НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И...

ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 269–281 c© 2020

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ВЫСОКАЯОТРАЖАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ МОНОСЛОЯТРЕХУРОВНЕВЫХ КВАНТОВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙС ДУБЛЕТОМ В ВОЗБУЖДЕННОМ СОСТОЯНИИ

Д. Я. Байрамдурдыев a, Р. Ф. Маликов a, И. В. Рыжов b*, В. А. Малышев b,c**

a Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы450008, Уфа, Россия

b Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена198164, Санкт-Петербург, Россия

c Zernike Institute for Advanced Materials, University of Groningen9747 AG, Groningen, The Netherlands

Поступила в редакцию 13 февраля 2020 г.,после переработки 13 февраля 2020 г.Принята к публикации 3 марта 2020 г.

Теоретически исследуется нелинейный оптический отклик монослоя регулярно расположенных трехуров-невых квантовых излучателей с дублетом в возбужденном состоянии на действие монохроматическогоэлектромагнитного поля, квазирезонансного оптическим переходам в излучателе. В приближении сред-него поля учитывается полное запаздывающее диполь-дипольное взаимодействие излучателей. Это взаи-модействие играет роль положительной обратной связи, которая, в сочетании с имманентной нелинейно-стью самих излучателей, приводит к мультистабильности отклика монослоя. Для анализа устойчивостиразличных ветвей последнего используется метод показателей Ляпунова. Найдено, что тип неустойчи-вости зависит от величины расщепления дублета и эволюционирует от автоколебаний к хаосу по мереувеличения расщепления. Другим важным оптическим свойством монослоя является его высокая (прак-тически стопроцентная) отражательная способность в определенной полосе частот, т. е. в данной полосемонослой функционирует как идеальное нанометровое зеркало, причем, отражение может быть переклю-чено на пропускание небольшим изменением амплитуды падающего поля (бистабильность). Обсужда-ются возможности применения перечисленных оптических свойств монослоя в нанофотонике.

DOI: 10.31857/S0044451020080040

1. ВВЕДЕНИЕ

Методы современной микро- и нанотехнологиипозволяют создавать объекты с необычными элек-тромагнитными свойствами, так называемые мета-материалы [1–3], среди которых двумерные супер-кристаллы (СК) полупроводниковых квантовых то-чек (КТ) [4–6] и органических полимеров [7] пред-ставляют особый интерес. Оптические свойства СКзависят от размера КТ, их формы, химического со-става и геометрии решетки и могут быть целена-правленно контролируемы (см. работу [8] и ссылки

* E-mail: [email protected]** E-mail: [email protected]

в ней). К настоящему времени выполнен ряд тео-ретических исследований энергетической структу-ры [8–11] и линейных оптических свойств двумер-ных СК полупроводниковых КТ [12, 13]. В этих ра-ботах были продемонстрированы широкие возмож-ности управления линейным откликом двумерногоСК, что создает платформу для практического при-менения подобных объектов в нанофотонике.

В то же время нелинейные оптические свойствадвумерных СК исследованы в значительно меньшейстепени. В недавних работах [14–17] было показа-но, что нелинейный оптический отклик СК кванто-вых излучателей (КИ) с лестничной схемой [14–16]и Λ-схемой оптических переходов [17] обнаружива-ет мультистабильность, автоколебания и динамиче-ский хаос. Кроме того, в определенной полосе час-

269

http://dx.doi.org/10.31857/S0044451020080040

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

тот СК практически полностью отражает падаю-щее поле, т. е. является идеальным нанометровымзеркалом, которое к тому же бистабильно. Други-ми словами, отражательная способность СК можетбыть переключена от значения, близкого к едини-це, к практически нулевому и обратно при незначи-тельном изменении амплитуды внешнего или управ-ляющего поля. В результате коэффициент отраже-ния монослоя формирует петлю оптического гисте-резиса при сканировании амплитуды внешнего полявверх и обратно.

В настоящей работе мы теоретически исследу-ем нелинейный оптический отклик монослоя, состо-ящего из регулярно расположенных КИ с дублетомв возбужденном состоянии (V-КИ). В качестве та-кого излучателя может выступать, например, полу-проводниковая КТ с вырожденной валентной зонойв магнитном поле [18]. Благодаря высокой плотнос-ти V-КИ и их большой силе осциллятора перехо-дов, диполь-дипольное взаимодействие V-КИ игра-ет определяющую роль в оптическом отклике моно-слоя. Так как средний дипольный момент V-КИ за-висит от текущего квантового состояния последнего,КИ–КИ-взаимодействие также является функциейэтого состояния. Это обеспечивает положительнуюобратную связь, которая в совокупности с имма-нентной нелинейностью самого V-КИ приводит, также как и в случае монослоя КИ с лестничной [14–16]и Λ-схемами оптических переходов [17], к мультиста-бильности отклика монослоя, автоколебаниям, ди-намическому хаосу и к высокой отражательной спо-собности в определенной полосе частот. Здесь умест-но отметить, что, несмотря на глобальное подобиеоткликов указанных систем трехуровневых КИ, фи-зика формирования оптического отклика монослояV-КИ существенно отличается от двух других ана-логов. В случае V-КИ оптические переходы в немизначально связаны диполь-дипольным взаимодей-ствием излучателей, образуя коллективную систе-му с собственными частотами и состояниями, суще-ственно отличающимися от их исходных. Это обсто-ятельство и является главной причиной различийв оптическом отклике монослоя V-КИ и таковых сдругими схемами оптических переходов.

Перечисленные свойства монослоя V-КИ дела-ют данную систему перспективной для различныхприменений в нанофотонике. Предварительные ре-зультаты опубликованы в кратком сообщении [19].Отметим также, что некоторые аспекты неустойчи-вого поведения оптического отклика тонкого слоя свысокой концентрацией V-КИ обсуждались в рабо-тах [20, 21].

Основу нашего подхода к описанию оптическогоотклика монослоя регулярно расположенных V-КИсоставляет система уравнений для матрицы плотно-сти 3 × 3 отдельного V-КИ и уравнений Максвелладля поля. Запаздывающее диполь-дипольное взаи-модействие V-КИ учитывается в приближении сред-него поля, в котором части КИ–КИ-взаимодействияв ближней и дальней зонах отвечают соответствен-но за коллективный сдвиг уровней и за коллектив-ную радиационную релаксацию состояний, завися-щие оба от разности населенностей уровней V-КИ.

