¬¼ izytbuuy x yx c#ú 8$Î#Õ Æ $Î#Õm ) q i...

GIGAKU PRESS

矢田　敏夫

(m) (m) (m)

plate - 8　

　　　　

, ,

, ,

,

異質部を持つ平板の

[曲げ,ねじり]問題と [引張り,せん断]問題の共通表示

線分状周辺編

変位(ひずみ)分布の共通計算式

負荷に対して共通表示方式の弾性計算式

の異質材に誘起される

x y xy

x y xy

x y

m m m

β β β

i i

(t) (t) (t)

, ,

, ,

　,

係数

変換

x y xy

x y xy

x y

t t t

β β β

u u

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

u x

u y

yt

xt

x

y ][R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式

境界断面発生内力

　共通式

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m

x y xym , m , m 負荷外力

b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

u x

u y

yt

xt

x

y ][R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式


　共通式

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m


b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

xu

yu

yt

xt

x

y )(R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式の導出


共通式の導出

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m

x y xyt , t , t 負荷外力

b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

b b

0 （ plate-8 ）:

p. 0 - -8)

p. 2 8Plate series

plate -8)

[ ]

[ ]

[ ]

(1.1) plate - 8 b / a = 0

p

Ⅰ １本編(plate 　の　概要

Ⅱ 　～で定義した関数，記号

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　Ⅰ　本編( の概要

編は，線分状( )の介在物周辺特有の

変形問題に関する特集編とした．また，

はじめに

,

late - 9

(1.2) b / a = 0

(a) slit

b / a = 0

(b)

編では，

　　　同境界に対する応力問題について考察する．

( )境界の重要性と計算上の問題点：

重要性：鋭い尖端を持つ切欠き( 線状空隙)等に関しては，多くの研究資料が

　　存在する．これと比較して，( )の異種物質の問題には，なお未解明の問題

　　が多く，

計算式導出の経緯：境界

今後に残された重要な課題の一つと考える．

m( )

(plate - 2 p. 38~41)

( ) (plate - 2 p. 42~43)

1 2 ( /

mG kq

(m4)

y

(m4)

y

m4

(m4)

(c) (m4)

a b

参照

参照

発生内力下記式を例にして考察する．この

　分数形で示したは「複合平板」用に算出した線形弾性力学の理論式である．

編 _

式の数値計算上の問題点と対策：

計算式の基本形：　編 _ 　

式

式

ⅰ

y

q

q

m m m m m

m m m m m m

) 1 2 ( / ) 2 1 (2 1 )

1 2 ( / ) 1 2 ( / ) (2 1 )

( )

(plate - 7 p. 118~123)

/ 0 0 m

k b a G k k G

k b a G k G k G

b a G

2 1

2

2 1

b/a=0

(m4)a b

(m4) (m2) 2

＆

参照

　

問題点：は次のに対しては不定形式になるため，

　　　数値計算が出来ない．　編 _ 　

　

式

ⅱ 条件

②

( )

( )

( )

&

&

&

/ 0 -

( ) 2

/ 0 1 (1 plate - 7

/ 0 0 1p. 68 71

/ 0 0

m

m

m

m

b a G

b a G q

b a G q

b a G q

m

1

m

m

(m5 1)

input

/

＆

参照

及び　　　　　　　　　　　　

　対策：との条件に対してのみ，解析計算値を[ ]する．

）編

:～ )

③ ③

① ①

② ②

③ 式

ⅲ ② ③

③

<①

②

y

y

y

(m5 - 2)　

　

式

x

y

z

xm

ym

b / a 0

xym

xym

a

Mode No .

p. 4

(m5)

b / a = 0

線分状異質物質

一覧表参照

(m5)

1 （ plate-8 ）:

xm(m)xβxm

( )R 1

hole(m)xβ

(m)yβ

(m)yβ

(m )xβ(m)

xβ

(m)yβ

(m )yβ

ym

ym

)R2(

: ( 1 1 1E , ν , hR1) 　外部板 : 2 2 2E , ν , h(R2) 　内部板

(m4) (m4) (m4)

(m4) (m4) (m4)

32 2

31 1

/

Δx Δx

Δy Δy

Δx = 1 Δy = 1

　　　（，）

　

(曲げトルク単位幅当たり）

内板の曲げ剛性係数

外板の曲げ剛性係数

境界内力計算式

x x x y y

y x x y y

m

β = p m + p m

β = q m + q m

E hG

E h

plate 4 p. 12,13 fig. (p. 1-1) _　等 : 編参照境界発生内力の定義

：短半径

長半径楕円形境界

b

a

( 1 . 3 ) 関連の図による説明

4)(m

m

yfig . (p. 1 - 2) (q ) (b / a = 0)

と

型境界近傍の内力分布を示す数値計算例

②近傍 ③近傍の弾性挙動の調査に重点を置く

( )

(m5)

y

(1.4)

(a) q

(b) 2

m 5 -1 2 2

m 4

，を

　　 , に

,

　　 , 　

,　

まとめ

の計算値は前頁の計算式によって，上図のように点要(かなめ)点

とする特徴的な形で全領域広がる連続曲線群で示される．

との点は曲線が折れ曲がる形に急変する点であるため，前頁の数学的

対処（）が必要である．この点以外の全ての連続曲線の数値計算

には式 , あるいは同式を基準と

①

② ③

,した理論式を全く問題なく適用するこ

とができる．

2 （ plate-8 ）:

ytxyt

xt

xyt

xyt

xyt

xt

yt

x

y

[R1]

(R2)

ym xym

xm

xym

xym

xym

xm

ym

x

y

z

[R1]

(R2)

係数変換

共通式の

PLATE series

(2.1)

Ⅱ 全編の共通事項　

各編の題目と内容：

- : [ ] [ ]

- : [ ] [ ]

- : [ ] [

( plate - 1 )

( plate - 2 )

( plate - 3 )

Ⅰ ,

Ⅱ ,

Ⅰ　

[基礎 ] 円孔板の共通計算式(概説）

[基礎 ] 複合板の共通計算式(概説）

曲げ: 引張

x y x y

x y x y

x y

m ,m t ,t

m ,m t ,t

m ,m t ]

- : [ ] [ ]

- : [ ] [ ]

[ - : [ ] [ ]

( plate - 4 )

( plate - 5 )

( plate - 6 )

,

Ⅱ　 ,

Ⅲ ,

: Ⅰ ,

理論解析

曲げ: 引張計算式と数値計算図

曲げ: 引張例題と考察

ねじりせん断 ] 計算式と数値計算図

x y

x y x y

x y x y

xy xy

,t

m ,m t ,t

m ,m t ,t

m t

[ - : [ ] [ ]

[ : [ ] [ ]

[ [ ] [ ]

( plate - 7 )

( plate - 8 ) b / a = 0

( plate - 9 ) b / a = 0

: Ⅱ ,

,

: ,

ねじりせん断 ] 例題と考察

: 変位] 例題と考察

: 合応力] 例題と考察

xy xy

x y xy x y xy

x y xy x y xy

m t

m ,m ,m t ,t ,t

m ,m ,m t ,t ,t

3 （ plate-8 ）:

[m] 面曲げ外 [t] 面引張内

負荷外力

[せん断][ねじり]

x yt , tx ym , m

E h1 1 1, ,

m

1k

3

1tk

(R2) / [R1]

剛性比

E hG

E h

32 2

m 31 1

E hG

E h

2 2t

1 1

境界断面

発生内力

( ) ( )

( ) ( )

x

x

p m p m

p m p m

(m) m m

(m) m m

x x y y

x x y y

[ ]R1

板外

傾斜変位

-

曲げﾓﾒﾝﾄ

　　　応力合

; w w

i ix y

x y ; u dx u dy x x y y

( )

( )

( ) ( )

, , ; ( )

, , : ( )

( ) ( )xy

M M M M

M M M M

M M

Qz

Qz

Qz Qz

等価［近似）ねじりトルク

x y xy xy

r r r

r

, ,

, ,

T T T

T T T

x y xy

r r

( ) ( )

( ) ( )

x

x

p m p m

p m p m

(m) m m

(m) m m

x x y y

x x y y

機械的

性質 (R1)

板内 E h2 2 2, ,

〃

〃

(2 . 2) 用語等の変換関係

写像関数1 ( )

( )2

a bz a b

〃

応力関数

　関係

( , ) ; ( ) ( ) :

( ) , (1 / )

H x y

S

m m m

mm 0 0

,

mode計算

の組合せ

( , ) ; ( ) ( ) :

( ) , (1 / )

H x y

S

t t m

tt 0 0

,

[ m 1] [ m 2] [ m 1β]

[ m 4] [ m 2] [ m 4β]

共通

共通

[ t 1 ] [ t 2] [ t 1 β]

[ t 4 ] [ t 2] [ t 4 β]

共通

共通

(m2)開孔板の

境界条件式

( ) (1 / )0

( )

B

S

mm2 0

m2 0

Ⅰ( ) (1 / )

0 ( )

B

S

tt2 0

t2 0

Ⅰ

参考変換

4 （ plate-8 ）:

分類と名称

(m1S)

一様連続

の平板

(m2S)

開孔縁

自由板

(m 4)

部分的に

異なる材料を

組合わせた

複合平板

内　　容注　記

:

h h

: b a

1 2

m 1 2

1 2

G = 1

E E

　任意

0 :

h 0

: b a

2

m

2

G = 0E

　任意

y

z

xmx

ym

y

z

xm

x

,

,-

:

i x y

i x y

b a

0 0

0 0

=

=

（）

（）

任意

x

y

mG

hole

free

f i x

xym

xym

ym

xm

xym

xym

xym

xym

ym

xmy

z

x

y

z

x

xym

h:

h

: b a

m

1 1 1

2 2 2

0 G 　

E , ,任意

E , ,

任意

≦ ≦∞

xym

ym

xym

大分類 mode 名称

基本問題

(m3S)

境界線

固定板

応用問題

y

z

xmx

xym

xymy

m

(m 5)

線分状

(b/a 0)

異質介在物

を持つ平板

b 0

a

0b a

&

0

(m1S) (m 4)

(m2S) (m 4)

(m3S) (m 4)

m

E h

E h

E hG

E h

m 1 2

m

m

1 1 1

2 2 2

3

2 2

3

1 1

G =1 ν =ν

G =

G =

外部板 : , ,

内部板 : , ,

mode

mod e

m1S m2S m3S

-

-

-

(m 4)

m mode

(m5) 実用上から

重要であるため

　

　

にした

は

, , を

含めて，

をcoverしている．

は

plate 8 編

plate 9 編

特集

全

-M(2- 3) mode 計算の分類と相互関係

5 （ plate-8 ）:

-T(2- 3) mode 計算の分類と相互関係

分類と名称

(t 1 S)

一様連続

の平板

(t 2 S)

開孔縁

自由板

( t 4 )

部分的に

異なる材料を

組合わせた

複合平板

内　　容注　記

:

h h

: b a

1 2

t 1 2

1 2

G = 1

E E

　任意

0 :

h 0

: b a

2

t

2

G = 0E

　任意

,

,-

:

u x y

u x y

b a

0 0

0 0

t

=

= G =

（）

（）

任意

∞x

y

h:

h

: b a

t

1 1 1

2 2 2

0 G 　

E , ,任意

E , ,

任意

≦ ≦∞

大分類 mode 名称

基本問題

(t 3 S)

境界線

固定板

応用問題

( t 5 )

線分状

(b/a 0)

異質介在物

を持つ平板

0b a

&

0

(t1S) (t 4)

(t2S) (t 4)

(t3S) (t 4)

t

E h

E h

E hG

E h

t 1 2

t

t

1 1 1

2 2 2

2 2

1 1

G =1 ν =ν

G =

G =

外部板 : , ,

内部板 : , ,

y

xt

xtx

xyt

xyt

xyt

y

x xthole

freexyt

yt

xyt

xytyt

xt

y

yt

x xtxt

xyt

xyt

xyt

yt

y

xtx xt

f i x

xyt

xyt

xyt

y

xb 0

a

xt

yt

xyt

xyt

xyt

xt

mode

mod e

t1S t2S t3S

-

-

-

(t 4)

t mode

(t 5) 実用上から

重要であるため

　

　

にした

は

, , を

含めて，

をcoverしている．

は

plate 8 編

plate 9 編

特集

全

6 （ plate-8 ）:

x

y

holexm

ym

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

m 1 R1 [m 1] m 1 R2

[m 2] [m 1β]

( )R2

ym

xm( )R 2

x

y

hole

z

[ ]R1

x

y

hole

z

[ ]R1

xm

xmxm

ym

ym

y

xhole hole

内部板

-fig .(6 1) m1 , m2

z z

x

y

xm

ym

z複合平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

m 4 R1 [m 4] m 4 R2

[m 2] [m 4β]

z

( )R2

xm

x

y

hole

z

[ ]R1

x

y

hole

z

[ ]R1

xm

(m3)

xβ

ym

y

xhole hole

内部板

-fig .(6 2) m 4

( )R 2(m3)

xβ

(m3)

yβ

(m3)

yβ

-M(2 - 4) mode 基本の加算則の適用

( , ) ( [ [

x x

m

x x

x y

m m E hG

E hm m

m m

R1 R2

(m) (m) (m) 3x x y 2 2

3(m) (m) (m)1 1y x y

(m) (m) (m) (m)R1 x y R2 x yR1 (

[m 4] [m 4]

[m 4] m 1] m 2]

撓み剛性比内板　　　；の

外板パラメーター

複合平板の計算式

境界発生内力

, ) , )

β p p

β q q

β β β β

(m) (m)R2 x y x y 1 1 1 2R2 2 2

. ( 6 - 1)

(m m ) ( β , β ) & (E ,h , ν ) (E ,h , ν ) . ( 6 - 2)[m 4] [m 1] ,

eq p.

eq p.

7 （ plate-8 ）:

x

y

hole

t x

yt

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

1 R1 [ 1] 1 R2

[ 2] [ 1β]

tt

t tt

( )R2x

y

hole

[ ]R1

x

y[ ]R1 y

xhole

内部板

-fig .(7 1) t1 , t 2

t xt x

t x

yt

yt yt

( )R 2 hole

x

y

hole

t x

yt

複合平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

3 R1 [ 3] 3 R2

[ 2] [ 3β]

tt

t tt

( )R2x

y

hole

[ ]R1

x

y[ ]R1 y

xhole

内部板

-fig .(7 2) t 4

t x

yt

(t3)

yβ

( )R 2 hole(t3)

xβ

(t3)

yβ

(t3)

yβ

-T(2 - 4) mode 基本の加算則の適用

( , ) ( [ [

x x

x x

x y

t

t t E hG

E ht t

t t

R2

( t ) ( t ) ( t )x x y 2 2

( t ) ( t ) ( t )1 1y x y

( t ) ( t

R1

R1) (

R1 x y R2 x(

[t 4] [t 4]

[t 4] t 1] t 2]

伸縮比内板　　　；の

外板パラメーター

複合平板の計算式

境界発生内力

, )

β p p

β q q

β β β

t ) ( t )y

( t ) ( t )R2 x y x y 1 1 1 2 2 2R2

. ( 7 - 1)

(t t ) ( β , β ) & (E ,h , ν ) (E ,h , ν ) . ( 7 - 2)[t 4] [t 1] ,

, )β eq p.

eq p.

8 （ plate-8 ）:

(m) (m)

21

(m) (m) 212

1

( , ) ( , ) ( , ) -(1 )

12

( , ) ( , ) ( , ) (1 )(1 )

ai x y C x y m C x y m

a aa

i x y D x y m D x y m Eh

3

b

[ m ] mode

[m]

[t ]

（）

　共通

　

x x x y y

m

y x x y y mm

δ

δδ

傾斜と変位 : 共通表示式の一般形

全

( td) ( td)

22

( td) ( td) 222

2

( , ) ( , ) ( , ) -(1 )

( , ) ( , ) ( , ) (1 )(1 )

au x y C x y t C x y t

a aa

u x y D x y t D x y t Eh

t

tt

[ t ] mode

c

　　共通

　

（）

x x x y y

y x x y y

δ

δδ

全

曲げ応力モーメント　と合応力 : 共通表示式の一

(m) (m)

(m) (m)

(m ) ( m )

( Qz) (m ) ( m )

( A) ( Qz

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

Qz Qz

M x y A x y m A x y m

M x y B x y m B x y m

M x y N x y m N x y m

M x y N x y m N x y m

M x y M x y M

m

m m

[m]

x x x y y

y x x y y

xy x x y y

x x y yxy

xyxy xy

般形

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

-

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

x y

T x y A x y t A x y t

T x y B x y t B x y t

T x y N x y t N x y t

t t

t t

t t

[ m ] mode

[ t ]

　共通

x x x y y

y x x y y

xy x x y y

全

-

[ t ] mode　共通全

(a) G (a) GE h E h

E h E h

3

M T2 2 2 2m t3

1 1 1 1

(2. 5)

　　　

変位及び応力の共通計算式を同一形式に標準化求めた

x

y

, , )( ; 2 2 2 2 2

E h x , y(R2)

[R1] (R2)1h

2h

ym

ym

xm

xm

a

b

O

[R1]

, ,

1 1 1

1 1

E h

x , y

x

y

, , )( ; 2 2 2 2 2

E h x , y(R2)

[R1] (R2)1h

2h

yt

yt

xt

xt

[R1]

, ,

1 1 1

1 1

E h

x , y

b

aO

9 （ plate-8 ）:

(m) (m) (m)

plate - 8　

　　　　

, ,

, ,

,


[曲げ,ねじり]問題と [引張り,せん断]問題の共通表示

線分状周辺編

変位(ひずみ)分布の共通計算式


の異質材に誘起される

x y xy

x y xy

x y

m m m

β β β

i i

(t) (t) (t)

, ,

, ,

　,

係数

変換

x y xy

x y xy

x y

t t t

β β β

u u

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

u x

u y

yt

xt

x

y ][R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式


　共通式

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m


b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

u x

u y

yt

xt

x

y ][R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式


　共通式

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m


b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

ym

xmy

z

)(R1

(R2)a

xym

xym

z

xi

yi

x

y

xu

yu

yt

xt

x

y )(R1

(R2)

a

b / a 0

xyt

xyt

(m) (m) (m) , ,x y xyβ β β

(t) (t) (t)

, ,x y xyβ β β

　共通式の導出


共通式の導出

発生する変位

対応関係

x y xym , m , m

x y xyt , t , t 負荷外力

b

b / a 0

, ,

, ,

1 1 1

2 2 2

: E

: E

R1 h

R2 h

b

b b

10 （ plate-8 ）:

まえがき

(1) 目的

平板の「面外・曲げ負荷」と「面内・引張-圧縮負荷」に対する微小変形弾性計算式は，弾性力

学の代表的な基本計算式の一組であり，常に有効に実用されている．この従来の「弾性計算

式」は，負荷の種類によって異なる型式の，各負荷別の専用計算式となっている．

この各負荷専用の計算式は，簡便で実用的な計算式であることは明白である．その上で

更に，すべての負荷に共通に適用できる簡便な弾性計算式を実用化できれば，工学

的に益するところは大きいと考えた．例えば，構造体の中に配置する平板部材には，多

かれ少なかれ，面内と面外の両方向の力が負荷されることになる．条件によっては，両

方向の力が連動して，予測できなかったトラブルに至ることがあることは，今までに体

験してきたことである．この種の複数の力の連動問題を多角的に検討するための実用的

資料の一つとして，本書が今後に役立つことを念願するものである．

(2) 経緯

著者は 1956～1984 年の間，民間企業の研究・開発部門に所属した．その後 1985～2002 年

の間は大学において，教育・研究・管理の業務に従事した．その両方の職場では，業務

の内容は異なったのであるが，本書の「技術計算式の共通表示」の問題については，自分自

身の人生の仕事にしてみたいと思うところがあって，何時も関心を持って資料の集積を続けてき

た．

(3) 本書の概要

(3-1) 本書で考えた基本の例題は，大きな平板の中に一個の楕円形の異質部境界があ

り，それが外部から一様に「曲げ」と「引張」を受ける時の境界近傍の弾性変化の問題

である．この範疇の中で，「一様平板」及び「境界縁自由板」と「境界縁固定板」の 3

者は特殊の境界条件を持つ平板であり，これらに対する専用計算式は既に完成されてい

て，多くの適用実績がある．本書では先ず，これら３条件に対する専用式を根幹にし

て，各専用式の必要個所に「負荷係数，境界係数，ねじり/せん断係数」等を配置し，

そこから必要な枝葉を伸ばして network を広げる方法により，「面外問題」と「面内問

題」に共通形の微小変形弾性計算式の構築を模索した．

11 （ plate-8 ）:

（3-2) 上述した 3 条件に対する従来の「面外」と「面内」の各計算式は，外見上の形

はかなり大きく異なっている．これはそれぞれの計算式を導出する過程が異なること

が主因と考える．本書では先ず始めにこれらの 3 条件の計算式を例題にして，「曲げ，

ねじり，引張，せん断」のすべての負荷に対する計算過程を統合することを検討した．

ここで最初に直面した問題は，想定していた以上の難題であったが，幾多の試行錯誤

を繰り返して，上記の 3 条件に対する係数変換型の共通計算式を実現させることがで

きた．

(3-3) 上記の「開孔板」等に対する負荷共通計算式に更に必要な解析を加えて，異質部

を持つ「複合平板」にまで拡張して適用できる負荷共通計算式を提示した．

前記(3-2)の中の「自由縁」と「固定縁」の開孔板は，境界線のところで内部と外部が

物理的に分断されている「不連続境界」である．これに対してこの（3-3）の境界は，

その内部に外部とは力学的性質が異なる弾性板を接合させた境界であり，外板と内板

の相互の弾性挙動を「連続的に流通させて考察することができる境界」である．例え

ば，この(3-3)の計算式で内部板の剛性を低減させて，あるいはその反対に増大させて，

それぞれの極限として前記の「自由縁境界」あるいは「固定縁境界」に至る方法で，

不連続境界の特性を解析することができる．そのことを，各編の例題の中に示した．

(3-4) 本書では「面外問題」と「面内問題」の相互の関連を出来るだけ目に見える

形で直接に対比することを考えて．両問題の主要な計算式，及び主要な数値計算図

を，「面外問題」は偶数頁に，「面内問題」は奇数頁に並べて示した．

(4) 終わりに

強度評価の問題に対して，「実験」，「電算解析」，「理論解析」の 3 者を有効に連携さ

せて活用することが重要であると常に考える．その連携のための参考資料の一つと

して，本書が役立つことができれば幸甚に存ずるものである.

本書は，長岡技術科学大学の関係者からの多大な支援を得て実現できたものである．

また日常的に，多くの方々から有益な助言と協力を受けた．

ここに，関係者の皆様に心から厚くお礼を申し上げる次第である．

2015 年 1 月

著者

12 （ plate-8 ）:

0 8

10 - 11

12

x y x ym , m t , t

b / a

[1 - 1]

[1 - 2]

~

1

0

　

（）（）

　　　　　

　　　　 13

　

　　　

　　

目次

⇔

境界線に発生する変位の共通計算式

基本事項

発生変位の共通計算式

はじめに

まえがき

目次

第　章

の特殊

p.

p.

p.

p.

のによって負荷

xy xy

[1 - 3]

[1 - 4]

m t

b / a

[2 - 1]

2

0

　　 34

　　

　　　　　 37

　　　　 66

　

（）（）

　　　　　

　　　　　　　　 78

　

数値計算例

解説

⇔


基本事項

第　章

の特殊

p.

p.

p.

p.


94

98

134

117 ~ 127

[2 - 2]

[2 - 3]

[2 - 4]

　　　　　

　　　　

　　　　　　　　

　　 128～


変位計算図例　

解説

参考文献，参考資料，略歴

p.

p.

p.

p.

13 （ plate-8 ）:

(+2, +2)

0x / a

0y / a

(-2, -2)

2

(+2, -2)

(+2.5 , +2.5)

(+1.5 , 1.5)

( - 2.5 , - 2.5)

-1.5

-( 1.5 , +1.5)

(+1, 0)

xyt xyt

xyt

xyt

xyt

xyt

xyt xyt

O

.0 5

1

-2

- .0 5

-1

1.5

-2 -1.5

-1

.0 5 1 2

+(- 2, 2)

- .0 5

-( 1, 0)

1.5

Before

After

p. 1 :参考　第 1章関係の図　（はじめに）より引用

t

)

- .

G 1 0.3

1 2

2 1

t

fig. (p. 109

G(b / a = 0)

p. 97

参考図

,（ , ）による

（；）参照

第 2 章関係の）関連図を引用:境界線の変化量は

線分状異質材のせん断負荷による変位形状

一様連続平板の場合

14 （ plate-8 ）:

( - ) .

( - )

xy

1 1 2 2

1

note 14 1 m

note 14 2 b / a = 0

x ,y ) , x ,y )

対

　　

　

　

（（

p.

p.

