Η ξίωη ου laplace - ucyxenophon/courses/mas303/lesson15a.pdfux uy uy ss s ss s ss u ® ¯...
TRANSCRIPT
Η εξίσωση του Laplace
Η εξίσωση του Laplace
Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)
Η εξίσωση του Laplace
Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)
1
, 2
, 3
,i i
xx yy
xx yy zz
n
x x
i
u u D
u u u u D
u n D=
+ −
= + + − −
Η εξίσωση του Laplace
Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)
1
, 2
, 3
,i i
xx yy
xx yy zz
n
x x
i
u u D
u u u u D
u n D=
+ −
= + + − −
0u =
Eξίσωση του Laplace
Η εξίσωση του Laplace
Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)
1
, 2
, 3
,i i
xx yy
xx yy zz
n
x x
i
u u D
u u u u D
u n D=
+ −
= + + − −
0u = u f =
Eξίσωση του Laplace Eξίσωση του Poisson
Η εξίσωση του Laplace
Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)
1
, 2
, 3
,i i
xx yy
xx yy zz
n
x x
i
u u D
u u u u D
u n D=
+ −
= + + − −
0u = u f =
Eξίσωση του Laplace Eξίσωση του Poisson
Αν ισχύει Δu = 0, τότε η u καλείται αρμονική (harmonic)
Θεωρούμε το πρόβλημα
στο
στο
u f D
u h D
=
= (§)
Θεωρούμε το πρόβλημα
στο
στο
u f D
u h D
=
= (§)
Θεωρούμε το πρόβλημα
στο
στο
u f D
u h D
=
=
του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου
(§)
Θεωρούμε το πρόβλημα
στο
στο
u f D
u h D
=
=
του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου
0 στο
στο
v D
v h D
=
=
στο
0 στο
w f D
w D
=
=
(§)
Θεωρούμε το πρόβλημα
στο
στο
u f D
u h D
=
=
του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου
0 στο
στο
v D
v h D
=
=
στο
0 στο
w f D
w D
=
=
Επίσης, αν V = 0 στο D , ΔV = f στο D και η W ικανοποιεί
τότε η u = V + W, λύνει το πρόβλημα (§).
0 στο
στο
W D
W h V D
=
= −
(§)
Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D
και η w ικανοποιεί
Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D
και η w ικανοποιεί στο
0 στο
w v f D
w D
= − +
=
Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D
και η w ικανοποιεί στο
0 στο
w v f D
w D
= − +
=
τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).
Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D
και η w ικανοποιεί στο
0 στο
w v f D
w D
= − +
=
τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).
Θεώρημα: Η Αρχή του Μεγίστου (ασθενής μορφή)
Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D
και η w ικανοποιεί στο
0 στο
w v f D
w D
= − +
=
τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).
Θεώρημα: Η Αρχή του Μεγίστου (ασθενής μορφή)
Έστω D ένα φραγμένο, συνεκτικό χωρίο στις δύο ή τρεις διαστάσεις. Έστω
μια συνάρτηση, αρμονική στο D και συνεχής στο . Τότε, τόσο το
μέγιστο όσο και το ελάχιστο της u στο λαμβάνονται στο D.
:u D → D
D
Παρατηρήσεις:
Παρατηρήσεις:
1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου
Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.
Παρατηρήσεις:
1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου
Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.
2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.
Παρατηρήσεις:
1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου
Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.
2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.
3. Μπορούμε να δείξουμε συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα f και h:
2
( , )( , ) ( , )max ( , ) max ( , ) max ( , )
4s t Dx y D x y Du x y h s t f x y
+
Παρατηρήσεις:
1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου
Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.
2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.
3. Μπορούμε να δείξουμε συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα f και h:
2
( , )( , ) ( , )max ( , ) max ( , ) max ( , )
4s t Dx y D x y Du x y h s t f x y
+
όπου τέτοιο ώστε 02 2 ( , )x y x y D+
Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε
ένα ορθογώνιο
Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε
ένα ορθογώνιο
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) ( ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u a b
u x f x a
u x b a
u y b
u a y b
+ =
=
=
= =
Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε
ένα ορθογώνιο
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) ( ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u a b
u x f x a
u x b a
u y b
u a y b
+ =
=
=
= =
Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε
ένα ορθογώνιο
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) ( ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u a b
u x f x a
u x b a
u y b
u a y b
+ =
=
=
= =
Συνθήκη συμβατότητας: f(0) = f(a) = 0
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y).
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )
( ) ( )
X x Y y
X x Y y
= − = −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )
( ) ( )
X x Y y
X x Y y
= − = −
( ) ( )
(0) ( ) 0
X x X x
X X a
= −
= =
( ) ( )
( ) 0
Y y Y y
Y b
=
=
Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )
( ) ( )
X x Y y
X x Y y
= − = −
( ) ( )
(0) ( ) 0
X x X x
X X a
= −
= =
( ) ( )
( ) 0
Y y Y y
Y b
=
=
Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:
2
, ( ) sin , 1n
n n xX x n
a a
= =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,
έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )
( ) ( )
X x Y y
X x Y y
= − = −
( ) ( )
(0) ( ) 0
X x X x
X X a
= −
= =
( ) ( )
( ) 0
Y y Y y
Y b
=
=
Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:
2
, ( ) sin , 1n
n n xX x n
a a
= =
2
( ) ( )
( ) 0
nY y Y y
a
Y b
=
=
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0.
