Содержание - mipt€¦ · 2.3 Итерационные методы решения ......
TRANSCRIPT
Содержание
1 Элеметарная теория погрешностей. 3
2 Решение СЛАУ. 52.1 Нормы в конечномерных пространствах. . . 52.2 Обусловленность СЛАУ. . . . . . . . . . . . 62.3 Итерационные методы решения линейных
систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Метод простых итераций. . . . . . . . 82.3.2 Метод Якоби. . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Метод Зейделя. . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Метод верхней релаксации. . . . . . . 17
2.4 Методы решения, основанные на миними-зации функционалов. . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Метод наискорейшего спуска и ме-
тод минимальных невязок. . . . . . . 192.4.2 Метод сопряженных градиентов. . . 21
2.5 Степенной метод нахождения максималь-ного по модулю собственного значения. . . . 22
3 Методы численного решения уравнений исистем нелинейных уравнений. 243.1 Локализация корней. . . . . . . . . . . . . . 243.2 Принцип сжимающих отображений. Метод
простых итераций. Условие сходимости ме-тода простых итераций. . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Приближение функций, заданных на дис-кретном множестве. 344.1 Задача алгебраической интерполяции. Сред-
неквадратичное приближение. . . . . . . . . 34
1
4.2 Интерполяционный полином в форме Лагран-жа и в форме Ньютона. Остаточный членинтерполяции. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Равномерное приближение: многочлены Че-бышёва, теореме об алгебраическом много-члене, наименее уклоняющемся от нуля. Ин-терполяция по чебышёвским узлам. . . . . . 41
5 Численное дифференцирование. 44
6 Численное интегрирование. 496.1 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (пря-
моугольников, трапеций, Симпсона) и оцен-ка их погрешности. . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Квадратурные формулы Гаусса. . . . . . . . 526.3 Примеры задач на численное интегрирова-
ние. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
1 Элеметарная теория погрешностей.Пусть 𝑢 и 𝑢* — соответственно приближенное и точное
значение некоторой величины. Абсолютной погрешно-стью приближения 𝑢 называют величину ∆(𝑢), удовле-творяющей неравенству
|𝑢− 𝑢*| ≤ ∆(𝑢)
Относительной погрешностью называется величи-на 𝛿(𝑢), удовлетворяющая неравенству
𝑢− 𝑢*
𝑢
≤ 𝛿(𝑢)
Пример.Оцените погрешности ∆𝑥 в определении корня 𝑥 = 1уравнения
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0
с параметрами
𝑎 = 𝑏 = 1 ± 10−3, 𝑐 = 𝑑 = −1 ± 10−3,
не решая само уравнение.Решение. Погрешность параметров дает погрешность кор-ней, поэтому уравнение можно представить в виде
(𝑎 + ∆𝑎)(𝑥 + ∆𝑥)4 + (𝑏 + ∆𝑏)(𝑥 + ∆𝑥)3 +
+(𝑑 + ∆𝑑)(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑒 + ∆𝑒 = 0
С другой стороны, имеет место точное равенство
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0
3
Вычитая из первого уравнения второе и принебрегая ве-личинами с порядком малости больше единицы, получим
∆𝑥 =
−𝑥4∆𝑎− 𝑥3∆𝑏− 𝑥∆𝑑− ∆𝑒
4𝑥3𝑎 + 3𝑥2𝑏 + 𝑑
Подставляя значения параметров и их погрешностей, по-лучаем для корня 𝑥 = 1 ∆𝑥 = 2
310−3.ý
Пример.Для системы
𝜆1𝜆2𝜆3 = −10
𝜆1 + 𝜆2 + 𝜆3 = 2
найти ∆𝜆1 и ∆𝜆2, если ∆𝜆3 = 0.2.Решение. Аналогично предыдущему примеру, имеем
(𝜆1 + ∆𝜆1)(𝜆2 + ∆𝜆2)(𝜆3 + ∆𝜆3) = −10
𝜆1 + ∆𝜆1 + 𝜆2 + ∆𝜆2 + 𝜆3∆𝜆3 = 2
Вычитая из этой системы систему без погрешностей и от-брасывая величины с порядком малости больше единицы,получим
𝜆1𝜆2∆𝜆3 + 𝜆1∆𝜆2𝜆3 + ∆𝜆1𝜆2𝜆3 = 0
∆𝜆1 + ∆𝜆2 + ∆𝜆3 = 0
Выразим из второго уравнения ∆𝜆1 и подставим в первое.Имеем
∆𝜆2
(1
𝜆2
− 1
𝜆1
)= ∆𝜆3
(1
𝜆1
− 1
𝜆3
),
откуда находим ∆𝜆2 относительно 𝜆1, 𝜆2 и 𝜆3. Аналогичнодля ∆𝜆1.ý
4
2 Решение систем линейных алгеб-раических уравнений.
2.1 Нормы в конечномерных пространствах.В векторном конечномерном линейном нормирован-
ном пространстве введем следующие нормы вектора:
‖−→𝑥 ‖1 = max𝑘
|𝑥𝑘|
‖−→𝑥 ‖2 =∑𝑘
|𝑥𝑘|
‖−→𝑥 ‖3 =√
(−→𝑥 ,−→𝑥 )
Согласованные с этими нормами векторов нормы мат-риц будут определяться следующим образом:
‖𝐴‖1 = max𝑘
∑𝑗
|𝑎𝑘𝑗|
‖𝐴‖2 = max𝑗
∑𝑘
|𝑎𝑘𝑗|
‖𝐴‖3 =√
max𝑘
𝜆𝑘 (𝐴𝑇𝐴)
Здесь и далее считаем квадратную матрицу 𝐴 невырож-денной. 𝜆𝑘 — ее собственные значения.В случае, когда 𝐴 — симметричная, имеем 𝐴𝑇 = 𝐴 и
‖𝐴‖3 = max𝑘
|𝜆𝑘 (𝐴) |
5
2.2 Обусловленность системы линейных ал-гебраических уравнений.
Пусть в СЛАУ
𝐴−→𝑢 =−→𝑓
матрица 𝐴 и правая часть заданы с некоторой погреш-ностью. Тогда и решение будет неточным, а реально рас-сматриваемая система будет иметь вид
(𝐴 + ∆𝐴)(−→𝑢 + ∆−→𝑢 ) =−→𝑓 + ∆
−→𝑓 ,
где ∆−→𝑢 — погрешность решения.Введем понятие числа обусловленности:
𝜇(𝐴) = ‖𝐴‖ · ‖𝐴−1‖
Имеет место следующая оценка относительной погреш-ности решения:
‖∆−→𝑢 ‖‖−→𝑢 ‖
≤ 𝜇(𝐴)
1 − 𝜇(𝐴) · ‖Δ𝐴‖‖𝐴‖
(‖∆𝐴‖‖𝐴‖
+‖∆
−→𝑓 ‖
‖−→𝑓 ‖
)
Если матрица дана без погрешности (∆𝐴 = 0), то
‖∆−→𝑢 ‖‖−→𝑢 ‖
≤ 𝜇(𝐴)‖∆
−→𝑓 ‖
‖−→𝑓 ‖
В этом случае также пользуются другим параметром обу-словленности:
𝜈(𝐴,−→𝑓 ) = sup
Δ−→𝑓 =−→
0
‖∆−→𝑢 ‖/‖−→𝑢 ‖‖∆
−→𝑓 ‖/‖
−→𝑓 ‖
=‖−→𝑓 ‖
‖−→𝑢 ‖· ‖𝐴−1‖,
6
причем можно показать, что 1 ≤ 𝜈 ≤ 𝜇.Иногда можно пренебречь величинами второго поряд-
ка малости и выше (∆𝐴 · ∆−→𝑢 ≈ 0), тогда
‖∆−→𝑢 ‖‖−→𝑢 ‖
≤ 𝜇(𝐴)
(‖∆𝐴‖‖𝐴‖
+‖∆
−→𝑓 ‖
‖−→𝑓 ‖
)Число обусловленности определяет, насколько погреш-
ность входных данных может повлиять на решение систе-мы. 𝜇(𝐴) ≥ 1, так как
𝜇(𝐴) = ‖𝐴‖ · ‖𝐴−1‖ ≥ ‖𝐴 · 𝐴−1‖ = ‖𝐸‖ = 1
При 𝜇(𝐴) ≈ 1∇·10 система считается хорошо обусловлен-ной: ошибки входных данных слабо сказываются на ре-шении системы. При 𝜇(𝐴) ≫ 100 система считается плохообусловленной.Пример.Найдем числа обусловленности для всех норм и параметр𝜈1 для первой нормы системы
𝑥1 + 0.99𝑥2 = 𝑏1
0.99𝑥1 + 𝑥2 = 𝑏2
Решение.
𝐴 =
(1 0.99
0.99 1
)Очевидно, ‖𝐴‖1 = ‖𝐴‖2 = 1.99Для нахождения третьей нормы учтем, что 𝐴 — симмет-ричная. 𝜆1 = 0.01, 𝜆2 = 1.99, откуда ‖𝐴‖3 = 1.99.
𝐴−1 =adj𝐴
det𝐴, adj𝐴 =
(1 −0.99
−0.99 1
)7
где adj𝐴 — присоединенная матрица. Тогда
‖𝐴−1‖1 = ‖𝐴−1‖2 = ‖𝐴−1‖3 =1.99
det𝐴
𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 =1.992
det𝐴= 199
Чтобы найти 𝜈1, сначала нужно решить систему.
∆1 =
𝑏1 0.99𝑏2 1
= 𝑏1 − 0.99𝑏2
∆2 =
1 𝑏1
0.99 𝑏2
= 𝑏2 − 0.99𝑏1
−→𝑢 =1
det𝐴
(𝑏1 − 0.99𝑏2𝑏2 − 0.99𝑏1
)⇒ ‖−→𝑢 ‖1 =
|𝑏1 − 𝑏2|𝑑𝑒𝑡𝐴
В данном случае было сделано приближение 0.99𝑏2 ≈ 𝑏2,0.99𝑏1 ≈ 𝑏1.
𝜈1 =‖−→𝑓 ‖1
‖−→𝑢 ‖1· ‖𝐴−1‖1 =
𝑚𝑎𝑥(𝑏1, 𝑏2) det𝐴
|𝑏1 − 𝑏2|· 1.99
det𝐴≈
≈ 2𝑚𝑎𝑥(𝑏1, 𝑏2)
|𝑏1 − 𝑏2|ý
2.3 Итерационные методы решения линей-ных систем.