Статья организована следующим образом. Вразд. 2 мы представляем нашу модель монослоя иматематический формализм для описания оптиче-ского отклика последнего. В разд. 3 приведены ста-ционарные решения управляющих уравнений и ана-лиз их стабильности (разд. 3.1). Здесь же представ-лены результаты исследования характера неустой-чивостей оптического отклика монослоя (разд. 3.2)и обсуждаются качественно причины возникнове-ния неустойчивостей (разд. 3.3). В разд. 4 рассмат-риваются особенности отражения падающего поляот монослоя. Раздел 5 резюмирует работу и содер-жит анализ возможностей наблюдения найденныхособенностей оптического отклика монослоя V-КИдля параметров реальных систем.

2. МОДЕЛЬ И ФОРМАЛИЗМ

Мы рассматриваем монослой регулярно располо-женных идентичных V-КИ. Схема уровней и пере-ходов изолированного V-КИ изображена на рис. 1,где |1〉 — основное состояние с энергией ε1 = 0, |2〉 и|3〉 — состояния дублета с энергиями соответствен-но ε2 = �ω2 и ε3 = �ω3. Оптически разрешеннымиявляются переходы |1〉 ↔ |2〉 и |1〉 ↔ |3〉, характе-ризующиеся дипольными моментами переходов d21

и d31 (для простоты, вещественными и одинаковонаправленными). Состояния дублета |2〉 и |3〉 спон-танно затухают в основное состояние |1〉 с констан-тами затухания соответственно γ21 и γ31. Безызлу-чательная релаксация в дублете учитывается кон-стантой γ32.

Предполагается, что на монослой падает плоскаяволна E0(t) = E0 cos(ω0t) с частотой ω0, квазирезо-нансной оптическим переходам в V-КИ. Мы ограни-чиваемся геометрией нормального падения и усло-вием коллинеарности внешнего поля и дипольныхмоментов переходов V-КИ (не являющемся принци-пиальным). В этом случае все векторные величиныможно считать скалярами.

270

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

|1�

|2�

|3� �3

�32

�31 �21d31 d21

�2

�1 = 0

Рис. 1. Схема энергетических уровней изолированногоV-КИ, включающая основное состояние |1〉 и дублет |2〉и |3〉 в возбужденном состоянии: ε1 = �ω1 = 0, ε2 = �ω2

и ε3 = �ω3 — энергии этих состояний. Сплошными дву-направленными стрелками отмечены разрешенные опти-ческие переходы, характеризующиеся дипольными момен-тами переходов d21 и d31. Волнистые стрелки обознача-ют радиационное затухание состояний дублета |2〉 и |3〉со скоростями γ21 and γ31. Штриховая стрелка отвечаетбезызлучательной релаксации верхнего состояния дублета

со скоростью γ32

При описании оптического отклика монослоя мыпринимаем приближение среднего поля, т. е. счита-ем, что все динамические переменные V-КИ и поляне зависят от положения в монослое. Данное при-ближение оправдано, строго говоря, лишь для моно-слоя бесконечной протяженности. Однако рассмот-рение системы конечного размера наталкивается насерьезные вычислительные трудности, связанные синтегрированием системы нелинейных дифферен-циальных уравнений огромного ранга. Как мы уви-дим далее, решение нелинейной задачи даже в про-стейшем случае (среднее поле) требует определен-ной аккуратности ввиду возможности неустойчиво-го поведения отклика. В этой связи рассмотрениеуже непростого «нулевого» приближения (среднееполе) имеет определенный смысл.

Оптическая динамика V-КИ в монослое управ-ляется уравнением для оператора плотности ρ(t)

[22, 23], которое во вращающейся с частотой ω0

внешнего поля системе отсчета имеет вид

ρ(t) = − i

�

[HRWA(t), ρ(t)

]+ L{ρ(t)}, (1)

HRWA(t) = � (Δ21σ22 +Δ31σ33) −− i� [Ω31(t)σ31 +Ω21(t)σ21] +H.c., (2)

L{ρ(t)} =1

2γ31 ([σ13ρ(t), σ31] + [σ13, ρ(t)σ31]) +

+1

2γ21 ([σ12ρ(t), σ21] + [σ12, ρ(t)σ21]) +

+1

2γ32 ([σ32ρ(t), σ23] + [σ32, ρ(t)σ32]) , (3)

σij = |i〉〈j|, i, j = 1, 2, 3, (4)

где HRWA — гамильтониан V-КИ во вращающейсясистеме отсчета, [A,B] — коммутатор, L — релак-сационный оператор Линдблада [22, 23], определен-ный уравнением (3). В уравнении (2) Δ21 = ω2 −− ω0 и Δ31 = ω3 − ω0 — отстройки частоты ω0

внешнего поля от частот переходов 2 ↔ 1 и 3 ↔↔ 1. Далее, Ω31(t) = d31E(t)/� = Ω(t) и Ω21(t) =

= d21E(t)/� = μΩ(t) (μ = d21/d3) — амплитуды Рабидействующего на V-КИ поля, отвечающие перехо-дам 3 ↔ 1 и 2 ↔ 1. Амплитуда Раби Ω(t) есть суммаамплитуд Раби Ω0 = d31E0/� внешнего поля, и поля,создаваемого другими V-КИ в месте расположенияданного. В приближении среднего поля Ω(t) даетсяуравнением [16] (здесь и в дальнейшем мы опускаемзависимость всех переменных от времени)

Ω = Ω0 + (γR − iΔL)(ρ31 + μρ21). (5)

Выражения для констант γR и ΔL зависят от со-отношения между латеральным размером решеткиNa (N — латеральное число узлов, a — постояннаярешетки) и длиной волны излучения λ = 2πc/ω0, c—скорость света. Для простой квадратной решетки слатеральным размером Na � λ (точечная система)величины γR и ΔL даются формулами [16]

γR =3

8γ31N

2, (6)

ΔL = 3.39γ31

(λ

a

)3

, (7)

где λ = λ/2π. В противоположном случае Na � λ

(протяженная система) [16]

γR = 4.51γ31

(λ

a

)2

, (8)

ΔL = 3.35γ31

(λ

a

)3

. (9)

Как следует из уравнений (6) и (8), константаγR для точечной системы зависит от полного чис-ла V-КИ в решетке, N2, в то время как в случае

271


протяженной системы величина γR пропорциональ-на числу V-КИ внутри площади размером λ2. Здесьбудет не лишним отметить, что γR есть не что иное,как сверхизлучательная константа Дике [16, 24–26],отвечающая за коллективную релаксацию V-КИ вмонослое. Параметр ΔL практически не зависит отразмера решетки и представляет собой не что иное,как статическое диполь-дипольное взаимодействиеV-КИ. Подчеркнем, что при λ � a (интересующийнас случай) независимо от размера решетки выпол-нено соотношение ΔL � γR, которое, как будет вид-но далее, является определяющим для оптическойдинамики монослоя.

