С. А. Курганов, В. В. Филаретов

СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1

Министерство образования Российской Федерации

Ульяновский государственный технический университет

С. А. Курганов, В. В. Филаретов

СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ

СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Учебное пособие

Ульяновск 2003

2

УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я7 К 93

Рецензенты: Кафедра микроэлектроники Ульяновского государственного университета (завкафедрой доктор физико-математических наук, профессор Н. Т. Гурин); доктор технических наук, профессор А. А. Смагин. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

К93 Курганов С. А. Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей

методом схемных определителей: Учебное пособие/ С. А. Курганов, В. В. Филаретов.− Ульяновск: УлГТУ, 2003.− 228 с. ISBN 5-89146-470-5

Излагается обобщенный метод схемных определителей, предназначенный для получения символьных выражений токов, напряжений и параметров неизвестных элементов в линейных электрических цепях непосредственно по схеме замещения или принципиальной схеме без составления уравнений и минуя формирование схемных функций. Метод распространяется как на линейные схемы с двухполюсными элементами, так и на линеаризованные активные (электронные) схемы.

Главная цель пособия − помочь студенту освоить символьный анализ линейных электрических цепей и научиться решать практические задачи их диагностики, требующие исследования аналитических выражений. В пособии приведены многочисленные примеры решения задач, в том числе с применением компьютерной программы символьного анализа и диагностики – CIRSYMD. Даются указания по использованию этой программы при выполнении расчетно-графических работ.

Пособие предназначено для студентов, изучающих теоретические основы электротехники (специальности 180400 «Электропривод и автоматизация промышленных установок», 100400 «Электроснабжение»), основы теории цепей (специальность 200700 «Радиотехника»), электротехнику и электронику (специальность 071900 «Информационные системы и технологии»), и преподавателей, ведущих указанные дисциплины. Учебное пособие может использоваться также студентами других радио- и электротехнических специальностей.

УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я7

© Оформление. УлГТУ, 2003

ISBN 5-89146-470-5 © Курганов С. А., Филаретов В. В., 2003

К93

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список условных сокращений и обозначений………………………… 6 ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………. 8

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ .………………….

12

1.1. Общие понятия и определения …………………………………….. 12 1.2. Физические основы метода схемных определителей ……………. 18

1.2.1. Законы Кирхгофа ……………………………………………. 18 1.2.2. Вырождение схемы и нейтрализация элементов …………. 19 1.2.3. Эквивалентные упрощения электрических схем …………. 23

1.3. Разложение определителей схем по параметрам двухполюсных элементов и подсхем …………….

25

1.3.1. Определители простейших схем …………………………… 25 1.3.2. Выделение параметров пассивных элементов …………… 26 1.3.3. Выделение подсхем ………………………………………… 29 1.3.4. Метод схемных миноров …………………………………… 30

1.3.4.1. Деление схемы на две части по трем узлам ……… 32 1.3.4.2. Общий случай деления на подсхемы ……………… 33 1.3.4.3. Деление схемы на две части по четырем узлам …… 34 1.3.4.4. Объединение подсхем ………………………………. 35

1.4. Выражение символьных схемных функций через схемные определители ………………………………………

41

1.5. Примеры формирования символьных схемных функций для схем с двухполюсными элементами …………………………

43

1.5.1. Простейший делитель напряжения ………………………… 43 1.5.2. Мост Уитстона ……………………………………………… 44 1.5.3. Сглаживающий фильтр …………………………………….. 44 1.5.4. Полосовой RC-фильтр ……………………………………… 45

1.6. Выделение параметров УИ и НУИ ……………………………….. 47 1.6.1 Выделение параметров УИ …………………………………. 47 1.6.2. Выделение параметров элементов принципиальных схем . 50 1.6.3. Выделение параметров НУИ ………………………………. 53 1.6.4. Выделение параметров в базисе заряда и напряжения …… 58

1.7. Примеры формирования ССФ для схем с УИ ……………………. 60 1.7.1. Анализ yz-схемы с ИТУН …………………………………... 60 1.7.2. Анализ yz-схемы с ИТУТ и ИНУН ………………………… 64

1.8. Схемно-алгебраические формулы для определения цепных параметров четырехполюсников …….. 66

1.9. Алгоритм формирования схемных определителей ………………. 69 1.10. Использование схемных функций

при вариации параметров управляемых источников ………….. 70

1.11. О взаимосвязи схемного и матричного определителей ………… 76

4

1.12. Неудаляемые дуги – отображение неудаляемых управляемых источников на унисторном графе ………………………………..

81

2. НЕЯВНЫЙ ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ……………………………

85

2.1. Понятие о принципе наложения …………………………………... 85 2.2. Компенсация сопротивлений независимыми источниками …….. 87 2.3. Компенсация независимых источников

управляемыми источниками и неявный метод наложения на основе отношений воздействий ………………………………..

91

2.4. Сравнение неявного метода наложения на основе отношений воздействий с явным методом наложения.

98

2.5. Неявный метод наложения на основе единичного источника ….. 104 2.6. Сравнение неявного метода наложения

на основе единичного источника с явным методом наложения .. 111

2.6.1. Анализ установившегося режима трехфазной несимметричной цепи ………………………..

111

2.6.2. Анализ переходного процесса в линейной электрической цепи ……………………………

116

2.7. Метод выделения независимых источников ……………………… 120 2.7.1. Выделение параметров независимых источников ………... 121 2.7.2. Пример формирования операторных выражений СВО ….. 124

2.8. Метод управляемых источников ………………………………….. 125 3. СИМВОЛЬНАЯ ДИАГНОСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОМПЕНСАЦИИ ЭЛЕКТРОКОМПОНЕНТОВ …………..

129

3.1. Базисная задача диагностики ………………………………………. 129 3.2. Понятие о компенсации электрокомпонентов ……………………. 130 3.3. Топологические необходимые и достаточные условия решения базисной задачи диагностики ……………………………

131

3.4. Правила независимого подключения измерительных приборов .. 133 3.5. Метод косвенной компенсации

на основе независимых источников ………………………………. 135

3.6. Метод косвенной компенсации на основе управляемых источников ………………………………

139

3.7. Пример диагностики схемы электронного усилителя методом косвенной компенсации …………………………………

156

3.8. Метод прямой компенсации ………………………………………. 159 3.9. Пример диагностики схемы электронного усилителя

методом прямой компенсации …………………………………….

172

4. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ………….

176

5

4.1. Анализ цепей на базе операционных усилителей ………………... 176 4.1.1. Постановка задачи анализа………………………………….. 176 4.1.2. Пример решения задачи анализа……………………………. 179

4.2. Диагностика параметров электрического режима ……………….. 184 4.2.1. Постановка задачи диагностики режима ………………….. 184 4.2.2. Пример решения задачи диагностики режима ……………. 184

4.3. Диагностика параметров элементов ………………………………. 186 4.3.1. Постановка задачи диагностики параметров ……………… 186 4.3.2. Пример решения задачи диагностики параметров ………... 186

4.4. Символьный анализ и диагностика электрических цепей с помощью программы CIRSYMD ………………………………...

188

4.4.1. Ввод данных о схеме ……………………………………….. 188 4.4.2. Отличия cir-файла программы CIRSYMD от обычного cir-файла ……………………………………….

189

4.4.3. Пример заполнения cir-файла для программы CIRSYMD . 190 4.4.4. Использование программы CIRSYMD в различных режимах ………………………………………..

192

4.4.4.1. Режим анализа ……………………………………….. 192 4.4.4.2. Режим диагностики ………………………………….. 192 4.4.4.3. Режим самотестирования ……………………………. 192 4.4.4.4. Выполнение программы CIRSYMD ………………... 193

4.4.5. Примеры использования программы CIRSYMD …………. 193 4.4.5.1. Анализ и диагностика схемы транзисторного усилителя …………………...

193

4.4.5.2. Анализ и диагностика тестовой схемы Бутырина-Васьковской …………….

194

4.4.5.3. Анализ схемы полосового активного фильтра …….. 195 4.4.6. Комплект поставки программы CIRSYMD ……………….. 198 4.4.7. Контактный адрес для предложений и рекламаций по использованию программы CIRSYMD …………………

198

4.4.8. Исследование выходных файлов программы CIRSYMD с помощью математических систем ………………………..

198

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….

199

Приложение: Метод схемных определителей в таблицах и рисунках . 200 П.1. Методические указания по освоению

метода схемных определителей ……………………………... 200

Предметный указатель ………………………………………………….. 223 Библиографический список ………………………………………………….. 224

СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

6

АЧХ амплитудно-частотная характеристика ДВ двоичный вектор

ГНУИ генератор неудаляемого управляемого источника ИДС исходная диагностируемая схема ИНУН источник напряжения, управляемый напряжением ИНУТ источник напряжения, управляемый током ИТУН источник тока, управляемый током ИТУТ источник тока, управляемый током ЛЭЦ линейная электрическая цепь МКК метод косвенной компенсации МПК метод прямой компенсации МСО метод схемных определителей НПН неявный принцип наложения НУИ неудаляемый управляемый источник ОУ операционный усилитель

ПНУИ приемник неудаляемого управляемого источника САВ схемно-алгебраическое выражение СВО символьное выражение отклика СВП символьное выражение параметра СКЭ схема с компенсированными элементами ССФ символьная схемная (системная) функция УИ управляемый источник ФЧХ фазо-частотная характеристика ЭДС электродвижущая сила

D схемный определитель, знаменатель ССФ или СВО e мгновенное значение ЭДС j мгновенное значение функции источника тока

u, u(t) мгновенное значение напряжения i, i(t) мгновенное значение тока

j мнимая единица 1j −= ω циклическая (круговая) частота p оператор дифференцирования (p=d/dt) или комплексный оператор (p=jω)

E(p),J(p) операторные выражения ЭДС и функции источника тока U(p), I(p) операторные выражения напряжения и тока

E, J комплексные действующие значения ЭДС источника тока U, I комплексные действующие значения напряжения и тока Z, Y комплексные сопротивление и проводимость

Z(p), Y(p) операторные сопротивление и проводимость независимые источники ЭДС и тока

7

приемники напряжения и тока вольтметр и амперметр определитель схемы (многополюсника)

генератор неудаляемого управляемого источника (ГНУИ)

приемник неудаляемого управляемого источника (ПНУИ)

источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН)

источник напряжения, управляемый током (ИНУТ)

источник тока, управляемый напряжением (ИТУН)

источник тока, управляемый током (ИТУТ) операционный усилитель (ОУ)

8

…Мышление есть страдание. Аристотель (384–322 до н. э.)

ВВЕДЕНИЕ

Анализ и диагностика являются задачами, органично дополняющими друг друга в теории линейных электрических цепей (ЛЭЦ) [10 – 12, 17, 21]. Анализ состоит в определении переменных и характеристик электрического режима цепи по известной структуре и параметрам элементов, а диагностика заключается в нахождении переменных электрического режима и части параметров элементов по заданной структуре, известному множеству параметров и дополнительной информации о части измеренных напряжений и токов в диагностируемой цепи. Решать эти задачи желательно символьными методами, чтобы полученные таким образом аналитические выражения позволяли бы исследовать общие свойства функций и цепей [1, 9], были «понятны самому широкому кругу специалистов и легко проверялись соответствующими экспертизами» [3, c. 44]. Вместе с тем символьная диагностика, под которой понимается использование символьных выражений для получения неизвестных параметров [28, 29, 60, 64, 66, 67, 72, 73], в отличие от численной диагностики [4, 10, 12, 57], еще не нашла отражения в учебной литературе. Существующий пробел призвано заполнить данное пособие, в котором решение базисной задачи диагностики ЛЭЦ в символьном виде доведено до компьютерной реализации.

Для символьного анализа электрических цепей разработаны как топологические [43, 58], так и схемно-алгебраические [31, 33, 54] методы. В 1845 году Кирхгоф, будучи студентом, опубликовал законы непрерывности токов в узле и равновесия напряжений в контуре электрической схемы [20]. С этого времени появилась возможность выполнять анализ сложных электрических цепей, путем решения системы уравнений схемы методом Крамера, то есть через раскрытие определителей двух матриц. Однако и Кирхгоф (1847 г.) [20], и Максвелл (1873 г.) [35], очевидно, сознавая избыточность и абстрагированность матричного подхода, делали попытки разработать прямой метод анализа электрических цепей, исключающий составление уравнений и использующий непосредственно схемную модель цепи. Тем самым ставилась задача сделать переход от схемы к ее символьным схемным функциям (ССФ), применяемым для расчета токов и напряжений, более простым и обусловленным структурой самой схемы.

Результаты Кирхгофа и Максвелла получили развитие в работах Фойснера [45, 49, 68, 69], который в 1902 году ввел понятие определителя схемы с двухполюсными элементами. Результаты Фойснера [68, 69] получили развитие в работах Брауна [61, 62], Партена и Сикета [77]. Наиболее подробно методы Кирхгофа, Максвелла, а также метод Фойснера, называемый здесь методом схемных определителей, рассмотрены в учебнике [43]. В 1965 году Браун ввел

9

понятие ориентированного нуллора [61], что позволило выразить ССФ через определители схем с нораторами и нуллаторами, а также применить формулы Фойснера для анализа электрических цепей, содержащих идеальные операционные усилители (ОУ) [62]. В последние годы метод схемных определителей был усовершенствован и обобщен для анализа схем со всеми типами управляемых источников (УИ) [51, 52, 70, 71] и многополюсных компонентов [32], анализа сложных схем по частям [53], аналитического решения систем линейных алгебраических уравнений [31], получил методическую проработку [31, 33, 54]. В настоящем пособии развивается схемно-алгебраический метод схемных определителей (МСО) применительно к анализу цепей с несколькими источниками воздействия и общему решению базисной задачи диагностики. Критерием, который положен в основу сравнения предлагаемых и известных методов, является вычислительная сложность формируемых выражений ССФ, характеризующаяся количеством требуемых алгебраических операций [48, 50, 65, 78 – 80]. Основы оптимальной свертки выражений были заложены Бройером [63].

Развитый в пособии неявный принцип наложения (НПН) [30, 44] позволяет формировать на основе МСО символьные выражения откликов (СВО) при анализе ЛЭЦ с произвольным числом источников воздействия, минуя процедуру нахождения ССФ. При этом искомое СВО получается в виде отношения определителей двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя. Заметим, что ССФ в случае нахождения СВО являются побочными результатами анализа ЛЭЦ. Важно подчеркнуть, что до сих пор понятие «схемная функция», которое, начиная с работы Максвелла [35], занимало центральное место в символьно-топологическом анализе электрических цепей [43], препятствовало рассмотрению с единых позиций ЛЭЦ с одним и несколькими источниками воздействий.

Применить непосредственно символьные методы анализа ЛЭЦ для их диагностики нельзя, поскольку по условию этой задачи часть параметров элементов не известна. Для преодоления этого препятствия используется компенсация элементов с неизвестными параметрами с помощью компенсационной схемы или компенсатора, состоящего из источника напряжения или тока с известным (измеренным) параметром и идеального операционного усилителя [19, 28, 29, 72]. Пример компенсации сопротивления показан на обложке пособия. Схема, полученная в результате замены компенсаторами всех элементов с неизвестными параметрами, называется схемой с компенсированными элементами (СКЭ). Эта схема эквивалентна исходной диагностируемой схеме (ИДС) и в отличие от нее может быть проанализирована МСО. Таким образом, получается прямое решение задачи символьной диагностики, то есть минуя формирование уравнений схемы и их последующее решение.

Задачами учебного пособия являются: 1. Сосредоточить внимание и усилия студентов на постижении

физического смысла изучаемых явлений, исключив трудоемкое использование

10

вспомогательных математических аппаратов матриц и графов, а также методов решения линейных алгебраических уравнений (Крамера, Гаусса и т. д.).

2. Предоставить в распоряжение студентов наглядный и эффективный инструмент для аналитического и численного исследования электрических цепей, который расширяет возможности аналитического представления зависимостей в курсе теоретических основ электротехники и смежных дисциплинах, способствует формированию критического отношения к учебной и справочной литературе.

3. Осуществить попытку изложения разделов ТОЭ «Методы расчета электрических цепей при установившихся синусоидальном и постоянном токах» и «Диагностика электрических цепей» [11, 12] на собственно схемной основе, то есть ориентируясь на физические схемные представления.

При анализе ЛЭЦ используются так называемые схемно-алгебраические выражения (САВ), в которых, наряду с буквенными обозначениями параметров схемы и знаками операций, используются изображения производных схем, отождествляемые с их определителями. В таких выражениях в качестве знака умножения в начале пособия используется знак « * », который при последующем изложении опускается. Применение САВ на первый взгляд кажется непривычным, однако, позволяет сделать процесс решения более наглядным, а также обеспечивает сокращение объема выкладок, поскольку определители производных схем с 2–3 узлами легко запоминаются.

Учебное пособие состоит из четырех разделов. В первом разделе рассматриваются базовые понятия теории ЛЭЦ [11, 15,

22, 23, 24, 36, 38 – 41, 43], обсуждаются понятие схемного определителя, признаки вырождения схемы, удаление, стягивание и нейтрализация ее элементов [31, 54]. Вводится понятие неудаляемого управляемого источника (НУИ), обобщающее понятие ориентированного нуллора, и формулируются САВ для нахождения ССФ [51, 61]. Выводятся формулы Фойснера для разложения определителя схемы путем выделения параметров пассивных элементов и приведения задачи к разложению определителей более простых производных схем. Для анализа сложных ЛЭЦ предлагается диакоптический метод схемных миноров [53]. Рассматриваются примеры анализа электрических схем, составленных из двухполюсных элементов. Обсуждается обобщение метода схемных определителей для анализа схем с УИ. Выводятся формулы для разложения определителя схемы путем выделения параметров УИ, подобно параметрам двухполюсных элементов. Предлагаются правила выделения НУИ, позволяющие свести задачу разложения определителя схемы с НУИ к более простой задаче выделения двухполюсных элементов. Даются примеры анализа схем с УИ всех четырех типов и идеальными ОУ. Рассматривается обобщение метода выделения параметров двухполюсников и УИ для трех- и четырех-полюсных взаимных и невзаимных элементов: взаимных индуктивностей, идеальных трансформаторов, гираторов, конверторов, инверторов, биполярных, полевых и составных транзисторов, длинных линий и т. д. [31, 32].

11

Второй раздел посвящен символьному анализу ЛЭЦ с несколькими источниками воздействия на основе НПН. Доказываются теоремы о компенсации независимых источников и схемно-алгебраические тождества. Обсуждаются методы опорных источников, выделения независимых источников и управляемых источников. Рассматриваются примеры анализа дифференциального усилителя, несимметричной трехфазной цепи, переходного процесса в пассивной ЛЭЦ.

В третьем разделе предлагается символьное решение базисной задачи диагностики ЛЭЦ, при которой выполняется однократный анализ СКЭ. Формулируются топологические необходимые и достаточные условия диагностируемости ЛЭЦ [51, 74 – 76]. Доказываются теоремы о компенсации сопротивлений, проводимостей, независимых источников напряжения и тока, а также УИ всех четырех типов. Обсуждается пример решения задачи диагностики транзисторного усилителя [19].

Четвертый раздел содержит варианты задач для решения на практических занятиях или в качестве заданий расчетно-графических работ, а также руководство пользователя компьютерной программы CIRSYMD, в которой В. В. Филаретов реализовал методы схемных определителей и символьной диагностики. Совместно с программой CIRSYMD применяется программа CALCSYM для интерпретации сложных выражений, разработанная Д. В. Шеиным и полезная при численном расчете токов, напряжений, частотных характеристик и т. д. Загрузочные модули указанных программ размещены на сайте http://astrometric.sai.msu.ru/~symbol/. Программа CIRSYMD использует стандартный cir-формат (Pspice-DesignLab) для описания схем и в отличие от известных программ обеспечивает вывод выражений, близких к оптимальным выражениям по вычислительной сложности, без взаимно уничтожающихся слагаемых. Важно, что символьные выражения для искомых токов, напряжений, параметров получаются в виде дробно-рациональных функций, удобных для последующего аналитического исследования. Кроме непосредственного учета всех типов УИ, предусматривается задание двухполюсных элементов, как проводимостями, так и сопротивлениями, а также смешанное задание параметров. Это исключает сложные преобразования выражений и обеспечивает экономию интеллектуального труда.

В приложении помещен краткий обзор наглядных формул – САВ, который может служить, как набором упражнений, так и своеобразной «шпаргалкой», облегчающей усвоение и использование МСО.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов,

образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в

12

которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. В теоретической электротехнике обычно имеют дело со схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой, которая отображает свойства цепи при определенных условиях. Поэтому здесь, во избежание недоразумений, вместо термина «электрическая цепь» будет преимущественно использоваться термин «электрическая схема» или, кратко, «схема».

Электрическая схема содержит элементы, выполняющие в ней некоторые функции. Во многих случаях схема состоит только из двухполюсных элементов или двухполюсников, то есть элементов, имеющих со схемой две точки соединения. Такие элементы называются ветвями электрической схемы с указанием их функционального назначения. Место соединения двух и более ветвей называется узлом.

Возможны случаи, когда ветвь подсоединяется к схеме только одним полюсом или обоими полюсами, но к одному узлу схемы. В первом случае ветвь называется разомкнутой ветвью, а во втором случае − замкнутой ветвью или петлей.

Подмножества ветвей схемы могут образовывать контуры и сечения. Контуром схемы называется замкнутая непрерывная последовательность ветвей, в которой любой узел встречается только один раз. Сечение или обобщенный узел схемы – это подмножество ее ветвей, в результате удаления которых схема распадается на две или более частей − подсхем. Под удалением ветви понимается отсоединение обоих ее полюсов от схемы. В простейшем случае сечение образуют ветви, примыкающие к одному из узлов схемы. Удаление этих ветвей делит схему на две подсхемы, одна из которых является отдельным (изолированным) узлом.

Элементы электрической схемы подразделяются на активные и пассивные элементы. Активными элементами являются генераторы напряжения или генераторы тока, соответственно, e- и j-ветви. ЭДС e генератора напряжения не зависит от протекающего через него тока, а ток j генератора тока не зависит от напряжения на его полюсах. Если ЭДС генератора напряжения и ток генератора тока не зависят также от токов или напряжений других ветвей схемы, то такие генераторы называются независимыми (неуправляемыми) источниками и служат источниками энергии в схеме.

Независимость e от протекающего через генератор ЭДС тока требует, чтобы внутреннее сопротивление генератора ЭДС было равно нулю. Аналогично этому неизменность j достигается в случае, когда внутреннее сопротивление генератора тока принимает бесконечно большое значение. В соответствии с физическим смыслом ориентация генератора ЭДС указывается на схемах непрерывной (замкнутой) стрелкой, а ориентация генератора тока – двойной (разомкнутой) стрелкой, как показано на рис. 1.1.1, где u=e. При этом условно положительное направление напряжения u на генераторе ЭДС

13

противоположно ориентации ЭДС, а ориентация генератора тока совпадает с направлением вызванного им тока i, равного j.

Рис. 1.1.1. Независимые источники напряжения и тока В табл. 1.1.1. приведены обозначения всех четырех типов УИ. Эти

источники перечислены ниже: 1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); 2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); 3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); 4) источник тока, управляемый током (ИТУТ). Здесь K – коэффициент передачи напряжения ИНУН, Rу – передаточное сопротивление ИНУТ, Gу – передаточная проводимость ИТУН, B – коэффициент передачи тока ИТУТ. При значениях параметров, стремящихся к бесконечности, каждый из четырех типов УИ переходит в идеальный ОУ, обозначение которого приведено в пятом столбце табл. 1.1.1. Инвертирующий (помечен кружком) и неинвертирующий входы показаны слева на обозначении ОУ, а выход ОУ находится справа.

Таблица 1.1.1. Управляемые источники

№ 1 2 3 4 5 Наименование ИНУН ИНУТ ИТУН ИТУТ НУИ

Обозначение

При анализе схемы идеальный ОУ замещается ориентированным нуллором

или неудаляемым управляемым источником (НУИ), представленными на рис. 1.1.2,а,б. Входу идеального ОУ соответствует нуллатор или приемник НУИ (ПНУИ), а выходу – норатор или генератор НУИ (ГНУИ).

Рис. 1.1.2. Ориентированный нуллор (а) и НУИ (б)

Идеальный ОУ обычно рассматривается как «некий источник, ток и напряжение на входе которого одновременно равны нулю при любых конечных значениях напряжения и тока на выходе» [38, с. 434] или как управляемый источник при бесконечно большом значении его параметра [6], поэтому использование понятия «НУИ» методически является более предпочтительным, чем использование понятия «нуллор». Кроме того, при необходимости параметру НУИ вместо значения, равного единице, можно присвоить значение,

j e

i u

U

KU RуU I

GуU U

BI I

а б

14

равное параметру некоторого УИ. Это отличает НУИ от обычного нуллора [19, 42] и ориентированного нуллора [61, 70], которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, имеющим бесконечно большое значение.

Подсоединение к схеме независимых источников напряжения и тока обусловливает напряжения на других элементах схемы и токи, протекающие через эти элементы. Чтобы рассчитать напряжение на некотором элементе схемы, параллельно этому элементу подключается приемник напряжения – «расчетный вольтметр», внутреннее сопротивление которого имеет бесконечно большое значение. В соответствии с этим приемник напряжения обозначается стрелкой, которая не касается узлов подсоединения выбранного элемента, как показано на рис. 1.1.3 (см. также рис. 1.1.1). Для нахождения тока, протекающего через элемент схемы, последовательно с этим элементом включается «расчетный амперметр» – приемник тока, внутреннее сопротивление которого равно нулю. Обозначение приемника тока также приведено на рис. 1.1.3.

Рис. 1.1.3. Приемники напряжения и тока

К пассивным элементам электрической схемы относятся z- и y-ветви,

которые характеризуются соответственно сопротивлением и проводимостью, измеряемыми в омах [Ом] и сименсах [См]. Сопротивление и проводимость называются параметрами z- и y-ветвей. Электрическая схема является линейной, если параметры ее ветвей не зависят от напряжений и токов схемы. Инвариантная во времени электрическая схема имеет параметры, не зависящие от времени. Условно положительное направление напряжения на z- и y-ветвях принимается совпадающим с направлением протекающего через них тока.

Пассивные элементы могут быть элементами, рассеивающими (преобразующими в тепло и другие виды энергии) или накапливающими энергию электромагнитного поля. Параметры z- и y-ветвей, рассеивающих энергию, являются вещественными числами и называются соответственно резистивным сопротивлением R и резистивной проводимостью G. Эти параметры связаны с током, протекающим через элемент, и напряжением, падающим на элементе схемы, по закону Ома

u = Ri и i = Gu , (1.1.1)

что иллюстрирует рис. 1.1.4.

i u

i R Z=R

u

iG Y=G

u

15

Рис. 1.1.4. Резистивные сопротивление и проводимость Параметр z-ветви, накапливающей энергию магнитного поля, называется

индуктивным сопротивлением и задается в операторной форме как pL. Здесь p – оператор дифференцирования или при установившемся гармоническом режиме комплексный оператор jω, а L – индуктивность z-ветви. Параметр y-ветви, характеризуемой емкостью C и накапливающей энергию электрического поля, называется емкостной проводимостью и задается в операторной форме как pC.

Операторная форма индуктивного сопротивления и емкостной прово-димости вытекает из фундаментальных соотношений между мгновенными напряжением и током для индуктивности и емкости, u(t)=Ldi(t)/dt и i(t)=Cdu(t)/dt. Формально заменив d/dt оператором дифференцирования p, и перейдя к операторным изображениям напряжений и токов, получаем уравнения

U(p)=pLI(p) и I(p)=pCU(p), (1.1.2) которые иллюстрирует рис. 1.1.5.

Рис. 1.1.5. Реактивные сопротивление и проводимость

Следует отметить, что МСО не требует указания на схеме условно

положительных направлений токов и напряжений (см. рис. 1.1.4 и рис. 1.1.5), если эти токи и напряжения не являются искомыми или управляющими.

Наряду с перечисленными выше элементами электрическая схема может содержать соединительные проводники – короткозамкнутые ветви, сопротивление которых равно нулю. Соединительные проводники отличаются от приемников тока тем, что ток в этих проводниках не представляет интереса, поскольку не является искомым и не управляет генераторами напряжения или тока.

Цепи, содержащие двухполюсные элементы, УИ и НУИ, относятся к линейным электрическим цепям (ЛЭЦ). ЛЭЦ, включающие УИ и НУИ, называют обычно активными.

Искомыми обычно являются не все, а только некоторые напряжения и токи схемы. Во многих практически важных случаях электрическая схема рассматривается относительно двух пар своих полюсов, как четырехполюсник

i L pL Z=pL

i C pC Y=pC

u U(p)

u

I(p)

U(p)

I(p)

16

(2x2-полюсник). При этом первая пара полюсов является входом, к которому подключается источник воздействия (генератор напряжения или тока), а со второй пары полюсов, являющейся выходом, снимается реакция (отклик) схемы на данное воздействие. Для этого к выходу схемы подсоединяется приемник напряжения или тока.

Отношение значения реакции электрической схемы к заданному значению воздействия, выраженное через параметры элементов схемы, называется ССФ. Численное значение ССФ получается в результате подстановки вместо обозначений параметров их вещественных или комплексных значений. В зависимости от вида реакций и источников воздействия, а также их расположения, различают шесть типов ССФ. Данные выше определения иллюстрирует рис. 1.1.6, где токи, напряжения, ЭДС представлены действующими (комплексными) значениями.

Рис. 1.1.6. Передаточные и входные ССФ

Передаточные ССФ по напряжению и току не имеют размерности, а передаточные сопротивление и проводимость имеют размерность, соответственно, сопротивления и проводимости. В частных случаях, когда четырехполюсник рассматривается относительно одной пары своих полюсов, говорят о ССФ входного сопротивления или ССФ входной проводимости.

В задаче диагностики используются дополнительные понятия и элементы. Под приемниками напряжения и тока, которые не являются управляющими ветвями УИ, понимаются вольтметр с измеренным напряжением и

KEU = U / E

YEI = I / E

ZJU = U / J Передаточное сопротивление

Коэффициент передачи тока

Входная проводимость

Входное сопротивление

βJI = I / J

Yвх = I / E

Zвх = U / J

Коэффициент передачи напряжения

Передаточная проводимость

I

U

I J

E

J

U E

I

J

E

U

17

амперметр с измеренным током соответственно. При переходе от задачи диагностики к задаче анализа на основе ИДС строится схема замещения с компенсированными элементами (СКЭ). Токи и напряжения, соответствующие элементам с неизвестными параметрами, в СКЭ могут быть выражены через параметры независимых источников воздействия. Необходимо, чтобы среди независимых источников присутствовали как источники, представленные в ИДС, так и компенсационные источники, параметры которых равны показаниям измерительных приборов. Для этого используются прямая, косвенная или комбинированная компенсация электрокомпонентов с неизвестными параметрами. Прямая компенсация основана на классической теореме о компенсации и применяется, если вольтметр (амперметр) подключен параллельно (последовательно) элементу с неизвестным параметром. В этом случае элемент и вольтметр (амперметр) заменяются источником ЭДС E=U (тока J=I), как показано на рис. 1.1.7.

Рис. 1.1.7. Прямая компенсация сопротивления Косвенная компенсация используется, когда и напряжение, и ток на

элементе с неизвестным параметром не могут быть измерены. Тогда для компенсации этого элемента применяется напряжение или ток любой другой ветви. В этом случае, как показано на рис. 1.1.8, приемник напряжения U заменяется фиксирующей ветвью по напряжению, а приемник тока I – фиксирующей ветвью по току. Фиксирующая ветвь по напряжению представляет собой встречное последовательное соединение источника ЭДС E=U и ПНУИ, а фиксирующая ветвь по току – согласное параллельное соединение источника тока J=I и ПНУИ. Сам элемент с неизвестным параметром замещается ГНУИ. Таким образом, в схему вместо элемента с неизвестным параметром помещается новый схемный элемент, названный компенсатором, который состоит из независимого источника и НУИ.

Рис. 1.1.8. Косвенная компенсация сопротивления

R

U E=U

R I

J=I

R

U E=U

R

I

R

J=I

18

Комбинированная компенсация применяется в ИДС, где заданы

напряжения или токи части элементов с неизвестными параметрами. Напряжения или токи оставшихся из элементов с неизвестными параметрами не могут быть измерены, поэтому для построения СКЭ требуется как прямая, так и косвенная компенсация элементов.

1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.2.1. Законы Кирхгофа В фундаменте теории электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон устанавливает непрерывность токов ветвей, сходящихся в узле или, в общем случае, образующих сечение ν,

∑ (±Ik) = ∑ (±Jn) , (1.2.1)

где ±Ik – ток k-й ветви, втекающий (со знаком «плюс») в сечение ν или вытекающий (со знаком «минус») из этого сечения; ±Jn – ток n-го генератора тока, втекающий (со знаком «минус») в сечение ν или вытекающий (со знаком «плюс») из этого сечения.

Второй закон Кирхгофа устанавливает равновесие напряжений в контуре ρ, образованном ветвями схемы

∑ (±Uk) = ∑ (±En) , (1.2.2)

где ±Uk – напряжение k-й ветви, которое учитывается со знаком «плюс», если ее ориентация совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура ρ; ±En – ЭДС n-го генератора напряжения, учитываемое со знаком «плюс», если ориентация этого генератора совпадает с направлением обхода контура. В противном случае перед Uk и En ставится знак «минус». Правила выбора знаков правых частей в уравнениях (1.2.1) и (1.2.2) согласуются с рис. 1.1.1.

Уравнения (1.2.1) и (1.2.2) совместно с компонентными уравнениями (1.1.1) и (1.1.2) позволяют составить систему линейно независимых уравнений, описывающих поведение ЛЭЦ. Решение полученной системы, то есть вычисление каждого из искомых напряжений и токов ветвей, записывается по методу Крамера в виде отношения двух определителей, представляющего СВО того или иного типа. Если числитель СВО разложить по столбцу источников воздействия, то СВО выражается через ССФ, общий знаменатель которых называется определителем системы уравнений или системным определителем. Числители ССФ будут различными в зависимости от типа источников воздействия и искомых откликов, а также расположения рассматриваемых входов и выходов схемы.

k∈ρ n∈ρ

k∈ν n∈ν

19

Представляя системный определитель в операторной форме, как полином от оператора p, и приравнивая этот полином к нулю, получаем характеристическое уравнение схемы. Корни характеристического уравнения позволяют записать свободную составляющую переходного процесса в схеме, выполнить оценку ее устойчивости и т. д.

Принципиально важно уметь находить характеристическое уравнение схемы и ее ССФ, используя непосредственно электрическую схему и минуя построение системы уравнений с последующим алгебраическим решением. Это позволит не только сократить трудоемкость выкладок, но и сделать решение более компактным, избежав вычисления знаков и появления взаимно уничтожающихся слагаемых − дубликаций, что присуще алгебраическому методу раскрытия определителей [47, 51]. Центральным понятием излагаемого ниже МСО является понятие определителя схемы или схемного определителя.

1.2.2. Вырождение схемы и нейтрализация элементов [51, 54] Для обоснования МСО используем связь определителя схемы с системным

определителем. Здесь и далее в качестве определителей будем рассматривать символьные определители, то есть аналитические выражения, в которых все параметры схемы представлены символами, а не числами. В системном определителе (матрице) возможно появление строк, которые состоят из элементов, равных нулю. Соответствующая этому определителю схема называется вырожденной. Таким образом, определитель вырожденной схемы тождественно равен нулю. Во избежание излишних выкладок необходимо уметь устанавливать вырожденность схемы непосредственно по ее структуре и составу элементов [51, 74, 75].

С физической точки зрения примем, что вырожденной является схема, в которой развиваются бесконечно большие токи и напряжения или значения токов и напряжений оказываются неопределенными. Так, внутренние сопротивления генератора напряжения и приемника тока равны нулю, поэтому в контуре, содержащем только генераторы напряжения и приемники тока, создается бесконечно большой ток. С другой стороны, внутренние проводимости генератора тока и приемника напряжения равны нулю, поэтому на элементах сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения появляются бесконечно большие значения напряжений.

Частными случаями контура и сечения являются, соответственно, петля и разомкнутая ветвь. Случаи вырождения схемы при образовании петель и разомкнутых ветвей отражены в табл. 1.2.1. Действительно, ток, протекающий через замкнутый накоротко приемник тока, и напряжение на разомкнутом приемнике напряжения имеют неопределенные значения (неопределенность вида 0/0). Убедиться в этом можно, подсоединив последовательно с приемником тока I и параллельно с приемником напряжения U, соответственно, источник ЭДС E=0 и источник тока J=0.

20

Как видно, замыкание и размыкание z- и y-ветвей не может привести к вырождению схемы. Действительно, z-ветвь можно представить в виде последовательного соединения генератора напряжения и приемника тока, а y-ветвь – в виде параллельного соединения генератора тока и приемника напряжения. Эти преобразования показаны на рис. 1.2.1. Генератор напряжения управляется током приемника тока, а генератор тока – напряжением приемника напряжения. Таким образом, в первом случае имеем дело с ИНУТ, а во втором случае – с ИТУН. Стрелки генераторов УИ в отличие от стрелок независимых источников заключаются не в кружок, а в ромбик.

Таблица 1.2.1. Условия вырождения схемы и нейтрализации элементов

при замыкании и размыкании ветвей

Элемент схемы Петля Разомкнутая ветвь y-ветвь Нейтрализация Выделение y z-ветвь Выделение z Нейтрализация

Генератор E Вырождение Нейтрализация Приемник I Вырождение Нейтрализация Генератор J Нейтрализация Вырождение Приемник U Нейтрализация Вырождение

Генератор НУИ Вырождение Вырождение Приемник НУИ Вырождение Вырождение

Рис. 1.2.1. Замещение пассивных элементов управляемыми источниками

Табл. П.1.5 более наглядно иллюстрирует условия нейтрализации

элементов и вырождения схем при замыкании и размыкании ветвей. Каждая из этих операций приводит к тому, что ветвь оказывается связанной со схемой одним узлом, и, следовательно, определитель такой схемы может быть найден в соответствии со строкой 1 табл. П.1.12 как произведение определителей двух подсхем. Таким образом, если определитель подсхемы-ветви равен единице, то ветвь нейтрализуется удалением или стягиванием. Например, в случае y-петли (см. строку 5 табл. П.1.4) выполняется ее удаление, в случаях разомкнутой z-ветви (см. строку 2 табл. П.1.4) и разомкнутого приемника тока проводится их стягивание. В случае равенства определителя подсхемы-ветви параметру соответствующего элемента для разомкнутой y-ветви и z-петли этот параметр

ZI

IZ U

YU Y

21

выделяется, то есть записывается как множитель перед определителем подсхемы, а сама ветвь стягивается и удаляется соответственно (см. строки 3 и 4 табл. П.1.4). Если определитель подсхемы-ветви равен нулю, например, в случае петли приемника тока или разомкнутого приемника напряжения, то схема является вырожденной (см. строки 4 и 5 табл. П.1.7).

Обоснование вырожденности схем, содержащих замкнутый генератор ЭДС и разомкнутый источник тока, основано на возникновении в этом случае бесконечно большого тока и напряжения соответственно.

Обратим внимание на операции замыкания и размыкания ГНУИ и ПНУИ. Если в схеме замкнут (разомкнут) ГНУИ, то формируемая для этой схемы по законам Кирхгофа система уравнений является недоопределенной – число уравнений меньше числа неизвестных. Это связано с тем, что ГНУИ не имеет компонентного уравнения, то есть его ток и напряжение могут принимать любые (неизвестные) значения, которые определяются всей схемой. В рассматриваемом случае оказывается неопределенным ток (напряжение) ГНУИ, если последний замкнут (разомкнут).

Если в схеме замкнут или разомкнут ПНУИ, то ее система уравнений также является недоопределенной. Неопределенным оказывается напряжение или ток ГНУИ, потому что известные (нулевые) ток и напряжение ПНУИ в формируемой системе уравнений не используются.

Случаи вырождения схем, содержащих УИ, при наличии в этих схемах EI-контуров и JU-сечений заслуживают специального рассмотрения. Следует отметить, что наличие в схеме контура, содержащего только генераторы напряжения и приемники тока, или сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения, не указывает на ее вырождение. Действительно, в отличие от параметров независимых источников, параметры УИ учитываются в левых частях уравнений (1.2.1) и (1.2.2), и поэтому системный определитель не включает строки или столбцы из элементов, равных нулю. Случаи вырождения схем с УИ отображены в табл. 1.2.2, а также в графическом виде в табл. П.1.6.

Неопределенным является значение тока в контуре, образованном приемниками тока. Действительно, включение в такой контур генератора напряжения с E=0 приводит по закону Ома к неопределенности вида 0/0, так как сумма сопротивлений контура равна нулю. Аналогично этому невозможно определить напряжения на элементах сечения, образованного приемниками напряжения, поскольку включение в такое сечение генератора тока J=0 обусловливает неопределенность вида 0/0.

Таблица 1.2.2. Следствия параллельного и последовательного соединения элементов схемы

Соединение элемента

Элемент схемы параллельное последовательное

22

с ГН или ГНУИ

с ПТ или ПНУИ

с ГТ или ГНУИ

с ПН или ПНУИ

Проводимость (y - ветвь) Удаление Стягивание-выделение Сопротивление (z - ветвь) Удаление-выделение Стягивание Генератор напряжения (ГН) Вырождение НУИ Стягивание

Приемник тока (ПТ) НУИ Вырождение Стягивание Генератор тока (ГТ) Удаление Вырождение НУИ

Приемник напряжения (ПН) Удаление НУИ Вырождение ГНУИ Вырождение Вырождение ПНУИ Вырождение Вырождение

Наиболее часто встречающимся случаем вырождения является случай,

когда схема распадается на несколько (две и более) подсхем. Формально такую схему можно представить в виде связной схемы, если соединить ее подсхемы генераторами тока с J=0. Полученная схема является вырожденной вследствие наличия сечений, образованных только генераторами тока. Для доказательства можно поступить по-другому. Возьмем два любых несвязных между собой узла, пронумеруем их по порядку 1 и 2. К узлу с номером 2 подсоединим одним из полюсов независимый источник ЭДС Е. Свободный узел источника обозначим номером 3. Определитель полученной схемы остался таким же, как у исходной схемы. Подключим между первым и вторым узлами приемник напряжения U12 , а между первым и третьим узлами – приемник U13 . Для полученной схемы по законам Кирхгофа можно сформулировать только одно уравнение U13 – U12 =E. Искомые напряжения U12, U13 найти нельзя, поскольку уравнение недоопределено. Таким образом, схема, состоящая из двух и более несвязных подсхем, является вырожденной.

Рассмотренные выше признаки вырождения (наличие EI-контуров, JU-сечений, несвязность схемы) должны отсутствовать у схем, подлежащих дальнейшему анализу. В противном случае задача анализа электрической схемы является тривиальной или некорректно поставленной. Следует отметить, что исходная схема также должна быть связной. Если схема несвязна, например, схема трансформаторного усилителя, то необходимо объединить два узла, принадлежащих разным подсхемам. Такая модификация схемы не изменяет ССФ.

1.2.3. Эквивалентные упрощения электрических схем Из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) следует, что для получения системного

определителя необходимо принять ЭДС генераторов напряжения и токи генераторов тока равными нулю. Это соответствует на схеме замене генераторов ЭДС и приемников искомых токов короткозамкнутыми

23

проводниками с Z=0 или Y=∞, а также замене генераторов тока и приемников искомых напряжений z-ветвями с Z=∞ или y-ветвями с Y=0. Следует отметить, что приемники напряжения и тока управляемых источников указанные преобразования не затрагивают. Физический смысл этих преобразований состоит в том, что из схемы исключаются независимые источники E=0 и J=0, а значит, искомые напряжения и токи также обращаются в нуль: U=0 и I=0.

Другим источником появления в схеме ветвей с предельными значениями параметров как на постоянном токе, так и при гармоническом воздействии, являются энергоемкие элементы. Например, индуктивное сопротивление Z=pL=jωL и емкостная проводимость Y=pC=jωC имеют значение, равное нулю, и бесконечно большое значение на круговой частоте, соответственно, ω=0 и ω=∞.

Учет особенностей структуры и элементного состава позволяет упростить анализ электрических схем. Прежде всего, из схемы удаляются z-ветви с Z=∞ и y-ветви с Y=0. Далее в схеме замещаются короткозамкнутыми проводниками y-ветви c Y=∞ и z-ветви c Z=0. Каждый из соединительных проводников необходимо стянуть в одну точку-узел, чтобы не загромождать схему, на которой не должно быть соединительных проводников и, разумеется, узлов, к которым подключены только короткозамкнутые проводники.

Последовательно соединенные z-ветви замещаются на схеме одной эквивалентной z-ветвью, параметр которой равен сумме параметров исходных z-ветвей. С другой стороны, параллельно соединенные y-ветви замещаются одной эквивалентной y-ветвью, параметром которой является сумма параметров исходных y-ветвей. Перечисленные выше эквивалентные упрощения иллюстрируются на рис. 1.2.2. В табл. П.1.2 приводятся также правила упрощения последовательного, параллельного, последовательно-параллельного и параллельно-последовательного соединений управляемых источников. Вывод указанных формул проводится на основе законов Кирхгофа.

J

Z=∞

Y=0

Zn Z2 Z1

Y1

I

n Zэ=∑ Zl l=1

n Yэ=∑ Yl

l 1Y2 Yn

E U

Z=0

Y=∞

24

Рис. 1.2.2. Простейшие эквивалентные упрощения электрических схем, выполняемые перед нахождением схемного определителя

Другим упрощающим схему преобразованием является нейтрализация (устранение) влияния элемента на режим схемы вследствие замыкания или размыкания этого элемента. Нейтрализацию элемента можно вызвать также приравниванием значения его параметра к нулю. Случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.1. Кроме традиционных элементов табл. 1.2.1 включает НУИ. ГНУИ и ПНУИ в отличие от обычных генераторов и приемников нельзя нейтрализовать ни замыканием, ни размыканием.

Нейтрализацию генератора тока замыканием и генератора напряжения размыканием можно рассматривать как частные случаи нейтрализации генератора тока, помещенного в EI-контур, и генератора напряжения, включенного в JU-сечение. Действительно, в первом случае напряжение на генераторе тока не зависит от его тока J, а во втором случае ток через генератор напряжения не зависит от его ЭДС Е. Аналогично этому нахождение напряжения на приемнике напряжения, помещенном в EI-контур, не представляет затруднений, поскольку определяется алгебраической суммой ЭДС генераторов напряжения (см. формулу (1.2.2)). С другой стороны, ток в приемнике тока, включенном в JU-сечение, выражается через токи генераторов тока согласно уравнению (1.2.1). Следует обратить внимание на то, что нейтрализацию УИ, как элемента схемы, образованного двумя ветвями, влечет нейтрализация либо его генератора, либо его приемника. Более общие случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.2.

Если напряжения на приемниках напряжения и токи в приемниках тока известны, а эти приемники управляют генераторами, то соответствующие генераторы становятся независимыми и поэтому исключаются из схемы. Напомним, что элемент, нейтрализация влияния которого на режим схемы установлена, исключается из схемы в соответствии с его физическими свойствами, то есть генераторы напряжения и приемники тока стягиваются, а генераторы тока и приемники напряжения удаляются (см. рис. 1.2.2).

В строке 1 табл. П.1.3 содержится операция объединения двух подсхем с управляющими связями, которую необходимо выполнять перед анализом схемы. В строках 2−10 табл. П.1.3 сгруппированы операции предварительных упрощений частных вариантов схем перед нахождением ССФ путем удаления или стягивания одного из двух двухполюсников (однополюсников). Это возможно, во-первых, при отсутствии управляющих связей между ними. Во-

25

вторых, двухполюсник (однополюсник), оставляемый в схеме (см. строки 2−4, 6−8, 10) после ее преобразования, должен содержать приемники искомого тока или напряжения. В строках 4−6, 8−10 оставляемый двухполюсник должен иметь в своем составе независимый источник энергии. Удаляемый (стягиваемый) в строках 3−10 двухполюсник не содержит как приемников с искомым током или напряжением, так и независимых источников энергии. Рассмотренные эквивалентные упрощения доказываются в [31].

1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ СХЕМ

ПО ПАРАМЕТРАМ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ПОДСХЕМ

1.3.1. Определители простейших схем Практическое значение имеют схемы, определители которых отличны от

нуля. Определители простейших схем легко получаются из закона Ома (см. формулы (1.1.1)). Слева на рис. 1.3.1,а–г изображены схемы и очевидные выражения для ССФ (см. рис. 1.1.5), а справа – показаны производные схемы, полученные в результате исключения генераторов и приемников, вместе с выражениями для определителей этих схем. Здесь и далее схемы, образованные в результате стягивания и (или) удаления ветвей исходной схемы, называются производными схемами. Обратим внимание на то, что рис. 1.3.1,а–г может служить доказательством условий выделения и нейтрализации пассивных элементов, представленных в первой и второй строках табл. 1.2.1.

E

Y

Z

E

UZ

I Z

∆ = Z I / E = 1 / Z

∆ = 1

Z

U / J = Z / 1

а

б

I Y

∆ = 1 I / E = Y / 1 в

J

Z

Y

26

Рис. 1.3.1. Получение определителей простейших схем В табл. П.1.4 приведены определители этих и других простейших схем.

Определитель схемы − одиночного узла, помещенный в строку 1, равен единице, поскольку эта схема может быть получена из y-петли (см. строку 5 в табл. П.1.4) при y=0. С другой стороны, одиночный (изолированный) узел эквивалентен разомкнутой z-ветви (см. строку 2 в табл. П.1.4) при z=0, определитель которой также равен единице. В качестве упражнения сравните приведенное выше доказательство с доказательством из работы [15].

1.3.2. Выделение параметров пассивных элементов Выделение параметров элементов положено в основу метода схемных

определителей и состоит в следующем. Выразим напряжения на ветвях схемы в подсистеме уравнений (1.2.2) через сопротивления и токи ветвей. В то же время матрица подсистемы уравнений (1.2.1) будет содержать элементы, равные 1, –1 или 0. Отсюда видно, что системный определитель является линейной функцией относительно параметра Z некоторой (любой) ветви, и слагаемые определителя можно подразделить на два подмножества. К первому подмножеству относятся слагаемые, включающие в качестве сомножителя выделяемый параметр Z. Слагаемые второго подмножества образуют определитель, полученный из системного определителя при условии Z=0.

Для перехода от системного определителя к определителю схемы используем замещение Z-ветви ИНУТ, как показано на рис. 1.2.1. Схемное отображение условия Z=0 состоит в исключении генератора ZI и приемника I. Следовательно, слагаемые второго подмножества схемного определителя можно найти как определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате стягивания указанных генератора и приемника (см. рис. 1.2.2).