2.3.1 Метод простых итераций.
Рассматриваем СЛАУ
𝐴−→𝑢 =−→𝑓
8
Представим матрицу 𝐴 в виде суммы 𝐴 = 𝐵 + 𝐶,причем det𝐵 = 0. Тогда
𝐵−→𝑢 =−→𝑓 − 𝐶−→𝑢
и
−→𝑢 = −𝐵−1𝐶⏟ ⏞ 𝐺
−→𝑢 + 𝐵−1−→𝑓⏟ ⏞ −→𝑔
= 𝐺−→𝑢 + −→𝑔
Выбрав произвольный вектор −→𝑢 (0) за начальное при-ближение, метод простой итерации (МПИ) строится пу-тем уточнения начального приближения −→𝑢 (0) по рекур-рентному соотношению
−→𝑢 (𝑘+1) = 𝐺−→𝑢 (𝑘) + −→𝑔
Метод сходится, если сходится итерационный процесс,то есть существует lim
𝑘
−→𝑢 (𝑘).Ответ на вопрос сходимости МПИ к точному решению
дают следующие теоремы (здесь и далее точное решениеСЛАУ будем обозначать −→𝑢 *)Теорема 1 (достаточное условие сходимости МПИ):если ‖𝐺‖ = 𝑞 < 1, то существует единственное реше-ние −→𝑢 * уравнения −→𝑢 = 𝐺−→𝑢 + −→𝑔 при любом начальномприближении −→𝑢 (0), причем
‖−→𝑢 (𝑘) −−→𝑢 *‖ ≤ 𝑞𝑘‖−→𝑢 (0) −−→𝑢 *‖
Теорема 2 (критерий сходимости МПИ): для сходи-мости итерационного процесса −→𝑢 (𝑘+1) = 𝐺−→𝑢 (𝑘)+−→𝑔 к −→𝑢 *
необходимо и достаточно, чтобы |𝜆𝑖(𝐺)| < 1.Отметим, что сходимость метода можно проверять по
любой норме, так как в конечномерном пространстве все
9
нормы эквивалентны. То есть если метод сходится по какой-то одной норме, то он сходится и по остальным нормам.
Частным случаем метода простых итераций являет-ся однопараметрический МПИ. Для этого вводится ите-рационный параметр 𝜏 > 0, затем на него умножаетсяисходная СЛАУ, после чего к правой и левой частям си-стемы прибавляют −→𝑢 :
𝜏𝐴−→𝑢 + −→𝑢 = 𝜏−→𝑓 + −→𝑢 ,
откуда
−→𝑢 = (𝐸 − 𝜏𝐴)⏟ ⏞ 𝐺
−→𝑢 + 𝜏−→𝑓⏟ ⏞ −→𝑔
−→𝑢 (𝑘+1) = 𝐺−→𝑢 (𝑘) + −→𝑔Если матрица 𝐴 положительно определена и симмет-
рична, то однопараметрический МПИ сходится при
0 < 𝜏 <2
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴),
поэтому если нужно определить область параметров, прикоторых МПИ сходится, в случае, когда матрица 𝐴 неявляется симметричной, то ее следует привести к сим-метричному виду, например, умножением левой и правойчастей исходной системы на 𝐴𝑇 .
Оптимальным значением параметра считается вели-чина
𝜏опт =2
𝜆𝑚𝑎𝑥 + 𝜆𝑚𝑖𝑛
Если за начальное приближение взят вектор −→𝑢 (0) =−→0 , то можно оценить количество итераций МПИ, необ-ходимое для достижения точности 𝜀:
10
𝑁 =
[ln 𝜀(1−𝑞)
‖−→𝑔 ‖
ln 𝑞
]+ 1
Пример(Задача 1*).
Для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , 𝐴 =
(3 24 3
),−→𝑓 =
(11
)построй-
те сходящийся однопараметрический метод простой ите-рации. Укажите область параметров, при которых МПИсходится. Оцените количество итераций МПИ, необходи-мое для достижения точности 𝜀 = 10−3, если в качественачального приближения выбран вектор −→𝑢 (0) = (0, 0)𝑇 .Решение. Приведем матрицу системы к симметричномувиду:
𝐵 = 𝐴𝑇𝐴 =
(3 42 3
)(3 24 3
)=
(25 1818 13
)Теперь исходная система имеет вид(
25 1818 13
)−→𝑢 =
(3 42 3
)−→𝑓
Далее
𝐺 = 𝐸 − 𝜏𝐵,−→𝑓 ′ =
(3 42 3
)−→𝑓 , −→𝑔 = 𝜏
−→𝑓 ′
В итоге мы построили однопараметрический МПИ
−→𝑢 (𝑘+1) = 𝐺−→𝑢 (𝑘) + −→𝑔 ,
который сходится при
0 < 𝜏 <2
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐵)≈ 0.053
11
𝜏опт =2
𝜆𝑚𝑎𝑥 + 𝜆𝑚𝑖𝑛
=1
19
Для оптимального значения параметра
−→𝑔 =1
19
(75
)Дальше будем использовать третью норму:
𝐺 = 𝐸 − 𝜏𝐵 =1
19
(−6 −18−18 6
)Матрица 𝐺 симметричная, поэтому для третьей нормы
𝑞 = ‖𝐺‖3 = max𝑘
|𝜆𝑘(𝐺)| =6√
10
19в частности, этим мы доказали, что наш метод сходит-ся, так как выполняется достаточное условие сходимостиМПИ (достаточно выполнения условия теоремы хотя быдля какой-то одной нормы).
‖−→𝑔 ‖3 =√
(−→𝑔 ,−→𝑔 ) =
√74
19
𝑁 =
[ln 𝜀(1−𝑞)
‖−→𝑔 ‖3
ln 𝑞
]+ 1 = 9155ý
2.3.2 Метод Якоби.
Представим матрицу 𝐴 в виде
𝐴 = 𝐿 + 𝐷 + 𝑈,
где 𝐿 и 𝑈 — нижняя и верхняя треугольные матрицы снулевыми элементами на главной диагонали, 𝐷 — диаго-нальная матрица.
12
Построим итерационный метод Якоби:
𝐷−→𝑢 (𝑘+1) + (𝐿 + 𝑈)−→𝑢 (𝑘) =−→𝑓 ,
откуда
−→𝑢 (𝑘+1) = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)⏟ ⏞ 𝐺
−−−→𝑢(𝑘+1) + 𝐷−1−→𝑓⏟ ⏞
−→𝑔
Ответ на вопрос сходимости метода Якоби к точномурешению дают следующие теоремыТеорема 1 (достаточное условие сходимости мето-да Якоби): метод Якоби сходится к −→𝑢 *, если выполне-но условие диагонального преобладания:
|𝑎𝑗𝑗| >∑𝑘 =𝑗
|𝑎𝑗𝑘|
Теорема 2 (критерий сходимости метода Якоби):для сходимости метода Якоби к −→𝑢 * необходимо и до-статочно, чтобы все корни уравнения
𝜆𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛𝑎21 𝜆𝑎22 . . . 𝑎2𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝜆𝑎𝑛𝑛
= 0
по модулю не превосходили единицы.Пример.
Для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , 𝐴 =
(1 1
212
1
),−→𝑓 =
(11
)постройте
сходящийся метод Якоби. Оцените количество итераций,необходимое для достижения точности 𝜀 = 10−3.Решение. Здесь
13
𝐿 =
(0 012
0
), 𝐷 =
(1 00 1
), 𝑈 =
(0 1
2
0 0
)Построим метод Якоби:(
1 00 1
)−→𝑢 (𝑘+1) = −
(0 1
212
0
)−→𝑢 (𝑘) +
(11
)Так как 𝐷 — единичная, то
−→𝑢 (𝑘+1) = −(
0 12
12
0
)−→𝑢 (𝑘) +
(11
)𝐺 =
(0 −1
2
−12
0
), −→𝑔 =
(11
)Выберем первую норму. Для нее
𝑞 = ‖𝐺‖1 =1
2, ‖−→𝑔 ‖1 = 1
Наш метод сходится, так как выполняется условие диа-гонального преобладания.Выберем в качестве начального приближения вектор −→𝑢 (0) =(0, 0)𝑇 , тогда
𝑁 =
[ln 𝜀(1−𝑞)
‖−→𝑔 ‖1
ln 𝑞
]+ 1 = 12ý
2.3.3 Метод Зейделя.
Матрица 𝐴 разбивается так же, как и в методе Якоби,но итерационный процесс строится иначе:
(𝐿 + 𝐷)−→𝑢 (𝑘+1) + 𝑈−→𝑢 (𝑘) =−→𝑓 ,
откуда
14
−→𝑢 (𝑘+1) = −(𝐿 + 𝐷)−1𝑈⏟ ⏞ 𝐺
−→𝑢 (𝑘) + (𝐿 + 𝐷)−1−→𝑓⏟ ⏞ −→𝑔
Ответ на вопрос сходимости метода Зейделя к точно-му решению дают следующие теоремыТеорема 1 (достаточное условие сходимости мето-да Зейделя): метод Зейделя сходится к −→𝑢 *, если ис-ходная матрица 𝐴 — вещественная, симметричная иположительно определенная.Теорема 2 (критерий сходимости метода Зейделя):для сходимости метода Зейделя к −→𝑢 * необходимо и до-статочно, чтобы все корни уравнения
𝜆𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 . . . 𝑎2𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .𝜆𝑎𝑛1 𝜆𝑎𝑛2 . . . 𝜆𝑎𝑛𝑛
= 0
по модулю не превосходили единицы.Пример.Найти область допустимых значений параметров 𝛼 и 𝛽,при которых метод Зейделя сходится для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , где
𝐴 =
⎛⎝𝛼 𝛽 0𝛽 𝛼 𝛽0 𝛽 𝛼
⎞⎠Решение.
𝜆𝛼 𝛽 0𝜆𝛽 𝜆𝛼 𝛽0 𝜆𝛽 𝜆𝛼
= 𝜆3𝛼3 − 2𝜆2𝛼𝛽2 = 0,
15
откуда
𝜆1,2 = 0, 𝜆3 =2𝛽2
𝛼2,
причем 𝛼 = 0, так как в этом случае матрица 𝐴 вырожда-ется и детерминант, выписанный в начале решения, равеннулю при любых 𝜆, а значит, по критерию сходимости, ме-тод сходиться не будет. Используя критерий сходимостиметода Зейделя, получаем
𝜆3 ≤ 1,
и окончательно
|𝛽| ≤√
2
2|𝛼|, 𝛼 = 0ý
Пример.