負荷に関しては　第 2 章　参照　

境界形状する　変位値の特性：

当該算定項目の中で変位値が確定されている主な項目

外部板内部板

ⓢ

: ( ) , : ( )

: ( ) , : ( )

(m5) (m5)01 01 02 02

2 (m5) (m5)01 01 02 02

(m5) (m5)1 1 1 1

(m5) (m5)2 2 2 2

x ,y ) x ,y )

x ,y ) x ,y )

x ,0 0 x ,0 0

x ,0 0 x ,0 0

（（:

（（

　　

　　

　

x x

y y

y x

y x

i i

i i

i i

i i

ⓧ ⓨ

ⓧ ⓨ

2 2 2E , ν ,h

R1

R2

ym

xm

1 1 1E , ν ,h

a

ⓨ→ 0b

m x

ym

ⓢⓧ

)(m 5

( ) f i g. p. 14 計算対象の位置と記号

( ) ( )

( )

( ) (

x y x y

M

M

x y

m , m t , t

b / a

1 - 1

(1.1.1)

m m note 14 - 1

b / a = 0

note 14 -

1

0

（）（）

　　　　

　　

　：　，　　　　

⇔


基本事項

計算の内容　

(a) 計算条件

ⅰ 負荷

ⅱ 境界線の形状：　

ⅲ 変位算定位置と記号

第　章

の特殊


p.

p.

)

-

-

i i

i

i

(m5) (m5)0 0 0 0

(m5)1 1

(m5)1 1

2

(x ,y ) , (x ,y )

( x , y = 0)

(x = 0, y )

　　　　　 :

　　　　ｘ :

　　　　y :

　　　

ⓢ 境界上

ⓧ 軸上

ⓨ 軸上

x y

x

y

15 （ plate-8 ）:

. ( 16 -1) eq p.

2 2 2E , ν ,h

R1

R2

yt

xt

1 1 1E , ν ,h

a

ⓨ→ 0b

t x

yt

ⓢⓧ

)(t 5

t )

( ) ( )

( )

( )

Tx y

T

T

x y

1 (

1 - 1

(2.1.1)

t t note 15 - 1

b / a = 0

,ｔ

　　　

　　

　：　，　　　　

第章線分状の異質介在物を含む平板に遠方で一様面内引張りを

負荷する時，介在物周辺に誘起される「面内ひずみ分布」の考察

基本事項

計算の内容　

(a) 計算条件

ⅰ 負荷

ⅱ 境界線の形状：　

ⅲ 変位算定位置と記号

p.

( )

-

-

u u

u

u

(t 5) (t 5)0 0 0 0

(t 5)1 1

(t 5)1 1

note 15 - 2

(x ,y ) , (x ,y )

( x , y = 0)

(x = 0, y )

　　　　　 :

　　　　ｘ :

　　　　y :

　　　

ⓢ 境界上

ⓧ 軸上

ⓨ 軸上

x y

x

y

p.

( - ) .

( - )

xy

1 1 2 2

1

note 15 1 m

note 14 2 b / a = 0

x ,y ) , x ,y )

対

　　

　

　

外部（内部（

p.

p.

負荷に関しては　第 2 章　参照　

境界形状する　変位値の特性：

当該算定項目の中で変位値が確定されている主な項目

板板

ⓢ

: ( ) , : ( )

: ( ) , : ( )

(t 5) (t 5)01 01 02 02

2 (t 5) (t 5)01 01 02 02

(t 5) (t 5)1 1 1 1

(t 5) (t 5)2 2 2 2

x ,y ) x ,y )

x ,y ) x ,y )

x ,0 0 x ,0 0

x ,0 0 x ,0 0

（（:

（（

　　

　　

x x

y y

y x

y x

u u

u u

u u

u u

ⓧ ⓨ

ⓧ ⓨ

( ) f i g. p. 15 計算対象の位置と記号

16 （ plate-8 ）:

12

12

[ ] (0 / 1)

( ) ( ) ( )

(a.1)( ) ( ) ( )

ax yE h

ax yE h

b a

P C P m C P m

P D P m D P m

i

i

31 1

31 1

M

m

(m1) (m1) (m1)1 1 1

(m1) (m1) (m1)1 1 1

(1.1.2) (plate - 4,5,6.7)

(a) m 1

　：　　

　　　　

計算において必要とする既出計算式等編より抜粋

一般式 ≦ ≦

x x y

y x y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ,

(a.2)( ) ( )

,

( ,

[ ] (0 / 1) :

x x x x

y y y y

x xC P m m C P m m

a a

y yD P m m C P m m

a a

P P x y

b a

(m1) (m1)1 1 11 1

(m1) (m1)1 1 11 1

1 1 1

m(b) m 2 　　一般式 ≦ ≦

x y

x y

( , ) ( , )

12

) , (1 ) / (3 )

; p. 28, 29

( ) ( , ) ; ( ) ( , )

( ) ( ) ( )

(b.1)

x y x y

ax yE h

k

U P U x y U P U x y

P C P m C x y mi

i

1 1 1 1 1

31 1

m 1 1

1

1 1 1 1 1 1

(m 2) (m 2) (m 2)1 1 1 1

(

参照　　

,

x x x x

x x y

y 12( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

ax yE h

P D P m D P m

31 1

m 2) (m 2) (m 2)1 1 1

m 2 m 1 m 1

x y

(m 2)

(m 2)m

( ) cos(( ) (2 ) (1 ) (2 1) ( )

( )( ) (2 1

(b.2)

x x

y

x bC P m k k U P m

a a

xC P m k

a

1

1 11 m 1 m 1

1 11

）x x

y

m

m(m 2)

m

(m 2)m

cos) (1 ) (2 1) ( )

2 1( ) sin( )( )

(1 ) (2 1) ( )

( )( ) (2 ) (1 ) (2 1) ( )

y

x x

y

k U P m

ky bD P m m

a a k U P

yD P m k k U P

a

11 1 1

1

1 1 11

11 1

11 m 1 1

x

x

y

y y

sinym

1

1

. ( 16 -1) eq p.

. ( 16 - 2) eq p.

. ( 16 - 3) eq p.

. ( 16 - 4) eq p.

x

y

holexm

ym

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

m 1 R1 [m 1] m 1 R2

[m 2] [m 1β]

( )R2

ym

xm( )R 2

x

y

hole

z

[ ]R1

x

y

hole

z

[ ]R1

xm

xmxm

ym

ym

y

xhole hole

内部板

fig .(16) m2 の全領域計算式の構成

z z

17 （ plate-8 ）:

[ ] (0 / 1)

( ) ( ) ( ) (a.1)

( ) ( ) ( )

ax yE h

ax yE h

b a

P C P t C P t

P D P t D P t

u

u

1 1

1 1

T

t

(t1) (t1) (t1)1 1 1

(t1) (t1) (t1)1 1 1

(1.1.2) (plate - 4,5,6.7)

(a) t 1

　：　　

　　　　

計算において必要とする既出計算式等編より抜粋

一般式 ≦ ≦

x x y

y x y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ,

(a.2)( ) ( )

,

( , ) ,

[ ] (0 / 1) :

x x x x

y y y y

x xC P t t C P t t

a a

y yD P t t C P t t

a a

P P x y k

b a

(t1) (t1)1 1 11 1

(t1) (t1)1 1 11 1

1 1 1

t(b) t 2 　　一般式 ≦ ≦

x y

x y

( , ) ( , )

1

; p. 28, 29

( ) ( , ) ; ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) (b.1)

( ) (

x y x y

ax yE h

aE h

U P U x y U P U x y

P C P t C P t

P D P

u

u

1 1 1 1 1

1 1

1 1

t

1

1 1 1 1 1 1

(t 2) (t 2) (t 2)1 1 1

(t 2) (t 2)1

参照　　

x x x x

x x y

y x ) ( )

[ ] [ ] [ ]

x yt D P t

(t 2)1 1

t 2 t 1 t 1

y

(t 2)

(t 2)t t

( ) cos(( ) (2 ) (1 ) (2 1) ( )

( ) cos( ) (2 1 ) (1 ) (2 1) ( )

(b.2)

x x

y

x bC P t k k U P t

a a

xC P t k k U P

a

1

1 11 t 1 t 1

1 1 11 1 1 1

）x x

y x

t(t 2)

t

(t 2)t

2 1( ) sin( )( )

(1 ) (2 1) ( )

( ) sin( ) (2 ) (1 ) (2 1) ( )

y

x x

y y

t

ky bD P t t

a a k U P

yD P t k k U P t

a

1

1 1 11

11 1

1 11 t 1 1

1

x

y

y y

. ( 17 - 3) eq p.

. ( 17 -1) eq p.

. ( 17 - 2) eq p.

. ( 17 - 4) eq p.

x

y

hole

t x

yt

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

1 R1 [ 1] 1 R2

[ 2] [ β]

tt

t t 1t

( )R2x

y

hole

[ ]R1

x

y[ ]R1 y

xhole

内部板

-fig .(7 2) t 2 の全領域計算式の構成

t x

yt

(t3)

yβ

( )R 2 hole(t3)

xβ

(t3)

yβ

(t3)

yβ

18 （ plate-8 ）:

( )

( )

( )

( )

( , )

(P )

(P )

(P )

C x y

C

D

D

M

m20 0

m20

m20

m20

(b) m2 [ m1 ] (m1β ) m2

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

x

y

x

y

m

m 1

m 1

m

21 (2 ) 1

(2 1 )[ ] (2 1)

(2 1 )(2 1)

2(2 ) 11

xb xk bka a a a

xa k xk

a a a

yy yb kk

aa b a

k aya kba a

00m

0 01 m

00 0m1

m0

y

a

0

). ( 18 eq p.

x

y

holexm

ym

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

m 1 R1 [m 1] m 1 R2

[m 2] [m 1β]

( )R2

ym

xm( )R 2

x

y

hole

z

[ ]R1

x

y

hole

z

[ ]R1

xm

xmxm

ym

ym

y

xhole hole

内部板

-fig .( 18) m2 境界上計算式の構成

z z

19 （ plate-8 ）:

( )

( )

( )

( )

(P )

(P )

(P )

(P )

C

C

D

D

T

t 20

t20

t20

t20

(b) t 2 [ t1 ] (t1β ) t 2

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

x

y

x

y

1

1

21 (2 ) 1

(2 1 )[ ] (2 1)

(2 1 )(2 1)

2(2 ) 11

xb k b xka a a a

a k x xk

a a a

yy b k yk

aa b a

k aa k yba a

0t 0

t

t 0 01 t

00 t 0t1

tt 0

y

a

0

. ( 19) eq p.

x

y

hole

t x

yt

一様平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

1 R1 [ 1] 1 R2

[ 2] [ 1β]

tt

t tt

( )R2x

y

hole

[ ]R1

x

y[ ]R1 y

xhole

内部板

fig .(19) t 2 の境界上計算式の構成

t x

yt

(t3)

yβ

( )R 2 hole(t3)

xβ

(t3)

yβ

(t3)

yβ

20 （ plate-8 ）:

12

12

( ) ( )

(0 / 1)

( ) ( ) ( )

(c.1)( ) ( ) ( )

ax yE h

axE h

P P x y

b a

x y C x y m C x y m

x y D x y m D x y

i

i

31 1

31 1

1 1 1

(m 4) (m 4) (m 4)1 1 1 1 1 1

(m 2) (m 4) (m 4)1 1 1 1 1 1

[ m 4]

,

, , ,

, , ,

(c) 一般式 ≦ ≦ 複合平板対応の一般式(新規）

x x y

y x y

(m) (m)

(m) (m)

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(c.2.1)

ym

C x y p C x y q

C x y m mC x y

C x y p C x y q

C

(m1) (m1)1 1 1 1

(m4) (m2)1 1 1 1

(m2) (m2)1 1 1 1

, ,

, 　 ,

- , ,

x

x x x

x xx

x x y x

y

y

(m) (m)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(c.2.2)

m m

C x y p C x y q

x y m mC x y

C x y p C x y q

(m1) (m1)1 1 1 1

(m4) (m2)1 1 1 1

(m2) (m2)1 1 1 1

, ,

, 　 ,

, ,

y y y

y yy

y y y

x

x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(

( )

m m

m m

D x y p D x y q

D x y m mD x y

D x y p D x y q

D

D x y m

(m1) (m1)1 1 1 1

(m4) (m2)1 1 1 1

(m2) (m2)1 1 1 1

(m1)

(m4)1 1

, ,

, 　 ,

, ,

, 　

y

x

x x x

x xx

x x

x

yx

y y

( ) ( )

( ) ( )

) ( )

( )+

( ) ( )

m m

m m

x y p D x y q

mD x y

D x y p D x y q

(m1)1 1 1 1

(m2)1 1

(m2) (m2)1 1 1 1 )

, ,

,

, ,

y y y

yy

y yx y

. ( 20 -1) eq p.

. ( 20 - 2.1) eq p.

. ( 20 - 2.2) eq p.

x

y

xm

ym

z複合平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

m 4 R1 [m 4] m 4 R2

[m 2] [m 4β]

z

( )R2

xm

x

y

hole

z

[ ]R1

x

y

hole

z

[ ]R1

xm

(m3)

xβ

ym

y

xhole hole

内部板

-fig . (p. 20) m 4 [All (m mode)] 適用計算式

( )R 2(m3)

xβ

(m3)

yβ

(m3)

yβ

21 （ plate-8 ）:

( ) ( )

(0 / 1)

( ) ( ) ( ) (c.1)

( ) ( ) ( )

:

ax yE h

ax yE h

P P x y

b a

x y C x y t C x y t

x y D x y t D x y t

u

u

1 1

1 1

1 1 1

(t 4) (t 4) (t 4)1 1 1 1 1 1

(t 4) (t 4) (t 4)1 1 1 1 1 1

[ t 4]

,

, , ,

, , ,

(c) 一般式 ≦ ≦ 複合平板対応の一般式(新規）

x x y

y x y

(t) (t)

(t) ( )

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(c.2.1)

t

C x y p C x y q

C x y t tC x y

C x y p C x y q

C

(t1) (t1)1 1 1 1

(t 4) (t2)1 1 1 1

(t2) (t2)1 1 1 1

(t 4

, ,

, 　 ,

- , ,

x

x x x

x x

y

y

x

x x y x

(t) (m)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(c.2.2)

t t

C x y p C x y q

x y t yC x y

C x y p C x y q

D

(t1) (t1)1 1 1 1

) (t2)1 1 1 1

(t2) (t2)1 1 1 1

, ,

, 　 ,

, ,

y y y

y

x y

x

y y

y y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )+

( ) ( )

(

( )

t t

m t

D x y p D x y q

x y t tD x y

D x y p D x y q

D x y

D x y t

(t1) (t1)1 1 1 1

(t4) (t2)1 1 1 1

(t2) (t2)1 1 1 1

(t1)1

(t4)1 1

, ,

, 　 ,

, ,

,

, 　

y

x

x x x

x xx

x x x

y y

x

y

( ) ( )

( ) ( )

) ( )

( )+

( ) ( )

t t

t t

p D x y q

tD x y

D x y p D x y q

(t1)1 1 1

(t2)1 1

(t2) (t2)1 1 1 1 )

,

,

, ,

y y y

yy

y yx y

. ( 21- 2.1) eq p.

. ( 21-1) eq p.

. ( 21- 2.2) eq p.

x

y

hole

t x

yt

複合平板

[ ]R1

[ ]( )

- + -

(R1+R2)

4 R1 [ 4] 4 R2

[ 2] [ 4β]

tt

t tt

( )R2x

y

hole

[ ]R1

x

y[ ]R1 y

xhole

内部板

fig . (p. 21) t 4 [All (t - mode) ] 　適用計算式

t x

yt

(t3)

yβ

( )R 2 hole(t3)

xβ

(t3)

yβ

(t3)

yβ

22 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(1.1.2)

m4

[ ] ; ( / ) 0 (x y m

p p p p

p p p p

m m b a G E

M

M m m m 4 m 4

m 4 m4 m4 m 4 m4 m4

2 2

４４

　境界発生内力計算式の使用法

（a）複合平板[ ]の境界発生内力 , , , の基本式

　　定義：　　，　

, 0≦ ≦1 ; ≦ h 　影響因子：

x y x y

x x x y y x x x y tm m m m

( ) mm m m m m( )

) / ( )

(1 ) / (3 )

(a) - (1)

1 2 1 2 2 1 ( ) (2[ ]

E

k

G b ap k k G k k

a b

3 31 1

m 1 1 1 2

M

m42m4(1)

(1)

h 　≦

; ,

　基本形

x

m

( ) mm m m m m m( )

( ) mm m m m m m( )

( ) m

1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )[ ]

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )[ ]

G

G a ap k k G k k G

b b

G b bq k k G k k G

a a

Gq

1

m42 1m4(1)

(1)

m42 1m4(1)

(1)

m4

(1)

y

x

y

m m m m m m( )

( )m m m m m m

1 2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )[ ]

1 2 1 2 ( ) (2 1 )

( ) m 4 m1,m2

a bk k G k k G

b a

b ak G k G k G

a b

2 1m4(1)

2m42 1

(1)

. (p.22 - 1)

ⅱ [ ]計算式と

e q

,m3

[m1] [m2] [m3]

1[m4] [m4] 0 [m4]

GG G

2

m

m m1

計算式との相互関係

　　　一様平板　　自由縁開孔板　　　固定縁開孔板

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　

( ) m

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

211

1 (4

1 0

0 0

0 0

1 0

kp

k

p p

p p

q q

q q

m3

1

m1 m2

m1 m2

m1 m2

m1 m2

　　　　　　　

x

x x

y y

x x

y y

m

( ) m

m

( ) m

m

( ) m

m

1 )

211

1 (4 1 )

211

1 (4 1 )

211

1 (4 1 )

a b

b

k a bp

k b

k a bq

k a

k a bq

k a

1

1

m3 1

1 1

m3 1

1 1

m3 1

1 1

. (p.22 - 2)

y

x

y

e q

23 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(1.1.2)

t 4

[ ] ; ( / ) 0x y t

p p p p

p p p p

t t b a G

T

T t t t 4 t 4

t 4 t4 t 4 t 4 t 4 t 4

４４

境界発生内力計算式の使用法

（a）複合平板[ ]の境界発生内力 , , , の基本式

　　定義：　　，　

, 0≦ ≦1 ; ≦ 　影響因子：

x y x y

x x x y y x x x y tt t t t

( ) t

( )

( ) / ( )

(const.)

(a) - (1)

( )

1 2 1 2 2[ ]

E E

k

G b ap k k G k

a b

2 2 1 1

t 1 2

T

t 4

t 4(1)(1)

t t t t

1

h h 　≦

; ,

　基本形

　ⅰ 計算式

x

( )m( )

( )m m m m m( )

1 ( ) (2 1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )[ ]

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )[ ]

k G

G a ap k k G k k G

b b

G b bq k k G k k G

a a

q

2 1

t 42 1t 4(1)

(1)

t 42 1t 4(1)

(1)

t t

tt t t t t

tt

y

x

y

( )m( )

( )

1 2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )[ ]

1 2 1 2 ( ) (2 1 )

G a bk k G k k G

b a

b ak G k G k G

a b

t 42 1t 4(1)

(1)

2t 42 1

(1)

tt t t t t t

t t t t t t

. (p.23 - 1) e q

( ) t 4 t 1, t 2 , t 3

[t 1] [t 2] [m3]

1[t 4] [t 4] 0 [t4]

GG G

2 1

t

t t

ⅱ [ ]計算式と計算式との相互関係

　　　一様平板　　自由縁開孔板　　　固定縁開孔板

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 0

0 0

0 0

1 0

p p

p p

q q

q q

t 1 t 2

t 1 t 2

t 1 t 2

t 1 t 2

　

　　　　　

x x

y y

x x

y y

( )

m

( 3)

( 3)

( )

211

1 (4 1 )

211

1 (4 1 )

211

1 (4 1 )

211

1 (4 1 )

k a bp

k b

k a bp

k b

k a bq

k a

k a bq

k a

t 3 1

1 1

t 1

1 1

t 1

1 1

t 3 1

1 1

t

t

t

t

t

t

t

　　　

x

y

x

y

. (p.23 - 2)

e q

24 （ plate-8 ）:

2m 1 1 m(m4)

2 2m 2 m 1 m m 2

-

( )

(4 1 ) (1 ) ( / ) ( ) [ ]

2 2 (2 1 ) ( / ) 2 ( / ) (1 ) ( / )

k b a G

k k b a k b a G b a

(2)

M(b) 基本形 (2)

ⅰ 計算式

m 1 m 1 m

m 2m 2 2 m

(m4)

(m4 )

m 1 m 1 m

m

m m 2(m4)

(m4 )

(m

(4 1 ) ( / ) 2 (1 / )

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

[ ]

(2 1 ) ( / ) 2

2 (2 1 ) ( / )

[ ]

k b a k b a GG

k b a k b ap

k b a k GG

k k b ap

q

(2)(2)

(2)(2)

2

x

y

x

m 1 m 1 m

m

m 2 m 24)

(m4 )

2m 1 m 1 m m

m

m m 2 2(m4)

(m4 )

(2 1 ) 2 ( / )( / )

2 ( / ) (2 1 )

[ ]

(4 1 ) ( / ) 2 ( / ) 2 ( / )

2 (2 1 ) ( / )

[ ]

k k b a Gb a G

k b a k

k b a k b a k b a GG

k k b aq

(2)(2)

(2)(2)

y

2

(m4) (m4)

m m m m

( )

( ) - - 2

( )

1 2 1 2 2 1 ( ) (

m

p p

b aG k k G k

a bp

(1) ( )

2

m4

(1)

. ( 24 - 1)

ⅱ 基本形 (1)と基本形 ( )の関係

　　例　式と　　式の関係について説明：x x

x

eq p.

m m

( )

m 1 m 1 m

m 2m 2 2 m

(m4)

(m4 )

2 1 )

[ ]

(4 1 ) ( / ) 2 (1 / )

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

[ ]

k G

k b a k b a GG

k b a k b ap

(2)

(2)

1 (m4)1

m4 (m4)(1) 1

(m4)2

(m4)2

(m2

Ａ（分子）

Ｂ（分母)

とおくと，

Ａ（分子）

Ｂ（分母）

Ａ

x

/ ) p. 116 119

/ )

b a

b a

4) (m4)1

(m4) (m4)2 1

. ( 24 - 2)（分子）Ａ（分子）（

[plate-7編] ～参照　　　　　　　　　Ｂ（分母）Ｂ（分母)（

eq p.

25 （ plate-8 ）:

21 1 m

(t4)

2 22 m 1 m 2

(t4)

- (2)

(4 1 ) (1 ) ( / ) ( ) [ ]

2 2 (2 1 ) ( / ) 2 ( / ) (1 ) ( / )

(4

t

k b a G

k k b a k b a G b a

kG

p

(2)

(2)

T

t

t t

t

(b) 基本形

x

1 1

22 2

(t 4)

1 1

2(t4)

(t 4)

(t4)

1 ) ( / ) 2 (1 / )

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

[ ]

(2 1 ) ( / ) 2

2 (2 1 ) ( / )

[ ]

(2 1( / )

t

t

t

t

b a k b a G

k b a k b a

k b a k GG

k k b ap

kb a G

q

(2)

(2)(2)

(2)

t

t t

t t

t 2 t

t

y

x

1 1

2 2

(t 4)

21 1

2 2(t4)

(t 4)

) 2 ( / )

2 ( / ) (2 1 )

[ ]

(4 1 ) ( / ) 2 ( / ) 2 ( / )

2 (2 1 ) ( / )

[ ]

t

t

t

k b a G

k b a k

k b a k b a k b a GG

k k b aq

(2)

(2)(2)

t

t t

t t t

t t

y

2

(t 4) (t 4)

m( )

( )

( ) - - 2

( )

1 2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )

[

p p

b aG k k G k k G

a bp

(1) ( )

2 1

t 4

t 4(1)

t t t t t t

. ( 25)

ⅱ 基本形 (1)と基本形 ( )の関係

　　例　式と　　式の関係について説明：x x

x

eq p.

1 1

22 2

(t 4)

( 4 )

]

(4 1 ) ( / ) 2 (1 / )

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

[ ]

k b a k b a GG

k b a k b ap

(2)

(t4)1

(t4)(1) 1

(t4)2

t (t4)(2)2

(t4) (t42 1

(t4)2

t t t

t

t t

Ａ（分子）

Ｂ（分母)

とおくと，

Ａ（分子）

Ｂ（分母）

Ａ（分子）Ａ

Ｂ（分母）

x

/ ) p. 116 119

/ )

b a

b a

)

(t4)1

. ( 24 - 2)（分子）（

[plate-7編] ～参照　　　　　　　　　Ｂ（分母)（

eq p.

