- modello di solow - crescita popolazione - progresso tecnologico

- Modello di Solow - Crescita popolazione - Progresso tecnologico

Capitolo 7: La crescita economica, I Lofferta di beni La funzione di produzione Funzione di produzione (neoclassica): Y = F(K,L) Rendimenti di scala costanti (RSC): zY = F(zK, zL)

Capitolo 7: La crescita economica, I Tutte le variabili possono essere espresse in termini pro capite (denotate con lettere minuscole) k = K/L y = Y/L c = C/L i = I/L Lofferta di beni La funzione di produzione pro capite

Capitolo 7: La crescita economica, I Il reddito e il capitale pro capite rappresentano i valori medi nella popolazione. Utilizzando variabili pro capite possiamo confrontare economie di dimensioni diverse. Una nazione piccola ma molto produttiva pu avere un reddito per abitante (pro capite) superiore a quello di un paese pi grande anche se la produzione totale inferiore. Lofferta di beni La funzione di produzione pro capite

Capitolo 7: La crescita economica, I Poich F(K,L) a RSC abbiamo ( z = 1/L): y = Y/L = F(K, L)/L = F(K/L, L/L) y = F(k, 1) = f(k) La produttivit marginale del capitale pro capite: PMK = f(k + 1) f(k) decrescente Lofferta di beni La funzione di produzione pro capite

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y Capitale per lavoratore, k La PMK decrescente e la pendenza della funzione di produzione cala con laumento di capitale utilizzato 1 1 PMK Lofferta di beni La funzione di produzione pro capite

Capitolo 7: La crescita economica, I Il prodotto per lavoratore diviso tra consumo c e investimento i: y = c + i Il modello di Solow suppone che venga risparmiata una frazione fissa del reddito: s = tasso di risparmio Quindi il consumo (la rimanente) frazione di reddito. La funzione di consumo data da: c = (1 s)y La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti

Capitolo 7: La crescita economica, I Come nel modello statico lequilibrio macroeconomico implica che: Investimenti = Risparmio i = sy Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo: i = sf(k) Il cui grafico uguale a quello della funzione di produzione riscalato di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di risparmio). La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y Capitale per lavoratore, k Il reddito y diviso tra consumi e investimenti Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti y c i=sy Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in basso. Se s = 1 tutta la produzione risparmiata e c = 0 La funzione di produzione pro capite Consumi e investimenti

Capitolo 7: La crescita economica, I Lo stock di capitale La funzione di risparmio e gli investimenti Prodotto per lavoratore, y Capitale per lavoratore, k Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti Ammortamento del capitale, k k Gli investimenti AUMENTANO il capitale installato nel periodo successivo

Capitolo 7: La crescita economica, I Analisi dinamica Laccumulazione del capitale Prodotto per lavoratore, y Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti La DIFFERENZA tra investimenti e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale: Pu essere positiva k k0k0 k1k1 k k

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti o pu essere negativa se lammortamento superiore allinvestimento k k0k0 k1k1 k Analisi dinamica Laccumulazione del capitale k

Capitolo 7: La crescita economica, I Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario Prodotto per lavoratore, y k f(k)f(k) sf(k) Fino a quando linvestimento superiore al deprezzamento il capitale installato aumenta k 0 k0k0 k1k1 k

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y k f(k)f(k) sf(k) k k 1 k2k2 La produttivit marginale del capitale decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con laumentare di k k0k0 k1k1 Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y k f(k)f(k) sf(k) k Fino a quando sf(k) > k lo stock di capitale continua a crescere k 2 k3k3 k0k0 k1k1 k2k2 Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario

Capitolo 7: La crescita economica, I Quando gli investimenti sono uguali allammortamento lo stock di capitale pro capite non cambia. I nuovi investimenti compensano esattamente lammortamento. Nel lungo periodo leconomia caratterizzata da un equilibrio di stato stazionario in cui la variabile endogena k* non varia. Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato stazionario non variano : y* = f(k*) c* = (1-s)f(k*) Lo stato stazionario Investimenti e ammortamento sono uguali

Capitolo 7: La crescita economica, I Dinamica del modello Lo stato stazionario y k f(k)f(k) sf(k) k In stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali allammortamento Il capitale pro capite smette di crescere i* = k* k* y = f(k*)

