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학술원논문집 (자연과학편) 제53집 2호 (2014) 105-126

폭발적 여과 전이 모형 및 이론

강 병 남*5)

Explosive percolation model and theory

Byungnam Kahng

ABSTRACT

Percolation transition is a geometric phase transition as a

spanning cluster is created in non-equilibrium systems. Even

though extensive researches on percolation transitions including 80

thousands papers have been performed during more than 70 years

since the first pioneering paper on sol-gel transition was published,

the robustness of continuous percolation transition has been

sustained. In the year 2009, an explosive percolation model had

been introduced, which demonstrated an abrupt phase transition as

edges were added to a random graph. This model as well as the

catastrophic failure model in multiplex networks introduced in the

year 2010 have led to the boost of research activities on

discontinuous percolation transition. In this review article, I focus

on the explosive percolation model and the development of the

theoretical framework of the discontinuous percolation transition

induced by cluster merging processes under the suppressive

environment of cluster growth.

Key words : cluster merging processes, discontinuous percolation

transition, phase transition and critical phenomena

* 2014年 大韓民國學術院賞 受賞者, 서울大學校 敎授

2 강 병 남

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초 록

여과 이(percolation transition)은 비평형계에서 일어나는 기하학 인 상

이 상인데도 불구하고 열 상 이 상에서 볼 수 있는 보편성을 지니는 표

인 상 이 상이다. 이 여과모형에 한 연구는 1940년 에 졸-젤 (sol-gel)

이를 설명하기 해 처음 소개된 이후 재까지 약 70여 년 동안 8만 편 이상

의 연구 논문이 발표되었고 아직도 지속 인 연구가 진행되고 있다. 특히 최근

들어 복잡계 네트워크와 련된 연구로 여과 모형은 더욱 심을 받고 있다. 이

모형은 연속 상 이 상을 보이고 있고 불연속 상 이는 거의 일어나지 않는

것으로 알려져 왔다. 부분의 열 상 이 모형은 조건에 따라서 연속 불연속

상 이를 보이고 있으므로 여과 모형에서 불연속 상 이가 일어나지 않는 것에

하여 특이하게 생각하고 있었다. 그러나 2009년에 폭발 여과 모형이라는 것이

소개되면서 불연속 여과 이가 일어날 수 있다는 것이 주장되었다. 한 2010

년 소개된 다층 복잡계 네트워크에서 일어나는 사태 상에 한 모형에서도 불

연속 여과 이 상이 보인다고 주장되어 불연속 여과 상 이 모형에 한

심과 연구가 진 으로 수행되게 되었다. 이 종설논문에서는 폭발 여과 이

모형을 소개하고 클러스터 병합과정을 통한 불연속 여과 이에 한 이론 틀의

형성과정에 하여 소개하고자 한다.

차 례

I. 서론

1. 여과 모형

2. 연속 여과 이

3. 네트워크에서의 연속 여과 이

Ⅱ. 불연속 여과 이 모형

1. 자발 여과 모형(Bootstrap

percolation model)

2. 폭발 여과 모형 (Explosive percolation

model)

3. 폭발 여과 이의 연속성

4. 유사 폭발 여과 모형의 불연속성

5. 연결클러스터 회피 모형 (Scanning

cluster avoiding model)

Ⅲ. 결론

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 3

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I. 서 론

1. 여과 모형

여과 모형[Stauffer 1979, Stauffer and Aharony 1994]은 1940년 화학자인 Flory

에 의해서 졸-젤(sol-gel) 이를 설명하기 해서 도입된 고 인 모형이다 [Flory

1941]. 조 변수 p 값이 증가함에 따라 시스템은 미시 크기의 졸 상태로 있다가 p 값

이 임계값 pc 보다 커질 경우 시스템은 거시 크기의 젤 상태로 바 는 상 이를 상을

일으킨다. 졸 상태인 우유가 물이 증발하면서 젤 상태인 치즈 상태로 변하는 상 이 상

이 졸-젤 이의 좋은 라고 생각할 수 있다. 1950년 에 들어서서 공학자인 Simon

Broadbent와 수학자인 John Hammersley[Broadbend and Hammersley 1957]가 탄

소 알갱이로 된 가스 마스크를 고안하면서 여과 모형의 기본 개념이 확립되었고 이에

따라 여과(percolation)라는 용어가 본격 으로 사용되었다. 그 이후 여과 모형은 물

리학뿐만이 아니라 여러 학문 분야에 리 사용되고 있다. 를 들어 도성 물질과

비 도성 물질로 구성된 혼합물이 도성 물질의 비율 p가 증가함에 따라 물질이 부

도체상태에서 도체상태로 바 는 상을 설명하는 모형으로 사용되고 있다. 한 다

공매질(porous media)를 통하여 액체가 한 면에서 침투하여 다른 면으로 흘러가는

상을 설명하는 모형으로 사용되기도 한다.

[그림 1] 간단한 여과전이 모형의 한 예. 바둑판 모양의 격자 위에 동그라미를 p의 확률로 무작위하게 채워나

가면, 어떤 임계 비율 이상으로 동그라미가 채워졌을 때, 반대편의 가장자리를 연결하는 연결클러스

터(spanning cluster)가 형성되게 된다. (그림에서의 흰색 동그라미가 연결클러스터를 의미함)

4 강 병 남

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통상 인 여과 모형은 다음과 같이 정의 된다 [Stauffer 1974]. 유클리드 격자 계에

서 각 격자 (site) 는 연결선(bond)에 p라는 확률로 도체가 차지하고 있고 1-p의 확

률로 부도체가 차지하고 있다고 하자. 연결된 도체들은 클러스터를 이루게 된다. 조 변

수 p 값이 임계값 pc 보다 커질 경우 격자계의 마주보는 가장자리 사이를 연결하는 연

결클러스터(spanning cluster)가 생성 된다 (그림1). 그러나 인 경우에는 연결클

러스터가 존재하지 않는다. 이러한 상태 변화를 여과 상 이(percolation transition)라

고 한다. 여과 상 이를 수학 으로 표시하기 해 질서매개변수(order parameter) -

상 이를 통해 생겨나는 물리량-을 연결클러스터에 속하는 도체의 비율로 정의하고

∞로 표시하기로 하면, 여과 이를 다음과 같이 수식 으로 표시할 수 있다. 만약

이면 ∞ 이고 이면 ∞∼로 증가한다. 여기서 는 질서매개변

수의 지수이다.

