Вестник ТНУ. Серия естественных наук -...
TRANSCRIPT
-
1
ISSN 2413-452Х
ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН ТАДЖИКСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
П А Ё М И ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН
(маљаллаи илмї)
БАХШИ ИЛМЊОИ ТАБИЇ
В Е С Т Н И К ТАДЖИКСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО
УНИВЕРСИТЕТА (научный журнал)
СЕРИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
ДУШАНБЕ: «СИНО» 2015
1/3 (164)
-
2
ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН
ТАДЖИКСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАЉАЛЛАИ ИЛМЇ СОЛИ 1990 ТАЪСИС ЁФТААСТ.
НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ОСНОВАН В 1990 ГОДУ.
Њайати тањририя:
Редакционная коллегия:
Имомов М.С. - гл. редактор, доктор филологических наук, профессор
Сафаров Б.А. – зам. гл. редактора, кандидат юридических наук, доцент
Абдулазизов В. – зам.гл.редактора, кандидат филологических наук, доцент
Аъзои њайати тањририя:
Члены редколлегии:
Ашуров Г.Г. – доктор медицинских наук, профессор
Бобоев Т.Б. - доктор физико-математических наук, профессор
Георгиянц В.А. - доктор фармацевтических наук, профессор
Котвицкая А.А. - доктор фармацевтических наук, профессор
Раджабов Н.Р. - доктор физико-математических наук, профессор
Саидов Н.Б. - кандидат фармацевтических наук, профессор
Суяров К.Дж. - кандидат химических наук, доцент
Таджибеков М. - доктор геолого-минералогических наук, профессор
Тихонов А.И. – доктор фармацевтических наук, профессор
Устоев М.Б. - доктор биологических наук, профессор
Шерматов Н. – доктор технических наук, профессор
Маљалла бо забонњои тољикї, русї ва англисї нашр мешавад. Журнал печатается на таджикском, русском и английском языках.
Паёми Донишгоњи миллии Тољикистон, 2015
Вестник Таджикского национального университета, 2015
-
3
М А Т Е М А Т И К А - И Н Ф О Р М А Т И К А
НОМОГРАММЫ ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИДРАВЛИКИ
Н. Шерматов, Х.Н. Курбонов Таджикский национальный университет
В гидравлике для определения длины добегания воды используется приближѐнная
формула вида
,)]exp(exp[ btanK
q
уст
(1)
где q - расход воды, подаваемой в борозду, л/с; - активный смоченный периметр; n -
поправочный коэффициент; устK - установившаяся скорость впитывания, м; t -
продолжительность добегания, мин; - длина добегания, м.
В зависимости от типа почв в Согдийской области Республики Таджикистан на основе опытных данных определены параметры a и b, входящие в формулу (1):
228,2;086,3 ba - для легких почв, 273,0;331,2 ba - для средних почв,
25,0;647,2 ba - для тяжѐлых почв.
В [1] была анонсирована номографируемость формулы (1). Ниже рассмотрим полную версию этого вопроса.
Логарифмируем зависимость (1):
,)]exp(lnlnlnlnln btaKnq уст (1 )
которая приводится к одному из канонических форм [2]
,)()()()()()( 665544332211 ffffff (2)
,)()()()(),( 665544332112 fffff (3)
,)(),()(),( 665445332112 ffff (4)
допускающие построения приспособляемой циркульной номограммы вида рис.1. Для
канонической формы (2) qf ln1 ; ln2 f ; устKf ln3 ; nf ln4 ; )exp(5 btaf ;
ln6 f .
Рис.1. Схема циркульной номограммы для формулы (1).
Способ пользования. Прикладываем одну ножку циркуля к точке А в пересечения
заданных линий 1 и 2 , а вторую ножку циркуля к точке В в пересечения заданных
линий 1 и 3 . Не изменяя полученный раствор циркуля, перенесѐм первую ножку к
точке С в пересечения заданных линий 4 и 5 . Вторая ножка циркуля попадает в
бинарное поле ),( 64 на уровне заданной линии 4 . Пометка линии ,6 проходящей
через эту точку даст ответ 6 .
Формулу (1) можно привести к канонической форме
D C 4
5
6
B A
1
2 3
-
4
,),(),(),(),( 6446544531132112 ffff (5)
для которого можно построить номограмму с ориентированным транспарантом (рис.2). Рис.2. Схема номограммы с ориентированным транспарантом для формулы (5): а - неподвижная плоскость; б - транспарант.
Транспарант вычерчивается на прозрачной бумаге, например, на кальке [3].
Налагаем ориентированно транспарант на неподвижную плоскость, соблюдая при этом
параллельность семейств линий 1 и 4 . Совмещаем точки А и С, образованных
заданными значениями 1 и 2 , и 4 и 5 . Пометка линии 6 с заданной пометкой,
проходящей через точку В, находящуюся в пересечении заданных линий 1 и 3 на
уровне заданной линии 4 , является ответом.
Рассматриваемую формулу (1) также можно представить номограммой с одним поступательным перемещением транспаранта вида рис.3.
Номограмма рис.3 удобно тем, что любая из шести переменных, входящих в
формулу (1), может быть искомой. Пусть требуется найти 6 по заданным значениям
521 ,..., . Перемещая транспарант по неподвижной плоскости так, чтобы прямая I
совпадала с прямой I, находим такое ее положение, при котором заданная линия 3
пройдѐт через заданную точку в бинарном поле ),( 21 . Линии 6 с определѐнной
пометкой, проходящей через точку пересечения заданной точки в бинарном поле ),,( 54
является ответом 6 .
Ключ пользования номограммы в форме контактов записывается в виде
.,),(,),( 654321 II
Рис.3. Схема номограммы с одним поступательным перемещением транспаранта для зависимости (1): а - неподвижная плоскость; б - транспарант.
Отметим, что для анализа взаимовлияния переменных на искомый показатель,
удобным является номограмма с ориентированным транспарантом вида линейки, схема которого приведена на рис.4.
B A 1
2 3
1
D C 4
5
6
4
а) б)
1
2
а)
4
5
I I
б)
6
3
I
I
-
5
Предположим по заданным значениям 521 ,..., требуется найти 6 . На
неподвижной плоскости и транспаранте определим точки по заданным значениям
521 ,..., . Ориентированно налагая транспарант на неподвижной плоскости совмещаем
точку 4 и 1 , 5 и 2 . Напротив заданной точки 3 на шкале 6 читаем ответ.
Рис.4. Схема номограммы с ориентированным транспарантом вида линейки: а - неподвижная плоскость; б - транспарант.