26 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

(m4) (m4) (m4) (m4) (m4) (m4)

( ) mm m( )

(c)

, - / 0 : 0

;

1 2 1 2

mp p q q b a G

p m p m q m q m

G b ap k k

a

M

m4 m4 m4 m4

m4

m4

　基本形(1)式の適用例

, ,x y x y

x x x y y y x x y y

x

m m m m

( ) mm m m m m m( )

( ) mm m m m m m( )

( ) m

( )

2 1 ( ) (2 1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )

1

G k k Gb

G a ap k k G k k G

b b

G b bq k k G k k G

a a

Gq

2 1

m42 1m4

m42 1m4

m4

m4

y

x

y

m m m m m m

( )m m m m m m

( ) ( )

0 //

2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 1 2 ( ) (2 1 )

b a a b

a bk k G k k G

b a

b ak G k G k G

a b

p pG

2 1

2m42 1

m4 m4

. (p.26 - 1)

x x

e q

m m

m m

m m

m m

m m m m

m m m m

( ) ( )

/ 0

1 2 ( / ) 1 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 ( / ) 1 ( ) (2 1 )

2 ( / )

2 ( / )

2 ( / )

2 (

/ )

b

m

a

k b a k k Gk a b G

k a b G

k a b G

k a

k b a G k G

q q

b G

2 1

2

2 1

m

m4 m4

2

= G . (26 - 2)

y y

e q

m m m m m

m m m m

(

m

/ m

m m

m

)

m

/

m

1 1 2 ( / ) 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 ( / ) 1 ( ) (2 1 )

2 ( / )

2 ( / )

2 ( / )

(

)

2 /

m

a

a

b

b

k b a G k k G

k b a G k G

G k a b

k a b G

k a b G

k a b G

p

2 1

2

2 1

m4

= 1 . ( 26 - 3)

y

eq p.

m m m m m m m

m m m m

m m m m m

0 m m

m

m

2 1 1 2 ( / ) 1 2 ( / ) (2 1 )

1 1 2 ( / ) (2 1 )

2 1 2 ( / ) 2 ( / ) (2 1 ) ( )

2 ( /

2 (

)

/

)

m

G k k a b G k a b k G

k a b G k G

k k a b G k a b k

k b

G

k a b

G

G

a

2 1

2

2 1

2 1

2 1 . ( 26 - 4)eq p.

m m m

m m m

m m m m( )

m m m m

m

m

m

m

2 ( / ) 2 ( / )

2 1 (2 1 )

2 1 1 1 ( ) (2 1 )

1 1 2 ( / ) (2 1 )

2 1 (2

2 ( / )

mk G k G

G k k Gq

k a b G k G

G

k b a G k b a

k b a G

k k

2 1

2 1

b/

m4

2

2 1

2

a=0

x

m m

m m m m

1 ) 0

1 2 ( / ) (2 1 )

( )

G

k a b G k G

1

2

2 1

b/a=0

. ( 26 - 5)

note 26 [m 4] = [m 5]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

eq p.

p.

27 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

(t 4) (t 4) (t 4) (t 4) (t 4) (t 4)

( )

( )

(c) 1

, - / 0 : 0

;

x y

p p q q b a G

p t p t q t q t

Gp

T

t 4 t 4 t 4 t 4

t 4

t4

t

t

　基本形( )式の適用例

, ,x y x y

x x y y x x y y

x

( )

( )

( )m m( )

1 2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )

2 1 1 2 1 2 ( ) (2 1 )

b ak k G k G

a b

G a ap k k G k k G

b b

G b bq k k G k k G

a a

2 1

t 42 1t 4

t 42 1t 4

t t t t t t

tt t t t t t

tt t t t

y

x

( )

( )

( )

( )

1 2 1 2 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 1 2 ( ) (2 1 )

G a bq k k G k k G

b a

b ak G k G k G

a b

p

t 42 1t 4

2t 42 1

t 4

tt t t t t t

t t t t t t

. (27 - 1)

y

x

e q

m(

/ /

)

0

1 2 ( / ) 1 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 ( / ) 1 ( ) (2 1 )

2 ( / )

2 ( / )

2 ( / )

2 ( / )

a bb a

G k a b G

k a b G

k

k b a k k Gp

k b a G

a b

k

b G

G

G

k a

t

2 2t 4

2

2 1

2

t t t

t t

t

t t t

t t t

t

t

t

t= G . (27 - 2)

x

e q

m( ) ( )

/ 0 m/

2 ( / )

2 ( / )

2 ( / )

1 1 2 ( / ) 2 1 ( ) (2 1 )

1 2 ( / ) 1 ( ) (2 1 )

2

/ )

(

b a a b

k b a G k k Gq q

k b a

G k a b

k a bG kG

k a b G

k a b

G

G

t

2 1t 4 t 4

2

2 1

t t tt t

t t

t t

t

t

t t t

= 1

y y

( )

m

/ 0

2 1 1 2 ( / ) 1 2 ( / ) (2 1 )

1 1 2 ( / ) (2 1 )

2 1 2 ( / ) 2 ( / ) (2 1 )

2 (

2 ( / )

/

b a

G k k a b G k a b k Gp

k a b G k G

k k a b G k a b k G

k a

k b a G

2 1t 4

2

2 1

s 2 1

t t t t t t t

t tt t t t

t t t t t

. ( 27 - 3)

y

eq p.

( )

( ) )

2 1 1 1 ( ) (2 1 )

1 1 2 ( / ) (2 1 )

(2 1) (1

2 ( / ) 2 ( / )

2 (

/ )

k b a G k b a

k

Gb

G k k Gq

k ab a b GG k G

G k

2 1 s

2 1t

b/a=0

4

2

2 1

t tt t t t

t t t t

t t

t

t t

. ( 27 - 4)

x

eq p.

) ( ) 0

2 ( / )

( )

G G

k a b G

2 1

b/a=0

t t

t t

. ( 27 - 5)

note 27 [t 4] = [t 5]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

eq p.

p.

28 （ plate-8 ）:

2 21 1 1

(1.1.3)

( , ) ( , ) : ( ) ,

( ) ( , )

( 1) (2cos 2 1 ) (1 )( , )

2

a bU x y U x y x y

a b

x y

c c cU x y

M T

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

plate - 4_p. 34 , 35 ; 80 ~ 82 参照

変位関連の関数式の整理

　 , ,

（a）一般式 :

ⅰ 外部板に対する一般式：　座標点　

x x

x

c

4 2 21 1

2 21 1 1

4 2 21 1

( ) 2 cos 2

( 1) (2cos 2 1 ) (1 )( , )

2 ( ) 2 cos 2

( ) ( ) 1cos

2 2

( ) ( ) 1

2 2

c c

c c cU x y

c c

x a b a b

a a a

y a b a b

a a a

1 1

1

1

. ( 28 - 1)

y

eq p.

0 0

1

8

sin

( ) -1 ( , )

( , ) 0 8

( , ) 0

( ) ( , ) 1 0

( ) -2 , )

x y

U x y

U x y

x y

x y

0 0

0 0

0 0

2 2

. ( 2 - 2)

. ( 2 - 3)

. ( 28 - 1)

ⅱ 特殊条件　：境界上

　　　　　

境界線は定義により；　　右辺　

ⅲ 特殊条件　：内部板全域(

x

x

eq p.

eq p.

eq p.

( , ) 08

( , ) 0

( )

( , ) ( , )

U x y

U x y

U x y U x y

2 2

2 2

2 2 2 2

. ( 2 - 4)

　　　　　

本計算の初期条件（内板は一様平板，一様変位)により，

内部板には , の関数は不要．

　　　

　　

x

x

x y

eq p.

1 1(x , y )

1

変位一様

29 （ plate-8 ）:

( , )x y1 1

/ 0b a

0

/ 0

/ 0

( / 0) ( ) ( ) ; ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( )

( .1) 1 b

b a

b a

b a U x y U x y x y x y

U x y U x y x y

a b

a b

1 1 1 1 1 1 1 1

M T1 1 1 1 1 1

1

(b) 境界線に対する , , , , , , 計算式

　 , , , ,

　

外部板の任意座標点

x y

x y

c

ⅰ

ⅰ

2 2

4 2

( , )

( , )

/ 0 / 0

( ) ( )

( .2) ( 1) (1 cos 2 )

2 cos 2 1

1

2 ( .3)

x y

x y

b a b aU x y U x y

ax

1 1

1 1

1 1 1 1

1

. ( 29 - 1)

. ( 29 - 2)

　

　　　　　　　

, ,

x y

eq p.

eq p.ⅰ

ⅰ

( , )

( , ) ( , )

( , )

/ 0

/ 0

cos( )

1 sin( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

) 1

( .1) ( ) (

x y

x y x y

x y

b a

b a

ay

U x y U x y x y

x y

U x y U x y

1 1

1 1 1 1

1 1

1

M T0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 1

. ( 29 - 3)

, , , ,

（ ,

, ,

境界線上x y

x y

eq p.

ⅱ

ⅱ 2 2

4 2

1

/ 0

( 1) (1 cos 2 )) 0

2 cos 2 1b a

1

. ( 29 - 4) eq p.

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

m x

ym

ⓢ

1 1 1

E , ν , h ：内板

境界上

30 （ plate-8 ）:

)

/ 0

( ) ( ,0) -

cos 1 ( .1) (0, )

( ,0) 1( 0) ( .2) ( ,0) 0

( ,0) 1b a

x x

a x

xU x

a x

M T1 1

(0

x1

1

21

1 21

(b)

. ( 30 - 1),

　続き

外軸上 :

　

ⅲ 部板の

ⅲ≦ ≦

ⅲ

x

eq p.

/ 0

( .3) ( ,0) b a

x x ax

a

2 21 1

1

. ( 30 - 2)

+. ( 30 - 3)

　

ⅲ

eq p.

eq p.

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

m x

ym

ⓧ

1 1 1

E , ν , h ：内板

31 （ plate-8 ）:

)

( ) (0, ) -

sin 1 ( .1) ( / 2)

( ) 1( )( )

( )

( .2)

y y

b y

YaU Y

a b Y c

M T1 1

(0

y1

1

21

1 b / a = 0 21 1 b / a = 0

. ( 31 - 1),

外軸上 :

　　　　　　　　　　

ⅳ 部板の

ⅳ≦ ≦

ⅳ

y

eq p.

1 11 (0, ) (0 )

11 (0, ) 1

(0 )

) ( .3) (0 )

y y

y

y

y y ay

a

2 21 1

21

21

2 21 1

1

. ( 31 - 2)

+. ( 31 - 3)

　　　　,

,

, 　　　　　　　　　　　ⅳ

eq p.

eq p.

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

ⓨ0b

m x

ym

1 1 1

E , ν , h ：内板

32 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

m

1 ;

3

( ) [ 0 ]

m

E hp p p p k G

E h

p p p p

G

p

M T

3M m m m m 1 2 2

m 31 2 2

m m m m

(1.1.4) b / a = 0

b / a = 0

. ( 22 - 2)

:

参照

線分状境界( )用の計算式に整備

（a）( )用の , , , 計算式

, , , の一般式

　ⅰ

x y x y

x y x y

mx

eq p.

m

0 0 0 0

0 0 (m4) (m4)m / 1

0 0

( ) / 0

[ ] ]

m m m m

m m

G G G G

G Gmb a

p q q

b a

p G p G

b/a =0

. ( 32 - 1)

. (< < < <

≪

0 < <∞

ⅱ

　　　　　　　　　 [

m m my x y

x x

G

eq p.

eq p.

0 0 (m4) (m4)2 1 m / 1

m 2 0 (m4) / 1

m 1 mm

[ ] ( ) ]

(2 1 )/ [ ]

(2 1 )2

m m

m

G Gb a

Gb a

p G p

kb aq

k Gk

2b/a =0

32 - 2.1)

. ( 32 - 2.2)< < < <

≪

< <≪

[ y x

x

eq p.

0 (m4)

0 0 (m4) (m4) / 1

m m

] 0

/ [ ] 1 A [ ] 1

2

m

m m

G

G Gb a

p

b aq q

k G

b/a =0

b/a =0

. ( 32 - 2.3)

. ( 32 - 2.4)

< <

< < < <≪

[

x

y y

eq p.

eq p.

m

(m) (mm/ 1

m 1 1

A (1 ) ( ) (2 1 )

(/ 0

2 ( / ) [ ] [ ]

(4 1 )(1 )

[

m m

m m m

G Gb a

G G k G

G

b a

k a bp p

k

2 1 2 m 1

b/a=0

. ( 32 - 3.1)≪

ⅲ)

x x eq p.

(m) (m4) (m) (m4)1 1/ 1

(m) (m)m 1/ 1

m 1 1

] ( ) [ ] ( )[ ]

2 1 [ ] [ ]

4 1 )(1 )

m m

m m

G Gb a

G Gb a

p p p p

kq q

k

b/a=0

b/a =0

. ( 32 - 3.2)≪

≪

y x y x

x x

eq p.

1

(m) (m4) (m)1/ 1

1

( 1)

1

( 1) [ ] (1 ) [ ]

1m mG G

b aq q q

b/a =0

p. 70 - 1

p. 70 - 2

. ( 32 - 3.3)

. ( 32 - 3.4)≪

参照

参照

y x y

eq p.

eq p.

33 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0( ) (t)

1 ;

( ) [ 0 ]

t tG G

t

t

t

E hp p p p k G

E h

p p p p

G

p p

M T

T t t t t 2 2t

1 1

t t t t

(1.1.4) b / a = 0

b / a = 0 :

参照

線分状境界( )用の計算式に整備

（a）( )用の , , , 計算式

, , , の一般式

　ⅰ

x y x y

x y x y

x y

0 0 0( ) (t)

0 0 (t 4) (t 4) / 1

(t

0

( ) / 0

[ ] ]

[

t t

t

t t

G Gt

G Gb a t t

G

q q

b a

p G p G

p

b/a =0

. ( 33 - 1)

. ( 33 - 2.1)< < < <

≪

0 < <∞

ⅱ

　　　　　　　　　 [

x y

x x

y

eq p.

eq p.

0 0 4) (t 4)2 1 / 1

m 2 0 (t 4) (t 4) / 1

m 1

] ( ) ]

(2 1 )/ [ ] ]

(2 1 )2

t t

t

G Gmb a

Gb a

t

G p

kb aq p

k Gk

2

t

b/a =0 . ( 33 - 2.2)< < < <

≪

< <≪

[

[

x

x x

eq p.

0

0 00 (t 4) (t 4) / 1

0

/ [ ] 1 A [ ] 1

2

t

t t

G

G Gb a

b aq q

k

t

b/a =0

b/a =0

. ( 33 - 2.3)

. ( 33 - 2.4)

< <

< < < <≪

y y

eq p.

eq p.

(t) (t/ 1

1 1

(t)/ 1

A (1 ) ( ) (2 1 )

(/ 0

2 ( / ) [ ] [ ]

(4 1 )(1 )

[ ]

t t

t

G Gb a

Gb a

t t t

t

G G k G

G

b a

k a bp p

k

p

2 1 2 t 1

t

tb/a=0

. ( 33 - 3.1)≪

≪

ⅲ)

x x

y

eq p.

(t 4) (t) (t 4)1 1

(t) (t)1/ 1

1 1 1

( ) [ ] ( )[ ]

2 1 (1 ) [ ] [ ]

4 1 )(1 ) (1 )

(3 )

t

t t

G

G Gb a

p p p

kq q

k

t 1

t 1

b/a=0

b/a =0

. ( 33 - 3.2)

. ≪

x y x

x x

eq p.

eq

(t) (t 4) (t)1/ 1

1

(3 ) [ ] (1 ) [ ]

(1 )( )

3 t tG G

b aq q q

1

1b/a =0

71 - 1

71 - 2

( 33 - 3.3)

. ( 33 - 3.4)≪

参照

参照

y x y

p.

p.

p.

eq p.

34 （ plate-8 ）:

,

/ 0

/ 0

(m4) 0 2

(1.2.1) ( , ) , ( , )

(a)

1 ( ) ,

3

12 ( )

b a

b a

m m

x y x y

E hG G k

E h

x pa

aE h

i i

i

M T

M (m 5) (m 5)

M

3M 2 2 1

m

2 1 1

(m5)

31 1

[ 1 - 2 ]

境界周上 [ ] の傾斜

：　変位関連の計算式

ⓢ

ⅰ 一般式 : 0≦ ≦

ⓢ

x ym m

x y

xx

(m4) (m4)(m4)2

m m0

(m4) (m4)(m4) (m4)2 0 2

m m0

12 ( )

( ) m

q qqm m

G G

q py q pam m

a G GE h

G

i

(m5)

31 1

. ( 34 - 1.1)

. ( 34 - 1.2)

= 0 : [

ⓢ

ⅱ

y yxx y

b / a

y yx xy x y

b / a

eq p.

eq p.

00

0m

20m 0

m5 m2S

12 ( ) ( ) 1 (2 1)

12 ( ) ( ) 0 2 1 ( / )

mG

xam k m

aE h

yam k x a m

aE h

i i

i i

(m5) (m2S)

31 1

(m5) (m2S)

31 1

. ( 34 - 2.1)

] [ ]

ⓢ ⓢ

ⓢ ⓢ

b / a

x x x y

y y x y

eq p.

0

0m

( ) m5 m4

12 ( ) ( ) 1 (2 1)

mG

xam k m

aE hi i

mm 0 < G < 0 < G <

(m5) (m2S)

31 1

. ( 34 - 2.2)

. ( 34 - 3.1)

: [ ] [ ]

0

ⅲ < <

ⓢ ⓢ

b / a

x x x y

eq p.

eq p.

20m 0

/ 0

0

12 ( ) ( ) 0 2 1 ( / )

( ) m5 m3S

12 ( ) ( ) 0 0

mGm b a

yam k x a m

aE h

G

xam m

aE h

i i

i i

(m5) (m2S)

31 1

(m5) (m2S)

31 1

. ( 34 - 3.2)

: [ ] [ ]

ⓢ ⓢ

ⅳ =

ⓢ ⓢ

y y x y

x x x y

eq p.

0

12 ( ) ( ) 0 0

yam m

aE hi i

(m5) (m2S)

31 1

. ( 34 - 4.1)

. ( 34 - 4.2)

ⓢ ⓢy y x y

eq p.

eq p.

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

m x

ym

ⓢ

1 1 1

E , ν , h ：内板

35 （ plate-8 ）:

,

/ 0

/ 0

(t 4) (t 0 2

(1.2.1) ( , ) , ( , )

(a)

( ) , 1

( )

b a

b a

m t

x y x y

E hG G k

E h

x p qa

E h a

i i

u

M T

M (m 5) (m 5)

T

M 2 2t

2 1

(t 5)

1 1

[ 1 - 2 ]

境界周上 [ ] の傾斜

：　変位関連の計算式

ⓢ

ⅰ 一般式 : 0≦ ≦

ⓢ

x ym m

x y

x xx

(t 4) (t 4)4)2

t t0

(t 4) (t 4)(t 4) (t 4)2 0 2

t t0

( )

( ) mt

q qt t

G G

q py q pat t

E h a G G

G

u

(t 5)

1 1

. ( 35 - 1.1)

. ( 35 - 1.2)

= 0 : [

ⓢ

ⅱ

y y

x y

b / a

y yx xy x y

b / a

eq p.

eq p.

00

0t

20t 0

5 m2S

( ) ( ) 1 (2 1)

( ) ( ) 0 2 1 ( / )

tG

xat k t

E h a

yat k x a t

E h a

u u

u u

(t 5) (t2S)

1 1

(t 5) (t2S)

1 1

. ( 35 - 2.1)

] [ ]

ⓢ ⓢ

ⓢ ⓢ

b / a

x x x y

y y x y

eq p.

0

0

( ) t 5 t 4

( ) ( ) 1 (2 1)

tt GGG

xat k t

E h au u

0 < < 0 < <

(t 5) (t2S)t

1 1

t

. ( 35 - 2.2)

. ( 35 - 3.1)

: [ ] [ ]

0

ⅲ < <

ⓢ ⓢ

b / a

x x x y

eq p.

eq p.

200

/ 0

0

( ) ( ) 0 2 1 ( / )

( ) t 5 m3S

( ) ( ) 0 0

tGb at

yat k x a t

E h a

G

xat t

E h a

u u

u u

(t 5) (t2S)t

1 1

(t 5) (t2S)

1 1

. ( 35 - 3.2)

: [ ] [ ]

ⓢ ⓢ

ⅳ =

ⓢ ⓢ

y y x y

x x x y

eq p.

0

( ) ( ) 0 0 ya

t tE h a

u u (t 5) (t2S)

1 1

. ( 35 - 4.1)

. ( 35 - 4.2)

ⓢ ⓢy y x y

eq p.

eq p.

yt

xt

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

t x

yt

ⓢ

1 1 1

E , ν , h ：内板

36 （ plate-8 ）:

( 5)

m( 5)

m

( 5) 211 m m 1 1

( ,0) - ( ) 1b : ,

3( ,0) - ( )

( ) [ 0]

12( ,0) (2 1) (2 1 ) 1 ( / )

m

m

mx y

x x i E hG k

E hy y i

G

xai x m k k a x m

aE h

31 1 1 1M 2 2 1

m311 11 1 1 1

1 31 1

1

軸上

軸上（）

ⓧ : ⓧ

ⓨ : ⓨ

ⅰ

ⓧ :

ⓨ

x

y

x

21 m m 1( 5) 1

1 12

m 1 1

m

( 5) 11 1

(2 1) 2 1 ( / )12

(0, )

(2 1)(1 ) 1 ( / )

( ) [0 ]

12( ,0)

mx y

m

k k a yyai y m m

aE h k a y

G

xai x m

aE h

31 1

1 31 1

. ( 36 - 1)

ⅱ

:

ⓧ :

y

x x

eq p.

( 5) 11 1

m

( 5) 11

12

(0, )

( ) [ ]

12 : ( ,0) 1 (

m

m

m

yai y m m

aE h

G

xai x a

aE h

1 31 1

1 31 1

. ( 36 - 1)

ⅲ

ⓨ :

ⓧ

y

y x y

x

eq p.

21 1

1

( 5) 11 m 1

121m 1

1

1 ( / )

/ ) ( )

( ) 12

: (0, ) (2 1)(1 ) 1 ( )

(4 1 )

m

a y

x m m

m mya

i y ka m mE h

k

1 31 1

. ( 36 - 3)

ⓨ

x y

x y

y

x y

eq p.

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

ⓨ0b

m x

ym

ⓧ

1 1 1

E , ν , h ：内板

37 （ plate-8 ）:

( 5)

( 5)

( 5) 211 1 1

( 5)

( ,0) - ( ) b : ,

( ,0) - ( )

( ) [ 0]

( ,0) (2 1) (2 1 ) 1 ( / )

(0,

t

t

tx y

t

t

x x u E hG k

E hy y u

G

xau x t k k a x t

E h a

u

1 1 1 1T 2 2t

1 11 1 1 1

t t

1 1

t

軸上

軸上（）

ⓧ : ⓧ

ⓨ : ⓨ

ⅰ

ⓧ :

ⓨ :

x

y

x

y

21 11

1 12

1 1

( 5) 11 1

(

(2 1) 2 1 ( / )

)

(2 1)(1 ) 1 ( / )

( ) [0 ]

( ,0)

x y

t

t

k k a yyay t t

E h a k a y

G

xau x t t

E h a

u

t t

1 1t

1 1

. ( 37 - 1)

ⅱ

ⓧ :

ⓨ :

x x y

y

eq p.

5) 11 1

( 5) 211 1 1

12

(0, )

( ) [ ]

: ( ,0) 1 ( / ) ( )

:

t

t

t

yay t t

E h a

G

xau x a x t t

E h a

u

1 1

1

1 1

1

. ( 37 - 1)

ⅲ

ⓧ

ⓨ

x y

x x y

y

eq p.

1

( 5) 11 1

1211

1

1 ( / )

( )

(0, ) (2 1)(1 ) 1 ( )

(4 1 )

t

a y

t tya

y kE h a t t

k

t1 1

t

. ( 37 - 3) x y

x y

eq p.

yt

xt

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

t x

yt

ⓧ

1 1 1

E , ν , h ：内板

ⓨ

38 （ plate-8 ）:

(a)

( )

(

(m 4) (m 5)

y y

(m4)

y

( m t )

1 2(b/a=0)

(b/a=0)

q q

p.39 q

[1 - 3]

(1.3.1)

　関連の数値計算図

では，

等を引用し

　て考察を行う．

　値 )

　：

の

線分状(b / a = 0)境界に特有の変形現象を考察するために，既出の

等の影響について：

数値計算例

のに及ぼす

全般

ⅰ 内容

②,①

, ν

3 - / ) -

-

0.3 - / )

0 -

( )

m

m

m

b a G

G

b a

G

(m4)

y

(m4)y 1 2

(t 4)1 2y

(b/a=0

p.40,41

p.42 49

q

q

q

では，

　～では，

の点を，横軸 ( 図と横軸 ( )図とを比較した．

横軸 ( )図において試用した特殊目盛について説明した．

横軸 (の数値計算の主要図を例示した．

横軸 ( )

　　考察：　

,③

ⅱ

m4 - ( 0.3) 3

m4 - ( 0)

t 4 - ( 0.3) 0.94

t 4 - ( 0.3)

1 2

1 2

1 2

1 2

)p. 24,(44 45),(48 49

note(p.70 - 2)

note(p.71 - 2)

のの3点の位置と数値に特徴：：）

　

値≒ 1.4 　　　

値 = 1　　　　　　　　値 :

値≒

値 = 1

他

他

式参照

式参照

②,①,③

③

③③

③

③

(

(

0.3m4 1 -

t 4 0 0

( ) , , ,

( )

1 2

1 2

(m4 & t 4)

(b/a = 0) note 38 - 1 p p q q

note 38 - 2

同一)

同一)

①値 ①値　　　　　　　　 :

値値

それぞれに特有の

互いに異なる変化値を示す．

② ②

の4関数はx y x yp.

p.

