= m m a b f j z d zНаведені теоретичні основи розділу:...
TRANSCRIPT
![Page 1: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/1.jpg)
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 2: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/2.jpg)
Министерство образования и науки Украины
Национальный горный университет
Библиотека иностранного студента
В.П. Орел О.В. Бугрим О.Ф. Кибкало
МАТЕМАТИКА Часть 8
Функции нескольких переменных (в примерах и задачах)
Учебное пособие
Днепропетровск НГУ 2008
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 3: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/3.jpg)
УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161 О 65
Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.07).
Орел В.П., Бугрим О.В., Кібкало О.Ф.
О 65 Математика. У 14 ч. Ч.8. Функції кількох змінних (у прикладах і задачах): Навчальний посібник. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – С. 49. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).
Розглянуто розділ курсу вищої математики – функції кількох змінних. Наведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник містить методичні вказівки, а також приклади розв’язання близько 70 типових задач і задачі для самостійного розв’язування. Для студентів – іноземних громадян, громадян України, які навчаються на всіх спеціальностях очно, заочно, дистанційно, за вечірньою формою та екстерном.
Рассмотрен раздел курса высшей математики – функции нескольких
переменных. Приведены теоретические основы раздела: теоремы, определения, формулы, прикладные задачи.
Пособие содержит методические рекомендации, а также примеры решения около 70 типовых задач и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов – иностранных граждан, а также для студентов – граждан Украины, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном.
УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161
© В.П. Орел, О.В. Бугрим, О.Ф. Кібкало, 2008 © Національний гірничий університет, 2008
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 4: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/4.jpg)
3
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................... 5
2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................................... 9
3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ............................................................... 12
4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.................... 16
5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ............................................................. 18
6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ....................... 21
7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ........................ 22
8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 24
9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ...................... 28
10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ...... 33
11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ.
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ.................................................................... 35
12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ................................................ 39
13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ................. 42
14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА............................................. 45
Список литературы.................................................................................... 51
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 5: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/5.jpg)
4
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и
прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.
Соответствует проекту НГУ об издании серии "Библиотека иностранного студента", авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач по математике.
Объем и содержание 8-й части "Функции нескольких переменных" отвечает общему курсу высшей математики. Включает элементы теории, определения, методические указания, решение задач и примеров, контрольные вопросы, задачи для самостоятельного решения.
Работая с учебным пособием студенты практически ознакомятся с основными понятиями, определениями и приобретут навыки решения различных примеров и задач.
Учебное пособие по составу и структуре позволяет оперативно формировать общие и индивидуальные контрольные и тестовые задания, диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль знаний и прогнозировать результаты.
Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.
Ка
федра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 6: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/6.jpg)
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функциональная зависимость между переменными величинами
представляет собой математическую модель, которая применяется для описания реальных явлений. При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более переменных.
Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых
равны х и у, выражается формулой
S xy= .
Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S ; S есть функция двух переменных.
Пример 2. Абсолютная температура Т, давление р и объем V данной
массы газа связаны формулой Клапейрона pV RT= ,
где R – некоторая постоянная. Отсюда TV R P= .
Таким образом, V – функция двух переменных р и Т.
Пример 3. Дальность полета снаряда R , выпущенного с начальной скоростью 0v из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом ϕ , выражается формулой
20 sin 2vR g
ϕ=
(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь g – ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений 0v и ϕ эта формула дает определенное значение R , то есть R является функцией двух переменных 0v и ϕ .
Пример 4. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны , ,x y z , выражается формулой
V xyz= . Здесь V есть функция трех переменных , ,x y z .
Определение. Если каждой паре (х, у) значений двух независящих друг от друга переменных х и у из некоторой области их изменения Д соответствует определенное значение переменной z , то говорят, что z – функция двух независимых переменных х и у, определенная в области Д.
Символически функцию двух переменных обозначают так: ( ) ( ) ( ); , , , ,z f x y z F x y z z x y= = = .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 7: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/7.jpg)
6
Определение. Множество пар чисел ( ),x y , которым соответствует вполне определенное числовое значение ( );z f x y= , называют областью определения данной функции.
Геометрически область определения функции двух переменных представляет собой часть плоскости, ограниченной линиями. В частности, областью определения может быть или вся плоскость, или ее отдельные точки.
Линию, ограничивающую область на плоскости xOy , называют границей области.
Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками. Область, состоящую из одних внутренних точек, называют открытой или
незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называют
замкнутой. Найти область определения функций. Пример 5.
2z x y= − . аналитическое выражение 2x y− имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, областью определения функции является вся плоскость Oxy .
Пример 6. 2 21z x y= − − .
Для того, чтобы х имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, то есть х и у должны удовлетворять неравенству
2 21 0x y− − ≥ или 2 2 1x y+ ≤ . Все точки ( ),M x y , координаты которых удовлетворяют указанному
неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга (рис. 1).
x
y
1
0
Рис. 1
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 8: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/8.jpg)
7
Пример 7. ( )lnz x y= + .
Так как логарифмы существуют
только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство
0x y y x+ > ⇒ > − . Это значит, что областью
определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой y x= − , не включая самой прямой (рис. 2).
Пример 8. ( )2 2arcsin 3z x y= + − .
Функция определена при условии
2 21 3 1x y− ≤ + − ≤ ,
которое равносильно условию
2 22 4x y≤ + ≤ . Граничными линиями области
определения являются окружности 2 2 2x y+ = и 2 2 4x y+ = , которые также
принадлежат этой области. Таким образом, область определения
функции состоит из всех точек, лежащих между окружностями 2 2 2x y+ = и
2 2 4x y+ = , и точек, лежащих на этих окружностях (рис. 3).
Рис. 3
x
y
0
Рис. 2
x
y
0
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 9: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/9.jpg)
8
Геометрический смысл функции двух переменных
Пусть Д – область определения функции ( ),z f x y= . Функция ( ),z f x y= ставит в соответствие каждой точке ( ),M x y области Д некоторое
число z , геометрически изображаемое аппликатой точки ( ), ,M x y z (рис. 4).
z
x
0y
D
Рис. 4
Таким образом, каждой точке ( ),M x y области Д ставится в соответствие
единственная точка М в пространстве. Придавая х и у различные значения из области Д, получим множество точек в пространстве. Это множество представляет собой поверхность, уравнение которой имеет вид
( );z f x y= .
Область Д является проекцией этой поверхности на плоскость xOy . Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений
переменных , , ,... ,x y z u t соответствует определенное значение переменной w , то w называют функцией независимых переменных , , ,... ,x y z u t и обозначают
( ), , ,... ,w f x y z u t= . Для функции трех переменных ( ), ,w f x y z= областью определения
является некоторая совокупность точек ( ), ,M x y z пространства. Область определения функции большего числа переменных не допускает
простого геометрического истолкования.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 10: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/10.jpg)
9
2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Окрестностью точки ( )0 0 0;M x y радиуса r
( r – окрестностью) называют множество всех точек ( ),M x y плоскости xOy , лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке 0M . Для всех таких точек
( ) ( )2 20 0 0M M x x y y r= − + − < .
Определение. Число А называют пределом функции ( ),f x y при
стремлении точки ( ),M x y к точке ( )0 0 0;M x y , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно подобрать такую r -окрестность точки
0M , что будет выполняться неравенство
( ),f x y A ε− < . Это означает, что разность ( )f x A− становится сколь угодно малой,
когда точка М оказывается от точки 0M сколь угодно близко. Записывают
( )00
lim ,x xy y
f x y A→→
= или ( )0
limM M
f M A→
= .
Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел
равен нулю. Замечание. Для функции двух переменных справедливы теоремы о
пределе суммы, произведения и частного аналогичные теоремам для функции одной переменной.
Пример 9. Найти 00
2 2
2 2lim
1 1x xy y
x yx y→
→
+
+ + −.
Предел функции находится при ( ) ( )0; 0;0M x y M→ , то есть при 0r → , где 0r M M= – расстояние между точками 0M и M . В данном случае точка
0M есть начало координат. Следовательно, 2 2r x y= + . Таким образом,
( ) ( )
0
2 2 2
2 2 20
2 22
20 0
0lim lim 01 1 1 1
1 1lim lim 1 1 2.
1 1
M M r
r r
x y rx y r
r rr
r
→ →
→ →
+ = = = + + − + −
+ += = + + =
+ −
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 11: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/11.jpg)
10
Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере функция 2 2
2 2 1 1x y
x y+
+ + − не определена в точке ( )0 0,0M , но имеет предел при
0M M→ .
Пример 10. Функция 2 2
2 2x yzx y
−=
+ определена на всей плоскости, за
исключением начала координат. Покажем, что при приближении точки ( ),M x y к началу координат функция не имеет предела. Действительно,
приближаясь к началу координат по оси Ox , где 0y = , получим 2
20 0
0lim lim 10x x
xzx→ →
−= =
+. Если же приближаться к началу координат по оси Oy ,
где 0x = , то 2
20 0
0lim lim 10y y
yzy→ →
−= = −
+. Таким образом, при приближении точки
( ),M x y к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения и, следовательно, не имеет предела при
0, 0x y→ → . Пример 11.
