗаA1 ∈ Tr1

s1(M) и A2 ∈ Tr2s2(M) дефинишемо A1 ⊗ A2 : X∗(M)r1+r2 × X(M)s1+s2 → F(M) са

(A1 ⊗ A2)(ω1, . . . ,ωr1+r2 ,X1, . . . ,Xs1+s2)

= A1(ω1, . . . ,ωr1 ,X1, . . . ,Xs1)A2(ωr1+1, . . . ,ωr1+r2 ,Xs1+1, . . . ,Xs1+s2).

Тада је A1⊗A2 тензор типа (r1+ r2, s1+ s2) који зовемоензорски роизво A1 и A2. Посеноза A ∈ Tr

s(M) и f ∈ F(M) имамо A ⊗ f = f ⊗ A = fA, док се додатно у случају A ∈ F(M) тензорскипроизвод своди на оично множење функција у F(M).

Тензорски производ је F(M)-линеаран, односно важи (f1A1 + f2A2)⊗ B = f1 A1 ⊗ B+ f2 A2 ⊗ Bза f1, f2 ∈ F(M), A1,A2 ∈ Tr1

s1(M), B ∈ Tr2s2(M), као и сличан идентитет по другој компоненти.

Такође, директно из дефиниције следи да је тензорски производ асоцијативан, те за тензореA,B,C произвољних типова често пишемо ез заграда A⊗B⊗C. Приметимо да за коваријантантензор A и контраваријантан тензор B по дефиницији важи A ⊗ B = B ⊗ A. Међутим, иакофункције комутирају са ило чим, f(A⊗ B) = (fA)⊗ B = A⊗ (fB), тензорски производ у општемслучају није комутативан.

Пример 1.59. На координатној околини имамо (dx1 ⊗ dx2)(∂1, ∂2) = dx1(∂1)dx2(∂2) = 1, као и(dx2 ⊗ dx1)(∂1, ∂2) = dx2(∂1)dx1(∂2) = 0, тако да је dx1 ⊗ dx2 = dx2 ⊗ dx1. △

По узору на векторско и ковекторско поље, тензорском пољу A на многострукостиM такођеможемо доделити вредност Ap у свакој тачки p ∈ M. Испоставља се да та вредност Ap не зависиод целокупних векторских и ковекторских поља, чак ни од њихових вредности у некој околинитачке p, већ искључиво од њихових појединачних вредности у самој тачки p.

Лема 1.47. Ако неко ковекорско оље ω1, . . . ,ωr или неко векорско оље X1, . . . ,Xs имавренос нула у ачки p ∈ M, аа за A ∈ Tr

s(M) важи A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)(p) = 0.

Доказ. Нека је (U,φ) карта у p ∈ M са xi = πi ◦ φ ∈ F(U). По Леми 1.15 постоји џомастафункција b ∈ F(M) подржана у U са b(p) = 1, што нам омогућава продужења bXj(xi) ∈ F(M) иb∂i ∈ X(M), те bωj(∂i) ∈ F(M) и bdxi ∈ F∗(M). Из мултилинеарности тензора имамо једнакости

b2A(. . . ,Xj, . . . ) = A(. . . ,b2Xj, . . . ) = A(. . . ,n∑i=1

bXj(xi)b∂i, . . . ) =n∑i=1

bXj(xi)A(. . . ,b∂i, . . . ),

b2A(. . . ,ωj, . . . ) = A(. . . ,b2ωj, . . . ) = A(. . . ,n∑i=1

bωj(∂i)bdxi, . . . ) =n∑i=1

bωj(∂i)A(. . . ,bdxi, . . . ),

које рачунамо у тачки p ∈ M. Ако је (Xj)p = 0 за неко 1 6 j 6 s, то је (bXj(xi))(p) = 0, одаклеследи A(. . . ,Xj, . . . )(p) = 0. Сасвим слично, (ωj)p = 0 за неко 1 6 j 6 r повлачи (bωj(∂i))(p) = 0,одакле је A(. . . ,ωj, . . . )(p) = 0.

Теорема 1.48. Вренос A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)(p) ензора A ∈ Trs(M) у ачки p ∈ M зависи

само о ојеиначних вреноси (ω1)p, . . . , (ωr)p, (X1)p, . . . , (Xs)p.

Доказ. Нека је (ωi)p = (ωi)p за ωi,ωi ∈ X∗(M), 1 6 i 6 r и (Xj)p = (Xj)p за Xj,Xj ∈ X(M), 1 6 j 6 s.Вредност разлике

A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)− A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)= A(ω1 − ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs) + A(ω1,ω2 − ω2 . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)

+ . . .+ A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs − Xs)

у тачки p ∈ M једнака је нули јер се сваки од r+ s чланова по Леми 1.47 анулира у p.

41

Глава 1. Глаке мноосрукосиДиректно из Теореме 1.48 следи да тензорско поље A ∈ Tr

s(M) има вредност Ap у свакојтачки p ∈ M, што је функција Ap : (T∗

pM)r × (TpM)s → R дефинисана са

Ap((ω1)p, . . . , (ωr)p, (X1)p, . . . , (Xs)p) = A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)(p).

Лако је проверити R-мултилинеарност функције Ap, тако да рестрикцијом тензорског пољаA ∈ Tr

s(M) на тачку p ∈ M доијамо тензор Ap ∈ Trs(TpM). Као што је векторско поље глатко се-

чење тангентног раслојења, тензорско поље A ∈ Trs(M) се може посматрати као глатко сечење

одговарајућег тензорског раслојења које свакој тачки p ∈ M додељује тензор Ap. Посено, оваинтерпретација омогућава да рестрикцију A�U тензорског поља A ∈ Tr

s(M) на отворен подскупU ⊂ M видимо као доро дефинисано тензорско поље на U, односно A�U∈ Tr

s(U).Нека је (U,φ) карта на n-многострукостиM, а xi = πi◦φњене координатне функције. Коорди-

натне формуле, (1.7) за векторска поља и (1.17) за ковекторска поља, могу се лако проширитина тензорска поља произвољног типа. Комонене тензорског поља A ∈ Tr

s(M) су функције

Ai1...irj1...js = A(dxi1 , . . . ,dxir ,

∂

∂xj1, . . . ,

∂

∂xjs

)∈ F(U),

за све индексе 1 6 i1, . . . , ir, j1, . . . , js 6 n.За ω ∈ T0

1(M) = X∗(M) компоненте су ωj = ω(∂j), што се види у формули ω =∑

j ωj dxj.Слично, за X ∈ T1

0(M) = X(M), имамо компоненте Xi = X(dxi) = dxi(X) = X(xi), што се види уформули X =

∑i Xi∂i. Уколико је тензорско поље типа (1, s) дато са A : X(M)s → X(M) његове

компоненте су одређене једначином A(∂i1 , . . . , ∂is) =∑

j Aji1...is∂j, јер за његову интерпретацију

A ∈ T1s (M) важи A(dxj, ∂i1 , . . . , ∂is) = dxj(A(∂i1 , . . . , ∂is)) =

∑k Aki1...is dxj(∂k) = Aji1...is .

У општем случају произвољно тензорско поље A ∈ Trs(M) можемо изразити преко компо-

ненти са

A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs) =∑

16i1,...,ir,j1,...,js6n(ω1)i1 · · · (ωr)ir(X1)j1 · · · (Xs)jsA

i1...irj1...js , (1.19)

те ако искористимо (ωk)i = ωk(∂i) = ∂i(ωk) и (Xk)j = Xk(dxj) = dxj(Xk) доијамо

A =∑

16i1,...,ir,j1,...,js6nAi1...irj1...js ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs . (1.20)

Дакле, можемо приметити да су у фиксираној карти компоненте суме тензора једноставно сумекомпонената, док се компоненте тензорског производа могу записати са

(A⊗ B)i1...ir+r′j1...js+s′

= Ai1...irj1...js · Bir+1...ir+r′js+1...js+s′

.

На скупу тензора постоји интересантна операција коју зовемо контракција, а која тензо-ре типа (r, s) саија у тензоре типа (r − 1, s − 1). Општа дефиниција азира се на следећемспецијалном случају.

Лема 1.49. Посоји јеинсвено F(M)-линеарно ресликавање C : T11(M) → F(M) акво а је

C(X⊗ ω) = ω(X) за све X ∈ X(M) и ω ∈ X∗(M).

Доказ. У координатној околини U свако A ∈ T11(M) се по (1.20) изражава са A =

∑ni,j=1 Aij ∂i⊗dxj.

Како захтевамо C(∂i⊗dxj) = dxj(∂i) = δij, то морамо дефинисати C(A) =∑n

i=1 Aii =∑n

i=1 A(dxi, ∂i).Овакво C има тражене осоине на U. За проширење пресликавања на целу многострукост до-вољно је показати да је ова дефиниција независна од изора координатног система, те провера

∑kA(dyk,

∂

∂yk

)=∑kA

∑i

∂yk∂xi

dxi,∑j

∂xj∂yk

∂

∂xj

=∑i,j,k

∂yk∂xi

∂xj∂yk

A(dxi,

∂

∂xj

)

=∑i,j

δijA(dxi,

∂

∂xj

)=∑iA(dxi,

∂

∂xi

)комплетира доказ.

42

1.18. Изво ензорских ољаПресликавање C из претходне леме зове се (1,1) конракција и чини основу за општији

случај. Наиме, можемо да изаеремо једно контраваријантно место 1 6 i 6 r и једно кова-ријантно место 1 6 j 6 s и применимо C на пресликавање (ωi,Xj) 7→ A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)што је заправо (1,1) тензор за фиксиране ω1, . . .ωi−1,ωi+1, . . . ,ωr,X1 . . .Xj−1,Xj+1, . . . ,Xs. Такодоијамо (Ci

jA)(ω1, . . .ωi−1,ωi+1, . . . ,ωr,X1 . . .Xj−1,Xj+1, . . . ,Xs) ∈ F(M), одакле је CijA ∈ Tr−1

s−1(M) икажемо да је Ci

jA конракција од A над i, j. Што се тиче компоненти контракције, имамо

(CijA)

i1...ir−1j1...js−1

=

n∑k=1

Ai1...ii−1 k ii...ir−1j1...jj−1 k jj...js−1

.

Повлачење ковекторског поља може се уопштити на повлачење коваријантног тензора. Не-ка је f : M → N глатко пресликавање између многострукости. Повлачење коваријантног тензо-ра A ∈ T0

s (N) дефинишемо са (f∗A)(X1, . . . ,Xs) = A(f∗(X1), . . . , f∗(Xs)) за свако p ∈ M, Xi ∈ TpM. Усвакој тачки p ∈ M, повлачење f∗(A) даје R-мултилинеарну функцију из (TpM)s у R, што је (0, s)тензор над TpM. Координатни рачун показаће да је f∗(A) коваријантно тензорско поље на M.

Дакле, за глатко f : M → N и свако s > 0 имамо R-линеарно f∗ : T0s (N) → T0

s (M). Приде,за A ∈ T0

s (N) и B ∈ T0t (N) имамо f∗(A ⊗ B) = f∗(A) ⊗ f∗(B). Такође, за глатко h : N → P важи

(h ◦ f)∗ = f∗ ◦ h∗ : T0s (P) → T0

s (M).У општем случају, преуређивање аргумената тензора не мора остварити неки очекивани

разултат на његову вредност. Међутим, неки тензори не мењају своју вредност приликом пре-уређивања аргумената. За коваријантан или контраваријантан тензор (реда ар 2) кажемо даје симеричан ако његова вредност остаје непромењена приликом замене ило која два ар-гумента. Уколико свака таква замена проузрокује промену знака онда за тај тензор кажемода је анисимеричан.

Симеричан ео коваријантног тензора A реда s је нови коваријантни тензор SymA редаs који је дат са

(SymA)(X1, . . . ,Xs) =1s!∑σ∈Ss

A(Xσ(1), . . . ,Xσ(s)),

где је Ss симетрична група од s елемената, односно група пермутација скупа {1, . . . , s}. Лакоје видети да је SymA симетричан, као и да је A симетричан ако и само ако је SymA = A.

Ако су A и B симетрични коваријантни тензори, тада A⊗B није симетричан у општем случа-ју. Међутим, ми дефинишемо њихов симеричан роизво са AB = Sym(A ⊗ B) што доносинови симетричан тензор. Напоменимо да је симетричан производ комутативан (AB = BA) иR-илинеаран ((αA + βB)C = αAC + βBC). Посено, ако су ω и τ ковекторска поља, тада јеωτ = 1

2 (ω ⊗ τ + τ ⊗ ω), а често користимо ω2 као краћу ознаку за симетричан производ ωω.

1.18 Извод тензорских пољаУ претходној секцији видели смо алгеарску страну тензорских поља, а сада ћемо размо-

трити рачунску. Изво тензорског поља на многострукости M је фамилија R-линеарних пре-сликавања

∇ = ∇rs : T

rs(M) → Tr

s(M), (r, s) ∈ N0 × N0,

таквих да за произвољна тензорска поља A,B и произвољну контракцију C важе једначине

∇(A⊗ B) = ∇A⊗ B+ A⊗∇B, (1.21)∇(CA) = C(∇A). (1.22)

Дакле, извод ∇ је R-линеаран, чува тип тензора, поштује Лајницово правило и комутира саконтракцијама.

За f ∈ F(M) је fA = f⊗A, тако да имамо ∇(fA) = (∇f)A+ f∇A. Посено, у специјалном случају(r, s) = (0,0), ∇0

0 је диференцирање на T00(M) = F(M), те постоји јединствено векторско поље

X ∈ X(M) такво да је ∇f = Xf за свако f ∈ F(M).Како извод тензорског поља није F(M)-линеаран, у општем случају вредност од ∇A у тачки

p ∈ M не може се уоичајено наћи из самог Ap. Међутим, она се може наћи из вредности од A

43

Глава 1. Глаке мноосрукосина произвољно малој околини од p. Овај локални карактер извода можемо изразити на следећиначин.

Теорема 1.50. Ако је ∇ изво ензорско оља на мноосрукоси M и U ⊂ M овореноску, аа осоји јеинсвен изво ∇U на U акав а је ∇U(A�U) = (∇A)�U за свакоензорско оље A на M.

Доказ. За свако p ∈ U по Леми 1.15 постоји џомаста функција bp ∈ F(M) која је подржана уU и идентички једнака 1 на некој околини Vp ∋ p. За произвољно тензорско поље T ∈ Tr

s(U)имамо bpT ∈ Tr

s(M), што нам омогућава да дефинишемо (∇UT)p = (∇(bpT))p. Најпре се покажеда ова дефиниција не зависи од изора џомасте функције, те да важи ∇UT ∈ Tr

s(U). Затим семоже показати да је ∇U извод тензора на U, да има тражене осоине рестрикције, као и да јејединствен.

Лајницова формула за тензоре (1.21) може се преоликовати и уопштити. Ако упореди-мо A(ω1, . . . ,Xs) ∈ F(M) из формуле (1.19) са A ⊗ ω1 ⊗ · · · ⊗ Xs ∈ Tr+s

r+s(M) чије су компонентеAi1...irj1...js(ω1)k1 . . . (ωr)kr(X1)l1 . . . (Xs)ls , видимо да након r+ s контракција доијамо једнакост

A(ω1, . . . ,Xs) = C1s+1C2

s+2 . . .Crs+rCr+1

1 . . .Cr+ss (A⊗ ω1 ⊗ · · · ⊗ Xs),

одакле извод доноси

∇(A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)

)= (∇A)(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)

+

r∑i=1

A(ω1, . . . ,∇ωi, . . .ωr,X1, . . . ,Xs) +s∑

j=1A(ω1, . . .ωr,X1, . . . ,∇Xj, . . . ,Xs).

(1.23)

Из формуле (1.23) видимо да се члан који укључује∇A може изразити само преко функција,векторских поља и ковекторских поља. Штавише, како (∇ω)(X) = ∇(ωX) − ω(∇X) важи заω ∈ X∗(M) то је довољно знати само изводе функција и векторских поља. Испоставља се да важии орат, односно да од одговарајућих информација на F(M) иX(M) заиста можемо конструисатиизвод тензора.

Теорема 1.51. За ао векорско оље ∇00 : F(M) → F(M) и R-линеарно ресликавање

∇10 : X(M) → X(M) акво а ∇1

0(fX) = (∇00f)X + f∇1

0X важи са све f ∈ F(M) и X ∈ X(M), осојијеинсвен изво ∇ ензорско оља на M чији су ∇0

0 и ∇10 ооварајући елови.

Доказ. Јединственост следи из формуле (1.23) коју ћемо приде искористити да комплетирамо∇. Најпре, за ω ∈ X∗(M) морамо дефинисати (∇0

1ω)(X) = ∇00(ω(X))− ω(∇1

0X), одакле важи

(∇01ω)(fX) = ∇0

0(ω(fX))− ω(∇10fX) = ∇0

0(fω(X))− ω((∇00f)X+ f∇1

0X)= (∇0

0f)ω(X) + f∇00(ω(X))− (∇0

0f)ω(X)− fω(∇10X) = f(∇0

1ω)(X),

што значи да ∇01ω јесте F(M)-линеарно и зато ∇0

1ω ∈ X∗(M). Такође је једноставно видети да∇0

1 : X∗(M) → X∗(M) јесте R-линеарно. По (1.23), ∇r

sA за r+ s > 2 и A ∈ Trs(M) мора ити

(∇rsA)(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs) = ∇0

0(A(ω1, . . . ,ωr,X1, . . . ,Xs)

)−

r∑i=1

A(ω1, . . . ,∇01ωi, . . .ωr,X1, . . . ,Xs)−

s∑j=1

A(ω1, . . .ωr,X1, . . . ,∇10Xj, . . . ,Xs),

те га тако и дефинишемо. Даље се, као и раније, проверава да ∇rsA јесте F(M)-мултилинеарно,

односно да ∇rsA ∈ Tr

s(M), као и да ∇rs : T

rs(M) → Tr

s(M) јесте R-линеарно. Наредни корак једиректна провера да важи ∇(A⊗ B) = ∇A⊗ B+ A⊗∇B.

Преостаје доказати да извод комутира са контракцијама. На пример, за C : T11(M) → F(M)

имамо ∇C(X ⊗ ω) = ∇(ω(X)) = (∇ω)(X) + ω(∇X) = C(X ⊗ ∇ω + ∇X ⊗ ω) = C∇(X ⊗ ω), одаклевидимо да C и∇ комутирају на тензорима олика X⊗ω. Локалност∇ ће преацити причу на ко-ординатне околине, где знамо да су сва тензорска поља типа (1,1) суме тензорских производа.На крају се овај процес може проширити на све контракције.

44

1.18. Изво ензорских ољаПример 1.60. За свако V ∈ X(M), по претходној теореми можемо поставити извод LV тензор-ског поља на M са LV(f) = Vf за свако f ∈ F(M) и са LV(X) = [V,X] за свако X ∈ X(M). Условитеореме су испуњени јер (LV)00 = V јесте векторско поље, (LV)10 = [V, ·] је R-линеарно, док јеиспуњена и једначина LV(fX) = [V, fX] = (Vf)X + f[V,X] = (LVf)X + fLVX. Овај извод LV зовемоЛијев изво у односу на V. △

45

Глава 1. Глаке мноосрукоси

46

Глава 2

Псеудо-Риманова геометрија

Ова глава представља увод у псеудо-Риманову геометрију. Одлична референца за класичанприступ псеудо-Римановој геометрији је књига коју је написао О’Нил [28]. Такође препоручу-јемо Ли [19]. Неке стандардне текстове из Риманове геометрије дали су Ли [21] и до Кармо1[6]. Како инсистирамо на недефинитном случају, можемо сматрати значајним текстове које судали Мајнренкен2 [23] и Кларк3 [8].

2.1 Скаларни производНека је V векторски простор над R коначне димензије. Билинеарна форма на V је R-

илинеарна функција g : V×V → R. За илинеарну форму g на V кажемо да је симерична акоg(X,Y) = g(Y,X) важи за свако X,Y ∈ V. Другим речима, симетрична илинеарна форма g на Vје симетричан коваријантни тензор реда два над V. Она је јединствено одређена одговарајућомквадратном формом ε : V → R која је дата са

εX = g(X,X), (2.1)

јер је можемо реконструисати користећи поларизациони идентитет

g(X,Y) = 14 (εX+Y − εX−Y), (2.2)

или еквивалентно g(X,Y) = 12 (εX+Y − εX − εY).

Кажемо да је симетрична илинеарна форма g на V нееенерисана ако g(X,Y) = 0 засвако Y ∈ V повлачи X = 0. Додатно, ако за свако X = 0 важи g(X,X) > 0 онда је g озиивноефинино. Слично, ако за свако X = 0 важи g(X,X) < 0 онда је g неаивно ефинино.Ако је g позитивно дефинитно или негативно дефинитно кажемо да је g ефинино, док је усупротном неефинино. Евидентно, ако је g дефинитно онда је и недегенерисано, док то неважи за орат.

Скаларни роизво g на V је недегенерисана симетрична илинеарна форма на V.Коначно-димензиони реални векторски простор V опремљен скаларним производом g на Vзовемо росор са скаларним роизвоом (V,g). Како скаладрни производ g и одговара-јућа квадратна форма ε зог (2.1) и (2.2) носе једнаке информације, ради једноставности ћемоговорити да је (V,g) кварани росор. Посено, унурашњи роизво је позитивнодефинитан скаларни производ, док је у том случају (V,g) росор са унурашњим рои-звоом.

1Manfredo Perdigão do Carmo (1928), разилски математичар2Eckhard Meinrenken, немачко-канадски математичар3Pete Louis Clark (1976), амерички математичар

47

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаУ присуству неке азе (E1, . . . ,En) од V, свака илинеарна форма g на V има одговарајућу

Грамову марицу G са улазима gij = g(Ei,Ej) за 1 6 i, j 6 n. Грамова матрица садржи ком-плетну информацију од g јер из илинеарности важи g(

∑ni=1 αiEi,

∑nj=1 βjEj) =

∑ni,j=1 αiβjgij, што

се у матричној нотацији може записати са g(X,Y) = XTGY где X,Y ∈ V доживљавамо као коло-на матрице. Симетричност од g очигледно је еквивалентна с тим да је одговарајућа Грамоваматрица G симетрична (GT = G). Коначно, у наредној леми видимо да недегенерисаност увекдаје инвертиилну Грамову матрицу (detG = 0).

Лема 2.1. Симерична илинеарна форма на V је нееенерисана ако и само ако је њенаГрамова марица у оносу на ило коју азу о V инвериилна.

Доказ. Нека је G Грамова матрица за g у односу на азу (E1, . . . ,En). Ако је detG = 0, тадапостоји вектор Y = 0 такав да је GY = 0 што повлачи g(X,Y) = XTGY = 0 за свако X ∈ V инарушава недегенерисаност. Оратно, ако је detG = 0, тада GY = 0 важи за свако Y = 0, тепостоји 1 6 i 6 n такво да је g(Ei,Y) = ETi GY = 0, одакле је g недегенерисано.

Нека је (V,g) квадратни простор. Норма или ужина неког вектора X ∈ V је ненегативанрој ∥X∥ =

√|g(X,X)|, док је његова кварана норма εX = g(X,X), те је зато |εX| = ∥X∥2.

Знак од εX разврстава све векторе X ∈ V у три различите класе. Вектор X ∈ V је росоран(spacelike) ако εX > 0; временски (timelike) ако εX < 0; изороан (свелосни, null) акоεX = 0. Посено, вектор X ∈ V је ефиниан (nonnull) за εX = 0, а уколико је εX ∈ {−1,1}(∥X∥ = 1) онда је он јеиничан (unit).

Кажемо да су два вектора X,Y ∈ V међусоно ороонална уколико је g(X,Y) = 0, штооележавамо са X ⊥ Y. Слично, за подскупове (најчешће су то потпростори) A,B ⊆ V кажемода су ороонални и пишемо A ⊥ B ако g(X,Y) = 0 важи за све X ∈ A и Y ∈ B. За потпросторW 6 V, ороонални оросор (или нормалан оросор) дефинишемо са W⊥ ={X ∈ V : {X} ⊥ W} 6 V. Другим речима,W⊥ је максимални потпростор од V који је ортогоналанна W.

У дефинитном случају, ортогонални потпростор W⊥ је познат као ороонални комле-мен одW, јер тада важи V = W+W⊥. Међутим, кад је g недефинитно,W+W⊥ није у општемслучају целокупно V, тако да ортогонал W⊥ некад није ортогонални комплемент од W. У сва-ком случају, ортогонал има неке доро познате осоине које ћемо описати у наредним лемема.

