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Building Better Products with Finite Element Analysis

유한요소해석과해석 방법 소개

Part 1


Chapter

01

제품 설계를 위한 유한요소해석

해석 프로그램의 활용 방법과 해석자의 기대 수준에 따라, 유한요소해석을 이용한

제품 설계의 성공 여부가 결정된다. 프로그램을 구매하고 해석 담당자를 선정한 후,

단순히 필요성이 발생하기를 기다리는 회사는 성공하기 어렵다. 엔지니어와 관리자

가 유한요소해석의 능력과 한계를 이해하고 그 목표를 올바르게 설정해야 한다. 특

히 유한요소해석을 활용하는 엔지니어들은 다음 지침을 준수해야 한다.

알기쉬운 유한요소해석

Part 1 유한요소해석과 해석 방법 소개4

1.1 문제 해결 과정

모든 일에 있어서 계획이 중요하듯이, 유한요소해석에서도 문제 해결을 위한 계획

수립이 중요하다. 유한요소해석을 이용한 문제 해결 과정은 실험 또는 자유물체도(Free

Body Diagram, FBD, 2.1절 설명 참조)1), 고전 방정식 등을 이용하여 문제를 해결하는 과정

과 유사하다. 원하는 결과뿐만 아니라 해석 목적을 제대로 파악해야 적절한 해석 도구와

문제 해결 방법을 선택할 수 있고 해석 결과를 정확하게 분석할 수 있다. 기대 수준을 올

바르게 설정하고 데이터의 의미를 제대로 이해하고 있을 때, 단순하게 ‘해석 결과의 예쁜

출력 그림’이 고급 공학 도구가 될 수 있다. 많은 해석 입문자들이 자유물체도 작성법과

단순보 계산, von Mises 응력(구조물 내 임의 지점에서의 응력으로부터 계산되는 값으로 유효

응력이라고도 하며 구조물의 항복 여부 판정에 사용 - 역주) 등을 제대로 이해하지 못한 채

곧바로 유한요소해석에 착수한다.

1장과 2장의 개념은 유한요소해석에 기반을 둔 설계를 수행하기 위해 알아야 할 필수

적인 내용들이다. 유한요소해석을 수행할 때 주기적으로 이 개념들을 참조하여, 공학 원

리에 근거한 해석 결과를 도출할 수 있도록 노력해야 한다.

해석 과정

대부분의 공학 문제 해석 과정은 다음과 같이 4단계로 구성된다. 이 단계 중 어느 하

나라도 올바르게 수행되지 않으면 문제 해결은 실패할 수 있다.

(1) 목표를 명확하게 설정한다.

(2) 입력 값을 수집하고 검증한다.

(3) 가장 적절한 수단을 이용하여 문제를 푼다.

(4) 결과를 검증하고 문서화한다.

해석 목적이 무엇인가?

해석 목적을 정의할 때 중요한 것은 다음 두 가지를 결정하는 것이다. 첫째는 ‘정확한

결과를 구하는 것이 중요한가? 아니면 개략적인 경향만으로 충분한가?’ 이다. 이 질문에

1) 이 책에서 역주로 설명한 전문용어에 대한 보다 상세한 설명은 (주)마이다스아이티사의 Nastran FX 교육

사이트(http://www.nastranfx.co.kr/training)에서 제공하는 전문용어집을 참조하기 바란다.


Chapter 1 제품 설계를 위한 유한요소해석 5

대한 답변에 따라 필요한 해석 단계와 입력 값의 정확성이 결정될 수 있다. 둘째는 ‘어떤

데이터가 공학적 판단에 도움을 줄 것인가? 언제까지 해석을 완료해야 하는가? 어느 정

도의 간략화가 허용되는가?’ 등이다. 예를 들어 전체 변위와 국부적인 응력 데이터 중 어

느 것을 목표로 할 것인가를 결정해야 할 경우가 있다. 만약 응력(stress, 단위 면적당 하중

벡터를 면에 수직한 수직응력과 면에 평행한 전단응력으로 성분 분해하여 표현한 것 - 역주)이

중요하지 않다고 생각하면, 해석 모델을 단순화하고 간략화할 수 있다.

예측 공학과 파괴 검증

개념 설계 단계는 비용과 효과 측면에서 구조 해석을 적용할 가장 좋은 시점이다. 해

석 결과를 이용하여 재료와 특징 형상(feature), 벽 두께 등을 결정하는 것을 예측 공학

(predictive engineering)이라고 한다. 이 방법을 이용하면 비용 대비 효과가 높은 설계 데

이터를 얻을 수 있다.

파괴 검증(failure verification)은 구조 해석에서 가장 엄격한 부분이다. 실제 운영 조

건과 유한요소해석 데이터간의 상호관계를 규명할 수 있도록 경계 조건과 재료 물성치,

형상, 운영 환경, 실제로 파괴된 부품에 대한 주의 깊은 검토가 필요하다. 가정과 근사를

최소화하고, 해석을 착수하기 전에 파괴가 여러 부품에 걸쳐 발생하는지 아니면 특정 부

품에서만 발생하는지를 파악해야 한다. 특정한 부품에서만 파괴가 발생하는 경우는 형상

이나 재료의 결함, 예상치 못한 하중 경로 등과 접한 관련이 있다. 이러한 사항들을 고

려하지 않고 해석을 수행하면 원하는 수준의 결과를 구할 수 없다.

설계 초기 단계에서 해석을 수행할 때는 단순화된 형상을 이용하는 것이 좋다. 이 단

계에서는 복잡한 해석도 단순한 해석으로 근사화시킬 수 있다. 부품 형상과 그에 대한

거동이 상세화됨에 따라 상세 해석으로 나아가면 된다.

경향 해석과 완벽한 데이터

종종 불확실성으로 인해 형상과 경계 조건을 정의하는 일이 불가능한 경우도 있다. 이

러한 경우 경향 해석(trend analysis)을 이용하면 설계에 도움을 줄 수 있는 유용한 데이

터를 효과적으로 구할 수 있다. 경향 해석은 실제 성능 데이터를 제공하는 것이 아니라,

형상과 재료 물성치, 작용 하중과 같은 설계 변수의 변화에 대한 민감도(sensitivity)를 분

석하는 일이다.

예를 들면 변형률(strain, 물체가 하중을 받으면 늘어나거나 줄어들게 되는데, 이 때 단위 길이



당 신축량을 변형률이라고 부름 - 역주 )이 큰 플라스틱 부품에 대한 정확한 응력-변형률

데이터가 없다고 가정해 보자. 이 때 선형 경향 해석을 통해 벽 두께를 줄임으로써, 응력

과 변형의 증가는 1% 미만이고 비용은 10%나 감소한다는 사실을 알게 되었다면, 이 결

과는 두께를 줄이는 것에 대한 타당성 평가에 유용하지 않겠는가?

이러한 형상 변경을 평가할 때, 응력과 변형에 대한 실제 값이 필요한 것은 아니다. 대

부분 비선형 거동에 대한 선형 해석은 정확도가 떨어지지만, 앞의 예와 같이 선형 경향

해석을 통해서 비용 절감 효과에 비해 부품의 강도가 크게 떨어지지 않는다는 사실 정도

는 충분히 파악할 수 있다.

해석 결과 유형의 선정

성능 분석을 위해 필요한 해석 결과의 유형은 대부분 직관적으로 쉽게 판단할 수 있

다. 만약 강도를 고려한다면 응력과 변위가 필요할 것이고, 냉각에 관심이 있다면 온도가

필요할 것이다. ‘국부 영역의 응력이 유일한 관심사인가? 냉각 해석에서 정상 상태

(steady state)를 고려할 것인가 또는 과도 응답(transient response, 물체에 갑작스럽게 열을

가할 경우, 물체 내 온도는 시간에 따라 변하는데 특히 초기의 불안정하고 변화폭이 심한 시간응

답을 말함 - 역주 )을 고려할 것인가? 대류와 복사가 물체의 거동에 중요한 영향을 미치는

가?’ 등의 질문을 통해 해석 프로그램을 선택할 수 있고, 해당 프로그램을 사용하기 위해

필요한 기술도 알 수 있다. 이 책에서는 이러한 질문에 대한 기초 지식과 그 해답을 구하

기 위한 정보를 제공한다.

해석을 위한 입력 데이터와 불확실성

공학 문제 해결을 위한 다음 단계는 선택한 해석 기법과 프로그램에 알맞은 입력 값을

찾는 것이다. 간단한 수작업 응력 계산에서는 단면적과 관성 모멘트만 있어도 되지만, 예

를 들어 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, CFD)에서는 온도에 따라 변하는

유체의 점성 계수와 도, 열전도 계수 등이 필요하다. 재료 물성치나 형상 치수는 생산

된 제품에 따라 조금씩 다르며, 실험 장치에서 측정한 하중은 실제 운영 환경의 하중 값

과 크게 다를 수 있다. 해석자가 프로그램을 단순히 구동하는 사람과 다른 점은 이렇게

불완전한 데이터로 구한 해석 결과를 평가할 수 있는 능력을 가지고 있다는 것이다.

가장 효율적인 문제 해결 방법

어떤 복잡한 문제는 해의 품질에 거의 영향을 주지 않는 수준의 단순화를 통하여 수계



산 또는 고전적인 방법으로 해를 구할 수 있다. 반면에 어떤 문제는 단순해 보여도 컴퓨

터 시뮬레이션을 이용해야만 실제 거동을 구할 수 있는 경우도 있다. 이 책의 독자는 컴

퓨터 기반의 유한요소해석이 공학 문제를 풀기 위한 매우 강력한 도구라고 생각할 것이

다. 그러나 다음 장에서 자세히 설명하겠지만, 문제 해결 기법에 대해서는 유한요소해석

만이 유일한 해결책은 아니다. 수계산 방법이 상대적으로 새로운 문제에 대한 통찰력을

제공하고, 유한요소해석보다 효율적이고 비용 측면에서 효과적일 수 있다. 따라서 유한

요소해석을 이용하더라도, 입력 값의 선택에 도움을 주고 결과의 정확성 검증을 수계산

으로 수행할 수 있도록 문제를 단순화할 필요가 있다.

추정 접근론

설계 해석자에게 있어 가장 현실적이고 유용한 방법은 아주 기본적인 해석까지 가정

하는 것이다. Caterpilla사의 한 엔지니어는 ‘충분히 가정만 한다면, 어떤 문제도 해석할

수 있다’고 말했다. 이것은 역으로 ‘충분하게 가정을 할 수 있기 때문에 해석이 가능하다’

는 말과 같다. 설계자와 재료과학자는 주물을 위한 적절한 탄성 계수의 선택에 대해 논

쟁이 있을 수 있다. 재료과학자는 주물의 응력-변형률 곡선에서 선형부분은 존재하지 않

으며, 제조 과정에 따라 재료 물성치의 변동폭이 ±50%에 달할 수 있다고 주장한다. 그렇

지만 설계자 입장에서는 그런 실제 상황은 모두 이해하지만, 설계에 사용해야 할 탄성

계수는 어떤 값이냐고 질문할 것이다.

해석자는 재료의 불균일성과 조립체의 변동성, 불예측성 등에 대한 가정을 고려하여,

불완전한 데이터로부터 공학적 결정을 내려야 한다. 설계 해석자는 이보다 한 단계 더

어려운 판단을 해야 한다. 즉 이미 언급한 불확실성 외에 실험 과정에서 재현이 어려운

실제 현상을 해석하기 위해, 비현실적인 경계 조건(boundary condition)을 가진 이상화된

모델을 사용해야만 한다. 이와 같이 제어하기 힘든 상황에서 설계 해석을 성공적으로 수

행할 수 있는 방법은 불확실성을 과학적으로 검증하는 것이다. 불확실성에 대한 검증은

설계 해석의 성공을 위해 매우 중요하다. 일반적으로 해석 전문가들은 상상할 수 있는

모든 조건을 시험하거나 구현 가능한 모든 조합들을 해석할 수 있는 시간과 자원을 가지

고 있다. 그러나 설계 해석자들은 정해진 개발 일정을 준수하기 위해 한정된 자원을 활

용하여 빠른 시간 내에 불확실성을 평가하고 결정을 내려야 한다. 때로는 그러한 결정에

대해 추가적인 해석이 필요할 수도 있다. 따라서 가정에 대한 세심한 고찰과 이해는 불

완전한 데이터에 기초한 결정이라 할지라도 의미있는 결정이 되도록 도와준다.



