Открытый банк

заданийhttp://www.mathege.ru:8080/or/ege/ShowProblems?posMask=512

Ковальчук Лариса Ивановна,учитель математики МОУ СОШ №288г. Заозёрска Мурманской области 2010 г.

11 класс, подготовка к ЕГЭ I часть иллюстрированных решенийB10

тепловое расширение рельса;месячная прибыль предприятия.

Задачи, решаемые при помощи графика линейной функции (прямой):

Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы):

мальчик, камешки, колодец;выручка предприятия при наибольшей цене;мяч, подброшенный вверх;скорость вращения ведёрка;частичное вытекание воды из бака;полное вытекание воды из бака;

камнеметательная машина;нагревание прибора;время проверки работы лебёдки; мотоциклист в зоне сотовой связи; торможение автомобиля; момент инерции вращающейся катушки.

Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы):

Задание B10 (№ 28165)

(m+2M)R2

2+ M(2Rh + h2).I =

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 5 см, и двух боковых с массами M = 2 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг· см2 , даётся формулой

.

При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1900 кг· см2 ? Ответ выразите в сантиметрах.

y = I(h)y

h0

150

и найти наибольшее положительное решение.

1900150202 2 hh

Задание B10 (№ 28165)Решение.

Данные:

.5,2

,8

RMm

Функция:

).2(2

)2( 22

hRhMRMm

I

).52(22

5)48( 22

hhI

.0,150202 2 hhhI

Найти: .19000max Iприh

Схематичный график:

1900

hmax

Решаем уравнение:

.1502021900 2 hh

.0875102|:,01750202

2

2

hhhh

.603003500100

875410

2

2

D)(

35,25 .max21кореньбольший

hhh

Ответ: 35.

Конечно, можно сразу решить неравенство:

Задание B10 (№ 28147)

at2

2v0tS =

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 3 м/с2. За t секунд после начала

торможения он прошёл путь (м). Определите

время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ выразите в секундах.

.2

324

2ttS

.2

32490

2tt

Решаем уравнение:

y = S(t)y

t0

Задание B10 (№ 28147)Решение. Функция: .

2

2

0

attvS

Данные:

.3,240

av

Найти: .900 Sприt

Схематичный график:

90

tнаим..06016

2|,03082

1

3|:,090242

3

2

2

2

tt

tt

tt

)(6,10 .21кореньменьший

ttt наим

Ответ: 6.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v0 = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением

. Определите наибольшее

время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Задание B10 (№ 28135)

at2

2v0tS +=

Нет зоны действия сети

30 км

.2144180361210419

2

2

D

и найти наибольшее положительное решение.

.)(30)()(5,0,10

.

.21

минtкореньбольший

tчtt

наиб

наиб

30657 2 tt

Конечно, можно сразу решить неравенство:

.65730 2tt

Решаем уравнение:

Решение. Функция:Задание B10 (№ 28135)

.2

2

0

attvS .657 2ttS

Данные:

.12,570

av

Найти: .300. Sприtнаиб

Схематичный график:

y = S(t)y

t0

30

tнаиб.

.0101923|:,030576

2

2

tttt

Ответ: 30.

Задание B10 (№ 28125)

Лебёдка — механизм, тяговое усилие которого передается посредством каната, цепи, троса или иного гибкого элемента от приводного барабана.

βt2

2ωtφ +=

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со

временем по закону , где t — время в

минутах, ω = 750/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 100/мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 22500. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

.0450155|:,02250755

2

2

ttttКонечно, можно сразу

решить неравенство:

.5752250 2tt

Решение. Функция: .2

2tt

Задание B10 (№ 28125)

Данные:

.10,75

.575 2tt Найти: .22500. приtнаиб

Схематичный график:

y = T(t)y

t0

2250

tнаиб..45353)241(53

2259453450415

2222

22

22

2

D)(

15,30 .21кореньбольший

ttt наиб

Ответ: 15.