2. 연속 여과 이

이 여과 이 상은 열 인 요동 상에 의해 일어나는 스핀계의 상 이 상과는

근원이 다른 무질서계의 기하학 형태에 의해 일어나는 상 이 상으로 알려져 있

다. 그럼에도 불구하고 여과 이 상은 열평형계의 스핀 모형 의 하나인 q-상태

Potts 모형의 q→1 극한에 해당되는 것으로 알려져 있다. 이러한 계는 Kasteleyn

과 Fortuin[Kasteleyn and Fortuin 1969]에 의해 유도되었다. 이 계식으로 인하여

여과 모형에 한 심이 증 되었을 뿐만이 아니라 여과 모형에 한 이해가 매우

깊어졌다. 평균장 이론에 따르면 의 Potts 모형의 경우 연속 상 이 상을 일으

킨다. 한 2차원에서의 여과 모형은 연속 상 이를 일으킨다는 것이 알려져 있다. 열

시스템에서 일어나는 연속 상 이의 보편성을 기술하는 임계지수(critical exponent)

들은 축척 계식(scaling relations)을 가지고 있다. 여과 이는 무질서계에서 나타나

는 상임에도 불구하고 스핀 시스템과 같이 임계지수를 정의할 수 있으며 축척 계

식을 만족시킨다. 여과 모형은 기본 개념은 같지만 여러 자연 상에 따라 다양한 형

태로 변형되었다. 를 들어 침투여과모형(invasion percolation model) [Wilkinson

and Willemsen 1983], 처음방문여과모형(first-passage percolation) [Hammersley

1966], 비등방 여과모형(directed percolation) [Kinzel 1983], 자발 여과 모형

(bootstrap percolation) [Chalupa et al. 1979] 등의 변형된 모형이 소개되었다.

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 5

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3. 네트워크에서의 연속 여과 이

여과 모형은 최근 복잡계 네트워크 분야가 탄생하면서 집 으로 연구 상이 되

고 있는 모형이다. 1959년에 도입된 에르뒤쉬- 이니(Erdös-Rényi, 이하 ER로 칭함)

모형이 있다 [Erdös and Rényi 1959]. 네트워크는 (node)와 연결선(link)으로 구

성되어 있다. ER 모형은 네트워크에서 연결되지 않은 두 개의 노드를 무작 로 선택

한 후에 연결선을 붙여서 클러스터를 생성시키는 모형이다. 이 ER 모형은 앞서 언 된

유클리드 공간에서 정의된 여과 모형의 확장이라고 할 수 있다. 공간 차원이 윗임계공

간차원(upper critical dimension)보다 큰 경우에서는 격자구조를 무시할 수 있기 때문

에 고차원의 경우 유클리드 공간의 여과 모형은 ER 모형으로 귀결된다. 참고로 여과 모

형의 윗임계공간차원은 6차원이다. ER 모형에서는 공간이 잘 정의되지 않기 때문에 연

결클러스터가 잘 정의되지 않는다. 따라서 질서매개변수는 가장 큰 클러스터에 속하는

의 비율로 정의가 바 게 된다. 한 조 변수 p는 시스템에 붙여진 연결선 수를 시

스템의 체 수로 나 양이 된다. 이 질서매개변수는 앞에서 언 한 바와 같이 만약

이면 ∞ 이고 이면 ∞∼로 증가한다. (그림 2)

[그림 2] ER 네트워크의 진화현상 (왼쪽). 질서매개변수 대 (오른쪽). 여기서 은 계에 붙여진 총

연결선 수이고 은 계에 있는 총 점의 수이다. 은 임계점을 나타낸다.

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Ⅱ. 불연속 여과 전이 모형

1. 자발 여과 모형(Bootstrap percolation model)

자발 여과 모형은 Chalupa 등 [Chalupa et al. 1979]에 의해 처음으로 소개되었

다. 자성체에 불순물이 첨가되어 있는 계를 생각하자. 자기 성질을 갖지 못한 불순

물을 이웃에 둔 스핀들은 그 향을 받아서 자기모멘트를 잃어버리는 경우가 생기게

된다. 그 게 되면 다른 스핀도 자기모멘트를 잃어버릴 수 있다. 이러한 성질을 모

형화하기 해서 논문의 연구자들은 자발 여과 모형을 고안하 다. 이 모형을 구

체 으로 소개하면 표 여과 모형과 같이 임계 보다 큰 확률( )을 가지고 자

성체가 격자 을 차지하고 있을 때 일정한 수( 를 들어 k 개) 이상의 자성체 이웃을

가지고 있지 않는 자성체(magnet)는 비자성체(non-magnet)로 변하게 된다. 이와 같

은 변이가 사태 상이 일어나서 나 에는 k개 이상의 자성체 이웃을 가지고 있는 자

성체가 계에 남아있게 된다. 이런 경우 질서매개변수는 체 격자 에 하여 남아

있는 자성체의 비율이 되고 조 변수는 에서 소개한 p가 된다. 이 자발 여과 모

형은 상 이 상을 보이는데 주어진 k > 2에 하여 p가 어들면서 질서매개변수는

연속 으로 감소하다가 갑자기 불연속 으로 으로 떨어진다. 따라서 여과 이가

생기게 된다. (그림 3)

[그림 3] 자발적 여과 모형에서 나타나는 여과전이 현상. 볼연속과 연속전이가 같이 나타나는 혼합-차(mixed-order)전이가 일어난다. 참고문헌[Chalupa 1979]에서 발췌.

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 7

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유클리드 공간에서는 이웃의 개수가 제한되어 있기 때문에 원 자들은 Bethe

lattice라는 fractal lattice에서 연구를 수행하 다. 질서매개변수는 다음과 같은 식으

로 기술된다는 것을 얻었다.

∞∞

∼ (식 1)

식(1)이 의미하는 것은 가 쪽에 로 근하는 경우에는 불연속 이를 보이는

데 쪽에서 근하는 경우에는 연속 이를 보인다는 것이다. 이런 경우를 혼합

(mixed-order) 이라고 한다.

최근에는 척도없는 네트워크에서도 자발 여과 이에 한 연구가 수행되었다

[Dorogovtsev et al. 2006].