( )2 200
1lim sin 0xy
x y xy→→
+ = . 1sin xy – величина ограниченная, а произведение
бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая. Предел бесконечно малой величины есть нуль.
Пример 12. а) 2 2lim 0xy
x yx y→∞
→∞
+=
+; б)
02
sinlim 2xy
xy yx y→
→
⋅=
⋅;
в) lim 1 limx
y kx y ky
y e ex→∞ →→∞
+ = =
.
Пусть функция ( ),f x y определена в точке ( )0 0 0;M x y и некоторой ее окрестности.
Определение. Функция ( ),f x y называется непрерывной в точке ( )0 0 0;M x y , если всяким бесконечно малым приращениям обоих аргументов
x∆ и y∆ в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть
00
lim 0xy
z∆ →∆ →
∆ = .
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 12: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/12.jpg)
11
Определение. Точки плоскости, в которых нарушены условия непрерывности, называются точками разрыва.
Замечание. Функция двух переменных может иметь не только точки разрыва, но также линии разрыва.
Пример 13. Функция
2 2z x y= + непрерывна при любых значениях х и у, то есть в любой точке плоскости Oxy .
Действительно, каковы бы ни были числа х и у, ,x y∆ ∆ ,имеем:
( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 ,
z x x y y x y x x x x y
y y y x y x x y y x y
∆ = + ∆ + + ∆ − + = + ∆ + ∆ + +
+ ∆ + ∆ − − = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
следовательно,
00
lim 0xy
z∆ →∆ →
∆ = .
Пример 14. Найти точки разрыва функции
21xyz
x y+
=−
.
Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но
2 0x y− = или 2y x= – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу 2y x= (рис. 5).
Рис. 5 Пример 15. Найти точки разрыва следующих функций: а) 2 2lnz x y= + ; точка разрыва 0, 0x y= = , так как логарифмическая
функция определена для всех 0, 0x y> > ;
x
y
0
2y x=Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 13: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/13.jpg)
12
б) ( )2
1zx y
=−
– функция определена для всех х и у, исключая значения х
и у, которые лежат на прямой y x= – линия разрыва;
в) 2 21
1z
x y=
− − – линия разрыва – окружность 2 2 1x y+ = ;
г) 1cosz xy= – линии разрыва координатные оси 0; 0x y= = .
3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по переменной х называют приращение функции, вызванное изменением только этой переменной х, то есть
( ) ( ), ,x z f x x y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по
переменной у называют приращение функции, вызванное изменением только переменной у, то есть
( ) ( ), ,y z f x y y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Полным приращением функции ( );z f x y= называют
приращение, вызванное изменением обеих переменных х и у
( ) ( ), ,z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − . Как правило, полное приращение не равно сумме частных приращений. Аналогичным образом определяются частные и полное приращения
функции любого числа переменных. Пример 16. Для функции
( ) 2 2;f x y x xy y= + −
найти частные и полное приращения функции.
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
, ,x z f x x y f x y x x x x y y x xy y
x
∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − − − + =
= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2y x y+ ∆ − 2x− xy− 2y+ 22 .x x x y x= ∆ + ∆ + ∆
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 14: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/14.jpg)
13
( ) ( ) 2, ,y z f x y y f x y x∆ = + ∆ − = ( ) ( )2 2x y y y y x+ + ∆ − + ∆ − 2xy y
xy
− + =
= 2x y y+ ∆ − 22 y y y xy− ∆ − ∆ − 2y+ 22 .x y y y y= ∆ − ∆ − ∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2
, ,z f x x y y f x y x x x x y y
y y y x xy y
x
∆ = + ∆ + ∆ − = + ∆ + + ∆ + ∆ −
− + ∆ − − − + =
= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2x y y x x y y+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ − 2
2
2 y y y
x
− ∆ − ∆ −
− xy− 2y+ 2 22 2 .x x x x y y x x y y y y= ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆
Пример 17. Для функции
( )2 2lnz x y= + . Найти частные и полное приращение функции.
( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
2 2ln ln lnxx x yz x x y x y
x y+ ∆ +
∆ = + ∆ + − + =+
( )( ) ( )( )( )22
22 2 22 2ln ln lny
x y yz x y y x y
x y
+ + ∆∆ = + + ∆ − + =
+
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
2 2ln ln ln x x y yz x x y y x yx y
+ ∆ + + ∆∆ = + ∆ + + ∆ − + =
+.
Определение. Частной производной по переменной х от функции ( ),z f x y= называют предел отношения частного приращения x z∆ к
приращению x∆ при стремлении x∆ к нулю. Частная производная по х от функции ( ),z f x y= обозначается одним из
символов
( )' '; ; ; ;x xz fz f x y x x∂ ∂∂ ∂
.
Таким образом, по определению
( )
0 0
, ( , )lim limxx x
z z f x x y f x yx x x∆ → ∆ →
∂ ∆ + ∆ −= =
∂ ∆ ∆.
Аналогично частная производная по у от функции ( ),z f x y=
определяется как предел отношения частного приращения функции y z∆ по у к приращению y∆ при стремлении y∆ к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 15: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/15.jpg)
14
' '; ; ;y yz fz f y y∂ ∂∂ ∂
.
Таким образом,
( ) ( )
0 0
, ,lim limyy y
zz f x y y f x yy y y∆ → ∆ →
∆∂ + ∆ −= =
∂ ∆ ∆.
Заметив, что x z∆ вычисляется при неизменном у, а y z∆ – при
неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции ( ),z f x y= называется производная по х, вычисленная в предположении, что у – постоянная. Частной производной по у от функции ( ),z f x y= называется производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.
Из этого определения ясно, что правило вычисления частных производных совпадает с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная.
Пример 18. Найти частные производные функции
3 4sinz x y y= ⋅ + .
Считая у как постоянной величиной, получим 23 sinz x yx∂
= ⋅∂
.
Рассматривая х как постоянную, найдем 3 3cos 4z x y yy∂
= ⋅ +∂
.
Пример 19. Найти значения частных производных функции
xyz e−= в точке ( )0 0;1M . Находим частные производные, используя формулу дифференцирования
сложной функции ( ) ' 'u ue e u= ⋅ :
( ) ( )'xy xy xyx
z e xy e y yex− − −∂
= ⋅ − = ⋅ − = −∂
;
( ) ( )'xy xy xyy
z e xy e x xey− − −∂
= ⋅ − = ⋅ − = −∂
.
Подставляя координаты точки 0M , получим
0 0
1; 0M M
z zx y∂ ∂
= − =∂ ∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 16: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/16.jpg)
15
Пример 20. Найти частные производные функции
6 4 53u x y z= − + . 5 3 46 ; 4 ; 15u u ux y zx y z
∂ ∂ ∂= = − =
∂ ∂ ∂.
Пример 21. Показать, что функция ( )2 2lnz y x y= ⋅ − удовлетворяет
уравнению 21 1z z zx x y y y
∂ ∂⋅ + ⋅ =∂ ∂
.
Находим частные производные:
( )2 22 2 2 22 2; lnz x z yy x y yx yx y x y
∂ ∂= ⋅ = − − ⋅
∂ ∂− −.
Подставим найденные выражения в левую часть заданного уравнения:
( )
( ) ( )
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2ln
ln ln2 2 .
xy yx yx yx y x y
x y x yy y zy yx y x y y
⋅ + − − = − −
− −= + − = =
− −
Получаем тождество, то есть функция z удовлетворяет данному
уравнению.
Пример 22. Показать, что функция / siny x yz y x= ⋅ удовлетворяет
уравнению 2 z zx xy yzx y∂ ∂⋅ + =∂ ∂
.
Находим
/ /2 2ln sin cosy x y xz y y y yy y yx x xx x
∂ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ∂ .
/ / 1 /1 1ln sin cosy x y x y xz y y yy y y yy x x x x x−∂ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂
.
Подставив найденные выражения в левую часть заданного уравнения,
2 / 2 / / 1
2 2
/ / /
ln sin cos sin
1 1ln sin cos sin ,
y x y x y x
y x y x y x
y y y y y yx y y x y xy yx x x xx xy y yxy y y xy y y y yzx x x x x
−− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =
получаем тождество, следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 17: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/17.jpg)
16
4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Частные производные первого порядка
( )' ,xz f x yx∂
=∂
и ( )' ,yz f x yy∂
=∂
в общем случае также являются функциями двух переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить производные. Частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций
( )' ,xf x y и ( )' ,yf x y можно дифференцировать как по х, так и по у. Имеем
2 2
2 , ,z z z zx x x y y xx
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
2 2
2 , .z z z zy y y x x yy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
Частные производные второго порядка обозначаются также символами
( )'' ,xxf x y , ( )'' ,xyf x y , ( )'' ,yyf x y , ( )'' ,yxf x y .
Смешанные производные, отличающиеся только порядком
дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Таким образом,
2 2.z z
x y y x∂ ∂
=∂ ∂ ∂ ∂
Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков.
