سرد مﺎﻧ تاﺮﺑﺎﺨﻣ ﻪﺘﻓﺮﺸﯿﭘ...

تئوری پیشرفتھ مخابرات-دانشگاه گیالن 1

نام درستئوري پیشرفته مخابرات

4: شماره اسالید

AWGNگیرنده هاي بهینه براي کانال هاي: 4فصل

1

گیرنده هاي بهینه براي : 4فصلAWGNهاي کانال

مدل هاي کانال شکل موج و برداري 4-1

شکل موج و برداري AWGNکانال هاي 4-2

محدود -آشکارسازي بهینه براي سیگنالینگ باند 4-3

محدود-آشکارسازي بهینه براي سیگنالینگ توان 4-4

ناهمسازآشکارسازي 4-5

مقایسه روش هاي مدوالسیون دیجیتال 4-6

2


نام مبحث آموزشیمدل هاي کانال شکل موج و برداري 4-1

3

مدل هاي کانال شکل موج و برداري ، هاي مدوالسیون سیستمقابلیت اطمینان روي رااثر نویز در این فصل

.بررسی می کنیم ) 3فصل (

فرض می کنیم که فرستنده اطالعات دیجیتال را توسطM شکل موجهر شکل موج با .ارسال می کند {m=1,2,…,Msm(t);}سیگنال

.ارسال می شود t≤T≥0در بازه Tسمبلی به طول

جمعی گوسی سفید نویز مدل کانال)AWGN(

sm(t)* سیگنال ارسالی

*n(t) فرایندنمونهتابع

AWGN با:PSD

Φnn (f) =η/2 W/Hz

4


)2(مدل هاي کانال شکل موج و برداري بر اساس سیگنال مشاهده شده گیرندهr(t) تصمیم می گیرد که کدام پیامm

(1≤m≤M) ارسال شده است.

خطاياحتمال کمینه کردن: تصمیم بهینه

هر پایه متعامد یکه{ф j(t), 1 ≤j≤M} را می توان براي بسط فرایند سفید گوسی با. میانگین صفر استفاده کرد

ضرایب بسط، متغیرهاي تصادفی گوسیiid با میانگین صفر و واریانسN0/2 می باشند.

{ф j(t), 1 ≤j≤M} را می تواند براي بسط نویزn(t) بکار برد.

با استفاده از{ф j(t), 1 ≤j≤M} سیگنال ،r(t)=sm(t)+n(t) را می توان به شکلبرداري

r=sm+n

.بعدي هستند Nتمام بردارها . نوشت

مولفه هايn متغیرهاي تصادفی گوسی ،iid با میانگین صفر و واریانسN0/2 می.باشند 5

ˆeP P m m

)3(مدل هاي کانال شکل موج و برداري تقسیم می شود آشکارساز سیگنال و دمدوالتورگیرنده معموال به دو قسمت.

تبدیل شکل موج دریافتی دمدوالتور سیگنال وظیفهr(t) به یک بردارN بعديr=[r1,r2,…,rN] است کهN بعد شکل موج سیگنال ارسالی می باشد.

آن است با مشاهده بردار آشکار ساز وظیفهr تصمیم بگیرد که کدام یک ازM . شکل موج سیگنال ارسال شده است

را به دو صورت می توان ساختسیگنال دمدوالتور

همبسته سازهاي سیگنالبر اساس اولی * منطبقفیلتر هاي دومی بر اساس استفاده از *

خطا پس از دمدوالتور طوري طراحی می شود که احتمال ساز بهینه آشکار.را کمینه می کند) سمبل(

6


گیرنده بهینه براي کانال برداري فراگیر مدل کانالAWGN :r=sm+n

پیامm از مجموعه{1,2,…,M} با احتمال خطايPm انتخاب می شود.

مولفه هاي موجود درn متغیر تصادفی ،iid باN (0, N0/2) هستند ؛PDF : بصورت زیر می باشد nسیگنال نویز

یک مدل ازکانال برداري رایج به

:صورت زیر می باشد

sm از مجموعه{sm(t);m=1,2,…,M} احتمال پیشینباPm انتخاب می شود.

بردار دریافتیr به طور آماري وابسته به بردار ارسالی می باشد که دارايPDF .است p(r|sm)شرطی

7

22

1

200 0

1 1( ) exp exp

2

N

N Nj

j

n

pNN N

n

n

)2(گیرنده بهینه براي کانال برداري فراگیربر اساس مشاهده گیرندهr که کدام پیامتصمیم می گیردϵ{1,2,…,M}

.ارسال شده است

تابع تصمیمg(r) : یک تابع ازRN به مجموعه پیام هاي{1,2,…,M} است.

احتمال تصمیم درست به شرط دریافتr :

احتمال آشکار سازي درست برابر است با:

براي هرr

قاعده تصمیم گیري بهینه :

8

ˆcorrect decision| sent| P P mr r

ˆcorrect decision correct decision| ( ) sent| ( )P P p d P m p d r r r r r r

ˆ max P correct decision | P m r

1

1

ˆ ( ) arg max |

arg max |

optm M

mm M

m g P m

P s

r r

r

m̂


و )MAP(گیرنده هاي بیشترین احتمال پسین )ML(بیشترین درستنمایی

9

بیشترین احتمال پسین قاعده تصمیم گیري بهینه قاعده)MAP (است:

قاعدهMAP را می توان به صورت زیر ساده کرد :

پیشین پیام ها برابر باشد یعنی احتمال وقتی کهP1=P2=…=PM=1/M

:آنگاه

p(r|sm) درستنمایی پیامm بیشترین نامیده شده و گیرنده مزبور را گیرنده.گویند ) ML(درستنمایی

توجه :p(r|sm) ،PDF شرطی کانال است.

1 1 1 1

( | )( , ) ( | ) ( )ˆ ( ) arg max arg max arg max arg max ( | )

( ) ( ) ( )

m mm m mopt m m

m M m M m M m M

P p sp s p s p sm g P p s

p p p

rr rr r

r r r

1

ˆ ( ) arg max |opt mm M

m g P s

r r

1

ˆ ( ) arg max |opt mm M

m g P s

r r

نواحی تصمیم

10

، براي هر آشکار ساز→{1,2,…,M} RN

فضاي خروجیRN را بهM ناحیه{D1,D2,…,DM} به گونه اي افراز کنید که

اگرrϵDm ، آنگاهDm براي پیام ناحیه تصمیم گیريm می باشد.

براي یک آشکار سازMAP داریم:

، اگر بیش از یک پیام بیشترین احتمال پسین یکسان داشته باشندr را می

.توان به طور اختیاري به یکی از نواحی تصمیم گیري اختصاص داد

ˆ ( )m g r m

' ' ': | | , 1 and mNmD R P m P m for all m M m r r r


خطا هنگامی روي می دهد کهsm ارسال شده وr درDm نباشد. گیرنده اي براي ناحیهاحتمال خطاي سمبل{Dm;1≤m ≤ M} برابر است با :

Pe|m احتمال خطا به شرط:برابر است با mارسال پیام

احتمال خطاي سمبل:عبارت است از ) یا احتمال خطاي پیام( احتمال خطاي بیت دیگري از خطا، نوعPb بیتاحتمال خطا در انتقال یک : است. داردخطا به چگونگی نگاشت رشته بیت هاي مختلف به نقاط سیگنال بستگی این. آسان ) هیات(کردن احتمال خطاي بیت بجز در حالت متقارن نقاط سیگنال پیدا

.نیست بین احتمال خطاي سمبل و احتمال خطاي بیت ارتباط:

احتمال خطا

|1 1

|M M

e m m m m e mm m

P P P D s sent P P

r

'

'

|1

| |cm m

m m

M

e m m mD Dm M

P p s d p s d

r r r r

'

'1 1

|m

m m

M M

e m mDm m M

P P p s d

r r

eb e b

PP P kP

k

11

پیش پردازش در گیرنده

فرض کنید که گیرنده عملیات وارون پذیرG(r)را قبل از آشکارسازي انجام دهد.

آشکارسازي بهینه برابر است با:

در صورت معلوم بودنr ،ρ بهsm بستگی ندارد.

آشکارساز بهینه براساس مشاهدهρ همان تصمیمی را می گیرد که آشکارساز.می گیرد rبهینه با مشاهده

وارون پذیري، بهینگی گیرنده را تغییر نمی دهد.