Для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , 𝐴 =
(1 11 2
),−→𝑓 =
(11
)построй-
те сходящийся метод Зейделя. Вычислите первую итера-
цию, если начальное приближение −→𝑢 (0) =
(01
).
Решение. Здесь
𝐿 =
(0 01 0
), 𝐷 =
(1 00 2
), 𝑈 =
(0 10 0
)Построим метод Зейделя:
(𝐿 + 𝐷)−1 =
(1 01 2
)−1
=1
2
(2 0−1 1
)
𝐺 = −1
2
(2 0−1 1
)(0 10 0
)= −1
2
(0 20 −1
)
16
−→𝑔 =1
2
(2 0−1 1
)(11
)=
(10
)−→𝑢 (𝑘+1) = −1
2
(0 20 −1
)−→𝑢 (𝑘) +
(10
)Метод сходится, так как выполняется достаточное усло-вие сходимости. Найдем первую итерацию:
−→𝑢 (1) = −1
2
(0 20 −1
)(01
)+
(10
)=
(0
0.5
)Отметим, что первая итерация совпала с точным реше-нием СЛАУ.ý
2.3.4 Метод верхней релаксации.
Иногда для ускорения сходимости метода Зейделя при-бегают к методу верхней релаксации. Для этого вводятпоказатель релаксации 𝑝 (0 < 𝑝 < 1) и строят итерацион-ный процесс:
𝐿−→𝑢 (𝑘+1) + 𝐷−→𝑢 (𝑘+1) + 𝑝−→𝑢 (𝑘)
1 + 𝑝+ 𝑈−→𝑢 (𝑘) =
−→𝑓
С показателем релаксации связывают итерационныйпараметр 𝜏 = 1 +𝑝. Часто итерационный параметр выби-рают близким к оптимальному (см. пункт 1.3.1), откудазатем находят показатель релаксации.Пример.
Для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , 𝐴 =
(1 11 2
),−→𝑓 =
(11
)вычис-
лите первую итерацию метода верхней релаксации, если
начальное приближение −→𝑢 (0) =
(01
).
Решение. Здесь
17
𝐿 =
(0 01 0
), 𝐷 =
(1 00 2
), 𝑈 =
(0 10 0
)Обозначим −→𝑢 (1) =
(𝑥1 𝑥2
)𝑇 и найдем первую итерациюметода верхней релаксации:
(0 01 0
)(𝑥1
𝑥2
)+
(1 00 2
)⎛⎜⎜⎝(𝑥1
𝑥2
)+ 𝑝
(01
)1 + 𝑝
⎞⎟⎟⎠+
+
(0 10 0
)(01
)=
(11
)
(0𝑥1
)+
1
1 + 𝑝
(1 00 2
)(𝑥1
𝑥2 + 𝑝
)+
(10
)=
(11
)
(0𝑥1
)+
1
1 + 𝑝
(𝑥1
2(𝑥2 + 𝑝)
)=
(01
)Последнее равенство эквивалентно системе⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1
1 + 𝑝𝑥1 = 0
𝑥1 +2
1 + 𝑝(𝑥2 + 𝑝) = 1,
откуда −→𝑢 (1) =(0 1−𝑝
2
)𝑇ý
18
2.4 Методы решения, основанные на ми-нимизации функционалов.
Рассматриваем СЛАУ
𝐴−→𝑢 =−→𝑓
Введем функционал
Φ(−→𝑢 ) = (𝐴−→𝑢 ,−→𝑢 ) − 2(−→𝑓 ,−→𝑢
)Теорема: если матрица 𝐴 симметрична и положитель-но определена, то существует единственный элемент−→𝑢 *, придающий функционалу Φ(−→𝑢 ) наименьшее значе-ние, причем 𝐴−→𝑢 * =
−→𝑓 .
Эта теорема позволяет свести нахождение решения СЛАУк нахождению минимума соответствующего функциона-ла.
2.4.1 Метод наискорейшего спуска и метод ми-нимальных невязок.
Градиент рассматриваемого нами функционала имеетвид:
∇Φ(−→𝑢 ) = 2(𝐴−→𝑢 −−→𝑓 )
Чтобы найти решение СЛАУ, можно найти минимумсоответствующего функционала. Так как направление гра-диента есть направление наибольшего возрастания функ-ционала, то для нахождения минимума функционала намнужно двигаться от некоторой начальной точки (началь-ного приближения) в направлении, противоположном на-правлению градиента. Соответствующий итерационныйпроцесс выглядит следующим образом:
19
−→𝑢 (𝑘+1) = −→𝑢 (𝑘) − 𝛼𝑘∇Φ(−→𝑢 (𝑘)
)Вектор
−→𝑟𝑘 = 𝐴−→𝑢 (𝑘) −−→𝑓
называется вектором невязки. Тогда
∇Φ(−→𝑢 (𝑘)
)= 2−→𝑟𝑘
Методы наискорейшего спуска и минимальных невя-зок отличаются только выбором параметра 𝛼𝑘:
𝛼𝑘 =1
2
(−→𝑟𝑘 ,−→𝑟𝑘 )
(𝐴−→𝑟𝑘 ,−→𝑟𝑘 )— метод наискорейшего спуска;
𝛼𝑘 =1
2
(𝐴−→𝑟𝑘 ,−→𝑟𝑘 )
(𝐴−→𝑟𝑘 , 𝐴−→𝑟𝑘 )— метод минимальных невязок.
Пример.
Для СЛАУ 𝐴−→𝑢 =−→𝑓 , 𝐴 =
(1 11 2
),−→𝑓 =
(11
)вычисли-
те первую итерацию метода минимальных невязок, если
начальное приближение −→𝑢 (0) =
(00
).
Решение. Вычисляем нулевой вектор невязки:
−→𝑟0 =
(1 11 2
)(00
)−(
11
)=
(−1−1
),
откуда
∇Φ(−→𝑢 (0)
)= 2−→𝑟0 =
(−2−2
)Теперь найдем параметр 𝛼0:
20
𝐴−→𝑟0 =
(1 11 2
)(−1−1
)=
(−2−3
)𝛼0 =
1
2
(𝐴−→𝑟0 ,−→𝑟0 )
(𝐴−→𝑟0 , 𝐴−→𝑟0 )=
1
5,
и окончательно
−→𝑢 (1) = −→𝑢 (0) − 𝛼0∇Φ(−→𝑢 (0)
)=
(00
)− 1
5
(−2−2
)=
(2/52/5
)ý
2.4.2 Метод сопряженных градиентов.
Данный метод является точным. Его суть заключает-ся в том, чтобы выбирать параметры 𝛼𝑘 таким образом,чтобы каждый следующий вектор невязки был ортого-нален всем предыдущим. Так как мы рассматриваем ко-нечномерные пространства, то на последнем шаге векторневязки будет нулевым, так как в конечномерном про-странстве число ненулевых взаимно ортогональных век-торов конечно. Таким образом можно получить точноерешение за конечное число итераций.
Приведем одно из возможных построений метода.
−→𝑢 (1) = (𝐸 − 𝜏1𝐴)−→𝑢 (0) + 𝜏1−→𝑓 ,
−→𝑢 (𝑘+1) = 𝛼𝑘+1 (𝐸 − 𝜏𝑘+1𝐴)−→𝑢 (𝑘)+(1−𝛼𝑘+1)−→𝑢 (𝑘−1)+𝛼𝑘+1𝜏𝑘+1
−→𝑓 ,
где
𝛼1 = 1, 𝛼𝑘+1 =
[1 − 1
𝛼𝑘
𝜏𝑘+1
𝜏𝑘
(−→𝑟𝑘 ,−→𝑟𝑘 )
(−→𝑟 𝑘−1,−→𝑟 𝑘−1)
]−1
21
2.5 Степенной метод нахождения макси-мального по модулю собственного зна-чения.
Пусть матрица 𝐴 — самосопряженная, т.е. 𝐴𝑇 = 𝐴.Выберем произвольный ненулевой вектор −→𝑢 (0) и постро-им последовательность векторов
−→𝑢 (𝑘+1) = 𝐴−→𝑢 (𝑘)
Итерационный процесс
𝜆(𝑘) =(𝐴−→𝑢 (𝑘),−→𝑢 (𝑘))
(−→𝑢 (𝑘),−→𝑢 (𝑘))=
(−→𝑢 (𝑘+1),−→𝑢 (𝑘))
(−→𝑢 (𝑘),−→𝑢 (𝑘))
есть последовательность приближений максимального поабсолютной величине собственного значения матрицы 𝐴.
Если матрица 𝐴 симметричная с действительными эле-ментами, то также справедливо другое приближение:
𝜆(𝑘) =(𝐴𝑘+1−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
(𝐴𝑘−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
,
где индекс max означает, что нужно выбрать максималь-ный элемент вектора.
Для нахождения минимального по абсолютной ве-личине собственного значения матрицы 𝐴 нужно исполь-зовать степенной метод, только матрицу 𝐴 в итерацион-ном процессе следует заменить на обратную, так как соб-ственные значения матриц 𝐴 и 𝐴−1 взаимно обратны.Пример (Задача 2*).Проведите три шага вычислений для определения мак-симального по модулю собственного значения матрицы
𝐴 =
(4 11 2
)и соответствующего собственного вектора
22
степенным методом, взяв в качестве начального прибли-жения вектор −→𝑢 (0) =
(1 0
)𝑇 .Решение. Матрица 𝐴 — симметричная с действительны-ми элементами, поэтому
𝜆(𝑘) =(𝐴𝑘+1−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
(𝐴𝑘−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
𝜆(0) = (𝐴−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥 =
((4 11 2
)(10
))𝑚𝑎𝑥
=
(41
)𝑚𝑎𝑥
= 4
𝜆(1) =(𝐴2−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
(𝐴−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
=
(17 6
)𝑇𝑚𝑎𝑥(
4 1)𝑇𝑚𝑎𝑥
=17
4
𝜆(2) =(𝐴3−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
(𝐴2−→𝑢 (0))𝑚𝑎𝑥
=
(74 29
)𝑇𝑚𝑎𝑥(
17 6)𝑇𝑚𝑎𝑥
=74
17
Соответствующий собственный вектор есть «числитель»последней итерации:
−→𝑢 (3) =
(7429
)ý
23
3 Методы численного решения урав-нений и систем нелинейных урав-нений.
