ĐẠ hÀm, vi phÂn oo xa o · 2 hệ số góc của đường thẳng giai tich 1 nguyen van...

1

ĐAO HAM, VI PHÂN

HAM MÔT BIÊN

Lecture 4

Nguyen Van Thuy

Review

Đinh ly (Kẹp). Nêu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) khi 𝑥 gân 𝑎

va

thi

Đinh ly

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x L f x L f x

Giai tich 1 4-2 Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( ) lim ( )x a x a

f x h x L

lim ( )x a

g x L

Review

Đinh nghia. Ham f đươc goi la liên tuc tai a nêu

f gian đoan tai a nêu f không liên tuc tai a

f liên tuc trên khoang (a, b) nêu f liên tuc tai moi

điêm thuôc khoang đo

Câu 65. Tim a đê ham sô sau

liên tuc tai 𝑥 = 1

lim ( ) ( )x a

f x f a

2

2

2

1arctan , 1

( 1)( )

3, 1

1

xx

f xx x a

xx


Review

Đinh ly. Tât ca nhưng ham sau liên tuc trên miên

xac đinh

Ham đa thưc

Ham phân thưc hưu ty

Ham căn thưc

Ham mu

Ham logarithm

Ham lương giac

Ham lương giac ngươc


Review

7 dang vô đinh

Cac giơi han cơ ban

Vi du. Tinh

0 0.00

, , , ,1 ,0

0,

1/

0 0

sin 1lim 1, lim 1 , lim(1 )

u

u

u u u

ue u e

u u

0

tan 2) lim

x

xa

x

1) lim 1

2

x

xb

x


Hệ số góc của đường thẳng

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-6

𝛼

𝑦

𝑥

𝑎 ? 𝛼

2

Hệ số góc của đường thẳng


𝑘𝐴𝐵 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

𝛼

𝑦

𝑥

Hệ số góc của tiếp tuyến

Tinh 𝑘𝐴𝐵

Tinh

Nhận xét


0lim ABh

k

Hệ số góc của tiếp tuyến


0

( ) ( )limtth

f a h f ak

h

Vân tốc tưc thời

Vận tôc trung binh

Vận tôc tưc thơi tai thơi điêm 𝑡 = 𝑎

( ) ( )sa h sav

h

0

( ) ()() lim

h

sah sava

h


Đao ham

Đinh nghia. Đao ham cua ham sô 𝑓 tai 𝑎

Phương trinh tiêp tuyên tai điêm 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))

𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

0

( ) ( )'( ) lim

h

f a h f af a

h


Đao ham

Vi du. Tinh đao ham băng đinh nghia

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥, tinh 𝑓’(3)

2) . Tinh 𝑓’(2) ( )f x x

2

0 0

2

0 0

(3 ) (3) (3 ) (3 ) 12'(3) lim lim

7lim lim( 7) 7

h h

h h

f h f h hf

h h

h hh

h


3

Đao ham

Ky hiêu đao ham cua ham sô 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Chu y. 𝑓’(𝑎) la gia tri tai 𝑥 = 𝑎 cua ham 𝑓’(𝑥)

Vi du. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 , phat biêu “𝑓’(0) =

0 bơi vi 𝑓(0) = 0 la hăng sô, va đao ham

cua hăng sô la zero” đung hay sai?

'( ) ' ( ) ( ) ( )x

dy df df x y f x Df x D f x

dx dx dx


Đao ham

Cac công thưc đao ham cơ ban

1

2 2

2 2

2 2

'( )' ', ( )' ', (ln )'

( )' 'ln , (sin )' 'cos , (cos )' 'sin

(tan )' '(1 tan ),(

' '(arcsin )' ,(arccos )'

1 1

' '(arctan )' ,(arcc

cot )' '(1 cot )

ot )'1 1

u u

u u

uu u u e e u u

u

a a u a u u u u u u

u u u

u uu u

u u

u uu u

u

u u

u

u


Đao ham

Cac tinh chât cua đao ham

Vi du

'

2

( ) ' ' ', ( . ) ' . '

' '( ) ' ' ',

u v u v c u c u

u u v uvuv u v uv

v v

1 cos 1 cos 1 cos( ) .(1 cos ) ' .sinx x xde e x e x

dx

ln ln cos ?d

xdx


Khi nao đao ham tôn tai?