Лема 2.2. За оросор W кварано росора V важи dimW + dimW⊥ = dimV.

Доказ. Продужимо азу (E1, . . . ,Ek) заW до азе (E1, . . . ,En) за V. Вектор X =∑n

i=1 αiEi припадаW⊥ ако и само ако важи 0 = g(X,Ej) =

∑ni=1 αigij за свако 1 6 j 6 k. Имамо хомоген систем од

k = dimW линеарних једначина са n = dimV непознатих, али по Леми 2.1 врсте од матрицекоефицијената су линеарно независне, тако да је систем ранга k, што повлачи да скуп решењаима димензију n−k. Међутим, скуп решења (α1, . . . ,αn) по конструкцији даје тачно све вектореX ∈ W⊥, те је зато dimW⊥ = n− k.

Лема 2.3. За оросор W кварано росора V важи (W⊥)⊥ = W.

Доказ. Како је W ⊥ W⊥, то важи W 6 (W⊥)⊥. По Леми 2.2 имамо dimW + dimW⊥ = dimV =dimW⊥ + dim(W⊥)⊥, те је dim(W⊥)⊥ = dimW, одакле следи (W⊥)⊥ = W.

За сваки потпросторW квадратног простора (V,g), рестрикција g�W= g�W×W је симетричнаилинеарна форма на W. Штавише, ако је g позитивно дефинитно, онда је g�W позитивнодефинитан скаларни производ на W. Међутим, ако је g недефинитно онда g�W не мора итинедегенерисано, што се дешава када је W разапнут произвољним изотропним вектором.

Кажемо да је потпросторW квадратног простора (V,g) нееенерисан ако је таква његоварестрикција g�W . Раикал од W је потпростор rad(W) = W ∩W⊥ и он нам помаже да окарак-теришемо недегенерисане потпросторе.

Лема 2.4. Нека је W оросор кварано росора (V,g). Таа су слееће свари екви-валенне: rad(W) = {0}, W је нееенерисан, W⊥ је нееенерисан, V = W +W⊥.

48

2.1. Скаларни роизвоДоказ. По дефиницији,W је недегенерисан ако је 0 једини вектор изW ортогоналан наW, штоје еквивалентно са rad(W) = W ∩W⊥ = {0}. Из Леме 2.3 следи да је rad(W) = rad(W⊥), те сунедегенерисаности од W и W⊥ еквивалентне. Из Грасманове4 формуле важи dim(W +W⊥) +dim(W ∩W⊥) = dimW + dimW⊥, одакле по Леми 2.2 доијамо dim(W +W⊥) + dim(W ∩W⊥) =dimV. Одавде следи да је V = W +W⊥ еквивалентно са rad(W) = W ∩W⊥ = {0}.

Наравно, како је скаларни производ недегенерисан, имамо rad(V) = V⊥ = {0}. Симол k

употрељаваћемо за ортогоналну директну суму, те за недегенерисан W 6 V можемо писатиV = W k W⊥.

Једноставном применом Леме 2.4, можемо дијагонализовати скаларни производ g на V. Каои оично, за скуп међусоно ортогоналних јединичних вектора кажемо да је оронормиран.Сваки скуп који се састоји од dimV ортнормираних вектора у V свакако чини азу у V и таквааза увек постоји.

Лема 2.5. Сваки кварани росор има оронормирану азу.

Доказ. Доказ иде индукцијом по n = dimV, док је случај dimV = 1 очигледан. За n > 1 можемоизарати дефинитан вектор X ∈ V (иначе εX = 0 важи за све X ∈ V, те је g = 0 дегенерисано).Скалирањем X доијамо јединично E1 = (1/

√|εX|)X. Једнодимензиони потпростор Span{E1} је

недегенерисан, те је по Леми 2.4 то и Span{E1}⊥. По индукцијској хипотези, постоји ортонор-мирана аза (E2, . . . ,En) од Span{E1}⊥. Како је V = Span{E1}+Span{E1}⊥, доили смо траженуортонормирану азу (E1,E2, . . . ,En).

Недефинитан скаларни производ често има додатно појављивање εEi из ортонормиране азеу формулама које одговарају онима за позитивно дефинитан случај.

Теорема 2.6. Ако је (E1, . . . ,En) оронормирана аза кварано росора (V,g), аа свакоX ∈ V има јеинсвено изражавање X =

∑ni=1 εEig(X,Ei)Ei.

Доказ. Ако је X =∑n

i=1 αiEi тада је g(X,Ej) = αjg(Ej,Ej), те αj = g(X,Ej)/g(Ej,Ej) = εEjg(X,Ej).

Грамова матрица од g у односу на ортонормирану азу (E1, . . . ,En) у V је дијагонална ма-трица јер важи gij = g(Ei,Ej) = δijεEi , где је εEi ∈ {−1,1}. Кад год нам је згодно векторе уортонормираној ази уређујемо тако да се најпре појаве негативни знаци, εEi = −1 за 1 6 i 6 ν,а затим позитивни, εEi = 1 за ν < i 6 n. Ортонормирана допуна азе је и даље могућа узимајућиове знаке у озир.

Инекс скаларног производа g на V је највећи рој Ind(g) ∈ N0 који је димензија потпросто-ра W 6 V за који је g�W негативно дефинитно. Број негативних εEi једнак је индексу од g штоуспоставља следећу теорему познату као Силвестеров5 закон инерције.

Теорема 2.7. Број неаивних εEi не зависи о изора оронормиране азе (E1, . . . ,En) у ква-раном росору (V,g) и он је јенак инексу о g.

Доказ. Рестрикција g�S на потпростор S = Span{E1, . . . ,Eν} 6 V је негативно дефинитна, те јеν 6 Ind(g). Нека је W 6 V произвољан потпростор за који је g�W негативно дефинитно. Пре-сликавање π : W → S дефинисано са π(X) =

∑νi=1 g(X,Ei)Ei је линеарно. По Теореми 2.6 претпо-

ставка π(X) = 0 повлачи X =∑n

i=ν+1 g(X,Ei)Ei, те за X ∈ W имамо 0 > g(X,X) =∑n

i=ν+1(g(X,Ei))2,што даје g(X,Ei) = 0 за ν < i 6 n, одакле је X = 0. Инјективност линеарног π повлачи Ind(g) 6 ν,одакле доијамо Ind(g) = ν.

Синаура квадратног простора (V,g) је пар (ν,n − ν), који представља рој негативнихεEi и рој позитивних εEi . По Теореми 2.7, сигнатура је независна од конкретног изора ор-тонормиране азе. Вреди напоменути да је (V,−g) такође квадратни простор, а за њега важиInd(−g) = dimV − Ind(g).

4Hermann Günther Graßmann (1809–1877), немачки физичар, математичар и лингвиста5James Joseph Sylvester (1814–1897), енглески математичар

49

Глава 2. Псеуо-Риманова еомерија2.2 Изотропни вектори

У квадратном простору (V,g), вектор X ∈ V који је ортогоналан на самог сее (X ⊥ X) зовесе изотропан вектор. Ако је g дефинитно онда је једини изотропан вектор заправо нула век-тор, али ако је g недефинитно то више није тачно. Изотропни вектори {X ∈ V : εX = 0} имајунорму нула, и они су кључ у разумевању псеудо-Риманових многострукости. Како наша реал-ност углавном прихвата само позитивно дефинитну метрику, изотропни вектори су приличнонезгодни и често контраинтуитивни.

Лема 2.8. Кварани росор V синауре (p,q) може се расавии са V = V+ k V−, е јеV+ максималан озиивно ефиниан оросор имензије q, а V− максималан неаивноефиниан оросор имензије p.

Доказ. Нека је (T1, . . . ,Tp,S1, . . . ,Sq) ортонормирана аза у V са εTi = −1 за 1 6 i 6 p и εSj =1 за 1 6 j 6 q. Потпростори V− = Span{T1, . . . ,Tp} и V+ = Span{S1, . . . ,Sq} су међусоноортогонални и имају тривијалан пресек са V = V+ + V−.

Лема 2.8 дозвољава растављањеN = S+T произвољног изотропног вектораN ∈ V = V+kV−,тако да је S ∈ V+ и T ∈ V−. Из V+ ⊥ V− имамо g(S,T) = 0, те је зато 0 = εN = g(S+ T,S+ T) =εS + εT. Услов N = 0 повлачи S = 0, те εS = 0 и коначно εS = −εT > 0. Дакле, произвољанизотропан N = 0 из квадратног простора V може се раставити као зир N = S + T међусоноортогоналних S и T, са εS = −εT > 0. Међутим, претходно растављање није јединствено, чакни у истој равни Span{S,T}.

Лема 2.9. Сваки изороанN = 0 из кварано росора V може се расавии саN = S+T,ако а је S,T ∈ V и εS = −εT = 1.

Доказ. Већ смо раставилиN = S+T са g(S,T) = 0 и εS = −εT > 0. Посматрајмо S1 = θS+(1−θ)Tи T1 = (1− θ)S+ θT за неко θ > 1

2 . Тада имамо S1,T1 ∈ V са S1 + T1 = S+ T = N и

g(S1,T1) = g(θS+ (1− θ)T, (1− θ)S+ θT) = θ(1− θ)(εS + εT) = 0.

Доијамо да је εS1 = θ2εS + (1 − θ)2εT = (θ2 − (1 − θ)2)εS = (2θ − 1)εS > 0, док g(S1,T1) = 0повлачи εS1 + εT1 = εS1+T1 = εN = 0 и зато εS1 = −εT1 > 0. Ова конструкција, за свако θ > 1

2даје ново растављање, те можемо узети θ = 1+εS

2εS > 12 да исмо доили εS1 = −εT1 = 1, и ново

растављање

N =

(εS + 12εS

S+εS − 12εS

T)+

(εS − 12εS

S+εS + 12εS

T)

са траженим својствима.

Пример 2.1. Нова растављања су могућа и у другим равнима. Ако је dimV > 2, тада постојидефинитанW ∈ V такав да јеW ⊥ Span{S,T}. Желимо α, β, γ ∈ R тако да је S1 = αS+ βT+ γW иT1 = (1 − α)S + (1 − β)T − γW, што оезеђује S1 + T1 = S + T = N. Из ортогоналности S1 ⊥ T1имамо

0 = g(S1,T1) = α(1− α)εS + β(1− β)εT − γ2εW = ((α − α2)− (β− β2))εS − γ2εW,

и затоγ2εW = (α − β)(1− α − β)εS. (2.3)

Како јеεS1 = α2εS + β2εT + γ2εW = (α2 − β2)εS + (α − β)(1− α − β)εS = (α − β)εS,

последњи услов εS1 > 0 је испуњен за α > β. Изаеримо α+ β < 1 за временскиW или α+ β > 1за просторан W. Ово, заједно са α > β, према (2.3) одређује коначне услове за α и β. Накрају имамо да свако α и β који су ограничени последњим неједнакостима конструишу новорастављање, где је γ = ±

√(α−β)(1−α−β)εS

εW . △

50

2.3. Псеуо-Риманове мноосрукосиЗа потпростор квадратног простора кажемо да је скроз изороан ако се састоји само

од изотропних вектора. Користећи идентитет (2.2) видимо да су свака два вектора у скрозизотропном потпростору међусоно ортогонална. Одатле следи да за сваки скроз изотропанпотпростор W 6 V важи g�W= 0. Зато је W 6 W⊥ и последично rad(W) = W.

Вреди напоменути да је радикал произвољног потпростора U 6 V скроз изотропан јер важиrad(rad(U)) = rad(U). У најопштијем случају, сваки комплементарни потпростор W за rad(U)у смислу уоичајене линеарне алгере ће довести до радикалног раздвајања U = rad(U) k W.Лако је приметити да јеW далеко од тога да уде јединствен, али он је свакако недегенерисан.

Посматрајмо димензију скроз изотропног потпростора W 6 V. По Леми 2.2 је dimW +dimW⊥ = dimV, те из W 6 W⊥ имамо dimW 6 1

2 dimV. Штавише, dimW никад није већа одиндекса.

Теорема 2.10. Нека је W скроз изороан оросор кварано росора (V,g). Таа јеdimW 6 min(Ind(g),dimV − Ind(g)), е осено и dimW 6 1

2 dimV.

Доказ. Нека је V = V+ k V− растављање из Леме 2.8. Из Грасманове формуле важи једначинаdimW = dim(W+V+)+dim(W∩V+)−dimV+. Како важиW+V+ 6 V иW∩V+ = {0}, то доијамоdimW 6 dimV − dimV+ = dimV− = Ind(g). Последично, dimW 6 Ind(−g) = dimV − Ind(g).

Сваки скроз изотропан потпростор квадратног простора има свој изотропан суплемент очему говори наредна теорема (на пример, видети Кларк [8, Теорема 6.2]).

Теорема 2.11. Нека јеW ⊂ V скроз изороан оросор са азом N1, . . . ,Nk. Таа осојискроз изороан оросор U , исјункан саW, са азом M1, . . . ,Mk, ако а g(Ni,Mj) = δijважи за 1 6 i, j 6 k.

Доказ. Доказ ћемо извести индукцијом по k, где је случај k = 0 тривијалан. Нека је P =Span{N1, . . . ,Nk−1}. Како Span{Nk} није потпростор од P, P⊥ није потпростор од Span{Nk}⊥,те постоји X ∈ P⊥ такво да је g(X,Nk) = 0. Тада је

Mk =−εX

2(g(X,Nk))2Nk +

1g(X,Nk)

X

изотропан са g(Nk,Mk) = 1. Потпростор Span{Nk,Mk} је недегенерисан јер има ортонорми-рану азу (Nk + Mk)/

√2, (Nk − Mk)/

√2. По конструкцији P је потпростор недегенерисаног

Span{Nk,Mk}⊥ и можемо применити индукцијску хипотезу да доијемо M1, . . . ,Mk−1 са тра-женим својствима.

2.3 Псеудо-Риманове многострукостиМерички ензор или мерика на многострукости M је симетрично коваријантно тен-

зорско поље реда два на M које је недегенерисано у свакој тачки и има константан индекс.Другим речима, метрика је пресликавање g : X(M) × X(M) → F(M) које свакој тачки p ∈ Mглатко додељује скаларни производ gp : TpM × TpM → R на тангентном простору TpM, такода индекс Ind(gp) не зависи од p. Псеуо-Риманова мноосрукос (pseudo-Riemannian,semi-Riemannian) је многострукост M опремљена метриком g.

Строго говорећи, псеудо-Риманова многострукост је уређен пар (M,g). Две различите ме-трике на истој многострукости успостављају различите псеудо-Риманове многострукости. Че-сто се дешава да псеудо-Риманова многострукост има подразумевану конкретну метрику, теје тада оележавамо исто као и саму глатку многострукост.

Заједнички индекс 0 6 ν = Ind(gp) = Ind(g) = Ind(M) 6 dimM = n свих скаларних произво-да gp зовемо инекс псеудо-Риманове многострукости (M,g). Како разлика између g и −g упсеудо-Римановој многострукости није суштинска, у многим случајевима можемо претпоста-вити да индекс задовољава ν 6 n/2.

Занимљиво је посматрати неке специјалне случајеве у зависности од индекса. Најчешће сеизучава случај ν = 0, где за M кажемо да је Риманова мноосрукос. У овом случају g јеРиманова мерика, а карактерише је то да је gp позитивно дефинитан скаларни производ на

51

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаTpM за свако p ∈ M. Ако је ν = 1 = n oнда је M Лоренцова мноосрукос6, а одговарајућаметрика је Лоренцова. Псеудо-Риманова метрика парно-димензионе многострукости M јенеурална мерика ако је 2ν = n.

Нека је (U,φ) карта на псеудо-Римановој n-многострукости (M,g), а xi = πi ◦ φ одговарајућекоординатне функције. Компоненте метричког тензора g на U су gij = g(∂i, ∂j) за 1 6 i, j 6 n, теза векторска поља X,Y ∈ X(U) важи

g(X,Y) = g

n∑i=1

X(xi)∂i,n∑j=1

Y(xj)∂j

=

n∑i,j=1

g(∂i, ∂j)X(xi)Y(xj) =n∑

i,j=1gij dxi(X)dxj(Y),

одакле метрички тензор можемо изразити са

g =

n∑i,j=1

gij dxi ⊗ dxj =n∑

i,j=1gij dxi dxj,

где је dxi dxj = 12 (dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi) симетричан производ ковекторских поља.

Пример 2.2. Најједноставнији и најважнији пример Риманове многострукости је наравно Rn

са еуклиском мериком g која представља класичан унутрашњи производ на сваком тан-гентном простору TpRn под природном идентификацијом TpRn = Rn. У стандардним координа-тама можемо записати

g =

n∑i,j=1

δij dxi dxj = (dx1)2 + · · ·+ (dxn)2, (2.4)

односно gij = δij, што значи да је Грамова матрица јединична (G = IdRn). Уудуће у ило комгеометријском контексту еуклиски росор Rn означава Риманову многострукост (Rn,g).

△

Пример 2.3. У стандардној метрици g из (2.4) за Rn, за ило које 1 6 ν 6 n можемо променитипрвих ν знакова из плуса у минус, што нас доводи до метричког тензора g =

∑ni=1 εi (dxi)2 где је

εi = −1 за 1 6 i 6 ν и εi = +1 за ν+1 6 i 6 n. Резултујућа псеудо-Риманова многострукост Rnν =

(Rn,g) је сеуо-еуклиски росор и има индекс ν. Посено, Лоренцову многострукост Rn1,

за n > 2, зовемо росор Минковско7, а специјално R41 представља најједноставнији пример

релативистичког простор-времена. △

Пример 2.4. Вокерова мерика8 дефинише се на неком отвореном подскупу M од R2n сауоичајеним координатама (x1, x2, . . . , x2n), преко Грамове матрице у односу на природни гло-ални покретни репер (∂1, ∂2, . . . , ∂2n) са

g =

f11 f12 . . . f1n 1 0 . . . 0f12 f22 . . . f2n 0 1 . . . 0...

... . . . ......

... . . . ...f1n f2n . . . fnn 0 0 . . . 11 0 . . . 0 0 0 . . . 00 1 . . . 0 0 0 . . . 0...

... . . . ......

... . . . ...0 0 . . . 1 0 0 . . . 0

, (2.5)

где су fij = fij(x1, x2, . . . , x2n) за 1 6 i 6 j 6 n произвољне глатке функције наM. Матрица из (2.5)је очигледно симетрична и инвертиилна (детерминанте један). У креирању псеудо-Римановемногострукости неопходно је оезедити константност индекса за сваки појединачни скалар-ни производ. Из (2.5) се јасно види да је Wp = Span{(∂n+1)p, (∂n+2)p, . . . , (∂2n)p} n-димензиони

6Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928), холандски физичар7Hermann Minkowski (1864–1909), немачки математичар8Arthur Geoffrey Walker (1909–2001), ритански математичар

52

2.3. Псеуо-Риманове мноосрукосискроз изотропан потпростор квадратног простора (TpR2n,gp) за сваку тачку p ∈ M. По Теоре-ми 2.10 важи n = dimWp 6 Ind(gp) 6 dimM − dimWp = n, што је могуће само за Ind(gp) = n.Закључујемо да је g неутрална метрика, те на располагању имамо огромну фамилију псеудо-Риманових многострукости (M,g) сигнатуре (n,n). △

Често се уместо метричког тензора g посматра одговарајућа квадратна норма εX = g(X,X)за X ∈ TM која по (2.2) у потпуности одређује метрички тензор. Ова квадратна форма ε зове сеужински елемен (line element) одM и оележавамо је са ds2. У терминима координатногсистема имамо ds2 =

∑i,j gij dxi dxj, односно εX =

∑i,j gij dxi(X)dxj(X) =

∑i,j gijXiXj. Неуоичајену

ознаку ds2 можемо интуитивно схватити на следећи начин. Ако су p и p′ лиске тачке сакоординатама (x1, . . . , xn) и (x1 + Δx1, . . . , xn + Δxn) у некој карти, тада тангентни вектор Δp =∑

i Δxi∂i у p показује апроксимативно ка p′. Зог тога очекујемо да квадрат растојања ds од pдо p′ уде апроксимативно |Δp|2 = g(Δp,Δp) =

∑i,j gij(p)Δxi Δxj, као што се дешава у формули

ds2 =∑

i,j gij dxi dxj.У присуству метричког тензора можемо говорити о ортонормираним векторским пољима.

Нека је U отворен подскуп псеудо-Риманове n-многострукости (M,g). Локални оронорми-рани окрени реер на U је локални покретни репер (E1, . . . ,En) дефинисан на U који усвакој тачки p ∈ U формира ортонормирану азу тангентног простора TpM. На пример, коор-динатни покретни репер (∂1, . . . , ∂n) је глоални ортонормирани покретни репер за (Rn,g).

Пример 2.5. Посматрајмо отворен подскупU = R2\{0} ⊂ R2. Поставимо јединично векторскопоље E1 тангентно на радијалне линије и јединично векторско поље E2 тангентно на круговецентриране у координатном почетку. Тада векторска поља

E1 =∂

∂r =1√

x2 + y2

(x ∂

∂x + y ∂

∂y

), E2 =

1r

∂

∂θ =1√

x2 + y2

(x ∂

∂y − y ∂

∂x

)чине локални ортонормирани покретни репер на U. Међутим, како је [E1,E2] = − 1

r2∂∂θ = 0, то

се (E1,E2) не може изразити као координатни покретни репер у односу на неки изор локалнихкоордината. △

Ортонормирани покретни репери су веома корисни у изучавању псеудо-Риманових много-струкости, тако да је следећа егзистенцијална теорема захвална.

Теорема 2.12. Посоји локални оронормирани окрени реер у околини сваке ачкесеуо-Риманове мноосрукоси.

Доказ. Нека је (M,g) псеудо-Риманова n-многострукост, а p ∈ M произвољна тачка. Размо-тримо локални координатни покретни репер (∂1, . . . , ∂n) у некој координатној околини U ∋ p ипроизвољну ортонормирану азу (V1, . . . ,Vn) у TpM. Како (V1, . . . ,Vn) = ((∂1)p, . . . , (∂n)p)A важиза матрицу преласка A ∈ Rn×n, то нови локални покретни репер (X1, . . . ,Xn) можемо поставитиса ((X1)q, . . . , (Xn)q) = ((∂1)q, . . . , (∂n)q)A за свако q ∈ U. Како је gp((Xi)p, (Xj)p) = gp(Vi,Vj) = ±δijи g(Xi,Xj) ∈ F(U), то зог непрекидности постоји отворена околинаW ⊆ U од p у којој важи

|g(Xi,Xi)| > a =34 +

13n < 1 и |g(Xi,Xj)| < b =

16n за свако 1 6 i = j 6 n.

Грам–Шмитов поступак ће нам омогућити да индуктивно конструишемо ортогонални покретнирепер (Y1, . . . ,Yn) на W такав да је

|g(Yj,Yj)| > d =34 и |g(Yj,Xk)| < c =

12n за свако 1 6 j < k 6 n.

Нека је Y1 = X1. Претпоставимо да смо индуктивно поставили (Y1, . . . ,Yj−1) за неко 2 6 j 6 n идефинишимо

Yj = Xj −j−1∑i=1

g(Yi,Xj)g(Yi,Yi)

Yi.

53

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаЈасно је да на овај начин доијамо g(Yj,Yi) = 0 за 1 6 i 6 j− 1. Додатно смо оезедили

|g(Yj,Yj)| =

∣∣∣∣∣∣g(Xj,Xj)−j−1∑i=1

(g(Yi,Xj))2g(Yi,Yi)

∣∣∣∣∣∣> |g(Xj,Xj)| −

j−1∑i=1

|g(Yi,Xj)|2|g(Yi,Yi)|

> a− nc2

d = d,

|g(Yj,Xk)| =

∣∣∣∣∣∣g(Xj,Xk)−j−1∑i=1

g(Yi,Xj)g(Yi,Xk)g(Yi,Yi)

∣∣∣∣∣∣6 |g(Xj,Xk)|+

j−1∑i=1

|g(Yi,Xj)||g(Yi,Xk)||g(Yi,Yi)|

< b+ nc2

d = c,

за свако 1 6 j < k 6 n, што смо и желели да покажемо. Како је ∥Yi∥ =√|g(Yi,Yi)| ∈ F(W) свуда

ненула то можемо поставити Ei = Yi/∥Yi∥ ∈ X(W) за свако 1 6 i 6 n, чиме доијамо тражениортонормирани локални покретни репер (E1, . . . ,En) на W ∋ p.