При нахождении слагаемых определителя, относящихся к первому подмножеству, воспользуемся искусственным приемом, который заключается в том, чтобы наложить запрет на нейтрализацию ИНУТ, то есть объявить вырожденными производные схемы, в которых генератор напряжения ZI и (или) приемник тока I являются разомкнутыми ветвями. В противном случае определители таких схем приведут к образованию слагаемых второго подмножества, которые получаются при условии Z=0. Этого нельзя допустить, поскольку, во-первых, каждая ветвь схемы имеет индивидуальное обозначение

27

или номер, а во-вторых, из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) следует, что схемный определитель не может содержать одинаковых слагаемых.

Наложение запрета на нейтрализацию УИ можно осуществить с помощью использования схемного элемента, названного выше НУИ. Основные свойства НУИ, отраженные в табл. 1.2.1, нетрудно вывести из закона Ома и определения ССФ, повторно обратившись к схемам, показанным на рис. 1.3.1,а–г.

Рис. 1.3.2. К обоснованию свойств НУИ

САВ, представленные на рис. 1.3.2,а−г, получаются в результате замещения пассивных элементов ИНУТ и ИТУН (см. рис. 1.2.1), а также выделения их параметров. Заметим, что короткозамкнутая ветвь-петля, определитель которой тождественно равен нулю, является частным случаем контура, содержащего приемники тока (см. табл. 1.2.2). Следствиями уравнений на рис. 1.3.2 являются свойства НУИ, которые иллюстрирует рис. 1.3.3.

Рис. 1.3.3. Определители простейших схем с НУИ Определитель НУИ-контура (см. также строку 10 табл. П.1.4) равен

единице. Это вытекает из того, что такой контур эквивалентен короткозамкнутой ветви (изолированному узлу) или контуру-нуллору,

ZI I

Z

а

б

YU U

в

г

* Z * 1 0

ZI I

*Z

YU U

Z * 0 1

Y * 0 1

Y * 1 0

*Y

*Y

∆ = 1 a

∆ = 0 ∆ = 0 б в

∆ = –1 г

28

сопротивление которого равно нулю. Строгое доказательство можно выполнить на основе метода полных деревьев (двуграфового метода или метода графа тока-напряжения Коутса) [51, 58, 79]. При этом учитывается, что НУИ-контур является простейшим полным деревом с параметром, равным единице.

Эквивалентность схем, показанных на рис. 1.3.3,а,б, приводит к схемным уравнениям для выделения параметров пассивных элементов в составе произвольной электрической схемы. Эти уравнения представлены на рис. 1.3.4.

Рис. 1.3.4. Выделение параметров двухполюсников С учетом рис. 1.2.1 уравнения на рис. 1.3.4 могут рассматриваться как

доказательство формул Фойснера [68, 69] : ∆ = Z ∆Z + ∆Z (1.3.1)

и ∆ = Y ∆Y + ∆Y , (1.3.2)

где ∆Z и ∆Z – определители первой и второй производных схем, образованных в результате выделения Z-ветви; ∆Y и ∆Y – определители первой и второй производных схем, являющихся следствием выделения Y-ветви. Верхние и нижние индексы при ∆ указывают соответственно на удаление и стягивание той или иной ветви схемы.

Повторным применением формул (1.3.1) и (1.3.2) разложение определителя сложной схемы сводится к определителям простейших схем, изображенных на рис. 1.3.1,а–г справа (Z-петля, Z-ветвь, Y-петля, Y-ветвь). Определители этих схем полезно запомнить, чтобы уменьшить затраты времени на анализ схем, избежав завершающего применения формул (1.3.1) и (1.3.2), выполненного на рис. 1.3.2,а–г.

Z * ZI

I

U

YU

Y *

a

б

Y *

Z *

29

Изменение ориентации только у генератора или только у приемника в схемах на рис. 1.2.1 можно учесть помещением отрицательного знака перед параметром Z или Y. Если этого не сделать, то производная схема может иметь вид схемы на рис. 1.3.3,а, но с противоположной ориентацией генератора и приемника НУИ по отношению к одному из узлов, как показано на рис. 1.3.3,г. Определитель такой схемы, очевидно, равен –1.

1.3.3. Выделение подсхем Разложение схемных определителей можно значительно упростить, если

представить исходную схему в виде соединения двух подсхем, как показано на рис. 1.3.5 слева, и применить формулы Фойснера [68]:

∆ = ∆1 ∆2 (1.3.3)

и ∆ = ∆1 ∆2 (a,b) + ∆1(a,b) ∆2 , (1.3.4)

где ∆1 и ∆2 – определители первой и второй подсхем. Обозначение в скобках после ∆ указывает на объединение внешних узлов a и b в соответствующих подсхемах. Формула (1.3.3) применяется, когда первая и вторая подсхемы имеют единственный общий узел (см. рис. 1.3.5,а).

Рис. 1.3.5. Нахождение определителей схем по частям

Для использования формулы (1.3.4) необходимо, чтобы схема делилась на

подсхемы по узлам a и b (см. рис. 1.3.5,б). Формулы (1.3.3) и (1.3.4) можно применять, когда подсхемы 1 и 2 не имеют одна с другой управляющих связей, то есть генератор и приемник любого УИ или НУИ не должны находиться в различных подсхемах.

1.3.4. Метод схемных миноров [53]

б

a

b

a

1 2 2 2

2 2 1 1

1 1 * *

* 2

30

Подсхемы с одним и двумя внешними узлами (см. формулы (1.3.3) и

(1.3.4)) являются простейшими случаями подсхем. Операция объединения внешних узлов подсхемы эквивалентна операции удаления соответствующей строки и столбца в матрице уравнений этой подсхемы [41]. Отсюда по аналогии с минором определителя матрицы можно ввести понятие «минор определителя схемы» или просто «минор схемы». Однако с помощью объединения внешних узлов можно находить только симметричные миноры подсхемы. В общем случае вместо объединения узлов используется подсоединение нуллора или НУИ к соответствующим узлам подсхемы. Действительно, на рис. 1.3.3,а показано, что объединение двух узлов эквивалентно подсоединению к этим узлам генератора и приемника некоторого НУИ. При нахождении несимметричного минора генератор и приемник НУИ не будут соединенными параллельно.

Миноры подсхемы удобно отображать двоичными векторами (ДВ) размерности 2n, где n – число внешних узлов подсхемы, не считая базисного узла. В качестве базисного узла выбирается произвольный узел из внешних узлов подсхемы. Единицы в первой (второй) половине элементов ДВ соответствуют конечным узлам подключения генераторов (приемников) НУИ. Если к внешнему узлу подсхемы не подсоединяются НУИ, то в соответствующие позиции ДВ заносятся нули. Положение или позиции элементов в каждой из половин ДВ задается упорядоченным множеством – кортежем внешних узлов подсхемы, исключая базисный узел. Обозначениями позиций ДВ служат обозначения узлов схемы. Базисный узел схемы, который не отображается в ДВ, является начальным узлом всех без исключения генераторов и приемников НУИ.

Для обозначения миноров схемы или подсхемы может применяться символика, принятая для обозначения миноров матрицы. Нетрудно перейти от обозначений миноров подсхемы с десятичными индексами к ДВ и обратно. Важно, что множество ДВ является унифицированным отображением миноров подсхем с одним и тем же числом внешних узлов. С учетом изложенного выше минор подсхемы, заданный некоторым ДВ, равен определителю схемы, которая получена из этой подсхемы в результате подсоединения НУИ согласно ее ДВ.

Генераторы и приемники НУИ должны быть пронумерованы в соответствии с их очередностью в ДВ, а именно, i-я по порядку единица в первой (второй) половине ДВ соответствует генератору i (приемнику i) i-го НУИ. Все шесть миноров подсхемы с тремя внешними узлами изображены на рис. 1.3.6.

2 1 ∆ ∆21 ∆22

0101 0110 0000

0 00

21 2 1

∆12 ∆11 ∆11 22

31

Рис. 1.3.6. Миноры трехузловой подсхемы

Подобно определителям, миноры схемы и матрицы эквивалентны. Однако выражения определителя и миноров матрицы схемы, представленные в развернутом виде, избыточны. Подсоединение НУИ позволяет представить внешние характеристики подсхем в виде производных схем, избежав применения в анализе схем по частям объектов, имеющих математическую природу, и порождаемых вычислительных трудностей.

Метод схемных миноров может быть применен для решения систем линейных алгебраических уравнений произвольной физической природы в аналитическом виде. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Определитель этой матрицы можно разложить путем рекурсивного применения формулы Лапласа [2, 41]

∆ = (–1)i+j aij ∆ij + ∆ij(aij=0),

где ∆ij – минор элемента aij и ∆ij(aij=0) – определитель производной матрицы, полученной из исходной матрицы при условии aij=0. Как видно, порядки исходной и производной матриц одинаковы. Подобно этому, удаление генератора и приемника ИТУН (см. рис. 1.3.4,б) не приводит к объединению узлов схемы. Следовательно, можно говорить об аналогии между выделением элемента матрицы и выделением параметра ИТУН в соответствующей схеме.

Схемное отображение матрицы заключается в следующем. Каждый элемент матрицы отображается одним и только одним ИТУН на схеме с n+1 узлами. Нумерация узлов схемы соответствует нумерации строк (столбцов) матриц, а дополнительному узлу присвоен номер 0. При этом элементу aij соответствует ИТУН вида (i,0)(j,0), где в первой паре скобок указаны узлы генератора ИТУН, а во второй – узлы приемника ИТУН. Ориентация генератора и приемника соответствует порядку следования номеров узлов пары. Значение параметра ИТУН считается равным значению отображаемого элемента матрицы. В качестве подсхем удобно рассматривать подмножества ИТУН, соответствующие строкам исходной матрицы. Объединение подсхем-строк выполняется следующим образом: сначала объединяются первые две

32

строки, затем к их объединению добавляется третья строка и т. д., наконец, к объединению n–1 строк добавляется последняя n-я строка.

1.3.4.1. Деление схемы на две части по трем узлам Пусть схема образована в результате объединения двух подсхем с тремя

внешними узлами, как показано на рис. 1.3.7. Двоичное отображение формулы, обобщающей формулы (1.3.3) и (1.3.4) и предусматривающей деление схемы на две части по узлам a, b и c, имеет вид

∆ = ∆1(0000)∆2(1111) + ∆1(0101)∆2(1010) – ∆1(0110)∆2 (1001) –

– ∆1(1001)∆2(0110) + ∆1(1010)∆2(0101) + ∆1(1111)∆2 (0000) . (1.3.5) Таким образом, слагаемые этой формулы представлены шестью парами ДВ. Векторы каждой пары взаимно дополняют друг друга (как минор и соответствующий минор [41]), отображая сомножители формулы. Кортеж общих (или внешних) узлов подсхем, являющийся обозначением позиций ДВ, имеет вид: (a, b, a, b) или кратко abab. Узел c является базисным узлом для обеих подсхем.

Рис. 1.3.7. Деление схемы по трем узлам

В силу одинаковой четности номеров строк и столбцов взаимно

дополнительных миноров, информацию о знаке слагаемого можно получить из расположения единиц в одном из векторов пары. Принимается во внимание порядковый номер единицы в той или иной половине ДВ. Положительный (отрицательный) знак выбирается в случае четной (нечетной) суммы порядковых номеров позиций, содержащих единицы, в ДВ. Убедитесь в этом самостоятельно на примере формулы (1.3.5).

1.3.4.2. Общий случай деления на подсхемы Формирование множества ДВ подсхемы не встречает затруднений. Самое

простое решение состоит в том, чтобы перебирать 2n-разрядные двоичные

a 2 1 b

c

33

числа (от 2n нулей до 2n единиц) и выбирать те из них, которые содержат одинаковое количество единиц в первой и второй половинах разрядов. Это свойство, вытекающее из определения ДВ, позволяет получить число ДВ подсхемы в виде

ν = ∑ {n l}2 ,

где {n l} – число сочетаний из n элементов по l. Имея множество ДВ для одной из подсхем, можно легко получить ДВ

второй подсхемы, применив операцию дополнения двоичного числа. Это значит, что единицы в позициях ДВ заменяются нулями и наоборот. Следовательно, общая формула определителя при делении схемы на две подсхемы по узлам n, n–1, ... 0 может быть представлена в виде

∆ = ∑ (–1)σl ∆1(bl ) ∆2 (bl ) , (1.3.6)

где σl – показатель знака l-го слагаемого, определяемый по ДВ lb ; )(1 lb∆ – минор первой подсхемы, соответствующий вектору lb ; )(2 lb∆ – минор второй подсхемы, соответствующий дополнению двоичного вектора lb . Узел с номером 0 является базисным узлом подсхем и не учитывается в обозначениях позиций ДВ. Полное доказательство формулы (1.3.6) выполните на основе теоремы об определителе суммы матриц [41].

1.3.4.3. Деление схемы на две части по четырем узлам Применим выражение (1.3.6) для получения формулы бисекции по

четырем узлам (n=3). Схема, представленная в виде двух подсхем, изображена на рис. 1.3.8.

Рис. 1.3.8. Деление схемы по четырем узлам

l=1

ν

32

21 10

34

Размерность ДВ подсхем в этом случае будет равна 2n=6. Перебирая двоичные числа от 000000 до 111111, пропускаем те из них, у которых количество единиц в первых трех позициях (первой триаде) отличается от числа единиц в четвертой, пятой и шестой позициях вместе взятых (второй триаде). Отсюда получается двадцать ДВ подсхемы с четырьмя внешними узлами (ν=20): 1) 000000; 2) 001001; 3) 001010; 4) 001100; 5) 010001; 6) 010010; 7) 010100; 8) 011011; 9) 011101; 10) 011110; 11) 100001; 12) 100010; 13) 100100; 14) 101011; 15) 101101; 16) 101110; 17) 110011; 18) 110101; 19) 110110; 20) 111111. Обозначения позиций этих ДВ имеют вид: 123123 (см. рис. 1.3.8).

Перечисленные ДВ можно рассматривать как двоичные отображения первых сомножителей в выражении (1.3.6), относящиеся к первой подсхеме. Следовательно, дополнения этих ДВ будут являться ДВ миноров второй подсхемы, соответствующих вторым сомножителям в выражении (1.3.6). Совместные пары ДВ, образующие формулу четырехузловой бисекции, перечислены ниже: 1) (1,20); 2) (2,19); 3) (3,18); 4) (4,17); 5) (5,16); 6) (6,15); 7) (7,14); 8) (8,13); 9) (9,12); 10) (10,11); 11) (11,10); 12) (12,9); 13) (13,8); 14) (14,7); 15) (15,6); 16) (16,5); 17) (17,4); 18) (18,3); 19) (19,2); 20) (20,1).

Для перехода от ДВ к минорам подсхем генераторы и приемники НУИ нумеруются согласно следованию единиц в ДВ. Например, из ДВ 011110 получаем 012120, что означает подсоединение к соответствующей подсхеме двух НУИ: НУИ–1 (02,01) и НУИ–2 (03,02) (см. рис. 1.3.6). Напомним, что генератор и приемник, образующие некоторый НУИ, имеют одинаковые номера.

Знак пары совместных ДВ определяется на основе так называемых нумерованных ДВ, которые получаются путем сквозной нумерации генераторов и приемников НУИ сначала во второй, а затем в первой подсхемах. Например, для нахождения знака слагаемого (3,18) от ДВ 001010 и 110101 переходим к нумерованным ДВ 003030 и 120102. Далее поступаем в соответствии с топологическим правилом: нумерованные ДВ складываются, образуя вектор 123132. Триады этого вектора формируют подстановку 123 / 132, которая имеет одну инверсию, то есть является нечетной. Следовательно, знак слагаемого (3,18) в формуле четырехузловой бисекции отрицательный. Аналогично поступая в случае других слагаемых этой формулы, убеждаемся, что, кроме третьего слагаемого, отрицательные знаки имеют слагаемые с номерами 5, 7, 9, 12, 14, 16 и 18.

1.3.4.4. Объединение подсхем Множества внешних узлов объединяемых подсхем, как правило, не

совпадают с множеством их общих узлов. В этом случае необходимо рассматривать согласно формуле (1.3.6) только те позиции ДВ, которые относятся к узлам, являющимся общими узлами для обеих подсхем. Оставшиеся позиции ДВ непосредственно переносятся во вновь формируемый

35

ДВ объединенной схемы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие миноров, присущее формуле (1.3.6), нарушается и некоторый минор одной подсхемы оказывается совместным с двумя и более минорами другой подсхемы.

Если среди общих узлов объединяемых подсхем отсутствуют узлы, являющиеся одновременно внешними узлами объединенной схемы, то ДВ совместных миноров подсхем должны дополнять друг друга в части позиций, соответствующих общим узлам подсхем. В качестве примера выполним объединение подсхем, образующих схему на рис. 1.3.9.

Рис. 1.3.9. Объединение подсхем с четырьмя внешними узлами

Для обозначения позиций ДВ первой и второй подсхем удобно выбрать

кортежи 312312 и 124124. Чтобы установить совместность миноров подсхем, необходима информация, размещенная в позициях 1212 ДВ этих подсхем. При нахождении знака пары совместных ДВ также используются только эти позиции.

Внешними узлами объединенной схемы являются собственные узлы 3 и 4 подсхем 1 и 2. Следовательно, размерность ДВ этой схемы равна четырем, а число ДВ или число миноров схемы равно шести. ДВ объединенной схемы приведены слева в табл. 1.3.1. Справа указаны пары совместных миноров подсхем с соответствующими знаками перед скобками. Произведения миноров подсхем (справа) в сумме с учетом знаков образуют минор объединенной схемы (слева).

Таблица 1.3.1. Получение миноров объединенной схемы на рис. 1.3.9

ДВ объединенной схемы:

3434 Совместные пары миноров объединяемых подсхем

0000 +(1,19), +(2,13), –(3,12), –(5,7), +(6,6), +(8,1)

0101 +(1,20), +(2,15), –(3,14), –(5,9), +(6,8), +(8,2)

0110 +(4,16), –(7,10), +(9,4), –(10,3)

1001 +(11,18), –(12,17), +(14,11), –(17,5)

3 4

2 2 1 1

0

36

1010 +(13,19), +(15,13), –(16,12), –(18,7), +(19,6), +(20,1)

1111 +(13,20), +(15,15), –(16,14), –(18,9), +(19,8), +(20,2)

Миноры объединенной схемы содержат всю информацию о ее ССФ (см.

рис. 1.1.5). Нахождение знака слагаемых миноров объединенной схемы усложняется, когда обозначения позиций ДВ подсхем неупорядочены. Упорядочение позиций первой подсхемы предусматривает их приведение к виду: собственные узлы – общие узлы. Напротив, позиции ДВ второй подсхемы считаются упорядоченными, если они приведены к виду: общие узлы – собственные узлы. При этом порядок следования общих узлов в обозначениях позиций ДВ обеих подсхем должен быть одинаков. Таким образом, топологическое правило нахождения знака требует учета двух составляющих (–1)d+h , где d − число инверсий, требующихся для упорядочения ДВ первой и второй подсхем; h − число инверсий в подстановке, образованной из номеров генераторов и приемников, которые инцидентны общим узлам подсхем.

Если среди общих узлов объединяемых подсхем имеются узлы, являющиеся одновременно внешними узлами объединенной схемы, то следует использовать обобщенное условие совместности ДВ. Для доказательства этого условия вводится дополнительный узел, соединенный короткозамкнутой ветвью, то есть вырожденным НУИ, с общим внешним узлом. Дополнительный узел рассматривается в качестве собственного узла одной из подсхем. Таким образом, задача приводится к рассмотренному ранее случаю, когда у подсхем отсутствуют общие внешние узлы.

Обобщенное условие совместности ДВ. Два ДВ совместны, если результат поэлементного сложения содержимого каждой из общих позиций этих ДВ отличен от нуля.

При формировании объединенного ДВ содержимое собственных позиций ДВ объединяемых подсхем переносится без изменений в ДВ объединенной схемы. Содержимое каждой из позиций объединенного ДВ, формируемых для общих внешних узлов этих подсхем, равно поэлементному произведению содержимого соответствующих позиций ДВ объединяемых подсхем.

Алгоритм объединения двух подсхем

1. Попарное сравнение ДВ подсхем и выявление пар совместных ДВ. Для этого используются позиции ДВ, соответствующие общим узлам подсхем, и условие совместности.

2. Приведение совместных пар ДВ к ДВ объединенной схемы. В объединенный ДВ в первую очередь заносится содержимое позиций, относящихся к собственным узлам первой подсхемы. Далее рассматриваются позиции, соответствующие общим внешним узлам. В объединенный ДВ заносится единица только в том случае, если содержимое соответствующих

37

позиций в ДВ подсхем отлично от нуля. В противном случае объединенный ДВ дополняется нулем в позиции, соответствующей общему внешнему узлу. Формирование объединенного ДВ завершается учетом содержимого позиций, относящихся к собственным узлам второй подсхемы. Параметр найденного ДВ равен произведению миноров исходных подсхем.

3. Определение знаков совместных пар миноров объединяемых подсхем. Если в позициях общих внешних узлов обоих ДВ содержатся единицы, то ДВ первой подсхемы модифицируется путем помещения в соответствующую позицию нуля. Такая модификация необходима, поскольку единица из ДВ первой подсхемы перешла в объединенный ДВ подсхем. Далее применяется топологическое правило и знак рассчитывается по формуле (–1)d+h .

4. Приведение подобных членов среди параметров объединенных ДВ по виду ДВ и образование миноров объединенной схемы. Перед параметром объединенного ДВ учитывается знак соответствующей пары миноров объединяемых подсхем.

Специального рассмотрения заслуживают случаи, когда подсхемы включают идеальные ОУ. Среди миноров таких подсхем могут быть миноры, тождественно равные нулю, если подсоединение НУИ в соответствии с ДВ минора приводит к получению вырожденной схемы. Это обусловлено тем, что идеальный ОУ имеет статус НУИ, и возможно образование контуров, содержащих только генераторы или только приемники НУИ (см. табл. 1.2.2). Наличие нулевых миноров позволяет значительно сократить количество ДВ, подлежащих рассмотрению, как при анализе подсхем, так и при их объединении. Для этого необходимо использовать правила, учитывающие условие совместности ДВ объединяемых подсхем.

Правило 1. Если внешний узел подсхемы совпадает с выходным узлом идеального ОУ, принадлежащего этой подсхеме, то в первой половине позиций ДВ содержимое позиции этого внешнего узла равно нулю.

Правило 2. Если внешний узел подсхемы совпадает с выходным узлом идеального ОУ, принадлежащего другой подсхеме, то в первой половине позиций ДВ содержимое позиции этого внешнего узла равно единице.

В правилах 1 и 2 предполагается, что одним из выходных узлов идеального ОУ является базисный узел схемы, что практически всегда имеет место [6, 34]. Дуальные правила могут быть предложены для входного узла идеального ОУ с дифференциальным входом, когда другой входной узел этого ОУ является базисным узлом схемы.

В качестве иллюстрации предложенных правил рассмотрим пример объединения подсхем полосового фильтра на 13 идеальных ОУ [79], структурная схема которого представлена на рис. 1.3.10. Следует отметить, что выходной (правый) узел каждой подсхемы совпадает с выходным узлом одного из трех идеальных ОУ, находящихся внутри этой подсхемы. Подсхема 5

38

содержит единственный ОУ, выходной узел которого является одновременно ее выходным узлом.

Рис. 1.3.10. Структурная схема активного полосового фильтра

Для объединения подсхем используется иерархическое дерево, которое

изображено на рис. 1.3.11. Номера узлов этого дерева соответствуют номерам исходных подсхем (подсхемы 1 – 5) и подсхем, образованных в результате объединения (подсхемы 6 – 9). Объединение подсхем выполняется снизу-вверх согласно рис. 1.3.11 или слева-направо согласно рис. 1.3.10. Подсхема с номером 9 завершает процесс объединения и является исходной схемой. Из миноров этой подсхемы можно получить искомую передаточную ССФ по напряжению.

Рис. 1.3.11. Дерево объединения подсхем полосового фильтра

В первую очередь объединяются подсхемы 1 и 2. Узел 3 принадлежит

обеим этим подсхемам. В то же время его нужно сохранить как внешний узел объединенной схемы (подсхема 6). Чтобы установить совместность ДВ объединяемых подсхем, рассматриваются позиции, соответствующие их общим узлам 2 и 3. Фрагменты ДВ подсхем 1 и 2 для кортежа 2323 имеют вид:

2323 2323 1 0111 1 1001 2 0101 2 1010 3 0110 и 3 1011 .

Слева от ДВ указывается порядковый номер минора.

6 5 4

3

2 1 2 3 4 5

1

6 7

8 9

5

4

3

2 1

39

Узел 2 является общим внутренним узлом подсхем, поэтому совместность ДВ в позициях 2 обеспечивается при взаимном дополнении их содержимого. Узел 3 – общий внешний узел, следовательно, совместность ДВ в позициях 3 достигается при условии, когда содержимое позиций 3 рассматриваемых пар ДВ либо взаимно дополняющее, либо равняется единице, но не может быть равным нулю. Таким образом, совместными являются четыре пары ДВ (миноров подсхем): (1,1), (2,2), (2,3) и (3,1).

Пары ДВ (1,1) и (2,3) имеют в позиции 3 единицы, поэтому для определения знака этих пар единицы в позиции 3 (вторая половина ДВ) для второй подсхемы заменяются нулями. Введение дополнительного узла во вторую, а не в первую, подсхему обусловлено тем, что узел 3 в кортеже ДВ размещается рядом с узлом 4, который является собственным узлом подсхемы 2. В случае пары (1,1) рассматриваются ДВ 0111 и 1000. После нумерации НУИ получаем соответственно 0212 и 1000. Сложение нумерованных ДВ приводит к вектору 1212, первая (вторая) половина элементов которого образует первую (вторую) строку подстановки 12 / 12. Эта подстановка не имеет инверсий, следовательно, знак пары (1,1) положителен.

В случае определения знака пары (3,1) необходимо рассмотреть ДВ 0110 и 1001. Нумерация НУИ приводит к векторам 0220 и 1001. В результате сложения нумерованных ДВ имеем вектор 1221 и соответствующую подстановку 12 / 21. Эта подстановка содержит одну инверсию, то есть является нечетной, следовательно, знак пары (3,1) отрицателен. Аналогично определяются знаки у пар (2,2) и (2,3).

Формируя объединенный ДВ, необходимо помнить, что единица в позиции 3 этого ДВ возможна только при равенстве единице содержимого соответствующих позиций в ДВ подсхем 1 и 2. Отсюда после приведения подобных ДВ получаем множество ДВ подсхемы 6: 1) 101011; 2) 101101; 3) 101110. Кортеж этих ДВ имеет вид: 134134. Соответствующие миноры перечислены ниже: ∆61= ∆11 ∆21, ∆62 = ∆12⋅∆22–∆13⋅∆21, ∆63 = ∆12⋅∆23.

Поскольку ДВ у подсхем 1 – 4 одинаковые, а ДВ подсхемы 6 совпадают с ДВ подсхемы 1, то объединение подсхем 6 и 3, 7 и 4 можно выполнить без проведения соответствующих выкладок. Выражения для миноров подсхемы 7 образуются из выражений для миноров подсхемы 6 формальной заменой первых цифр 6, 1 и 2 после ∆ на цифры 7, 6 и 3. Получение выражений для миноров подсхемы 8 выполняется путем замены указанных цифр на 8, 7 и 4 соответственно.

При установлении совместности ДВ подсхем 8 и 5 рассматриваются позиции, соответствующие их общим узлам 5 и 6. Интересующие фрагменты ДВ подсхемы 8 и ДВ подсхемы 5 имеют вид соответственно:

5656 5656 1 0111 1 1001 2 0101 и 2 1010 . 3 0110

40

Как видно, совместными являются три пары ДВ: (1,1), (2,2) и (3,1). Далее поступаем аналогично объединению подсхем 1 и 2. Отсюда получаются ДВ подсхемы 9: 1) 1001; 2) 1010. Кортеж этих ДВ имеет вид: 1616. Соответствующие миноры перечислены ниже:

∆91 = ∆81⋅∆51, ∆92 = ∆82⋅∆52– ∆83⋅∆51. Последовательность выражений для объединения подсхем имеет вид:

∆61 = ∆11 ∆21, ∆62 = ∆12 ∆22 – ∆13 ∆21, ∆63 = ∆12 ∆23, ∆71 = ∆61 ∆31, ∆72 = ∆62 ∆32 – ∆63 ∆31, ∆73 = ∆62 ∆33, ∆81 = ∆71 ∆41, ∆82 = ∆72 ∆42 – ∆73 ∆41, ∆83 = ∆72 ∆43,

∆91 = ∆81 ∆51, ∆92 = ∆82 ∆52 – ∆83 ∆51.

Таким образом, миноры, которые необходимы для задания подсхемы в виде «черного ящика» относительно внешних узлов, используются в дальнейшем в выражениях более высокого уровня, отображающих объединение подсхем (см. рис. 1.3.10 и 1.3.11). На заключительном первом уровне объединение подсхем приводит к получению выражений, являющихся минорами исходной схемы. Представление ССФ в виде последовательности выражений обеспечивает многократное уменьшение вычислительной сложности [53, 79, 80].

41

1.4. ВЫРАЖЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ

ЧЕРЕЗ СХЕМНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [52, 54] Пусть требуется найти передаточную ССФ вида I/E (см. рис. 1.1.6). Для

этого выполним формальную замену E=ZI, как показано на рис. 1.4.1 слева, то есть вместо независимого источника напряжения поместим в схему ИНУТ zI, который управляется искомым током I. В полученной вспомогательной схеме отсутствуют независимые источники, поэтому токи будут отличаться от нуля только при условии, что схемный определитель ∆ = 0 .

Рис. 1.4.1. К нахождению ССФ вида I/E

САВ на рис. 1.4.1 можно рассматривать как обобщение САВ, представленного на рис. 1.3.4,а, поскольку НУИ, генератор и приемник которого не имеют общего узла, нельзя заместить разомкнутой (отсутствующей) ветвью. В аналитическом виде схемное уравнение на рис. 1.4.1 записывается следующим образом:

∆ = Z ∆(Z⇒НУИ) + ∆(Z=0) , (1.4.1) где ∆ – определитель схемы с ИНУТ ZI, ∆(Z⇒НУИ) – определитель первой производной схемы, образованной из исходной схемы в результате придания ИНУТ с параметром Z статуса НУИ; ∆(Z=0) – определитель второй производной схемы, полученной из исходной схемы путем стягивания генератора ZI и приемника I. Совместное использование уравнения E=ZI и формулы (1.4.1) с учетом ∆ = 0 приводит к выражению для искомой ССФ

I / E = –∆(Z⇒НУИ) / ∆(Z=0). (1.4.2) Знак «минус» в формуле (1.4.2) можно опустить, если изменить ориентацию у ГНУИ (или у ПНУИ).

Аналогично формуле (1.4.2) получаются выражения для остальных ССФ (см. рис. 1.1.6). САВ, позволяющие выразить все ССФ через схемные определители, представлены в табл. 1.4.1 и более детально в табл. П.1.1. Как видно, с учетом рис. 1.3.3,а,б при нахождении входных ССФ можно избежать использования НУИ.

Z * E=ZI I

42

Таблица 1.4.1. Схемно-алгебраические выражения ССФ

Рассмотренные выше САВ для ССФ (см. табл. 1.4.1 и табл. П.1.1)

аналогичны предложенным Брауном схемным выражениям, содержащим ориентированные нуллоры [61]. Однако приведенное выше доказательство не требует использования понятий матричной алгебры. В то же время доказательство Брауна опирается на то обстоятельство, что подключение к двум узлам схемы норатора (нуллатора) влечет объединение соответствующих этим узлам строк (столбцов) матрицы схемы. Кроме того, из работ Брауна [61, 62] не ясно, как следует выбирать ориентацию норатора и нуллатора по отношению к ориентации источника воздействия и отклика. Необходимо подчеркнуть, что в случае изменения направления передачи напряжения или тока (с выхода на вход) ГНУИ и ПНУИ в строках 1–4 табл. П.1.1 меняются местами. Как известно, для взаимной цепи соответствующие функции попарно равны, а для активной (невзаимной) эти функции отличаются друг от друга.

E I

J U

E U

J I

EI

J U

Входные ССФ Передаточные ССФ

EI

J U

43

Обозначения ГНУИ и ПНУИ во избежание недоразумений напоминают, соответственно, обозначения норатора и нуллатора нуллора, а именно, символы бесконечности и нуля выполнены в виде стрелок (см. рис. 1.1.2). Вместе с тем понятие НУИ обобщает понятия нуллора и ориентированного нуллора, поскольку параметру НУИ при необходимости можно присвоить значение. Это отличает НУИ от обычного нуллора и ориентированного нуллора которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, равным бесконечности. Возможно, поэтому Браун, а затем Партен и Сикет [77], сформулировав схемные выражения для нахождения ССФ, ограничились их применением для анализа схем с двухполюсниками и идеальными ОУ. Это не позволило методу сингулярных (аномальных) элементов успешно конкурировать с матричными и графовыми методами, предусматривающими задание УИ, что, в конечном счете, привело к забвению этого метода на десятилетия. С методической точки зрения использование понятия НУИ, а также терминов ГНУИ и ПНУИ, более оправдано [51], поскольку последние являются взаимосвязанными элементами, образующими предельный случай именно УИ, а не абстрактного «нуллора».

1.5. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СХЕМ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1.5.1. Простейший делитель напряжения Схема резистивного делителя напряжения, а также САВ для нахождения

передаточной ССФ по напряжению, изображены на рис. 1.5.1 (см. рис. 1.1.6 и табл. 1.4.1). Здесь и далее ∆N – определитель схемы числителя (numerator), а ∆D – определитель схемы знаменателя (denominator). Схема числителя упрощается с помощью табл. 1.2.2 следующим образом: R1 стягивается как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ, R2 удаляется как z-ветвь, параллельная ПНУИ. При удалении ветви R2 выделяется параметр R2 в виде сомножителя. В результате получается схема, изображенная на рис. 1.3.3,а. Отсюда находится числитель искомой ССФ ∆N = R2.

Рис. 1.5.1. Схема делителя напряжения и выражение ее ССФ

R1

R2 U

E U ∆N E ∆D

= =

R1 R2

R1 R2

44

В схеме знаменателя последовательно соединенные ветви заменяются одной z-ветвью с параметром R1+R2 , которая является z-петлей (см. рис. 1.3.1,а). Таким образом, знаменатель искомой ССФ ∆D = R1 + R2 .

1.5.2. Мост Уитстона Мостовая схема Уитстона [20, 35] и соответствующее САВ изображены

на рис. 1.5.2. Разложение определителя схемы числителя выполняется по формуле (1.3.1) для параметра R1 . Первая производная схема упрощается путем стягивания R2 и R4, а также удаления R3 , как показано на рис. 1.5.2. При удалении z-ветви R3 выделяется ее параметр. Упрощение второй производной схемы выполняется через удаление ветвей R4 и R2, сопровождающееся выделением их параметров (см. рис. 1.5.2). Отсюда получаем ∆N = R1R3 – R4R2 .

Рис. 1.5.2. Анализ схемы моста Уитстона

Разложение определителя схемы знаменателя выполняется по формуле

(1.3.3). Схема знаменателя представляется в виде двух подсхем, являющихся z-петлями. Таким образом, ∆D=(R1+R4)(R2+R3).

1.5.3. Сглаживающий фильтр Схема фильтра изображена на рис. 1.5.3. Там же представлено САВ для

нахождения передаточной ССФ по напряжению и его преобразование. Как видно, схема числителя упрощается следующим образом (см. рис. 1.5.3 и табл. 1.2.2): стягивается ветвь R, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ; удаляются y-ветви pC1 и pC2, как параллельные ГНУИ и ПНУИ соответственно; стягивается ветвь pL, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ

E R1 R2

R3 R4

U

U E =

R1 R2

R3 R4

R4

R1

R1 *

R2

= R3 * + R4 R2 *

R1+R4

*

R3

R2+R3

45

(ПНУИ). При стягивании z-ветвей и удалении y-ветвей параметры не выделяются. Отсюда ∆N = 1.

Рис. 1.5.3. Анализ схемы сглаживающего фильтра Для разложения определителя схемы знаменателя используем формулы

(1.3.1) и (1.3.2), как показано на рис. 1.5.2. Символ « 0 » в окончательном схемном уравнении соответствует определителю вырожденной схемы, полученной в результате стягивания z-петли с параметром R (см. рис. 1.3.2,а и табл. 1.2.2). Таким образом,

∆D = pC1 [R(p2 LC2 + 1)] + (R+pL)pC2 + 1.

1.5.4. Полосовой RC-фильтр Схема фильтра и САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению

представлены на рис. 1.5.4,а.

RE LC1 C2 U

U E =

pL R pC1

pC2

pL =

pC1 pC2 R

pL pC1

pC1 *

pL

RpC2

+ R

pL pC2

=

pC1 (R * + 0) + (R+pL) * pC2 + pC2

=

pL pC2

46

Рис. 1.5.4. Нахождение ССФ вида U/E и U/J для схемы полосового фильтра

Как видно, нахождение числителя ССФ заключается в стягивании R1 и pC1,

а также удалении R2 и pC2 . При стягивании y-ветви pC1 и удалении z-ветви R2 выделяются их параметры. Отсюда получаем ∆N=pC1R2 . Для разложения определителя схемы знаменателя целесообразно использовать формулу (1.3.4). Схема знаменателя делится на две подсхемы, как показано на рис. 1.5.4,а. Левую подсхему будем считать первой, а правую – второй. В соответствии с изображениями производных схем, представленных на рис. 1.5.4,а, имеем ∆D=pC1R2+(pC1 R1+1)(pC2R2+1).

U E

R1

R2 pC2

pC1

R2

pC2 pC1 R1

pC1 R2 *

R1

pC1

R2

pC2

+ pC2

pC1 R2

R1

a

U J

R1

R2

pC2 pC1

R2

pC2 pC1 R1 R1 pC1

pC2

R2

б

J R1 C1

R2

C2U

R2

pC2 pC1 R1

= =

= =

* *

*

E R1 C1 R2 C2 U

47

Схема и САВ для нахождения ССФ входного сопротивления представлены на рис. 1.5.4,б. В результате получаем

.)1(

)1)(1(

221

221121

++++

==pCRpC

RpCRpCRpCJUZ

1.6. ВЫДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УИ и НУИ 1.6.1. Выделение параметров УИ [51, 52, 70] Кроме ранее рассмотренных ИНУТ и ИТУН, элементами схемы могут

быть ИНУН и ИТУТ. Изображения и обозначения параметров УИ всех четырех типов представлены на рис. 1.6.1 слева (см. также табл. 1.1.1). По аналогии с y- и z-ветвями (см. рис. 1.3.4) множество слагаемых определителя схемы с УИ можно разбить на два подмножества относительно параметра χ некоторого УИ. Слагаемые первого из них содержат параметр χ в качестве сомножителя, а слагаемые второго подмножества не содержат этого параметра. Самое простое решение для получения слагаемых первого подмножества состоит в том, чтобы не выполнять какие-либо преобразования исходной схемы для получения первой производной схемы, а придать выделяемому УИ статус НУИ и оставить его в схеме. Специфика того или иного УИ, как для случая ИНУТ и ИТУН, будет отражена во втором слагаемом соответствующей формулы. Таким образом, общую формулу для выделения параметра χ произвольного УИ можно записать в виде

∆ = χ ∆(χ⇒НУИ) + ∆(χ=0), (1.6.1)

где ∆(χ⇒НУИ) – определитель первой производной схемы, полученной из исходной схемы путем придания выделяемому УИ статуса НУИ с параметром, равным единице; ∆(χ=0) – определитель второй производной схемы, которая образована в результате нейтрализации выделяемого УИ, то есть принятия χ=0.

Использование понятия НУИ упрощает получение ССФ для схем с идеальными ОУ (y→∞, k→∞, z→∞, β→∞), не требуя предварительного формирования общего символьного выражения и трудоемкого выполнения предельного перехода. Параметры ОУ заведомо являются сомножителями и при числителе, и при знаменателе ССФ. Следовательно, поместив в схему НУИ вместо идеального ОУ и придав параметрам НУИ значения, равные единице, можно избежать необходимости их последующего сокращения.

САВ, иллюстрирующие формулу (1.6.1) для различных типов УИ, приводятся на рис. 1.6.1.

48

Рис. 1.6.1. Выделение параметров УИ

Из формулы (1.6.1) и рис. 1.6.1 непосредственно вытекают важные

специальные случаи упрощения схемы путем преобразования УИ в НУИ и нейтрализации УИ, которые отражены в табл. 1.2.2. Нейтрализация УИ наступает при стягивании или удалении его генератора или приемника.

В табл. П.1.9 отражены в схемно-алгебраическом виде базовые формулы (1.3.1), (1.3.2) и (1.6.1).

Обобщением формулы (1.3.2), САВ которой представлено в строке 2 табл. П.1.9, является формула [52], которая использует операцию стягивания для УИ, подобную аналогичной операции для y-ветви. Эта формула, в отличие от формулы (1.6.1), не приводит к образованию нового НУИ взамен УИ в первой производной схеме, то есть

∆ = ± χ ∆χ + ∆(χ=0) , (1.6.2)

где ∆χ – определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате стягивания выделяемого УИ. Формула (1.6.2) позволяет минимизировать число операций вычитания в формируемых выражениях ССФ.

Если опорным узлам инцидентны y-ветви, то для выполнения стягивания УИ они должны быть замещены вырожденными ИТУН. Поскольку нейтрализация генераторов напряжения и приемников тока приводит к объединению узлов схемы, не допускается инцидентность соответствующих ветвей других УИ хотя бы одному из опорных узлов выделяемого УИ. Это ограничение всегда можно обойти надлежащим выбором опорных узлов, первоочередным выделением z-ветвей и УИ с генераторами напряжения и (или)

= y *U yU +

= k *U kU +

= z *I zI +

= β *I βI +

49

приемниками тока, а также заменой в необходимых случаях операции стягивания операцией преобразования в НУИ (см. формулу (1.6.1)).

Табл. П.1.10 содержит частные случаи выделения сопротивления, проводимости и управляемых источников, включенных параллельно или последовательно с генераторами и приемниками напряжения или тока, а также с ГНУИ и ПНУИ. Доказательство преобразований проводится с помощью (1.3.1), (1.3.2) и (1.6.1) при учете условий вырождения схем из табл. П.1.7.

В табл. П.1.11 отражены эквивалентные упрощения схем в результате нейтрализации элементов. Доказательство преобразований основано на формулах (1.3.1) и (1.3.2) с использованием условий вырождения из табл. П.1.7.

Следствием стягивания или удаления пассивных ветвей может быть образование ИТУН, у которых генератор и приемник параллельны, или ИНУТ, генератор и приемник которых соединены последовательно. Такие УИ замещаются квазипассивными двухполюсниками с параметрами проводимости или сопротивления согласно рис. 1.2.1. Квазипассивное преобразование в отличие от обычно используемого обратного преобразования упрощает схему.

Случаи вырождения активной схемы и ее упрощения, инвариантные к схемному определителю, в полной мере согласуются с физическими представлениями о пассивных элементах и источниках напряжения и тока. Важно, что упрощения и проверка вырожденности схемы выполняются путем выявления соответствующих особенностей ее структуры и состава элементов, что невозможно или затруднено при аналогичных проверках матрицы или графа этой схемы.

Для сокращения объема проводимых выкладок и формирования оптимальных по вычислительной сложности [63] выражений ССФ необходимы правила выбора мультиветвей (параллельно соединенных y-ветвей) и других подсхем, параметры которых подлежат выделению в первую очередь [48, 50]. В частности, для этого среди мультиветвей схемы, состоящей из двухполюсных элементов, выбирается та, которая имеет наибольший показатель участия. Чтобы избежать использования трудоемкой процедуры вычисления количества деревьев и т. п., предлагаются правила выбора выделяемых элементов и подсхем [50].

Правило «минимума». В схеме рассматриваются узлы и сечения, которым инцидентно минимальное количество мультиветвей. Принимается, что наибольшим показателем участия обладает та из них, которая смежна наименьшему числу мультиветвей.

Правила показателей участия и кратности. Первое правило заключается в первоочередном выделении мультиветвей, имеющих наибольшие показатели участия. Правило кратности требует, чтобы среди претендентов на выделение выделялась в первую очередь та мультиветвь, которая имеет наибольшую кратность, то есть количество образующих ее ветвей.

50

Правило половинного деления. Наряду с правилами показателей участия и кратности необходимо учитывать третье правило, которое называется правилом половинного деления. Оно означает, что получение оптимального выражения достигается выделением по возможности более сложных подсхем и минимизацией разности между количествами ветвей в выбранных подсхемах.

Формирование z- и yz-выражений ССФ имеет свои особенности. Например, для лестничной схемы число узлов более чем в два раза превышает число независимых контуров. Поэтому в качестве параметров ветвей такой схемы целесообразно использовать сопротивления. Учитывая дуальность формул (1.3.1) и (1.3.2), для формирования оптимальных z- и yz-выражений схемных определителей вводится понятие макроветви, параметром которой является сумма сопротивлений образующих ее последовательно соединенных z-ветвей. Оптимальное z-выражение получается с учетом правил показателей участия, кратности и половинного деления. В силу дуальности формул (1.3.1) и (1.3.2) правило «минимума», используемое при выборе мультиветвей, модифицируется в правило «максимума» для выбора макроветвей, то есть среди макроветвей, инцидентных узлу или сечению с максимальным числом мультиветвей и макроветвей, выбирается та, которой смежно наибольшее их количество.

В случаях, когда количества независимых узлов и контуров схемы отличаются незначительно, смешанное представление параметров ветвей открывает возможности для получения yz-выражений ССФ, имеющих различную сложность и способных конкурировать по вычислительным свойствам с y- и z-выражениями. Для этого совместно используются формулы (1.3.1) – (1.3.4) и правила оптимального выделения параметров.

Задание параметров емкостей (индуктивностей) в виде емкостных проводимостей (индуктивных сопротивлений) позволяет избежать операций деления при получении ССФ в операторной форме. При надлежащем задании параметров ветвей всегда могут быть получены оптимальные безразмерные yz-выражения для передаточных ССФ. Такие выражения потенциально более устойчивы при численных расчетах. В этом случае также снижаются требования к диапазону представления чисел. Из правила показателей участия и формул (1.3.1), (1.3.2) следует, что уменьшение сложности схемного определителя достигается заданием проводимостями или сопротивлениями, соответственно, ветвей с меньшими или большими показателями участия.

1.6.2. Выделение параметров элементов принципиальных схем [32] В табл. П.1.13 сведены формулы выделения параметров трех- и

четырехполюсных элементов, являющихся элементами принципиальных схем электронных устройств. В строках 1 − 3 табл. П.1.13 рассмотрены схемы с взаимно связанными катушками. Так, в строке 1 приводится САВ для

51

выделения сопротивления взаимоиндукции pM, в строке 2 − соответствующее САВ для взаимной цепи, в строке 3 − САВ для выделения всех параметров двух взаимно связанных катушек, то есть сопротивлений pL1, pL2 и pM. Доказательство этих выражений осуществляется на основе правил выделения сопротивления (см. строку 1 табл. П.1.9) и параметра ИНУТ (см. строку 3 табл. П.1.9). Окончательные САВ получаются после группировки слагаемых.

В строке 4 табл. П.1.13 дано САВ для выделения параметра идеального трансформатора, которое получено путем последовательного применения формул выделения ИНУН, в соответствии со строкой 4 табл. П.1.9, и ИТУТ, согласно строке 6 табл. П.1.9.

В строке 5 табл. П.1.13 рассмотрено САВ для выделения операционного усилителя с конечными коэффициентом усиления K и выходным сопротивлением Z [34]. Это САВ получено с помощью строк 1 и 4 табл. П.1.9. САВ для основных случаев включения идеального операционного усилителя представлены в строке 6 табл. П.1.13.

Строка 7 табл. П.1.13 содержит САВ для выделения параметра kZ конвертора сопротивления с преобразованием напряжения [6]. Здесь же дана соответствующая схема замещения. Для доказательства выделим параметр ИНУН (см. строку 4 табл. П.1.9) и умножим полученное выражение на коэффициент конверсии kZ с целью исключения дробных выражений в числителе и знаменателе формируемых ССФ.

В строку 8 табл. П.1.13 помещено САВ для выделения параметра kZ конвертора сопротивления с преобразованием тока [6]. Для вывода этого САВ воспользуемся представленной здесь же схемой замещения. После выделения параметра ИТУТ (см. строку 6 табл. П.1.9) получаем искомое выражение.

В строке 9 табл. П.1.13 находится САВ для выделения параметров идеального инвертора сопротивления [6]. Коэффициент инверсии kИZ=1/(y12y21). Вывод этой формулы выполняется путем выделения параметров ИТУН y12 и y21 в соответствии со строкой 5 табл. П.1.9.

САВ для выделения параметра гиратора [74], приведенное в строке 10 табл. П.1.13, получается, если принять y12=y21=g, где g − проводимость гирации.

В строке 11 табл. П.1.13 представлено САВ для выделения H-параметров низкочастотного биполярного транзистора [38]. Это выражение выводится путем выделения сопротивления h11 (см. строку 1 табл. П.1.9), проводимости h22 (см. строку 2 табл. П.1.9) и параметров управляемых источников h21 и h12 (см. строки 4 и 6 табл. П.1.9). Искомое САВ получается после группировки слагаемых.

САВ для выделения Y-параметров транзисторов [38] помещено в строку 12 табл. П.1.13. Это выражение находится путем выделения проводимостей y11 и y22 (см. строку 2 табл. П.1.9) и параметров ИТУН y12 и y21 (см. строку 5 табл. П.1.9) с последующим группированием слагаемых.

52

В строке 13 табл. П.1.13 рассмотрено САВ для выделения Z-параметров транзисторов [38]. Это выражение получено на основе выделения сопротивлений z11 и z22 (см. строку 1 табл. П.1.9) и параметров источников напряжения, управляемых током z12 и z21 (см. строку 3 табл. П.1.9) с последующим группированием слагаемых.

До сих пор мы находили САВ многополюсников с сосредоточенными параметрами. Рассмотрим теперь ЛЭЦ, содержащие длинные (передающие) линии [26, 38]. Исходная схема, содержащая длинную линию, дана в строке 14 (слева) табл. П.1.13. Длинная линия характеризуется волновым сопротивлением ZВ, коэффициентом распространения γ и длиной l. Выделение указанных параметров будем проводить на основе матрицы [38]

( ) ( )( ) ( )

= lгchlгsh

lгshlгchA

В

В

Z

Z. (1.6.3)

Для этого предложим схему замещения длинной линии относительно ее внешних зажимов (см. строку 14 (слева) табл. П.1.13). Эта схема содержит НУИ, ветви которого пронумерованы цифрой 1. Токи УИ

( )21 U

ZlshJВ

⋅=г и ( ) 22 IlгchJ ⋅= ,

ЭДС УИ ( ) 21 UlchE ⋅= г и ( ) 22 IlshZE В ⋅= г .