1.2 유한요소해석에 대한 오해

유한요소해석에 익숙하지 않은 해석자는 선입견을 가지기 쉽다. 이러한 선입견은 시험

데이터와 실제 데이터 간의 불일치, 검증되지 않은 주위 사람들의 도움, 특별한 노력 없

이 쉽게 해석 결과를 구할 수 있었던 경험 등에 기인한다. 유한요소해석의 능력과 한계

에 대한 오해로 인해 제품 설계 업무에서 시뮬레이션의 중요성이 간과될 수도 있다. 다

음 사항은 흔히 가질 수 있는 유한요소해석에 대한 오해들이다.

요소망 생성이 해석의 모든 것이다?

이것은 CAD 내재 해석 시스템(CAD embedded analysis system, CAD 내에 탑재되어 있는

해석 프로그램 - 역주 )의 등장으로 발생한 오해이다. CAD 모델에 요소망(mesh, 해석 대상

이 되는 물체의 전 영역을 요소라 불리는 작은 영역으로 분할한 것 - 역주 )을 생성하면, 유한요

소해석을 바로 수행할 수 있으리라고 생각하는 경우가 있으나 사실은 그렇지 않다. CAD

형상을 자동 요소망 생성 프로그램을 이용하여 요소망으로 생성하는 것은 쉽다. 그러나

좋은 요소망을 생성하고, 원하는 해석 결과로 수렴(converge)시키기에는 다소 어려운 부

분이 있다. 일반적으로 해석 결과는 요소의 형상에 상당히 민감한데, 요소 형상과 해석

결과의 관계는 7장과 10장, 11장에서 자세히 논의한다. 특정한 부분에 대한 해석의 정확

성은 그 부분의 요소에 영향을 받기 때문에 해석자는 반드시 요소망을 검증해야 한다.

특히 형상 변화가 큰 천이(transition) 부분에는 적절한 요소망을 생성하고 적합한 요소를

선정하는 것이 매우 중요하다. 예를 들어 박판 형상의 플라스틱 부품에 4절점 사면체 요

소를 사용한다면 신뢰할 만한 결과를 구할 수 없다. 그러므로 해석자는 형상에 적합하고

문제를 정확히 풀 수 있는 해석 모델을 구성하는 방법을 배워야 한다.

요소망은 해석 수행을 위해 필요한 하나의 입력 데이터일 뿐이다. 해석 결과의 정확성

은 경계 조건, 재료 물성치 및 실제 부품 형상에 대한 충실도 등에 영향을 받는다. 이러한

부분에 부적절한 데이터가 사용되면 심각한 오류가 발생할 수 있다. 인내심을 가지고 전처

리기(preprocessor, 유한요소해석 과정에서 근사 해를 계산하기 이전 단계의 작업인 형상 모델링,

요소망 생성, 물성값 및 제반 조건들의 입력을 처리 - 역주 )를 잘 사용하면 좋은 요소망을 구할

수는 있지만, 적절한 경계 조건을 부여하고 재료 물성치를 선정하는 것은 엔지니어의 주관

적인 판단과 검증이 필요하기 때문에 자동화할 수는 없다. 해석 초보자들은 단순히 자동

요소망만 생성하면 의미있는 해석 결과가 보장될 것이라는 유혹에 빠지지 말아야 한다.



유한요소해석은 구조 실험과 재료 시험을 대체할 수 있다?

새로운 해석 문제의 수행 초기 단계에서는 구조 실험과 재료 시험의 횟수가 오히려

증가할 수 있다. 그 이유는 첫째, 새로운 해석 과정에 대한 확신을 얻어야 하기 때문이

다. 어떤 문제든지 가정과 불확실성이 존재하기 때문에 유한요소해석 결과가 항상 정확

한 것은 아니다. 실제 제품과 시험 모델의 상관관계를 통해 유한요소해석에 사용한 가정

과 방법을 검증해야 한다. 이러한 과정을 경험하면 유사한 문제에 직면할 때 더 이상 구

조 실험과 재료 시험을 수행하지 않더라도 해석 결과를 신뢰할 수 있게 된다. 둘째, 다양

한 종류의 실험을 통하여 예상치 못한 문제를 찾을 수 있기 때문이다. 물리적 실험은 대

체로 매우 제한적인 정보 혹은 파괴에 대한 정보만을 제공한다. 또한 실험자가 물체의

다른 부분이 파괴에 근접하는지 평가하기도 대체로 어렵다. 반면에 좋은 해석 모델은 구

조물에 대해 많은 정보를 제공한다. 만약 변위나 응력 부분에서 이전에 발견하지 못한

특이성이 나타나면, 잠재적인 문제들을 확인하기 위한 추가 실험이 필요하다는 것을 의

미한다.

유한요소해석은 구조 실험 또는 재료 시험과 상호보완적이다. 해석 결과를 통해 스트

레인 게이지(strain gauge)의 위치와 방향에 대한 정보를 구할 수 있으며, 반대로 시험을

통해 유한요소해석에서 사용한 경계 조건이 유효한지 판단할 수 있다. 그러나 우수한 예

측 공학 프로그램은 적절하게 수행된 해석 데이터가 누적됨에 따라, 결과에 대한 확신이

높아지기 때문에 설계 단계의 시험을 줄일 수 있다. 제조 과정에서 발생할 수 있는 불확

실성 때문에 최종 제품에 대한 실험이 항상 필요하다. 이러한 실험도 유한요소해석 결과

를 이용하면 더욱 효과적으로 수행할 수 있다.

유한요소해석은 쉽다?

유한요소해석을 수행할 때, 그 기술의 복잡성을 과소평가하면 실패하기 쉽다. 많은 설

계 해석자들이 모델링된 실제 해석 문제의 다양성과 입력 값에 따른 결과의 복잡한 변화

를 간과하고 성급하게 결론을 내리거나 설계를 결정한다. 간편한 CAD 내재 해석 프로그

램을 이용하여 CAD 모델로부터 쉽게 요소망을 생성할 수 있고, 심지어 원하는 해석 결

과를 얻기 위해 몇 개의 키보드 버튼만 누르면 된다고 생각할 수 있다. 그러나 해석 결과

의 의미를 제대로 이해하고 정확성을 제대로 검증하기 위해서는 다양한 매개변수들의 의

미와 유한요소해석 실행 방법에 대한 충분한 이해가 있어야 한다.



실제로 명확한 경계 조건을 가지는 문제는 거의 없다. 하중과 경계 조건, 재료 물성치

를 올바로 선정하기 위해서는 항상 시험 모델과 추가적인 연구가 필요하다. 이러한 입력

조건들에 따른 결과의 민감성을 제대로 이해하기 위해서는 많은 문제를 다루어 보아야

한다. 해석자가 아무리 자동 요소망을 선호한다 할지라도, 특정한 부분에 대해서는 수동

으로 요소망을 생성하지 않으면 안 된다. 많은 해석 프로그램 공급사들은 ‘사용하기 쉬운

해석 프로그램을 제공한다’고 광고한다. 그러나 현명한 해석자들은 그 이면을 살펴보아

야 한다. 사용하기 쉽다는 것은 정확한 해석을 위해 필요한 많은 기능을 제거했다는 것

을 의미할 수도 있다. 유한요소해석은 복잡하고 많은 지식을 필요로 하기 때문에 너무

쉽게 얻은 해석 결과는 항상 의심할 필요가 있다.

해석 결과를 구하는 것은 전체 해석 과정의 절반에 불과할 뿐이다. 재료와 파괴 모드

에 대한 공학적 지식과 모델에 적용한 가정에 대한 충분한 이해가 있어야 해석 결과를

제대로 분석할 수 있다. 예를 들어 재료를 정의하기 위해 하나의 탄성 계수를 입력한다

는 것은 그 자체가 재료를 균질성(uniformity)으로 가정하는 것이다.

유한요소해석은 어렵다?

앞서 설명한 내용을 고려할 때, 유한요소해석은 20%의 창조와 80%의 어려운 인내를

필요로 한다고 할 수 있다. 유한요소해석을 실무에 적용하고 공학과 재료역학에 대한 이

해를 넓히고 싶은 사람은 선배 해석자 또는 연습을 통해 배울 수 있다. 형상 기반 전처리

기의 발전으로 많은 일이 단순해졌지만, 해석자는 문제에 대한 접근 방법과 해석 프로그

램의 제약 조건을 이해해야 한다. 대부분의 훌륭한 해석자는 아주 뛰어난 지적 능력보다

는 인내와 완전함을 추구하는 노력을 통해 만들어진다. 보통 유한요소해석에는 틀린 결

과는 없고 틀린 입력만 있다고 이야기한다. 만약 해석자가 올바르게 입력하는 방법을 배

운다면, 올바른 해석 결과를 구할 수 있을 것이다.

인터페이스를 배우는 것은 유한요소해석을 배우는 것과 같다?

유한요소해석 담당자를 선정할 때 보통 CAD에 능숙한 사람을 유력한 후보로 생각한

다. 물론 CAD에 능숙한 사람이 해석 프로그램의 인터페이스를 빨리 익히고, 쉽게 프로

그램을 다룰 수 있기 때문에 성과를 얻기 쉬울 것이다. 또한 그러한 사용자는 변위나 응

력에 대한 그림을 쉽게 만들어낼 수도 있을 것이다.



그러나 단순한 결과를 얻는 것이 아니라, 정확한 결과를 얻기 위해서는 해석에 대한 많

은 경험이 필요하다. 유한요소해석을 처음 접하면서도 자신이 하는 일을 잘 이해한다고

생각하는 사람은 경험이 많지만 아직 배워야 할 것이 많다고 말하는 사람보다 문제를 일

으킬 가능성이 높다. 실제로 국부적인 응력 집중 현상에 대한 의미를 이해하는 능력에

비하면 전처리기의 인터페이스를 배우는 것은 비교적 쉬운 일이다.

1.3 요약

제품 개발을 위해 해석 기술을 배우는 것은 상당한 노력과 인내가 필요하다. 설계 업

무에 시뮬레이션을 적용하기 위해서는 해석 기술에 대한 확신과 열정이 있어야 하고, 해

석 분야의 기술 교육을 받거나 동료들과 많은 대화를 나누어야 한다. 이 책에서는 유한

요소해석에서 반드시 알아야 할 기술과 정보를 논의하였다. 해석자는 이 내용을 잘 이해

하고 주의하여 해석을 수행해야 한다. 가정에 대해서는 시험 해석을 수행하여 검증하고,

모든 결과에 대해 의문을 가져야 한다. 그 결과는 제품 설계 분야에서 해석자 개인의 가

치 상승으로 이어질 것이다. 해석 프로그램과 기술에 대한 분명한 이해 없이 성급하게

해석을 수행하게 되면 좋은 결과를 기대할 수 없을 뿐만 아니라, 더 나아가 설계 결함이

라는 최악의 상황에 처할 수도 있다.


Chapter

02

공학 기초 이론

유한요소해석을 원활히 수행하기 위해서는 공학 기초 이론을 제대로 이해해야 한

다. 그러나 유한요소해석을 전공하지 않은 설계 해석자들에게 이 장에서 다룰 공학

적 이론은 다소 어렵게 느껴질 수도 있다. 이러한 경우에는 처음에는 내용을 가볍게

읽어본 후, 나중에 필요할 때 해당되는 부분을 참조하는 방법이 효과적일 수 있다.

사실 이 책의 나머지 부분을 이해하기 위해서는 이 장에서 설명하는 기초 이론을 참

조해야 할 경우가 많이 발생한다. 결론적으로 이 장은 유한요소해석 수행을 위해 유

용한 공학적 지침이 되므로, 기본 개념을 충분히 이해하기 위해 많은 시간을 투자하

는 것이 바람직하다.



2.1 주요 원리

외부 하중을 받는 물체

공학 해석은 외부 하중을 받고 있는 물체가 어떻게 거동할 것인가에 대해 많은 관심이

집중된다. 이러한 거동을 가장 잘 표현하는 Newton 법칙은 다음과 같다.

• 제 1법칙 : 관성의 법칙으로, 물체에 불평형을 일으키는 외력이 작용하지 않으면, 그

물체는 자신의 운동 상태를 계속 유지하려고 한다.

• 제 2법칙 : 가속도의 법칙으로, 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 모든 힘의 합력

에 비례하며 합력과 같은 방향이다.