Вреди напоменути да услов константног индекса у дефиницији метричког тензора није пре-више јак. Наиме, како тај услов нисмо користили у доказу претходне теореме, а дошли смо донепрекидних функција g(Ei,Ei) ∈ F(W) које морају ити константне (1 или −1), то закључујемода је индекс свакако константан на свакој компоненти повезаности наше многострукости.

2.4 Повлачење метричких тензораКада правимо нове многострукости од старих, често постоји одговарајући начин да се на

новој многострукости изведе метрика из старе метрике. У ту сврху потрено нам је повлачењековаријантног тензорског поља. Нека је f : M → N глатко пресликавање између многоструко-сти M и псеудо-Риманове многострукости (N,g). Повлачење метрике g ∈ T0

2(N) је f∗g ∈ T02(M)

тако да у свакој тачки p ∈ M за Xp,Yp ∈ TpM имамо (f∗g)p(Xp,Yp) = gf(p)(f∗(Xp), f∗(Yp)), а како јеg симетрично то је такво и f∗g. Међутим, ако f није имерзија онда f∗ није инјективно и за некутачку p ∈ M постоји 0 = Xp ∈ TpM такво да је f∗(Xp) = 0, што повлачи да је (f∗g)p(Xp,Yp) = 0 засвако Yp ∈ TpM, односно (f∗g)p није недегенерисано. Дакле, да исмо од f∗g створили метрикунеопходно је да f уде имерзија, али то у општем случају није довољно.

Пример 2.6. Посматрајмо круг S1 смештен у R21 природним смештањем f(θ) = (cos θ, sin θ) где

је θ локална координата. Тада је f∗g = f∗(−dx2+dy2) = −(− sin θ dθ)2+(cos θ dθ)2 = cos(2θ)dθ2,што је дегенерисано за θ ∈ {π/4,3π/4,5π/4,7π/4}, а ту мења и сигнатуру. △

Међутим, у Римановом случају то је и довољан услов. Ако је f∗ инјективно, онда позитивнодефинитно g повлачи позитивно дефинитно f∗g, те је f∗g Риманова метрика.

Теорема 2.13. Ако је (N,g) Риманова мноосрукос, а f : M → N имерзија, аа је (M, f∗g)Риманова мноосрукос.

Нека је P подмногострукост псеудо-Риманове многострукости (M,g) где је ı : P ↪→ M одго-варајућа инклузија. Уколико је ı∗g метрика на P тада кажемо да је (P, ı∗g) сеуо-Римановаомноосрукос од (M,g). Тангентни простор TpP може се видети као потпростор од TpM,али нема неког разлога зашто и он морао ити недегенерисан у односу на gp, као што намнико не гарантује да уколико је то испуњено имамо константан Ind(gp). Захваљујући Теореми2.13 ствари су доста једноставније у Римановом случају. Ако је P подмногострукост Римановемногострукости (M,g) са инклузијом ı : P ↪→ M, онда је (P, ı∗g) Риманова омноосрукосод (M,g). Како у свакој тачки p ∈ P важи TpP 6 TpM, Риманову метрику ı∗g на P доијамо јед-ноставном применом метричког тензора g.

54

2.4. Повлачење меричких ензораАко знамо координатну репрезентацију имерзије, онда се индукована Риманова метрика

може лако израчунати. У некој карти са координатним функцијама xi важи

f∗g = f∗(∑i,j

gij dxi dxj) =∑i,j

f∗(gij)f∗(dxi)f∗(dxj) =∑i,j

(gij ◦ f)d(xi ◦ f)d(xj ◦ f),

што ћемо применити на наредним конкретним примерима.

Пример 2.7. Нека је f : R2 → R3 дато са f(u, v) = (u cos v,u sin v, v). У питању је имерзија чијаје слика хеликоид. Индуковану метрику f∗g можемо рачунати са

f∗g = f∗(dx2 + dy2 + dz2) = d(u cos v)2 + d(u sin v)2 + d(v)2

= (cos v du− u sin v dv)2 + (sin v du+ u cos v dv)2 + dv2 = du2 + (u2 + 1)dv2.

△

Трансформација Риманове метрике под променом координата може се посматрати каоидентичко пресликавање са различитим координатама у домену и кодомену.

Пример 2.8. Еуклидска метрика g = dx2 + dy2 на R2 у поларним координатама се може рачу-нати као повлачење идентичког пресликавања. Како је x = r cos θ и y = r sin θ то имамо

g = dx2 + dy2 = d(r cos θ)2 + d(r sin θ)2

= (cos θ dr− r sin θ dθ)2 + (sin θ dr+ r cos θ dθ)2 = dr2 + r2dθ2.

△

Риманова метрика подразумева позитивну дефинитност и она је најчешће изучавана ме-трика. Једна пријатна осоина Риманових метрика је да их има у изоиљу.

Теорема 2.14. Свака мноосрукос озвољава Риманову мерику.

Доказ. Нека је M многострукост са глатким атласом {(Uα,φα)}α∈Λ. По Теореми 1.18 постојиразијање јединице (ψα)α∈Λ које је подређено отвореном покривачу {Uα}α∈Λ. У свакој картипостоји Риманова метрика gα = φ∗

αg индукована стандардном еуклидском метриком из (2.4).Зог локалне коначности постоји само коначно много ненула чланова у околини сваке тачке,те g =

∑α∈Λ ψαgα доро дефинише симетрично коваријантно тензорско поље реда два. За

0 = X ∈ TpM имамо gp(X,X) =∑

α∈Λ ψα(p)(gα)p(X,X). Како је сваки члан ненегативан, сумаје ненегативна, а како је

∑ψα(p) = 1, ар један од α ∈ Λ је строго позитиван у p. Зато је

gp(X,X) > 0 и g је позитивно дефинитна метрика.

Важно је приметити да постоји огроман изор у конструкцији метрике g за дату много-струкост. Конкретно, разне метрике на истој многострукости могу имати прилично различитегеометријске осоине.

Пример 2.9. Нека су (M,gM) и (N,gN) псеудо-Риманове многострукости, а πM : M × N → M иπN : M×N → N природне пројекције. На производ многострукостиM×N можемо дефинисатироизво мерику са gM × gN = π∗

M(gM) + π∗N(gN). Ако искористимо природан изоморфизам

T(p,q)(M×N) ∼= TpM× TqN из Примера 1.34 доијамо да је одговарајућа Грамова матрица локдијагонална где су локови појединачне Грамове матрице. Псеудо-Риманову многострукост(M×N,gM × gN) зовемо сеуо-Риманов роизво од (M,gM) и (N,gN). △

Пример 2.10. Општије од претходног примера, за сваку строго позитивну функцију f ∈ F(M)можемо поставити

gM ×f gN = π∗M(gM) + (f ◦ πM)π∗

N(gN).Овог пута Грамова матрица у тачки (p,q) је лок дијагонална матрица где је први лок Гра-мова матрица за gM у тачки p, а други Грамова матрица од gN у тачки q множена пози-тивном константом c = f(p) > 0. Симетричност и недегенерисаност су очигледне, докиз Ind(cgN) = Ind(gN) следи Ind(g) = Ind(gM) + Ind(gN). Псеудо-Риманову многострукостM ×f N = (M × N,gM ×f gN) зовемо искривљени роизво (warped product), што се у случајуf = 1 своди на стандардни псеудо-Риманов производ. △

55

Глава 2. Псеуо-Риманова еомерија2.5 Музички изоморфизми

Није лоше имати у виду да псеудо-Риманова метрика индукује изоморфизам између вектор-ских и ковекторских поља. За дату псеудо-Риманову многострукост (M,g) можемо дефинисатипресликавање ♭ : X(M) → X∗(M) које зовемо снизилица (flat), а које векторском пољу X ∈ X(M)додељује ковекторско поље X♭ ∈ X∗(M) дефинисано са X♭(Y) = g(X,Y) за свако Y ∈ X(M).

За произвољну тачку p ∈ M снизилицу можемо рестриковати, те доити ♭ : TM → T∗M,односно ♭p : TpM → T∗

pM које вектор Xp ∈ TpM шаље у ковектор X♭p ∈ T∗

pM дат са X♭p(Yp) =

gp(Xp,Yp) за сваки вектор Yp ∈ TpM.Услов недегенерисаности симетричне илинеарне форме gp ∈ T0

2(TpM) еквивалентан јеуслову Ker(♭p) = 0, односно томе да је ♭p инјективно. Како су наше димензије коначне, тоје dimTpM = dimT∗

pM = dimM, те је недегенерисаност еквивалентна услову да је ♭p изомор-физам. Како је метрика недегенерисана по дефиницији, то је снизилица изоморфизам измеђуодговарајућих тангентних и котангентних простора, односно између векторских и ковектор-ских поља.

Погледајмо шта се дешава у карти (U,φ) са координатним функцијама xi = πi ◦ φ. Ако јеX =

∑ni=1 Xi∂i, тада имамо

X♭ =

n∑j=1

X♭(∂j)dxj =n∑j=1

g( n∑

i=1Xi∂i, ∂j

)dxj =

n∑i,j=1

gijXi dxj =n∑j=1

Xj dxj,

где је Xj =∑n

i=1 gijXi. Можемо рећи да је X♭ доијено од X спуштањем индекса, што је и ра-злог зашто операцију зовемо снизилица. Матрица снизилице у терминима координатне азеје заправо Грамова матрица од g.

Са друге стране, инверзни изоморфизам ♯ = ♭−1 : X∗(M) → X(M) зовемо овисилица(sharp). Повисилица ковекторско поље ω ∈ X∗(M) шаље у векторско поље ω♯ ∈ X(M) таквода ω(Y) = g(ω♯,Y) важи за свако Y ∈ X(M). У координатама матрица повисилице мора итиинверзна матрици снизилице.

Како је g недегенерисано, Грамова матрица са улазима gij је инвертиилна у свакој тачки,те постоји њој инверзна матрица са улазима gjk, при чему важи

∑j gijgjk = δik. Компоненте

инверзне матрице глатко зависе од почетних компоненти, те су и функције gij глатке на U.Како је g симетрично, имамо

gjk =∑igikδij =

∑i,l

gik(gilglj) =∑i,l

(gikgli)glj =∑lδklglj = gkj,

те је инверз такође симетричан, gjk = gkj. Сада за ω =∑n

i=1 ωi dxi имамо ω♯ =∑n

j=1 ωj∂j, где јеωj =

∑ni=1 gijωi и кажемо да је ω♯ доијено од ω дизањем индекса.

Пресликавања ♭ : X(M) → X∗(M) и ♯ : X∗(M) → X(M) су музички изоморфизми, симпатич-но име које је пропагирао (и вероватно сковао) Берже9 [3].

Вероватно најважнија примена повисилице је проширење класичног градијента на Рима-нове многострукости. Ако је (M,g) Риманова многострукост и f ∈ F(M), раијен од f јевекторско поље grad f = df♯ доијено из диференцијала df дизањем индекса. За градијент важиdf(X) = g(grad f,X) где је X ∈ X(M), односно у координатама grad f =

∑ni,j=1 gij∂if∂j.

Снизилица и повисилица се могу применити на тензоре произвољног типа и на ило којојпозицији индекса, да и се тензор превео из контраваријантног у коваријантни и орнуто. Например, у тензору A ∈ T1

2(M) можемо снизити горњи индекс да доијемо коваријантни тензорA♭ ∈ T0

3(M) са компонентама Aijk =∑n

l=1 gilAljk, што је заправо A♭(X,Y,Z) = A(X♭,Y,Z).Још једна важна примена снизилице и повисилице је да се продужи контракција. На при-

мер, за симетричан коваријантни тензор A ∈ T02(M) можемо подићи један индекс (свеједно који

јер је A симетричан) и доити A♯ ∈ T11(M), а затим применити контракцију за C(A♯) ∈ F(M), што

је ра од A у односу на g. Дакле, trg(A) = C(A♯) =∑n

i=1 Aii =

∑ni,j=1 gijAij. Посено, у случају

ортонормиране азе, у питању је оичан траг матрице.9Marcel Berger (1927–2016), француски математичар

56

2.6. ИзомеријеПример 2.11. Претпоставимо да постоји свуда ненула X ∈ X(M) за многострукост M. По Тео-реми 2.14 можемо изарати Риманову метрику g наM. Посматрајмо симетричан коваријантнитензор gL реда два дефинисан са

gL = g− 2g(X,X)X

♭ ⊗ X♭.

Јасно је да важи gL(X,X) = −g(X,X) < 0, док g(X,Y) = 0 повлачи gL(Y,Z) = g(Y,Z). Зато јеортогонална аза за g која укључује X такође ортогонална аза за gL што доказује да је gLЛоренцова метрика. Уопштено говорећи, многострукост дозвољава Лоренцову метрику ако исамо ако дозвољава свуда ненула глоално векторско поље. △

2.6 ИзометријеНека су (M,gM) и (N,gN) две псеудо-Риманове многострукости. Глатко пресликавање

f : M → N између одговарајућих многострукости је сеуо-Риманова имерзија уколико чуваметричке тензоре, f∗(gN) = gM, што можемо експлицитно записати са

(gM)p(Xp,Yp) = (gN)f(p)(Tpf(Xp),Tpf(Yp))

за свако p ∈ M и Xp,Yp ∈ TpM. Већ смо видели да је свако такво пресликавање имерзија, штооправдава име и доноси неједнакости dimM 6 dimN и IndgM 6 IndgN.

Изомерија из (M,gM) у (N,gN) је псеудо-Риманова имерзија f : M → N која је такође дифе-оморфизам. Ако је такво f само локални дифеоморфизам онда кажемо да је у питању локалнаизомерија. Кажемо да су псеудо-Риманове многострукости изомеричне уколико постојиизометрија између њих. Лако је увидети да су композиција две изометрије и инверз изометријетакође изометрије, као што је то и идентичко пресликавање. Дакле, ити изометричан је рела-ција еквиваленције, те можемо рећи да је изометрија нарочита врста пресликавања која омогу-ћава појам изоморфизма у категорији псеудо-Риманових многострукости. Псеуо-Римановаеомерија представља изучавање осоина псеудо-Риманових многострукости које су инва-ријантне у односу на локалне или глоалне изометрије.

За фиксирану псеудо-Риманову многострукостM, изометрија f : M → M се зове изомери-ја о M. Скуп свих изометрија од M чини групу I(M), коју зовемо руа изомерија од M.Груа изороије у тачки p ∈ M је подгрупа Ip(M) која садржи све f ∈ I(M) за које је f(p) = p.

Значајна јака теорема тврди да група изометрија I(M) псеудо-Риманове многострукостиMима структуру Лијеве групе у односу на компактно-отворену топологију [22, Последица 2]. ЗаРиманове многострукости ову теорему су установили Мајерс10 и Стинрод11 1939. године [27].

Пример 2.12. Нека је f : S1 → S1 дато са f(z) = z2, где је ı : S1 ↪→ C, те S1 има Римановуметрику g = ı∗g. Како је f имерзија, по Теореми 2.13 је f∗g Риманова метрика. Дакле, f јеРиманова имерзија, али како f није дифеоморфизам то не може ити ни изометрија. △

Пример 2.13. Нека је (V,g) квадратни простор димензије n. Изор азе на V индукује ијек-тивно линеарно пресликавање што је хомеоморфизам између V и Rn, те је V многострукост.Постоји канонски линеарни изоморфизам X 7→ XZ из V на сваки тангентни простор TZV који једат као извод по правцу

XZh =ddt

∣∣∣∣t=0

h(Z+ tX),

где нас gZ(XZ,YZ) = g(X,Y) доводи до метричког тензора на многострукости V која тако по-стаје псеудо-Риманова многострукост. Ако је f : V → W линеарна изометрија на квадратнимпросторима (V,gV) и (W,gW), тада је

TZf(XZ)(h) = XZ(h ◦ f) = ddt

∣∣∣∣t=0

h(f(Z) + tf(X)) = f(X)f(Z)h,

10Sumner Byron Myers (1910–1955), амерички математичар11Norman Earl Steenrod (1910–1971), амерички математичар

57

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријашто даје TZf(XZ) = f(X)f(Z), одакле следи

(f∗gW)Z(XZ,YZ) = gWf(Z)(f∗XZ, f∗YZ) = gWf(Z)(f(X)f(Z), f(Y)f(Z))= gW(f(X), f(Y)) = gV(X,Y) = gVZ (XZ,YZ),

што значи да је f псеудо-Риманова имерзија. Како је линеарно пресликавање глатко, линеарниизоморфизам f је дифеоморфизам, те је f изометрија између псеудо-Риманових многострукостиV и W. Одавде следи да је квадратни простор V димензије n и индекса ν као псеудо-Римановамногострукост изометрична са Rn

ν. Заправо, координатни изоморфизам ило које ортонорми-ране азе у V је изометрија. △

Да исмо описали симетрије псеудо-Риманове многострукости уводимо наредну стандарднутерминологију. Псеудо-Риманова многострукост M је хомоена ако за свако p,q ∈ M постојиизометрија f ∈ I(M) таква да је f(p) = q. У том случају можемо рећи да група изометрија I(M)делује транзитивно на M.

Вреди напоменути да за свако f ∈ I(M), глоално тангентно пресликавање Tf пресликаваTM у сее и рестрикује се у линеарну изометрију Tpf : TpM → Tf(p)M за свако p ∈ M. За p ∈ M иf ∈ Ip(M), линеарно пресликавање Tpf шаље TpM у сее, те доијамо изороску ререзен-ацију Ip : Ip(M) → GL(TpM) која је дата са Ip(f) = Tpf.

Псеудо-Риманова многострукост M је изорона у p ∈ M ако за све јединичне вектореX,Y ∈ TpM постоји изометрија f ∈ Ip(M) таква да је f∗(X) = Y. То значи да група изотропијеIp(M) делује транзитивно на скупу свих јединичних вектора у TpM. Кажемо да јеM изоронаако је изотропна у свакој тачки.

Хомогена псеудо-Риманова многострукост геометријски изгледа исто када је посматрамо изило које тачке, док она која је изотропна изгледа исто у свим правцима. Наравно, хомогенапсеудо-Риманова многострукост која је изотропна у једној тачки је изотропна у свакој тачки.Међутим, испоставља се да је изотропна псеудо-Риманова многострукост хомогена.

Глатко пресликавање f : M → N између псеудо-Риманових многострукости (M,gM) и (N,gN)је конформно ако f∗(gN) = hgM важи за неку позитивну функцију h ∈ F(M). Ако постојиконформни дифеоморфизам између псеудо-Риманових многострукости кажемо да су оне кон-формно еквиваленне. Две метрике g1 и g2 на многострукостиM су конформне ако посто-ји позитивна функција h ∈ F(M) таква да је g2 = hg1, односно ако је идентичко пресликавањеизмеђу (M,g1) и (M,g2) конформно. У Римановој геометрији је познато да су две метрике кон-формне ако и само ако дефинишу исте углове, док је дифеоморфизам конформна еквиваленцијаако и само ако чува углове.

2.7 Модел просториНа развој псеудо-Риманове геометрије велики утицај имали су одређени високо-симетрични

простори названи модел простори. Модел простори нам пружају доре примере, тако да ка-да проучавамо апстрактније псеудо-Риманове многострукости можемо их упоредити са овимједноставнијим просторима и видети које осоине су им заједничке.

Три модел простора Риманове геометрије су еуклидски простори, сфере и хипероличкипростори. Њихова главна одлика је да су сви они високо-симетрични, што значи да поседујувелику групу изометрија.

Основна и најважнија модел Риманова многострукост је еуклидски простор Rn са еуклид-ском метриком g =

∑ni,j=1 δij dxi dxj из Примера 2.2. У Примеру 2.13 смо видели да је сваки

квадратни простор индекса 0 изометричан са (Rn,g).Наредни модел простор је сфера Snr полупречника r у Rn+1 центрирана у координатном

почетку. Инклузија ı : Snr ↪→ Rn+1 индукује Риманову метрику gr = ı∗g на Snr коју зовемо окруламерика олуречника r. Посено, за r = 1 имамо n-сферу (Sn, g) са окрулом мерикомg = g1.

Пример 2.14. Посматрајмо северни пол q(0, . . . ,0, r) ∈ Snr са стандардном азом (∂1, . . . , ∂n) уTqSnr . Нека је p ∈ Snr произвољна тачка са ортонормираном азом (E1, . . . ,En) у TpSnr . Како суазни вектори тангентни на сферу, они су ортогонални на p, те је (E1, . . . ,En, 1rp) ортонормирана

58

2.7. Моел росориаза уRn+1. Нека је f ∈ O(n+1)матрица чије су колоне ти азни вектори. Тада f : (∂1, . . . , ∂n+1) 7→(E1, . . . ,En, 1rp), и посено f(q) = p. Штавише, како f делује линеарно на Rn+1, његово гурањесе репрезентује у стандардним координатама истом матрицом, одакле је f∗∂i = Ei за 1 6 i 6 n.Дакле, O(n+1) делује транзитивно на ортонормираној ази од Snr , те је Snr хомогена и изотропнамногострукост. △

Пример 2.15. Сфера је локално конформно еквивалентна еуклидском простору. Заправо, сте-реографска пројекција је конформна еквиваленција између Snr \ {q} и Rn. Након што модифи-кујемо стереографску пројекцију из Примера 1.15 за сферу полупречника r доијамо

φ(x1, . . . , xn, xn+1) =r

r− xn+1(x1, . . . , xn), (2.6)

са инверзом

φ−1(y1, . . . , yn) =r

r2 + y21 + · · ·+ y2n(2ry1, . . . ,2ryn,−r2 + y21 + · · ·+ y2n). (2.7)

Посматрајмо произвољну тачку s ∈ Rn и вектор V ∈ TsRn. Из

φ−1∗ V =

n+1∑i=1

(φ−1∗ V)(xi)

∂

∂xi=

n+1∑i=1

V(xi ◦ φ−1)∂

∂xi,

можемо израчунати индуковану метрику,

(φ−1)∗gr(V,V) = gr(φ−1∗ V,φ−1

∗ V) = g(φ−1∗ V,φ−1

∗ V) =n+1∑i=1

(V(xi ◦ φ−1))2,

где је

V(xi ◦ φ−1) = V(

2r2yir2 + y21 + · · ·+ y2n

)= 2r2 (r

2 + y21 + · · ·+ y2n)V(yi)− yiV(y21 + · · ·+ y2n)(r2 + y21 + · · ·+ y2n)2

за 1 6 i 6 n са додатним

V(xn+1 ◦ φ−1) = V(r−r

2 + y21 + · · ·+ y2nr2 + y21 + · · ·+ y2n

)= 2r3 V(y21 + · · ·+ y2n)

(r2 + y21 + · · ·+ y2n)2.

Како је V(y21 + · · ·+ y2n) =∑n

i=1 2yiV(yi), то имамо

(φ−1)∗gr(V,V) =4r4

(r2 + y21 + · · ·+ y2n)4(r2(V(y21 + · · ·+ y2n))2

+

n∑i=1

((r2 + y21 + · · ·+ y2n)V(yi)− yiV(y21 + · · ·+ y2n))2)

=4r4 (V(y1))2 + · · ·+ (V(yn))2

(r2 + y21 + · · ·+ y2n)2=

4r4g(V,V)(r2 + y21 + · · ·+ y2n)2

.

Другим речима, важи

(φ−1)∗gr =4r4

(r2 + y21 + · · ·+ y2n)2g,

где g репрезентује еуклидску метрику на Rn, те је зато стереографска пројекција конформнаеквиваленција. Одавде следи да је сфера локално конформно равна, што значи да свакатачка из Snr има околину која је конформно еквивалентна неком отвореном подскупу од Rn. △

59

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаТрећу класу модел Риманових многострукости чини хиперолички простор Hn

r димензије nи полупречника r. Можемо га дефинисати као псеудо-Риманову подмногострукост простораМинковског Rn+1

1 = (Rn+1,g) са

Hnr = {X = (x0, . . . , xn) ∈ Rn+1

1 : g(X,X) = −r2, x0 > 0}.

