数学 navi テキスト中学2年第6章定理と証明 · 例題13 下の図の四角形abcd...

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中学 2年第６章定理と証明

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中学２年第６章定理と証明

2

学習の手順

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次に、テキストで同じ小単元の「練習問題」を解いてみる

解いた「練習問題」を『数学ナビ』で答え合わせし、解説を聞く間違えた問題はさらに解き直しをする

一通りの学習が終わったところで「チェックテスト」を解いてみる

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レッスン

チェックテスト

まとめの学習

入試問題にチャレンジ


3

中学２年第６章定理と証明 MAP

１．定義と定理

２．二等辺三角形

３．正三角形

７．いろいろな四角形

４．直角三角形の合同条件

５．平行四辺形の性質

６．平行四辺形になるための条件

８．平行線と面積


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例題

例題１次の図形の定義を書きなさい。

（ア）正三角形（イ）台形（ウ）平行四辺形

例題２下の図で同じ印をつけた辺が等しいとき、 ∠ xの大きさを求めなさい。

（ア）（イ）

例題３ ∠ B＝ ∠ Cである△ABCは、二等辺三角形である。

このことを証明しなさい。

例題４右の図で、△ABCはAB＝ACの二等辺三角形です。

AB，ACの中点をそれぞれM，Nとし、BNと CMの交点を

Pとします。このとき、△PBCが二等辺三角形になることを

証明しなさい。

例題５次のことがらの逆を書きなさい。

（ア）２つの三角形が合同ならば３辺はそれぞれ等しい

（イ）△ABC ≡△DEFならば ∠ B＝ ∠ E

例題６右の図で、△ABC、△CDE は正三角形です。この

とき、△ACD ≡△BCEであることを証明しなさい。


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例題７下の図で、AB＝DE、 ∠ C＝ ∠ F＝90°、 ∠ B＝ ∠ E ならば△ABC ≡△DEF となることを

証明しなさい。

例題８ △ABC の頂点 B，C から２辺 AC，AB に垂線をひき、

AC，ABとの交点をそれぞれ D，Eとします。このとき、BD＝CE

ならば△ABCは二等辺三角形となることを証明しなさい。

例題９右の図のように、平行四辺形 ABCDの頂点 B，D

から対角線 AC にひいた垂線をそれぞれ BH，DK とする

とき、BH＝DKとなります。このことを証明しなさい。

例題 10 右の図のように、□ABCD と□BEFC があります。

このとき、四角形 AEFDは平行四辺形であることを証明しな

さい。


6

例題 11 右の図のように、△ABC の ∠ A の二等分線が辺

BCと交わる点を Dとします。Dから辺 AC，ABに平行な直

線 DE，DF をひくとき、四角形 AEDF がひし形であること

を証明しなさい。

例題 12 AD//BCである台形ABCDの対角線の交点をOとしま

す。このとき次の（ア），（イ）を証明しなさい。

（ア）△ABC＝△DBC

（イ）△AOB＝△DOC

例題 13 下の図の四角形 ABCDで、辺 BCの延長上に点 Eをとり、四角形 ABCD=△ABE となる

ように、△ABEを作図しなさい。


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練習問題

練習１次の中から定義をすべて選び、記号で答えなさい。

（ａ）弧の両端を通る２つの半径と、その弧で囲まれた図形はおうぎ形である。

（ｂ）三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい。

（ｃ）２直線に１つの直線が交わるとき、２直線が平行ならば、錯角は等しい。

（ｄ）１つの角を２等分する半直線は、その角の二等分線である。

練習２次の中から、定義をすべて選び、記号で答えなさい。

（ａ）線分の垂直二等分線上の点は、その線分の両端から等しい距離にある。

（ｂ）線分の中点を通り、その線分に垂直な直線は、その線分の垂直二等分線である。

（ｃ）合同な図形では、対応する線分や角は等しい。

（ｄ）２つの図形で、一方を移動することによって他方に重ね合わせることができるとき、この２

つの図形は合同な図形である。

練習３次のことがらの逆が、正しいといえるものをすべて選び、記号で答えなさい。

（ａ）平行線の同位角は等しい。

（ｂ）△ABC ≡△DEFならば ∠ B＝ ∠ Eである。（ｃ） x＝ yならば、 x 2＝ y 2である。

（ｄ）２ x＝６ならば、 x＝３である。

練習４次の文は、AB＝ACである二等辺三角形 ABCで、「頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分