В базисе состояний |1〉, |2〉 и |3〉 уравнение (1)представляет собой систему уравнений для матрич-ных элементов ραβ (α, β = 1, 2, 3):

ρ11 = γ21ρ22 + γ31ρ33 +Ω∗ρ31 +

+Ωρ∗31 + μ(Ω∗ρ21 +Ωρ∗21), (10)ρ22 = γ32ρ33 − γ21ρ22 − μ(Ω∗ρ21 +Ωρ∗21), (11)ρ33 = −(γ31 + γ32)ρ33 − Ω∗ρ31 − Ωρ∗31, (12)

ρ31 = −[iΔ31 +

1

2(γ31 + γ32)

]ρ31 +

+Ω(ρ33 − ρ11) + μΩρ32, (13)

ρ21 = −[iΔ21 +

1

2γ21

]ρ21 +

+ μΩ(ρ22 − ρ11) + Ωρ∗32, (14)

ρ32 = −[iΔ32 +

1

2(γ31 + γ21 + γ32)

]ρ32 −

− μΩ∗ρ31 − Ωρ∗21. (15)

Отметим, что уравнения (10)–(15) сохраняютсуммарную населенность, ρ11+ρ22+ρ33 = 1, т. е. мыне учитываем иных каналов релаксации населеннос-тей, кроме радиационного. Дефазировкой состоя-ний, отличной от радиационной, также пренебрега-ется.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы провели численные расчеты оптического от-клика монослоя, фиксируя константы, определяю-щие γR и ΔL подобными двумерным СК полупро-водниковых КТ [16]: λ ∼ 100–200 нм, a ∼ 10–20 нми γ31 ≈ 3 · 109 c−1. Тогда типичные значения па-раметров γR = 100γ31 и ΔL = 1000γ31. Констан-та релаксации в дублете γ32 выбиралась заданной,γ32 = 0.01γ31. Фактически, в силу γ32 � γ31, эта кон-станта практически не влияет на результаты. Варьи-руемыми величинами являлись дублетное расщеп-

ление Δ32 и отстройка от резонанса Δ31. Все расче-ты выполнены в предположении γ21 = γ31 (μ = 1).В дальнейшем все величины размерности частотыданы в единицах γ31, а время — в единицах γ−1

31 .

3.1. Стационарные решения

В качестве первого шага нашего анализа оптиче-ского отклика монослоя V-КИ рассмотрим стацио-нарные решения управляющих уравнений (10)–(15),формально полагая в них нулю производные по вре-мени. Здесь уместно пояснить, что стационарностьрешения не означает его устойчивости. Как будетвидно далее, стационарное решение может быть какустойчивым, так и неустойчивым.

Для нахождения стационарных решений мы ис-пользовали параметрический метод [16], описанныйв Приложении A. Результаты расчетов представле-ны на рис. 2 и 3. Первый из них получен для случаявозбуждения монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

(Δ31 = 0) в изолированном V-КИ, второй — в центрдублета (Δ31 = Δ32/2). Отметим, что для V-КИ,находящегося в среднем поле («одетого» V-КИ) ис-тинными резонансными условиями являются Δ31 =

= Δ32/2 и Δ31 = 2ΔL (см. Приложение B). Такимобразом, лишь возбуждение в центр дублета, нере-зонансное для изолированного V-КИ, оказываетсярезонансным для одетого V-КИ.

Варьируемым параметром являлась величинадублетного расщепления Δ32. Каждая панель нарис. 2 и 3 состоит из двух частей. На левой изобра-жена зависимость абсолютного значение амплитудыРаби |Ω| поля в монослое от величины амплитудыРаби |Ω0| внешнего поля. Правая часть представля-ет зависимость старшего показателя Ляпунова ре-шения от |Ω| (см. ниже).

Как следует из рис. 2, для всех рассмотрен-ных значений дублетного расщепления Δ32 зави-симость |Ω| от |Ω0| в некотором интервале из-менения |Ω0| многозначна, что означает мульти-стабильность отклика монослоя. При этом харак-тер устойчивости различных ветвей стационарно-го решения различен: фрагменты, изображенныесплошными кривыми, устойчивы, штрихами пока-заны неустойчивые части. Характер устойчивостианализировался с помощью показателей Ляпунова[27, 28], а именно, рассчитывались собственные чис-ла Λk(k = 1, 2, . . . , 8) матрицы Якоби правых ча-стей уравнений (10)–(15) как функции |Ω|. Показа-тель Ляпунова Λk с максимальной действительнойчастью,max{Re[Λ]}, определяет, устойчиво решениеили нет: если max{Re[Λ]} < 0, то решение устой-

272


Рис. 2. Стационарный оптический отклик монослоя привозбуждении монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

(Δ31 = 0) в изолированном V-КИ. Левые части пане-лей — стационарное решение |Ω|(|Ω0 |) системы уравне-ний (5) и (10)–(15), полученное параметрическим методом(см. Приложение А) для значений дублетного расщепле-ния Δ32 = 20 (а), 40 (б), 100 (в). Сплошные (штриховые)фрагменты кривых соответствуют устойчивым (неустой-чивым) частям стационарных решений. Правые части па-нелей — старший показатель Ляпуноваmax{Re[Λ]}. Круж-ками на нижней панели отмечены точки стационарногорешения, для которых в разд. 3.2 рассчитана оптическаядинамика отклика монослоя. Остальные параметры мо-нослоя приведены в тексте. Все величины даны в едини-

цах γ31

0

0

0

100

100

50

20

40

60

200

300

100

100

20

200

50

40

300

60

0

0

0

4

10

10

8

20

20

max{Re[ ]}�

max{Re[ ]}�

max{Re[ ]}�

| |�

| |�

| |�

�32 = 100

�32 = 40

�32 = 20

| |�0

| |�0

| |�0

Рис. 3. То же, что на рис. 2, только для случая возбуж-дения монослоя в центр дублетного расщепления V-КИ(Δ31 = Δ32/2) в изолированном V-КИ. Стрелками на сред-ней панели указаны значения амплитуды Раби |Ω0| внеш-него поля, для которых в разд. 3.2 рассчитана оптическая

динамика отклика монослоя

чиво и наоборот. Другими словами, в первом слу-чае малые отклонения от стационарного решениябудут затухать, возвращая систему в стационарноесостояние, а во втором — возрастать, уводя системуот него. Старший показатель Ляпунова max{Re[Λ]}изображен на правых частях панелей рис. 2 и 3. Ин-

4 ЖЭТФ, вып. 2 (8)273


тересно, что неустойчивыми оказываются не тольковетви с отрицательным наклоном, что обычно, нотакже ветви с положительным наклоном.