Геометријски, у питању је горњи део дводелног хиперолоида x20−x21−· · ·−x2n = r2. Посматрајмоглатку функцију f : Rn+1 → R дефинисану са f(X) = g(X,X). Како је

TXf(YX)(h) = YX(h ◦ f) = ddt

∣∣∣∣t=0

(h ◦ f)(X+ tY)

=ddt

∣∣∣∣t=0

h(f(X) + 2tg(X,Y) + t2g(Y,Y)) = 2g(X,Y)(ddt

)f(X)

h,

имамо dfX(Y) = 2g(X,Y), одакле следи dfX = 2X♭. Зато dfX има ранг 1 за свако X = 0, те је −r2регуларна вредност од f. По Теореми 1.35, регуларни скуп нивоа f−1({−r2}) је подмногостру-кост кодимензије 1, што такође важи за Hn

r . Штавише, по Леми 1.36 за свако X ∈ Hnr имамо

TXHnr = KerTXf = KerX♭ = X⊥. Зог g(X,X) = −r2 < 0, рестрикција амијентне метрике на X⊥ је

позитивно дефинитна, те g индукује Риманову метрику h = ı∗g на Hnr .

Пример 2.16. Посматрајмо хиероличку сереорафску ројекцију π изHnr у хиперраван

x0 = 0 преко тачке q(−r,0, . . . ,0). Из формуле

π(x0, x1, . . . , xn) =r

r+ x0(x1, . . . , xn),

видимо да ∥π(x0, x1, . . . , xn)∥ = r√

x0−rx0+r ↗ r када x0 → +∞, те је Im(π) = Bn

r , кугла полупречникаr у Rn. Зато дифеоморфизам π : Hn

r → Bnr доводи до другог модела који зовемо Поинкареов

кула моел HBnr = (Bn

r , (π−1)∗h) где је h метрика на Hnr . Можемо израчунати инверз,

π−1(y1, . . . , yn) =r

r2 − y21 − · · · − y2n(r2 + y21 + · · ·+ y2n,2ry1, . . . ,2ryn).

Као и раније, поставимо произвољну тачку s ∈ Bnr и вектор V ∈ TsBn

r . Из

π−1∗ V =

n∑i=0

(π−1∗ V)(xi)

∂

∂xi=

n∑i=0

V(xi ◦ π−1)∂

∂xi,

доијамо,

(π−1)∗h(V,V) = h(π−1∗ V, π−1

∗ V) = g(π−1∗ V, π−1

∗ V) = −(V(x0 ◦ π−1))2 +n∑i=1

(V(xi ◦ π−1))2,

где је

V(xi ◦ π−1) = V(

2r2yir2 − y21 − · · · − y2n

)= 2r2 (r

2 − y21 − · · · − y2n)V(yi) + yiV(y21 + · · ·+ y2n)(r2 − y21 − · · · − y2n)2

за 1 6 i 6 n са додатним

V(x0 ◦ π−1) = V(rr

2 + y21 + · · ·+ y2nr2 − y21 − · · · − y2n

)= 2r3 V(y21 + · · ·+ y2n)

(r2 − y21 − · · · − y2n)2.

Одавде је

(π−1)∗h(V,V) = 4r4(r2 − y21 − · · · − y2n)4

(− r2(V(y21 + · · ·+ y2n))2

+

n∑i=1

((r2 − y21 − · · · − y2n)V(yi) + yiV(y21 + · · ·+ y2n))2)

=4r4 (V(y1))2 + · · ·+ (V(yn))2

(r2 − y21 − · · · − y2n)2=

4r4g(V,V)(r2 − y21 − · · · − y2n)2

,

60

2.7. Моел росоришто даје метрику за HBn

r ,

h2 = (π−1)∗h = 4r4 (dy1)2 + · · ·+ (dyn)2

(r2 − y21 − · · · − y2n)2. (2.8)

Псеудо-Риманове многострукости Hnr = (Hn

r ,h) и HBnr = (Bn

r ,h2) су изометричне. △

Пример 2.17. Нека је φ : Snr \ {q} → Rn стереографска пројекција из Примера 2.15 са форму-лама (2.6) и (2.7), те нека је ρ : Snr → Snr ротација ρ(x1, . . . , xn−1, xn, xn+1) = (x1, . . . , xn−1,−xn+1, xn)која хемисферу {xn+1 < 0} преводи у хемисферу {xn > 0}. Посматрајмо дифеоморфизам

ψ = φ ◦ ρ ◦ φ−1 : Rn \ {(0, . . . ,0, r)} → Rn \ {(0, . . . ,0,−r)}

и његову рестрикцију из кугле Bnr на полупростор Un

r = {(z1, . . . , zn) ∈ Rn : zn > 0}. Тадапресликавање ψ�Bn

r : Bnr → Un

r доноси трећи модел хипероличког простора, Поинкареов о-луросор моел HUn

r = (Unr , (ψ−1)∗h2). Можемо израчунати инверз f = ψ−1 = φ ◦ ρ−1 ◦ φ−1

у координатама,

f(z1, . . . , zn) = φ ◦ ρ−1 ◦ φ−1(z1, . . . , zn)

= φ ◦ ρ−1

(r

r2 + z21 + · · ·+ z2n(2rz1, . . . ,2rzn,−r2 + z21 + · · ·+ z2n)

)

= φ(

rr2 + z21 + · · ·+ z2n

(2rz1, . . . ,2rzn−1,−r2 + z21 + · · ·+ z2n,−2rzn))

=r

(r+ zn)2 + z21 + · · ·+ z2n−1(2rz1, . . . ,2rzn−1,−r2 + z21 + · · ·+ z2n).

За произвољну тачку p ∈ Unr доијамо

f∗(

∂

∂zn

)p=

n∑i=1

∂(yi ◦ f)∂zn

(p)(

∂

∂yi

)f(p)

=

2r2((r+ zn)2 − z21 − · · · − z2n−1)(

∂∂yn

)f(p)

− 4r2(r+ zn)∑n−1

i=1 zi(

∂∂yi

)f(p)

((r+ zn)2 + z21 + · · ·+ z2n−1)2 ,

одакле за индуковану метрику h3 = f∗h2 имамо

h3

((∂

∂zn

)p,

(∂

∂zn

)p

)= h2

(f∗(

∂

∂zn

)p, f∗(

∂

∂zn

)p

)

=4r4

(r2 − y21 − · · · − y2n)24r4((r+ zn)2 − (z21 + · · ·+ z2n−1))

2 + 16r4(r+ zn)2(z21 + · · ·+ z2n−1)

((r+ zn)2 + z21 + · · ·+ z2n−1)4

= 16r4((r+ zn)2 + z21 + · · ·+ z2n−1)

2

(((r+ zn)2 + z21 + · · ·+ z2n−1)2 − 4r2(z21 + · · ·+ z2n−1)− (−r2 + z21 + · · ·+ z2n)2)2

=r2z2n

.

Међутим, из (2.8) видимо да су метрике h2 и g конформне на Bnr , док Пример 2.15 показује

да је f−1 конформна еквиваленција између (Bnr ,g) и (Un

r ,g), одакле следи да су метрике h3 и gконформне на Un

r . То је разлог зашто нам је довољно h3(V,V) за неко доро изарано векторскопоље, на пример V = ∂

∂zn . Коначно доијамо

h3 = f∗h2 = r2 (dz1)2 + · · ·+ (dzn)2

z2n. (2.9)

Како су Риманове многострукости Hnr , HBn

r и HUnr све изометричне, често ћемо користити

једноставну нотацију Hnr = (Hn

r ,hr) да укажемо на ило који од хипероличких модела, што ћеу принципу ити најзгоднији модел у том тренутку. △

61

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаПример 2.18. Симетрије од Hn

r се најлакше могу видети у хиперолоид моделу. Лоренцоваруа O(1,n) је група линеарних пресликавања из Rn+1

1 на сее које чувају метрику Минков-ског. Сваки елемент изO(1,n) чува скуп {x20−x21−· · ·−x2n = r2} који се састоји од две компоненте{x0 > 0} и {x0 < 0}. Подгрупа O+(1,n) која чува смер времена састоји се од пресликавања којашаљу компоненту {x0 > 0} у сее, те зато делује на Hn

r као изометрија. Аналогно можемо пра-тити аргументе из Примера 2.14 да исмо закључили да O+(1,n) делује транзитивно на скупуортонормираних аза на Hn

r , те је зато хиперолички простор Hnr хомоген и изотропан. △

Еуклидске, сферичне и хипероличке метрике могу се прилагодити тако да дају моделепсеудо-Риманових многострукости који су хомогени и изотропни. Први пример је псеудо-еуклидски простор Rn

ν индекса ν > 0 из Примера 2.3.За остале примере посматрајмо псеудо-Риманову подмногострукост псеудо-еуклидског про-

стора (Rn+1ν ,g) која је дата са M = {X ∈ Rn+1

ν : g(X,X) = c} за неки скалар c = 0. Сличнослучају хипероличког простора Hn

r можемо поставити функцију f : Rn+1 → R са f(X) = g(X,X).Тада имамо dfX = 2X♭, те је c регуларна вредност од f одакле је M = f−1({c}) подмногостру-кост димензије n. Метрика на M је метрика индукована из амијентне метрике g. Како јеTXM = KerTXf = KerX♭ = X⊥ и g(X,X) = c, лако је видети да ће се индекс смањити за један самоуколико је c < 0.

Псеудо-Риманова многострукост (M, ı∗g) за c > 0 има индекс ν и зовемо је сеуосфераполупречника

√c, док за c < 0 има индекс ν − 1 и зовемо је сеуохиеролички росор

полупречника√−c. Посено, е Сиеров росор12 је псеудосфера dSnr смештена у Rn+1

1 ,док псеудохиперолички простор AdSnr смештен у Rn+1

2 зовемо ани-е Сиерев росор.Дакле, три модел простора Лоренцове геометрије су простори Миковског, де Ситерови и анти-де Ситерови простори.

2.8 Коваријантни изводи

У циљу увођења кривине на псеудо-Римановим многострукостима неопходно је проучаватигеодезијске, псеудо-Риманова уопштења правих линија. У оригиналном смислу, геодезијска јеила најкраћа рута између две тачке на површи, те делује примамљиво дефинисати геодезијскекао криве које минимизују дужину, арем између лиских тачака. Међутим, псеудо-Римановемногострукости са недефинитномметриком нису метрички простори, те њихове геодезијске неминимизују растојања. Чак иако ограничимо посматрања само на Риманове многострукости,постављање минимизујућег својства за дефиницију има великих техничких потешкоћа.

То је разлог зашто ћемо изарати и уопштити неку другу осоину правих линија. Правелиније су једине криве у еуклидском простору које имају параметризације са урзањем нула.Ово својство ћемо уопштити у случају псеудо-Риманових многострукости.

Нека је γ : (a,b) → M глатка крива на псеудо-Римановој многострукости (M,g). Извод кри-ве, γ′(t), представља рзину, а нови извод, односно γ′′(t), доводи нас до урзања. Дакле, по-трено је направити количник одузимањем вектора γ′(t + h) ∈ Tγ(t+h)M и γ′(t) ∈ Tγ(t)M, штоније згодно јер они живе у различитим просторима. У случају апстрактне многострукости оваразлика нема смисла те нам је потреан начин да упоредимо вредности векторског поља уразличитим тачкама, односно да повежемо лиске тангентне просторе. Та повезаност је до-датна информација на многострукости која ће омогућити диференцирање векторских поља каои интерпретацију урзања криве.

Размотримо најпре дешавања у еуклидском простору Rn. Функцију f ∈ F(Rn) можемо дифе-ренцирати у тачки p ∈ Rn у правцу вектора Xp ∈ TpRn са

DXpf = limt→0

f(p+ tXp)− f(p)t = (f ◦ γ)′(0) = γ′(0)f = Xp(f), (2.10)

12Willem de Sitter (1872–1934), холандски математичар, физичар и астроном

62

2.8. Коваријанни извоигде је γ(t) = p+ tXp. На сличан начин векторско поље Y =

∑ni=1 Yi∂i ∈ X(Rn) диференцирамо са

DXpY = limt→0

Y(p+ tXp)− Y(p)t =

n∑i=1

limt→0

Yi(p+ tXp)∂i − Yi(p)∂it

=

n∑i=1

DXpYi∂i =n∑i=1

Xp(Yi)∂i.(2.11)

У случају произвољне многострукостиM, која није нужно смештена у неки еуклидски про-стор, можемо искористити резултат из (2.10) и диференцирати функцију f ∈ F(M) у правцу век-тора Xp ∈ TpM са∇Xpf = Xp(f). Међутим, у општем случају не постоји канонска аза тангентногпростора TpM, те је резултат из (2.11) неупотрељив директно. Како не постоји канонски на-чин да дефинишемо диференцирање векторских поља на апстрактној многострукости можемоупотреити формулу (2.11) да установимо које осоине DXpY поседује у Rn, те их искориститиза заснивање опште теорије.

За векторско поље X ∈ X(Rn) дефинишемо DXY са (DXY)p = DXpY за свако p ∈ Rn. Како смоиз (2.11) установили (DXY)p =

∑ni=1 Xp(Yi)(∂i)p, то векторска поља X и Y доносе ново векторско

поље

DXY =

n∑i=1

X(Yi)∂i (2.12)

и операцију D : X(Rn)×X(Rn) → X(Rn). Из формуле (2.12) види се R-илинеарност пресликава-ња D. Очигледна је и F(Rn)-линеарност по првом аргументу, док по другом аргументу имамоЛајницовост, јер за X,Y ∈ X(Rn) и f ∈ F(Rn) важи

DX(fY) =n∑i=1

X(fYi)∂i =n∑i=1

(Xf)Yi∂i +n∑i=1

fX(Yi)∂i = (Xf)Y+ fDXY.

Ове осоине нас мотивишу да на произвољној многострукости уведемо операцију повезаности.Повезанос (конексија, connection, affine connection, linear connection) на многоструко-

сти M је R-илинеарно пресликавање ∇ : X(M) × X(M) → X(M) са ознаком (X,Y) 7→ ∇XY, којеје F(M)-линеарно по првом аргументу, а Лајнициво по другом аргументу. Симол ∇ читамо„нала“ или „дел“, док ∇XY зовемо коваријанни изво од Y у односу на X.

За произвољно X,Y,Z ∈ X(M) и f,h ∈ F(M), можемо записати формуле коваријантног изводана следећи начин. Како је повезаност F(M)-линеарна по првом аргументу, то имамо

∇fX+hYZ = f∇XZ+ h∇YZ. (2.13)

Повезаност није F(M)-линеарна по другом аргументу, већ само R-линеарна,

∇X(Y+ Z) = ∇XY+∇XZ, (2.14)

док одступање од F(M)-линеарности видимо кроз Лајницово правило

∇X(fY) = f∇XY+ (Xf)Y. (2.15)

Мотивациона операција D из (2.12) свакако испуњава услове дефиниције и зовемо је сан-арна овезанос на Rn.

Коваријантни извод ∇X у односу на векторско поље X ∈ X(M) можемо продужити за прои-звољно тензорско поље наM. Природно имамо ∇Xf = Xf за f ∈ F(M), док ∇XY формулама (2.14)и (2.15) комплетира услове Теореме 1.51, одакле постоји јединствен извод тензорског поља наM који ће уопштити коваријантни извод.

За произвољно тензорско поље A ∈ Trs(M) имамо ∇XA ∈ Tr

s(M), те додатно можемо дефини-сати пресликавање ∇A : X∗(M)r × X(M)s+1 → F(M) са

∇A(ω1, . . . ,ωr,Y1, . . . ,Ys,X) = (∇XA)(ω1, . . . ,ωr,Y1, . . . ,Ys).

Како је ∇XA ∈ Trs(M) то ∇A јесте F(M)-мултилинеарно по првих r + s аргумената, а из (2.13)

је F(M)-линеарно по последњем аргументу. Ново тензорско поље ∇A ∈ Trs+1(M) доијено на

овакав начин зовемо оун коваријанни изво од A.

63

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаПример 2.19. За f ∈ F(M) имамо (∇f)(X) = ∇Xf = Xf = df(X), те је потпун коваријантни изводфункције једнак диференцијалу, ∇f = df. △

Пример 2.20. За f ∈ F(M), коваријантни тензор реда два ∇2f = ∇(∇f) зовемо Хесијан13 од f.Ако са C оележимо (1,1) контракцију, рачун показује

∇X(∇Yf) = ∇X(∇f(Y)) = ∇X(C(∇f⊗ Y)) = C(∇X(∇f⊗ Y)) = C(∇X∇f⊗ Y+∇f⊗∇XY)= (∇X∇f)(Y) +∇f(∇XY) = ∇2f(Y,X) +∇∇XYf,

одакле следи ∇2f(Y,X) = X(Y(f))− (∇XY)f. △

Иако је повезаност дефинисана на векторским пољима, она је заправо локални оператор очему говори наредна теорема.

Теорема 2.15. Нека је ∇ овезанос на мноосрукоси M. Вренос ∇XY у ачки p ∈ Mзависи само о вреноси за Y ∈ X(M) у околини о p и вреноси за X ∈ X(M) у p.

Доказ. Претпоставимо да је Y ≡ 0 на некој околини U од p. По Леми 1.15 постоји џомастафункција b ∈ F(M) подржана у U за коју је b(p) = 1, што доноси bY ≡ 0 на целом M. Из∇X(bY) = ∇X(0) = 0 доијамо (Xb)Y + b∇XY = 0, те рачунајући вредност у тачки p доијамо(∇XY)p = 0. Са друге стране, у координатној околини тачке p је X =

∑ni=1 Xi∂i, те услов Xp = 0

повлачи Xi(p) = 0, одакле из (2.13) важи (∇XY)p =∑n

i=1 Xi(p)(∇∂iY)p = 0.

Нека је V ∈ TpM тангентни вектор у тачки p = π(V) ∈ M, а Z ∈ X(U) векторско пољегде је U ⊆ M отворена околина тачке p. Теорема 2.15 нам омогућава да доро дефинишемо∇VZ = (∇XY)p, где су X,Y ∈ X(M) произвољна векторска поља за која важи Xp = V и Y�U= Z.

Нека је (E1, . . . ,En) локални покретни репер на отвореном подскупу U ⊆ M. Најчешће ради-мо са координатним покретним репером, где је Ei = ∂i, али је корисно видети рачун у општемслучају. За 1 6 i, j 6 n коваријантни извод ∇EiEj се може изразити у терминима тог покретногрепера са

∇EiEj =n∑

k=1ΓkijEk.

На овај начин доијамо n3 функција Γkij ∈ F(U) које зовемо Крисофелови симоли14 од ∇ уодносу на дати покретни репер. Повезаност на U је у потпуности одређена својим Кристофе-ловим симолима.

Лема 2.16. Нека је ∇ овезанос на n-мноосрукоси M, а (E1, . . . ,En) локални окрениреер на U ⊆ M. Ако је X =

∑ni=1 XiEi и Y =

∑nj=1 YjEj, она је

∇XY =

n∑k=1

XYk + n∑i,j=1

XiYjΓkij

Ek. (2.16)

Доказ. Директним рачуном доијамо

∇XY = ∇X(∑

jYjEj

)=∑j(XYj)Ej +

∑jYj∇∑

i XiEiEj

=∑j(XYj)Ej +

∑i,j

XiYj∇EiEj =∑k(XYk)Ek +

∑i,j,k

XiYjΓkijEk,

што доказује тврђење.

У случају координатног покретног репера, формула (2.16) се своди на једначину

∇XY =

n∑k=1

X(Y(xk)) + n∑i,j=1

X(xi)Y(xj)Γkij

∂k, (2.17)

13Ludwig Otto Hesse (1811–1874), немачки математичар14Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), немачки математичар и физичар

64

2.9. Леви-Чивиа овезаносодакле се лако може закључити локалност повезаности из Теореме 2.15. Штавише, у случајуда се атлас многострукости састоји од само једне карте, (∂1, . . . , ∂n) чини глоални покретнирепер и можемо показати орат Леме 2.16. Наиме, произвољан изор n3 глатких функцијаΓkij ∈ F(M), једначином (2.17) дефинише повезаност ∇. Најпре X,Y ∈ X(M) очигледно даје∇XY ∈ X(M). Такође је очигледна R-линеарност по Y и F(M)-линеарност по X. Преостаје јошЛајницовост што је једноставан праволинијски рачун.

Пример 2.21. Ако све Кристофелове симоле поставимо да уду једнаки нули, из (2.17) дои-јамо ∇XY =

∑nk=1 XYk∂k што је аш стандардна повезаност DXY кад је M = Rn. △

Пример 2.22. Произвољан изор глатких функција Γkij ∈ F(Uα) генерише повезаност ∇α насвакој координатној околини Uα. За разијање јединице ψα које је подређено атласу можемопоставити ∇XY =

∑α ψα∇α

XY, што нам омогућава да конструишемо приличан рој повезаностина многострукостиM. Глаткоћа се лако види, као и R-линеарност по Y и F(M)-линеарност по X.Што се тиче Лајницовости, неће свака линеарна коминација повезаности чинити повезаност,али зог

∑α ψα = 1 имамо ∇X(fY) =

∑α ψα∇α

X(fY) =∑

α ψα((Xf)Y+ f∇αXY) = (Xf)Y+ f∇XY. △

2.9 Леви-Чивита повезаностНека је (M,g) псеудо-Риманова многострукост и нека је ∇ повезаност на M. Кажемо да је

повезаност ∇ меричка (или да чува метрику) ако је ∇g = 0. За метричку повезаност имамо

0 = (∇g)(Y,Z,X) = (∇Xg)(Y,Z) = ∇X(g(Y,Z))− g(∇XY,Z)− g(Y,∇XZ),

што даје слагање метрике g и повезаности ∇,

X(g(Y,Z)) = g(∇XY,Z) + g(Y,∇XZ). (2.18)

Пресликавање τ : X(M) × X(M) → X(M) дефинисано са τ(X,Y) = ∇XY − ∇YX − [X,Y] зовемоорзија. Торзија је евидентно F(M)-илинеарно пресликавање и самим тим τ ∈ T1

2(M) (видетиПример 1.58). Кажемо да је повезаност симерична уколико је ез торзије, τ = 0, што дајеједначину

[X,Y] = ∇XY−∇YX. (2.19)Како је комутатор координатних векторских поља једнак нули, то се симетричност повезаностиогледа у једначини ∇∂i∂j = ∇∂j∂i, односно у симетрији Γkij = Γkji између Кристофелових симолау односу на координатни покретни репер.

Пример 2.23. У Примеру 2.20 имали смо изражен Хесијан функције f ∈ F(M) са ∇2f(Y,X) =X(Y(f))− (∇XY)f, одакле следи ∇2f(X,Y)−∇2f(Y,X) = (τ(X,Y))f, те је симетричност повезаностиеквивалентна симетричности Хесијана. △

Често захтевамо да повезаност задовољи последња два услова, што нас доводи до новогконцепта повезаности у којем учествује метрика. Леви-Чивиа овезанос15 на псеудо-Римановој многострукости (M,g) је симетрична метричка повезаност. Другим речима, Леви-Чивита повезаност ∇ задовољава формуле (2.13), (2.14), (2.15), (2.18) и (2.19) за свако f,h ∈F(M) и све X,Y,Z ∈ X(M), а испоставља се да све њих можемо заменити једном једином једна-чином. Посматрајмо следећи израз,

X(g(Y,Z)) + Y(g(Z,X))− Z(g(X,Y)).

Како је ∇ метричка, након три примене формуле (2.18) доијамо

g(X,∇YZ−∇ZY)− g(Y,∇ZX−∇XZ) + g(Z,∇XY+∇YX).

Како је ∇ симетрична, трострука примена формуле (2.19) даје

g(X, [Y,Z])− g(Y, [Z,X])− g(Z, [X,Y]) + 2g(∇XY,Z).15Tullio Levi-Civita (1873–1941), италијански математичар

65

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаОдавде доијамо једначину

2g(∇XY,Z) = X(g(Y,Z)) + Y(g(Z,X))− Z(g(X,Y))− g(X, [Y,Z]) + g(Y, [Z,X]) + g(Z, [X,Y]), (2.20)

коју зовемо Козилова формула16, а која је веома корисна јер одређује Леви-Чивита повеза-ност.

Теорема 2.17. Пресликавање∇ : X(M)×X(M) → X(M) је Леви-Чивиа овезанос ако и самоако за свако X,Y,Z ∈ X(M) важи Козилова формула (2.20).

Доказ. Већ смо се уверили да Леви-Чивита повезаност ∇ задовољава Козилову формулу, јерје изведена из њених осоина. Оратно, остаје нам да докажемо формуле (2.13), (2.14), (2.15),(2.18) и (2.19) под претпоставком да (2.20) важи за свако X,Y,Z ∈ X(M).