Giơi han nay co thê không tôn tai

Nêu 𝑓’(𝑎) tôn tai hưu han, 𝑓 đươc goi la kha

vi tai 𝑎

Nêu 𝑓 kha vi tai a thi 𝑓 liên tuc tai 𝑎

0

( ) ( )'( ) lim

h

f a h f af a

h


Đao ham

Vi du

𝑓(𝑥) = |𝑥| co va không co đao ham

tai 𝑥 = 0

1, 0'( )

1, 0

xf x

x


Đao ham câp cao

𝑦′′ = 𝑦′ ′, . . . , 𝑦(𝑛) = (𝑦 𝑛−1 )′

𝑢 + 𝑣 𝑛 = 𝑢(𝑛) + 𝑣(𝑛)

(𝛼𝑢)(𝑛)= 𝛼𝑢(𝑛)

Vi du. Tinh 𝑦’’ cua ham sô

𝑦 = arctan 𝑥 + 1 + 2𝑥

Vi du. Tinh 𝑦’’ cua ham sô

𝑦 = 2 𝑥 + 1 arctan 𝑥 + 1 − ln (𝑥2 + 2𝑥 + 2)


4

Đao ham câp cao

Công thưc

( )

1

1 ( 1) !

( )

n n

n

n

x a x a

( )(sin ) sin2

nx x n

( )(cos ) cos2

nx x n

( )( )ax n n axe a e

( )(sin ) sin2

n nax a ax n

( )(cos ) cos2

n nax a ax n


Đao ham câp cao

Công thưc Leibniz

vơi

Vi du. a) Tinh b) Tinh

(0) !,

!( )!

k

n

nf fC

knk

2 (100)( )xx e( )

2

2 1

5 6

nx

x x


() () ( )

0

0 (0) () 1 (1) ( 1) () (0)

( )n

n k k nk

n

k

n n n n

n n n

fg Cf g

Cf g Cf g Cf g

Vi phân của ham số

Tai x=a

𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥

Tai x

𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥


Vi phân của ham số

Công thưc

𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥

Vi du. Tim vi phân câp 1 cua ham sô



lnarctan

3

xy

(3)xy x

Ví phân câp cao

Vi phân câp n

𝑑𝑛𝑦 = 𝑦(𝑛)(𝑑𝑥)𝑛




2ln(12)y x

2cot( )yarc x

Quy tăc L’Hospital

Đinh ly. Nêu 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) co dang

0

0,∞

∞ khi 𝑥𝑎 va

tôn tai lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐴 thi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐴

Chu y: 𝐴 co thê hưu han hoặc vô han


5


Chu y. Qua trinh 𝑥 → 𝑎 co thê thay bơi

𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎

−, 𝑥 → ∞, 𝑥 → −∞

Vi du

3 20 0

0 0

sin 1 coslim lim

3

sin cos 1lim lim

6 6 6

0 0

0 0

0

0

x x

x x

x x x

x x

x x

x



Vi du. Tinh

𝑎) 𝐿 = 0 𝑏) 𝐿 =1

3 𝑐) 𝐿 = 2 𝑑) 𝐿 = −

1

3

Vi du. Tinh

𝑎) 𝐿 = ∞ 𝑏) 𝐿 = 0 𝑐) 𝐿 = 1 𝑑) 𝐿 = 2


30

arctanlim

0

0x

x xL

x

0

0.limlnx

L xx


Vi du. Tinh

𝑎) 𝐿 = 1 𝑏) 𝐿 =1

2 𝑐) 𝐿 =

1

4 𝑑) 𝐿 =

1

8

Vi du. Tinh

𝑎) 𝐿 = 0 𝑏) 𝐿 = 𝑒 𝑐) 𝐿 = 𝑒2 𝑑) đều sai


2

0( 2)lim(2) 0x

xL x

1

1lim

1lnx

xL

x x

Đao ham của ham ân

Đinh nghia. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi

phương trinh 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 đươc goi la ham

