Χρονοιρές Μάθημα 8 γραμμική ανάλυη...
TRANSCRIPT
Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών
ARMA(p,q) μοντέλο qtqttptptt zzzxxx 1111
Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα
Πλεονεκτήματα: 1. Απλά
2. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη
θεωρία για στοχαστικές διαδικασίες
και στατιστική συμπερασματολογία
3. Χρήσιμα στις εφαρμογές
Μειονεκτήματα: 1. Δεν εξηγούν μη-κανονικές μορφές
της χρονοσειράς
- ασυμμετρία δεδομένων (κατανομής)
- μη-αντιστρεψιμότητα στο χρόνο
- «ξεσπάσματα»
2. Καθοριστικό μέρος:
- σταθερό οριακό σημείο
- ασταθές σύστημα
- ταλάντωση μεταξύ σημείων
αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο
περιγραφή μη-
κανονικών
χαρακτηριστικών
εξήγηση / εντοπισμός σύνθετων
καθοριστικών δομών
Χρονοσειρές - Μάθημα 8 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών
),,,,( 21 tptttt XXXfX Γενικό μη-γραμμικό
μοντέλο
tptttt XXXfX ),,,( 21 Προσθετικός
θόρυβος
p
ptttt
'XXX ,,, 211 X pf :
f ?
tptpttt XXXX 2211
Γραμμικό AR
μοντέλο
Γενικεύσεις / επεκτάσεις του γραμμικού ΑR μοντέλου
p ,,, 21
σταθερά (γραμμικό ΑR)
τυχαίες μεταβλητές - RCA
- BL
σταθερό (γραμμικό ΑR, ARMA)
συνάρτηση των Xt - ARCH
- GARCH
τμηματικά μοντέλα
- SETAR
- Μαρκοβιανά
)1()1(
2
)1(
1 ,,, p )2()2(
2
)2(
1 ,,, p
)()(
2
)(
1 ,,, l
p
ll
Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με αυτό-διεγερμένο κατώφλι
SETAR
ll rrrr ,,,, 110
lrrr 10
lRRR 21
lirrR iii ,,1],,( 1
pΔιαμερισμός του
επιλογή υστέρησης d,
διαμερισμός του για το dtX
t
j
pt
j
pt
j
t
j
t XXXX )()(
2
)(
21
)(
1
jdt RX
SETAR
όταν
)1,0(~0 αν4.00.1
0 αν6.00.2
11
11
t
ttt
ttt
tXX
XXX
Παράδειγμα SETAR
-5 0 5-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x(t-1)
x(t
)
(xt-1
,xt) for a SETAR model
AR μοντέλα με πιθανοκρατική επιλογή του κατωφλιού
Εκθετικά AR μοντέλα (exponential autoregressive models, EAR)
tt
j
t
j
t XXX 2
)(
21
)(
1
1 με2
με1j
tt
j
t
j
t XXX 2
)(
21
)(
1
AR μοντέλα με περιοδικούς συντελεστές (AR models with periodic coefficients)
12 όταν2
2 όταν1
kt
ktj
1
)1(
1 0)1(
2 0)2(
1 2
)2(
2
Παράδειγμα
AR μοντέλα με Μαρκοβιανούς συντελεστές
(Markov chain driven AR models)
ljJ t ,,2,1
Επιλογή κατωφλίου δίνεται από
Μαρκοβιανή αλυσίδα )|( 1 iJjJP tt
Πίνακας μετάβασης
Παράδειγμα
tt
J
t XX t 1
)( 9.0)1( 9.0)2(
8.02.0
9.01.0)|( 1 iJjJP tt =
Τμηματικά πολυωνυμικά μοντέλα
tptttt XXXfX ),,,( 21
1 2( , , , )t m t t t p tX p X X X
πολυώνυμο
τάξης p
βαθμού m
Παράδειγμα
2
1 1 1 1(1 )t t t t tX aX X aX aX λογιστική
απεικόνιση 1a
aa /)1( Δύο σημεία ισορροπίας: 0 και
Κλασματικά αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα
tq
j
j
tj
p
j
j
tj
t
Xbb
Xaa
X
1
10
1
1010 qp
0pa
0qb
Παράδειγμα
Λόγος δύο πολυωνύμων
AR μοντέλα με τυχαίους συντελεστές, RCA
1 ttt XX AR(1) με πολλαπλασιαστικό θόρυβο
p
i
titiit XtBbX1
)( RCA
ib σταθερά )(tBb iii
)(,),(),( 21 tBtBtB pανεξάρτητα των
t
tXτυχαία με μέση τιμή 0
Παράδειγμα
titit XtBX )(1.0 )9.0,0(~ 2tB
Διγραμμικά μοντέλα, BL
BL βαθμού 1: ttttt XbaXX 11
p
i
titiit XtAaX1
)(
s
k
ktjki btA1
)(
)(tAa iii συντελεστές
ts XXts const, tss ,- Αν γραμμικό ως προς το
«Διγραμμικά» γιατί:
ts Xts const, tsX s ,- Αν γραμμικό ως προς το
23
Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με χρονικά
μεταβαλλόμενους συντελεστές (time-varying autoregressive
models) για μη-στάσιμες χρονοσειρές. Παρουσίαση,
εκτίμηση παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές
AR μοντέλα με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα
tX ~ ARCH ~ BL 2
tX
ARCH ttt VX 22
11 ptptt XXV 0
0i
Μοντέλο πολλαπλασιαστικού θορύβου
),0(~ 2 t
GARCH
q
i
iti
p
i
itit VXV11
2
0ittt VX
0
0i
24
Παρουσίαση μοντέλων ARCH, GARCH.