• 제 3법칙 : 작용·반작용의 법칙으로, 상호작용하는 두 물체 사이의 작용력과 반력은

서로 크기가 같고, 동일 직선상에 있으며 방향은 서로 반대가 된다.

이 법칙들로부터 구할 수 있는 중요한 공학 방정식은 다음과 같다.

(2.1)

여기서 는 합력 벡터이고 은 물체의 질량, 는 가속도 벡터이다.

가속도는 속도의 미분 이고 를 물체의 선형운동량(linear momentum)

벡터라고 정의하면, 위 식은 다음과 같이 바꾸어 표현할 수 있다.

(2.2)

그림 2.1 (a) 자유 물체도 (b) 합력과 합모멘트 (c) 제 2법칙의 등가


Chapter 2 공학 기초 이론 15

Newton의 제 2법칙을 다른 말로 표현하면 ‘물체 운동량의 시간 변화율은 그 물체에

작용하는 합력에 비례하며 합력과 같은 방향이다’라고 할 수 있다.

물체의 거동을 지배하는 하중과 구속, 즉 경계 조건을 이해하고 적용하는 데 가장 유

용한 도구는 자유 물체도이다. [그림 2.1(a)]에 표현한 일반적인 자유 물체도는 대상이

되는 물체와 접하는 외부 물체들을 모두 분리시키고, 그 대신 그 물체에 작용하는 모든

하중과 반력 등을 벡터로 표현한 것이다. 만약 물체가 평형 상태에 있으면, 모든 힘의 벡

터 합은 0이 된다.

가장 일반적인 관점에서 보면 3차원 강체(rigid body)에 작용하는 외부 하중은 병진

운동(translation)뿐만 아니라 회전 운동(rotation)도 발생시킨다. [그림 2.1(b)]의 합력과

합모멘트 그리고 [그림 2.1(c)]의 제 2법칙의 등가적 표현을 참고하면 강체에 대한 운동

방정식은 다음과 같다.

(2.3)

여기서 와 은 각각 반력을 포함하는 모든 외부 하중의 힘과 모멘트의 벡터 합

이고, 는 물체의 각운동량(angular momentum, 질량 관성 모멘트와 각속도의 곱으로 정의됨

- 역주 ) 벡터이다. 한편, 와 은 모두 동일한 점을 기준으로 하여 계산되어야 한다.

[그림 2.1]은 물체의 무게중심 G에 대한 자유 물체 운동을 나타낸다. 구속 운동의 경

우, 이 점은 물체 회전의 중심이 되는 고정점 0이다. 식 (2.3)에서 의 시간에 대한

미분은 수학적으로 매우 복잡한 값이지만, 는 간단히 물체의 각속도 함수로 표현된

다. 의 계산에는 질량 관성 모멘트 텐서(moment of inertia tensor) 가 필요하며, 이

것은 질량 관성 모멘트 와 질량 관성곱 로 구성된 ×행렬이다. 이 값들은 선택

한 축에 대하여 물체의 질량이 분포되어 있는 정도를 나타낸다. 이 값들은 다음과 같이

계산된다.

(2.4)

여기서 , , 는 선택한 세 개의 좌표축을 가리킨다.



그림 2.2 (a) 1축 스프링과 감쇠 시스템 (b) 물체의 2차원 평면 운동

[그림 2.2(a)]와 같이 물체의 운동을 축 방향으로만 한정하고, 여기에 외부 스프링과

감쇠기(damper)를 고려하면 식 (2.1)은 다음과 같이 확장된다.

(2.5)

여기서 는 스프링의 강성(stiffness), 는 감쇠 계수(damping coefficient, 물체의 운동을 억

제시키는 단위 속도당 힘 - 역주 ), , , , 는 각각 축 방향으로 물체에 작용하는 합

력과 위치, 속도, 가속도를 나타낸다.

[그림 2.2(b)]와 같이 물체를 2차원 평면 운동으로 한정하면, 식 (2.3)은 다음과 같이

간단하게 표현할 수 있다.

(2.6)

위 식에서 는 물체의 무게중심에 대한 가속도 벡터이고, 는 무게중심점에 대한

모든 모멘트의 합이다. 여기서 는 무게중심을 지나며 운동 평면에 수직한 축에 대한

물체의 질량 관성 모멘트이고, 는 물체의 각가속도이다.



동해석(dynamic analysis)을 제외하면, 유한요소해석은 항상 평형 상태에 있는 물체를

취급한다. 정의에 따라 평형 상태인 물체의 가속도는 0이므로 외부에서 작용하는 모든

힘의 합은 0이 되어야 한다. 이러한 유형의 해석을 정적 해석(static analysis)이라고 한

다. 이 조건은 매우 제한적인 것 같지만 많은 경우 임의 시점에서의 순간 가속력 를

외력으로 동적시스템에 작용시킴으로써 동해석 문제를 준정적(quasi-static) 해석 문제로

단순화시킬 수 있다.

강체 운동은 변형이나 굽힘이 아주 작거나 전혀 없는 물체, 더 일반적으로 말하면 기

계적 변형률을 발생시키지 않는 물체의 병진과 회전을 의미한다. 변형률의 정도에 관계

없이 비정적 평형을 유발하는 경우도 강체 운동에 해당한다. 한 축에 대한 자유 회전 역

시 강체 운동으로 간주된다. 비정적 평형을 해결할 수 있는 특정한 동해석이 요구되는

경우를 제외하면, 정적 해석 모델에서는 모든 가능한 강체 운동을 구속하도록 경계 조건

이 설정되어야 한다. 강체 운동은 모드 해석(modal analysis, 구조물의 동적 고유 특성인 고유

진동수와 고유 모드를 구하는 것으로, 구조물의 진동 특성 분석의 기본 단계임 - 역주 )에서 고

유 진동수가 0인 경우를 의미한다.

2.2 면적 관성 모멘트

어떤 면적에 연속적으로 분포하는 힘을 발생시키는 하중에는 여러 가지 유형이 있다.

이러한 경우, 면적 평면에 수직인 축에 대한 합모멘트를 계산할 필요가 있다. 이것을 면

적 관성 모멘트라고 하며 적분 거리 면적 으로 정의된다.

그 예로 [그림 2.3(a)]는 수면 깊이 에 비례하는 압력 p를 받는 물에 잠긴 수직 벽을

나타낸다. 수면에 대해 벽이 받는 총 모멘트는 이며, 여기서 는 비례상수

이다. 동일한 방법으로 [그림 2.3(b)]와 같이 순수 굽힘 상태에 있는 탄성보의 단면에도

중립면(neutral plane, 순수 굽힘을 받는 보에 있어서 신축이 발생하지 않는 면 - 역주 )으로부터

수직 거리 에 비례하는 수직 응력 의 선형적인 분포가 발생한다. 따라서 이 단면에

대한 총 모멘트도 가 될 것이다. 마지막 예는 [그림 2.3(c)]와 같이 비틀림 하

중을 받는 탄성 봉이다. 비틀림 모멘트는 봉의 중심으로부터 반경 에 비례하는 접선 전

단 응력 를 발생시킨다. 이 경우 총 모멘트는 가 된다.



그림 2.3 (a) 물에 잠긴 벽 (b) 순수 굽힘을 받는 보 (c) 순수 비틀림을 받는 봉

정의

[그림 2.3(a)]와 [그림 2.3(b)]의 합모멘트 계산을 위해서는 [그림 2.4(a)]에 표현한

단면의 직교 관성 모멘트를 이용하면 편리하다. 이들은 관심 단면에서 직교 좌표계

(rectangular or Cartesian coordinate system)에 대한 면적 관성 모멘트이며 다음 식으로

정의된다.

(2.7)

이와 반대로 [그림 2.3(c)]의 총비틀림 모멘트는 단면에 수직한 축에 대한 극(polar) 관

성 모멘트를 이용한다.

(2.8)

여기서 이므로 다음 식으로도 표현할 수 있다.

(2.9)



그림 2.4 (a) 직교 및 극 관성 모멘트 (b) 평행축 정리

대표적인 단면에 대한 직교 관성 모멘트와 극 관성 모멘트는 단면의 중심(centroid)

를 원점으로 하는 한 쌍의 축 , 에 대해 잘 알려져 있다. 따라서 [그림 2.4(b)]와 같

이 단면상의 임의의 한 쌍의 축 , 에 대한 관성 모멘트 식을 구하기 위해 평행축 정리

(parallel axis theorem, 단 면내 임의 점에서의 관성 모멘트는 단면 중심에서의 관성 모멘트와 단

면 중심까지의 거리제곱과 단면적과의 곱의 총합으로 계산할 수 있다는 정리 - 역주)를 이용하

여 다음과 같이 구할 수 있다.

(2.10)

(2.11)

여기서 첨자 는 중심축을 의미한다.

기하학적으로 복잡한 단면의 경우에는 단면을 여러 개의 단순한 단면으로 나눌 수 있

으며, 각 단면에 평행축 정리를 적용하고 각 단면 중심에 대한 관성 모멘트를 다음과 같

이 모두 합하면 된다.

(2.12)

(2.13)

물체의 단면이 완전히 비대칭이거나 좌표축을 단면에 비대칭으로 설정할 경우에는 관

성곱(product of inertia)이 존재하며 이것은 다음 식과 같이 표현된다.



(2.14)

여기서 어느 한 축이라도 단면의 대칭축이 되면 관성곱은 0이 된다.

한 쌍의 축을 한 점에 대하여 회전시키면, 관성 모멘트 값들의 변화는 회전각의 함수

로 표현된다. 이 경우 회전각이 유일한 변수이므로 최대 및 최소 관성 모멘트가 발생하

는 축의 임계각 를 구할 수 있고 이것은 다음 식으로 표현된다.

(2.15)

식 (2.15)로부터 서로 만큼 차이가 나는 두 개의 임계 각도를 계산할 수 있다. 하

나의 각이 최대 관성 모멘트 축을 그리고 다른 하나의 각은 최소 관성 모멘트 축을 정의

하며, 이 두 개의 직교 축을 주관성축(principal axes of inertia)이라고 한다. 만일 현재

선택한 축의 어느 하나가 단면의 대칭축이 되면 식 (2.15)의 우측 항은 0이 되므로, 임계

회전각은 각각 0 또는 가 된다. 이것은 한 쌍의 축이 선택된 경우, 둘 중 하나가 단

면의 대칭축이면 이 축들은 자동적으로 단면의 주축임을 의미한다. 단면의 주관성 모멘

트의 크기는 다음 식과 같이 계산된다.

± (2.16)

사용자 좌표계를 기준으로 생성된 복잡한 형상의 단면에 대한 특성치는 CAD 또는 유

한요소해석 프로그램으로부터 쉽게 구할 수 있다. 이들 프로그램은 표준 형상 단면들에

대해 방대한 단면 특성치 라이브러리를 제공한다.

2.3 응력과 변형률

응력을 다루는 업무에 종사하는 엔지니어들도 응력을 정의하지 못하는 경우가 간혹

있다. 유한요소해석으로 분석하고자 하는 파괴 모드는 많은 형태와 공식을 가진다. 대상

이 되는 정확한 응력값을 구하기 위해서는 이용 가능한 옵션에 대한 충분한 이론적 지식

을 가지고 있어야 한다. 이것에 대해서는 대학의 역학 교재를 비롯한 많은 역학 책에서



자세히 다루고 있으므로, 원하기만 하면 더 깊이 있는 내용을 얻을 수 있다. 유한요소해

석을 업무에 활용하고자 한다면 이러한 지식을 충분히 갖추고 있어야 한다.

응력이란?

물체에 외부 하중이 작용할 때 물체의 내부에는 저항력인 응력이 하중에 비례하여 발

생한다. 응력은 물체 내부에 가상으로 분리된 인접한 두 단면 중 한 면에 발생한 내부하

중이 그 반대 면에 작용하는 힘이라고 표현할 수 있다. 하중에 의하여 이 평면에 평행한

방향으로 발생하는 응력을 전단 응력(shear stress) 라 하고, 단면에 수직한 방향으로 발

생하는 응력을 수직 응력 라고 한다.