ân

Vi du. Cho ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) xac đinh bơi

phương trinh 𝑥2 + 𝑦2 = 2

Phương trinh trên xac đinh hai ham ân

2 22 , 2y x y x



Đê tinh đao ham cua ham ân, chu y răng

Chu y. 𝑦 la ham sô theo 𝑥, con 𝑥 la biên sô

Vi du. Tinh 𝑦’(𝑥) biêt 𝑥2 + 𝑦2 = 2

Lây đao ham theo 𝑥 ca hai vê, ta đươc

'

( , ) 0 ( , ) 0x

F x y F x y

2 2 ' 0 'x

x yy yy



Vi du. Tim đao ham 𝑦’(0) cua ham ân

𝑦 = 𝑦(𝑥) đươc cho bơi phương trinh

𝑒𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑒

𝑎) 𝑦′ 0 = 𝑒 𝑏) 𝑦′ 0 = −𝑒

𝑐) 𝑦′(0) =1

𝑒 𝑑) 𝑦′(0) = −

1

𝑒


6


Vi du. Viêt phương trinh tiêp tuyên cua

đương cong cardioid

tai (0, 1/2)

2 2 2 2 2(2 2 )x y x y x



Vi du. Viêt phương trinh tiêp tuyên cua

đương cong lemniscate

tai (3, 1)

2 2 2 2 22( ) 25( )x y x y


Đao ham của ham số dang tham số

Đinh nghia. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho dươi

dang 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) đươc goi la ham

sô cho dươi dang tham sô

Vi du. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi 𝑥 =

𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, – 𝜋/2 𝑡 𝜋/2

Đo la ham sô

21 , 1 1y x x


1 -1 0

x

y


Đao ham cua ham sô cho dươi dang tham

sô

Vi du. Cho ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) xac đinh bơi

'( )

'( )

'( )'( )

'( )

dy y t dt

dx x

y ty x

x tt dt

'( ) sin , '( ) cos

cos , s

'( ) '( ) / '( ) / cot

in

x t a t y t b t

x a t y b t

y x y t x t b a t



Vi du. Tim 𝑦’(𝑥) tai 𝑥0 = 2 cua ham sô

𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi phương trinh tham sô

𝑎) 𝑦′ 2 = 1/2 𝑏) 1 𝑐) 5/𝑒2 𝑑) đề𝑢 𝑠𝑎𝑖

Giai. 𝑥0 = 2 = 2𝑒𝑡⟹ 𝑡 = 0

2

2 tx e

y t t


' 2

0'

( ) ' 1 2 1'( ) '( 2)

(2 ) ' 2 2

t

t t

t

y t t ty x y x

x e e


Vi du. Tim đao ham 𝑦’ = 𝑦’(𝑥) cua ham sô

𝑦 = 𝑦(𝑥) đươc cho bơi phương trinh


2ln(1 )

2 2arctan

x t

y t t

2

2

2) '

1

ta y

t

2

2

2) '

1

tb y

t

) 'c y t ) 'd y t

7


Đao ham câp 2 cua ham sô cho dươi dang

tham sô

Vi du. Tinh 𝑦’’(𝑥) tai 𝑥0 = /4 cua ham sô

𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi phương trinh tham sô

𝑎) 0 𝑏) 1 𝑐) 2 𝑑) 1 – 16/2

arctan

ln

x t

y t

'

'

( '( ))''( ) t

t

y xy x

x


ĐẠ hÀm, vi phÂn oo xa o · 2 hệ số góc của đường thẳng giai tich 1 nguyen van...

Documents