Користићемо чињеницу да g(V,X) = g(W,X) за свако X ∈ X(M) повлачи V♭ = W♭, те и V = W.У предстојећим рачунима функције f ∈ F(M) аутоматски излазе испред тензорског поља g, докза комутатор можемо користити специјалне случајеве формуле (1.12). На пример, провераЛајницовости (2.15), за свако Z ∈ X(M) даје

2g(∇XfY,Z) =X(g(fY,Z)) + fY(g(Z,X))− Z(g(X, fY))− g(X, [fY,Z]) + g(fY, [Z,X]) + g(Z, [X, fY])

=X(fg(Y,Z)) + fY(g(Z,X))− Z(fg(X,Y))− g(X, f[Y,Z]− (Zf)Y) + fg(Y, [Z,X]) + g(Z, f[X,Y] + (Xf)Y)

=2fg(∇XY,Z) + (Xf)g(Y,Z)− (Zf)g(X,Y) + g(X, (Zf)Y) + g(Z, (Xf)Y)=2fg(∇XY,Z) + 2g((Xf)Y,Z) = 2g(f∇XY+ (Xf)Y,Z).

Симетрија (2.19) следи из једноставног рачуна,

2g(∇XY−∇YX,Z)= X(g(Y,Z)) + Y(g(Z,X))− Z(g(X,Y))− g(X, [Y,Z]) + g(Y, [Z,X]) + g(Z, [X,Y])− Y(g(X,Z))− X(g(Z,Y)) + Z(g(Y,X)) + g(Y, [X,Z])− g(X, [Z,Y])− g(Z, [Y,X])

=g(Z, [X,Y])− g(Z, [Y,X]) = 2g([X,Y],Z).

На сличан начин можемо доказати да (2.20) повлачи и преостале формуле (2.13), (2.14) и (2.18).

Ако поставимо пресликавање F(X,Y) : X(M) → F(M) са

F(X,Y) : Z 7→ X(g(Y,Z)) + Y(g(Z,X))− Z(g(X,Y))− g(X, [Y,Z]) + g(Y, [Z,X]) + g(Z, [X,Y]),

није тешко показати да је оно F(M)-линеарно, што даје F(X,Y) ∈ X∗(M). По Теореми 2.17, ∇ јеЛеви-Чивита повезаност ако и само ако 2g(∇XY,Z) = F(X,Y)Z важи за свако X,Y,Z ∈ X(M). Овајуслов еквивалентан је са 2(∇XY)♭ = F(X,Y) ∈ X∗(M), односно са ∇XY = 1

2F(X,Y)♯, одакле следиегзистенција и јединственост Леви-Чивита повезаности.

Теорема 2.18. Свака сеуо-Риманова мноосрукос озвољава јеинсвену Леви-Чивиаовезанос.

Јединствену Леви-Чивита повезаност на псеудо-Римановој n-многострукости (M,g) можемоизразити тако што израчунамо Кристофелове симоле у произвољној карти (U,φ) на M. При-меном Козилове формуле на координатна векторска поља доијамо

F(∂i, ∂j) =n∑l=1

F(∂i, ∂j)∂l dxl =n∑l=1

(∂

∂xigjl +

∂

∂xjgli −

∂

∂xlgij)dxl,

одакле је

∇∂i∂j =12F(∂i, ∂j)

♯ =12

n∑k=1

n∑l=1

glk(

∂

∂xigjl +

∂

∂xjgli −

∂

∂xlgij)∂k,

16Jean-Louis Koszul (1921–2018), француски математичар

66

2.10. Паралелно омерањешто нам доноси екцплицитну формулу

Γkij =12

n∑l=1

glk(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj

−∂gij∂xl

). (2.21)

2.10 Паралелно померањеПод кривом на многострукости M подразумевамо глатку параметризовану криву, односно

глатко пресликавање γ : I → M, где је I ⊆ R неки интервал. Нећемо ринути о томе да лије интервал I отворен или затворен, ограничен или неограничен. Када радимо са кривом де-финисаном на интервалу који садржи једну или ое крајње тачке, увек ћемо је продужити нанешто већи отворен интервал. У сваком случају кад год је згодно сматраћемо да је крива γдефинисана на отвореном интервалу.

Брзина криве γ : I → M на n-многострукости M је инваријантно дефинисана као гурањејединичног координатног векторског поља, те у неком тренутку t ∈ I имамо

γ′(t) =(Tγ ◦ d

dt

)(t) = γ∗

(ddt

)∈ Tγ(t)M.

У оквиру неке карте (U,φ) у γ(t) ∈ M са координатним функцијама xi = πi ◦ φ, за функцијуf ∈ F(M) је

γ′(t)f = d(f ◦ γ)dt (t) =

n∑i=1

∂(f ◦ φ−1)

∂πi(φ(γ(t)))d(πi ◦ φ ◦ γ)

dt (t) =n∑i=1

∂f∂xi

(γ(t))d(xi ◦ γ)dt (t).

Ако са γi = xi ◦ γ за 1 6 i 6 n оележимо компоненте криве, тада се рзина у координатамаизражава са

γ′(t) =n∑i=1

γ′i(t)(

∂

∂xi

)γ(t)

. (2.22)

Векорско оље уж криве γ : I → M је глатко пресликавање V : I → TM, такво да јеV(t) ∈ Tγ(t)M за свако t ∈ I, односно важи π ◦ V = γ. Скуп свих векторских поља дуж криве γозначићемо са X(γ) и он је један модул над F(I). Основни пример векторског поља дуж кривеγ је рзина те криве, γ′ ∈ X(γ) из (2.22).

Велика класа примера доија се из произвољног векторског поља X ∈ X(M), тако што за кри-ву γ : I → M поставимо Xγ ∈ X(γ) са Xγ(t) = Xγ(t) за t ∈ I. За V ∈ X(γ) кажемо да је роуживоако постоји векторско поље X на околини слике од γ тако да је V = Xγ.

Међутим, уколико важи γ(t1) = γ(t2) и γ′(t1) = γ′(t2) за неке t1, t2 ∈ I, тада γ′ ∈ X(γ) очиглед-но није продуживо. Штавише, рзина инјективне имерзије γ : (−π, π) → R2, γ(t) = (sin 2t, sin t)из Примера 1.38 није продужива.

Теорема 2.19. Нека је ∇ овезанос на мноосрукоси M, а γ : I → M лака крива. Тааосоји јеинсвен оераор ∇

dt : X(γ) → X(γ) који заовољава слееће осоине:

∇dt (V+W) =

∇Vdt +

∇Wdt , (2.23)

∇dt (fV) =

dfdtV+ f∇Vdt , (2.24)

∇Xγdt (t) = ∇γ′(t)X, (2.25)

за све V,W ∈ X(γ), X ∈ X(M), f ∈ F(I).

Доказ. Претпоставимо најпре да оператор ∇dt задовољава наметнуте осоине. За произвољно

t0 ∈ I посматраћемо карту (U,φ) у γ(t0) ∈ M са xi = πi ◦ φ. У околини I0 тачке t0 ∈ I где је

67

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаγ(I0) ⊆ U можемо локално изразити V ∈ X(γ) са V(t) =

∑nj=1 vj(t)(∂j)γ(t), где је vj(t) = (V(t))(xj).

Применом формула (2.23) и (2.24) доијамо

∇Vdt =

n∑j=1

∇dt(vj(∂j)γ)

)=

n∑j=1

(v′j(∂j)γ + vj

∇dt (∂j)γ

).

Из формуле (2.25) уз локално изражено γ′(t) преко компоненти γi = xi ◦ γ из (2.22) имамо

∇(∂j)γdt (t) = ∇γ′(t)∂j =

n∑i=1

γ′i(t)(∇∂i∂j)γ(t) =n∑i=1

γ′i(t)n∑

k=1Γkij(γ(t))(∂k)γ(t),

одакле коначно доијамо

∇Vdt (t) =

n∑k=1

v′k(t) + n∑i,j=1

vj(t)γ′i(t)Γkij(γ(t))

(∂k)γ(t). (2.26)

Тражени оператор у тачки t0 ∈ I мора ити изражен формулом (2.26) одакле следи јединстве-ност. Што се егзистенције тиче, у општем случају можемо покрити γ(I) неким координатнимоколинама и дефинисати оператор једначином (2.26) у свакој карти понаосо, где већ доказанајединственост повлачи да се вишеструке дефиниције слажу кад год се координатне околинепреклапају. Наравно, преостаје да се провери да овако дефинисан оператор заиста испуњаваосоине (2.23), (2.24) и (2.25).

Коваријанни изво од V ∈ X(γ) уж криве γ : I → M је V′ = ∇Vdt ∈ X(γ). За V ∈ X(γ)

кажемо да је аралелно уж γ у односу на ∇ ако је V′ ≡ 0. За векторско поље X ∈ X(M)кажемо да је аралелно ако је паралелно дуж сваке криве на M, што се дешава ако и самоако је потпун коваријантни извод ∇X идентички једнак нули.

Пример 2.24. Посматрајмо стандардну повезаност∇XY =∑n

i=1 X(Yi)∂i наRn из формуле (2.12).За ово ∇ важи Γkij ≡ 0, те формула (2.26) даје V′(t) =

∑nk=1 v′k(t)(∂k)γ(t). Одавде је V ∈ X(γ)

паралелно дуж криве γ ако и само ако је v′k ≡ 0 за свако 1 6 k 6 n, што значи да су свефункције vk константне, односно да је V константно векторско поље дуж криве. △

Основна ствар о паралелним векторским пољима је да се ило који тангентни вектор у про-извољној тачки са криве може јединствено продужити на паралелно векторско поље дуж це-локупне криве.

Теорема 2.20. За ау криву γ : I → M, t0 ∈ I и векор V0 ∈ Tγ(t0)M, осоји јеинсвеноаралелно векорско оље V уж γ акво а је V(t0) = V0.

Доказ. Претпоставимо најпре да је γ(I) садржано у једној карти. У координатама те картекористимо формулу (2.26), одакле је V паралелно дуж γ ако и само ако за свако 1 6 k 6 n важи

v′k(t) = −∑i,j

vj(t)γ′i(t)Γkij(γ(t)).

Са друге стране, почетни услов V(t0) = V0 се трансформише у vk(t0) = V0(xk) за 1 6 k 6 n.Доијен је линеарни систем оичних диференцијалних једначина са почетним условом, ода-кле следи егзистенција и јединственост решења на целом I. Ако γ(I) није садржано у једнојкарти посматрајмо a као супремум свих b > t0 за које постоји јединствено тражено паралелновекторско поље на [t0,b]. За b довољно лизу t0, слика γ[t0,b] ће упасти у једну карту, тако даје a > t0. Ако је a ∈ I можемо изарати координатну околину која ће садржати γ(a − ε, a + ε)за неко ε > 0. Тада на (a− ε, a+ ε) постоји паралелно векторско поље W са почетним условомW(a− ε/2) = V(a− ε/2). Из јединствености на заједничком домену следи да јеW продужење одV које прелази a, што је контрадикција. Слично можемо урадити за вредности мање од t0.

68

2.10. Паралелно омерањеВекторско поље V дуж криве γ из претходне теореме зовемо аралелно омерање од V0

дуж γ. За t0, t1 ∈ I дефинишемо оераор аралелно омерања Pt0t1 : Tγ(t0)M → Tγ(t1)M саPt0t1V0 = V(t1), где је V паралелно померање од V0 дуж γ. Из линеарности диференцијалнихједначина паралелног померања јасно је да је Pt0t1 линеарни изоморфизам између Tγ(t0)M иTγ(t1)M. Коваријантни извод дуж криве може се реконструисати из паралелног померања.

Лема 2.21. За векорско оље V уж криве важи

∇Vdt (t0) = lim

t→t0

P−1t0t V(t)− V(t0)

t− t0.

Доказ. Пођимо од азних вектора у Tγ(t0)M и продужимо их Теоремом 2.20 на одговарајућапаралелна векторска поља E1, . . . ,En ∈ X(γ), где је E′

j ≡ 0 и Ej(t) = Pt0tEj(t0). Из V =∑

j vjEjимамо

V′(t0) =n∑j=1

(vjEj)′(t0) =n∑j=1

v′j(t0)Ej(t0) = limt→t0

n∑j=1

vj(t)− vj(t0)t− t0

Ej(t0) = limt→t0

P−1t0t V(t)− V(t0)

t− t0.

За повезаност ∇ на псеудо-Римановој многострукости (M,g) кажемо да је комаиил-на са метриком g ако оператор паралелног померања чува метрику. Дакле, компатиилностповезаности и метрике за сваку криву γ и паралелна векторска поља V,W ∈ X(γ) доноси

gγ(t)(V(t),W(t)) = gγ(t0)(V(t0),W(t0)).

Лема 2.22. Повезанос∇ сеуо-Риманове мноосрукоси (M,g) је комаиилна са g акои само ако за свака ва векорска оља V и W уж криве γ : I → M важи

ddtg(V,W) = g

(∇Vdt ,W

)+ g

(V, ∇Wdt

). (2.27)

Доказ. Претпоставимо компатиилност за ∇ и g. Изаеримо ортонормирану азу у Tγ(t0)M,а затим продужимо азне векторе Теоремом 2.20 на одговарајућа паралелна векторска пољаE1, . . . ,En дуж γ. Како се метрика чува, то свако t ∈ I даје ортонормирану азу E1(t), . . . ,En(t)у Tγ(t)M. Ако изразимо V =

∑i viEi и W =

∑jwjEj, то је g(V,W) =

∑i,j viwjδijεi =

∑i εiviwi. Са

друге стране из паралелности азних вектора E′i ≡ 0 имамо V′ =

∑i v′iEi и W′ =

∑iw′

iEi, одаклеје g(V′,W) + g(V,W′) =

∑i εi(v′iwi + viw′

i), те (2.27) очигледно важи. Оратно, из формуле (2.27)за V′ ≡ 0 и W′ ≡ 0 важи d

dtg(V,W) = 0, одакле следи компатиилност g(V,W) = Const.

Теорема 2.23. Повезанос ∇ сеуо-Риманове мноосрукоси (M,g) је комаиилна са gако и само ако је меричка.

Доказ. Нека je∇ компатиилна са g. За произвољну криву γ са γ(0) = p, γ′(0) = Xp и векторскапоља V = Yγ,W = Zγ, примењујемо Лему 2.22, одакле доијамо d

dtg(Yγ,Zγ) = g(Y′γ,Zγ)+g(Yγ,Z′

γ).Како је

ddtg(Yγ,Zγ) =

ddt (g(Y,Z) ◦ γ) = γ∗

ddt (g(Y,Z)) = γ′(t)(g(Y,Z)), (2.28)

то за t = 0 имамоXp(g(Y,Z)) = gp(∇XpY,Zp) + gp(Yp,∇XpZ),

што доказује формулу (2.18), у свакој тачки p понаосо, те је ∇ метричка.Оратно, довољно је проверити тврђење за криве γ које у потпуности леже у некој коорди-

натној околини. Поставимо азна векторска поља дуж криве саEi = (∂i)γ и изразимо V =∑

i viEiи W =

∑jwjEj. На левој страни је

ddtg(V,W) =

n∑i,j=1

(v′iwjg(Ei,Ej) + viw′

jg(Ei,Ej) + viwjddtg(Ei,Ej)

),

69

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријадок на десној имамо

g(V′,W) + g(V,W′) =

n∑i,j=1

(v′iwjg(Ei,Ej) + viwjg(E′

i,Ej) + viw′jg(Ei,Ej) + viwjg(Ei,E′

j)),

одакле се види да је довољно доказати тврђење за азна векторска поља V = Ei, W = Ej. Какоформула (2.28) важи, то преостаје да се докаже

γ′(t)(g(∂i, ∂j)) = gγ(t)(∇γ′(t)∂i, (∂j)γ(t)) + gγ(t)((∂i)γ(t),∇γ′(t)∂j).

Међутим, како је ∇ метричка та компатиилност лако следи из једначине (2.18) за векторскопоље X ∈ X(M) такво да је Xp = γ′(0) уз Y = ∂i, Z = ∂j.

Пример 2.25. Нека су I и J отворени интервали, а f = f(s, t) : I× J → M глатко. Тада су ∂f∂t и

∂f∂s

векторска поља дуж f. Уведимо локалне координате и поставимо xi(s, t) = πi ◦ φ ◦ f(s, t). Имамо∂f∂t =

∑j∂xj∂t ∂j, одакле из (2.26) доијамо

∇ds

∂f∂t =

∑k

∂2xk∂s∂t +

∑i,j

∂xj∂t

∂xi∂s (Γ

kij ◦ f)

∂k ◦ f.

Одавде се види да у случају симетричне повезаности (на пример Леви-Чивита) важи

∇ds

∂f∂t =

∇dt

∂f∂s .

△

2.11 Геодезијске кривеНека је ∇ повезаност на многострукости M и нека је γ крива на M. Појам коваријантног

извода дуж криве омогућава нам да дефинишемо урзање криве γ са (γ′)′ ∈ X(γ). Кажемода је крива γ еоезијска у односу на ∇ уколико нема урзања, (γ′)′ ≡ 0. Дакле, геодезијскеможемо окарактерисати као криве чија је рзина паралелна дуж криве.

Коваријантни извод дуж криве за V ∈ X(γ) рачунамо у локалним координатама неке коор-динатне околине U по формули (2.26). Након замене V = γ′ имамо vj = γ′j за 1 6 j 6 n, тедоијамо

∇γ′dt (t) =

n∑k=1

γ′′k (t) + n∑i,j=1

γ′j(t)γ′i(t)Γkij(γ(t))

(∂k)γ(t).

Геодезијски услов (γ′)′ ≡ 0 установљава систем оичних диференцијалних једначина другогреда,

γ′′k (t) +n∑

i,j=1γ′j(t)γ′i(t)Γ

kij(γ(t)) = 0 (2.29)

за свако 1 6 k 6 n, што су локалне еоезијске јеначине. За свако t0 ∈ I, постоји ε > 0такво да је γ(t0 − ε, t0 + ε) садржано у некој координатној околини, те је γ геодезијска ако исамо ако одговарајућа рестрикција задовољава локалне геодезијске једначине у свакој картичији домен сече слику од γ.

Теорема 2.24. Нека је∇ овезанос на мноосрукосиM. За свако p ∈ MиV ∈ TpMосојиоворен инервал 0 ∈ I ⊆ R и еоезијска γ : I → M за коју је γ(0) = p, γ′(0) = V. Сваке веакве еоезијске се слажу на њиховом зајеничком омену.

70

2.11. Геоезијске кривеДоказ. Уоичајен трик је увођење помоћних функција ξk = γ′k које преводе локалне геодезијскеједначине (2.29) у еквивалентан систем првог реда,

γ′k(t) = ξk(t),

ξ′k(t) = −n∑

i,j=1ξi(t)ξj(t)Γ

kij(γ(t)),

са дупло већим ројем променљивих и једначина. По Пикар17–Линделоф18 теореми (за системоичних диференцијалних једначина првог реда са почетним условом) за неко ε > 0 постојијединствено решење ζ : (−ε, ε) → M × Rn, ζ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t), ξ1(t), . . . , ξn(t)) са почетнимусловом ζ(0) = (p,V), где је тражена геодезијска дата са γ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)).

Што се јединствености тиче, нека су γ1, γ2 : I → M две геодезијске за које је γ′1(0) = γ′2(0). Заa = inf{t ∈ I : t > 0, γ1(t) = γ2(t)} > 0 је γ′1(t) = γ′2(t) на (0, a), одакле из непрекидности имамоγ′1(a) = γ′2(a). Сада су t 7→ γ1(a+t) и t 7→ γ2(a+t) геодезијске са почетном рзином γ′1(a) = γ′2(a),те се γ1 и γ2 слажу на неком отвореном интервалу који садржи a, што је контрадикција. Сличнеаргументе користимо за вредности t < 0, што комплетира доказ.

Геодезијска γ : I → M је максимална ако не постоји друга геодезијска са отвореним до-меном који строго садржи I, таква да се са γ слаже на I. Из Теореме 2.24 директно следида за свако V ∈ TM постоји јединствена максимална геодезијска γV са γ′V(0) = V. Уколико једомен сваке максималне геодезијске која пролази кроз тачку p ∈ M целукопно R, кажемо даје M еоезијски комлено у ачки p. За псеудо-Риманову многострукост кажемо да јееоезијски комлена ако и само ако је геодезијски комплетна у свакој тачки.

Пример 2.26. Посматрајмо псеудо-еуклидски простор Rnν индекса ν. Кристофелове симоле

Леви-Чивита повезаности рачунамо по формули (2.21), али како су коефицијенти метрике кон-стантни, то је Γkij ≡ 0. За геодезијске γ имамо

∑k γ′′k (t)(∂k)γ(t) = 0, одакле је γ′′k ≡ 0 за свако

1 6 k 6 n. Дакле, геодезијске су олика t 7→ p+ tV за неке p,V ∈ Rnν. △

Пример 2.27. Посматрајмо хипероличку полураван HU2 = {(x1, x2) ∈ R2 : x2 > 0} са Римано-вом метриком g = (dx21 + dx22)/x22 из Примера 2.17. Компоненте Риманове метрике виде се изнаведених матрица,

g =

(1/x22 00 1/x22

), g−1 =

(x22 00 x22

).

Прво рачунамо Кристофелове симоле Леви-Чивита повезаности по формули (2.21), одаклезог gab = x22δab имамо

Γkij =12

2∑l=1

glk(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj

−∂gij∂xl

)=12x

22

(∂gjk∂xi

+∂gki∂xj

−∂gij∂xk

).

Како је ∂gab∂xc

= δabδc2∂(1/x22)∂x2

= − 2x32δabδc2, то доијамо

Γkij = − 1x2

(δjkδi2 + δkiδj2 − δijδk2),

одакле следиΓ111 = Γ212 = Γ122 = 0, Γ211 = −Γ112 = −Γ222 =

1x2

. (2.30)

Геодезијске γ(t) = (γ1(t), γ2(t)) тражимо преко локалних геодезијских једначина (2.29),

γ′′1(t) +∑i,j

γ′j(t)γ′i(t)Γ1ij(γ(t)) = 0, γ′′2(t) +

∑i,j

γ′j(t)γ′i(t)Γ2ij(γ(t)) = 0,

17Charles Émile Picard (1856–1941), француски математичар18Ernst Leonard Lindelöf (1870–1946), фински математичар

71

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријакоје заменом (2.30) постају

γ′′1 − 2γ′1γ′21γ2

= 0, γ′′2 + ((γ′1)2 − (γ′2)2)1γ2

= 0. (2.31)

Једначине (2.31) решавамо тумачећи два случаја, где у једноставнијем важи γ′1 = 0, односноγ1 = C = Const. То задовољава прву једначину, док друга постаје γ′′2 − (γ′2)2/γ2 = 0, те накондељења са γ2 > 0 доијамо

γ′′2γ2 − γ′2γ′2(γ2)2

=

(γ′2γ2

)′

= 0.

Одавде је γ′2/γ2 = (ln γ2)′ = D, те ln γ2 = Dt+ E и коначно γ2 = eDt+E. Дакле, први тип геодезиј-ских су криве олика

γ(t) = (C, eDt+E),

што представља отворене полуправе нормалне на x1-осу.У другом случају имамо γ′1 = 0, где из прве једначине формуле (2.31) следи

γ′′1γ′1

− 2γ′2γ2

= (ln|γ′1| − 2 ln γ2)′ =(ln(|γ′1|γ22

))′

= 0,

одакле је γ′1 = Cγ22. Када то заменимо у другу једначину, после дељења са γ2 > 0 имамо

γ′′2γ2 − γ′2γ′2(γ2)2

+ C2γ22 =

(γ′2γ2

)′

+ C2γ22 = 0.

Увођењем смене f = γ′2/γ2 = (ln γ2)′, једначина постаје f′ + C2γ22 = 0, одакле следи f′ < 0.Диференцирањем доијамо f′′ + 2C2γ2γ′2 = f′′ − 2f′f = (f′ − f2)′ = 0, што даје f′ = f2 − A2 за некуконстанту A > 0. Раздвајањем променљивих и интеграцијом имамо,

B+

∫dt =

∫ dff2 − A2 = −1

A

∫ d(f/A)1− (f/A)2 = −1

A arth(fA

),

одакле је f = −A th(A(t + B)) = (ln γ2)′. Даље је γ2 = r/(ch(A(t + B))), где из f′ + C2γ22 = 0доијамо A2 = C2r2. Повратком на γ′1 = Cγ22 доијамо γ1 = Cr2

A th(A(t+ B)) + l. Дакле, други типгеодезијских су криве олика

γ(t) =(±r th(A(t+ B)) + l, r

ch(A(t+ B))

),

за коју важи (γ1 − l)2 + γ22 = r2, што су полукругови са центром (l,0) полупречника r. △

2.12 Експоненцијално пресликавањеНека је ∇ повезаност на n-многострукости M. Из Теореме 2.24 смо већ видели да почетни

вектор рзине V ∈ TM одређује јединствену максималну геодезијску γV са γ′V(0) = V и γV(0) =πV. Геодезијске са пропорционалним почетним рзинама су повезане на једноставан начин, очему говори наредна лема о рескалирању.

