Лекция 7

Тема: Произведение векторов

• Скалярное произведение векторов, свойства, координатное

выражение.

• Векторное произведение векторов, его свойства и координатное

выражение.

• Смешанное произведение векторов, свойства и координатное

выражение.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Скалярное произведение.

Определение. Скалярным произведением векторов �⃗� и �⃗⃗� называется

число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

𝑎⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑

Пр�⃗⃗��⃗⃗� = |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ �⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ Пр

�⃗⃗��⃗⃗�.

Откуда:

Пр�⃗⃗��⃗⃗� =

�⃗� ⋅ �⃗⃗�

|�⃗�|

Свойства скалярного произведения:

1. �⃗� ⋅ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⋅ �⃗� - коммутативность.

Доказательство: �⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = |�⃗⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = �⃗⃗� ⋅ �⃗�

2. 𝜆(�⃗� ⋅ �⃗⃗�) = 𝜆�⃗� ⋅ �⃗⃗� = �⃗� ⋅ 𝜆�⃗⃗� - ассоциативность.

Доказательство: при 𝜆 > 0

𝜆(�⃗� ⋅ �⃗⃗�) = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = |𝜆�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = (𝜆�⃗�) ⋅ �⃗⃗�.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

3. сabaсba+=+ )( - дистрибутивность.

Доказательство: по определению

�⃗�(�⃗⃗� + с⃗) = |�⃗�| ⋅ Пр�⃗⃗�(�⃗⃗� + 𝑐) = |�⃗�| ⋅ (Пр

�⃗⃗��⃗⃗� + Пр

�⃗⃗�𝑐) =

= |�⃗�| ⋅ Пр�⃗⃗��⃗⃗� + |�⃗�|Пр

�⃗⃗�𝑐 = �⃗� ⋅ �⃗⃗� + �⃗� ⋅ 𝑐.

4. Теорема (критерий перпендикулярности (ортогональности)

векторов). Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны,

необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение

равнялось нулю.

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0

Доказательство: если �⃗� ⊥ �⃗⃗�, то 𝜑 = 90° ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 и

�⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0.

Наоборот, если �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0, то |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0, тогда один из

сомножителей равен нулю.

Если 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 ⇒ 𝜑 = 90° и �⃗� ⊥ �⃗⃗�, если |�⃗�| = 0, то �⃗� = 0⃗⃗ и его

направление любое, например, ⊥ �⃗⃗�. Если |�⃗⃗�| = 0, то �⃗⃗� = 0⃗⃗ -

аналогичный случай.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

�⃗�2 = |�⃗�|2

Доказательство: �⃗�2 = �⃗� ⋅ �⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 0 = |�⃗�|2.

Для получения выражения для скалярного произведения двух

векторов через их координаты, заметим, что:

𝑖2 = 𝑗2 = �⃗⃗�2 = 1, 𝑖 ⋅ 𝑗 = 𝑖 ⋅ �⃗⃗� = 𝑗 ⋅ �⃗⃗� = 0.

Если �⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�, �⃗⃗� = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧 �⃗⃗�, то

�⃗� ⋅ �⃗⃗� = (𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�)(𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧 �⃗⃗�)𝑥 =

= 𝑎𝑥𝑏𝑥𝑖2 + 𝑎𝑦𝑏𝑦𝑗

2 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 �⃗⃗�2 + 𝑎𝑥𝑏𝑦𝑖 ⋅ 𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑦𝑏𝑧𝑗 ⋅ �⃗⃗� =

= 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧.

Окончательно, получим:

�⃗� ⋅ �⃗⃗� = 𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Учитывая эту формулу и свойство 4 скалярного произведения,

получаем, что для перпендикулярности двух векторов необходимо и

достаточно, чтобы выполнялось равенство:

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ 𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧 = 0

Из определения скалярного произведения получим формулу для

нахождения косинуса угла между двумя векторами:

𝑐𝑜𝑠 𝜑 =�⃗� ⋅ �⃗⃗�

|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�|=

𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧

√𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2√𝑏𝑥

2 + 𝑏𝑦2 + 𝑏𝑧

2

Замечание. Знак 𝑐𝑜𝑠 𝜑 зависит только от знака числителя дроби, т.е.