12

ms r m̂channel G(r) Detector

1

1

1

ˆ arg max ( , | )

arg max ( | ) ( | )

arg max ( | )

m mm M

m mm M

m mm M

m P p

P p p

P p

r ρ s

r s ρ r

r s


آمارگان کافی مشاهده ) : 1(فرضr را می توان برحسبr=(r1,r2) نوشت.

2(فرض : (

آشکار سازMAP به صورت زیر است:

با این فرضیات، آشکار سازي بهینه با شرایط زیر صورت می گیرد:

اساسفقط برr1 :r1 آمارگان کافی براي آشکارسازيsm

ازr2 می توان چشم پوشی کرد :r2 داده یا اطالعات نامرتبط

کاهش چشم پوشی از داده هاي نامرتبط به شناسایی آمارگان کافی به دلیل.آشکارسازي کمک می کند پیچیدگی

13

1 2 1 2 1( , | ) ( | ) ( | )m mp p pr r s r s r r

1 21 1

1 2 1 11 1

ˆ arg max ( | ) arg max ( , | )

arg max ( | ) ( | ) arg max ( | )

m m m mm M m M

m m m mm M m M

m P p P p

P p p P p

r s r r s

r s r r r s

)2(پیش پردازش در گیرنده فرض کنید که بردار دریافتی به فرم زیر بوده

r =sm+n

همچنین فرض کنید که یک اپراتور سفیدکننده . نویز رنگی می باشد nبه طوري که .یک بردار سفید باشدv=Wnوجود دارد به طوري که Wوارون پذیر

عبارت

ρ =Wr =Wsm+v

معادل یک کانال با نویز سفید براي آشکارسازي است.

هیچ انحرافی در عملکرد به وجود نمی آید.

اپراتور خطیW نامیده می شودفیلتر سفیدکننده.

14


نام مبحث آموزشی

شکل موج و برداري AWGNکانال هاي 4-2

15

شکل موج و برداري AWGNکانال هاي

16

کانالAWGN شکل موج:

{sm(t);m=1,2,…,M} با احتمال پیشینPm

n(t) : گوسی سفید میانگین صفر باPSD برابرN0/2 یکهمتعامد با روش گرام اشمیت،یک پایه{ф j(t), 1 ≤j≤M} و یک نمایش برداري

.به دست می آوریم {m=1,2,…,Msm;}سیگنال هاي فرایند نویزn(t) به دو جزء تجزیه می شود:

ضمنا خود سیگنال را می توان به صورت زیر نوشت:

1 1

2 1

( ) ( ) ; ( ), ( )

( ) ( ) ( )

N

j j j jjn t n t n n t t

n t n t n t

( ) ( ) ( )mr t s t n t

1( ) ( ) , ( ), ( )

N

m mj j mj m jjs t s t s s t t


)2(شکل موج و برداري AWGNکانال هاي نتیجه در

با تعریف

خواهیم داشت

مولفه هاي نویز{n j} متغیرهاي تصادفی گوسی ،iid با میانگین صفر و. هستند N0/2واریانس

17

21( ) ( ) ( ) ( )

N

mj j jjr t s n t n t

21( ) ( ) ( ) , ( ), ( )

N

j j j jjr t r t n t r r t t

; ( ) , ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) , ( )

( ) , ( )

j m j j j m j j

m j

j

r s n r s t t n t t

s t n t t

r t t

)3( شکل موج و برداري AWGNکانال هاي اثبات می شود که اجزاي نویز{n j} گوسی ،iid میانگین صفر با واریانس باN0/2

.هستند

18

0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ;

cov ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( / 2) ( ) ( )

j j

j j j

i j i j i j i j

i j

i

n n t t dt

E n E n t t dt E n t t dt zero mean

n n E n n E n E n E n t t dt n s t ds

E n t n s t s dtds

N t s t dt

0

0

( )

/ 2( / 2) ( ) ( )

0

j

i j

s ds

N i jN s s ds

i j


)4(شکل موج و برداري AWGNکانال هاي

19

n2(t) و{nj} هستند، درنتیجه ناهمبستهn2(t) و n1(t) مستقل می باشند.

2 2 1

1

0 0

0 0

cov ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) 02 2

j j j j

N

j j i ii

j j

j j

n n t E n n t E n n t E n n t

E n t n s s ds E n n t

N Nt s s ds t

N Nt t

)5(شکل موج و برداري AWGNکانال هاي

20

چونn2(t) مستقل ازsm(t) وn1(t) است در عبارت

تنها اولین مولفه اطالعات را در بر دارد.

دومین مولفه بی ربط بوده و می توان آن را نادیده گرفت.

موج کانال شکلAWGN

بعدي Nمعادل کانال برداري

.است

21

( ) ( ) ( ) ( )N

mj j jj

r t s n t n t

( ) ( ) ( ); 1mr t s t n t m M

; 1m m M r s n


21

برداري AWGNآشکارسازي بهینه براي کانال

2

0

2

0

1

1

100

1

0

:

~ (0, )

ˆ arg max ( / )

arg max ( ) :

1a

2

1: tan

ln sin

rg max

arg max :

arg ma

m

m

m mm M

m n mm M

N

N

m

N

mm M

Nm

m M

m P p

P p

P

Nn N

is a cons tN

x is increa g

eN

P e

r s

r s

r s n

I

r s

r s

2

10

x ln mm

m MP

N

r s

)2(برداري AWGNآشکارسازي بهینه براي کانال

22

2

10

20

1

2 20

1

0

0

2

2

1

ˆ arg max ln :

1arg max ln

2 2

1arg max ln ( 2 . ) :

2 2

1arg max ln . :

2 2

argmax .

/ 2

m

mm

m M

m mm M

m m mm M

m m mm M

m m m

m m

N

E

is c

m PN

NP

NP

NP E

M

o

AP

mmon

r s

r s

r s rs

rs

rs

s

r

0 1ln

2 2m m

NP E



23

قاعده تصمیم گیريMAP براي کانال برداريAWGN

اگر براي تمامیm هاPm=1/M باشد، تصمیم گیري بهینه چنین می شود :

کمترین فاصلهیا نزدیکترین همسایه آشکارساز*

اگر سیگنال ها در کانالAWGN آنگاهباشندهم احتمال

ML)بیشترین درستنمایی=( MAP) بیشترین احتمال پسین= (کمترین فاصله

1

0

ˆ a rg m ax .

1ln

2 2

m mm M

m m m

m

NP E

r s

20

1

2

1

1

1ˆ arg max ln

2 2

a

arg min

rg max

m mm M

mm M

mm M

Nm P

r s

r s

r s


24

مرز تصمیم براي سیگنال هاي هم احتمال

تصمیم بین ، مرزکمترین فاصلهبراي آشکارسازDm وDm’ نقاط با فاصله یکسان ازSm .است ’Smو

شکل چپ نمودارفلکی دو بعدي بوده که.چهارنقطه سیگنال را نشان می دهد

وقتی که سیگنالها هم احتمال و داراي انرژيیکسان باشند

بوده و mمستقل از

0m m m

N 1ln P E

2 2

m1 m M

m̂ arg max .

r s


)5(برداري AWGNآشکارسازي بهینه براي کانال براي سیگنال ناحیه تصمیم گیري در حالت کلیsm–ام بدین صورت است:

1هرناحیه تصمیم گیري حداکثر توسط-M شودنامساوي توصیف می.