Следует отметить тот факт, что поведение ста-ционарного отклика монослоя при возбуждении вцентр дублета (Δ31 = Δ32/2), представленное нарис. 3, существенно отличается от такового при воз-буждении в резонанс с переходом 1 ↔ 3 (Δ31 = 0)в изолированном V-КИ. А именно, в первом случае,в противоположность второму, стационарные реше-ния обнаруживают многозначность только для зна-чения дублетного расщепления Δ32 = 20. В частно-сти, для Δ32 = 40, 100 зависимость |Ω| от |Ω0| явля-ется однозначной. Более того, стационарные реше-ния в существенном являются неустойчивыми. Ха-рактер неустойчивостей стационарных решений об-суждается в следующем разделе.

3.2. Динамика

В этом разделе мы исследуем характер неустой-чивостей оптического отклика монослоя при двухспособах его возбуждения, рассмотренных выше:в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированномV-КИ (Δ31 = 0) и в центр дублетного расщепле-ния (Δ31 = Δ32/2). С этой целью система динами-ческих уравнений (5) и (10)–(15) интегрироваласьчисленно. Здесь уместно подчеркнуть, что даннаясистема уравнений включает в себя несколько силь-но различающихся временных масштабов (γ−1

31 �� γ−1

R � Δ−1L , |Ω0|−1), т. е. принадлежит к классу

так называемых жестких дифференциальных урав-нений, для которых традиционный метод Рунге –Кутта оказывается несостоятельным. Для их ин-тегрирования мы использовали специальные коды,как, например, ОDE23tb пакета MATLAB.

Начальные условия выбирались в зависимостиот типа возбуждения монослоя. В случае возбужде-ния в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированномV-КИ (Δ31 = 0) в качестве начальных брались точ-ки, принадлежащие стационарному решению (см.рис. 2, нижняя панель). Отметим, что эти точкинедостижимы из основного состояния V-КИ, но вних можно попасть, возбуждая стабильную частьверхней ветви стационарного решения и далее адиа-батически уменьшая амплитуду |Ω0| внешнего поля.При возбуждении в центр дублетного расщепления(Δ31 = Δ32/2) нестабильные решения верхней ветвистационарной характеристики могут быть достигну-ты из основного состояния V-КИ, ρ11(0) = 1.

Результаты расчетов представлены на рис. 4 и5 (условия возбуждения оговорены в подписях к

рисункам). На левых панелях изображена динами-ка абсолютной величины |Ω| амплитуды Раби по-ля в монослое, демонстрирующая, независимо отвеличины дублетного расщепления Δ32 и условийвозбуждения, одинаковый сценарий: после некото-рой переходной фазы сигнал приобретает устойчи-вую форму — аттрактор [29–31]. Средние панелирис. 4 и 5 показывают спектр Фурье аттрактора,∣∣∫ exp(iωt)Ω(t) dt

∣∣, правые — его фазовую траекто-рию на плоскости (Re[Ω], Im[Ω]).

Характер аттрактора кардинально зависит оттипа возбуждения и начальных условий. Так, в слу-чае возбуждения монослоя в резонанс с переходом1 ↔ 3 в изолированном V-КИ (Δ31 = 0) и селек-тированных начальных условиях (на верхней неста-бильной ветви стационарного решения, рис. 2, ниж-няя панель) мы наблюдаем следующее. Для точки(|Ω0| = 100, |Ω| = 8.7879) спектр Фурье аттракторасодержит конечное число гармоник, а его фазоваятраектория представляет собой замкнутую кривую,означая, что аттрактором в данном случае являет-ся предельный цикл [29–31]. Для точки (|Ω0| = 200,|Ω| = 18.9398) в качестве начальной спектр Фурьесостоит из набора несоизмеримых частот. Соответ-ственно, фазовая траектория в этом случае описы-вает незамкнутую кривую, лежащую на торе в вось-мимерном фазовом пространстве рассматриваемойсистемы. И, наконец, для точки (|Ω0| = 330, |Ω| == 210.9087) аттрактором опять является предель-ный цикл.

Оптическая динамика монослоя при возбужде-нии в центр дублетного расщепления (Δ31 = Δ32/2),представленная на рис. 5, рассчитывалась для усло-вий, когда V-КИ в начальный момент времени на-ходился в основном состоянии, ρ11(0) = 1. Расчетыбыли выполнены для четырех значений амплитудыРаби |Ω0| внешнего поля, указанных стрелками нарис. 3 (средняя панель). В данном случае реали-зуются следующие типы аттракторов. Для |Ω0| =

= 26 и |Ω0| = 100 система с течением времени вы-ходит в предельный цикл. Для двух других значе-ний, |Ω0| = 50 и |Ω0| = 75, аттракторы имеют хао-тический характер: их спектры представляют собойнепрерывный набор частот, а фазовые траекториизаполняют плотно конечную площадь на фазовойплоскости (Re[Ω], Im[Ω]).