Συνθήκες καταλληλότητας, εκτίμηση
παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές
Διαδικασία ανάλυσης με στατιστικά μη-γραμμικά μοντέλα
1. Επιλογή μοντέλου
2. Εκτίμηση παραμέτρων
- μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας
- μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων
3. Διαγνωστικός
έλεγχος ασυσχέτιστα
ακολουθούν κανονική κατανομή
rgm m 2)(ˆ|ln2)(AIC xθx
Μ υποψήφια μοντέλα, m = 1,...,M
σφάλματα (υπόλοιπα):
Πραγματικές χρονοσειρές
μηχανική
φυσιολογία
γεωφυσική οικονομία
Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα
Χρονοσειρά 1 2, , , nx x x
Υπόθεση:
: τροχιά δυναμικού συστήματος dts
0s : το διάνυσμα θέσης για χρόνο 0
dd: tf συνάρτηση του συστήματος
t : συνεχής ή διακριτός χρόνος
Για χρονοσειρές συστήματα απώλειας ενέργειας
Τροχιά στο d ελκυστής
d:h συνάρτηση παρατήρησης
( )t tx h sΠαρατήρηση:
0( )t
t s f sΜη-γραμμικό δυναμικό σύστημα
Ελκυστής:
● ευσταθές σημείο ισορροπίας
● πεπερασμένο σύνολο σημείων ισορροπίας
● οριακός κύκλος
● τόρος
● παράξενος ελκυστής
αυτό-ομοιότητα – μορφοκλασματικά
χάος ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες
μπορεί να σχηματιστεί
από γραμμικό σύστημα
δε μπορεί να σχηματιστεί
από γραμμικό σύστημα
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα, απεικονίσεις (διακριτός χρόνος)
si = 1 – 1.4 si-12 + 0.3si-2
χαοτική απεικόνιση Henon
2
1
1
1
64.0exp9.01
k
kk
s
iiss
χαοτική απεικόνιση Ikeda
si = a si-1(1 - si-1)
περιοδικό a=3.52 χαοτικό a=4
Λογιστική απεικόνιση
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα,ροές (συνεχής χροόνος)
s3
s1
s2
s1, s2 , s3 Σύστημα Lorenz:
2133
31212
121 )(
sscss
sssbss
ssas
3
82810 cba
Χρόνος δειγματοληψίας τs
Χρονοσειρές με θόρυβο
( )t tx h s
0( )t
t s f s
θόρυβο ( )t t tx h w s
θόρυβος παρατήρησης
θόρυβο
Παρατήρηση
Δυναμικό σύστημα
0( )t
t tf s s
δυναμικός θόρυβος
tw : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με και tx ts
t : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με us tu
Θόρυβος: δυναμικός (συστήματος) ε παρατήρησης (μέτρησης) w
si = a si-1(1 - si-1)
xi = si + wi, wi ~ N(0,s)
λογιστική απεικόνιση
si = a si-1(1 - si-1) + εi , εi ~ N(0,s2) xi = si
χαοτική
περιοδική
Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις
d=1 d=3 d=2
Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις
d=1 d=3 d=2
0 50 100 150 200 250 3000
50
100
150
200
time index i
x(i)
annual sunspots 1700-1996
0 50 100 150 2000
50
100
150
200
x(i)
x(i-1)
sunspots
050
100150
200 0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
x(i-1)
sunspots
x(i)
x(i-2)
0 50 100 150 200 250 3000
100
200
300
400
500
time index i
x(i)
square of AR(9)
0 100 200 300 400 5000
100
200
300
400
500
x(i)
x(i-1)
Square of AR(9)
0200
400600 0
200
400
600
0
100
200
300
400
500
x(i-1)
Square of AR(9)
x(i)
x(i-2)
50 100 150 200 2500
500
1000
1500
2000
time index i
x(i)
square of z-lorenz
0 500 1000 1500 20000
500
1000
1500
2000
x(i)
x(i-1)
square of z-lorenz
0500
10001500
2000 0
500
1000
1500
2000
0
500
1000
1500
2000
x(i-1)
square of z-lorenz
x(i)
x(i-2)