する」ことを証明したものです。 ∠ A の二等分線と BC の交点を D として、の中に適当

な語句や記号を書きなさい。

〔仮定〕AB＝AC， ∠ BAD＝ ∠ ア

〔結論〕AD イ BC，BD＝ウ

〔証明〕△ABDと△ エにおいて、

仮定より、AB＝オ

∠ BAD＝ ∠ CAD

また、カは共通

キがそれぞれ等しいから

△ABD ク △ACD

したがって、BD＝ケ

また、 ∠ ADB＝ ∠ コ， ∠ ADB＋ ∠ ADC＝180°より

∠ ADB＝90°

よって、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する。


8

練習５右の図の AB=ACの二等辺三角形の辺 AB，AC上にそれぞれ点 D，E を ∠ BCD＝ ∠ CBE

となるようにとります。このとき、CD＝BEとなることを次のように証明しました。次の問いに答

えなさい。

（ア）仮定と結論を書きなさい。

（イ）の中に適当な語句や記号を書きなさい。

〔証明〕△DBCと△ECBにおいて

仮定より、 ∠ BCD＝ ∠ CBE

二等辺三角形のアは等しいから

∠ DBC＝ ∠ イ

また、ウは共通

エがそれぞれ等しいので

△DBC ≡△ECB

よって、CD＝BE

練習６右の図で、AB＝AC，BD＝CE ならば、△ABD ≡△ACE である

ことを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△ABDと△ACEにおいて

仮定より AB＝ア

BD＝CE

二等辺三角形のイは等しいから、 ∠ ABD＝ ∠ ACE

ゆえに、ウがそれぞれ等しいので、

△ABD ≡△ACE

練習７右の図で、AB＝DC，AC＝DBならば、△EBCは二等辺三角形であることを次のように証

明しました。次の問いに答えなさい。

（ア）仮定と結論を書きなさい


〔証明〕△ABCと△DCBにおいて

仮定より、AB＝DC

AC＝DB

また、アは共通

イがそれぞれ等しいので

△ABC ≡△DCB

よって、 ∠ ACB＝ ∠ ウ

△EBCはエが等しいから二等辺三角形である。


9

練習８右の図のように、長方形 ABCDを折り返したとき、重な

った部分の△LMNは二等辺三角形であることを次のように証明し

ました。の中に適当な語句や記号を書きなさい。

〔証明〕△LMNにおいて、

AD//BCだから、 ∠ NML＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥①

折り返した角だから、∠ NLM＝ ∠ ALM‥‥‥‥‥‥‥②

①，②から、 ∠ イ＝ ∠ NLM

△LMNはウが等しいから、二等辺三角形である。

練習９右の図で、AB＝ACの二等辺三角形 ABCの底辺 BC上

に、BD＝CEとなるように、点 D，Eをとるとき、△ADEは二

等辺三角形である。これを次のように証明しました。次の問い

に答えなさい。



〔証明〕△ABDと△ アにおいて

仮定より AB＝AC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

BD＝イ ‥‥‥‥‥‥‥‥②

二等辺三角形のウは等しいので

∠ エ＝ ∠ ACE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、オがそれぞれ等しいので

△ABD ≡△ ア

したがって、AD＝AEとなり、△ADEは二等辺三角形である。

練習 10 右の図で、△ABC と△DCE は正三角形です。このとき、

BD＝AE であることを次のように証明しました。次の問いに答えな

さい。



〔証明〕△DBCと△EACにおいて

仮定より ∠ DCB＝ ∠ ECA‥‥‥‥‥‥‥‥ ①

BC＝ア ‥‥‥‥‥‥‥②

DC＝イ ‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、ウから、

△DBC ≡△ エ

よって、BD＝AE


10

練習 11 右の図で、△ABC，△CDEは正三角形です。このとき、

△ACD ≡△BCE であることを、次のように証明しました。次の

問いに答えなさい。



〔証明〕△ACDと△BCEにおいて、