Пример 23. Найти вторые частные производные функции
( )2sin 3z x y= + . Убедиться, что
2 2
.z zx y y x∂ ∂
=∂ ∂ ∂ ∂
Находим сначала первые производные:
( )2cos 3 2z x y xx∂
= + ⋅∂
, ( )2cos 3 3z x yy∂
= + ⋅∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 18: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/18.jpg)
17
Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, получим вторые частные производные:
( ) ( )2
2 2 22 sin 3 4 2cos 3z x y x x y
x∂
= − + ⋅ + +∂
, ( )2
22 9sin 3z x y
y∂
= − +∂
,
( )2
26 sin 3z z x x yx y x y∂ ∂ ∂ = = − + ∂ ∂ ∂ ∂
, ( )2
26 sin 3z z x x yy x y x∂ ∂ ∂ = == − + ∂ ∂ ∂ ∂
.
Отсюда видно, что смешанные частные производные равны. Пример 24. Найти частные производные второго порядка функции 3 3z xy yx= − .
( )3 3 3 23xz xy yx y yxx∂ ′= − = −∂
, ( )3 3 2 33yz xy yx xy xy∂ ′= − = −∂
,
( )2 '3 2
2 3 6x
z z y yx yxx xx∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂∂
, ( )2 '2 3
2 3 6y
z z xy x xyy yy∂ ∂ ∂ = = − = ∂ ∂∂
,
( )2
3 2 2 23 3 3z z y yx y xx y y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
( )2
2 3 2 23 3 3z z xy x y xy x x y x∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Пример 25. Найти 3
2z
x y∂∂ ∂
функции ( )cos yu ax e= + .
( ) ( )sin siny yu ax e a a ax ex∂
= − + ⋅ = − +∂
, ( )2
cos y yz a ax e ex y∂
= − + ⋅∂ ∂
,
( ) ( )( )
( ) ( )( )
32
2 sin cos
sin cos .
y y y y
y y y y
z a ax e e e a ax ex yae e ax e ax e
∂= ⋅ + ⋅ + − + =
∂ ∂
= ⋅ + − +
Пример 26. Показать, что 2 2z z
x y y x∂ ∂
=∂ ∂ ∂ ∂
, если yz x= .
( )' 1y yx
z x y xx−∂
= = ⋅∂
, ( )' lny yy
z x x xy∂
= = ⋅∂
21 1 lny yz x y x xx y− −∂
= + ⋅ ⋅∂ ∂
, 2
1 1 11ln lny y y yz y x x x x yx xy x x− − −∂
= ⋅ ⋅ + = + ⋅∂ ∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 19: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/19.jpg)
18
5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Определение и вычисление полного дифференциала
Пусть ( ),M x y – данная точка, а ( )1 ,M x x y y+ ∆ + ∆ – близкая точка, отвечающая приращениям аргументов x∆ и y∆ . Полным приращением функции ( ),z f x y= в точке М называется разность
( ) ( ) ( ) ( )1 , ,z f M f M f x x y y f x y∆ = − = + ∆ + ∆ − .
Если приращение z∆ можно представить в виде z zz x yx y ε∂ ∂
∆ = ∆ + ∆ +∂ ∂
,
где ε – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием 2 2x yρ = ∆ + ∆ между точками М и 1M , то функция z называется
дифференцируемой в точке М. Определение. Полным дифференциалом функции двух переменных ( ),z f x y= называется главная линейная часть приращения функции
z zdz x yx y∂ ∂
= ∆ + ∆∂ ∂
.
Так как приращения независимых переменных совпадают с их
дифференциалами ( ), x dx y dy∆ = ∆ = , то дифференциал функции ( ),z f x y= вычисляется по формуле
z zdz dx dyx y∂ ∂
= +∂ ∂
.
Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции
любого числа переменных. Теоремы и формулы для дифференциалов функций одной переменной
полностью сохраняются и для дифференциалов функций двух и большего числа переменных.
Пример 27. Найти полный дифференциал функции
2 2z x y y x= − . Находим частные производные:
( )'2 2 22x
z x y y x xy yx∂
= − = −∂
, ( )'2 2 2 2y
z x y y x x yxy∂
= − = −∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 20: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/20.jpg)
19
Имеем
( ) ( )2 22 2dz xy y dx x yx dy= − + − . Пример 28. Найти полный дифференциал второго порядка функции
sin sinz x y= ⋅ .
Находим частные производные:
( )'sin sin sin cosxz x y y xx∂
= = ⋅∂
, ( )'sin sin sin cosyz x y x yy∂
= = ⋅∂
,
( )2
'2 sin cos sin sinxz y x y x
x∂
= = − ⋅∂
, ( )2
'2 sin cos sin sinyz x y x y
y∂
= = − ⋅∂
,
( )2
'sin cos cos cosyz y x y xx y
∂= = ⋅
∂ ∂. Имеем
( )2 2 2sin sin 2cos cos sin sind z y x dx y xdxdy x y dy= − ⋅ + + − .
Пример 29. Найти полный дифференциал третьего порядка функции 2z x y= . Находим частные производные:
2 2 2
22 22 , , 2 , 0, 2z z z z zxy x y xx y x yx y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂,
3 3 3 3
3 3 2 20, 0, 0, 2z z z zx y x y x y∂ ∂ ∂ ∂
= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3 3 2 2 3 20 3 2 3 0 0 6d z dx dx dy dx dy dy dx dy= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = . Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Приращение функции z∆ и ее полный дифференциал dz связаны равенством
z dz ε∆ = + , где ε – бесконечно малая величина; при достаточно малых приращениях аргументов можно величиной ε пренебречь и считать z dz∆ ≈ . Это приводит к приближенному равенству
z zz dz dx dyx y∂ ∂
∆ ≈ = +∂ ∂
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 21: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/21.jpg)
20
или ( ) ( ), ,dz f x x y y f x y≅ + ∆ + ∆ − .
Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета величины ( ),f x x y y+ ∆ + ∆ по известным значениям функции ( ),f x y и ее частных
производных в данной точке ( ),M x y , то есть
( ) ( ), ,f x x y y f x y dz+ ∆ + ∆ = + .
Пример 30. Вычислить приближено число ( )2,031,04a = . Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число а есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 1;2M при 0,04, 0,03x y∆ = ∆ = .
Дифференциал данной функции
1 lny yf fdf x y yx x x x yx y−∂ ∂
= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂
.
Его значения в точке ( )0 1;2M при данных приращениях
( ) 0 2 1 0,04 1 ln1 0,03 0,08Mdf = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .
Следовательно,
( ) ( ) ( ) 01,04;2,03 1;2 1 0,08 1,08Mf f df≅ + ≈ + ≅ .
Пример 31. Вычислить приближенно 2 0,015sin 1,55 8e+ , исходя из
значения функции 2sin 8 yz x e= + при 1,571, 02x yπ= ≈ = .
Искомое число есть наращенное значение функции z при 0,021x∆ = ,
0,015y∆ = . Найдем значение z при , 02x yπ= = ; имеем 2 0sin 8 32z eπ
= + = .
Находим приращение функции:
2
sin 2 8 8 0,015 0,0262 sin 8
y
y
z z x x e yz dz x yx y x e∂ ∂ ∆ + ⋅ ∆ ⋅
∆ ≈ = ∆ + ∆ = = =∂ ∂ +
.
Следовательно, 2 0,015sin 1,55 8 3,02e+ ≅ . Пример 32. Вычислить приближенно ( )1,02 / 0,95arctg , исходя из
значения функции ( )/z arctg y x= при 1, 1x y= = . Значение функции z при
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 22: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/22.jpg)
21
1, 1x y= = есть 1 0,7851 4z arctg π= = ≅ . Найдем приращение функции z∆ при
0,05, 0,02x y∆ = − ∆ = .
2 2 2 2
2 21 0,02 1 0,05 0,035.2
z z y x x yz dz x yx y x y x yx y y x
x y
∂ ∂ ∆ ∆∆ ≈ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ = − + =
∂ ∂ + +∆ − ∆ ⋅ + ⋅
= = =+
Следовательно, ( )1,02 / 0,95 7,85 0,035 0,82arctg z z≅ + ∆ ≅ + = .
6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть ( ),z f u v= , а ,u v сами являются функциями двух переменных: ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . При этом z оказывается сложной функцией
аргументов х и у: ( ) ( )( ), , ,z f u x y v x y= и ее частные производные zx∂∂
и zy∂∂
будут находиться по формулам:
z z u z vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, z z u z vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Если ( ),z f u v= ; ( )u tϕ= ; ( )v t t= , то dz z du z dvdt u dt v dt
∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂
.
Если ( ),z f u v= и ( )v uϕ= , то dz z u dvdu u v du
∂ ∂= + ⋅∂ ∂
– формула полной
производной.
Пример 33. Найти zx∂∂
и zy∂∂
, если 2 vz u v ue= + , ( )sin 2u x y= + , /v x y= .
( ) ( ) ( )2 12 cos 2v vz uv e x y u uex x∂
= + + + +∂
;
( ) ( ) ( )222 2cos 2v vz xuv e x y u uey y
∂ = + ⋅ + + + ⋅ − ∂ .
Пример 34. 3 2 , 2 , lnz x xy x arctg t y t= + = = . Найти dzdt .