перпендикулярность векторов, острый или тупой угол между

векторами – все это определяется знаком скалярного произведения.

Если �⃗� ⋅ �⃗⃗� > 0 ⇒ угол между �⃗� и �⃗⃗� острый, �⃗� ⋅ �⃗⃗� < 0 ⇒ этот угол

тупой, �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0 ⇒ �⃗� ⊥ �⃗⃗�.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Пример. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с вершинами 𝐴(2; 1; −3), 𝐵(3; 3; 4), 𝐶(−5; 1; 7). Найти величину угла ВАС.

Решение:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 2; 3 − 1; 4 − (−3)) = (1; 2; 7);

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5 − 2; 1 − 1; 7 − (−3)) = (−7; 0; 10).

Запишем формулу скалярного произведения:

АВ→ ⋅ АС→ = |АВ→ | ⋅ |АС→ | ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑

АВ→ ⋅ АС→ = 1 ⋅ (−7) + 2 ⋅ 0 + 7 ⋅ 10 = 63,

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √12 + 22 + 72 = √54,

|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−7)2 + 02 + 102 = √149

Тогда

63 = √54 ⋅ √149 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 =63

√54 ⋅ √149⇒

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠63

√54 ⋅ √149

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Векторное произведение.

Определение. Три некомпланарных вектора �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐, взятые в

указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, с конца

вектора 𝑐 кратчайший поворот от первого вектора �⃗� ко второму

вектору �⃗⃗� виден совершающимся против часовой стрелки (по

часовой стрелке).

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Определение. Векторным произведением вектора �⃗� на вектор �⃗⃗�

называется вектор 𝑐, такой что:

1) вектор 𝑐 перпендикулярен перемножаемым векторам:

𝑐 ⊥ �⃗�, 𝑐 ⊥ �⃗⃗�;

2) векторы �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐 образуют

правую тройку;

3) модуль вектора 𝑐 определяется

формулой:

|с⃗| = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑,

где 𝜑 - угол между векторами �⃗� и �⃗⃗�.

Векторное произведение обозначается �⃗� × �⃗⃗�.

Свойства векторного произведения.

1. �⃗� × �⃗⃗� = −�⃗⃗� × �⃗� - антикоммутативность.

Доказательство: Из определения следует, что векторы �⃗� × �⃗⃗� и

�⃗⃗� × �⃗� имеют одинаковую длину: |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = |�⃗⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 и

противоположные направления.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

2. 𝜆(�⃗� × �⃗⃗�) = (𝜆�⃗�) × �⃗⃗� - ассоциативность.

Доказательство: Пусть 𝜆 > 0, вектор 𝜆(�⃗� × �⃗⃗�) имеет то же

направление, что и вектор �⃗� × �⃗⃗�. Вектор (𝜆�⃗�) × �⃗⃗� при 𝜆 > 0 имеет

то же направление. Длины этих векторов также совпадают:

|𝜆(�⃗� × �⃗⃗�)| = |𝜆| ⋅ |�⃗� × �⃗⃗�| = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑,

|(𝜆�⃗�) × �⃗⃗�| = |𝜆�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑.

Аналогично проводится доказательство для случая 𝜆 < 0.

3. �⃗� × (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� × �⃗⃗� + �⃗� × 𝑐 - дистрибутивность.

Без доказательства.

4. Теорема (критерий коллинеарности векторов). Для того чтобы

два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы

их векторное произведение равнялось нулю:

�⃗�‖�⃗⃗� ⇔ �⃗� × �⃗⃗� = 0

Доказательство: Если �⃗�‖�⃗⃗�, то 𝜑 = 0° ⇒ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0 и �⃗� × �⃗⃗� = 0.