2. 폭발 여과 모형(Explosive percolation model)

이 에서는 클러스터들이 결합하는 과정을 통해서 거 클러스터를 진 으로 형

성하는 모형을 알아보고 상 이가 일어나는 메카니즘을 살펴보고자 한다.

2009년 수학자인 Achlioptas, D’Souza, Spencer 세 사람은 사이언즈지에 수학에서

제안되었던 Achlioptas 과정이라는 아이디어를 여과 모형에 용하여 폭발 여과 이

상을 유도하는 폭발 여과 모형(이하 EP 모형이라 칭함)을 소개하 다 [Achlioptas

et al. 2009]. 여기서 Achlioptas 과정이란 그래 에 연결선을 붙여나가면서 진화하는 과

정에서 여러 개의 후보 연결선을 부여하고 그 에서 목표 형태(pattern)가 만들어지

지 않는 연결선을 선택하여 목표가 만들어지는 것을 억압하는 효과를 생성하면서 그

래 가 진화하도록 하는 과정을 일컫는다. 이러한 억제 효과 때문에 상 이가 일어나

는 임계 은 늦어지고 그러나 일단 거시 크기의 클러스터가 만들어지기 시작되면

격히 상 이가 생기게 된다. 폭발 여과 이 상이란 임계 에서 질서매개변수가

작스럽게 증가하는 상을 일컫는다. 의 세 연구자들은 폭발 여과 이 상을

불연속 상 이 상이라고 주장하 다.

구체 으로 여과 이에 한 Achlioptas 과정은 다음과 같다. 기본 으로 ER 모형

에 기반을 둔 모형이다. 처음 상태는 N개의 이 단일체(monomer) 형태로 시스템에

존재한다. 매 시간 스텝마다 두 개의 후보 연결선을 선발하고 각 후보 연결선 양쪽에

연결 될 클러스터의 크기의 곱을 계산하여 그 값이 작은 후보 연결선은 시스템에 붙

8 강 병 남

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이고 다른 후보는 없애는 것으로 하는 것이다. 이와 같은 작업을 반복하면 작은 크기

클러스터들이 선호 으로 선택되어 결합이 이루어지게 되면서 거시 크기의 클러스

터들의 형성을 억제하게 된다. 따라서 임계 상은 늦어지게 되고 일단 일어나면 폭발

으로 일어나게 된다.

EP 모형은 그동안 불연속 여과 이를 갈망하 던 물리학자들에게 신선한 자극을

주었고 단시간에 많은 호응을 불러일으켰다. 한 Achlioptas 과정이 반 된 여러 형

태의 모형이 개발되어 발표되었다. 아울러 폭발 여과 이에 한 원인을 찾아보려

는 시도가 폭발 으로 일어나면서 폭발 여과 이가 진정으로 열역학 극한 -네트워

크의 수가 무한 로 가는 극한-에서 불연속인지에 아니면 연속인지에 한 의문도

제기되기 시작하 다. 이에 하여 진화된 순으로 고찰하여 보겠다.

2009년 Ziff 교수에 의해 Physical Review Letters (이하 PRL로 칭함) 에 발

표된 연구[Ziff 2009]에서는 EP 모형을 2차원 유클리드 공간에서 실행한 결과 상

이 상이 격히 일어나는 것을 확인하 다. 이 상 이 상은 표 여과 상 이

상과는 매우 다르다는 것을 보 다. 특히 이 논문에서는 유클리드 공간에서 연구를

수행하 기 때문에 임계 근처에서의 클러스터 순간사진(snapshot)을 보여 수 있

었고 기존의 여과 이 상에서 볼 수 있는 것과는 매우 다른 모습을 보인다는 것을

주장했다. 클러스터 순간사진이 다르므로 자연스럽게 클러스터 분포 함수가 다르게

되는데 이러한 미시 인 에서의 연구는 EP 모형에 하여 후속 연구에 길잡이

역할을 하게 되었다. Ziff 교수는 2010년 말 후속 논문[Ziff 2010]을 발표하게 되는데

이 후속 논문에서는 유한 축척이론을 통하여 좀 더 정확히 상 이 상에 한 임계

지수를 유추하 다. 흥미롭게도 “임계 에서 클러스터 크기 분포함수가 크기가 커짐

에 따라 멱함수를 따르는 듯하다”라고 추측을 하 고 그리고 “멱함수 지수 값이 2 보

다 크다”라고 밝혔다. 지수 값이 2 보다 큰 경우에는 연속 상 이 상에서 볼 수 있

는 것으로 폭발 여과상 이 상이 불연속이 아닐 수도 있다는 것을 내포하고 있다.

2009년 본 연구진에 의해 수행된 연구 결과도 PRL에 발표되었다 [Cho et al.

2009]. 이 연구에서는 EP 모형을 척도없는 그물망(network)에서 수행한 것이었다.

척도없는 그물망은 그래 의 각 마다 합도(fitness)가 부여된 모형인데 이 합도

들은 멱함수에 따르도록 주어지는데 연결선이 합성에 의존하여 붙여지므로 그래

의 연결선 분포함수는 멱함수를 따르게 된다. 즉 연결선 수가 많이 붙어있는 - 이

를 허 라 칭함–이 소수 존재하고 연결선 수가 게 붙은 은 다수 존재하게 된다.

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 9

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요한 것은 허 의 존재로 말미암아 거 클러스터가 쉽게 형성될 수 있으므로 억제

효과가 약해진다. 따라서 척도없는 네트워크에서의 EP 모형은 척도없는 네트워크의

도수 분포의 지수에 의존하여 폭발 여과 이가 일어날 수도 있고 안 일어날 수도

있다는 결과를 낳게 된다.

