ВведениеВведениеВведениеВведение ввввматематическуюматематическуюматематическуюматематическую логикулогикулогикулогику ииии

теориютеориютеориютеорию алгоритмовалгоритмовалгоритмовалгоритмов

Алексей Львович СеменовЛекция 14

• Классическая и современная математика• Нестандартный анализ (восстановлениеинтуиции Лейбница)

• Бесконечно большие и бесконечномалые• Свойства последовательностей• Аналоги классических определений итеорем• Непрерывность• Производная• Интеграл• Конструктивный анализ

2

3

Классическая математика• «Содержательные» рассужденияОснования математики. Аксиоматика• Начала Евклида• Г. Фреге – логика• Г. Кантор – теория множеств• Д. Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор»

• Проблемы непротиворечивости и полноты

4

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ

AbrahamRobinson06.10.1918 –11.04.1974

• Существует система«содержательных», интуитивныхрассуждений, использующаябесконечно малые(и бесконечно большие) объекты. Она дает правильные результаты.

• Использование языка«эпсилон-дельта»ничего не добавляет к интуиции.

• Нельзя ли построить корректнуюмодель, где бесконечно малыесуществуют?

5

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Структура: R – действительные числа;

для любого отношения на R от любого числааргументов в сигнатуре имеется имя.

В частности, имеются имена любых функций, имеется имя N одноместного отношения,

задающего в R множество натуральных чисел.

• *R – собственное элементарноерасширение структуры R, например, модель для теории Th(R) ⋃ {c > i | i ∈ N}, гдеc – новое имя (теорема компактности).

6

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Элементы *R – гипердействительные числа.

• Элементы R как подструктуры *R –

стандартные числа, все остальные –

нестандартные.

• Любое отношение из нашей сигнатурыпродолжено на *R.

ПринципПринципПринципПринцип переносапереносапереносапереноса:

• Истинность любого утверждения,

которое выразимо формулой нашейсигнатуры, совпадает на R и *R.

• *R – упорядоченное поле.

7

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Отношение N (быть натуральным числом) продолжается на *R.

• Гипернатуральные числа – такие n, что *R ⊨ N(n).

• Множество гипернатуральных чиселобразует нестандартную модельарифметики.

8

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Гипердействительное число r конечно,

если a < r < b для некоторыхстандартных a и b.

• В противном случае, число r бесконечнобольшое (положительное бесконечнобольшое, если 0 < r, и отрицательноебесконечно большое, если r < 0).

• Существуют (положительные) бесконечнобольшие числа – из (добавленных) аксиом. • (Можно показать, что такое число существует в

любом собственном элементарном расширении R.)

9

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Гипердействительное число α – бесконечномалое, если α меньше любогоположительного стандартного числа и большелюбого отрицательного стандартного числа.

• Число 0 – бесконечно малое. • Если r – бесконечно большое число, то по

принципу переноса 1/r, 1/5r, 1/r2, и т. д.,

являются бесконечно малыми.

• Два числа r1 и r2 бесконечно близки (r1 ≈≈≈≈ r2),

если разность r1 – r2 бесконечно мала.

10

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализУтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 1 (стандартнаястандартнаястандартнаястандартная частьчастьчастьчасть числачислачислачисла).Любое конечное число бесконечно близко к

(единственному) стандартному.

ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство.• Единственность: если r бесконечно близко

к стандартным r1 и r2, то r1 ≈≈≈≈ r2, r1 = r2. • Пусть α – конечное нестандартное число.

A – множество стандартных чисел, меньших α, B – больших α. Множества A и B непусты, A ⋃ B = R,(точная верхняя грань A) = =(точная нижняя грань B) = c ∈∈∈∈ R (из полноты R);α ≈≈≈≈ c.

• Стандартная часть α обозначается st(α).

11

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• В *R существуют бесконечно большиегипернатуральные числа.

Различия между R и *R:

• Любое подмножество R (тривиально) определимо: отношение в сигнатуре.

• Это не так для *R.

12

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализУтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 2 (неопределимостьнеопределимостьнеопределимостьнеопределимостьбесбесбесбесконечныхконечныхконечныхконечных гипергипергипергипернатуральныхнатуральныхнатуральныхнатуральных чиселчиселчиселчисел).Множество бесконечных гипернатуральныхчисел не определимо в *R.

