ระบบเลขฐานและรหั�สระบบเลขฐานและรหั�ส((Number Systems and CodesNumber Systems and Codes))

ออ.. โสภาพรรณ ส�วรรณสว�างโสภาพรรณ ส�วรรณสว�าง

Number SystemsNumber Systems

ตั�วเลขที่��ใช้�กั�นเป็!นป็ระจำ#าในช้�ว$ตัป็ระจำ#าคื&อเลขฐานส$บตั�วเลขที่��ใช้�กั�นเป็!นป็ระจำ#าในช้�ว$ตัป็ระจำ#าคื&อเลขฐานส$บ แตั�ละหัล�กัของเลขฐานส$บ แตั�ละหัล�กัของเลขฐานส$บ จำะมี�คื�าตั�(งแตั� จำะมี�คื�าตั�(งแตั� 0, 1, 2, 3, 4,…, 9 0, 1, 2, 3, 4,…, 9 เที่�าน�(นเที่�าน�(น

ตั�วอย่�างเช้�นตั�วอย่�างเช้�น (257)10

=2 102 +5 101 +7 100

ดั�งน�(น ถ้�าเป็!นเลขฐานใดั ๆ สามีารถ้เข�ย่นเป็!นร-ป็แบบที่��วไป็ดั�งน�(น ถ้�าเป็!นเลขฐานใดั ๆ สามีารถ้เข�ย่นเป็!นร-ป็แบบที่��วไป็ ( general form ) ( general form ) ไดั�ดั�งน�(ไดั�ดั�งน�(

(an a -n 1 … a1

a0

)b = = a n bn + a - n 1

b -n 1 + … + a 1 b1 + a 0 b0aann หัมีาย่ถ้0งตั�วเลข สหัมีาย่ถ้0งตั�วเลข ส..ป็ป็..สส . . แตั�ละแตั�ละหัล�กัของเลขฐานหัล�กัของเลขฐานbb หัมีาย่ถ้0งเลขฐานหัมีาย่ถ้0งเลขฐาน

Number SystemsNumber Systems

เลขฐานสอง (Binary) เป็�นกลุ่��มตั�วเลุ่ขที่��แตั�ลุ่ะหลุ่�กม�ค่�า 0 หรื�อ 1 เที่�าน��นเลขฐานแป็ดั (Octal number) เป็�นกลุ่��มตั�วเลุ่ขที่��แตั�ลุ่ะหลุ่�กม�ค่�า 0 ถึ�ง 7

เลขฐานส$บหักั (Hexadecimalnumber) เป็�นกลุ่��มตั�วเลุ่ขที่��แตั�ลุ่ะหลุ่�กม�ค่�า

AA AA AA A A AA A0 1 9

Number SystemsNumber Systems

1. กัารแป็ลงเลขฐาน (Converting System Number)1.1 1.1 กัารแป็ลงเลขฐานใดั ๆ เป็!นเลขฐานส$บ กัารแป็ลงเลขฐานใดั ๆ เป็!นเลขฐานส$บ

(an a -n 1 … a1

a0

)b = ( an bn + a -n 1 b - n 1 + … + a1

b1 + a0

)10

(0.a-1 a-2… a-n)b = ( a-1 b-1 + a-2 b-2+ … + a-n b-n )10

กัรณ� ที่��มี�จำ�ดัที่ศน$ย่มี กัรณ� ที่��มี�จำ�ดัที่ศน$ย่มี

กัรณ� ที่��เป็!นจำ#านวนเตั2มี กัรณ� ที่��เป็!นจำ#านวนเตั2มี

aann หัมีาย่ถ้0งตั�วเลข สหัมีาย่ถ้0งตั�วเลข ส..ป็ป็..สส . . แตั�ละแตั�ละหัล�กัของเลขฐานหัล�กัของเลขฐานbb หัมีาย่ถ้0งเลขฐานหัมีาย่ถ้0งเลขฐาน

