สมการเชงิเสน้ (Linear equation)สมการเชงิเสน้คือสมการที่สามารถถกูจดัรูปได้ในรูปแบบต่อไปนี้คือ

เมื่อ และ B เป็นจำานวนจรงิใดๆ และ x ที่ตัวแปร ที่เราต้องการทราบค่า

สมการเชงิเสน้ เป็นรูปแบบของระบบสมการที่ง่ายที่สดุที่สามารถหาผลเฉลยได้

Ax B0A

สมการเชงิเสน้ท่ีมตัีวแปรมากกวา่ 1Ax By C

Ax By Cz D

1 1 2 2 ... n na x a x a x b

Ax B

สงัเกตวา่สมการ 1 ตัวแปรเชงิเสน้มลัีกษณะเป็น

ซึ่งสามารถหาผลเฉลยได้ง่ายคือ

x

แต่สำาหรบัสมการเชงิเสน้ท่ีมตัีวแปรมากกวา่ 1 กลับมาความยุง่ยากใหก้ารหาผลเฉลย

ในทางคณิตศาสตร์ จงึพยายามจดัรูปใหส้มการเชงิเสน้หลายตัวแปร อยูใ่นลักษณะคล้ายกับรูปแบบของสมการเชงิเสน้ 1

ตัวแปร

โดยเน้ือหาท่ีเราจะได้ศึกษาต่อไปน้ีจะนำาไปสูส่ิง่ท่ีต้องการได้

Ax B

เมทรกิซ์ (matrix) (pl. matrices)

เมทรกิซเ์ป็นรูปแบบหนึ่งของคณิตศาสตร์ ซึ่งมนัถกูเขยีนอยูใ่นรูป

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

หรอื

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

เราใชส้ญัลักษณ์ aij แทนสว่นประกอบ (component)ในแถว i หลัก j โดย aij อาจจะเป็นจำานวนนับ จำานวนเต็ม

หรอืจำานวนจรงิ ก็ได้

m แถว (row)

n หลัก(หรอืสดมภ์ ) (column)

เราเรยีกเมทรกิซท์ี่มจีำานวนแถว m แถวและหลัก n หลัก วา่เมทรกิซข์นาด mxn (m by n matrix)

aเป็นเมทรกิซข์นาด a bเป็นเมทรกิซข์นาดab เป็นเมทรกิซข์นาด

a b c de f g hi j k l

เป็นเมทรกิซข์นาด

เมทรกิซจ์ตัรุสัขนาด

เราเรยีกเมทรกิซท์ี่มจีำานวนหลักเท่ากับจำานวนแถววา่เมทรกิซจ์ตัรุสั (square matrix) a

1 23 4

เมทรกิซจ์ตัรุสัขนาด1 1´

2 2´

2 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 5

เมทรกิซจ์ตัรุสัขนาด4 4´

การเท่ากันของเมทรกิซ์11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

qn

qn

p p pqm m mn

b b ba a ab b ba a a

b b ba a a

เมทรกิซ์ 2 เมทรกิซจ์ะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ1. เมทรกิซท์ัง้สองมขีนาดเท่ากัน ,m p n q

2. แต่ละสว่นประกอบที่ประจำาหลักและแถวเดียวกัน ต้องมค่ีาเท่ากัน ij ija b

21

xy

1 23 4 3 4

x y

0 2 0 13 5 4p rq s t

การบวกและลบกันของเมทรกิซ์ การบวกและลบกันของเมทรกิซ์ 2 เมทรกิซจ์ะทำาได้

ก็ต่อเมื่อ เมทรกิซทั์้ง 2 มขีนาดเดียวกันและผลลัพท์ที่ได้เป็นเมทรกิซท่ี์มีขนาดเท่าเดิม และ

แต่ละสว่นประกอบมค่ีาเท่ากันกับ ผลรวม (หรอืผลต่าง)ของสว่นประกอบของเมทรกิซท์ัง้สองท่ีอยูแ่ถวและหลักเดียวกัน

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a b b ba a a b b b

a a a b b b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a b b ba a a b b b

a a a b b b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

คณุสมบติับางประการของเมทรกิซ์ ถ้าให้ A,B และ C แทนเมทรกิซท์ี่มขีนาด mxn แล้ว1.A B B A (สลับที่การบวก)2. A B C A B C (เปล่ียนกลุ่มการบวก)3. A A A (เอกลักษณ์การบวก)