Лема 2.25. За свако V ∈ TM и c, t ∈ R важи γcV(t) = γV(ct), ка о је нека о срана ејеначине ефинисана.

Доказ. Претпоставимо c = 0 јер за c = 0 ое стране једначине су једнаке πV. Довољно једоказати лему у случају да је дефинисана десна страна једнакости, јер орат доијамо кадапараметре V, t, c заменимо редом са cV, ct,1/c. За γ = γV : I → M дефинишемо нову кривуψ : (1/c)I → M са ψ(t) = γ(ct). Одмах доијамо ψ(0) = γ(0) = πV. У локалним координатамаxi = πi ◦φ неке карте (U,φ) можемо поставити компоненте са γi = xi ◦γ и ψi = xi ◦ψ. Тада имамо

72

2.12. Ексоненцијално ресликавањеψ′i(t) = d

dtγi(ct) = cγ′i(ct), те посено и ψ′(0) = cγ′(0) = cV. Коваријантни извод од ψ′ ∈ X(ψ) дужкриве ψ можемо изразити са

(ψ′)′(t) =∑k

ψ′′k (t) +

∑i,j

ψ′j(t)ψ′

i(t)Γkij(ψ(t))

(∂k)ψ(t)

=∑k

c2γ′′k (ct) + c2∑i,j

γ′j(ct)γ′i(ct)Γkij(γ(ct))

(∂k)γ(ct) = c2(γ′)′(ct) = 0.

Дакле, ψ је геодезијска са почетним условом ψ′(0) = cV, те зог јединствености ψ = γcV.

Нека је E скуп свих вектора V ∈ TM таквих да је максимална геодезијска γV дефинисанана интервалу који садржи [0,1]. Ексоненцијално ресликавање је пресликавање exp : E →M дефинисано са expV = γV(1). За сваку тачку p ∈ M, ресриковано ексоненцијалноресликавање у p је рестрикција expp : Ep = E ∩ TpM → M од exp.

Експоненцијално пресликавање је пресликавање из тангентног раслојења у многострукосткоје нам омогућава да видимо како се геодезијске мењају кад варирамо почетни вектор рзине.Лема 2.25 нам омогућава да од постојеће максималне геодезијске доијемо нову геодезијскуса већим доменом тако што смањимо почетни вектор. Ако је tV ∈ E , тада је γtV(1) дефинисанои зато γV има олик

γV(t) = γtV(1) = exp(tV).Користећи глатку зависност на почетним условима диференцијалних једначина можемо

закључити да је expp доро дефинисано и глатко у некој околини координатног почетка 0p ∈TpM. Нека је τ : I → TpM крива дефинисана са τ(t) = tV. Тада за V0p = τ′(0) ∈ T0p(TpM) имамо

(T0p expp)(V0p) = (T0p expp)(τ′(0)) = (expp ◦τ)′(0) =ddt

∣∣∣t=0

expp(tV) =ddt

∣∣∣t=0

γV(t) = γ′V(0) = V,

одакле је T0p expp канонско пресликавање V0p 7→ V, односно идентичко пресликавање ако иден-тификујемо T0p(TpM) са TpM. Зато је тангентно пресликавање T0p expp : T0p(TpM) → TpM изо-морфизам, те из Теореме 1.27 доијамо наредни резултат.

Теорема 2.26. Нека је ∇ овезанос на мноосрукоси M и p ∈ M. Таа осоји околина0p ∈ U ⊆ TpM и околина p ∈ U ⊆ M, ако а је expp�U : U → U ифеоморфизам.

Приметимо да је Ep звездастог олика у односу на 0p ∈ TpM јер за V ∈ Ep и свако t ∈ [0,1]важи tV ∈ Ep. Уколико је U ⊆ Ep звездастог олика у односу на 0p ∈ TpM, кажемо да је одго-варајућа слика U = expp(U) нормална околина од p, а за U такође кажемо да је звездастоголика.

Нека је (M,g) псеудо-Риманова n-многострукост и p ∈ M произвољна тачка. Изор ортонор-миране азе (E1, . . .En) квадратног простора (TpM,gp) еквивалентан је изометрији L : TpM → Rn

νкоја је дата са L(

∑ni=1 αiEi) = (α1, . . . ,αn). Ако јеU нормална околина од p ∈ M, тада је φ : U → Rn

дато са φ = L ◦ exp−1p карта у p ∈ M. За координате xi = πi ◦ φ кажемо да су нормалне ко-

оринае центриране у p ∈ M. Нормалне координате су веома корисне јер доносе веомаједноставну репрезентацију геодезијских.

Теорема 2.27. Нека је (M,g) сеуо-Риманова n-мноосрукос, ∇ њена Леви-Чивиа ове-занос, а (U,φ) кара са нормалним кооринаама ценрираним у p ∈ M. Таа за свако1 6 i, j, k 6 n важи

Γkij(p) = 0, gij(p) = εiδij, ∂kgij(p) = 0.

Доказ. За V =∑n

i=1 viEi ∈ TpM постоји геодезијска γV(t) = expp(tV), те у нормалним координа-тама важи φ ◦ γV(t) = L(tV) = (tv1, . . . tvn), односно γi(t) = xi ◦ γV(t) = tvi за 1 6 i 6 n. Локалнегеодезијске једначине (2.29) за γi(t) = tvi постају

∑i,j vivjΓ

kij(γV(t)) = 0 за 1 6 k 6 n. Све

геодезијске које пролазе кроз тачку p = γV(0) су наведеног типа, те имамо∑

i,j vivjΓkij(p) = 0

за сваки изор (v1, . . . , vn) ∈ Rn. Погодан изор има велики рој нула, те за V = Ei доијамо

73

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаΓkii(p) = 0. За V = Ei + Ej имамо Γkii(p) + Γkij(p) + Γkji(p) + Γkjj(p) = 0, одакле је Γkij(p) + Γkji(p) = 0.За симетричну повезаност тада имамо Γkij(p) = 0, те се сви Кристофелови симоли анулирајуу тачки p. Како је V(xi) = (γ′V(0))(xi) = (xi ◦ γV)′(0) = γ′i(0) = vi, то имамо V =

∑ni=1 vi(∂i)p.

Посено, за V = Ei = (∂i)p важи gp(∂i, ∂j) = εiδij. Ако је повезаност метричка важи ∂kgij =

g(∇∂k∂i, ∂j) + g(∂i,∇∂k∂j) =∑

l(Γlkiglj + Γlkjgil), те ако је и симетрична доијамо ∂kgij(p) = 0.

2.13 Тензор кривинеВажно питање псеудо-Риманове геометрије је да ли постоје локалне инваријанте које се

чувају изометријама. Неке корисне структуре у диференцијалној геометрији немају локалнеинваријанте. На пример, свако свуда ненула векторско поље може се локално записати каопарцијални извод, те су сва она локално еквивалентна. Такође, Риманове 1-многострукостису све међусоно локално изометричне са R. Међутим, сфера S2 и раван R2 нису локалноизометрични, што ћемо видети у наредном примеру.

Пример 2.28. Ако на сфери S2 ⊂ R3 ез (затвореног) скупа {(x, y, z) : x 6 0, y = 0} уведемосферне координате са

x = sinφ cos θ, y = sinφ sin θ, z = cosφ,

за инклинацију 0 < φ < π и азимут −π < θ < π, њена метрика наслеђена из R3 гласиће

g = dx2 + dy2 + dz2 = dφ2 + sin2 φ dθ2.

Рачун за Кристофелове симоле Леви-Чивита повезаности доноси

Γ111 = Γ211 = Γ112 = Γ222 = 0, Γ212 = ctgφ, Γ122 = − sinφ cosφ,

одакле се види да су меридијани θ = Const геодезијске на сфери, јер је очигледно да кривеγ(t) = (t, θ) задовољавају геодезијске једначине. Како за коваријантне изводе координатногвекторског поља ∂φ важи

∇∂φ∂φ = 0, ∇∂θ∂φ = ctgφ ∂θ,

то је оно паралелно дуж сваког меридијана, али и дуж екватора. Посматрајмо тачку p = (φ, θ) =(π/2,0) и вектор (∂φ)p. Ако и постојало паралелно продужење тог вектора на неку околинутачке p то и морало ити ∂φ (паралелно померање дуж екватора, а затим дуж одговарајућегмеридијана), али ∇∂φ = 0. У еуклидском простору, сваки тангентни вектор има паралелнопродужење на цео простор, што не важи за сферу, те сфера и раван нису локално изометрични.

△

За псеудо-Риманову 2-многострукост (M,g) постоји очигледан покушај да задати векторZp ∈ TpM продужимо на паралелно векторско поље Z ∈ X(M). У локалним координатама(x1, x2) неке карте центриране у p можемо поставити паралелно векторско поље дуж x1-осе,а онда доијене векторе паралелно померити дуж координатних линија које чувају x1 коорди-нату. Тако конструисано векторско поље Z је паралелно дуж сваке x2-координатне линије, каои дуж x1-осе.

Поставља се питање да ли је ∇∂1Z ≡ 0, односно да ли је Z паралелно дуж x1-координатнихлинија које нису сама x1-оса. Услов ∇∂2∇∂1Z = 0 одређује јединствено паралелно помера-ње ∇∂1Z дуж x2-координатних линија за неки почетни вектор, али како се ∇∂1Z поништавау тачкама x2 = 0, то следи ∇∂1Z ≡ 0. Са друге стране је ∇∂2Z = 0, те и ∇∂1∇∂2Z = 0, шторешава пролем уколико ∇∂1 и ∇∂2 комутирају. Ако размотримо ово питање у R2, директанрачун даје ∇∂2∇∂1Z = ∇∂2(

∑i ∂1Zi∂i) =

∑i ∂2∂1Zi∂i, те како парцијални изводи комутирају,

∇∂2∇∂1Z = ∇∂1∇∂2Z. Међутим, то не важи у општем случају, јер управо та некомутативностковаријантних извода омогућава локално разликовање сфере од равни које смо видели у При-меру 2.28.

Да исмо изразили некомутативност на координатно инваријантан начин размотримо израз∇X∇YZ − ∇Y∇XZ. За стандардну повезаност у Rn имамо ∇X∇YZ = ∇X(

∑i YZi∂i) =

∑i XYZi∂i,

74

2.13. Тензор кривинете је ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ =

∑i(XY − YX)Zi∂i = ∇[X,Y]Z. То нас мотивише да на псеудо-Римановој

многострукости (M,g) дефинишемо оераор кривине R : X(M)3 → X(M) са

R(X,Y)(Z) = ∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z,

за X,Y,Z ∈ X(M), где је ∇ одговарајућа Леви-Чивита повезаност.Можемо рећи да је оператор кривине R(X,Y) : X(M) → X(M) задат као разлика комутатора

нали и нале комутатора,R(X,Y) = [∇X,∇Y]−∇[X,Y]. Неки аутори дефинишу оператор кривинеса супротним знаком, суштински та разлика није итна, али треа ити пажљив.Теорема 2.28. Оераор кривине R : X(M)3 → X(M) је F(M)-мулилинеаран и за свакоX,Y,Z ∈ X(M) важи

R(Y,X) = −R(X,Y); (2.32)R(X,X) = 0; (2.33)

R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y = 0. (2.34)

Доказ. Како су и повезаност и комутаторR-илинеарни, то је такав и оператор кривине, одаклеследи адитивност по сва три аргумента. За F(M)-линеарност по првом аргументу имамо,

R(fX,Y) = [∇fX,∇Y]−∇[fX,Y] = [f∇X,∇Y]−∇f[X,Y]−(Yf)X

= f[∇X,∇Y]− (Yf)∇X − f∇[X,Y] + (Yf)∇X = fR(X,Y).

Зог (2.32) нећемо проверавати F(M)-линеарност по другом аргументу, док за трећи аргументкористимо осоине (2.15) и (2.14),

R(X,Y)(fZ) =∇X∇Y(fZ)−∇Y∇X(fZ)−∇[X,Y](fZ)=∇X(f∇YZ+ (Yf)Z)−∇Y(f∇XZ+ (Xf)Z)− (f∇[X,Y]Z+ ([X,Y]f)Z)=f∇X∇YZ+ (Xf)∇YZ+ (Yf)∇XZ+ (XYf)Z− f∇Y∇XZ− (Yf)∇XZ− (Xf)∇YZ− (YXf)Z− f∇[X,Y]Z− ([X,Y]f)Z

=f∇X∇YZ− f∇Y∇XZ− f∇[X,Y]Z = fR(X,Y)Z.

Антисиметрија (2.32) је очигледна

R(Y,X) = [∇Y,∇X]−∇[Y,X] = −[∇X,∇Y]−∇−[X,Y] = −R(X,Y),

док је (2.33) њен специјални случај за Y = X. Формула (2.34) је позната као Бјанкијев иен-ие19 и може се показати вишеструком применом симетричности метрике (2.19),

R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y= ∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z+∇Y∇ZX−∇Z∇YX−∇[Y,Z]X+∇Z∇XY−∇X∇ZY−∇[Z,X]Y= ∇X[Y,Z] +∇Y[Z,X] +∇Z[X,Y]−∇[X,Y]Z−∇[Y,Z]X−∇[Z,X]Y= [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y]] = 0,

где је последња једначина Јакоијев идентитет из (1.13).

Како је оператор кривине R : X(M)3 → X(M) F(M)-мултилинеаран, то је R ∈ T13(M). За њего-

ве компоненте у локалним координатама важи R(∂i, ∂j)∂k =∑

lRlijk∂l (Пример 1.58), а можемо

их изразити преко Кристофелових симола. Из

R(∂i, ∂j)∂k = ∇∂i∇∂j∂k −∇∂j∇∂i∂k −∇[∂i,∂j]∂k

= ∇∂i

∑m

Γmjk∂m −∇∂j

∑m

Γmik∂m

=∑m

(∂iΓmjk)∂m +∑m

Γmjk∇∂i∂m −∑m

(∂jΓmik)∂m −∑m

Γmik∇∂j∂m

=∑m

(∂iΓmjk − ∂jΓmik)∂m +∑m,l

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓ

ljm)∂l,

19Luigi Bianchi (1856–1928), италијански математичар

75

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријадоијамо

R(∂i, ∂j)∂k =∑l

((∂iΓljk − ∂jΓlik

)+∑m

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓ

ljm)

)∂l,

одакле важиRl

ijk = ∂iΓljk − ∂jΓlik +∑m

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓ

ljm). (2.35)

Спуштањем индекса доијамо ензор кривине R = R♭, што је коваријантно тензорскопоље R =

∑i,j,k,l Rijkl dxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ dxl са компонентама Rijkl =

∑m glmRm

ijk, односно важи

R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z,W)

за свако X,Y,Z,W ∈ X(M).Теорема 2.29. Тензор кривине R је коваријанно ензорско оље реа 4 са осоинама:

R(X,Y,Z,W) = −R(Y,X,Z,W), (2.36)R(X,Y,Z,W) = −R(X,Y,W,Z), (2.37)R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W) = 0, (2.38)

за свако X,Y,Z,W ∈ X(M).Доказ. Идентитет (2.36) директно следи из (2.32),

R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z,W) = g(−R(Y,X)Z,W) = −R(Y,X,Z,W),

док је (2.38) директна последица од (2.34),

R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W) = g(R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y,W) = 0.

Преостаје да се докаже (2.37). Како је Леви-Чивита повезаност метричка, из (2.18) следи

g(∇X∇YZ,Z) + g(∇YZ,∇XZ) = Xg(∇YZ,Z),g(∇Y∇XZ,Z) + g(∇XZ,∇YZ) = Yg(∇XZ,Z),

2g(∇WZ,Z) = g(∇WZ,Z) + g(Z,∇WZ) = Wg(Z,Z),

где нас у последњој једначини занимају случајеви W ∈ {Y,X, [X,Y]}. Одавде је

R(X,Y,Z,Z) = g(∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z,Z)= Xg(∇YZ,Z)− Yg(∇XZ,Z)− g(∇[X,Y]Z,Z)

=12XYg(Z,Z)−

12YXg(Z,Z)−

12 [X,Y]g(Z,Z) = 0,

те поларизацијом доијамо

0 = R(X,Y,Z+W,Z+W)

= R(X,Y,Z,Z) + R(X,Y,Z,W) + R(X,Y,W,Z) + R(X,Y,W,W)

= R(X,Y,Z,W) + R(X,Y,W,Z),

што комплетира доказ.

Осоине (2.36) и (2.37) су Z2 симетрије, док је (2.38) позната као рви Бјанкијев иени-е. Сличне осоине могу се извести за потпун коваријантни извод тензора кривине.Теорема 2.30. Ако је R ензор кривине, аа за оун коваријанни изво ∇R важи

∇R(X,Y,Z,W,V) = −∇R(Y,X,Z,W,V), (2.39)∇R(X,Y,Z,W,V) = −∇R(X,Y,W,Z,V), (2.40)∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,Z,X,W,V) +∇R(Z,X,Y,W,V) = 0, (2.41)∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,V,Z,W,X) +∇R(V,X,Z,W,Y) = 0, (2.42)

за свако X,Y,Z,W,V ∈ X(M).

76

2.13. Тензор кривинеДоказ. Осоине (2.39) и (2.40) су директна последица од (2.36) и (2.37). На пример,

∇R(X,Y,Z,W,V)= V(R(X,Y,Z,W))− R(∇VX,Y,Z,W)− R(X,∇VY,Z,W)− R(X,Y,∇VZ,W)− R(X,Y,Z,∇VW)

= −V(R(Y,X,Z,W)) + R(Y,∇VX,Z,W) + R(∇VY,X,Z,W) + R(Y,X,∇VZ,W) + R(Y,X,Z,∇VW)

= −∇R(Y,X,Z,W,V).Идентитет (2.41) следи из вишеструке примене (2.34) и (2.38),

∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,Z,X,W,V) +∇R(Z,X,Y,W,V)= V(R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W))

− g(R(∇VX,Y)Z+R(Z,∇VX)Y+R(Y,Z)∇VX,W)

− g(R(∇VY,Z)X+R(X,∇VY)Z+R(Z,X)∇VY,W)

− g(R(∇VZ,X)Y+R(Y,∇VZ)X+R(X,Y)∇VZ,W)

− g(R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y,∇VW) = 0.Преостаје (2.42) где посматрамо ∇R(X,Y,Z,W,V) и користимо (2.18),

∇R(X,Y,Z,W,V) =V(g(R(X,Y)Z,W))− R(X,Y,Z,∇VW)

− R(X,Y,∇VZ,W)− R(∇VX,Y,Z,W)− R(X,∇VY,Z,W)

= g(∇V∇X∇YZ−∇V∇Y∇XZ−∇V∇[X,Y]Z,W)

− g(∇X∇Y∇VZ−∇Y∇X∇VZ−∇[X,Y]∇VZ,W)

− g(∇∇VX∇YZ−∇Y∇∇VXZ−∇[∇VX,Y]Z,W)

− g(∇X∇∇VYZ−∇∇VY∇XZ−∇[X,∇VY]Z,W).

Претходна једначина може се записати са∇R(X,Y,Z,W,V) = g((T1(X,Y,V) + T2(X,Y,V) + T3(X,Y,V))Z,W),

где су T1, T2 и T3 дефинисани саT1(X,Y,V) = ∇V∇X∇Y −∇V∇Y∇X −∇X∇Y∇V +∇Y∇X∇V = [∇V, [∇X,∇Y]];

T2(X,Y,V) = ∇Y∇∇VX −∇∇VX∇Y +∇∇VY∇X −∇X∇∇VY +∇[X,Y]∇V −∇V∇[X,Y]

= [∇Y,∇∇VX] + [∇∇VY,∇X] + [∇[X,Y],∇V];

T3(X,Y,V) = ∇[X,∇VY] +∇[∇VX,Y].

Јакоијев идентитет дајеT1(X,Y,V) + T1(Y,V,X) + T1(V,X,Y) = [∇V, [∇X,∇Y]] + [∇X, [∇Y,∇V]] + [∇Y, [∇V,∇X]] = 0.

Из једначине (2.19) имамоT2(X,Y,V) + T2(Y,V,X) + T2(V,X,Y)

= [∇∇VY−∇YV−[V,Y],∇X] + [∇∇XV−∇VX−[X,V],∇Y] + [∇∇YX−∇XY−[Y,X],∇V] = 0.Једначина (2.19) и Јакоијев идентитет повлаче

T3(X,Y,V) + T3(Y,V,X) + T3(V,X,Y)= ∇[X,∇VY] +∇[∇VX,Y] +∇[Y,∇XV] +∇[∇XY,V] +∇[V,∇YX] +∇[∇YV,X]

= ∇[X,∇VY−∇YV] +∇[Y,∇XV−∇VX] +∇[V,∇YX−∇XY]

= ∇[X,[V,Y]]+[Y,[X,V]]+[V,[Y,X]] = 0.Коначно, претходни резултати дају

∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,V,Z,W,X) +∇R(V,X,Z,W,Y)

= g

3∑j=1

(Tj(X,Y,V) + Tj(Y,V,X) + Tj(V,X,Y))Z , W

= 0,

што доказује тврђење.

77

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаФормула (2.41) је коваријантни извод првог Бјанкијевог идентитета, док је (2.42) руи

Бјанкијев иение. Дуго и мучно рачунање којим смо доказали ове идентитете можесе паметније упростити. Наиме, како су у питању тензорске једначине, по Теореми 1.48 до-вољно је показати тврђење у произвољној тачки p ∈ M. Приде, зог мултилинеарности тензорадовољно је формулу показати за азне елементе у односу на неки покретни репер. Ако по Те-ореми 2.26 уведемо нормалне координате центриране у p, осим стандардног [∂i, ∂j] ≡ 0, поТеореми 2.27 додатно имамо и

(∇∂i∂j)p =∑kΓkij(p)(∂k)p = 0.

На пример, у нормалним координатама центрираним у p за азна векторска поља X,Y,Z,W,Vу некој околини од p, за (2.41) имамо аутоматски

(∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,Z,X,W,V) +∇R(Z,X,Y,W,V))(p)=Vp(R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W)) = 0.

Неупоредиво рже и једноставније доија се и други Бјанкијев идентитет (2.42),

(∇R(X,Y,Z,W,V))(p) = (V(R(X,Y,Z,W)))(p)= g(∇V(R(X,Y)Z),W)(p) + g(R(X,Y)Z,∇VW)(p)= g(∇V∇X∇YZ−∇V∇Y∇XZ−∇V∇[X,Y]Z,W)(p)= g(∇V∇X∇YZ−∇V∇Y∇XZ,W)(p),

одакле је

(∇R(X,Y,Z,W,V) +∇R(Y,V,Z,W,X) +∇R(V,X,Z,W,Y))(p)=g((∇V∇X∇Y −∇V∇Y∇X +∇X∇Y∇V −∇X∇V∇Y +∇Y∇V∇X −∇Y∇X∇V)Z,W)(p)=R(V,X,∇YZ,W)(p) + R(X,Y,∇VZ,W)(p) + R(Y,V,∇XZ,W)(p) = 0.

2.14 Алгеарски тензор кривинеУ теорији псеудо-Риманових многострукости, згодно је радити у чисто алгеарском окруже-

њу. Редукцијом простора X(M) на произвољну тачку p ∈ M псеудо-Риманове многострукости(M,g), доијамо векторски простор V = TpM, а природни тензори нас доводе до концепта алге-арског тензора кривине. За тензор R ∈ T0

4(V) над квадратним простором (V,g) кажемо да јеалеарски ензор кривине ако за свако X,Y,Z,W ∈ V задовољава симетрије

R(X,Y,Z,W) = −R(Y,X,Z,W), (2.36 поновљено)R(X,Y,Z,W) = −R(X,Y,W,Z), (2.37 поновљено)R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W) = 0. (2.38 поновљено)

Важно је напоменути да се ова дефиниција лепо слаже са Теоремом 2.29. Тензор криви-не псеудо-Риманове многострукости, редукован на произвољну тачку јесте алгеарски тензоркривине. Зог тога, сваки резултат који важи за алгеарски тензор кривине може се пренетина тензор кривине псеудо-Риманове многострукости. На пример, наредна теорема даје симе-трију по паровима, која се последично преноси и на тензор кривине на многострукости.

