1

アルゴリズム と データ構造

基本情報技術概論 I ( 第 12 回 )

埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史

2

午後の問題への対応

長文にメゲない 読み飛ばしは、思いこみ違いの原因

色々なアルゴリズムを知っておく 暗記ではなく、アイデアを把握 アイデアを実現する手順を考える

文字列処理

3

暗記ではなく、考え方の練習

4

文字列探索

A B C D X Y E F X Y Z G H I JR [ ]S [ ]

1 2 3 4 5 6 7 8 910

11

12 … M

配列の

サイズM

NX Y Z X Y Z

i = 1比較開始位置

i = M – N + 1

X Y Z

検索文字列 S を、文字列 R から検索

i > ( M – N + 1)

処理

※ テキストでは、 終了条件を記載

for ( i = 1 ; i ≦ M – N + 1 ; ++ i ) {

}

処理

5

文字列探索

A B C D X Y E F X Y Z G H I JR [ ]S [ ]

配列の

サイズM

NX Y Z

j = 1 … N

比較位置

検索文字列 S を、文字列 R から検索

for ( i = 1 ; i ≦ M – N + 1 ; ++ i ) {

}

処理

for ( j = 1 ; j ≦ N ; ++ j ) { if ( R[ i + j – 1 ] ≠ S[ j ] ) { break ; }}

if ( j > N ) { P ← i ; break ; } // 見つけた

i

6

参考： 文字列検索アルゴリズム

力まかせ法 (p. 4, 5 の方法 ) O( n m )

KMP 法 (Knuth-Morris-Pratt) O( n + m )

BM 法 (Boyer-Moore) O( n + m )

n ： テキストの長さ

m ： 検索文字列の長さ

( p. 4, 5 では M )

( 〃 N )

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空白除去

A B C D E F X Y ZR [ ]

1 2 3 4 5 6 7 8 910

11

12 … N

配列の

サイズN

NA B C D E F X Y ZS [ ]

i

j

j = 1for ( i = 1 ; i ≦ N ; ++ i ) {

}

if ( R[ i ] ≠ “ 空白” ) { S[ j ] = R[ i ] ; // S[ ] にコピー ++ j ;} ※ テキストより

簡単

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文字列挿入

A B C D E F G HR [ ]

1 2 3 4 P … M

A B C D E F G H R [ ]挿入後

1 … N

文字列 R の P の位置に、文字列 S を挿入

(1)R [ ] の P 以降を ずらす

(2)S [ ] を 挿入

S [ ]

for ( i = M ; i ≧ P ; -- i ) {

}R [ i + N ] = R [ i ] ; // 後ろからずらす

for ( j = 1 ; j ≦ N ; ++ j ) {

}R [ P + j - 1 ] = S [ j ] ;

X Y Z

9

文字列処理 ( その他 )

文字列連結 R [ ] ， S [ ] の順に、文字列を T [ ] に

コピー

文字列置換 R [ P ] ， R [ P + 1 ] ，… に、

文字列 S [ ] をコピー

R [ ]S [ ]

T [ ]

R [ ]

S [ ]

最短経路問題

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応用： 列車の乗り換え検索

カーナビのルート検索

11

最短経路問題 ( 入力 )

有向グラフ G = ( V, E ) ， 辺の距離 c ： E → N

始点 s ， 終点 t

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

12

s に近い順に、節点への距離を確定させていく

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

Dijkstra のアルゴリズム ( アイデア )ダイクスト

ラ

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Dijkstra のアルゴリズム

1. ( 初期化 ) s から節点 v への距離 D [ s ] ← 0 D [ v ] ← ∞ (s 以外の節点 )

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞

∞

0

14

2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの (s からの距離 D [ u ] が確定 )

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞

Dijkstra のアルゴリズム

∞

0

※ 最初は、全節点が未確定

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3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c

( ( u, v ) ) }

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞

s … → u → v

Dijkstra のアルゴリズム

0

∞20

30

120

16

1. ( 初期化 ) s から節点 v への距離 D [ s ] ← 0 D [ v ] ← ∞ (s 以外の節点 )

2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの

(s からの距離 D [ u ] が確定 )

3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c ( ( u, v ) ) }

4. すべての節点が確定するまで、 2 ， 3 を繰り返す

Dijkstra のアルゴリズム ( まとめ )

他の初期化方法もあ

る

更新時に、 u を覚えると、最短経路を求められる

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続きを、自分でやってみてください

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

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2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの (s からの距離 D [ u ] が確定 )

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

19

3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c

( ( u, v ) ) }

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

20

2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの (s からの距離 D [ u ] が確定 )

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

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3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c

( ( u, v ) ) }

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

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50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

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2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの (s からの距離 D [ u ] が確定 )

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

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3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c

( ( u, v ) ) }

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

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30

90

50

120

始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

100

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2. u ← 未確定の節点で、 s からの距離が最小の もの (s からの距離 D [ u ] が確定 )

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

70

30

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50

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始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

30

120

70

110

100

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3. u に隣接するすべての節点 v に対し、 D [ v ]を更新

D [ v ] ← min { D [ v ] ， D [ u ] + c

( ( u, v ) ) }

Dijkstra のアルゴリズム

1 2 3

4 5

30

20

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30

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50

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始点 1 ， 終点 5

∞

∞

∞0

∞20

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この文面は、 TOKYO TECH OCW の利用条件を参考にしました

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配布場所 http://www.al.ics.saitama-u.ac.jp/horiyama/OCW/

この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史　 2007-2009 horiyama@al.ics.saitama-

u.ac.jp 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください

図の著作者 p. 4 ～ 25

堀山 貴史

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