Ниже приводится три циркульные номограммы рис.5-7, соответственно, для легких,
средних и тяжѐлых почв и уравнения элементов номограммы для случая легких почв.
Пределы изменения переменных: 055,0015,0 q ; 5,0005,0 устK ; 5,225,1 ;
20t0 ; 11,0 n ; 2,850 .
Уравнения элементов циркульной номограммы, после нахождения параметров преобразования и произвольных функций записываются в виде:
поле ( устKq, ):
);015,0ln(ln3870
),lnln5,0(1127,15 уст
qy
Kqx
поле ( ,q ):
);015,0ln(ln3870
),ln5,0(ln1183,131
qy
qx
поле (n, t):
);1,0ln(ln22
),086,3ln5,0(1115,12 228,0
ny
enx t
поле ( ,n ):
).1,0ln(ln22
),ln5,0ln(1171,128
ny
nx
а)
1
2 3
4 5
б)
6
-
6
Рис.5. Циркульная номограмма для легких почв.
Рис.6. Циркульная номограмма для средних почв.
-
7
Рис.7. Циркульная номограмма для тяжѐлых почв.
Особенность построенных номограмм заключается в том, что они состоят из
семейств параллельных прямых. Тангенсы углов наклона устK и к q равны и
противоположны по знаку. Также тангенсы углов наклона t и к n равны и
противоположны по знаку.
ЛИТЕРАТУРА 1. Шерматов Н. Номографирование одной задачи из области гидравлики / Н. Шерматов // Тез. докл.
Всесоюзн. конф. по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. - Часть II. - Душанбе, 1987. - С.157-158.
2. Хованский Г.С. Номограммы с ориентированным транспарантом / Г.С. Хованский. - М.: Гостехиздат, 1957. -204 с.
3. Хованский Г.С. Основы номографии / Г.С. Хованский. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
НОМОГРАММЫ ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИДРАВЛИКИ Длина добегания воды, подаваемой в борозду, определяется по формуле (1), которая зависит от ряда
факторов. В статье рассмотрены вопросы представимости этой зависимости различными типами номограмм. Построены три рабочих номограмм для определения длины добегания в зависимости от типа почв.
Ключевые слова: почва, расход воды, продолжительность, номограмма, транспарант, параметры преобразования.
NOMOGRAM FOR ONE HYDRAULIC PROBLEMS The length of the water supplied to the lag groove is defined by the formula (1), which depends on several
factors. The article discusses the representability of different types depending nomograms. Built three working nomogram for determining the length of the lag depending on the type of soil.
Key words: soil, water flow, duration, nomogramm, transparency, transformation parameters.
Сведения об авторах: Н. Шерматов – доктор технических наук, профессор кафедры вычислительной математики и механики Таджикского национального университета. E-mail: [email protected] Х.Н. Курбонов – начальник Информационно-аналитического центра Таджикского национального университета. E-mail: [email protected]
mailto:[email protected]
-
8
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА
А.С. Сатторов, Б. Рушанов Таджикский национальный университет
Вырождающиеся дифференциальные уравнения свое развитие получили в середине
двадцатого века, они являются одним из новых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Первые фундаментальные исследования проводились в работе Ф.Трикоми [1]. М.В. Келдыш в [2] выяснил, что постанова задач для общего вырождающегося уравнения существенно зависит от значения коэффициентов при младших производных. В работах [3] и [4] исследовались дифференциальные уравнения смешанного типа и сингулярные уравнения.
В работах [5] и [6] получены интегральные представления решений квазилинейных дифференциальных уравнений, и в явном виде решены задачи типа Коши.
В данной статье рассмотрены интегральные представления решений для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения первого рода, и решается задача типа Коши.
Рассмотрим уравнения:
02
162
2
2
2
y
V
yy
V
x
Vy
(1)
01
2
16 22
yxyyyxx UU
UU
yU
yUyU
(2)
где постоянное число. Введем следующий интегральный оператор
2,11
211
0
32 2
3
i
dyxT ii
Через D обозначим область, ограниченную отрезком AB оси ox и
характеристиками, ,03
2: 2
3
yxAC ,13
2: 2
3
yxBC выходящим из точек ),0,0(A
),0,1(B и пересекающимся в точке ., 324321 C Через 2,1 iDWi обозначим класс решений уравнения (2) представимых в виде,
,,exp, yxVyxU где yxV , решение уравнения (1), содержащее соответственно одно и два произвольных функции одного аргумента.
Используя связь, между решением уравнения (2) и решением уравнения (1) и принцип соответствия, убедимся в справедливости следующих утверждений.
Теорема 1. Если yxV , является решением уравнения, (1) то функция ,,exp, yxVyxU будет решение уравнения (2).
Теорема 1 доказывается непосредственно, т. е берем частные производные первого и
второго порядков по ,x и y от функция yxU , и подставляя в уравнения (2), убедимся в справедливости теоремы.
Теорема 2. Пусть 12 .Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из класса
DW1 представимо в виде: ,exp),( 11 TAyxU (3)
-
9
где x1 произвольная функция переменного ,x ),(
1
BA постоянное число,
),( B функция Эйлера второго рода
Теорема 3. Пусть 120 .Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из класса DW2 представимо в виде:
,exp),( 221111 23
TyATAyxU
(4)
где ,1 x и x2 произвольные функции одного аргумента
)1,1(
11
BA
постоянное число. Теорема 4. Пусть 021 . Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из
класса DW2 представимо в виде: ,2121exp),( 221111321 2
323
TyATAyTAyxU
(5)
где ,1 x и x2 произвольные функции одного аргумента ,x
)1,1(
11
BA
постоянное число. Теоремы 2-4 доказываются, непосредственно приводим доказательство одного из
этих теорем, например, теорема 3. Доказательство теоремы3.
221111221111 23
2
3
exp
TyATATyATAU x
2
21
111
2
2
21
111
2
21
111
23
23
23
exp
TyATATyATA
TyATAU xx
21
121
2
21
111
2
21
111
23
23
23
212
32121
exp
TAyTyyATyA
TyATAU y
2
21
121
2
21
1112
21
111
2
21
111
23
23
23
23
213
2
2121exp
exp
TAy
TyyATyATyATA
TyATAU yy
21'213
21'2
21exp
2
121
1
11
2
112
21
111
23
23
TyyA
Ty
ATAyTyATA
-
10
.212
1
2
6121
2
3exp
21exp
2
21
1
2
221
12
21
111
2
2
21
12
21
111
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
TyyAy
TyATyATA
TyAyTyATA
Подставляя, найденные частные производные в (2) после некоторых упрощений имеем:
21exp
exp1
2
16
112
21
111
2
2111
2
2111
2
21
111
22
23
23
TyATyATA
TATAyTATAy
TyATAUU
UU
yU
yUUy yxyyyxx
2
2
121
2
32
123
213
221
TAyTyA
061214
3
61214
3exp
exp
213
221
21exp
213
221
21
221
21
221
2
21
111
21
21
21
21
11112
21
111
2
2
121
2
32
1
112
21
111
2
2
121
2
32
1
23
23
23
23
23
23
23
23
23
TAy
TAyTyATA
TAyy
TAyyTAyTAyTyATA
TAyTyA
TyATyATA
TAyTyA
Теперь некоторые из этих интегральных представлении применим для решения задач типа
Коши в области D .