Number SystemsNumber Systems

ExampleExample (FEO (FEO. 3E. 3E))1616

15= 15= 161622 14+ 14+

161611 0+ 0+ 161600 . . 33 1616-1-1 ++ 14 14 1616-2-2

= (4064 = (4064.2422.2422))1010

1. กัารแป็ลงเลขฐาน (Converting System Number)1.1 1.1 กัารแป็ลงเลขฐานใดั ๆ เป็!นเลขฐานส$บ กัารแป็ลงเลขฐานใดั ๆ เป็!นเลขฐานส$บ

ExampleExample (11101(11101.01.01))22

== 11 2 244 ++ 1 1 2233 ++ 11 2 222 ++ 00 2 211 ++ 11 2 2 0 0 .. 0 0 22-1-1 + +

1 1 22 -2-2

== (29(29.25.25))1010

ExampleExample (310 (310.623.623))88

3 3 3 3 8822 3 1 3 1 8844 3 0 3 0 8800 . 6. 6 88 -1-1 + +22 88 -2-2 + +33 88 -3-3

= (200 = (200.7871.7871))1010

(11101(11101.01.01))22 , , (310(310.623.623))88 ,, (FEO(FEO. 3E. 3E))1616

Number SystemsNumber Systems

11000

0.25 2 0.50

0.50 2 1.00

0 1

1. กัารแป็ลงเลขฐาน (Converting System Number)1.1 1.1 กัารแป็ลงเลขฐานส$บเป็!นเลขฐานใดั ๆ กัารแป็ลงเลขฐานส$บเป็!นเลขฐานใดั ๆ

กัารแป็ลงเลขฐานส$บที่��อย่-�กัารแป็ลงเลขฐานส$บที่��อย่-�หัน�าจำ�ดัที่ศน$ย่มีหัน�าจำ�ดัที่ศน$ย่มีใหั�เป็!นเลขฐานใดั ๆ ใหั�เป็!นเลขฐานใดั ๆ ที่#าไดั�โดัย่ใช้�กัารตั�(งหัารที่#าไดั�โดัย่ใช้�กัารตั�(งหัารและหัาเศษ คื#าตัอบที่��ไดั�คื&อตั�วเลขเศษที่��และหัาเศษ คื#าตัอบที่��ไดั�คื&อตั�วเลขเศษที่��

น#ามีาตั�อเร�ย่งกั�นจำากัข�างล�างถ้0งข�างบนเร�ย่งตัามีล#าดั�บ น#ามีาตั�อเร�ย่งกั�นจำากัข�างล�างถ้0งข�างบนเร�ย่งตัามีล#าดั�บ ส#าหัร�บเลขฐานส$บที่��อย่-�หัล�งจำ�ดัที่ศน$ย่มีหัล�งจำ�ดัที่ศน$ย่มีจำะตั�องใช้�ว$ธี�กัารคื-ณใช้�ว$ธี�กัารคื-ณ แล�วเกั2บผลล�พธี7ในตั#าแหัน�งที่��เป็!นจำ#านวนเตั2มีส�วนคื�าหัล�ง

จำ�ดัที่ศน$ย่มีที่��เหัล&อ จำะคื-ณดั�วย่เลขฐานน�(น ๆ ตั�อไป็จำนกัว�าผลคื-ณจำะมี�เฉพาะจำ#านวนเตั2มี (เศษเป็!น 0) หัร&อเพ�ย่งพอกั�บคืวามี

ตั�องกัาร

Example จงแป็ลุ่งเลุ่ขฐาน (24.25)10

เป็�นเลุ่ขฐานสอง, ฐานแป็ด, แลุ่ะฐานส#บหก

.01

24)) 12

6))

31

0001

2222

Number SystemsNumber Systems

ExampleExample (24.25) (24.25)1010 (…) (…)88

SolutionSolution

ExampleExample (24.25) (24.25)1010 (…) (…)1616

SolutionSolution

1.1.22 กัารแป็ลงเลขฐานระหัว�างเลขฐาน กัารแป็ลงเลขฐานระหัว�างเลขฐาน 2 8 2 8 และ และ 1616

Number SystemsNumber Systems

1. กัารแป็ลงเลขฐาน (Converting System Number)