Убедиться в правильности этой схемы можно путем построения для неё матрицы A-параметров, которая совпадает с (1.6.3). Искомое САВ длинной линии получается на основе многократного применения формулы (1.6.1) к определителю схемы замещения длинной линии, а также правил перенумерации ГНУИ и ПНУИ с операциями выделения разомкнутых и короткозамкнутых ветвей, образуемых одноимёнными ГНУИ и ПНУИ (см. рис. 1.3.3,а,б). Окончательное САВ длинной линии (см. строку 14 справа в табл. П.1.13) получено в результате умножения выражения на ZВ с целью исключения дробей в числителе и знаменателе ССФ.

Последовательное применение предлагаемых САВ многополюсников (см. табл. П.1.13) и выражений (1.3.1), (1.3.2) к САВ для ССФ позволяет получить искомую ССФ в форме алгебраического выражения. Этот процесс можно ускорить, если использовать заранее вычисленные табличные определители часто встречающихся при решении задач элементарных схем многополюсников – схем, содержащих один многополюсник, полюсы которого в различных комбинациях замкнуты, разомкнуты или соединены между собой через сопротивление (проводимость), ГНУИ и ПНУИ. Определители элементарных

53

схем многополюсников очень просты, быстро запоминаются и экономят время анализа цепи.

Применение САВ для выделения параметров элементов принципиальных схем позволяет сократить объем выкладок при формировании ССФ за счет многократного использования готовых формул, а также получать более компактные выражения вследствие предварительной группировки слагаемых.

В качестве примера рассмотрим результат анализа двухкаскадного трансформаторного усилителя, изображенного на рис. 1.6.2. Для этой схемы известны значения проводимостей Y4, Y5 и сопротивлений R6, R7. Транзисторы V1, V2 характеризуются Н-параметрами в схеме с ОЭ, причём 02

121

12 == VЭ

VЭ hh ;

0222

122 == V

ЭVЭ hh . Верхний индекс Н-параметров обозначает их принадлежность

соответствующему транзистору на рис. 1.6.2. Трансформатор считается идеальным с коэффициентом трансформации n. Требуемое символьное выражение для коэффициента передачи тока T=I7 /J=∆N/∆D также приведено на рис. 1.6.2.

].1)1([ 2

212

21561

21 +++=∆ VЭ

VЭ

VЭ hhYRhnN

.)]1()1)(1[(}]1)1([{ 21

21645641

11551

112

211

2147 nhRYYRYhYYhhhYRD VЭ

VЭ

VЭ

VЭ

VЭ +++++++++=∆

Рис. 1.6.2

1.6.3. Выделение параметров НУИ [51, 54, 61, 62, 77] Выделение параметров пассивных элементов по формулам (1.3.1) и (1.3.2)

может привести как к нейтрализации УИ, так и к их преобразованию в НУИ согласно табл. 1.2.2. Выделение параметров УИ по формуле (1.6.1) также приводит исходную схему к производным схемам, содержащим НУИ.

ГНУИ и ПНУИ обладают особыми свойствами, состоящими в том, что их размыкание или замыкание вырождает всю схему, то есть ее определитель становится равным нулю. Указанные свойства иллюстрируются рис. 1.6.3.

54

Рис. 1.6.3. Вырожденные схемы с НУИ (∆=0) Случаи вырождения на рис. 1.6.3 обобщаются критерием вырождения

схемы с НУИ, который гласит, что в невырожденной схеме с НУИ все ГНУИ должны образовывать дерево схемы, а ПНУИ входить в его дополнение и наоборот [51, 74, 75]. Нахождение определителей схем с НУИ опирается на следующие простые правила [61, 77]:

1. Изменение ориентации у ГНУИ или у ПНУИ влечет изменение знака определителя этой схемы.

2. Взаимная замена номеров у двух ГНУИ или у двух ПНУИ также вызывает изменение знака определителя.

3. Параллельное соединение одноименных и одинаково направленных (по отношению к общему узлу) ГНУИ и ПНУИ эквивалентно короткозамкнутой ветви (идеальному проводнику).

4. Последовательное встречное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ эквивалентно разомкнутой ветви.

Правила 3 – 4 иллюстрирует рис. 1.6.4.

Рис. 1.6.4. Образование короткозамкнутых и разомкнутых ветвей Если параллельно соединены разноименные ГНУИ и ПНУИ, то

целесообразно использовать САВ, представленные на рис. 1.6.5 [51, 54].

Рис. 1.6.5. Выделение НУИ с разноименными генератором и приемником Другие важные случаи расположения НУИ, учет которых позволяет

уменьшить объем выкладок при разложении схемных определителей, представлены в виде САВ на рис. 1.6.6 и 1.6.7 [51, 54].

= =

2 1

2

1 (-1)

2 1

2

1 1 1

1 1

55

Рис. 1.6.6. Выделение НУИ, расположенного в сечении

Рис. 1.6.7. Выделение НУИ, приемник которого находится вне сечения В САВ на рис. 1.6.7 выделяемым считается тот НУИ, генератор которого

находится вне этих подсхем. В частных случаях одноименные или разноименные ГНУИ и ПНУИ, находящиеся вне выделенных подсхем, могут быть параллельными друг другу. При этом, если подсхемы 1 и 2 на рис. 1.6.6 содержат по одному узлу, то определитель объединенной схемы равен 1 или –1, что согласуется с рис. 1.3.3,а,г и 1.6.4. В свою очередь из случая последовательного соединения ГНУИ и ПНУИ (см. рис. 1.6.4 при замене правой подсхемы единственным узлом) вытекает свойство НУИ, показанное на рис. 1.3.3,б.

Выделение НУИ с помощью САВ на рис. 1.6.4 − 1.6.7 позволяет не выполнять построение производных схем, а проводить суммирование числа НУИ, выделенных с отрицательным знаком, в уме. Этого достаточно, поскольку параметры НУИ считаются равными единице. Параметры УИ, согласно формуле (1.6.1), заносятся в выражение схемного определителя после

(-1)

1

1 1

1 2 2

2 2

(-1)

1

2

2 2 1

2 1

2 2

2 2

1

1 1

1 2 2

2 2

56

придания этому УИ статуса НУИ. В зависимости от знака для краткости будем говорить о выделении НУИ «с плюсом» или «с минусом».

При отсутствии параллельно или последовательно соединенных ГНУИ и ПНУИ применяется общая топологическая формула для выделения параметра НУИ с номером n [52, 70]

∆ = ± ∆n , (1.6.4)

где ∆n – определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате следующих преобразований: 1) стягивания генератора (приемника) выделяемого НУИ таким образом, чтобы генераторы (приемники), которые инцидентны одному из узлов – опорному узлу этого генератора (приемника), переключились на другой его узел; 2) объединения опорных узлов выделяемого НУИ. Положительный (отрицательный) знак перед ∆n выбирается в случае противоположной (одинаковой) ориентации генератора и приемника НУИ в первоначальной схеме по отношению к его опорным узлам.

Преобразования 1 и 2, выполняемые относительно выделяемого НУИ, называются его стягиванием. Опорные узлы, относительно которых выполняется стягивание НУИ, выбираются произвольно, но с одним условием – с опорными узлами должны быть соединены исключительно генераторы и приемники НУИ. При наличии у генератора и приемника общего узла целесообразно использовать его в качестве опорного узла и генератора, и приемника. Для этого случая преобразование 2 в операции стягивания опускается, а данное выше правило выбора знака инвертируется, то есть знак перед ∆n считается положительным (отрицательным) при одинаковой (противоположной) ориентации генератора и приемника соответствующего НУИ по отношению к общему опорному узлу в первоначальной схеме.

Прежде чем применять формулу (1.6.4), полезно убедиться в отсутствии идеальных проводников – «закороток» или «перемычек» и разомкнутых ветвей (см. рис. 1.6.4). От них следует избавиться в первую очередь путем выполнения соответствующих изменений в ориентации или (и) нумерации генераторов и приемников НУИ. Параллельно с этим необходимо стягивать сопротивления, соединенные последовательно с ГНУИ или ПНУИ, и удалять проводимости, подключенные параллельно этим элементам.

Пример анализа схемы замещения активного фильтра [70], иллюстрирующий формулу (1.6.4) и соответствующий случаю общего опорного узла у выделяемых НУИ, помещен на рис. 1.6.8.

27

Числитель ∆N

1

y6

y2

y3

y4 y1

y5

11

2 2 0 0

y6

y2

y3

y4 y1

y5

UE 1 1

2 2

0

57

Рис. 1.6.8. Нахождение передаточной функции активного фильтра

1.6.4. Выделение параметров в базисе заряда и напряжения

Выделен НУИ с номером 2

y2

y3

y1

y5

11

–

Выделен НУИ с номером 1y6

y2

y3

y4

2 2

∆D = y2y4 - y6y3 5 Изменена ориентация у ПНУИ

y2

y3

y1

y5

11

∆N = y1y3 - y5y2

U y1y3 - y5y2 E y2y4 - y6y3 6

10

Выделен НУИ с номером 0 Знаменатель ∆D

y6

y2

y3

y4 y1

y5

1 1

2 2

y6

y2

y3

y4 y1

y5

11

2 2

8 3

4 9

Удалены проводимости y4 и y6 Удалены проводимости y1 и y5 y6

y2

y3

y4

1 1

2 2

y2

y3

y1

y5

11

2 2

a b

58

САВ многополюсников, аналогичные САВ, рассмотренным в п. 1.6.2, и определители элементарных схем электрокомпонентов, подобные представленным в табл. 1.6.1, обеспечивают эффективный символьный анализ на уровне принципиальных схем в координатах напряжений и токов. При этом в качестве параметров используются сопротивления, проводимости, коэффициенты передачи напряжения и тока.

Таблица 1.6.1. Определители ∆ элементарных схем биполярного транзистора с общей базой на основе Y-параметров

Окончание табл. 1.6.1

Однако исходные принципиальные схемы некоторых классов цепей проще

характеризуются не в традиционных координатах токов и напряжений, а в других, альтернативных координатах, например, цепи с переключаемыми конденсаторами – в координатах напряжений и зарядов, магнитные цепи – в координатах токов и потоков. Для исследования таких цепей оказываются полезными схемно-символьные методы анализа и диагностики в координатах напряжений и зарядов, токов и магнитных потоков. Это избавляет от необходимости составлять излишние схемы замещения и формулировать соответствующие методы анализа непосредственно в координатах зарядов и напряжений, магнитных потоков и токов.

Ниже рассмотрено обобщение метода выделения параметров для современного класса цепей на переключаемых конденсаторах. Предполагается, что схемы таких цепей содержат идеальные элементы: конденсаторы с емкостями или эластансами, ИНУН, источники напряжения, управляемые

№ 1 2 3 4 5

Схема

∆ ∆YБ ΣYБ Y11Б 1 Y22Б+G

№ 6 7 8 9 10

Схема

∆ Y21Б+Y22Б Y12Б+Y11Б G ·Y11Б+∆YБ G+ΣYБ G · ΣYБ+∆YБ

59

зарядом, источники заряда, управляемые напряжением, источники заряда, управляемые зарядом, идеальные ОУ – НУИ, а также ключи, переключение которых зависит от времени.

В силу взаимного соответствия заряда и тока формулы выделения параметров в базисе заряда и напряжения могут быть получены из формул выделения параметров в базисе тока и напряжения путем соответствующей замены параметров. Например, формулы выделения емкости C и эластанса S имеют вид

;C

CC ∆+∆=∆ ,SSS ∆+∆=∆ (1.6.5)

где ∆ – определитель схемы; верхние (нижние) индексы означают, что в схеме удалены (стянуты) соответствующие элементы.

Формулы для выделения параметров источников ИЗУЗ, ИНУЗ и ИЗУН записываются на основе общей формулы выделения УИ (1.6.1). Нейтрализация элементов УИ проводится согласно их физическому содержанию: источник заряда и приемник напряжения удаляются, а источник напряжения и приемник заряда стягиваются.

Предлагаемая формула для выделения ключа имеет вид α

α ∆α∆α∆ += (1.6.6)

или в схемно-алгебраическом виде

где верхний (нижний) индекс α означает удаление (стягивание) ключа. Ключ k характеризуется переключательной функцией α(t), причем α(tз)=1, если в момент времени tз ключ замкнут и α(tр)=0, если ключ в момент времени tр разомкнут. Инверсная функция α ключа принимает противоположные значения.

Метод выделения параметров в базисе зарядов и напряжений позволяет проводить анализ схем с переключаемыми конденсаторами по исходной схеме без построения схем замещения.

1.7. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ ССФ ДЛЯ СХЕМ С УИ

1.7.1. Анализ yz-схемы с ИТУН

, = α + α k

60

Рассмотрим схему замещения операционного преобразователя [6],

изображенную на рис. 1.7.1. Искомая ССФ представляется в виде отношения U/E = ∆N/∆D согласно схемной формуле из табл. 1.4.1. Схема числителя получается из исходной схемы преобразованием независимого источника напряжения и отклика напряжения в НУИ, которому присвоен порядковый номер 1 или, кратко, НУИ–1. Эта схема согласно табл. 1.2.2 подлежит следующим эквивалентным упрощениям: 1) стягивание z-ветви pL, как включенной последовательно с ГНУИ–1; 2) удаление y-ветви pC, параллельной ПНУИ-1; 3) выделение z-ветви R1, параллельной ГНУИ–1.

Рис. 1.7.1. Схема замещения операционного преобразователя на базе ИТУН

В результате последнего преобразования ∆N может быть найден как

произведение R1 на определитель ∆ схемы, изображенной на рис. 1.7.2.

Рис. 1.7.2. Схема числителя ССФ для схемы на рис. 1.7.1

Определитель схемы на рис. 1.7.2 раскрывается по формулам (1.3.1) и (1.6.1) с использованием табл. 1.2.2 и рис. 1.6.2, 1.6.3 в последовательности, представленной в табл. 1.7.1.

Таблица 1.7.1. Разложение определителя схемы на рис. 1.7.2

№ Наименования операций и схемно-алгебраические выражения 1 2 1 Выделение R2 по формуле (1.3.1). Стягивание R2 приводит к нейтрализации ИТУН

s2U2.

U1

U2

r1

r2

s2U2

s1U1

R2 1

1

U1

U2

r1

r2

pC

s2U2

s1U1

R2 pL

R1 E(p) U(p)

61

2 Выделение r1 в первой производной схеме. Стягивание r1 приводит к нейтрализации ИТУН s1U1, удалению-выделению r2, преобразованию ИТУН s2U2 в НУИ-2. Во второй производной схеме нейтрализация ИТУН s1U1, удаление-выделение r1, стягивание r2 и выделение НУИ-1 с плюсом.

3

Выделение r2 в первой производной схеме. Удаление r2 влечет преобразование s2U2 в НУИ-2. Стягивание r2 приводит к нейтрализации s2U2 и преобразованию s1U1 в НУИ-2. Во второй производной схеме выделение НУИ-2 с плюсом.

4 В первой производной схеме выделяется НУИ–2 с плюсом. Во второй производной схеме выделяется НУИ–2 с плюсом. Определитель третьей производной схемы равен –1.

Окончание табл. 1.7.1

1 2 5 В первой производной схеме выполняется преобразование s1U1 в НУИ-2.

Определитель второй производной схемы (НУИ-контура) равен 1.

+ r1U1

s1U1 11

∆ =R2 * r1 * r2 s2 * 1

1

22

+ s1 *1

12

2+ r2 s2 *

U1

s1U1

1∆ =R2 * r1 * r2 s2 * + r1

1

+ s1 *1

1– r2 s2

1∆ =R2 * r1 * r2 s2 * + r1

1+ s1 – r2 s2 2

2

U1

U2

r2

s2U2

s1U1 1

1 ∆ =R2 * r1 * + r2 s2 * + r1

11

2

2

U1

U2

r1

r2

s2U2

s1U1 1

1 ∆ = R2 * + U1 r1

r2

s1U1 1

1

62

6 Выделение НУИ-2 с плюсом и получение НУИ-контура. Запись окончательного выражения

При наличии некоторого навыка операции, выполняемые в табл. 1.7.1 над

схемой рис. 1.7.2, можно выполнять мысленно (без изображений производных схем), используя иерархическую нумерацию, как показано ниже.

1. Удаление R2. 1.1. Удаление r1. 1.1.1. Удаление r2. Преобразование s2U2 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с

плюсом. Преобразование s1U1 в НУИ-3. Выделение НУИ-3 с плюсом. Выделение НУИ-1 с плюсом.

1.1.2. Стягивание r2. Нейтрализация s2U2. Преобразование s1U1 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с плюсом. Выделение НУИ-1 с плюсом.

1.2. Стягивание r1. Нейтрализация s1U1. Удаление r2. Преобразование s2U2 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с плюсом. Выделение НУИ-1 с минусом.

2. Стягивание R2. Нейтрализация s1U1 и s2U2. Удаление r1. Стягивание r2. Выделение НУИ-1 с плюсом.

Таким образом, определитель схемы на рис. 1.7.2 включает в себя определители производных схем с номерами 1., 1.1., 1.1.1., 1.1.2, 1.2. и 2. Удаление z-ветвей и преобразование ИТУН в НУИ при разложении определителей этих производных схем сопровождается выделением параметров в следующем порядке.

1. R2. 1.1. r1. 1.1.1 r2, s2, s1. 1.1.2. s1. 1.2. r2, s2, –1. 2. r1. Параметры НУИ, выделяемые с плюсом, можно не учитывать в формуле

схемного определителя. Учитывая ранее выделенный параметр R1 и отделяя структурные части формируемого выражения скобками, получаем

∆N = R1 { R2 [r1 (r2s2s1 + s1) – r2s2] + r1}. Заметим, что выражение в фигурных скобках является результатом выкладок, представленных в табл. 1.7.1.

Знаменатель ССФ ∆D находится как определитель схемы, образованной из исходной схемы на рис. 1.7.1 путем стягивания независимого источника напряжения и удаления приемника искомого напряжения (см. табл. 1.4.1). В результате получается схема знаменателя, изображенная на рис. 1.7.3.

∆ =R2 [r1 ( r2 s2s1 + s1) – r2 s2] + r1.

pL U1

U2

r1

r2

pC

s2U2

s U

R2 R1

a c

63

Рис. 1.7.3. Схема знаменателя ССФ для схемы на рис. 1.7.1

Ее можно представить в виде двух подсхем, как показано на этом рисунке, и применить формулу (1.3.4), поскольку первая (левая) и вторая (правая) подсхемы не имеют одна с другой управляющих связей. Очевидно, параметры первой подсхемы ∆1=pL+R1 и ∆1(a,b)=pLR1.

При раскрытии ∆2 следует учесть, что удаление R2 влечет вырождение второй подсхемы вследствие последовательного соединения приемников U1 и U2. Стягивание R2 приводит к нейтрализации ИТУН s2U2 путем удаления его генератора и приемника, а также преобразованию ИТУН s1U1 в проводимость с параметром –s (см. рис. 1.2.1). Выделяя –s по формуле (1.3.2), получаем ∆2 = –s1r1 (pС r2 +1) + (r1+r2)pС+1.

Для раскрытия ∆2(a,b) также используем формулу (1.3.4), выделив параллельное соединение элементов r1 и R2 (отнеся приемник U2 к правой подсхеме). Присвоим левой и правой подсхемам соответствующей ∆2(a,b) производной схемы номера 3 и 4. Параметры третьей подсхемы: ∆3=r1+R2 и ∆3(c,d) = r1 R2. Параметры четвертой подсхемы: ∆4 = pC(s2r2 + 1) и ∆4(c,d)= pCr2 + 1.

Отсюда получаем ∆D = (pL+R1) [r1 R2 pC(s2r2 + 1) + (r1+R2)(pCr2 + 1)] + + pLR1 [–s1r1 (pС r2 +1) + (r1+r2)pС+1] .

Предложенное выше решение является весьма экономным, поскольку все

выкладки проводятся на основе рисунков только двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя. Построения вспомогательных производных схем можно избежать, как в рассматриваемом случае, при анализе не слишком сложных ЛЭЦ, мысленно выполняя необходимые схемные преобразования. Наличие в схеме УИ, отличных от ИТУН, не делает решение задачи формирования ССФ более сложным.

1.7.2. Анализ yz-схемы с ИТУТ и ИНУН Сформируем ССФ коэффициента передачи по напряжению U/E = ∆N/∆D

для схемы замещения операционного преобразователя на базе ИТУТ и ИНУН [6], изображенной на рис. 1.7.4. Для краткости опустим подробные пояснения к расчету, которые были даны в подразделе 1.7.1. На рис. 1.7.5 представлена схема, образованная из схемы числителя искомой ССФ (см. табл. 1.4.1) в результате стягивания ветви pC, удаления ветви pL и стягивания ветви r2. В

64

соответствии с табл. 1.2.2 определитель этой схемы, умноженный на коэффициент p2CL, является искомым числителем.

Рис. 1.7.4. Схема замещения операционного преобразователя

Рис. 1.7.5. Схема числителя ССФ для схемы на рис. 1.7.4 Разложение определителя схемы на рис. 1.7.5 выполняется в следующем

порядке: 1. Удаление R2. 1.1. Удаление R1. Нейтрализация β1I1. Преобразование k2U2 в НУИ-2.

Выделение НУИ-1 с плюсом. Выделение НУИ-2 с минусом. Стягивание r1. 1.2. Стягивание R1. Преобразование β1I1 в НУИ-2. Удаление r1. 1.2.1. Преобразование k2U2 в НУИ-3. Выделение НУИ-3 с плюсом.

Выделение НУИ-2 с плюсом. Выделение НУИ-1 с плюсом. 1.2.2. Нейтрализация k2U2 . Выделение НУИ-1 с минусом. Выделение

НУИ-2 с минусом. 2. Стягивание R2. Нейтрализация β1I1 и k2U2 . Удаление r1 и R1. Выделение

НУИ-1 с плюсом. Отсюда с учетом множителя p2CL получаем ∆N = p2CL { R2 [ –R1k2 + β1r1 (k2 + 1) ] + r1R1 } . Знаменатель ССФ находится как определитель схемы, изображенной на

рис. 1.7.6.

U(p)

U2 r2

r1

pL k2U2

β1I1

R2

I1

pC R1

E(p)

U2

r1

k2U2

β1I1

R2

I1

R1

1 1

U2

r1

r2+pL

k2U2

β1I1

R2

I

pC

R1

65

Рис. 1.7.6. Схема знаменателя ССФ для схемы на рис. 1.7.4

Разложение определителя этой схемы выполняется следующим образом: 1. Удаление r2+pL. Нейтрализация k2U2 . 1.1. Удаление R2. Стягивание r1. Нейтрализация β1I1. Отсюда ∆1=pCR1 +1. 1.2. Стягивание R2. Используя формулу (1.3.4), получаем

∆2= (pCr1+1)R1+r1(1–β1). 2. Стягивание r2+pL. Удаление r1. Нейтрализация β1I1. По формуле (1.3.4)

∆3 = (pCR1 + 1) R2 (k2 + 1) + R1 . Итак,

∆D = (r2+pL) (R2 ∆1 + ∆2) + r1 ∆3 . Убедитесь самостоятельно, что сформированная ССФ ∆N/∆D эквивалентна

ССФ, полученной в пункте 1.7.1 при взаимной замене элементов pC и pL, а также выполнении условий β1=s1R1 и k2=s2r2. Теперь рассмотрим случай, когда параметр k2 имеет бесконечно большое значение, то есть в схему вместо ИНУН включается идеальный ОУ. Для этого достаточно на схеме рис. 1.7.4 преобразовать k2U2 в НУИ–2, что повлечет удаление R2. Поэтому изображение этого элемента на рис. 1.7.5 и 1.7.6 не будем принимать во внимание.

Разложение определителя модифицированной схемы на рис. 1.7.5 выполняется в следующем порядке.

1. Выделение НУИ–2 с плюсом. 1.1. Преобразование β1I1 в НУИ–3. Удаление r1. Выделение НУИ–3 с

плюсом. Стягивание R1. Выделение НУИ–1 с плюсом. 1.2. Нейтрализация β1I1. Стягивание r1. Удаление R1. Выделение НУИ–1 с

минусом. Отсюда с учетом множителя p2CL получаем

∆N = p2CL (β1r1 – R1) . Для нахождения знаменателя ССФ используется модифицированная схема

на рис. 1.7.6, в которой, кроме удаления R2, стягивается r2+pL, удаляется r1 и нейтрализуется β1I1. После выделения НУИ–2 с плюсом определитель этой схемы равен pCR1+1. Таким образом,

∆D = r1 (pCR1 + 1) . Сформированная ССФ ∆N/∆D эквивалентна полученной выше при условии

k2 → ∞. Достоинством такой методики учета бесконечно больших значений параметров является то, что перед анализом схемы выполняется ее упрощение

66

согласно табл. 1.2.2, исходя из физических соображений. В рассмотренном примере такими упрощениями являются преобразование ИНУН в НУИ и удаление элемента R2. Заметим, что этот элемент удаляется без выделения в формулу схемного определителя, поскольку модифицированная таким образом схема используется далее при построении схемы и числителя, и знаменателя.

МСО эффективен не только при символьном анализе конкретных схем, но и при формировании САВ для нахождения внешних параметров многополюсника, которые задают его в виде «черного ящика» [55]. Это иллюстрируется в следующем подразделе на примере теории четырехполюсников.

1.8. СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ЦЕПНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Цепные (А и В) параметры проходных четырехполюсников нашли широкое применение при анализе фильтров, трансформаторов, длинных линий, усилителей и других устройств, использующих каскадное соединение составных частей [38]. Поскольку в настоящее время все чаще используются аналитические методы исследования цепей [3, 10], то представляет интерес определение цепных параметров в символьной форме.

Рассмотрим с этой целью МСО, позволяющий путем эквивалентных преобразований исходных САВ получить символьные выражения для шести известных схемных функций – это входное сопротивление и проводимость, передаточные сопротивление и проводимость, коэффициенты передачи напряжения и тока.

Однако использовать непосредственно САВ из табл. 1.4.1 для определения цепных параметров четырехполюсника не удается. Убедимся в этом. Запишем сначала уравнение четырехполюсника

=

2

2

2221

1211

1

1

IU

AAAA

IU

. (1.8.1)

Для определения A-параметров используем обычно применяемый метод холостого хода и короткого замыкания [38]. В этом случае параметр A11 находится по формуле A11=U1/U2 (1.8.2) при I2=0, то есть при разомкнутой второй стороне четырехполюсника. Соответствующее САВ (см. табл. 1.4.1) предполагает в соответствии с (1.8.2) подключение ко второй стороне четырехполюсника источника ЭДС E2, что невозможно. Аналогичные противоречия возникают и при рассмотрении других элементов матриц A и B. В связи с этим представляет интерес задача получения САВ для непосредственного нахождения элементов указанных матриц в символьной форме.

67

Обсудим ограничения, которые налагаются при определении элемента A11. Уже было отмечено, что вторая сторона четырехполюсника должна быть разомкнута. К первой стороне может быть подключен источник ЭДС E1=U1 или источник тока J1. Результаты расчета должны быть одинаковыми. Исследуем сначала первый вариант схемы, который изображен на рис. 1.8.1,а.

Рис. 1.8.1. Исследование четырехполюсника

Запишем САВ для коэффициента передачи четырехполюсника от первой

стороны (от источника) ко второй разомкнутой (на холостом ходу) стороне == 1

212

2121 / EUK xExE

Верхним индексом у переменных и схемных функций будем отмечать состояние сторон: «х» – холостой ход, «к» – короткое замыкание, «E» – подключение ЭДС, «J» – подключение источника тока. Искомый параметр A11 найдем по формуле (1.8.2) с учетом, что U1=E1, а xUU 2

22 = . Используя для этого выражение (1.8.3), получаем

=== xx KUEA 2

2122111 /1/

Рассмотрим второй вариант определения параметра А11. Для этого

подключим к первой стороне четырехполюсника источник тока J1 (см. рис. 1.8.1,б),а вторую сторону разомкнем. Запишем параметр в соответствии с (1.8.2) и схемой на рис. 1.8.1,б

.2111

2121

121

11

121

2121

2

211

11 xJ

xJ

xJ

xJ

xJ

xJ

ZZ

JZJZ

UUA === (1.8.5)

В соответствии с табл. 1.4.1 учтем в (1.8.5) САВ для передаточного xJZ 2121 и

входного xJZ 2111 сопротивлений. Сокращая одинаковые знаменатели этих

схемных функций, приходим к выражению (1.8.4). Таким образом, рассмотренные два варианта вывода параметра А11 дают один и тот же результат.

Найдем САВ для следующего элемента матрицы А. Параметр A12=U1/I2 (1.8.6)

(1.8.3).

(1.8.4).

U1

I1 I2

U22x E1 U1

1J2x

I1

J1

I2

U21J2x

a б

68

при U2=0, то есть при замкнутой второй стороне четырехполюсника. Здесь также не может быть непосредственно использовано схемное уравнение для передаточного сопротивления, поскольку ко второй стороне не может быть подключен источник тока. Вторая сторона должна быть замкнута, а к первой стороне может быть подключен или источник ЭДС Е1, или источник тока J1, как показано на рис. 1.8.2,а,б, поскольку уравнением (1.8.1) не предъявляется к первой стороне каких-либо требований.

Рис. 1.8.2. К определению А-параметров четырехполюсника

Для схемы на рис. 1.8.2,а параметр

.1

1

212

212

121

2

211

12

−

===

EI

IE

IUA

kE

kEkE

kE

(1.8.7)

Выражение в скобках (1.8.7) представляет собой (см. табл. 1.4.1) передаточную проводимость от первой ко второй стороне четырехполюсника кEY 21

21 и, следовательно, параметр == кEYA 21

2112 /1 Для схемы на рис. 1.8.2,б получается то же самое выражение А12.

Вывод САФ для А21 и А22 выполняется аналогично САФ (1.8.4) и (1.8.8) с помощью схем на рис. 1.8.1 и 1.8.2 соответственно. У всех полученных элементов матрицы А одинаковый знаменатель, поэтому ее можно представить компактно в следующем виде

Аналогичным образом находятся параметры матрицы В=A–1. Здесь

запишем лишь результат. Схемно-алгебраическая матрица

U11Е2кE1

I21J2к

a б

I21E2к

J1

(1.8.8).

1 А = . (1.8.9)

69

Таким образом, предложенные САФ (1.8.9) и (1.8.10) позволяют

формировать символьные выражения для цепных параметров проходных четырехполюсников.

1.9. АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Схемный определитель тождественно равен нулю в случае вырожденной

схемы. Поэтому перед выделением параметров выполняется проверка наличия простейших признаков вырождения (см. табл. 1.2.2). Убедившись в невырожденности схемы, следует исследовать ее на возможность проведения эквивалентных упрощений путем: 1) объединения параллельно (последовательно) включенных y-ветвей и ИТУН (z-ветвей и ИНУТ); 2) преобразования вырожденных ИТУН и ИНУТ в y-ветви и z-ветви; 3) придания элементу статуса НУИ, то есть преобразования в НУИ, стягивания или удаления согласно табл. 1.2.2.

Проверка на вырожденность и эквивалентные упрощения безусловно выполняются для всех схем и подсхем, полученных в результате преобразований исходной схемы. Поэтому эти важные операции, приводящие к существенной экономии выкладок, предусматриваются на каждом шаге алгоритма формирования схемного определителя. Рекомендуемый алгоритм заключается в повторном исполнении следующих шагов для исходной схемы, а также производных от нее схем и подсхем [52, 54]:

1. Выделение параметров z- и y-ветвей согласно табл. 1.2.2 (частные случаи формул (1.3.1) и (1.3.2)).

2. Выделение параметров УИ согласно табл. 1.2.2 (частные случаи формулы (1.6.1)). В случае преобразования УИ в НУИ параметр УИ переходит в качестве сомножителя в формулу схемного определителя, а УИ на схеме замещается НУИ, параметр которого равен единице.

3. Выделение по формуле (1.3.3) определителей подсхем, имеющих с оставшейся частью схемы – второй подсхемой единственный общий узел.

4. Выделение по формуле (1.3.4) параметра подсхемы, имеющей с оставшейся частью схемы – второй подсхемой – два общих узла. Вторая подсхема при этом является вырожденной или становится вырожденной в случае объединения внешних узлов.

1 В = . (1.8.10)

70

5. Выделение параметров НУИ в соответствии со схемными выражениями на рис. 1.6.4 – 1.6.7 и их частными случаями (параллельно или последовательно соединенные ГНУИ и ПНУИ).

6. Применение формулы (1.3.4) в общем случае. Здесь рассматриваются возможности деления схемы на подсхемы по двум узлам. Предпочтение отдается варианту деления, при котором подсхемы имеют приблизительно одинаковую сложность. Не допускается размещение одноименных генератора и приемника в различных подсхемах.

7. Выделение параметров пассивных элементов (по формулам (1.3.1) и (1.3.2)) и УИ (по формуле (1.6.1)). Предпочтение отдается тому элементу, нейтрализация которого приводит к нейтрализации или преобразованию в НУИ наибольшего числа элементов.

В результате работы алгоритма формируется вложенное выражение схемного определителя или обнаруживается вырожденность схемы. Изменяя взаимно порядок следования шагов 6 и 7, можно получить выражение с первоочередным выделением параметров выбранных элементов. Таким образом, удается управлять процессом формирования ССФ, что полезно, например, в случае нахождения функций чувствительности к изменениям заданных параметров. Этот вопрос более подробно будет рассмотрен в следующем подразделе.

1.10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Приращения переменных в электрических цепях находятся на основе

теоремы вариации параметров. Теорема вариации параметров пассивных элементов для взаимных цепей была сформулирована К. М. Поливановым [14, 41] в виде аналитических формул, которые содержат собственные и взаимные проводимости ветвей и представляют собой выражения в явной форме для приращений искомых токов в зависимости от вариации сопротивлений ветвей. Э. В. Зеляхом [14] были расширены возможности этой теоремы путем разработки формул для приращений токов в зависимости от вариации параметров пассивных элементов в невзаимных электрических цепях. Запишем одну из таких формул. Приращение тока произвольной k-й ветви [14]

∆Ik= –ΣYki Ei= –ΣYki Iio ∆Zi , (1.10.1) где Yki – собственные и взаимные проводимости короткого замыкания ветвей k и i для цепи, учитывающей вариации сопротивлений ∆Zi; Iio – ток i-й ветви в исходной цепи. Суммирование производится по i от 1 до n, где n – число ветвей, сопротивления которых варьируются.

71

Теорема вариации используется и для расчета приращений переменных в электронных цепях при изменении параметров УИ в методах схем в приращениях и присоединенной схемы. Эти методы применяются для анализа цепей при бесконечно малых приращениях параметров для численного определения чувствительностей переменных и функций [42, 55].

В данном подразделе рассмотрим анализ цепей при произвольных приращениях параметров. Такая задача возникает при параметрическом синтезе электронных цепей. Обсудим формирование символьных выражений для приращений токов и напряжений, поскольку аналитические выражения дают возможность исследовать общие свойства цепей, доступны большинству специалистов и позволяют сравнивать результаты для различных схем в любом диапазоне параметров. В этом смысле эффективным является использование ССФ по образцу (1.10.1). Выведем на основе ССФ формулы вида (1.10.1) для вариации параметров управляемых источников. На базе этих выражений будут предложены САВ, позволяющие получить с помощью последовательных преобразований явные символьные выражения для приращений исследуемых переменных и схемных функций в зависимости от параметров УИ и их вариаций.

Для решения поставленной задачи возьмем, например, ИНУН. Произвольную исходную схему цепи приведем к четырехстороннему многополюснику Ми и представим ее на рис.1.10.1,а. К i-й стороне Ми подключим независимый источник ЭДС Ei, j-ю сторону замкнем накоротко. К полюсу j’ внутри многополюсника Ми подсоединим генератор ИНУН EK = KUl. Управляющую ветвь ИНУН выделим в виде разомкнутой l-й стороны Ми. На n-й разомкнутой стороне будем снимать искомое напряжение.

Для вывода искомых формул воспользуемся теоремой о компенсации приращений параметров. Эта теорема сформулирована и доказана [14] для сопротивлений (проводимостей) двухполюсников. Теорема используется и при моделировании УИ в упомянутом методе схем в приращениях и методе присоединенной схемы [55]. Представим ее и докажем для ИНУН. Отметим, что доказательство необходимо не только для подтверждения достоверности результатов, но и для получения искомых формул. В процессе доказательства будут выведены базовые формулы для приращения напряжений в зависимости от вариации параметра ИНУН. Эти формулы содержат схемные функции исходной схемы и производной схемы в приращениях.

Теорема 1.10.1. Если параметр K ИНУН EK=KUl (см. рис.1.10.1,а) получил приращение ∆K, то это вызовет в схеме (см. рис. 1.10.1,б) приращения токов (∆Ii и др.) и напряжений (∆Un и др.), соответственно равные токам и напряжениям, которые вызвал бы в схеме независимый источник напряжения величиной Ej=∆KUl (рис. 1.10.1,в). Здесь и далее подчеркиванием выделяются комплексные действующие значения напряжений и токов.

72

Рис. 1.10.1. К вариации параметра ИНУН

Покажем непосредственно, что приращения напряжения ∆Un произвольной

n-й стороны многополюсников Ми и Мп в схемах на рис. 1.10.1,б,в равны. Запишем для исходной схемы на рис. 1.10.1,а напряжение

Un=Kni

iejк(Mи)Ei, (1.10.2) где Kni

iejк(Mи) – коэффициент передачи напряжения от i-й к n-й стороне многополюсника Mи (информация об этом отражена в нижнем индексе функции) при подключенном источнике ЭДС (обозначен в верхнем индексе символом «e») к i-й стороне Ми, короткозамкнутой (отражена символом «к») j-й стороне и разомкнутых l-й и n-й сторонах (данные о состоянии сторон l и n в верхнем индексе функции не указываются, поскольку они здесь и далее разомкнуты). Сформируем по схеме на рис.1.10.1,б выражение для напряжения Un+∆Un =Kni

iejк(Mп) Ei, (1.10.3) где Kni

iejк(Mи) – коэффициент передачи многополюсника Мп, аналогичный коэффициенту для Mи в (1.10.2). Из (1.10.2) и (1.10.3) найдем для схемы на рис.1.10.1,б приращение напряжения ∆Un=[Kni

iejк(Mп) – Kniiejк(Mи)] Ei . (1.10.4)

Запишем теперь для схемы на рис. 1.10.1,в формулу для того же

приращения напряжения ∆Un = Knj

iкje(Mп) Ej = Knjiкje(Mп) ∆K Ul, (1.10.5)

где Knj

iкje(Mп) – коэффициент передачи напряжения от j-й к n-й стороне Мп. Найдем из схемы на рис. 1.10.1,а напряжение Ul и подставим его в (1.10.5). В результате получим для схемы на рис. 1.10.1,в искомое приращение напряжения ∆Un =Knj

iкje(Mп) ∆K Kliiejк(Mи) Ei. (1.10.6)

где Kli

iejк(Mи) – коэффициент передачи напряжения от i-й к l-й стороне.

73

Для подтверждения, что приращения ∆Un в схемах на рис. 1.10.1,б,в одинаковы, приравняем правые части уравнений (1.10.4) и (1.10.6) и докажем полученное тождество

Kni

iejк(Mп)–Kniiejк(Mи) = Knj

iкje(Mп) ∆K Kliiejк(Mи). (1.10.7)

Запишем в виде САВ правую часть (1.10.7)

где | * | – схемные определители, в которых схемы знаменателей получены из соответствующих многополюсников на рис. 1.10.1,а,в путем нейтрализации источников ЭДС и приемника напряжения, а схемы числителей – в результате замены источника ЭДС (приемника напряжения) генератором (приемником) НУИ. Нумерация сторон многополюсников Mп и Mи в (1.10.8) не показана, поскольку она осталась такой же, что и на рис. 1.10.1. Поменяем местами в (1.10.8) знаменатели первой и второй дробей. Полученная первая дробь соответствует (см. табл. 1.4.1) коэффициенту передачи напряжения Knj

iкje(Mи), так как при данном подключении генератора НУИ многополюсник Mп в числителе эквивалентен Mи. Вторая дробь, умноженная на ∆K, представляет собой коэффициент передачи напряжения Kji

iej∆k(Mи) от i-й к j-й стороне многополюсника Mи при подключенном к j-й стороне генераторе ИНУН с параметром ∆K. В этом можно убедиться, если представить упомянутый коэффициент в схемно-алгебраическом виде и преобразовать его с использованием операций выделения параметра ИНУН, взаимной замены номеров у ПНУИ и стягивания параллельного соединения одноименных ГНУИ и ПНУИ.

Таким образом, тождество (1.10.7), которое требуется доказать, эквивалентно выражению

Kni

iejк(Mп)–Kniiejк(Mи)= Knj

iкje(Mи) Kjiiej∆k(Mи). (1.10.9)

Это выражение может быть получено на основе теоремы компенсации для произвольной ветви электрической цепи [38, 43]. Для вывода (1.10.9) представим на рис. 1.10.2,а многополюсник Ми, у которого к i-й стороне подключен источник ЭДС Ei, а к j-й стороне подсоединен генератор ИНУН. По упомянутой теореме компенсации заменим ветвь с генератором ИНУН независимым источником ЭДС Ej=∆KUl. Полученную эквивалентную схему поместим на рис. 1.10.2,б.

Запишем для схемы на рис. 1.10.2,а выражение напряжения

Un=Kniiej∆k(Mи) Ei, (1.10.10)

(1.10.8)

74

где Kni

iej∆k(Mи) – коэффициент передачи напряжения от i-й к n-й стороне многополюсника Mи. Найдем по той же схеме напряжение Uj=Kji

iej∆k(Mи) Ei, (1.10.11) где Kji

iej∆k(Mи) – коэффициент передачи напряжения многополюсника Ми.

Рис. 1.10.2. К доказательству тождества 1.10.7

Используя принцип наложения, запишем теперь для схемы на рис.

1.10.2,б напряжение

Un=Kniiejк(Mи) Ei + Knj

iкje(Mи) Ej , (1.10.12) где Kni

iejк(Mи), Knjiкje(Mи) – соответствующие коэффициенты передачи

напряжения для многополюсника Ми. Учитывая, что по теореме компенсации Ej= Uj , подставим (1.10.11) в (1.10.12) , в результате получим Un=Kni

iejк(Mи) Ei + Knjiкje(Mи) Kji

iej∆k(Mи) Ei . (1.10.13) В соответствии с теоремой компенсации ветви [38] левые части уравнений (1.10.10) и (1.10.13) равны, откуда Kni

iej∆k(Mи) =Kniiejк(Mи) + Knj

iкje(Mи) Kjiiej∆k(Mи). (1.10.14)

Тождество (1.10.14) эквивалентно (1.10.9), поскольку коэффициент передачи многополюсника Mп с короткозамкнутой j-й стороной равен коэффициенту передачи Mи с подключенным к j-й стороне генератором ИНУН. Так как выполняется тождество (1.10.9), то и справедливо эквивалентное ему тождество (1.10.7), а, следовательно, равны приращения ∆Un в схемах на рис.1.10.1,б,в. Что и требовалось доказать.

На основании формул (1.10.6 – 1.10.9) получим приращение коэффициента передачи схемы

∆Kni

iejк = Knjikje(Mп) ∆K Kli

iejk(Mи) (1.10.15)

75

или

∆Kniiejк =Knj

iкje(Mи) Kjiiej∆k(Mи). (1.10.16)

Последняя формула характерна тем, что в ней используются функции только исходной схемы.

Если требуется учесть вариацию параметров нескольких УИ, то необходимо использовать принцип суперпозиции. Так, формула (1.10.16) в этом случае будет иметь вид

∆Kni

iejк =ΣKnjiкje(Mи) Kji

iej∆k(Mи), (1.10.17) где суммирование проводится по всем номерам генераторов и приемников ИНУН, параметры которых варьируются. При наличии других элементов, кроме ИНУН, параметры которых изменяются, приращение коэффициента находится также с помощью принципа суперпозиции и формул аналогичных (1.10.1), (1.10.15) или (1.10.16).

Используя выражения (1.10.2), (1.10.6), (1.10.8), запишем САВ для относительного приращения коэффициента передачи напряжения

Выражение (1.10.18) позволяет получить с помощью последовательного применения схемно-алгебраических операций символьные выражения для относительного приращения коэффициента передачи напряжения.

Таким образом, предложенные алгебраические и схемно-алгебраические выражения, позволяют найти приращения схемных функций ЛЭЦ при произвольной вариации параметров ИНУН. Для других типов УИ формулы (1.10.15) – (1.10.18) могут быть получены аналогично.

1.11. О ВЗАИМОСВЯЗИ СХЕМНОГО И МАТРИЧНОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

В ходе обсуждения схемного подхода к анализу ЛЭЦ, изложенного в

предыдущих разделах пособия, нередко возникают споры о целесообразности использования понятия определителя схемы или схемного определителя. При этом понятие «определитель схемы» воспринимается как вольное и краткое именование определителя матрицы узловых проводимостей или какой-либо другой матрицы электрической схемы. Ниже приводятся дополнительные доводы в пользу утвердительного ответа на вопрос о придании понятиям «схемный определитель» и «схемный минор» терминологического статуса.

(1.10.18)

76

Начала теории определителей, истоки которой восходят к работе Готфрида Лейбница 1693 года [2], содержат некоторое методическое противоречие. С одной стороны, определитель матрицы в виде суммы отдельных слагаемых можно найти без использования порядковой нумерации строк и столбцов, применив для этого, например, буквенные обозначения. С другой стороны, желая получить компактное (вложенное) выражение определителя с помощью разложения Лапласа по строке (столбцу) или нескольким строкам (столбцам), приходится использовать понятие алгебраического дополнения, которое отличается от соответствующего минора матрицы знаком, учитывающим порядковые номера строк и столбцов [2, 41].

Для матриц высокой размерности индуктивное построение определителя оказывается предпочтительным или единственно возможным. Разложение определителя матрицы A по некоторому элементу aij (выделение элемента aij) имеет вид ∆ = (–1)i+j aij∆ij + ∆(aij=0), (1.11.1)

где ∆ij – минор, то есть определитель матрицы, образованной из матрицы A путем вычеркивания строки i и столбца j; ∆(aij=0) – определитель матрицы, полученной из матрицы A в результате удаления элемента aij . Формула (1.11.1) применяется к определителям ∆ij и ∆(aij=0) рекурсивно до получения матриц первого порядка и вырожденных матриц.

Теорема Лапласа в ее общем или специальных случаях довольно широко используется при аналитическом решении систем линейных алгебраических уравнений и формировании ССФ ЛЭЦ[1, 41, 78]. При этом нахождение знака требует существенной доли в затратах времени на разложение определителей. Это связано не только и не сколько с наличием дополнительных операций сложения, а прежде всего, с необходимостью перенумерации строк и столбцов в результате выделения элементов матриц.

Алгебраическое правило нахождения знака (см. формулу (1.11.1)), возможно, обладает наглядностью при раскрытии определителей вручную. Однако в случае матриц высокой размерности, которые имеют, как правило, высокую разреженность, приходится использовать их списочное кодирование, задавая списками-множествами только ненулевые элементы. Соответствующие методы опираются на графовые (топологические) представления и широко используются в настоящее время при численном решении систем уравнений [37]. Таким образом, современные технологии решения систем уравнений фактически отрицают понятие матрицы как таблицы элементов.

При разложении определителя матрицы в символьном (буквенном) виде также желательно ее представление в виде топологического объекта, в котором номера строк и столбцов служат лишь для указания расположения элементов и не должны непосредственно использоваться для вычисления знаков.

Пусть матрица задается списком P ее ненулевых элементов. В каждом элементе списка pk , кроме буквенного обозначения или численного значения

77

соответствующего элемента матрицы, содержатся его координаты – номера строки и столбца. Введем функцию совпадения sim(i,j), равную 1 при i=j и –1 при i≠j. Тогда определитель матрицы A раскрывается рекурсивно по формуле

∆ = sim(i,j) aij∆ij(i→j) + ∆(aij=0), (1.11.2)

где ∆ij(i→j) – определитель матрицы, которая задана списком, образованным из списка матрицы A в результате следующих преобразований: 1) вычеркивания элементов с номерами строки i и (или) столбца j; 2) замены номера i в списке элементов матрицы на номер j. Если i=j, то второе преобразование не выполняется.

Выражения определителей, полученные на основе формул (1.11.1) и (1.11.2), могут различаться только знаками при некоторых подвыражениях и полностью совпадают при раскрытии скобок. Ниже приведен пример разложения определителя матрицы третьего порядка по формуле (1.11.2). Для наглядности список элементов помещен в матрицу.

Пример 1.

a11 b12 c13 det d21 e22 f23 = sim(1,1) a ∆11(1→1) + sim(1,2) b ∆12(1→2) + g31 h32 i33

+ sim(1,3) c ∆13(1→3) =

= a det e22 f23 – b det d22 f23 – cdet d23 e22 =

h32 i33 g32 i33 g33 h32 = a ( sim(2,2) e i33+ sim(2,3) f h33) – – b ( sim(2,2) d i33+ sim(2,3) f g33) – – c ( sim(2,3) d h33+ sim(2,2) e g33) = = a (e i – f h) – b (d i – f g) – c (–d h + e g). Таким образом, в формуле (1.11.2) операция сложения номеров строки и

столбца заменена операцией сравнения, которая применима не только к цифровым, но и к буквенным, знаковым и т. д. объектам. Затраты на изменение пометок объектов несопоставимо меньше тех, которые требуются при порядковой нумерации строк и столбцов после выделения очередного элемента матрицы по формуле (1.11.1).

Для доказательства формулы (1.11.2) используется то обстоятельство, что матрица порядка n может быть отображена электрической схемой с n2

источниками тока, управляемыми напряжением, которая имеет n+1 узлов. При разложении определителя такой схемы используем метод стягивания и

78

удаления ветвей [52] (см. формулу (1.6.2)). Соответствующая формула применительно к рассматриваемому случаю будет иметь вид

∆ = sim(i,j)Gi0j0∆G + ∆(Gi0j0=0), (1.11.3)

где Gi0j0 – параметр источника тока, направленного от узла i к узлу 0, управляемого напряжением, ориентированным от узла j к узлу 0; ∆G – определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате следующих преобразований: 1) стягивание генератора (приемника) выделяемого управляемого источника таким образом, чтобы генераторы тока (приемники напряжения), которые присоединены к узлу i (узлу j) переключились на узел 0; 2) объединение узлов i и j; ∆(Gi0j0=0) – определитель схемы, образованной из первоначальной схемы путем нейтрализации выделяемого управляемого источника.