2009년 Friedman과 Landsberg[Friedman and Landsberg 2009] 에 의해 폭발

여과 이가 왜 일어나는지에 하여 원인을 규명하고자 하는 연구가 수행되었다. 연속

여과 상 이의 경우 임계 에서 클러스터 크기 분포는 멱함수에 따른다. 그러나 연

구자는 폭발 여과 상 이 상이 일어나기 해서는 클러스터 분포가 임계분포함수

를 따라야 한다고 주장한다. 폭발이 일어나기 한 충분한 화약통(powder keg)이 필요

한 것과 같다. 이와 련하여 Hooyberghs 와 Van Schaeybroeck[Hooyberghs and

Van Schaeybroeck 2011]는 2011년 PRE 논문에서 임계 에 도착할 무렵 클러스터

의 개수가 시스템 크기 N 에 아선형(sublinear)인 경우 즉 인 경우 불연속

상 이 상이 일어난다고 밝혔다. 만약 클러스터의 개수가 시스템 크기에 선형 으

로 비례하게 되면 연속 상 이가 일어나게 된다. 후에 다시 설명하겠지만 폭발 여과

모형에서 클러스터의 개수와 N의 계를 조사해 보면 크기가 작은 경우 아선형 계

를 보이지만 N이 충분히 크면 선형 인 계를 갖게 된다. 따라서 열역학 극한인 경

우 연속 상 이가 생기게 되는 것이다. 그러나 이러한 교차(crossover)가 일어나는 특

이 크기는 모형에 따라 달라질 수 있으므로 연구자가 어떤 모형과 규칙을 용시키는

지에 따라 결론이 달라질 수 있었던 것이다.

폭발 여과 이에 한 연구가 세계 곳곳에서 동시 다발 으로 진행됨에 따라 새

로운 성질이 발견되고 있었다. 그 하나가 2010년 Moreira 등 [Moreira et al. 2010]

이 PRE에 발표한 연구 결과이다. 이 논문에서는 폭발 여과 상 이 상을 평형계

의 근 방법으로 이해하고자 하 다. 이 연구에서는 불연속 여과 상 이가 일어나기

해서는 폭발이 일어나는 시 바로 에 클러스터들의 크기가 거의 균일하여야 하

는 것이 필요하다고 밝혔다. 이에 하여 나 에 언 하겠지만 이러한 조건이 반드시

지켜질 필요는 없고 클러스터 수가 서 선형이어야 하기 때문에 자연스럽게 시

크기의 클러스터들이 만들어지고 따라서 클러스터 크기가 거의 균일한 경우가 생길

수 있는 것이었다.

연구자들은 폭발 여과 이의 원인을 규명하기 해서 좀 더 미시 인 찰을 하게

되었다. 2010년 Herrmann 그룹에서는 시스템에서 가장 큰 클러스터를 억제하는 모형

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을 사용하여 클러스터들이 어떻게 성장하는지를 살펴보았다[Araujo and Herrmann

2010]. 모형을 소개하면 매 시간 마다 연결이 되어있지 않은 두 개의 을 선택한 후

그 을 연결할 지에 하여 다음과 같은 조건을 고려하 다. 이 이 붙여지게

될 때 생겨나는 클러스터의 크기를 s 라고 하자. s 가 시스템에서 가장 큰 클러스터의

크기이면 붙이지 않고 그 보다 작으면 minexp

의 확률로 붙이는 모

형이다. 여기서 s*는 클러스터들의 평균 크기이고, 는 조 변수인데 양의 값을 갖는

다. 이러한 모형은 큰 클러스터들의 성장을 억제하는 것이 되어서 불연속 여과 상 이

를 유도하게 된다. 한 유클리드 공간에서 클러스터 모양을 살펴보니 속이 완 히 채

워져 있는 꼴이 되었다. 이러한 특징이 불연속 여과 이를 주는 특징으로 보여주었

다. 한 클러스터 크기의 분산을 측정한 결과 분산은 시스템 크기에 무 하다는 것이

밝 졌고 이는 감수율(susceptibility)이 시스템 크기에 무 하다는 것이며, 불연속 상

이 상의 특징을 확인한 결과이었다.

불연속 여과 이가 언제 가능할까? 하는 기본 인 의문이 두되었고 이에 한

연구는 2010년 본 연구진에 의해 수행되었다[Cho et al. 2010a]. 이 논문에서는 고

인 Smoluchowski 의 클러스터 응집 방정식을 기반으로 하여 불연속 여과 상 이가

일어날 수 있는 가능한 경우에 하여 살펴보았다. 에는 심이 없었던 reaction

kernel 이 인 경우에는 불연속 상 이 상이 일어날 수 있다는 것을 제시

하 다. 한 인 경우에 해당되는 ER 모형인 경우라 하더라도 기의 조건에 따

라서 불연속 상 이 상이 일어날 수 있다는 것을 해석 으로 보 다.

폭발 여과 이의 경우 질서매개변수가 유한한 시스템에서 불연속 가 거시

으로 크지 않고 격히 증가하게 된다. 한 수치 흉내내기는 유한한 계에서 수행하

게 된다. 이러한 상황에서는 연속 이에서 사용한 유한 축척이론을 그 로 쓸 수 없

는 상황이었다. 이를 극복하기 해서 본 연구진은 2010년 연구[Cho et al. 2010b]에

서 새로운 유한 축척이론을 제시하 다.

3. 폭발 여과 이의 연속성

폭발 여과 이에 한 연구가 진행되면서 2010년 폭발 여과 상 이 상이 열

역학 극한에서는 불연속 인 상 이 상이 아니며 연속 상 이라는 것이 주장되었다

[da Costa et al. 2010]. 이러한 주장을 지지하기 해서 원래의 폭발 상 이 모형을

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 11

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변형하여 클러스터들의 결합에 한 으뜸 방정식을 수학 으로 서술이 가능하게 만들

었으며 이를 수치 분을 통해서 질서매개변수의 임계지수 값이 ≈ > 0임으

로 불연속 상 이가 아니라 연속 이라는 주장이 나왔다. 이 논문을 기폭제로 하여 폭

발 여과 이 상은 연속이고 그러나 ER 모형의 여과상 이 성질과는 다른 성질을

보인다는 것을 보 다. 특히 질서매개변수에 한 임계지수 값이 매우 작아서 왠만한

크기의 유한한 시스템에서는 불연속 상 이로 인식될 수 있다고 주장하 다. 그러나

이 연구는 특정한 모형에 한 결과이어서 일반화된 결론이 아니라는 주장도 있었다.