3.1 Локализация корней.Рассмотрим произвольную матрицу 𝐴 с элементами
𝑎𝑖𝑗. Рассмотрим круги на комплексной плоскости:
𝑃𝑖 : |𝑧 − 𝑎𝑖𝑖| ≤𝑛∑
𝑗=1𝑗 =𝑖
|𝑎𝑖𝑗|
𝑄𝑗 : |𝑧 − 𝑎𝑗𝑗| ≤𝑛∑
𝑖=1𝑖 =𝑗
|𝑎𝑖𝑗|
Здесь радиусы кругов равны сумме модулей внедиаго-нальных элементов 𝑖-ой строки и соответственно 𝑗-го столб-ца матрицы.Теорема Гершгорина: все собственные значения мат-рицы 𝐴 принадлежат множеству(⋃
𝑖
𝑃𝑖
)⋂(⋃𝑗
𝑄𝑗
)на комплексной плоскости.
Отметим, что для симметричных матриц 𝑃𝑖 ≡ 𝑄𝑖.Пример.Используя теорему Гершгорина, локализовать корни ха-рактеристического уравнения матрицы
𝐴 =
⎛⎝ 3 0 10 1 1−1 1 −2
⎞⎠24
и провести три шага вычислений для определения мак-симального по модулю собственного значения степеннымметодом, взяв в качестве начального приближения век-тор −→𝑢 (0) =
(1 0 0
)𝑇 .Решение. Матрица 𝐴 — симметричная, поэтому 𝑃𝑖 ≡ 𝑄𝑖
и по теореме Гершгорина все собственные значения лежатна объединении кругов⎧⎪⎨⎪⎩
|𝑧 − 3| ≤ 1
|𝑧 − 1| ≤ 1
|𝑧 + 2| ≤ 2
Теперь как и в примере пункта 1.5 находим
𝜆(0) = 3, 𝜆(1) =10
3, 𝜆(2) =
31
10ý
Рассмотрим теперь многочлены 𝑃 (𝑥) и 𝑃1(𝑥) = 𝑃 ′(𝑥).Будем искать наибольший общий делитель многочленов𝑃 (𝑥) и 𝑃1(𝑥) по алгоритму Евклида:
𝑃 = 𝑞1𝑃1 − 𝑃2
𝑃1 = 𝑞2𝑃2 − 𝑃3
. . . . . . . . . . . . . . .
𝑃𝑛−2 = 𝑞𝑛−1𝑃𝑛−1 − 𝑃𝑛
𝑃𝑛−1 = 𝑞𝑛𝑃𝑛
Последовательность 𝑃𝑖 называется последовательно-стью Штурма многочлена 𝑃 .Теорема Штурма: пусть 𝜔(𝑥) — число перемен знакав последовательности 𝑃𝑖(𝑥). Тогда количество корнеймногочлена 𝑃 (без учета их кратности), заключенныхмежду 𝑎 и 𝑏, где 𝑃 (𝑎) = 0, 𝑃 (𝑏) = 0 и 𝑎 < 𝑏, в точностиравно 𝜔(𝑎) − 𝜔(𝑏).
25
3.2 Принцип сжимающих отображений. Ме-тод простых итераций. Условие схо-димости метода простых итераций.
Рассмотрим систему нелинейных алгебраических урав-нений
−→𝑓 (−→𝑥 ) =
−→0
Ее можно переписать в равносильном виде
−→𝑥 =−→𝐹 (−→𝑥 )
Пусть −→𝑥 ∈ 𝑋. Отображение−→𝐹 (−→𝑥 ) : 𝑋 → 𝑋 назы-
вается сжимающим в замкнутой выпуклой области 𝑋,если
∀−→𝑥 ,−→𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑞(0 < 𝑞 < 1) : 𝜌[−→𝐹 (−→𝑥 ),
−→𝐹 (−→𝑦 )
]≤ 𝑞𝜌(−→𝑥 ,−→𝑦 )
В линейном нормированном пространстве расстояние естьнорма разности векторов.
Отображение−→𝐹 (−→𝑥 ) : 𝑋 → 𝑋 называется непрерыв-
ным, если
∀𝜀 ∃𝛿 : ∀−→𝑥 ,−→𝑦 ∈ Ω : 𝜌(−→𝑥 ,−→𝑦 ) < 𝛿 −→
−→ 𝜌[−→𝐹 (−→𝑥 ),
−→𝐹 (−→𝑦 )
]< 𝜀
Теорема 1: пусть отображение−→𝐹 : 𝑋 → 𝑋 — сжима-
ющее. Тогда1. метод простой итерации
−→𝑥 (𝑘+1) =−→𝐹 (−→𝑥 (𝑘))
26
сходится к точному решению −→𝑥 * системы −→𝑥 =−→𝐹 (−→𝑥 );
2. при любом начальном приближении −→𝑥 (0) выполняет-ся неравенство
𝜌(−→𝑥 (𝑘),−→𝑥 *) ≤ 𝑞𝑘
1 − 𝑞𝜌(−→𝑥 (1),−→𝑥 (0))
Теорема 2: если для вектор-функции−→𝐹 (−→𝑥 ), заданной
на линейном нормированном пространстве, якобиан
𝐽 =𝑑−→𝐹 (−→𝑥 )
𝑑−→𝑥=
⎛⎜⎜⎜⎝𝜕𝐹1
𝜕𝑥1
. . .𝜕𝐹1
𝜕𝑥𝑛
. . . . . . . . . . . . . . .𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑥1
. . .𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑥𝑛
⎞⎟⎟⎟⎠существует, причем ‖𝐽‖ ≤ 𝑞 < 1 ∀−→𝑥 ∈ 𝑋, то отобра-жение
−→𝐹 : 𝑋 → 𝑋 является сжимающим в 𝑋.
Таким образом, досаточным условием сходимости методапростой итерации в случае решения системы нелинейныхуравнений является условие ‖𝐽‖ < 1.Пример (Задача 3*).Предложите сходящийся метод простой итерации и про-верьте выполнение достаточного условия его сходимостидля уточнения корней
−0.6 ≤ 𝑥1 ≤ −0.5
−0.7 ≤ 𝑦1 ≤ −0.6
−0.9 ≤ 𝑥2, 𝑦2 ≤ −0.8
системы нелинейных уравнений2𝑥− exp(−𝑥) sin 𝑦 = 0
2𝑦 + exp(−𝑥) cos 𝑦 = 0
27
Сколько итераций потребуется для достижения точности𝜀 = 10−4?Решение. Построим метод простых итераций. Для это-го представим систему в виде −→𝑥 =
−→𝐹 (−→𝑥 ). Это можно
сделать различными способами. Следует выбрать такойспособ, при котором ‖𝐽‖ < 1.⎧⎪⎨⎪⎩
𝑥 =exp(−𝑥) sin 𝑦
2= 𝐹1(𝑥, 𝑦)
𝑦 = −exp(−𝑥) cos 𝑦
2= 𝐹2(𝑥, 𝑦)
В преобразованной системе третья норма якобиана
‖𝐽‖3 =
⎛⎜⎝−exp(−𝑥) sin 𝑦
2
exp(−𝑥) cos 𝑦
2exp(−𝑥) cos 𝑦
2
exp(−𝑥) sin 𝑦
2
⎞⎟⎠3
меньше единицы для первой пары корней (𝑥1, 𝑦1). Пока-жем это. Для собственных значений матрицы 2× 2 спра-ведливо:
𝜆1 + 𝜆2 = tr𝐽 = 0, 𝜆1𝜆2 = det 𝐽 = −𝑒−2𝑥
4
Учитывая, что
−0.6 ≤ 𝑥1 ≤ −0.5
−0.7 ≤ 𝑦1 ≤ −0.6,
для первой пары корней получаем
−0.84 ≈ −𝑒1.2
4≤ 𝜆1𝜆2 ≤ −𝑒
4≈ −0.6,
28
откуда |𝜆1| = |𝜆2| < 1, то есть метод сходится, так каквыполняется достаточное условие сходимости.Для второй пары корней достаточное условие не выпол-няется, так как при 𝑥1 = −0.9 |𝜆1| = |𝜆2| > 1. Аналогич-но можно проверить, что и для других норм достаточноеусловие сходимости не выполняется для второй пары кор-ней. Поэтому для второй пары нужно представить систе-му иначе. Например, после несложных преобразованийможно получить такую систему:⎧⎪⎨⎪⎩
𝑥 = −ln2 − 1
2ln(𝑥2 + 𝑦2)
𝑦 = arcctg−𝑦
𝑥Теперь достаточное условие для второй пары корней бу-дет выполняться (для какой нормы?). Опустим выкладкипо обоснованию этого утверждения и вернемся к послед-нему вопросу задачи для первой пары корней.Чтобы найти число итераций, необходимых для достиже-ния точности 𝜀, достаточно воспользоваться теоремой 1.Для этого нужно выбрать начальное приближение −→𝑥 (0),провести первый шаг итерации, положить 𝑞 = ‖𝐽‖3 (таккак метод сходится только для третьей нормы) и решитьнеравенство
𝑞𝑘
1 − 𝑞‖−→𝑥 (1) −−→𝑥 (0)‖3 ≥ 𝜀
относительно 𝑘.Аналогично следует поступить для второй пары корней,используя соответствующую преобразованную систему инорму, в которой норма якобиана меньше единицы.ý
Отметим, что если в условии задачи корни не локали-зованы, следует локализовать их самостоятельно, напри-мер, графически.
29
Пример (Задача 4*).Определите порядок сходимости итерационного методадля вычисления корней уравнения 2𝑥3 + 3𝑥2 − 1 = 0 поформуле
𝑥𝑛+1 =5𝑥𝑛
9− 2
9+
1
4𝑥𝑛
+1
72𝑥2𝑛
− 1
72𝑥3𝑛
Решение. Очевидно, корни уравнения равны −1, −1, 0.5.Порядок сходимости определяется из неравенства
|𝑥𝑛+1 − 𝑥*| < 𝑐|𝑥𝑛 − 𝑥*|𝛼, 0 < 𝑐 ≤ 1
Чтобы найти порядок сходимости, то есть 𝛼, левую частьв неравенстве представляют в виде
𝑥𝑛+1 − 𝑥* = 𝑔(𝑥𝑛 − 𝑥*) = 𝑐0(𝑥𝑛 − 𝑥*)𝛼 + 𝑐1(𝑥𝑛 − 𝑥*)𝛼−1 + . . .