เมื่อ0 0 00 0 0

0 0 0

m แถว

n หลัก

4. ( )A A (ผกผันการบวก)นัน้คือถ้า

แล้ว

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

5.การคณูเมทรกิซด์้วยจำานวนจรงินัน้คือถ้า

แล้ว

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

2 1 3 2 1 22 1 3 1 3 2

2 1 2 1 2

2 1 3 2 3 2

2 1 3 2 32 1 3 2 1

ตัวอยา่ง

1. จงหาค่า 2 A-3B

3 52 4

A

1 22 3

B

แบบฝึกหดักำาหนดให้

2. จงหาค่า 10A- B12

การคณูเมทรกิซ์ ถ้า A เป็นเมทรกิซข์นาด mxnB เป็นเมทรกิซข์นาด pxq

เราจะหาผลคณูของเมทรกิซ์ A และ B ได้โดยAB

BA

ขอ้สงัเกต

m n p qA B C

ตัวอยา่ง1 0 23 1 4

A

1 35 14 2

B

จงหา AB และ BA

สงัเกตวา่ในการคณูเมทรกิซไ์มส่ามารถสลับท่ีได้AB BA

1 23 0

A

2 14 3

B

3 01 2

C

จงหา A(BC) และ (AB)C

แบบฝึกหดักำาหนดให้

สงัเกตวา่ในการคณูเมทรกิซส์ามารถเปล่ียนกลุ่มได้ A BC AB C

1 23 0

A

2 14 3

B

3 01 2

C

จงหา A(B+C) และ AB+AC(B+C)A และ BA+CA

กำาหนดให ้2 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 5

A

4A AAAAจงหา (หรอืก็คือ )

แบบฝึกหดั

เมทรกิซเ์อกลักษณ์ (identity matrix)

เมทรกิซเ์อกลักษณ์ เป็นเมทรกิซจ์ตัรุสัซึ่งเมื่อคณูเมทรกิซ์อ่ืนที่มขีนาดเท่ากันแล้วได้เมทรกิซนั์น้

1 0 00 1 0

0 0 1n

n

กำาหนดให ้2 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 5

A

จงหา 2 3A A I

เมื่อ I เป็นเมทรกิซเ์อกลักษณ์ของเมทรกิซข์นาด 4x4

ตัวกำาหนดของเมทรกิซ์ (determinant)ตัวกำาหนด เป็นฟงัก์ชนัท่ีสง่จาก

เมทิรกซจ์ตัรุสั (เมทรกิซ ์ขนาด nxn)ไปยงั

จำานวนจรงิสำาหรบัตัวกำาหนดของเมทรกิซ ์A

มกัใชส้ญัลักษณ์det A หรอื

A

det[ ]a = adeta b

c dé ùê úê úë û= ad-bc

deta b cd e fg h i

é ùê úê úê úê úë û= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg

a b cd e fg h i

แบบฝึกหดัจงหาตัวกำาหนดของเมทรกิซต่์อไปนี้

[ ]4-1.3 42 5é ù-ê úê ú-ë û2.

3.1 2 34 5 67 8 9

é ùê úê úê úê úë û

เมทรกิซผ์กผัน (invers

e matrix)สำาหรบัเมทรกิซจ์ตัรุสัท่ีมตัีว

กำาหนดมค่ีาไมเ่ป็นศูนย ์จะมเีมทรกิซท่ี์เก่ียวขอ้งกับเมทรกิซดั์ง

กล่าวโดยมคีณุสมบติัคือเมื่อนำาไปคณูกับเมทรกิซน์ัน้แล้วได้

เอกลักษณ์ เราจะสามารถหาเมทรกิซดั์งกล่าวได้เสมอ และมี

เพยีงหนึ่งเดียว โดยจะเรยีกเมทรกิซน์ัน้วา่ เมทรกิซผ์กผัน

เราใชส้ญัลักษณ์ A-1 แทนเมทรกิซผ์กผนัของ A

A =[ ]a A-1 =1aé ùê úê úë û

A =a bc dé ùê úê úë û A-1 =1

detd bc aA

é ù-ê úê ú-ë û

มค่ีาเท่าใด จงึทำาใหเ้มทรกิซ ์

กำาหนดให้1 23

Ax

x A1A ไมส่ามารถหาเมทรกิซผ์กผนั () ได้

กำาหนดให ้1 23 4

A

จงหา 1A

สรุปการคณูเมทรกิซ์m n n p m pA B C 1.

2. AB BA

3. A BC AB C

A(B+C) = AB+AC(B+C)A = BA+CA

4. และ

แบบฝึกหัด

1 01 1

0 1A

0 1 11 1 0

B

1.กำาหนดให ้ และ

1.1 จงหา ABA1.2 จงหา BAB

2 34 5

A

2 50

18 8B

1 118 61 19 21

C

2. กำาหนดให ้

2.1 จงหาค่า 2 126A B C

2.2 จงหาค่า 2 126A B C