Преобразование 1 в формуле (1.11.3) соответствует вычеркиванию строки i и столбца j в матрице A, а преобразование 2 изоморфно замене номеров i→j, что доказывает формулу (1.11.2) и подтверждает эквивалентность вложенных выражений определителей матрицы и отображающей ее схемы, получаемых с помощью формул (1.11.2) и (1.11.3).

Операции со схемой, отображающей матрицу A, изоморфны операциям с полной [41] (неопределенной [55]) матрицей, полученной из матрицы A добавлением базисных (n–1)-й строки и (n–1)-го столбца, содержащих избытки строк и столбцов соответственно

∑=

+ −=n

lklnk aa

11, и .

1,1 ∑

=+ −=

n

lklkn aa

Сумма элементов всех строк, как и столбцов, неопределенной матрицы

равна нулю, а операции над ней в соответствии с формулой (1.11.2) приводят к нахождению ее минора, являющегося искомым определителем.

В приложениях, в частности в теории электрических цепей [41 – 43, 55], обычно имеют дело с неопределенными матрицами общего вида, когда параметры элементов схемы могут быть расположены в четырех позициях матрицы вне базисных строки и столбца. Параметр некоторого элемента дважды входит в соответствующую строку или столбец: один раз с положительным знаком, а другой раз с отрицательным. Сложение этих строк и столбцов влечет исчезновение указанного параметра в производной матрице. Данное обстоятельство по существу учитывается и в формуле (1.11.2), но в качестве второй строки и второго столбца используются базисные строка и столбец, поэтому результат сложения не отображается в самой матрице.

Формула разложения, обобщающая формулу (1.11.2), имеет вид ∆ = sim(i,j) aik,jm∆(i+k)(j+m)(i→j) + ∆(aik,jm=0), (1.11.4)

79

где aik,jm – параметр, входящий в четыре позиции матрицы (два раза с положительным знаком и два раза с отрицательным); ∆(i+k)(j+m)(i→j) – суммарный минор [41], то есть определитель матрицы, образованной из первоначальной матрицы в результате следующих преобразований: 1) добавления строки i к строке k и столбца j к столбцу m; 2) вычеркивания строки i и столбца j; 3) замены номера i на номер j в обозначениях строк и столбцов полученной матрицы.

Можно предложить другой вариант формулы разложения матричных определителей, когда вычисление знака откладывается до последнего уровня вложенности скобочного выражения, как это имеет место в формуле (1.6.1). Чтобы получить формулу, аналогичную формуле (1.6.1), для разложения матричного определителя, введем понятие неудаляемого элемента матрицы.

Появление неудаляемого элемента в позиции (i, j) матрицы на пересечении строки i и столбца j влечет обнуление этих строки и столбца, а также вычеркивание других параметров в позиции (i, j), в которой должен остаться только этот элемент. Численные значения неудаляемых элементов матрицы принимаются равными единице. С учетом сказанного формулы (1.11.1) или (1.11.2) приводятся к виду

∆ = aij∆(aij⇒НЭМ) + ∆(aij=0), (1.11.5)

где ∆( aij⇒НЭМ) – определитель первоначальной матрицы, в которой элементу aij придан статус неудаляемого элемента матрицы.

В результате рекурсивного применения формулы (1.11.5) получаются так называемые элементарные матрицы, соответствующие элементарным активным схемам из НУИ [51] в формуле (1.6.1) и содержащие исключительно неудаляемые элементы. Для вычисления определителя элементарной матрицы, равного 1 или –1, можно использовать либо традиционное алгебраическое правило знаков (установление четности или нечетности числа инверсий в подстановке из номеров строк и столбцов) [1, 2, 37, 41, 55], либо предложенное выше топологическое правило (см. формулу (1.11.2) и пример 1).

Ниже рассмотрено решение предыдущего примера с помощью формулы (1.11.5). Неудаляемые элементы обозначаются номерами соответствующих строки и столбца матрицы.

Пример 2. a11 b12 c13 11 12 13

det d21 e22 f23 = a det e22 f23 + b det d21 f23 + c det d21 e22 = g31 h32 i33 h32 i33 g31 i33 g31 h32 11 11 = a(e det 22 + f det 23 ) + i33 h32

80

12 12 + b (d det 21 + f det 23 ) + i33 g31

13 13 + c (d det 21 + e det 22 ) = h32 g31 11 11 = a (e i det 22 + f h det 23 ) + 33 32 12 12 + b (d i det 21 + f g det 23 ) + 33 31 13 13 + c (dh det 21 + e g det 22 ) = 32 31 = a (e i – f h) + b (–d i + f g) + c (d h – e g).

Как видно, результатом является вложенное выражение, получение которого не потребовало использования, как понятия алгебраического дополнения, так и операции sim. Вместе с тем в процессе разложения пришлось рассмотреть столько элементарных матриц, сколько имеется слагаемых в развернутом выражении определителя.

Таким образом, схемные представления в виде определителей схемы и ее миноров позволяют также дать новую более наглядную и эффективную в компьютерной реализации интерпретацию формулам разложения матричных определителей по частям (метод объединения строк-подсхем и методы схемных миноров в п. 1.3.4.). При этом знак объединения подматриц-подсхем заменяет понятие знака алгебраического дополнения и является порождением двух (а не одного) схемных миноров, что представляется логичным. Вычисление знака и в этих случаях выполняется топологически, что отвечает списочному кодированию элементов матриц [37].

Следует отметить, что понятие «неудаляемый элемент матрицы» оказывается полезным и в случае, когда некоторые коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений принимают бесконечно большие значения. При этом удается избежать предварительного решения с символьным заданием таких коэффициентов и последующего предельного перехода для учета их бесконечно больших значений. Естественно ожидать, что понятие «неудаляемая дуга графа», введенное по аналогии с неудаляемым управляемым источником в схеме и неудаляемым элементом матрицы, также окажется полезным.

1.12. НЕУДАЛЯЕМЫЕ ДУГИ – ОТОБРАЖЕНИЕ НЕУДАЛЯЕМЫХ

81

УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ НА УНИСТОРНОМ ГРАФЕ

Вопросы повышения эффективности и расширения сферы применения компьютерных программ символьного моделирования встречают пристальное внимание специалистов по моделированию электротехнических и радиоэлектронных устройств [65, 78 – 80]. Среди методов, предназначенных для формирования ССФ, важное место отводится методу унисторного (двунаправленного) графа [46, 65]. К числу достоинств этого метода можно отнести относительную простоту его реализации на компьютере и пригодность для генерации компактных вложенных выражений ССФ [50]. Постановка проблемы генерации оптимальных по сложности выражений ССФ приближена к классической проблеме оптимальной свертки или факторизации произвольных алгебраических выражений [63], которая, как известно, принадлежит к NP-трудным задачам. В этой связи компактные формулы ССФ получаются непосредственно, минуя трудоемкое формирование развернутого выражения и не менее сложную последующую его свертку. При этом в случае свертки выражений ССФ имеется возможность резко повысить как эффективность генерации, так и качество генерируемых формул.

Общий алгоритм формирования оптимальных выражений определителей для схем с двухполюсными элементами обсуждался в подразделе 1.9. Такие схемы изоморфны частному виду унисторного графа – ненаправленному графу [43]. Однако для схем с УИ, отображаемых унисторным графом в общем случае, задача формирования оптимальных выражений до сих пор не имеет удовлетворительного решения. В числе причин этого можно назвать избыточность унисторного графа при отображении ИТУН, а также недостаточную эффективность его обобщений на другие типы УИ [47, 65]. Генерацию выражений ССФ, свободных от взаимно уничтожающихся слагаемых, можно обеспечить локализацией подвыражений с параметрами УИ путем первоочередного выделения параметров двухполюсных элементов [46]. Цель этого подраздела – развитие метода обобщенного унисторного графа для эффективной генерации ССФ активных ЛЭЦ в произвольном элементном базисе.

Затраты при непосредственной реализации метода обобщенного унисторного графа пропорциональны 2n , где n – число нерегулярных УИ (то есть УИ, отличных от ИТУН). Однако можно поступить иначе, использовав обобщенный унисторный граф в сочетании с МСО, основу которого составляет формула для выделения параметра χ произвольного УИ (1.6.1).

По существу именно НУИ отображается на обобщенном унисторном графе «унисторо-подобными» дугами (k-, β-, z-унисторами) [47]. Проводя аналогию с НУИ, операции взятия производных по этим дугам можно сопоставить присвоение им статуса неудаляемых. Это означает, что вес одной из дуг, отображающих некоторый нерегулярный УИ, обязательно должен присутствовать в выражении определителя соответствующего графа. Дуги

82

унисторо-подобных элементов назовем неудаляемыми дугами и будем изображать зачерненной стрелкой, чтобы отличать от обычных унисторных дуг. Отображение НУИ с помощью неудаляемых дуг на унисторном графе показано на рис. 1.12.1.

Рис. 1.12.1. Отображение НУИ на унисторном графе Подсоединение к графу (обозначенному на рис. 1.12.1 овалом)

соответствует взятию суммарного алгебраического дополнения ∆(χ⇒НУИ)= ∆(a+b)(c+d) [41]. С математической точки зрения к нахождению суммарных алгебраических дополнений сводятся многие другие задачи теории электрических цепей (получение ССФ, определение чувствительности и т. д.) [42]. По сути дела неудаляемые дуги с весами 1 и –1 были введены для нахождения обычных алгебраических дополнений Б.И.Блажкевичем еще в 1967 году. Ориентация ребер, исходящих из выходной вершины заземленного ОУ, также ни что иное, как запрет на удаление дуг 1 и –1, которые отображают передачу сигнала с неинвертирующего и инвертирующего входов ОУ.

Для иллюстрации предлагаемого алгоритма нахождения САД, который реализован Д.В. Шеиным в программе SYMB, рассмотрим пример получения ∆(a+b)(c+d) y-графа на рис. 1.12.2, а двумя способами: 1) на основе НУИ (см. рис. 1.12.2,б); 2) с помощью неудаляемых дуг (см. рис. 1.12.2,в).

Рис. 1.12.2. Пример нахождения суммарного алгебраического дополнения Граф на рис. 1.12.2,б упрощается в результате удаления ребер 3 и 8,

стягивание которых приводит к замыканию генератора и приемника НУИ, что не допускается по определению НУИ. Аналогично этому на графе рис. 1.12.2,в поочередное стягивание ребер 3 и 8 влечет объединение неудаляемых дуг с противоположным по знаку весом (1 и –1). Это не допускается, поскольку в

a

b

c

d

a

b

c

d χ χ

-χ

-χ

χχ

a

b

c

d 1 2

3 4

5

6 7

8

а б в

a

b

c

d1 2

34

5

67

8

a

b

c

d

1 2

3 4

5

6 7

81 1

-1

-1

a c6 6-1 a c a

83

получаемых при этом графах будет отсутствовать хотя бы одна из неудаляемых дуг (их веса показаны на рис. 1.12.2,в жирным шрифтом). В результате указанных упрощений образуются графы, показанные на рис. 1.12.3,а,б.

Рис. 1.12.3. Преобразования графа с НУИ и графа с НУД Выделим на графах рис. 1.12.3,а,б y-ребро с номером 6 по формуле (1.3.2).

Стягивание этого ребра на графе рис. 1.12.3,а приводит к удалению ребер 4 и 7, как параллельных генератору и приемнику НУИ соответственно. Аналогичная операция на графе рис. 1.12.3,б требует удаления ребер 4 и 7, поскольку их поочередное стягивание привело бы к удалению из графа всех НУД, что не допускается по их определению. Производные от графов на рис. 1.12.3,а,б графы, полученные в результате стягивания ребра 6, показаны на рис. 1.12.3,в,г соответственно. Очевидно, определители этих графов равны y1(y2+y5)+y2y5.

В результате удаления ребра 6 образуются графы, показанные на рис. 1.12.4,а,б. Рассмотрение этих графов показывает, что ребра 4 и 7 в них требуют безусловного стягивания. Так, на рис. 1.12.4,а удаление любого из них влечет получение вырожденного графа (∆=0). На рис. 1.12.4,б граф вырождается вследствие образования вершины, в которую заходят НУД с противоположным знаками (при удалении ребра 7) или вершины, из которой дуги только выходят (при удалении ребра 4). Таким образом, из графов на рис. 1.12.4,а,б получаются графы, представленные на рис. 1.12.4,в,г соответственно.

Рис. 1.12.4. Преобразования графа с НУИ и графа с НУД

Ребро 5 на рис. 1.12.4,в подлежит удалению, как параллельное генератору

(приемнику) НУИ. Аналогично этому ребро 5 на рис. 1.12.4,г удаляется, как параллельное каждой из оставшихся НУД. Отсюда получается, что определители графов на рис. 1.12.4,а,б равны –y4y7(y1+y2). Следовательно, искомое САД ∆(a+b)(c+d) = y6[y1(y2+y5)+y2y5] – y4y7(y1+y2).

а

a

b

c

d 1 2

4 5

7

б

a

b

c

d

1 2

4 5

7 1 1

-1

-1

в

abc

d1 25

г

ab c d

1 25

-1

-1

84

Таким образом, использование взаимно однозначного соответствия между свойствами НУИ и НУД позволяет усовершенствовать метод унисторного графа путем его обобщения на все типы линейных элементов и решить задачу получения безызбыточных выражений ССФ.

Итак, понятия определителя схемы и ее минора имеют самостоятельное значение в теории электрических цепей. Схемные представления не только не повторяют матричный или графовый язык, но и позволяют видоизменить или усовершенствовать некоторые соотношения для матричных и графовых определителей. Индуктивное построение схемного определителя в соответствии с формулой (1.6.1) начинается с того, что называются определители простейших схем в виде висячих ветвей и петель, которые выведены из закона Ома. Схемный определитель в отличие от матричного определителя принципиально не содержит взаимно уничтожающихся слагаемых, которые порождаются расположением параметра элемента схемы в четырех позициях матрицы с разными знаками, что требует использования специальных формул (см. формулу (1.11.4)). Весьма важно в приложениях и то, что схемный определитель инвариантен к способу задания параметров схемы и для его формирования достаточно списка элементов схемы. В то же время способ задания параметров влияет на выбор матрицы схемы, соответствующих правил ее построения и формул разложения определителя.

«Ахиллесовой пятой» известных символьных методов анализа ЛЭЦ является наличие нескольких источников воздействия, что требует нахождения ССФ от каждого из независимых источников к искомому отклику. В следующем разделе предлагается неявный принцип наложения, позволяющий свести нахождение откликов тока или напряжения в схеме с произвольным числом независимых источников к разложению определителей всего двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя.

85

2. НЕЯВНЫЙ ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

2.1. ПОНЯТИЕ О ПРИНЦИПЕ НАЛОЖЕНИЯ

Наиболее кратко ток или напряжение j-й ветви ЛЭЦ записывается через

матричное решение методом Крамера [2, 41] системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа,

,∆∆

= jjO (2.1.1)

где Oj – символьное выражение отклика (СВО); ∆ – определитель матрицы параметров системы уравнений; ∆j – определитель матрицы параметров, в которой j-й столбец заменен на матрицу-столбец правой части системы уравнений. Далее, для краткости, будем называть матрицы, определители которых равны соответственно ∆ и ∆j, матрицей знаменателя и матрицей числителя соответственно. В частном случае, когда выполняется разложение определителя матрицы числителя по элементам j-го столбца, СВО получается в виде

∑=

=n

iijij xFO

1, (2.1.2)

где i, j – номера ветвей, содержащих источники воздействия и приемники откликов соответственно; xi – напряжение или ток соответствующего источника воздействия с номером i; Fji – схемная (передаточная от ветви i к ветви j) функция; n – число независимых источников в схеме. Переменные Oj, Fji, xi представлены в комплексной или операторной форме для анализа цепи в установившемся гармоническом или переходном режимах соответственно.

Выражение (2.1.2) является классической формулировкой принципа наложения, который положен в основу анализа не только ЛЭЦ с несколькими источниками воздействия, но и произвольных линейных систем [1]. Представление ЛЭЦ цепи в виде многополюсника, заданного схемными функциями, оказалось столь плодотворным, что применение общего выражения (2.1.1) и любые другие способы разложения определителя матрицы числителя не получили широкого распространения.

В соответствии с формулой (2.1.2) общая реакция схемы на приемнике напряжения или тока находится путем вычисления реакций каждого отдельно взятого источника и последующего алгебраического суммирования этих реакций. При этом источники, не участвующие в порождении некоторого отклика, исключаются из схемы в соответствии с их физическими свойствами, то есть источники напряжения стягиваются, а источники тока удаляются.

На рис. 2.1.1 представлена y-схема с тремя независимыми источниками напряжения [54] и САВ для нахождения искомого СВО. Отсюда получаем U=(E1G1+E2G2+E3G3)/(G1+G2+G3).

86

Рис. 2.1.1. Анализ схемы с тремя источниками напряжения

Схема, дуальная схеме на рис. 2.1.1, [54] и соответствующее САВ представлены на рис. 2.1.2. Из САВ непосредственно следует решение: I=(J1R1+J2R2+J3R3)/(R1+R2+R3).

Рис. 2.1.2. Анализ схемы с тремя источниками тока В выражении (2.1.2) слагаемые числителя (знаменатель у всех ССФ

общий) сгруппированы при параметрах независимых источников, то есть явно. Учитывая это, далее принцип наложения в формулировке (2.1.2) будем называть явным. Однако еще Кирхгоф в своем (исторически первом) топологическом методе [20] применял группировку слагаемых числителя ∆j

U =

G1 G2 G3

E1 E2 E3

U

E1 * E2 * E3 * G1 G2 G3 G1 G2 G3 G1 G2 G3

G1 G2 G3

+ +

J1 J2 J3

R1 R2 R3 I

I = J1 * R1 R2 R3 J2 * R1 R2 R3 J3

R1 R2 R3

R1 R2 R3

+ +

87относительно произведений сопротивлений схемы, соответствующих ее деревьям. При этом параметры независимых источников появлялись в формируемом СВО многократно, то есть неявно. В матричной интерпретации это соответствует разложению определителя матрицы числителя (2.1.1) по элементам, выбираемым произвольно. Недостатком явного принципа наложения является необходимость построения при его использовании n числителей схемных функций, что препятствует формированию компактных и оптимальных по числу вычислительных операций выражений искомых СВО [50].

В [44] предлагается использовать для построения символьного выражения отклика линейных электрических цепей неявный принцип наложения (НПН), который в отличие от традиционного (явного) принципа наложения заключается в замене всех независимых источников, кроме одного – опорного источника, эквивалентными проводимостями или сопротивлениями [30]. Последняя операция трактуется как применение обратной теоремы о компенсации [43]. Недостатком такого подхода является, во-первых, необходимость решения нелинейных уравнений для поиска эквивалентных проводимостей (сопротивлений) и, во-вторых, большая трудоемкость. Например, для схемы с тремя независимыми источниками требуется найти восемь алгебраических дополнений и решить систему из двух квадратных уравнений. В случае многовариантного анализа (оптимизации) указанные операции приходится каждый раз повторять. Ограничения подхода [30] обусловлены тем, что проводимости замещения зависят не только от параметров источников воздействия, но и от параметров других элементов схемы.

Далее в этом подразделе обсуждается развитие НПН для повышения эффективности символьного анализа ЛЭЦ. Прежде всего, следует дать общую формулировку теореме о компенсации, когда вместо независимого источника вводится компенсирующий элемент – источник, который управляется не собственной, как в [44], а другой ветвью – ветвью опорного источника.

2.2. КОМПЕНСАЦИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ НЕЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Классическая теорема компенсации предусматривает замещение

сопротивления независимым источником напряжения, как показано стрелкой на рис. 2.2.1 [43]. В общем случае сопротивление может быть комплексным (импедансом). Обратим внимание на то, что традиционной схеме замещения сопротивления независимым источником с комплексным напряжением E можно сопоставить схему, содержащую, кроме E, идеальный ОУ. Соответствующая схема приведена на рис. 2.2.1 справа. В ней ОУ используется как повторитель напряжения. Эквивалентность последней схемы первым двум вытекает из равенства нулю напряжения на входе идеального ОУ.

88

Рис. 2.2.1. Два способа прямой компенсации сопротивления Исключительно важно, что сопротивление может быть скомпенсировано

источником напряжения, который включен между любой другой парой узлов схемы. Обобщенная прямая теорема о компенсации, когда сопротивление (проводимость) замещается соответствующим источником, управляемым напряжением другой ветви формулируется ниже.

Теорема 2.2.1. Ветвь с сопротивлением Z в произвольной ЛЭЦ, схемный определитель которой отличен от нуля, может быть замещена источником комплексного напряжения, который включен между любой парой узлов схемы, в соответствии с рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2. Косвенная компенсация сопротивления В частном случае, когда пары узлов резистора и источника напряжения

совпадают, доказательство теоремы очевидно (см. рис. 2.2.1). Для доказательства сформулированной теоремы в общем случае используем рис. 2.2.3 и МСО.

Рис. 2.2.3. К доказательству теоремы 2.2.1 Чтобы сократить требуемые выкладки, будем полагать, что исходная схема

на рис. 2.2.3,а до преобразования содержала единственный источник воздействия Eвх. Компенсируем в ней сопротивление Z источником

U

Z

E=U

E =

Z

U E=U

=E

б

Eвх

Z

U

а

Eвх

в

E

Uz

Iz

Eвх 1

1

89напряжения U=E, как показано на рис. 2.2.3,б, и докажем эквивалентность указанных схем.

Представим идеальный ОУ схемой замещения, содержащей НУИ, как показано на рис. 2.2.3,в. НУИ образуется двумя ветвями – ГНУИ и ПНУИ, которым присвоен номер 1. Поскольку структуры схем идентичны, то остается доказать попарную эквивалентность всех соответствующих элементов. Прежде всего отметим совпадение в обеих схемах источников воздействия Eвх и трехсторонних многополюсников. Эквивалентность приемника напряжения U, ток через который равен нулю, в схеме на рис. 2.2.3,а и последовательного соединения ветви E=U с ПНУИ вытекает из того факта, что напряжение и ток на входе идеального ОУ одновременно равняются нулю.

Теперь докажем эквивалентность сопротивления Z и ГНУИ. Для этого достаточно показать (см. рис. 2.2.3,в), что

Uz /Iz = Z. (2.2.1) В силу принципа наложения (см. выражение (2.1.2)) можно записать UZ = KEвхZ Eвх + KEZ E и IZ = YEвхZ Eвх + YEZ E , (2.2.2)

где KEвхZ , KEZ – коэффициенты передачи напряжения от источников Eвх и E соответственно к сопротивлению Z; YEвхZ, YEZ – передаточные проводимости от источников Eвх и E соответственно к сопротивлению Z.

Указанные в (2.2.2) ССФ можно представить в виде САВ

где ∆ – определитель схемы, | * | – определители схем числителей ССФ. В результате преобразования последовательно и параллельно соединенных

ГНУИ и ПНУИ выражения (2.2.3) и (2.2.4) приводятся к виду

(2.2.3)UZ = 1 ∆

1

1

2

2 Eвх +

1

1

2

2

E

IZ = 1 ∆

1

1

2

2 Eвх +

12

E , (2.2.4)12

и

(2.2.5)UZ = 1 ∆

11

Eвх + E

и

90 Теперь рассмотрим правую часть выражения (2.2.1). Чтобы ее привести к

виду (2.2.5) и (2.2.6), необходимо выразить Z через Eвх и U. Для этого запишем передаточную функцию по напряжению схемы на рис. 2.2.3,а.

Если выделить параметр Z в числителе и знаменателе выражения (2.2.7), а

затем выразить Z через E и U с учетом U=E, то можно прийти к выражению для Z, удовлетворяющему условию (2.2.1), где UZ и IZ находятся по формулам (2.2.5) и (2.2.6). Это доказывает сформулированную выше теорему.

Используя доказанную теорему можно заместить в схеме с q узлами q–1 сопротивление компенсаторами E–ОУ, причем определитель полученной схемы должен быть ненулевым. Последнее требование является достаточным условием существования и единственности решения задачи. В топологической интерпретации этого условия измеряемые напряжения должны образовывать произвольное дерево схемы, а компенсируемые сопротивления не могут образовывать контуров.

Схема в общем случае может содержать УИ, которые компенсируются аналогичным образом. Полученная в результате компенсации схема содержит исключительно независимые источники напряжения и операционные усилители. Следовательно, компенсацию собственных и взаимных сопротивлений можно рассматривать как топологическое преобразование ЛЭЦ, сопровождаемое сменой элементного базиса [6, 7]. Измерения, проводимые для определения амплитуд и фаз компенсирующих источников, должны быть независимыми, то есть не должны приводить к образованию вырожденной схемы при подсоединении очередного компенсатора. Компенсаторы сопротивлений могут найти применение в измерительной технике при наличии образцовых источников комплексного напряжения. Возможно использование компенсаторов в так называемых «интеллектуальных» системах диагностики постепенных отказов, поскольку компенсатор является по существу

. (2.2.6)IZ = 1∆

11

Eвх – E

11

Z ZU / Eвх = . (2.2.7)

91универсальным элементом, способным заменить любой элемент схемы при сохранении ее работоспособности.

Компенсаторы сопротивлений далее будут использоваться в третьем разделе настоящего пособия при решении базисной задачи диагностики ЛЭЦ. Здесь сформулируем обобщенную обратную теорему о компенсации, на которой базируется НПН.

2.3. КОМПЕНСАЦИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ УПРАВЛЯЕМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ И НЕЯВНЫЙ МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЙ ВОЗДЕЙСТВИЙ Вместо того, чтобы выражать проводимости замещения через параметры

источников воздействия и других элементов схемы, можно поступить иначе – установить напряжения и токи Q–1 замещаемых независимых источников посредством замещения их УИ, которые управляются напряжением или током одного из независимых источников, выбранного в качестве опорного источника. Параметрами УИ являются отношения напряжения или тока соответствующих замещаемых независимых источников к напряжению или току опорного источника. В отличие от (2.1.2) НПН в форме метода отношений воздействий характеризуется формулой для СВО, содержащей только одну ССФ,

,),...,,( 111

3

1

21 X

XX

XX

XXVO QУИX

Xj ⋅= → (2.3.1)

где УИX

XV →1 – передаточная ССФ схемы от источника x1, выбранного за опорный

источник, к ветви отклика j при преобразовании всех независимых источников, кроме X1, в УИ, управляемые переменной (током или напряжением) соответствующего опорного источника X1. Тип УИ определяется переменной X1, с одной стороны, и переменными X2, X3, …, XQ, с другой стороны. Параметры УИ равны частным от деления переменных X2, X3, …, XQ на X1. Эти параметры указаны в (2.3.1) в качестве аргументов функции УИX

XV →1 .

Выражение (2.3.1) требует нахождения только одной схемной функции (при произвольном числе независимых источников), что сокращает сложность выражений для токов или напряжений по сравнению с формулой (2.1.2). Это обеспечивает (при надлежащем выборе элементов) получение выражений, оптимальных по вычислительной сложности, которая служит критерием оценки современных методов и программ символьного анализа ЛЭЦ [50, 65, 78].

Для обоснования неявного метода наложения в виде (2.3.1) сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 2.3.1. Если в произвольной ЛЭЦ на рис. 2.3.1,а, схемный определитель которой отличен от нуля, заменить все независимые источники ЭДС E2,E3,…,EN и тока J1,J2,…,JS, кроме одного источника ЭДС E1, выбранного

92за опорный, на источники ЭДС и тока соответственно, управляемые напряжением U1=E1, с параметрами (рис. 2.3.1,б)

kl=El/E1 и yj=Jj/E1 , (2.3.2)

где l=2,3,…,N; j=1,2,…,S; kl , yj – коэффициент передачи напряжения и передаточная проводимость соответственно, то напряжения и токи в любой ветви схемы не изменятся.

Рис. 2.3.1. Неявное наложение независимых источников с источником ЭДС

Теорема сформулирована для установившегося гармонического режима,

поэтому напряжения, ЭДС и токи представлены в комплексной форме (соответствующие символы подчеркнуты). Эта теорема может быть записана и для переходного процесса в ЛЭЦ путем замены комплексных переменных на операторные переменные.

Отмеченное в формулировке теоремы 2.3.1 условие ненулевого определителя является достаточным условием существования и единственности решения задачи анализа произвольных ЛЭЦ. Это вытекает из правила Крамера, согласно которому достаточным условием существования и единственности решения линейной системы уравнений с равным числом уравнений и неизвестных является ее ненулевой определитель.

Для доказательства теоремы 2.3.1 подтвердим, что произвольные соответствующие напряжения и токи в схемах на рис. 2.3.1,а,б равны, используя МСО. В силу явного принципа наложения (2.1.2) для схемы на рис. 2.3.1,а можно записать алгебраическое выражение напряжения

∑ ∑= =

+=N

i

S

jjUJjiUEi

A JZEKU1 1

, (2.3.3)

где KUEi – коэффициент передачи напряжения от источника ЭДС Ei (при нейтрализованных остальных источниках) к приемнику напряжения UА; ZUJj – передаточное сопротивление от источника тока Jj (также при нейтрализованных остальных источниках) к приемнику напряжения UA.

а

E1

UA IA

E2 EN

…

J1 J2 JS …

U1=E1

UB IB

…

… y2U1 y1U1 yNU1

k2U1 kNU1

б

93Представим (2.3.3) в виде САВ

где между вертикальными чертами (символами определителя) помещены соответствующие рис. 2.3.1,а схемы.

Знаменатель (2.3.4) получен путем нейтрализации в схеме на рис. 2.3.1,а независимых источников и приемников (заменой источников ЭДС и приемников тока проводниками, удалением источников тока и приемников напряжения). Схема для каждого слагаемого числителя (2.3.4), которое соответствует слагаемому выражения (2.3.3), также получена из схемы на рис. 2.3.1,а. Для этого приемник напряжения UA заменяется ПНУИ, соответствующий источник ЭДС или тока – ГНУИ противоположной ориентации, а остальные независимые источники нейтрализуются.

Схеме на рис. 2.3.1,б соответствуют следующие алгебраическое и схемно-алгебраическое выражения напряжения

===→

→1

111 E

DNEKU

УИEJKUEУИEJ

UEB

где УИEJ

UEK →1 – коэффициент передачи напряжения от источника E1 к приемнику

UB для схемы на рис. 2.3.1,б,в которой все независимые источники, кроме опорного E1, преобразованы в УИ; УИEJ

KUEN →1 – числитель коэффициента передачи

напряжения УИEJUEK →

1 ; номером 1 помечены ГНУИ и ПНУИ. В знаменателе D выражения (2.3.5) УИ нейтрализованы, поскольку управляющее напряжение U1

UA =

, (2.3.4)

…

…E1 +

…

…E2 +…+

…

… EN +

…

… J1 +

…

…J2 +…+ JS +

…

…

…

…

E1 , (2.3.5)…

…

…y2U1 y1U1 ySU1

k2U1 kNU1U11

1

…

94после нейтрализации Е1 равно нулю. Таким образом, знаменатели сравниваемых выражений (2.3.4) и (2.3.5) одинаковы.

Для сравнения числителей выделим в (2.3.5) параметр k2 УИ k2U1. Отсюда получаем

21 kN УИEJKUE =→

Первое слагаемое (2.3.6) представляет собой произведение параметра k2 источника на определитель схемы числителя в (2.3.5), в которой приемник ИНУН заменен на ПНУИ, а генератор ИНУН на ГНУИ. Второе слагаемое – это числитель (2.3.5) в котором ИНУН k2U1 нейтрализован.

В первом слагаемом (2.3.6) выполним взаимную замену номеров у ГНУИ, что повлечет изменение знака перед определителем. Полученное параллельное однонаправленное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ эквивалентно отрезку проводника. Отсюда следует, что U1=0 и все УИ в первом слагаемом (2.3.6) нейтрализуются. Во втором слагаемом (2.3.6) выделим сначала ИНУН k3U1 (не показан в (2.3.6)), затем ИНУН k4U1 и т. д. В результате выделения всех ИНУН получаем

21 kN УИEJKUE −=→

Далее выделяются параметры ИТУН. Выделение y1 ИТУН y1U1 проводится

аналогично выделению параметра k1. Отличие состоит в том, что при нейтрализации ИТУН удаляются как приемник, так и генератор. Таким образом, последнее слагаемое в (2.3.7), обозначим его F, принимает вид

После выполнения в первом слагаемом (2.3.8) вышеупомянутых операций взаимной замены номеров у ГНУИ, замещения параллельного соединения

…

… y2U1 y1U1 ysU1

knU1

1U1

12

2

+

…

… y2U1 y1U1 ysU1

knU1

1U1

1

. (2.3.6)

. (2.3.7)

…

–… ……

11

…

…y2U1 y1U1 ySU1

1U1

1

+

…

… 1

1… –kN

…

… y2U1 ySU1

1F = y1 U1

12

+

…

… y2U1 ySU1

1U1

1

. (2.3.8) 2

95ГНУИ и ПНУИ проводником, а также нейтрализации УИ, выделяется параметр y2 ИТУН y2U1 во втором слагаемом, далее параметр y3 ИТУН y3U1 (в (2.3.8) не показан) и т.д. Наконец, выделив параметр yS последнего ИТУН ySU1, получаем

21 kN УИEJ

KUE −=→ Во всех слагаемых (2.3.9), кроме последнего, изменим направление ГНУИ

на противоположное, одновременно сменим знаки всех слагаемых с минуса на плюс и учтем формулы (2.3.2). После подстановки преобразованной формулы (2.3.9) в (2.3.5) и учета множителя E1 получается выражение для числителя UB, повторяющее числитель UB в (2.3.4). Таким образом, доказано, что соответствующие напряжения в схемах на рис. 2.3.1,а и рис. 2.3.1,б равны.

Результат приведенного доказательства можно представить в виде тождества, которое будет использовано ниже. Обратим внимание на то, что на доказательство в виде последовательности формул (2.3.5) – (2.3.9) не влияет состояние левой и правой сторон используемого многополюсника, то есть положение ПНУИ. Следовательно,

где М – произвольный неавтономный многополюсник.

Рассмотрим вторую часть доказательства теоремы 2.3.1. Подтвердим, что токи IA и IB в схемах на рис. 2.3.1,а,б равны. Запишем для схемы на рис. 2.3.1,а по аналогии с (2.3.3) алгебраическое выражение тока

+kN

…

… y2U1 y1U1 ySU1

k2U1 kNU1 U1 1

M = 1

…

…

1 + k2M1

…

…

1 +…+M

… … … 1

…

1M + y1 …

1M +…+yS 1…

1 , (2.3.10)M

–… –kN –

…

… 1

1……

11

…

+

…

… 1

1

……

11 …

–y1 –… –yS

. (2.3.9)+ …

…

11

…

96

∑ ∑= =

+=N

i

S

jjIJjiIEi

A JTEYI1 1

, (2.3.11)

где YIEi – передаточная проводимость от источника ЭДС Ei к приемнику тока IA; TIJj – коэффициент передачи тока от источника тока Jj к приемнику IA.

Представим (2.3.11) по аналогии с (2.3.4) в виде САВ

Запишем теперь для схемы на рис. 2.3.1,б алгебраическое и схемно-

алгебраическое выражения тока

===→

→1

111 E

DN

EYIУИEJ

YIEУИEJIE

B

где УИEJIEY →

1 – передаточная проводимость от источника E1 к приемнику IB для схемы на рис. 2.3.1,б, в которой все независимые источники, кроме опорного источника E1, преобразованы в УИ; УИEJ

YIEN →1 – числитель передаточной

проводимости УИEJIEY →

1 ; номером 1 помечены ГНУИ и ПНУИ. Знаменатели токов IA и IB совпадают, более того, они повторяют САВ

знаменателей для напряжений UA и UB. Числители (2.3.12) и (2.3.13) равны в силу доказанного тождества (2.3.10). Таким образом, IA=IB и теорема 2.3.1 доказана.

Докажем возможность выбора в обобщенной обратной теореме компенсации в качестве опорного источника произвольного независимого источника тока, входящего в цепь. Для этого сформулируем теорему 2.3.2 путем замены понятий в тексте теоремы 2.3.1 на дуальные [43] (взаимосоответствующие [16]) понятия. Ниже перечислены используемые соответствия: источник ЭДС E1 ⇔ источник тока J1, коэффициент передачи

IA =

, (2.3.12)

…

…

…

… E1 +

…

…E2 +…+

…

… EN +

…

… J1 +

…

…J2 +…+ JS +

…

…

E1 , (2.3.13)…

…

…

…y2U1 y1U1 ySU1

k2U1 kNU1U11

1

97напряжения k ⇔ коэффициент передачи тока t, напряжение U1 ⇔ ток I1, передаточная проводимость y ⇔ передаточное сопротивление z.

Теорема 2.3.2. Если в произвольной ЛЭЦ на рис. 2.3.2,а, схемный определитель которой отличен от нуля, заменить согласно рис. 2.3.2,б все независимые источники тока J2, J3, … JS и ЭДС E1, E2, … , EN, кроме одного источника тока J1, выбранного за опорный источник, на источники тока и ЭДС соответственно, управляемые током I1=J1, с параметрами

ti=Jj/J1 и zl=El/J1, (2.3.14) где j=2, 3, …, S; l=1, 2, …, N, то токи и напряжения в любой ветви цепи не изменятся.

Рис. 2.3.2. Неявное наложение независимых источников с источником тока Теорема 2.3.2, полученная из ранее доказанной теоремы 2.3.1 путем

замены величин и терминов взаимосоответствующими величинами и терминами, является доказанной на основе принципа взаимосоответствия [16]. В справедливости этого утверждения можно убедиться также, повторив выкладки, используемые для доказательства теоремы 2.3.1, применительно к рис. 2.3.2,а,б.

Запишем на основании теоремы 2.3.2 по схеме на рис. 2.3.2,б алгебраическое и схемно-алгебраическое выражения для напряжения

====→

→1

111 J

DNJZUU

УИEJZUJУИEJ

UJBA

и тока

====→

→1

111 J

DNJTII

УИEJTIJУИEJ

IJBA

J1 , (2.3.15)

…

…t2I1 tSI1

z2I1 zNI1

1

1

I1

z1I1

D

J1 , (2.3.16)

…

…t2I1 tSI1

z2I1 zNI1

1

1

I1

z1I1

D

E1

UA IA

E2 EN

…

J1 J2 JS …

z1I1

UB IB

…

… t2I1 tSI1

z2I1 zNI

а б

J1I1

98

где УИEJUJZ →

1 – передаточное сопротивление преобразованной схемы, в которой все независимые источники, кроме J1, представлены в виде УИ; УИEJ

IJT →1 –

коэффициент передачи тока от источника J1 к приемнику IB для преобразованной таким же образом схемы; УИEJ

ZUJN →1 , УИEJ

TUJN →1 – числители

схемных функций УИEJUJZ →

1 и УИEJUJT →

1 соответственно. В выражениях (2.3.15) и (2.3.16) знаменатели равны между собой и повторяют САВ знаменателя в (2.3.4) и (2.3.5).

Последовательное преобразование САВ (2.3.5), (2.3.13) или (2.3.15), (2.3.16) по правилам МСО позволяет получить СВО в заданной, например, наиболее компактной форме. Выражения (2.3.5), (2.3.13) и (2.3.15), (2.3.16) представляют собой схемно-алгебраическую запись НПН для ЛЭЦ.

Представляет интерес тождество, дуальное по отношению к (2.3.10). Эта формула полезна при выделении параметров источников, управляемых током ГНУИ, поскольку, как и формула (2.3.10), сокращает объем выкладок для получения СВО. Искомое тождество может быть получено непосредственно из (2.3.10) путем замены элементов на дуальные (взаимосоответствующие) элементы с сохранением индексов величин. При этом используются соответствия: управляющее напряжение U1 ⇔ управляющий ток I1; ИНУН ⇔ ИТУТ; ИТУН ⇔ ИНУТ; коэффициент передачи напряжения k ⇔ коэффициент передачи тока t; передаточная проводимость y ⇔ передаточное сопротивление z, идеальный проводник ⇔ разрыв. В результате получаем

Тождество (2.3.17), как и теорема 2.3.2, не требует доказательства, поскольку является верным, как и (2.3.10), в силу принципа взаимосоответствия.

2.4. СРАВНЕНИЕ НЕЯВНОГО МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЙ ВОЗДЕЙСТВИЙ

С ЯВНЫМ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ Рассмотрим пример использования предлагаемых обратных теорем

компенсации для символьного анализа ЛЭЦ. Требуется сформировать минимальное по сложности (числу арифметических операций) СВО для

…

… t2I1 tSI1

z2I1 zNI1

I1 1

M = 1

…

…

1 + t2M

…

…

1 +…+M

. (2.3.17)

1z1I1

1

+tS 1

…

…

1M + z1

…

…

1M +…+zN

…

…

1M11

99напряжения UН на нагрузке дифференциального усилителя [59], представленного на рис. 2.4.1,а. ОУ моделируется схемой замещения [34], учитывающей конечное значение коэффициента передачи напряжения ОУ kОУ и выходной проводимости Yвых. Схема замещения исходной схемы представлена на рис. 2.4.1,б. Параметры всех элементов схемы известны.

Рис. 2.4.1. Принципиальная схема (а) и схема замещения (б) усилителя Выполним сравнительную оценку СВО UН, сформированных на основе

явного и неявного принципов наложения (см. выражения (2.3.4) и (2.3.5)). В обоих случаях будем применять МСО. По формуле (2.3.3) получаем

,/)( 2211 DENENU KHEKHEН += (2.4.1)

где NKНE1, NKНE2 – числители коэффициентов передачи напряжения от источников E1 и E2 к нагрузке RН; D – знаменатель, общий для обоих коэффициентов передачи напряжения.

Найдем сначала знаменатель D искомого САВ напряжения на нагрузке, который является определителем схемы и не зависит не зависит от используемого явного или неявного принципа наложения и является определителем схемы. В соответствии с (2.3.4) и (2.3.5) можно записать

Схема в (2.4.2) разделяется по двум узлам так, что элементы Ra и Rb

выделяются в качестве первой подсхемы. Применяя формулу двухузловой бисекции, замечаем, что только одно из двух слагаемых ненулевое. Второе слагаемое равно нулю, поскольку вторая подсхема содержит разомкнутый приемник напряжения. В результате имеем

E1

R1

E2

RA RB

Rос

RН Uн

E1

R1

E2

RA RB

Rос

RН UнkОУU U

Yвых

а б

D =

R1

RA RB

Rос

RHkОУUU

Yвых

. (2.4.2)

. (2.4.3)

R1 Rос

RHkОУUU

Yвых

D = RA

RB

100Первый сомножитель (2.4.3) найдем как определитель элементарной

схемы – R-контура. Во втором сомножителе выделим параметр ИНУН. Первая производная схема образуется в результате замены ИНУН на НУИ с номером 1, а вторая производная схема соответствует нейтрализации ИНУН (kОУ=0). Отсюда получаем

В первой производной схеме выделим (удалим) сопротивление R1, стянем (заменим проводником) сопротивление Rос, выделим проводимость Yвых и сопротивление RН. Учтем, что определитель параллельного однонаправленного соединения ГНУИ и ПНУИ равен 1. Во второй производной схеме преобразуем последовательное соединение двух сопротивлений в одно. Выделение последнего приведет к получению схемы в виде параллельного соединения сопротивления RН и проводимости Yвых, а также схемы, состоящей из двух петель и разделимой по одному узлу. После выполнения перечисленных операций получаем

].)1)(()[( 11 ННвыхОСНвыхОУBA RRYRRRYRkRRD +++++= (2.4.5) Для нахождения числителей в выражении (2.4.1) используем формулу

(2.3.4). НУИ с номером 0 заменяет входной источник и приемник искомого отклика для получения схемы числителя.

В схеме выражения (2.4.6) стянем сопротивление R1, выделим сопротивление RН, а также выделим аналогично знаменателю (2.4.3) двухполюсник в виде параллельного соединения сопротивлений RA и RB. В результате получаем

. (2.4.4)

NKНE1 =

R1

RA RB

Rос

RHkОУUU

Yвых

. (2.4.6)0 0

. (2.4.7) NKНE1 = RH(RA+RB)Rос

kОУUU

Yвых0 0

R1

Rос

RН

Yвых+D =(RA+RB) kОУ R1

Rос

RН

Yвых

1 1

101Для выделения параметра ИНУН в (2.4.7) используем тождество (2.3.10).

Таким образом,

В первом слагаемом (2.4.8) стянем Rос и удалим Yвых, а также учтем, что

определитель параллельного соединения ГНУИ и ПНУИ равен 1, как в (2.4.3). Во втором слагаемом выделим Yвых, удалим Rос, учтем, что определитель параллельного противонаправленного соединения ГНУИ и ПНУИ равен –1. В результате

Второй числитель выражения (2.4.1) находится аналогично

Стянем сопротивление RA, выделим сопротивления RB и RH. Отсюда получаем

Выделим параметр ИНУН и проводимость Yвых. В результате

Поменяем местами номера у ГНУИ и ориентацию у ПНУИ с номером 0 (при этом знак перед определителем не изменится), удалим последовательное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, а также заменим проводником параллельное однонаправленное соединение ГНУИ и ПНУИ. С учетом определителя элементарного контура из сопротивлений R1 и Rос получаем

NKНE1 = RH(RA+RB) . (2.4.8)

Rос

Yвых0 0 + kОУ

Rос

Yвых0

0

NKНE1 = RH(RA+RB)[1–kОУRосYвых].

NKНE2 =

R1

RA RB

Rос

RHkОУUU

Yвых

. (2.4.10)

0

0

NKНE2 = RBRH

R1 Rос

kОУUU

Yвых0

. (2.4.11)0

NKНE2 = RBRНkОУYвых

R1 Rос

0. (2.4.12)01 1

102

Используя выражения (2.4.1), (2.4.5), (2.4.9) и (2.4.13), можно записать окончательное выражение для искомого СВО по явному принципу наложения

D

ERRYkRREYRkRRRU ОСвыхОУHBвыхосОУBAHН

211 )(]1)[( ++−+= . (2.4.14)

Сформируем теперь СВО UН на основе НПН с помощью формулы (2.3.5).

В этом случае требуется найти только один числитель

=→УИE

KHEN 21

где k2=E2/E1.

Выделяя в (2.4.15) RН и параметр ИНУН kОУU, получаем

NУИE

KHE RN =→21 В первом слагаемом (2.4.16) выделим Yвых, проведем взаимную замену

номеров у ПНУИ и замену параллельного соединения ГНУИ и ПНУИ проводником. Во втором слагаемом удалим проводимость Yвых, преобразуем последовательное соединение сопротивлений RA и RB к одному сопротивлению RA +RB и стянем сопротивления R1 и Rос. Отсюда получаем

HУИE

KHE RN =→21 Выделим и в первом, и во втором слагаемых выражения (2.4.17) параметр

k2, используя тождество (2.3.10). При этом в первом случае порождается два ненулевых слагаемых, а во втором случае – только одно, поскольку схема,

NKНE2 = RBRНkОУYвых(R1+Rос) . (2.4.13)

, (2.4.15)

R1

RA RB

Rос

RНkОУUU

Yвых

0 0U1

k2U1

(2.4.16)

R1

RA RB

Rос

Yвых

0 U1

k2U1

1

01

R1

RA RB

Rос

Yвых 0 0 U1

k2U1

+kОУ

(2.4.17)

RA +RB

0 0 U1

k2U1

+

R1

RA RB

Rос

0U1

k2U1

0kОУYвых

.

.

103соответствующая другому слагаемому, содержит контур из ПНУИ. Таким образом,

H

УИEKHE RN =→2

1

В первом слагаемом (2.4.18) стянем R1, выделим Rос, удалим

последовательное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ с изменением знака слагаемого, запишем определитель последовательного R-контура. Во втором слагаемом стянем RA, выделим RB, удалим последовательное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, запишем определитель R-контура. В третьем слагаемом запишем определитель схемы, разделимой по одному узлу, удалим последовательное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, найдем определитель R-контура. Таким образом, окончательное выражение напряжения, полученное на основе НПН, имеет вид

( )[ ]1

12 )()( ED

RRRRRkRRRYkRU BAОСBBAОСВЫХОУHH

+++++−= . (2.4.19)

Сравним числители (знаменатели, как отмечалось, одинаковые)

выражений (2.4.14) и (2.4.19). Числитель в (2.4.14) требует для вычисления 10 операций умножения и 4 сложения. Это наименьшее число операций для явной формы решения (2.1.2). Выражение числителя (2.4.19) по неявной форме наложения включает соответственно 7 и 5 операций при варьировании всех параметров, кроме E2. При варьировании всех параметров, в том числе E2, требуется 8 операций умножения (деления) и 5 операций сложения. Как видно, при проведении многовариантного анализа формула (2.4.19), полученная на основе НПН, является более экономичной.

Доказанная выше обобщенная обратная теорема компенсации, использующая УИ, упрощает исследование ЛЭЦ на основе НПН. Предложенные алгебраические и схемно-алгебраические выражения требуют нахождения только одной ССФ (при произвольном числе независимых источников). Это сокращает объем выкладок при получении СВО и обеспечивает (при надлежащей очередности выбора элементов) формирование выражений, оптимальных по вычислительной сложности. Вместе с тем недостатком выражения (2.3.5) и рассмотренной выше реализации НПН является использование в качестве аргументов отношений параметров независимых источников схемы, что усложняет аналитическое и численное исследование СВО.

. (2.4.18)kОУYвых RA +RB

0 0 ++ k2 0

R1

RA RB

Rос0

R1

RA RB

Rос0

0

104

2.5. НЕЯВНЫЙ МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЕДИНИЧНОГО ИСТОЧНИКА

Следует обратить внимание на то, что определителю матрицы знаменателя

∆ соответствует определитель схемы, которая получена из исходной схемы в результате стягивания источников напряжения и приемников тока, а также удаления источников тока и приемников напряжения. Это упрощает нахождение знаменателя. Поэтому было бы желательно сопоставить и определителю матрицы числителя ∆j определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате некоторых преобразований. С одной стороны, это позволило бы находить СВО для произвольного тока или напряжения ЛЭЦ в виде отношения (2.1.1) определителей схемы числителя и схемы знаменателя, избежав применения понятия «схемная функция», которое используется в (2.1.2). С другой стороны, схемная интерпретация матрицы числителя в сочетании с отображением матрицы схемой c ИТУН (см. подраздел 1.11), обеспечивает более эффективное аналитическое решение систем линейных алгебраических уравнений произвольной физической природы.

В настоящей работе предлагается специальная форма НПН, согласно которой отклик является функцией не отношений параметров источников, как в (2.3.1), а непосредственно самих параметров источников, как в (2.1.2). Таким образом, СВО принимает вид

),,...,,( 21 Qjj XXXWO = (2.5.1)

где Wj – символьная функция, в которой аргументами на равных правах являются как параметры двухполюсных элементов и УИ, так и параметры всех независимых источников. Для определенности далее будем рассматривать установившийся гармонический режим, и все переменные представим в комплексных действующих значениях (обозначим их подчеркиванием).