[그림 2.5]와 같이 물체를 가상의 작은 요소들로 분할하여 생각하면 편리하다. 물체가

정적 평형을 유지하기 위해서는 분할된 각 요소 내에서 전단 응력과 수직 응력이 평형을

유지해야 한다. 수직 응력의 방향이 요소 면의 안쪽으로 향하면 이를 압축 응력이라 하

고 음(－)의 값으로 규정한다. 수직 응력의 방향이 요소 면의 바깥으로 향하면 이를 인

장 응력이라 하고 양(＋)의 값으로 규정한다. 전단 응력의 경우에는 그 방향이 두 번째

하첨자가 표시하는 축과 같은 방향이면 양(＋)으로 반대 방향이면 음(－)으로 규정한다.

이러한 응력들은 재료의 응집 특성(cohesive nature) 때문에 생긴다. 만약 작용 하중에

대해 물체가 아무런 저항력을 나타내지 않으면 어떤 응력도 발생하지 않는다.

[그림 2.5]와 같이 응력 값의 특성을 나타내기 위해 다양한 첨자가 사용된다. 예를 들

어 는 축에 수직한 요소면 위에 축과 평행하게 작용하는 전단 응력을 나타내며,

는 축에 수직한 면에 축 방향으로 작용하는 수직 응력을 나타낸다. 물체가 정적인

모멘트 평형을 이루기 위해서는 응력의 대칭 조건 , , 를

만족해야 한다.

그림 2.5 평형 상태의 일반 응력 요소



주응력

하중을 받는 구조물 내에서 전단 응력 성분이 모두 0이 되는 특정한 요소 면의 방향이

존재한다. 이 요소 면에 수직한 방향을 주방향(principal direction)이라 하고, 이 요소 면

에 작용하는 수직 응력을 주응력(principal stress)이라고 한다. 3축 응력 상태에서는 세

개의 주방향과 주응력이 존재하는데 주응력 크기의 순서에 따라 각각 최대 주응력 ,

중간 주응력 , 최소 주응력 이라 한다. 주응력의 방향은 물체의 형상뿐만 아니라 작

용 하중에 따라서도 달라진다.

주응력 중 하나가 0일 때의 응력 상태를 2축(biaxial) 응력 또는 평면 응력 상태라고

한다. 이러한 경우 하중과 경계 조건을 평면 근사로 가정할 수 있다. 평면 응력 상태에서

는 이 평면에 대해 수직 방향으로 변형률은 존재하지만 응력은 존재하지 않는다.

하중이 작용하는 평면에 수직 방향으로 변형률이 없는 경우를 평면 변형률 상태라고

한다. 이 조건에서는 이 방향으로 해석 결과의 변화가 없기 때문에, 이 방향으로 물체를

임의의 길이로 절단하여 해석하여도 무방하다.

세 개의 주응력 중에서 두 개가 0인 경우를 1축(uniaxial) 응력이라고 한다.

[그림 2.6(a)]와 같은 평면 응력 상태에서 최대 및 최소 주응력은 다음 2차 방정식의

해로부터 쉽게 구할 수 있다.

±

(2.17)

이 식의 해([그림 2.6(b)] 참조)를 구하기 위해서 단면의 수직 응력 , 과 전단 응력

를 알아야 한다. 그림에서 는 단면의 수직 방향과 주응력 방향 사이의 각도를 나타낸다.

그림 2.6 (a) 평면 응력 요소 (b) 주응력의 방향 (c) 최대 전단 응력의 방향



2축 응력 상태에서 또 다른 주요 관심사는 최대 전단 응력이 발생하는 방향으로, [그

림 2.6(c)]를 참고하면 이 방향에서 수직 응력은 0이 아니다. 이 방향은 주응력 방향과

항상 45°만큼 차이가 나며, 이 방향에서의 최대 전단 응력과 수직 응력은 다음과 같이 계

산된다.

±

(2.18)

(2.19)

일반적인 3축(triaxial) 응력 상태에서 세 개의 주응력을 계산하기 위해서는 다음 3차

방정식의 근을 구해야 한다.

(2.20)

여기서,

(2.21)

이고, , , 를 응력 불변량(stress invariant, 물체 내부의 한 지점에서 응력 값들은 방향에

따라 변하지만, 이 세 개의 값들은 방향에 무관하게 항상 일정함 - 역주 )이라고 한다. 여기서

은 제 1 불변량이라 불리며 물체 내 해당 지점에서 응력에 의한 정수압(hydrostatic

pressure)이다. 이 값은 균열과 파괴 해석에서 중요한 역할을 한다.

일반적인 3축 응력 상태에서, 최대 전단 응력은 다음 식과 같이 최대 주응력과 최소

주응력으로 표현된다.

(2.22)

앞에서 설명한 응력에 관한 식은 Mohr 원도를 이용하면 쉽게 표현 및 유도할 수 있다.

[그림 2.7(a)]는 평면 응력 조건에 대하여, [그림 2.7(b)]는 일반적인 3축 응력 조건에



그림 2.7 Mohr 원도 : (a) 평면 응력 상태 (b) 3축 응력 상태

대한 Mohr 원도를 나타낸다. Mohr 원도의 작성 방법에 익숙해지면 유용한 정보를 많이

구할 수 있다. 보다 자세한 설명이 필요하면 재료역학 교재를 참고하기 바란다.

변형률

[그림 2.8]에 표현된 것처럼 물체 내 한 요소에서 원래 길이에 대한 치수의 변화를 단

위변형률(unit strain) 또는 간단히 변형률 이라고 한다. 이 값은 축하중을 받고 있는 길

이 인 봉에 있어서 총신장(total elongation) 또는 총변형량 의 원래 길이 에 대한 상

대 비율로 정의된다.

(2.23)

[그림 2.9]에 표현한 것처럼 순수 전단을 받는 응력 요소에서 모서리각의 총 변화량을

라디안(radian)으로 표시하였을 때 이 값을 전단 변형률 라고 한다.

그림 2.8 축하중을 받는 균일 단면 봉의 변형



그림 2.9 순수 전단력을 받는 응력 요소

작용했던 하중을 제거하면 재료를 원래의 형상 치수로 복원시키고자 하는 두 가지 고

유한 탄성적 성질이 있다. 이 성질의 크기를 각각 재료의 탄성 계수(modulus of

elasticity) 와 전단 탄성 계수(modulus of rigidity) 로 나타낸다. Hooke의 법칙에 따

르면, 재료의 응력은 어느 한도까지는 변형률에 선형적으로 비례한다. 모든 재료가

Hooke의 법칙을 그대로 따르는 것은 아니지만, 특히 이 법칙을 따르는 재료를 선형 탄성

재료라고 부르며 다음 관계식의 지배를 받는다.

(2.24)

축하중 를 받는 봉의 수직 단면적 에는 균일한 분포 응력이 발생하며 다음 식으

로 계산된다.

(2.25)

식 (2.23)과 식 (2.34)를 이용하면 봉의 총 변형률은 다음 식으로 단순화된다.

(2.26)

Hooke 법칙이 적용되는 탄성 영역 내에서 축하중을 받는 봉은 축방향으로 늘어나는

한편 축과 직각인 방향으로는 줄어드는 추가적인 횡방향 변형(lateral deformation) 가

발생한다. 이것을 포와송 현상이라고 하며 횡방향 변형률과 축방향 변형률과의 비를 포

와송 비(Poisson’s ratio)로 다음 식과 같이 정의한다.



(2.27)

여기서 음의 부호는 인장 하에서는 봉이 가늘어지고, 압축 하에서는 봉이 볼록해지는 것

을 의미한다. 식 (2.27)의 정의로부터 포와송 비는 항상 양의 값을 갖는다.

앞에서 언급한 세 개의 탄성 상수(elastic constant)는 다음 식과 같이 서로 연관되어

있다.

(2.28)

주변형률

주응력 방향으로의 수직 변형률을 주변형률(principal strain)이라고 하며, 이 방향에서

요소의 전단 변형률은 0이다. 그러므로 물체의 특정한 위치에서의 주변형률은 그 점에서

의 주응력과 관련된다. [표 2.1]은 세 가지 응력 상태에 있어서의 주변형률과의 상관관계

를 나타낸다.

1축 응력 2축 응력 3축 응력

표 2.1 주변형률과 주응력과의 관계식

기본적인 응력 상태

실제 상황에서 대부분의 경계 조건은 복잡한 응력 상태로 되어 있다. 이렇게 복잡한

응력 상태를 단순한 응력 상태의 선형 합으로 분해할 수 없다면, 단순한 방법으로 경계

조건을 설정하는 것은 매우 어렵다. 이 절에서는 역학 문제에서 발생할 수 있는 기본 응

력 상태들 중에서 가장 대표적인 것에 대하여 설명한다. 또한 내용을 이해하는 데 도움

이 될 수 있도록 각 주제에 적합한 도식도 함께 제공하였다.



그림 2.10 굽힘 상태에 있는 직선 보

굽힘 응력

[그림 2.10]의 보(beam)는 균질 등방성 재료(재료 물성치가 재료 내 위치에 무관하게 일정

한 것을 균질하다고 하고, 임의 지점에서 방향에 무관하게 재료 물성치가 일정한 것을 등방성이라

함 - 역주 )이며, Hooke의 법칙을 따른다고 가정한다. 또한 순수 굽힘 모멘트를 받는 일정

한 단면적을 가진 직선 보로 가정한다. 그리고 굽힘 후에 보의 단면이 여전히 평면을 유

지하고 또한 단면이 중립축의 접선과 수직을 이룬다고 가정하면, 굽힘에 의해 보 단면에

발생하는 수직 응력은 다음 식으로 표현된다.

(2.29)

여기서 는 보 단면의 중립축에 대한 면적 관성 모멘트이고, 는 굽힘 평면 내에서 중

립축(neutral axis)으로부터의 수직 거리이다. 중립축은 단면의 수직축과 섬유 응력(fiber

stress)이 0인 길이 방향 평면 즉, 중립면과의 교차선으로 정의된다. 중립면의 위치는 면

적 모멘트를 이등분하는 단면상의 수평선이다.

식 (2.29)의 부호 규약은 오른손 좌표계를 따른다. 굽힘 응력은 ±에서 그 크

기가 최대가 되며, 의 부호는 응력의 방향을 의미한다(즉, ＋는 인장 그리고 －는 압축).

특정한 재료에 대해서는 다음 식을 이용하면 편리하게 휨 또는 굽힘 계수 을 구

할 수 있다.

(2.30)



여기서 은 변형된 중립축의 곡률 반경이다. 식 (2.29)를 유도하는 과정에서 필요한 모든

가정을 만족하는 재료의 경우, 이므로 굽힘 계수와 탄성 계수는 서로 같다.

만약 보가 처음부터 [그림 2.11]과 같이 굽어져 있는 경우, 더 이상 중립축은 단면의

중심축과 일치하지 않는다. 두 축은 거리 만큼 떨어져 있으며, 중립축은 다음 식으로

계산되는 중립축의 곡률 반경 를 이용하여 구할 수 있다.

(2.31)

여기서 는 보의 단면적을 나타내며, 식 (2.29)는 다음 식과 같이 된다.

(2.32)

임계 응력(critical stress)은 보의 윗면과 아랫면에서 발생하며, 다음 식과 같이 계산된다.

(2.33)

여기서 와 는 중립축으로부터 각각 보의 윗면 및 아랫면까지의 거리이고, 와 는

각 섬유에 대한 곡률 반경이다.

그림 2.11 순수 굽힘을 받는 곡선 보



전단 응력

실제로 순수 굽힘을 받는 보는 매우 드물다. 보는 일반적으로 전단력과 굽힘 모멘트를

동시에 받는다. 전단력이 존재하는 경우에도 앞 절에서 설명한 굽힘에 대한 공식들은 유

효하다. 또한 굽힘 모멘트에 의한 수직 응력뿐만 아니라, 전단력에 의한 전단 응력이 추

가로 발생하게 된다. 이 전단 응력은 다음 식과 같이 계산된다.

(2.34)

여기서 는 전단력이고 는 보 단면의 폭, 는 중립축에 원점을 둔 가로축에 대한 단

면의 1차 면적 모멘트이다. [그림 2.12]는 직사각형 단면 보에 대한 전단 응력의 일반적

인 분포를 나타낸다. 전단 응력은 보의 중립축에서 최대가 되고 보의 윗면 및 아랫면에

서는 0이다. 식 (2.34)를 대표적인 표준 단면에 적용하여 구한 최대 전단 응력을 [표

2.2]에 수록하였다.