仮定より AC＝BC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

CD＝CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

また、 ∠ ACD＝ ∠ ACE＋ ∠ ECD

∠ BCE＝ ∠ BCA＋ ∠ ACE

アの３つの角は等しいので

∠ ECD＝ ∠ イ＝60°

よって、 ∠ ACD＝ ∠ BCE‥‥‥‥‥‥‥‥③

よって、①，②，③よりウがそれぞれ等しいから、

△ACD ≡△BCE

練習 12 右の図のように、△ABC の外側に、辺 AB，AC をそれ

ぞれ１辺とする正三角形 ADB と AEC をつくるとき、DC＝BE と

なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△ADCと△ABEで

仮定より AD＝ア ‥‥‥‥‥‥‥①

AC＝イ ‥‥‥‥‥‥‥②

∠ ウ＝60°＋ ∠ CAB

∠ EAB＝60°＋ ∠ エ

よって、 ∠ オ＝ ∠ EAB‥‥‥‥‥③

①，②，③から、カがそれぞれ等しいので

△ADC ≡△ABE

ゆえに、DC＝BE


11

練習 13 右の図のように、 ∠ XOYの二等分線上の点 Pから、角の

２辺 OX，OYに垂線 PA，PBをそれぞれひきます。このとき、PA＝

PBであることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△OAPと△OBPにおいて

仮定より、 ∠ AOP＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥①

∠ OAP＝ ∠ イ＝90°‥‥‥‥②

また、ウは共通 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、直角三角形のエがそれぞれ等しいから

△OAP ≡△OBP

ゆえに、PA＝PB

練習 14 AB＝AC， ∠ BAC＝ °90 の直角二等辺三角形 ABCの頂点

A を通る直線に、頂点 B，C から垂線をひきその交点を P，Q とす

るとき、△ABP ≡△CAQであることを次のように証明しました。次

の問いに答えなさい。



〔証明〕△ABPと△CAQで

仮定より ∠ BPA＝ ∠ ア＝90°‥‥‥‥‥‥①

AB＝イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

また ∠ ABP＋ ∠ BAP＝90°

∠ ウ＋ ∠ BAP＝90°

よって、 ∠ ABP＝ ∠ CAQ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、直角三角形のエがそれぞれ等しいから、

△ABP ≡△CAQ


12

練習 15 右の図のように、△ABC の辺 BC の中点を M とし、M から

辺 AB，ACに下ろした垂線をMH，MKとします。このとき、MH＝MK

であれば、△ABC は二等辺三角形であることを次のように証明しまし

た。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△HBMと△KCMにおいて

仮定より、BM＝CM

∠ MHB＝ ∠ ア＝90°

イ＝MK

直角三角形のウがそれぞれ等しいので

△HBM ≡△KCM

よって、 ∠ HBM＝ ∠ エ

△ABCは、オが等しいので二等辺三角形である。

練習 16 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に

BE＝DFとなるように２点 E，Fをとります。このとき、CE//AFと

なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。

（ア）平行四辺形の性質を３つ書きなさい。


〔証明〕△BCEと△DAFにおいて

BE＝DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

∠ CBE＝ ∠ ア ‥‥‥②

BC＝DA ‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③から合同条件「イがそれぞれ等しい」が成り立つから、