Введем в исходную схему дополнительный опорный источник ЭДС E=1 или источник тока J=1, а затем заменим все независимые источники источниками, управляемыми напряжением опорного источника ЭДС E или током опорного источника J соответственно. Построение такой схемы замещения можно трактовать как расширение возможностей обобщенной теоремы компенсации (см. теорему 2.2.1), поскольку здесь независимые источники компенсируются источниками, управляемыми дополнительным источником, введенным в схему. Докажем эквивалентность получаемой схемы замещения. В процессе доказательства выведем основные алгебраические и схемно-алгебраические выражения для этой реализации НПН.

Теорема 2.5.1. Если в произвольной ЛЭЦ на рис. 2.5.1,а, схемный определитель которой отличен от нуля, ввести последовательно с некоторым источником ЭДС, например, E1 дополнительный опорный источник ЭДС E=1, а все независимые источники схемы заменить на источники, управляемые

105напряжением введенного опорного источника U=E=1, с параметрами (см. рис. 2.5.1,б)

,1

;1

;1

11 111

jjj

lll

JUJ

yEUEkE

UEk ====

−=

−= (2.5.2)

где l=2,3, …N; j=1,2, …S; k1, kl, yj – коэффициенты передачи напряжения и передаточная проводимость соответственно, то напряжения и токи в любой ветви схемы не изменятся.

Рис. 2.5.1. Неявное наложение независимых источников с источником ЭДС В знаменателях выражений (2.5.2) не удалены единицы, которые отображают напряжение опорного источника, чтобы напомнить о соответствующей размерности параметров УИ. На рис. 2.5.1,б эти единицы удалены и в дальнейшем при формировании символьных выражений не используются. В числителе k1 из (2.5.2) от переменной E1 вычитается единица для компенсации введенного дополнительного источника E=1. Это эквивалентно включению последовательно с источником E ЭДС E= –1.

В процессе доказательства теоремы будет показано, что ее применение не изменяет определителя схемы и, следовательно, не нарушает условия существования и единственности и решения. Для доказательства теоремы 2.5.1 подтвердим, что произвольные соответствующие напряжения и токи в схемах на рис. 2.5.1,а и 2.5.1,б равны, используя МСО. САВ напряжения по явному методу наложения для схемы на рис. 2.5.1,а возьмем из подраздела 2.3. Таким образом,

а

E1

UА IАE2 EN

…

J1 J2 JS …

(E1–1)U

UB IB

…

… J2U J1U JSU

E2U ENU

б

U

E

UА =

(2.5.3)

…

… E1 +

…

…E2 +…+

…

… EN +

…

… J1 +

…

…J2 +…+ JS ++

…

…

…

…

,

106где между вертикальными чертами (символами определителя) помещены соответствующие рис. 2.5.1,а схемы; сдвоенными и одинарными стрелками показаны ГНУИ и ПНУИ соответственно.

Схеме на рис. 2.5.1,б соответствуют следующие алгебраическое и схемно-алгебраическое выражения напряжения

==⋅= == D

NKU KUEUE

B 11 1

где 1=UEK – коэффициент передачи напряжения от единичного опорного источника E к приемнику напряжения UB; NKUE=1 – числитель коэффициента

1=UEK . В знаменателе (2.5.4) находится определитель схемы знаменателя D, выражение которого не зависит от явного или неявного метода анализа схемы. Схема знаменателя (2.5.4) совпадает со схемой знаменателя в (2.5.3).

Используя для преобразования числителя (2.5.4) формулу выделения параметров источников, управляемых напряжением ГНУИ, получим

Раскроем скобки во втором слагаемом (2.5.5). После удаления двух равных

по модулю, но противоположных по знаку слагаемых, правая часть формулы (2.5.5) будет повторять числитель (2.5.3). Это означает, что числители (2.5.3) и (2.5.4) равны, следовательно, UA=UB. Приведенным доказательством одновременно обоснована схема числителя для напряжения, использованная в (2.5.4).

Рассмотрим вторую часть доказательства теоремы 2.5.1. Подтвердим, что токи IA и IB в схемах на рис. 2.5.1,а,б соответственно равны. САВ для тока имеет вид

NKUE=1 = + (E1–1) +

+ E2 +…+ EN +

. (2.5.5)

…

…

…

…

…

…

…

…

+ J2 +…+ JS + J1 …

…

…

…

…

…

, (2.5.4)D

(E1–1)U…

…J2U J1U JSU

E2U ENU U

107

Представим по рис. 2.5.1,б аналогично (2.5.4) выражение для тока

==⋅= == D

NYI YIEIE

B 11 1

где 1=IEY – передаточная проводимость от единичного опорного источника E к приемнику тока IB; NYIE=1 – числитель проводимости 1=IEY .

Используя для преобразования числителя (2.5.7) по аналогии с первой частью теоремы 2.5.1 формулу выделения параметров источников, управляемых напряжением одного ГНУИ, получим выражение, подобное (2.5.5). Различие заключается лишь в положении ПНУИ, который во всех схемных определителях находится с правой стороны многополюсника, то есть так, как в формуле (2.5.7), а левая сторона многополюсника разомкнута. После раскрытия скобок и удаления двух равных по модулю, но противоположных по знаку слагаемых, получим выражение, повторяющее числитель (2.5.6). При равных знаменателях в (2.5.6) и (2.5.7) это означает, что IA=IB. Следовательно, теорема 2.5.1 доказана. Обоснована также схема числителя для функции тока, использованная в (2.5.7).

На основании теоремы 2.5.1 запишем тождество, которое отображает равенство числителей соответствующих СВО, представленных по неявному и явному методам наложения. По существу, это формула выделения всех параметров источников, управляемых одним опорным единичным источником напряжения.

IА = . (2.5.6)

…

… E1 +

…

…E2 +…+

…

… EN +

…

… J1 +

…

…J2 +…+ JS ++

…

…

D

, (2.5.7)D

(E1–1)U…

…J2U J1U JSU

E2U ENU U

108

Приемник НУИ занимает в многополюснике (см. выражение (2.5.8)) место приемника напряжения или тока.

Докажем возможность выбора в обобщенной теореме компенсации в качестве опорного источника дополнительно введенного источника тока с единичным значением. Для этого сформулируем теорему 2.5.2 путем замены понятий в формулировке теоремы 2.5.1 на дуальные [43] (взаимосоответствующие [16]) понятия: управляющее напряжение U ⇔управляющий ток I; ИНУН ⇔ИТУТ; ИТУН ⇔ИНУТ; коэффициент передачи напряжения k ⇔коэффициент передачи тока t; передаточная проводимость y ⇔ передаточное сопротивление z; идеальный проводник (короткозамкнутая ветвь)⇔разрыв (разомкнутая ветвь); последовательный ⇔параллельный; источник ЭДС ⇔источник тока.

Теорема 2.5.2. Если в произвольной ЛЭЦ на рис. 2.5.2,а, схемный определитель которой отличен от нуля, ввести параллельно с некоторым источником тока, например, J1 дополнительный опорный источник тока J=1, а все независимые источники схемы заменить на источники, управляемые током введенного опорного источника I=J=1, с параметрами (см. рис. 2.5.2,б)

;1

11 111

−=

−=

JJ

Jt ;1

jjj

JJJ

t == ,1

lll

EJEz == (2.5.9)

где l=1,2,…N; j=2,3, …S, то напряжения и токи в любой ветви схемы не изменятся. В дальнейшем единицы в знаменателях (2.5.9) будут удалены.

Теорема 2.5.2, полученная из ранее доказанной теоремы 2.5.1 путем замены величин и терминов взаимосоответствующими величинами и терминами, является доказанной в силу принципа взаимосоответствия.

= …

…E1 +

(E1–1)U …

… J2U J1U JSU

E2U ENU U

JS . (2.5.8)

+ …

…E2 +…+

…

… EN +

+ …

…J2 +…+

…

… +

…

…J1

109

Рис. 2.5.2. Неявное наложение независимых источников с источником тока Запишем с использованием теоремы 2.5.2 по схеме на рис. 2.5.2,б

алгебраические и схемно-алгебраические выражения для напряжения

==⋅== == D

NZUU ZUJUJ

BA 11 1

и тока

==⋅== == D

NTII TIJIJ

BA 11 1

где ZUJ=1 – передаточное сопротивление от опорного источника тока J к приемнику напряжения UB для преобразованной схемы на рис. 2.5.2,б, в которую введен единичный источник тока J, а все независимые источники представлены в виде УИ; ТIJ=1 – коэффициент передачи тока от опорного источника J к приемнику тока IB для преобразованной схемы на рис. 2.5.2,б; NZUJ=1 и NTIJ=1 – числители ССФ ZUJ=1 и TIJ=1 соответственно. Определители схем числителей в (2.5.10) и (2.5.11) совпадают с соответствующими определителями в (2.5.4) и (2.5.7), несмотря на различные схемы числителей, которые взаимно эквивалентны. САВ числителей (2.5.10) и (2.5.11) получены из рис. 2.5.2,б путем замены опорного источника J на ГНУИ, а приемника напряжения UB или тока IB на ПНУИ [51]. Алгебраические выражения в (2.5.10) и (2.5.11) предназначены для использования топологических методов формирования ССФ [43, 80], а САВ – для получения СCФ с помощью МСО.

E1

UА IАE2 EN

…

J1 J2 JS …

а б

UB IB

…

… J2I

(J1–1)I

JSI

E2I ENI

I=J

E1I

(2.5.10)D

…E2I ENI

J2I

(J1–1)I

JSI …I

E1I

, (2.5.11)D

…E2I ENI

J2I

(J1–1)I

JSI …I

E1I

110Исходя из теоремы 2.5.2, запишем по аналогии с (2.5.8) еще одно

тождество

Схемно-алгебраическое тождество (2.5.12) так же, как и тождество (2.5.8), отображает равенство числителей произвольного СВО, полученных на основе неявного и явного принципов наложения. Следует отметить, что в случае НПН в САВ (2.5.12) используются источники, управляемые током, в отличие от тождества (2.5.8), в котором применяются источники, управляемые напряжением.

Тождества (2.5.8) и (2.5.12) отражают схемно-алгебраическую связь неявного и явного принципов наложения. Они показывают, что явный принцип наложения является частным случаем НПН. Формулы НПН (см. выражение (2.5.1), левые части выражений (2.5.8) и (2.5.12)) переходят в формулы явного принципа (см. выражение (2.1.2), правые части выражений (2.5.8) и (2.5.12)) при условии первоочередного выделения параметров всех источников. Практически тождества (2.5.8) и (2.5.12) используются по мере необходимости в соответствии с порядком формирования СВО по заданному критерию вычислительной сложности, а также на завершающем этапе построения функций, когда исчерпаны все первоочередные операции. Это операции, приводящие к исчезновению одного из двух слагаемых в формулах выделения параметров элементов.

Рассмотренная схемная интерпретация матрицы числителя в формуле Крамера (2.1.1) позволяет выполнять анализ ЛЭЦ с произвольным числом независимых источников, минуя процедуру нахождения ССФ, которые по существу являются побочными результатами при получении СВО. Искомое СВО получается в виде отношения определителей двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя. Реализация НПН в форме метода единичного опорного источника, не только обобщает традиционный (явный) метод наложения, но и, как будет показано в следующем подразделе, повышает эффективность символьного анализа ЛЭЦ.

=…

…E1 +

… … +

…E2 +…+

… EN +

JS . (2.5.12)+ …

…J2 +…+

…

… +

…

… J1

… E2I ENI E1I

J2I

(J1–1)I

JSI … I

111

2.6. СРАВНЕНИЕ НЕЯВНОГО МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЕДИНИЧНОГО ИСТОЧНИКА

С ЯВНЫМ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ

2.6.1. Анализ установившегося режима трехфазной несимметричной цепи Известный метод симметричных составляющих позволяет упростить

расчет таких цепей только в случае, когда причины нарушения несимметрии сосредоточены в одном или двух местах системы [43]. В случае произвольной несимметричной трехфазной цепи символьный анализ может проводиться, как и любой другой цепи с несколькими гармоническими источниками, явным методом наложения. Предложенный выше неявный метод наложения на основе единичного источника позволяет формировать более экономичные СВО для токов и напряжений.

Ниже рассмотрен пример анализа трехфазной несимметричной цепи с двумя нагрузками, одна из которых является звездой сопротивлений, а вторая – треугольником сопротивлений [36]. Схема цепи изображена на рис. 2.6.1,а. Параметры всех элементов схемы различны. Исследуем один из аварийных режимов, когда сопротивление Z3 замкнуто накоротко. Полученная схема представлена на рис. 2.6.1,б. Требуется найти СВО для тока I.

Рис. 2.6.1. Трехфазная цепь (а) и ее аварийный режим (б) Для сравнения методов явного и неявного наложения построим выражение

I двумя способами, используя формулы (2.5.6) и (2.5.7). В силу явного метода наложения

C

ABICB

ACIBA

BCIA EYEYEYI 000 →→→ ++=

или

,000

DENENENI C

ABYICB

ACYIBA

BCYIA

→→→ ++= (2.6.1)

EA

EB EC

ZB

ZA

ZC

Z1 Z2 Z3

Z4

Z5 Z6

EA

EB EC

ZB

ZA

ZC

Z1 Z2

Z4

Z5 Z6

I

а б

112

где ,0→BCIAY ,0→AC

IBY 0→ABICY – передаточные проводимости от источников

напряжения A, B и С соответственно к приемнику тока I при нейтрализованных остальных источниках (указаны в верхних индексах функций);

,0→BCYIAN ,0→AC

YIBN 0→ABYICN – числители схемных функций ,0→BC

IAY ,0→ACIBY 0→AB

ICY соответственно. Для получения СВО по неявному методу наложения будем использовать непосредственно выражение (2.5.7). При формировании алгебраических выражений воспользуемся МСО.

Сначала найдем знаменатель выражения (2.5.6), который, как отмечалось, не зависит от явного или неявного метода формирования СВО и представляет собой определитель схемы

Схема знаменателя (2.6.2) получена из рис. 2.6.1,б путем нейтрализации всех источников напряжения и приемника тока. Эта схема делится на две подсхемы по узлам a и b. Применяя формулу (1.3.4), получаем

Заменив в первом схемном определителе (2.6.3), который обозначим D1,

последовательное соединение сопротивлений ZA и Z1 одним сопротивлением ZA+Z1, получим схему из трех параллельных сопротивлений. Найдем определитель этой схемы по формуле выделения сопротивления. Следуя правилу кратности (см. подраздел 1.6.), выделим в первую очередь сопротивление ZA+Z1. При его удалении получается элементарная схема – контур из двух сопротивлений ZB и ZC, а при стягивании – одноузловая схема с двумя петлями ZB и ZC. Вторая схема делится на две подсхемы по одному узлу, и к ней применяется соответствующая формула бисекции (1.3.4). Отсюда получаем D1=(ZA+Z1)(ZB+ZC)+ZBZC.

При разложении второго схемного определителя D2 также используется формула бисекции по одному узлу (узлу a). Первая подсхема, полученная в результате бисекции, представляет собой контур из сопротивления Z2. Вторая подсхема – параллельное соединение сопротивлений Z4, Z5 и Z6, определитель которого раскрывается подобно определителю D1 (см. выше). Следовательно, D2 = Z2[Z4(Z5+Z6)+Z5Z6]. Третий D3 (четвертый D4) определитель

D = ZB

ZA

ZC

Z1 Z2Z4

Z5 Z6

. (2.6.3)ZB

ZA

ZC

Z1 Z2 Z4

Z5 Z6

а

+

. (2.6.2)D = ZB

ZA

ZC

Z1 Z2Z4

Z5 Z6

а

b

113выражения (2.6.3) находится аналогично второму D2 (первому D1) схемному определителю. После выполнения этих операций искомый определитель схемы

D = [(ZA+Z1)(ZB+ZC)+ZBZC] Z2[Z4(Z5+Z6)+Z5Z6] + + Z1[ZA(ZB+ZC)+ZBZC] [(Z2+Z4)(Z5+Z6)+Z5Z6]. (2.6.4) Теперь найдем числитель СВО I по формуле явного метода наложения

(2.6.1). Это выражение, как известно, формируется по частям. Первая часть – это числитель передаточной проводимости от источника A к приемнику I

=→0BC

YIAN

Схема под знаком определителя получена из схемы на рис. 2.6.1,б путем нейтрализации источников B и C, замены источника A и приемника тока I генератором и приемником НУИ соответственно. В этой схеме стянем сопротивления ZA и Z1, соединенные последовательно с ГНУИ и ПНУИ соответственно, выделим сопротивление Z2, параллельное ПНУИ. К преобразованной таким образом схеме применим формулу бисекции по двум узлам a и b. Одно из двух слагаемых этой формулы будет равно нулю, поскольку при замыкании узлов a и b левой подсхемы образуется контур из ПНУИ. Следовательно,

2

0 ZN BCYIA =→

Схема в первом определителе выражения (2.6.6) содержит

последовательное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, которое эквивалентно разомкнутой ветви. Таким образом, первый схемный определитель эквивалентен определителю контура из сопротивлений ZB и ZC. Второй схемный определитель этого выражения был найден ранее (см. выражение (2.6.4)). Таким образом, алгебраическое выражение первой части числителя (2.6.1) принимает вид

].)()[( 656542

0 ZZZZZZZZN CBBC

YIA +++=→ (2.6.7)

Исходное САВ для второй части числителя (2.6.1) записывается аналогично выражению для его первой части (2.6.5)

. (2.6.5) ZB

ZA

ZC

Z1 Z2Z4

Z5 Z6

а

b

. (2.6.6)ZB ZC

Z4 Z5 Z6

114 =→0AC

YIBN

В схеме под знаком определителя стянем сопротивления, соединенные последовательно с ПНУИ и ГНУИ соответственно. Выделим сопротивления Z2 и ZC, которые параллельны ПНУИ и ГНУИ. Стянем сопротивление ZA, последовательное ГНУИ. Заменим идеальным проводником (с изменением знака определителя) параллельное встречное включение ГНУИ и ПНУИ. В результате получается определитель параллельного соединения трех сопротивлений Z4, Z5 и Z6, вычисленный ранее в (2.6.4). Отсюда следует

].)([ 656542

0 ZZZZZZZN CAC

YIB ++−=→ (2.6.9) САВ для третьей части числителя (2.6.1) записывается и раскрывается

аналогично выражениям для его первой и второй частей =→0AC

YIBN ].)([ 656542 ZZZZZZZ B ++−= Учитывая выражения (2.6.7), (2.6.9) и (2.6.10) в формуле (2.6.1), получаем

.])([])([])()[(

656542

656542656542

DEZZZZZZZ

EZZZZZZZEZZZZZZZZ

I CB

BCACB

++−−++−+++

=

Выражение (2.6.11), сформированное явным методом наложения,

содержит в числителе повторяющиеся одинаковые множители 2Z и .)( 65654 ZZZZZ ++ Для исключения этой избыточности – поиска и вынесения

этих множителей за скобки – требуются специальные трудоемкие алгоритмы. Этого можно избежать, если использовать обсуждаемый неявный метод наложения.

Для формирования числителя по неявному методу наложения воспользуемся формулой (2.5.7), согласно которой определитель схемы числителя

(2.6.11)

(2.6.10) ZB

ZA

ZC

Z1 Z2Z4

Z5 Z6

а

b

. (2.6.8)ZB

ZA

ZC

Z1 Z2Z4

Z5 Z6

а

b

115 ==1YIUN

В схеме определителя (2.6.12) стянем сопротивление Z1, последовательное ПНУИ, выделим сопротивление Z2, параллельное ПНУИ, применим к оставшейся схеме частный вариант (в сечении находится ПНУИ) формулы бисекции по двум узлам a и b, уже использованный в выражении (2.6.6). Отсюда получаем

21 ZNYIU == Первый схемный определитель в выражении (2.6.13) обозначим N1,

второй – N2. Стянем в схеме N1 сопротивление ZA, соединенное последовательно с ПНУИ. Выделим сопротивление ZB. Учтем, что при удалении этого сопротивления происходит нейтрализация источника EBU. В результате имеем

В первом схемном определителе (2.6.14) стянем сопротивление ZC,

объединим два УИ в один (EA–EС–1)U и выделим его по формуле (1.6.1). Во втором определителе (2.6.14) выделим сопротивление ZC. Соответствующая формула будет содержать только одно слагаемое, поскольку стягивание ZC приводит к вырождению схемы вследствие появления контура из источников напряжения ECU и EBU. Оставшиеся в схеме после выделения-удаления ZC два источника объединяются в один источник (EA–EB–1)U (подобно первому определителю), который выделяется также по формуле (1.6.1). Подставляя в (2.6.13) сформированное выражение N1 и формулу для второго определителя N2, найденную ранее (см. (2.6.4)), получаем числитель 1=YIUN , который используем согласно (2.5.7) для записи искомого СВО

.])()][()([ 656542

DZZZZZEEZEEZZI BACCAB ++−+−

= (2.6.15)

. (2.6.13)

(EA–1)U

EBU ZB

ZA

ZC

U

ECUZ4

Z5 Z6

(EA–1)U

EBU ZB

ZA

ZC

Z1Z2

Z4

Z5 Z6

U

ECU

а

b

. (2.6.12)

. (2.6.14) N1 = ZB +ZC

(EA–1)UECU

U

ZC

(EA–1)UECU

U

EBU

116Сравним количество вычислительных операций в числителях формул

(2.6.11) и (12.6.15), полученных по явному и неявному методам наложения соответственно. В выражении (2.6.15) число умножений равно 6, сложений (вычитаний) – 5. В выражении (2.6.11) содержится 14 и 9 операций соответственно. Таким образом, СВО, сформированное неявным методом наложения, значительно экономичнее, чем СВО, полученное традиционным явным методом наложения. Неявный метод наложения эффективнее также по количеству формирующих схемно-алгебраических операций, поскольку исключает построение повторяющихся сомножителей, которое имеет место в явном методе наложения.

2.6.2. Анализ переходного процесса в линейной электрической цепи В случае анализа ЛЭЦ операторным методом исходная схема цепи

замещается операторной схемой, в которой каждый реактивный элемент представляется схемой, содержащей операторный источник напряжения или тока [36]. Таким образом, в операторной схеме замещения появляется большое количество независимых источников. В связи с этим для формирования операторных изображений СВО токов и напряжений целесообразно использовать неявный метод наложения, который позволяет получить более компактные операторные выражения, чем традиционный явный метод наложения. Для получения временных зависимостей токов и напряжений по известным операторным выражениям в настоящее время используются компьютерные математические системы.

Рассмотрим пример формирования операторного изображения напряжения на нагрузке параллельного колебательного контура, который подключается к источнику тока [36]. Исходная схема цепи представлена на рис. 2.6.2,а. Начальные условия для тока катушки индуктивности L и напряжения на конденсаторе C известны: 0)0( iiL = и 0)0( uuC = . Операторная схема замещения цепи изображена на рис. 2.6.2,б, где J(p) – операторное изображение источника j; Li0 – значение операторной ЭДС EL(p) катушки индуктивности L; Cu0 – значение операторного источника тока JC(p) для конденсатора C; последовательное соединение двух сопротивлений R3 и Lp преобразовано к одному сопротивлению R3+Lp.

Рис. 2.6.2. Электрическая цепь (а) и ее операторная схема замещения (б)

uC

t=0

R5 u5 R4

R2 R3

R1 j iL L

C

а

R5 U5(p)R4

R2 R3+Lp

R1

J(p) Li0

Cu0 Cp

б

117Искомое напряжение на нагрузке U5(p) для сравнения найдем явным и

неявным методами наложения. По явному методу с помощью формулы (2.5.3) запишем

0

00

005 )()( CuZLiKpJZpU JEL

UJCJJC

UELELJC

UJ→→→ ++=

или

.)()( 00

000

5 DCuNLiNpJNpU

JELZUJC

JJCKUEL

ELJCZUJ

→→→ ++= (2.6.16)

где 00 , →→ JEL

UJCELJC

UJ ZZ – передаточные сопротивления от источников тока J(p) и JC(p) соответственно (при нейтрализации остальных источников, которые указаны в верхнем индексе) к приемнику напряжения U5(p); 0→JJC

UELK – коэффициент передачи напряжения от источника EL(p) к приемнику напряжения U5(p) при нейтрализованных источниках J(p) и JC(p);

000 ,, →→→ JELZUJC

JJCKUEL

ELJCZUJ NNN – числители схемных функций 000 ,, →→→ JEL

UJCJJC

UELELJC

UJ ZKZ соответственно.

Сначала сформируем знаменатель D функции (2.6.16), который, как уже отмечалось, не зависит от используемого явного или неявного метода наложения. Запишем САВ

САВ (2.6.17) получено из схемы на рис. 2.6.2,б путем нейтрализации источников тока J(p), JC(p) и напряжения EL(p). Для раскрытия определителя (2.6.17) будем использовать схемно-алгебраические операции, уже использованные ранее при анализе трехфазной цепи.

Предварительно последовательное соединение сопротивлений R1 и R2 преобразуем к одному сопротивлению R1+R2. Применяя формулу для определителя схемы, разделимой по двум узлам a и b, получаем

Первый схемный определитель – это определитель контура из сопротивлений. Второй схемный определитель раскрывается по формуле определителя схемы,

R5R4

R2 R3+LpR1

CpD = . (2.6.17)

а

b

. (2.6.18) D = R3+Lp

R1+R2 CpR5R4

а

+R3+Lp

R1+R2 Cp

R5 R4

а

118разделимой по одному узлу a, и содержит два сомножителя. Первый сомножитель – определитель контура из сопротивления R4 и проводимости Cp, второй сомножитель – определитель контура из сопротивления R5. Третий определитель в (2.6.18) находится так же, как и второй, по формуле одноузловой бисекции. Оба сомножителя в этой формуле – определители контуров из сопротивлений R1+R2 и R3+Lp. Четвертый схемный определитель в (2.6.18) – определитель контура из сопротивления R4+R5 и проводимости Cp. Отсюда получаем ].1))[()(()1)(( 5432143215 +++++++++= CpRRLpRRRCpRLpRRRRD (2.6.19)

Числитель выражения (2.6.16) находится по частям. Первая часть =→0ELJC

ZUJN

САВ (2.6.20) получено из схемы на рис. 2.6.2,б путем замены источника тока J(p) и приемника напряжения U5(p) ГНУИ и ПНУИ соответственно, а также нейтрализации источников Li0 и Cu0. Выделим в (2.6.20) сопротивления R1 и R5, параллельные ГНУИ и ПНУИ соответственно. Стянем сопротивление R2, соединенное последовательно с ГНУИ. Выделим сопротивление R3+Lp, параллельное ГНУИ. Заменим идеальным проводником параллельное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ. Запишем определитель элементарного контура из сопротивления R4 и проводимости Cp. Отсюда получается выражение первой части числителя (2.6.16)

).1)(( 4351

0 ++=→ CpRLpRRRN ELJCZUJ (2.6.21)

Аналогично находятся вторая и третья части выражения числителя (2.6.16), которые приведены ниже без комментариев

=→0JJC

KUELN ),1)(( 4215 ++−= CpRRRR =→0JEL

ZUJCN ).)(( 2135 RRLpRR ++= Подставляя выражения (2.6.17), (2.6.21) – (2.6.23) в формулу (2.6.16),

получаем искомое СВО по явному методу наложения

. (2.6.20)R5R4

R2 R3+LpR1

Cp

. (2.6.22)R5R4

R2 R3+LpR1

Cp

(2.6.23)R5R4

R2 R3+LpR1

Cp

119

.))(()1)(()()1()(

)( 02135

042154531

5 DCuRRLpRR

LiCpRRRRpJCpRRLpRR

pU ++++++−++

= (2.6.24)

Теперь сформируем СВО, воспользовавшись неявным методом наложения,

например, по формуле (2.5.10), которая в данном случае имеет вид

,)( 15 D

NpU ZUJ == (2.6.25)

причем числитель имеет вид

==1ZUJN

В формуле (2.6.26) и далее в текущем примере операторные токи J(p) и I(p) обозначаются сокращенно J и I соответственно из-за отсутствия места для их полного написания. Для раскрытия определителя (2.6.26) выделим сопротивление R5, параллельное ПНУИ, и сопротивление R3+Lp

В первом схемном определителе нейтрализуем разомкнутый источник

напряжения и выделим параметры УИ, управляемых током ГНУИ, согласно тождеству (2.5.12). Во втором схемном определителе выделим параметр управляемого током источника напряжения, параллельного ПНУИ. Этот источник управляется током ГНУИ, поэтому также воспользуемся тождеством (2.5.12), в котором из трех слагаемых ненулевым будет только одно – содержащее параметр Li0. Остальные слагаемые равны нулю, поскольку их схемные определители содержат контуры из ПНУИ. После выполнения этих операций получаем

. (2.6.26)R5R4

R2 R3+LpR1

CpI

(J–1)I

Li0 I Cu0 I

NZUJ=1= R5 (R3+Lp)

. (2.6.27)

R2

R1

CpI

(J–1)I

Li0 I

R4

Cu0 I

R2

R1I

(J–1)I

Li0 I

R4

Cp Cu0 I

+

+

120

После подстановки выражения (2.6.28) в формулу (2.6.25) получается

окончательное выражение искомого СВО по неявному методу наложения

.)}1)(()]()1()[{()( 421021041355 D

CpRRRLiRRCuCpRJRLpRRpU ++−++++=

Сравним выражение (2.6.24), полученное явным методом наложения, и

выражение (2.6.29), сформированное с помощью предлагаемого неявного метода. Числитель формулы (2.6.24) содержит 18 операций умножения и 8 операций сложения. Числитель выражения (2.6.29) включает 14 и 7 операций соответственно. Длина выражения (2.6.24) составляет 65 символов. При этом учитываются знаки операций, каждая из скобок, идентификатор переменной представляется одним символом. Формула (2.6.29) содержит 56 соответствующих символов. Таким образом, СВО по неявному методу наложения является более компактным и экономичным по количеству вычислительных операций.

2.7. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ НПН получил воплощение в форме неявных методов анализа ЛЭЦ на

основе отношений воздействий и единичного опорного источника (см. подразделы 2.3. – 2.6.). Достоинством этих методов является возможность формирования СВО общего вида (2.3.1) и (2.5.1). В схемах числителей этих выражений отсутствуют независимые источники воздействия, которые замещены источниками, управляемыми опорным источником тока (напряжения), или дополнительным единичным источником. Таким образом, в СВО, формируемых методом отношений воздействий, присутствуют в качестве параметров отношения воздействий, что может усложнить аналитическое исследование выражений в случае переменных воздействий. Наличие дополнительного источника в методе опорного источника приводит к усложнению исходной схемы.

NZUJ=1= R5 (R3+Lp) J

. (2.6.28) R2

R1

Cp

R4+ Li0

R2

R1

Cp

R4 + Cu0

R2R1

Cp

R4 +

(2.6.29)

121Отмеченные недостатки названных методов побуждают ввести понятие

определителя схемы, содержащей независимые источники. Для разложения определителя схемы с независимыми источниками воздействий требуются формулы их выделения, что позволит реализовать НПН в форме метода выделения независимых источников или обобщенного метода выделения параметров. Традиционно принято отождествлять понятия определителя схемы со знаменателем ее схемной функции (или знаменателем СВО), то есть знаменатель СВО получается как определитель схемы, образованной из исходной схемы в результате нейтрализации независимых источников и приемников откликов. Напомним, что следствием нейтрализации является удаление независимых источников тока и приемников напряжения, а также стягивание независимых источников напряжения и приемников тока.

Отклоняясь от существующей традиции, будем отождествлять понятие числителя СВО с понятием определителя исходной схемы, в которой приемник с искомым током и напряжением заменен на ПНУИ, как показано на рис. 2.7.1,а,б.

Рис. 2.7.1. Преобразование исходной схемы (а) к схеме числителя (б)

2.7.1. Выделение параметров независимых источников Для разложения определителя схемы с независимыми источниками

воздействий требуются формулы их выделения, что позволит реализовать НПН в форме метода выделения независимых источников или обобщенного метода выделения параметров.

Рассмотрим произвольную ЛЭЦ на рис. 2.7.1,а, в которой имеется N независимых источников ЭДС и S источников тока. Требуется построить символьное выражение для напряжения U. Запишем сначала в соответствии с явным принципом наложения (2.3.4) числитель искомого СВО

а

E1

U

E2 EN

…

J1 J2 JS …

б

E1 E2 EN

…

J1 J2 JS …

N =

…

… E1 +

…

…E2 +…+

…

… EN +

… … …

… J1 +

…J2 +…+ JS . (2.7.1)+

…

122Выражение (2.7.1) можно рассматривать как формулу одновременного выделения всех независимых источников. В подразделе 2.1. отмечалось, что такое выделение является неэффективным с точки зрения получения компактного СВО. Для обеспечения последовательного выделения независимых источников необходимо вывести формулу выделения только одного (произвольного) источника.

Искомую формулу выделения независимого источника получим на основе схемы числителя, представленной на рис. 2.7.1,б. Эта схема получена из исходной схемы на рис. 2.7.1,а путем замены приемника напряжения US приемником НУИ. Такое изменение схемы соответствует (2.7.1), каждое слагаемое которого содержит вместо приемника напряжения приемник НУИ. ПНУИ, замещающий приемник с искомым напряжением или током, не отличается от ранее рассмотренных ПНУИ и обладает всеми их свойствами (см. табл. П.1.6 – П.1.8).

Исследуем (2.7.1) на предмет получения формулы выделения, например, источника ЭДС EN. Очевидно, искомая формула, как и формулы выделения сопротивления (1.3.1), проводимости (1.3.2) и УИ (1.6.1), будет содержать два слагаемых. Первое слагаемое повторяет слагаемое из (2.7.1), которое содержит параметр EN, а вторым слагаемым будет САВ, в котором источник EN нейтрализован. Последнее слагаемое получается путем объединения в одном САВ всех слагаемых из (2.7.1), кроме одного, содержащего EN. В результате искомая САВ для выделения EN имеет вид

или в алгебраическом виде ),0()0,;( =+→→−= NNN EJEГНУИEE ∆∆∆ (2.7.2) где )0,;( →→− JEГНУИE N∆ – определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате преобразования выделяемого источника EN ГНУИ противоположного направления, а все остальные независимые источники нейтрализованы; )0( =NE∆ – определитель схемы, образованной из исходной схемы путем нейтрализации источника EN.

Аналогичным образом получается САВ для выделения источника тока

= EN +

… E1 E2

…

EN

J1 J2 JS …

… E1 E2

… J1 J2 JS

…

= JS +

… E1 E2

…

EN

J1 J2 JS …

… … E1 E2

…

EN

J1 J2

123или в алгебраическом виде ),0()0,;( =+→→−= SSS JJEГНУИJJ ∆∆∆ (2.7.3) где )0,;( →→− JEГНУИJ S∆ – определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате преобразования выделяемого источника JS ГНУИ противоположного направления, а все остальные независимые источники нейтрализованы; )0( =SJ∆ – определитель схемы, образованной из исходной схемы путем нейтрализации источника JS.

Алгебраические формулы (2.7.2) и (2.7.3) для выделения параметров независимых источников ЭДС и тока могут быть записаны в виде одного выражения ),0()0;( =+→→−= QQQ XXГНУИXX ∆∆∆ (2.7.4) где XQ – параметр независимого источника напряжения или тока с номером Q;

)0;( →→− XГНУИX Q∆ – определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате замены выделяемого источника XQ на ГНУИ противоположного направления, а все остальные независимые источники нейтрализованы; )0( =QX∆ – определитель схемы, образованной из исходной схемы путем нейтрализации источника XQ.

СВО для напряжения U (см. рис. 2.7.1,а) получается в виде САВ

где числитель получается в результате нейтрализации источников воздействия и приемника с искомым откликом.

Для разложения числителя в САВ (2.7.5) используется формула выделения независимых источников (2.7.4) наравне с известными формулами выделения сопротивления (1.3.1), проводимости (1.3.2) и УИ (1.6.1). Порядок выделения элементов может быть произвольным. Однако очередность применения той или иной формулы к тому или иному элементу схемы влияет на объем требуемых выкладок и сложность результирующего алгебраического выражения. Правила формирования оптимальных выражений рассматривались в п. 1.6.1. и подразделе 1.9. В первую очередь выделяются элементы с максимальными показателями участия, для которых второе слагаемое соответствующей формулы выделения обращается в нуль. Некоторые частные

U = , (2.7.5)

E1 E2 EN

…

J1 J2 JS …

…

…

124случаи выделения параметров приведены в табл. П.1.10. В этой таблице следует толковать расширительно те правила, которые касаются УИ. Эти правила справедливы также для схем, в которых вместо УИ присутствуют соответствующие независимые источники.

САВ для СВО вида (2.7.5) выгодно отличается от САВ (2.3.5), (2.3.13), (2.3.15), (2.3.16), (2.5.4), (2.5.7), (2.5.10), (2.5.11), отсутствием дополнительных элементов в схеме числителя СВО. Однако метод выделения независимых источников, в отличие от методов отношений воздействий и единичного источника, требует использования дополнительной формулы (2.7.4).

2.7.2. Пример формирования операторных выражений СВО Выполним анализ схемы на рис. 2.6.2,а, рассмотренной ранее в п. 2.6.2,

используя метод выделения независимых источников. Знаменатель операторного выражения напряжения U5(p) для схемы замещения на рис. 2.6.2,б находится так же, как в п. 2.6.2. Исходное САВ числителя N записывается согласно (2.7.2)

В первую очередь выделяется сопротивление R5, имеющее максимальный

показатель участия, а затем, например, независимый источник тока Cu0 В первом схемном определителе заменим последовательное соединение R1

и R2 одним сопротивлением R1+R2, удалим Cp, стянем R4, заменим проводником параллельное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ. Для раскрытия второго определителя в САВ (2.7.7) используем частную формулу для двухполюсника, соединенного с ПНУИ (см. строку 5 табл. П.1.12). После выполнения указанных операций числитель искомого СВО принимает вид

R5R4

R2 R3+Lp

R1

J(p) Li0

Cu0 Cp

N = . (2.7.6)

. (2.7.7) N = R5 Cu0R4

R2 R3+LpR1

Cp

R2 R3+Lp

R1

J(p) Li0

R4

Cp

+

. (2.7.8) N = R5 Cu0

R3+Lp

R1+R2

R2 R3+Lp R1

J(p) Li0

+ (R4Cp+1)

125В первом слагаемом САВ (2.7.8) найдем определитель схемы, разделимой

на две части по одному узлу. Во втором слагаемом выделим в произвольном порядке источники J(p) и Li0. В результате получаем

В первом схемном определителе выделим сопротивления R3+Lp и R1,

стянем R2, запишем значение определителя контура из ГНУИ и ПНУИ. Во втором определителе стянем R3+Lp, заменим проводником с изменением знака слагаемого параллельное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, запишем значение определителя контура из R1 и R2. В результате получается алгебраическое выражение числителя искомого СВО

)]}.()()[1())(({ 21013432105 RRLiRLpRJCpRLpRRRCuRN +−+++++= (2.7.10) Выражение (2.7.10) содержит 13 операций умножения, 7 сложений, всего

55 символов. Это выражение требует на одно умножение меньше, чем СВО (2.6.28). Отметим, что СВО (2.7.10) можно получить и методом единичного опорного источника, если после выделения R5 выделить в (2.6.26) параметр УИ Cu0I. Таким образом, метод выделения независимых источников и метод единичного опорного источника обеспечивают произвольный порядок выделения элементов. Однако первый метод в отличие от второго не требует введения в схему дополнительного УИ, что уменьшает объем проводимых выкладок.

2.8. МЕТОД УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ Рассмотренный выше метод выделения независимых источников выгодно

отличается от метода отношений воздействий и метода единичного источника тем, что при нахождении числителя используется по существу исходная схема. Однако включение новой формулы (2.7.4) в арсенал формул МСО сопряжено с дополнительными затратами на ее освоение. В этом подразделе предлагается еще одна реализация НПН, которая предусматривает нахождение СВО непосредственно из формулы (1.6.1), минуя нахождение ССФ и применение каких-либо дополнительных формул.

Рассмотрим схему, содержащую источник ЭДС E, источник тока J и приемник с искомым током I, которая показана на рис. 2.8.1,а.

. (2.7.9) N = R5 Cu0(R1+R2)(R3+Lp)+(R4Cp+1) J(p)

R2

R3+Lp

R1

R2

R3+Lp

R1

+ Li0

126

Рис. 2.8.1. Эквивалентная замена независимых источников на источники, управляемые током

От схемы на рис. 2.8.1,а, используя формальную замену I/I для

множителя – единицы при E и J, нетрудно перейти к эквивалентной схеме на рис. 2.8.1,б. Эта схема на рис. 2.8.1,б не содержит независимых источников, следовательно, ее определитель при токе I, отличном от нуля, должен быть тождественно равен нулю, то есть схема на рис. 2.8.1,б является вырожденной. Применяя формулу (1.6.1) к схеме на рис. 2.8.1,а, получаем САВ

которое с учетом вырожденности схемы на рис. 2.8.1,б приводит к выражению для искомого СВО тока

Если ввести запрет на нейтрализацию приемника с искомым током, то

САВ (2.8.1) записывается более компактно

J

E

I

а

(J/I) I

(E/I) I

I I

б

. (2.8.1)

J + E

I =

= (J/I) + (E/I) + (J/I) I

(E/I) I

I I

,

127 где символ I, который помечает схемный определитель, указывает на вырождение всех схем, образованных при его раскрытии и не содержащих приемника с током I.

Аналогично может быть найдено САВ для СВО напряжения в схеме на рис. 2.8.2,а.

Рис. 2.8.2. Эквивалентная замена независимых источников на источники, управляемые напряжением

Опуская промежуточные выкладки, получаем

где символ U, который помечает схемный определитель, указывает на вырождение всех схем, образованных при его раскрытии и не содержащих приемника c напряжением U.

Таким образом, для эффективного символьного анализа электрических цепей с произвольным набором линейных элементов достаточно пяти формул разложения схемных определителей (1.3.1) – (1.3.4) и (1.6.1), а выражения вида (2.8.2) и (2.8.3) легко могут быть получены как решения уравнения ∆=0. Вместе с тем формула (1.6.1) обобщает формулы (1.3.1) и (1.3.2), поскольку

J

E

а

(J/U) U

(E/U) U

б

U U U

, (2.8.3)J U

E U

U = U U

U

, (2.8.2)J I

E I

I I

I

I =

128проводимость и сопротивление являются частными случаями источника тока, управляемого напряжением, и источника напряжения, управляемого током, соответственно (см. рис. 1.2.1). Предназначение формул (1.3.3) и (1.3.4) состоит в том, чтобы уменьшить объем проводимых выкладок и сложность формируемых выражений.

Таким образом, единственной формулы (1.6.1) достаточно, чтобы выполнить анализ произвольной ЛЭЦ с произвольным числом воздействий. Следует отметить, что переход к эквивалентным схемам на рис. 2.8.1,б и 2.8.2,б очевиден, в отличие от формальной концепции «замкнутой схемы или схемы сортировки» [55], представленной на рис. 2.8.3 и до сих пор не обобщенной для нескольких источников воздействий.

Рис. 2.8.3. Замена независимого источника тока на ИТУН для последующей сортировки слагаемых числителя и знаменателя

В целом все рассмотренные методы на основе НПН – метод отношений

воздействий, метод единичного источника, метод выделения независимых источников и метод управляемых источников – позволяют сформировать СВО, обладающие меньшей вычислительной сложностью (на 20–40 % для практических схем), чем явный метод наложения. Наиболее эффективны эти методы для многофазных электрических цепей и многополюсных электронных цепей в установившемся режиме, для линий временной задержки и колебательных систем в переходном режиме. При формировании оптимальных СВО для таких схем, наряду с правилами показателей участия, кратности и половинного деления (см. п. 1.6.1), следует применять к исходной схеме и производным от нее схемам перенос источников ЭДС через сечение и источников тока по контуру [56] для уменьшения общего количества независимых источников.

J U U yU ∆ = yPy + P0

U J

∆N

∆D

Py P0

129

3. СИМВОЛЬНАЯ ДИАГНОСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ КОМПЕНСАЦИИ ЭЛЕКТРОКОМПОНЕНТОВ

3.1. БАЗИСНАЯ ЗАДАЧА ДИАГНОСТИКИ Одной из основных задач диагностики ЛЭЦ является задача

параметрической идентификации электрокомпонентов [5, 19, 64, 67]. Такая задача возникает в процессе неразрушающего контроля, испытания или восстановления электронных средств. Эта задача состоит в определении совокупности неизвестных параметров элементов электрической цепи по известным параметрам элементов и измеренным экспериментально токам и напряжениям. Если токи и напряжения измеряются для одного режима цепи, то такой диагностический эксперимент называется однократным. При однократном эксперименте обычно используются рабочие источники воздействий электрической цепи. Диагностирование с рабочими источниками называется функциональным. В отличие от функционального диагностирования при тестовом диагностировании используются тестовые (нерабочие, вспомогательные) источники. Тестовое диагностирование предусматривает, как правило, многократный эксперимент, при этом токи и напряжения измеряются при различных состояниях цепи, которые могут отличаться как источниками воздействия, так и параметрами элементов. Многократный эксперимент целесообразно проводить, если в рамках однократного эксперимента условия разрешимости задачи не выполняются, например, число искомых параметров больше числа возможных независимых измерений.

После проведения однократного или многократного эксперимента диагностика сводится, как правило, к численному решению линейных или нелинейных систем диагностических уравнений, составленных относительно искомых параметров. Линейные системы диагностических уравнений имеют место как при использовании однократного эксперимента в рамках базисной задачи диагностики [19], так и при многократном эксперименте, когда все узлы цепи доступны для измерения [4, 10]. Нелинейные системы уравнений обычно получаются, когда не все узлы проверяемой цепи доступны [5, 18, 64, 66].

В настоящее время преимущественное развитие получили матричные методы диагностики [5, 4, 10, 19]. Вместе с тем желательно решить эту задачу в аналитическом (символьном) виде топологическими методами, то есть без составления уравнений. Полученные таким образом формулы для искомых параметров элементов позволяют исследовать общие свойства функций и цепей [3, 9]. Символьная задача диагностики также сводится к аналитическому решению линейных [28, 29, 72] или нелинейных [64, 66] алгебраических уравнений.

130

В данном разделе рассмотрим символьное решение базисной задачи диагностики произвольной ЛЭЦ при гармоническом режиме на основе топологического решения соответствующей системы линейных уравнений. «Базисная модель является удобной отправной точкой для построения более сложных моделей диагностики электрических цепей» [19, с.19]. Сформулируем задачу следующим образом. Известна принципиальная схема цепи, которая может содержать любые активные и пассивные элементы: резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, взаимоиндуктивности, транзисторы, операционные усилители, гираторы, конверторы сопротивлений, независимые источники напряжения и тока. Даны значения части параметров элементов. Если цепь содержит электронные компоненты, то в ней наблюдается малосигнальный режим.

Для получения дополнительной информации проводится однократный эксперимент при рабочих источниках воздействия, то есть диагностирование является фукциональным. Измерения осуществляются на доступных узлах и ветвях. В качестве экспериментальных данных используются действующие значения и начальные фазы узловых и межузловых напряжений, а также токов ветвей и полюсов элементов. Требуется найти неизвестные параметры элементов в виде аналитических выражений. Для аналитического решения поставленной задачи диагностики целесообразно использовать МСО, рассмотренный в первом и втором разделах. Однако применить этот метод непосредственно к исходной диагностируемой схеме (ИДС) невозможно, поскольку параметры некоторых элементов неизвестны.

3.2. ПОНЯТИЕ О КОМПЕНСАЦИИ ЭЛЕКТРОКОМПОНЕНТОВ Поставленная задача символьной диагностики ЛЭЦ решена в [28, 29]

путем перехода через нуллорное представление матрично-численной задачи диагностики [19, 42] к символьной задаче анализа любым топологическим или схемно-алгебраическим методом [31, 43, 58]. Задача диагностики преобразуется к задаче анализа с помощью компенсации в ИДС элементов с неизвестными параметрами с помощью двух схемных операций: 1) замены компенсируемого элемента ГНУИ; 2) фиксации на некоторой произвольной ветви измеренного на ней напряжения U или тока I. Подчеркиванием отмечены здесь и далее комплексные действующие значения напряжений и токов. Фиксация напряжения U осуществляется включением между соответствующими зажимами фиксирующей ветви по напряжению – последовательного соединения компенсирующего независимого источника ЭДС EC=U и ПНУИ. Ток I фиксируется включением в разрыв соответствующей ветви фиксирующей ветви по току – параллельного соединения компенсирующего независимого источника тока JС=I и ПНУИ. Вместо НУИ может быть использован также направленный нуллор (см. рис. 1.1.2).

Полученная с помощью указанных преобразований схема замещения с компенсированными элементами (СКЭ) эквивалентна ИДС. Это

131

подтверждается в предыдущем разделе доказательством теоремы 2.2.1 о компенсации комплексного сопротивления. Такого рода компенсацию, при которой компенсирующий независимый источник устанавливается не вместо компенсируемой ветви, как в классической теореме о компенсации [43], а взамен другой произвольной ветви, назовем косвенной компенсацией, а соответствующий метод компенсации – методом косвенной компенсации (МКК). Компенсация, основанная на классической теореме, рассматривается как прямая (непосредственная) компенсация элементов, а соответствующий метод диагностики называется методом прямой компенсации (МПК).

МПК позволяет упростить решение частной задачи символьной диагностики, когда измерены напряжения или токи на всех элементах с неизвестными параметрами. МКК в отличие от МПК является общим методом компенсации элементов. Преимущества обоих методов можно объединить в методе комбинированной компенсации. В этом случае элементы с неизвестными параметрами, на которых измерены напряжения или токи, компенсируются МПК, а остальные элементы – МКК. Формирование более компактных и экономичных по количеству вычислительных операций выражений для искомых параметров обеспечивается применением методов прямой, косвенной и комбинированной компенсации на основе неявного принципа наложения источников воздействия и компенсирующих источников, изложенного во втором разделе пособия.

3.3. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЕШЕНИЯ БАЗИСНОЙ ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИКИ

Первым необходимым условием решения (разрешимости) произвольной

задачи диагностики ЛЭЦ или диагностируемости цепи является ненулевой определитель ее схемы замещения в предположении, что параметры всех элементов известны [18, 51, 74, 75]. Такой определитель соответствует определителю схемы в режиме анализа. Отличие от нуля определителя схемы является необходимым условием решения задачи диагностики, поскольку это достаточное условие существования и единственности решения задачи анализа (см. п. 2.3.). Если это условие не выполняется, значит, некорректно построена модель цепи для ее анализа, а, следовательно, не имеет смысла ее диагностика на основе такой некорректной модели. Необходимо пересмотреть схему замещения ЛЭЦ, например, устранить излишнюю идеализацию элементов, и привести ее к ненулевому определителю. Эффективным способом контроля определителя схемы являются топологические условия вырождения схем (∆=0), приведенные в табл. П.1.7.