จำากักัารพ$จำารณาจำากักัารพ$จำารณาเลขฐานแป็ดั เลขฐานแป็ดั 1 1 หัล�กั หัล�กั จำะเที่�ากั�บ จำะเที่�ากั�บ เลขเลขไบนาร� ไบนาร� 3 3 หัล�กัหัล�กั เลขฐานส$บหักั เลขฐานส$บหักั 11หัล�กั หัล�กั จำะเที่�ากั�บ จำะเที่�ากั�บ เลขเลขไบนาร� ไบนาร� 4 4 หัล�กัหัล�กั

ดั�งน�(นกัารแป็ลงจำากัเลขฐานสอง เป็!นเลขฐานแป็ดั หัร&อ เลข ดั�งน�(นกัารแป็ลงจำากัเลขฐานสอง เป็!นเลขฐานแป็ดั หัร&อ เลข ฐานส$บหักั ใหั�ที่#ากัารแบ�งเลขฐาน ฐานส$บหักั ใหั�ที่#ากัารแบ�งเลขฐาน 2 2 ที่�ละ ที่�ละ 3 3 หัล�กั หัร&อ หัล�กั หัร&อ 4 4 หัล�กั หัล�กั

โดัย่เลขฐานหัน�าจำ�ดัจำะแบ�งจำากัข�างหัล�งมีาข�างหัน�า เลขหัล�งจำ�ดั โดัย่เลขฐานหัน�าจำ�ดัจำะแบ�งจำากัข�างหัล�งมีาข�างหัน�า เลขหัล�งจำ�ดั จำะแบ�งจำากัหัน�าไป็หัล�ง แล�วจำ0งที่#ากัารแป็ลงเป็!นเลขฐานแป็ดั จำะแบ�งจำากัหัน�าไป็หัล�ง แล�วจำ0งที่#ากัารแป็ลงเป็!นเลขฐานแป็ดั

หัร&อเลขฐานส$บหักั ตัามีล#าดั�บ หัร&อเลขฐานส$บหักั ตัามีล#าดั�บExampleExample (11101100101.0110)2 (…)(…)8 8 และ และ (…)(…)1616011 101 100 101 . 011 000 = (3545.30)= (3545.30)88

3 5 4 5 . 3 0

0111 0110 0101 . 0110 = (765.6)16

7 6 5 . 6

Number SystemsNumber Systems

ExerciseExercise 1. 1. จำงแป็ลงเลขตั�อไป็น�(ใหั�เป็!นฐานจำงแป็ลงเลขตั�อไป็น�(ใหั�เป็!นฐานส$บ ส$บ ((aa ) ) (101.01)(101.01)22 (b) (b) (137.42)(137.42)88 (c) (1F.8) (c) (1F.8)1616

2. 2. จำงแป็ลง จำงแป็ลง ((58.937558.9375))1010

ใหั�ใหั�เป็!นเลขฐานแป็ดัเป็!นเลขฐานแป็ดั

3. 3. จำงแป็ลง จำงแป็ลง (8 7(8 7 .46875.46875))

1010 ใหั�เป็!นเลขฐานส$บหักัใหั�เป็!นเลขฐานส$บหักั

4. 4. จำงแป็ลงเลขตั�อไป็น�(ใหั�เป็!นฐานจำงแป็ลงเลขตั�อไป็น�(ใหั�เป็!นฐานแป็ดัและฐานส$บหักัแป็ดัและฐานส$บหักั ((aa ) ) (101110101.10111)(101110101.10111)22 (b) (11010110.110111) (b) (11010110.110111)22

5. 5. จำงแป็ลง จำงแป็ลง (524.61)(524.61)88

ใหั�เป็!นใหั�เป็!นเลขฐานส$บหักัเลขฐานส$บหักั 6. 6. จำงแป็ลง จำงแป็ลง ((6DA.5E6DA.5E))1616 ใหั�ใหั�เป็!นเลขฐานแป็ดัเป็!นเลขฐานแป็ดั

CodesCodes

กัารน#าเลขฐานสองไป็ใช้�งานจำ#าเป็!นตั�องน#าเลขฐานสองมีารวมีกั�น สร�างข0(นใน

ร-ป็ของรหั�ส (Code) เพ&�อคืวามีสะดัวกัในกัารใช้�ตั$ดัตั�อส&�อสารกั�บคือมีพ$วเตัอร7ในกัารเข�ารหั�สและถ้อดัรหั�ส

ที่#าไมีตั�องมี�รหั�สตั�วเลข ?