Задача 1K . Требуется найти регулярное решение уравнения (2) из класса )(2
DW
при ,120 удовлетворяющей начальным условиям:
xfyxUy
,lnlim0
, ,,ln 13
0
21
lim kxgyxUy
yy
где xgxf , заданные функции на отрезке .10;0 xx Решение задачи
1K . Используя интегральное представленное (4) с учетом начальных
условий, ,1K получим
xfx 1 .
123
2,12
2
322 xgxxgx
Подставляя значения x1 и x2 в равенстве (4) находим
-
11
xgTxfTyxU
123
2exp, 1 . (6)
Теорема 5. Пусть 02 Cxf и 0
1 Cxg . Тогда решение задачи 1K в области D при 120 , дается формулой (6), где xf и xg заданные непрерывные
функции на интервале .10;0 xx Задача
2K .Требуется найти регулярное решение уравнения (2) из класса )(2DW
при ,021 удовлетворяющей начальным условиям:
xfyxUy
10
,lnlim
, ,,,ln 213
0
21
lim kxgyxUyy
y
где xgxf 11 , заданные функции на интервале .10;0 xx Задача
2K решается аналогично задаче 1K , но в этом случае используется
интегральное представление (5).
Теорема 6. Пусть 03
1 Cxf и 01
1 Cxg . Тогда регулярное решение задачи
2K в области D при 021 , дается формулой
gTfTyfTyxU
123
221
3
221exp, 11
23
(7)
где xf1 и xg1 заданные функции на интервале .10;0 xx
ЛИТЕРАТУРА 1. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. –М., 1957. - 443 с. 2. Келдыш М.Б. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области /
М.Б. Келдыш // ДАН СССР. – 1951. -т.77. -№2. -С. 181-183. 3. Смирнов М.М. Уравнения смешенного типа / М.М. Смирнов. –М. Высшая школа, 1985. - 340 с. 4. Раджабов Н.Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных
уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. ч. 1 / Н. Раджабов. –Душанбе, 1980, 1981, 1982, 1985.
5. Сатторов А.С. Интегральные представления и задача типа Коши для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с одной сингулярной линией / А.С. Сатторов // ДАН РТ. – 2009. -том. 52. -№12. -С. 907-912.
6. Сатторов А.С. Интегральные представления и задача типа Коши для одного квазилинейного дифференциального уравнения с двумя сингулярными линиями вырождения / А.С. Сатторов // ДАН РТ. – 2010. -том. 53. -№8. -С. 601-605.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО
КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА
В данной работе в зависимости от принимаемых значений, коэффициента вырождающегося дифференциального уравнения первого рода, находятся интегральные представления и решения. Затем, полученные интегральные представления применяются для решения задачи типа Коши. Решения задач типа Коши даѐтся в явном виде.
Ключевые слова: вырождающиеся, интегральные представления, первого рода, регулярные.
INTEGRAL REPRESENTATIONS AND PROBLEM SOLVING TYPE PROBLEM FOR A QUASILINEAR DEGENERATE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND
In this paper, according to the accepted meaning of the coefficient of degenerate differential equations of the first kind are integral representations and solutions. Then the obtained integral representations are used to solve the problem of Cauchy type. Problem solving Cauchy type is given explicitly.
Key words: degenerate, integral representations of the first kind, regular.
Сведения об авторах: А.С. Сатторов – д.ф.м.н., профессор Научно-исследовательского института ТНУ. Телефон: (+992) 951-41-49-22 Б. Рушанов - научный сотрудник Научно-исследовательского института ТНУ. Телефон: 901-04-03-70
-
12
О НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ
СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Б.М. Шоймкулов Таджикский национальный университет
Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных
дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверх - сингулярными линиями и сверх - сингулярными точками посвящена монография академика АН РТ Раджабова Н. - 1992г « Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверх - сингулярными коэффициентами».
В настоящей работе, используя полученные результаты монографии Раджабова Н., найдено многообразие решений переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией в общем случае в явном виде, через три произвольных постоянных, который сингулярная линия находится в границы области.
В дальнейшем обозначим через D треугольную область, ограниченную отрезками
0030201 0,},,0,0,0 ayaxГxyaxГyaxГ В области D рассмотрим систему
,)(
),(
)(
),(),(),(
,)(
),(
)(
),(),(),(
,)(
),(
)(
),(),(),(
2
3
2
333
2
2
2
2
2
222
2
2
1
2
111
2
2
yx
yxfv
yx
yxc
y
v
yx
yxb
x
v
yx
yxa
y
v
yx
yxfv
yx
yxc
y
v
yx
yxb
x
v
yx
yxa
yx
v
yx
yxfv
yx
yxc
y
v
yx
yxb
x
v
yx
yxa
x
v
(1)
где )31)(,(),,(),,(),,( jyxfyxcyxbyxa jjjj - заданные функции класса
),()(1 DCDC )(),(2 DCyxv - искомая функция.