Второе необходимое условие решения задачи диагностики заключается в том, что количество измеренных напряжений и токов mUI должно быть не меньше количества параметров n, подлежащих определению. Это условие назовем условием количества измерений. При этом из всех mUI измерений используется для построения СКЭ только n токов и напряжений. Этого

132

достаточно, чтобы СКЭ характеризовалась определенной системой уравнений по законам Кирхгофа с числом уравнений, равным числу неизвестных токов и напряжений [19, 60, 79].

Третьим необходимым условием разрешимости задачи диагностики параметра элемента является условие его ненулевого режима. Если ток и напряжение элемента с искомым параметром равны нулю, то на основе данной схемы замещения определить этот параметр нельзя. Этот параметр заведомо не влияет на режим любого измеряемого тока или напряжения. Чтобы проверить условие ненулевого режима параметра необходимо найти в режиме анализа ток или напряжение на элементе с искомым параметром. Если ток или напряжение на искомом элементе тождественно равен нулю, то на основе данной схемы замещения определить параметр этого элемента нельзя. Необходимо перейти к более сложной схеме замещения, которая учитывает хоть малые, но ненулевые, токи и напряжения на элементе с искомым параметром. Отбор измерений для построения СКЭ производится согласно третьему условию диагностируемости ЛЭЦ.

Параметр иногда не определяется и в случае ненулевого тока или напряжения этого элемента, если его параметр не влияет на измеренное напряжение или ток. Чтобы исключить такую возможность, следует проверить четвертое необходимое условие диагностируемости цепи – условие влияния параметра. Для проверки этого условия следует получить в режиме анализа СВО для измеренного тока или напряжения. Если искомый параметр входит в это СВО, то условие влияния параметра выполняется. В противном случае необходимо заменить наблюдаемую ветвь (положение вольтметра или амперметра). При диагностике нескольких параметров, каждый из них должен входить по крайней мере в одно СВО измеренных токов или напряжений.

Пятым необходимым условием разрешимости базисной задачи диагностики является отличие от нуля определителя СКЭ (см. рис. 3.4.1,б и рис. 3.4.8,б), поскольку для получения искомых параметров в сущности используется анализ этой схемы, а условием существования и единственности решения задачи анализа является отличие от нуля ее определителя (см. п. 2.3.). Если это условие не выполняется, то необходимо сменить часть наблюдаемых ветвей или тип некоторых измеряемых величин (напряжение на ток или наоборот) [19].

Достаточными условиями разрешимости задачи диагностики являются только два из пяти необходимых условий: условие ненулевого режима (третье в перечне необходимых условий) и условия ненулевого определителя СКЭ (пятое по порядку). Оставшиеся необходимые условия (первое, второе и четвертое) проверяются автоматически при поиске определителя СКЭ.

Чтобы исключить самые простые, и в то же время самые распространенные случаи невыполнения условия ненулевого режима, необходимо при построении ИДС пользоваться топологическими правилами, приведенными в табл. 3.3.1. Во-первых (см. строку 1 табл. 3.3.1), искомые сопротивления и проводимости не должны образовывать сечения (контуры) с ПНУИ и приемниками напряжения (тока). Во-вторых (см. строку 2 табл. 3.3.1),

133

генераторы напряжения (тока) не могут образовывать контуров (сечений) с ПНУИ и приемниками тока (напряжения). Однако соблюдение этих правил не освобождает от формирования СВО для токов или напряжений элементов с искомыми параметрами и проверки их на нуль, поскольку имеются другие случаи отсутствия тока или напряжения (см., например, строку 3 табл. 3.3.1).

Таблица 3.3.1. Топологические признаки невыполнения условия ненулевого режима для элемента с искомым параметром

№

Классы схем

1 Искомые сопротивления и проводимости образуют сечения (контуры)

с ПНУИ и приемниками напряжения (тока)

2 Генераторы напряжения (тока) с искомым параметром образуют контур (сечение) с ПНУИ и приемниками тока (напряжения)

3 Параллельно-последовательное соединение резисторов и ПНУИ

3.4. ПРАВИЛА НЕЗАВИСИМОГО ПОДКЛЮЧЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Чтобы исключить типичные случаи невыполнения условия ненулевого

определителя СКЭ необходимо при построении ИДС пользоваться следующими топологическими правилами, которые иллюстрируются в табл. 3.4.1.

?

? ?

?

? ? ?

?

??

134

Таблица 3.4.1. Топологические признаки вырождения ИДС

№ Классы схем 1 Схемы с контуром из вольтметров, амперметров,

независимых генераторов напряжения, приемников тока и ПНУИ

2 Схемы с сечением из амперметров, вольтметров,

независимых генераторов тока, приемников напряжения и ПНУИ

3 Схемы с контуром из элементов с неизвестными параметрами,

независимых и управляемых генераторов напряжения и ГНУИ

4 Схемы с сечением из элементов с неизвестными параметрами, независимых и управляемых генераторов тока и ГНУИ

5 Некоторые дополнительные схемы

A

V V

V

V

V

V

V V

V

V

V

V

VV

? ?

V AA ? ?

?VA

V

A

A A

A

A A V

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

135

1. Все вольтметры (приемники с измеренным напряжением) должны принадлежать одному произвольному дереву схемы и не образовывать контуров как отдельно, так и в совокупности с независимыми генераторами напряжения, приемниками тока и ПНУИ (строка 1 табл. 3.4.1).

2. Все амперметры (приемники с измеренными токами) должны входить в произвольное множество хорд и не образовывать сечений как отдельно, так и в совокупности с независимыми генераторами тока, приемниками напряжения и ПНУИ (строка 2 табл. 3.4.1).

3. Двухполюсные элементы с неизвестными параметрами, а также генераторы напряжения и тока независимых и управляемых источников с неизвестными параметрами, не должны образовывать контуров как отдельно, так и в совокупности с независимыми и управляемыми генераторами напряжения и генераторами НУИ (строка 3 табл. 3.4.1).

4. Двухполюсные элементы с неизвестными параметрами, а также генераторы тока и напряжения независимых и управляемых источников с неизвестными параметрами, не должны образовывать сечений, как отдельно, так и в совокупности с независимыми и управляемыми генераторами тока и генераторами НУИ (строка 4 табл. 3.4.1).

Перечисленные правила вытекают из условий вырождения схем, проиллюстрированных в табл. П.1.7. Соблюдение правил 1 – 4 построения ИДС не освобождает от формирования выражения определителя СКЭ и проверки его значения на ноль, поскольку возможны другие варианты вырождения ИДС (см., например, строку 5 в табл. 3.4.1).

Диагностируемость того или иного параметра может отсутствовать и в случаях, когда определитель СКЭ отличен от нуля. Это имеет место, как было отмечено в подразделе 3.3, в случае ненулевого режима диагностируемого элемента. Поэтому в качестве более сильного условия диагностируемости параметра можно рассматривать отличие от нуля схемных определителей для числителя и знаменателя СВП.

Ненулевой режим элемента всегда устраняется путем выбора более сложной (точной) схемы замещения. Однако ИДС с нулевым определителем СКЭ не всегда может быть преобразована к невырожденной схеме путем изменения положения вольтметров и амперметров. Если условие ненулевого определителя (невырожденности) СКЭ выполнить невозможно, то следует перейти от базисной задачи диагностики к диагностике на основе многократного эксперимента [4, 5, 66].

3.5. МЕТОД КОСВЕННОЙ КОМПЕНСАЦИИ НА ОСНОВЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ

СКЭ на основе НУИ в отличие от СКЭ на основе обычных нуллоров [19]

может быть проанализирована МСО. Используя результаты анализа, можно записать выражения для искомых параметров через ССФ. Так, комплексное сопротивление j-й ветви

136

,

1 111

1 1 11

∑ ∑∑∑

∑ ∑ ∑∑

= ===

= = ==

+++

+++== nE

i

nJс

i

Сi

Сji

nEс

i

Сi

Сji

nJ

iijiiji

nE

i

nJ

i

nJс

i

Сi

Сji

nEс

i

Сi

Сjiijiiji

j

jj

JTEYJTEY

JZEKJZEK

IU

Z (3.5.1)

где −jj IU , напряжение и ток ветви с номером j; nE, nJ, nEс, nJс – число воздействующих источников ЭДС и тока, компенсирующих источников ЭДС и тока соответственно; −С

jiji KK , коэффициенты передачи напряжения от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками ЭДС соответственно к j-й ветви; −С

jiji ZZ , передаточные сопротивления от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками тока соответственно к j-й ветви; −С

jiji YY , передаточные проводимости от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками ЭДС соответственно к j-й ветви;

−Сjiji TT , коэффициенты передачи тока от i-х ветвей с воздействующим и

компенсирующим источниками тока соответственно к j-й ветви. Учитывая, что все ССФ в (3.5.1) имеют один и тот же знаменатель, равный

определителю схемы замещения D, можно записать

,

1 111

1 1 11

∑ ∑∑∑

∑ ∑ ∑∑

= ===

= = ==

+++

+++== nE

i

nJс

i

Сi

TСji

nEс

i

Сi

YСji

nJ

ii

Tjii

Yji

nE

i

nJ

i

nJс

i

Сi

ZСji

nEс

i

Сi

KСjii

Zjii

Kji

j

jj

JNENJNEN

JNENJNEN

IU

Z (3.5.2)

где ,K

jiN ,ZjiN ,KC

jiN ,ZCjiN ,Y

jiN ,TjiN ,YC

jiN −TCjiN числители схемных функций ,jiK

,jiZ ,CjiK ,C

jiZ ,jiY ,jiT ,CjiY C

jiT соответственно. В частном случае, если напряжение Uj на искомом сопротивлении

известно, последнее находится по формуле

,

1 111∑ ∑∑∑= ===

+++= nE

i

nJс

i

Сi

TСji

nEс

i

Сi

YСji

nJ

ii

Tjii

Yji

jj

JNENJNEN

UDZ (3.5.3)

Аналогичная формула может быть записана и для известного тока Ij. При известных обеих переменных Uj и Ij нахождение Zj является тривиальным. Символьное выражение для проводимости ветви Yj формируется как обратное по отношению к Zj в (3.5.1) – (3.5.3).

Неизвестный параметр УИ, например, коэффициент передачи ИНУН, находится по формуле

137

,

1 111

1 1 11

∑ ∑∑∑

∑ ∑ ∑∑

= ===

= = ==

+++

+++== nE

i

nJс

i

Сi

Сli

nEс

i

Сi

Сli

nJ

iiliili

nE

i

nJ

i

nJс

i

Сi

Сji

nEс

i

Сi

Сjiijiiji

l

jj

JTEYJTEY

JZEKJZEK

UU

K (3.5.4)

где −lj UU , напряжение управляемой j и управляющей ветви l ИНУН; −C

lili KK , коэффициенты передачи напряжения от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками ЭДС соответственно к l-й ветви; −C

lili ZZ , передаточные сопротивления от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками тока соответственно к l-й ветви. Функции

Cji

Cjijiji ZKZK ,,, определены в пояснении к (3.5.1). Формула для параметра

ИНУН через числители ССФ записывается аналогично (3.5.2). Выражения для параметров УИ других типов подобны (3.5.4) и отличаются только видом используемых ССФ.

Неизвестная ЭДС s-го независимого источника находится по формуле

,1 11 1∑ ∑∑ ∑= == =

+++=nE

i

nJc

ii

Csi

nJ

i

nEc

i

Ci

Csiisiisis JZEKJZEKE (3.5.5)

где −C

sisi KK , коэффициенты передачи напряжения от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками ЭДС соответственно к s-й ветви; −C

sisi ZZ , передаточные сопротивления от i-х ветвей с воздействующим и компенсирующим источниками тока соответственно к s-й ветви.

В результате перехода к числителям и знаменателям ССФ формула (3.5.5) принимает вид

,1 1 11

D

JNENJNENE

nE

i

nJ

i

nJс

i

Сi

ZСsi

nEс

i

Сi

KСsii

Zsii

Ksi

s

∑ ∑ ∑∑= = ==

+++= (3.5.6)

где −ZC

siKCsi

Zsi

Ksi NNNN ,,, числители ССФ C

siCsisisi ZKZK ,,, соответственно.

Формулы для искомых параметров независимых источников тока записываются аналогично (3.5.5) и (3.5.6). Отличие этих формул от (3.5.5) и (3.5.6) состоит в том, что в них вместо коэффициентов передачи напряжения используются передаточные проводимости, а вместо передаточных сопротивлений – коэффициенты передачи тока.

Числители формул (3.5.2), (3.5.6) и знаменатели (3.5.2), (3.5.3), а также числители и знаменатели подобных функций для проводимости ветви и параметров УИ, являются целыми рациональными выражениями (многочленами), представленными в канонической форме [2] относительно

138

переменных .,,, Cii

Cii JJEE Эти переменные и другие параметры в упомянутых

функциях могут принимать действительные и комплексные значения, а между ними возможны только операции сложения, вычитания и умножения. Формируются многочлены из (3.5.2), (3.5.3) и (3.5.6) по СКЭ с помощью МСО.

Недостатком формул (3.5.2), (3.5.3), (3.5.6) является необходимость отдельного построения каждого слагаемого их числителей и знаменателей. Эта процедура аналогична формированию нескольких ССФ при анализе ЛЭЦ с двумя и более независимыми источниками на основе явного принципа наложения (2.1.2). Отдельное построение в числителях (3.5.2), (3.5.6) и знаменателях (3.5.2), (3.5.3) nE+nJ+nEc+nJc ССФ препятствует получению компактных и экономичных по количеству арифметических операций символьных выражений параметров (СВП) [50].

Искомые СВП, близкие к оптимальным выражениям по вычислительной сложности, можно сформировать на основе формул, содержащих многочлены общего (неканонического) вида. Это объясняется тем, что только в этом случае обеспечивается наиболее полная реализация правил формирования оптимальных выражений, которые заключаются в первоочередном выделении элементов с максимальными показателями участия (см. подраздел 1.9.). Следует подчеркнуть, что канонические многочлены в выражениях (3.5.2), (3.5.3) и (3.5.6) являются частным случаем неканонических многочленов и получены путем первоочередного выделения переменных C

iiCii JJEE ,,, , то есть

без учета указанных правил. Предлагаемые на основе неканонических многочленов СВП для искомого

сопротивления, параметра произвольного УИ, ЭДС и тока независимых источников имеют вид

,),,,(),,,(

IUJEVIUJEV

IUZ I

s

Us

s

ss == (3.5.7) ,

),,,(),,,(

IUJEVIUJEV

AB

Al

Bs

l

ss ==Χ (3.5.8)

,),,,(D

IUJEVEE

ss = (3.5.9)

DIUJEVJ

Js

s),,,(

= (3.5.10)

соответственно. В (3.5.7)–(3.5.10) −J

sE

sA

lB

sI

sUs VVVVVV ,,,,, символьные

неканонические многочлены, в которых переменными являются как известные сопротивления, проводимости, параметры УИ, так и измеренные напряжения (вектор U ), токи (вектор I ), а также известные параметры независимых источников воздействия (обозначены векторами ЭДС E и тока J );

−ls AB , токи или напряжения l-ой управляющей и s-ой управляемой ветвей УИ, например, для ИНУН ss UB = и ll UA = .

139

3.6. МЕТОД КОСВЕННОЙ КОМПЕНСАЦИИ НА ОСНОВЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Для построения СВП по формулам (3.5.7)–(3.5.10) предлагается метод

косвенной компенсации на основе УИ, поскольку известный МКК на базе независимых источников [19] обеспечивает построение символьных выражений только в канонической форме (3.5.2), (3.5.3), (3.5.6). Важно, что применение МКК на основе УИ позволяет использовать для анализа полученной СКЭ один из неявных методов наложения, который, как показано во втором разделе пособия, упрощает формирование и сокращает вычислительную сложность формируемых СВО. При использовании МКК на основе УИ в первую очередь следует доказать возможность применения источников, управляемых напряжением введенного в цепь источника единичного напряжения, для компенсации некоторого элемента с неизвестным параметром, обозначенного номером s на ИДС рис. 3.6.1,а. Для этого сформулируем теорему о косвенной компенсации элементов на основе УИ.

Теорема 3.6.1. Любой двухполюсный элемент s в ИДС рис. 3.6.1,а: сопротивление Zs, проводимость Ys, генераторы УИ всех четырех типов, независимые источники ЭДС Es или тока Js – может быть скомпенсирован, как показано на рис. 3.6.1,б, путем замены его ГНУИ при одновременной фиксации на другой произвольной наблюдаемой ветви f измеренного на ней напряжения Uf с помощью включенного параллельно этой наблюдаемой ветви фиксирующего двухполюсника в виде последовательного соединения ПНУИ и источника напряжения с параметром

,1ff U

EUk == (3.6.1)

управляемого напряжением U дополнительно введенного последовательно с произвольной ветвью единичного источника ЭДС E=1.

На рис. 3.6.1,б ГНУИ и ПНУИ обозначены двойной и одинарной укрупненной стрелкой соответственно. Для нейтрализации источника E последовательно и встречно ему включен другой единичный управляемый источник ЭДС U⋅1 . В знаменателе (3.6.1) единица сохранена, чтобы подтвердить безразмерность коэффициента k. На эквивалентной СКЭ рис. 3.6.1,б она удалена и при формировании СВО не используется.

Рис. 3.6.1. Компенсация двухполюсника S а

If

JB

EB Isи

Usи

Uf

V

S

1

2

б

UfU

JB

EB Isэ

Usэ

1

E

1UU2

140

Следует подчеркнуть, что компенсация элементов имеет смысл только в схеме, определитель которой отличен от нуля. Доказательство теоремы 3.6.1 разобьем на части, соответствующие типу компенсируемого элемента. Докажем первую часть теоремы 3.6.1, когда компенсируемым двухполюсником является сопротивление Zs на рис. 3.6.2,а. Подтвердим эквивалентность ИДС на рис. 3.6.2,а и СКЭ на рис. 3.6.1,б, приведя обе указанные схемы к схеме на рис. 3.6.2,б. Для этого компенсируем в схеме на рис. 3.6.2,а сопротивление Zs согласно теореме о косвенной компенсации (см. подраздел 2.2.) путем замены его ГНУИ и фиксации известного напряжения Uf с помощью последовательного соединения ПНУИ и независимого источника Ef=Uf. В результате получим схему на рис. 3.6.2,б, эквивалентную исходной схеме на рис. 3.6.2,а.

Рис. 3.6.2. Компенсация сопротивления В схеме на рис. 3.6.1,б заменим согласно классической теореме о

компенсации оба управляемых источника эквивалентными независимыми источниками ЭДС. В результате ветви 1 в схемах на рис. 3.6.1,б и рис. 3.6.2,б оказываются одинаковыми, а в ветви 2 на рис. 3.6.1,б равные по модулю, но противоположно направленные источники ЭДС взаимно нейтрализуются и она преобразуется в идеальный проводник, каким является ветвь 2 на рис. 3.6.2,б. В результате указанных преобразований схема на рис. 3.6.1,б преобразуется в схему рис. 3.6.2,б.

Таким образом, каждая из схем на рис. 3.6.2,а и рис. 3.6.1,б эквивалентна одной и той же схеме на рис. 3.6.2,б. Следовательно, первые две схемы эквивалентны и теорема 3.6.1 о компенсации сопротивления Zs доказана.

Следствием первой части теоремы 3.6.1 является формула для определения искомого параметра сопротивления Zs, которая позволяет сформировать символьное выражение Zs в неканоническом виде (3.5.7). Эта формула выводится по СКЭ на рис. 3.6.1,б следующим образом. В силу неявного принципа наложения заменим все независимые источники энергии в этой схеме источниками, управляемыми напряжением U единичного источника ЭДС E, как показано на рис. 3.6.3,а. Эту схему можно назвать схемой с неявным замещением независимых источников.

Zs

JB

EB 1

2

If

JB

EB Isи

Usи

Uf

V

1

2

а б

141

Рис. 3.6.3. Неявное наложение независимых источников

Используя указанную схему, запишем на основании теоремы 3.6.1

искомое СВП

==⋅⋅

====

=

=

=

1

1

1

1

11

YIsE

KUsE

IsE

UsE

sэ

sэ

sи

sиs N

NYK

IU

IUZ

где −=1UsEK коэффициент передачи напряжения от единичного источника ЭДС к приемнику напряжения Us; 1=IsEY – передаточная проводимость от единичного источника ЭДС к приемнику тока Is; −== 11, YIsEKUsE NN числители схемных функций 11, == IsEUsE YK соответственно. Знаменатели ССФ не показаны, поскольку они одинаковы и равны определителю D схемы на рис. 3.6.1,б. САВ

11, == YIsEKUsE NN получены из указанной СКЭ путем замены единичных источников ЭДС на ГНУИ, а приемников Us и Is на ПНУИ. ГНУИ и ПНУИ в СКЭ присвоен номер 1, а вновь введенным ГНУИ и ПНУИ – номер 2.

В числителе САВ (3.6.2) поменяем взаимно (с одновременным изменением знака выражения) номера у ГНУИ, заменим проводником параллельное согласное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ. В знаменателе также поменяем взаимно номера у ГНУИ, а затем удалим последовательное согласное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ. Отсюда получаем САВ для искомого СВП Zs.

2

1UU

UfU

JBU

EBU 1

1 2

1UU

UfU

JBU

EBU 1

1

2

2

, (3.6.2)

E

UfU

JBU

EBU

1U U

а

Isэ

Usэ Zs

E

If UfU

JBU

EBU

1UU

б

JBU

EBU

1U U

UfU

в

Zs

142

Окончательное выражение для ZS можно вывести, минуя нахождение Us и Is. Для этого восстановим ZS на рис. 3.6.3, а, получив схему, представленную на рис. 3.6.3,б. Передаточная проводимость 1=IfEY для схемы на рис. 3.6.3,б от единичного источника E к приемнику тока If равна нулю, поскольку If=0. Отсюда следует, что определитель ∆ схемы числителя 1=IfEY также равен нулю. Схема числителя, представленная на рис. 3.6.3,в, получается из схемы на рис. 3.6.3 путем замены источника E и приемника If на ГНУИ и ПНУИ соответственно. В результате разложения ∆ через выделение искомого сопротивления Zs с учетом тождества ∆=0 получаем

,ZZ

sZ∆

∆−= (3.6.3)

где −Z

Z ∆∆ , определители производных схем, полученных из схемы на рис. 3.6.3,в путем стягивания (замены идеальным проводником) и удаления соответственно сопротивления Zs.

Теорема 3.6.1 справедлива и для случая компенсации проводимости. Доказательство этой (второй) части теоремы осуществляется аналогично вышеприведенному доказательству первой части, поскольку теорема о косвенной компенсации (см. теорему 2.2.1) справедлива и для компенсации проводимости. В отличие от вывода формулы (3.6.3) при выводе формулы для Ys необходимо на рис. 3.6.3,в взамен Zs поставить Ys и применить вместо формулы выделения сопротивления формулу выделения проводимости. Таким образом, следствием второй части теоремы 3.6.1 является формула для искомой проводимости

,

Y

YsY ∆

∆−= (3.6.4)

где −Y

Y ∆∆ , определители производных схем, полученных из схемы на рис. 3.6.3,в удалением и стягиванием Ys соответственно.

Обратим внимание на то, что управляющий единичный источник можно включить в любую ветвь. Включим этот источник последовательно с источником EB и объединим их в один источник (EB–1)U, получив компактное САВ для Zs (см. выражение (3.6.3)), которую занесем в строку 1 табл. 3.6.1. В этом выражении штриховой линией обозначен двухполюсник M1

UU. Выражением можно пользоваться и при отсутствии в схеме независимого источника EB, приняв EB=0. САВ для Zs из строки 1 табл. 3.6.1 позволяет сформировать СВП в неканонической форме (3.5.7). САВ, соответствующая Ys (см. выражение (3.6.5)), записывается как обратное по отношению к сопротивлению Zs в (3.6.2) и приведено в строке 2 табл. 3.6.1. В этом выражении так же, как в выражении из строки 1, используется двухполюсник

UUM1 .

143

Таблица 3.6.1. САВ для искомых параметров с использованием измеренного и управляющего напряжений

№ Элемент и его САВ 1 Сопротивление

UUM1 UUM1

2 Проводимость UUM1 UUM1

3 ИТУТ UUM 2 UUM 2

4 ИНУН UUM 2 UUM 2

5 ИТУН UUM 2 UUM 2

6 ИНУТ UUM 2 UUM 2

7 Независимый источник ЭДС UUM1

8 Независимый источник тока UUM1

Zs = – UfU JBU

(EB–1)UU

Ys = –

ks = –

Yуs = –

Es =

Js =

ts = – UfU JBU

(EB–1)UU

Zуs = –

144

В частном случае, если известно напряжение Us, сопротивление находится подобно (3.5.3)

===1YIsE

ss N

UDZ

где D – определитель схемы замещения на рис. 3.6.1,б. Формула (3.6.5) дает такой же результат, как и общее выражение (3.6.2). Обратим внимание на то, что схемы определителей в МКК на основе УИ (3.6.5) и в МКК на основе независимых источников совпадают. В этом можно убедиться, если нейтрализовать согласно независимые источники в соответствующих СКЭ на рис. 3.6.1,б и рис. 3.6.2,б.

Формирование оптимальных СВП выполняется на основе алгоритма, рассмотренного в подразделе 1.9. (см. также пункт 1.6.1).

Теперь рассмотрим доказательство третьей части теоремы 3.6.1 о компенсации УИ. Возьмем для определенности ИТУТ. Перенесем на рис. 3.6.4,а и рис. 3.6.4,б схемы из рис. 3.6.1,а и рис. 3.6.1,б соответственно, учитывая следующие изменения: 1) в первой из них вместо двухполюсника S установим генератор ИТУТ; 2) выделим из многополюсников на схемах рис. 3.6.4,а и рис. 3.6.4,б управляющие ветви ИТУТ Iуи и Iуэ соответственно.

Рис. 3.6.4. Компенсация ИТУТ Докажем эквивалентность образованных схем. Поскольку их структуры

совпадают, то все доказательство сводится, как в первых двух частях теоремы 3.6.1, к подтверждению поэлементной эквивалентности. Источники ЭДС EB и тока JB, приемники тока Iуи и Iуэ, а также многополюсники на схемах рис. 3.6.4,а и 3.6.4,б попарно одинаковы. Из первой части теоремы 3.6.1 известно, что попарно эквивалентны ветви с номерами 1 и 2. Таким образом, остается

а

EB Uf

V

1

JB 2

Iуи tIуи

б

UfU EB Iэ 1

JB

E

1U U2

Iуэ

, (3.6.5)

Us

1UU

UfU

JBU

EBU

145

доказать, что генератор НУИ в СКЭ на рис. 3.6.4,б эквивалентен ИТУТ tIуи в ИДЦ на рис. 3.6.4,а. Для этого достаточно подтвердить, что

.// tIIII уииуээ == (3.6.6) Запишем сначала САВ для искомого отношения токов по СКЭ на рис.

3.6.4,б.

==⋅⋅

==

=

=

=

1

1

1

1

11

YIуI

YIE

Iуу

IE

уэ

э

NN

YY

II

где −== 11, IyEIE YY передаточные проводимости от единичного источника E=1 к приемникам тока Iэ и Iуэ соответственно; −== 11, YIyEYIE NN числители схемных функций 11, == IyEIE YY соответственно. В (3.6.7) знаменатели ССФ не показаны, поскольку они одинаковы и равны определителю СКЭ на рис. 3.6.4,б.

Числители 11, == YIsEKUsE NN сформированы на основе неявного метода наложения путем замены независимых источников EB и IB источниками, управляемыми напряжением единичного источника ЭДС E, то есть по аналогии с числителями из (3.6.2) и (3.6.4). Единичный источник E и приемники тока Iэ и Iуэ заменены генератором и приемниками НУИ соответственно. ГНУИ и ПНУИ на схеме рис. 3.6.4,б присвоен номер 1, а вновь введенным ГНУИ и ПНУИ в САВ (3.6.7) – номер 2.

В числителе дроби (3.6.7) поменяем взаимно номера у генераторов НУИ, удалим последовательное согласное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ, применим к числителю и знаменателю дроби (3.6.7) формулу выделения всех параметров УИ, управляемых напряжением ГНУИ. В результате получаем

=уэ

э

II

2

1UU

UfU

JBU

EBU 1

1

2

1UU

UfU

JBU

EBU 1

12

2

, (3.6.7)

. (3.6.8)

EB + JB + Uf

EB + JB + Uf 1

1 22 2

1

2

1 22 1

1

146

Теперь найдем САВ отношения токов Iи и Iуи для ИДС на рис. 3.6.4,а. Для

этого запишем согласно принципу наложения алгебраическое выражение для напряжения

,BUfJBUfEf JZEKU += (3.6.9) где −UfEK коэффициент передачи напряжения от источника BE к приемнику напряжения fU при нейтрализации источника тока BJ ; −UfJZ передаточное сопротивление от источника BJ к приемнику fU при нейтрализации источника

BE . Представим, используя (3.6.9) и ИДС на рис. 3.6.4,а, САВ напряжения в

виде

Схемы числителей в формуле (3.6.10) построены путем замены

соответствующих источников ГНУИ, а приемника напряжения fU – ПНУИ. Схема знаменателя получена из схемы на рис. 3.6.4,а путем нейтрализации независимых источников BE , BJ и приемника напряжения fU .

Выделим во всех схемных определителях числителя и знаменателя (3.6.10) параметр ИТУТ t. Выразим из полученного уравнения этот параметр

=уи

и

II

Для подтверждения (3.6.6) сравним (3.6.8) и (3.6.11). Предварительно

преобразуем (3.6.8). В третьем схемном определителе числителя удалим с изменением его знака последовательное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ. Во всех определителях знаменателя поменяем взаимно (с одновременным изменением знака каждого слагаемого) номера у ГНУИ. В третьем схемном определителе преобразованного указанным образом знаменателя удалим с изменением знака слагаемого последовательное согласное соединение

Uf = . (3.6.10)

EB + JB tIуи Iуи tIуиIуи

tIуиIуи

. (3.6.11)

EB + JB – Uf

Uf – EB – JB 2

1 12 2

1

12

147

одноименных ГНУИ и ПНУИ. В результате перечисленных операций получим из правой части (3.6.8) выражение, совпадающее с правой частью формулы (3.6.11). Это означает, что соотношение (3.6.6) справедливо, и ГНУИ на схеме рис. 3.6.4,б эквивалентен ИТУТ уиIt в схеме на рис. 3.6.4,а.

Таким образом, все соответствующие элементы схем на рис. 3.6.4,а и 3.6.4,б попарно эквивалентны, следовательно эквивалентны и схемы в целом, а теорема 3.6.1 доказана для случая компенсации ИТУТ.

Следствием этой третьей части теоремы 3.6.1 о компенсации ИТУТ является формула для определения искомого параметра t. Она получается из (3.6.7) путем выполнения уже отмеченных ранее операций взаимной замены номеров у ГНУИ и удаления последовательного соединения ГНУИ и ПНУИ. Окончательная формула для параметра t приведена в строке 3 табл. 3.6.1. В этой формуле так же, как в САВ для Zs и Ys в строках 1 и 2 табл. 3.6.1, управляющий единичный источник помещен последовательно с источником EB. Для краткости записи в строке 3 используется четырехполюсник UUM 2 , ограниченный штриховой линией.

Рассмотренная САВ может быть получена по аналогии с формулами (3.6.3) и (3.6.5) для Zs и Ys, минуя нахождение управляемого и управляющего токов, через определители схемы, представленной на рис. 3.6.5,а. Эта схема получена из рис. 3.6.4,а так же, как построена схема замещения для сопротивления Zs на рис. 3.6.3,б.

Рис. 3.6.5. Неявное наложение независимых источников Передаточная проводимость YIfE от источника Е к приемнику тока If для

СНЗ на рис. 3.6.5,а так же, как для схемы на рис. 3.6.3,б, равна нулю. Следовательно, равен нулю определитель числителя функции YIfE. Схема числителя, полученная из рис. 3.6.5,а так же, как схема числителя рис. 3.6.3,в для СНЗ на рис. 3.6.3,б, представлена на рис. 3.6.5,б. Определитель этой схемы равен нулю. Используя при его разложении формулу выделения параметра ИТУТ t и выражая из уравнения искомый параметр t, получаем

,)(

)0(НУИt

tt→∆

=∆−= (3.6.12)

If EBU

E

UfU

JBU 1U U

а

Iу tIу

EBU UfU

JBU 1U U

б

Iу tIу

148

где )0( =∆ t , )( НУИt →∆ – определители производных схем, полученных из схемы на рис. 3.6.5,б путем нейтрализации ИТУТ и преобразования его в НУИ соответственно.

Для других УИ теорема может быть доказана аналогично. При этом рассматривается ИДС подобно рис. 3.6.4,а, в которой вместо ИТУТ из многополюсника выделяется компенсируемый УИ требуемого типа. Далее, подобно схеме на рис. 3.6.4,б, строится СКЭ на основе теоремы 3.6.1. Доказательство выполняется путем нахождения и последующего сравнения САВ для отношений СВО управляемой и управляющей ветвей, принадлежащих исходной схеме и СКЭ, или путем построения вспомогательной схемы замещения. В последнем случае сразу получается формула для искомого параметра χ произвольного УИ в виде

,)(

)0(НУИ→∆=∆

−=χ

χχ (3.6.13)

где )0( =∆ χ , )( НУИ→∆ χ – определители схемы, аналогичной рис. 3.6.5,б, в которой рассматриваемый УИ нейтрализован или преобразован в НУИ соответственно. Знаменатель (3.6.13) для всех УИ одинаков, поскольку преобразование УИ в НУИ осуществляется независимо от типа УИ.

Полученные как следствия теоремы 3.6.1 САВ для параметров ИНУН Ks, ИТУН Ys и ИНУТ Zs, приведены в строках 4, 5 и 6 табл. 3.6.1 соответственно. Во всех случаях, как и для ИТУТ, управляющие ветви выведены с левой стороны четырехполюсника, а управляемые ветви – с его правой стороны. Направление этих ветвей принято таким же, как у ИТУТ на рис. 3.6.4,а. Во всех САВ используется четырехполюсник UUM 2 , очерченный штриховой линией.

Докажем теорему 3.6.1 для случая компенсации независимых источников. Возьмем источник ЭДС с неизвестным параметром Es. Из обобщенной диагностируемой цепи на рис. 3.6.1,а построим на рис. 3.6.6,а ИДС для Es путем замены двухполюсника S на независимый источник Es. На рис. 3.6.6,б помещена соответствующая СКЭ, полученная на основании теоремы 3.6.1. Требуется доказать эквивалентность схем на рис. 3.6.6,а и 3.6.6,б.

Рис. 3.6.6. Компенсация независимого источника ЭДС Поскольку структуры схем на рис. 3.6.6,а,б совпадают, то докажем

эквивалентность соответствующих элементов, то есть поступим так, как при

б

UfU EB 1

JB

E

1U U2

а

EB Uf

V

1

JB 2

Es Us UГ

149

рассмотрении теоремы 3.6.1 для компенсации сопротивления и ИТУТ. Воспользуемся тем, что ранее была доказана попарная эквивалентность всех элементов, входящих в схемы на рис. 3.6.6,а,б, кроме ГНУИ и независимого источника ЭДС Es. Докажем эквивалентность этих элементов в указанных схемах.

Для этого по схеме на рис. 3.6.6,б запишем согласно неявному методу наложения алгебраическое и схемно-алгебраическое выражения для напряжения на ГНУИ

==⋅= == D

NKU КГЕГEГ

11 1

где −=1ГEK коэффициент передачи напряжения от единичного источника E к ГНУИ; −=1КГEN числитель коэффициента 1=ГEK ; D – определитель СКЭ. САВ

1=КГEN и D сформированы аналогично соответствующим выражениям в (3.6.2), (3.6.4) и (3.6.7).

Найдем неизвестную ЭДС E в ИДС на рис. 3.6.6,а через остальные известные параметры. Для этого запишем согласно принципу наложения алгебраическое выражение напряжения наблюдаемой ветви

,sUfEBUfJBBUfEBf EKJZEKU ++= (3.6.15)

где UfEBK и UfEsK – коэффициенты передачи напряжения от источников ЭДС BE и Es соответственно к приемнику напряжения fU при нейтрализации источника тока BJ ; −UfJBZ передаточное сопротивление от источника тока BJ к приемнику

fU при нейтрализации источников BE и Es. Выразим из (3.6.15) ЭДС Es через числители и знаменатель СФ и

представим ее в схемно-алгебраическом виде по аналогии с выражениями для параметра t в (3.6.11)

, (3.6.14)2

1UU

UfU

JBU

EBU 1

12

. (3.6.16)

Uf – EB – JB

Es =

150

Сравним сформированные САВ (3.6.14) и (3.6.16) для напряжения UГ в

СКЭ на рис. 3.6.6,б и для ЭДС Es в ИДС на рис. 3.6.6,а соответственно. Для этого в числителе (3.6.14) поменяем взаимно номера у ГНУИ и заменим проводником встречное параллельное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ по аналогии с преобразованиями в числителе (3.6.2). Выделив в числителе (3.6.14) так же, как в (3.6.7), параметры всех источников, управляемых напряжением ГНУИ, получаем

В первом определителе (3.6.17) удалим последовательное согласное

соединение ГНУИ и ПНУИ с изменением знака слагаемого. В знаменателе (3.6.14) изменим направление ГНУИ с одновременной инверсией его знака. В результате перечисленных преобразований формула (3.6.14) приводится к виду (3.6.16). Следовательно, UГ=Es. В соответствии с теоремой компенсации [43] можно заменить ГНУИ на рис. 3.6.6,б источником ЭДС Es, то есть СКЭ на рис. 3.6.6,б эквивалентна ИДС на рис. 3.6.6,а и четвертая часть теоремы 3.4.1 о компенсации независимого источника ЭДС доказана.

Следствием этой части теоремы 3.6.1 является САВ для определения искомой ЭДС Es, которое помещено в строку 7 табл. 3.6.1. Это выражение получено из (3.6.14) с помощью вышеупомянутых операций с НУИ, при этом управляющий единичный источник перемещен, как в других аналогичных САВ табл. 3.6.1, в ветвь с воздействующей ЭДС EB. При записи формулы в строке 7 табл. 3.6.1 использован тот же двухполюсник UUM1 , который применялся в САВ для Zs и Ys (см. строки 1 и 2 табл. 3.6.1).

Чтобы получить обсуждаемую формулу, минуя САВ (3.6.14), следует воспользоваться схемой на рис. 3.6.7,а, полученной из схемы на рис. 3.6.3,б путем замены Zs управляемым источником ЭДС EsU.

Искомая ЭДС запишется через определители вновь сформированной

схемы

. (3.6.17) Uf + EB + JB NKГE=1 =

EBU UfU

JBU 1U U

а

EsU

Рис. 3.6.7

EBU UfU

JBU 1UU

б

JsU

151

,)0;(

)0(=⇒

==

UEГНУИEE

s

ss ∆

∆ (3.6.18)

где )0( =sE∆ – определитель схемы на рис. 3.6.7,а при нейтрализованном источнике Es; )0;( =⇒ UEГНУИ s∆ – определитель этой же схемы, в которой ГНУИ перемещен на место ЭДС Es, а приемник напряжения U заменен короткозамкнутым проводником. Легко проверить, что (3.6.18) соответствует САВ в строке 7 табл. 3.6.1.

Пятая часть теоремы 3.6.1 о компенсации независимого источника тока Js доказывается аналогично приведенному выше доказательству теоремы 3.6.1 для источника ЭДС. Следствием этой части теоремы является формула для Js, подобная (3.6.18), которая сформирована с помощью схемы на рис. 3.6.7,б, полученной из схемы на рис. 3.6.7,а путем замены УИ EsU на УИ JsU,

,)0;(

)0(=⇒

==

UJГНУИJJ

s

ss ∆

∆ (3.6.19)

где )0( =sJ∆ – определитель схемы на рис. 3.6.7,б при нейтрализованном искомом источнике Js. Знаменатель (3.6.19) определен так же, как аналогичное выражение в формуле (3.6.18).

В силу принципа взаимосоответствия [16] можно сформулировать теорему 3.6.2, которая позволяет использовать для косвенной компенсации элементов измеренный ток произвольной наблюдаемой ветви и единичный источник тока в качестве управляющей ветви. При записи теоремы 3.6.2 учтем следующие пары взаимосоответствующих понятий: напряжение ↔ ток, источник ЭДС ↔ источник тока, сопротивление ↔ проводимость, параллельный ↔ последовательный, ИТУТ ↔ ИНУН, ИНУТ ↔ ИТУН. ГНУИ и ПНУИ являются «самодуальными» элементами, поскольку каждый из них имеет одинаковые уравнения для напряжения U и тока I: у ГНУИ U и I – любые, у ПНУИ U=0, I=0.

Теорема 3.6.2. Любой двухполюсный элемент s в ИДС рис. 3.6.8,а –

сопротивление Zs, проводимость Ys, генераторы УИ всех четырех типов, независимые источники ЭДС Es или тока Js – может быть скомпенсирован в соответствии со схемой на рис. 3.6.8,б, путем замены его ГНУИ при одновременной фиксации в другой произвольной наблюдаемой ветви f измеренного в ней тока If с помощью включенного последовательно этой наблюдаемой ветви фиксирующего двухполюсника в виде параллельного соединения ПНУИ и источника тока с параметром

,1ff I

JIt == (3.6.20)

152

управляемого током I дополнительно введенного параллельно произвольной ветви единичного источника тока J=1.

В знаменателе (3.6.20) единица сохранена, чтобы подтвердить

безразмерность коэффициента t. На СКЭ рис. 3.6.8,б она удалена и при формировании СВП не используется. В последней схеме параллельно единичному источнику поставлен единичный УИ противоположного направления, чтобы нейтрализовать введенный единичный управляющий источник тока.

Теорема 3.6.2 не требует доказательства, поскольку она получена на основе принципа взаимосоответствия путем замены одних взаимодуальных понятий на другие [16]. Следует иметь в виду, что определитель ИДС должен быть отличен от нуля. Данная теорема позволяет расширить возможности символьной диагностики с помощью использования измеренного тока If для косвенной компенсации элементов с неизвестными параметрами.

Следствиями теоремы 3.6.2, как и теоремы 3.6.1, являются алгебраические и схемно-алгебраические выражения для нахождения СВП. Эти формулы могут быть выведены так же, как это сделано при рассмотрении теоремы 3.6.1. Например, чтобы получить САВ на основе измеренного If и управляющего I тока, достаточно лишь заменить в табл. 3.6.1 многополюсники UUM1 и UUM 2 на многополюсники IIM1 и IIM 2 , представленные в табл. 3.6.2. В схемах IIM1 и

IIM 2 для получения более компактных выражений (подобно построению UUM1 и UUM 2 ) единичные источники тока объединены с УИ JBI. Такое изменение не

влияет на функциональные свойства схемы. По аналогии с теоремами 3.6.1 и 3.6.2 могут быть предложены и доказаны

еще две теоремы о косвенной компенсации электрокомпонентов на основе УИ. В теореме 3.6.3 измеряемой величиной является напряжение, а управляющей – ток. Теорема 3.6.4 использует в качестве измеряемой и управляющей величин дуальные величины – ток и напряжение соответственно.

Теорема 3.6.3. Любой двухполюсный элемент s на ИДС рис. 3.6.9,а – сопротивление Zs, проводимость Ys, генераторы УИ всех четырех типов,

Рис. 3.6.8

а

If

JB

EB

A

S

б

JB

EB IfI

IJ

1I

153

независимые источники ЭДС Es или тока Js – может быть скомпенсирован в соответствии со схемой на рис. 3.6.9,б, путем замены его ГНУИ при одновременной фиксации в другой произвольной наблюдаемой ветви f измеренного на ней напряжения Uf с помощью включенного последовательно этой наблюдаемой ветви фиксирующего двухполюсника в виде параллельного соединения ПНУИ и источника тока с передаточным сопротивлением

,1ff

уsU

JUZ == (3.6.21)

управляемого током I дополнительно введенного параллельно произвольной ветви единичного источника тока J=1.

В схеме с компенсированным элементом на рис. 3.6.9,б для нейтрализации

единичного источника J параллельно ему подключен единичный УИ 1U. Доказательство теоремы 3.6.3 осуществляется аналогично доказательству

теоремы 1. Следствиями теоремы 3.6.3, как и теорем 3.6.1, 3.6.2, являются алгебраические и схемно-алгебраические выражения для нахождения СВП. Эти формулы могут быть выведены подобно тому, как это сделано при рассмотрении теоремы 3.6.1 или получены формально путем замены переменных и схем. Например, чтобы записать САВ на основе измеренного напряжения Uf и управляющего тока I, достаточно лишь заменить в табл. 3.6.1 многополюсники UUM1 и UUM 2 на многополюсники UIM1 и UIM 2 , представленные в табл. 3.6.2.

Если в теореме 3.6.3 заменить понятия и переменные на взаимодуальные, перечень которых приведен при рассмотрении теоремы 3.6.2, то получим теорему 3.6.4, которая также верна на основании принципа взаимосоответствия.

Теорема 3.6.4. Любой двухполюсный элемент s в ИДС рис. 3.6.10,а –

сопротивление Zs, проводимость Ys, генераторы УИ всех четырех типов, независимые источники ЭДС Es или тока Js – может быть скомпенсирован в соответствии со схемой на рис. 3.6.10,б, путем замены его ГНУИ при одновременной фиксации в другой произвольной наблюдаемой ветви f

Рис. 3.6.9

а

If

JB

EB

A

S

б

UfI

JB

EB

IJ

1I

154

измеренного в ней тока If с помощью включенного последовательно этой наблюдаемой ветви фиксирующего двухполюсника в виде параллельного соединения ПНУИ и зависимого источника тока с передаточной проводимостью

,1ff

уsI

EIY == (3.6.22)

управляемого напряжением U введенного последовательно с произвольной ветвью единичного источника напряжения E=1.

На СКЭ рис. 3.6.10,б так же, как на рис. 3.6.1,б, последовательно с единичным источником E для его нейтрализации включен единичный управляемый источник 1U.

Следствиями теоремы 3.6.4, как и теорем 3.6.1, 3.6.2, 3.6.3 являются алгебраические и схемно-алгебраические формулы для определения искомых параметров элементов на основе измеренного тока и управляющего напряжения. Эти формулы могут быть выведены по методике, изложенной при рассмотрении теоремы 3.6.1, или получены формально путем замены переменных и схем. Например, чтобы записать САВ на основе измеренного тока If и управляющего напряжения U, достаточно лишь заменить в табл. 3.6.1 многополюсники UUM1 и UUM 2 на многополюсники IUM1 и IUM 2 , приведенные в табл. 3.6.2.

Таким образом, МКК на основе УИ состоит в компенсации любых n

элементов в ЛЭЦ при наличии n измеренных независимых напряжений и токов с помощью дополнительных схемных элементов (НУИ, источники напряжения или тока, управляемые единичным напряжением или током). Ниже рассмотрен пример диагностики электронного усилителя с помощью рассмотренного метода.

Рис. 3.6.10

а б

If

JB

EB

A

S

JB

EB IfU

E

1UU

155

Таблица 3.6.2. Схемы многополюсников для обобщения САВ из табл. 3.6.1

Тип искомых элементов

Zs, Ys, Es, Js

ts, ks, Yуs, Zуs

IIM1

IIM 2

UIM1

UIM 2

IUM1

IUM 2

EBI IfI

I

(JB–1)I

IfI

I

(JB–1)I

UfI

I

(JB–1)I

UfI

I

(JB–1)I

EBI

EBI EBI

JBU IfU

(EB–1)U U

JBU IfU

(EB–1)U U

156

3.7. ПРИМЕР ДИАГНОСТИКИ СХЕМЫ ЭЛЕКТРОННОГО УСИЛИТЕЛЯ

МЕТОДОМ КОСВЕННОЙ КОМПЕНСАЦИИ Рассмотрим пример символьной диагностики электронной цепи [19, 28],

представленной на рис. 3.7.1,а. Схема замещения цепи в режиме малого сигнала приведена на рис. 3.7.1,б. В этой ИДС известны параметры всех элементов, кроме сопротивлений Rб1 и Rб2, которые нужно определить. Дополнительно известны напряжения U1 и U2. Поскольку ИДС не содержит реактивных элементов, то для упрощения записи напряжения и токи можно представлять только действующими значениями без учета их начальных фаз.

Поставленная задача решена в [28] методом косвенной компенсации на

основе независимых источников. Перепишем для последующего сравнения полученный там результат, который имеет каноническую форму

,)()( 221212211221

11 URRURRRRERRR

DURккккк

б β+++−+= (3.7.1)

,)()()( 22211221112211

22 URRRURRRRERRR

DURккккк

б +−++++−=

ββ (3.7.2)

где −−+= )]1([ 212211 ββкк RRRRD определитель СКЭ.

Следует обратить внимание на то, что (3.7.1) и (3.7.2) – наиболее экономичные выражения по числу арифметических операций из тех выражений, которые могут быть получены на основе канонических форм (3.5.1) – (3.5.3). Покажем, что в неканонической форме (3.5.7) можно сформировать для Rб1 и Rб2 менее сложные выражения, чем (3.7.1) и (3.7.2). Используем для этого МКК на основе УИ.

Поскольку напряжения U1 и U2 на искомых сопротивлениях Rб1 и Rб2 известны, применим для нахождения аналитических выражений частную САВ (3.6.4). В силу выражения (3.6.4) знаменатель Rб1 принимает вид

U1 U2

R1

E

R2

Rк1 Rк2 U1

R1

EU2

R2

Rк2

Rб1

Iб1

β1Iб1

Rк1 Iб2

Rб2 β2Iб2

а Рис. 3.7.1

б

157

Управляющий единичный источник ЭДС (а затем управляющий ГНУИ) включен в ветвь E. Нейтрализующий единичный источник объединен с воздействующим источником E (см. строку 1 табл. 3.6.1).

Преобразуем (3.7.3) к символьному выражению. Выделим в первую очередь параметр Rк1, стягивание которого приводит к наиболее значительному упрощению схемы в результате преобразования в НУИ двух УИ U2U и β2Iб2 с номерами 3 и 4 соответственно, а также нейтрализации двух УИ (E–1)U и U1U.

В выражении (3.7.4) первая производная схема содержит контур,

включающий встречно направленные ГНУИ и ПНУИ, эквивалентные разомкнутой ветви, что приводит к нейтрализации двух УИ U2U и β2Iб2. Во второй производной схеме выполняем: 1) выделение сопротивления Rк2, параллельного ГНУИ; 2) взаимную замену номеров у ПНУИ 1↔3, 2↔4 и ГНУИ 3↔4; 3) изменение ориентации у ГНУИ с номером 2. Четное количество преобразований замены номеров и ориентации не приводит к изменению знака определителя.