2011년 Nature Physics에 발표된 논문 [Nagler et al. 2011]에서는 폭발 여과

이 모형에서 생기는 가장 질서매개변수의 큰 간격(gap)의 패턴을 분석하 다. 폭발

여과 모형을 일반화하여 2개의 후보 연결선을 선택한 것이 아니라 m개의 후보를 선

택하여 클러스터의 성장이 가장 작은 후보 연결선을 선택하여 시스템에 붙이는 모형

에 하여 간격의 패턴을 분석하 다. 시스템의 크기가 일정할 때 m이 클수록 가장

큰 간격의 크기는 증가하 지만 m이 고정되어 있을 때 시스템 크기가 증가할수록 간

격의 크기는 감소함을 알 수 있었다. 따라서 m이 유한하면 연속 상 이가 될 가능성

이 커진다는 것을 의미한다. 그러나 m이 무한 의 극한에서는 가장 큰 간격이 존재함

으로 →∞의 극한의 경우 불연속 상 이가 일어나는 것을 암시하 다. 이 결론은 거

의 동시에 사이언스지에 발표된 아래에 소개될 Riordan 과 Warnke 의 연구결과와 일

치하는 부분이 있다.

Riordan과 Warnke [Riordan and Warnke 2011]는 Achlioptas 과정을 다음과 같

이 조 변형하여 정의하 다. 매 단계(step)마다 체 들 에서 m개의 (연결선

이 아님) 후보를 균일한 확률로 고른 후에 어떤 주어진 규칙을 따라 연결시키는 것을

Achlioptas 과정이라고 하 다. 이 때 그들은 m이 시스템 크기에 무 한 유한한 값일

때, 불연속 여과 상 이가 발생할 수 없고, m이 시스템 크기가 커짐에 따라 증가하는

어떤 값일 때, 불연속 여과 상 이가 발생할 수 있다고 주장한다. 따라서 시스템 크기

가 무한 인 열역학 극한에서는 m도 무한 로 커지게 된다.

앞으로의 논의는 m이 시스템 크기에 무 한 고정된 유한한 값인 경우를 생각하자.

그들은 두 가지 수치 으로 찰한 결과를 토 로 논의를 개하 다. i) 첫 번째

찰 결과는 임계 보다 은 임의의 시간 에서 크기 보다 큰 클러스터들에 속

하는 이 모두 개 있다고 하자. 이 때, m개의 후보들이 모두 보다 큰 클러스

터들에 속할 확률은 에 비례하므로, 형 클러스터가 생기기 까지는 보다 큰

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클러스터들끼리의 결합이 어떤 상수 보다 큰 확률로 발생할 수 있다. 따라서 보다

큰 클러스터들에 속하는 클러스터의 개수는 최 한 이므로, 로 부터 만

큼의 시간이 흐른 후에 형 클러스터가 형성될 수 있다. ii) 두 번째 찰 결과는 크

기 인 클러스터는 의 반감기를 가진다는 것이다. 왜냐하면 크기 의 어떤 클

러스터가 다른 클러스터와 결합하기 해서는 m 개의 후보 최소한 하나의 이

해당 클러스터에 속해야 하는데 이 확률은 최 이기 때문이다.

이 때 자들은 불연속 여과 상 이가 발생할 경우 앞의 찰 결과와 모순이 발생

하기 때문에, 불연속 여과 상 이가 발생할 수 없다고 주장하 다. 이를 해 먼 불연

속 여과 상 이가 발생한다고 가정하자. 좀 더 정확하게 말해서 임계 와 어떤 양의

상수 이 주어진 시스템에서 개의 연결선이 달렸을 때는 형 클러스터는 없

고, 개의 연결선이 달렸을 때는 크기 인 형 클러스터가 하나 존재한다

고 가정하자. 이 때, 에서 보다 작은 클러스터들은 까지 최

크기의 클러스터를 형성시킬 수 있기 때문에 일 때 최소한 개의

이 보다 큰 클러스터에 속해야 하는 것을 알 수 있다. 이 때, 찰 결과 i)에 의하면, 어

떤 ≫ 보다 큰 클러스터들에 속하는 들의 비율이 이면, 의 시

간이 흐른 후에 형 클러스터가 형성된다. 이것은 일 때,

이미 형 클러스터가 형성되는 것을 의미하기 때문에, 일 때, 와 사이에 속하는

클러스터에 속하는 은 개가 되어야 한다. 하지만 찰결과 ii)에 따라 일

때, 와 사이에는 개의 이 여 히 와 사이에 존재하고, 일 때, 크

기의 형 클러스터를 형성시킬 수 없어서 모순이 발생한다. 반면에 m이 시스템 크기

가 증가함에 따라서 증가하는 함수인 경우는 와 같은 모순 이 발생하지 않아서 불

연속 여과 상 이가 발생하는 것을 기 할 수 있다.

폭발 여과 이가 연속이라고 주장하는 하나의 논문이 2011년 PRL 에 발

표되었다. Grassberger외 4명이 연구한 논문 [Grassberger et al. 2011]인데 이 연구

에서는 여러 앙상블에서 얻은 형 클러스터의 크기의 분포를 임계 에서 조사한 것

으로 두 개의 피크가 존재하는 상을 발견하 다. 즉 클러스터의 크기가 작은 역과

큰 역에서 피크가 존재함을 알 수 있었다. 그러나 두 피크 간의 간격이 시스템 크기

가 커질수록 좁아진다는 것을 알게 되었다. 만약 불연속 상 이가 일어난다면 두 피크

간의 간격이 시스템 크기와 무 하게 유지되어야 할 것이지만 간격이 좁아졌다는 것

은 열역학 극한에서 연속 상 이 성질을 갖는다는 것이다. 이것은 Nagler 등이 구한

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 13

- 117 -

간격의 크기가 시스템 크기에 하여 감소한다고 한 연구 결과와 일치한다. 이 연구에

서는 한 질서매김변수 지수 값도 매우 작은 값을 갖지만 이 아니라는 것을 보

다. 따라서 폭발 여과 이는 불연속 상 이가 아니라 연속 상 이지만 기존의 여

과 이하고는 매우 다른 성격을 지난다는 것을 보 다.