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство. Пусть множествобесконечных гипернатуральных чиселзадается формулой P(x). Существование наименьшего:

∃∃∃∃y P(y) → (P(0) ∨∨∨∨ ∃∃∃∃z(P(z) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬P(z–1)))выполнено в R, но ложно в *R. • Из утверждения 2 следует, что множествобесконечно малых чисел, функция st и пр. не определимы в *R.

13

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ ииии обычныйобычныйобычныйобычный анализанализанализанализ• Стандартная последовательность ai – этофункция a: N → R. Она продолжается на *R

(элементарное расширение). В *R онаопределена на всех гипернатуральныхчислах.

• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 3 (пределпределпределпредел последовательностипоследовательностипоследовательностипоследовательности).Стандартное число b является пределомстандартной последовательности aiтогда и только тогда, когда an ≈≈≈≈ b длялюбого бесконечно большогогипернатурального n.

14

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство утвержденияутвержденияутвержденияутверждения 3. (СтСтСтСт →→→→ НестНестНестНест) • Пусть стандартное число b является пределом

стандартной последовательности ai.

• Пусть n – гипернатуральное бесконечнобольшое, ε – произвольное стандартное, ε > 0.

• По определению предела (как в R, так и в *R):

∀∀∀∀i((N(i) ∧∧∧∧ i > n0) → |b – a(i)|< ε)

для некоторого стандартного натурального n0.

Так как n > n0, то |b – a(n)| < ε. Значит, a(n) ≈≈≈≈ b.

15

Нестандартный анализ• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство утвержденияутвержденияутвержденияутверждения 3. (НестНестНестНест →→→→ СтСтСтСт)

• Пусть an ≈≈≈≈ b для любого бесконечнобольшого гипернатурального n.

• Пусть ε – стандартное положительноечисло.

• В *R выполнено∃∃∃∃n

0∀∀∀∀i ((N(i) ∧∧∧∧ i > n

0) →→→→ |b – a(i)| < ε)

– в качестве n0 достаточно взять любоебесконечно большое гипернатуральноечисло.

• По принципу переноса это утверждениевыполнено и в R.

16

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 4 (предельнаяпредельнаяпредельнаяпредельная точкаточкаточкаточка).Стандартное число b – предельная точкастандартной последовательности ai тогда

и только тогда, когда an ≈≈≈≈ b для некоторогобесконечно большого гипернатурального n.

(Д. Можно выбрать бесконечнуюподпоследовательность.)

17

• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 5 (фундаментальностьфундаментальностьфундаментальностьфундаментальность).Стандартная последовательность aiфундаментальна тогда и только тогда,

когда an ≈≈≈≈ am для любых бесконечнобольших гипернатуральных n и m.

• Утверждения 3 – 5 можно рассматривать, как нестандартные определенияопределенияопределенияопределениясоответствующих понятий. (Возврат к«классической интуиции».)

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ

18

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеоремУтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 6 (предельныепредельныепредельныепредельные точкиточкиточкиточкиограниченныхограниченныхограниченныхограниченных последовательностейпоследовательностейпоследовательностейпоследовательностей).У ограниченной стандартнойпоследовательности есть предельнаяточка.

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство.Если последовательность ai ограничена, то любой ее элемент конечен. Пусть n –бесконечно большое гипернатуральноечисло. Гипердействительное число anконечно, из утверждения 4 следует, чтоst(an) – предельная точка.

19

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 7 (сходимостьсходимостьсходимостьсходимость фундаментальныхфундаментальныхфундаментальныхфундаментальныхпоследовательностейпоследовательностейпоследовательностейпоследовательностей). Стандартнаяфундаментальная последовательность сходится.

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство. Пусть для некоторого(бесконечного) гипернатурального n элемент anбесконечен. При бесконечно больших i

выполнено an ≈≈≈≈ ai (Утв. 5). ФормулаN(i) ∧∧∧∧ |an – ai| < 1 для стандартных i ложна, длянестандартных i – истинна, что противоречитутверждению 2.