그림 2.12 전단력을 받고 있는 직사각형 단면의 직선 보

단 면 공 식

중실(solid) 직사각형

중실(solid) 원형

중공(hollow) 원형

표 2.2 표준 단면에 대한 최대 전단 응력 식



비틀림 응력

비틀림 모멘트 가 탄성 봉의 길이 방향 축에 대하여 작용할 때, 봉의 단면에는 전단

응력이 발생한다. [그림 2.13]의 원형 단면에 대하여, 변형 후에도 단면이 평면을 유지하

고 반경선이 직선을 유지한다고 가정하면, 전단 응력은 다음 식으로 주어진다.

(2.35)

여기서 은 봉의 축으로부터의 반경이고 는 단면의 극관성 면적 모멘트를 나타낸다.

물론 최대 토크 전단 응력은 봉의 가장 바깥쪽 반경인 에서 발생한다. 길이

인 원형 단면 봉의 비틀림 각도 는 다음과 같다.

(2.36)

여기서 는 재료의 전단 탄성 계수이다.

식 (2.36) 자체로는 단면이 완전히 원형이 아닌 보에 대해서는 사용할 수 없지만, 변수

대신 를 대입하면 여러 가지 모양의 단면에 대해서도 적용할 수 있는 일반 식이 된

다. 여기서 는 단면의 비틀림 강성 계수(torsional stiffness factor)이다. 이 계수는

원형 단면에서는 와 같으나, 그 이외의 단면에 대해서는 보다 작다. 유한요소해석에

서 선요소(line element)의 특성치를 정의할 때 를 입력해야만 한다. 유한요소해석의

많은 전처리기에서 를 로 간주하여 혼동을 일으킬 수 있으므로 주의해야 한다. 만약

단면의 극관성 면적 모멘트를 비틀림 강성 계수로 잘못 입력하면 비틀림을 받는 선요소

의 강성을 감소시키는 결과를 초래한다. 다양한 보 단면에 대한 의 값은 공학교재에

표로 제공되어 있으며, 선요소에 대한 특성치 입력에 대한 상세한 설명은 7장을 참조하

기 바란다.

그림 2.13 비틀림 토크를 받고 있는 중실 원형 봉



비원형 단면 보에서, 응력 분포와 최대 응력을 구하는 공식을 유도하는 것은 매우 어

렵기 때문에 대부분 실험적인 방법을 사용한다. 다음은 폭 와 두께 를 가지는 직사각

형 단면 보에 대한 근사식이다.

(2.37)

압력 응력

[그림 2.14(a)]와 같이 내부와 외부로부터 압력을 받는 원통형 압력 용기는 접선 방향

과 반경 방향, 길이 방향으로 수직 응력이 발생한다. 내부 반경 및 내부 압력 , 와 외

부 반경 및 외부 압력 , 인 원통에서, 반경이 인 위치에서의 접선 방향과 반경 방

향으로의 응력은 다음 식으로 계산된다.

(2.38)

여기서 접선 응력 를 원통 내 hoop 응력이라고도 부른다.

그림 2.14 (a) 외압 및 내압을 받는 압력 용기 (b) 두 원통의 억지끼워맞춤



뚜껑에 작용하는 압력으로 인해 원통벽에 발생하는 길이 방향 응력은 원통 전체에 일

정하며 다음 식과 같다.

(2.39)

두께가 반경에 비해 1/20 이하인 얇은 원통에 있어, 순수 내압에 의한 원통의 접선 방

향으로의 최대 응력과 길이 방향으로의 응력은 다음 식으로 계산된다.

(2.40)

물론 이 경우 반경 방향으로의 응력은 원통 내부에서는 단순하게 내압 와 같고 외부에

서는 0이 된다.

같은 길이의 두 원통을 억지끼워맞춤으로 발생하는 압력을 알고 있는 경우, 식 (2.38)

은 내부 및 외부 원통에 발생하는 응력을 구하는 데 사용할 수 있다. 여기서 압력은 다음

식과 같이 반경 방향의 죔새 의 함수로 주어진다.

(2.41)

여기서 [그림 2.14(b)]를 참조하면, 는 안쪽 원통의 내부 반경이고 는 바깥쪽 원통의

외부 반경 은 두 원통의 경계에서의 반경, 그리고 , , , 는 각각 안쪽과 바깥

쪽 원통 재료의 탄성 계수와 포와송 비이다.

접촉 응력

두 물체가 접촉으로 인해 압력을 받을 경우, 각 물체의 내부에는 복잡한 비선형 응력

상태가 발생한다. 이러한 경우에는 일부 특수한 형상에 한정해서 해석적으로 응력 값을

계산할 수 있다. 이 절에서는 [그림 2.15]와 [그림 2.16]과 같이 두 구 또는 동일한 길이

의 두 원통 사이에서 강제 접촉으로 인해 발생하는 Hertzian 응력(Hertz의 이론에 따라 유

도한 접촉에 따른 물체 내부의 응력 - 역주 )에 대해 설명한다.



그림 2.15 접촉 상태에 있는 두 구의 유한요소해석

그림 2.16 (a) 두 구의 강제 접촉 (b) 두 원통의 강제 접촉

직경이 과 인 두 개의 구를 힘 로 접촉시켰을 때, 그 접촉면의 반경 는 다음

식으로부터 계산할 수 있다.

(2.42)

여기서 , , , 는 각각 두 구의 탄성 계수와 포와송 비이다. 이 접촉면의 중심에

는 다음 식과 같은 최대 압력 가 발생한다.

(2.43)

접촉면을 평면으로 그리고 접촉면의 중심에서 수직한 방향으로 축을 설정하면,

주응력은 이들 좌표축과 일치하며 다음 식과 같이 좌표의 함수가 된다.



(2.44)

한편, 최대 주전단 응력은 다음 식으로 표현된다.

(2.45)

세 개의 수직 응력은 압축 응력이고 접촉면에서 최대가 되지만, 전단 응력은 이 접촉면

약간 아래에서 최대값이 된다.

[그림 2.16(b)]와 같이 길이는 로 서로 같고 직경이 , 인 두 원통의 접촉 부분에

서 발생하는 접촉면은 길이가 이고 폭이 인 직사각형이다. 여기서 는 다음 식과 같

이 계산된다.

(2.46)

최대 압력은 사각형 접촉면의 길이 방향 중심선을 따라 발생하며 다음 식으로 계산된다.

(2.47)

이 접촉면에 앞서 설명한 것과 비슷한 방법으로 좌표계를 위치시키고, 축을 원통 축과

평행한 방향으로 정의하면 수직 주응력은 다음 식으로 표현된다.

(2.48)



또한 주전단 응력은 다음 식으로 주어진다.

(2.49)

여기서도 수직 응력은 압축 응력이고 접촉면에서 최대값이 된다. 최대 전단 응력 는

근처에서 발생한다.

구 또는 원통이 평면과 접촉하는 경우에는 평면의 직경 를 무한대로 대체하고, 구 또

는 원통이 내부에서 또 다른 구 또는 원통과 접촉하는 경우에는 내부의 구 또는 원통의

직경을 로 대체시키면, 이 절에서 제시한 식들을 그대로 사용할 수 있다.

열 응력

구속되지 않은 등방성 재질의 물체에 만큼의 온도 변화가 발생하면, 이 물체는

다음 식과 같이 모든 방향으로 동일한 변형률로 팽창한다(등방성 재료가 아닌 경우, 열팽창

계수는 각 방향으로 다른 값을 가짐).

(2.50)

여기서 비례상수 는 재료의 열팽창 계수이다. 이 경우 변형률은 단지 체적 팽창만을 유

발하고 응력은 0이 된다.

그림 2.17 PCB 기판의 열 변형․열 응력 유한요소해석



이와 반대로 물체가 구속되어 있으면 응력 상태는 0이 아니며, 거동 및 응력의 복잡성

은 물체의 형상과 구속 상태에 좌우된다. 양 끝단이 모두 구속된 직선 보에서, 끝단으로

부터 일정한 위치에서의 압축 응력은 다음 식으로 표현된다.

(2.51)

응력 집중 계수

이 절에서 지금까지는 매우 이상적인 형상들만을 다루었다. 그러나 실제 부품은 보통

구멍이나 노치(notch), 필렛, 단차, 홈 등 설계상 특징 형상(feature)을 포함하고 있으며,

이들 특징 형상 근처에서는 국부적으로 응력 집중이 발생한다. 또한 균열이나 파인 부분

과 같이 불규칙한 부분에서도 응력 집중이 발생한다. 이러한 현상을 설명하기 위하여 다

음의 응력 집중 계수 또는 를 소개한다.

(2.52)

여기서 와 는 특징 형상이 없는 부품의 공칭 응력(nominal stress, 하중을 물체의 변형

전 초기 단면적으로 나누어 계산한 응력 - 역주 )이다. 공칭 응력을 계산할 때 부품 전체 크기

에 대한 특징 형상의 상대적 크기에 따라 총 단면적 대신 실 단면적(net cross-sectional

area)을 사용하기도 한다.

그림 2.18 인장을 받는 평판의 내부 구멍 주위에서의 응력 집중 현상 2)

2) (주)마이다스아이티의 Nastran FX 교육사이트 http://www.nastranfx.com/trainin)에서 따라하기가 제공되는

예제를 나타낸다.



응력 집중 계수는 대부분 실험을 통해 구해진다. 다양한 특징 형상에 대해 실험을 통

해 구한 응력 집중 계수들은 문헌에서 표로 제공되고 있으며, 이 값들은 식 (2.52)와 함

께 해석에 자주 사용된다.

2.4 재료 물성치

재료 물성치는 여러 가지 참고 문헌에 수록되어 있으나 그 정확도는 조금씩 다르다.

이것은 출판사가 부주의로 실수한 것이 아니라, 사실은 대부분의 재료가 온도나 변형률

속도(대변형, 동하중 및 온도 변화 등에 기인하여 재료의 변형률이 시간에 따라 변하는 경우, 변

형률의 시간에 따른 변화률 - 역주 ), 가공 조건 등에 따라 재료 물성치가 달라지기 때문이

다. 가장 예측이 쉬운 재료 중 하나인 강의 경우만 하더라도, 합금 조성이나 열처리, 냉간

작업, 제조 방법 등에 따라 파괴 물성치가 달라진다. 재료 물성치에 대한 출처나 시험 방

법을 잘 모르거나 의심스럽다면, 그 재료 물성치에 근거한 해석 결과도 의심해야 한다.

파괴 또는 피로 계산을 위하여 정확한 응력 데이터가 필요하면, 해석할 부품과 유사한

형상을 가진 실제 부품에 예상 하중 조건을 부여하여 재료 시험을 수행해야 한다.

재료의 유형

• 등방성(isotropy) : 재료의 성질이 모든 방향 또는 모든 단면에서 동일함

• 이방성(anisotropy) : 재료의 성질이 두 개 이상의 방향에서 서로 다름

• 직교 이방성(orthotropy) : 이방성의 특수한 경우로 재료 성질이 서로 직교하는 세

면에 대해 대칭임

대부분의 유한요소해석에서 재료는 균질의 등방성으로 가정한다. 균질한 재료는 재료

전체에 걸쳐 그 성질이 일정하다. 이것은 예측 공학에서 이해해야 할 중요한 가정이며,

파괴 검증을 수행할 때 매우 중요하다. 많은 부품들은 제조 공정이나 열처리 또는 재료

의 고유한 강성을 국부적으로 감소시키는 내부 기공 등에 의해 파괴된다.

대부분의 유한요소해석 프로그램은 복합 재료와 같은 직교 이방성 재료도 지원한다.

복합 재료 물성치는 그 정의가 매우 복잡하므로 초기에는 전문가의 도움을 받아 해석을

수행하는 것이 좋다.



공통적인 재료 물성치

앞 절에서 탄성 계수 와 전단 탄성 계수 , 포와송 비 와 같은 재료 물성치에 대

해 설명하였다. 이 성질들은 동일한 유형의 재료들에서는 일정하다고 가정한다. 그러나

동일한 재료로 된 두 물체라고 하더라도 제조 공정에 따라 실제 재료 물성치는 크게 다

를 수 있다.

의견의 차이는 있을 수 있지만, 모든 재료 물성치 가운데 가장 중요한 것은 재료의 강

도(strength)이다. 강도의 단위는 응력의 단위와 같다. 그러나 물체의 내부 응력은 항상

작용 하중과 단면적의 함수인데 반해, 강도는 물체의 재료와 제조 공정에 의해 결정되는

고유한 성질로서 설계 전반에 걸쳐 중요하게 취급된다.