폭발 여과 이가 연속이라고 주장하는 하나의 연구 결과가 2011년 PRE에 Lee

등에[Lee et al. 2011] 의해서 발표되었다. 이 논문의 주된 근 방법은 i) 임계

과 후 역에서 가상 인 시간 과 ( )를 잡고 ii) 그 두 에서의 가장 큰

클러스터의 크기의 차를 구한 다음 iii) 그 차이가 시스템 크기가 증가함에 따라 아선형

으로 증가함을 보이고자 하 다. 이 게 함으로써 폭발 여과 모형이 보이는 상 이

상은 연속 상 이라는 것으로 입증하고자 하 다. 이 논문에서는 거 크기의 흉내내기

를 수행하기 해 클러스터들은 나무 구조로만 이루어졌다고 가정하 다. 그러나 후속

연구를 통해 클러스터 내부에 붙는 연결선도 요한 역할을 한다는 것이 제기되었다.

4. 유사 폭발 여과 모형의 불연속성

에서 소개한 바와 같이 폭발 여과 이가 기 논문에서 주장한 불연속 상 이

라는 의견보다는 연속 상 이라는 의견이 높아지고 있었다.

그러나 2011년 12월에 본 연구자가 주도한 PRL에 발표된 연구결과[Cho and

Kahng 2011]에 따르면 Achlioptas 과정을 통한 폭발 여과 모형에서는 사용한 동역

학 모형에 따라 상 이의 형태와 성격이 달라질 수 있다는 것을 수치 인 방법을 통

하여 보 다. 언뜻 보면 같은 모형인 것 같으나 구체 인 모형에 따라 억제효과의 강

도가 달라지게 되어서 상 이 형태가 바뀔 수 있다는 것이다. 평형 계 상 이 상에

서 나타나는 보편성에 길들여 있던 통계물리학자들에게는 새로운 인상을 심어주는 논

문이었으며 연속 상 이 쪽으로 굳어지고 있는 폭발 여과 모형에 하여 새로운

에서 연구가 필요하다는 것을 인식할 수 있게 하 다.

2011년도에 PRE에 발표된 Choi 등의 논문을 소개하고자 한다[Choi et al. 2011]. 이

논문에서는 2차원 격자계에서 기 폭발 여과 모형에 한 클러스터 크기 분포를 조

사하여 폭발 여과 상 이가 불연속 상 이라는 것을 주장하 다. 한 Achlioptas

과정의 모형 에서 곱의 모형과 합의 모형에 하여 상 이 성질이 다르다는 것을

주목하 다. 따라서 과연 폭발 여과 모형이 유클리드 공간과 무작 그래 에서와

14 강 병 남

- 118 -

무엇이 달라서 다른 결과가 나오는지에 한 의문도 여 히 해결되지 않은 상태로 남

아있게 되었다.

한편 불연속 여과 상 이 상을 Achlioptas 과정이 아닌 다른 방법으로 생성할 수

있는지에 하여 심을 환하게 되었다. 사실 이미 이러한 측면에서의 연구가 진행

되어왔다. 앞서 소개한 가우시안 모형과 고 인 Smoluchowski의 클러스터 응집 방

법이 그 라 할 수 있다. 다른 로 2011년 PRL 에 발표된 Chen과 D’Souza

의 논문[Chen and D’Souza 2011]을 소개하기로 하겠다. 이 논문은 3명의 수학자가

제시한 소 BFW 모형이라 부르는 모형에 하여 수치 인 방법을 이용하여 불연속

상 이 상을 연구한 논문이다. 이 모형의 특징은 클러스터들을 시간에 의존하는 클

러스터 크기 경계 값을 설정하고 그 경계 값보다 작은 클러스터와 큰 클러스터의 성

장 모형을 달리 설정하여 큰 클러스터들의 성장을 억제하고 작은 클러스터들의 성장

을 진하게 하 다. 이러한 이 인 성장 모형에 의해서 폭발 성장이 시작할 무렵

에서의 클러스터 크기 분포는 임계 상을 보인다. 클러스터 크기가 작은 역에

서는 클러스터 크기 분포 함수가 지수 (exponential)으로 감소하는 부분이 있고 그

러나 클러스터 크기가 큰 역에서는 가우스 분포와 같은 피크가 있는 분포를 갖는다.

이러한 분포로 인하여 여과 상 이 상은 불연속 상 이를 보이게 된다.

5. 연결클러스터 회피 모형(Scanning cluster avoiding model)

에서 서술한 바와 같이 Achlioptas 과정을 기반으로 한 폭발 여과 모형이 불연

속 여과 상 이를 유도시킬 것으로 제안되었지만 열역학 극한에서는 연속으로 귀결된

다는 연구 결과가 정립되어 가고 있고, 한편으로는 억압효과 정도를 심각히 고려하여

야 한다는 의견도 나온 상황과 “유클리드 공간에서는 불연속 여과 이가 일어난다”

라는 연구 결과가 나온 상황에서 우리는 연결클러스터 회피 (SCA) 모형을 제안하게

되었다 [Cho et al. 2013]. 이 모형은 해석 으로 풀 수 있는 모형이고 그 해석 결과

는 기존의 폭발 여과 모형의 상 이 연구 결과들을 포 으로 이해할 수 있게 하

여 폭발 여과 모형의 상 이 상을 이해할 수 있는 이론 틀을 구축할 수 있게 하

다. SCA 모형에 한 소개와 해석 인 해 그리고 수치 검증에 한 여러 내용은

아래와 같으며 일부 내용은 한국물리학회에서 발간하는 홍보잡지 <물리학과 첨단기

술>(2013년도 7/8월호)에 자에 의해 실린 내용과 복된다.

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 15

- 119 -

1) SCA 모형 소개

폭발 여과 모형은 도입 시 부터 그 바탕에는 Achlioptas 과정이라는 수학에서 사

용된 개념이 들어 있었으나 물리학자들은 이 개념을 무시하고 폭발 여과 모형의 규

칙 자체 만에 사로 잡 있었다. 한 통계물리학에서 범용되었던 개념- 윗임계공간차원

이상에서는 표 여과 모형이 ER 모형으로 귀결된다-을 무시하고 ER 모형을 기반으로

정의되었던 폭발 여과 모형이기 때문에 차원에서도 새롭게 정의하여야 한다는 것을

무시하고 있었다. 이에 본 연구진에서는 연결클러스터의 생성을 Achlioptas 의 목표 패

턴(target pattern)으로 간주하고 이의 생성을 억제하는 모형을 소개하 다.