( )2 22
2 13 21 4
dz z dx z dy x y xydt x dt y dt tt∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅∂ ∂ +
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 23: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/23.jpg)
22
Пример 35. Найти полную производную dzdx , если z xtgy= , где
( )3cos 5 1y x= + . По формуле полной производной получим
( ) ( )( )2 2sec 3cos 5 1 sin 5 1 5dz z z dy tgy x y x xdx x y dx∂ ∂
= + ⋅ = + ⋅ + − + ⋅∂ ∂
.
7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим случай, когда функциональная зависимость ( )y f x=
определена неявно посредством некоторого равенства ( ), 0F x y = , то есть ( )( ), 0F x f x ≡ . При этом производная / 0dF dx ≡ также. Очевидно, что
( ),F x y , где ( )y f x= – сложная функция аргумента х. Предположим, ( ),F x y – дифференцируемая функция. Ее производная /dF dx отыскивается по формуле полной производной, так что
0dF F F dydx x y dx
∂ ∂= + ⋅ ≡∂ ∂
.
Следовательно, если в точке ( ),x y производная / 0F y∂ ∂ ≠ , то
справедливо равенство //
dy F xdx F y
∂ ∂= −
∂ ∂.
Пример 36. Функция у определена уравнением 2 5 1 0xyx y e+ − = . Найти /dy dx .
Имеем ( ) 2 5, 1xyF x y x y e= + − , 5/ 2 xyF x xy ye∂ ∂ = + , 2 4/ 5 xyF y x y xe∂ ∂ = + , тогда
5
2 4/ 2/ 5
xy
xydy F x xy yedx F y x y xe
∂ ∂ += − = −
∂ ∂ + в точках, где / 0F y∂ ∂ ≠ .
Пример 37. В точке ( )0 1,1M составить уравнение касательной к кривой
3 3 2x y xy+ = . Уравнение касательной имеет вид
( )( )0 0 0'y y f x x x− = − .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 24: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/24.jpg)
23
Положим ( ) 3 3, 2F x y x y xy= + − и по формуле найдем 2
2/ 3 2/ 3 2
dy F x x ydx F y y x
∂ ∂ −= − = −
∂ ∂ −. В точке ( )0 1,1M производная
( )0
3 2' 1 13 2M
dyf dx−
= = − = −−
. Следовательно, уравнение искомой касательной:
( )1 1y x− = − − или 2 0x y+ − = .
Функция z называется неявной функцией от х и у, если она задана
уравнением
( ), , 0F x y z = , неразрешенным относительно z . Это значит, что при каждой паре значений аргументов 0x x= и 0y y= из области определения неявной функции она принимает такое значение 0z , для которых ( )0 0 0, , 0F x y z = . Если ( ), ,F x y z – дифференцируемая функция трех переменных , ,x y z и ( )' , , 0zF x y z ≠ , то неявная функция ( ),z z x y= также дифференцируема и ее частные производные находятся по формулам
( )( )
'
', ,, ,
x
z
z F x y zx F x y z∂
= −∂
; ( )( )
'
', ,, ,
y
z
F x y zzy F x y z∂
= −∂
.
Пример 38. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ + = .
В данном случае ( )2 2 2
2 2 2, , 1x y zF x y za b c
= + + − , поэтому
2 2 22 2 2, ,F x F y F z
x y za b c∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂
.
Следовательно,
2 22 2
2 2
2 2
2 2
;2 2
x yz c x z c ya bx z y za z b z
c c
− −∂ ∂= = − = = −
∂ ∂.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 25: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/25.jpg)
24
Пример 39. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением
2 2 5 0xe y x x y z+ + + + = .
Здесь ( ) 2 2, , 5zF x y z e y x x y z= + + + + .
2 22 , 2 , 1zF F Fy xy xy x ex y z∂ ∂ ∂
= + = + = +∂ ∂ ∂
.
2 22 2,1 1z z
z y xy z xy xx ye e∂ + ∂ +
= − = −∂ ∂+ +
.
Пример 40. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной
уравнением cos cos cos 1x y y z z x+ + = .
В данном случае ( ), , cos cos cos 1F x y z x y y z z x= + + − , поэтому
cos sin , sin cos , sin cosF F Fy z x x y z y z xx y z∂ ∂ ∂
= − = − + = − +∂ ∂ ∂
.
Следовательно,
cos sin sin cos,sin cos sin cosz y z x F x y zx y z x y y z x∂ − ∂ − +
= − = −∂ − + ∂ − +
.
8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Пусть F – некоторая поверхность и ( )0 0 0 0, ,M x y z – какая-либо точка на
ней. Определение. Касательной плоскостью Р к поверхности F в точке 0M
называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности F через точку 0M .
Определение. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая
через точку 0M перпендикулярно касательной плоскости. Чтобы написать уравнение касательной плоскости Р в точке 0M , надо узнать вектор ( ), ,N A B C , идущий по нормали (рис. 6). Тогда уравнение плоскости Р
запишется в виде
( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 26: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/26.jpg)
25
.
z
x
0y
N
Рис. 6
Уравнение нормали п
0 0 0x x y y z z
A B C− − −
= = .
Если поверхность задана уравнением, разрешенным относительно z : ( ),z f x y= , то координаты нормального вектора N вычисляются по формулам
( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1f x y z f x y zA B Cx y
∂ ∂= = = −
∂ ∂.
В этом случае точка 0M задается значениями 0 0, x x y y= = , а 0z
находится из уравнения поверхности ( )0 0 0,z f x y= . Если поверхность задана уравнением, неразрешенным относительно z :
( ), , 0F x y z = , то координаты вектора N вычисляются по формулам
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,, ,f x y z f x y z f x y zA B Cx y z∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂
,
а координаты заданной точки М должны удовлетворять уравнению поверхности, то есть ( )0 0 0, , 0f x y z = .
Пример 41. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 2 2z x y= + в точке ( )0 0 0 0, ,M x y z , где 0 01, 2x y= = − .
Находим прежде всего 0z ( )22 2
0 0 0 1 2 5z x y= + = + − = ,
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 27: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/27.jpg)
26
затем находим частные производные
2 , 2z zx yx y∂ ∂
= =∂ ∂
.
Подставляя в частные производные координаты точки ( )0 1, 2,5M − ,
получим координаты вектора N , перпендикулярного поверхности параболоида в данной точке:
0 0
0 02 2, 2 4, 1M M
z zA x B y Cx y∂ ∂ = = = = = = − = − ∂ ∂
.
Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение
( ) ( ) ( )2 1 4 2 5 0x y z− − + − − = ,
или 2 4 5 0x y z− − − = .
Уравнение нормали
1 2 5
2 4 1x y z− + −
= =− −
.
Пример 42. Дана поверхность 2 22 2z x xy y x y= − + − + . Составить
уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к этой поверхности в точке ( )0 1,1,1M .
Найдем частные производные:
2 2 1, 2 2 2z zx y x yx y∂ ∂
= − − = − + +∂ ∂
и вычислим их значения в точке ( )0 1,1,1M :
0 0
1, 2, 1M M
z z Cx y∂ ∂ = − = = − ∂ ∂
.
Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 0x y z− − + − − − = ,
или 2 0x y z− + = .
Уравнение нормали: 1 1 1
1 2 1x y z− − −
= =− −
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 28: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/28.jpg)
27
Пример 43. Найти уравнение касательной плоскости к сфере 2 2 2 4x y z+ + = в точке 0M , где 0 01, 3y z= = .
Подставляя 0y и 0z в уравнение сферы, находим 0 0x = , то есть точка ( )0 0;1; 3M . Сфера записывается уравнением
( ) 2 2 2, , 4 0F x y z x y z= + + − = , откуда ' ' '2 , 2 , 2x y zF x F y F z= = = . Следовательно,
( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 02 0, 2 2, 2 2 3x y zA F M x B F M y C F M z= = = = = = = = = .
Поэтому уравнение касательной плоскости следующее:
( ) ( ) ( )0 0 2 1 2 3 3 0x y z− + − + − = или
3 4 0y z+ − = . Эта плоскость параллельна оси Ox . Пример 44. К поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = провести касательные
плоскости, параллельные плоскости 1x y z+ + = . Здесь ( ) 2 2 2, , 2 3 11F x y z x y z= + + − . Найдем частные производные
2 , 4 , 6F F Fx y zx y z∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂
.
Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости
1 1 1
2 2 2
A B CA B C
= =
– условие параллельности двух плоскостей
следует, что
1 1 1
FF Fyx z
∂∂ ∂∂∂ ∂= = или 2 4 6
1 1 1x y z= = . Присоединив к этим уравнениям уравнение
поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = , найдем координаты точек касания.
2
2 2 2
2 22
2 3 21 1 1 6
2 3 11 3
112 3
x ttyx y z t
ttzx y zt tt
= = = = = ⇒ ⇒ = = + + = + + =
,
точки касания будут ( )1 6, 6 / 2, 6 / 3M и ( )2 6, 6 / 2, 6 / 3M − − − . Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 29: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/29.jpg)
28
( ) 6 61 6 1 1 02 3x y z ⋅ ± + ⋅ ± + ⋅ ± =
,
то есть 11/ 6 0x y z+ + + = и 11/ 6 0x y z+ + − = .