به دست می آید) صفحهمعادله یک ابر (از معادله زیر مرز تصمیم:

در کانالAWGN

25

20m m m

1 m M

2m m

1 m M

N 1ˆ: m arg max ln P r(t)s (t)dt s (t)dt

2 2MAP

M1

ˆ: m arg max r(t)s (t)dt s (t)dt2

L

Nm m m m mD : . . ; 1 m M , m m r r s r s

m m m m

2 2m m m m m

( )

. r(t)s (t)dt , E s (t)dt

r s s

r s s


26

فاصله بین :معیار فاصلهr وsm

فاصله با حذف : معیار فاصله اصالح شده||r||2

منفی معیار فاصله اصالح شده: معیار همبستگی

با این تعریف ها

2 2

m m mD( , ) r(t) s (t) dt

r s r s

2

m m mD ( , ) 2 . r s r s s

2 2m m m m mC( , ) 2 . 2 r(t)s (t)dt s (t)dt

r s rs s

0 m m 0 m m1 m M 1 m M

m1 m M

ˆ: m arg max N ln P D( , ) arg max N ln P C( , )

ˆ: m arg ma

M

x C( ,

A

M )

P

L

r s r s

r s


باینرياحتمال خطا براي سیگنال هاي )Antipodal(مخالف

27

در سیگنال باینري مخالف

سیگنال برداري نمایش(N=1) :

ناحیه تصمیم گیري سیگنالs1 عبارتست از:

1 1

2 2

s (t) s(t); p p

s (t) s(t); p 1 p

1 s b 2 s bs E E , s E E

0 01 b b b b

0

b

t0

th

b

h

N N1 1D r : r E ln p E r E ln(1 p) E

2 2 2 2

N 1 pr

N 1

: r lnp4 E

r :p

rp

r nr l4 E

)2(مخالف احتمال خطا براي سیگنال هاي

28

6-4شکل

01 th

b

N 1 pD r : r r ln

p4 E

وقتی کهp→0 :→∞ rth محور حقیقی تمامD2 شودمی. که وقتیp→1 :→-∞ rth تمام محور حقیقیD1 شودمی. وقتی کهp→0.5 :→0 rth قاعده کم ترین فاصله گیرنده احتمال خطايMAP عبارت است از:

m

m m

2 1

th

th

2

e m mD

m 1 1 m M

b bD D

r

b br

P P P( )dr

p p(r s E )dr (1 p) p(r s E )dr

p p(r s E )dr (1 p) p(r s E )dr

r s


)3(احتمال خطا براي سیگنال هاي مخالف

29

th

th

r

e b br

b 0 th b 0 th

b th th b

0 0

P p p(r s E )dr (1 p) p(r s E )dr

pP N( E , N / 2) r (1 p)P N( E , N / 2) r

E r r EpQ (1 p)Q

N

Q(x) P N(0,1) x

Q( x/ 2 N / 2 ) 1 Q(x)

be

0

2EP Q

N

b 0 th

b 0 th

th b

0

b th

0

P N E , N / 2 r

1 P N E , N / 2 r

r E1 Q

N / 2

E rQ

N / 2

وقتی کهp=1/2،rth و احتمال خطا به صورت زیر 0=:ساده می شود

سیستم باینري است چون.Pe=Pb

هم احتمال باینرياحتمال خطا براي سیگنال هاي در کانالAWGN هم احتمال فرستنده یکی از دو سیگنالs1(t) وs2(t) را

.کندارسال می

هم احتمال بودن در کانالAWGN بدین معنی است که

ناحیه تصمیم گیري به وسیله عمود منصف خط واصل

s1 وs2 جدا می شود.

احتمال خطا وقتی کهs1 یاs2 ارسال شوند برابرند .

در صورتی کهs1 ارسال شود خطا وقتی اتفاق می افتد که

r درD2 باشد.

فاصله بین تصویرr-s1 رويs2-s1 و s1 بزرگتر ازd12/2 باشد)d12=||s2-s1||.(

بردار(s2-s1)/d12 بوده و بردار واحد یکn=r-s1 است در نتیجه

30

22 1 12 12

b 2 1

12

( ) d dP P P ( )

d 2 2

n s sn s s


باینري احتمال خطا براي سیگنال هاي هم احتمال )2(

31

2بنابراین2 1 12 0

22 12

b 2 1 12

12 0

212

0

( ) N(0,d N / 2)

dP P ( ) d / 2 Q

d N / 2

dQ

2N

n s s

n s s

22

12 1 2

mP X Q

mP X Q

d s (t) s (t) dt

با توجه به کاهشی بودنQ(x)، کمینه شدن احتمال خطا معادل بیشینه شدن فاصلهاست) d12(بین نقاط سیگنال

وقتی که سیگنال ها هم احتمال و داراي انرژي یکسان هستند:212 S1 S2 1 2 S1 S2d E E 2 s (t),s (t) 2E(1 ) ,E E E

≤ρ≤11- ضریب همبستگی است.d12 است که زمانی بیشینهρ=-1 ، وقتی که سیگنال ها مخالف باشندیعنی.

متعامد باینريسیگنال هاي آشکارسازي بهینه براي

32

براي سیگنالهاي باینري متعامدbE i j

i j 0 i js ( t )s d t 1 i, j 2

با انتخاب نمایش برداري بدین صورت است:

j j bs (t)/ E

1 b 2 b( E ,0); (0, E ) s sدر صورتی که همانند شکل سیگنال ها هم احتمال باشند

:احتمال خطا برابر است باb(d 2E )

2b 0 b 0P Q( d / 2N ) Q( E / N )

هايبراي سیگنال با فرض یکسان، مقدار انرژي مورد نیاز.برابر سیگنالهاي مخالف استدو متعامد

bP

سیگنال هاي باینري متعامد براي دسترسی به احتمال خطایی.خطاي سیگنال هاي باینري مخالف به انرژي بر بیت دو برابر نیاز دارنداحتمال برابر با


آشکارسازي بهینه براي سیگنال هاي متعامد )2(باینري

33

احتمال خطا

شکل مقابل نمودار احتمال خطا بر حسبSNR/bit .براي سیگنال هاي باینري متعامد و مخالف نشان می دهد

نسبت سیگنال به نویز(SNR) بر بیت

γb=Eb/N0

AWGNپیاده سازي گیرنده بهینه براي کانال هاي پیاده سازي هاي مختلفMAP در کانالAWGN

منطبقفیلتر گیرنده ) 2(همبستگی گیرنده ) 1(

می خطا احتمال هر دو منجر به کمترین و یکسان بوده ساختارها این همه عملکردگیرنده همبستگی .شوند

تصمیمMAP در کانالAWGN

مولفه هاي بردارr گیرنده همبستگی(.به دست می آیدرابطه از(

. را بیابید smو rداخلی ضرب 1)

.نیدضافه کرا ا ηm جمله بایاس 2)

(3m را بیشینه می کندکه نتیجه بیابید را ي.

34

0m m m m m

1 m M

N 1ˆ: m arg max ;M lnAP P E

2 2

r.s

j jr r(t) (t)dt


)2(گیرنده همبستگی

ηm وsm می توانند یک بار محاسبه و در حافظه ذخیره شوند.

35

)3(گیرنده همبستگی

دیگرپیاده سازي

نیاز بهMمدار همبستگی

معموال M>> N

ارجحیت کمتر

36

^

1

arg max ( ) ( )m mm M

m r t s t dt

0 1ln

2 2m m m

NP E


گیرنده فیلتر منطبق محاسبه می کنیم عبارت زیر را ، همبستگیدر هر دو گیرنده:

x(t) برابر باφj یاsm(t) است.

ه بمنطبق فیلتر پاسخx(t) هربراي راT دلخواه به صورتh(t)=x(T-t) .کنیدتعریف

اگرr(t) بهh(t) عمال شود، خروجیاy (t)برابر است با:

rx در منطبقرا می توان با نمونه برداري از خروجی فیلترt = T وردبه دست آ.

37

( ) ( )xr r t x t dt

( ) ( )* ( ) ( ) (

( ) ( )

) ( ) ( )

( )x

y t r t h t r h t d r x

r y T r

T t d

x d

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ))

h t x T t

h x T

h t x T t

x T t

) 2(منطبقتر گیرنده فیل

38

فیلتر منطبقگیرنده ( ) ( )* ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y t r t h t

r h t d r x T t d


)3(گیرنده فیلتر منطبق

تفسیر حوزه فرکانس

: 1ویژگی

sبراي سیگنال منطبقفیلتر (t)،h (t)=s(T-t)از خواص تبدیل با استفاده .استفوریه

طیف سیگنال Tتاخیر نمونه گیري از

39

2( ) *( ) j fTH f S f e

| ( ) | | |

( ) ( ) 2

H f S f

H f S f fT

)4(گیرنده فیلتر منطبق

سیگنال به نویز نسبتبه حداکثر رساندن : 2ویژگی

کنیم فرض میr (t)=s(t)+n(t) از فیلترh(t) گذشته و خروجی y(t)≡ys (t)+v (t) در زمانT برداري شده است نمونه.