2250575 2 ttи найти наибольшее положительное решение.

Решаем уравнение:

Задание B10 (№ 28115)

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в минутах, T0 = 1450 К, a = - 12,5 К/мин2 , b = 175 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Пирометр — прибор для беcконтактного измерения температуры тел.

Данные:

)(4,10

,0241425|:,060035025

2|,03001755,12

.21

2

2

2

кореньменьшийttt

tttttt

наиб

Решаем уравнение:

y = T(t)y

t0

1450

Решение.

.175,5,12,14500

baT

Функция: 20)( atbtTtT 25,121751450)( tttT

Задание B10 (№ 28115)

Найти: .1750)(0. tTприtнаиб

Схематичный график:

1750

tнаиб.

Необходимоотключить

25,1217514501750 tt

Ответ: 4.

60

-1a =

6

7b =

Задание B10 (№ 28105)Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ax2 + bx ,

где м-1, — постоянные параметры,

x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

y = 10

y = y(x)y

x0

.6

7

,60

1

b

a

Задание B10 (№ 28105)

Решение. Функция: .)( 2 bxaxxy

Данные:

.6

7

60

1)( 2 xxxy

Найти:

.10)( xyприx

Схематичный график:

10

xнаиб.

.106

7

60

1 2 xx

,0600702 xx

.21 60,10 наибxxx Конечно, можно сразу приступить к решению уравнения.Ответ: 60.

Решаем уравнение:

Задание B10 (№ 28091)

H0

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 + bt + at2 , где Н0 = 2 м — начальный уровень воды,

м/мин2, м/мин, t — время в минутах,

прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

50

1a =

5

-2b =

20)( atbtHtН 2

50

1

5

22)( tttН

Задание B10 (№ 28091)

Решение. Функция:

.0)( tHприtДанные:

.5

2

,50

1,20

b

a

мH

Решаем уравнение:

Найти:

Схематичный график:

y = H(t)y

t0

2

tвытекания

H=0

,050

1

5

22 2 tt

,020100 2 tt .10010 2 tt

Ответ:

Конечно, можно сразу приступить к решению уравнения.

10.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону

, где t — время в секундах,

прошедшее с момента открытия крана, —

отношение площадей поперечных сечений крана и бака, Н0 = 5 м — начальная высота столба воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Задание B10 (№ 28081)

2gH 2200 2

)( tkg

ktHtH +— =

k200

1=

Задание B10 (№ 28081)

Найти:

H041

H0

Решение.Данные:

мH

k

смg

5

,200

1,/10

0

2

Функция:

2200 2

2)( tkg

ktgHHtН

2

8000

1

20

15)( tttН

.4

5

4

1)( 0 HtHприt

Схематичный график:

y = H(t)y

t0

5

H041

tнаим.

Решаем уравнение:

.4

5

8000

1

20

15 2 tt

.1000040040000 2 tt.0300004002 tt

.21 100,300 наимttt

Ответ: 100.

gL

vmP -=

2( )

Задание B10 (№ 28071)Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная

в ньютонах, равна , где m — масса воды в

килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте, g = 10 м/с2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62,5 cм? Ответ выразите в м/с.

и найти наименьшее положительное решение.

Pmin > 0

Pmax = P ≥ 0

Задание B10 (№ 28071)Решение.

Функция:

g

L

vmP

2Данные: смLсмg 5,62,/10 2

.0,0,105,62

2

vm

vmP

Схематичный график:

y = P(v)y

v0

-10m

vнаим.

Решаем уравнение:

.0,0105,62

2

v

vm

.25,0 vтоvкакТак

Ответ:

Конечно, можно сразу решить неравенство:

,0,0105,62

2

v

vm

25.