В первой производной схеме выражения (3.7.5) выделяем сопротивление

Rк2+R2. При его стягивании УИ U1U преобразуется в НУИ с номером 2, а УИ (E–1)U – нейтрализуется. Во второй производной схеме НУИ с номером 1 заменяется идеальным проводником, а НУИ с номерами 2 и 4 – разомкнутыми ветвями.

U

R1 R2

Rк2Rк1

Iб2

β2Iб2NYIб1E=1 = 2U2U

21

(E–1)UU1U

. (3.7.3) 1

NYIб1E=1 = Rк1 U

R1

U2U

2 1

(E–1)U

U1U R2

Rк2Iб2

β2Iб22

1

+ U2β2 . (3.7.4)

R1

1 12

R2

Rк2

2 3

3

4

4

NYIб1E=1 = Rк1 U

R1

1

(E–1)U U1U

Rк2+R2 1

+ U2β2Rк2 . (3.7.5)

R1

1 34

R2

2 4

1

2

3

NYIб1E=1 = Rк1 (Rк2+R2) U

R1

1

(E–1)UU1U

1

. (3.7.6)

R1

3

R2

3 + U2β2Rк2 + U1

R1

11

22

158

В первой производной схеме выражения (3.7.6) учитываем последовательно-параллельное соединение ИНУН (E–1)U и U1U и стягиваем сопротивление R1, соединенное последовательно с ПНУИ. Вторая производная схема упрощается в результате замены номеров у ПНУИ 1↔2 (со сменой знака перед определителем) и замещением НУИ проводником и разомкнутой ветвью. В третьей производной схеме выделяется R1, стягивается R2, НУИ замещается проводником, то есть получается схема-узел.

В первой производной схеме выражения (3.7.7) выделяется УИ (E–1–U1)U.

При его нейтрализации образуется схема-узел. После подстановки выражения (3.7.5) в (3.6.4) получаем

.]))([( 1222111221

11 RRUURUERRR

DURккк

б β+−−+= (3.7.9)

Аналогично раскрывается знаменатель (3.6.4) для Rб2

. (3.7.7)NYIб1E=1 = Rк1 (Rк2+R2) U 1

(E–1–U1)U

1

+ U2β2Rк2R1 – U1

R1

(3.7.8)

+ U2β2Rк2R1 =NYIб1E=1 = Rк1 (Rк2+R2) (E–1–U1) + 1 – U1R1

1

12

2

= Rк1 [(Rк2+R2) (E–U1) – U1R1] + U2β2Rк2R1 .

NYIб2E=1 = =U

R1

β1Iб1

Iб1

1 2

(E–1)U

U1U

1

R2 Rк2

Rк1

U2U

2

= Rк1β1 + U2

U

R1

32

(E–1)U

U1U

1

R2+Rк2

U2U2

1

3

R1

2

= 1

1

2

R2+Rк2

3

3

= – Rк1β1

U

R1

2

(E–1)UU1U

1

R2+Rк2

R1

. (3.7.10)

R2+Rк2

– U2

159

Первая производная схема в последнем выражении (3.7.10) совпадает с первой производной схемой в выражении (3.7.5) и ее определитель был найден ранее (см. (3.7.6)–(3.7.8)). Таким образом,

После подстановки выражения (3.7.11) в (3.6.4) получаем

.)(]))([( 22121112211

12

кккб RRRURUEURRR

DUR+−+−+

=β

(3.7.12)

Как видно, аналитические выражения (3.7.9) и (3.7.12), полученные по

МКК на основе УИ требуют меньше арифметических операций, чем известные формулы (3.7.1) и (3.7.2).

Таким образом, применение источников, управляемых единичным напряжением или током, позволяет использовать неявный метод наложения [44] и раскрывать числители искомых параметров в неканонической форме как определители соответствующих схем, что обеспечивает формирование СВП, близких по сложности к оптимальным выражениям [50]. Предложенные алгебраические и схемно-алгебраические выражения пригодны как для топологического, так и схемно-топологического, формирования произвольной совокупности СВП на основе доступных измерений напряжений или токов. При этом в качестве управляющей величины в алгебраических и схемно-алгебраических выражениях возможно использование, как напряжения, так и тока.

3.8. МЕТОД ПРЯМОЙ КОМПЕНСАЦИИ

Как отмечалось, наибольшее распространение для решения задачи диагностики получил МКК [19]. Однако в частном, но достаточно распространенном случае, когда на всех элементах с неизвестными параметрами измерены напряжение или ток, задачу символьной диагностики целесообразно решать МПК. Этот метод использует для компенсации каждого элемента только источник напряжения или тока. В то же время МКК требует для этого применения, как независимого источника, так и дополнительного четырехполюсного элемента – НУИ. Пусть ИДС представлена на рис. 3.8.1,а.

NYIб2E=1 = Rк1 β1 [(Rк2+R2) (U1–E) + U1R1] – U2R1(R2+Rк2) . (3.7.11)

Рис. 3.8.1а б

Ij

EB

Ui

JB

i j Ij

EB

Ui

JB

Ii Uj

Eci Jcj

160

В схеме на рис. 3.8.1,а за контуры многополюсника выделены источники воздействующих ЭДС EB и тока JB, двухполюсные ветви произвольных элементов (сопротивлений, проводимостей, управляемых и независимых источников ЭДС и тока) с номерами i, j и измеренным напряжением Ui и током Ij.

В соответствии с теоремой компенсации [43] заменим на рис. 3.8.1,а двухполюсники i и j компенсирующими источниками ЭДС Eci и тока Jcj соответственно. Полученную СКЭ представим на рис. 3.8.1,б.

Выведем формулы для построения СВП различных элементов. Пусть двухполюсник i в ИДС на рис. 3.8.1,а является сопротивлением с неизвестным параметром. Этот параметр может быть найден по закону Ома

.i

ii I

UZ = (3.8.1)

Напряжение Ui в (3.8.1) известно, а ток находится по СКЭ методом

наложения с помощью ССФ ,CjIiJCjCiIiECiBIiJBBIiEBi JTEYJTEYI +++= (3.8.2)

где YIiEB, YIiECi – передаточные проводимости от источников ЭДС EB, Eci соответственно к приемнику Ii; TIiJB, TIiJCj – коэффициенты передачи тока от источников тока JB, Jcj соответственно к приемнику Ii.

При наличии в СКЭ на рис. 3.8.1,б большего числа воздействующих и компенсирующих источников ток Ii в (3.8.2) и другие токи и напряжения находятся аналогично методом наложения.

Учитывая, что знаменатель D всех ССФ в (3.8.2) одинаковый, искомое сопротивление можно записать в виде

,CjTIiJCjCiYIiECiBTIiJBBYIiEB

ii JNENJNEN

UDZ+++

= (3.8.3)

где NYIiEB, NTIiJB, NYIiECi, NTIiJCj – числители ССФ YIiEB, TIiJB, YIiECi, TIiJCj соответственно.

Алгебраическое выражение (3.8.3) может быть раскрыто любым топологическим [43] или схемно-алгебраическим [31] методом. Сформируем САВ числителей ССФ в (3.8.3) путем замены соответствующих источников и приемников тока на ГНУИ и ПНУИ соответственно. Схема определителя D получается из СКЭ на рис. 3.8.1,б в результате нейтрализации всех источников. Отсюда получается следующее САВ

161

Окончательное САВ для искомого сопротивления получается после удаления с изменением знака слагаемого последовательного согласного соединения ГНУИ и ПНУИ. Это выражение занесем в строку 1 табл. 3.8.1.

При известном токе искомого сопротивления САВ для СВП выводятся аналогично. В этом случае искомое сопротивление включается в ИДС на рис. 3.8.1,а вместо двухполюсника j. Формула вытекает также из закона Ома (3.6.1). Однако неизвестным в (3.8.1) является не ток, а напряжение, которое находится следующим образом.

,CjUjJCjCiUjECiBUjJBBUjEBj JZEKJZEKU +++= (3.8.5) где KUjEB, KUjECi – коэффициенты передачи напряжения от источников ЭДС EB, Eci соответственно к приемнику Uj; ZUjJB, ZUjJCj – передаточные сопротивления от источников тока JB, Jcj соответственно к приемнику Uj.

Искомое сопротивление может быть записано также, как и (3.8.3), через числитель ССФ

,j

cjZUjJcjCiKUjECiBZUjJBBKUjEBj ID

JNENJNENZ

+++= (3.8.6)

где NKUjEB, NZUjJB, NKUjECi, NZUjJCj – числители ССФ KUjEB, ZUjJB, KUjECi, ZUjJCj соответственно.

САВ для Zj получено аналогично (3.8.4) и помещено в строку 2 табл. 3.8.1. Алгебраические и схемно-алгебраические выражения для проводимости Yi

(Yj) при известном напряжении Ui (токе Ij) находятся как обратные по отношению к соответствующему сопротивлению Zi (Zj) в формулах (3.8.3), (3.8.6) и строках 1 и 2 табл. 3.8.1.

Ui

Zi = . (3.8.4)

EB + JB +

Eсi Jcj +

162

Таблица 3.8.1. САВ для определения СВП

№ Тип элемента и САВ искомого параметра 1 2 1 Сопротивление с известным напряжением Ui (см. рис. 3.8.1,а)

2 Сопротивление с известным током Ij (см. рис. 3.8.1,а)

3 Передаточное сопротивление ИНУТ с известным напряжением на генератора Ui (см. строку 1 табл. 3.8.2)

Ui

Zi =

EB + JB –

ECi + JCj –

EB + JB –

Zj =

ECi + JCj –

Ij

ZПi =

ECi +

+ JB + JCj

EB +

Ui

163

Продолжение табл. 3.8.1

1 2 4

Передаточное сопротивление ИНУТ с известным током генератора Ij (см. строку 1 табл. 3.8.2)

5 Коэффициент передачи напряжения ИНУН

с известным напряжением на генераторе Ui (см. строку 2 табл. 3.8.2)

ZПj =

ECi + EB +

+ JB + JCj

ECi +

+ JB – JCj

EB +

Ki =

ECi + EB +

+ JB + JCj

Ui

164

Продолжение табл. 3.8.1

1 2 6

Коэффициент передачи напряжения ИНУН с известным током генератора Ij (см. строку 2 табл. 3.8.2)

7 Коэффициент передачи тока ИТУТ

с известным током генератора Ij (см. строку 3 табл. 3.8.2)

ZПj =

ECi + EB +

+ JB + JCj

ECi +

+ JB – JCj

EB +

Tj =

ECi + EB +

+ JB + JCj

Ij

165

Продолжение табл. 3.8.1

1 2 8

Коэффициент передачи тока ИТУТ с известным напряжением генератора Ui (см. строку 3 табл. 3.8.2)

9 Передаточная проводимость ИТУН

с известным током генератора Ij (см. строку 4 табл. 3.8.2)

Ti =

ECi + EB +

+ JB + JCj

ECi +

+ JB + JCj

EB –

YПj =

ECi + EB +

+ JB + JCj

Ij

166

Окончание табл. 3.8.1 1 2

10 Передаточная проводимость ИТУН с известным напряжением генератора Uj (см. строку 4 табл. 3.8.2)

11 Независимый источник ЭДС с известным током Ii (см. рис. 3.8.3 )

12 Независимый источник тока с известным напряжением Uj (см. рис. 3.8.3 )

+ JB + JCj

ECi + EB –

YПi =

ECi + EB +

+ JB + JCj

EB + ECj +

Ei =

JB + JCi +

EB + ECj +

Jj =

JB + JCi +

167

Выведем формулы для искомых параметров УИ. ИДС представим на рис. 3.8.2,а, где выделены два произвольных УИ с соответствующими генераторами Гi, Гj и приемниками Пi, Пj. В зависимости от типа рассматриваемых УИ генераторы Гi, Гj могут быть источниками тока или ЭДС, а приемники Пi, Пj – приемниками тока или напряжения.

Пусть Пi, Пj являются приемниками тока, а Гi, Гj – генераторами ЭДС или

тока, управляемыми токами соответствующих приемников. На генераторах Гi и Гj измерены напряжение Ui и ток Ij соответственно. На рис. 3.8.2,б представим СКЭ, которая получена путем замены генераторов Гi и Гj в ИДС компенсирующими источниками напряжения Ei=Ui и тока Jj=Ij соответственно.

Рассмотрим вывод формул, например, для ИНУТ. Передаточные сопротивления для ИНУТ могут быть найдены по формулам

i

ii I

UZΠ

Π = и j

jj I

UZ

ΠΠ = . (3.8.7)

Рассмотрим первую формулу из (3.8.7), когда известно напряжение Ui. Ток приемника ИНУТ находим следующим образом:

,CjiJCjICiiECiIBiJBIBiEBIi JTEYJTEYI ΠΠΠΠΠ +++= (3.8.8) где YIПiEB, YIПiECi – передаточные проводимости от источников ЭДС EB, Eci соответственно к приемнику IПi; TIПiJB, TIПiJCj – коэффициенты передачи тока от источников тока JB, Jcj соответственно к приемнику Ii. ИДС с ИНУТ, получена на основе рис. 3.8.2 и представлена в строке 1 и колонке 1 табл. 3.8.2, а соответствующая ей СКЭ – в строке 1 и колонке 2 этой же таблицы.

По аналогии с формулой (3.8.3) запишем выражение для искомого передаточного сопротивления через знаменатель и числители ССФ

Ij

EB JB

Ui

Гi Гj

Пi Пj Пi Пj

EB JB

Ii Uj

Eci Jcj

Рис. 3.8.2а б

168

,CjiJCjTICiiECiYIBiJBTIBiEBYI

ii JNENJNEN

UDZΠΠΠΠ

Π +++= (3.8.9)

где NYIПiEB, NTIПiJB, NYIПiECi, NTIПiJCj – числители ССФ YIПiEB, TIПiJB, YIПiECi, TIПiJCj соответственно.

САВ для ZПi находится аналогично (3.6.4) и помещено в строку 3 табл. 3.8.1. Это САВ, как и соответствующее ему алгебраическое выражение (3.8.9), предназначено для нахождения передаточного сопротивления ИНУТ при известном напряжении на его генераторе.

При известном токе Ij генератора ИНУТ, то есть в соответствии со второй формулой (3.8.7), для записи искомого передаточного сопротивления ZПj необходимо предварительно найти по той же СКЭ в строке 1 и колонке 1 табл. 3.8.2 напряжение и управляющий ток:

,CjUjJCjCiUjECiBUjJBBUjEBj JZEKJZEKU +++= ,CjjJCjICijECiIBjJBIBjEBIj JTEYJTEYI ΠΠΠΠΠ +++= (3.8.10)

где KUjEB, KUjECi – коэффициенты передачи напряжения от источников ЭДС EB, Eci соответственно к приемнику Uj; ZUjJB, ZUjJCj – передаточные сопротивления от источников тока JB, Jcj соответственно к приемнику Uj; YIПjEB, YIПjECi – передаточные проводимости от источников ЭДС EB, Eci соответственно к приемнику IПj; TIПjJB, TIПjJCj – коэффициенты передачи тока от источников тока JB, Jcj соответственно к приемнику IПj.

Запишем согласно (3.8.7) алгебраическое выражение для искомого передаточного сопротивления

,CjjJCjTICijECiYIBjJBTIBjEBYI

CjZUjJCjBZUjJBCiKUjECiBKUjEBj JNENJNEN

JNJNENENZ

ΠΠΠΠΠ +++

+++= (3.8.11)

где NKUjEB, NZUjJB, NKUjECi, NZUjJCj, NYIПjEB, NTIПjJB, NYIПjECi, NTIПjJCj – числители ССФ KUjEB, KUjECi, ZUjJB, ZUjJCj, YIПjEB, TIПjJB, YIПjECi, TIПjJCj соответственно.

Алгебраические формулы для остальных трех типов УИ: ИНУН; ИТУН и ИТУТ – записываются аналогично формулам для ИНУТ. При этом используются соответствующие ИДС и СКЭ в табл. 3.8.2.

169

Таблица 3.8.2. ИДС с УИ и соответствующие СКЭ

Тип УИ

Исходная диагностируемая схема

Схема с компенсированными УИ

ИНУТ

ИНУН

ИТУТ

ИТУН

EB JB

Ij Ui

ZПiIПi ZПjIПj

IПi IПj

JCj

EB JB

Ij Uj

IПi IПj

Ii

ECi

Ui

EB JB

Ij Ui

KiUПi KjUПj JCj

EB JB

Ij Uj Ii

ECi

Ui

UПi UПj UПi UПj

EB JB

Ij Ui

TiIПi TjIПj

IПi IПj

JCj

EB JB

Ij Uj

IПi IПj

Ii

ECi

Ui

EB JB

Ij Ui

TiIПi TjIПj JCj

EB JB

Ij Uj Ii

ECi

Ui

UПi UПj UПi UПj

170

САВ, соответствующее формуле (3.8.11), имеет вид

В четвертом слагаемом числителя заменим идеальным проводником

параллельное встречное включение ГНУИ и ПНУИ с изменением знака этого слагаемого. Полученное выражение приведем в строке 4 табл. 3.8.1.

САВ для остальных трех типов УИ: ИНУН, ИТУН и ИТУТ выводятся аналогично формулам для ИНУТ. При этом используются соответствующие ИДС и СКЭ в табл. 3.8.2. Полученные САВ приведены в табл. 3.8.1 в строках 5 и 6 (для коэффициента передачи напряжения ИНУН), 7 и 8 (для коэффициента передачи тока ИТУТ), 9 и 10 (для передаточной проводимости ИТУН).

Рассмотрим нахождение параметров независимых источников ЭДС и тока. Здесь так же, как при нахождении сопротивления и параметров УИ, возможны два варианта измерения переменных. В первом варианте измеряются напряжения и токи на соответствующих источниках, при этом для определения параметров источников каких-либо вычислений не требуется. Во втором варианте измеряются ток и напряжение в источниках ЭДС и тока соответственно. Для определения параметров этих источников требуются специальные формулы. Такие формулы выводятся ниже.

Рассмотрим ИДС на рис. 3.8.3,а и соответствующую СКЭ на рис. 3.8.3,б.

. (3.8.12)

+ JB + JCj

EB + ECi +

ZПj =

EB + ECi +

+ JB + JCj

Рис. 3.8.3а б

Ij

EB

Ui

JB

Ii Uj

Ei Jj

Ij

EB

Ui

JB

Ji

Ej

171

В ИДС измерен ток Ii источника ЭДС Ei и напряжение Uj на источнике тока Jj. СКЭ получена из ИДС путем замены по теореме о компенсации источника ЭДС Ei источником тока Ji=Ii, а источника тока Jj – источником ЭДС Ej=Uj. По СКЭ можно записать искомую ЭДС

iUiJijUiEjBUiJBBUiEBii JZEKJZEKUE +++== (3.8.13)

и ток источника

,iIiJCjjIiECiBIiJBBIiEBi JTEYJTEYI +++= (3.8.14) где KUiEB, KUiEj – коэффициенты передачи напряжения от источников EB и Ej соответственно к приемнику напряжения Ui; ZUiJB, ZUiJi – передаточные сопротивления от источников JB и Ji к приемнику Ui; YIjEB, YIjEj – передаточные проводимости от источников EB и Ej к приемнику Ij; TIjJB, TIjJj – коэффициенты передачи тока от источников JB и Ji к приемнику Ij.

Параметры источников ЭДС и тока могут быть представлены также, как параметры сопротивления и УИ, через числители и знаменатель ССФ

,D

JNENJNENE iZUiJijKUiEjBZUiJBBKUiEB

i+++

= (3.8.15)

,D

JNENJNENJ iTIjJijYIjEjBTIjJBBYIjEB

j+++

= (3.8.16)

Используя (3.8.15), получим по СКЭ на рис. 3.8.4,б САВ для ЭДС

В последнем определителе числителя (3.8.17) заменим проводником

параллельное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ. Полученное САВ

. (3.6.17) Ei =

EB + Ej +

JB + Ji +

172

помещено в строку 11 табл. 3.8.1. САВ для параметра источника тока Jj при известном напряжении Uj формируется аналогично. Окончательное выражение Jj занесено в строку 12 табл. 3.8.1.

Предложенные алгебраические (3.8.3), (3.8.6), (3.8.9), (3.8.11), (3.8.15), (3.8.16) и схемно-алгебраические (см. табл. 3.8.1) выражения для СВП составляют основу МПК. Этот метод применим в том случае, когда известны (могут быть измерены) напряжения или токи всех элементов с неизвестными параметрами. В этом случае решение задачи символьной диагностики может быть упрощено по сравнению с МКК, поскольку МПК не требует применения НУИ для компенсации элементов. Действительно, упрощение СКЭ приводит к более простым алгебраическим и схемно-алгебраическим выражениям, а следовательно, уменьшается количество операций, необходимых для формирования СВП.

Таким образом, МПК требует перехода от ИДС к СКЭ путем замены источниками ЭДС или тока всех элементов с неизвестными параметрами в зависимости от того, напряжение или ток измерены в этом элементе. Используя полученную СКЭ и соответствующие алгебраические или схемно-алгебраические выражения, находятся СВП.

МПК будет использован в следующем подразделе для решения примера символьной диагностики электронного усилителя, который ранее рассматривался в подразделе 3.7.

3.9. ПРИМЕР ДИАГНОСТИКИ СХЕМЫ ЭЛЕКТРОННОГО УСИЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ ПРЯМОЙ КОМПЕНСАЦИИ

Принципиальная схема усилителя представлена на рис. 3.7.1,а, а ее схема

замещения в режиме малого сигнала приведена на рис. 3.7.1,б. В этой ИДС известны: действующее значение ЭДС входного гармонического источника, сопротивления R1, R2, Rк1, Rк2, коэффициенты передачи тока β1 и β2 транзисторов V1 и V2, параметры всех элементов, кроме сопротивлений Rб1 и Rб2, которые нужно определить. Измерены действующие значения напряжений U1 и U2. Поскольку схема замещения на 3.7.1,б не содержит реактивных элементов, то фазы всех элементов одинаковы, и для упрощения записи напряжения и токи можно представлять только действующими значениями без учета их начальных фаз. Требуется найти СВП для неизвестных сопротивлений Rб1 и Rб2.

Поставленная задача решена в подразделе 3.7. с помощью МКК. Покажем, что эта задача может быть решена МПК более просто и с меньшим количеством формирующих схемно-алгебраических операций.

Прежде всего, построим СКЭ путем замены на рис. 3.7.1,а сопротивлений Rб1 и Rб2 источниками ЭДС E1=U1 и E2=U2, как показано на рис. 3.9.1.

173

Для проверки достаточного условий диагностируемости (см. подраздел

3.3.) найдем определитель СКЭ на рис. 3.9.1. Выражение (3.9.1) получено согласно формуле (3.8.4), в которой присутствует САВ определителя.

Вначале выделим-удалим в (3.9.1) сопротивления R1 и Rк1, параллельные приемникам тока Iб1 и Iб2. Затем выделим параметр УИ β1Iб1, преобразование в НУИ которого влечет преобразование в НУИ другого УИ β2Iб2, вследствие параллельного соединения ГНУИ и приемника тока Iб2. При нейтрализации УИ β1Iб1, происходит нейтрализация УИ β2Iб2, так как при этом разрывается приемник тока Iб2. В результате указанных операций имеем

В первом схемном определителе стянем R2, последовательное ПНУИ,

выделим Rк2, поменяем взаимно номера у ПНУИ с изменением знака слагаемого, удалим две пары ГНУИ и ПНУИ, соединенных последовательно и встречно. Во втором слагаемом запишем определитель элементарного контура из сопротивлений R1 и Rк2. Окончательное выражение определителя имеет вид

Полученное выражение совпадает с соответствующей формулой в [2002/8]. Определитель D не равен нулю и, следовательно, схема диагностируема, если R2+Rк2–β1β2Rк2 ≠ 0.

Запишем теперь по СКЭ на рис. 3.9.1 согласно строке 1 из табл. 3.8.1 расчетную формулу для СВП сопротивления

Рис. 3.9.1

E1 R1

E

E2 R2

Rк2Iб1 β1Iб1 Rк1

Iб2

β2Iб2

D = R1Rк2 β1β2 Rк2

R2

1 1 22 R2

Rк2+ . (3.9.2)

D = R1Rк2 [–β1β2Rк2 + R2 + Rк2]. (3.9.3)

D = R1

R2

Rк2Iб1 β1Iб1

Rк1Iб2

β2Iб2

. (3.9.1)

174

.2211111

11 ENENEN

DUREYIбEYIбEYIб

б ++= (3.9.4)

Определитель D в (3.9.4) уже найден в виде формулы (3.9.3). Найдем числитель ССФ с помощью САВ из строки 1 табл. 3.8.1. Первый числитель имеет вид

Cтянем в (3.9.5) сопротивление R1, заменим проводником параллельное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ, выделим сопротивление Rк1, нейтрализуем УИ β1Iб1, поскольку Iб1=0. Нейтрализация УИ β1Iб1 приводит к нейтрализации УИ β2Iб2, так как Iб2=0. Далее запишем определитель элементарного контура из сопротивлений R1 и Rк2. Таким образом,

Запишем САВ второго числителя

Удалим в (3.9.7) с изменением знака выражения последовательное согласное соединение ГНУИ и ПНУИ. После объединения двух сопротивлений R1 и R2 в одно получим схему, совпадающую по структуре со схемой в (3.9.5), в которой стянуто сопротивление R1 и заменено проводником параллельное соединение ГНУИ и ПНУИ. Учитывая это, получим

САВ третьего числителя СВП имеет вид

R1 R2

Rк2Iб1 β1Iб1 Rк1

Iб2

β2Iб2

NYIб1E = . (3.9.5)

NYIб1E = Rк1 (R2 + Rк2). (3.9.6)

R1 R2

Rк2Iб1 β1Iб1 Rк1

Iб2

β2Iб2

NYIб1E1 = . (3.9.7)

NYIб1E1 = –Rк1 (R1+R2+Rк2). (3.9.8)

R1 R2

Rк2Iб1 β1Iб1 Rк1

Iб2

β2Iб2

NYIб1E2 = . (3.9.9)

175

Выражение (3.9.9) упрощается в результате нейтрализации УИ β1Iб1, стягивания сопротивлений Rб1 и Rк1, преобразования в НУИ β2Iб2, выделения R1 и Rк2, а также стягивания R2

В результате стягивания Rк1, взаимной замены номеров у ГНУИ, а также

удаления двух пар последовательно включенных ГНУИ и ПНУИ получаем Подставляя полученные множители (3.9.6), (3.9.8), (3.9.11) в выражение

(3.9.4), запишем

,)()( 221212211221

11 ERRERRRRERRR

DERккккк

б β+++−+= (3.9.12)

где )].1([ 212211 ββ−+= кк RRRRD

СВП для другого искомого сопротивления формируется аналогично:

.)()()( 22211221112211

22 ERRRERRRRERRR

DERккккк

б +−++++−=

ββ (3.9.13)

Сравним данное выше решение примера МПК с решением, полученным

МКК. Соответствующие формулы, полученные по этим двум методам, совпадают. СКЭ по МПК и МКК содержат 11 и 15 ветвей соответственно. В СКЭ по МКК на два ГНУИ и два ПНУИ больше.

При формировании определителя D по МПК требуется 13 операций (выделения, стягивания, удаления, нейтрализации элементов, взаимной замены номеров у ГНУИ или ПНУИ), а по МКК – на четыре операции больше, из них 2 операции перенумерации ГНУИ или ПНУИ и 2 операции выделения параметра НУИ. При построении знаменателя (3.9.12) по МПК требуется 18 операций, а по МКК – на 8 операций больше, из них 4 операции взаимной замены номеров у ГНУИ или ПНУИ и 4 операции выделения параметра НУИ. Аналогичное соотношение количества операций по МПК и МКК имеет место и при формировании выражения Rб2.

Таким образом, решение задачи символьной диагностики по МПК проще и экономичнее решения по МКК, как по количеству ветвей в СКЭ, так и по числу операций формирования СВП.

NYIб1E2 = R1Rк2 β2 Rк1 112

2 . (3.9.10)

NYIб1E2 = R1R2β2. (3.9.11)

176

4. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Подразделы 4.1. – 4.3. посвящены практическому освоению символьного

анализа и диагностики простейших активных цепей, содержащих операционные усилители (ОУ). В качестве диагностических параметров могут выступать как параметры неизвестных элементов, так и параметры электрического режима – токи и напряжения недоступных ветвей и элементов цепи. В подразделе 4.4. обсуждается анализ и диагностика сложных электрических цепей, содержащих произвольные линейные элементы, с помощью программы CIRSYMD.

4.1. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА БАЗЕ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ

4.1.1. Постановка задачи анализа Дано: 1) схема цепи в соответствии с индивидуальным вариантом (табл. 4.1.1); 2) сопротивление нагрузки бесконечно большое; 3) пассивные элементы цепи – идеальные, параметры элементов заданы в

табл. 4.1.2 в соответствии с групповым вариантом; 4) схема замещения операционного усилителя представлена на рис. 4.1.1

(см. также строки 5 и 6 табл. П.1.13), где Коу – коэффициент усиления ОУ; U21 – напряжение между зажимами 1 и 2, параметры схемы замещения помещены в табл. 4.1.2.

Требуется: 1) построить комплексную схему замещения заданной цепи; 2) сформировать в буквенной форме комплексный коэффициент

передачи напряжения К со входа цепи на выход; 3) найти численное значение выходного напряжения Uвых при входном

напряжении Uвх=100мВ и частоте f=10кГц; 4) построить в буквенной форме формулу для комплексного

коэффициента передачи напряжения К∞ при бесконечно большом коэффициенте усиления ОУ (Коу→∞);

5) записать буквенные выражения для АЧХ К∞(ω) и ФЧХ ϕк∞(ω) коэффициента передачи напряжения цепи при Коу→∞;

6) построить графики АЧХ К∞(ω) и ФЧХ ϕк∞(ω); 7) определить координаты характерных точек АЧХ и ФЧХ:

– при постоянном воздействии К∞(0), ϕк∞(0); – при бесконечно большой частоте К∞(∞), ϕк∞(∞);

8) записать выводы по работе.

177

Таблица 4.1.1. Схемы цепей с ОУ

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

L

R2

R1

L R2

R1

R3 С1

R2

R1

С1

С2

R1 L

R2

R1 R3

L

R2

R1

С2

С1

R2

R1 С1

С2

R1 С1

R1

С1

R2

R1 С1

R2

R1

R3 С1 R2

R1

178

Окончание табл. 4.1.1

13 14 15

16 17 18

19 20 21

22 23 24

L

R2

R1

R1

C1 R2 C1 R2

R1

С1

R2

R1

C1 R2

R1

C1 R2

R1

R2

С1

С2

R1

R2

С1

С2

R1

C1 R2

R1

R2

С1

С2

R1

R2

С1

С2 R1 R2

С1

С2 R1

179Таблица 4.1.2. Численные значения параметров элементов активных цепей

№ варианта

Параметр

1 2 3 4 5

Коу 1⋅103 2⋅103 3⋅103 4⋅103 5⋅103 R1, кОм 1,0 0,8 0,9 1,1 1,2 R2, кОм 1,3 1,5 1,8 1,5 2,0 R3, кОм 1,5 1,8 2,2 3,0 4,5 C1, мкФ 0,047 0,018 0,036 0,039 0,05 C2, мкФ 0,05 0,022 0,068 0,084 0,015 L1, мГн 0,1 0,15 0,2 0,18 0,08

а б

Рис. 4.1.1. Схема замещения операционного усилителя (кружком на прямоугольнике обозначен инверсный вход)

4.1.2. Пример решения задачи анализа Схема для примера дана на рис. 4.1.2 а. Для построения комплексной

схемы замещения необходимо все напряжения и токи представить действующими или амплитудными комплексными значениями, реактивные элементы – комплексными сопротивлениями или проводимостями, операционный усилитель – схемой замещения на рис. 4.1.1. Полученная схема замещения дана на рис. 4.1.2,б, где Z2=R2+j(ωL – 1/ωC).

Рис. 4.1.2. Схема для примера: а – исходная; б – комплексная

3 U3

KОУU21

1

2

3 1

2U21

UвыхUвх

С L R2

R1

12

3 R1 Z2 1 3

Uвых U21 KОУU21

Uвх

а б

2

180 Операции формирования числителя и знаменателя комплексного

коэффициента передачи напряжения K сведены в табл. 4.1.3 и табл. 4.1.4 соответственно.

Таблица 4.1.3. Формирование числителя коэффициента K активной цепи

№

Наименование операций и схемно-алгебраические выражения (САВ)

1 Построение исходного САВ согласно строке 1 табл. П.1.1

2 Выделение KОУ в соответствии со строкой 4 табл. П.1.9

3

В первом слагаемом взаимная замена номеров у приемников НУИ согласно строке 6 табл. П.1.8 и установление вырожденности схемы второго слагаемого (см. строку 2 табл. П.1.7).

4 Преобразование последовательного и параллельного соединений одноименных генератора и приемника НУИ (см. строки 2 и 3 табл. П.1.8). Нахождение определителя контура из сопротивлений R1 и Z2 в соответствии со строкой 6 табл. П.1.4. Запись окончательного алгебраического выражения

1

R1 Z2

∆N = KОУ * 2 2 1

R1 Z2

∆N = U21 KОУU21 1

1

+

R1 Z2

11

1

R1 Z2

∆N = –KОУ * 1 2 2

∆N = KОУ (R1 +Z2).

181

Таблица 4.1.4. Формирование знаменателя

коэффициента K активной цепи

№

Наименование операций и схемно-алгебраические выражения (САВ)

1 Построение исходного САВ согласно строке 1 табл. П.1.1

2 Выделение R1 в соответствии со строкой 1 табл. П.1.9

3 Упрощение первого слагаемого путем стягивания Z2 (см. строку 7 табл. П.1.11). Нейтрализация ИНУН, приемник которого замкнут накоротко (см. строку 6 табл. П.1.5).

4 Выделение параметра KОУ в первом слагаемом (см. строку 4 табл. П.1.9). Запись определителя z-петли согласно строке 4 табл. П.1.4.

5 Записывая определитель однонаправленного параллельного соединения генератора и приемника НУИ (см. строку 1 табл. П.1.8) и определитель простейшей схемы-узла (см. строку 1 табл. П.1.4), получаем окончательное выражение

∆D = R1 (KОУ + 1) + Z2 .

R1 Z2

∆D = U21 KОУU21

Z2

∆D = R1 * U21 KОУU21 + U21 KОУU21

Z2

∆D = R1 * U21 KОУU21 +

Z2

∆D = R1 * KОУ * + 22 + Z2

182 Таким образом,

Численное значение коэффициента передачи напряжения найдем путем

подстановки в (4.1.1) сопротивлений R1=200 Ом, R2=10 Ом, индуктивности L=10 мГн, емкости C=0,047 мкФ, коэффициента KОУ=1000. После выполнения соответствующих операций с комплексными числами получим коэффициент передачи напряжения K=1,051+j1,445 и выходное напряжение Uвых=0,105+j0,145 В.

Формула коэффициента K∞ для схемы с идеальным ОУ может быть найдена путем предельного перехода при KОУ → ∞ из (4.1.1). Избежать избыточных выкладок можно, если на исходной схеме рис. 4.1.2,а заменить ОУ на НУИ в соответствии со строкой 6 табл. П.1.13. Полученная схема представлена на рис. 4.1.3.

Рис. 4.1.3. Комплексная схема замещения с идеальным ОУ

Коэффициент передачи напряжения схемы рис. 4.1.3

Перенумеруем в числителе (4.1.2) генераторы НУИ в соответствии со

строкой 5 табл. П.1.8. Преобразуем последовательное встречное и параллельное

2

R1 Z2 1 3

Uвых

Uвх

K = KОУ(R1 +Z2)

R1(KОУ +1) +Z2

(4.1.1).

K∞ = (4.1.2)

1

R1 Z2

2 2 1

R1 Z2

22

.

183однонаправленное соединения одноименных генераторов и приемников НУИ (см. строки 3 и 2 табл. П.1.8).

В знаменателе стянем Z2 (см. строку 6 табл. П.1.11), заменим проводником параллельное согласное соединение одноименных приемника и генератора НУИ (см. строку 1 табл. П.1.8).

Таким образом, в числителе и знаменателе получаем z-петли R1+Z2 и R1 соответственно (см. строку 4 табл. П.1.4). Окончательное выражение имеет вид K∞ = (R1+Z2)/ R1 . (4.1.3)

Запишем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) коэффициента

передачи напряжения ./)/1()( 1

2221 RCLRRK ωω −++=∞

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) находится как аргумент

комплексного выражения (4.1.3), то есть )]./()/1[( 21 RRCLarctgK +−=∞ ωωϕ

Графики АЧХ и ФЧХ при R1=200 Ом, R2=10 Ом, L=10 мГн, С=0,047 мкФ представлены на рис. 4.1.4, где фаза измеряется в радианах, а циклическая частота − в рад/с.

0 5 .104 1 .1050

1

2

3

4

K ω( )

ω0 5 .104 1 .105

2

1

0

1

2

φ ω( )

ω

а б

Рис. 4.1.4. АЧХ (а) и ФЧХ (б) активной схемы

Очевидно, что при ω=0 модуль коэффициента передачи напряжения стремится к бесконечности, а ФЧХ принимает значение -π/2. При ω→∞ АЧХ также стремится к бесконечности, а 2/πϕ =∞K . Имеется также резонансная точка, в которой K0=R2 /R1 + 1 = 1,05. Резонанс имеет место, поскольку схема содержит последовательный колебательный LC-контур. В схемах из табл. 4.1.1 нет LC-контуров, однако на графиках АЧХ активных цепей с двумя конденсаторами также могут наблюдаться экстремумы [38].

184

4.2. ДИАГНОСТИКА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РЕЖИМА 4.2.1. Постановка задачи диагностики режима

Дано: 1) схема цепи в соответствии с индивидуальным вариантом (табл. 4.1.1); 2) сопротивление нагрузки бесконечно большое; 3) пассивные элементы цепи – идеальные, параметры элементов, кроме

KОУ, заданы в табл. 4.1.2 в соответствии с групповым вариантом; 4) коэффициент передачи ОУ KОУ неизвестен; 5) численное значение выходного напряжения Uвых при входном

напряжении Uвх=100 мВ и частоте f=10 кГц берется из результатов анализа в п. 4.1.1.

Требуется: 1) найти символьное выражение комплексного действующего напряжения

U21 на входе ОУ (между неинвертирующим и инвертирующим полюсами); 2) проверить аналитически найденное выражение U21 на соответствие

законам Кирхгофа; 3) используя символьное выражение U21, найти его численное значение; 4) записать выводы по работе.

4.2.2. Пример решения задачи диагностики режима Рассмотрим схему, представленную на рис. 4.1.2,а. Для нахождения

символьного выражения U21 построим на рис. 4.2.1 схему с компенсированным элементом – ОУ. Используем метод прямой компенсации, поскольку известно напряжение на компенсируемом элементе. Заменим ОУ на независимый источник ЭДС с напряжением Uвых.

Рис. 4.2.1. Схема с компенсированным ОУ, параметр которого KОУ неизвестен

По СКЭ на рис. 4.2.1. запишем с помощью явного принципа наложения

выражение для напряжения приемника ОУ

2

R1 Z2 1 3

Uвых U21

Uвх

185

,21 DUNUNU выхвыхвхвх +

= (4.2.1)

где Nвх, Nвых – числители коэффициентов передачи напряжения от источников Uвх и Uвых соответственно к приемнику U21.

По алгебраическому выражению (4.2.1) формируется САВ В первом схемном определителе удалим последовательное встречное

соединение ГНУИ и ПНУИ, запишем определитель полученного контура из сопротивлений R1 и Z2. Во втором слагаемом стянем сопротивление Z2, заменим проводником с изменением знака слагаемого параллельное встречное соединение ГНУИ и ПНУИ, запишем определитель контура из сопротивления R1. Получим окончательное выражение

.)(

21

12121 ZR

URUZRU выхвх

+−+

= (4.2.3)

Проверим полученное выражение, представив его в виде двух слагаемых

.21

121 выхвх U

RRRUU+

−= (4.2.4)

Последнее выражение соответствует второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы на рис. 4.2.1.

Подставив в (4.2.3) численные значения параметров из п. 4.1.2, получаем 44

21 10445,110051,1 −− ⋅+⋅= jU В. Выполняем проверку

145,0105,021 jUKU ОУвых +== В. что повторяет результат анализа в подразделе 4.1.

Таким образом, решение задачи диагностики параметров режима на основе теоремы о компенсации не требует определения значений неизвестных параметров.

Uвх + R1 Z2 R1 Z2 Uвых

R1 Z2

U = . (4.2.2)

186

4.3. ДИАГНОСТИКА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ

4.3.1. Постановка задачи диагностики параметров

Дано: 1) схема цепи в соответствии с индивидуальным вариантом (табл. 4.1.1); 2) сопротивление нагрузки бесконечно большое; 3) пассивные элементы цепи – идеальные, параметры элементов, кроме

KОУ, заданы в табл. 4.1.2 в соответствии с групповым вариантом; 4) коэффициент передачи ОУ KОУ неизвестен; 5) численное значение выходного напряжения Uвых при входном

напряжении Uвх=100 мВ и частоте f=10 кГц, это значение берется из результатов анализа в п.4.1.2.

Требуется: 1) найти символьное выражение для KОУ; 2) проверить найденное выражение KОУ путем подстановки в это

выражение вместо Uвых его символьного выражения, сформированного при выполнении анализа по п. 4.1., получив тождество KОУ=KОУ;

3) используя символьное выражение KОУ, найти его численное значение, сравнить со значением из табл. 4.1.2;

4) записать выводы по работе.

4.3.2. Пример решения задачи диагностики параметров Для нахождения символьного выражения KОУ используем СКЭ на рис.

4.2.1. Задачу можно решить двумя способами: 1) непосредственно по диагностической формуле прямой компенсации в строке 5 табл. 3.8.1; 2) на основе диагностики параметров режима в п. 4.2. Для сравнения решим задачу двумя способами.

В результате применения диагностической формулы получаем

R1 Z2 Uвых

KОУ = . (4.3.1)

R1 Z2 Uвх + R1 Z2 Uвых

187Преобразуя (4.3.1) по аналогии с (4.2.2), получим

.)(

)(

121

21

выхвх

выхОУ URUZR

UZRK−+

+= (4.3.2)

Используя результат диагностики параметра режима U21, из выражения

(4.2.3) получаем по формуле

21U

UK выхОУ = (4.3.3)

то же выражение, что и в (4.3.2). Таким образом, оба способа диагностики параметра элемента KОУ дают одинаковый результат.

Проверим правильность выражения (4.3.2), используя результаты анализа из п. 4.1.2. Разделим числитель и знаменатель (4.3.2) на числитель, получим

.1

21

1

ZRR

UUK

вых

вхОУ

+−

= (4.3.4)

Подставив в (4.3.4) символьное выражение (4.1.1) для вхвых UUK /= ,

запишем

.

)()1(

1

21

1

21

21

ZRR

ZRKZKRK

ОУ

ОУОУ

+−

+++

= (4.3.5)

Эквивалентно преобразуя правую часть (4.3.5), получаем тождество

ОУОУ KK = . Следовательно, выражение для ОУK (4.3.2) является верным. Подставляя в (4.3.2) численные значения параметров элементов и

переменных 1,0=ВХU В и 144541,0105099,0 jU ВЫХ −= В, получаем численное значение для 0005,05,998 j

ОУ eK ⋅= . Это означает, что и численные анализ и диагностика выполнены без ошибок.

Следует обратить внимание на жесткие требования к точности измерения напряжения. Для получения трех значащих цифр в искомом параметре KОУ требуется измерить Uвых с точностью до шести значащих цифр.

188

4.4. СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ CIRSYMD

Программа CIRSYMD предназначена для получения символьных

выражений для напряжений, токов, параметров произвольной линейной инвариантной во времени электрической цепи с сосредоточенными параметрами в виде отношения двух вложенных выражений. Параметры всех элементов схемы представляются в символьной форме. Вычислительная сложность выражений минимизируется для достижения некоторого оптимального числа операций и символов.

Программа CIRSYMD, в основу которой положены работы [28, 50–54], написана В. В. Филаретовым на языке Си и работает с текстовыми файлами формата ASCII, что позволяет легко переносить (http://astrometric.sai.msu.ru/~symbol) и использовать ее на любом IBM-совместимом персональном компьютере. Файл конфигурации программы CIRSYMD носит имя SETUP.SYM.

4.4.1. Ввод данных о схеме Электрическая или электронная схема задается в виде cir-файла, то есть

файла программ PSpise-DesignLab, ставшего стандартным для программ схемотехнического моделирования. В комплект поставки программы CIRSYMD входят cir-файлы нескольких достаточно простых схем.

В первой строке cir-файла размещается текст, который идентифицирует Вашу схему. Узлы схемы нумеруются в произвольном порядке целыми числами.

Все последующие строки cir-файла должны начинаться с первой позиции. Текст cir-файла может прерываться комментариями – строками, начинающимися с символа «*». После последней команды cir-файла (.END) может следовать произвольный текст.

Во второй строке cir-файла (если нет комментариев) указывается частота, на которой проводится анализ схемы, например команда .AC LIN 1 1000 означает, что схема работает на частоте 1000 Гц. При анализе схем на постоянном токе указанную команду можно не указывать.

Далее вводятся элементы схемы, причем каждая строка соответствует одному и только одному элементу. Вначале следует имя компонента, затем номера узлов, к которым он присоединен, и значение параметра элемента в системе Си. Первая буква в имени элемента указывает тип элемента:

1) R или r – сопротивление резистора, Ом, 2) g – проводимость резистора, См, 3) С или c – емкость конденсатора, Ф, 4) L или l – индуктивность катушки индуктивности, Гн, 5) G – передаточная проводимость ИТУН, См; 6) F – коэффициент передачи по току ИТУТ;

1897) K – коэффициент передачи по напряжению ИНУН; 8) H – передаточное сопротивление ИНУТ, Ом; 9) N – идеальный операционный усилитель – НУИ. При задании идеальных операционных усилителей нет необходимости

указывать их имена (за исключением буквы «N») и численные значения параметров. Численные параметры, характеризующие элементы других типов, используются программой CIRSYMD при формировании заголовка – инициирующей части выражений для искомых напряжений, токов или параметров.

При задании приемников с искомым напряжением или током также указывается только имя приемника и пара узлов, к которым он подсоединен. Первая буква в имени приемника обозначает его тип:

1) U – приемник напряжения; 2) I – приемник тока. В заголовке формулы выполняется присваивание численных значений

параметров сопротивлениям и проводимостям резисторов, емкостным проводимостям конденсаторов, индуктивным сопротивлениям катушек индуктивности, а также передаточным проводимостям ИТУН. В формулах для искомых откликов тока или напряжения параметры емкостных проводимостей и индуктивных сопротивлений обозначаются буквами y и z (остальные символы имени соответствующих конденсаторов и катушек индуктивности остаются без изменения).

4.4.2. Отличия cir-файла программы CIRSYMD от обычного cir-файла

Ниже перечислены отличия входного файла, используемого программой CIRSYMD, от стандартного cir-файла, которые введены для удобства пользователя при формировании символьных выражений:

1. В обычном cir-файле не используются приемники напряжения и тока. 2. Cимвол «g» указывает не на ИТУН, как «G», а на проводимость

резистора. 3. Если имя резистора начинается с символа «r» или «R», то резистор

будет рассматриваться программой как проводимость или сопротивление соответственно. В первом случае в заголовке формул СВО и СВП появится строка gname=1/Rname.

4. Если имя конденсатора начинается с символа «с» или «С», то конденсатор будет рассматриваться программой как емкостные проводимость или сопротивление соответственно. При этом в заголовке формул СВО и СВП появится строка yname=s*cname или строка zname=1/(s*Cname).

5. Если имя катушки индуктивности начинается с символа «l» или «L», то катушка будет рассматриваться программой как индуктивные проводимость или сопротивление соответственно. При этом в заголовке формул СВО и СВП появится строка Yname=1/(s*lname) или строка Zname=s*Lname.

1906. Не допускается при указании значений параметров использовать

дольные и кратные единицы измерения, предусмотренные в стандартном cir-файле.

Cir-файл создается и модифицируется в любом текстовом редакторе формата ASCII. Cir-файл, в названии которого указывается название схемы – circuit_name должен иметь имя circuit_name.cir. По умолчанию, если имя схемы не указано, программа CIRSYMD использует файл с именем cir.

Правила занесения элементов схемы и команд в cir-файл иллюстрируются ниже.

4.4.3. Пример заполнения cir-файла для программы CIRSYMD

Название задания (схемы) * Пример заполнения cir-файла * * Задание ЧАСТОТЫ, на которой выполняется численный анализ * * f=1000 Гц; * .AC LIN 1 1000 * * s=2*Pi*f - круговая частота * * СОПРОТИВЛЕНИЕ резистора name, включенного между узлами n1 и n2, * value - значение параметра в Ом * * В заголовке формул СВО и СВП rname будет пересчитано * в проводимость: gname=1/rname * rname n1 n2 value * * Rname будет непосредственно включено в формулы СВО и СВП, * то есть без пересчета в проводимость * Rname n1 n2 value * * ПРОВОДИМОСТЬ резистора name, включенного между узлами n1 и n2, * value - значение параметра в См * gname n1 n2 value * * КОНДЕНСАТОР name, включенный между узлами n1 и n2, * value - значение параметра в Ф * * В заголовке формул СВО и СВП cname будет представлено * емкостной проводимостью: yname=s*cname * cname n1 n2 value

191* * В заголовке формул СВО и СВП Cname будет представлено * емкостным сопротивлением: zname=1/(s*Cname) * Cname n1 n2 value * * КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ name, включенная между узлами n1 и n2, * value - значение индуктивности в Гн * * В заголовке формул СВО и СВП lname будет представлено * индуктивной проводимостью: Yname=1/(s*lname) * lname n1 n2 value * * В заголовке формул СВО и СВП lname будет представлено * индуктивным сопротивлением: Zname=s*Lname * Lname n1 n2 value * * * ИСТОЧНИК ТОКА, направленный от узла n1 к узлу n2 и * УПРАВЛЯЕМЫЙ НАПРЯЖЕНИЕМ, ориентированным от узла n3 к узлу n4 * value - значение передаточной проводимости в См * Gname n1 n2 n3 n4 value * * ИСТОЧНИК ТОКА с именем name, направленный от узла n1 к узлу n2 и * УПРАВЛЯЕМЫЙ ТОКОМ, ориентированным от узла n3 к узлу n4 * value - значение коэффициента передачи по току. * Fname n1 n2 n3 n4 value * * ИСТОЧНИК НАПРЯЖЕНИЯ с именем name, направленный от узла n1 к узлу n2 и * УПРАВЛЯЕМЫЙ НАПРЯЖЕНИЕМ, ориентированным от узла n3 к узлу n4 * value - значение коэффициента передачи по напряжению * Kname n1 n2 n3 n4 value * * ИСТОЧНИК НАПРЯЖЕНИЯ с именем name, направленный от узла n1 к узлу n2 и * УПРАВЛЯЕМЫЙ ТОКОМ, ориентированным от узла n3 к узлу n4 * value - значение передаточного сопротивления в Ом * Hname n1 n2 n3 n4 value * * ИДЕАЛЬНЫЙ ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ – НУИ с именем name * (имя может быть опущено). * Входное (выходное) напряжение направлено от узла n1 к узлу n2 * (от узла n3 к узлу n4) * Nname n1 n2 n3 n4 * *

192* * ЗАДАНИЕ ИСКОМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ * Приемник напряжения, включенный между узлами n1 и n2 U n1 n2 * * Приемник тока, включенный между узлами n1 и n2 I n1 n2 * Команда окончания cir-файла .END

4.4.4. Использование программы CIRSYMD в различных режимах

4.4.4.1. Режим анализа В этом режиме параметры всех элементов схемы считаются известными и

задаются в cir-файле (см. п. 4.4.3). 4.4.4.2. Режим диагностики При решении задач диагностики с помощью программы CIRSYMD

обозначения (идентификаторы) неизвестных параметров элементов (резисторов, сопротивлений, конденсаторов, независимых и управляемых источников) дополняются (в конце) знаком «?». В строках, соответствующих элементам схемы с неизвестными параметрам, значения этих параметров можно не указывать.