Исходя из изложенного, можно заключить, чтохарактер оптической динамики монослоя карди-нально зависит от начальных условий и условийвозбуждения. При некоторых значениях амплитудыРаби |Ω0| внешнего поля происходит смена динами-ческого режима (аттрактора). Говорят, что систе-

274


Рис. 4. Оптическая динамика монослоя при возбуждении монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированном V-КИ(Δ31 = 0). Левые панели — динамика поля |Ω(t)| в монослое, полученная решением системы уравнений (5) и (10)–(15)для точек на стационарной кривой, указанных на рис. 2 (нижняя панель): а — |Ω0| = 100, |Ω| = 8.7879; б — |Ω0| = 200,|Ω| = 18.9398; в — |Ω0| = 330, |Ω| = 210.9087. Средние панели — спектр Фурье аттрактора. Правые панели — фазовыйпортрет аттрактора на плоскости (Re[Ω], Im[Ω]). На вставках показаны детали основных графиков. Величины, имеющие

размерность частоты, даны в единицах γ31, время — в единицах γ−131

ма испытывает бифуркацию [29–31]. В случае воз-буждения монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

в изолированном V-КИ (Δ31 = 0) мы наблюда-ем бифуркации Андронова –Хопфа [29–31] предель-ный цикл–тор–предельный цикл. При возбуждениив центр дублетного расщепления происходят би-фуркации типа предельный цикл–хаос–предельныйцикл. Точки, где случаются бифуркации, определя-ются из расчета бифуркационной диаграммы откли-ка, что представляет собой самостоятельную задачу.

3.3. Качественные соображения

Представленные выше результаты показывают,что оптический отклик монослоя может быть муль-

тистабильным, а также неустойчивым, демонстри-руя автоколебания и динамический хаос. Причинойтакого поведения является поле (действующее), про-изводимое другими излучателями в месте располо-жения данного. Это поле зависит от текущего кван-тового состояния излучателей, что порождает поло-жительную обратную связь, приводящую в конеч-ном итоге к многозначности и неустойчивости от-клика монослоя. Отметим, что тонкий слой двух-уровневых излучателей. кроме бистабильности, необнаруживает подобных свойств [32–42].

В этом разделе мы обсудим качественно прин-ципиальные нелинейности, которые ответственныза экстраординарные свойства оптического откликамонослоя V-КИ. В наиболее явной форме это прояв-

2754*


15

200

130

3 00

10

0

120

100

200

200

199.8

200

200.5

210

200

210

201

220

200.2

220

| |�

| |�

| |�

| |�

Im| |�

Im| |�

Im| |�

Im| |�

Re| |�

Re| |�

Re| |�

Re| |�

40

200

200

100

100

240

20

0

0

0

210

0

0

0

0

50

50

50

50

100

100

100

100

150

150

150

150

200

200

200

200

–100

–500

–200

–500

0

0

0

0

100

500

500

200

0

1000

6

100

125

8

–100

115

200

t

t

t

t

a

б

г

в

Спектр

Спектр

Спектр

Спектр

8

10

12

14

0

0

5

10

15

0

50

150

– 010

–5

–50

100

�

�

�

�

Рис. 5. То же, что на рис. 4, только для случая возбуждения монослоя в центр дублетного расщепления (Δ31 = Δ32/2)для значений амплитуды Раби |Ω0| внешнего поля, указанных стрелками на рис. 3 (средняя панель): а — |Ω0| = 26; б —

|Ω0| = 50; в — |Ω0| = 75; г — |Ω0| = 100 при начальном условии ρ11(0) = 1

ляется в уравнениях для оптических когерентностейρ31 и ρ21. Подставляя в уравнения (13) и (14) выра-жение (5) для поля Ω, получаем

ρ31 =

= −[i(Δ31 +ΔLZ31)+

1

2(γ31 + γ32)−γRZ31

]ρ31 +

+ μ(γR−iΔL)Z31ρ21+μ(γR−iΔL)(ρ31+μρ21)ρ32 +

+Ω0(Z31 + μρ32), (16)

ρ21 =

= −[i(Δ21 + μ2ΔLZ21) +

1

2γ21 − μ2γRZ21

]ρ21+

+ μ(γR−iΔL)Z21ρ31+(γR−iΔL)(ρ31+μρ21)ρ∗32 +

+Ω0(μZ21 + ρ∗32). (17)

Рассмотрим первые слагаемые в правых частяхуравнений (16) и (17). Обращают на себя вниманиечлены ΔLZ31, μ2ΔLZ21, γRZ31 и μ2γRZ21 в квад-

276


ратных скобах, которые отсутствуют в уравненияхдля изолированного V-КИ и являются прямым след-ствием поля, действующего на V-КИ в монослое.Как видно, это поле приводит, во-первых, к сдви-гу резонансных частот V-КИ на величины ΔLZ31 иμ2ΔLZ21 для переходов соответственно 1 ↔ 3 и 1 ↔↔ 2:

ω3 → ω3 +ΔLZ31, ω2 → ω2 + μ2ΔLZ21,

и, во-вторых, к дополнительному (коллективному)уширению этих переходов:

(1/2)(γ31 + γ32) → (1/2)(γ31 + γ32 − γRZ31),

(1/2)γ21 → (1/2)(γ21 − μ2γRZ21).

Следует особо подчеркнуть, что и сдвиги, и ушире-ния зависят от разности населенностей переходов,т. е. имеют динамическую природу.

Вторые слагаемые в правых частях уравнений(16) и (17) описывают связь оптических переходов1 ↔ 3 и 1 ↔ 2 через действующее поле и, в си-лу этого, пропорциональны его амплитуде γR− iΔL,а также разности населенностей Z31 и Z21. Сдвигичастот переходов и их связь приводит к тому, чтособственные частоты одетого V-КИ (в монослое), накоторых он резонансно откликается на внешнее по-ле, существенно отличаются от значений ω3 и ω2 визолированном V-КИ (см. Приложение B для дета-лей).

После включения внешнего поля уровни одетогоV-КИ начинают заселяться и, соответственно, сдви-гаться, приводя одновременно к изменению резо-нансных условий и перераспределению населенно-

стей. Взаимное влияние этих факторов и являет-ся главной причиной сложной оптической динамикимонослоя.