بخش سیگنال :F{ys(t)}=H(f)S(f)

صفر با میانگین نویز گوسی :Sv(f)=(N0/2)|H(f)|2

Eh انرژي h(t) است.

40

2( ) ( ) j fTsy T H f S f e df

2

0 0/ 2 | ( ) | / 2 hVAR v T N H f df N E

قضیه رایلی

2 2

| ( ) | | ( ) | xx t dt X f df E


)5(گیرنده فیلتر منطبق SNRر خروجی فیلترد H(f) با استبرابر :

کوشی شوارتز مساوياز نا:

قضیه رایلی

تساوي در صورتی برقرار است اگر و فقط اگر,α ∊ C H(f)=αS*(f)e –j2πfT

اما

منطبق با فیلتر h(t)=s(T-t) )یعنی H(f)=S*(f)e –j2πfT( بیشترین بهSNR .می انجامد

41

2s

o

y TSNR

VAR v T

2

2 2

2 2 2

( ) ( )

| ( ) | . | ( ) |

j fTs

j fTh s

y T H f S f e df

H f df S f e df E E

2 2

| ( )| | ( )| xx t dt X f df E

0 0 0

2

/ 2 / 2s h s s

o

h

E E E ESNR

N E N N

منطبق فیلتر

در حوزه زمان منطبقفیلتر ویژگی

اگر سیگنالs(t) توسطAWGNبه منطبق، فیلتر با یک پاسخ ضربه شود، آلوده s(t) ، سیگنال به نویز خروجی(SNR) کندمی بیشینه را.

r دریافتی که سیگنال دفرض کنی: باتاث (t) متشکل از سیگنالs(t) وAWGNn(t) و بودهمیانگین صفر با

فرض کنید که سیگنالr(t) با پاسخ ضربه ياز فیلتر h (t) )0≤t≤T(ه و گذشتسیگنال خروجی فیلتر برابر است . برداري می شود نمونه t = Tخروجی آن در زمان

با

42

0

1/

2nn f N W Hz

0 0 0

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t

y t r t h t r h t d s h t d n h t d


)2(فیلتر منطبق در زمان نمونه برداريt=T

مشکل انتخاب پاسخ ضربه فیلتري است کهSNR0 خروجی را بیشینه کند:

43

2

2

2

0 0

2

0 0 0

;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

s

n

n

o

T T

T T T

o o

y TSNR

E y T

E y T E n n t h T h T t dtd

N Nt h T h T t dtd h T t dt

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

T T

s n

y t s h t d n h t d

y T y T y T

)3(فیلتر منطبق

با جایگزینیys(T) و E[yn2(T))] درSNR0 داریم :

مخرجSNR به انرژيh(t) بستگی دارد.

بیشترین مقدارSNR خروجی با ماکزیمم کردن صورت به شرط ثابت نگداشتن مخرج. به دست می آید

اگر :شوارز-نامساوي کشیg1(t) وg2(t) داریمباشند با انرژي محدود سیگنال هاي:

تساوي درحالتی برقرار است کهg1(t)=C g2(t) کهC در آن ثابت است.

44

2 2

0 0

2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2

T T

o T T

o o

Ts h T d h s T d

SNRN N

h T t dt h T t dt

1 2

2

2 21 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )T T T

g t g t dt g t dt g t dt


)4(منطبقفیلتر اگرg1(t)=h(t) و g2(t)=s(T-t) باشد آشکار است هنگامیSNR بیشینه

. h(t)=Cs(T-t) کهاست

بیشترین مقدارSNR با فیلتر منطبق به صورت زیر به دست می آیدخروجی:

دقت شود کهSNR به انرژي شکل موج خروجی قیلتر منطبق فقطs(t) بستگی. بستگی ندارد s(t)داشته و به مشخصات

45

2 2

0 0

2 2 2

0 0

2

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2( )

T T

o T T

o o

T

o o

s h T d s Cs T T d

SNRN N

h T t dt C s T T t dt

Es t dt

N N

یک کران جمعی روي احتمال خطا در

MLآشکارسازي وقتی سیگنال ها هم احتمال هستندPm=1/M بوده و آشکارسازي بزرگترین درستنایی

)ML( بهینه است.

احتمال خطا برابر است با:

براي کانالAWGN

بسته ندارندفرم انتگرال ها فلکی ها اغلب براي.

به دست آوریمباال را احتمال خطا، کران هاي است که براي تر آن ساده .

کران جمعی ساده ترین و پر کاربردترین کرانی است که بویژه درSNR استاکید هاي باال. 46

'

|1 1 1 '

'

1 1( | )

m

M M

e e m mm m m M D

m m

P P p dM M

r s r

' '

'

|1 1 ' 1 '

' '

2

1 '0'

1( | ) ( )

|| ||1exp

m m

m

M

e e m m n mm m M m MD D

m m m m

N

m

m M oDm m

P P p d p - dM

-d

NN

r s r r s r

r sr



)ML )2آشکارسازي در حالت کلی ، ناحیه تصمیمDm’ در آشکارسازيML به صورت زیر است:

تعریف می کنیم:

ناحیه تصمیم برايm’ در سیگنال هاي باینري هم احتمالsm وsm’ :

47

Nm' m mD R : p | p | ; 1 m M , m m r r s r s

mm' m mD p | p | r s r s

m ' mm '

m '

mm '

m m

D D

M

e|m mm 1 1 m' M D

m' m

m m m'1 m' M 1 m' MDm' m m' m

m m'p | d p | d

P p( | )d

p( | )

pairwise error prob. P

d P

r s r r s r

r s r

r s r

mm '

M M

e m m m'm 11 m' M m 11 m' MD

m' m m' m

1 1P p( | )d P

M M

r s r

m' mm'D D

در یک کانالAWGN سمبل به صورت زیر استخطاي زوج احتمال.

در نتیجه، کران جمعی در کانالAWGN برابراست با:

با تعریف کمترین فاصله به صورت و کاهشی بودن :، می توان نوشت Q(x)تابع

:برابر خواهد شد با) فرم سستی از کران جمعی(در نتیجه، کران احتمال خطا

فلکی هاي خوب آنهایی هستند که کمترین فاصله بین نقاط، بیشینه باشد. 48


)ML )3آشکارسازي

min m m'1 m,m' M

m' m

d min

s s

2 2mm' o min oQ d 2N Q d 2N

2 2 2Mmm' min min

em 11 m' M o o o

m' m

d d d1 M 1P Q M 1 Q exp

M 2N 2N 2 4N

2m m' b mm' 0P P Q d / 2N

2M M

2 mm'e mm' o

m 11 m' M m 11 m' M om' m m' m

d1 1P Q d 2N exp

M 2M 4N


کران پایین روي احتمال خطا در یک طرح سیگنالینگM با احتمال پیشین برابر تایی:

' '

1 1

1 1

1 0

' '

1 1m

1 1

1;

2

cm

c mm m

mm m

m

m mm

C C

M M

e mDm m

M M

m mD Dm m

Mm m

m

P P error sent p dM M

p d p dM M

D D

D D

dQ m m

M N

r s r

r s r r s r

هدف یافتنm’ ي است به طوري کهdmm’ کمینه شود. براي به دست آوردن سفت ترین کران پایینبایستی سمت راست را بیشینه کرد←.

فاصلهm پس. است اشتا نزدیکترین همسایه :

m in

1 10 0

1 1m ax

2 2

mM Mmm

em m

m m

d dP Q Q

M MN N

minmdmin min

md d49

)2(کران پایین روي احتمال خطا

دست کم یک سیگنال به فاصله يdmin ازsm قرار دارد

در نتیجه

Nmin : فلکی به شرط نقاط در تعداد

در نتیجه:

: m i n

m i n

01

1

2m m s s dm m

e

m M

dP Q

M N

min: m mm m d s s

m in m in m in

0 0

12 2

e

N d dQ P M Q

M N N

min 0min

0

/ 2 ,

2 0, . .

m Q d N at least one signaldQ

N o w

50


نام مبحث آموزشیآشکارسازي بهینه واحتمال خطا براي 4-3

سیگنال هاي باند محدود

51

آشکارسازي

PAMو ASKسیگنالینگ

شانپهناي باند کمدر این بخش ما طرح سیگنالینگی را بررسی می کنیم که عمدتا با .توصیف می شوند

،این طرح هاي سیگنالینگ بعد کمی دارند که مستقل از تعداد سیگنال هاي ارسالی است.و همان طوري که خواهیم دید، بازدهی توان با افزایش تعداد پیام ها کاهش می یابد

خانواده ي طرح هاي سیگنالینگ شاملASK ،PSK وQAM است. براي طرح سیگنالینگASK :

نقاط فلکی:2

m in 2

12 log

1bavg

Md E

M

min min min/ 2, 3 / 2, , 1 / 2d d M d

52


آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي سیگنال

)ASK )2یاPAMهاي

دو نوع نقطه سیگنال:2-M خطاي آشکارسازي رخ می دهد اگر : نقطه داخلی.