Capitolo 7: La crescita economica, I Lo stato stazionario caratterizzato da k = 0 Poich la funzione di accumulazione del capitale data da: k = sf(k) k Avremo: 0 = sf(k*) k* Riordinando i termini si ottiene: k*/f(k*) = s/ Lo stato stazionario La matematica

Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y k f(k)f(k) k Graficamente nello stato stazionario di golden rule la pendenza della funzione di produzione uguale a quella della retta di ammortamento: k* gold PMK = La massimizzazione dei consumi La golden rule s gold f(k)

Capitolo 7: La crescita economica, I La regola aurea: Matematicamente Il consumo di stato stazionario dato da: c * = y * i * ovvero c * = f (k * ) i * quindi una funzione di k * data da: c * (k * ) = f (k * ) k * Il massimo della funzione c(k * ) si ottiene calcolando la derivata rispetto a k * e uguagliandola a zero. Otteniamo: f (k * ) = ovvero PMK =

Capitolo 7: La crescita economica, I Leconomia non tende al capitale di regola aurea automaticamente. Solo se il tasso di risparmio quello compatibile con lottenimento di k* gold il consumo viene massimizzato. Se cos non allora lottenimento della produzione di regola aurea richiede un cambiamento del tasso di risparmio. Cosa succede in seguito alla variazione del tasso di risparmio durante la transizione al nuovo stato stazionario? La regola aurea

Capitolo 7: La crescita economica, I Un aumento di c * ottenibile con una riduzione di s. Il consumo superiore a quello iniziale durante tutta la transizione allequilibrio Idea: il troppo capitale installato viene consumato t0t0 c i y Tempo Se il capitale iniziale troppo elevato: k* > k* gold

Capitolo 7: La crescita economica, I Se il capitale iniziale troppo basso: k* < k* gold Un aumento di c * ottenibile con un aumento di s. Il consumo superiore a quello iniziale nel lungo periodo (per definizione di regola aurea) Ma nel breve periodo diminuisce per permettere laccumulazione di capitale. t0t0 c i y Tempo

III ESERCITAZIONE24 Esercizio 1 Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello di Solow. a) Identificate lequilibrio di stato stazionario. b) Studiate graficamente come cambia lequilibrio a seguito di una diminuzione del tasso di deprezzamento del capitale. Commentate. c) Studiate graficamente come cambia lequilibrio di stato stazionario in seguito ad un aumento del tasso di crescita della popolazione. d) Commentate se la predizione teorica conferme allevidenza empirica.

III ESERCITAZIONE25 Es.1: Stato Stazionario, il grafico Investimento, sf(k) Ammortamento, ( +n)k Capitale per lavoratore, k Investimento e ammortamento k*k* i * = k * k = K/L, y = Y/L y = f(k) i = I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio d = tasso di ammortamento n = tasso di crescita della popolazione

III ESERCITAZIONE26 Es.1: Stato Stazionario, la definizione Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo delleconomia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto aggregato sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k = i - k nk, sf(k) = i y=f(k)=k k = s k - k nk=0

III ESERCITAZIONE27 Es. 1: Stato Stazionario, la soluzione Perch la variazione del capitale sia nulla deve essere k = 0 sf(k) = ( +n)k Perch i due effetti opposti sul capitale si compensino necessario che gli investimenti rimpiazzino la parte di capitale che si deteriora ( k ) e forniscano capitale aggiuntivo ai nuovi lavoratori (nk).

III ESERCITAZIONE28 Es. 1, punto 2: diminuzione del tasso di deprezzamento k i sf(k) ( 2 + n)k ( 1 + n)k k2*k2* k1*k1* Se diminuisce? 2 < 1 k 2 * > k 1 * In corrispondenza di k 1 *,il capitale che si logora per effetto del deprezzamento meno di quello che si crea con i nuovi investimenti. Quindi k aumenta, fino a raggiungere il nuovo valore di S.S. k 2 * > k 1 *. Anche il nuovo valore di equilibrio del reddito procapite y sar maggiore: y 2 * >y 1 *

III ESERCITAZIONE29 Es. 1, punto 3: aumento del tasso di crescita della popolazione Se n aumenta, lo stock di capitale per lavoratore tender a diminuire nel tempo. k = sf(k) ( + n 2 )k ; n 2 >n 1 La variazione di k sar nulla se la spesa per investimenti compensa sia la quantit di capitale che si logorato, sia la quantit di capitale necessaria per dotare ogni nuovo lavoratore dello stesso ammontare di capitale del periodo precedente.