คื#าจำ#ากั�ดัคืวามีของกัล��มีเลขฐานสองที่��น#ามีารวมีกั�น มี�ช้&�อเร�ย่กัดั�งตั�อไป็น�( คื#าจำ#ากั�ดัคืวามีของกัล��มีเลขฐานสองที่��น#ามีารวมีกั�น มี�ช้&�อเร�ย่กัดั�งตั�อไป็น�(

CodesCodes

1. 1. รหั�ส รหั�ส BCD (Binary Code Decimal) BCD (Binary Code Decimal)

เป็!นกัารแที่นเลขฐานส$บหัน0�งตั�ว ดั�วย่เลขไบนาร��ขนาดัเป็!นกัารแที่นเลขฐานส$บหัน0�งตั�ว ดั�วย่เลขไบนาร��ขนาดั 4 4 บ$ตัดั�งน�(นคื�าของเลข บ$ตัดั�งน�(นคื�าของเลข BCD BCD จำะมี�คื�าตั�(งแตั� จำะมี�คื�าตั�(งแตั� 0000

00 00 ถ้0ง ถ้0ง 1001 1001 เที่�าน�(นเที่�าน�(น- กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บระหัว�าง กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บระหัว�าง BCD BCD และ และ BinaryBinary

(137)(137)1010

= (10001001) = (10001001)22

-------------------------------------->> binary binary (137)(137)

1010 = (0001 0011 = (0001 0011

0111)0111)BCDBCD -------------------------------------->> BC BCDD

ข�อส�งเกัตัข�อส�งเกัตั - - จำะเหั2นว�า จำะเหั2นว�า binary binary ใช้�ขนาดั ใช้�ขนาดั 8 bit 8 bitส�วน ส�วน BCD BCD ใช้� ใช้� 12 bit 12 bit - - จำ#านวนบ$ตัเลขไบนาร��จำะมี�จำ#านวนน�อย่จำ#านวนบ$ตัเลขไบนาร��จำะมี�จำ#านวนน�อย่กัว�า กัว�า BCD BCD ที่#าใหั�เลขไบนาร��ที่#าใหั�เลขไบนาร�� ป็ระหัย่�ดัหัน�วย่คืวามีจำ#ากัว�าเลข ป็ระหัย่�ดัหัน�วย่คืวามีจำ#ากัว�าเลข BCDBCD - BCD- BCD สามีารถ้แป็ลงเป็!นเลขฐานส$บไดั�สามีารถ้แป็ลงเป็!นเลขฐานส$บไดั�ง�าย่ง�าย่

CodesCodes

กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�สเลขฐานสองกั�บรหั�ส กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�สเลขฐานสองกั�บรหั�ส BCD 8421 BCD 8421 แสดังดั�งตัารางแสดังดั�งตัาราง

เลขฐานเลขฐานส$บส$บ

เลขฐานสองเลขฐานสอง รหั�ส รหั�ส BCD 8421BCD 8421

33 011011 001100117676 ...... ......

238238 ...... ......11 ,,2929

66

1010001010001000010000

......

66 ,,0202

55

101111101111000100000100

11

0110 0000 0110 0000 0010 01010010 0101

CodesCodes

2 . 2 . รหั�ส เกั$น รหั�ส เกั$น 3 ( 3 (Excess - 3Excess - 3 Code) Code)

เป็!นรหั�สที่��คืล�าย่กั�บ เป็!นรหั�สที่��คืล�าย่กั�บ BCD BCD แตั�คื�าของ แตั�คื�าของ Excess–Excess– 3 Code 3 Code จำะมีากักัว�าคื�าของ จำะมีากักัว�าคื�าของ BCD BCD 8421 8421

อย่-� อย่-� 3 3 ในที่�กั ๆ ช้�ดัในที่�กั ๆ ช้�ดักัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�ส กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�ส BCD 8421BCD 8421 กั�บรหั�สเกั$น กั�บรหั�สเกั$น 3 3 แสดังดั�งตัารางแสดังดั�งตัารางเลขฐานเลขฐาน

ส$บส$บรหั�ส รหั�ส BCD BCD

84218421รหั�ส รหั�ส Excess - 3Excess - 3

CodeCode

00 000000 00110011

11 001001 01000100

22 010010 01010101

...... ...... ......