Пусть в системе (1) коэффициенты ),(),,(),,( yxcyxbyxa jjj и правые части
)31)(,( jyxf j удовлетворяют условиям совместности:
),(),(),,(),,(),,(
),(),(),,(),,(),,(
),(),(),,(),,(),,(
1
1111
1
2222
1
3333
DCyxfyxcyxbyxa
DCyxfyxcyxbyxa
DCyxfyxcyxbyxa
y
x
(2)
),,(),(]),(
[)(
),(),(),(]),(
[)(
1312
22222
yxbyxayx
yxa
yyx
yxcyxbyxayx
yxa
xyx
(3)
-
13
),,(),(),(),(),(]),(
[)(
),(),(),(),(]),(
[)(
1312112
221222
yxcyxbyxbyxbyxayx
yxb
yyx
yxbyxbyxbyxayx
yxb
xyx
(4)
),,(),(),(),(])(
),([)(
),(),(),(),(])(
),([)(
31212
13
22122
23
yxcyxbyxcyxayx
yxc
yyx
yxcyxbyxcyxayx
yxc
xyx
(5)
),,(),(),(),(])(
),([)(
),(),(),(),(])(
),([)(
31212
13
22122
23
yxfyxbyxfyxayx
yxf
yyx
yxfyxbyxfyxayx
yxf
xyx
(6)
),,(),(),(),(]),(
[)(
),(),(),(),(),(]),(
[)(
232222
3323132
yxbyxayxayxayx
yxa
yyx
yxcyxbyxayxayxayx
yxa
xyx
(7)
),,(),(),(]),(
[)(
),(),(]),(
[)(
22222
1332
yxcyxbyxayx
yxb
yyx
yxbyxayx
yxb
xyx
(8)
),,(),(),(),(])(
),([)(
),(),(),(),(])(
),([)(
32222
23
23132
33
yxcyxbyxcyxayx
yxc
yyx
yxcyxbyxcyxayx
yxc
xyx
(9)
).,(),(),(),(])(
),([)(
),(),(),(),(])(
),([)(
32222
13
23132
33
yxfyxbyxfyxayx
yxf
yyx
yxfyxbyxfyxayx
yxf
xyx
(10)
Тогда вводя новую функцию uyxyxv1)(),( и считая
),,(),(),,(),(),,(),(
,2),(),(,1),(),(),,(),(
,0),(,1),(,2),(
332211
332211
321
yxgyxcyxgyxcyxgyxc
yxgyxbyxgyxbyxgyxb
yxayxayxa
из системы (1) получим систему вида
-
14
.),(),(
,),(),(
,),(),(
33
2
2
22
2
11
2
2
yx
yxf
y
u
yx
yxg
y
u
yx
yxf
y
u
yx
yxg
yx
u
yx
yxf
y
u
yx
yxg
x
u
(11)
Для системы (11) условии совместности являются
),,(),(]),(
[)(
),(),(]),(
[)(
1312
2222
yxgyxgyx
yxg
yyx
yxgyxgyx
yxg
xyx
(12)
),,(),(]),(
[)(
),(),(]),(
[)(
3112
2222
yxfyxgyx
yxf
yyx
yxfyxgyx
yxf
xyx
(13)
],),(
[]),(
[ 23
yx
yxg
yyx
yxg
x
(14)
).,(),(]),(
[)(
),(),(]),(
[)(
3222
2332
yxfyxgyx
yxf
yyx
yxfyxgyx
yxf
xyx
(15)
Вводя новую функцию Wy
u
из двух последних уравнений системы (11)
получим переопределенную систему в частных производных первого порядка с одной сингулярной линией
.),(),(
,),(),(
33
22
yx
yxfW
yx
yxg
y
W
yx
yxfW
yx
yxg
x
W
(16)
Сначала находим решение второго уравнения системы (16). В этом случае однородное уравнение имеет вид:
.),(3 W
yx
yxg
y
W
Эту уравнение запишем в виде
.),(ln 3
yx
yxg
y
W
Интегрируя от 0 до y будем иметь
),()],(exp[)(),( 13)0,0(3 xyxyxyxW
g (17)
-
15
где ,)0,0(),(
),(0
333
y
dx
gxgyx
)(1 x произвольная непрерывно-
дифференцируемая функция переменной .x
Подставляя значение ),( yxW во второе уравнение и считая, что функция )(1 x
зависит от переменной ,y для нахождение )(1 x будем иметь
.)(
)],(exp[),()()0,0(1
331
3gyx
yxyxf
dy
xd
Интегрируя, находим
).()(
)],(exp[),()( 2
0
)0,0(1
331
3xd
x
xxfx
y
g
(18)
После подставляя значение )(1 x из (18) в (17) находим общее решение второе уравнение системы (16) в виде
].)(
)],(exp[),()([
)(
)],(exp[),(
0
)0,0(1
332)0,0(
3
33
d
x
xxfx
yx
yxyxW
y
gg
(19)
Пусть 0)0,0(3 g и функция ),(3 yxg удовлетворяет условию типа Гельдера
)20(,0,0,)()0,0(),( 111331 constHyxHgyxg
и функция ),(3 yxf обращается в нуль с асимптотической формулой
(21)).0,0(],)[(),( 3232 gyxoyxf
Теперь от функции ),( yxW потребуем, чтобы она удовлетворяла первой уравнении
системы (16), отсюда находим условие совместности вида
}.)(
)),(exp(),()
)(
)),(exp(),(
)()()0,0(),(),(
{(])(
)),(exp(),([
)0,0(1
32
0
)0,0(1
33
2332
)0,0(1
33
33
3
g
y
g
g
yx
yxyxfd
x
xxf
xyx
g
x
yx
yx
yxg
yyx
yxyxf
x
(22)
Используя условие (22) из первого уравнения системы (16), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с одной сингулярной линией вида
)23()0,(
)()0,0()0,()(
)0,0(1
22
322
3gx
xfx
x
gxg
dx
xd
Общее решение уравнения (23) имеет вид
],))0,(exp()0,(
)[0,(exp()(0
)0,0(1
2212
)0,0()0,0(
22
22 dtt
ttfcxxx
x
g
gg
(24)
где ,)0,0()0,(
)0,(0
222
x
dtt
gtgx
1c - произвольная постоянная.