△BCE ≡△DAF

ゆえに、 ∠ ウ＝ ∠ エ

錯角が等しいから、CE//AF


練習 17 □ABCDの辺 CDの中点をMとし、AMの延長と BCの

延長との交点を Nとします。このとき、BC＝CNであることを証

明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△MADと△MNCで

MD＝MC ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

対頂角より、

∠ AMD＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥②

AD//BNより、

∠ MDA＝ ∠ イ ‥‥‥‥‥‥③

①，②，③から、１辺とその両端の角が、それぞれに等しいので

△MAD ≡△MNC

よって、AD＝ウ

□ABCDで、エので、

AD＝BC

したがって、BC＝CN

練習 18 右の図の□ABCDの辺 AB，CDの中点をM，Nとし、DとM、

Bと Nを結ぶとき、△ADM ≡△CBNとなることを次のように証明しま

した。ア～ウに適当な語句や記号を書きなさい。また（ａ）～（ｃ）

には直接のよりどころ（根拠）にしたものを下のの中から、

それぞれ選び、その番号を書きなさい。

〔仮定〕AB//DC，ア //BC，AM＝BM，DN＝CN

〔結論〕△ADM ≡△CBN

〔証明〕△ADMと△CBNにおいて

（ａ）から AD＝CB ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

（ｂ）から ∠ MAD＝ ∠ NCB ‥‥‥‥‥‥‥‥②

また、仮定より AM＝21

AB CN＝21

CD

（ｃ）から AB＝CD ゆえに

AM＝イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③よりウがそれぞれ等しいから

△ADM ≡△CBN

①平

②平

③平

行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しい。

行四辺形の２組の対角はそれぞれ等しい。

行四辺形の２本の対角線は、それぞれ中点で交わる。

13


14

練習 19 台形 ABCD（AD//BC，AD＜BC）において、対角線 AC の中点

を Pとし、DPの延長と BCの交点を Eとするとき、四角形 AECDは平行

四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△APDと△CPEにおいて

仮定より、AP＝CP‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

AD//BCより、アが等しいので

∠ PAD＝ ∠ PCE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

また、イは等しいので、

∠ APD＝ ∠ CPE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、ウがそれぞれ等しいので

△APD ≡△CPE

よって、DP＝エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥④

①，④より、オから

四角形 AECDは平行四辺形である。

練習 20 □ABCDの対角線 AC，BDの交点を Oとし、対角線 BD

上に BE＝DFとなる点 E，Fをとります。このとき、四角形 AECF

は平行四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに

答えなさい。



〔証明〕△ADFと△CBEにおいて

平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しいので AD＝CB

仮定より DF＝ア

AD//BCより

∠ ADF＝ ∠ イ

２辺とその間の角がそれぞれ等しいから

△ADF ≡△CBE

よって、ウ＝CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

△ABEと△CDFにおいて

上と同様にして AE＝CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

①，②より、エから、四角形 AECFは平行四辺形である。


15

練習 21 □ABCD の対角線 AC上に AE＝CFとなる点 E，F、BD

上に BG＝DH となる点 G，H をそれぞれとるとき、四角形 EGFH

は平行四辺形となることを次のように証明しました。次の問いに

答えなさい。


（イ）の中に適当な語句や記号を書きなさい。〔証明〕仮定より、AE＝CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

BG＝DH‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

また、平行四辺形の２本の対角線は、それぞれのアで交わるので、 AO＝CO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

BO＝イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④

①，③より、EO＝FO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤

②，④より、ウ＝HO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥

⑤，⑥より、エから

四角形 EGFHは平行四辺形である。

練習 22 □ABCDの辺 AB，BC，CD，DAの中点をそれぞれ E，

F，G，Hとし、AFと CEの交点を P，AGと CHの交点を Qと

します。このとき、四角形 APCQ は平行四辺形であることを、

次のように証明しました。の中に適当な語句や記号を

書きなさい。

〔証明〕四角形 AFCHにおいて、仮定より、AH//FC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