SCA 모형은 유클리드 공간에서 정의되는 모형이다. 차원 공간에서 연결선이

채워지지 않은 상태에서 시작하는데, 총 개의 채워지지 않은 연결선

공간이 존재한다. 이 모형에서는 다리본드(bridge bond)라는 개념이 사용되는데, 다

리본드는 연결되었을 때 시스템의 서로 반 편 가장자리를 연결하는 클러스터를 형성

시키는 본드를 의미한다. 이 모형은 연결선이 붙여지면서 진화하는데, 붙여진 연결선

수는 으로 표기된다. 여기서 는 시간 스텝을 의미한다. 이 때 연결선은 다음과

같은 규칙을 따라서 붙여진다. 매 스텝 개의 후보 연결선를 고른 뒤에, 그 에 다리

본드가 아닌 연결선이 하나라도 있으면, 그런 연결선들 하나를 무작 하게 골라서

연결시킨다. 하지만 어떤 순간에 모든 본드들이 다리본드일 경우가 있는데 이때는 이

연결선들 하나를 무작 하게 골라서 연결시킨다. 이 순간에 비로소 연결 여과 클러

스터가 형성되는데, 이 때 달린 연결선 수를 으로 표기 한다. 아래 그림4 는

m=2의 경우에 SCA 모형의 규칙을 설명하기 한 그림이다.

[그림 4] SCA 모형을 설명하기 위한 (A) 영역에서 (B) 에서의 모식도. 참

고문헌[Cho et al. 2013]에서 발췌.

16 강 병 남

- 120 -

2) SCA 모형에서의 연속과 불연속 여과 이

SCA 모형에서의 질서매개변수 는 기 체 연결선 자리 수 연결클러스

터에 속한 채워진 연결선 수의 비율을 의미한다. 따라서 일 때는 이

고, 일 때는 이다. 먼 우리는 유클리드 공간의 SCA 모형에 하여

흉내내기 연산을 수행하 다. 일 때, 이 모형은 유클리드 공간에서 무작 하게

성장하는 문제와 같아진다. 하지만 일 때, 연결 클러스터가 형성되는 것을 억제

하는 효과가 추가되면서 에서는 연결 클러스터가 형성되지 않아서

이다가 에서 의 값을 갖게 된다. 한 일 때,

는 곡선을 따르게 되는데, 연결 클러스터가 생긴 이 후에는 별도의 억제 조건을

받지 않기 때문이다. 따라서 에서 만큼의 유한한 불연속을 보이는 것을 알

수 있다. 역과정의 경우, 는 를 따라 까지 돌아간다. 따라서 SCA 모형

은 이력곡선(hysteresis curve)를 형성한다. 마지막으로 의 , 의존성을 확

인하 는데, 특정 가 존재하고, 의 경우, 은 이 커짐에 따라 증가

하며, 의 경우 이 커짐에 따라 감소하는 것을 확인하 다. 본 연구에서는 확

률 인 방법을 통하여 에 한 식을 해석 으로 구할 수 있었고 흉내내기 결과

와 비교해 보니 잘 맞는 것을 확인하 다. (그림 5)

[그림 5] SCA 모형의 흉내내기 데이터. A. 대 . B. 이력곡선, 대 . C. 대 . D. 대 . E. 대 . 참고문헌[Cho et al. 2013]에서 발췌.

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 17

- 121 -

다음은 에 한 해석 결과를 소개하고자 한다. 우리는 에서 성장을 시작

했을 때, 연결하는 클러스터가 생길 확률이 가장 높은 를 구함으로써 을 유도하

다. 결과는 주어진 공간 차원에서 을 만족하는 가 존재하며,

일 때, ∼으로 주어지고, 일 때, ∼

으로 주어진다.

한 일 때, 는 의존성이 없다. 여기에서 는 다리본드로 구성된 패

턴의 랙탈 차원을 의미하고, 지수는 각각 ,

으로 구해진다. 따라서 ≥ 일 때, SCA 모형은 불연속

여과상 이를 보이고, 일 때, 연속 상 이를 보이는 것을 알 수 있다. 여기에

서 요한 것은 일 때, 이며, ≥ 일 때, 을 만족한다

는 것이다 [Schrenk et al. 2012]. 따라서 6차원이 자연스럽게 윗임계차원이 된다. 6차

원 이상에서는 평균장 역으로 취 할 수 있다. 따라서 평균장 역에서 →∞ 인

것을 의미한다. 이 결과는 무작 그래 에서의 폭발 인 여과 이에서 곱 규칙

혹은 합 규칙의 경우 →∞인 것과 일치한다. 평균장 극한의 이론 결과가 무작

그래 에서의 여과 이로 기술될 수 있다는 을 이용하면, SCA 모형의 유한 차

원에서의 결과가 폭발 인 여과 문제에서의 상 이를 일반 인 차원에서 이해하는데

도움을 수 있을 것이라고 생각할 수 있다.

3) 유클리드 공간에서 곱 모형에 따른 폭발 여과 이 상

우리는 SCA 모형에서의 결과를 통해 Achlioptas, D’Sousa와 Spencer가 소개한 곱 모형

(product rule) 에서의 여과 이 문제를 이해하기 해서 SCA 모형의 경우 여과하는 클러

스터가 생기기 직 의 클러스터들의 순간 사진을 어 보았다. 그리고 의 경우, 체

시스템이 두 개의 꽉 찬 클러스터로 쪼개지는 것을 확인 하 다 (그림 6). 우리는 불연속

여과 이가 이 직 의 클러스터의 꽉 찬 정도와 련이 있을 것이라고 생각하 다.

곱 모형에서는 여과 이 문제를 형 클러스터의 등장이라는 에서 근한다. 이

모형의 성장 규칙은 다음과 같다. 처음에 차원 유클리드 공간에서 연결선이 하나도

없는 상태에서 시작한다. 그리고 매 순간 개의 연결선 후보를 고르며, 개의 후보

연결시키는 두 클러스터의 곱이 가장 작은 연결선 후보를 골라서 연결시킨다. 그러

면 큰 클러스터의 성장이 억제되며, 형 클러스터는 연기된 임계 에서 폭발 으로

생긴다. 우리는 먼 시스템 크기 을 고정시켜 놓고, 을 바꾸어 가면서 이 직

의 클러스터 구조의 순간사진을 어 보았다. 그 결과 이 작은 역에서는 클러스터

들이 꽉 찬 형태를 띠지 않았지만 큰 역에서는 꽉 찬 형태를 띠는 것을 확인할 수

18 강 병 남

- 122 -

있었다. 다음은 클러스터 크기 분포를 측정하 는데, 이 작은 역에서는 작은 클러

스터와 큰 클러스터가 공존하는 모습을 보 으며, 이 큰 역에서는 큰 클러스터들

만 존재하며 크기가 비슷한 것을 확인할 수 있었다 (그림 7). 마지막으로 이 직 에

클러스터의 총 개수 가 시스템 크기 에 어떻게 의존하는지 찰하 다. 마찬

가지로 주어진 시스템 크기 에 해서 클러스터의 총 개수의 경향성이 바 는

가 존재 하 다. 한 ∼ ln 의 공식을 따르는 것을 확인하 다 (그림 8).