, , ,

1 21 2 1

1 2 2

p p q q （）

　　　　　　　（　）

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

の値は一般に, に対する値と

に対する値の中間値で示される．

x y x y

39 （ plate-8 ）:

(m4) b / afig. (p. 39 -1) fig. (p. 13 -1) y vsq

m(m4)

G fig. (p. 39 - 2) ；y vsq 上図の関連計算図(未出）

3

-- )

(m4)

y

m

(b/a=0)p.39 q

fig. (p. 39 ) fig. (p. 39 )

Gb / a

- 1 - 2

では，のの点を，

横軸図横軸 ( 図　　ととを用いて比較する．

②,①,③

40 （ plate-8 ）:

t t

-

(0 )

plate-2

(0 )

m

m

m m m

G

G G

E hG G G

E h

E hG G G

E h

32 2

31 1

2 2

1 1

p. 40 , 41

plate - 7 _ p. 76

他

では，横軸 ( )図において試用した特殊目盛について説明した．

目盛の説明 :

のグラフ軸目盛

編

のグラフ軸目盛

t

t

参照

抜粋

≦ ≦

≦ ≦

( )

m combined scaleG

+ の組合せ目盛① ②

0 1 20.5

-m scaleG

①

00.51

m - scale1/ G

②

0 1

0.5

G (com-scale)

ba

0.5 2

1

; r(4) (4) (4) (4) (4)

x y x yp p q q, , ,

xy

( 1) 1 2

(scale) G(com-scale)

(0 1) 0 1 (1 2) 1

G - 2 1/

G

1 2

上図のように，横軸に等間隔目盛(0～～ )をつけて，それを次のように 2 区分する．

～Ｇ　　；　　～Ｇ

値の等間隔目盛　　（Ｇ）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ⅲ

① ≦ ≦ ② ≦ ≦

1

com-scale com-scale

2 1/ 2 1/

( 2) 1

10 1 : G ; 1 : G 2 . 40

( 3 0

G

G G GG

1 2

. ( p - 1)

＝＝　　　　　　　　　　Ｇ　　Ｇ

ＧとＧに分離して表す場合:

　　　

Ｇの全区間を同一式で表す場合:

ⅲ ≦ ≦

≦ ≦ ≦ ≦

ⅲ ≦ ≦

eq

com-scale

1+ 1 12

2 2

1 1 . 40

(1 ) 0 1

1 1

G GG

G

G

SIGN G G

G

. ( p - 2)

SIGN(1- ) SIGN(1- )＝

　　

　

≪

≪

eq

- plate - 2 50]軸の目盛　編_ 参照　G p. 他 [

41 （ plate-8 ）:

plate - 7 _ fig. (p. 77)

fig. (p. 41)

( )

組み合わせ座標によるグラフ表示例

の場合nu G G

1 1 1

( 0 , 0) : ( 0 , )

( 0 , 0) : ( 0 ,

G

の軸に対して，Ｇ問題と　　Ｇ問題の反対称性

m m

t t

b / a G b / a G

b / a G b / a G

≪ ≪

1

42 （ plate-8 ）:

1 2

- [ 0.3 ]

(m4)fig. (p.

fig. (p. fig. (p.

42 - 1) (1 )

44 - 2) 44 - 3)

に続く，

yq

[ ]1R

my

( )2R

-mode m4

my

a

y

b

x

m(m3)y yq[ ]1R

( )2R

[ ]1R

my

my

z

z

(1 )

0.3 - / )

0 - m

b a

G

(m4)y 1 2

(t 4)1 2y

p.42 49 q

q～では，

横軸 (の数値計算の主要図を例示した．

横軸 ( )

( ) - 1 2

(m 4)y 0.q (1 )3 3D

43 （ plate-8 ）:

[ ]1R

t y

( )2R

-mode t3

t y

a

y

b

x

t(t3)y yq

[ ]1R

( )2R

[ ]1R

t y

t y

z

1 2

- [ 0.3 ]

(t 4)fig. (p.

fig. (p. fig. (p.

45 - 1) (1 )

45 - 2) 44 - 3)

に続く，

yq

( - 1 2

(t 4)y 0q (1 ).3 3D

44 （ plate-8 ）:

0

1

2

3

4q y . m ( 2.1 )

ν1 = ν2 = 0.3

b / a = 1

b / a = 0.5

b / a = 0.05

b / a = 0.01

b / a = 0

( ) - 1 2

(m 4)y 0.q (2 ) 3 b / a

( )

m4yq

m

0 0.5 1 2

G組み合わせ目盛

( ) - 1 2 m

(m 4)y 0.3q (3 ) G

( ) vs - [ ]

- (1) ( ) vs

1 2

t

(m4)

(m4)

fig. (p. 42) fig. (p. 44)

2 = = 0.3

3

．

．

y

y

b / aν ν

G

q

q

( )

m4yq

45 （ plate-8 ）:

0

0.5

1

1.5

2

q y . t ( 2.1 )

ν1 = ν2 = 0.3

b / a = 1

b / a = 0.5

b / a = 0.1

b / a = 0

b / a = 0.01

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

→ b / a

q y . t ( 3)

ν 1 = ν 2 = 0.3

G t = ∞ G t = 5 G t = 1

G t = 0.1 G t = 0.01 G t = 0

( ) vs - [ ]

- (1) ( ) vs

1 2

t

(t4)

(t4)

fig. (p. 43) fig. (p. 45)

2 = = 0.3

3

．

．

y

y

b / aν ν

G

q

q

( )

t 4yq

m

0 0.5 1 2


( )

t3yq

( - 1 2

(t 4 y

)tq (.3 G0 )

( - 1 2

4)y(t

0.q ( 2 ) 3 b / a

46 （ plate-8 ）:

[ ]1R

my

( )2R

-mode m3

my

a

y

b

x

m(m3)y yq[ ]1R

( )2R

[ ]1R

my

my

z

z

1 2 - [ 0 ]

(m4)fig. (p.

fig. (p. fig. (p.

46 - 1) (1 )

48 - 2) 48 - 3)

に続く，

yq

( - 1 2

(ym 4)

q (0 1 ) 3D

47 （ plate-8 ）:

[ ]1R

t y

( )2R

-mode t3

t y

a

y

b

x

t(t3)y yq

[ ]1R

( )2R

[ ]1R

t y

t y

z

1 2

- [ 0 ]

(t 4)fig. (p.

fig. (p. fig. (p.

47 - 1) (1 )

49 - 2) 49 - 3)

に続く，

yq

( - 1 2

y(t 4)

q (0 1 ) 3D

48 （ plate-8 ）:

-1

0

1

2

3

4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

→ b / a

q y . m ( 3 )

ν 1 = ν 2 = 0

G m = ∞

G m = 5

G m = 2

G m = 1

G m = 0.5

G m = 0.01

G m = 0

0

1

2

3

4q y . m ( 2 )

ν1 = ν2 = 0

b / a = 1

b / a = 0.5

b / a = 0.05

b / a = 0.01

b / a = 0

m

0 0.5 1 2


( )

m4yq

( )

m4yq

( ) - 1 2

(m 4)y 0q (2 ) b / a

( ) - 1 2 m

(m 4)y 0q (3 ) G

( ) vs - [ ]

- (1) ( ) vs

1 2

t

(m4)

(m4)

fig. (p. 46) fig. (p. 48)

2 = = 0

3

．

．

y

y

b / aν ν

G

q

q

49 （ plate-8 ）:

-1

0

1

2

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

→ b / a

q y . t ( 3 )

ν 1 = ν 2 = 0

G t = ∞

G t = 5

G t = 2

G t = 1

G t = 0.5

G t = 0.1

G t = 0.01

G t = 0

0

1

2q y . t ( 2 )

ν1 = ν2 = 0

b / a = 1

b / a = 0.5

b / a = 0.1

b / a = 0

b / a = 0.01

t

0 0.5 1 2


( )

t3yq

( )

t3yq

( - 1 2

( )y

t 4 0q ) ( 2 ) b / a

( - 1 2

y

tt

( 4)q ( 3 ) G 0

( ) vs - [ ]

- (1) ( ) vs

1 2

t

(t4)

(t4)

fig. (p. 47) fig. (p. 49)

2 = = 0

3

．

．

y

y

b / aν ν

G

q

q

50 （ plate-8 ）:

y

( )w 0x,

2 2 2E , ,h xm

x

1 1 1E , ,h

axm

b

0.5b / a = ym

ym

z

( 4) ( 4) ( 4)

( )

12 ( .1) ( ,0) ( ,0) ( ,0)m m m

x x x y y

ai x C x m C x m

E h

m

( m t )

M1

(G )

1 1 13(b/a)1 1

(1.3.2) (b / a = 0)

- plate - 4 p. 72 ~ 77

（変位編

全般の説明：　

計算式 :

線分状境界線の両端部に発生する変位分布の特性

（a）軸上(x ,0)の分布 : _ より抜粋・整理

ⅰ

ⅰ

x

( .2)

/ ( , ) - fig. - o

/ 1 0 fig. p. 60

/ 0.5 0 fig. p. 62)

/ 0 0

m

m

m

m

m

E hG

E h

b a G C C

b a G

b a G

b a G

m(G )

(b/a)

32 2

31 1

(

(

与えた条件と得られた数値計算結果 :

（ｐＮ）考　　察

　下記　①

　下記　①

ⅰ

≦ ≦

≦ ≦

x y

1 fig. p. 64)

( .3)

/ 0 ( 0 / 1) : p. 52 : 53, p. 54 : 55

( , ) 0

1-

m m

m m

m

b a b a

G C C G G

G G

(

<

& &

　

　下記　

　考察

全てのの値に対する　曲線が示されるが，値減少につれて，　＜＜に

　　対応する曲線は順次　＝曲線の方向に収斂していく．

②

ⅰ

① ≦

x y

0 - -

/ 0 : p. 56 : 57

0 - - - 3

m

m m m

m

G

b a

G G G

G

2 2

曲線と曲線は不動．

　　

曲線と曲線,及び曲線の　曲線で示される.

　　　　

Ｅｈ　　　

②

1 1

1 -

3

1 23　＆（）一様連続平板

Ｅｈ

　　　　　

fig. (p. 36)

51 （ plate-8 ）:

( 4) ( 4) ( 4)

( )

( .1) ( ,0) ( ,0) ( ,0)

( .2

t t tx x x y y

au x C x t C x t

E h

t t

( m t )

T

(G ) (G )

1 1 1(b/a) (b/a)

1 1

(1.3.2) (b / a = 0)

b - plate - 4 p. 72 ~ 77

（）編

全般の説明：　

計算式 :


軸上の分布 _ より抜粋・整理

ⅰ

ⅰ

ⅰ

x

1 1

)

/ ( , ) - fig. - o

/ 1 0 fig. p. 61)

/ 0.5 0 fig. p. 63)

/ 0 0 1 fig.

tG

b a G C C

b a G

b a G

b a G

2 2

t

t

t

t ,

(

(

,

Ｅｈ与えた条件と得られた数値計算結果 :

Ｅｈ

（ｐＮ）　考察

　下記　①

　下記　①

≦ ≦

≦ ≦

x y

p. 65)

( .3)

/ 0 ( 0 / 1) : p. 52 : 53, p. 54 : 55

( , ) 0

1- 0 - -

t t

t t t

b a b a

G C C G G

G G G

t

<

( 　下記　

　考察

全てのの値に対する　曲線が示されるが，減少につれて，　＜＜に対応

する曲線は順次　＝曲線の方向に収斂していく．曲線と曲線は

②

ⅰ

① ≦

x y

1 1

/ 0 : p. 56 : 57

0 - - - 3t t t

t

b a

G G G

G

2 21 2

不動．

　　

曲線と曲線,及び曲線の　曲線で示される，

　　　　

Ｅｈ　　　　＆（）一様

Ｅｈ

②

連続平板

x0(x, )u

t x

E , h1 1 1

,

hE ,2 2 2

,a

t x

yt

yt

b

x

b / a 0.5

0(x, )

y

fig. (p. 37)

52 （ plate-8 ）:

( )f ig . 52-1

( )f ig . 52- 2

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

( 4) ( 4) ( 4)

(b) / 1

12( ,0) ( ,0) ( ,0)m m m

x x x y y

b a

ai x C x m C x m

E h

m m(G ) (G )

1(b/a=1) (b/a=1)

1 131 1

y( )w 0x,

2 2 2E , ,h

w

xm

1 1 1E , ,h

axm x

ym

ym

b / a 1

53 （ plate-8 ）:

( )f ig . 53-1

( )f ig . 53- 2

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

( 4) ( 4) ( 4)12( ,0) ( ,0) ( ,0)m m m

x x x y y

ai x C x m C x m

E h

m m

M

(G ) (G )

1 1 131 1

(b/a=0.5) (b/a=0.5)

(c) b / a = 0.5

( , )x

u x 0

t x

,E h1 1 1

,

E , h,2 2 2

ayt

t x

yt

54 （ plate-8 ）:

( )f ig . 55- 2

( )f ig . 54-1

( 4) ( 4) ( 4)( ,0) ( ,0) ( ,0)mt t tx x x y y

au x C x t C x t

E h

t t(G ) (G )

1 1 1(b/a=0.5) (b/a=0.5)

1 1

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

y( )w 0x,

2 2 2E , ,h

w

xmx

1 1 1E , ,h

axm

b

b /a 0.5 ym

ym

55 （ plate-8 ）:

( )f ig . 55-1

( 4) ( 4) ( 4)( ,0) ( ,0) ( ,0)t t tx x x y y

au x C x t C x t

E h

t t(G ) (G )

1 1 1(b/a=1) (b/a=1)

1 1

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

x0u (x, )

t x

E , h1 1 1

,

hE ,2 2 2

,a

t x

yt

yt

b

x

b / a 0.5

56 （ plate-8 ）:

( 4) ( 4) ( 4)12( ,0) ( ,0) ( ,0)m m m

x x x y y

ai x C x m C x m

E h

m m(G ) (G )

1(b/a=0) (b/a=0)

1 131 1

(d) d / a = 0

( )f ig . 56-1

( )f ig . 56- 2

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

y

0( )0,w x

2 2 2, ,E h

w

ym

0b

0x

ym

xm

xm

1 1 1, ,E h

x

57 （ plate-8 ）:

x

1

p a

ExC

1 1E ,

2 2E ,

xpxp0x aa

( 4) ( 4) ( 4)( ,0) ( ,0) ( ,0)t t tx x x y y

au x C x t C x t

E h

t t(G ) (G )

1 1 1(b/a=0) (b/a=0)

1 1

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

58 （ plate-8 ）:

( 4) ( 4) ( 4)

( )

12 ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( )

m m mx x x y y

ai x y C x y m C x y m

E h

m m

( m t )

(G ) (G )

0 0 0 0 0 03(b/a) (b/a)1 1

(1.3.3) (b / a = 0)

plate - 4 p. 64 ~ 71

編

計算式 :

与えた条件と得られた


a 全般の説明 : _ より抜粋・整理

ⅰ

ⅱ1 1

/ ( , ) - fig. - o

/ 1 0 fig. p. 60)

/ 0.5 0 fig. p. 62)

/ 0 0 1 fig. p. 64)

m

m

m

m

m

G

b a G C C

b a G

b a G

b a G

32 2

3

(

(

( & &

Ｅｈ数値計算結果 :

Ｅｈ

（ｐＮ）考　　察

　下記　①

　下記　①

≦ ≦

≦ ≦

x y

( .3)

/ 0 ( 0 / 1) : p. 60 : 61 , p. 62 : 63

( , ) 0

1- 0 - -

/

m

m m m

m

b a b a

G C C G G

G G G

b

m

<

　

　下記　

　考察

全てのの値に対する　曲線が示されるが，値減少につれて，　＜＜に

　　対応する曲線は順次　＝曲線の方向に収斂していく．曲線と曲線

は不動．

　　

②

ⅰ

① ≦

②

x y

1 1

0 : p. 64 : 65

0 - - - 3

m m m

m

a

G G G

G

3

2 21 23


　　　　

Ｅｈ　　　＆（）

Ｅｈ

一様連続平板

　　　　　ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

0b

m x

ym

ⓧ

1 1 1

E , ν , h ：内板

fig. (p. 58)

fig. (p. 36)

59 （ plate-8 ）:

( 4) ( 4) ( 4)

( )

( ) ( ,0) ( ,0) ( ,0)t t tx x x y

au x C x t C x t

E h

t

( m t )

( m t )

(G )

1 1 1(b/a)

1 1

(1.3.3) (b / a = 0)

plate - 4 p. 64 ~ 71

編

計算式 :


_ より抜粋・整理

a 全般の説明

ⅰ

1 1

( )

/ ( , ) - fig. - o

/ 1 0 fig. p. 61)

/ 0.5 0 fig. p. 63)

/ 0 0

y

tG

b a G C C

b a G

b a G

b a G

t(G )

(b/a)

2 2

t

t

t

t ,

(

(

Ｅｈ与えた条件と得られた数値計算結果 :

Ｅｈ

（ｐＮ）　考察

　下記　①

　下記　①

ⅱ

≦ ≦

≦ ≦

x y

1 fig. p. 65)

( )

/ 0 ( 0 / 1) : p. 60 : 61 , p. 62 : 63

( , ) 0

1- 0 -

t t

t t

b a b a

G C C G G

G G

t

<

, ( 　下記　

　考察

全てのの値に対する　曲線が示されるが，減少につれて，　＜＜に対応

する曲線は順次　＝曲線の方向に収斂していく．曲線と

②

ⅲ

① ≦

x y

1 1

-

/ 0 : p. 64 : 65

0 - - - 3

t

t t t

t

G

b a

G G G

G

2 21 2

曲線は不動．

　　


　　　　

Ｅｈ　　　　＆（）一様連続平板

Ｅｈ

②

ym

xm

1 1 1

E , ν , h ：外板

a

ⓨ0b

m x

ym

ⓧ

1 1 1

E , ν , h ：内板

fig. (p. 59)

60 （ plate-8 ）:

b / a = 1

( x 0 , y 0 )

D y : x 0 / a

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D y

↑G m = 0

G m = 0.1

G m = 0.5

G m = 1

G m = 2

G m = 10

G m = ∞

b / a = 1

( x 0 , y 0 )

D x : x 0 / a

-0.5

0

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

→　x 0 / a

D x

↑

G m = 0

G m = 0.1

G m = 0.5

G m = 1

G m = 2

G m = 50

G m = ∞

0 0 0 031 1

12

(b) / 1

( , ) ( , ) ( , ) x ya

E h

b a

x y D x y m D x y mi

(m)

(m4) (m4) (m4)y 0 0 x y

32 2

31 1

; 0.3m

E hG

E h 1 2

( )f i g . 60-1

( )f i g . 60- 2

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

ym

xmxm

ym

x

y

z

b / a = 1

ab

61 （ plate-8 ）:

b / a = 1

( x 0 , y 0 )

D x : x / a

-2

-1

0

1

-1 -0.5 0 0.5 1

→　　x 0 / a

D x

↑

G p = ∞

G p = 2

G p = 1

G p = 0.5

G p = 0

b / a = 1

( x 0 , y 0 )

D y : p y

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D y

↑G p = 0

G p = 0.5

G p = 1

G p = 2

G p = ∞

( 4) ( 4)0 0 0 0 0 0

1

(b) / 1

( , ) ( , ) ( , )t ty x y

b a

au x y D x y D x y

hE

(t)

y

1

t tx

2

1

; 0.3p

E hG

E h 2

1 2

1

[3 - 2]

( )f i g . 61-1

( )f i g . 61- 2

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

yt

xt

xt

yt

x

yb

a

0.5b / a

( ) p tnote 61 G ( G　旧記号）（改訂後の記号）

　2017年05月に記号の一部を改訂．

p.

62 （ plate-8 ）:

0 0 31 1

(b)

12( , )

/ 0.5

x y

ai x y D m D m

E h

b a

(m)

(m4) (m4) (m4)x yy

32 2

31 1

; 0.3m

E hG

E h 1 2

b / a = 0.5 , ( x 0 , y 0 ) , D x : x 0 / a

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D x

↑ G m = 0

G m = 0.1

G m = 0.5

G m = 1

G m = 2

G m = 20

G m = ∞

b / a = 0.5 : D y ( x 0 , y 0 ) : x 0 / a

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D y

↑ G m = 0

G m = 0.5

G m = 1

G m = 2

G m = ∞

( )f i g . 62-1

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

ym

xmxm

ym

x

y

z

b / a = 0.5

ab

( )f i g . 62- 2

63 （ plate-8 ）:

b / a = 0.5

( x 0 , y 0 )

D x : x 0 / a

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D x

↑ G p = ∞

G p = 2

G p = 1

G p = 0.5

G p = 0

b / a = 0.5

( x 0 , y 0 )

D y : x 0 / a

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D y

↑ G p = 0

G p = 0.5

G p = 1

G p = 2

G p = ∞

2

1

; 0.3p

E hG

E h 2

1 2

1

0 0 0 0 0 0

b) b / a 0.5

( , ) ( , ) ( , )y

aE h

u x y D x y D x y

(t)

(t4)x y

1 1

(t4)yt tx

[3 - 2]

( )f i g . 63-1

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

yt

xt

xt

yt

x

y

ba

0.5b / a



　

p.

( )f i g . 63- 2

64 （ plate-8 ）:

b / a = 0

D y : x 0 / a

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

→ x 0 / a

D y

↑ G m = 0

G m ≠ 0

31 1

0 0 / 0 / 0

/ 0

12

(b) / 0

0

( , ) x yb a b a

b a

a

E hD m D m

b a

D

x yi

(m4) (m4)

x y

(m)

(m4)x

(m 4)y

( )f i g . p. 64

32 2

31 1

; 0.3m

E hG

E h 1 2

w

( ),x y

xi

x

yyi

z w,

xm

ym

ym

xmxm

ym

x

y

z

b / a = 0

ab

65 （ plate-8 ）:

b / a = 0

D y : x 0 / a

-2

0

2

4

-1 -0.5 0 0.5 1

→　x 0 / a

D y

↑ G p = 0

G p ≠ 0

10 0 / 0 / 0

/ 0

(b) / 0

0

( , )

b a b a

b a

aE h

D D

b a

D

x yu

(t 4) (t 4)

x y y

(t)

1

(t 4)x

(t 4)t t

xy

2

1

; 0.3p

E hG

E h 2

1 2

1

( ),x y

xu x

y

yu

xt

yt

yt

xt

xt

yt

x

y

b a

0b / a

( )f i g . p. 65



p.

66 （ plate-8 ）:

1 )

(2) 1

p

m t

(b/a 0)

note ( .66

(plate - )

　　）

（）本編８で対象とする計算式は，すべて（共通表示式である．

　　

　第章では　，主として,　

本編では，全体を通して，　（ｍ）式を偶数頁に，　（ｔ）式を奇数頁に並べて示した，

(m) (t)y yq q

p p

p p

q q

(b/a 0)

(m)

(b/a 0) (b/a 0)

(m) (t)y y

(b/a 0) (b/a 0)

(m) (t)

(b/a 0) (b/a 0)

(b/a 0) (b/a 0)

4ｘｘ

ｘｘ

のみを例にして考察した．

　

　　　

種類の関数は，それぞれ内容が

異

(t)

(m) (t)y yq q

実際には，の

(b / a 0)．　なる関数でありに

おける変化はそれぞれ異なる．

（第1章の計算例を参照）

p. 68 75

2 p. 7

( m t ) x y x y

(b/a 0)

( m t )

( m t )

1.4.1 b / a 0) p ,p ,q ,q

1.4. b / a 0)

[1 - 4]

(

（

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～

（（　　

　解説

（）線分状境界に発生する境界内力関連の

計算式の分析と対策(例)

）線分状境界に発生する変位分布の計算式の説明例) 6 75　，　

　　　　　　　

67 （ plate-8 ）:

1 )

(2) 1

m t

(b/a 0)

note (p.67

(plate - )

　　）

（）本編８で対象とする計算式は，すべて（共通表示式である．

　　

　第章では　，主として,　

本編では，全体を通して，（　ｍ）式を偶数頁に，（　ｔ）式を奇数頁に並べて示した，

(m) (t)y yq q

(t)p p

p p

q q

(b/a 0)

(m)

(b/a 0) (b/a 0)

(m) (t)y y

(b/a 0) (b/a 0)

(m) (t)

(b/a 0) (b/a 0)

(b/a 0) (b/a 0)

4

の

ｘｘ

ｘｘ

のみを例にして考察した．

　

　　　，実際には

(m) (t)y yq q

種類の関数は，それぞれ内容が

異

(b / a 0)．　に

おける変化はそれぞれ異なる．

（第1章の計算例を参照）

なる関数であり

p. 68 75

2 p

( m t )

( m t ) x y x y

(b/a 0)

( m t )

[1 - 4]

1.4.1 b / a 0) p ,p ,q ,q

1.4. b / a 0)

(

（

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～

（（　　

　解説

全般　

（）線分状境界に発生する境界内力関連の

計算式の分析と対策(例)

）線分状境界に発生する変位分布の計算式の説明例) . 76 75　，　

　　　　　　　

68 （ plate-8 ）:

b/a 0 b/a 0

(m4) (m4)

b/a 0

(m4) (m4) (m4) (m4) (m4) (m4)

lim m4 - ( , ) lim t 4 - ( , )

(a) lim ,

+ , +

1 m

m m t t

p m p m p m p m

E hG k

E h

( m t )

M

32 2

m31 1

(1.4.1) 対比

　　

,

x y x y

x y

x x x y y y x x y y

(m4) (m4) (m4) (m4)

(m4)

(m4)2 1

(m4)2 1

(m4)

3

) [ 0 ] : 0 -1

( )

/ ( ) : (2 1 ) (2 1 ) 0

/ 0 2

/1 (1 ) (

2

m

m

m

m

m

m

m

G

G p p q q

p G

p G

b aq k k G

b a k

b aq G

k G

1

1

m m

m

m

. ( 68 )

(ⅰ

ⅱ

x y x y

x

y

x

y

eq p.

0 < <∞

2 1 1

(tm)

1 1

(m4) (m4)1 1

(m4) 1 1

1 1 1

- 2

) (2 1 ) 1

2 ( / )

(4 1 )(1 )

( )

( : 2 1 1/ 0(4 1 )(1 ) (3 )(1

m m

m

G k G

k a bp

k

p pG

kb a qk

2 t

m

m

m

m

. ( 68 )

ⅲ)

x

y x

y

eq p.