Пусть функция )0,(2 xg удовлетворяет условию
-
16
,0,0),()0,0()0,( 322223 constHxHgxg
(25)
и функция )0,(2 xf в окрестности точек 0x обращаются в нуль, и еѐ поведение определяется следующей асимптотической формулой
).0,0(],[)0,( 2424 gxoxf
(26)
и .0)0,0()0,0( 32 gg
Тогда подставляя (24) в (19) и учитывая
)27(,)(),(),(0
3 y
xdxWyxu
из первой уравнений системы (11) получим условие
].),(
),(),(
[)],([ 112
2
yx
yxfyxW
yx
yxg
yyxW
x
(28)
Используя условию (28) для нахождение произвольную функцию )(3 x получим уравнение вида
.),(
]))0,(exp()0,(
[)0,(exp(),()( 1
0
)0,0(1
221)0,0(1
21
2
3
2
22 x
oxfdt
t
ttfc
x
xoxg
dx
xdx
gg
(29)
Дважды интегрируя (29) попеременной x , произвольной функции )(3 x находим в виде
.]ln)[0,0()1)0,0()(0,0(
)0,0(
)30())0,0()0,()((
2
))0,(exp()0,()(
))0,0())0,(exp(),()(()(
321
22
)0,0(1
11
0
11
0
)0,0(1
22
2
0
)0,0(1
12113
2
2
2
cxcxxxfgg
xgс
dtt
ftftxdt
t
ttftx
dtt
gtotgtxcx
g
xx
g
x
g
Пусть функция )0,(1 xg и )0,(1 xf удовлетворяют условию типа Гельдера
)31(,0,0),()0,0())0,(exp(),( 5331215 constHxHgxyxg
,0,0),()0,0()0,( 644116 constHxHfxf
)32(
Подставляя функции )(3 x из (30) в (27) и учитывая (19) будем иметь
-
17
,]ln)[0,0(
)1)0,0()(0,0(
)0,0())0,0()0,()(()0,(),,(
)33(]))0,0())0,(exp()0,()((
))0,(exp(
)),(exp()([
),()(
)],(exp[),(),(
321
0 22
)0,0(1
11112
0
1
0
)0,0(1
121
0 2
)0,0()0,0(
3
)0,0(
1
1
0
11)0,0(1
1
1313
2
232
3
3
cxcxxxf
gg
xgcdt
t
ftftxdttftyxK
dtt
gttgtxd
xx
xxc
dxWx
xxfyxu
x gx
x
g
y
gg
g
y
g
где ,)(),(
1
33 ),()0,0(
11 dsesxxW
y
sxg
)),0,()0,(exp(]2
)0,()(
)),(exp()([),,(
221
2
0
3
)0,0(
)0,0(1
)0,0()0,0(
13
2
32
txxgtx
dxxt
xtyxK
y
g
g
gg
321 ,, ccc - произвольные постоянные.
Теорема 1. Пусть в системе (11), функции )31)(,(),,( jyxfyxg jj -
удовлетворяют условиям (12),(13),(14),(15), (20),(21),(22),(25),(26),(28),(31),(32) и
,0)0,0(3 g 0)0,0()0,0( 32 gg в области D . Тогда любое решение системы (11) из
класса )(2 DC представимо в виде (33).
Замечание 1. Решение вида (33) в окрестности сингулярной линии xy , при выполнении всех условий теоремы 1 непрерывно.
Теорема 2. Пусть в системе (1) коэффициенты ),(),,(),,( yxcyxbyxa jjj и
правые части )31)(,( jyxf j удовлетворяют условиям (2),(3),(4),(5),(6),
(7),(8),(9),(10) и выполнены все условии теоремы 1. Тогда любое решение системы (1) из
класса )(2 DC представимо в виде,
),,()(),( 1 yxuyxyxv (34)
где функция ),( yxu имеет вид (33). Замечание 2. Решение вида (34) в окрестности сингулярной линии xy , при
выполнении всех условий теоремы 2 неограниченно.
ЛИТЕРАТУРА 1. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных
уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями / Н. Раджабов. -Душанбе, изд. ТГУ, 1980. - № I. - 126 с.; 1981. - № II. -170 с.; 1982. - № III. - 170 с.
2. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами: учебное пособие по спецкурсу / Н. Раджабов. –Душанбе, 1992. - С.236.
-
18
О НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ В
ОБЩЕМ СЛУЧАЕ В данной работе исследована переопределенная система дифференциальных уравнений в частных
производных второго порядка с одной сингулярной линией в общем случае. При выполнении условий совместности найдено многообразие решений в явном виде.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, в частных производных, переопределенная, сингулярная линия.
OF ONE OVER DETERMINED SYSTEM DIFFERENTIAL EQUATIONS AT PRIVATE DERIVATIVE SECOND ORDER WITH ONE SINGULAR LINES IN GENERAL CASE
In this work of one over determined system differential equations at private derivative second order with one singular line in general case, is investigation.
Key word: system differential equations, at private derivative, over determined, singular lines.
Сведения об авторе: Б.М. Шоймкулов – доцент кафедры математического анализа и теории функций ТНУ. Телефон: (+992) 919-43-11-84
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ЗАЩИТЫ И УБЫТКИ УРОЖАЯ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МОДЕЛЕЙ
М. Юнуси, А.Х. Ходжаева
Таджикский национальный университет
Рассмотрим задачи оптимального управления, связанные с экологическими системами, состоящими из трех трофических уровней, с учетом поступающего внешнего ресурса. К данным задачам относятся многочисленные задачи, так называемого ―контроля над численностью вредителей‖, или борьба с вредителями, и сводятся к задачам нахождения оптимального управления в различных вариантах типа ―хищник-жертва‖ или ―паразит-хозяин‖. Типичным примером таких экосистем является поле какой-либо сельхозкультуры (рис, пшеница, хлопок и др.), у которой есть насекомые вредители, а они в свою очередь имеют вид паразит-хищник (полезные насекомые). В качестве внешнего ресурса…..можно рассматривать удобрения или воду, используемые для полива. Известно, что для подавления численности вредных насекомых используются химические и биологические способы борьбы. При этом возникает задача определения оптимальной концентрации ядовитого вещества Д, количества добавляемых в популяцию вида паразита или хищника, а также стерильных самцов вредители Р, скорость поступления внешнего ресурса Q из условия минимизации численности вредных насекомых или максимизации величины собираемого урожая.
Математически эту задачу можно сформулировать следующим образом. Требуется минимизировать функционал
k
k
t
t
uNNNdtuNNNfu ,,,,,, 321321
0
0
(1)
при условиях;
,,
,,,
,,,,
3332333
2321222
210111000
PNNDNNFNN
NDNNNFNN
NNNFNNNFQN
где
,
0
....,,,:
max
utu
фнкuQDpuuu
.,.0 f характеризуют ущерб со стороны вредителей и затраты на реализацию биологического, химического и агротехнического способов борьбы 3,2,1,0,itNN II
-
19
усредненные численности (или биомассы) i -го трофического уровня , .II FFсоответствующие относительные с роста биомассы i го уровня D функция ―доза-эффекта‖ от применения дозы ,tDD
kttdD
d
dD
d 0,0,0
2
2 (2)
Предположим, что функции, входящие в постановку задачи удовлетворяют обычным условиям.
Теорема. 1 Пусть имеет место условия (2) и
QDcPNcPNccNQDcPNccNf DppDP 332320 .,.
Тогда оптимальное управление задачи (1)-(2) характеризуется соотношениями:
D
DD
NNNNC
DDNNC
NNCD
D
c
cpP
QQ
D
D
D
p
p
0
1
3322332210
0
3322
3322max
3
3max
0
0max
,0,
,0,0
0,
,,0
,,
1,0
1,
(3)
где DpU
cccpQC ,,,,,, maxmax10 заданные положительные числа решения сопряженной к
(2) задачи ,I=0,1,2,3 Доказательство. Составим функцию Гамильтон -Понтрягина для задачи (1)-(2):
PDINNFNDNNNFN
NNNFNNNFQQDCPNCCNH DP
32333321222
210111100032
,,,
,,,
отсюда
3
1
2
3322330
.