また、四角形 ABCDは平行四辺形だから

AD＝ア

仮定より、AH＝HD，BF＝FC よって、AH＝イ ‥‥‥‥‥‥‥②

①，②より、ウから

四角形 AFCHは平行四辺形である。よって、AF// エ ‥‥‥‥‥‥‥‥③

同様にして、四角形 AECGも平行四辺形である。よって、AG//EC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④

③，④より、オから

四角形 APCQは平行四辺形である。


16

練習 23 下の図の（ア）は平行四辺形にある条件をつけると長方形になることを示しています。

（ア）～（イ）の条件をそれぞれ書きなさい。

練習 24 □ABCD に次の条件を加えると、□ABCD は長方形，ひし形，正方形のどれになります

か。ただし、Oは対角線の交点とします。

（ア）AB＝BC

（イ）OA＝OB＝OC＝OD

（ウ） ∠ A＝90°， ∠ COD＝90°

練習 25 「対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形である」こと

を、右の図について、次のように証明しました。次の問いに答えな

さい。



〔証明〕△ABCと△DCBで、

AB＝ア ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

BC＝イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

ウ＝DB‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、△ABC ≡△DCB

したがって、

∠ ABC＝ ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④

また、 ∠ ABC＝ ∠ CDA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤

∠ BAD＝ ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥

④，⑤，⑥より、４つの角が等しいので□ABCDは長方形である。


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練習 26 ひし形 ABCD の頂点 A から辺 BC，CD に、それぞれ