Минимальное 𝑘, при котором 𝑔(𝑘)(𝑥𝑛−𝑥*)𝑥𝑘=𝑥* = 0 и есть
искомое 𝛼. В нашем случае
𝑔(𝑥𝑛 − 𝑥*) =5𝑥𝑛
9− 2
9+
1
4𝑥𝑛
+1
72𝑥2𝑛
− 1
72𝑥3𝑛
− 𝑥*
Несложно проверить, что для кратного корня −1 перваяпроизводная уже не обращается в ноль, а для корня 0.5только третья производная не равна нулю. Поэтому длявычисления корня −1 порядок сходимости линейный, адля вычисления корня 0.5 — кубический. ý
3.3 Метод Ньютона.Рассмотрим нелинейное уравнение 𝑓(𝑥) = 0. Постро-
им метод Ньютона:
30
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 ′(𝑥𝑘)
Теорема: пусть 𝑓(𝑥) определена и дважды непрерывнодифференцируема на [𝑎, 𝑏], причем 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0, а произ-водные 𝑓 ′(𝑥), 𝑓 ′′(𝑥) отличны от нуля и сохраняют знакна отрезке [𝑎, 𝑏]. Тогда, исходя из начального приближе-ния 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏], такого, что 𝑓(𝑥0)𝑓
′′(𝑥0) > 0, можно по-строить метод Ньютона, сходящийся к единственномуна [𝑎, 𝑏] решению −→𝑥 * уравнения 𝑓(𝑥) = 0.
Обозначим
𝑀2 = max[𝑎,𝑏]
|𝑓 ′′(𝑥)|, 𝑚1 = min[𝑎,𝑏]
|𝑓 ′(𝑥)|
Для оценки погрешности (𝑘 + 1)-го приближения корняможно воспользоваться неравенством
|𝑥𝑘+1| ≤1
2
𝑀2
𝑚1
|𝑥𝑘 − 𝑥*|2
Обозначив
1
2
𝑀2
𝑚1
= 𝑐,
получим после преобразований:
|𝑥𝑘+1 − 𝑥*| ≤ 1
𝑐
(𝑐|𝑥(0) − 𝑥*|
)2𝑘+1
Пример.Используя метод Ньютона, предложите сходящийся ал-горитм нахождения корня 𝑥 ∈ [𝜋, 3𝜋
2] уравнения
𝑓(𝑥) = ctg𝑥− 1
𝑥2= 0
31
Выберите начальное приближение и проверьте выполне-ние условий сходимости.Решение. Графически можно убедиться, что корень науказанном отрезке существует и единственен. Найдем первуюпроизводную:
𝑓 ′(𝑥) = − 1
sin2 𝑥+
2
𝑥3
Используя ограничение на 𝑥, можно уточнить локализа-цию корней: 𝑥 ∈ [5𝜋
4, 3𝜋
2].
Вычислим вторую производную:
𝑓 ′′(𝑥) = 2ctg𝑥
sin2 𝑥− 6
𝑥4
Легко показать, что на отрезке [5𝜋4, 3𝜋
2] вторая производ-
ная меняет знак. Поэтому условия сходимости методаНьютона не будут выполняться. Чтобы метод сошелся,сделаем равносильное преобразование функции такое, что-бы корень уравнения остался прежним, но выполнялисьусловия сходимости. Например, выберем
𝑓(𝑥) = 𝑥2 cos𝑥− sin𝑥 = 0,
тогда
𝑓 ′(𝑥) = −𝑥2 sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥− cos𝑥
𝑓 ′′(𝑥) = (2 − 𝑥2) cos𝑥− 4𝑥 sin𝑥 + sin𝑥
Теперь обе производные сохраняют знак (обе они поло-жительны) на отрезке [5𝜋
4, 3𝜋
2]. Очевидно, что функция и
обе производные непрерывны на рассматриваемом отрез-ке, а также
𝑓(5𝜋
4)𝑓(
3𝜋
2) < 0
32
Выберем 𝑥0 = 3𝜋2
. 𝑓(𝑥0) = 1, откуда 𝑓(𝑥0)𝑓′′(𝑥0) > 0, так
как вторая производная положительна на рассматривае-мом отрезке.Все условия сходимости метода Ньютона выполнены, по-этому при указанном начальном приближении метод схо-дится.ý
33
4 Приближение функций, заданныхна дискретном множестве.
4.1 Задача алгебраической интерполяции.Среднеквадратичное приближение.
Будем рассматривать линейное нормированное про-странство.
Пусть на некотором отрезке [𝑎, 𝑏] задан некоторый ко-нечный набор точек 𝑥𝑘𝑁𝑘=0, причем 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑁 = 𝑏.Пусть в этих точках известны значения некоторой непре-рывной функции 𝑓(𝑥). Задача интерполяции заключает-ся в восстановлении функции 𝑓 по ее известным значени-ям в точках 𝑥𝑘.
Одним из методов восстановления функции являетсяпостроение обобщенного интерполяционного много-члена. Для этого выбирают 𝑛 линейно независимых функ-ций 𝑔𝑗𝑛𝑗=0 (𝑛 ≤ 𝑁) и ищут наилучшее приближение:
inf𝑐𝑗
𝑓 −
𝑛∑𝑖=0
𝑐𝑗𝑔𝑗
Теорема 1: в линейном нормированном пространственаилучшее приближение элемента всегда существует.
Если в рассматриваемом пространстве определено ска-лярное произведение, то в качестве нормы можно вы-брать
‖𝑥‖ =√
(𝑥, 𝑥)
Напомним, что скалярное произведение можно опре-делить несколькими способами. Вот некоторые из них:
34
1. в пространстве измеримых интегрируемых с квадрата-ми на некотором вещественном отрезке [𝑎, 𝑏] функций
(𝑓, 𝑔) =
𝑏∫𝑎
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥,
где 𝑔(𝑥) — комплексно сопряженное к 𝑔(𝑥) (для веще-ственного аргумента 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)) (в дискретном случаевместо интеграла имеет место сумма);2. если ввести положительно определенную на [𝑎, 𝑏] функ-цию 𝜌(𝑥) — весовой множитель, то
(𝑓, 𝑔) =
𝑏∫𝑎
𝜌(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3. в вещественном векторном пространстве
(𝑥, 𝑦) =∑
𝑥𝑗𝑦𝑗
4. если ввести симметричную, положительно определен-ную матрицу 𝐵, то
(𝑥, 𝑦) = −→𝑥 𝑇𝐵−→𝑦 ,
Наряду с наилучшим приближением имеет место наи-лучшее среднеквадратичное приближение:
min𝑐𝑗
𝑓 −
𝑛∑𝑗=0
𝑐𝑗𝑔𝑗
2
Теорема 2: в линейном нормированном пространствесреднеквадратичное приближение элемента всегда суще-ствует и единственно.
35
Здесь важно, что норма должна определяться как квад-ратный корень из скалярного произведения. Если
‖𝑓‖ = sup[𝑎,𝑏]
|𝑓(𝑥)|,
то записанный выше минимум будет называться наилуч-шим равномерным приближением.Теорема 3: если базисные функции обобщенного много-члена ортогональна, а норма определена через скалярноепроизведение, то для наилучшего среднеквадратичногоприближения справедливо:
𝑐𝑗 =(𝑓, 𝑔𝑗)
(𝑔𝑗, 𝑔𝑗)
Доказательство этой теоремы заключается в раскрытиискалярного произведения в наилучшем среднеквадратич-ном приближении и непосредственном нахождении коэф-фициентов 𝑐𝑗 из необходимого условия экстремума:
𝜕Φ
𝜕𝑐𝑗= 0, Φ = min
𝑐𝑗
𝑓 −
𝑛∑𝑖=0
𝑐𝑗𝑔𝑗
2
Если базисные функции не ортогональны, то их на-до ортогонализовать или вручную проверять необходи-мое условие экстремума.Пример (Задача 5*).Для заданной таблицы значений функции, где в качествеузлов 𝑥𝑘7𝑘=0 выбраны точки 𝑥𝑘 = 2𝜋𝑘
8, 𝑘 ∈ [0, 7], построй-
те обобщенный многочлен 𝑃4(𝑥) =2∑
𝑗=−2
𝑐𝑗𝑒𝑖𝑗𝑥 наилучшего
среднеквадратичного приближения.
𝑥 0 𝜋/4 𝜋/2 3𝜋/4 𝜋 5𝜋/4 3𝜋/2 7𝜋/4𝑦 1 0 5 2 −1 2 5 0
36
Решение. Определим скалярное произведение как в пунк-те 1:
(𝑓, 𝑔) =7∑
𝑘=0
𝑓(𝑥𝑘)𝑔(𝑥𝑘)
Несложно показать, что базисные функции 𝑔𝑗 = 𝑒𝑖𝑗𝑥 орто-гональны (скалярное произведение любой пары различ-ных базисных функций равно нулю). Поэтому
𝑐𝑗 =(𝑓, 𝑔𝑗)
(𝑔𝑗, 𝑔𝑗)
Имеем:
(𝑔𝑗, 𝑔𝑗) =7∑
𝑘=0
𝑒𝑖𝑗𝑥𝑘𝑒−𝑖𝑗𝑥𝑘 = 8,
(𝑓, 𝑔𝑗) =7∑
𝑘=0
𝑓(𝑥𝑘)𝑒−𝑖𝑗𝑥𝑘 = 𝑓(0)𝑒0 + . . . + 𝑓 (7𝜋/4) 𝑒−𝑖𝑗7𝜋/4
Последовательно считая (𝑓, 𝑔𝑗) при 𝑗 ∈ [−2, 2], оконча-тельно получим
𝑐0 =7
4, 𝑐1 = 𝑐−1 =
1 −√
2
4, 𝑐2 = 𝑐−2 = −5
4ý
4.2 Интерполяционный полином в формеЛагранжа и в форме Ньютона. Оста-точный член интерполяции.
Здесь речь пойдет об алгебраическом интерполя-ционном полиноме:
37
𝑃𝑁(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + . . . + 𝑐𝑁𝑥𝑁
Его степень меньше числа узлов 𝑁 + 1, причем в каждомузле значение алгебраического интерполяционного поли-нома совпадает со значением функции в этом узле.Теорема 1: существует один и только один алгебраи-ческий интерполяционный полином для данной функциис узлами в данных точках.