강도와 여타 전형적인 재료 물성치들은 보통 표준 시편(standard specimen, 재료 물성치

측정을 위해 규정에서 정한 형상으로 특별히 제작한 것 - 역주 )을 이용한 인장 시험으로부터

구해진다. 이 시험 결과로부터 응력-변형률 선도가 도출되고 이를 토대로 여러 가지 매

개 변수들 사이의 관계가 구해진다. 높은 정확도가 요구되는 재료 물성치는 실제 사용

조건과 비슷한 환경에서 실시한 시험으로부터 구해야 한다. 높은 수준의 정확도가 필요

하지 않더라도 데이터를 보정하기 위해서는 재료의 사용 환경을 알아야 한다. 이 때 고

려해야 할 조건들은 사용 온도, 변형률 속도, 하중에 대한 재료의 결정, 유동 방향, 토크,

인장 혹은 굽힘 등이 있다.

[그림 2.19]와 같은 전형적인 응력-변형률 선도는 공칭 응력(engineering stress)을 사

용한다. 이것은 작용 하중 를 초기 단면적 로 나누어 계산한 것으로 약간 부정확한

값이다. 왜냐하면 인장 시험에서 국부적이고 비가역적(하중을 제거하였을 때 물체가 변형 전

형상으로 완전히 복원되면 가역적이라고 하고, 그렇지 않은 경우를 비가역적이라 함 - 역주 )인

단면적 감소, 즉 네킹 현상(necking phenomenon, 연한 재료를 잡아당길 때, 파괴되기 직전에

국부적으로 잘록하게 수축되는 현상 - 역주)이 발생하기 때문이다. 이러한 네킹은 공칭 응력

-변형률 선도에서, 변형률의 증가와 함께 응력이 감소하는 것처럼 보이는 지점에서 발생

한다. 실제로 감소된 단면적만큼 응력이 증가하므로, 네킹을 반영한 진응력-변형률 선도

(true stress-strain curve)는 일반적으로 공칭 응력보다 더 큰 응력 값을 보인다. 그러나

인장 시험시 시편의 단면적 변화를 추적하기 어렵기 때문에 대개 공칭 응력-변형률 선

도를 사용한다[진응력(truestress, 물체의 현재 변형된 단면적으로 하중을 나누어 계산한 응력 -

역주 )].



그림 2.19 축 하중을 받는 연성 재료의 공칭 응력-변형률 선도

[그림 2.19]에서와 같이 응력은 초기에 비례 한도라고 하는 점 까지 변형률에 비례

하는 선형적인 증가를 보인다. 선도의 이 부분에는 Hooke의 법칙, 즉 식 (2.24)가 유효하

며 지점 이후부터 재료는 선형적이지는 않지만 탄성 한계점 까지 탄성 변형을 일으

킨다. 그러나 지점을 넘어서면 하중을 제거해도 재료의 원형이 회복되지 않는 영구 변

형이 발생한다.

점 는 재료의 항복점(yield point)으로서 이 때의 응력을 항복 강도 라고 한다. 철

과 같은 금속 재료에서는 응력-변형률 선도상에 뚜렷한 항복점 또는 굴곡부(knee)가 관

찰된다. 이러한 재료에서는 탄성 한계점 와 항복점 가 일치한다. 그러나 다른 많은

재료에서는 항복점이 분명하지 않기 때문에 보통 옵셋 방법(offset method)에 의하여 결

정한다. 이 방법에서 는 일반적으로 0.002의 변형률 지점에서 응력-변형률 선도의 선

형 부분과 평행하게 그은 직선이 선도의 소성 부분(plastic portion)과 만나는 교차점에

해당된다.

항복점을 지난 다음 점 는 재료가 도달할 수 있는 최대 응력을 의미한다. 이 점이 재료

의 극한 강도 또는 인장 강도 에 해당된다. 이 점을 지나면 앞에서 언급한 것처럼 파

괴점(fracture point) 까지 네킹 현상이 발생하며 이 점을 재료의 파단 강도 라고 한다.

이것 외에 엔지니어에게 유용한 재료 물성치는 퍼센트 신장(percent elongation)이다.

이것은 재료가 파괴되기 전까지의 변형률을 퍼센트로 나타낸 것으로 재료의 연성

(ductility)을 나타내는 척도가 된다.



여기서 설명한 모든 값들은 인장 시험으로부터 구해진다. 비록 실험으로 구하기는 힘들

어도 유사한 내용의 압축 강도가 존재한다. 또한 봉에 대한 비틀림 시험을 수행하면 토

크-비틀림 선도를 구할 수 있으며, 이것으로부터 비틀림 항복 강도 와 파열 계수

(modulus of rupture) 를 구할 수 있다. 파열 계수는 다음 식으로 표현된다.

(2.53)

여기서 는 토크-비틀림 선도상의 지점에서의 최대 토크이고 은 봉의 반경, 는

단면의 2차 면적 모멘트이다.

연성 재료와 취성 재료의 거동

앞 절에서 설명한 바와 같이 하중이 제거될 때 물체의 원래 형상이 회복되지 않으면,

그 물체는 항복 또는 소성 변형되었다고 한다. 이러한 변형을 영구 변형이라 하고, 영구

변형이 발생한 재료는 연성을 나타내었다고 말한다. 연성은 시편의 인장 시험에서 퍼센

트 신장이나 파괴 시의 변형률로부터 측정할 수 있다. 취성 재료(brittle material)는 연성

재료보다 신장과 단면적 감소가 훨씬 적다. 그러므로 네킹의 양과 이에 상응하는 공칭

응력-변형률 선도상의 순간적인 응력 감소량을 통하여 재료의 연성 여부를 확인할 수

있다.

연성 재료에서 극한 인장 강도와 극한 압축 강도의 절대값은 거의 같다. 이에 반해서

취성 재료는 극한 압축 강도가 극한 인장 강도보다 더 크다.

취성 재료는 다음과 같은 거동을 보인다.

• 응력 대 변형률 선도는 파괴가 될 때까지 매끄럽고 탄성적인 곡선이다. 이런 거동을

보이는 재료는 항복 강도를 가지지 않는다.

• 일반적으로 압축 강도가 인장 강도보다 몇 배 더 크다.

• 파열 계수는 인장 강도와 거의 같다.

• 뚜렷한 소성 변형 없이 균열이 쪼개진 면(cleavage plane)을 따라 급격히 진전한다.

구조 해석자는 특정한 온도 및 변형률 속도에서 재료가 연성이나 취성 중 어떤 거동을

보일 것인지 예측할 수 있어야 한다. 대부분의 재료는 변형률 속도 증가와 온도 저하에

비례하여 취성이 심화된다.



취성 또는 연성 거동의 예측에 대한 경험 법칙은 다음과 같다.

• 퍼센트 신장이 5% 이하이면 취성 거동으로 가정한다.

• 극한 압축 강도가 극한 인장 강도보다 더 크면 취성 거동으로 가정한다.

• 항복 강도가 문헌에 나와 있지 않으면 취성 재료가 아닌지 확인해야 한다.

안전 계수

지금까지 응력과 강도에 대해 논의하였으므로, 이제부터는 설계 업무에서 이들과 관련

된 안전 계수(safety factor) 을 설명한다. 안전 계수는 재료의 강도를 최대 응력으로 나

눈 비율로 정의된다. 이 값은 사용된 입력 데이터 및 유한요소해석의 정확성뿐만 아니라,

해석 프로그램 자체의 신뢰성에 큰 영향을 받는다.

=극한강도

(2.54)응력

예를 들어 해당 부품의 재료 물성치와 형상, 경계 조건, 해석 모델, 해석 프로그램 등

이 100% 정확할 경우에는 해석의 최대 응력을 재료 강도와 같도록 안전 계수를

로 정의하여 부품을 설계할 수 있다. 그러나 이들 중 어떤 하나라도 정확도에 의문이 발

생하면, 예측 가능하거나 그렇지 못한 오차를 반영하기 위하여 안전 계수를 1보다 크게

설정해야 한다. 안전 계수가 클수록 설계 효율은 감소하기 때문에, 안전 계수는 설계팀

전체의 공학적 판단을 종합하여 적절하게 선정해야 한다.

엄격한 의미에서 이러한 논의는 설계 변수가 최대 응력이라고 가정했을 때 해당된다.

그러나 이 값이 최대 변위 또는 최대 온도 등의 다른 변수이더라도 동일한 개념이 적용

된다. 특정 매개 변수에 대한 안전 계수를 구하려면, 식 (2.54)의 분자를 재료의 극한값

으로 대체하고 분모를 해석으로 구한 최대값으로 대체하면 된다.

2.5 파괴 모드

해석 결과 분석

해석 결과 분석의 첫 단계는 해석 초기에 설정한 목적을 검토하는 것이다. 해석의 대



부분은 파괴가 일어날 것인지 아니면 일어나지 않을 것인지에 관심이 집중된다. 이러한

분석에 필수적인 파괴 예측을 논의하기 전에, 우선 이론적인 파괴 특성에 대한 공학적

이해가 요구된다.

전형적인 파괴 모드

기계적인 파괴의 공통적인 유형을 정리하면 다음과 같다.

• 파괴 : 파괴는 새로운 균열이 나타나거나 기존 균열이 확장될 때 발생한다고 말할

수 있다. 취성 파괴는 소성 변형이 거의 없거나 전혀 없는 파괴 형태이다.

• 항복 : 항복 강도를 초과하는 응력을 받는 물체가 항복으로 인해 부품의 완전성 또

는 기능이 손상되었을 때에만 물체가 파괴되었다고 말할 수 있다. 항복 근처에서 응

력 집중에 따라 국부적인 변형이 발생하고, 그에 따른 응력의 재분포로 항복이 중지

되는 것은 파괴로 보지 않는다.

• 불충분한 강성 : 부품은 내구력을 유지하면서 요구되는 하중을 지지할 수 있을 만큼

충분한 강성을 지녀야 한다. 진동하는 물체가 너무 유연하면 바람직하지 못한 공진

진동수(resonant frequency)를 가질 수 있다.

• 좌굴(buckling) : 기둥과 같은 물체에 하중이 작용할 때, 안정성 또는 강성을 갑자기

상실하게 되는 것을 의미한다. 좌굴은 응력 수준이 높지 않아도 발생할 수 있다.

• 피로(fatigue) : 변동 하중을 받는 부품은 시간이 경과함에 따라 강도를 상실하고, 특

정 횟수의 반복 하중 사이클 이후에 파괴될 수 있다.

• 크리프(creep) : 하중을 받는 물체는 시간이 지남에 따라 점점 변형된다. 다양한 재

료에 대한 경험적인 크리프 데이터로부터 겉보기 계수(apparent modulus, 일정한 온도

에서 등시적 응력-변형 곡선으로부터 계산되는 계수 - 역주 )가 유도되고, 이것은 크리프

영향을 보정하기 위해 사용될 수 있다.

대부분의 공학 문제는 주어진 운영 조건에서 두 개 이상의 파괴 모드가 가능하다. 따

라서 모든 잠재적인 파괴 가능성을 검토하는 것이 중요하다.

고전적인 파괴 이론

항복 또는 파괴로 인한 파손 예측이 관심이 되는 경우에는 적합한 응력 값을 선택하고

적절한 파괴 이론을 적용하는 것이 중요하다. 일반적으로 폭넓게 사용되는 파괴 이론에

대해 설명한다. 고전적인 파괴 이론들은 거시적으로 존재하는 균열이나 좌굴, 크리프,



과도한 탄성 파괴는 제외하고, 주로 재료 파괴와 관련된 것들이다.

이들 파괴 이론들은 대부분 이론적으로 유도된 것이 아니라 실험 데이터의 분석을 통

해 정립되었다. 일반적으로 문헌상의 재료 데이터는 대부분 축응력 상태의 실험에 의한

것이지만, 실제 공학 문제는 보통 2축 이상의 복잡한 응력 상태이다. 또한 재료는 특정한

온도나 하중 조건에서는 연성 거동을 보이지만, 다른 조건에서는 취성 모드로 파괴될 수

도 있다. 따라서 해석 방법에 관계없이 특정 실험 조건에 대한 하중 경로와 재료의 거동

을 이해하는 일이 매우 중요하다.