2 احتمال خطا نصف نقاط داخلی است: نقطه بیرونی. کنید فرضPei وPeo بیرونی باشندنقاط داخلی و خطاي احتمال :

min / 2n d

m in m i nm i n

0 0

1 12 ,

2 22 2e i e o e i

d dP P n d Q P P Q

N N

53

آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي سیگنال

)ASK )3و PAMهاي احتمال خطاي سمبل

min min

0 01

2min

min

0

22

0

2

0

22

1 12 2 2

2 2

2 1

2

6 log12 1

1

6 log2

12 log

1

1

M

e

m

bavg

bavg

bavg

d dP P error m sent M Q Q

M M N N

M dQ

M N

EMQ

Md E

M M N

EMQ

M

M N

Mکاهش با SNR/bit

بزرگMبراي دوبرابر کردنM سمبل/سرعت به میزان یک بیتافزایش

برابر 4نیاز بهSNR/bit براي حفظ کارایی

54


آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي سیگنال

)ASK )4وPAMهاي

احتمال خطاي سمبل برايPAMیا ASKسیگنال هاي

برايM ي بین ، فاصله بزرگM 2وM 6تقریباdB است.

55

آشکارسازي بهینه واحتمال خطا براي

PSKسیگنال هاي در سیگنالینگM-PSK )M-فرض می کنیم )تایی ،در نتیجه. سیگنال ها با احتمال برابر هستند

.تصمیم گیري کوتاه ترین فاصله، بهینه است* .s1احتمال خطا به شرط ارسال =احتمال خطا * وقتی کهE,0)√s1=(ارسال شود ،سیگنال دریافتی

+E: برابر است با n1, n2)√r =(r1, r2)=( با فرض مستقل بودنr1 وr2 و گوسی بودن آنها :

: نتیجه می شود

22

1 2

1 2

0 0

2 2 21 2

1

2

V ,

0 0

1, e x p

, a r c t a n

2 v c o sv , e x p

r E rp r r

N N

rV r r

r

v v E Ep

N N

1 0 2 0, / 2 , 0, / 2r N E N r N N

56


آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي )2( سیگنال هاي

PDF کناريΘ برابر است با

2

0

2

2

V ,0

2 v c o s

0 0

2 c o s

s in 2

0

v ,

1

2

s

s

v E E

N

v

p p d v

ve d v

N

e v e d v

:SNR سمبل در

با افزایشγs دامنه ،pΘ(θ) حولθ=0 بزرگ تر .می شود

0

S

E

N

57

بهینه و احتمال خطا براي سیگنال آشکارسازي)PSK )3هاي

ناحیه تصمیم :

:احتمال خطا

.نداردفرم ساده اي 4یا M=2براي جز به مخالفسیگنالینگ باینري : M=2وقتی )دوتایی( فاز باینري مدوله شده سیگنال دو : M=4وقتی

58

1

/

/

: / /

1 ( )M

eM

D M M

P p d

02 /b bP Q E N

22

0

0 0

(1 ) 1 2 /

11 2 2 / 1 2 /

2

c b b

e c b b

P P Q E N

P P Q E N Q E N



M-PSKاحتمال خطاي سمبل در

ایشبا افزM ،SNR الزم افزایش می یابد.

59


برايSNR هاي بزرگ) Eb/N0>>1 ( ،pΘ(θ) به صورت زیر تقریب زده می شود :

احتمال خطا به صورت زیر تقریب زده می شود:

2/,cos/)(2sin

forep s

s

2

0

0

2

sin

/sin

/

sin( / )

22

, /

1 / cos

2

2 2 sin 2 (2log )sin

s s

s

s

b

M

e sM

u

M

E

s NM

u E N

P e d

e du

Q Q MM

0 0 2 2log logb sE E

N N M M

در حالتM=2 4یا

02 2 /e bP Q E N

60


بهینه و احتمال خطا براي سیگنال آشکارسازي)PSK)6هاي

براي M بزرگ وSNR بزرگ :sin(π/M)≈ π/M

به صورت زیر تقریب زده می شود) سمبل(احتمال خطا:

هاي بزرگ Mبراي

برايM هاي بزرگ، دوبرابر کردنM باعثdB6 کاهش درSNR موثر می گردد.

22

20

2 log2 bEM

e NMP Q

در صورت استفاده از کدهاي گري براي نگاشت رشته بیت به سمبل، از آنجایی کهدرست اتفاق می افتد به جاي فاز انتخاب نادرست فاز مجاور محتمل ترین خطاها در

1b eP P

k

61

کدشده تفاضلی PSKسیگنال هاي ،شود می استخراج دریافتی سیگنال روي غیرخطی عملیات انجام با فازکاریر درعمل فاز در ابهام ← براي BPSKoشود می مربع ابتدا دریافتی سیگنال.oشود می فیلتر فرکانس دوبرابر مؤلفه.oفاز و کاریر فرکانس از تخمینی تا شده 2 بر تقسیم سیگنال فرکانس φ آید دست به.oشود می کریر فاز در درجه 180 فاز ابهام یک به منجر عملیات این.براي فاز تخمین در QPSK، دارد وجود درجه180 و ±90 فاز ابهام.فاز در ناپیوستگی یعنی ) )-1 ، -1( به +)1 ، +1( از مثال( فاز درجه 180 ناگهانی تغییر نداریم دمدوالسیون براي کاریر فاز از مطلقی تخمین نتیجه، در.غلبه فاز ابهام بر توان می متوالی هاي سیگنال بین فاز تفاضل صورت به اطالعات کدبندي با

.کردoدر BPSK می ارسال درجه صفر و درجه180 اندازه به کاریر فاز شیفت با 1 و 0 هاي بیت

.شودoدر QPSK، 11 ،01 ،00 هاي بیت معادل ترتیب به درجه -90و180 ،90 ،0 فازهاي شیفت

.باشند می 10 و62


)2(کدشده تفاضلی PSKسیگنال هاي هاي سیگنال PSK را عملیات این از حاصل PSK گویند تفاضلی کدشده.

هاي بازه در را شده مدوله سیگنال فاز که است ساده فاز گر مقایسه یک آشکارساز

.کند می مقایسه اطالعات استخراج براي متوالی

سنکرون دمدوالسیون PSK مطلق فاز صورت به که حالتی به نسبت تفاضلی شده کد

. شد خواهد منجر بیشتري خطاي احتمال به باشد شده کدبندي

در PSK معین، بازه هر در سیگنال شده دمدوله فاز در خطا هر تفاضلی، شده کد

.شد خواهد منجر متوالی )سمبل( سیگنال بازه دو روي رمزگشایی خطاهاي به معموال

در خطا احتمال M-PSK در خطا احتمال برابر دو تقـریباً تفاضلی کدشده M-PSK با

.آید می وجود به SNR در کوچکی کاهش فقط ضمنا، .باشد می مطلق فاز کدبندي

63

بهینه و احتمال خطا براي آشکارسازيQAMسیگنالینگ

در آشکارسازي سیگنالهايQAM دو فیلتر منطبق با سیگنال هاي زیر مورد نیاز است ،:

1 2( ) 2 / ( ) cos 2 , ( ) 2 / ( ) sin 2g c g ct E g t f t t E g t f t

خروجی فیلترهاي منطبقr =(r1, r2)

محاسبه کنید:

انتخاب کنید1

ˆ arg max ( , )mm M

m C

r s

براي تعیینPe باید فلکی سیگنال مشخص گردد.

برايM=4 شکل هاي ،)a ( و)b (فلکی هاي محتمل هستند.