1

(m4) (m4) 11

1 1

- 3

)

3, 1

(3 )(1 )q q

. ( 68 )

y x

eq p.

69 （ plate-8 ）:

b/a 0 b/a 0

(t 4) (t 4)

b/a 0

(t 4) (t 4) (t 4) (t 4) (t 4) (t 4)

lim m4 - ( , ) lim t 4 - ( , )

(a) lim ,

+ , +

1

t

m m t t

p t p t q t q t

E hG k

E h

( m t )

t

2 2t

1 1

(1.4.1) 対比

　　

,

(ⅰ

x y x y

x y

x x x y y y x x y y

(t 4) (t 4) (t 4) (t 4)

(t 4)

(t 4)2 1

(t 4)2 t 1

t

(t 4)2

) [ 0 ] :

0 -1

( )

/ ( ) : (2 1 ) (2 1 ) 0

/ 0 2

/1 (1 ) (

2

G

p p q q

p G

p G

b aq k k G

b a k

b aq G

k G

t

t

t

t

t t

t

t t

. ( 69 )

ⅱ

x y x y

x

y

x

y

G

eq p.

0 < <∞

1 2 1

(t 4)

t 1 1

(t 4) (t)1 1

(t 4) 1 1

t 1 1 1

- 2

) (2 1 ) 1

2 ( / )

(4 1 )(1 )

( )

( : 2 1 1/ 0 (4 1 )(1 ) (3 )(1

G k G

k a be

k

e eG

kb a fk

t t t

t

t

t

. ( 69 )

ⅲ)

x

y x

y

eq p.

1

(t 4) (t 4) 11

1 1

- 3

)

31

(3 )(1 )f f

. ( 69 )

y x

eq p.

70 （ plate-8 ）:

M T (c) 　基本計算式の数値計算上の問題点と対策例

( ) ( ) ( )

( ) ( )

/ 1 / 0

1 0 / 0

/ 1 /

1 0

(2 ) : 0 0

( / )(1 ) 2

2 :

( / )(1 ) 2

m

m m

m m

m m

m

m

m

b a b a G

G G b a

b a b a

G G

G k Gp p p

b a k G

k Gp p

b a k G

m4 m4 m4m

22 m

m 2m4 m422

2 m

≒

≒

≪ 0

≪

≪ 0

≪

,

,

x x x

y y( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

/

/ 1 / 0

1 0 /

/ 1

1

0

( / ) : 0 0

( / )(1 ) 2

(2 ) :

( / )(1 ) 2

m

m

m m

m

m

m

m

m

G

b a

b a b a G

G G b a

b a

G

p

b a Gq p p

b a k G

G kq p

b a k G

m4

m4 m4 m4

22 m

m4 m4m

22 m

≒

≒

0

≪ 0

≪ 0

≪

≪

,

y

x y y

y y( )

( )

( ) ( )

(

/ 0

0 /

/ 0

/ 1 / 0

1 0

( 2 )11 :

1 (4 1 )

m

m

m

m m

b a G

G b a

G

b a

G G

b a b a

p

p

k a bp p

k b

q

m4

m4

m4 m4m 1

1 m 1

m4

. ( 70 - 1)

≒

0

0

=

≪ =

, y

x

y y

x

eq p.

) ( )

( ) ( )

/ 1 / 0

/ 1 / 0

( 2 )1 1)1 :

1 (4 1 ) 1

( 2 )1 1)1 :

1 (4 1 ) 1

m m

m m

G G

b a b a

G G

b a b a

k a bq

k a

k a bq q

k a

m4m 1

1 m 1 1

m4 m4m 1

1 m 1 1

≒

≒

≪ =

≪ =

(

(

x

y y

( )

/ 0

( )

/ 0

( 2 ) ( 2 )1 1 1 1

1 (4 1 ) 1 (4 1 )

m

b a

G

b a

k a b kq

k a k

m4 m 1 m

1 m 1 1 m 1

note 70 - 1

. ( 70 - 2)

x

p.

eq p.

(1 )/(3 )

( )

/ 0 (1 )/(3 )

( )

/ 0

1

1

( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1

1 (4 1 ) 1 (4 1 ) 1

m

k

b a k

G

b a

k a b kq

k a k

m 1 1

m 1 1

1

m4 m 1 m 1

1 m 1 1 m 1 1

note 70 - 2

y

p.

71 （ plate-8 ）:

M T (c) 　基本計算式の数値計算上の問題点と対策例

t

t

t

( ) ( ) ( )

( ) ( )

t t t

t t

t t

/ 1 / 0

1 0 / 0

/ 1 /

1 0

(2 ) : 0 0

( / )(1 ) 2

2 :

( / )(1 ) 2

b a b a G

G G b a

b a b a

G G

G k Gp p p

b a k G

k Gp p

b a k G

t

t

t 4 t 4 t 4

22

2t 4 t 422

2

t t

≒

≒

≪ 0

≪

≪ 0

≪

,x x x

y y

t

t

t

( )

( ) ( ) ( )

( )

t

t t

t

t

0

/

/ 1 / 0

1 0 /

/ 1

1

0

( / ) : 0 0

( / )(1 ) 2

(2 )

( / )(1 ) 2

G

b a

b a b a G

G G b a

b a

G

p

b a Gq p p

b a k G

G kq

b a k G

t

t

t 4

t 4 t 4 t 4

22

t 4

22

t

t

≒

≒

0

≪ 0

≪ 0

≪

≪

,

,

y

x y y

y

t

t

t t

t

( ) ( )

( ) ( )

( )

t

t

/ 0

0 /

/ 1 / 0

/

: 1 0

( 2 )11 :

1 (4 1 )

b a G

G b a

G G

b a b a

G

b a

p p

k a bp p

k b

p

t 4 t 4

t 4 t 41

1 1

t 4

. ( 71 - 1)

≒

0

0

≪ =

≪

,y y

x x

y

eq p.

t

t t

t

( )

( ) ( )

( )

t

t

t

t

1 / 0

/ 1 / 0

/

( 2 )11 :

1 (4 1 )

( 2 ) )11 :

1 (4 1 ) (1 )(3 )

G

b a

G G

b a b a

G

b a

k a bp

k b

k a bq q

k a

q

t 41

1 1

t 4 t 41 1

1 1 1 1

t 4

≒

≒

=

≪ =

≪

(1

y

x x

y

t( )

(

t

t

( )

1 / 0

( 2 ) 3 )11 :

1 (4 1 ) (1 )(3 )

G

b a

k a bq

k a

q

t 41 1

1 1 1 1

t

note 71 - 1

. ( 71 - 2)

≒

=

(y

x

p.

eq p.

t

t

)

/ 0 1

( )

/ 0

t t

t t

t

t

( )

/ 0

/ 0

( 2 ) ( 2 ) (1 )1 11 1

1 (4 1 ) 1 (4 1 ) (1 )(3 )

( 2 )1 1 1 1

1 (4 1 ) 1

b a k

b a

G

b a

G

b a

k ka b

k a k

k a bq

k a

t

4 1 1

1 1 1 1 1 1

t 4 1

1 1 1

note 71 - 2

y

p.

t 1

t( 2 ) (3 )

(4 1 ) (1 )(3 )k

k

k

1 1

m 1 1 1

72 （ plate-8 ）:

(m) (m) (m) (m) [ : ]

) / , , , ( )

1' { / 0} ( ) } 0 (a2)

(a1) { a1' (a2')

x y m

m

p p q q

m m b a G k

b a G

m m

m 1 2

G =0 G =0

(d)

, , に影響を及ぼす変数因子：

　

　　　( , , ,

　　(a ) vs. (a2') 　

x y x y

1' { / 0} lim (a1 )

(a1)mG

b a

0 (a ) 　 ’

(m)

m m(m)

m m 1 m

(m)m

(m) m

2 0

2 21 - lim (a1 )

0 1 ( 0 ) 02

2 1

mGm

p k G

p k k G

G kq

kq

2 2

0

0.

　　

’≪

x

y

x

y

b / aeq

<

m 2

m

1 (2 1 ) / 0

2 2

m

m

Gk b a

k G k

m=0

( 72 - 1)

（）

p.

(m)

(m)

(m)

(m)

(a2) (a2)

p

p

q

q

　

x

y

x

y

m m

m 2

m

1 2 ) ( / ) 0

2 (2 1 ) ( / ) 0- { 0 }

00 / 1 (2 1 ) ({ / }

02 (2 1 ) ( / )

k b a

k k b a

b a k b a

k k b a

2 m 2

2 2

m 1 2

0. ( 72 - 2)

(

≪

mGeq p.

<

(m)

(m)

(m)

0

(m)

( ) 0

(1 ) /

: a1 0 , a2 0 : a1 a2

: a1 , a2 0 :

: a1 0 , a2 0 : a1 a2

: a1 1 , a2 0 :

mG

b a

p

p

q

q

22

2 a1 a2

a1

x

y

x

y

. ( 72 - 1)

a2

eq p.

a1

a2mG

b a

1

10

( )

x ym ,m

x y

x y

p , p

q , q

a2'

a1'

, )x ym m説明用の模式図 (

73 （ plate-8 ）:

(t) (t) (t) (t)

(t) (t) (t) (t)

[ : ]

[ : ]

) / , , , ( )

1' { / 0} ( ) } (a1) { a1'

x y t

p p q q

p p q q

t t b a G k

b a

t

T

t 1 2

G =0

[2 - 2] 特殊条件におけるの計算式

, ,

, , に影響を及ぼす因子：

　

　　　( , , ,

　　(a ) vs

x y x y

x y x y

0 (a2)

1' { / 0} lim (a1 )

(a2')

(a1)

t

t

G

G

tG

b a

=0

0

. (a2') 　

(a ) 　 ’

(t)

(t)

1

(t)

(t)

2

2 21 -

0 1 2 ( 0 )

2

t

t

t

p k G

p k k G

G kq

kq

t

t 2 t

t

t

0

　　

≪

x

y

x

y

b / a

<

2

0

lim (a1 )0

1

1 (2 1 ) / 0

2 2

mG

t

t

Gk b a

k G k

=0

2

0

t

t t

. ( 73 - 1)’

（）

eq p.

(a2) (a2)

　

(t)

(t)

(t)2

(t)

1 2 ) ( / ) 0

2 (2 1 ) ( / ) 0 - { 0 }

00 / 1 (2 1 ) ({ / }

02 (2 1 ) ( / )

t

p k b a

p G k k b a

b a k b aq

k k b aq

2 t 2

t 2 t 2

t

t t 1 2

0

(

≪

x

y

x

y

<

(t)

(t)

(t)

0

( ) 0

(1 ) /

: a1 0 , a2 0 : a1 a2

: a1 , a2 0 :

: a1 0 , a2 0 :

tG

b a

p

p

q

22

2

. ( 73 - 1)

a1 a2

x

y

x

eq p.

(t)

a1 a2

: a1 1 , a2 0 :

q

a1

. (

a2

73 - 1)

y

eq p.

a1a2

mG

b a

1

10

( )

x yt ,t

x y

x y

p , p

q , q

a2'

a1'

, )x yt t説明用の模式図 (

74 （ plate-8 ）:

(m) (m) (m) (m)

(m) (m) (m) (m)

[ : ]

[ : ]

) / , , , ( )

1' { / 0} ( ) } (b1) { b1'

x y m

p p q q

p p q q

m m b a G k

b a

m

M

m 1 2

G =0


, ,


　

　　　( , , ,

　 (b ) vs

x y x y

x y x y

0 (b2) lim (b1)

(b1) (b1)

m

mG

G

. (b2') 　

　

(m)

m m(m)

m m 1 m

(m)m

(m) m

2

2 21 -

1 1 02

2

p k G

p k k G

kq

kq

20

≪ <

x

y

mx

y

b / a

G

lim (b1) 0

1

(b2)

mG

1. ( 74 - 1)

　

eq p.

(m)

(m)

(

(b2)

p

p

q

x

y

xm)

(m)

21

4 1

21 1

4 11-

0 1 (1 ) 21 1

4 1

21

4 1

k a

k

k a

k

k

k aq

k

k a

m1

m 1

m 1

m 1

1 m 1

m 1

m1

m 1

b

b

b

b

≪

m

y

G

< b / a

/ 0lim (b2)

1

1

1

1

b a

1

1

　

(m)

(m)

: b1 b2 : b1 b2

: b1 , b2 :

p

p

. ( 74 - 2)

,x

y

eq p.

(m)

(m)

b1 b2

: b1 0 b2

: b1 1 b2 :

: q

q

1

1

b1 b2

b1 b

. ( 74 -

2

3)

,

,

x

y

eq p.

-11-

+11-

b1 b2m1 G

b a

1

10

b2'

b1'

1m

G

( )

x ym ,m

x y

x y

p , p

q , q

75 （ plate-8 ）:

(m) (m) (m) (m)

(m) (m) (m) (m)

[ : ]

[ : ]

) / , , , ( )

1' { / 0} ( ) } (b1) { b1'

x y m

p p q q

p p q q

m m b a G k

b a

m

M

m 1 2

G =0


, ,


　

　　　( , , ,

　　(b ) vs

x y x y

x y x y

0 (b2) lim (b1)

(b1) (a1)

m

mG

G

. (b2')

　

(m)

m m(m)

m

(m)m

(m):

2

21 - 1 1

2

p k G

p k

kq

q

0

Others free

≪ <

　

x

y

m

x

y

b / a

G m 1 m

m

2lim (b1)

0 0

2 1

(b2)

mG

k G

k

2 1. ( 75 - 1)

　

eq p.

(b2)

(m)

(m)

(m)

(m):

21

4 1

21 1

4 11 - 0 1

(1 ) 21 1

4 1

21

k a

k

p k a

p k

q k

k aq

m1

m 1

m 1

m 1

1 m 1

m 1

b

b

bOthers free

≪

　

x

my

x

y

G

< b / a

/ 0lim (b2)

4 1

b a

k

k a

m1

m 1

b

ⓐ

ⓑ

　

(t)

(t)

)(t)

) )(3

: b1 b2 : b1 b2

: b1 , b2 : b1 b2

: b1 0 b2 :

p

p

q

1

1 1b1 ⓐ

,

,

x

y

x

(1-

(1+

)(t)

) )(3 : b1 1 b2 :

q

1

1 1

b2

b1

. ( 75 - 3)

b2ⓑ,

y

eq p.

(3+

(1+

b1 b2t1 G

b a

1

10

b2'

b1'

1t

G

( )

x yt ,t

x y

x y

p , p

q , q

eq (p.75(2)

76 （ plate-8 ）:

m 2 2

m 2 m 2(m4) (m4) (m4) 0 00 0 2 2

/ 0 & 2

0

22

/ 0 &

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

2 ( / ) (2 1 )( / )( , ) ( ) /

(1 ) ( / )

(1 ) 2 (1 ) ( / )1 2

(1 )

mm

mb a G b a G

k b a k b a

k b a k b ax xC x y p q G

a ab a

k b a xk

a

2m

22

2 22 m 2

0 0

x x x

0

m m 2

m m 2 2(m4) (m4) (m4) 0 00 0 2 2

/ 0 & 2

m 2

/ 0 &

1 2 cos

2 (2 1 ) ( / )

2 (2 1 ) ( / )( , ) ( ) /

(1 ) ( / )

(2 1 )

m m

m

b a G b a G

xb bk

a a a

k k b a

k k b ax xC x y p q G

a ab a

k

m m

2

2

. (p.76 - 1)

0 0

y y y

eq

0 0m

22

m 2 m 2

m 2 2(m4) (m4) (m4) 00 0 2

/ 0 & / 0 &

(2 (1 )(2 1) (2 1) cos

(1 )

2 ( / ) (2 1 )( / )

(2 1 ) ( / ) 2( , ) ( ) /

mm

mb a G b a G

x xkk k

a a

k b a k b a

k b ayD x y q p G

a

22 2 2

m m

2

2

. (p.76 - 2)

0 0

x x x

eq

0

22

m m 2 0 0

22

m m 2

(m4) (m4) (m4) 00 0 2

/ 0 & / 0 &

( / )

(1 ) ( / )

(2 ) 2 (1 )(1 )(2 1) (2 1) sin

(1 )

2 (2

( , ) ( ) /

m m

m

b a G b a G

k b a y

ab a

k k y y bk k

a a a

k k

yD x y q p G

a

2m

22 2

m m . (p.76 - 3)

0 0

y y y

eq

2

m m 2 0

22

m 0 0

22

1 ) ( / )

2 (2 1 ) ( / )

(1 ) ( / )

2 (1 ) (1 ) ( / )1 2 1 2 sin

(1 ) ( / )

b a

k k b a y

ab a

k b a y ya a bk k

a b a b ab a

2 2

2 22 2

m m

2 sin b

ka

m . (p.76 - 4)eq

2 ( m t ) 1.4. b / a 0) (（（　）線分状境界に発生する変位分布の計算式の説明例)

77 （ plate-8 ）:

2 2

2 2(t 4) (t 4) (t 4) 0 00 0 2 2

/ 0 & 2

0

22

/ 0 &

(2 1 ) ( / ) 2 ( / )

2 ( / ) (2 1 )( / )( , ) ( ) /

(1 ) ( / )

(1 ) 2 (1 ) ( / )1

(1 )

tm

b a G b a G

k b a k b a

k b a k b ax xC x y p q G

a ab a

k b a x

a

2t t

22 t t

2 22 t 2

0 0

x x x t

0

2

2 2(t 4) (t 4) (t 4) 0 00 0 2 2

/ 0 & 2/ 0 &

2 1 2 cos

2 (2 1 ) ( / )

2 (2 1 ) ( / )( , ) ( ) /

(1 ) ( / )b a G b a G

xb bk k

a a a

k k b a

k k b ax xC x y p q G

a b a

t t

t 2 t

2 t t

. (p.77 - 1)

0 0t t

y y y t

eq

2 0 0

22

2 2

(m4) (m4) (m4) 00 0 2

/ 0 & / 0 &

(2 1 ) (2 (1 )(2 1) (2 1) cos

(1 )

2 ( / ) (2 1 )( / )

(( , ) ( ) / m

b a G b a G

a

k k x xk k

a a

k b a k b a

yD x y q p G

a

2t t 2 2 2

t t

2t t

2

. (p.77 - 2)

0 0tt

x x x

eq

2 2 0

22

2 0 0

22

(t 4) (t 4) (t 4)0 0 2

/ 0 &

2 1 ) ( / ) 2 ( / )

(1 ) ( / )

(2 ) 2 (1 )(1 )(2 1) (2 1) sin

(1 )

( , ) ( ) /b a G b

k b a k b a y

ab a

k k y y bk k

a a a

D x y q p G

2t t

2t t 2 2

t t . (p.77 - 3)

0t

y y y t

eq

2 2

20 0

22

0 0

22

/ 0 &

2 (2 1 ) ( / )

2 (2 1 ) ( / )

(1 ) ( / )

2 (1 ) (1 ) ( / )1 2 1 2 sin

(1 ) ( / )

a G

k k b a

k k b ay y

a ab a

k b a y ya a bk k

a b a b ab a

t t

2 t 2 t

2 2t 2 2

t t

0t

2 sin b

ka

t . (p.77 - 4)eq

2 ( m t ) 1.4. b / a 0) (（（）線分状境界に発生する変位分布の計算式の説明例)

78 （ plate-8 ）:

( ) p. 84 ~ 93

- -

xy

( m t )

( m t ) xy xy

(m )

xy xy

xy xy

[2 - 1]

2.1.1 m t

m t b / a

(a)

m t

2 0

基本事項

（）　（）（）問題の一般的考察

前編までの経緯：

　

　

（）（）

問題点：　に数例を示す．

( 面外ねじり変形）（面内せん断変形

⇔

⇔ 境界線に

発生する変位の共通計算式

ⅰ

⇔

第　章の特殊のによって負荷

( )

p. 94 .

xy xyr t r t

xy xy xy xym m t t（）（）（）（）

　対策：

　

）の共通計算式の導出には，最も多くの

試行錯誤を行った．

　　

　以降に説明

　　境界内力の共通計算式の提示：　　　

　　　

　　　

ⅱ

⇔xy xy xy xy

[ ]R1

hole

: 1 1 1E , ν , h1 R 　外部板

xym

xym

xym

xym (m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

fig. ( p. 78 )

79 （ plate-8 ）:

. ( . 18,19) fig p

( )

p. 84 ~ 93

- -

xy(t )

xy xy

( m t )

( m t ) xy xy

xy xy

m t b / a

[2 -1]

2.1.1 m t

(a)

m t

2 0

前編までの経緯：

　

　

（）（）

基本事項

（）（）（）問題の一般的考察

問題点：　に数例を示す．

( 面外ねじり変形）（面内せん断変形

⇔ 境界線

に発生する変位の共通計算式

⇔

ⅰ

⇔

第　章の特殊のによって負荷

( )

p. 94 .

xy xyr t r t

xy xy xy xym m t t（）（）（）（）

対策：

　

）の共通計算式の導出には，最も多くの

試行錯誤を行った．

　　

　以降に説明

　　境界内力の共通計算式の提示：　　　

　　　

　　　

ⅱ

⇔xy xy xy xy

[ ]R1

hole

: 1 1 1E , ν , h1 R 　外部板

xyt

xyt

xyt

xyt

xy

(t4)β

xy

(t4)βxy

(t4)β

xy

(t4)β

fig. ( p. 79 )

80 （ plate-8 ）:

m

m

m

1

3

(1 )2 1

3

E hG

E h

k

k

32 2

31 1

1

1

1

1

[ ]R1

hole )R2(

: 1 1 1E , ν , h1 R 　外部板 : 2 2 2E , ν , h(R2) 　内部板

xym

xym

xym

xym (m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

( ) ( ) ( )

( )

( ) 4

4 (1 )

( )

-1

( ) mode]

[m1] [m2] [m1β] -

m

m

G k

G k

r

r

xy xy xy

m

m 1 2

(m4)

(m4)

m m m

m4

m4p. 120 - 125. ( 80 )

. ( 80

（）

（）

ⅱ 境界発生内力(β ）の基本式

β

に解説

-1-

ⅲ [基本の組み合わせ：

xy

xyxy xy

xy

m

eq p.

eq p.

( ) ( ) ( )

2

[m4] [m2] [m4β] - 3

( )

xy xy xym m m

xy x y

note 0

m (m ,m )

)

. ( 80 )

8

負荷に対する境界発生内力計算式は，負荷に対する境界発生内力計算式とは

大きく異なる．

p.

eq p.

　　　

p. 22　　前出　式

(b)

( )

xym定義 ,記号,計算式の基本形 :

定義 ,記号ⅰ

fig . (p. 80)

[ ]R1

hole )R2(

: 1 1 1E , ν , h1 R 　外部板 : 2 2 2E , ν , h(R2) 　内部板

xyt

xyt

xyt

xyt

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β xy

(t4)β

81 （ plate-8 ）:

1

2 1 1

E hG

E h

k

k

2 2

1 1

t

t

t

[ ]R1

hole )R2(

: 1 1 1E , ν , h1 R 　外部板 : 2 2 2E , ν , h(R2) 　内部板

xyt

xyt

xyt

xyt

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β

xy

(t4)β xy

(t4)β

fig . (p. 81)

(b)

( )

xym定義 ,記号,計算式の基本形 :

定義 ,記号ⅰ

( )

( ) 4

4 (1 )

( )

-1

( ) mode]

[t 1] [t 2] [m1β]

m

k

G k

r

r

xy xy xy

t t

m 1 2

(t 4)

(t 4)

(t ) (t ) (t )

t 4

t 4 G p. 120 - 125. ( 81 )

.

（）

（）

ⅱ 境界発生内力(β ）の基本式

β

に解説

-1-

ⅲ [基本の組み合わせ：

xy

xyxy xy

xy

t

eq p.

e q - 2

[t 4] [t 2] [t 4 β] - 3

( )

xy xy xy(t ) (t ) (t )

xy x y

note 1

t (t , t )

( 81 )

. ( 81 )

8

負荷に対する境界発生内力計算式は，負荷に対する境界発生内力計算式とは

大きく異なる．

p.

p.

eq p.

　　　

p. 23　　前出　式

82 （ plate-8 ）:

( ) ( )

( ) +

M m4 m4

M

plate - 3 p.

(

[ m4 ] [ m2 ] [ m4β ]

16

c)

　

複合平板の境界断面内力の共通表示計算式（ , ）の導出

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

共通

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

編 _ よ

- - - - -

り引用

- -

:

ⅰ

部分的に説明追加

x y

mode

( )M

のの線形加算則の検討

問題点微小変形曲げ計算に「近似法」の検討が必要ⅱ

xm(m3)xβxm

xm

[R + 21] (R )m 4

[R1][m2] 共通 [R1][m4 ]

[ ]R1

)R2( xm

[ ]R1

hole

(m3)xβ

(m3)yβ

(m3)yβ

(m3)xβ(m3)

xβ

(m3)yβ

(m3)yβ

ym

ym

)R2(

ym

ym

[R1]m 4

(R2)m 4

xm xm

[ ]R1

hole

ym

[ ]R1

hole

(m3)xβ(m3)

xβ

(m3)yβ

(m3)yβ

ym

[R1][m2] 共通 [R1][m4 ] [R1]m 4

fig. (p. 82)

: ( ) (m 4) (m 4)

x y β , β p. 22eq 82 の基本計算式 p. 参照（前出）

83 （ plate-8 ）:

xt(t4)xβ

xt xt

[R + 21] (R )t 3

[R1] [t2]共通 [R1][t 4 ]

[ ]R1

)R2( xt

[ ]R1

hole(t4)xβ

(t 4)yβ

(t4)yβ

(t4)xβ

(t4)xβ

(t4)yβ

(t4)yβ

yt

yt

)R2(

yt

yt

[R1]t 4

(R2)t 4

xtxt

[ ]R1

hole

yt

[ ]R1

hole(t3)xβ

(t3)xβ

(t3)yβ

(t3)yβ

yt

[R1]t [ 2]共通 [R1][t ]4 [R1]t 4 fig. (p. 83)

( ) ( )

( ) +

xy( t ) t4 t4

t

pl 1ate - 3 p.