Пример 45. Найти углы с осями координат нормали к поверхности
2 2 0x y xz yz+ − − = в точке ( )0 0;2;2M . Найдем частные производные
2 , 2 ,F F Fx z y z x yx y z∂ ∂ ∂
= − = − = − −∂ ∂ ∂
.
Вычислим значения частных производных в точке ( )0 0;2;2M . Будем
иметь:
0 0 0
2, 2, 2M M M
F F Fx y z
∂ ∂ ∂ = − = = − ∂ ∂ ∂ .
Уравнение нормали к заданной поверхности:
0 2 22 2 2
x y z− − −= =
− −.
Углы с осями координат будем находить по формулам:
2 2 2
2 2 1cos4 4 4 2 3 3
mm n p
α = = − = − = −+ ++ +
;
2 2 2
2 1 2 1cos ; cos .2 3 3 2 3 3
nm n p
β γ−
= = − = − = = −+ +
;
9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Функция ( ),z f x y= имеет в точке ( )0 0 0,M x y максимум
(соответственно, минимум), если найдется такая окрестность точки 0M , для всех точек ( ),M x y которой выполняется неравенство ( ) ( )0 0, ,f x y f x y> (соответственно, ( ) ( )0 0, ,f x y f x y< ). Слова максимум и минимум можно заменить одним словом экстремум.
Необходимые условия экстремума. Всякая дифференцируемая функция двух переменных может достигать экстремума только в тех точках, в которых ее частные производные обращаются в нуль
( ) ( )' ', 0, , 0x yf x y f x y= = .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 30: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/30.jpg)
29
Такие точки называют стационарными. В стационарной точке касательная плоскость к поверхности ( ),z f x y= параллельна плоскости xOy (рис. 7).
z
x
0y
z0
Рис. 7 Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области,
содержащей точку ( )0 0 0,M x y , функция ( ),z f x y= имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка ( )0 0 0,M x y является стационарной точкой функции ( ),f x y , то есть
( )'0 0, 0xf x y = и ( )'
0 0, 0yf x y = . Обозначим
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 200 0, ,z z zA B Cx y Mx M y M
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂∂ ∂
и пусть 2AC B∆ = − .
Если в стационарной точке ( )0 0 0,M x y : 1) 0∆ > и 0A > , то 0M – точка минимума,
0∆ > и 0A < , то 0M – точка максимума; 2) 0∆ < , то в точке 0M экстремума нет; 3) 0∆ = , то требуется дополнительное исследование.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 31: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/31.jpg)
30
Пример 46. Найти экстремум функции 2 2 3 6z x xy y x y= + + − − . Находим частные производные первого порядка
2 3, 2 6z zx y x yx y∂ ∂
= + − = + −∂ ∂
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
( )02 3 0 2
3 0 0, 3; 0,32 6 0
x yx x y M
x y+ − = −+ ⇒ − = ⇒ = = + − =
.
Находим частные производные второго порядка в точке 0M
2 2 2
2 22, 1, 2; 2, 1, 2z z z A B Cx yx y∂ ∂ ∂
= = = = = =∂ ∂∂ ∂
.
Составляем дискриминант
2 2 2 1 3 0, 0AC B A∆ = − = ⋅ − = > > .
Следовательно, в точке ( )0 0,3M заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке
( )min 0,3 9 18 9z = − = − . Пример 47. Найти экстремум функции
( )1 472 3 4x yz xy x y = + − − +
.
Преобразуем заданную функцию
2 2 2 21 47 47 1 47 47
2 3 4 3 4 3 4 12 3 4 3 4x xy xy y x yz xy x y xy x y= + + − − − − = − + + − − .
Находим частные производные первого порядка: 1 47 2 1 47,12 3 3 12 4 2
z z yy x xx y∂ ∂
= − + − = − + −∂ ∂
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
1 2 47 012 3 31 1 47 02 12 4
y x
y x
− − + =− − + =
или 8 188 6
47 987 21, 206 141
x yx x y
x y+ = − ⇒ − = − ⇒ = = + =
;
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 32: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/32.jpg)
31
стационарная точка ( )0 21,20M . Найдем значения вторых производных в точке 0M :
2 2 2
2 22 1 1, ,3 2 12
z z zx yx y
∂ ∂ ∂= − = − = −
∂ ∂∂ ∂.
Тогда 2
2 2 1 1 1 1 03 2 12 3 144AC B ∆ = − = − ⋅ − − − = − >
.
Так как 0A < , то в точке ( )0 21,20M функция имеет максимум: max 282z = .
Пример 48. Исследовать на экстремум функцию
3 23 15 12z x xy x y= + − − . Найдем частные производные и составим систему уравнений
2 23 3 15, 6 12z zx y xyx y∂ ∂
= + − = −∂ ∂
.
4 22 2 2 2
22 122
5 4 03 3 15 0 526 12 0 2 , 0
5 3 42 1 , 2
2
y yx y x yxy xy x yy
yyy
x y x y
− + = + − = + = ⇒ ⇒ ⇒
− = = = ≠
± == ⇒ = = =
то есть получим четыре стационарные точки
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 .M M M M− − − −
Найдем частные производные второго порядка:
2 2 2
2 26 , 6 , 6z z zx y xx yx y∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂∂ ∂
и составим дискриминант 2AC B∆ = − для каждой стационарной точки.
1. Для точки 1 :M 1 1 1
2 2 2
2 26, 12, 6M M M
z z zA B Cx yx y∂ ∂ ∂
= = = = = = ∂ ∂∂ ∂ ,
2 36 144 0AC B∆ = − = − < . Значит, в точке 1M экстремума нет.
2. Для точки 2 :M 12, 6, 12A B C= = = , 144 36 0∆ = − > . В точке 2M имеем минимум. Минимум этот равен значению функции при 2, 1x y= =
min 8 6 30 12 28z = + − − = − .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 33: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/33.jpg)
32
3. Для точки 3 :M 6, 12, 6A B C= − = − = − , 36 144 0∆ = − < . Экстремума нет.
4. Для точки 4 :M 12, 6, 12A B C= − = − = − , 144 36 0∆ = − > , 0A < . В точке 4M функция имеет максимум: max 8 6 30 12 28z = − − + + = . Пример 49. Найти экстремумы функции 4 4 2 22 4 2z x y x xy y= + − + − . Находим частные производные
3 34 4 4 , 4 4 4z zx x y y x yx y∂ ∂
= − + = + −∂ ∂
.
Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из
которой определяются стационарные точки данной функции 3
3
0,
0.
x x y
y x y
− + =
+ − =
Складывая эти уравнения, получим 3 3 0x y+ = или 3 3y x= − ,
и, следовательно, y x= − . Подставляя это в первое из уравнений, найдем значения х:
( )3 22 0, 2 0x x x x− = − = .
Отсюда 1 2 30, 2, 2x x x= = = , а тогда 1 2 30, 2, 2y y y= = − = . Таким образом, имеются три стационарные точки:
( ) ( ) ( )1 2 30;0 , 2, 2 , 2, 2M M M− − .
Проверяем эти точки на экстремум с помощью достаточных условий. Для этого найдем сначала вторые частные производные:
2 2 22 2
2 212 4, 4, 12 4z z zx yx yx y∂ ∂ ∂
= − = = −∂ ∂∂ ∂
.
Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 1 :M 24, 4, 4, 0A B C AC B= − = = − ∆ = − = ; 2 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > ;
3 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > .
В точках 2M и 3M 0, 0A∆ > > , так что это точки минимума функции. В этих точках значения функции
( )min 4 4 2 2 4 2 2 2 8z = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 34: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/34.jpg)
33
В точке 1 0M ∆ = и достаточный признак ответа не дает. Дополнительными исследованиями можно установить, что в начале координат функция z экстремума не имеет.
10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Экстремумы функции по своему определению носят локальный характер:
в точке экстремума 0M функция принимает максимальное или минимальное значение среди всех ее значений в некоторой, быть может, очень малой окрестности точки 0M .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в некоторой замкнутой области Д, нужно определить:
– стационарные точки функции; – значения функции в стационарных точках; – наибольшее и наименьшее значения функции на границах области Д. Затем среди всех найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее. Пример 50. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
( )2 2 3 2 22 2z x y x y x y x y x y= − − = − −
x
y
0
6
6
х+у=6х=0
у=0
Рис. 8
в треугольнике, ограниченном прямыми 0, 0, 6x y x y= = + = (рис. 8). Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:
( )2 24 3 2 4 3 2z xy x y xy xy x yx∂
= − − = − −∂
,
( )2 3 2 32 2 2 2z x x x y x x yy∂
= − − = − −∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 35: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/35.jpg)
34
Приравнивая производные к нулю, можно на х и у сократить, так как внутри треугольника 0x > и 0y > :
4 3 2 02 2 0.
x yx y
− − = − − =
Решение этой системы: 0 011, 2x y= = . Стационарная точка ( )0 1;0,5M
лежит внутри треугольника. Значение функции z в этой точке
( ) ( )0 0 1 0,5 2 1 0,5 0,25z z M= = ⋅ − − = . На сторонах треугольника 0, 0x y= = значения функции z равны нулю.
Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на стороне 6x y+ = . На ней 6y x= − , 0 6x< < и ( ) ( ) ( ) ( )2 26 2 6 4 6z z x x x x x x x= = − − − + = − − . На концах интервала ( ) ( )0 6 0z z= = . Стационарные точки находим из
уравнения ( )' 0z x = , где
( )248 12 0, 12 4 0x x x x− + = − = . Отсюда 4x = (так как 0x = – граничная точка). При этом
( )2, 4 16 6 4 128y z= = − ⋅ − = − . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном
треугольнике надо искать среди следующих ее значений: z = 0,25 – внутри треугольника, в точке (1; 0,5); z = 0 – на сторонах 0, 0x y= = (в том числе и в вершинах); z = – 128 – на стороне 6x y+ = , в точке (4; 2).
Отсюда видно, что наибольшее значение z = 0,25 данная функция принимает внутри треугольника, в точке (1; 0,5), а наименьшее значение z = – 128 – на его границе, в точке (4; 2).
Пример 51. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ . Находим частные производные ' '2 , 2x yz x z y= = − . Решаем систему
уравнений: 2 0
2 0,x
y=
− =
получим одну критическую точку ( )0 0;0P , в которой значение функции равно нулю.
Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе, то есть на окружности 2 2 4x y+ = . Для точек этой окружности функцию
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 36: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/36.jpg)
35
2 2z x y= − можно представить как функцию одной переменной ( )2 2( ) 4z x x x= − − , то есть. 22 4z x= − , причем 2 2x− ≤ ≤ . Итак, нахождение
наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на окружности 2 2 4x y+ = мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 22 4z x= − на сегменте [ ]2,2− . Найдем критические точки функции в интервале ( )2,2− и вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала. Имеем ' 4 , 4 0z x x= = , откуда получаем критическую точку 00; 4xx z == = − . Далее, находим 2 24, 4x xz z=− == = . Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное –4.
Итак, наибольшее значение функция 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ принимает в точках ( )1 2;0M − и ( )2 2;0M окружности 2 2 4x y+ = и наименьшее в точках ( )3 0;2M и ( )4 0; 2M − той же окружности.
Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на окружности 2 2 4x y+ = можно найти иначе.
Представим уравнения окружности в параметрическом виде:
( )2cos , 2sin 0 2x t y t t π= = ≤ ≤ . Тогда 2 2 2 24cos 4sin 4cos2z x y t t t= − = − = . Найдем наибольшее и
наименьшее значения этой функции на сегменте 0 2t π≤ ≤ . Для этого, продифференцировав функцию 4cos2z t= , получим ' 8sin 2z t= − . Составив уравнение 8sin 2 0t− = , находим три критические точки 1 2 3/ 2, , 3 / 2t t tπ π π= = = , лежащие внутри указанного сегмента. Вычислив значения функции 4cos2z t= в этих точках, а также на концах сегмента 0t = и
2t π= , заметим, что получаются лишь два различных между собой значения функции: 1 4z = − (наименьшее значение) и 2 4z = (наибольшее значение).
11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
Определение. Производной функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y в
направлении вектора 1l MM= называется предел ( ) ( )
1
10 01
lim limMM
z f M f M zl MM ρ ρ→ →
∂ − ∆= =
∂,
где 2 2x yρ = ∆ + ∆ .
Если функция ( ),f x y дифференцируемая, то производная в данном направлении вычисляется по формуле
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 37: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/37.jpg)
36
cos sinz z zl x yα α∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂
,
где α – угол, образованный вектором l с осью Ox .
В случае функции трех переменных ( ), ,u f x y z= производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
cos cos cosu u u ul x y zα β γ
∂ ∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂,
где cosα , cosβ , cosγ – направляющие косинусы вектора l .
Градиентом функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y называется вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции z :
z zgradz i jx y∂ ∂
= ⋅ + ⋅∂ ∂
.
Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны
формулой
ez np gradzl∂
=∂
.
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в
данной точке. Производная zl∂∂
в направлении градиента имеет наибольшее
значение, то есть 2 2
наиб
z z zgradzl x y∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂
.
В случае функции ( ), ,u f x y z= градиент функции
u u ugradu i j kx y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
.
Пример 52. Найти производную функции 2 2z x y= − в точке ( )1,1M в
направлении вектора l , составляющем угол 60α = с положительным направлением оси Ox .
Найдем значения частных производных в точке М:
2 , 2 , 2, 2M M
z z z zx yx y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = = − ∂ ∂ ∂ ∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 38: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/38.jpg)
37
Так как cos cos60 1/ 2, sin sin 60 3 / 2α α= = = = , то
1 32 2 1 3 0,72 2zl∂
= ⋅ − ⋅ = − ≈ −∂
.
Пример 53. Найти производную функции 2 3u xy z= в точке ( )3,2,1M в
направлении вектора MN , где ( )5,4,2N . Найдем вектор MN и его направляющие косинусы:
( ) ( ) ( )5 3 4 2 2 1 2 2MN l i j k i j k= = − + − + − = + + .
2 2 2
2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = =
+ +.
Вычислим значения частных производных в точке М:
2 3 3 2 2; 2 ; 3 ;u u uy z xyz xy zx y z
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
4; 12; 36M M M
u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂
.
Следовательно, 2 2 1 24 12 36 223 3 3 3ul
∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∂.
Пример 54. Найти производную функции ( )2 2lnz x y= + в точке
( )3,4M в направлении градиента функции z . Здесь вектор l совпадает с градиентом функции ( )2 2lnz x y= + в точке
( )3,4M
2 2 2 22 2 6 8
25 25M M
x ygradz i j i jx y x y
= ⋅ + ⋅ = + + + .
Следовательно, 2 26 8 2
25 25 5z gradzl∂ = = + = ∂
.
Пример 55. Найти величину и направление градиента функции
33sin sinu tgx x y y z ctgz= − + − + + в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π . Найдем частные производные
2 22
1sec 1; 3cos 3sin cos ; 1sin
u u ux y y yx y z z∂ ∂ ∂
= − = − = −∂ ∂ ∂
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 39: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/39.jpg)
38
и вычислим их значения в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π : 21 3 1 32 1; 3 3 ; 1 1 02 2 2 8M M M
u u ux y z∂ ∂ ∂ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ = = − = ∂ ∂ ∂
.
Следовательно,
( ) ( )23 3; 1 73 /88 8M Mgradu i j gradu = + = + =
;
1 8cos ; cos sin 3/ 7373 /8 73
α β α= = = = .
Пример 56. Найти производную от функции ( )ln 2z x y= + в точке
( )1 1,1/ 2M , принадлежащей параболе 2 / 2y x= по направлению касательной к этой параболе.
Находим частные производные от функции ( )ln 2z x y= + :
1 2,2 2z zx x y y x y∂ ∂
= =∂ + ∂ +
и их значения в точке ( )1 1,1/ 2M :
1 1
1 1 2; 11 2 11 2 1 22 2M M
z zx y∂ ∂ = = = = ∂ ∂ + ⋅ + ⋅
.
Для того, чтобы найти значения cosα и sinα , находим угловой коэффициент касательной в точке ( )1 1,1/ 2M
1
'2'
11
12M xx
xk tg y xα ==
= = = = =
.
Таким образом, 1tgα = , откуда получим два значения α : 1 45α = и 2 225α = , которые соответствуют двум взаимно противоположным направлениям касательной.
При 1 45α = имеем 12cos cos45 ; sin sin 45 2 / 22α α= = = = .
Следовательно, 1 2 2 3 212 2 2 4ul
∂= ⋅ + ⋅ =
∂.
При 2 225α = аналогично получим 3 24
ul
∂=
∂.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 40: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/40.jpg)
39
12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что называется функцией двух переменных? 2. Что называется областью определения функции двух переменных и
какой ее геометрический смысл? 3. Что представляет собой график функции ( ),z f x y= ? 4. Дать определения предела функции ( )z f M= при 0M M→ . 5. Дать определения непрерывной функции двух переменных в точке и на
множестве точек. 6. Найти область определения Д функции
( )2 2 2 21 ln 4z x y x y= + − + − − .
7. Убедиться, что ( )( )
22
2200
2 1 1 1lim 22xy
x yx y→
→
+ − + −=
+ −.
8. Доказать, что 2 200
limxy
xyx y→
→+
не существует.
9. Исследовать на непрерывность функции
а) 22 3z x y= + , б) 2
2 22 1x yz
x y+ −
=+
, в) 21
2x yzy x+ −
=−
.
10. Дать определение частной производной функции двух переменных по одной из них.
11. Как определяют частные производные второго и третьего порядков для функции двух переменных?
12. Сформулировать теорему о равенстве смешанных производных. 13. Дать определение полного дифференциала функции двух переменных
и записать формулу для его нахождения. 14. Как применяется полный дифференциал функции для приближенных
вычислений ее значений?