فلکی فرض کنید براي هردو :dmin=2A2

2 2 21 2

2 2

1, 3 [2(3 ) 2 ] 2

4

avg

avg

r A E A

A A A A E A A A

( , ) 2m m mC E r s r.s

64


بهینه و احتمال خطا براي آشکارسازي)QAM )2سیگنالینگ

در صورتی کهM=8 چهار فلکی ممکن به صورت شکل هاي ،)a ( تا)d (می باشند : نقاط سیگنال :(Amc, Ams) براي همه آنهاdmin=2A میانگین انرژي برابر است با:

براي)a(و)c :( براي)b:( براي)d:( شماي)d ( انرژي کمتري

نیاز دارد

26.83avgE A

2 2

1

22 2

1

1( )

( )

M

avg mc msm

M

mc msm

E A AM

Aa a

M

26avgE A

24.73avgE A

65

بهینه و احتمال خطا براي آشکارسازي)QAM )3سیگنالینگ

QAM مستطیلیسیگنال دو با PAM فاز هم کاریرهاي صورت به )I( تربیعی و )Q( شود می تولید. آسان دمدوالسیونQAM براي مستطیلی M≥16 16 فلکی بهترین با مقایسه در-QAM، به قدري تنها

.دارد نیاز بیشتر انرژيکه صورتی در k است زیر صورت به فاصه کمترین و شده مربع فلکی ، باشد زوج:

فلکی دو صورت به توان می را فلکی این √M-PAM گرفت نظر در.از یکی که دهد می رخ زمانی خطا n1 یا n2 خطا باعث تا باشند بزرگ کافی اندازه به

.شوند با است برابر درست تصمیم احتمال:

2min

6 log

1bavg

Md E

M

2

2, , ,

1c M QAM c M PAM c M PAMP P P

1 2 1 2 2 2 1 2 1 2log , log , ,n M n M n n n M M M

66


آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي )QAM )4سیگنالینگ

67

احتمال خطايM-QAM است بامربعی برابر :

2

, , , ,

11 1 2 1

2e M QAM PAMe M e M PAM e M PAMP P P P

احتمال خطايPAM برابر است با:

0

min 2

,

0

311 12 1 2 1

12

bavg

e M PAM

Ed og MP Q Q

M NM N M

احتمال خطاي ، بنابراینM-QAM است بامربعی برابر :

11

2 2,

0

0

0

2314

1

31 311 14 1 1 1

1 1

bavg bav

bavg

g

e M QAM

E Eog M og MP Q Q

Eog MQ

M N MM

M N

NM

باال براي این کرانM استبزرگ اکید .

آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي

)QAM )5سیگنالینگ

68

براي انتقال جریمه افزایش سرعتQAM .باشدمی 3dB/bitبرابر

جریمه افزایش سرعت انتقال براي PAM وPSK 6برابر dB/bit باشدمی. توان بازدهیQAM در مقایسه باPAM وPSK .بیشتر است مزیتPSK آنثابت پوش در مشخصات. می باشد به متنهاي بیشتري براي مقایسه)کتاب اصلی 200 صفحه .(کتاب مراجعه کنید


دمدوالسیون و آشکار سازي

69

ASK,PSK,QAM دارنددوبعدي یک یا فلکی.

توابع پایهPSK وFSK:

تابع پایهPAM :

r(t) هستند میانگذرپایه و توابعباالنمونه برداري سرعت ←

باالسرعت نمونه برداري منظور پرهیز از نیاز به به :

o به دست آید سیگنال معادل پایین گذرابتدا سیگنال دمدوله شده تا .

o انجام می شودآشکارسازي سیگنال سپس.

1 2( ) 2 / ( ) cos 2 , ( ) 2 / ( ) sin 2g c g ct E g t f t t E g t f t

( ) 2 / ( ) cos 2g ct E g t f t

)2(دمدوالسیون و آشکار سازي

70

همان طوري که قبال بیان شد:

سازي بهینه آشکار قاعده)MAP (در می آیدزیر به صورت:

تصمیم عدهقاML برابر است با :

/ 2, ( ), ( ) Re ( ), ( ) / 2x xl l lE E x t y t x t y t

0

1

01

2*0

1

arg max . 12

arg max Re . 1 / 2

1arg max Re ( ) ( ) 1 ( )

2

m m mm M

l m m mlm M

l ml m mlm M

Nm nP E

N nP E

r t s t dt N nP s t dt

r s

r s

2*

1

1arg max Re ( ) ( ) ( )

2l ml ml

m M

m r t s t dt s t dt


)3(دمدوالسیون و آشکار سازي

71

مختلط منطبق فیلتر

فیلتر ساختار یک جزئیاتفاز برحسب مولفه هاي هم

تربیعیو فرض در سراسر این بحث

گیرنده،که بر آن بوداطالعات کامل از فاز و

. داردریر اکفرکانس

نام مبحث آموزشیآشکارسازي بهینه واحتمال خطا براي 4-4

محدودتوان سیگنال هاي

72


سازي بهینه و احتمال خطا براي آشکار 4-4سیگنالینگ توان محدود

73

متعامد هاي سیگنال یکسان انرژي با متعامدسیگنال شمايدر یک

یکسان، آشکارسازي بهینه معادلانرژي متعامد هم احتمال بابراي سیگنال هاي .باشدمی smو rهمبستگی بین ضریب بزرگترین

است بوده و فاصله بین نقاط متقارننمودار فلکی.احتمال خطا مستقل از سیگنال ارسالی است. فرض کنید کهs1 باشد، بردار دریافتی برابر است باسیگنال ارسالی

E انرژي سمبل است.

1 2,0,...,0 , 0, ,...,0 ,... , 0,0,...,ME E E s s s

1

arg max mm M

m

r.s

2E

1 2, ,..., ME n n n r

آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي )2(سیگنالینگ توان محدود

74

(n1,n2,…,nM) متغیرهاي تصادفی گوسی iid با واریانسσn2=N0/2 هستند.

متغیرهاي تصادفیRm را تعریف می کنیم:

تصمیم درست هنگامی گرفته می شود که برايm=2,3,…,M ،R1>Rm

1 2 1 3 1 1

1 2 1 3 1 1

2 3 1 1 1

1

2 1 1 1

, ,..., |

, ,..., | :

, ,..., | , . ( )

| , ( )

c M

M

M n

M

n

Bayes the

P P R R R R R R s sent

P E n n E n n E n n s sent

P n n E n n E n n E s sent n n p

orem

n dn

P n n E s sent n n p n dn

1 1

1 2

1

,..., .,

, 0,...,0

, 2

1m

m

m m

m

R

E n n n E

E EnR m M

R E n m M

r.s

r.s


2 0

2 1 1

0

12

00

2

1

00

0

1

0, / 2

| , ] 1/ 2

11 exp ;

/ 2

2 /1 ( ) exp1

22

2 /11 1 1 ( ) e p

2

/ 2

x

M

c

M

M

e c

n N N

n EP n n E

n Ex

N

s sent n n QN

n E nP Q dn

NN N

x E NQ x dx

x EP P Q x

2

02 /

2

2

0

1

11;

2

| , 2 .1 2 1

2

x E N

e em k

Ndx

P PP s received s sent m M

M

e dx

آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي سیگنالینگ )3(توان محدود

75

آشکار سازي بهینه و احتمال خطا براي )4(سیگنالینگ توان محدود

76

سیگنال که کنید فرض s1 اي داده رشته.باشد 0 بیت اولین و بوده k طول به برابر شده شکارآ بیت اولین آنکه احتمال

)sm = 1بیت اولین( ≡باشد یک

براي آخر تقریب k>>1 است برقرار.برحسب بیت خطاي احتمال روبرو شکل SNR دهد می نشان را بیت در.افزایش با SNR , M یابد می کاهش الزم.ASK روند خالف بر روند این ,

PSK , QAM است.

11 2 1

22 1 2 1 2

kk e

b e ek k

PP P P


FSKاحتمال خطا براي سیگنالینگ

77

سیگنال FSK شرط به متعامد هاي سیگنال از خاصی حالت ; lєN Δf=l/2T است.

در FSK خطا احتمال کمترین به کند می تضمین را تعامد که اي فرکانسی فاصله باینري

.شود نمی منجر

در FSK که آید می دست به هنگامی خطا احتمال کمترین باینري:Δf=0.715/T .