(

[ t 4 ] [ t 2 ] [

7

c)

　

複合平板の境界断面内力の共通表示

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - -

計算式( , )の導出

- -

共通

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

編 _ より引用 :

- - -

ⅰ

x y


( )t

t 4 β ] の線形加算則の検討

問題点微小変形曲げ計算に「近似法」の検討が必要ⅱ

: ( ) (t 4) (t 4)

x y β , β p. 23eq. 83 の基本計算式 p. 参照（前出）

84 （ plate-8 ）:

0 1 2 31-

0

2

320 11-

0

3

plate -1 p. 8

------------

------- - -

　

- --

編 _ より引用

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- -

: 部分的に説明追加

θM ( , )a

xmxma

hole

( , )Τ a

xtxta

hole

- - [m ] [t ]fig. (p. 84) と円孔板の曲げ負荷引張負荷に対する応力集中計算式の比較

( )( , )a

m x

( )( , )a

t x

- x(1) m曲げ負荷 - x(2) t引張負荷

( )

:

xmM 1

A1 1

2 (1 + )

3 + [ A1 cos2θ ] 1

[ A ]従来の

専用式

k k

m t

(B)

導入

,

本書の

共通式

1 mk k

1

1

1 + t3 +

係数変換

( )

( )(mx)θ

( ) m

( , θ) m

応力集中率

, /

1 負荷によるx

x α a M a

負荷

式名称

( )

( )(tx)θ

(2) t

( , θ) t

応力集中率

, /

負荷によるx

x α a T a

( )

: k xmMmB1

(B 1) cos2θ1

( )

] : xtT

A2[ A2 cos2θ 1

( )

: k xtTtB2

(B 2) cos2θ 1

x y x y( m .m « t ,t ) (d)

85 （ plate-8 ）:

2

2

0

0 4

4

-2

-2

( , )θ

M a

xymxym a

hole

xym

xym

( , )Τ a

xytxyt a

hole

xyt

xyt

-4

-4 -2

-2

0

0

2

2

4

4( )( , )a

m xy ( )

( , )a

t xy

- xy(3) mねじり負荷 - x(4) ｙせん断 t負荷

( )

:

xymM 1

A3 1

4 (1 + )

3 + [ A 3 cos2θ ]

M[ A ]

従来の

専用式

k k

m t

( B )

導入

,

本書の

共通式

1 mk k

1

1

1 + t3 +

係数変換

( )

( )xy(m )

θ

( ) m

( , θ) m

応力集中率

, /

3 負荷によるxy

xy α a M a

負荷

式名称

( )

( )xy(t )

θ

(4) t

( , θ) t

応力集中率

, /

負荷によるxy

xy α a T a

( )

: k xymMmB3

(B 3) cos2θ

( )

] : xytT

A4[ A 4 cos2θ

( )

: k xytTtB 4

(B ) cos2θ 4

- - [ ] [ ]fig. (p. 85) と円孔板のねじり負荷せん断負荷に対する応力集中計算式の比較xy xym t

xy xy( m t )plate -1 p. 9(d)

-----------

-----------

　編

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

_ より引用 : 部分的に説明追加

86 （ plate-8 ）:

-4

-4

0

4

4

0

-4

-4

0

4

4

0

-4

-4

0

4

4

0

( , )M a

xm

a

hole

ym

xm

ym

(max)

0.3)

1 :

[ ] 4

1.5758

y

x

m m

m

m

k

xym

=

（

）ねじり負荷

と同等

(

(max)

-

)

0.3)

0 :

[ ] 1 2

17879

y

x

m m

m

m

m

k

1 1

=

．

(

図

と同一

(1)

x

(

単軸曲げ

1

[ ] 2

y

x

m

m

m

( ）

(一様分布）

全方向一様曲げ

2 y x m (m m )fig. (p. 86) 円孔板の軸負荷比と応力集中率の比較

( , )m a

1

3mk

plate -1 p. 10

----------------

　

----------------

編 _ より引

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

用 : 部分的に説明追加

-4

-4

0

4

4

0

x y(m m )(e)

87 （ plate-8 ）:

-4

-4

0

4

4

0

-4

-4

0

4

4

0

-4

-4

0

4

4

0

(max)

1 :

[ ] 4

4

y

x

t

t

k

xy

t t

t

せん断負荷

（）と同等

(max)

0 :

[ ] 1 2

3

y

x

t

t

t

k

x

t

t単軸引張り（）

と同一

1

[ ] 2

y

x

t

t

t

(全方向一様）

(一様分布）

2 y x t ( t t ) fig. (p.87) 円孔板の軸負荷比と応力集中率の比較

plate -1 p. 11

----------------

　

----------------

編 _ より引

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

用 : 部分的に説明追加 x y( t t )

(e)

( , )θ

a

xt

a

hole

yt

xt

yt

88 （ plate-8 ）:

xym

xym

xym

xym ねじり( ﾓ - ﾒﾝﾄ）

x

y

a

a ( , )

x

1x

/4x

1y

/4

x+ m 曲げ( ）

x+ m ym

ym x y xym m m

/4

/4

mⓐ mⓑ mⓒ

( )xy

x - y m座標に負荷　1 ( )

xx - m方向に + 負荷　 1 ( )

yy - m方向に負荷　

y

1

1

( )

( , ) ( , ) ( , )(

( , ) 1 2 cos 2 1 2 cos 2( 4) 1 2 sin 2 ( , )

( , ) ( , ) ( ) (( :

x x

x

x

y

M a a m a m

a k k k a

M a a m a

m m m

m m

m m m

m m m

sin2θ

曲げ）

曲げ）

m

m

ⓐ ねじり荷重：　の説明

ⓑ :

m

mrθα a ,θ = -4kⓐ

ⓑ ⓑ ⓑθ

ⓑ ⓑθ θ

ⓒ ⓒ ⓒθ

mⓒ

1 1

, ) ( ) ( , )

( , ) 1 2 cos 2 1 2 sin 2 ( , )

( ( ( ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) 1 2 sin

x x

x y r

m a m

a k k a

M a M a M a

a a k

m

m m

m m m

m m

m m

m

m

曲げ） + 曲げ）mⓐ ねじり) ⓑ

ⓒθ

ⓒ ⓒθ

ⓐ ⓑ ⓒ

ⓑ ⓒ

mⓒ

1 1

2 1 2 sin 2 4 sin 2

+ x y

k k

m m

m m m . ( 88) [ねじり] （曲げ）　　（曲げ） eq p. ⓐ = ⓑ + ⓒ

1 1 +- x ym m mxy[m2] m [ねじり] （曲げ）　　（曲げ）ⓐ = ⓑ + ⓒ

x+m

x

y

a

a ( , )

(+ )xx - m方向に負荷　

x+m

: ( , ) ( , ) 1 2 cos2r rT a a k t mt tⓧ ⓧⓧ x x

(a)

/ a = 1

b / a 1

　 ( , ) ( )

による．

p. ９4 , 95 ）参照

負荷と負荷の関係式

境界形状が円形（ｂ）の場合の説明法

（ ≠ ）の場合は別法 (

x y xym m m

plate -1 p. 48

-------------

------- -

　

---- -

編 _ より引用

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

: 部分的に説明追加 (m)(2.1.2) 計算式の確認

89 （ plate-8 ）:

xyt

xyt

xyt

xyt (せん断力）

x

y

a

a ( , )

x

1x

/4x

1y/4

( )x+ t 引張力

x+ t

( ) yt 圧縮力

yt

x y xyt t t

/4

/4

tⓐ tⓑ tⓒ

( )xy

x - y t座標に負荷　1 ( )

xx - t方向に + 負荷　 1 ( )

yy - t方向に負荷　

xt

t 引張( 力）x

x

y

a

a ( , )

tⓧ

( )xx - t方向に負荷　

xt : ( , ) ( , ) 1 2 cos2r rM a a k m mm m

ⓧ ⓧⓧ x x

( , ) 4 sin 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) 1 2 cos 2 1 2 cos 2( 4) 1 2 sin 2 ( , )

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ,

r

x x

x x

a k

T a a t a t

a k k k a

T a a t a t a

t t

t t t

せん断荷重のの説明

引張荷重

圧縮荷重

ⓐ

ⓑ

ⓒ

ⓐ

ⓑ ⓑ ⓑθ

ⓑ ⓑθ θ

ⓒ ⓒ ⓒ ⓒθ θ

1 1

)

( , ) 1 2 cos 2 1 2 cos 2( 3 4) 1 2 sin 2 ( , )

( ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) 1 2 sin 2 1 2 sin 2 4 sin 2

x

x y r

t

a k k k a

T a T a T a

a a k k k

t t t

t t t

. ( 8

せん断) 引張 + 圧縮 ⓐ ⓑ ⓒ

ⓒ ⓒθ

ⓐ ⓑ ⓒ

ⓑ ⓒ

eq p. 1 1x yt t t 9) 　　 [せん断] 引張 + 圧縮ⓐ = ⓑ ⓒ

plate -1 49 p.

----------------

-------------

　

---

編 _ より引用

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

:

- - - -

-

部分的に説明追加 (m)(2.1.2) 計算式の確認

(a)　 ( , ) ( )x y xym m m負荷と負荷の関係式

p. 4 , 95

/ a = 1

b / a 1 ( による．９）参照

境界形状が円形（ｂ）の場合の説明法

（ ≠ ）の場合は別法

90 （ plate-8 ）:

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

( ( , ) FEM

:

[( ) - ]

[( ) -

[( )

( )

( , )

12 A

( ) ( , ) A (1 )

xy

w x y

w x y

a m

E h

xyw x y

a

2

31 1

2

a

b

c

d) ねじり変形のによる

数値計算例

負荷によるねじり変形

負重によるねじり変形]

-たわみ角によるねじり変形]

の3者の変形は同一である．

ねじり変形

計算式

とたわみ角

e の特性

( , ) A (1 )

( / )

( , ) A (1 )

( / )

w x y y

x a a

w x y x

y a a

　

①

②

③

x

x

yz

00

-a

a

y

- zQ．2

zQ2

- zQ2

-a

a

zQ2

zQ xyMxyM

-a

-aa

a

00y

x

x

yz

xyM xyM

xyM 一様分布( )

( )

A

w x , y

xa

y

a

[ input data ] (a),(b),(c)

4

( , ) ( , ),

xyM

w x y w x y

x y

z (a) (b) 2Q

(c)

板の外周辺に一様ねじりモ－メント隅点に集中力：

板の外周辺に傾斜

　　：　

　　：　　強制面外

plate -1 p. 50

-------------

　

-------------

編 _ より引

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-

用 : 部分的に説明追加

xyFEM

3

mode - m1fig. (p. 90)

m )

(Saddle type)

による

　Ｄ図　

（）に

一様平板

ねじり( を負荷した時の

鞍型変形の例

(b)

FEM による確認（例） : 一様平板の一様ねじり変形

純粋ねじり変形の特性

91 （ plate-8 ）:

0

1

0

, )

, ) / A (1 )

( / ) / A (1 )

( / ) / A (1 )

x y

x yy

a

xy

xa

yy

ya

0 0

0 01 0 0 2

00 2

01 0 2

w

たわみ量

（

(x

軸系備　考

たわみ角の成分

たわみ角の成分

w

w

(x, y)w

/ ax0

0/ y a

1

1

O

1

1

( )

( )

fig

fig

(saddle type)

. 90

. 91

p.

p.

を模式作図

鞍型変形の説明図

3

12(1 )( , ) ( ) p. 90 -

Eh

mw x y xy

　　

xy①式

0a

0c

0d

0b 1a

1c

1d

1b

O

O

( a - - c ) :

d - - b :

1 1

1 1（）

曲線下方に凸の放物線

曲線上方に凸の放物線

-[ x 方向たわみ角 ]の分布特性

[ y -方向たわみ角]の分布特性

92 （ plate-8 ）:

[m1] ( )xym

( )

( )

plate - 7 p.1 17 24

2.1.3

　 ,

式の確

- - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

認　（）一様平板の一様ねじり負荷による変位計算

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - -


（ a）

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -


xy

xy

m

m

( ) ( )

( ) ( )

[m1S]

( ) _ .

( ) ( ) ( ) + Z( ) ( ) ( )

(1 ) (2 1) ( ,

(1 )

mz j z A B

kA B

k

i i

( )

(m) (m) m

m m m

m m1 m

1 m

Plate - 3 p 70

Ⅰ ⅠⅡ Ⅱ

Ⅱ Ⅱ

負荷と負荷に対する変位境界条件式のへの適用

変位共通計算式の一般式

　

参照

ⅰ

xy

xy

xy xy t

m

x y

m t

eq. p.92 -1)4 1 )

(2 1)(1 )

( ) [m1S] 12(1 )

( ) 0

eq. p.9212(1 )( ) [ ] [ ]

(1 ) 2 1 2 1

k

k

E h

z

k a ka z zz j m j

k a E h k a

m 1

m 1

3( ) 1 1

m 2

1

m1S

m 1 mm1S 3

m 1 m 1 1 m

(

(

　　の応力関数

　　

ⅱ xy

xy

m

m

xy xym

( )

2)

( ) [m1S]

(1 ) (2 1) 12(1 )( ) ( ) ( ) [ ]

(1 ) 2 1

12(1 ) [ ]

( )

k a k zz j z A z j

k E h k a

a zj

E h a

z j

i i

i i

( )

(m1S) (m1S) m 1 m 1 mx y m1S 3

1 m 1 1 m

1

3

1 1

(m1S)

x 0

Ⅱ

　　の変位計算式

　　　　　　　　　

　　　

　　　

ⅲ xy

xy

m

m

xy

xy

m

m

( ) 12(1 ) ( )

( )( ) ( )

(b) ( )

12(1 )( )eq. p.92 -3)

( )

y z m y j x

y j xE hz j z

mz y

xE hi z

i i

i

(m1S)

0 1 0 0

3(m1S) (m1S)0 01 1x 0 y 0

( )

(m1S)

1x 0 0

3(m1S)01 1y 0

(

一様ねじりによる変位傾斜角の計算式

　　　

xy

xy

m

xy

) (saddle-type)

　　　　　　　

純粋なねじり負荷( による鞍型変形　の理論式xym

xxym

yz

xym

xym

xym

1

2

3

4

1

2

3

4

m1S

fig. (p. 92) 鞍型変形

93 （ plate-8 ）:

[t1S]

( )

[t1] ( )xy

( )

(

( t )

plate - 7 p. 125

2.1.3

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - -

変位境界条件式の　への適用

- - - - -

（）一様平板の一様せん断負荷による変位の計算式の確認


（ a

- - - - - - - - - - - - - - - - -

）

- - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ⅰ

-


xyt

xyt

( ) ( )

( ) ( )

_ .

( ) ( ) ( ) + Z( ) ( ) ( )

eq. p.93-1)(1 ) (2 1) (4 1 ) ,

(1 ) (2 1)(1 )

(

z j z A B

k kA B

k k

u u

)

(t) (t) t t

t t t

t t1 t t 1

1 t t 1

Plate - 3 p 71

(

Ⅰ ⅠⅡ Ⅱ

Ⅱ Ⅱ

変位共通計算式の一般式

　

　　

参照

ⅱ

xyt

x y

) [t1S] (1 )

( ) 0

eq. p.93- 2) (1 )( ) [ ] [ ]

(1 ) 2 1 2 1

( ) [t1S]

( )

E h

z

k kaa z zz j t j

k a E h k a

z ju u

( ) 1 1t 2

1

t1S

t t1t1S

t 1 t 1 1 t

( )

(t1S) (t1

x y

(

の応力関数

　　

　　の変位計算式

　　　

ⅲ

xy

xy

xy

xy

t

t

xy xy

t

t

t

( ) (1 ) (2 1) (1 )( ) ( ) [ ]

(1 ) 2 1

(1 ) [ ]

( ) ( ) (1 )

( ) ( )

y

k ka zz A z j

k E h k a

a zj

E h a

z j z t

E hz j z

u u

u u

S) t 1 t t1t1S

1 t 1 1 t

1

1 1

(t1S) (t1S)

x 0 0 1

(t1S) (t1S)1 1x 0 y 0

Ⅱ

　　　　　　　　　

　　　

xy

xy

xy

t

t

( )

( )

(b)

(1 )( )eq. p.93-3)

( )

( )

(diamond-type)

y j x

y j x

tz y

xE hu z

u

0 0

0 0

( )

(t1S)

1x 0 0

(t1S)01 1y 0

(

一様せん断による変位の計算式

　　　

　　　　　　　

純粋な)せん断負荷( による

菱形変形　の理論式

xyt

xy

xyt

Ox

y

xyt

xyt

xytxyt

1

3

2

4

1

2

34

fig. (p. 93) 菱形変形

94 （ plate-8 ）:

xy xym t

( m t )

xy xy

p. 116 ~ 123 (2.4.1)

[2 - 2]

2.1.1 m t

剛体回転変位の項を導入　　　計算式の解説に詳細に解説．

　（）による「ねじり変形」と（）による「せん断変形」の共通表示のためには，平板の

　剛体回転変形の導入が必須でああると当初から考えてきた．この問題が，本書の


（）（　）（）問題の一般的考察⇔

計算式の性質

plate

(

k k xy xy (m1 ) (m1 )m m

x 0 0 y 0 03 31 1 1 1

12a m 12a m(+2 ) (a - b) 2 ) (a - b)(x ,y ) = . ; (x ,y ) = .

a aE h E h

plate series

　で最も長く年月を要したところであった．　

　前編（７編)で, 次式の剛体変位式の導入によって，懸案のままであった問題は解決できる

　方向に進めることができた．

i i e . ( 94) q p.

xym

x

y

[m1]

x

y

b

a

xym

[m 2]x

y

][m1

o

0 0(x , y )

o

hole

hole z

z

xymxym

xym

z

xym

x

y

][m1

hole z

[外力]

[内力]

[回転]

[m1] [m 2] + [m1 *]

[m1 *] [m1 *] +m1 ]

[ [m1 ] +[m1 ] m1 *]

xym

f i g. ( p. 9 4 )

95 （ plate-8 ）:

x

y

[t1]

x

y

b

axyt

[ t 2]x

y

][t 1

o

0 0(x , y )

o

hole

hole

xytxyt

xyt

x

y

[回転]holet

β

[t1] [t 2] + [t1 *]

[t1 *] [t1 ] + [t1 ]

fig. (p. 9 5)

[ [t1 ] +[t1 ] t1 *]

xyt

xyt

xyt

xyt

xytxyt

xyt

[内力]

[外力]

xyt

][t1

xy xym t

( m t )

xy xy

p. 116 ~ 123 (2.4.1)

[2 - 2]

2.2.1 m t

剛体回転変位の項を導入　　　計算式の解説に詳細に解説．

　（）による「ねじり変形」と（）による「せん断変形」の共通表示のためには，平板の

　剛体回転変形の導入が必須でああると当初から考えてきた．この問題が，


（）（　）（）問題の一般的考察

性質

⇔

計算式の

plate

(

xy xy (t1 ) (t1 )t tx 0 0 y 0 0

1 1 1 1

a t a t(+2k ) (a - b) 2k ) (a - b)(x ,y ) = . ; (x ,y ) = . . (

E h a E h a

本書の plate series

　で最も長く年月を要したところであった．　

　前編（７編)で, 次式の剛体変位式の導入によって，懸案のままであった問題は解決できる

　方向に進めることが出来た．

u u eq 95) p.

96 （ plate-8 ）:

( 4)

( 4)

( 4)

1 m 4 ( , : ) m 5 ( , : ) ,

3

m 4 ( , : )

( )

12( , : ) ( , )

(4 ) (1 ( , )

(2.2.2)

xy mxy xy

mxy

mx

E hx y x y k

E h

x y

a mx y m C x y

E h

kC x y

i

32 2 1

1 1 xy 1 1 xy m m311 1

1 1 xy

1 1 1 131 1

m 21 1

M m m G

(a) m

　及び　 :　　

　　

一般式

式式

ⅰ

( 4)

( 4)

( 4)

)

(4 1 ) (1 )96

12( , : ) ( , )

(4 ) (1 ) ( , )

(4 1 ) (1 )

m1S ( , : ) 1

m

xy mxy xy

mxy

m

my

y

G k a

a mx y m D x y

E h

k xD x y

G k a

x y

i

1

m 1 2

1 1 1 131 1

m 2 11 1

m 1 2

1 1 xy m

. ( - 1)

( ) m (Gⅱ

eq p.

(m1S) ( 1 )

( 41 ) ( 1 )

(m1S)

( 1 )

) & ( )

12( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

12

( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

xy m Sxy xyxy

xy m S m Sxy xy xy

x

m Sy

a m yx y m C x y C x y

aE h

a m xx y m D x y D x y

aE h

i

i

2 1

11 1 1 1 1 1 23

1 1

11 1 1 1 1 1 23

1 1

(m2S) ( 1 )

( 2 ) ( 2 )

(m2S)

( 2 )

96

m2S ( , : ) 0)

12( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

12

( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

xy m Sxy xyxy

xy m S m Sxy xy xy

x

m Sy

x y

a m yx y m C x y C x y k

aE h

a mx y m D x y D x y k

E h

i

i

1 1 xy m

11 1 1 1 1 1 m3

1 1

1 1 1 1 1 1 m31 1

. ( - 2)

( ) m (Gⅲ

eq p.

(m3S) ( 3 )

( 3 )

(m3S)

( 3 )

96

m3S ( , : ) )

12( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

12

( , : ) ( , ) ;

xy m Sxy xyxy

xy m Sxy xy

x

m Sy

x

a

x y


aE h

a mx y m D x y

E h

i

i

1

1 1 xy m

11 1 1 1 1 13

1 1

1 1 1 131 1

. ( - 3)

( ) m (Gⅳ

eq p.

( 32 )

96

( , ) (0) m Sxy

xD x y

a

11 1

. ( - 4)eq p.

97 （ plate-8 ）:

( 4)

( 4)

( 4)

t 4 ( , : ) t 5 ( , : ) , 1 (const.)

t 4 ( , : )

( )

( , : ) ( , )

(4 ) (1 ) ( , )

(2.2.2)

xy txy xy

txy

tx

E hx y x y k

E h

x y

a tx y t C x y

E h

kC x y

u

T 2 21 1 xy 1 1 xy

1 1

T1 1 xy

1 1 1 1

1 1

t 21 1

t t t t G

(a) t

　及び　 :　　

　　

一般式

式式

ⅰ

( 4)

( 4)

( 4)

(4 1 ) (1 )97

( , : ) ( , )

(4 ) (1 ) ( , )

(4 1 ) (1 )

t1S ( , : ) 1) &

m

xy txy xy

txy

ty

y

G k a

a tx y t D x y

E h

k xD x y

G k a

x y

u

1

t 1 2

1 1 1 1

1 1

t 2 11 1

t 1 2

1 1 xy

t

t

. ( - 1)

( ) t (Gⅱ

eq p.

(t 1 S) ( 1 )

( 1 ) ( 1 )

(t1S)

( 1 )

( )

( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

xy t Sxy xyxy

xy t S t Sxy xy xy

x

t Sy

a t yx y t C x y C x y

E h a

a t xx y t D x y D x y

E h a

u

u

2 1

11 1 1 1 1 1 2

1 1

11 1 1 1 1 1 2

1 1

. (eq

(t 2 S) ( 2 )

( 2 ) ( 2 )

(t 2 S)

( 2 )

97

m2S ( , : ) 0)

( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

xy t Sxy xyxy

xy t S t Sxy xy xy

x

t Sy

x y

a t yx y t C x y C x y k

E h a

a t xx y t D x y D x y k

E h a

u

u

1 1 xy

11 1 1 1 1 1

1 1

11 1 1 1 1 1

1 1

t

t

t

- 2)

( ) t (Gⅲ

p.

(m3S) ( 3 )

( 3 ) (

(t3S)

( 3 )

97

t 3 S ( , : ) )

( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

( , : ) ( , ) ;

xy m Sxy xyxy

xy t Sxy xy xy

x

t Sy

x y


aE h

a tx y t D x y D

E h

u

u

1 1 xy

11 1 1 1 1 13

1 1

1 1 1 131 1

t

. ( - 3)

( ) t (Gⅳ

eq p.

3 )

97

( , ) (0) t S xx y

a

11 1

. ( - 4)eq p.

98 （ plate-8 ）:

/ 0

m 5 ( , : ) m 4 ( , : ) ( ) m 5 ( , : ) m 4 ( , : ) m4 ( , : )

b a

x y x y x y x y x y

1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy(b) m m m m m　

( )

( 5)

( 5) ( 5)

( 5)

( 5)

[m4] /

( )

12( , : ) ( , )

(4 ) (1 ) ( , ) ( , )

(4 1 ) (1 )

12( , : )

xym

xy mxy xy

m mxy xy

m

xy

mx

my

b a

a mx y m C x y

E h

k yC x y C x y

G k a

a mx y m

i

i

1 1 1 131 1

m 2 11 1 1 1

m 1 2

1 1

式は（ )には無関係

一般式ⅰ

( 5)

( 5) ( 5)

(m1S)

98

( , )

(4 ) (1 ) ( , ) ( , )

(4 1 ) (1 )

m1S ( , : ) 1) & ( )

( , :

xy mxy

m mxy xy

m

x

D x yE h

k xD x y D x y

G k a

x y

x y mi

1 131 1

m 2 11 1 1 1

m 1 2

1 1 xy m 2 1

1 1

. ( - 1)

( ) m (Gⅱ

eq p.