15. Как найти производную dzdt сложной функции ( ) ( )( ),z f x t y t= ?
16. Что называют полной производной? 17. Написать формулу для нахождения производных '
xz и 'yz , если
( ),z f u v= , где ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . 18. Правила дифференцирования неявных функций одной и двух
переменных.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 41: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/41.jpg)
40
19. Найти частные производные 'xz и '
yz в точке ( )0 1,1M , если 3 3z x y xy= + − .
20. Доказать, что функция ( )2 2lnz x xy y= + + удовлетворяет
уравнению: ' ' 2x yx z y z⋅ + ⋅ = .
21. Показать, что функция sin yz x x= удовлетворяет уравнению ' '2 2x yx z y z z⋅ + ⋅ = .
22. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала число 2,031,04a = .
23. Показать, что для функции 3 2 3z x y xy= + + дифференциал третьего
порядка ( )3 3 36d z dx dy= + .
24. Пусть 2z u v= + , где ( )2 sin , lnu x y v x y= + = + . Показать, что ' ' 2 cosx yz z x y− = − .
25. Пусть ( )5
xe y zu −= , где 2sin , cosy x z x= = . Показать, что полная
производная 2 sinxdu e xdx = ⋅ .
26. Доказать, что частные производные 'xz и '
yz неявной функции
( ),z x y , которая задана уравнением 2 2 22z y zx+ = − , удовлетворяют условию
2 ' '1 1x yx z zy z+ = .
27. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением ( ), , 0F x y z = в точке 0M .
28. Сформулировать необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.
29. Сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных.
30. Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.
31. Привести формулу нахождения производной по направлению. 32. Дать определение градиента скалярного поля.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 42: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/42.jpg)
41
33. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке (1, 2, 1) к
однополостному гиперболоиду 2 2 22 4 5x y z+ − = .
34. Найти производную функции 2 22u y z xyz z= − + в точке ( )0 3,1,1M по направлению вектора, который образует с осями координат углы
, 3 4π π
α β= = .
35. Найти экстремумы функции ( )3 2 1z x y x y= − − . 36. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y= + в круге
2 2 1x y+ ≤ .
Ответы: 6. Д – множество точек, которые находятся между окружностями 2 2 1x y+ = и 2 2 4x y+ = , причем внутренняя окружность входит в области Д, а внешняя – нет. 9. а) функция непрерывна на всей плоскости xOy ; б) функция не определена, а значит, разрывна в точке О (0, 0); в) точки разрыва находятся на параболе 2 2y x= . 19. ( ) ( )' '1,1 1,1 2x yz z= = .
22. 1,08a ≈ . 33. 1 2 14 4 5, 1 4 4x y zx y z − − −
+ − = = = . 34. 5 4 22
ul
∂ += −
∂.
35. max1 1 1;2 3 432z z = =
. 36. 2, 2− . Указание. При нахождении
стационарных точек на границе области воспользоваться параметрическими уравнениями окружности.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 43: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/43.jpg)
42
13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти частные производные второго порядка 1. 42 .xz arctg y= − 2. 5 2.z x y= ⋅
3. .xz x y=+
4. 2arccos .z y x=
5. 6 47 .z y xy= − 6. 2 .x yzx−
=
7. 2
5 .xyz = 8. 5 3.z x y= +
9. 3 3
3 3 .x yzx y
+=
− 10. cosy y x= .
2. Найти частные производные zu∂∂
и zv∂∂
для сложных функций:
1. 2 2 2 2, , .y xz xe ye x u v y u v= + = + = −
2. 4 , , .xz x y x u v y v u= + = − = −
3. 2
3 , , / .xyz x u v y u v= = ⋅ =
4. ( )3 2 3 46 , ln , .z x x y x uv y uv= − − = =
5. 2 2cos , 3 , / .z xy x u v y v u= = =
6. ( )4 4 5 2, , .z x y x tg uv y u v= − = =
7. ( )3 5 27 , , sin .x yz x u v y uv−= = =
8. ( )2 2 , , .v uz ctg x y x u y v= = =
9. ( ) ( )2
2 22 , cos , sin .xz x uv y u v
y= = =
10. 4 4 3 3arcsin , , .z xy x u v y u v= = + = − 3. Найти полный дифференциал первого порядка функции. 1. ( )ln 2 3 .yz x y arctge= − − 2. 3sin .z x y xy= ⋅ +
3. 2 4 2arcsin sin .z x y x y= − − 4. 2 4 cos .yz y arctgx x e= − +
5. 3 3arccos2 .z x y y y= + − 6. 3ln5 .z x x xy= − +
7. ( ) 22 sin .z yarctg x y y= − − 8. ( )2 2 3ln cos .z x y x y= − −
9. 4 32 ln .2x yz x yx y−
= −+
10. 4 .yx yz arctg ex y−
= −+
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 44: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/44.jpg)
43
4. Вычислить приближенно значение 0z
1. 3,040 1,97 .z = 2. 2,81
0 4,02 .z =
3. 5,060 3,92 .z = 4. 3,97
0 0,95 .z =
5. 2,940 1,08 .z −= 6. 4,07
0 1,09 .z =
7. 2,050 1,93 .z −= 8. 1,97
0 2,03 .z =
9. 1,080 2,96 .z = 10. 1,08
0 4,96 .z −= 5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности в точке 0M .
1. ( )2 20; 1, 2,5 .z x y M= + − 2. ( )2 2
05 3 ; 1,1,2 .z x y xy M= −
3. ( )2 2 202 3 21; 1,2,2 .x y z M+ + = 4. ( )2 2 2
03 5; 2,1, 2 .x y z M− + = −
5. ( )2 20; 1,1, 1 .z x xy y M= + − − − 6. ( )2
04 6 ; 1,1,10 .z x xy M= − −
7. ( )2 202 3 ; 1, 1,4 .z x xy y M= + − − − 8. ( )2 2 2
02 3; 2,1,1 .x y z M+ − =
9. ( )4 203 2 4; 1; 1; 1 .x xy z M− − = − − 10. ( )4 2
03 , 1;1;1 .z x y M= − −
6. Исследовать на экстремум функцию.
1. ( )22 21 2 .z x y= − + 2. 2 2 2 .z x xy y x y= + + − −
3. 3 38 6 5.z x y xy= + − + 4. 2 2 9 6 1.z x xy y x y= − + + − +
5. 2 23 6 .z x y x xy y= + − − − 6. 3 2 2 22 5 .z x xy x y= − + +
7. ( )2 21 2 .z x y= − − 8. 4 4 2 22 4 2 .z x y x xy y= + − + −
9. 2 6 .z y x y x y= − − + 10. 2 4 2 .z xy x y= − + 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в
замкнутой области Д, которая задается системою неравенств. Сделать рисунок.
1. 2 2 , 0, 0, 3.z x y xy x y x y x y= + − + + ≤ ≤ + ≥ −
2. 3 2 2, 1.z x y x y= + ≤
3. 3 3 3 , 0 2, 1 2.z x y xy x y= + − ≤ ≤ − ≤ ≤
4. 2 , 1 1,0 3.z x xy x y= + − ≤ ≤ ≤ ≤
5. 2 23 , 1, 1, 1.z x y x y x y x y= + + − ≥ ≥ − + ≤
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 45: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/45.jpg)
44
6. 2 25 3 4, 1, 1, 1.z x xy y x y x y= − + + ≥ − ≥ − + ≤
7. 2 22 2 , 1 1,0 2.z x xy y x y= + + − ≤ ≤ ≤ ≤
8. 2 210 2 , 0 4 .z xy x y x= + − ≤ ≤ −
9. 2 22 4 , 0, 0, 2 0.z x xy y x x y x y= + − + ≤ ≤ + + ≥
10. 2 2 2 2, 1.z x y x y= − + ≤
8. Найти градиент функции U и производную в точке М по направлению
вектора 1MM .
1. ( ) ( )2
1arcsin , 1,2, 1 , 3,1,12xU yz M M= − − .
2. ( ) ( ) ( )21ln 4 3 , 1,1,1 , 3, 1,0U z y x M M= − − − − .
3. ( ) ( ) ( )21arc 3 , 1, 1,2 , 1, 1,3U tg xy x M M= + − − − .
4. ( ) ( ) ( )2 21ln 5 3 , 2,4, 1 , 0, 1, 2U x y xz M M= + − − − − .
5. ( ) ( )4 2 313 , 1,2,1 , 3,3, 1U x z y z M M= + − − − .
6. ( ) ( )2 215 , 1,1, 1 , 1,3, 2U xyz y z M M= + − − − .
7. ( ) ( )21, 1,1,1 , 3, 1,2U x z yz M M= − − .
8. ( ) ( )21, 3,4,1 , 5,2,2U xyz z y M M= − .
9. ( ) ( )2 215 , 1,3,1 , 3,5,1U x xyz M M= + − − .
10. ( ) ( )2 312 , 3,2,1 , 5,4, 2U xyz x y M M= + − .
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 46: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/46.jpg)
45
14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА 1. Найти частные производные второго порядка 2sinz x y= .