Теорема 2.31. Ако је R алеарски ензор кривине на квараном росору V, аа

R(X,Y,Z,W) = R(Z,W,X,Y) (2.43)

важи за свако X,Y,Z,W ∈ V.

78

2.14. Алеарски ензор кривинеДоказ. Применимо (2.37), затим (2.38) и коначно (2.36) и (2.37):

2R(X,Y,Z,W)− 2R(Z,W,X,Y)=R(X,Y,Z,W)− R(X,Y,W,Z)− R(Z,W,X,Y) + R(Z,W,Y,X)=(−R(Y,Z,X,W)− R(Z,X,Y,W))− (−R(Y,W,X,Z)− R(W,X,Y,Z))− (−R(W,X,Z,Y)− R(X,Z,W,Y)) + (−R(W,Y,Z,X)− R(Y,Z,W,X))

=− R(Y,Z,X,W)− R(Y,Z,W,X)− R(Z,X,Y,W) + R(X,Z,W,Y)+ R(Y,W,X,Z)− R(W,Y,Z,X) + R(W,X,Y,Z) + R(W,X,Z,Y) = 0.

Имајући у виду Теорему 2.31, једначину (2.37) из дефиниције алгеарског тензора криви-не можемо заменити са (2.43), јер (2.37) је директна последица (2.36) и (2.43). Рестрикцијаоператора кривине у тачки даје афини оераор кривине и он је повезан са алгеарскимтензором кривине на квадратном простору (V,g) преко формуле

R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z,W),

која важи за свако X,Y,Z,W ∈ V. Намерно смо задржали нотацију R за тензор кривине и R заоператор кривине, што нам омогућава да преузмемо терминологију из глоалне приче. Ако је(E1, . . . ,En) произвољна ортонормирана аза квадратног простора (V,g), тада повратна спрегамора ити

R(X,Y)Z =∑16i6n

g(Ei,Ei)g(R(X,Y)Z,Ei)Ei =∑16i6n

εEiR(X,Y,Z,Ei)Ei.

Нека је R алгеарски тензор кривине на квадратном простору (V,g) димензије n. Ради јед-ноставности, осоине скаларног производа ћемо пренети на сам тензор. Тако можемо рећи даје R позитивно дефинитан (ако је Indg = 0), дефинитан (Indg = 0 или Indg = n), недефинитан(1 6 Indg 6 n− 1), Лоренцов (Indg = 1), n-димензион (dimV = n), и тако даље.

Јакоијев оператор и сродни оператори играју значајне улоге у нашој теорији. Поларизо-ван Јакоијев оераор је пресликавање J : V3 → V дефинисано са

J (X,Y)(Z) = 12 (R(Z,X)Y+R(Z,Y)X) , (2.44)

за све X,Y,Z ∈ V. Јакоијев оераор за X ∈ V је пресликавање JX : V → V дефинисано саJX = J (X,X), а често ћемо га изражавати са

JX(Y) = R(Y,X)X. (2.45)

Како (2.37) повлачи g(JX(Y),X) = R(Y,X,X,X) = 0 имамо JX(Y) ⊥ X, те је X⊥ кодомен Ја-коијевог оператора JX. У случају дефинитног X (εX = 0), ортогонал X⊥ је недегенерисанахиперповрш у V, док (2.36) даје JX(X) = R(X,X)X = 0. Зато је Јакоијев оператор за дефинитноX ∈ V потпуно одређен својом рестрикцијом

JX = JX�X⊥ : X⊥ → X⊥,

коју зовемо реукован Јакоијев оераор.За линеарни оператор J на V кажемо да је самоајунован или симеричан ако је

g(J (X),Y) = g(X,J (Y)) за свако X,Y ∈ V. Промена парова (2.43), заједно са Z2 симетријама(2.36) и (2.37), дају R(Y,X,X,Z) = R(Z,X,X,Y), те је

g(JX(Y),Z) = g(JX(Z),Y),

што значи да је Јакоијев оператор симетричан. Слично, (2.36) и (2.37) повлаче R(Y,X,X,Y) =R(X,Y,Y,X), те је зато

g(JX(Y),Y) = g(JY(X),X). (2.46)Иако смо Јакоијев оператор дефинисали користећи квадратни простор V, важно је напо-

менути да увек можемо заменити V = TpM за неку тачку p псеудо-Риманове многострукости

79

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаM. Такође, можемо продужити појам Јакоијевог оператора на целокупно X(M) (или арем натангентно раслојење TM) и задржати терминологију.

Чест начин да се изрази алгеарски тензор кривине R је преко компоненти тензора кривинеRijkl = R(Ei,Ej,Ek,El) у односу на неку азу (E1,E2, . . . ,En) у V. Штавише, наредно тврђење(видети Вајнерг20 [35, стр. 142–143]) повлачи да је потрено само n2(n2 − 1)/12 компоненти.

Теорема 2.32. Димензија росора алеарских ензора кривине на квараном росоруимензије n јенака је n2(n2 − 1)/12.

Доказ. Посматрајмо компонентеRijkl као парове (i, j) и (k, l). Како је (2.36) имамо(n2)независних

парова на првом месту. Како је (2.37) имамо исто то и на другом месту. Међутим, парови суповезани са (2.43), што даје

(n2)+ · · ·+2+1 могућности. Први Бјанкијев идентитет (2.38) додаје(n

4)зависних компоненти, на пример то су Rijkl за i < j < k < l. Зато преостају Rijkl чији је рој

независних компоненти једнак(n2

)+ · · ·+ 2+ 1−

(n4

)=12

(n2

)((n2

)+ 1)−(n4

)=

n(n− 1)(n2 − n+ 2)8 − n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

24 =n2(n2 − 1)

12 .

2.15 Секциона кривинаТензор кривине R псеудо-Риманове многострукости (M,g) је прилично компликован, тако

да уводимо често коришћену величину коју зовемо секциона кривина. Таненна раван σ наM у тачки p ∈ M је дводимензиони потпростор тангентног простора TpM. Секциона кривинаκ недегенерисане тангентне равни σ = Span{X,Y} у TpM је дата са

κ(σ) = κ(X,Y) = R(X,Y,Y,X)εXεY − (g(X,Y))2 .

Приметимо да је именилац εXεY− (g(X,Y))2 = g(X,X)g(Y,Y)− g(X,Y)g(Y,X) заправо детерми-нанта Грамове матрице за g�σ у односу на азу X,Y ∈ TpM у σ = Span{X,Y}. Како по дефини-цији посматрамо само недегенерисане σ, наш именилац по Леми 2.1 није нула. Штавише, заРиманове многострукости он представља квадрат површине паралелограма одређеног паромвектора X,Y ∈ TpM.

Потрено је проверити да вредност κ(X,Y) зависи само од (недегенерисане) равни разапнутевекторима X и Y. Нека X1 = αX + βY и Y1 = γX + δY чине другу азу у σ. Промена азе заилинеарну форму g даје(

g(X1,X1) g(X1,Y1)g(Y1,X1) g(Y1,Y1)

)=

(α βγ δ

)(g(X,X) g(X,Y)g(Y,X) g(Y,Y)

)(α γβ δ

),

те је зато εX1εY1 − (g(X1,Y1))2 = (αδ− βγ)2(εXεY − (g(X,Y))2

). Са друге стране, користећи симе-

трије од R, имамо

R(X1,Y1,Y1,X1) = R(αX+ βY, γX+ δY,Y1,X1)= (αδ− βγ)R(X,Y, γX+ δY,αX+ βY),= (αδ− βγ)2R(X,Y,Y,X).

Како детерминанта матрице преласка није нула имамо αδ − βγ = 0, и зато κ(X1,Y1) = κ(X,Y),што значи да је секциона кривина доро дефинисана.

Секциона кривина је реално-вредносна функција дефинисана на 2-Грасманијан раслојењунад M. Међутим, иако секциона кривина делује једноставније од тензора кривине R, она ипаксадржи комплетну информацију.20Steven Weinberg (1933), амерички теоријски физичар

80

2.15. Секциона кривинаНајпре можемо видети да оператор кривине зависи само од Јакоијевих оператора, јер ко-

ристећи (2.32) и (2.34) имамо

3R(X,Y)Z = R(X,Y)Z+ (−R(Y,X)Z) + (−R(Y,Z)X−R(Z,X)Y)= (R(X,Y)Z+R(X,Z)Y)− (R(Y,X)Z+R(Y,Z)X)= R(X,Y+ Z)(Y+ Z)−R(X,Y)Y−R(X,Z)Z−R(Y,X+ Z)(X+ Z) +R(Y,X)X+R(Y,Z)Z

= JY+ZX− JYX− JZX− JX+ZY+ JXY+ JZY.

Такође, тензор кривине може се изразити само преко вредности олика μ(X,Y) = R(X,Y,Y,X).Како из поларизације

2R(Y,X,X,W) = R(Y+W,X,X,Y+W)− R(Y,X,X,Y)− R(W,X,X,W)

следи2g(JXY,W) = μ(Y+W,X)− μ(Y,X)− μ(W,X),

то се R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z,W) може расписати помоћу 18 чланова

6R(X,Y,Z,W) = μ(X+W,Y+ Z)− μ(X,Y+ Z)− μ(W,Y+ Z)− μ(X+W,Y) + μ(X,Y) + μ(W,Y)− μ(X+W,Z) + μ(X,Z) + μ(W,Z)− μ(Y+W,X+ Z) + μ(Y,X+ Z) + μ(W,X+ Z)+ μ(Y+W,X)− μ(Y,X)− μ(W,X)+ μ(Y+W,Z)− μ(Y,Z)− μ(W,Z),

где се 4 члана поништавају у паровима за коначан резултат,

6R(X,Y,Z,W) = μ(X+W,Y+ Z)− μ(X,Y+ Z)− μ(W,Y+ Z)− μ(X+W,Y) + μ(W,Y)− μ(X+W,Z) + μ(X,Z)− μ(Y+W,X+ Z) + μ(Y,X+ Z) + μ(W,X+ Z)+ μ(Y+W,X)− μ(W,X) + μ(Y+W,Z)− μ(Y,Z).

(2.47)

Алтернативно, имамо∂

∂t

∣∣∣∣t=0

R(X+ tW,Y+ sZ,Y+ sZ,X+ tW)

= limt→0

(R(X,Y+ sZ,Y+ sZ,W) + R(W,Y+ sZ,Y+ sZ,X) + 2tR(W,Y+ sZ,Y+ sZ,W)

)= 2R(X,Y+ sZ,Y+ sZ,W),

одакле је

∂2

∂s∂t

∣∣∣∣s=0,t=0

R(X+ tW,Y+ sZ,Y+ sZ,X+ tW)

= 2 lims→0

(R(X,Y,Z,W) + R(X,Z,Y,W) + 2sR(X,Z,Z,W)

)= 2

(R(X,Y,Z,W) + R(X,Z,Y,W)

),

те користећи неке од симетрија можемо изразити R преко μ на другачији начин,

6R(X,Y,Z,W) = 2(R(X,Y,Z,W) + (−R(X,Y,W,Z)) + (−R(Y,Z,X,W)− R(Z,X,Y,W)))

= 2(R(X,Y,Z,W) + R(X,Z,Y,W)

)− 2(R(X,Y,W,Z) + R(X,W,Y,Z)

)=

∂2

∂s∂t

∣∣∣∣s=0,t=0

(R(X+ tW,Y+ sZ,Y+ sZ,X+ tW)− R(X+ tZ,Y+ sW,Y+ sW,X+ tZ)

)=

∂2

∂s∂t

∣∣∣∣s=0,t=0

(μ(X+ tW,Y+ sZ)− μ(X+ tZ,Y+ sW)

).

81

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаУ сваком случају, како је μ(X,Y) = R(X,Y,Y,X) = (εXεY − (g(X,Y))2)κ(X,Y), то два алгеарска

тензора кривине који имају једнаке секционе кривине и сами морају ити једнаки.

Теорема 2.33. Секциона кривина у оуноси оређује ензор кривине.

За дводимензиону Риманову многострукост, постоји само једна секциона кривина у свакојтачки, што је доро позната Гаусова кривина.

2.16 Константна секциона кривинаНајједноставнији случај псеудо-Риманових многострукости је простор константне секцио-

не кривине. Нека је (M,g) псеудо-Риманова многострукост таква да је κ(σ) = k(p) за свакунедегенерисану тангентну раван σ 6 TpM и неко фиксирано k(p) ∈ R. На основу Теореме2.33 то једнозначно одређује тензор кривине R. За сваку тачку p ∈ M имамо рестрикцију ко-ја даје квадратни простор V = TpM, и одговарајући алгеарски тензор кривине. Посматрајмопресликавање R : V3 → V дато са R(X,Y)Z = k(g(Y,Z)X − g(X,Z)Y), односно њему одговарајућеR ∈ T0

4(V),R(X,Y,Z,W) = k

(g(Y,Z)g(X,W)− g(X,Z)g(Y,W)

). (2.48)

Лако се може проверити да такво R задовољава (2.36), (2.37) и (2.38), те је у питању алгеарскитензор кривине. Штавише, имамо R(X,Y,Y,X) = k(εXεY − (g(X,Y))2), одакле је κ(X,Y) = k. Зогтога тензор кривине на (M,g) има олик (2.48), где је k ∈ F(M). Штавише, у димензији n > 3,имамо следећу занимљиву теорему коју је поставио Шур21 [30].

Теорема 2.34. Нека је (M,g) овезана сеуо-Риманова мноосрукос имензије n > 3.Ако секциона кривина κ(σ) не зависи о равни σ 6 TpM, већ само о ачке p ∈ M, она је κконсанно.

Доказ. За оператор кривине имамо R(X,Y)Z = k(g(Y,Z)X− g(X,Z)Y). Пођимо од простора кон-стантне секционе кривине k = 1 и његовог оператора кривине

R0(X,Y)Z = g(Y,Z)X− g(X,Z)Y.

Тада јеR = kR0, што такође важи за одговарајуће тензоре кривинеR = kR0. Како је∇метричкаповезаност, из ∇g = 0 имамо

(∇VR0)(X,Y,Z,W) = V(g(Y,Z)g(X,W)− g(X,Z)g(Y,W))

− (g(Y,Z)g(∇VX,W)− g(∇VX,Z)g(Y,W))

− (g(∇VY,Z)g(X,W)− g(X,Z)g(∇VY,W))

− (g(Y,∇VZ)g(X,W)− g(X,∇VZ)g(Y,W))

− (g(Y,Z)g(X,∇VW)− g(X,Z)g(Y,∇VW)) = 0,

те је R0 паралелно тензорско поље, ∇VR0 = 0. Одавде следи

∇VR = ∇V(k⊗ R0) = ∇Vk · R0 + k · ∇VR0 = (Vk)R0,

те важи

(∇VR)(X,Y,Z,W) = (Vk)(g(Y,Z)g(X,W)− g(X,Z)g(Y,W)),

(∇XR)(Y,V,Z,W) = (Xk)(g(V,Z)g(Y,W)− g(Y,Z)g(V,W)),

(∇YR)(V,X,Z,W) = (Yk)(g(X,Z)g(V,W)− g(V,Z)g(X,W)).

Сума претходних једначина се анулира по другом Бјанкијевом идентитету (2.42), те је

g(((Vk)g(Y,Z)− (Yk)g(V,Z))X+ ((Xk)g(V,Z)− (Vk)g(X,Z))Y+ ((Yk)g(X,Z)− (Xk)g(Y,Z))V,W) = 0

21Friedrich Heinrich Schur (1856–1932), немачки математичар

82

2.16. Консанна секциона кривиназа свако W, док из дегенерисаности метрике

((Vk)g(Y,Z)− (Yk)g(V,Z))X+ ((Xk)g(V,Z)− (Vk)g(X,Z))Y+ ((Yk)g(X,Z)− (Xk)g(Y,Z))V = 0важи за свако X,Y,Z,V ∈ X(M). Фиксирајмо X ∈ X(M) и p ∈ M. Како је n > 3, то постоје Y,V ∈X(M) такви да су вектори Xp,Yp,Vp линеарно независни, те из претходне једначине рачунатоју тачки p доијамо нула коефицијенте, рецимо

(Ypk)gp(Xp,Zp)− (Xpk)gp(Yp,Zp) = gp((Ypk)Xp − (Xpk)Yp,Zp) = 0.Претходна једначина важи за свако Zp, те недегенерисаност од gp даје (Ypk)Xp−(Xpk)Yp = 0, доклинеарна независност повлачи Xpk = 0. Како то важи за свако X ∈ X(M) и p ∈ M имамо Xk = 0,те је k локално константно. Услов да је многострукост M повезана даје глоалну константуk.

Просор консанне секционе кривине је псеудо-Риманова многострукост (M,g) закоју је секциона кривина κ(σ) константна, што је еквивалентно томе да је R = κR0 за κ ∈ R.Под скалирањем подразумевамо процес у којем метрику g мењамо метриком g = λg за кон-станту λ > 0. У том случају доијамо R0(X,Y)Z = λR0(X,Y)Z. Са друге стране имамо Γ

kij = Γkij

и ∇XY = ∇XY, одакле је R(X,Y)Z = R(X,Y)Z као и κ = κ/λ. Приметимо да множење метрикенегативним ројем није захвално јер оно окреће сигнатуру што есенцијално мења многостру-кост.

Дакле, постоје три суштинска случаја за тензор кривине простора константне секционекривине, R = R0 (са κ = 1), R = 0 (са κ = 0) и R = −R0 (са κ = −1). Одговарајући модел про-стори за Риманове многострукости су, редом, сфера Sn, еуклидски простор Rn и хипероличкипростор Hn.Пример 2.29. За хипероличку раван HU2 из Примера 2.27 имали смо g11 = g22 = 1/(x2)2 иКристофелове симоле Γ111 = Γ212 = Γ122 = 0, Γ211 = −Γ112 = −Γ222 = 1/x2. Из формуле (2.35)имамо

R1121 = ∂1Γ121 − ∂2Γ111 + Γ121Γ

111 − Γ111Γ

121 + Γ221Γ

112 − Γ211Γ

122 = 0,

R2121 = ∂1Γ221 − ∂2Γ211 + Γ121Γ

211 − Γ111Γ

221 + Γ221Γ

212 − Γ211Γ

222 = (1− 1+ 1)/(x2)2 = 1/(x2)2,

односно R(∂1, ∂2)∂1 = (1/(x2)2)∂2. Даље је R(∂1, ∂2, ∂1, ∂2) = 1/(x2)4 и коначно κ = −1. △У Римановој геометрији, секциона кривина κ може се видети као непрекидна реална функ-

ција на Грасмановом раслојењу дводимензионих равни Риманове многострукости M. Одатлеследи да је κ на компактном подскупу одM ограничено, односно κ достиже своје минималне имаксималне вредности [4, Секција 9.3]. Зог тога су доње и горње границе секционе кривинеинтензивно проучаване у Римановој геометрији.

Међутим, у псеудо-Римановој геометрији, нека ограничења за κ уоичајено повлаче кон-стантну секциону кривину. Размотримо секциону кривину у некој фиксираној тачки псеудо-Риманове многострукости. Посматрајмо алгеарски тензор кривине R на недефинитном ква-дратном простору (V,g) димензије n > 3.

Нека су A,B,X ∈ V ортонормирани вектори са εA = εB = −εX. Тада имамо

κ(X+ θB,A) = R(X+ θB,A,A,X+ θB)εX+θBεA

=θ2κ(B,A)− κ(X,A) + 2θR(X,A,A,B)

θ2 − 1. (2.49)

Ако је κ > m ограничено одоздо, тада је θ2κ(B,A)− κ(X,A) + 2θR(X,A,A,B) веће од m(θ2 − 1) за|θ| > 1 и мање од m(θ2 − 1) за |θ| < 1, те из непрекидности мора ити нула за θ = 1 и θ = −1,што повлачи κ(B,A) = κ(X,A) и R(X,A,A,B) = 0.

Ако променимо ортонормиране векторе у A ch t+X sh t,B,A sh t+X ch t, за произвољно t = 0имамо

0 = R(A sh t+ X ch t,A ch t+ X sh t,A ch t+ X sh t,B)= R(X,A,A,B) ch t− R(A,X,X,B) sh t,

где R(X,A,A,B) = 0 повлачи R(A,X,X,B) = 0. Овај аргумент је оригинално дао Кулкарни22 [18],22Ravindra Shripad Kulkarni (1942), индијски математичар

83

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаи преостало није тешко завршити.

На пример, можемо узети ортонормирану азу (E1, . . . ,En) у (V,g) са E1 = X и E2 = A даисмо доили JX(A) =

∑ni=1 εEiR(A,X,X,Ei)Ei = εAR(A,X,X,A)A. Зато, ако је X просторно (вре-

менско) онда сваки временски (просторни) вектор из X⊥ је сопствени вектор од JX. Посе-но, A и Ei + 2A за i > 2 су неортогонални сопствени вектори и зато имају заједничку соп-ствену вредност, што доноси JX = εXμ(X) IdX⊥ за неку функцију μ. Међутим, (2.46) повлачиεXεYμ(X) = εYεXμ(Y) за ортогоналне X и Y, те за дефинитне векторе имамо μ(X) = μ(Y) = Const.Овај аргумент даје константну секциону кривину што доказује наредну теорему коју је 1979.поставио Кулкарни [18].

Теорема 2.35. Нека је κ функција секционе кривине неефинино алеарско ензора кри-вине R. Ако је κ ораничено оозо или ораничено оозо, аа је κ консанно.

Последично, помоћу Шурове теореме (Теорема 2.34), ако је функција секционе кривинена повезаној недефинитној многострукости M димензије n > 3 ило ограничена одозго илиодоздо, тада јеM простор константне секционе кривине. Кулкарнијев резултат ио је полазнатачка за многа истраживања секционе кривине недефинитне (уоичајено Лоренцове) метрике.

Претпоставимо да је секциона кривина на недефинитним равнима ограничена и одозго иодоздо. Поново, можемо почети од ортонормираних вектора A,B,X ∈ V таквих да је εA = εB =−εX и употреити једначину (2.49). За |θ| < 1 раван Span{X+θB,A} је недефинитна и зато важи−m 6 κ(X+ θB,A) 6 m за неку константу m > 0, што даје

−m(1− θ2) 6 θ2κ(B,A)− κ(X,A) + 2θR(X,A,A,B) 6 m(1− θ2).

Из непрекидности у θ = 1 и θ = −1, имамо κ(B,A) − κ(X,A) ± 2R(X,A,A,B) = 0, те је остатакдоказа као и раније. Тако смо доили наредну теорему коју су 1980. поставили Дахцер23 иНомицу24 [9].

Теорема 2.36. Нека је κ функција секционе кривине неефинино алеарско ензора кри-вине R. Ако је κ на неефининим равнима ораничено и оозо и оозо, аа је κ консан-но.

Наравно, као и раније, ако је функција секционе кривине на недефинитним равнима по-везане недефинитне многострукости M димензије n > 3 ограничена и одозго и одоздо, тадаје M простор константне секционе кривине. Међутим, ограничење само са једне стране нанедефинитним равнима не повлачи да је κ константна функција.

2.17 Ричијев тензорКонтракција је важна операција која нам омогућава да од постојећих тензора доијемо нове

тензоре. Како често имамо потреу да вредност новог тензора у некој тачки многострукости за-пишемо што једноставније, користићемо локални ортонормирани покретни репер (E1, . . . ,En)из Теореме 2.12. Њему дуални покретни корепер оележимо са (E∗

1, . . . ,E∗n), а лако се провера-

ва да важи E∗i = εEiE♭

i за 1 6 i 6 n.За неко тензорско поље A контракција новог коваријантног аргумента потпуног ковари-

јантног извода ∇A са неким од оригиналних аргумената зове се иверенција и оележаваса divA. Углавном је употрељавамо у два специјална случаја у којима постоји јединственадивергенција.

У првом случају посматрамо произвољно векторско поље V ∈ X(M) = T10(M), где постављамо

divV = C(∇V) ∈ F(M).

23Marcos Dajczer (1948), аргентинско-разилски математичар24Katsumi Nomizu (1924–2008), јапанско-амерички матемаричар

84

2.17. Ричијев ензорУ ортонормираном покретном реперу за V =

∑i ViEi имамо

divV =∑i(∇V)ii =

∑iE∗i (∇EiV) =

∑iεEig(∇EiV,Ei)

=∑iεEig

Ei,∑jEi(Vj)Ej +

∑jVj∑kΓkijEk

=∑iEi(Vi) +

∑i,j

VjΓiij.