(m1S) ( 1 )

( 41 ) ( 1 )( 1 )

12) ( , ) ; ( , ) (1 )

9812

( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

m2S ( , : )

xy m Sxy xyxy

xy m S m Sxy xy xy

m Sy

a m yC x y C x y

aE h


aE h

x y

i

11 1 1 1 23

1 1

11 1 1 1 1 1 23

1 1

1 1 xy

. ( - 2)

( ) m (ⅲ

eq p.

(m2S) ( 1 )

( 2 ) ( 2 )

(m2S)

( 2 )

0)

12( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

9812

( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

xy m Sxy xyxy

xy m S m Sxy xy xy

x

m Sy

a m yx y m C x y C x y k

aE h

a m xx y m D x y D x y k

aE h

i

i

m

11 1 1 1 1 1 m3

1 1

11 1 1 1 1 1 m3

1 1

G

. ( - 3)

(

eq p.

(m3S) ( 3 )

( 3 ) ( 32 )

(m3S)

( 3 )

m3S ( , : ) )

12( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

12

( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

xy m Sxy xyxy

xy m S m Sxy xy xy

x

m Sy

x y


aE h


aE h

i

i

1 1 xy m

11 1 1 1 1 13

1 1

11 1 1 1 1 13

1 1

) m (Gⅳ

98

. ( - 4)eq p.

99 （ plate-8 ）:

/ 0

t 5 ( , : ) t 4 ( , : ) ( ) t 5 ( , : ) t 4 ( , : ) t4 ( , : )

b a

x y x y x y x y x y

1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy 1 1 xy(b) t t t t t　

( )

( 5)

( 5) ( 4)

( 5)

( 5)

( 5)

[m4] /

( )

( , : ) ( , )

(4 ) (1 ) ( , ) ( , )

(4 1 ) (1 )

( , : ) ( ,

xym

xy txy xy

t txy xy

m

xy txy xy

tx

ty

b a

a tx y t C x y

E h

k yC x y C x y

G k a

a tx y t D x y

E h

u

u

1 1 1 131 1

t 2 11 1 1 1

t 1 2

1 1 1 1

1 1

式は（ )には無関係

一般式ⅰ

( 5) ( 4)

(t1(t1S)

99

)

(4 ) (1 ) ( , ) ( , )

(4 1 ) (1 )

t1S ( , : ) 1) & ( )

( , : )

t txy xy

xy

xy xyx

k xD x y D x y

G k a

x y

a mx y t C

E hu

2 11 1 1 1

1 2

1 1 xy 2 1

1 1

1 1

t

t t

t

. ( - 1)

( ) t (Gⅱ

eq p.

S) ( 1 )

( 41 ) ( 1 )( 1 )

(t2S)

( , ) ; ( , ) (1 )

99

( , : ) ( , ) ; ( , ) (1 )

t2S ( , : ) 0)

( , :

t Sxy

xy t S t Sxy xy xy

t Sy

x

yx y C x y

a

a m xx y t D x y D x y

E h a

x y

x y

u

u

11 1 1 1 2

11 1 1 1 1 1 2

1 1

1 1 xy

1 1

t

. ( - 2)

( ) t (Gⅲ

eq p.

(t2S) ( 1 )

( 2 ) ( 2 )( 2 )

) ( , ) ; ( , ) 4

99

( , : ) ( , ) ; ( , ) 4

m3S ( , : ) )

xy t Sxy xyxy

xy t S t Sxy xy xy

t Sy

a t yt C x y C x y k

E h a

a t xx y t D x y D x y k

E h a

x y

u

11 1 1 1

1 1

11 1 1 1 1 1

1 1

1 1 xy

t

t

t

. ( - 3)

( ) t (Gⅳ

eq p.

(t3S) ( 3 )

( 3 ) ( 32 )

(t3S)

( 3 )

( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

99

( , : ) ( , ) ; ( , ) (0)

xy t Sxy xyxy

xy t S t Sxy xy xy

x

t Sy


aE h

a t xx y t D x y D x y

aE h

u

u

11 1 1 1 1 13

1 1

11 1 1 1 1 13

1 1

. ( - 4)eq p.

100 （ plate-8 ）:

/ 0

xy xy

xy xy x y x xy

m t

b a

m t m m t t

[2 - 3]

　　

ねじり( )変形とせん断( )変形の問題は前編(plate-7)において，かなり詳しく

考察を行った．

の線分状の境界の場合についても，理論解析上の観点から，また数値計算

図の考察から，基本となる方向は見出すことができたと考える．

但し，　：問題への対処法と（，）：( , ）問題への対処法とは可なり

異なると

変位計算図

plate - 7 ( p. 100 101

3 0.5

2

xy xym t

a b a a

a

(2.3.1)

　　ころがある．　そこで，本編では：の変位問題について，日常的に体

験する基礎的な資料を作成して整理しておくこととした．

,　 )の数値計算図の例：

　　枚の一様な弾性平板のそれぞれに，半径( )の円形，短軸長( )/長軸長( )の

　楕円形，及び長さ( )の線分を，境界線として描く．この３枚に同一条件

)xyt

でせん断

　負荷( を与える時,「各板上の境界線はどのように変形するか？」の問題と言える．

fig. ( p. 100 ) plate - 7_fig. ( p. 62-1 )

101 （ plate-8 ）:

- 2fig. ( p. 101-1 ) plate -7_fig. ( p. 62 )

fig. ( p. 100 ) plate -7_fig. ( p. 63 )

102 （ plate-8 ）:

（

(+2, +2)

0x / a

0y / a

(-2, -2)

2

(+2, -2)

(+2.5 , +2.5)

(+1.5 , 1.5)

( - 2.5 , - 2.5)

-1.5

-( 1.5 , +1.5)

(+1, +0.5)

xyt xyt

xyt

xyt

xyt

xyt

xyt xyt

O

-(+1, 0.5)

.0 5

1

-2

- .0 5

-1

1.5

-2 -1.5 -1 .0 5 1 1.5 2

+(- 2, 2)

- .0 5

-( 1, +0.5)

- -( 1.125, 0.75)

-( 0.875, +0.25)

- -( 1, 0.5)+ -( 0.875, 0.25)

fig. ( p. 102 ) 矩形境界線の回転変形

(2.3.2)

a.1 現象

平板の面内せん断変形の基本図

（）矩形境界線の極限としての線分状境界の回転変形について：　　

103 （ plate-8 ）:

(+2, +2)

0x / a

0y / a

(-2, -2)

2

(+2, -2)

(+2.5 , +2.5)

(+1.5 , 1.5)

( - 2.5 , - 2.5)

-1.5

-( 1.5 , +1.5)

(+1, 0)

xyt xyt

xyt

xyt

xyt

xyt

xyt xyt

O

.0 5

1

-2

- .0 5

-1

1.5

-2 -1.5

-1

.0 5 1 2

+(- 2, 2)

- .0 5

-( 1, 0)

1.5

Before

After

fig. ( p. 103 ) 線分状境界線の回転変形現象

a.2 矩形境界の極限として

　　線分状境界線の回転変形角がられる．

（）

定め

104 （ plate-8 ）:

0ⓑ

0x / a

0y / a

0ⓒ

2

0ⓓ

*t①

+ *t① O

-2

-1

-2 1 2

0ⓐ

-1

1

* y xt t t①

1ⓑ 1ⓐ

1ⓒ 1ⓓ

0ⓔ 1ⓔ

0ⓕ

0ⓖ

0ⓗ

1ⓔ

1ⓖ

1ⓗ

*t①

+ *t①

0ⓩ

1ⓩ

Before

After

+ ) - ) - - -

(b)

(b.1)

　

( (

引張りと圧縮の重畳による変形とせん断負荷による変形の比較

引張負荷と圧縮負荷の重畳正方形境界による量的考察:x xt t

* *(1 ) (1 ) : 1 1

a ax y x yx y

a a a a E h a a E h

1 10 0 0 01 1

1 1 1 1

10

. ( 104 - 1)① ①

変位の一般式の説明　と　代表例（）

一般式

　　　Ｂｅｆｏｒｅ　　　 : 　Aｆｔｅｒ

, ,

代表例

ⓩ ⓩ

t teq p.

* *

&(1 )

: 0.2 0.2 0.25

5

0. 1.75a ax y

a a E h E h

0

0

1

1

1 1

1

1

0

1

1

0 . ( 104 - 2)① ①

仮定値

（）

Ｂｅｆｏｒｅ　　 : Aｆｔｅｒ

　 ,

　　　　　　　　　

ⓩ ⓩ

ⓩ ⓩ

t teq p.

0.5 1.75 0.

0.625 1

: 1 0.25 1 0.25 .311 75 255.

x y x y

a a a a

0 10 1 . ( 104 - 3)　　　 , , eq p.

fig. (p. 104)

105 （ plate-8 ）:

0ⓐ

0x / a

0y / a

0ⓒ

2

0ⓓ

1ⓐ

1ⓓ

1ⓒ

1ⓑ

xyt xyt

xyt

xyt

xyt

xyt

xyt xyt

O

-2

-1

-2 2

0ⓑ

-1

1

1

0ⓩ 1ⓩ

) -(b.2)　　( 　xytせん断負荷による[せん断変形] 正方形境界に量的考察 :

* * *

* *

, ) : )

x y

a a

0

0 0

1

( 　　　　(変位の一般式の説明　と　代表例（） :

の記号を用いて対比する．

　　一般式　　　　　Ｂｅｆｏｒｅ　　　　　　　　　　　　　　　　Aｆｔｅｒ

, ：

②

②

ⓩ ⓩx y xyt t t t t t

t t

① ①

①

* *

* *

&

(1 ) (1 )

(1 )( / , / ) (0.5, 1.75) 0.2 0.2 0

a ax y y xx y

a a a E h a a a E h

a ax a y a

E h E h

1 10 0 0 01 1

1 1 1 1

0

0

1

0 0 1

1 1 1 1

0

1

仮定値

,

代表例（）

　　　　　　　　：　

　　　　　　　　　

② ②

② ②

ⓩ ⓩ

ⓩ

t t

t t

00

(0.2).5 1.75 0.5 (1.75) 1.75 (0.5.85 ) (0.2) 1.85x y x y

a a a a

0

0

1

1 10

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　Ｂｅｆｏｒｅ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Aｆｔｅｒ　　　　　

　　　　　　　 , ： ,

ⓩ ⓩ

fig. (p. 105)

-1eq. (p. 105 )

- 3eq. (p. 105 )

-eq. (p. 105 )2

106 （ plate-8 ）:

+ ) - ) vs -

, - )

x x xy

x y x y xy

(c) t t t

(c.1.1) b / a = 1 : (t t t t t

　 ( ( せん断( )数値計算例引張と圧縮の重畳

0ⓒ0ⓓ

1ⓒ1ⓓ

107 （ plate-8 ）:

) xy(c.1.2) b / a = 1 : ( t

108 （ plate-8 ）:

,- ) x y x y xy(c.2.1) b / a = 0.5 : (t t t t t

109 （ plate-8 ）:

) xy(c.2.2) b / a = 0.5 : ( t

110 （ plate-8 ）:

,- ) x y x y xy( c. 3. 1 ) b / a = 0 : ( t t t t t

111 （ plate-8 ）:

) xy(c.3.2) b / a = 0 : ( t

112 （ plate-8 ）:

:

vs x

M

mx

(2.3.3)

m

　　

（a） ( （）

数値計算例一様平板の曲げたわみ変形

)によるたわみ変形ポアソン比

( ) 0.3 xmⅱ

( ) 0.5 xmⅲ

vs xmfig. (p. 112) ( （）)によるたわみ変形ポアソン比

( ) 0 xmⅰ

113 （ plate-8 ）:

:

vs y

M

m

y

(2.3.3)

m

　　

（b） ( （）

数値計算例一様平板の曲げたわみ変形

)によるたわみ変形ポアソン比

( ) 0 xmⅰ

( ) 0.3 ym

ⅱ

( ) 0.5 ymⅲ

vs ymfig. (p. 113) ( （）)によるたわみ変形ポアソン比

114 （ plate-8 ）:

)

) vs

x y(-m m

x ym m（c） (- （）)+(+ によるたわみ変形ポアソン比

( ) : 0

x y(-m m)ⅰ

( ) : 0.5

x y(-m m)ⅲ

( ) : 0.3

x y(-m m)ⅱ

vs x ym mfig. (p. 114) (- （）+ )によるたわみ変形ポアソン比

115 （ plate-8 ）:

)

) vs

x y(+m m

x ym m（d） (+ （）)+(- によるたわみ変形ポアソン比

( ) : 0

x y(+m m)ⅰ

( ) : 0

x y(+m m)ⅱ

( ) : 0.5

x y(+m m)ⅲ

vs x ym mfig. (p. 115) (+ （）)によるたわみ変形ポアソン比

116 （ plate-8 ）:

( ) ( , )] w x y vs

x ym m

x ym mfig. (p. 116) (+ 分布[ （）+ )によるたわみポアソン比

) )) vs

x y x y(+m m (+m m

x ym m（e） (+ 量 [w （）)+(- によるたわみ (x,y)] ポアソン比

( ) : 0

x y(-m m)ⅰ

)( ) : 0

x y(+m m

ⅰ

)( ) : 0.3

x y(+m m

ⅱ

( ) : 0.5

x y(+m m )ⅲ

117 （ plate-8 ）:

(2.4.1)

(

k k

k

xy xy (m1 ) (m1 )m mx 0 0 y 0 03 3

1 1 1 1

xy (t1 )x 0 0 3

1 1

t

[2 - 4]

. ( 94 95

12a m 12a m(+2 ) (a - b) 2 ) (a - b)(x , y ) = . ; (x , y ) = .

a aE h E h

a t (+2 ) (a - b)(x , y ) = .

aE h

解説

境界線の剛体回転の必要性と計算式　，）の追加説明

　　

eq p.

i i

u

( ) ( ) 4

4 (1 )

(

(2.4.2)

;

m

m

G k

G k

k

r r

m

m 1 2

xy (m1 ) my 0 0

1 1

(m4)

(m4)

(

m4 m4

a m 2 ) (a - b) ; (x , y ) = .

E h a

1. ( 80 8 ))

（）

（）

境界発生内力( ）の基本式 , の導出過程の追加説明:

-1-

β

β

β

xy

xyxy

xy

xy xy

u

m

e q p.

( ) ( ) 4

4 (1 ) ;

(2.4.3)

( )

( )

G k

G kr r

t t

t t 1 2

t4) t4 t4

note 117

117

（）

（）-1-

複合平板の境界線上の変位計算式の整理．

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

略記号の使用：

以降においては，説明記号を出来るだけ簡略化したい

xyxy xyt

p.

p.

2 , 3

1 , 2 , 3βS] β

m S m S

t S t S t S

と考えて，

　　　次のように[略記号」の使用を試みた．

略記号

[m1S] [m1] 　　　(例）についても同様．

[m1 [m1 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

118 （ plate-8 ）:

(m1)

( ) ( )

( ) [m1] [m1β ] [m2 ]

( ) [m1( )] : ( )

(

xy xym t

i P

xy xy

xy

xy

m t

m

a a

m

01 01

(plate - 7_p.128,129)

(2.4.1)

（）（）

ＰＰ

　平板のねじり負荷とせん断負荷による変位の特性

ねじり変形の基本式:　 ,　 , 　

一様連続平板の境界で「変位と合力」の両方を共に満たす理論式

　　

参照a 個別の理論式-

ⅰ

x(m1) (m1)(m )

(m1)

(m1)

12) ( ) ( ) ( )

( ) (1 ) ( / ) sin

( ) (1 ) cos

( ) [m1β ] :

xya mj i P C P j D P

E h

C P b a

D P

xy

xy

m1

01 01 01 0131 1

01 1

01 1

a

m

. ( 118 - 1)

（）

　　　　　　　　　　　　　　　

開孔縁の合　　ⅱ

y xy xy

xy

xy

eq p.

(m1β) (m1β)(m1β) (m1β)

(m1β)

(

12 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2 ) ( / ) (2 1 ) sin

xya mi P j i P C P j D P

E h

C P k b a k

D

xy

a

(a) (a) (a) (a)

(a)

(

m

01 01 01 0131 1

01 m m 1

a)

0 (m1β )（）応力＝を満たす理論式を用いて

境界縁変位値を求めてみる．

　　　

x y xy xy

xy

xy m1β) ( ) ( / ) (2 ) (2 1 ) cosP b a k k

01 m m 1

. ( 118 - 2)eq p.

xym

x

y

)

( ) xy(mm1

(境界応力)

(境界変位）ⅰ

比較 x

y

b

a

)( )

xym

a

(m2（）

(境界応力)(境界変位)ⅱ

x

y

( ) [ ] xy

(a)

mm1

(境界応力）(境界変位)ⅲ

holehole zz

xymxym

z

[外力] [内力]

fig. (p. 118) 一様平板外部板関連の基本計算式に与えられた境界条件の比較

xymxym [外力＋内力]

xym

比較

( 1 neglected次式変移項)

119 （ plate-8 ）:

( t1

( ) ( )

( ) [ 1] [ 1β ] [ 2 ]

( ) [ 1( )] : ( )

xy xym t

u

xy xy

xyxy

xy

a a

m t

tt

01 01

(plate - 7_p.128,129)

(2.4.1)

（

ｔ

（））

ＰＰ

　平板のねじり負荷とせん断負荷による変位の特性

せん断変形の基本式:　ｔ ,　ｔ ,ｔ　

ｔ一様連続平板の境界で「変位と合力」の両方を共に満たす理論式

　　

参照a 個別の理論式-

ⅰ

x( t 1) ( t 1)) ( t )

( t 1)

( t 1)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (1 ) ( / ) sin

( ) (1 ) cos

( ) [t1β ] :

xya tP j u P C P j D P

E h

C P b a

D P

xy

xy

t1

01 01 01 01

1 1

01 1

01 1

t

a

. ( 119 - 1)

（）

　　　　　　　　　　　　　　　

　　ⅱ

y xy xy

xy

xy

eq p.

( t1β) ( t1β)( t1β) ( t β)

( t1β)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2 ) ( / ) (2 1 ) sin

xya tu P j u P C P j D P

E h

C P k b a k

D

xy

a

(a) (a) (a) (a

t

101 01 )

(a)

01

(

01

1 1

01 1t t

0 (t1β )（）開孔縁の合応力＝を満たす理論式を用いて

境界縁の変位値を求めてみる．

　　　

x y xy xy

xy

xy ( t1β) ( ) ( / ) (2 ) (2 1 ) cos

P b a k k

0 1) 1a t t

. ( 119 - 2)eq p.

t xy

x

y

)

( ) xy(tt1

(境界応力)

(境界変位）ⅰ

比較 x

y

b

a

)( )

xyt

a

(t 2（）

(境界応力)(境界変位)ⅱ

x

y

( ) [ ] xy

(a)

tt1

(境界応力）(境界変位)ⅲ

holehole

xytxyt

z

[外力] [内力]

fig. (p. 119) 一様平板外部板関連の基本計算式に与えられた境界条件の比較

xytxyt [外力＋内力]

xyt

比較

( 1 neglected次式変移項)

120 （ plate-8 ）:

(m1)01)

(m1)01

)

:

(b)

( )

(P ) (1 ) ( / ) sin [m1] :

(P ) (1 ) cos

[m1β ] :

C b a

D

C

xy

xy

xy

(a)

(a)

m

1(m

1

(m

m1 に剛体回転変位( を付加する．

　( 付加)の必要理由ⅰ

応力と変位の両方の　　

境界条件を満たす

　　

(境界応力）(境界変位) 式 )式

式

？

xy

xy

x

(m1β) (m1β) (m1) (m1β) (m1)01

(m1β)01

)

(m1 )01

)

(P ) / /

(P )

( ) [m1 ]

(P

[m1 ] :

C C D D

D neglect

i

xy

xy

(a) (a

(m

(

) (a)

)

m

(a

変位の境界条件を満たすためにはが必要．

対策はされた回転変位の項(変位の１次式の項)を復活させる.

面外剛体回転変位式の算出：

　　

ⅱ

y xy xy xy xy

xy

x

)(m1 ) (m1 )(m1 )

01 0131 1

(m1 )01

(m1 )01

12) (P ) (P ) ( )

(P ) (2 )( ) / sin

(P ) (2 )( ) / cos

(c)

xya mj i C j D P

E h

C k a b a

D k a b a

xy

xy

(m

01

m

m

mm1

. ( 120 - 1)

(境界応力）(境界変位) 式

y xy xy

xy

xy

eq p.

) ) )

(m1β)(m1β) (m1β) (m1β)01 01 01 01

1 1

) (m1β)01

[m1β] [m1β ] [m1 ]

12(P ) (P ) (P ) (P )

E h

[m1β] (P ) (4 1 ) ( / ) sin

xya mi j i C j D

C k b a

D

xy xy xy

xy

(m (m (m

3

(m

a

m

(

1

)

fig. (p. 124 - 1)　

　　と置く．

　　 :

後出参照の導出

x y xy xy

xy

(m1β)01

) ) )

( 2) ( 2)01 01

)

2

(P ) (4 1 ) cos

( )

[m2] [m1] [m1β] [t2 ]

(P ) (P )

[m2] :

m m

k

S

i j i

xy

xy xy xy

x

xy

m 1

m

(m (m (m

(m

(m

m

. ( 120 - 2)

ｄ

　　 - 基本加算式により外部板のを算定する．

　　

(境界応力）(境界変位) 式の導出

xy

xy

t

x y

eq p.

)( 2) ( 2)

01 01

(m2)01

(m2)01

12(P ) (P )

(P ) (4 ) / sin

(P ) (4 ) cos

xy m ma m

C j DE h

C k b a

D k

y

31 1

m

m

. ( 120 - 3)

xy xy

xy

xy

eq p.

121 （ plate-8 ）:

( t1)01)

( t1)01

:

(b)

( )

(P ) (1 ) ( / ) sin [t1] :

(P ) (1 ) cos

[t1β ]

C b a

D

xy xy

xy

xy

x

(a)

t t

t

1(t

1

(

(a)

t

t1 に剛体回転変位( を付加する．

　( 付加)の必要理由ⅰ

応力と変位の両方の　　

境界条件を満たす

　　

(境界応力）(境界変位) 式 )式

式

？

xy

xy

( t1β) ( t1β) ( t1) ( t1β) ( t1)01)

( t1β)01

)

(t1

)

(P ) / /:

(P )

( ) [t1 ]

[ 1 ] :

C C C D D

D neglect

y

xy

xy

(a) (a)

(

(a)

)

(

(a

ｔ

ｔ

変位の境界条件を満たすためにはが必要．

対策はされた回転変位の項(変位の１次式の項)を復活させる.

面内剛体回転変位式の算出：

u

　　ｔ

ⅱ

xy xy xy xy xy

xy

x

)( t1 ) (t1 )) ( t1 )

01 01 01

1 1

( t1 )01

(t1 )01

(P ) (P ) (P ) ( )

(P ) (2 )( ) / sin

(P ) (2 )( ) / cos

(c)

xya tj i C j D P

E h

C k a b a

D k a b a

xy

xy

(t

01

t

t

tt1

. ( 121 - 1)

(境界応力）(境界変位)

y xy xy

xy

xy

eq p.

) ) )

( t1β)( t1β) (m1β) (t1β)01 01 01 01

1 1

) ( t1β)01

[t1β] [t1β ] [t1 ]

(P ) (P ) (P ) (P )E h

[t1β] (P ) (4 1 ) ( / ) sin

xya tu j u C j D

C k b a

xy xy xy

xy

(t (t (t

t

t

(

1

a)

(

fig. (p. 125 - 1)　

　　と置く．

　　 :

後出参照式の導出

x y xy xy

xy

( t1β)01

) ) )

( 2) ( 2)01 01

)

2

(P ) (4 1 ) cos

( )

[t2] [t1] [t1β] [t2 ]

(P ) (P )

[t2] :

t t

D k

S

u j u

xy

xy xy xy

xy

t 1

t

(t (t (t

(t

(t

t

. ( 121 - 2)

ｄ

　　 - 基本加算式により外部板のを算定する．

　　

(境界応力）(境界変位) 式の導出

xy

xy

t

x y

eq p.

)( 2) ( 2)

01 01

( t2)01

(t2)01

(P ) (P )

(P ) (4 ) / sin

(P ) (4 ) cos

xy t ta t

C j DE h

C k b a

D k

xy

1 1

t

t

. ( 121 - 3)

xy xy

xy

xy

eq p.

122 （ plate-8 ）:

( 4)

( ) ( )

(a) )

xy xy

mxy

m t

xy xy

xy

m t

m

(2.4.2)

fig. (p. 124 - 2)

複合平板のねじり負荷とせん断負荷による変位の特性

境界発生内力( の共通計算式の導出

後出参照

( 4) (m4)

(m4) (m4) (m4)

( 4) ( 4) ( 4) ( 4)

1] 2]

4] 1] + 2] 1 ) .