99 10011001 11001100

กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�ส กัารเป็ร�ย่บเที่�ย่บรหั�ส BCD 8421 BCD 8421 กั�บรหั�ส กั�บรหั�ส Excess–3 Code Excess–3 Codeแสดังดั�งตัารางแสดังดั�งตัาราง

เลขเลขฐานส$บฐานส$บ

รหั�ส รหั�ส BCD 8421BCD 8421 รหั�ส รหั�ส Excess–3 Excess–3CodeCode

88 10001000 101110115252 ...... ......

764764 ...... ......33 ,,88

11

99

…… ......

66 ,,00

22

55

0110 0000 0110 0000 0010 01010010 0101

......

CodesCodes

CodesCodes

3. 3. รหั�ส รหั�ส BCD BCD แบบ แบบ 4 4 บ$ตัช้น$ดัอ&�น ๆบ$ตัช้น$ดัอ&�น ๆBCD

เลขฐานส$บ

BCD BCD 74742121

BCD BCD 54542121

BCDBCD BCD BCD

00 00000000

00000000

00000000

00000000

11 00000011

00000011

01101111

01110111

22 00100100

00100100

01101100

01100110

44

55......

......

01001011......

......

10010000......

......101101

00......

......

10111011......

99 10110100

11011000

11111111

11101110

12841274

CodesCodes

3. 3. รหั�สเกัรย่7 รหั�สเกัรย่7 (Gray Code)(Gray Code)

เป็!นรหั�สเลขฐานสองอ�กัช้น$ดัหัน0�งที่��มี�จำ�ดัป็ระสงคื7ตั�องกัารเป็!นรหั�สเลขฐานสองอ�กัช้น$ดัหัน0�งที่��มี�จำ�ดัป็ระสงคื7ตั�องกัารน�บเลขโดัย่ใหั�เป็ล��ย่นน�บเลขโดัย่ใหั�เป็ล��ย่นแป็ลงเพ�ย่งที่�ละบ$ตัเที่�าน�(นตั�อกัารน�บเพ$�มีข0(นหัน0�งแป็ลงเพ�ย่งที่�ละบ$ตัเที่�าน�(นตั�อกัารน�บเพ$�มีข0(นหัน0�งหัมีาย่เลขดั�งตัารางหัมีาย่เลขดั�งตัาราง

CodesCodes

กัารเป็ล��ย่นเลขฐานสองเป็!นรหั�สเกัรย่7กัารเป็ล��ย่นเลขฐานสองเป็!นรหั�สเกัรย่71 .เร$�มีตั�นจำากับ$ตัซ้�าย่มี&อส�ดั หัร&อบ$ตัที่��มี�คืวามีส#าคื�ญมีากัส�ดั (MSB) ดั0งบ$ตัน�(ไป็เข�ย่น เป็!นรหั�สเกัรย่7คื�าตั�วเลขเหัมี&อนกั�บเลขฐานสอง2. น#า MSB ของเลขฐานสองบวกักั�บบ$ตัถ้�ดัไป็ที่างขวามี&อ (บวกักั�นไป็เร&�อย่ ๆ) โดัย่ย่0ดัหัล�กักัารบวกักั�นของเลขฐานสอง ดั�งน�( 0 0+ = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 ตั�วที่ดั 1 ตั�ดัที่$(งไป็