1
I
II
DP
FCN
DNDNDCPNCQH
Из условия максимума функции H по получим (3).
Так как 3,2,1,0,,
i
Nt
N
Hkt
I
kI
I
I
то имеем:
3,0,,,
,
,0,,0,0,
00
JINN
aaA
bt
cbbA
I
J
ijij
k
(4)
Теорема 2. Решение сопряженной задачи (6.4) представляется в виде
k
k
t
tt
ttA
kp
P
AAAtAtAdttAeK
ttAAbAbtгде
tKIt
001
0
1
0
01
0
1
,,
,exp
,
10
-
20
Доказательства. Наряду с системой (4) рассмотрим систему с постоянной матрицей
0A
00
, k
tbA
(5)
Решение последней задачи представляется в следующем виде :
IeAbet ttAttAp kk 00
1
0
0
Теперь введем ,ttp
тогда почтенно из (4), вычитая (6), получим
0
,0,0
k
k
t
ttA
Отсюда
kt
t
tAdAet 0
И следовательно
k
t
t
tA
p dAett 0 (7)
Введя функцию deKkt
t
tA
0 получим (5)
Замечание 1. Решение (7) единственно к его можно получить методом последовательных
приближений. В самом деле, пусть
,....2,1,0
,
,
001
0
n
dett
tt
kt
t
tAn
p
и рассмотрим разность tt nn 1 Легко видеть, что
ttMeM
nttMtt
k
tA
t
n
k
nnn
0
01
,0
11
0
1
,max
,1/
0
Следовательно ряд
0
31
S
S сходится равномерно. Поэтому tS равномерно
по t сходится к ,t которая удовлетворяет интегральному уравнению (7). Покажем, что это решение единственно. Предположим противное.
Пусть также является решением (6.7). Тогда
1/.......1
00
00
ndeMden
ttA
t
t
tA kk .
т.е.
ktt
ttn
0
,,0
Замечание 2. Пусть 3.0, ii собственные значения матрицы
0A тогда на основе
интерполяционной формулы Лагранжа Сильвестера имеем:
kJI
ji
I
J
j
ij
tt
P
ttji
IAe
bAbAtkj
0,3,0,,
8.6,0
3
0
0
1
0
01
0
Теорема 3. Пусть 3210 ,,, NNNNN стационарное решение системы (6.2) , тогда приближенное решение задачи (6.2) можно представить в виде
-
21
k
J ji
I
ji
ij
t
tt
IAe
NNNtN
0
9.6,3
0
0
,10
где i
-собственные значения матрицы .0;3,0;3,0, 00 NNjiaA ij Доказательства. Пусть , t где t является решение задачи (2):
,0, 0 f f правая часть системы (6.2): решение 0f . Тогда легко видеть, что
,0 0
0
где 0
транспонированная с 0 - матрица, и следовательно te 00 . Принимая во внимание, что , t и используя интерполяционную формулу Лагранжа Сильвестера, получим (6.9).
Замечание 3. Стационарное состояние - в случае вольтеровского описания
модельной экосистемы имеет вид
,2/2
,2
,2
,2
21max1312213max1
2
003
212
max1
2
00
1
12
2
11
max1
2
00
1
1010
max1
2
00
0
PmKmQ
K
Qm
K
Q
KK
Q
где ,,,, iiii mk биологические параметры системы .3,2,1,0i
Таким образом, для поведения оптимальной политики необходимо определить
функции t и t соответственно по формулам (7), (8) числа pi по формулам (2), а затем воспользоваться формулами (3).
Замечание 4. Если ввести управления .1 DU PDU 2 , то задачу (1), (2) можно интерпретировать как задачу оптимизации процесса охраны и охоты промысловых популяций.
Построение математической модели уменьшения убытков. Основная идея метода уменьшения убытков состоит в последовательном выявлении направлений, в которых данные об убытках имеют наибольший разброс. Пусть выборка состоит из векторов, одинаково распределенных с вектором X = (x(1), x(2), … , x(m)). Рассмотрим линейные комбинации
Y(λ(1), λ(2), …, λ(m)) = λ(1)x(1) + λ(2)x(2) + … + λ(m)x(m), (*) где λ
2(1) + λ
2(2) + …+ λ
2(m) = 1. Здесь вектор λ = (λ(1), λ(2), …, λ(m)) лежит на единичной
сфере в n-мерном пространстве. В методе главных компонент прежде всего находят направление максимального разброса, т.е. такое λ, при котором достигает максимума дисперсия случайной величины Y(λ)=Y(λ(1), λ(2), …, λ(m)). Тогда вектор λ задает первую главную компоненту, а величина Y(λ) является проекцией случайного вектора Х на ось первой главной компоненты. Затем, выражаясь терминами линейной алгебры рассматривают гиперплоскость в n-мерном пространстве, перпендикулярную первой главной компоненте, и проектируют на эту гиперплоскость все элементы выборки. Размерность гиперплоскости на 1 меньше, чем размерность исходного пространства. В рассматриваемой гиперплоскости процедура повторяется. В ней находят направление наибольшего разброса, т.е. вторую главную компоненту. Затем выделяют гиперплоскость, перпендикулярную первым двум главным компонентам. Ее размерность на 2 меньше, чем размерность исходного пространства. Далее – следующая итерация. С точки зрения
-
22
линейной алгебры речь идет о построении нового базиса в m-мерном пространстве, ортами которого служат главные компоненты. Дисперсия, соответствующая каждой новой главной компоненте, меньше, чем для предыдущей. Обычно останавливаются, когда она меньше заданного порога. Если отобрано k главных компонент, то это означает, что от m-мерного пространства удалось перейти к k-мерному, т.е. сократить размерность с m-до k, практически не исказив структуру исходных данных. Для визуального анализа данных часто используют проекции исходных векторов на плоскость первых двух главных компонент. Обычно хорошо видна структура данных, выделяются компактные кластеры объектов и отдельно выделяющиеся вектора. Известно, что многие вопросы конструировании и исследовании некоторых модельных объектов, в которых процессы теплопроводности, диффузии, волнового процесса и другие при некоторых значениях параметров протекают в максимальных режимах. Протекающие соответствующие физические процессы сопровождаются образованием максимального количество тепла (в процессе теплопроводности), максимального количества частиц (в процесс диффузии), максимальной волновой энергии (в волновом процессе) и продуктов в экономических задачах. Рассмотренные процессы приводят к так называемому модельному уравнению с экстремальными свойствами. Рассмотрим разложение типа (*) в самом общем случае для произвольных массива данных любой природы и пусть
1
,
1
s smLu L u
j jj
( ) , , 1. **1
j
smsLu L u s o m
jj
Здесь mjj
LL ,1,, - заданные операторы, характеризирующие рассмотренные
процессы связанных массивами, М- множество, которое описывает параметров среды и рассматриваемых процессов и оно представляется в виде
mjoj
m
jsn
n
jmM ,1,,1
1
:...1
.