Наоборот, если �⃗� × �⃗⃗� = 0, то |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0, следовательно, один

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

из сомножителей равен нулю. Если 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0, то 𝜑 = 0° или 𝜑 = 𝜋 и

�⃗�‖�⃗⃗�, если |�⃗�| = 0, то �⃗� = 0⃗⃗ и его направление – любое, например,

параллельное �⃗⃗�. Если |�⃗⃗�| = 0, то �⃗⃗� = 0⃗⃗ - аналогичный случай.

5. Векторный квадрат равен нулю:

�⃗� × �⃗� = 0 Это свойство является следствием свойства 4.

Геометрический смысл векторного произведения:

Модуль векторного произведения равен площади

параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Для получения выражения векторного произведения двух векторов

через их координаты, используют все парные векторные

произведения единичных векторов 𝑖, 𝑗 и �⃗⃗�:

𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0,

𝑖 × 𝑗 = �⃗⃗�, 𝑗 × �⃗⃗� = 𝑖, �⃗⃗� × 𝑖 = 𝑗,

𝑗 × 𝑖 = −�⃗⃗�, �⃗⃗� × 𝑗 = −𝑖, 𝑖 × �⃗⃗� = −𝑗.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Тогда

�⃗� × �⃗⃗� = |𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑏𝑧

| ⋅ 𝑖 − |𝑎𝑥 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑧

| ⋅ 𝑗 + |𝑎𝑥 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑏𝑦

| ⋅ �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

|

�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

|

Пример. Найти векторное произведение �⃗� × �⃗⃗� для векторов

�⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 + �⃗⃗� и �⃗⃗� = −𝑖 + 𝑗 + 3�⃗⃗�.

Решение:

�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 −3 1−1 1 3

| = 𝑖 |−3 11 3

| − 𝑗 |2 1−1 3

| + �⃗⃗� |2 −3−1 1

| =

= 𝑖(−9 − 1) − 𝑗(6 + 1) + �⃗⃗�(2 − 3) = −10𝑖 − 7𝑗 − �⃗⃗� = (−10;−7;−1).

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Пример. Вычислить площадь треугольника АВС, если 𝐴(1; 1; 1), 𝐵(1; 2; 3), 𝐶(−1; 2; 1).

Решение:

𝑆𝐴𝐵𝐶 =1

2|𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ |. Так как 𝐴𝐵

→ = (1 − 1; 2 − 1; 3 − 1) = (0; 1; 2),

𝐴𝐶→ = (−1 − 1; 2 − 1; 1 − 1) = (−2; 1; 0), то

𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ = |

𝑖 𝑗 �⃗⃗�0 1 2−2 1 0

| = 𝑖 |1 21 0

| − 𝑗 |0 2−2 0

| + �⃗⃗� |0 1−2 1

| =

= 𝑖(0 − 2) − 𝑗(0 + 4) + �⃗⃗�(0 + 2) =

= −2𝑖 − 4𝑗 + 2�⃗⃗�.

Тогда |𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ | = √(−2)2 + (−4)2 + 22 = √4 + 16 + 4 = 2√6 и

𝑆𝐴𝐵𝐶 =1

2⋅ 2√6 = √6.

Пример. Упростить выражение:

𝑗 × 𝑖 + 3𝑗 × �⃗⃗� − 5�⃗⃗� × 𝑖 + (3𝑖 + 5𝑗 − �⃗⃗�) × (𝑖 − 6𝑗 + 5�⃗⃗�).

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Решение: 𝑗 × 𝑖 + 3𝑗 × �⃗⃗� − 5�⃗⃗� × 𝑖 + (3𝑖 + 5𝑗 − �⃗⃗�) × (𝑖 − 6𝑗 + 5�⃗⃗�) =

= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + |𝑖 𝑗 �⃗⃗�3 5 −11 −6 5

| =

= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 𝑖(25 − 6) − 𝑗(15 + 1) + �⃗⃗�(−18 − 5) =

= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 19𝑖 − 16𝑗 − 23�⃗⃗� =

= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 19𝑖 − 16𝑗 − 23�⃗⃗� = 22𝑖 − 21𝑗 − 24�⃗⃗�.