ExampleExample (10101(10101))22

เลขฐานสอง 1 0 1 0 1รหั�สเกัรย่7 1

00

+

+ +++

1 1 1 1

CodesCodes

กัารเป็ล��ย่นรหั�สเกัรย่7เป็!นเลขฐานสองกัารเป็ล��ย่นรหั�สเกัรย่7เป็!นเลขฐานสอง1 .เร$�มีตั�นจำากับ$ตัซ้�าย่มี&อส�ดั หัร&อบ$ตัที่��มี�คืวามีส#าคื�ญมีากัส�ดั (MSB) ดั0งบ$ตัน�(ไป็เข�ย่น เป็!นเลขฐานสอง คื�าตั�วเลขเหัมี&อนกั�บรหั�สเกัรย่72 .น#า MSB ของเลขฐานสองบวกักั�บบ$ตัถ้�ดัไป็ของรหั�สเกัรย่7 ที่างขวามี&อ (บวกักั�นไป็เร&�อย่ ๆ)

รหั�สเกัรย่7 1

ExampleExample (11111(11111))GG

+

1 0 1

0+ + + 1

1 11

เลขฐานสอง1

CodesCodes

รหั�สแอสกั�( รหั�สแอสกั�( (ASCII : American Standard Code fo (ASCII : American Standard Code fo r Information Interchange) r Information Interchange) เป็!นรหั�สเลขฐานสองขนาดั 7 บ$ตั ใช้�แที่นอ�กัขระ 128 ตั�ว โดัย่รวมีรหั�สคืวบคื�มีตั�างๆ ดั�วย่

รหั�สแอสกั�(ถ้&อเป็!นรหั�สมีาตัรฐานที่��ใช้�ในคือมีพ$วเตัอร7เพ&�อร�บข�อมี-ลจำากัแป็;นพ$มีพ7 แสดังตั�วอ�กัขระที่างจำอภาพและส�งข�อมี-ลออกัที่างเคืร&�องพ$มีพ7

XX66XX55XX44XX33XX22XX11XX00

รหั�สแอสกั�(เป็!นรหั�ส รหั�สแอสกั�(เป็!นรหั�ส 7 7 บ$ตั มี�ร-ป็บ$ตั มี�ร-ป็แบบดั�งน�(แบบดั�งน�(

10010000000101

ที่��มา (Leach, D.P., 2001, p. 203)

XX66XX55XX44XX33XX22XX11XX00

ตั�วอย่�าง จงหาค่�ารืห�สแอสก�� ที่��ออกจากแป็%นพิ#มพิ'เม��อกดแป็%นพิ#มพิ'แตั�ลุ่ะค่รื��ง สมมตั#ว�าที่�านพิ#มพิ'ค่(าว�า “A AAAAAAAจำะมี�รหั�สออกัตัามีล#าดั�บดั�งน�(จำะมี�รหั�สออกัตัามีล#าดั�บดั�งน�(

CodesCodes

CodesCodes

พาร$ตั�(บ$ตัพาร$ตั�(บ$ตั

พิารื#ตั��บ#ตั ม�อยู่*� 2 แบบ ค่�อ พิารื#ตั��ค่*� (even – parity) เป็�นการืเพิ#�มบ#ตั เข+าไป็รืวมก�บข+อม*ลุ่ที่��จะส�ง แลุ่+วที่(าให+ข+อม*ลุ่กลุ่��มน��นม�จ(านวนลุ่อจ#กที่��เป็�น “ 1 เป็�นค่*� พิารื#ตั��ค่�� (odd parity) จะม�ค่วามหมายู่ตัรืงก�นข+าม ค่�อ กลุ่��มข+อม*ลุ่น��นจะม�จ(านวนลุ่อจ#กที่��เป็�น “ 1” เป็�นค่��

XX66XX55XX44XX33XX22XX11XX00X7

CodesCodes

รหั�ส รหั�ส ASCII ASCII ที่��เป็!นที่��เป็!นพาร$ตั�(คื-� พาร$ตั�(คื-� 0 100 100

0001 (A) 0001 (A) พาร$ตั�(บ$ตัพาร$ตั�(บ$ตั 1 100 100

0101 (E) 0101 (E)

รหั�ส รหั�ส ASCII ASCII ที่��เป็!นที่��เป็!นพาร$ตั�(คื�� พาร$ตั�(คื��

111010 01011 (K) 01011 (K)

พาร$ตั�(บ$ตั พาร$ตั�(บ$ตั 00 1001010 1001010

(J)(J)

00

11