연성 파괴(ductile failure) 이론

정적 하중을 받는 연성 재료는 파괴 없이 항복에 의해 응력의 재분포가 발생할 수 있

다. 이러한 현상은 금속 부품의 박판 성형(stamping, 얇은 금속판을 압축 프레스를 이용하여

원하는 형상으로 찍어내는 금속 성형 - 역주 )으로 설명할 수 있다. 항복점을 초과하여 하중

을 작용시키면 잔류 응력이 남게 된다. 하중을 제거한 후 재차 같은 방향으로 하중을 가

하면 탄성 범위는 확장되는 반면 하중을 반대 방향으로 가하면 탄성 범위는 축소된다.

이 현상을 Bauschinger 효과라고 한다. 연성 파괴는 소성 변형이 상당히 발생한 후에 느

린 균열 또는 기공이 확대되는 특징을 나타낸다.

• 최대 수직 응력 이론 : 인장 또는 압축 상태에서 또는 가 파괴 강도에 도달할

때 파괴가 발생한다. 항복에 의한 파괴는 항복 강도에 도달할 때 발생하고, 파괴에

의한 파손은 극한 강도에 도달할 때 발생한다.

• 최대 전단 응력(Tresca) 이론 : 최대 전단 응력이 항복 강도의 1/2과 같을 때 항복이

시작되며, 인장 하중이 작용하는 방향과 45°를 이루는 면에서 파괴가 발생한다. 열

처리한 연성 재료는 이 이론에 따라 파괴되는 경향이 있다. 이 이론은 항복 파괴만

예측하므로 연성 재료일 경우에만 유효하다. 최대 전단 응력 는 식 (2.22)로 계

산되며, 주응력 과 이 이루는 평면에 대하여 45° 회전한 평면에서 발생한다. 이

이론은 항복이 재료의 원자 수준에서 전단 미끄러짐(shear slip)과 관련된다는 사실

로부터 유추되었다.

• 비틀림 에너지(von Mises-Henky) 이론 : 가장 광범위하게 사용되는 이론으로, von

Mises 또는 유효 응력이 재료의 항복 강도에 도달할 때 항복에 의한 파괴가 발생한

다. 이 유효 응력 은 변형률 에너지 가설에 기초하여 유도되었으며 다음 식으로

표현된다.



그림 2.20 세 가지 연성 파괴 이론의 도식적인 비교

(2.55)

이 식의 장점은 매우 복잡한 응력 상태에 대해서도 적용할 수 있다는 점이다.

[그림 2.20]은 평면 응력 상태에서 세 가지 연성 파괴 이론을 도식적으로 비교한 것이

다. 타원과 정사각형, 다이아몬드 다각형으로 둘러싸인 영역은 각각 비틀림 에너지 이론

과 최대 수직 응력 이론, 최대 전단 응력 이론에 의해 안전하다고 판단되는 응력 상태를

나타낸다.

만약 과 의 부호와 크기가 비슷하면 최대 수직 응력 이론은 합리적으로 거동을

예측하지만, 이 이론이 적용될 수 있는 모든 상황을 파악하는 것은 어렵다. 최대 전단 응

력 이론은 보수적이지만 설계 관점에서는 수용 가능하다. 그러나 시험 데이터와 가장 잘

일치하는 것은 비틀림 에너지 이론이다.

취성 파괴(brittle failure) 이론

취성 재료는 부서지기 전까지는 파괴되었다고 간주할 수 없다. 이러한 현상은 최대 인

장 응력이 극한 인장 강도에 도달할 때 발생하는 인장 파괴나, 최대 압축 응력이 극한 압

축 강도에 도달할 때 발생하는 전단 파괴를 통해서 나타난다. 전단 파괴는 최대 압축 응

력시 경사진 면에서 발생하지만, 이 면이 최대 전단 응력 평면은 아니기 때문에 이것을

순수한 전단 파괴(shear failure)로 볼 수는 없다.



• 최대 수직 응력 이론 : 연성 재료에서 정의한 것과 유사하며, 파괴는 항복 강도가 아

닌 극한 강도에 도달할 때 발생한다.

• Mohr-Coulomb 이론 : 최대 주응력과 최소 주응력의 조합이 다음 조건식을 만족할

때 파괴가 발생한다.

≧ (2.56)

여기서 와 는 극한 인장 강도 및 극한 압축 강도를 나타내며, 와 는 항상

음수, 즉 압축 응력이다.

이 이론은 연성 및 취성 재료에 모두 적용할 수 있지만, 취성 재료가 압축에 더 강하

기 때문에 취성 재료에 주로 적용된다. 압축 응력이 인장 응력보다 우세하면( ≫ ),

이 이론은 가장 신뢰할 수 있다.

• Mohr 수정 이론 : [그림 2.21]에서 이 압축 상태이고 가 인장 상태인 2사분면

과 이 인장 상태이고 가 압축 상태인 4사분면을 제외하면, Coulomb-Mohr 이

론에서 정의한 것과 같이 파괴가 발생한다. 하지만 2사분면과 4사분면에서는

Coulomb-Mohr 이론보다 재료를 보다 강하게 예측한다.

그림 2.21 세 가지 취성 파괴 이론의 도식적인 비교



[그림 2.21]은 외부 직사각형과 외부의 다각형, 내부의 다각형으로 둘러싸인 응력 상

태 영역들을 각각 보여준다. 이 영역들은 평면 응력 조건에서 각각 최대 수직 응력과

Coulomb-Mohr 이론, Mohr 수정 이론에 의해 예측되는 안전한 응력 상태를 나타낸다.

취성 재료의 시험 데이터와 가장 잘 일치하는 것은 Mohr 수정 이론이지만, Coulomb-Mohr

이론이 더 보수적인 예측이기 때문에 설계에서 주로 사용된다.

기타 파괴 이론

좌굴

어떤 경우에는 부재가 지탱할 수 있는 최대 하중이 재료 강도가 아니라 부재의 강성에

의해 결정된다. 임계 하중 은 물체가 변형된 상태에서 탄성 평형이 불안정하게 되는

시점에서의 압축력으로 정의되며, 이 임계 하중 이상으로 하중이 증가하면 물체는 탄성

적으로 붕괴된다. 좌굴의 관심 대상이 되는 전형적인 예들은 축 하중을 받는 가느다란

오일러 기둥(축과 수직인 두께 방향으로의 면외 전단력을 무시한 보나 기둥에 대한 가장 단순한

역학 모델 - 역주 )과 외부 압력을 받는 박판 원통, 테두리에서 횡방향 압축을 받는 박판,

끝단에서 횡향 하중을 받는 외팔보 등이다.

균일 단면 직선 기둥상의 임계 집중 하중을 구하기 위한 오일러 식은 다음과 같다.

(2.57)

여기서, 는 기둥 재료의 탄성 계수이고 는 단면적의 최소 관성 모멘트 는 유효 길

이다. 마지막 항 은 기둥의 실제 길이 과 유효 길이 계수 에 의존하며,

는 기둥 끝단에서의 구속 조건에 좌우되는 값이다. [그림 2.22]는 통상적인 끝단 조건과

그에 상응하는 의 값을 나타낸다.

좌굴과 관련된 역학 공식을 유도하기 위해 기둥 단면적 를 최소 회전 반경 로 대

체하는 것이 편리하다.

(2.58)



그림 2.22 집중 하중을 받는 기둥 끝단 조건의 유효 길이 계수

이 식과 함께 식 (2.57)을 함께 사용하면 대응되는 임계 응력은 다음 식으로 표현할 수

있다.

(2.59)

형상 종횡비(slenderness ratio) 를 이용하여 오일러 기둥을 정의할 수 있다. 이 계수가

식 (2.60)을 만족하면 오일러 기둥으로 간주할 수 있으므로 임계 하중을 계산할 수 있다.

(2.60)

이 식은 기둥의 좌굴이 재료의 항복점 이하에서 발생함을 의미한다. 식 (2.60)을 만족

하는 오일러 기둥에 대한 임계 응력은 재료의 항복점 이하이므로, 식 (2.59)는 오일러 기

둥에 대해 유효하다. 반면에 오일러 기둥이 아닌 경우에는 다음과 같은 보다 일반적인

응력 식을 사용해야 한다.

(2.61)

식 (2.61)에서는 탄성 계수 대신 접선 계수 가 들어가 있다. 이 값은 응력-변형률

곡선의 접선 기울기로 정의되기 때문에 응력-변형률 곡선상의 위치 함수이다. 물론 항복

점 이하에서는 이다.



그림 2.23 형상 종횡비에 따른 임계 응력의 변동

그림 2.24 쉘 구조물의 유한요소 좌굴 해석

[그림 2.23]에 임계 응력 과 형상 종횡비 와의 관계를 표현하였으며, 시험을

통해 검증한 결과 아주 정확한 것으로 확인되었다. 식 (2.59) 또는 오일러 쌍곡선을 확장

하면 이 쌍곡선과 일치하지 않는 비오일러 곡선 영역은 하중을 제거한 후에도 복원되지

않는 비보존적(nonconservative) 임계 응력 영역에 해당된다. 그러므로 좌굴 해석을 위하

여 선형 유한요소해석 프로그램을 사용할 경우, 식 (2.60)을 만족하지 않는 기둥에 대해서

는 비보존적임에 주의해야 한다. 그러나 비오일러 기둥에 작용하는 응력이 항복점 이하이

면 좌굴은 발생하지 않는다. [그림 2.24]는 쉘 구조물의 좌굴 해석 결과를 나타낸다.

완전히 직선인 기둥은 실제로 존재하지 않으므로, [그림 2.25(a)]와 같이 축 중심에서

만큼 떨어진 곳에서 편심 하중을 받는 기둥이 지탱할 수 있는 최대 축방향 하중을 구하

는 식이 요구된다. 이러한 기둥이 좌굴 전에 어느 정도의 축 하중을 지탱할 수 있다는 사

실만은 분명하지만, 정확한 임계 응력의 유도는 복잡하고 일반화하기가 어렵다.



그림 2.25 (a) 편심 하중을 받는 기둥 (b) 하중량과 형상 종횡비에 따른 최대 지지 하중의 변동

따라서 압축 상태에서 파괴는 보수적으로 재료의 항복을 발생시킨다고 가정한다. 이 가

정 하에서 편심 하중을 받는 기둥이 지지할 수 있는 최대 단위 하중 는 다음 식과

같이 계산된다.

(2.62)

여기서 는 중립축으로부터 압축 응력 상태에 있는 기둥 표면까지의 거리이다. 이 경우

은 최소 회전 반경일 필요는 없으며, 굽힘을 받는 축의 관성 모멘트 에 대응되는 값이

다. 여기서 는 식 (2.62)로 명쾌하게 풀 수 없기 때문에, 일반적으로 도해법

(graphical solution)을 많이 사용한다. [그림 2.25(b)]는 편심량과 형상 종횡비의 함수로

나타낸 단위 하중의 전형적인 변동을 나타낸다. 형상 종횡비가 증가하거나 편심량이 감

소할수록 이 곡선들은 오일러 쌍곡선에 근접함을 확인할 수 있다.

피로

재료 강도 대비 하중 사이클 수, 즉 선도로 표시되는 피로 데이터는 일반적으

로 양진 굽힘(reverse bending)을 받는 회전 보의 시험으로부터 유도된다. [그림 2.26]은

강에 대한 전형적인 선도를 나타낸다. 이 그림에서 강의 강도는 약 103사이클까지

일정한 기울기로 떨어지다가, 이 사이클을 지나면 더 빠른 기울기로 떨어지는 것에 주목

할 필요가 있다. 이 기울기의 변화는 소위 저사이클 피로 파괴와 고사이클 피로 파괴를

구분 짓는다. 사이클 106과 107 사이 어느 지점에서는 재료 강도가 안정되며, 이 사이클

수는 경험적으로 무한대의 수명을 나타낸다. 여기에 상응하는 내구 한도 또는 피로 한도



그림 2.26 강에 대한 전형적인 선도

는 부품이 무한대 사이클 동안 견딜 수 있는 최대 사이클 응력으로 정의된다. 그러나

비철금속과 합금의 강도는 절대로 안정화되지 않고 시간과 함께 계속 감소한다. 따라서

이러한 재료는 내구 한도를 가지지 않는다.

회전하는 보 시편의 내구 한도는 보통 ′로 표시되며, 200 이하의 극한 강도를

가지는 철 합금의 경우에 ′는 극한 강도의 약 절반이다. 반면, 200 이상의 극한 강

도를 가지는 철 합금의 경우에는 ′가 약 100이다. 비철금속과 합금은 내구 한도가

없으므로, 피로 강도 ′는 보통 양진 응력의 50(107) 사이클로 보고되고 있다. 이 강도

는 어떤 알루미늄 합금에 있어서는 극한 인장 강도의 1/4까지 낮아진다.