Используя принцип оптимальности, имеем задачу максимизации правой части
последнего разложения по коэффициентам j
и в самых общих случаях уравнение:
,
1
1
max
ssm
j
uj
LjM
Lu
которое эквивалентно уравнению
( ) , .
1
nmnLu L u n s o
jj
(***)
Рассмотрим некоторый класс возможных решений, например, класс простых решений
10,, kcuLuuj
cuj
L kk где cc j , -являются решениями так называемое уравнения
совместимости(координационный):
m
j
ncnj
c
1
, т.е. p
m
m
j
n
jm Cc 1
, а затем находим
функцию (.)u как решения переопределенной системы и исходного уравнения. Для
последнего уравнения мы получили формулу n
m
i
n
ip
imnmp
m zyxxC
2
)2(
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями / М.К. Юнуси. -Душанбе: Дониш, 1991. -146.с.
2. Юнуси М.К. Математические модели защиты растений и охраны популяций животных / М.К. Юнуси. –Душанбе, 1988. -29 с.
-
23
3. Юнуси М.К. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач его приложения в биологии / М.К. Юнуси. –Душанбе, 1998. -51 с.
4. Юнуси М.К. Математические модели охраняемых популяций / М.К. Юнуси. -М: ВЦ АН СССР, 1991. -31 с.
5. Юнуси М.К. О решении одного класса нелокальных задач / М.К. Юнуси. -М.: ВЦ АН СССР, 1991. -31 с. 6. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. -М.: Наука,
1978. - 252 с. 7. Белл мен Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Белл мен, К. Кук. -М: Мир, 1967. -548 с. 8. Yunusi M. Models of Development of Losses in the Worst Condition by Kinds with Long Settlement -
Modification Method of the Nearest Neighbour / M. Yunusi // International Congress Actuaries. March 7-12, Cape- Town,SA, 2010. -P.23.
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ЗАЩИТЫ И УБЫТКИ УРОЖАЯ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МОДЕЛЕЙ
Работа посвящена вопросам оптимизации процесса защиты и убыткам урожая сельскохозяйственной культуры от вредителей, а также определению величины убытков при неправильном планировании мероприятий при их проведении.
Ключевые слова: оптимизация, защита урожая, убытки, модель, интегрированный метод, оптимальное управление, вредитель, хищник.
ON THE OPTIMIZATION OF THE PROTECTION AND CROP LOSSES FOR POINT MODELS
The article is devoted to the optimization of the protection and crop losses of agricultural crops from pests, as well as determination of the magnitude of losses at carry out some protection actions the crop.
Key words: optimization, crop protection, loss, model, integrated method, optimal control, pest, predator. Сведения об авторах: М. Юнуси - доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики Таджикского национального университета. Телефон: (+992) 918-21-99-90 А.Х. Ходжаева - аспирантка Таджикского национального университета. Телефон: (+992) 985-82-81-57
О ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ ЗАДАЧИ РИМАНА С ЗАДАННЫМИ ГЛАВНЫМИ ЧАСТЯМИ НА ДЕЙСТИВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
К. Тураев
Кулябский государственный университет им. А. Рудаки
1. В 1 при помощью интегралов Фурье исследована однородная и неоднородная краевая задача Римана с заданными главными частями
,0,
,0,
...21
JmzzzS
JmzzzS
zzzzSесли
если
i
i
i
in
по краевому условию
Lx, xHxFxDxF . (1)
Доказано, что общее решение задачи (1) при 0Jndæ xD дается формулой
,210 zFzFzFzF (2) где
dtet
zzF
iz
zPzzF izt11ж
1-ж0
2,
,
dtet
tHx ixt
2
11 ,
dttziz
izzz iztzz
02
1,,
dttDit
itxdttz ixtizt
ж0
ln2
1,
2
1
-
24
dtex
xS
x
xSzzSzF izt
22 (3)
Входящие в zF2 слагаемые описывают вклад в решение, происходящее от заданных главных частей zS , принято называть функцией заданных главных частей 1 .
2. Рассмотрим один частный случай (3), часто встречающийся на практике. Пусть функция
x
xSxDSS
xx
xx
x
x (А)
аналитична в 0Jmz и непрерывна в L , а функция
x
xSxD
xx
xSxS
1
x
x (В)
аналитична в 0Jmz -и непрерывна в L , тогда по интегральной формуле Коши функцию
zF2 можно представить в виде ,0z,2
JmzzSzDzSzF
0z,12
JmzzSzDxSzF .
Следовательно, формула (2) представима в следующих формах
,0z,10
JmzzFzFzSzDxSzF если 0z,10
1
JmzzFzFzSzDxSzF если . (4) Очевидно, разности zSzF
будут аналитическими функциями в PJmz \0 и PJmz \0 соответственно.
Если 0æ , то в (4) следует положить 01-ж zP , и единственность решения задачи (1) обеспечивается, если выполнены условия разрешимости
xdxHxdzSxdxS
000 (5)
где zd 0 любого решения союзной задачи для дифференциалов LxxdxDxd ,00 . (6) 3. Теперь, дадим другой способ доказательства формулы (4). Пусть выполняются
условия (А) и (В). Тогда, в силу свойства канонической функции на контуре, краевое условие (1) можно записать
Lxx
xH
x
xF
x
xF
,
и преобразовать в виде
xxS
x
xS
x
xH
x
xSxF
x
xSxF
.