• Итак, все элементы последовательностиконечны. Для любых элементов с бесконечныминомерами an ≈≈≈≈ ai ≈≈≈≈ st(an). Согласно утверждению 3,

st(an) и есть предел.

20

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 8 (непрерывностьнепрерывностьнепрерывностьнепрерывность). Функция

(стандартная) f : R → R непрерывна в(стандартной) точке r тогда и только тогда,когда для любого гипердействительногочисла α ≈ r, в котором функция f

определена, выполнено f(α) ≈ f(r).

• Доказать самостоятельно.

• Как обычно, мы скажем, что функциянепрерывна на (стандартном) множествеA, если она непрерывна в каждой(стандартной) точке A.

21

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 9 (равномернаяравномернаяравномернаяравномернаянепрерывностьнепрерывностьнепрерывностьнепрерывность). Функция (стандартная)

f : R → R равномерно непрерывна на(стандартном) множестве A тогда и толькотогда, когда f(α) ≈ f(β) для любых(не только стандартных)гипердействительных чисел α, β ∈ A, α ≈ β.

• Доказать самостоятельно.

22

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• Для любого подмножества A ⊂ R в нашейсигнатуре имеется символ отношения A(x), такой, что R ⊨ A(r) ⇔ r ∈ A. Это отношениепродолжается на *R. • Если множество A конечно, то расширениене содержит новых элементов, поскольку

R ⊨ ∀∀∀∀x (A(x) ≡ ∨i ≤ k x = ri), где r0,..., r

k–список всех элементов множества A.

Как в множестве A могут появитьсянестандартные элементы?

23

НестандартныйНестандартныйНестандартныйНестандартный анализанализанализанализ• A бесконечно → расширение A должносодержать нестандартные элементы. • Д. Пусть a0,...,ak,... – произвольнаяпоследовательность попарно различныхэлементов из A. Тогда элемент an длябесконечно большого гипернатурального n принадлежит расширению A (принциппереноса) и отличается от любогостандартного числа r. Действительно, или• R ⊨ ((∀∀∀∀i ∈ N)(ai ≠ r)), если r не встречаетсясреди ai, или• R ⊨ ((∀∀∀∀i ∈ N)(i ≠ j → ai ≠ r)) для некоторогонатурального j (r = aj ). В обоих случаяхприменим принцип переноса.

24

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 10. Множество (стандартное) ограничено тогда и только тогда, когда всеего гипердействительные элементыконечны.

• Доказать самостоятельно.

25

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 11. Функция, непрерывная наотрезке, ограничена на нем.

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство.

• В стандартной части это так.• Пусть гипердействительное число αпринадлежит отрезку, тогда значениефункции в точке α бесконечно близко к

стандартному значению в стандартнойточке st(α), то есть конечно.

26

• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 12. Функция, непрерывная наотрезке, равномерно непрерывна на нем.

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство.Пусть гипердействительные числа α, βпринадлежат отрезку, α ≈ β.

Тогда st(α) = st(β), функция непрерывна встандартной точке st(α), поэтому значенияфункции в точках α и β бесконечно близки.

(Где мы использовали свойство отрезка?)

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалогистандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем

27

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 13. Пусть функция f непрерывна наотрезке [a, b], f(a) > 0, f(b) < 0. Тогда f(c) = 0 длянекоторого c ∈ [a, b].

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство. Пусть n – бесконечно большоегипернатуральное число, разобьём отрезок [a, b] на n сегментов длины (b − a)/n.

• (Чуть более строго: для любогогипернатурального i < n через si обозначимчисло a+(b − a)i/n. Сегмент – это отрезок [si, si+1].)

• Найдется (принцип переноса) такое j < n, чтоf(sj) ≥ 0, f(sj+1

) ≤ 0. Поскольку sj ≈ sj+1, то st(sj) =st(sj+1).

Из непрерывности f(sj) ≈ f(st(sj)) ≈ f(sj+1),

то есть f(st(sj)) = 0.

28

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 14. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда внекоторой стандартной точке c ∈ [a, b] функция f достигает максимума.

(Д. Разбиение.)

29

• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 15. Стандартное число a является производной функции f в точке x0 тогда и только тогда, когдадля всех бесконечно малых α ≠ 0выполнено(f(x0 + α) − f(x0)) / α ≈ a.