III ESERCITAZIONE30 Es.1: aumento di n, il grafico k i sf(k) ( + n 1 )k ( + n 2 )k k1*k1* k2*k2* Se n aumenta? n 2 > n 1 k 2 *< k 1 *

III ESERCITAZIONE31 Es. 1: evidenza empirica Se il tasso di crescita della popolazione aumenta, il livello dello stock di capitale di stato stazionario diminuisce. Osservando la relazione tra i dati sul reddito pro capite e quelli sul tasso di crescita della popolazione per i paesi del mondo, vediamo che effettivamente i paesi con una crescita maggiore della popolazione tendono ad avere livelli di reddito pro capite inferiori. La predizione teorica del modello di Solow sembra quindi confermata dallanalisi empirica. Nellinterpretare i dati bisogna per fare attenzione: possono esistere molteplici spiegazioni alla base dellosservazione dello stesso fenomeno.

III ESERCITAZIONE32 Esercizio 2: La Regola Aurea Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello di Solow (per semplicit, n=0). Identificate lequilibrio di stato stazionario (versione semplificata es.A). Definite ed identificate il livello di capitale di regola aurea. Studiate graficamente come si converge allequilibrio di stato stazionario aureo quando si parte con troppo poco capitale rispetto a quello di Stato Stazionario della regola aurea.

III ESERCITAZIONE33 Es. 2: grafico k = K/L, y = Y/L y = f(k) i = I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio = tasso di ammortamento Investimento e ammortamento Ammortamento, k Investimento, sf(k) Capitale per lavoratore, k i* = k* k*

III ESERCITAZIONE34 Es. 2: Stato Stazionario Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo delleconomia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto pro capite sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k = i - k, la variazione dello stock di capitale data dalla differenza tra la spesa per nuovi impianti,ecc. (Investimenti) e la quantit di capitale che si logora ogni anno (stock di capitale esistente x tasso dammortamento).

III ESERCITAZIONE35 Es. 2: Stato Stazionario (continua) Dallidentit contabile del reddito nazionale sappiamo che i = sy = sf(k), quindi possiamo scrivere k = sf(k) - k. Perch la variazione del capitale sia nulla deve essere k = 0 sf(k) = k Quando la spesa per investimenti (che fa aumentare k) e la quantit di capitale che si usura ( k diminuisce) sono uguali, i due effetti opposti sul capitale si compensano esattamente ed il livello dello stock di capitale presente nelleconomia rimane costante.

III ESERCITAZIONE36 Es. 2: regola aurea La Regola Aurea si riferisce allindividuazione del livello di capitale di stato stazionario che massimizza il consumo e, di conseguenza, il benessere della societ. c = y i (Ipotesi: g=0) c = f(k) sf(k) sf(k) = f(k) c S.S. : sf(k * ) = k * c * = f(k * ) - k *

III ESERCITAZIONE37 Prodotto per lavoratore, y k Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimento y c s = i max c = max [f(k) - k] PMK - = 0 PMK = S.S.: k* golden equivale PMK = Es. 2: regola aurea, il grafico k* k PMK

III ESERCITAZIONE38 Prodotto per lavoratore, y k Prodotto, f(k) s g f(k) Es. 2: convergenza allequilibrio kgkg k k k< k g s deve aumentare per arrivare al livello s golden sf(k)

III ESERCITAZIONE39 s aumenta: c diminuisce i aumenta, sf(k) > k. I maggiori investimenti fanno aumentare k. Laccumulazione di k fa aumentare progressivamente il prodotto aggregato y e quindi i consumi, fino a quando si raggiunge il livello di k del nuovo Stato Stazionario, corrispondente al valore di s di Regola aurea. Siccome ci troviamo nello S.S. di regola aurea, il nuovo valore di equilibrio del consumo sar maggiore di quello iniziale. Es. 2: convergenza allequilibrio (continua)

III ESERCITAZIONE40 Es.2: convergenza allequilibrio (continua) y c i In t 0, s aumenta t0t0

Capitolo 8: La crescita economica, II La funzione di produzione del modello di Solow: F(K, L) Pu essere generalizzata per tenere conto della variazione dellefficienza produttiva: F(K, L x E) E = efficienza del lavoro Il progresso tecnologico nel modello di Solow Lefficienza del lavoro