垂線AH，AKをひくとき、△AHKは二等辺三角形であることを、

次のように証明しました。次の問いに答えなさい。



〔証明〕△ABHと△ADKで

四角形 ABCDはひし形なので

AB＝ア ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

∠ イ＝ ∠ ADK‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②

仮定より

∠ AHB＝ ∠ ウ＝90°‥‥‥‥‥‥③

①，②，③より、エがそれぞれ等しいので

△ABH ≡△ADK

したがって、AH= オより、

△AHKは二等辺三角形である。

練習 27 右の図の△ABC で、M は辺 BCの中点で、P，Q はそれ

ぞれ辺 BC，AB 上の点です。AP//QM のとき、△APQ と面積の等

しい三角形を書きなさい。

練習 28 右の図において、 l // m、台形 APQB，△APB の面積がそれ

ぞれ 12cm2，５cm2のとき、次の問いに答えなさい。

（ア）△AQBの面積を求めなさい。

（イ）△APQの面積を求めなさい。

練習 29 右の図のように、四角形 ABCDの頂点 Dを通り、対

角線 ACに平行な直線と、辺 BCの延長との交点を Eとし、A

と Eを結ぶと、△ABEの面積は、四角形 ABCDの面積と等し

くなります。このことを次の順序で証明しなさい。

（ア）△ACD＝△ACE

（イ）△ABE＝四角形 ABCD


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入試問題－標準問題

問１右の図で、△ABCは ∠ A＝90°の直角三角形であり、D，G

はそれぞれ AB，AC上の点です。また E，Fは辺 BC上の点で、

四角形 DEFGは平行四辺形です。∠ BDE＝42°，∠ ACB＝56°

のとき、 ∠ DGFの大きさを求めなさい。（愛知県）

問２右の図は AB＝BCの二等辺三角形です。点 Dは ∠ Aの二等分線と

辺 BCとの交点です。AC＝ADのとき ∠ Bの大きさを求めなさい。

（青森県）

問３下の図は四角形の種類を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

（ア）２，４にあてはまる四角形の名称を漢字で書きなさい。

（イ）１組の向かい合う辺が平行で長さが等しい四角形において、２本の対角線が直交している四

角形を何というか答えなさい。

（ウ）三角形の各辺の中点と１つの頂点を４つの頂点とする四角形は何というか答えなさい。

（郁文館）

問４右の図のような平行四辺形 ABCD があります。辺 BC 上に

AB＝AEとなる点 Eをとります。

△ABC ≡△EADを証明しなさい。


19

問５右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に BE＝DF

となるように２点 E，Fをとります。このとき EC//AFとなること

を次のように証明しました。次のに適当な語句や記号を

書きなさい。

〔証明〕△BCEと△DAFにおいて

BE＝DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①

∠ CBE＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥②

BC＝DA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③

①，②，③から合同条件「イがそれぞれ等しい」が成立するから

△BCE ≡△DAF

ゆえに ∠ ウ＝ ∠ エ

錯角が等しいから EC//AF

問６右の図のように、△ABCの辺 AB上に点 Dをとり、Dを通り辺 AC

に平行な直線と辺 BCとの交点を Eとします。また辺 ACの延長上に

点 FをDE＝CFとなるようにとり、DFとBCとの交点をMとします。

このとき次の問いに答えなさい。

（ア）△DEM ≡△FCMであることを証明しなさい。

（イ） ∠ ACB＝50°， ∠ EDF＝34°であるとき、 ∠ DMC の大きさ

を求めなさい。（愛媛県）

問７右の図で、四角形 ABCDは AD//BCの台形です。いま対角線 BD

の中点を Pとし、直線 APと辺 BCとの交点を Qとするとき、四角

形 ABQDは平行四辺形であることを証明しなさい。（茨城県）

問８右の図のように、平行四辺形 ABCDの ∠ A，∠ Bの二等分線が

BC，ADと交わる点をそれぞれM，Nとするとき、四角形 ABMN

はひし形であることを証明しなさい。


20

問９右の図のような平行四辺形ABCDの辺AD上に ∠ DCE＝ ∠ ABC

となるように点 Eをとります。このとき、AE＋EC＝BCとなるこ

とを証明しなさい。

問 10 右の図は、直角三角形 ABCの辺 AB上に点 Pをとり、Pを通る

直線が辺 BCと交わる点をM，辺 ACの延長と交わる点を Nとした

ものです。このとき PB＝PMならば、PA＝PNであることを証明し

なさい。（福島県）

問11 右の図の正三角形 ABCで、辺 AB，AC上にそれぞれ点 D，Eをと

り、BD＝AE となるようにします。BE と CD の交点を F とするとき

次の問いに答えなさい。

（ア） ∠ ABE＝ ∠ BCDであることを証明しなさい。

（イ） ∠ CFE＝60°であることを証明しなさい。（熊本県・改）

問 12 右の図のように、平行四辺形 ABCDがあります。辺 AD上に点 P

をとり、PBを軸として、△ABPを折り返したところ、頂点 Aが対角

線 BD 上の点 Q と重なりました。さらに点 Aを通り PQに平行な直

線が PBと交わる点を Rとするとき、AR＝PQとなることを証明しな

さい。（千葉県・一部）


21

入試問題－発展問題

問１幅が一定値aで十分に長い紙テープを図１のように折り曲げたところ、図２に示すような五角形 ABCDEができました。紙の厚さは無視

できるものとして、次の問いに答えなさい。

（ア）AB＝BC であることを、AB//EC，BC//AD，紙テープの幅aが一定であること等を用いて示しなさい。

（イ） ∠ ADE＝ ∠ CED であることを次のように証明しました。空欄

を補って完成しなさい。

∠ ADE＝ ∠ DAC （ED//ACであるから）

∠ DAC＝ ∠ ① （ ④ であるから）

∠ ① ＝ ∠ ② （ ⑤ であるから）

∠ ② ＝ ∠ ③ （ ⑥ であるから）

∠ ③ ＝ ∠ CED （ ⑦ であるから）

∴ ∠ ADE＝ ∠ CED

（開成・一部）

問２右の図のように、∠ Aが直角である△ABCの辺 AB上に点 D

を、辺 AC 上に点 E をとります。BC，DE，BE，CD の中点を

それぞれ P，Q，R，Sとするとき、次の問いに答えなさい。

（ア）四角形 PSQRは平行四辺形であることを証明しなさい。

（イ）PQ＝RSを証明しなさい。（大教大附・天王寺）

問３平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とします。次の（ア），（イ），（ウ）の条件を加えると、