• Доказательство ”определения” идоказательство того, чтодифференцируемая функциянепрерывна, – самостоятельно.

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартныхтеоремтеоремтеоремтеорем

30

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеоремУтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 16 (теорематеорематеорематеорема РолляРолляРолляРолля).Пусть стандартная функция f определена идифференцируема на отрезке [a,b] и f(a) = f(b) = 0. Тогда f′ (c) = 0 для некоторогостандартного c ∈ [a,b].

• ДоказательствоДоказательствоДоказательствоДоказательство. Если f(x) = 0 тождественно на[a,b], то f′ (c) = 0 внутри [a,b]. Пусть f(x) > 0 длянекоторого x ∈ [a,b], и в точке c ∈ [a, b] функция f достигает максимума. Пусть α ≈ 0, α > 0, тогда0 ≥ (f(c+α)− f(c))/α и 0 ≤ (f(c− α)− f(c))/(− α),f′ (c) = st((f(c + α)−f(c))/α) =

= st((f(c− α)− f(c))/(−α)), то есть f′ (c) = 0.

31

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартныхтеоремтеоремтеоремтеорем

• Интеграл• Для интегрирования непрерывных функцийдостаточно рассмотреть разбиение отрезкана сегменты одинаковой длины (как вдоказательстве утверждений 13, 14), но вболее общем случае нам полезно уметьработать с произвольными разбиениями.

32

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• Фиксируем какое-то отображение ψмножества стандартных действительныхчисел в множество всех конечныхпоследовательностей a0 < a1 < · · · < akстандартных действительных чисел.

• В R существует функция P(x, y), такая, чтодля r ∈ R, i ∈ N выполнено P(r, i) = ψ(r)i

(если i больше длинны ψ(r), то значениеP не определено).

• С помощью P легко определяются длинапоследовательности, длинамаксимального сегмента разбиения и пр. Функция P(x, y) продолжается и на *R.

33

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеоремВозьмем стандартную функцию f, определенную на отрезке [a,b]. Для любогоr ∈ R, такого, что ψ(r) является разбиениемотрезка [a,b], положимJ(r) = Σk

i=1(ai − ai−−−−1

)m(ai−−−−1, ai),

j(r) = Σki =1

(ai − ai−−−−1)μ(ai−−−−1

, ai),где k – длина разбиения ψ(r), ai = P(r, i),

а m, μ – функции, вычисляющие точнуюверхнюю и нижнюю грань функции f науказанном сегменте (верхняя и нижняясуммы Дарбу).

34

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеоремФункции J и j продолжаются и на *R.

Назовем гипердействительное число r

корректным, если максимальная длинасегмента в разбиении ψ бесконечно мала.

Обозначим через∫↑↑↑↑ba f(x)dx

и∫↓↓↓↓ba f(x)dx

верхний и нижний интегралы Дарбу.

35

НестандартныеНестандартныеНестандартныеНестандартные аналогианалогианалогианалоги стандартныхстандартныхстандартныхстандартных теоремтеоремтеоремтеорем• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 17.

J(r) ≈ ∫↑↑↑↑ba f(x)dx и j(r) ≈ ∫↓↓↓↓b

a f(x)dx

для любого корректного r ∈ *R.

• Следовательно, выполнено• УтверждениеУтверждениеУтверждениеУтверждение 18. Интеграл (по Риману)

∫ba f(x)dx от стандартной и ограниченнойна отрезке [a,b] функции f(x) существуеттогда и только тогда, когда J(r) ≈ j(r) длянекоторого (а, следовательно, для каждого) корректного r.

36

КонструктивныйКонструктивныйКонструктивныйКонструктивный анализанализанализанализКонструктивное действительное число (КДЧ):

Пара алгоритмов <A;B>, A: N → Q; B: N → N,

∀∀∀∀n,m,l (m,l > B(n) → |A(m) – A(l)|<2-n)B – регулятор сходимостиРавенство (регулятор), больше…ПоследовательностиФункция – не зависит от представлениячислаТеорема Маркова. Всякая конструктивнаяфункция не имеет конструктивных точекразрыва.