У природним координатама на Rnν важи divV =

∑i ∂Vi/∂πi, што је уоичајена формула на R3.

Пример 2.30. Дивергенција градијента функције f ∈ F(M) назива се Лаласијан25, Δf =div(grad f) ∈ F(M). Како је ∇g = 0, то повисилице и снизилице комутирају са коваријантнимизводом, те је

Δf = div(grad f) = C(∇(df♯)) = C((∇df)♯) = C((∇∇f)♯) = trg(∇2f),

одакле следи да је Лапласијан заправо траг Хесијана. У ортонормираном покретном реперуимамо

Δf = div(grad f) =∑iεEiEiEif+

∑i,j

εEj(Ejf)Γiij

= trg(∇2f) =∑iεEiEiEif−

∑i,j

εEi(Ejf)Γjii,

одакле у природним координатама на Rnν имамо Δf =

∑i εEi∂2f/∂π2i , што се редукује на уоича-

јену формулу за R3. △

У другом случају посматрамо симетрично коваријантно тензорско поље A реда 2, где дефи-нишемо

divA = C((∇A)♯) ∈ T01(M) = X∗(M),

што у ортонормираном покретном реперу рачунамо са

(divA)(X) =∑i((∇A)♯)(E∗

i ,X,Ei) =∑i,j

gij(∇A)(X,Ej,Ei) =∑iεEi(∇EiA)(X,Ei).

Нека је (M,g) псеудо-Риманова многострукост, SymA = A ∈ T02(M) и f ∈ F(M). Тада је у

ортонормираном покретном реперу

(div fA)(X) =∑iεEi(∇EifA)(X,Ei) =

∑iεEi((∇Eif)A(X,Ei) + f(∇EiA)(X,Ei)

)= A

(X,∑iεEi(Eif)Ei

)+ f∑iεEi(∇EiA)(X,Ei) = A(grad f,X) + f(divA)(X).

Посено, у случају A = g за f ∈ F(M) доијамо (div(fg))(X) = g(grad f,X) = df(X), што дајекорисну формулу

div(fg) = df. (2.50)Како су коваријантни тензори вишег реда прилично компликовани, често је корисно кон-

струисати једноставније тензоре који сажимају неке информације. Ако пођемо од коваријант-них тензора, попут тензора кривине R, можемо посматрати траг, односно контракцију пови-силице. Већ смо имали R = R♭, те нам је потрено trg R = C(R♯) = CR. Међутим, неопходноје нагласити који коваријантни индекс ћемо упарити са контраваријантним индексом. Акопокушамо са трећим коваријантним индексом имамо∑

kRk

ijk =∑k

∑lgklRijkl = −

∑l

∑kglkRijlk = −

∑lRl

ijl,

25Pierre-Simon Laplace (1749–1827), француски математичар, физичар и астроном

85

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријашто је могуће само ако је

∑kRk

ijk = 0, те трећи индекс није погодан за контракцију. Преостајеизор између првог и другог индекса, али из симетрије Rijkl = −Rjikl важи

∑iRi

jik = −∑

iRiijk,

те се ове могућности ненула котракције разликују само у знаку. Ако се определимо за првииндекс, доијамо Ричијев ензор26, Ric = trg R = CR ∈ T0

2(M) за који важи

Ric(X,Y) = trg(Z 7→ R(Z,X)Y) = trg(J (X,Y)).

Ричијев тензор је очигледно симетричан, Ric(X,Y) = Ric(Y,X), а ако са

Rij =∑lRl

lij =∑l,k

glkRlijk,

оележимо његове компоненте, имамо Ric =∑

i,j Rij dxi⊗dxj, што у ортонормираном покретномреперу даје

Ric(X,Y) =∑iεEig(R(Ei,X)Y,Ei) =

∑iεEiR(Ei,X,Y,Ei).

Скаларна кривина је траг Ричијевог тензора, Sc = trg Ric = C(Ric♯) ∈ F(M), те за њу важиSc =

∑i,j gijRij =

∑i,j,k,l gijglkRlijk, што у ортонормираном покретном реперу гласи

Sc =∑i,j

εEiεEjRijji.

Ако посматрамо локални ортнормирани покретни репер у тачки p ∈ M, односно ортонорми-рану азу (E1, . . . ,En) у TpM, можемо употреити секциону кривину да опишемо Ричијев тензори скаларну кривину,

εEk Ricp(Ek,Ek) = εEkn∑i=1

εEiRp(Ei,Ek,Ek,Ei) =i=k∑iκ(Ei,Ek),

Sc(p) =n∑

i,j=1εEiεEjRp(Ei,Ej,Ej,Ei) =

i=j∑i,j

κ(Ei,Ej).

Пример 2.31. Ричијев тензор је одређен секционим кривинама, али у општем случају садржимање информација. Међутим, у малим димензијама (n = 2,3) Ричијев тензор у потпуностиодређује тензор кривине. У димензији n = 3 за недегенерисану раван σ можемо поставитиортонормирану азу (E1,E2,E3) такву да је σ = Span{E1,E2}. Тада је εkRkk =

∑i=k κ(Ek,Ei),

одакле следи κ(σ) = κ(E1,E2) = 12 (ε1R11 + ε2R22 − ε3R33). △

Пођимо од другог Бјанкијевог идентитета који се може изразити кроз компоненте новогковаријантног тензора T ∈ T0

5(M) са

Tijklm = ∇iRjklm +∇jRkilm +∇kRijlm = 0,

где је ∇iRjklm = (∇R)jklmi. Након двоструке контракције, користећи траг (контракција повиси-лице) по индексима i и m и траг по индексима j и l, имамо

∑i,m gim

∑j,l gjlTijklm = 0. Како је

∇g = 0, траг комутира са коваријантним изводом,∑i,m

gim∇Ei∑j,l

gjlRjklm +∑j,l

gjl∇Ej∑i,m

gimRkilm +∇Ek∑i,m

gim∑j,l

gjlRijlm = 0,

и зато∇Ek Sc = 2

∑i,m

gim∇EiRkm. (2.51)

У нормалним координатама центрираним у некој тачки p ∈ M, у тој тачки имамо

divRic(Ek) =∑i,m

gim(∇Ei Ric)(Ek,Em) =∑i,m

gim∇Ei(Ric(Ek,Em)),

26Gregorio Ricci-Curbastro (1853–1925), италијански математичар

86

2.18. Псеуо-Риманове омноосрукосишто је тензорска једначина која нас доводи до суштинске једначине из наредне теореме којалежи у основама опште теорије релативитета, а коју зовемо конракован Бјанкијев иен-ие.

Теорема 2.37. За сеуо-Риманову мноосрукос важи 2divRic = dSc

За псеудо-Риманову многострукост (M,g) кажемо да је Ајншајнова27 уколико је њен Ри-чијев тензор пропорционалан метрици, односно уколико је Ric = λg за неку константу λ ∈ R.Уколико извучемо трагове, Sc = trg Ric = trg(λg) = λ trg g = λn, видимо да Ајнштајнова много-струкост има константну скаларну кривину.

Релаксираније, можемо рећи да је (M,g) Ајнштајнова у тачки p ∈ M уколико је одговарајућиалгеарски тензор кривине у тој тачки Ајнштајнов, односно уколико је Ричијев тензор скаларниумножак метрике у p. При овим дефиницијама има места за наредну теорему.

Теорема 2.38. Ако је овезана сеуо-Риманова мноосрукос имензије n > 3 Ајншајно-ва у свакој ачки она је она Ајншајнова.

Доказ. Како је (M,g) Ајнштајнова у свакој тачки, то важи Ric = λg за неку функцију λ ∈ F(M),те имамо Sc = nλ. Из Теореме 2.37 и формуле (2.50) доијамо

n∇λ = ∇Sc = 2divRic = 2div(λg) = 2∇λ.

Дакле, за n = 2 важи ∇λ = 0, одакле је λ локална константа на повезаној многострукости, теје зато и глоална константа, што такође важи за Sc.

Пример 2.32. Уколико је (M,g) простор константне секционе кривине κ, тада имамо

Rij =∑l,k

glkRlijk =∑l,k

κglk(glkgij − gljgik) = (n− 1)κgij,

односно Ric = (n− 1)κg, те је (M,g) Ајнштајнова и важи Sc = n(n− 1)κ. △

По Теореми 2.32 алгеарски тензор кривине у димензији n = 3 има свега шест независнихкомпоненти, док за n = 2 постоји само једна. Зог тога у малим димензијама можемо доитизанимљиве резултате.

Пример 2.33. Сваки дводимензиони алгеарски тензор кривине је Ајнштајнов. Како је n = 2,све компоненте тензора кривине Rij =

∑k,l gklRkijl могу се изразити само преко R1221. Имамо

R11 = g22R1221, R12 = −g12R1221, R22 = g11R1221, што заправо даје Ric = R1221det gg. △

Пример 2.34. Из примера 2.31, Ричијев тензор за n = 3 у потпуности одређује секциону кри-вину, а самим тим и тензор кривине. Посено, ако је алгеарски тензор кривине Ајнштајнов,онда има константну секциону кривину. Ако је додатно многострукост повезана, онда имамопростор константне секционе кривине. △

2.18 Псеудо-Риманове подмногострукостиНека је (M,g) псеудо-Риманова многострукост, а (M,g) њена подмногострукост са инклузи-

јом ı : M ↪→ M, тако да је g = ı∗g псеудо-Риманова метрика на M. Амијенно аненнораслојење на M је TM�M=

⊔p∈M TpM, а са X(M)�M означићемо одговарајући скуп свих глат-

ких сечења. Свако векторско поље из X(M) се директно рестрикује на X(M)�M, док се свакоX ∈ X(M)�M може џомастим функцијама продужити на X ∈ X(M).

За свако p ∈ M, тангентни простор TpM има декомпозицију TpM = TpM k NpM, где јеNpM = (TpM)⊥ нормалан росор у p у односу на квадратни простор (TpM,gp). Нормал-но раслојење од M је NM =

⊔p∈MNpM, а са X(M)⊥ означићемо одговарајућа глатка сечења.

27Albert Einstein (1879–1955), немачки теоријски физичар

87

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријаПриметимо да су X(M) и X(M)⊥ подмодули од X(M)�M. На располагању имамо две пројек-

ције, тангентну π

⊥

: TM�M→ TM и нормалну π⊥ : TM�M→ NM, те свако X ∈ X(M)�M можемораставити са X = X

⊥

+ X⊥, где је X

⊥

= π

⊥

X и X⊥ = π⊥X.Нека је ∇ Леви-Чивита повезаност на M, а ∇ Леви-Чивита повезаност на M. Како је

повезаност по Теореми 2.15 локални оператор, то имамо одговарајућу рестрикцију дуж M,∇XY = ∇XY ∈ X(M)�M која не зависи од продужења X,Y ∈ X(M) за X,Y ∈ X(M). Природносе поставља питање како се ∇XY раставља на тангентну и нормалну компоненту.

Уколико пођемо од X,Y,Z ∈ X(M) и продужимо их на X,Y,Z ∈ X(M), можемо применитиКозилову формулу (2.20) за ∇, одакле доијамо да дуж M, за свако Z ∈ X(M) важи

2g((∇XY)

⊥

,Z) = X(g(Y,Z)) + Y(g(Z,X))− Z(g(X,Y))− g(X, [Y,Z]) + g(Y, [Z,X]) + g(Z, [X,Y]).

Дакле, тангентни део представља Леви-Чивита повезаност, те из њене јединствености закљу-чујемо (∇XY)

⊥

= ∇XY.Са друге стране (∇XY)⊥ је симетрично зог (∇XY − ∇YX)⊥ = [X,Y]⊥ = 0. Из очигледне

F(M)-линеарности од (∇XY)⊥ по X, симетричност даје и F(M)-линеарност по Y. Друа основнаформа на M је пресликавање II : X(M) × X(M) → X(M)⊥ дато са II(X,Y) = (∇XY)⊥. У питању јесиметрично F(M)-илинеарно пресликавање, такво да за свако X,Y ∈ X(M) имамо растављањедуж M,

∇XY = ∇XY+ II(X,Y), (2.52)које зовемо Гаусова формула.

У општијем случају можемо посматрати коваријантни извод рестрикован наM као пресли-кавање ∇�M : X(M) × X(M)�M→ X(M)�M. За X,Y ∈ X(M) и N ∈ X(M)⊥ је g(Y,N) = 0 дуж M, теимамо

0 = Xg(Y,N) = g(∇XY,N) + g(Y,∇XN) = g(II(X,Y),N) + g(Y,∇XN),

одакле следи Вајнаренова формула28,

g(∇XN,Y) = −g(II(X,Y),N). (2.53)

Занимљиво је посматрати везу између одговарајућих тензора кривине R и R. За векторскапоља X,Y,Z,W ∈ X(M) дуж M, користећи Гаусову и Вајнгартенову формулу, имамо

R(X,Y,Z,W) = g(∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z,W)

= g(∇X(∇YZ+ II(Y,Z))−∇Y(∇XZ+ II(X,Z))− (∇[X,Y]Z+ II([X,Y],Z)),W)

= g(∇X∇YZ,W)− g(II(X,W), II(Y,Z))− g(∇Y∇XZ,W) + g(II(Y,W), II(X,Z))− g(∇[X,Y]Z,W)

= R(X,Y,Z,W)− g(II(X,W), II(Y,Z)) + g(II(Y,W), II(X,Z)),

што даје Гаусову једначину,

R(X,Y,Z,W) = R(X,Y,Z,W) + g(II(X,Z), II(Y,W))− g(II(X,W), II(Y,Z)).

Замена Гаусове једначине у дефиницију секционе кривине доноси

κ(X,Y) = κ(X,Y) + g(II(X,X), II(Y,Y))− g(II(X,Y), II(X,Y))g(X,X)g(Y,Y)− g(X,Y)g(X,Y) . (2.54)

Пример 2.35. Позиционо векторско поље N =∑

i xi∂i на сфери Snr ↪→ Rn+1 је по Леми 1.36нормално у свакој тачки (x1, . . . , xn+1), док за Леви-Чивита повезаност у Rn+1 имамо ∇XN =∑

i X(xi)∂i = X, за свако векторско поље X. Из формуле (2.53) је g(II(X,Y),N) = −g(∇XN,Y) =

−g(X,Y), тако да зог εN = r2 важи II(X,Y) = − 1r2g(X,Y)N. Једначина (2.54) за κ = 0, даје

κ = 1/r2. △

Гаусова формула (2.52), може се прилагодити коваријантним изводима дуж криве γ : I → M.За Y ∈ X(M) је ∇γ′(t)Y = ∇γ′(t)Y+ II(γ′(t),Y ◦ γ(t)), одакле следи

∇Yγdt (t) = ∇Yγ

dt (t) + II(γ′(t),Yγ(t)).

28Julius Weingarten (1836–1910), немачки математичар

88

2.19. Псеуо-Риманове хиеровршиУ специјалном случају кад је Yγ = γ′, доијамо формулу за урзање криве у M,

∇γ′dt =

∇γ′dt + II(γ′, γ′). (2.55)

Као последица претходне једначине видимо да је крива γ уM ⊂ M геодезијска одM ако и самоако је њено урзање у M свуда нормално на M.

Пример 2.36. Велики круг на сфери Snr је круг Π∩Snr који се доија у пресеку са дводимензио-ном равни Π која пролази кроз координатни почетак уRn+1. Ако је γ од Π∩Snr параметризованоконстантном рзином тада су γ′ и γ′′ међусоно ортогонални и тангентни на Π. Међутим, по-зиционо векторско поље је такође тангентно на Π и ортогонално на γ′ = 0, те су позиционовекторско поље и γ′′ колинеарни у свакој тачки криве, односно γ′′ је нормално на Snr и самимтим γ је геодезијска на сфери. Важи и орат, односно свака неконстантна геодезијска γ семоже доити на овакав начин. Ако је Π раван кроз координатни почетак и γ(0) на коју је γ′(0)тангентно, постојаће одговарајућа параметризација константне рзине на Π ∩ Snr и остатакследи из јединствености геодезијске. △

За подмногострукост псеудо-Риманове многострукости (M,g) кажемо да је оуно ео-езијска ако је свака геодезијска уM такође геодезијска уM. Из формуле (2.55) можемо лакозакључити да је M потпуно геодезијска ако и само ако се II анулира.

2.19 Псеудо-Риманове хиперповршиПсеуо-Риманова хиероврш је псеудо-Риманова подмногострукост кодимензије један.

Нека је (M,g) псеудо-Риманова хиперповрш у (M,g). По дефиницији, сваки тангентни просторTpM је недегенерисан потпростор од TpM. Лако закључујемо да је његов комплементаран про-сторNpM недегенерисан, као и да је његов индекс константан (јер је индекс од TpM константан)и зовемо га коинекс од M. Коиндекс може ити 0 или 1 и одређује знак ε псеудо-Римановехиперповрши као знак сваког ненула нормалног вектора, односно ε = 1 за коиндекс 0 и ε = −1за коиндекс 1. Наравно, за Риманову многострукост свака хиперповрш је Риманова са знакомε = 1.

Нека је f ∈ F(M) и ∅ = M = f−1(c) за неко c ∈ R тако да је grad f = 0 на M. Тада је M псеудо-Риманова хиперповрш ако и само ако је g(grad f,grad f) константног знака наM. Наиме, најпреиз grad f = 0 наM следи df = 0 наM, те јеM регуларан скуп нивоа, односно хиперповрш. Какоје g(grad f,X) = df(X) = Xf, а f = c на M то је grad f нормалан на M. Зато је NpM недегенерисанза свако p ∈ M, те је недегенерисан и TpM, док константност знака од g(grad f,grad f) даје знакод M. Притом се grad f/∥grad f∥ рестрикује на јединично нормално векторско поље дуж M.

Наравно, основни примери хиперповрши у псеудо-еуклидском простору Rn+1ν су псеудосфе-

ре и псеудохиперолички простори које смо раније разматрали. Напоменимо да се произвољнапсеудо-Риманова хиперповрш не може доити на овакав начин. Разлог је што у општем случа-ју не постоји глатка јединична нормала наM (на пример за Меијусову траку). Међутим, увекпостоји јединична нормала на некој околини произвољне тачке изM.

Друга основна форма за псеудо-Риманове хиперповрши може се редуковати на једностав-није тензоре. Ако је N јединично нормално векторско поље, тада другу основну форму II чијесу вредности вектори можемо заменити са

h(X,Y) = g(II(X,Y),N),

што је скаларна руа основна форма. Лако је увидети да је h симетрична илинеарна формаиз T0

2(M), као и да важи II(X,Y) = εNh(X,Y)N. Знак од h зависи од тога коју смо од две јединичненормале изарали. Дизањем индекса доијамо тензорско поље h♯ ∈ T1

1(M) које се може видетикао F(M)-линеарно пресликавање s : X(M) → X(M) задато са s(X)f = h♯(df,X), односно природноважи h♯(ω,X) = ω(s(X)). Пресликавање s зовемо оераор олика, а како је

h(X,Y) = h♯(X♭,Y) =∑iXih♯(dxi,Y) =

∑i,j

gij dxj(X)dxi(sY) = g(X, sY),

89

Глава 2. Псеуо-Риманова еомеријато за све X,Y ∈ X(M) важи

g(X, sY) = h(X,Y).Како је h симетричан, s је самоадјунгован, односно имамо g(sX,Y) = g(X, sY). Као и за h, и знакод s зависи од изора нормале N.

У терминима тензорских поља h и s, формуле из претходне секције могу се интерпретиратиједноставније. Гаусова формула (2.52) постаје

∇XY = ∇XY+ εNh(X,Y)N,

док се Вајнгартенова формула (2.53) може записати са

g(∇XN,Y) = −h(X,Y) = −g(sX,Y). (2.56)

Како је g(∇XN,N) = 12∇Xg(N,N) = 0, следи да је ∇XN тангентно на M, те из (2.56) имамо

∇XN = −sX.

Нека је садаM хиперповрш еуклидског простора. У свакој тачки p ∈ M, оператор олика s јесамоадјунгована линеарна трансформација тангентног простора TpM. Такав оператор (важнаје дефинитност метрике) има реалне сопствене вредности λ1, . . . , λn, и постоји ортонормиранааза (E1, . . .En) за TpM која се састоји од сопствених вектора за s, односно sEi = λiEi за 1 6 i 6 n.У овој ази су и h и s дијагонални и имамо h(X,Y) =

∑i λiXiYi.

Сопствене вредности од s зовемо лавне кривине од M у p, док су одговарајући сопственипотпростори лавни равци. Они су независни од изора азе, али главне кривине мењајузнак уколико променимо нормалан вектор. Главне кривине дају опис локалног олика сме-штене површи.

На располагању имамо две коминације главних кривина које имају важну улогу за еуклид-ске хиперповрши. Гаусова кривина је K = det s, док је средња кривина H = tr s/n = trg h/n.Детерминанта и траг су инваријанте, те у терминима главних кривина имамо K = λ1λ2 · · · λn иH = 1

n (λ1 + · · ·+ λn).

90

Литература

[1] J. F. Adams, Vector fields on spheres, Annals of Math. 75 (1962), 603–632.

[2] М. Антић, Диференцијална еомерија мноосрукоси, Математички факултет, Бео-град, 2015.

[3] M. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet, Le Spectre d’une Variété Riemannienne, Springer, 1971.

[4] R. L. Bishop, R. J. Crittenden, Geometry of Manifolds, Academic Press, 1964.

[5] R. Bott, J. Milnor, On the parallelizability of the spheres, Bull. Am. Math. Soc. 64 (1958), 87–89.

[6] M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Boston, 1992.

[7] M. Crainic, Inleiding Topologie 2015/2016, Lecture notes, 2016.

[8] P. Clark, Quadratic Forms, Chapter 1: Witt’s theory, Lecture notes, 2013.

[9] M. Dajczer, K. Nomizu, On the boundedness of Ricci curvature of an indefinite metric, Bol. Soc.Bras. Mat. 11 (1980), 25–30.

[10] J. Dieudonné, Une généralisation des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. 23 (1944), 65–76.

[11] S. K. Donaldson, An application of gauge theory to four-dimensional topology, J. Differ. Geom.18 (1983), 279–315.

[12] B. Eckmann, Gruppentheoretischer beweis des satzes von Hurwitz-Radon über die kompositionquadratischer formen, Comment. Math. Helv. 15 (1943), 358–366.

[13] M. H. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Differ. Geom. 17 (1982), 357–453.

[14] J. Gallier, J. Quaintance, Notes on Differential Geometry and Lie Groups, Lecture notes, 2017.

[15] A. Hurwitz, Über die komposition der quadratischen formen, Math. Ann. 88 (1923), 1–25.

[16] M. Kervaire, Non-Parallelizability of the n-Sphere for n > 7, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 44(1958), 280–283.

[17] M. Kervaire, A manifold which does not admit any differentiable structure, Comment. Math.Helv. 34 (1960), 257–270.

[18] R.S. Kulkarni, The values of sectional curvature in indefinite metrics, Comment. Math. Helv.54 (1979), 173–176.

[19] Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, 2009.

[20] John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2013.

[21] John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2018.

91

Лиераура[22] L. A. Lichtenfelz, P. Piccione, A. Zeghib, On the isometry group of Lorentz manifolds. In: Recent

trends in Lorentzian geometry, Springer, 2013, 277–293

[23] E. Meinrenken, Clifford Algebras and Lie Theory, Springer, 2013.

[24] J. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Annals of Math. 64 (1956), 399–405.

[25] E. E. Moise, Geometric topology in dimensions 2 and 3, Springer, 1977.

[26] S. Morita, Geometry of Differential Forms, American Mathematical Society, 2001.

[27] S. B. Myers, N. E. Steenrod, The group of isometries of a Riemannian manifold, Annals of Math.40 (1939), 400–416.

[28] B. O’Neill, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Press, 1983.

[29] J. Radon, Lineare scharen orthogonaler matrizen, Abh. Sem. Hamburg I (1923), 1–14.

[30] F. Schur, Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann’schen Krümmungsmaas-ses mit den projectiven Räumen, Math. Ann. 27 (1886), 537-567.

[31] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2, 3rd Edition, Publishor Perish, Inc., Houston, Texas, 1999.

[32] J. Stallings, The piecewise-linear structure of Euclidean space, Proc. Cambridge Philos. Soc.58 (1962), 481–488.

[33] C. H. Taubes, Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds, J. Differ. Geom. 25 (1987),363–430.

[34] L. W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2011.

[35] S. Weinberg, Gravitation and cosmology: Principles and applications of the general theory ofrelativity, John Wiley & Sons, Inc., 1972.

92