کانال در جمعی کران که شد بیان قبال AWGN با است برابر:

سیگنالینگ متعامد درdmin=√2E در نتیجه

با استفاده ازM=2k وEb=E/k نتیجه می شود:

Eb/N0>2ln 2=1.39(1.42dB)⇒Pe→0,k→∞اگرSNR/bit>1.42dB نه شرط کافی است .(امکان پذیراستمخابره مطمئن باشد

)الزم

2min

0

1exp

2 4e

dMP

N

0 0

1exp exp

2 2 2e

M E EP M

N N

0 0

( 2ln 2)2 22

b bkE Ek

N NkeP e e

یک کران جمعی روي احتمال خطا براي سیگنالینگ متعامد

عبارت است ازمخابره مطمئن شرط الزم و کافی براي :Eb/N0>ln 2=0.693(-1.6dB)

1.6-کرانdB از کران

خطا احتمال اکیدتري روي

:به دست می آید

کمترین مقدار الزمSNR/bit 1.6-یعنیdB ، استحد شانون.

متعامدسیگنالینگ دوبه دو

مجموعهM=2k سیگنال دوبه دو متعامد ازN=M/2 منفی سیگنال متعامد و با احتسابمدار همبستگی یا فیلتر منطبق M/2این شما فقط به . این سیگنال ها به دست می آید

عبارتست ازدوبه دو متعامد هاي سیگنالبرداري نمایش . الزم دارد

فرض کنید کهs1 ،بردار سیگنال دریافتی عبارت است ازارسال شده است

E+ n1, n2 ,…, nN)√r =(78

0 0

20 0

exp ( 2)( 2ln2) , 4ln2

2exp ( ln2) , ln2 4ln2

b b

e

b b

k E N E NP

k E N E N

1 1 2 2 2,0,...,0 , 0, ,...,0 ,... , 0,0,...,N N N NE E E s s s s s s


آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي )2(سیگنالینگ دوبه دو متعامد

چون همه سیگنال ها هم احتمال و داراي انرژي برابر هستند، آشکارساز بهینهm ي با:بزرگ ترین مقدار زیر را انتخاب می کند

عالمت تصمیم گیري بسته به این دارد کهsm(t) یا-sm(t) ارسال شده باشند.

.

اما

احتمال تصمیم درست

:برابر است با

79

( ) , 1 2m mc m M r , s r . s

1 1 1[correct decision]=P[r 0, , 2,3,...., ]m mP E n r r n m M

1

01

11

0

22 2

1 1

0 00

2

1 1[ , 0] exp exp

2

r

Nr

m

rr

N

x xP n r r dx dx

N NN

1

0

1

0

02

0 0

1 0

1

( 2) 1

2 2

1 1

0

2

( 2) 12

2 2 )

0

22

(

~ ( , 2)1exp ( ) ;

22

1 1exp

22

2

2

Mr

N

c

r

N

Mv E N

v

E N v E N

xP dx p r dr

xdx e

r N E N

v N

d

r

v

آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي )3(سیگنالینگ دوبه دو متعامد

احتمال خطاي سمبل برابر است با:

Pe=1-Pc.

80


آشکارسازي بهینه و احتمال خطا براي سیگنالینگ ساده

سیگنال هاي ساده با تغییر مجموعه اي از سیگنال هاي متعامد به میزان میانگین. این سیگنال هاي متعامد به دست می آید

سیگنال هاي متعامد اصلی استکامال شبیه هندسه سیگنال هاي ساده.

سیگنال هاي متعامد اصلی برابر استاحتمال خطا احتمال خطا با.

چون سیگنال هاي ساده داراي انرژي پایین تري هستند، مقدار انرژي در فرمول:احتمال خطا باید به صورت زیر تراز شود

نسبت به سیگنالینگ متعامد، بهره نسبی(M/(M-1))dB 10log نسبی دارد.

در حالتM =2 بهرهdB 3 و درM =10 بهرهdB 0.46 به سیگنالینگ نسبت.متعامد دارد

81

2

01

2

111 [1 (1 ( )) ] e x p

22

Me e

M Ex

M NP P Q x d x

نام مبحث آموزشیناهمسازآشکارسازي 4-5

82


آشکارسازي ناهمساز

در بخش هاي قبل فرض بر این بود که سیگنال هاي{sm(t} یا پایه هاي متعامد یکه{ф j(t)}در دسترس هستند.

در بسیاري از حالت ها این فرض معتبر نیست:

o فاز تصادفی در سیگنال می شودتغییر یا تصادفی انتقال در کانال باعث تضعیف.

oوقتی که گیرنده و فرستنده کامال همزمان نیستند اطالعات نا قص سیگنال در گیرنده:

را می شناسد، ولی به سبب ناهمزمانی گیرنده، سیگنال فقط به {sm(t}گرچه فرستنده {sm(t-td)} دسترسی دارد که در آنtd اختالف زمان تصادفی بین ساعت هاي فرستنده

.و گیرنده است

o انتقال سیگنال در کانالAWGN با پارامتر تصادفیθ را در نظر بگیرید:

oلوو-با استفاده از بسط کارهونن)K-L( می توان پایه متعامدي به فرم زیر یافت:

r=sm,θ+n83

( ) ( ; ) ( )mr t s t n t

)2(آشکارسازي ناهمسازآشکارسازي بهینه قاعده(MAP):

تصمیم گیري ناحیه تصمیم گیري را تعیین می کند قاعده.

کمترین احتمال خطا برابر است با:

84

1

1

,1

ˆ arg m ax P ( )

arg m ax P ( , ) ( )

arg m ax P ( ) ( )

mm M

mm M

m n mm M

m p m

p m p d

p p d

r

r

r - s

'

1

,1 ' 1, '

( , ) ( )

( ) ( )

cm

m

M

e mm D

M n

m n mm m m m D

P P p m p d d

P p p d d

r r

r - s r


آشکارسازي ناهمساز سیگنال هاي مدوله شده

کاریري ،براي سیگنال کاریري مدوله شده{sm(t} سیگنال هاي میانگذر با معادل پایین گذر

.است

در کانالAWGN

r(t)=sm(t-td)+n(t)

:در نتیجه.استو گیرنده فرستنده بین تصادفی ناهمزمانی tdدر آن که

معادل پایین گذرsm(t-td) برابرsml (t-td)exp(-j2πfctd) است.

در عملtd<<T در نتیجه ،sml (t-td)≈ sml (t).

به علت بزرگ بودنfc تغییر فاز تصادفی ،ф=2πfctd در نتیجه، . می تواند بزرگ باشد.نیاز به آشکارسازي ناهمساز می باشد

85

2Re ( ) cj f tm mls t s t e

2 ( ) 2 2( ) Re ( ) ( ) Re ( ) ( )c d c d cj f t t j f t j f tml d ml dr t s t t e n t s t t e e n t

سیگنال هاي مدوله ناهمساز آشکارسازي )2(کاریري شده

در حالت ناهمساز:

در نتیجه مدل کانال باند پایه عبارتست از:

نمایش معادل برداري:

rl=ejфsml +nl

آشکارسازي ناهمساز بهینه عبارت است از:

86

2 2Re ( ) Re ( ) ( )c cj f t j f tjl ml lr t e e s t n t e

( ) ( ) ( )jl ml lr t e s t n t

2

1 0

22

01 00

arg max ( )2

arg max exp / 42 4

l

jmn l ml

m M

jml mlN

m M

Pm p e d

Pe N d

N

r s

r s


سیگنال هاي مدوله شده ناهمساز آشکارسازي )3(کاریري

87

2

1 00

2

2

0

2

2 2

2

2 221 0

2

arg max exp2 4

1ar

/ 4

co

g max

s 2

cexp Re

2 2

os 22.

2 Re .

2 Re .

m

o

jl ml

m ml c

mE

m m cN j

l ml

j j jl

m

ml l l ml m

Nm M

m

m M

jl l

o

l

ml

e N

s s f t

Pm

E s f te

e e e

e

dN

Pe d

N

r s

s

r s

r s r r s s

r r s

22

1 0

22

1 0

22

1 0

1arg max exp R

2

. . .

.