4. ОТРАЖЕНИЕ

В нашем анализе нелинейного отклика монослояV-КИ мы использовали поле Ω, действующее наV-КИ. В эксперименте, как правило, измеряются от-раженное Ωrefl или прошедшее Ωtr поля, которыеотличаются от действующего поля Ω. Поля Ωrefl иΩtr определяются частью Ω в дальней зоне и даютсявыражениями (см., например, ссылки [16,26, 36]):

Ωrefl = γR(ρ31 + μρ21), (18)

Ωtr = Ω0 + γR(ρ31 + μρ21). (19)

Нас интересует, в частности, отражательная спо-собность монослоя или, другими словами, коэффи-циент отражения R светового потока (мощности),который определяется как

R =

∣∣∣∣Ωrefl

Ω0

∣∣∣∣2

. (20)

4.1. Линейный режим

Рассмотрим прежде всего линейный режимомотражения (|Ω0 � 1, ρ11 ≈ 1). С этой целью удер-жим в уравнениях (13) и (14) лишь линейные по Ω0

слагаемые. Ограничимся также исследованием уста-новившегося (стационарного) режима. Подставляяв формулу (20) линейное решение уравнений дляρ31 и ρ21, для коэффициента отражения R найдем

R = γ2R

∣∣∣∣∣∣∣∣μ2

[iΔ31 +

1

2(γ31 + γ32)

]+ iΔ21 +

1

2γ21[

i(Δ31 −ΔL) +1

2(γ31 + γ32) + γR

] [i(Δ21 − μ2ΔL) +

1

2γ21 + μ2γR

]− μ2(γR − iΔL)2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

. (21)

Зависимость R(Δ31) в широком диапазоне изме-нения дублетного расщепления Δ32 приведена нарис. 6. Как видно, отражение от монослоя имеет двапика на собственных частотах одетого V-КИ. Пикуслабого отражения (R � 1) при Δ31 ≈ Δ32/2 отве-чает антисимметричное («темное») состояние оде-того V-КИ, в то время как пику сильного (R ≈ 1)при Δ31 ≈ 2ΔL = 2000 — симметричное («светлое»)состояние (см. Приложение B).

4.2. Нелинейный режим

Рассмотрим теперь нелинейный режим отраже-ния. На рис. 7 показана зависимость коэффициентаотраженияR монослоя от интенсивности |Ω0|2 внеш-него поля, рассчитанная для различных значенийотстройки от резонанса Δ31 в окрестности пика пол-ного отражения (R ≈ 1). Результаты практически независят от величины дублетного расщепления Δ32.

277


а б

00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

000

50

100

150

200

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.

1000 200025 50 75�31 �31

�32 RR

Рис. 6. (В цвете онлайн) Контурное изображение линей-ного коэффициента отражения R монослоя, рассчитанноена основании формулы (9). Виден слабый пик отраженияв области Δ31 ≈ Δ32/2 (а) и пик практически полного

отражения (R ≈ 1) в области Δ31 ≈ 2ΔL (б)

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1000 2000 3000 4000

| |�02

�32 = 100

�31 = 2000

�31 = 1900

�31 = 1500

�31 = 1750 thresholdth

R

Рис. 7. Бистабильность (нелинейного) коэффициента от-ражения R монослоя в зависимости от отстройки Δ31 отрезонанса, значения которой указаны около кривых. Кри-вые получены решением нелинейной стационарной задачиметодом, описанным в Приложении A. Дублетное расщеп-ление Δ32 = 100; Δth

31 = 1750 — порог возникновения би-стабильности. Сплошные (штриховые) фрагменты кривых

отвечают устойчивым (неустойчивым) участкам R

Поэтому в целях иллюстрации мы приводим дан-ные, полученные для Δ32 = 100 (ср. с рис. 6). Изрис. 7 следует, что в диапазоне отстройки Δ31 вышепика линейного отражения при Δ31 = 2ΔL = 2000

коэффициент отражения R является трехзначнойфункцией интенсивности |Ω0|2. Анализ стабильно-сти (показателей Ляпунова) различных ветвей пока-зал, что ветви с отрицательным наклоном неустой-чивы, подразумевая, тем самым, бистабильность от-ражения, т. е. отражательная способность монослояможет быть переключена от низкого значения к вы-сокому и обратно небольшим изменением интенсив-

ности внешнего поля. Другими словами, в областипика сильного отражения (R ≈ 1) монослой можетфункционировать как бистабильное зеркало. Порогбистабильности (возникновение трехзначного реше-ния) для принятых значений параметров оказыва-ется Δth

31 = 1750. Это значение с высокой степеньюточности совпадает с таковым для двухуровневоймодели КИ, в которой Δth

21 =√3ΔL = 1732 [26, 36].

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы провели теоретическое исследование оптиче-ского отклика монослоя регулярно расположенныхквантовых излучателей с дублетом в возбужденномсостоянии (V типа) с учетом их полного запаздыва-ющего диполь-дипольного взаимодействия, котороерассмотрено в приближении среднего поля. Данноевзаимодействие, в силу его зависимости от текущегоквантового состояния излучателя, обеспечивает по-ложительную обратную связь, которая вместе с им-манентной нелинейностью самих излучателей при-водит к мультистабильности, периодическим и апе-риодическим автоколебаниям и динамическому хао-су в оптическом отклике монослоя. В качестве реа-лизации такой системы могут рассматриваться су-перкристаллы полупроводниковых КТ с вырожден-ной валентной зоной в магнитном поле [18], котороевызывает зеемановское расщепление зоны проводи-мости квантовой точки. Асимметричные полупро-водниковые квантовые точки, в которых анизотроп-ное обменное взаимодействие электрона и дырки яв-ляется причиной дублетного расщепления одноэкси-тонного состояния (см., например, работу [43]), так-же могут служить моделью квантового излучателяV типа.

Для параметров реальных суперкристаллов по-лупроводниковых квантовых точек частоты авто-колебаний попадают в терагерцевый диапазон, т. е.автоколебательный режим отклика монослоя, пред-ставляет интерес для терагерцевых источников из-лучения. Чувствительность отклика монослоя к на-чальным условиям в режиме динамического хаосаможет быть использована для кодирования инфор-мации [44].

В определенной полосе частот монослой функ-ционирует как бистабильное зеркало, т. е. его от-ражательная способность может быть переключе-на небольшим изменением амплитуды внешнего по-ля от состояния практически полного отражения кпропусканию. В недавних работах [45, 46] сообща-лось об аналогичных свойствах двумерных полупро-

278


водников дихалькогенидов переходных металлов.Рассмотренный в настоящей работе (мета)монослойквантовых излучателей со схемой оптических пере-ходов V типа представляет собой еще один примернанометрового бистабильного зеркала.