Capitolo 8: La crescita economica, II In cui L E il numero di lavoratori effettivi Il progresso tecnologico equivale a un aumento della forza lavoro. Lefficienza del lavoro E aumenta al tasso g: Il progresso tecnologico nel modello di Solow Lefficienza del lavoro Esempio: g = 0,02, lefficienza di L cresce al 2% allanno Progresso tecnologico: Labor-augmenting

Capitolo 8: La crescita economica, II Il progresso tecnologico nel modello di Solow Lefficienza del lavoro Possiamo esprimere tutte le variabili per unit di lavoro effettivo: Reddito: y = Y/LE = f(Y/LE,1) Capitale: k = K/LE Risparmio, investimenti: s y = s f(k)

Capitolo 8: La crescita economica, II Il progresso tecnologico nel modello di Solow Lefficienza del lavoro La variazione del capitale per unit di lavoro effettivo: ( + n + g)k k ammortamento n k crescita della popolazione g k progresso tecnologico (maggiore efficienza dei lavoratori)

Capitolo 8: La crescita economica, II Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico Come nel modello base di Solow, in stato stazionario il capitale per unit di lavoro effettivo non varia: k = s f(k) ( + n + g)k = 0 Nota: in questo caso quello che smette di crescere il capitale per unit di lavoro effettivo

Capitolo 8: La crescita economica, II Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico Investimenti, investimenti di sviluppo uniforme Capitale per lavoratore effettivo, k Investimenti, sf(k) Investimenti di sviluppo uniforme, ( + n + g)k k In stato stazionario: k = sf(k) ( + n + g)k = 0

Capitolo 8: La crescita economica, II Gli effetti del progresso tecnologico Variabile Capitale per lavoratore effettivo Prodotto per lavoratore effettivo Prodotto per lavoratore Simbolo Tasso di crescita di stato stazionari o k = K /(E x L) y = Y /(E x L)= f(k) Y/L = y x E 0 0 g Prodotto totale Y = y x (E x L) n + g Quali sono i tassi di crescita delle variabili di stato stazionario? Solo il progresso tecnologico spiega una crescita persistente del tenore di vita.

Capitolo 8: La crescita economica, II La regola aurea Progresso tecnologico e crescita della popolazione Il consumo di stato stazionario dato da: c * = y * i * = f (k * ) ( + n + g) k * c * massimo quando: PMK = + n + g ovvero PMK = n + g

Capitolo 8: La crescita economica, II Prodotto per unit di lavoro effettivo, y Capitale per unit di lavoro effettivo k f (k) ( + n + g)k Graficamente nello stato stazionario della regola aurea la pendenza della funzione di produzione uguale a quella della retta di ammortamento: k* gold PMK = + n + g s gold f(k) La regola aurea Progresso tecnologico e crescita della popolazione

III ESERCITAZIONE50 Esercizio 5 Partendo da s

III ESERCITAZIONE53 Soluzione es. 5 - continua Supponiamo di partire da uno stock di capitale di stato stazionario inferiore a quello aureo: In t 1 il tasso di risparmio aumenta: ( + s) + I e - c (gli investimenti aumentano e i consumi si riducono) In t 0 I= k in t 1 I> k cosicch k k y, c e I sino a raggiungere lo stato stazionario aureo. Consumi: subito si contraggono ( - c) poi aumentano (c ) ed alla fine saranno superiori rispetto al livello di partenza.

III ESERCITAZIONE54 Soluzione es. 5: chi ci guadagna e chi ci perde? Nellimmediato il tenore di vita misurato mediante i consumi diminuisce. tuttavia, il maggiore investimento (maggiore s) implica che lo stock di capitale cresce pi velocemente e quindi il tasso di crescita di Y e di y (=Y/L) aumentano; cio la crescita della produttivit aumenta. Nota: siamo nel BP. Nel nuovo stato stazionario Y cresce al tasso n+g mentre y al tasso g (quindi indipendenti da s). Nello stato stazionario aureo il consumo maggiore e quindi il tenore di vita aumentato (per le generazioni future).

III ESERCITAZIONE55 Soluzione: y,c,i nel tempo y c i In t 0 s aumenta t0t0

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