Смешанное произведение.

Определение. Смешанным произведением трех векторов �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐 называется число, равное скалярному произведению векторного

произведения первых двух векторов на третий вектор: (�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗.

Найдем выражение для смешанного произведения трех векторов

через их координаты:

(�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗ = |𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑏𝑧

| ⋅ 𝑐𝑥 − |𝑎𝑥 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑧

| ⋅ 𝑐𝑦 + |𝑎𝑥 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑏𝑦

| ⋅ 𝑐𝑧 =

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

= |

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧

|.

Таким образом, смешанное произведение равно определителю

третьего порядка, в строках которого стоят координаты

перемножаемых векторов.

Пользуясь свойствами определителя, можно показать, что:

(�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗ = �⃗� ⋅ (�⃗⃗� × с⃗), т.е. знаки скалярного и векторного произведения в смешанном

произведении можно переставлять.

Поэтому смешанное произведение принято обозначать �⃗��⃗⃗�с⃗:

𝑎⃗⃗⃗ ⃗�⃗⃗�с⃗ = |

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧

|

Свойства смешанного произведения.

1. (�⃗��⃗⃗�с⃗) = (с⃗�⃗��⃗⃗�) = (�⃗⃗�с⃗�⃗�) = −(�⃗⃗��⃗�с⃗) = −(�⃗�с⃗�⃗⃗�) = −(𝑐�⃗⃗��⃗�).

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Чтобы запомнить эти равенства заметим, что при «циклической

перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а

последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух

соседних векторов знак меняется.

2. Геометрический смысл смешанного произведения:

Модуль смешанного произведения равен объему

параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

𝑉 = |�⃗��⃗⃗�с⃗|

3. Теорема (критерий компланарности векторов). Для того чтобы

три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их

смешанное произведение равнялось нулю: �⃗��⃗⃗�с⃗ = 0.

|

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧

| = 0.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

Пример. В пирамиде 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами 𝐴(10,7,1), 𝐵(7,10,0), 𝐶(1,10,7), 𝐷(7,1,17) найти: а) угол между ребрами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷; б) объем

пирамиды.

Решение.

а) Найдем векторы 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ в координатах. Напомним, что для этого

следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ( 7 − 10,10 − 7,0 − 1) = (−3,3, −1),

𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ( 7 − 10,1 − 7,17 − 1) = (−3,−6,16).

2516)1()6(3)3()3( −=−+−+−−= ADAB

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−3)2 + 32 + (−1)2 = √19,

|𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−3)2 + (−6)2 + 162 = √301.

Подставляем в формулу скалярного произведения:

𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐷→

= |𝐴𝐵→ | ⋅ |𝐴𝐷→ | ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇔ −25 = √19√301 𝑐𝑜𝑠 𝜑,

откуда

𝑐𝑜𝑠 𝜑 = −25

√19√301≈ ~ − 0.330, 𝜑 ≈ 1.907.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.

б) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда,

построенного на векторах 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного

произведения 𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐶→ ⋅ 𝐴𝐷→

.

Так как 𝐴𝐶→ = (1 − 10; 10 − 7; 7 − 1) = (−9; 3; 6), то имеем:

𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐶→ ⋅ 𝐴𝐷→

= |−3 3 −1−9 3 6−3 −6 16

| =

= −3(48 + 36) − 3(−144 + 18) − (54 + 9) = 63.

Следовательно, 𝑉 =1

6⋅ 63 =

21

2.

РТУ-МИРЭА

КАФЕДРА ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА-

2

ЛЕКЦИИ

ПО АЛ

ГЕБРЕ И

ГЕОМЕТРИИ

ГОРШУНОВА Т

.А.