Алгебраический интерполяционный полином обычностроят в форме Лагранжа или в форме Ньютона.Понятно, что они эквивалентны, так как алгебраическийинтерполяционный полином единственен, и отличаютсялишь формой записи.
Алгебраический интерполяционный полином в фор-ме Лагранжа строится следующим образом:
𝑃(𝐿)𝑁 =
𝑁∑𝑘=0
𝑓𝑘
𝑁∏𝑗 =𝑘𝑗=0
𝑥− 𝑥𝑗
𝑥𝑘 − 𝑥𝑗
Введем понятие остаточного члена интерполяциидля оценки погрешности
𝑅𝑁(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑃(𝐿)𝑁 (𝑥)
Можно показать, что если 𝑓 имеет 𝑁 + 1 ограниченнуюпроизводную на [𝑎, 𝑏] (на области определения), то
𝑅𝑁(𝑥) =𝑓 (𝑁+1)(𝜉)
(𝑁 + 1)!(𝑥− 𝑥0) . . . (𝑥− 𝑥𝑁), 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]
Теорема 2: если сетка равномерная, то есть расстоя-ние между соседними узлами постоянное и равно
38
ℎ =𝑏− 𝑎
𝑁,
то справедлива оценка:
|𝑅𝑁(𝑥)| ≤ ℎ𝑁+1
𝑁 + 1max𝑥∈[𝑎,𝑏]
𝑓 (𝑁+1)(𝑥)
Для построения алгебраического полинома в форме
Ньютона потребуется понятие о разделенных разно-стях:
𝑓0(𝑘) = 𝑓𝑘,
𝑓1(𝑘, 𝑘 + 1) =𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
,
𝑓2(𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2) =𝑓1(𝑘 + 1, 𝑘 + 2) − 𝑓1(𝑘, 𝑘 + 1)
𝑥𝑘+2 − 𝑥𝑘
𝑓3(𝑘, . . . , 𝑘+3) =𝑓2(𝑘 + 1, 𝑘 + 2, 𝑘 + 3) − 𝑓2(𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2)
𝑥𝑘+3 − 𝑥𝑘
и так далее. Здесь 𝑓𝑘 означает значение функции 𝑓 в 𝑘-омузле, а 𝑓𝑖(𝑘, 𝑘 + 1, . . . , 𝑘 + 𝑖) — 𝑖-я разделенная разностьв 𝑘-ом узле. Алгебраический полином в форме Ньютонастроится следующим образом:
𝑃(𝑁)𝑁 (𝑥) = 𝑓0 + 𝑓1(0, 1)(𝑥− 𝑥0) +
+𝑓2(0, 1, 2)(𝑥− 𝑥0)(𝑥− 𝑥1) + . . . +
+𝑓𝑁(0, 1, . . . , 𝑁)(𝑥− 𝑥0) . . . (𝑥− 𝑥𝑁−1)
39
Очевидно, теорема 2 справедлива и для алгебраиче-ского полинома в форме Ньютона, так как эти полиномыэквивалентны.Пример.С каким шагом нужно составить таблицу значений функ-ции 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, чтобы при использовании линейной ин-терполяции погрешность не превосходила 𝜀 = 10−3?Решение. При линейной интерполяции функция в двухсоседних точках приближается отрезком прямой. Заме-тим, что
sin(2𝑘) 𝑥 = (−1)𝑘 sin𝑥, sin(2𝑘+1) 𝑥 = (−1)𝑘+1 cos𝑥,
поэтому
| sin(𝑘) 𝑥| ≤ 1
Положим 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏. Так как концы отрезка — сосед-ние точки, то всего узлов 2 (N=1) и для линейной интер-поляции по теореме 2 имеем
|𝑅1(𝑥)| ≤ ℎ2
2≤ 𝜀
и окончательно
ℎ ≤√
2𝜀 ≈ 0.045ý
40
4.3 Равномерное приближение: многочле-ны Чебышёва, теореме об алгебраи-ческом многочлене, наименее уклоня-ющемся от нуля. Интерполяция по че-бышёвским узлам.
Полиномом Чебышёва первого рода называетсяфункция
𝑇𝑛(𝑥) = cos(𝑛 arccos𝑥), 𝑥 ∈ [−1, 1]
Написанная функция действительно является поли-номом. Несложно получить следующее рекуррентное со-отношение:
𝑇0(𝑥) = 1, 𝑇1(𝑥) = 𝑥, 𝑇𝑛+1(𝑥) = 2𝑥𝑇𝑛(𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥)
Все нули полинома Чебышёва различны. Оказывает-ся удобным выбирать узлы интерполяции в нулях со-ответствующего полинома Чебышёва, только предвари-тельно следует отобразить область определения на отре-зок [−1, 1]. Удобство обусловлено следующей теоремой.Теорема Чебышёва: среди всех многочленов степени𝑛 ≥ 1 со старшим коэффициентом 𝑐𝑛 = 1, наименьшееуклонение от нуля, равное 21−𝑛, имеет нормированныйполином Чебышёва 𝑇𝑛(𝑥) = 21−𝑛𝑇𝑛(𝑥).
В частности, сказанное означает, что если в качествеинтерполяционных узлов выбрать нули соответствующе-го полинома Чебышёва (отобразив перед этим областьопределения на отрезок [−1, 1]), то остаточный член ин-терполяции будет наименее уклоняющимся от нуля.
41
Пример (Задача 6*).Среди всех многочленов вида 𝑃 (𝑥) = 𝑐3𝑥
3 +𝑐2𝑥2 +𝑐1𝑥+𝑐0
найдите многочлен наилучшего равномерного приближе-ния многочлена 𝑄(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 на отрезке[0, 2].Решение. Напомним, что при равномерном приближе-нии норма определяется как
‖𝑓‖ = sup[𝑎,𝑏]
|𝑓(𝑥)|,
при этом нахождение наилучшего равномерного прибли-жения заключается в нахождении
min𝑐𝑗
‖𝑄(𝑥) − 𝑃 (𝑥)‖2
Минимум достигается, когда разность 𝑄(𝑥)−𝑃 (𝑥) наиме-нее уклоняется от нуля. По теореме Чебышёва, рассмат-риваемая разность наименее уклоняется от нуля, если онапредставляет собой полином Чебышёва первого рода. Ноэто имеет место только если область определения поли-номов из условия совпадает с областью опрделения поли-номов Чебышёва первого рода. Сделаем замену
𝑦 = 𝑥− 1 ⇒ 𝑦 ∈ [−1, 1],
тогда
𝑃 (𝑥) = 𝑐3(𝑦 + 1)3 + 𝑐2(𝑦 + 1)2 + 𝑐1(𝑦 + 1) + 𝑐0
𝑄(𝑥) = (𝑦 + 1)4 − (𝑦 + 1)3 + (𝑦 + 1)2 − (𝑦 + 1) + 1 =
= 𝑦4 + 3𝑦3 + 4𝑦2 + 2𝑦 + 1
42
𝑄(𝑥) − 𝑃 (𝑥) = 𝑦4 + (3 − 𝑐3)𝑦3 + (4 − 3𝑐3 − 𝑐2)𝑦
2 +
+(2 − 3𝑐3 − 2𝑐2 − 𝑐1)𝑦 + 1 − 𝑐3 − 𝑐2 − 𝑐1 − 𝑐0
Степень выписанного многочлена равна четырем, поэто-му по теореме Чебышёва
𝑄(𝑥) − 𝑃 (𝑥) = 𝑇4(𝑥) = 𝑦4 − 𝑦2 +1
8
Отсюда легко находятся коэффициенты:
𝑐0 =7
8, 𝑐1 = 1, 𝑐2 = −4, 𝑐3 = 3
И окончательно
𝑃 (𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 +7
8ý
43
5 Численное дифференцирование.Простейшие формулы численного дифференцирова-
ния получаются в результате дифференцирования интер-поляционных формул. Для этого по узлам строится ин-терполяционный многочлен (например, обобщенный илиалгебраический) и вместо исходной функции дифферен-цируют полученный многочлен.
Другим методом является метод неопределенныхкоэффициентов (МНК). Поясним его на примере.Пример (Задача 7*).Для функции, заданной таблично (в предположении непре-рывности и ограниченности всех необходимых производ-ных), найдите значение производной 𝑓 ′(3) с максимальновозможной точностью, используя интерполяционный по-лином в форме Лагранжа или в форме Ньютона. Решитезадачу методом неопределенных коэффициентов. реши-те задачу способом, отличным от предыдущих (и про-ще!). Оцените погрешность результата, если известно, чтоmax𝑥∈[1,5]
𝑓 (5)(𝑥)
≤ ∆.
𝑥 1 2 3 4 5𝑓(𝑥) 5 7 8 10 11
Решение. Решим задачу методом неопределенных коэф-фициентов. Всего 5 узлов, поэтому приблизим нашу про-изводную следующим образом
𝑓 ′(3) ≈ 𝑐1𝑓1 + 𝑐2𝑓2 + 𝑐3𝑓3 + 𝑐4𝑓4 + 𝑐5𝑓5
Здесь 𝑓𝑖 есть значение функции в 𝑖-ой точке. Потребуем,чтобы наша формула была точна для полиномов четвер-той степени (на 1 меньше числа узлов). Тогда, очевидно,
44
формула точна и для полиномов меньших степеней. По-ложив 𝑓(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑓(𝑥) = 𝑥4,получим систему
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1′ = 0 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐4 + 𝑐5
𝑥′ = 1 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 + 4𝑐4 + 5𝑐5
(𝑥2)′(3) = 6 = 𝑐1 + 4𝑐2 + 9𝑐3 + 16𝑐4 + 25𝑐5
(𝑥3)′(3) = 27 = 𝑐1 + 8𝑐2 + 27𝑐3 + 64𝑐4 + 125𝑐5
(𝑥4)′(3) = 108 = 𝑐1 + 16𝑐2 + 81𝑐3 + 256𝑐4 + 625𝑐5
Решив систему, найдем
𝑐1 = −𝑐5 =1
12, 𝑐4 = −𝑐2 =
2
3, 𝑐3 = 0
Теперь подставим эти коэффициенты в формулу для про-изводной:
𝑓 ′(3) ≈ 1
12· 5 − 2
3· 7 +
2
3· 10 − 1
12· 11 =
3
2
Решим задачу, используя интерполяционный полином вформе Лагранжа.