Найти: .00. Pприvнаим

34,195 2 tt

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,4 + 9t - 5t2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Задание B10 (№ 28059)

Решение.Функция: 4,195)( 2 ttth Данные: 3)( thСхематичный график:

y = h(t)y

t0

1,4

3

t2t1

∆t

Найти: 12 ttt Решаем уравнение:

.34,195 2 tt

.6,1,2,0,493281,06,195

11

2

ttD

tt

4,12,06,1 t

Ответ:

Конечно, можно сразу решить неравенство:

и определить длину отрезка, на котором оно выполняется.

1,4.

Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 130 - 10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

pqprpq )(,10130

pppr )10130()(

y = r(p)y

p0

Задание B10 (№ 28053)

Решение.Функция:

pppr 13010)( 2 Данные: 360)( prСхематичный график:Найти:

.360)(. prприpнаиб

360

pнаиб.

Решаем уравнение:

.99,4

,03613,36013010

.

21

2

2

наибppppp

pp

Ответ: 9.

Конечно, можно сразу решить неравенство:

36013010 2 ppи найти наибольшее его решение.

1,1

с

1

,2 с

Задание B10 (№ 28039)

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с?

Найти:

Ответ:

Задание B10 (№ 28039)

Решение.Данные:

Функция: 25th .1,1,2,1 . сtсt измдо

Схематичный график:

y=h(t)

0

y

t1,2

h(1,2)

1,1

h(1,1)

∆h

)1,1()2,1( hhh

)(15,13,21,05)1,12,1()1,12,1(5

)1,12,1(51,152,15

22

22

м

h

1,15.

Задание B10 (№ 28027)

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q( p - ν)- f . Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб.

Задание B10 (№ 28027)

Данные:Функция: fpqq )()( 600000200)( qq

y = π(q)

0

y

q

- 600000

Решение.

.600000.400.,600

рубfрубрубp

Схематичный график:

Найти: .500000)(. qприqнаим

500000

qнаим.

Решаем уравнение:

500000600000200 q

1100000200 q

5500. наимq

Можно было бы сразу решить неравенство:

500000600000200 q

Ответ: 5500.

000

0 )( tlltl Функция:

С

t

0

0

5,372

7524

900

24,0

9

2000024,020009 0 t 0540 102,110220000)( ttl

Ответ:Схематичный график:Данные:Получаем уравнение:

ммммммсммl

40

102200001020001002020

Задание B10 (№ 28017)

Решение.

Найти:

)1()( 00

0 tltl .)(102,1;102 1054

0 Cммl

2000024,0)( 00 ttl

y=l(to)

0

y

to20000ммtlприt 20009)( 00

20009

to

024,09 t37,5.

При температуре 0oС рельс имеет длину lo= 20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(to) = l0 ( 1+α·to), где α = 1,2·10-5(oC)-1 – коэффициент теплового расширения, to - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D0%B3%D0%B8&sc=20&ofcresset=1#576

http://news.flexcom.ru/russia/2008/08/14/337415/

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%8B&sc=20#36 http://danalibmv.narod.ru/gif/02.htm

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%87%D0%B8%D0%BA&sc=20&ofcresset=1#1104

http://www.xlegio.ru/onager.htm

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:%D0%A1%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D1%96%D1%87-4%D0%9F%D0%9C1.jpg

http://le-savchen.ucoz.ru/load/0-0-0-88-20 - коллекция картинок, автор - Савченко Е. М.

http://www.mathege.ru:8080/or/ege/ShowProblems?offset=5&posMask=512&showProto=true - открытый банк заданий (В10 )

http://www.free-lancers.net/posted_files/FD857AA55382.jpg http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%BB%D1%8C&sc=20#0

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4&sc=20#348

http://www.montag-stankov.ru/tex/lebtyg.gif http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%BE%D0%B4&sc=20#84 http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%86&sc=20#0

http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%87%D0%B8%D0%BA&sc=20&ofcresset=1#444

http://www.livegif.ru/archive/part1/3_1.html http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B8&sc=20#12