溧水职业教育中心校 钟超华 n.jzch@163.com

问题 1:从立正姿势感受直线与平面垂直。预习感悟

生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？

实例引入实例引入

旗杆与底面垂直

大桥的桥柱与水面垂直

生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？

实例引入实例引入

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？

B

A

引入新课引入新课

B

A

C

B

C

直线垂直于平面内的任意一条直线．

引入新课引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？

B

A

C

B

C

引入新课引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

直线垂直于平面内的任意一条直线．

B

A

C

B

C

引入新课引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

直线垂直于平面内的任意一条直线．

不一定

l

P

如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，

记作 ．l

平面 的垂线

直线 l 的垂面垂足

直线与平面垂直直线与平面垂直

l

P

直线与平面垂直直线与平面垂直

除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD ， DC 于桌面接触）． （ 1 ）折痕 AD 与桌面垂直吗？ （ 2 ）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直．

ABC

A

B CD

A

B

C D

直线与平面垂直直线与平面垂直

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时， AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．

直线与平面垂直直线与平面垂直

A

B

C D

A

B CD

（ 1 ）有人说，折痕 AD 所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断 AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？

（ 2 ）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变，即 ， ．由此你能得到什么结论？

BCAD CDAD BDAD

直线与平面垂直直线与平面垂直

A

B

C D

A

B CD

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

ba

l

A

al bl ab

Aba

l

作用：判定直线与平面垂直．

直线与平面垂直 直线与直线垂直思想：

直线与平面垂直判定定理直线与平面垂直判定定理

数学语言的转换

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理

一条直线与平面内的

都垂直，

则该直线与此平面垂直

两条相交直线

感受数学语言美

能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直．”

ba

l

Aal

bl abba //

l

直线与平面垂直判定定理直线与平面垂直判定定理

如何证明直线与平面垂直的判定定理呢？如何证明直线与平面垂直的判定定理呢？

为什么两条相交直线可以代替任意直线呢？为什么两条相交直线可以代替任意直线呢？

课后思考课后思考

例 1 如图，已知 ，求证

aba ,// .b

ba

m n根据直线与平面垂直的定义知., nama

又因为 ab //所以 ., nbmb

又 nmnm ,,, 是两条相交直线，所以 .b

证明：在平面 内作两条相交直线 m ， n ．

因为直线 ，a

例题分析例题分析

例 2 在正方体 AC1 中 （ 1 ）试判断 AA1 和 BD 的位置关系，并说明理由。（ 2 ） BD 与平面 AA1C1C 垂直吗？为什么？（ 3 ）求证： BD⊥A1C 。

典型例题典型例题

一旗杆高 8 m ，在它的顶点处系两条长 10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距 6 m ，那么旗杆就与地面垂直．为什么？

BA

P

O

解：如图，旗杆 PO=8 m ，两绳长PA=PB=10 m ， OA=OB=6 m.

因为 A ， O ， B 三点不共线，所以 A ， O ， B 三点确定平面．

又因为 222222 , PBOBPOPAOAPO

所以 ., OBOPOAOP

又因为 : ,OOBOA 所以 : .OP

因此，旗杆 OP 与地面垂直．

随堂练习随堂练习

1 ．直线与平面垂直的概念

（ 1）利用定义：（ 2）利用判定定理：

3．数学思想方法：转化的思想（利用“解剖”的方法）

空间问题 平面问题

知识小结知识小结

2 ．直线与平面垂直的判定

线线垂直 线面垂直

垂直与平面内任意一条直线

感谢各位指导！