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃(𝐿)4 =
4∑𝑘=0
𝑓𝑘
4∏𝑗 =𝑘𝑗=0
𝑥− 𝑥𝑗
𝑥𝑘 − 𝑥𝑗
=
= 5 · 𝑥− 2
−1· 𝑥− 3
−2· 𝑥− 4
−3· 𝑥− 5
−4+ . . . +
+11 · 𝑥− 1
−4· 𝑥− 2
−3· 𝑥− 3
−2· 𝑥− 4
−1=
= −1
6𝑥4 + 2𝑥3 − 25
3𝑥2 +
31
2𝑥− 4
45
Отсюда
𝑓 ′(𝑥) ≈ −2
3𝑥3 + 6𝑥2 − 50
3𝑥 +
31
2⇒ 𝑓 ′(3) ≈ 3
2
Решим задачу третьим методом. В нашем случае шаг сет-ки постоянный, поэтому воспользуемся следующим при-ближением:
𝑓 ′(𝑥) ≈ 𝑐1𝑓(𝑥−2ℎ)+𝑐2𝑓(𝑥−ℎ)+𝑐3𝑓(𝑥)+𝑐4𝑓(𝑥+ℎ)+𝑐5𝑓(𝑥+2ℎ)
Считая ℎ достаточно малым, разложим наши функциив ряд Маклорена по степеням ℎ (раскладываем до 4-гопорядка — на единицу меньше числа узлов):
𝑓 ′(𝑥) ≈ 𝑐1
[𝑓(𝑥) + 𝑓 ′(𝑥) · (2ℎ) +
1
2𝑓 ′′(𝑥) · (2ℎ)2 +
+1
6𝑓 ′′′(𝑥) · (2ℎ)3 +
1
24𝑓 (𝐼𝑉 )(𝑥) · (2ℎ)4 + 𝑂(ℎ5)
]+ . . .
Здесь были опущены аналогичные выкладки для осталь-ных функций. Так как слева стоит только первая произ-водная, а справа — нет, то нужно, чтобы коэффициентпри 𝑓 ′(𝑥) равнялся 1, а остальные коэффициенты равня-лись нулю. Имеем систему⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐4 + 𝑐5 = 0
2𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐4 − 2𝑐5 = 1
4𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4 + 4𝑐5 = 0
8𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐4 − 8𝑐5 = 0
16𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4 + 16𝑐5 = 0
46
Из нее находим те же коэффициенты, которые нашли прирешении методом неопределенных коэффициентов.Оценим погрешность результата. В пункте 4.1 была полу-чена оценка для остаточного члена интерполяции (теоре-ма 2), если сетка равномерна. Можно получить аналогич-ную оценку и для 𝑝-ой производной в заданной точке:
𝑅
(𝑝)𝑁 (𝑥)
≤
max𝑥∈[𝑎,𝑏]
𝑓 (𝑁+1)(𝑥)
(𝑁 + 1)!
· [(𝑥− 𝑥0) . . . (𝑥− 𝑥𝑁)](𝑝)
В нашем случае в точке 𝑥 = 3 для первой производнойимеем
|𝑅4′(3)| ≤
≤max𝑥∈[1,5]
𝑓 (5)(𝑥)
5!
·([(𝑥− 1) . . . (𝑥− 5)]′
) 𝑥=3
=
=∆
5!
(5𝑥4 − 60𝑥3 + 255𝑥2 − 450𝑥 + 274
) 𝑥=3
=∆
5!· 4ý
Пример (Задача 8*).Определите порядок точности формулы численного диф-ференцирования, приближающей вторую производную вточке 𝑥 на равномерной сетке с шагом ℎ:
𝑓 ′′(𝑥) ≈ 12𝑓(𝑥) − 30𝑓(𝑥 + ℎ) + 24𝑓(𝑥 + 2ℎ) − 6𝑓(𝑥 + 3ℎ)
6ℎ2
Решение. Считая шаг сетки малым, разложим функциив ряд Маклорена по степеням ℎ:
47
𝑓 ′′(𝑥) ≈ 1
6ℎ2(12𝑓(𝑥) −
−30
(𝑓(𝑥) + 𝑓 ′(𝑥) · ℎ +
1
2𝑓 ′′(𝑥) · ℎ2 +
1
6𝑓 ′′′(𝑥) · ℎ3 +
+1
24𝑓 (4)(𝑥) · ℎ4
)+ . . .−
−6
(. . . +
1
24𝑓 (4)(𝑥) · (3ℎ)4
)+ 𝑂(ℎ5)) =
=1
6ℎ2(𝑓 ′′(𝑥) · 6ℎ2 + 𝑂(ℎ4))
В конце написано 𝑂(ℎ4), так как после преобразованийоказалось, что коэффициент при 𝑓 (4)(𝑥) не зануляется,то есть был выбран слишком большой порядок разложе-ния. Из последнего равенства видно, что порядок точно-сти формулы — 𝑂(ℎ2). ý
48
6 Численное интегрирование.6.1 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
(прямоугольников, трапеций, Симпсо-на) и оценка их погрешности.
Пусть вычисляется интеграл
𝐼 =
𝑏∫𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Пусть на отрезке интегрирования, как и в задаче ин-терполяции, задана сетка, возможно, с непостоянным ша-гом. Пусть всего узлов 𝑁 , причем 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑁 = 𝑏, тогдаразобьем наш интеграл на сумму:
𝐼 =𝑁−1∑𝑘=0
𝐼𝑘 =𝑁−1∑𝑘=0
𝑥𝑘+1∫𝑥𝑘
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Заменим подынтегральную функцию на отрезке [𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1]отрезком прямой, проходящей через середину отрезка, тоесть через точку 𝑥𝑘+𝑥𝑘+1
2. Считая, что сетка на отрезке ин-
тегрирования равномерная (ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), получим
𝑓(𝑥) ≈ 𝑓
(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1
2
)Выполнив интегрирование, получим приближенное зна-чение интеграла на выбранном отрезке:
𝐼𝑘 ≈ ℎ𝑓
(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1
2
)Суммирование интегралов по элементарным отрезкам дастквадратурную формулу прямоугольников:
49
𝐼 ≈𝑁−1∑𝑘=0
ℎ𝑓
(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1
2
)Погрешность формулы оценивается следующим образом:
∆𝐼 =𝑀2ℎ
2(𝑏− 𝑎)
24, 𝑀2 = max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓 ′′(𝑥)|
Заменим подынтегральную функцию на отрезке [𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1]алгебраическим интерполяционным полиномом в формеЛагранжа первой степени:
𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥𝑘) +𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘)
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
(𝑥− 𝑥𝑘)
Выполнив интегрирование, получим приближенное зна-чение интеграла на выбранном отрезке:
𝐼𝑘 ≈1
2(𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘)(𝑓(𝑥𝑘+1) + 𝑓(𝑥𝑘)) =
ℎ𝑘
2(𝑓(𝑥𝑘+1) + 𝑓(𝑥𝑘))
Суммирование интегралов по элементарным отрезкам дастквадратурную формулу трапеций:
𝐼 ≈ 1
2
𝑁−1∑𝑘=0
ℎ𝑘(𝑓(𝑥𝑘+1) + 𝑓(𝑥𝑘))
Погрешность формулы для равномерной сетки оценива-ется следующим образом:
∆𝐼 =𝑀2ℎ
2(𝑏− 𝑎)
12, 𝑀2 = max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓 ′′(𝑥)|
Заменим подынтегральную функцию на отрезке [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘]алгебраическим интерполяционным полиномом в форме
50
Лагранжа второй степени. Считая при этом, что сеткана отрезке интегрирования равномерная (ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), ивзяв в качестве третьей точки (так как полином второйстепени строится как минимум по трем точкам) серединуотрезка [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘], то есть точку 𝑥𝑘−1/2, получим
𝑓(𝑥) = 𝑓𝑘−1
(𝑥− 𝑥𝑘−1/2)(𝑥− 𝑥𝑘)
(𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘−1/2)(𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘)+
+𝑓𝑘−1/2(𝑥− 𝑥𝑘−1)(𝑥− 𝑥𝑘)
(𝑥𝑘−1/2 − 𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−1/2 − 𝑥𝑘)+
+𝑓𝑘(𝑥− 𝑥𝑘−1)(𝑥− 𝑥𝑘−1/2)
(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1/2)=
=2
ℎ2[(𝑥− 𝑥𝑘−1/2)(𝑥− 𝑥𝑘)𝑓𝑘−1 −
−2(𝑥− 𝑥𝑘−1)(𝑥− 𝑥𝑘)𝑓𝑘−1/2 +
+(𝑥− 𝑥𝑘−1)(𝑥− 𝑥𝑘−1/2)𝑓𝑘]
Выполнив интегрирование, получим приближенное зна-чение интеграла на выбранном отрезке:
𝐼𝑘 ≈ℎ
6(𝑓𝑘−1 + 4𝑓𝑘−1/2 + 𝑓𝑘)
Суммирование интегралов по элементарным отрезкам дастквадратурную формулу Симпсона:
𝐼 ≈ ℎ
6
𝑁∑𝑘=1
(𝑓𝑘−1 + 4𝑓𝑘−1/2 + 𝑓𝑘)
Часто бывает неудобно использовать дробные индексы,поэтому можно записать формулу без дробных индексов(здесь элементарный отрезок есть [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘+1]):
51
𝐼 ≈ ℎ
3
𝑁∑𝑘=1
(𝑓𝑘−1 + 4𝑓𝑘 + 𝑓𝑘)
Погрешность формулы без дробных индексов оценивает-ся следующим образом:
∆𝐼 =𝑀4ℎ
4(𝑏− 𝑎)
180, 𝑀4 = max
𝑥∈[𝑎,𝑏]
𝑓 (4)(𝑥)
Если функция 𝑓(𝑥) имеет только три непрерывных про-изводных, то
𝜀 =≤ 𝑀3ℎ3(𝑏− 𝑎)
12, 𝑀3 = max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓 ′′′(𝑥)|
6.2 Квадратурные формулы Гаусса.Точность квадратурной формулы определяется выбо-
ром узлов и коэффициентов. Например, формулы трапе-ций и Симпсона имеют одинаковые узлы, но различныекоэффициенты и, как следствие, их точность оказывает-ся разной. В связи с этим естественно возникает задачапоиска наилучшей квадратурной формулы с заданнымчислом узлов 𝑛. Обсудим постановку и решение такойзадачи в формулировке Гаусса: построить квадратурнуюформулу с числом узлов 𝑛, которая является точной длялюбого полинома степени 2𝑛− 1 или ниже.