[그림 6] SCA 모형의 흉내내기 데이터. A. 폭발적 여과전이가 일어나기 직전에 남아 있는 2개

의 대형 클러스터들의 모습 ( ). B. 클러스터 크기 분포 대 ( 때) 참고

문헌[Cho et al. 2013]에서 발췌.

[그림 7] 곱 모형에 의해 클러스터가 진화한 후 임계점 바로 직전의 모습(A.

C. ). 클러스터 크기의 분포 대 (B. )

와(D. ). 참고문헌[Cho et al. 2013]에서 발췌

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 19

- 123 -

[그림 8] 곱의 모형에 대한 흉내내기 데이터. A. 2차원 격자계에서 임계점 직전에 클러스터의 수

대 . C. 무작위 그래프에서 A 에 해당되는 그림. B. 2 차원 격자계에서 대 . D. 무작위 그래프에서 B 에 해당되는 그림. 참고문헌[Cho et al. 2013]에서 발췌.

가 왜 ∼ ln으로 주어지고, 후로 바 는 성질이 상 이의 종류와 어떻게

연결되는지 설명하기 해 모형의 성장 과정을 두 가지로 나 어 보았다. 첫 번째 과

정은 임계 의 임의의 시각부터 임계 바로 까지 클러스터들이 결합하는 과정

이다. 그 임의시각에서는 큰 클러스터와 작은 클러스터가 공존하고 있는 상태를 생각

한다면, ln을 만족할 때, 작은 클러스터들이 큰 클러스터와 결합하는 과정이 지

배 으로 발생하며, 결합 직 에 큰 클러스터만 남게 된다. 반면에 ln 인 경우는

임계 직 까지에도 큰 클러스터와 작은 클러스터가 공존하게 된다. 따라서

∼ ln이 유도된다. 두 번째 과정은 내부가 꽉 찬 큰 클러스터들만 남았을 때, 순식

간에 결합해서 불연속 여과 이를 일으키는 과정이다. 클러스터 분포 (그림 5)에서 확

인했을 때 알 수 있듯이, 의 경우, 큰 클러스터들의 크기는 매우 비슷하다. 따

라서 결합 에 클러스터들의 크기는 동일하다는 가정을 쓸 수 있다. 기 조건을

에서 클러스터의 총 개수 ∼( )으로 잡으면, 간단한 계산을 통해 불연

속 여과 이를 유도할 수 있다. 그리고 흉내내기 결과와 비교해서 잘 맞는 것을 확인

하 다. 마지막으로 곱 모형의 경우 공간 차원에 계없이 ∼ ln와 같이 평균장

역의 결론을 보이는 것을 알 수 있는데 그 이유는 곱 모형의 경우 큰 클러스터들의 결

20 강 병 남

- 124 -

합에 여하는 연결선이 두 클러스터 사이의 경계면에 존재하는 연결선 뿐 아니라 큰

클러스터들의 내부에 속하는 연결선도 포함되기 때문이다. 두 종류의 연결선의 총 개

수는 공간 차원에 계없이 이기 때문에 낮은 차원에서도 평균장 역의 행동을

보인다.

Ⅲ. 결 론

이 종설논문은 클러스터 결합 과정을 통해 유도되는 불연속 여과 이에 한 최근

일련의 연구 결과를 소개하 다. 2009년 3월 폭발 여과 모형이 발표된 이후 2013년

3월 본 연구자가 발표한 논문까지 세계 여러 학자들이 서로 경쟁하면서 때로는 공동

연구를 수행하면서 이루어낸 연구 발 과정을 요약하 다.

비평형계의 표 인 상 이 상인 여과 이는 연속 으로 변하는 상 이라는 것

이 오랫동안 알려져 있었고 불연속 인 상 이가 될 수도 있다는 가능성에 하여 심

각히 연구된 이 없었다. 그러나 폭발 여과 모형의 탄생이 여과 이 연속성에 한

견고성을 허무는 듯하 다. 그러나 폭발 여과 모형이 의도한 결과를 유한한 계에서

는 가능하나 열역학 극한에서 낳지 못한다는 것이 명되었다. 그러나 폭발 여과 모

형에서 제시된 억제 효과가 충분히 강력하게 부여되었다면 불연속 여과 이는 일어

날 수 있었을 것이다. 불연속 여과 모형이 왜 실패하 는지 불연속 여과 이는 어떻

게 일어날 수 있는 것인지에 하여 본 연구자 공동연구자가 수행하 던 [Cho et

al. 2013] 논문에서 제시된 내용을 소개하 다.

감사의

이 연구를 처음부터 지 까지 곧 같이 진행하면서 박사학 과정을 마치게 된

조 설 군의 노고에 고맙다는 말을 하고 싶다. 조 설 군의 열정이 없었더라면 세계

연구 그룹과 치열하게 경쟁하면서 폭발 여과 이에 하여 성공 으로 연구를

마칠 수 없었을 것이라 생각한다. 기에 연구를 같이 진행하 던 김두철 교수님께 감

사의 말 을 올린다. 본 연구 성과를 높이 평가해 주시고 한민국 학술원상을 제가

수상하게 해 주신 학술원 회원 심사 원분께 진심으로 감사를 드린다. 유년시 부

폭발적 여과 전이 모형 및 이론 21

- 125 -

터 지 까지 항상 롤 모형과 멘토가 되어 주신 숙부님께 머리 숙여 감사드린다. 끝으

로 연구를 진행하면서 기쁨과 고통을 함께 나 내자와 아빠를 항상 격려해 두 딸

에게 고마움을 표한다.

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