Заменяя xxH
разностью кусочно–аналитических функций
xx
x
x
x
xH
11 ,
где
dzez
zHtdtetz iztizt
2
1,
2
1111
-
25
преобразованное краевое условие запишем в виде
.,11
1 Lxx
x
x
xSxGxSxF
x
x
x
xSxDxSxF
(7)
Левая часть равенства (7) есть краевое значение функции
zz
z
zSzDzSzFz
11 ,
аналитической в области PJmz \0 а правая часть (7) –краевое значение функции
zz
z
zSzDzSzFz
1
1
2
аналитической в области PJmz \0 , и имеющие на бесконечности порядок не ниже │æ│. По принципу аналитического продолжения 21 функции zz 21 , являются аналитическим продолжением друг –друга. Следовательно, получим:
æ1-æ
21iz
zPzz
(8)
где zP 1-ж - многочлен степени не выше æ-1, если 0æ и тождественный нуль при 0æ. Из (8) следует формула (4). Итак, справедливо
Теорема. Если главные части неизвестных функции zF и zF заданы в виде пары функций zS и zS аналитических соответственно в областях PJmz \0 и PJmz \0 , то общее решение задачи Римана (1) в случае выполнения (А) и (В), при
0æ дается формулой (4). Если 0æ , то для разрешимости задачи (1) необходимо и достаточно выполнения условия (5) для любого решения союзной задачи (6). При его
выполнении общее решение задачи дается той же формулой (4), где теперь 0 1-æ zP . 4. В качестве примера рассмотрим задачу Римана с заданными главными
частями, когда xD - рациональная функция. Пусть в краевом условии (1)
xgxg
xpxp
xg
xpxD
.
Здесь zgzpzgzp ,, -многочлены, нули которых лежат соответственно в верхней (нижней) полуплоскости. Обозначим степени многочленов ggpp ,,,
соответственно nnmm ,,, . Поскольку по условию задачи D не может обращаться ни в нуль, ни в бесконечность, будет выполняться соотношение
nnmm .
Обозначим
nmnmxDJndæ . Подставляя xD в (1), умножив краевое условие на xpxg / и преобразуя
полученное краевое условие с учетом заданных главных частей будем иметь
xSxg
xpxS
xp
xgxH
xp
xg
xSxFxg
xpxSxF
xp
xg
(9)
каноническими функциями здесь являются
p
g
g
pX , .
Правую часть (9) заменим разностью краевых значений аналитических функций
-
26
xxxSxp
xgxS
xg
xp
xxxHxp
xg
11
(10)
где
0,2
1,0,
2
10
0
JmzzеслиdtetzJmzzеслиdtetziztizt
dttHtp
tqx ixt
2
1
0,2
1,0,
2
11
0
11
0
1
JmzzеслиdtetzJmzzеслиdtetziztizt
dttStp
tqtS
tq
tpx ixt
2
11 .
Тогда краевое условие (9) представимо в виде
xxxSxFxq
xpxxxSxF
xp
xq
11 (11)
К полученному равенству можно непосредственно применить теорему от аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля. Единственной исключительной точкой, где единая в комплексной плоскости аналитическая функция может иметь ненулевой порядок, будет бесконечная удаленная, где порядок функции будет равен
æ 111 mnnm .
Следовательно, равенство (11) есть многочлен 1-æ xP . Тогда приравнивая левую и правую часть (11) к z1-æP , при æ 0 получим:
zzzSzFxp
xq1 z1-æP ,
zPzzq
zpz
zq
zpzSzF 1-æ1
Очевидно, разности zSzF соответственно будут аналитическими в верхней и
нижней полуплоскостях.
При 0æ нужно положить 0 1-æ zP и при 0æ выписать ещѐ условия разрешимости, получаемые приравниванием нулю │æ│ начальных членов разложения
рациональной функции z z1 в ряд по степеням z
1:
æ,...,2,1,11
kdSqP
SP
qd
P
Hq kk
.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения / Р. Акбаров. -Душанбе: «Дониш», 2006. - 245 с.
2. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. -М.: Наука, 1978. -296 с.
-
27
О ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ ЗАДАЧИ РИМАНА С ЗАДАННЫМИ ГЛАВНЫМИ ЧАСТЯМИ НА ДЕЙСТИВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
При помощи интегралов Фурье исследуются частные случаи общего решения неоднородной задачи Римана с заданными главными частями на действительной оси.
Ключевые слова: краевая задача, главные части.
PARTICULAR CASES OF THE RIEMANN PROBLEM WITH PRESCRIBED PRINCIPAL PARTS ON THE REAL AXIS
With the help of Fourier integrals studied are special coses of the general solution of the heterogeneous Riemann problem with prescribed principal parts on the real axis.
Key words: boundary problems, main of parts.
Сведения об авторе: К. Тураев – соискатель Кулябского государственного университета им. А. Рудаки. Телефон: (+992) 918-50-69-89. Е-mail. akbarov 39 @mail.ru
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДЕЛЬНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ В ЯДРЕ
С.К. Зарипов
Таджикский национальный университет
Пусть bxax : множества точек на вещественной оси. На рассмотрим модельное интегро-дифференциальное уравнение
x
a
xfdttyat
Bxy
ax
Axy
2, (1)
где BA, заданные постоянные, xf -заданная функция, xy -искомая функция. Используя методы, разработанные Н. Раджабовым в [1] решение уравнения (1) будем
искать в классе функций baCxy , и обращающееся в нуль в точке ax со
следующим асимптотическим поведением 1, 11 axoxy . Решение уравнения (1) будем искать в виде axxy . Тогда для определения
получим алгебраическое уравнение
012 ABA . (2) В зависимости от корней алгебраического уравнения (2) для уравнения (1)
справедливо следующие утверждение: Теорема 1. Пусть в интегро-дифференциальное уравнение (1) коэффициенты A и
B такие, что корни алгебраического уравнения (2) являются вещественными и разными и 211 . Функция baCxf , и 0af со следующим асимптотическим поведением
axaxoxf при1, 222 . (3) Тогда однородное уравнение (1) имеет два линейно-независимых решения, а
неоднородное уравнение (1) в классе функций baCxy , обращающееся в нуль в точке ax всегда разрешимо и его общее решение содержит две произвольные постоянные,
которое даѐтся при помощи формулы
xfccEdttfat
ax
at
ax
Dсaxсaxxy
x
a
,,111
2112121
21
21
(4)
где 041 2 aBAD , 2
12,1
DA и 21, cс произвольные постоянные.
-
28
Доказательство: Если корни алгебраического уравнения (2) являются
вещественными и разными и 211 , тогда однородное уравнение (1) имеет два
линейно независимых решения
21 21 ,
axxyaxxy .
и его общее решение даѐтся при помощи формулы
21 21 СaxСaxxy
,
где 21, СС -произвольные постоянные.
Решение неоднородного уравнения (1) будем искать в виде
xСaxxСaxxy 21 21
, (I)
где xСxС 21 , -неизвестные функции. Используя метод вариации произвольных постоянных для определения этих функций получим следующую систему уравнений с
неизвестными xСxС 21 ,
.
11
,0
21
1
11
1
21
21
21
xfxСaxB
xСaxB
xСaxxСax
Решая эту систему, после некоторых преобразований функции xСxС 21 , найдѐм в так