12 ( ) ( ) ( ) ( / ) sin ( ) cos

mxyxy xy

xy xy xy

m m m mx y xy xy

r m

r r r

ai x y j i x y C P b a j D P

E h

01 01 01 01 01 013

1 1

と置いて，先に求めた[ｍ式と[ｍ式，および

　[ｍ　[ｍ [ｍ（）より未知関数( を求める

, ,xy

xy

m

m

( 1) ( 1)

( 2) ( 2)

(m4)

12 ( )) ( ) (1 ) ( / ) sin (1 ) cos

12 ( ) ( ) 4 ( / ) sin 4 cos

4] 1]

m mx y

m mx y

xy

ai x y j i x y b a j

E h

ai x y j i x y k b a j k

E h

r

01 01 01 01 1 131 1

01 01 01 01 m m31 1

, , ①

, ,

[ｍ　[ｍ

xy

xy

xy

m

xy

m

m

m

④

②

(m4)

( )

( ) ( )

( )

+ 2] 1

(1 ) ( / ) sin (1 ) cos12 (1 )

(1 ) 4 ( / ) sin 4 cos

12 4 (1 4 ( / ) sin 4 cos

xyr

r b a jar r

E h r k b a j k

kk b a j k

E h

m41 1

m4 m4

3 m41 1 m m

m 1

m m31 1

[ｍ（）

①xy

xy

xy

xy xy

xy

m

m

④ ②

( )

( )

( 4) ( 4)

) ( / ) sin

4 (1 ) cos

( : , )

12( , ) ( , ) (1 ) sin (1m m

x y

b ar

j k

r E h x y

ai x y j i x y b j

E h

m4

m 1

m42 2 2 02 02

(m4)

02 0 02 0 232 2

次に，未知）を用いて，内部板（ , , の変位計算式を作る．

　　xy

xy

m

xy

xy

④

β

( )

( )

( )

) cos

12 (1 ) ( / ) sin (1 ) cos

4 (1 ) sin4 sin 4 cos

4 (1 ) cos

m

m m

a

ra mb a j

GE h

r

k bG k b j k a G r

j k a

2

m4

2 231 1

m4

m 1 m4m m

m 1

により，を算定する．

xy xy

xy

xy

⑤

④ ⑤

④ ⑤:

( )

( )

(

0

(1 ) sin (1 ) cos

(4 1 ) (1 ) sin (4 ) sin (4 ) cos

(4 1 ) (1 ) cos

m

m m

m

r b j a

G k br G k b j G k a

j G k a

r

m42 2

m 1 2 m4m m

m 1 2

　上式を整理して次式を得る．　　　

xy

xy

xy)

( 4) ( 4) ( )

(4 )-

(4 1 ) (1 )

(4 )-

(4 1 ) (1 )

m

m

m

m

G k

G k

G kr

G k

m4 m

m 1 2

mm m m4

m 1 2

. ( 122 1)

. ( 122 2)

　　　

　求めるは,　　　　　　　　xy

xyxy xy xy

eq p.

mm eq p.

123 （ plate-8 ）:

( 4)

( 4)

( ) ( )

(a) )

xy xy

txy

txy

m t

xy xy

xy

m t

t

(2.4.2)

fig. (p. 125 - 2)

複合平板のねじり負荷とせん断負荷による変位の特性

境界発生内力( の共通計算式の導出

後出参照

(t4)

(t4) (t4) (t4)

( 4) ( 4) ( 4) ( 4)

1] 2]

4] 1] + 2] 1 ) .

( ) ( ) ( ) ( / ) sin ( ) cos

xyxy

xy xy xy

t t t tx y xy xy

r t

r r r

au x y j u x y C P b a j D P

E h

u

01 01 01 01 01 01

1 1

と置いて，先に求めた[t 式と[t 式，および

　[t 　[t [t （）より未知関数( を求める

, ,xy

xy

t

t④

( 1) ( 1)

( 2) ( 2)

(t4) (t4

( )) ( ) (1 ) ( / ) sin (1 ) cos

( ) ( ) 4 ( / ) sin 4 cos

4] 1] + 2] 1

t tx y

m mx y

xy xy

a tx y j u x y b a j

E h

ai x y j i x y k b a j k

E h

r r

01 01 01 01 1 1

1 1

01 01 01 01 31 1

t t

, , ①

, ,

[t 　[t [t （

xy

xy

xy

t

xy

t

t②

)

( )

( ) ( )

( )

(1 ) ( / ) sin (1 ) cos (1 )

(1 ) 4 ( / ) sin 4 cos

4 (1 ) ( / ) sin 4 ( / ) sin 4 cos

4

r b a jr r

E h r k b a j k

k b ak b a j k

E h j k

t41 1

t4 t4

t 41 1

1

1 1

t t

t

t t

）

①xy

xy

xy

xy xy

xy

a t

a t

④ ②

( )

( )

( 4) ( 4)

(1 ) cos

( : , )

( , ) ( , ) (1 ) ( / ) sin (1 ) cos

t tx y

r

r E h x y

au x y j u x y b a j

E h

m4

1

t 42 2 2 02 02

(t4)

02 0 02 0 2 2

2 2

t

次に，未知）を用いて，内部板（ , , の変位計算式を作る．

　　xy

xy

t

xy

xy

④

β

( )

( )

( )

(1 ) ( / ) sin (1 ) cos

4 (1 ) / sin4 ( / ) sin 4 cos

4 (1 ) cos

rtb a j

E h G

r

k b aG k b a j k G r

j k

r

t4

2 2

1 1

t4

1 4

1

t

t

t t t t

t

ｔ

により，を算定する．

（）

xy xy

xy

xy

⑤

④ ⑤

④ ⑤:

( )

( )

( )

0

(1 ) / ) sin (1 ) cos

(4 1 ) (1 ) sin (4 ) sin (4 ) cos

(4 1 ) (1 ) cos

(4 )

b a j

G k br G k b j G k a

j G k a

G kr

42 2

1 2 t 4

1 2

t 4

t t

t t t t

t t

t t

ｔ（

　上式を整理して次式を得る．　　　

xy

xy

xy

( 4) ( 4) ( )

-(4 1 ) (1 )

(4 )-

(4 1 ) (1 )

G k

G kr

G k

1 2

mt t t4

1 2

t t

t

t t

. ( 123 1)

. ( 123 2)

　　　

　求めるは,　　　　　　　　xy

xyxy xy xy

eq p.

tm eq p.

124 （ plate-8 ）:

(m4) (m4)

xyxy xyβ = r m[内力]

x

y

[m4]

x

y

b

a

xym

[m 2]

x

y

][m 4

o

zz

xymxym

xym

z

[外力]

[内力]

2 (1 ) ( 124) (m4) (m4)

xy xy

fig. (p. 124 - 2) [m4( ]

[m4] [m2]+[m4 ] [m1] r +[m ] r note

　外部板)の計算式に対する[計算mode]加算方式

下記　

参照

複合平板

p.

(m 4)

xyβ

(m 4)

xyβ

(m 4)

xyβ [内力]

[外力]

(m 4)

xyβ

( ) 2 (1 )

/

(m4) (m4)

xy xy

(m4) (m4)xy xy xy

note 124 - 1 [m4] [m2]+[m4 ] [m1] r +[m ] r

[m4] [m2]+[m4 ]

[m4 ] [m1 ] β m [m1 ] r

[m1] [m2]+[m1

の説明

　　

p.

①

②

& 2 (1 )

( ) ( ) .

(m4)xy

(m4) (m4) (m4)xy xy xy

[m4 ] [m1] [m2] r

] [m1 ] [m1] [m2]

[ m 4] [m2]+ [m1] [m2] r [m1] r +[m ] r

note 124 - 2 ote 125 - 2 と同一内容p. p.

④③

① ④

x

y

β[m1 ]

b

a

0 0(x , y )

xym

x

y

m 1

[面外剛体回転]

[ βfig. (p.124 - 1) m1 ] [m1 ]

. ( 120 - 2)

回転変異項を復元させた　計算式

の説明図　eq p.

xym

xym

x

y

(a)m 1

[内力]xym

m1(境界応力）(境界変位) 式

125 （ plate-8 ）:

x

y

β[t1 ]

b

a

0 0(x , y )

xym

x

y

t 1

[面内剛体回転]

βfig. (p.125 - 1) [t1 ] [t1 ]

. ( 121 - 2)

回転変異項を復元させた　計算式

の説明図　eq p.

xyt

x

y

(a)t 1

[内力]xym

t1(境界応力）(境界変位) 式

xyt

(t 4) (t 4)

xyxy xyβ = r t[内力]

x

y

[t 4]

x

y

b

a

xyt

[ t 2]

x

y

][t 4

xytxyt

xyt

[外力]

[内力]

2 (1 ) ( ) (t4) (t 4)

xy xy

fig. (p. 125 - 2) [t 4 ]

[t4] [t 2]+[t4 ] [t1] r +[t ] r note 125

　

下記

の計算式に対する[計算mode]加算方式

　

参照

複合平板 (外部板)

p.

(m4)

xyβ

[外力]

(m4)

xyβ [内力]

(m4)

xyβ

(m4)

xyβ

, )

)

( ) ( )

( ) 4

4

x y

xy

t t

x y

t

note 125 - 1 note 124 - 1 m t

note 125 - 2 t t [ t ]

[ t ]

（

（

　負荷（，）に対する複合平板　の共通計算式の作成

においても,　に用いた方法を全く同様に適用することが

p. p.

p.

式に記号変換（ → ）を行う．

( 4)

( 4) ( 4) ( 4) ( 4)

( , ) ( , )

, , ,

-1 2.1 2.2 -1 2.1 2.2 .

t t t tx y x yp p q q

x y x y

xy x y

m m

t t t

. ( 28 ) . ( 29 )

ｔxy

ｔｔ

できる．

　　但し，の場合の影響関数（r ）に対して，（，）の場合は４個の複雑雑

　　な関数( が影響する式となる．

　　適用例を　，，と，，に示したeq p. eq p.

126 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

(2.4.3) ( , )

12 12( ) ( ) , ( ) ( ) :

1

3+

(a) [m4(P )] :

md md md mdx x y x

P P x y

a aP P P P

E h E h

k

i C i D

xy xy

xy

( m t )

0 0 0

xy xy

0 0 0 03 31 1 1 1

32 2 1

m m311 1

m

0

m m

G

境界変位計算式:

　共通表示式

　　

Ｅｈ，　

Ｅｈ

複合平板の境界変位係数の一

( )

( 4)

( )

( 4)

(1 ) (4 ) (1 )( )

(4 1 ) (1 )

(1 ) (4 ) (1 )( )

(4 1 ) (1 )

(b) [m1(P )] :

mxy

m m

mxy

m m

r y ykC P

G a G k a

r x xkD P

G a G k a

xy

m42

0 0m 20

m 1 2

m42

0 0m 20

m 1 2

m

0

. ( 126 - 1)

般式

　　一様平板の対応位置の変

xy

xy

eq p.

( ) ( 4)

1 &

( ) ( 4)

1 &

( )

( ) ( ) (1 ) (1 )

( ) ( ) (1 ) (1 )

( ) [m2(P )] :

(

m

m

m mxy xy

G

m mxy xy

G

mxy

y yC P C P

a a

y yD P D P

a a

C P

1 2

1 2

xy

1 0 00 0 2 1

1 0 00 0 2 1

m

0

2

. ( 126 - 2)

位係数式

　ｃ　　　開孔板の内縁の変位係数式

eq p.

( 4)

0

( ) ( 4)

( 3 ) ( 4) ( 4)

) ( ) (1 ) 4

( ) ( ) (1 ) 4

( ) [m3(P )] :

( ) ( ) 0 ; (

m

m

m

mxy

G

m mxy xy

G

m S m mx xy xy

G

y yC P k

a a

x xD P D P k

a a

yC P C P D P

a

xy

0 00 0 2 m

1 0 00 0 2 m

0

m

0

00 0

. ( 126 - 3)

ｄ　　　開孔縁固定板の変位係数式

　　

eq p.

) 0

mG

x

a

00 . ( 126 - 4) eq p.

127 （ plate-8 ）:

( ) ( ) ( ) ( )

(2.4.3) ( , )

( ) ( ) , ( ) ( )

1 (const.)

(a) [t 4(P )] :

td td td tdx x y x

P P x y

a aP P P P

E h E h

k

u C u D

xy xy

xy

( m t )

0 0 0

xy xy

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2

1 1

t

0

t t

t t

G

境界変位計算式:

　共通表示式

　　

Ｅｈ，　

Ｅｈ

複合平板の境界変位係数の一般式

( )

( 4)

( )

( 4)

(1 ) (4 ) (1 )( )

(4 1 ) (1 )

(1 ) (4 ) (1 )( )

(4 1 ) (1 )

(b) [t1(P )] :

txy

txy

r ky yC P

G a G k a

r kx xD P

G a G k a

xy

t42

20 00

1 2

t42

20 00

1 2

t

0

t

t t t

t

t t t

. ( 127 - 1)

　　一様平板の対応位置の変位係数式

xy

xy

eq p.

( ) ( 4)

1 &

( ) ( 4)

1 &

( )

( ) ( ) (1 ) (1 )

( ) ( ) (1 ) (1 )

( ) [t2(P )] :

( )

t txy xy

G

t txy xy

G

txy

y yC P C P

a a

y yD P D P

a a

C P C

t 1 2

t 1 2

xy

1 0 00 0 2 1

1 0 00 0 2 1

t

0

20

. ( 127 - 2)

　ｃ　　　開孔板の内縁の変位係数式

eq p.

( 4)

0

( ) ( 4)

( 3) ( 4) ( 4)

( ) (1 ) 4

( ) ( ) (1 ) 4

( ) [t3(P )] :

( ) ( ) 0 ; ( )

t

txy

G

t txy xy

G

t t tx xy xy

G G

y yP k

a a

x xD P D P k

a a

yC P C P D P

a

t

xy

t t

0 00 2

1 0 00 0 2

0

t

0

00 0 0

t

t

. ( 127 - 3)

ｄ　　　開孔縁固定板の変位係数式

　　

eq p.

0x

a

0 . ( 127 - 4) eq p.

128 （ plate-8 ）:

1954 1985

4

1985 2015

6

93

9 95

9 97

参考文献　

　　技術専門書　，　学術論文等　　　　　　　　　　　　　

研究資料例示（～）　　　　　　　　　　　

　　新製品開発等の関連グループの共同資料の例　　　　　 , 　

研究資料例示（～）

　　関連研究グループの共同発表論文等の例　　　　 ,

[参考文献]　

p.

p.

p.

129 （ plate-8 ）:

参考文献

( 1 ) M. Hetenyi : Beams on Elastic Foundation ,

The University of Michigan Press (1971 )

( 2 ) Stephen P. Timochenko , S. Woinowsky-Krieger : Theory of Plates and Shells ,

McGraw-Hill Book Company ( 1959 ),

International Student Edition , McGraw-Hill International Book Company

( 2nd

printing, 1983 )

( 3 ) デン・ハルトーク(原著) , 水野正夫(訳・監修) : 応用材料力学

(株)養賢堂 ( 1971 )

J. P. Den Hartog : Advanced Strength of Materials ,

McGraw-Hill Book Company ( 1952 )

(4) N. Savin , W. Johnson : Stress Concentration around Holes ,

Pergamon Press (1961)

(5）N. I. Muskhelishvili , J. R. M. Radok : Some Basic Problems of

The Mathematical Theory of Elasticity,

Noordhoff International Publishing (1977)

(6) 森口繁一：二次元弾性論，岩波書店(1957)

(7）川井忠彦，吉村信利：平板の影響関数とその工学的応用に関する研究，

造船学会論文集 117 (1965) 164-177

(8）大久保肇：応用弾性学，朝倉書店 (1969)

(9) 山本善之，堀幸夫固体力学Ⅱ, 岩波講座 - 基礎工学，岩波書店 (1969)

(10) 小林繁夫，近藤恭平：弾性力学，培風館（1987）

130 （ plate-8 ）:

（1956 ～ 1985 ）研究資料例示 (順不同) - 1/2

(1) K . Masubuchi , T. Yada : Some Problems of Elastic Dislocation and their

Application on Residual Welding Stresses , Int. Congress for Applied Mechanics (1958)

(2) 矢田敏夫，小杉貞夫 : ガス切断による収縮 , 石川島技報 Vol.15 , No.1 (1958)

(3) 前田豊生，矢田敏夫，中村宇八郎，谷山斉彬：有限矩形炭素鋼板点過熱による収縮，

I H I 技報，Vol. 1, No.3 (1961)

(4) 秋田好雄, 矢田敏夫：大型脆性破壊試験法の開発 (No.1)，I H I 技報, Vol.4 ,

No. 20 , (1961)

(4) 矢田敏夫，谷山斉彬，中村宇八郎，山岡昭 : 鋼材の溶接残留応力の常温における

経時変化，I H I 技報, Vol. 2, No.8 (1962)

（6）H. Kihara , Y. Akita , K. Ikeda , T. Yada : Recent Studies on Brittle Fracture Initiation in Japan

Using Large Size Specimens , Annual Meeting of International Institute of Welding

( July , 1964)

(7) 秋田好雄，矢田敏夫，柳沢一郎：コンポジットセグメント製低温液体ガス貯蔵用地下

タンクに関する基礎的研究 : 日本土木学会論文集第 157 号 (1968-9)

(8) 矢田敏夫：材質と板厚不連続部を持つ平板の応力集中の計算

(面内変形の場合)，日本造船学会論文集，第 125 号（1968）

(面外変形の場合)，日本造船学会論文集，第 126 号（1969）

(9) T. Yada : On Brittle Fracture Initiation Characteristics to Welded Structures,

Soc. Naval Architect of Japan (Selected paper) Vol.2 (1969)

(10) 前田豊生, 矢田敏夫, 冨所栄，中村宇八郎，神近亮一：溶接実験における電算化

システムの研究，I H I 技報 Vol. 13 , No.6 (1973)

(11) 矢田敏夫, 酒井啓一，飯野暢 : 鋼構造物に発生する脆性破壊の研究：I H I 技報，

Vol. 11 , No. 4 (1971)

131 （ plate-8 ）:

( 1956 ～ 1985 ) 研究資料例示 (順不同) - 2/2

(12) 矢田敏夫，酒井啓一，飯野暢, 阪野賢治：引張りと曲げ疲労を受ける部材の

安全性評価に関する一考察，日本造船学会論文集，第 135 号 (1974)

(13) 神近亮一，矢田敏夫：有限要素法による非定常熱弾塑性解析および溶接への

適用例．I H I 技報, vol.14, No. 6 (1974)

(14) 矢田敏夫, 中村宇八郎，福沢光男：エレクトロガスおよびエレクトロスラグ溶接の

熱変形対策， I H I Engineering Review, Vol. 8 , No. 1 (1975)

(15) 矢田敏夫，山岡昭：I B 型自動溶接線ならい装置，溶接技術．Ｎｏ.11（1975）;

日本特許 No.1,037,199 （1981)，United State Patent No. 3,5696,048 (1975)

(16) T. Yada : Fracture Mechanics – Theory and Application ,

Univ. of Sao-Paulo(大学院課程講義テキスト，JICA 派遣客員講師)，(1977）

(17) 佐藤邦彦，矢田敏夫，神近亮一 : 片面溶接における変形と割れに関する研究，

I H I 技報 Vol.17 , No. 3 (1977)

(18) 菊島信，中村宇八郎，福沢光男, 矢田敏夫 : 高周波抵抗溶接における溶接条件の

定量的解析 , I H I 技報 Vol. 18 , No.5 (1978)

（19）矢田敏夫，中村宇八郎，冨所栄，福沢光男：ステンレス鋼の水中プラズマ

アーク切断法の研究，I H I 技報，Vol. 20 , No．6 （1980）

（20）三輪滋雄，冨所栄，中村宇八郎，間島是一，矢田敏夫，鈴木忍，中崎長三郎，

市橋義徳，伊丹宏治，高橋三郎，林清純 : JMTR 内圧クリ－プ照射試験装置の

水中プラズマ切断法に関する研究，動力炉技報 No. 35 (1980)

（21）浅井寿太郎，矢田敏夫，中村宇八郎，冨所栄，福沢光男：NC 多層溶接装置の開発，

I H I 技報，Vol. 24 , No.2 (1984)

(22) T. yada , U. Nakamura , S. Tomidokoro , M. Fukuzawa , J. Asai : Development

of a Multi-pass Arc Welding Robot for Joining Heavy Plate , Welding Journal

(Feb. 1985)

132 （ plate-8 ）:

（1986 ～ 2000） - 研究資料例示 (順不同) - 1/2

[1] 岡崎正和，武藤睦治, 矢田敏夫，山口友大；異種金属電子ビーム溶接継手の

クリープ・疲労破壊特性，材料(日本材料学会誌) Vol.36, No.410 ( 1987 - 11)

[2] 栗田正則，小野伸幸，井原郁夫，矢田敏夫：ガウス曲線法による炭化ケイ素の

X 線応力測定，材料(日本材料学会誌)，Vol.37, No. 423 (1988-12)

[3] 矢田敏夫，古口日出男，本澤豊茂，賀屋俊典，宮川松男：セラミックスと金属の

接続部の信頼性評価，日本機械学会論文集，Ａ編，54 巻,508 号，( 1988-12)

[ 4 ] M. Oksazaki , T. Yada , Ｔ. Endoh : Surface Small Crack in Low-cycle Fatigue at

Elevated

Temperature and Application Limitation of Macroscopic Crack Growth Law ,

Nuclear

Engineering & Design , No.111 (1989)

[5] 大谷幸広，古口日出男，矢田敏夫：初期面外変形を持つ平板が引張り荷重を受け

るときの非線形応力解析，日本機械学会論文集，55 巻 520 号(1989-12)

[6] 小金宏喜，古口日出男，矢田敏夫：内部発熱源を持つ定常熱伝導問題の境界要素

法逆解析の精度向上法に関する一考察，日本機械学会シンポジュウム講演論文集

（1988-7）

[7] 于金圭，岡崎正和，矢田敏夫：大脚長溶接継手の疲労強度評価の研究(不溶着

部および止端部の応力拡大係数の近似計算式），日本機械学会講演論文集

（1987-3）

[8] 森宏之，本澤豊重，古口日出男，矢田敏夫：セラミックスと金属の接合部の信頼

性評価(有限要素法による弾塑性応力解析)，日本機械学会講演論文集（1987-3）

[9] T. Tomishima, T. Yada : Study on an Identification Method of Residual

Stresses by Inverse Analysis , International Journal of Pressure Vessel

and Piping ,No.44 (Jan. 1991)

[10] 李銀性，矢田敏夫 , 小林勝 : 境界要素解析の精度向上に関する研究 ,

塑性と加工(日本塑性加工学会誌) (1990-1)

133 （ plate-8 ）:

（1986 ～ 2000 ）- 研究資料例示 (順不同) - 2/2

[11] 冨島俊彦，矢田敏夫 : 弾性体の内部応力推定に対する逆問題解析手法の一応用，

日本機械学会論文集，56 巻 529 号 (1990-9)

[12] . Y, Ohtani , Koguchi, T. yada : Non-linear Analysis of Strain Concentration

Ocurring at Welded Joint with Initial Distortion in a Spherical

Pressure Vessel , Int. Journal of Pressure Vessels and Piping , 45 (1991)

[13] 李銀性，古口日出男, 矢田敏夫 : セラミックスー金属接合体の応力集中緩和法，

日本機械学会論文集，58 巻 552 号(1992-8)

[14] Yin-Sheng Li , H. Koguchi, T. Yada : Some Improvements of Accuratcy and

Efficiency in Three Dimensional Direct Boundary Element Method ,

International Journal for Numerical Methods in Engineering , Vol. 33 ,1992

[15] 佐藤豊一，武藤睦治，矢田敏夫，鷹野，角田：高温フレッテイング疲労特性

に及ぼす接触面圧の影響；材料(日本材料学会誌) 第 42 巻 472 号

（Jan．1993）

[16] 井上忠信，古口日出男,矢田敏夫，：表面力を受ける異材接合体の接合端部近傍

における応力および変位場の解析,日本機会学会論文集，59 巻 564 号 (1993-8)

[17] 井上忠信，古口日出男，矢田敏夫：表面に垂直な力が作用する 3 相異材接合体の

接合端部近傍の特異応力強さの分布，日本機械学会論文集（Ａ）59 巻 567 号

(1993-10）

[18] H. Koguchi, T. Inoue , T. Yada : Stress Singularity in Three-Phase Bonded

Structure , Transactions of the ASME , Journal of Applied Mechanics ,Vol. 63

(June,1996)

[19] 矢田敏夫，益子淳也，井上忠信：平板内の楕円形開孔部に寸法および材質の

異なる楕円板を接合するときに生ずる内部応力の推定，日本機会学会論文集，

63 巻 610 号 (1997-6)

著者略歴

矢田敏夫

工学博士，長岡技術科学大学名誉教授 (株)ＩＨＩ ( 旧・石川島播磨重工業株式会社 ) (1956 - 1985))研究部部長，技師長) 長岡技術科学大学 (1985 - 1994) 教授，副学長千葉工業大学 (1994 - 2002) 教授



[曲げ,ねじり]問題と[引張り,せん断]問題の共通表示

(plate-8)編

線分状の異質材周辺に誘起される

変位（ひずみ）分布の共通計算式

2017年 10月 12日初版発行©

著者矢田敏夫発行者和田安弘発行所 GIGAKU Press

(長岡技術科学大学出版会) 〒940-2188 新潟県長岡市上富岡町1603-1

長岡技術科学大学内

電話 0258-47-9266

[email protected]

Printed in Japan

ISBN978-4-907996-35-2

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