Найдем частные производные первого порядка:
( ) ( )2 2 2 2sin sin , sin 2 cosx yz zx y y x y xy yx y∂ ∂′ ′= = = =∂ ∂
.
Дифференцируем каждую из полученных частных производных по х и у,
будем иметь частные производные второго порядка:
( ) ( )2 2' '2 2 2
2 sin 0, sin cos 2 .x y
z z z zy y y yx x x y y xx∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
( )2 '2 22 cos 2 cos .
xz z xy y y yy x x y
∂ ∂ ∂ = = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂
( )2 '2 2 2 2
2 2 cos 2 cos 4 sin .y
z z xy y x y xy yy yy∂ ∂ ∂ = = ⋅ = − ∂ ∂∂
2. Найти частные производные zu∂∂
и zv∂∂
от сложных функций
( ) 3 5 4 3cos , ,z y x y x u v y u v= + = + = .
Формулы для нахождения частных производных сложной функции
имеют вид
;z z x z y z z x z yu x u y u v x v y v∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Находим:
( ) ( ) ( )sin , cos sin ,z zy x y x y y x yx y∂ ∂
= − + = + − +∂ ∂
2 4 3 3 4 23 , 5 , 4 , 3z x y yu v u v u vu v u v∂ ∂ ∂ ∂
= = = =∂ ∂ ∂ ∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 47: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/47.jpg)
46
Получаем
( ) ( ) ( )( )2 3 3sin 3 cos sin 4z y x y u x y y x y u vu∂
= − + ⋅ + + − + ⋅∂
.
( ) ( ) ( )( )4 4 2sin 5 cos sin 3z y x y v x y y x y u vv∂
= − + ⋅ + + − + ⋅∂
.
3. Найти полный дифференциал первого порядка функции
2sin ln 4xyz x y= − . Дифференциал первого порядка:
( ) ( ), ,z x y z x ydz dx dyx y
∂ ∂= +
∂ ∂.
Найдем частные производные первого порядка
2 221 2cosln 2 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y xy y x y yx xx y
∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅
∂.
2 2 221 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y x x x y xy yx y
∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅
∂.
По формуле дифференциала первого порядка имеем:
2 22 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xydz x y y dx x y x dyx y = − + − ⋅
.
4. Вычислить приближено значение 0z . 3,98
0 2,08z −= .
Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число 0z есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 2; 4M − при 0,08x∆ = , 0,02y∆ = + .
Дифференциал данной функции
1 lny yz zdz x y yx x x x yx y−∂ ∂
= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂
.
Его значение в точке ( )0 2; 4M − при данных приращениях
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 48: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/48.jpg)
47
( )0
5 4 14 2 0,08 2 ln 2 0,02 0,01 0,69 0,02 0,00916Mdz − −= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ ⋅ = − .
Следовательно,
( ) ( ) ( )
0
42,08; 3,98 2; 4 2 0,009 0,0625 0,009 0,0535Mf f dz −− ≅ − + ≅ − = − = .
5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 23z xy y= − в точке ( )0 1; 2,2M − − .
Уравнение касательной плоскости записывается в виде
( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Уравнение нормали
0 0 0x x y y z zA B C− − −
= = .
Так как заданная поверхность имеет уравнение 23z xy y= − , то
координаты нормального вектора N вычисляются по формулам ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1z x y z z x y zA B Cx y
∂ ∂= = = −
∂ ∂
( ) ( )0 0
0 0
23 6; 3 2 11, 1M MM M
z zA y B x y Cx y∂ ∂ = = = − = = − = − = − ∂ ∂
.
Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение ( ) ( ) ( )6 1 11 2 2 0x y z− + − + − − = , 6 6 11 22 2 0x y z+ + + + − = или
6 11 26 0x y z+ + + = . Уравнение нормали
1 2 26 11 1
x y z+ + −= =
− − − или 1 2 2
6 11 1x y z+ + −
= = .
6. Исследователь на экстремум функцию 3 3 3 .z x y xy= + − Находим частные производные
2 23 3 , 3 3z zx y y xx y∂ ∂
= − = −∂ ∂
.
Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из которой определяются стационарные точки данной функции.
2 2
2 4
3 3 0
3 3 0 0
x y y x
y x x x
− = =⇒ ⇒
− = − = 1 1
2 2
0, 01, 1.
x yx y= == =
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 49: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/49.jpg)
48
Таким образом, имеем две стационарные точки: ( )1 0;0M , ( )2 1;1M . Найдем сначала вторые частные производные:
2 2 2
2 26 , 3, 6z z zx yx yx y∂ ∂ ∂
= = − =∂ ∂∂ ∂
.
Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 2
1 : 0, 3, 0, 9 0M A B C AC B= = − = ∆ = − = − < , экстремума нет; для точки 2 : 6, 3, 6, 6 6 3 33 0M A B C= = − = ∆ = ⋅ − = > и 0A > , так что это точка минимума функции.
min 1 1 3 1z = + − = − .
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 29 27z xy x y= − + + + , если 0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ .
Заданная область изображена на рис. 9. y
x0
A B
C
Рис. 9
Заданная область изображена на рис. 9. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее
значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные
2 9 , 2 9z zx y y xx y∂ ∂
= − = −∂ ∂
равны нулю.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 50: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/50.jpg)
49
Решим систему уравнений 9
2 9 0 22 9 0 92 9 02
x yx yy x y y
=− = ⇒ ⇒ − = − ⋅ =
00.
xy==
Точка 0 (0;0) принадлежит границе заданной области, внутренних
стационарных точек нет. На отрезке ОА имеем х = 0 и поэтому на этом отрезке 2 27z y= +
( )0 3y≤ ≤ есть возрастающая функция от одной переменной у, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА: ( )0;0 27z = ; ( )0,3 36z = .
На отрезке АВ: у = 3 функция 2 27 36z x x= − + ( )0 3x≤ ≤ представляет функцию одной переменной х, ее наибольшее значение находится среди ее значений в критических точках и на концах отрезка: ' 2 27z x= − , 2 27 0 13,5x x− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку АВ. На концах отрезка АВ: ( )0,3 36z = , ( )3,3 9 9 81 27 36z = + − + = − .
На отрезке ВС: х = 3, ( )0 3y≤ ≤ , 2 29 27 27 27 36z y y y y= + − + = − + , ' 2 27z y= − , 2 27 0 13,5y y− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку ВС.
Отрезок СО: у = 0, ( )0 3x≤ ≤ , 2 27, ' 2z x z x= + = , 2 0 0x x= ⇒ = . Точка О (0;0) принадлежит границе заданной замкнутой области.
Итак, ( )0,0 27z = , ( )0,3 36z = , ( )3,3 36z = − . Наибольшее значение функции в точке А ( )0;3 36наибz = . Наименьшее –
в точке В 36наимz = − . 8. Найти градиент U в точке ( )1,3, 1M − и производную в точке М по
направлению вектора 1MM .
( ) ( ) ( )2 21ln 3 4 , 1;3, 1 , 3,5, 2U x y zy M M= + − − − .
Найдем вектор 1MM и его направляющие косинусы:
( ) ( ) ( )1 3 1 5 3 2 1 2 2MM i j k i j k= − ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ = + − .
( )22 2
2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = = −
+ + −.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 51: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/51.jpg)
50
Найдем частные производные от функции U и вычислим их значения в точке М:
2 2 2 26 8, ;
3 4 3 4u x u y uz yx y zx y x y∂ ∂ ∂
= = − = −∂ ∂ ∂+ +
.
6 6 2 24 21; 1 ; 33 36 39 13 39 13M M M
u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = = + = = − ∂ + ∂ ∂
.
Производная по направлению вектора 1MM l= :
2 2 21 2 1 4 42 853 113 3 13 3 3 39 39 39
ul
∂ = ⋅ + ⋅ − − = + + = ∂ .
Градиент данной функции в точке ( )1;3; 1M − :
( ) ( ) ( )
2 21 313 13M M M
u u ugradU i j k i j kx y z∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + −∂ ∂ ∂
.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 52: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/52.jpg)
51
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:
Наука, 1978. – Т. 1. – 456 с.
2. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика.
– К.: Техніка. – Ч. 1. – 2000. – 590 с.
3. Соколенко О.І., Новик Г.А. Вища математика в прикладах і задачах. –
К.: Либідь, 2001. – 245 с.
4. Вища математика. Основні розділи/ Г.Й. Призва, В.В. Плахотник,
Л.Д. Гординський та ін. – К.: Либідь, 2003. – 400 с.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua
![Page 53: = M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012003/60a10f3488115c5248479873/html5/thumbnails/53.jpg)
52
Навчальне видання
Бібліотека іноземного студента
Орел Валентина Пантеліївна Бугрим Ольга Володимирівна Кібкало Ольга Федорівна
МАТЕМАТИКА
Частина 8
Функції кількох змінних (у прикладах і задачах)
Навчальний посібник (Російською мовою)
Редактор Ю.В. Рачковська
Підписано до друку 15.01.08. Формат 30х42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 2,8. Обл.-вид. арк. 2,8 Тираж 250 прим.. Зам. №
Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.
Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"
matem.or
g.ua