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για
2n
a
=
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για
( )( ) sinh , 1n
n b yY y n
a
− =
2n
a
=
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για
( )( ) sinh , 1n
n b yY y n
a
− =
και
1
( )( , ) sinh sinn
n
n b y n xu x y A
a a
=
− =
2n
a
=
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για
( )( ) sinh , 1n
n b yY y n
a
− =
και
1
( )( , ) sinh sinn
n
n b y n xu x y A
a a
=
− =
2n
a
=
Τα Αn επιλέγονται έτσι ώστε να ισχύει ( ,0) ( ) στο 0,u x f x a=
Τα Y(y) δίδονται από
( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n
n b y n b yY y C D n C D
a a
− − = +
Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για
( )( ) sinh , 1n
n b yY y n
a
− =
και
1
( )( , ) sinh sinn
n
n b y n xu x y A
a a
=
− =
2n
a
=
Τα Αn επιλέγονται έτσι ώστε να ισχύει ( ,0) ( ) στο 0,u x f x a=
Αναπτύσσουμε σειρά Fourier για την f :
1
( ) sin , [ , ]n
n
n xf x f x a b
a
=
=
με
0
2( )sin , 1
a
n
n xf f x dx n
a a
=
1
( ) sin , [ , ]n
n
n xf x f x a b
a
=
=
με
0
2( )sin , 1
a
n
n xf f x dx n
a a
=
1
( ,0) sinh sinn
n
n b n xu x A
a a
=
=
Μια και
1
( ) sin , [ , ]n
n
n xf x f x a b
a
=
=
με
0
2( )sin , 1
a
n
n xf f x dx n
a a
=
1
( ,0) sinh sinn
n
n b n xu x A
a a
=
=
Μια και
έχουμεsinhn n
n bA f
a
=
1
( ) sin , [ , ]n
n
n xf x f x a b
a
=
=
με
0
2( )sin , 1
a
n
n xf f x dx n
a a
=
1
( ,0) sinh sinn
n
n b n xu x A
a a
=
=
Μια και
έχουμεsinhn n
n bA f
a
=
sinh
nn
fA
n b
a
=
1
( ) sin , [ , ]n
n
n xf x f x a b
a
=
=
με
0
2( )sin , 1
a
n
n xf f x dx n
a a
=
1
( ,0) sinh sinn
n
n b n xu x A
a a
=
=
Μια και
έχουμεsinhn n
n bA f
a
=
sinh
nn
fA
n b
a
=
και έτσι
1
( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]
sinh
n
n
f n b y n xu x y x a y b
n b a a
a
=
− =
( ) ( )
0 στο 0,1 0,1
( ,0) sin( ) στο 0,1
( ,1) 0 στο 0,1
(0, ) 0 στο 0,1
(1, ) 0 στο 0,1
xx yyu u
u x x
u x
u y
u y
+ =
=
=
= =
Παράδειγμα:
( ) ( )
0 στο 0,1 0,1
( ,0) sin( ) στο 0,1
( ,1) 0 στο 0,1
(0, ) 0 στο 0,1
(1, ) 0 στο 0,1
xx yyu u
u x x
u x
u y
u y
+ =
=
=
= =
Παράδειγμα:
1
( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]
sinh
n
n
f n b y n xu x y x a y b
n b a a
a
=
− =
( ) ( )
0 στο 0,1 0,1
( ,0) sin( ) στο 0,1
( ,1) 0 στο 0,1
(0, ) 0 στο 0,1
(1, ) 0 στο 0,1
xx yyu u
u x x
u x
u y
u y
+ =
=
=
= =
Παράδειγμα:
1
( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]
sinh
n
n
f n b y n xu x y x a y b
n b a a
a
=
− =
( )( ) ( )
1
sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]sinh
n
n
fn y n x x y
n
=
= −
με1
0
1 , 12 sin( )sin( )
0 , 1n
nf x n x dx
n
== =
με1
0
1 , 12 sin( )sin( )
0 , 1n
nf x n x dx
n
== =
( )( ) ( )
1( , ) sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]
sinhu x y y x x y
= −
Επομένως
με1
0
1 , 12 sin( )sin( )
0 , 1n
nf x n x dx
n
== =
( )( ) ( )
1( , ) sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]
sinhu x y y x x y
= −
Επομένως
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u
u x x x
u x
u y
u y
+ =
= −
=
= =
Παράδειγμα:
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u
u x x x
u x
u y
u y
+ =
= −
=
= =
Παράδειγμα:
( )( )
1
( , ) sinh ( ) sin , [0, ], [0, ]sinh
n
n
fu x y n y nx x y
n
=
= −
( ) ( )
0 στο 0, 0,
( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,
( , ) 0 στο 0,
(0, ) 0 στο 0,
( , ) 0 στο 0,
xx yyu u
u x x x
u x
u y
u y
+ =
= −
=
= =
Παράδειγμα:
( )( )
1
( , ) sinh ( ) sin , [0, ], [0, ]sinh
n
n
fu x y n y nx x y
n
=
= −
με 0
2 , 12
2sin( ) sin(4 ) sin( ) 1 , 4
0 ,
n
n
f x x nx dx n
ά
=
= − = − =
( )( )
( )( ) ( )
2( , ) sinh( )sin
sinh
1sinh 4( ) sin 4 , [0, ], [0, ]
sinh 4
u x y y x
y x x y
= − −
− −
Επομένως
( )( )
( )( ) ( )
2( , ) sinh( )sin
sinh
1sinh 4( ) sin 4 , [0, ], [0, ]
sinh 4
u x y y x
y x x y
= − −
− −
Επομένως