Перечисленные особенности нелинейного опти-ческого отклика монослоя квантовых излучателей сдублетом в возбужденном состоянии представляют-ся чрезвычайно перспективными для применений внанофотонике.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Решение стационарной задачи

Стационарные решения рассматриваемой задачи(ραβ = 0, α, β = 1, 2, 3) находятся из следующей сис-темы нелинейных алгебраических уравнений:

(γ21 + 2γ32)Z31 − (2γ21 + γ32)Z21 −− 3μ(Ω∗ρ21 +Ωρ∗21) = γ21 − γ32, (22)

2(γ31 + γ32)Z31 − (γ31 + γ32)Z21 +

+ 3(Ω∗ρ31 +Ωρ∗31) = −(γ31 + γ32), (23)

ΩZ31 −[iΔ31 +

1

2(γ31 + γ32)

]ρ31 +

+ μΩρ32 = 0, (24)

μΩZ21 −(iΔ21 +

1

2γ21

)ρ21 +Ωρ∗32 = 0, (25)

μΩ∗ρ31 +[iΔ32 +

1

2(γ31 + γ21 + γ32)

]ρ32 +

+Ωρ∗21 = 0, (26)Ω = Ω0 + (γR − iΔL)(ρ31 + μρ21), (27)

где мы использовали подстановку

ρ22 =1

3(1−Z31+2Z21), ρ33 =

1

3(1+2Z31−Z21).

Далее, определим два вектора:

r = (Z31, Z21, ρ31, ρ21, ρ32, ρ∗31, ρ

∗21, ρ

∗32),

r0 = (γ21 − γ32,−(γ31 + γ32), 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Тогда система уравнений (22)–(26) может быть пе-реписана в матричной форме:

MrT = rT0 , (28)

где символ T означает транспонирование, а явныйвид матрицы Mij , i, j = 1, 2, . . . , 8 может быть лег-ко восстановлен из уравнений (22)–(26). Формаль-ное решение уравнения (28) имеет вид

rT = M−1rT0 , (29)

где обратная матрица M−1 может быть найдена вявном виде. Подчеркнем, что как M, так и M−1 и,соответственно, решение уравнения (29) параметри-чески зависят от Ω. После того как вектор r най-ден, мы можем использовать его в выражении (27)и получить замкнутое уравнение для Ω. Зная Ω,нетрудно восстановить все элементы матрицы плот-ности, используя решение (29) (для деталей см. ра-боту [16]). Таким образом, стационарная задача мо-жет быть решена точно.

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Нормальные моды одетого V-КИ

Как отмечалось в разд. 3.3, оптические переходы1 ↔ 2 и 1 ↔ 3 одетого V-КИ, во-первых, приобрета-ют частотные сдвиги и дополнительные уширенияи, во-вторых, взаимодействуют благодаря действу-ющему полю. Мы интересуемся нормальными мода-ми этой системы в линейном случае (|Ω0| � 1, ρ11 ≈≈ 1). Они находятся из решения однородной задачи(Ω0 = 0):

ρ31 = [iΔL − Γ3] ρ31 − μ(γR − iΔL)ρ21, (30)

ρ21 =[i(Δ32 + μ2ΔL)− Γ2

]ρ21 −

− μ(γR − iΔL)ρ31, (31)

где мы положили Δ31 = 0 и Δ21 = −Δ32 (внешнееполе отсутствует) и ввели обозначения

Γ2 =1

2γ21 + μ2γR, Γ3 =

1

2(γ31 + γ32) + γR.

Далее, ищем стандартным образом решение в видеραβ = Rαβ exp(κt). Приравнивая нулю определительполучившейся системы алгебраических уравнений,найдем уравнение для собственных частот нормаль-ных мод:

κ2−{i[(1+μ2)ΔL+Δ32

]−Γ2−Γ3

}κ+(iΔL−Γ3)×

× [i(Δ32 + μ2ΔL)− Γ2]− μ2(γR − iΔL)2 = 0. (32)

Мы не приводим общего выражения для корней κ±уравнения (32) в силу его громоздкости. Ограни-чимся случаем μ = 1. Тогда

κ± =1

2

[i(2ΔL +Δ32)− Γ2 − Γ3

]±± 1

2

[(iΔ32 + Γ3 − Γ2)

2 + 4(iΔL − γR)2]1/2

. (33)

279


Далее, учтем то обстоятельство, что для рассматри-ваемых в работе условий величина ΔL много боль-ше всех остальных (Δ32,Γ2,Γ3, γR), так что в κ±можно использовать разложение в ряд Тейлора помалым параметрам Δ32/ΔL,Γ2/ΔL,Γ3/ΔL, γR/ΔL.При этих предположениях выражения для корнейκ± приобретают вид

κ+ = i

(2ΔL +

1

2Δ32

)− 1

2(Γ2 + Γ3 + 2γR) =

= i

(2ΔL+

1

2Δ32

)−1

4(γ21+γ31+γ32)−2γR, (34)

κ− =1

2iΔ32 − 1

2(Γ2 + Γ3 − 2γR) =

=1

2iΔ32 − 1

4(γ21 + γ31 + γ32). (35)

Отсюда следует, что исходные частоты −ΔL и−(ΔL + Δ32) (см. уравнения (30) и (31)), отстро-енные одна от другой на величину ΔL, кардиналь-ным образом перенормируются вследствие взаимо-действия: частоты нормальных мод имеют значения−Δ32/2 и −(2ΔL + Δ32/2) и отстоят друг от другана величину 2ΔL. Релаксационные константы нор-мальных мод также значительно модифицируются:мода «+» содержит теперь удвоенную коллектив-ную константу γR, в то время как в моде «−» онавовсе отсутствует.

Используя алгебраические уравнения для амп-литуд R31 и R21, можно найти отношение R31/R21 вмодах «+» и «−». Несложные вычисления показы-вают, что

R+31/R

+21 = 1 +O(Δ32/ΔL),

R−31/R

−21 = −1 +O(Δ32/ΔL),

т. е. в моде «+» амплитуды R31 и R21 складываютсяв фазе (симметричная, или светлая мода), а в моде«−» в противофазе (антисимметричная, или темнаямода). Это и определяет связь этих мод с внешнимполем: соответственно сильную или слабую. Смеше-ние мод линейно зависит от величины дублетногорасщепления Δ32. Это находит свое подтверждениев линейном режиме отражения (см. рис. 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. N. I. Zheludev, Science 328, 582 (2010).

2. C. M. Soukoulis and M. Wegener, Science 330, 1633(2010).

3. Y. Liu and X. Zhang, Chem. Soc. Rev. 40, 2494(2011).

4. W. H. Evers, B. Goris, S. Bals, M. Casavola,J. de Graaf, R. van Roij, M. Dijkstra, and D. Van-maekelbergh, Nano Lett. 13, 2317 (2013).