Для нахождения n неизвестных параметров в схему вводится n приборов для измерения напряжения и тока (вольтметров и амперметров). При задании измерительного прибора указывается его имя и пара узлов, к которым он подсоединен. Первая буква в имени измерительного прибора обозначает его тип:

1) V – вольтметр; 2) A – амперметр. Необходимо обратить внимание на то, что поставленная пользователем для

программы CIRSYMD задача диагностики может не иметь решения. В этом случае программа выдает для определителя соответствующей диагностической схемы значение, равное нулю. Чтобы получить решение пользователю следует изменить способ подключения или тип измерительных приборов.

4.4.4.3. Режим самотестирования Использование программы CIRSYMD в режиме самотестирования состоит

в следующем. Этот режим совмещает режимы анализа и диагностики схемы. Для этого параллельно вольтметрам подключаются приемники напряжения, а последовательно с амперметрами – приемники тока. Причем имена или номера (начиная со второго символа) в обозначениях измерительных приборов и соответствующих приемников должны совпадать. Таким образом, в cir-файле для режима самотестирования должно быть помечено знаком «?» n «неизвестных» параметров, указано n измерительных приборов и n

193соответствующих приемников. Слово «неизвестных» взято в кавычки, поскольку значения параметров, содержащих знак «?», также должны быть заданы.

В режиме «самотестирования» программа CIRSYMD сначала сформирует n выражений для напряжений и токов, считая все параметры схемы известными, то есть выполняя функции измерительных приборов. Затем получаются символьные выражения для параметров, помеченных знаком «?», в которых будут использованы ранее найденные значения напряжений и токов («показания» вольтметров и амперметров). Значения параметров, рассчитанные по этим выражениям, должны быть равными соответствующим значениям, указанным в исходном cir-файле. Важно, что режим «самотестирования» позволяет не только проверить теоретически решение задачи диагностики, но и выполнить косвенное тестирование выражений, сформированных программой CIRSYMD для данной схемы.

4.4.4.4. Выполнение программы CIRSYMD Для выполнения задания на анализ и диагностику, поставленного в cir-

файле, необходимо выполнить команду CIRSYMD.EXE. После чего программа запросит имя входного файла. Предусмотрены два способа введения имени файла:

1) Если пользователь введет имя cir-файла c расширением .cir (circuit_name.cir), то программа CIRSYMD сформирует файл circuit_name.out.

2) Если пользователь предварительно перепишет файл circuit_name.cir в файл cir, то ему будет достаточно нажать клавишу <ENTER>. В этом случае программа CIRSYMD сформирует файл с именем out.

Файлы circuit_name.out и out могут быть далее исследованы в вещественной и комплексной областях с помощью интерпретатора CALCSYM, разработанного и реализованного Д. В. Шеиным [33]. Причем для указания CALCSYM файла out будет достаточно нажать <ENTER>. В случае одновременного использования программ CIRSYMD и CALCSYM вызывается командный файл CALCCIR.BAT и дважды нажимается клавиша <ENTER> (предполагается, что копия cir-файла схемы находится в файле cir). Файл конфигурации программы CALCSYM носит имя SETUP.CAL.

4.4.5. Примеры использования программы CIRSYMD 4.4.5.1. Анализ и диагностика схемы транзисторного усилителя [19, 28] Рассмотрим пример символьной диагностики электронной цепи, уже

рассматриваемой в подразделе 3 и представленной на рис. 4.4.1,а. Схема замещения цепи в режиме малого сигнала приведена на рис. 4.4.1,б. В этой схеме известны параметры всех элементов, кроме сопротивлений Rb1 и Rb2, которые нужно определить. Дополнительно известны напряжения U1 и U2. Поскольку схема замещения не содержит реактивных элементов, то для

194упрощения записи напряжения и токи можно представлять только действующими значениями без учета их начальных фаз.

Рис. 4.4.1. Принципиальная схема (а) и схема замещения (б) электронного усилителя Используем программу CIRSYMD в режиме самотестирования. Для этого

определим напряжения U1 и U2 (в режиме анализа) и неизвестные параметры Rb1 и Rb2 (в режиме диагностики).

Исходный файл для программы CIRSYMD приводится ниже (для краткости записи строки cir-файла, соответствующие элементам схемы, записаны в виде одной строки): Транзисторный усилитель (тестовая схема Киншта) R1 1 2 1 R2 2 8 2 Rb1? 2 4 3 Rk1 5 0 4 Rb2? 5 7 5 Rk2 8 0 6 F1 5 0 4 0 7 F2 8 0 7 0 8 E 0 1 9 V1 2 0 V2 5 0 U1 2 0 U2 5 0 .END

Результат работы программы CIRSYMD имеет вид:

R1=1; R2=2; Rb1=3; Rk1=4; Rb2=5; Rk2=6; F1=7; F2=8; E=9; U1 = (R2*((-(E)*Rb1)*(Rk1+Rb2))+Rk2*((-(E)*Rb1)*(Rk1+Rb2))) / ( R1*((R2+Rb1)*(Rk1+Rb2)+Rk2*(Rk1*(-F1*F2+1)+Rb2))+Rb1*(Rk1+Rb2)* (R2+Rk2)); U2 = (R2*(Rk1*(Rb2*(F1*(E))))+Rk2*(Rk1*(Rb2*(F1*(E))))) / ( R1*((R2+Rb1)*(Rk1+Rb2)+Rk2*(Rk1*(-F1*F2+1)+Rb2))+Rb1*(Rk1+Rb2)* (R2+Rk2)); Rb1 = - (R1*(R2*(Rk1*(-(U1)))+Rk2*(Rk1*(-(U1)*(-F1*F2+1))))) / ( R1*(Rk1*(-(U1))+F2*Rk2*(U2))+R2*(Rk1*(-(U1+E)))+Rk2*Rk1*(-(U1+E)) ); Rb2 = - (Rk1*(R1*(R2*(-(U2))+Rk2*(-(U2)*(-F1*F2+1))))) / ( R1*((R2+Rk2)*(-(U2))+(U1)*F1*Rk1)+(R2+Rk2)*(Rk1*((E)*F1+(U1)*F1)) );

4.4.5.2. Анализ и диагностика тестовой схемы Бутырина-Васьковской [4] Исследуемая схема изображена на рис. 4.4.2. Для нахождения всех девяти

параметров схемы необходимо измерить шесть напряжений (вольтметры образуют дерево схемы) и три тока (амперметры измеряют ток в хордах-связях этого дерева).

R1 U1

U2

E

R2

Rk1 Rk2 U1

R1

EU2

R2

Rk2

Rb1

Ib1

β1Ib1

Rk1 Ib2

Rb2 β2Ib2

а б

1

2

4

5

7

8

0

195

Рис. 4.4.2

Для подключения амперметров в схему на рис. 4.4.2 вводятся дополнительные узлы с номерами 8, 9 и 10, как показано на рис. 4.4.3.

Рис. 4.4.3 Показания измерительных приборов считаем известными, равными

порядковым числам от 1 до 9 (в Вольтах и Амперах). Соответствующий cir-файл для решения поставленной задачи диагностики приводится ниже (для краткости записи строки cir-файла, соответствующие элементам схемы, записаны в виде одной строки): Тестовая схема Бутырина-Васьковской g12? 1 2 g13? 1 3 g14? 1 4 g26? 2 6 g27? 2 7 g45? 4 5 g34? 3 8 g56? 5 9 g67? 6 10 J 3 2 1 V1 1 2 1 V2 1 3 2 V3 1 4 3 V4 2 6 4 V5 2 7 5 V6 4 5 6 A1 8 4 7 A2 9 6 8 A3 10 7 9 .END

Результат работы программы CIRSYMD имеет следующий вид:

J=1; U1=1; U2=2; U3=3; U4=4; U5=5; U6=6; I1=7; I2=8; I3=9; det =-1; g12 = -(-(J+I2))/(-U1); g13 = -(-(-J-I1))/(-U2); g14 = -(-(I1-I2))/(-U3); g26 = -(-(-I3+I2))/(-U4); g27 = -(-I3)/(-U5); g45 = -(-(-I2))/(-U6); g34 = -I1/(-U3+U2); g56 = -I2/(-U4-U1+U3+U6); g67 = -I3/(-U5+U4);

4.4.5.3. Анализ схемы полосового активного фильтра Схема активного фильтра, изображенная на рис. 4.4.4, содержит 13

идеальных ОУ, 36 резисторов и 8 конденсаторов [79]. Почти двадцать лет эта схема служит «пробным камнем» для алгоритмов формирования ССФ (см. Интернет-сайт B.S. Rodanski: http://www.eng.uts.edu.au/~benr/symbolic/). Структурная схема этого фильтра, представленная на рис. 1.3.10 рассматривалась ранее в качестве иллюстрации алгоритма объединения подсхем (см. подпункт 1.3.4.4).

1 2

3 4 5 6 7

g13

g34 g14

g45 g56 g67

g26 g27g12

1

3 4 5

g13

g34

g14

g45 g56

g26

2

6

g67

g27g12

A AA 8 9 10 7

196Используем программу CIRSYMD в режиме анализа. Cir-файл для

программы CIRSYMD приводится ниже (для краткости записи строки cir-файла, соответствующие элементам схемы, записаны в виде одной строки): Полосовой фильтр (тестовая схема Стажика и Кончиковской) .AC LIN 1 1 * Подсхема 1 g1 1 2 1 g2 8 12 1 g3 0 2 1 g4 8 3 1 g5 3 4 1 g6 4 5 1 g7 5 6 1 g9 7 8 1 c6 4 5 1 c8 6 7 1 N1 3 0 2 8 N2 5 0 0 4 N3 7 0 0 6 * Подсхема 2 g10 9 5 1 g11 19 15 1 g12 0 9 1 g13 10 15 1 g14 10 11 1 g15 11 12 1 g16 12 13 1 g18 14 15 1 c15 11 12 1 c17 13 14 1 N4 10 0 9 15 N5 12 0 0 11 N6 14 0 0 13 * Подсхема 3 g19 12 16 1 g20 22 26 1 g21 0 16 1 g22 17 22 1 g23 17 18 1 g24 18 19 1 g25 19 20 1 g27 21 22 1 c24 18 19 1 c26 20 21 1 N7 17 0 16 22 N8 19 0 0 18 N9 21 0 0 20 * Подсхема 4 g28 23 19 1 g29 31 29 1 g30 0 23 1 g31 24 29 1 g32 24 25 1 g33 25 26 1 g34 26 27 1 g36 28 29 1 c33 25 26 1 c35 27 28 1 N10 24 0 23 29 N11 26 0 0 25 N12 28 0 0 27 * Подсхема 5 g37 26 30 1 g38 0 32 1 g39 0 30 1 g40 31 32 1 N13 31 0 30 32 * Вход напряжения (E=1) и выход напряжения E 0 1 1 U 31 0 .END

Результат работы программы CIRSYMD имеет вид:

f=1.000000; s=2*3.14159265358979323j*f; g1=1; g2=1; g3=1; g4=1; g5=1; g6=1; g7=1; g9=1; y6=s*1; y8=s*1; g10=1; g11=1; g12=1; g13=1; g14=1; g15=1; g16=1; g18=1; y15=s*1; y17=s*1; g19=1; g20=1; g21=1; g22=1; g23=1; g24=1; g25=1; g27=1; y24=s*1; y26=s*1; g28=1; g29=1; g30=1; g31=1; g32=1; g33=1; g34=1; g36=1; y33=s*1; y35=s*1; g37=1; g38=1; g39=1; g40=1; E=1; U = (-g1*(E)*(g40+g38)*g37*g32*y35*(g36+g31+g29)*g28*g23*y26* (g27+g22+g20)*g19*g14*y17*(g18+g13+g11)*g10*g5*y8*(g9+g4+g2) ) / ( (g3+g1)*((g21*(((g22*y26)*(-(y24+g24)*(g30+g28))+(g27)*(-g23*g25* (g30+g28)))*((-((-g31*y35)*(-(y33+g33))+(g36)*(-g32*(y33+g33))+(g36)* (g32*(y33+g33+g34))))*(-(g39+g37)*g40)+(-g32*y35)*(g29*g37* (g40+g38)))+(-g23*y26*g28)*(g20*g32*y35*(g39+g37)*g40* (g36+g31+g29))))*(((g9*g7*(g12+g10))*(-g5)+(-y8*(g12+g10))*(g4* (y6+g6)))*(-((-g13*y17)*(-(y15+g15))+(g18)*(-g14*(y15+g15))+(g18)* (g14*(y15+g15+g16))))+(-g5*y8*g10)*(-g2*g14*y17*(g18+g13+g11)))+ (g23*y26*(g30+g28)*((-(g27+g22+g20)*(g39+g37)*g40)*(-((-g31*y35)*(- (y33+g33))+(g36)*(-g32*(y33+g33))+(g36)*(g32*(y33+g33+g34))))+(- (g40+g38)*g37*(g27+g22+g20))*(g29*g32*y35)))*(g11*g14*y17*g19*( (g9*g7*(g12+g10))*(-g5)+(-y8*(g12+g10))*(g4*(y6+g6))))+(((g22*y26)*(- (y24+g24)*(g30+g28))+(g27)*(-g23*g25*(g30+g28)))*((-((-g31*y35)*(- (y33+g33))+(g36)*(-g32*(y33+g33))+(g36)*(g32*(y33+g33+g34))))*(- (g39+g37)*g40)+(-g32*y35)*(g29*g37*(g40+g38)))+(-g23*y26*g28)* (g20*g32*y35*(g39+g37)*g40*(g36+g31+g29)))*(g19*(((g9*g7*(g12+g10))* (-g5)+(-y8*(g12+g10))*(g4*(y6+g6)))*(-((-g13*y17)*(-(y15+g15))+(g18)* (-g14*(y15+g15))+(g18)*(g14*(y15+g15+g16))))+(-g5*y8*g10)* (-g2*g14*y17*(g18+g13+g11))))));

Рис. 4.4.4. Схема полосового фильтра

29

23

C24

g24

30

32

25

27

24

28

19

31

g39

g40

g37

g38

C7

g33

26

g34

g32

g30

C35

g31

g36

g28

g29

g23

g21 g19

g20

g25 g22

g27 C26

g14

C15

g15

12

g16 C17

g13

g18

g12 g10

g11

C6

g6

18 17

20 21

16

22

11

13

14

10 9

15

5

2

8

4 3

6 7

0

1

g5

g3 g1

g4

g2

g7 g9 C8

198 4.4.6. Комплект поставки программы CIRSYMD 1. Загрузочный файл программы CIRSYMD – cirsymd.exe 2. Файл конфигурации программы CIRSYMD – setup.sym 3. Примеры заданий для программы CIRSYM – bandpas.cir, butvas.cir, kin.cir, mig.cir, amp3.cir, grishan.cir, grishdia.cir и другие 4. Загрузочный файл интерпретатора CALCSYM – calcsym.exe 5. Файл конфигурации интерпретатора CALCSYM – setup.cal 6. Пакетный файл для вызова CIRSYMD и CALCSYM – calccir.bat 7. Руководство пользователя программы CIRSYMD – cirsymd.doc

4.4.7. Контактный адрес для предложений и рекламаций по использованию программы CIRSYMD Дополнительные сведения о программе CIRSYMD и консультации по ее

использованию можно получить по адресу: vvfil@mail.ru. Новые версии программы CIRSYMD свободно распространяются через Интернет-сайты:

http://astrometric.sai.msu.ru/~symbol/, http://www.renako.net/filaretov.html.

4.4.8. Исследование выходных файлов программы CIRSYMD с помощью математических систем

Выходной текстовый файл с расширением .out программы CIRSYMD,

содержащий численные данные о параметрах элементов и сформированные СВО и СВП, может быть перенесен для аналитического и численного исследования, например, в математическую систему Maple [13]. Для этого следует использовать редактор текстов Word. Конвертированный в этом редакторе файл circuit_name.out воспринимается системой Maple. Перенос элементов этого файла в систему Maple проводится с помощью буфера обмена системы Windows. Перенесенные функции могут быть исследованы в системе Maple на экстремумы, нули, полюсы, пределы и т. д. По операторным изображениям токов, напряжений могут быть получены выражения для мгновенных значений. По функциям токов или напряжений можно сформировать и оценить производные функции, например, функции мощности и энергии. Однако сложные выражения, формируемые программой CIRSYMD и измеряемые десятками мегабайт можно вычислять в вещественной и комплексной областях только с помощью интерпретатора CALCSYM, входящего в комплект поставки. При этом обеспечивается удвоенная точность вычислений (18 десятичных разрядов).

199

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотренные выше примеры, как хочется надеяться, убедили Вас в том,

что метод схемных определителей является одним из эффективных методов символьного анализа и диагностики линейных электрических цепей. Это действительно так, поскольку:

1) анализ и диагностика схем выполняется без построения и трудоемкого решения матричных уравнений схемы;

2) направленное изменение схемы, соответствующее алгебраическим преобразованиям ее определителя, позволяет «оживить абстрактные математические процедуры, связанные с расчетом процессов в электрической цепи» [56, с. 3];

3) отказ от промежуточной математической модели в виде матрицы или графа при переходе от схемы к ее ССФ и обратно открывает новые возможности для структурного синтеза электрических цепей [6];

4) в выражениях числителей и знаменателей для искомых величин (токов, напряжений, параметров элементов) не используются операции деления, что в частности облегчает преобразование выражений к полиномиальному виду;

5) компактное и лишенное избыточности представление выражений не только сокращает затраты времени на их формирование, но и упрощает численные расчеты электрических цепей с помощью этих выражений;

6) метод схемных определителей через понятие минора подсхемы легко обобщается для анализа сложных электрических цепей делением их на части;

7) преимуществом символьного представления решения по сравнению с численным решением является возможность исследовать общие свойства схемных функций: условия разрешимости задачи, наличие нулей, полюсов, экстремумов, разрывов, пределов функций.

По сравнению с другими топологическими методами [43, 58, 78 – 80] метод схемных определителей не требует применения теоретико-множественного или графового аппаратов, позволяет получить решение непосредственно по схеме без образования взаимно уничтожающихся слагаемых в выражениях ССФ. Метод схемных определителей в отличие от других методов лишен ограничений на тип используемых линейных элементов. В этом методе обеспечивается непосредственное задание всех четырех типов управляемых источников (см. табл. П.1.9). Более того, в табл. П.1.13 помещены схемно-алгебраические выражения для выделения параметров основных трех- и четырехполюсников, которые используются при проектировании электронных средств. Применение этих формул, а также аналогичных формул, полученных Вами самими (метод открыт для развития), исключает переход к схеме замещения, содержащей управляемые источники, что позволяет выполнять нахождение ССФ непосредственно по принципиальной схеме.

200

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОД СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ В ТАБЛИЦАХ И РИСУНКАХ

П.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОСВОЕНИЮ

МЕТОДА СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Графические иллюстрации и примеры, как известно, способствуют более

быстрому освоению методов анализа электрических цепей. Поэтому представим здесь потенциальные возможности метода схемных определителей (МСО) в виде таблиц и схем. Предлагаемые иллюстрации необходимо разделить на основные и вспомогательные. К основным иллюстрациям относятся схемно-алгебраические выражения (САВ) для ССФ в табл. П.1.1, формулы выделения параметров базовых элементов в табл. П.1.9 и формулы разложения определителей схем делением на части (см. строки 1 и 2 табл. П.1.12), а также определители некоторых элементарных схем. К таким схемам относятся, например, одиночный узел (см. строку 1 табл. П.1.4), НУИ-контур (см. строку 10 табл. П.1.4) и схема, состоящая из двух и более несвязных подсхем (см. строку 1 табл. П.1.7). Основных формул достаточно, чтобы провести анализ любой линейной электронной цепи. Все остальные приведенные в этом разделе иллюстрации (см. табл. П.1.2–П.1.8, П.1.10–П.1.13) являются вспомогательными, легко выводятся с помощью основных формул и отражают частные варианты преобразования САВ. Эти преобразования ускоряют процесс получения ССФ, при этом они очень просты и быстро запоминаются. Более того, вывод этих формул может быть использован в качестве упражнений для освоения МСО.

Рекомендуется начинать изучение метода схемных определителей с запоминания табл. 2.1.1; 1, 2, 3, 4, 5, 10 строк из табл. П.1.4 и первых двух строк табл. П.1.9, что достаточно для анализа простых схем без управляемых источников.

Глубокое овладение МСО схемных определителей вовсе не требует формального запоминания 13 таблиц, помещенных ниже. После внимательного их рассмотрения объем информации, требующей запоминания, сократится в несколько раз. Например, табл. П.1.10 и П.1.11, содержащие наибольшее количество строк, являются следствиями табл. П.1.9 и П.1.5. Содержание табл. П.1.5 и П.1.6 обусловливают фундаментальные физические свойства элементов схемы и законы Кирхгофа, которые безусловно должен знать каждый студент. Для проверки студентами правильности САВ, помещенных в третий столбец табл. П.1.13, используются схемы замещения, приведенные во втором столбце (ниже изображений соответствующих элементов на принципиальной схеме). Эта таблица может быть расширена читателем (студентом) путем добавления в нее новых схемных элементов и соответствующих САВ.

201Таблица П.1.1. Схемно-алгебраические выражения (САВ) схемных функций

№ Исходная схема САВ

Коэффициент передачи по напряжению 1

Передаточная проводимость 2

Передаточное сопротивление 3

Коэффициент передачи по току 4

Входное сопротивление 5 Uвх

Входная проводимость 6

YEI = Iвх / E =

Iвх

E

ZJU = Uвх / J =Uвх J

BJI = I / J =J I

ZJU = U / J =J U

YEI = I /E = E I

KEU = U/E =E U

202Таблица П.1.2. Объединение схемных элементов

№ Исходная схема Эквивалентная схема

1 Последовательное соединение z-ветвей

Параллельное соединение y-ветвей 2

Последовательное соединение ИНУТ 3

Параллельное соединение ИТУН 4

Последовательно-параллельное соединение ИТУТ 5

Параллельно-последовательное соединение ИНУН 6

Z1 Z2 Z1+Z2

Y2 U Y1U U (Y1–Y2) U U

Z1I1 Z2I2

I1 I2

(Z1+Z2) I1

I1

B1I1 B2 I2

I1

I2

(–B1+B2) I I= –I1= –I2

K1U1 K2U2

U1 = U2 = U

(K1+K2) U

U

Y1 Y2 Y1+Y2

203Таблица П.1.3. Эквивалентные упрощения (преобразования) схем

перед нахождением схемных функций

№ Исходная схема Эквивалентная схема 1 2 3

Объединение двух подсхем с управляющими связями между ними в одну подсхему

1

Удаление подсхемы, имеющей один общий узел со схемой 2

Удаление двухполюсника, параллельного независимому источнику напряжения (см. частный случай в [8, с. 94])

3

Удаление двухполюсника, параллельного управляемому источнику напряжения

Разложение определителя схемы с двухполюсником, который соединен параллельно управляемому источнику напряжения

4

4*

Удаление двухполюсника, параллельного приемнику тока – амперметру 5

Удаление двухполюсника, параллельного приемнику тока УИ 6

*

Iу Iу

204

Окончание табл. П.1.3 1 2 3

Получение определителя схемы с двухполюсником, параллельным приемнику тока УИ 6*

Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно с независимым источником тока (см. частный случай в [8, с. 94])

7

Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно с управляемым источником тока

Разложение определителя схемы с двухполюсником, соединенным последовательно с управляемым источником тока

8

8*

Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно с приемником напряжения – вольтметром

9

Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно с приемником напряжения УИ

Разложение определителя схемы с двухполюсником, соединенным последовательно с приемником напряжения УИ

10

10*

* Iу Iу

*

Uу Uу

* Uу Uу

205

Таблица П.1.4. Определители простейших схем № Схема, отображающая определитель Величина определителя

Схема, состоящая из одного узла 1 ∆=1

Разомкнутая ветвь с сопротивлением Z 2

∆=1 Разомкнутая ветвь с проводимостью Y 3

∆=Y

Замкнутая ветвь (петля) с сопротивлением Z 4

∆=Z

Замкнутая ветвь (петля) с проводимостью Y 5

∆=1

Схема-контур из сопротивлений 6

∆=Z1+Z2+…+Zn

Схема - параллельное соединение проводимостей 7

∆=Y1+Y2+…+Yn

Схема-контур из сопротивления Z и проводимости Y 8

∆=ZY+1

Разомкнутая ZY-ветвь 9

∆=Y Простейшие схемы с неудаляемым управляемым источником (НУИ) 10

∆ = 1 и ∆ = –1

Z

Y

Z

Y

Z Y

Z1 Z2 Zn

Y2 Y1 Yn

Z Y

206Таблица П.1.5. Условия вырождения и нейтрализации элементов

при замыкании и размыкании

Элемент схемы

Вырождение

Нейтрализация

Нет

Нет

Нет

Нет

Z Z

Y Y

207

Таблица П.1.6. Следствия параллельного и последовательного соединения элементов

Соединение элемента

Элемент схемы параллельное

последовательное

Выделение Y

Выделение Z

∆=0

∆=0

∆=0

∆=0

∆=0

∆=0

∆=0

∆=0

Z

Y

208

Таблица П.1.7. Условия вырождения схем (∆=0) № Классы схем

Схемы, состоящие из двух и более несвязных подсхем 1

Схемы с разомкнутым или замкнутым генератором НУИ 2

Схемы с разомкнутым или замкнутым приемником НУИ 3

Схемы с замкнутыми генератором напряжения или приемником тока 4

Cхемы с разомкнутыми генератором тока или приемником напряжения 5

Схемы с сечением из генераторов тока и (или) генераторов НУИ 6

Схемы с сечением из приемников напряжения и (или) приемников НУИ 7

Схемы с контуром из генераторов напряжения и (или) генераторов НУИ 8

Схемы с контуром из приемников тока и (или) приемников НУИ 9

209Таблица П.1.8. Преобразование определителей схем с НУИ

№ Исходное схемно-алгебраическое

выражение Эквивалентное схемно-

алгебраическое выражение 1 2 3

Замещение проводником однонаправленного параллельного соединения генератора и приемника НУИ

1

Замещение проводником противонаправленного параллельного соединения генератора и приемника НУИ

2

3 Исключение встречного последовательного соединения генератора и приемника НУИ

Исключение согласного последовательного соединения генератора и приемника НУИ

4

Взаимная замена номеров у генераторов НУИ 5

Взаимная замена номеров у приемников НУИ 6

k k

k

k

k k

k k

k

k

m

m

m m

k k

k

k

m

m

k k

m m

210

Окончание табл. П.1.8

1 2 3 Выделение НУИ, расположенного в сечении

при согласной ориентации генератора и приемника 7

Выделение НУИ, расположенного в сечении при встречной ориентации генератора и приемника

8

Выделение НУИ, генератор которого находится вне сечения при согласной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ

9

Выделение НУИ, приемник которого находится вне сечения при согласной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ

10

Выделение НУИ, генератор которого находится вне сечения при встречной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ

11

Выделение НУИ, приемник которого находится вне сечения при встречной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ

12

k k

k k

m m

k k

mm

m m

k k

kk

m mk

k m

m

m m k

k kk

211

Таблица П.1.9. Формулы выделения параметров базовых элементов

№ Исходное схемно-

алгебраическое выражение

Эквивалентное схемно-алгебраическое выражение

Выделение параметра z-ветви 1

Выделение параметра y-ветви 2

Выделение параметра ИНУТ 3

Выделение параметра ИНУН 4

Выделение параметра ИТУН 5

Выделение параметра ИТУТ 6

Z Z *

Y *Y

I ZI Z *

U KU

K *

U GU

G*

I BI

B *

212

Таблица П.1.10. Частные случаи выделения параметров элементов

№ Исходное схемно-алгебраическое

выражение Эквивалентное схемно-

алгебраическое выражение

1 2 3 Параллельное соединение z-ветви с генератором напряжения 1

Параллельное соединение z-ветви с генератором НУИ 2

Параллельное соединение z-ветви с приемником тока 3

Параллельное соединение z-ветви с приемником НУИ 4

Последовательное соединение y-ветви с генератором тока 5

Последовательное соединение y-ветви с генератором НУИ 6

Последовательное соединение y-ветви с приемником напряжения 7

*Z Z

Z *Z

Z *Z

Z *Z

Y *Y

Y *Y

Y *Y

213Окончание табл. П.1.10

1 2 3 Последовательное соединение y-ветви с приемником НУИ 8

Параллельное соединение генератора напряжения УИ–1 с параметром A и приемника тока УИ–2 с параметром B

9

Параллельное соединение генератора напряжения УИ–2 с параметром A и приемника НУИ–1

10

Параллельное соединение приемника тока УИ–2 с параметром A и генератора НУИ–1

11

Последовательное соединение приемника напряжения УИ–1 с параметром А и генератора тока УИ–2 с параметром В

12

Последовательное соединение генератора тока УИ–2 с параметром А и приемника НУИ–1

13

Последовательное соединение приемника напряжения УИ–2 с параметром А и генератора НУИ–1

14

Y *Y

21

*A *B

11

2A *

12

1A *

21

*A *B

1 12A *

1 2

1 A *

214Таблица П.1.11. Эквивалентные упрощения схем в результате нейтрализации

элементов № Исходное САВ Эквивалентное САВ 1 2 3

Удаление y-ветви, включенной параллельно генератору напряжения 1

Удаление y-ветви, включенной параллельно генератору НУИ 2

Удаление y-ветви, включенной параллельно приемнику тока 3

Удаление y-ветви, включенной параллельно приемнику НУИ 4

Стягивание z-ветви, включенной последовательно с генератором тока 5

Стягивание z-ветви, включенной последовательно с генератором НУИ 6

Стягивание z-ветви, последовательной приемнику напряжения 7

Стягивание z-ветви, включенной последовательно с приемником НУИ 8

Z

Z

Y

Y

Y

Y

Z

Z

215

Окончание табл. П.1.11 1 2 3

Параллельное соединение генератора тока с генератором напряжения 9

Параллельное соединение генератора тока с генератором НУИ 10

Параллельное соединение приемника напряжения с приемником тока 11

Параллельное соединение приемника напряжения с приемником НУИ 12

Последовательное соединение генератора напряжения и генератора тока 13

Последовательное соединение генератора напряжения и генератора НУИ 14

Последовательное соединение приемника тока с приемником напряжения 15

Последовательное соединение приемника тока с приемником НУИ 16

216

Таблица П.1.12. Разложение определителей схем делением их на части

№ Исходное схемно-алгебраическое выражение

Эквивалентное схемно-алгебраическое выражение

1 2 3 Схема делится на две подсхемы по одному узлу 1

Схема делится на две подсхемы по двум узлам 2

Схема делится на две подсхемы по трем узлам 3

Выделение двухполюсника, параллельного генератору НУИ 4

Выделение двухполюсника, параллельного приемнику НУИ 5

1 2 1 2*

1 2 1 2 21* *

*

1 2

1 2* 1 2*

1 2* 1 2*

1 2* 1 2*

*

217

Окончание табл. П.1.12 1 2 3

Выделение двухполюсника, соединенного последовательно с генератором НУИ

6

Выделение двухполюсника, соединенного последовательно с приемником НУИ

7

Нахождение числителя передаточной схемной функции при каскадном соединении двух четырехполюсников

8

Нахождение числителя передаточной схемной функции при параллельном соединении двух трехполюсников

9

Нахождение числителя передаточной схемной функции при последовательном соединении двух трехполюсников

10

*

*

1 2 2 1 *

1 2 1 12 2 * *

1 1 1

2 2 2 **

218Таблица П.1.13. Дополнительные схемно-алгебраические выражения

для выделения параметров элементов

№

Исходное схемно-алгебраическое

выражение

Эквивалентное схемно-алгебраическое выражение

1 2 3

Выделение параметра индуктивно связанных катушек 1

Выделение параметра индуктивно связанных катушек во взаимной цепи 2

Выделение всех параметров двух взаимно связанных катушек 3

L1 L2

–p2 M2 2pM

L1 L2

M

–p2 M2 p M

p M L1 L2

L1 L2

M

L1 L2 I1 I2

pMI2 pMI1

L1 L2

M

L1 L2 I1 I2

pMI2 pMI1

(p 2(L1L2 –M2)

pM

pL1 pL2

219Продолжение табл. П.1.13

1 2 3 Идеальный трансформатор 4

Операционный усилитель с конечными коэффициентом усиления K

и выходным сопротивлением Z 5

Идеальный операционный усилитель 6

1: nn2

n

I U

nUnI

U

KUZ

K

Z

220Продолжение табл. П.1.13

1 2 3 Идеальный конвертор сопротивления с преобразованием напряжения 7

Идеальный конвертор сопротивления с преобразованием тока 8

Идеальный инвертор сопротивления 9

Y21 Y12

y12y21 y21

y12

Y12U2

Y21U1

U1 U2

(kZ –1)

kZ

U

(1–1/kZ)U kZ

I

kZ

(1–kZ)I

(1–kZ)

221Продолжение табл. П.1.13

1 2 3 Идеальный гиратор 10

Низкочастотный биполярный транзистор с h-параметрами 11

Биполярный, полевой, составной транзистор с y-параметрами 12

U1 U2

gU2

gU1

g

g2

g

I1 U2

h12U2

h21I1

h11

б к

э

h22

(h11h22 – h12h21)

h12 h21

h11 h22

U1 U2

y12U2

y21U1

y11

з с

и

y22

(y11y22 –y12y21)

y12 y21

y11 y22

222Окончание табл. П.1.13

1 2 3 13 Составной транзистор, представленный z-параметрами

14 Длинная (передающая) линия

I1 I2

z12I2

z21I1

z11 z22

(z11z22 – z12z21)

z12 z21

z11 z22

ZВ , γ , l

ZВ ch(γ l)

ZВ sh(γ l) 2 sh(γ l)

ZВ1

J1

J2 E1

E2

1

223ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Анализ электрических цепей при гармоническом воздействии, 15, 179 при постоянном воздействии, 14 с взаимоиндуктивностями, 51, 218 с идеальными трансформаторами, 51, 219 с несколькими источниками, 85, 98, 116 с ОУ, 51, 219 с УИ, 47, 202

Выделение параметра взаимоиндуктивности, 218 гиратора идеального, 221 длинной линии, 52, 222 инвертора сопротивления, 220 конвертора сопротивления, 220 независимого источника, 120 НУИ, 53, 205, 209 ОУ, 51, 219 резистора, 27, 211 транзистора, 221, 222 УИ, 47, 211 элементов, 26

Выделение подсхем, 29 Выражение схемно-алгебраическое, 10, 85 Вырождение схемы 19, 134, 180 Генератор ЭДС, 12, 101, 122, 167

тока, 12, 122, 152, 167 НУИ, 13, 54

Двоичный вектор, 30 Деление схем на части, 29 Делитель напряжения, 43 Диагностика электрических цепей, 17, 129 Источник

независимый, 12, 85 управляемый, 7, 13, 211, 214 ИНУН, 7, 13, 206, 211, 214 ИНУТ, 7, 13, 206, 211, 214 ИТУН, 7, 13, 60, 204, 211, 215 ИТУТ, 7, 13, 204, 211, 215

Компенсация комбинированная, 17, 131 косвенная, 17, 131, 135 прямая, 17, 159, 172, 184

Метод схемных определителей, 9, 105 Минор схемный, 30 Мост Уитстона, 44

Нейтрализация элементов, 19, 121, 206 Неудаляемый управляемый источник, 13 Неудаляемый элемент матрицы, 79 Неудаляемая дуга в графе, 82 Объединение подсхем, 35 Операционный

преобразователь, 60, 64 усилитель, 7, 14

Определитель матричный, 19, 85 символьный, 19 схемы, 19, 121

знаменателя, 43 числителя, 43 с двухполюсниками, 29 с НУИ, 53, 209 с управляемыми источниками, 47

СКЭ, 132, 156 Преобразование

схем, 14 определителей, 26

Приемник напряжения, 14, 133 тока, 14, 133 НУИ, 13, 54

Проводимость входная, 16, 201 передаточная, 16, 165

Символьная схемная функция (ССФ), 7 Сопротивление

входное, 16, 201 передаточное, 16, 162

Схема замещения, 12 с компенсированными элементами, 17

Упрощение схем, 23, 202 Уравнение характеристическое, 19 Усилитель

дифференциальный, 99 транзисторный, 193 трансформаторный, 53 электронный, 156, 172

Фильтр активный, 56 полосовой, 38, 45 сглаживающий, 44

224

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Аналитически-численный метод расчета

динамических систем.– СПб: Энергоатомиздат, 2002.– 368 с. 2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для

инженеров и учащихся втузов.– М.: Наука. 1986.– 544 с. 3. Бутырин П.А., Алпатов М.Е. К созданию аналитической теории

трансформаторов // Изв. АН России. Энергетика.– 2002.– № 2.– С. 44–53. 4. Бутырин П.А., Васьковская Т.А. Диагностика электрических цепей по

частям: Теоретические основы и компьютерный практикум: Учебное пособие.– М.: Изд-во МЭИ, 2003.– 112 с.

5. Бэндлер Дж. У., Салама А.Э. Диагностика неисправностей в аналоговых цепях // Тр. ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике.– 1985.– Т. 73.– № 8.– С. 35–87.

6. Волгин Л.И. Топологические преобразования и синтез схем радиоэлектронных средств.– Тольятти: Изд-во Поволжского технологического ин-та сервиса, 2000.– 173 с.

7. Волгин Л.И. Топологические модели усилителей электрических сигналов.– Тольятти: Изд-во Поволжского технологического ин-та сервиса, 2002.– 90 с.

8. Гомоюнов К.К. Транзисторные цепи: Учебное пособие.– СПб: БХВ-Петербург, 2002.– 240 с.

9. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей.– Л.: Энергоатомиздат, 1990.– 256 с.

10. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей.– М.: Высшая школа, 1988.– 335 с.

11. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3 т. Т. 1.– СПб.: Питер, 2003.– 463 с.

12. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3 т. Т. 2.– СПб.: Питер, 2003.– 576 с.

13. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5.– М.: Солон.– 399 с.

14. Зелях Э.В. Основы общей теории линейных электрических схем.– М.:Изд-во АН СССР, 1951.– 335с.

15. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей.– Л.: Энергия, 1972.– 816 с.

16. Иваницкий А.М. Принцип взаимосоответствия // Радиотехника.– 1976.– Т. 31, № 7.– С. 45–52.

17. История электротехники / Академия электротехнических наук РФ.– М.: Изд-во МЭИ, 1999.– 524 с.

18. Касьян Н.Н. Проверка диагностируемости схемы путем определения ранга тестовой матрицы // Радiоелектронiка, iнформатика, управление.– 2000.– № 1.– С. 26–29.

22519. Киншт Н.В., Герасимова Г.Н., Кац М.А. Диагностика электрических

цепей.– М.: Энергоатомиздат, 1983.– 192 с. 20. Кирхгоф Г.Р. Избранные труды.- М.: Наука, 1988.– 428 с. 21. Коровкин Н.В., Потиенко А.А., Чечурин В.Л. Обратные задачи в

электротехнике и их численное решение: Учебное пособие.– СПб.: Нестор, 2003.– 155 с.

22. Кузовкин В.А. Теоретическая электротехника: Учебник.– М.: Логос, 2002.– 480 с.

23. Курганов С.А. Анализ активных и нелинейных электрических цепей: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 1992.– 28 с.

24. Курганов С.А. Анализ и синтез электрических цепей: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 1995.– 28 с.

25. Курганов С.А. Анализ установившихся режимов линейных цепей, элементов и сигналов с применением системы MathCAD: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 1996.– 44 с.

26. Курганов С.А. Установившиеся режимы в однородной длинной линии при гармоническом воздействии: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 1997.– 20 с.

27. Курганов С.А., Сабитов О.Ю. Анализ установившихся режимов линейных электрических цепей, элементов и сигналов с применением системы MathCAD: Методические указания.– Ульяновск: Ульян. гос. ун-т, 2000.– 52 с.

28. Курганов С. А. Символьный подход к решению задачи диагностики электрических цепей // Электричество.− 2002.− № 8.− С. 49–52.

29. Курганов С.А., Никитин А.М. Диагностика электрических цепей на основе аналитического подхода//Энергосбережение в Поволжье.–2001.–№ 2.– С. 79–81.

30. Курганов С.А., Филаретов В.В. Метод многовариантного анализа нелинейных электронных схем // Электричество.– 1983.– № 5.– С. 42–43.

31. Курганов С. А., Филаретов В. В., Анализ установившихся режимов линейных электрических цепей методом схемных определителей: Учебное пособие.– Ульяновск: УлГТУ, 2003.– 148 с.

32. Курганов С.А., Филаретов В.В. Символьный анализ линейных электронных цепей на основе схемно-алгебраических формул выделения параметров многополюсников // Электричество.– 2003.– № 6.– С. 52–65.

33. Курганов С.А., Филаретов В.В., Шеин Д.В. Схемно-символьный и матрично-численный анализ установившихся режимов линейных электрических цепей: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 2002.– 56 с.

34. Лурье О.Б. Интегральные микросхемы в усилительных устройствах.– М.: Радио и связь, 1988.– 176 с.

35. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме: В 2 т.– Т. 1.– М.: Наука, 1989.– 416 с.

36. Основы теории цепей / Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов.– М.: Энергоатомиздат, 1989.– 528 с.

37. Писсанецки С.Технология разреженных матриц.−М.: Мир, 1988.−410 с.

22638. Попов В.П. Основы теории цепей.– М.: Высш. шк., 2000.– 575 с. 39. Практикум по ТОЭ: В 2 ч. Ч. 1: Учеб. пособие / Под ред.

М.А.Шакирова.– СПб: Изд-во СПбГТУ, 2000.– 152 с. 40. Практикум по ТОЭ: В 2 ч. Ч. 2: Учеб. пособие / Под ред.

М.А.Шакирова.– СПб: Изд-во СПбГТУ, 2000.– 204 с. 41. Сигорский В.П. Анализ электронных схем.– Киев: Гос. изд-во техн.

лит. УССР, 1960.– 176 с. 42. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных

схем.– М.: Сов. Радио.– 1976.– 608 с. 43. Теоретические основы электротехники: В 2 т. Т. 1. Основы теории

линейных цепей / П.А.Ионкин, А.И.Даревский, Е.С.Кухаркин, В.Г.Миронов, Н.А.Мельников.– М.: Высшая школа, 1976.– 544 с.

44. Филаретов В.В. Неявный принцип наложения и анализ линейных электрических цепей // Электричество.– 1990.– № 3.– С. 37–43.

45. Филаретов В.В. Исследования Вильгельма Фойснера в области теоретической электротехники // Электричество.– 1992.– № 9.– С. 64–67.

46. Филаретов В.В. Топологический анализ электронных схем методом выделения ветвей и дуг // Электричество.– 1992.– № 7.– С. 31–37.

47. Филаретов В.В. Обобщенный унисторный граф электронной схемы и его анализ // Электричество.– 1993.– № 5.– С. 65–70.

48. Филаретов В.В. Оптимизация формул схемных функций электрических цепей // Электричество.– 1993.– № 9.– С. 64–68.

49. Филаретов В. В. Приоритеты в науке, или еще об одном слагаемом успеха // Электричество.− 1994.− № 12.− С. 63–64.

50. Филаретов В.В. Синтез оптимальных формул схемных функций электрических цепей // Электричество.– 1995.– № 4.– С. 36–43.

51. Филаретов В.В. Топологический анализ электронных схем методом выделения параметров // Электричество.– 1998.– № 5.– С. 43–52.

52. Филаретов В.В. Формирование символьных функций для активных электрических цепей методом стягивания и удаления ветвей // Электричество.– 2001.– № 4.– С. 43–51.

53. Филаретов В. В. Метод двоичных векторов для топологического анализа электронных схем по частям // Электричество.− 2001.− № 8.– С. 33–42.

54. Филаретов В. В. Анализ электрических цепей методом схемных определителей: Методические указания.– Ульяновск: УлГТУ, 2001.– 40 с.

55. Чуа Л. О., Лин П. М. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы.− М.: Энергия, 1980.− 640 с.

56. Шакиров М. А. Преобразования и диакоптика электрических цепей.− Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.− 196 с.

57. Шакиров М.А. Теоретические основы электротехники: Новые идеи и принципы: Схемоанализ и диакоптика.– СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.– 212 с.

58. Шакиров М.А., Кияткин Р.П., Королева Т.И., Филаретов В.В. Сигнальные графы электрических цепей: Учеб. пособие.– Л.: Ленингр. гос. техн. ун-т, 1991.– 74 с.

22759. Шкритек П. Справочное руководство по звуковой схемотехнике.– М.:

Мир, 1991.– 446 с. 60. Berkowitz R.S. Conditions for network-element-value solvability // IRE

Transactions on circuit cheory.– 1962.– March.– P. 24–29. 61. Braun J. Topological analysis of networks containing nullators and norators

// Electronics letters.– 1966.– Vol. 2, No. 11.– P. 427–428. 62. Braun J. Method of singular elements in the theory of active nonreciprocal

networks: Ph.D. dissertation / Rozpravy Československé Akademie VĚD.– Praha, 1969.– 60 p.

63. Breuer M.A. Generation of optimal code for expressions via factorization // Communications of the Association for computing machinery.- 1969.- Vol. 12, N 6.- P. 333-340.

64. Constantinesсu F., Marin C.V., Nitescu M., Marin D. A new approach to parameter identification of linear circuits // IEEE Proc. of the international conference on signals, circuits and systems.– Romania, 2003.– P. 457–460.

65. Dmytryshyn R., Kubaszek A. Multimethodical approach and sequence of expressions generation for acceleration of repetitive analysis of analog circuits // Analog integrated circuits and signal processing.– Vol. 31.– Kluwer Academic Publishers, 2002.– P. 147-159.

66. Fedi G., Riccardo G., Luchetta A., Manetti S., Piccirilli M.C. On the application of symbolic techniques to the multiple fault location in low testability analog circuits // IEEE Trans. circuits and systems.– 1998.– Pt. II, vol. 45.– No. 10.– P. 1383–1388.

67. Fedi G., Manetti S., Piccirilli M.C., Starzyk J. Determination of an optimum set of testable components in the fault diagnosis of analog linear circuits // IEEE Trans. circuits and systems.– 1999.– Pt. I, vol. 46.– No. 7.– P. 779–787.

68. Feussner W. Ueber Stromverzweigung in netzformigen Leitern // Annalen der Physik.− 1902.− Bd 9, N 13.− S. 1304–1329.

69. Feussner W. Zur Berechnung der Stromstarke in netzformigen Leitern // Annalen der Physik.− 1904.− Bd 15, N 12.− S. 385–394.

70. Filaretov V.V., Korotkov A.S. Generalized parameter extraction method in network symbolic analysis // Proceedings of the European conference on circuit theory and desing (ECCTD–2003).– Kraków, Poland, 2003.– Vol. 2.– P. 406–409.

71. Filaretov V.V. A topological analysis of electronic circuits by a parameter extraction method // Electrical technology Russia.– 1998.– No. 2.– P. 46–61.

72. Kurganov S.A. A symbolic approach to solving the problem of linear electronic circuit diagnostics // Electrical technology Russia.– 2002.– No. 3.– P. 70–77.

73. Manetti S., Piccirilli M.C. A singular-value decomposition approach for ambiguity group determination in analog circuits // IEEE Trans. circuits and systems.– 2003.– Pt. I, vol. 47.– No. 4.– P. 477–487.

74. Milic M.M. General passive networks – solvability, degeneracies, and order of complexity // IEEE Transactions on circuits and systems.– 1974.– Vol. CAS-21.– No. 2 (March).– P. 177–183.

22875. Ozawa T. Topological conditions for the solvability of linear active

networks // Circuit Theory and Applications.– 1976.– Vol. 4.– P. 125–136. 76. Ozawa T., Kajitani Y. Diagnosability of linear active networks //

IEEE Transactions on circuits and systems.– 1979.– Vol. CAS-26.– No. 7.– P. 485–489.

77. Parten M.E. Seacat R.H. Topological analysis of networks containing nullators and norators using residual networks // 23rd annual Southwestern IEEE conference and exhibition.– New York, USA, 1971.– P. 39–42.

78. Richard Shi C.-J., Xiang-Dong Tan. Canonical symbolic analysis of large analog circuits with determinant decision diagrams // IEEE Trans. on computer-aided design of integrated circuits and systems.– 2000.– Vol. 19.– No. 1.– P. 1–13.

79. Starzyk J.A., Konczykowska A. Flowgraph analysis of large electronic networks // IEEE Transactions on circuits and systems.– 1986.– Vol. CAS-33, N 3.– P. 302–315.

80. Wambacq P., Gielen G.G.E., Sansen W. Symbolic network analysis methods for practical analog integrated circuits: A survey // IEEE Trans. circuits and systems.– 1998.– Pt.II, vol. 45.– No. 10.– P. 1331–1341.

Учебное издание

КУРГАНОВ Сергей Александрович ФИЛАРЕТОВ Владимир Валентинович

СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Учебное пособие

Редактор М. В. Леонова Компьютерный набор и графика: В. В. Филаретов

Подписано в печать 01.12.2003. Формат 60×84/16 Бумага писчая. Усл. печ. л. 13,25. Уч.-изд. л. 12,80

Тираж 200 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет.

432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32

Типография УлГТУ. 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32