それぞれどのような四角形になるか答えなさい。

（ア） ∠ A＝90°， ∠ COD＝90°

（イ）OA＝OB＝OC＝OD

（ウ） ∠ OAB＝ ∠ OBA

問４図のような AB＝AC の二等辺三角形 ABC の点 C から辺 AB に垂線

CD を引きます。辺 AB 上に BD＝DE となるように点 E をとり、点 E

から底辺 BCに平行な直線 EFを引きます。このとき、∠ CBFの大きさ

は ∠ BCD の大きさの２倍であることを証明しなさい。ただし底角は

60°より大きいものとします。（海城）


22

問５右の図のように、平行四辺形 ABCDの対角線 BDに平行で、２辺 BC，

CDとそれぞれ E，Fで交わる直線 EFを引くとき、△ABE＝△ADFであ

ることを証明しなさい。

問６ AC＞ABである△ABCにおいてAからBCに垂線ADを引きます。

BCの中点を E，ABの中点を Fとするとき、 ∠ EFD＝ ∠ B－ ∠ Cと

なることを証明しなさい。（関西学院）

問７右図の四角形 ABCDにおいて AD＝BC， ∠ DAB＋ ∠ ABC＝120°で

す。対角線 AC，BDの中点をそれぞれ P，Q、辺 CDの中点を Rとする

とき、△PQRは正三角形であることを証明しなさい。（甲陽学院）

問８右の図の平行四辺形 ABCDの辺 BC上に点 Pをとり、DPの延長

と辺 ABとの交点を Qとします。このとき△ABP＝△PQCである

ことを証明しなさい。

問９右の図において、AB＝BE＝EG＝GC＝２，∠ ABC＝90°，

AB // DE // FGです。斜線をひいた三角形の面積の和を求め

なさい。（ラ・サール）


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問 10 次の（１）～（６）の中で四角形 ABCD が必ずしも平行四辺形にならないものは何個あります

か。その個数を答えなさい。（城北埼玉）

（１）AB＝CD，AB//DC

（２）AD＝BC，AB＝DC

（３）AB＝BC＝CD＝DA

（４）AC ⊥ BD，AB＝CD

（５）対角線の交点を Oとするとき、AO＝BO＝CO＝DO

（６）AD//BC，AC＝BD

問 11 右の図のように、△ABC の辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E

とし、DEの延長上に DE＝EFとなる点 Fをとります。四角形 ADCF

が次の四角形になるとき、△ABCはどのような三角形か答えなさい。

（ア）長方形

（イ）ひし形

（ウ）正方形

問 12 三角形 ABCの３辺の長さを AB＝c，BC＝a，CA＝bとします。この三角形の外側に正方形 ABDE，ACFG，BCHI を作りま

す。さらに点 P は BD，BIを、点 Q は CF，CH をそれぞれ２辺

とする平行四辺形の残りの頂点とするとき、次の問いに答えなさ

い。

（ア）辺 BP，CQを、a，b，cのいずれかを用いて表しなさい。

（イ）直線 BPと直線 CQとの交点を Sとするとき、∠ BSCの大

きさを ∠ B， ∠ Cを用いて表しなさい。

（ウ）A，B，C，D，E，F，G，H，I，P，Q のいずれかを結ん

でできる三角形の中で△ABCと合同になる三角形をすべてあげなさい。（お茶の水大附・一部）

数学 navi テキスト 中学2年 第6章 定理と証明 · 例題13 下の図の四角形abcd...

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数学 navi テキスト中学2年第6章定理と証明 · 例題13 下の図の四角形abcd...