Будем считать, что интеграл предварительно приве-ден к стандартной форме, когда областью интегрирова-ния является отрезок [−1, 1]. С учетом этого замечаниязапишем квадратурную формулу в виде
1∫−1
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑛∑
𝑖=1
𝑐𝑖𝑓(𝑥𝑖) + 𝛿𝑛,
52
где 𝛿𝑛 — остаточный член. Для любого полинома степени2𝑛− 1 этот член должен быть равен нулю.
Полагая последовательно 𝑓(𝑥) = 1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥2𝑛−1 ипринимая во внимание, что для этих функций остаточ-ный член должен равняться нулю, получим
1∫−1
𝑥𝑚𝑑𝑥 =1
𝑚 + 1(1 + (−1)𝑚) =
𝑛∑𝑖=1
𝑐𝑖𝑥𝑚𝑖 , 𝑚 ∈ [0, 2𝑛− 1]
Полученное соотношение представляет собой систему 2𝑛уравнений с 2𝑛 неизвестными, в качестве которых высту-пают узлы 𝑥𝑖 и коэффициенты 𝑐𝑖.
Решение полученной системы довольно громоздко, по-этому для ее решения используют полиномы Лежанд-ра:
𝑃𝑛(𝑥) =1
2𝑛(𝑛)!
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛(𝑥2 − 1)𝑛
Выпишем в явном виде несколько первых полиномов Ле-жандра:
𝑃0(𝑥) = 1, 𝑃1(𝑥) = 𝑥, 𝑃2(𝑥) =3
2𝑥2− 1
2, 𝑃3 =
5
2𝑥3− 3
2𝑥
Полиномы Лежандра образуют систему полиномов,ортогональных на отрезка [−1, 1]:
1∫−1
𝑃𝑚(𝑥)𝑃𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0, 𝑚 = 𝑛
Здесь и далее считается, что скалярное произведение опре-делено без весового множителя.
53
Теорема 1: любая система полиномов, оротогональныхна отрезке [−1, 1], совпадает с точностью до множи-теля с системой полиномов Лежандра.
Составим полином 𝑛-ой степени
𝑤𝑛(𝑥) = (𝑥− 𝑥1)(𝑥− 𝑥2) . . . (𝑥− 𝑥𝑛),
где 𝑥𝑖 — искомые узлы. Несложно показать, что этот по-лином ортогонален к любому полиному степени 𝑚 < 𝑛,в том числе и к полиномам Лежандра. Это означает, чтоон с точностью до множителя совпадает с 𝑛-ым полино-мом Лежандра: 𝑤𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛𝑃𝑛(𝑥). Отсюда следует вывод:узлы квадратурной формулы Гаусса являются корнямиполинома Лежандра 𝑃𝑛(𝑥).Теорема 2: квадратурная формула, у которой в каче-стве узлов берутся корни полинома Лежандра, а коэф-фициенты 𝑐𝑚 вычисляются по формулам
𝑐𝑚 =
𝑛∏𝑖 =𝑚𝑖=1
(𝑥− 𝑥𝑖)
𝑛∏𝑖 =𝑚𝑖=1
(𝑥𝑚 − 𝑥𝑖)𝑑𝑥
решают задачу Гаусса.Используя теорему 2, можно построить квадратурную
форму Гаусса с любым числом узлов. Например, для од-ного узла
𝑥1 = 0, 𝑐1 = 2
В результате квадратурная формула принимает вид
1∫−1
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑓(0) + 𝛿1
54
Она является точной для любого полинома первой степе-ни.
Для двух узлов
𝑥1 = − 1√3, 𝑥2 =
1√3, 𝑐1 = 𝑐2 = 1
В результате квадратурная формула принимает вид
1∫−1
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓
(− 1√
3
)+ 𝑓
(1√3
)+ 𝛿2
Она является точной для любого полинома третьей сте-пени.
Для трех узлов
𝑥3 = −𝑥1 =
√3
5, 𝑥2 = 0, 𝑐1 = 𝑐3 =
5
9, 𝑐2 =
8
9
В результате квадратурная формула принимает вид
1∫−1
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =5
9𝑓
(−√
3
5
)+
8
9𝑓(0) +
5
9𝑓
(√3
5
)+ 𝛿3
Она является точной для любого полинома пятой степе-ни.
Погрешность формулы оценивается следующим обра-зом:
𝛿𝑛 = 𝑀2𝑛22𝑛+1
2𝑛 + 1· (𝑛!)4
((2𝑛)!)3, 𝑀2𝑛 = max
𝑥∈[−1,1]
𝑓 (2𝑛)(𝑥)
55
6.3 Примеры задач на численное интегри-рование.
Пример (Задача 9*).Оцените минимальное число узлов для вычисления инте-
грала 𝐼 =1∫
−1
𝑥√3
arctg(
𝑥√3
)𝑑𝑥 с точностью 𝜀 = 10−2 по ме-
тодам трапеций, Симпсона и квадратур Гаусса. Оценитеинтеграл с заданной точностью любым из этих методов.Решение. Для формулы трапеций
∆𝐼 =𝑀2ℎ
2(𝑏− 𝑎)
12=
𝑀2ℎ2
6≤ 𝜀, 𝑀2 = max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓 ′′(𝑥)|
𝑀2 =2
3⇒ ℎ ≤
√9𝜀 = 0.3
ℎ =𝑏− 𝑎
𝑛⇒ 𝑛 =
[2
0.3
]+ 1 = 7
Подынтегральное выражение имеет как минимум четыренепрерывных производных, поэтому для формулы Симп-сона
∆𝐼 =𝑀4ℎ
4(𝑏− 𝑎)
180=
𝑀4ℎ4
90≤ 𝜀, 𝑀4 = max
𝑥∈[−1,1]
𝑓 (4)(𝑥)
𝑀4 =3
16⇒ ℎ ≤ 4
√90 · 16𝜀
3≈ 1.48
ℎ =𝑏− 𝑎
𝑛⇒ 𝑛 =
[2
1.48
]+ 1 = 2
Для квадратурной формулы Гаусса
56
𝛿𝑛 = 𝑀2𝑛22𝑛+1
2𝑛 + 1· (𝑛!)4
((2𝑛)!)3≤ 𝜀, 𝑀2𝑛 = max
𝑥∈[−1,1]
𝑓 (2𝑛)(𝑥)
Перебором убеждаемся, что 𝑛 = 2 подходит.Оценим интеграл с заданной точностью методом квадра-тур Гаусса. Для двух узлов
𝐼 ≈ 𝑓
(− 1√
3
)+ 𝑓
(1√3
)≈ 0.209ý
Пример (Задача 10*).
Вычислите несобственный интеграл 𝐼 =∞∫0
1−cos𝑥𝑥5/2 𝑑𝑥 с точ-
ностью 𝜀 = 10−3.Решение. У интеграла две особенности — в нуле и в бес-конечности, поэтому разобьем его на три интеграла:
𝐼 =
𝛿∫0
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥 +
𝐴∫𝛿
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥 +
∞∫𝐴
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
Второй интеграл — определенный, и для него можно вос-пользоваться одной из квадратурных формул, например,формулой трапеций. Выберем 𝛿 и 𝐴 таким образом, что-бы
𝛿∫
0
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
≤ 𝜀
3
∞∫𝐴
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
≤ 𝜀
3,
57
тогда в определенном интеграле мы сможем выбрать та-кое число узлов, чтобы
𝐴∫
𝛿
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
≤ 𝜀
3
Вернемся к выбору 𝛿 и 𝐴:
∞∫𝐴
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
≤ 2
∞∫𝐴
𝑑𝑥
𝑥5/2=
4
3≤ 𝜀
3,
откуда видно, что можно положить 𝐴 = 300.
𝛿∫0
1 − cos𝑥
𝑥5/2𝑑𝑥
≤
𝛿∫0
1 −(
1 − 𝑥2
2
)𝑥5/2
𝑑𝑥
=
√𝛿 ≤ 𝜀
3,
откуда видно, что можно положить 𝛿 = 10−7.Из формулы трапеций для оставшегося определенногоинтеграла
∆𝐼 =𝑀2ℎ
2(𝑏− 𝑎)
12= 25𝑀2ℎ
2 ≤ 𝜀
3, 𝑀2 = max
𝑥∈[𝛿,𝐴]|𝑓 ′′(𝑥)|
𝑀2 < 1036 ⇒ ℎ <
√𝜀
75 · 1036≈ 3.7 · 10−21
ℎ =𝑏− 𝑎
𝑛⇒ 𝑛 ≥
[300
3.7 · 10−21
]+ 1
Выберем 𝑛 = 9 · 1022. Тогда по формуле трапеции (𝑁 =𝑛− 1) с учетом заданной точности
58
𝐼 ≈ ℎ
2
𝑁−1∑𝑘=0
(1 − cos𝑥𝑘+1
𝑥5/2𝑘+1
+1 − cos𝑥𝑘
𝑥5/2𝑘
)ý
Пример (Задача 11*).Постройте квадратурную формулу Гаусса по двум узлам
для вычисления интеграла 𝐼 =𝜋/2∫
−𝜋/2
cos(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Решение. Здесь под интегралом стоит весовая функция,поэтому теорема 2 из предыдущего пункта неприменима.Тогда воспользуемся методом неопределенных коэффи-циентов. Для формулы по двум узлам имеем
𝐼 = 𝑐1𝑓(𝑥1) + 𝑐2𝑓(𝑥2)
По определению задачи Гаусса считаем, что формула точ-на для всех полиномов не выше 2𝑛 − 1 = 3-ей степе-ни (n — число узлов). Тогда подставляя последовательно𝑓(𝑥) = 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3, получим систему⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 =
𝜋/2∫−𝜋/2
cos𝑥𝑑𝑥 = 𝑐1 + 𝑐2
0 =
𝜋/2∫−𝜋/2
𝑥 cos𝑥𝑑𝑥 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2
𝜋2
2− 4 =
𝜋/2∫−𝜋/2
𝑥2 cos𝑥𝑑𝑥 = 𝑐1𝑥21 + 𝑐2𝑥
22
0 =
𝜋/2∫−𝜋/2
𝑥3 cos𝑥 = 𝑐1𝑥31 + 𝑐2𝑥
32
59
Из системы находим
𝑥1 = −𝑥2 = −√
𝜋2
4− 2, 𝑐1 = 𝑐2 = 1,
откуда
𝐼 = 𝑓
(−√
𝜋2
4− 2
)+ 𝑓
(√𝜋2
4− 2
)ý
60