5. M. P. Boneschanscher, W. H. Evers, J. J. Geu-chies, T. Altantzis, B. Goris, F. T. Rabouw,S. A. P. van Rossum, H. S. J. van der Zant,L. D. A. Siebbeles, G. Van Tendeloo, I. Swart, J. Hil-horst, A. V. Petukhov, S. Bals, and D. Vanmaekel-bergh, Science 344, 1377 (2014).

6. A. V. Baranov, E. V. Ushakova, V. V. Golubkov,A. P. Litvin, P. S. Parfenov, A. V. Fedorov, andK. Berwick, Langmuir 31, 506 (2015).

7. W. Liu, X. Luo, Y. Bao, Y. P. Liu, G.-H. Ning, I. Ab-delwahab, L. Li, C. T. Nai, Z. G. Hu, D. Zhao, B. Liu,S. Y. Quek, and K. P. Loh, Nature Chem. 9, 563(2017).

8. A. S. Baimuratov, I. D. Rukhlenko, V. K. Turkov,A. V. Baranov, and A. V. Fedorov, Sci. Rep. 3, 1727(2013).

9. A. S. Baimuratov, I. D. Rukhlenko, and A. V. Fedo-rov, Opt. Lett. 38, 2259 (2013).

10. A. S. Baimuratov, A. I. Shlykov, W. Zhu, M. Yu. Leo-nov, A. V. Baranov, A. V. Fedorov, and I. D. Rukh-lenko, Opt. Lett. 42, 2223 (2017).

11. I. A. Vovk, N. V. Tepliakov, A. S. Baimuratov,M. Yu. Leonov, A. V. Baranov, A. V. Fedorov,and I. D. Rukhlenko, Phys. Chem. Phys. 20, 25023(2018).

12. J. F. Nossa and A. S. Camacho, Microelectron. J. 38,1251 (2008).

13. A. S. Baimuratov, Y. K. Gun’ko, A. V. Baranov,A. V. Fedorov, and I. D. Rukhlenko, Sci. Rep. 6,23321 (2016).

14. R. Malikov, I. Ryzhov, and V. Malyshev, Eur. Phys.J. Web Conf. 161, 02014 (2017).

15. V. A. Malyshev, P. A. Zapatero, A. V. Malyshev,R. F. Malikov, and I. V. Ryzhov, J. Phys.: Conf. Ser.1220, 012006 (2019).

16. I. V. Ryzhov, R. F. Malikov, A. V. Malyshev, andV. A. Malyshev, Phys. Rev. A 100, 033820 (2019).

17. I. Ryzhov, R. Malikov, A. Malyshev, and V. Maly-shev, Eur. Phys. J. Web Conf. 220, 02012 (2019).

18. Al. L. Efros, M. Rosen, M. Kuno, M. Nirmal,D. J. Norris, and M. Bawendi, Phys. Rev. B. 54, 4843(1996).

280


19. D. Bayramdurdiyev, R. Malikov, I. Ryzhov, andV. Malyshev, Eur. Phys. J. Web Conf. 220, 03004(2019).

20. Р. А. Власов, А. М. Демеза, М. Г. Гладуш,Ж. при-кладной спектр. 80, 711 (2013).

21. R. A. Vlasov, A. M. Lemeza, and M. G. Gladush,Las. Phys. Lett. 10, 045401 (2013).

22. G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 48, 119 (1976).

23. K. Blum, Density Matrix: Theory and Applications,Springer, Berlin (2012).

24. R. H. Dicke. Phys. Rev. 93, 99 (1954).

25. Р. Ф. Маликов, Е. Д. Трифонов, А. И. Зайцев,ЖЭТФ 76, 65 (1979).

26. M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radiance:Multiatomic Coherent Emission, IOP Publ., Bristol(1996).

27. J. -P. Eckmann and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys. 57,617 (1985).

28. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to theModern Theory of Dynamical Systems, CambridgeUniv. Press (1997).

29. A. A. Andronov, A. A. Vitt, and S. E. Khaikin, Theo-ry of Oscillators, Pergamon Press, New York (1966).

30. J. Guckenheimerand P. Holmes, Nonlinear Oscilla-tions, Dynamical Systems and Bifurcations of VectorFields, Springer, Berlin (1986).

31. V. I. Arnol’d (Ed.), V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il’ya-shenko, and L. P. Shil’nikov, Dynamical Systems V:Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Sprin-ger, Berlin (1994).

32. Y. Ben-Aryeh, C. M. Bowden, and J. C. Englund,Phys. Rev. A 34, 3917 (1086).

33. С. М. Захаров, Э. А. Маныкин, Поверхность 2, 137(1988).

34. А. М. Башаров, ЖЭТФ 94, 82 (1988).

35. М. Г. Бенедикт, А. И. Зайцев, В. А. Малышев,Е. Д. Трифонов, Опт. и спектр. 68, 812 (1990).

36. M. G. Benedict, A. I. Zaitsev, V. A. Malyshev, andE. D. Trifonov, Phys. Rev. A 43, 3845 (1991).

37. A. N. Oraevsky, D. J. Jones, and D. K. Bandy, Opt.Commun. 111, 163 (1994).

38. V. A. Malyshev and E. Conejero Jarque, Opt. Expe-ress 6, 227 (2000).

39. H. Glaeske, V. A. Malyshev, and K.-H. Feller, J.Chem. Phys. 113, 1170 (2000).

40. J. A. Klugkist, V. A. Malyshev, and J. Knoester, J.Chem. Phys. 127, 164705 (2007).

41. Р. Ф. Маликов, В. А. Малышев, Опт. и спектр. 122,1000 (2017).

42. R. F. Malikov and V. A. Malyshev, Eur. Phys. J. WebConf. 161, 03005 (2017).

43. S. Stufler, P. Machnikowski, P. Ester, M. Bichler,V. M. Axt, T. Kuhn, and A. Zrenner, Phys. Rev.B 73, 125304 (2006).

44. T. Gao and Z. Chen, Phys. Lett. A 372, 394 (2008).

45. P. Back, S. Zeytinoglu, A. Ijaz, M. Kroner, andA. Imamoglu, Phys. Rev. Lett. 120, 037401 (2018).

46. G. Scuri, Y. Zhou, A. A. High, D. S. Wild, C. Shu,K. De Greve, L. A. Jauregui, T. Taniguchi, K. Wata-nabe, P. Kim, M. D. Lukin, and H. Park, Phys. Rev.Lett. 120, 037402 (2018).

281

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И...

Documents