. cos

e2 2

1arg max exp Re

2 2

1arg max exp

2 2

arg m

m

o

m

o

m

o

m

j j jl ml l ml l ml

j

l m

E

Nm

m M o

E

Nm

m M o

E

Nm

m M o

l

l ml

Pe d

N

Pe d

N

Pe

e e e

e

dN

E

r s r s r s

r s

r s

0

2

1

.

2ax

m

o l m

E

m

lN

m M o

IP eN

r s

θ فاز بینrl وsml

I0(x) و مرتبه صفر 1تابع بسل نوع

سیگنال هاي مدوله شده ناهمساز آشکارسازي )4(کاریري

88

هم احتمال اگر سیگنال ها

:باشندانرژي یکسان و داراي

0

1

1

*

1

.arg max

2

arg max .

arg max ( ) ( )

l ml

m M o

l mlm M

l mlm M

m IN

r t s t dt

r s

r s

از پوشسآشکار

I0(x) صعودي


احتمال خطاي سیگنال هاي متعامد )آشکارسازي ناهمساز(

89

112

., .1 0

1

0

1 log( 1)exp

1 1

2

2 1

12 exp

2 2

MnMb

e orth noncohn

k

b ek

bb e

M EnP

nn n N

P P

EM P P

N

احتمال خطاي سیگنال هاي باینري همبسته )آشکارسازي پوش(

90

2 2

1 0

1 2 22 2

m 1

0 0

1( , ) exp ( )

2 2

1 1 , 1 1 , ( , ) exp I ( )2 2 2

b correlated

m

b bm

b

a bP Q a b I ab

E E x x aa b Q a b x ax dx

N N a

ρ : بین) مختلط(ضریب همبستگیمعادل هاي پایین گذر سیگنال ها

I0(x) :تابع بسلQm(a,b) : تابعQ مارکوم تعمیم یافتهQ1(a,b) : تابعQ مارکوم

براي توضیحات بیشتر در باره این توابع،.را ببینید 2فصل


تفاضلی PSKاحتمال خطاي سیگنال در آشکارسازي استفاده می کنندیک سمبل شماهاي ناهمساز قبلی براي سادگی از.

3کنند که نتیجه آن بهبود می بدین منظور استفاده سمبل دو از تفاضلی شماهاي .دسیبل در عملکرد است

تفاضلی PSKمزایاي

ناشی از تغییر فرکانس(ابهام فاز (MPSK در انتقال بدون نویز

* cos(2πfct+θ) را دریافت کرده اماθ را برحسب

f ’c تخمین می زند.

* cos(2πfct+2π(fc -f ’c)t+θ) کردهرا دریافت

fرا برحسب θاما ’c زندمی تخمین.

�� =2π(fc -f ’c)t+θ= φ+θ

91

)2(تفاضلی PSKاحتمال خطاي سیگنال

BDPSK

.تغییر دهیددرجه 0را فاز سمبل قبلی باشد، 0=ورودياگر •


QDPSK





92


) 3(تفاضلی PSKاحتمال خطاي سیگنال

93

.

0

2 2

1 0

0 0

1exp

2

1( , ) exp ( )

2 2

1 11 , 1

2 2 2 2

bb B DPSK

b DQPSK

b b

EP

N

a bP Q a b I ab

E Ea b

N N

BDPSK تقریباdB 1 بدترBPSK/QPSK از است.QDPSK تقریباdB 2/3 بدترBPSK/QPSK از است.

نام مبحث آموزشیمقایسه روش هاي مدوالسیون دیجیتال 4-6

94


مقایسه روش هاي مدوالسیون دیجیتالبراساس توان می را دیجیتال مدوالسیون هاي روش SNR به دستیابی براي نیاز مورد

.آورد دست به خطا از معینی احتمال یک

محدودیت اساس بر که این مگر باشد بامعنا چندان تواند نمی اي مقایسه چنین یک .باشد ثابت باند پهناي یا ثابت داده سرعت مانند هایی

معادل پالس باند پهناي برابر کانال الزم باند پهناي فازي، چند هاي سیگنال براي برابرT وارون باتقریبا که W میزان به T- زمان مدت به- g(t) گذر پایین سیگنال

.است

چونT=k/R=(log2M)/Rکه شود می نتیجه بنابراین ، است W=R/log2M .

با افزایشM ثابت در سرعت بیت R بازدهی پهناي . می یابدکانال کاهش باند ، پهناي:گیري می شود اندازه بیت به پهناي باند سرعت نسبت با باند

R/W=log2M

انتقال براي باند کاراي پهناي روشPAM ،کانال الزم پهناي باند . استجانبی باند -تکبوده و 1/2Tسیگنال تقریبا ارسال براي

R/W=2 log2M 95

)2(دیجیتالمقایسه روش هاي مدوالسیون کارایی پهناي باندPAM به نسبتPSK استبهتر دو برابر.

QAM داراي کدام که هر را می توان به صورت دو کاریر متعامد در نظر گرفت.است PAMیک سیگنال

سرعت بنابراین QAM به نسبت PAM سیگنال حال، این با .است برابر دو QAM سیگنال باند پهناي مقایسه مرجع اگر نیجه، در .شود ارسال جانبی باند دو با بایستی

.دارند مشابهی باند پهناي بازدهی PAM و QAM باشند گذر میان هاي

اگر متعامد، هاي سیگنال براي M=2k با و متعامد کاریرهاي با متعامد سیگنال انتقال براي نیاز مورد باند پهناي شوند، ساخته 1/2T فرکانسی فاصله کمترین

k=log2M با است برابر اطالعات بیت :

افزایش با باند پهناي ، مورد این در M یابد می افزایش .

باند پهناي نصف نیاز مورد باند پهناي ، متعامد دو به دو هاي سیگنال درمورد .است متعامد هاي سیگنال

96

22 2 / 2log M

M M MW R

T k R


)3(دیجیتالمقایسه روش هاي مدوالسیون از دار معنی و فشرده مقایسه یک

اساس بر مدوالسیون هاي روش با( R/W نرمالیزه داده سرعت

)هرتز بر ثانیه بر بیت واحد(Eb/No) برحسب SNR/bit

معین خطاي احتمال یک در.است

درمورد PAM، QAM و PSK نسبت باالرفتن موجب M افزایش R/W باند پهناي به بیت سرعت

.شود می

97

)4(دیجیتالمقایسه روش هاي مدوالسیون

در افزایش ، باال داده سرعت به یافتن دست بهاي هرحال به SNR/bit است.

که هستند مناسب مخابراتی هاي کانال براي مدوالسیون هاي روش این درنتیجه به SNR مقدار و بوده R/W<1 که طوري به باشند، محدود باند پهناي داراي.کند پشتیبانی را M افزایش بتواند که هست باال کافی اندازه

هاي کانال از هایی مثال ، دیجیتال مایکروویو رادیو هاي کانال و تلفنی هاي کانال .هستند محدود باند

متعامد هاي سیگنال در مقابل، در M–،تایی R/W ≤ میزان M افزایش با .است 1R/W یابد می کاهش کانال باند پهناي افزایش علت به .

SNR/bit افزایش با معین خطاي احتمال یک در الزم M یابد می کاهش.

98


)5(دیجیتالمقایسه روش هاي مدوالسیون متعامد هاي سیگنال درنتیجه M -هستند مناسب محدود توان با هاي کانال براي گانه

جاي را ها سیگنال از زیادي تعداد بتوانند تا دارند بزرگ کافی اندازه به باند پهناي که.دهند

که صورتی درM→∞ ،که شرطی به کرد کوچک کافی قدر به توان می را خطا احتمال SNR > 0.693(-1.6dB) مقدار کمترین این .باشد SNR/bit انتقال براي الزم

W کانال باند پهناي با کانالی در مطمئن .است )R/W→0 نسبت یا( ∞→

کانال شده نرمالیزه ظرفیت همچنین باال شکل AWGN دهد می نشان را محدود باند .) Shannon شانون حد(

نسبت C/W، آن در که C(=R) نسبت باالترین است، ثانیه بر بیت حسب بر ظرفیت . دهد می نشان را باند پهناي به بیت میزان یافتنی دست

می قرار مدوالسیون نوع هر باند پهناي کارایی روي باالیی کران نسبت این رو، این از .دهد

99

سرد مﺎﻧ تاﺮﺑﺎﺨﻣ ﻪﺘﻓﺮﺸﯿﭘ...

Documents