물론 시편에서의 내구 강도를 실제 부품의 내구 강도로 사용하기 위한 방안이 강구되

어야 한다. 이것은 다음 식과 같이 여러 개의 보정 계수를 도입함으로써 가능하며 각 보

정 계수는 1보다 작거나 같다.

′ (2.63)

여기서 는 표면 계수 는 크기 계수, 는 하중 계수, 는 온도 계수, 는 기타 다

른 영향들을 모두 포함한 혼합 계수이다. 이들 중 어떤 계수에 대한 값은 문헌으로부터

쉽게 구할 수 있지만 어떤 계수 값은 구하기가 거의 불가능하다.

피로를 고려한 설계를 착수하기 전에 다음 세 개의 매개 변수들을 명확히 해야 한다.



첫째는 부품의 요구 수명 사이클로서 부품의 재료 강도 값을 결정하는 데 사용된다. 둘째

는 부품의 하중 이력으로 부품이 받게 될 응력의 평균과 진폭에 대한 값을 제공한다. 셋

째는 부품 내에서 강도와 응력에 관련되는 매개 변수로 부품 설계에 요구되는 안전 계수

이다. 이들 매개 변수들에 대한 적절한 값의 선정은 피로 해석의 성공 여부를 결정짓는다.

몇 가지 방법을 이용하여 사이클 하중 데이터와 피로 수명을 연계시킬 수 있다. 이런

이론들은 모두 경험 데이터에 근거한 것들로서 초기 설계의 평가에만 사용되어야 한다.

많은 계수들이 끼치는 민감한 영향 때문에, 실제 환경에서 피로 시험을 수행하는 것만이

사이클 하중을 받는 부품에 대한 신뢰성 있는 설계를 보장한다.

교번(alternating) 또는 양진 응력을 받는 부품의 번째 사이클에서 피로 강도를 구하

기 위해, 다음 식을 이용하여 선도에 곡선 맞춤(curve-fit)을 할 수 있다.

(2.64)

여기서 와 는 다음과 같이 주어진다.

(2.65)

식 (2.65)에서 대신에 ′를 대입하면 ′을 예측할 수 있다. 진폭 를 가진 양

진 응력에 상응하는 수명 사이클 수는 다음 식으로 계산된다.

(2.66)

[그림 2.27]을 참조하면 평균 응력 이 0이 아닐 때, 사이클 하중은 변동 응력

(fluctuating stress)으로 분류된다. 이러한 경우 가장 많이 사용되는 식은 Goodman 수정

관계식이다.

(2.67)

여기서 는 재료의 극한 인장 강도이고 은 설계를 위한 안전 계수이다.



그림 2.27 사인파 모양의 변동 응력에서의 진폭 대 시간

이 관계식은 파괴 수명을 예측하는 데 유용하다. 만약 파괴 기준으로 항복에 더 관심

이 있으면 Soderberg 관계식을 사용해야 하고, 이를 위해 를 인장 항복 강도 로

대체하면 된다. 엔지니어는 이들 관계식들 중 하나를 이용하여 변동 하중 환경에서 교번

응력 진폭과 평균 응력 중 어느 하나의 변경이 초래하는 변화를 평가할 수 있다. 유한한

수명 해석에 더 관심이 있으면 이 두 식에서 를 로 대체하면 된다. 물론 내구 한도

가 없는 재료에 대해서는 요구되는 수명 에 따라 Goodman 수정 관계식을 사용해야

한다.

Miner의 누적 손상 법칙과 Mansion 방법은 다양한 지속 시간 동안 다양한 응력 상태

에서의 사이클 하중의 영향들을 관련짓는다. 이 방법들 중 어느 것도 닫힌 형태의 해

(closed form solution)를 제공하지는 못하지만, 현재 가장 많이 사용되는 근사해이기 때

문에 여기서 간단히 언급한다. 두 방법 모두 정확한 선도를 필요로 하며, 부품의

파괴를 일으키지 않는 유한한 사이클의 과도한 응력으로부터 받은 손상에 근거하여 겉보

기 내구 한도를 조정한다. 수학적으로 Miner 법칙은 다음 식으로 표현된다.

(2.68)

여기서 는 부품에 발생하는 번째 응력 의 사이클 수이고, 는 에 상응하는 피로

수명이다. Mansion 방법은 문헌에서 쉽게 찾을 수 있다. 이 방법은 도식적인 접근 방법

을 사용하며, 경험 데이터와 일관성이 높은 연관 관계를 유지하므로 보다 많이 사용된다.

연성 재료가 피로 하중을 받으면 근본적인 구조 변화가 발생한다. 시간적인 순서로 발

생하는 변화를 다음과 같이 정리할 수 있다.



1. 균열의 시작 : 재료 내에서 균열이 형성되기 시작한다.

2. 국부적인 균열의 성장 : 소성 변형은 완전히 원래 상태로 회복될 수 없으므로 부품

의 표면에 국부적인 요철이 발생한다.

3. 높은 인장 응력 면에서 균열의 성장 : 최대 인장 응력이 발생하는 지점에서 단면을

가로질러 균열이 진행된다.

4. 극한 연성 파괴 : 균열로 인하여 하중을 지탱할 수 없을 정도로 유효 단면이 감소

할 때, 재료는 연성 파괴에 의해 파열된다.

그 밖에 중요한 보정 계수에 대한 의미와 영향을 정리하면 다음과 같다.

• 응력 집중 : 일반적인 부품은 ‘응력과 변형률’ 절에서 설명한 특징을 보이며, 높은

국부 응력을 일으키는 부품은 피로 수명이 감소한다.

• 표면 거칠기 : 거친 표면은 응력 집중을 일으키므로, 균열에 대한 저항성은 매끈한

표면이 더 높다.

• 표면 처리 : 경화 공정은 피로 강도를 증가시키고, 도금과 부식 방지 기법은 피로 강

도를 감소시키는 경향이 있다.

• 환경 : 부식 환경은 피로 강도를 크게 감소시키며, 부식과 사이클 응력의 결합을 부

식 피로(corrosion fatigue)라고 한다.

크리프

크리프 또는 점탄성(viscoelasticity)은 하중을 지속적으로 받을 때 시간에 의존하는 소

성 변형이다. 크리프 양은 시간과 온도, 작용 하중의 함수이다. 대표적인 예로 실온에서

대부분의 플라스틱은 특정한 하중 조건 하에서 상당한 양의 크리프를 나타낸다. 그러나

일반적인 금속은 사용 온도가 용융점의 35%에서 70%에 도달할 때까지는 크리프 양이

그다지 크지 않다.

점탄성 재료의 응력 상태는 다음 식으로 표현될 수 있다.

(2.69)

여기서 는 재료의 점성 계수이고 는 변형률 속도이다. 식 우측의 두 번째 항은

작용 하중과 사용 온도의 함수이기 때문에 실험적으로 구해야 한다.



그림 2.28 크리프 파괴 단계

유한요소해석 프로그램으로 점탄성 해석을 수행할 수 있지만, 재료 물성치에 대한 정

보를 얻기 위해서는 상세한 재료 시험이 요구된다.

[그림 2.28]에 표현한 크리프 파괴의 4단계는 다음과 같이 설명할 수 있다.

• 순간적인 신장 : 하중의 작용에 따라 전형적인 변형이 발생한다.

• 1차 크리프(primary creep) : 하중으로 재료가 변형 경화되어 크리프 속도가 감소한다.

• 2차 크리프(secondary creep) : 일정한 속도로 재료의 신장이 진행되며 최소 크리프

속도라고 한다.

• 3차 크리프(tertiary creep) : 네킹과 기공 생성으로 인하여 신장 속도가 증가하면서

파괴에 도달한다.

2차 크리프 단계는 시간 관점에서 실제 크리프 과정의 대부분을 차지하기 때문에 중

요한 관심 영역이다. 크리프 강도는 시간당 최소 10%의 크리프 속도를 발생시키는 응력

으로 정의된다.

겉보기(또는 유효) 탄성 계수는 실제 탄성 계수보다 약간 낮은 값이다. 이 계수는 크

리프 효과를 보정하기 위하여 물체의 예상 응력 수준에 기초한 경험적인 표로부터 결정

한다.



2.6 동해석

엄격히 말하면 동해석은 진동과 시간 응답 해석이라고 해야 한다. 왜냐하면 대변형의

완전한 강체 운동은 유한요소해석 영역이 아니기 때문이다.

진동과 시간 응답 해석은 다음과 같이 세 개의 분야로 나눌 수 있다.

• 모드 해석(modal analysis) 또는 고유 진동수 해석(natural frequency analysis)

• 주파수 응답 해석(frequency response analysis)

• 시간 응답 해석(time response analysis)

첫 번째 분야는 동적 시스템의 자유 진동을 포함한다. 이 해석은 외부 하중이 작용하

지 않은 상태에서 시스템의 고유 특성을 나타내며, 시스템의 동적 특성을 정의하는 데

기여한다. 반대로 나머지 두 분야는 강제 응답 해석으로 알려져 있다. 이들은 진동수 또

는 시간에 따라 변하는 외부 하중을 받는 시스템을 포함한다. 주어진 문제를 해결하기

위해 필요한 해석 유형은 설계에 필요한 데이터의 유형에 따라 달라진다.

모드 해석

모든 동해석의 기본은 모드 해석이며 이를 통해 대상 시스템의 고유 진동수와 이에 상

응하는 주모드 형상(principal mode shape)을 구할 수 있다. 바꾸어 말하면, 모드 해석을

수행함으로써 진동 시스템의 각 고유 진동수에 해당하는 고유한 변형 형상을 구하게 된

다. 이 개념은 다음과 같은 간단한 예를 통해 쉽게 설명할 수 있다.

[그림 2.29]와 같이 한 쪽이 고정된 얇은 보는 고정점을 중심으로 추가적인 마디

(node)나 변곡점이 없는 형상으로 가장 쉽게 진동한다. 이 모드 형상에 상응하는 고유 진

동수 은 보가 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 이동하였다가 다시 되돌아오는데 걸리는

진동 속도이다. 이 속도는 다음 식과 같이 보의 두 가지 물리적 매개 변수인 질량 과

강성(또는 스프링백) 에 의존한다.

∝ (2.70)



그림 2.29 외팔보의 자유 진동(1차 모드)

이 식에서 질량의 역할은 관성(inertia)으로 설명할 수 있다. 보의 질량(관성)이 클수록

보의 진동 방향을 바꾸기가 어렵게 되어, 결과적으로 보의 진동은 둔화된다. 스프링백

(springback, 하중을 받아 변형을 일으킨 물체가 하중을 제거하면 탄성에 의해 초기 형상으로 어느

정도 복원되는 현상 - 역주 )은 재료의 탄성으로 인해 평형 위치로부터 보의 이탈을 저항하

는 힘이다. 보를 평형 위치 이상의 지점까지 굽혔다가 놓으면, 스프링백은 보를 원래 위

치로 되돌아가게 하는 반면 관성 효과는 보가 평형 위치로 돌아가는 것을 방해한다. 따

라서 보는 관성 효과로 인해 평형점을 지나게 되지만 다른 한편 스프링백으로 인해 되돌

아가면서 사이클이 시작된다. 보의 강성이 클수록 사이클이 더 빨라진다.

이 두 매개 변수의 상호작용이 평형을 이루어 일정한 진동 속도에 도달하게 되면, 이

것을 시스템의 1차 고유 진동수라고 한다. 이 1차 고유 진동수는 외부 가진(excitation)이

모두 제거된 후 보가 진동하게 될 최저 속도이며, 이 상태를 자유 진동이라고 하며 다음

식의 지배를 받는다.

(2.71)

여기서 는 보의 각가속도이고 는 평형 상태에서 벗어난 보의 각도이다. 이 식의 해는

고유 진동수에 상응하는 모드 형상을 제공하며, 조화 운동을 하므로 해는 다음과 같이

가정할 수 있다.

(2.72)

여기서 와 는 시스템의 초기 조건에 의해 결정되는 상수이다.

한편, 와 를 각각 보의 초기 위치 및 초기 속도라고 하면, 식 (2.72)는 다음과 같

이 표현할 수 있으며 보의 1차 진동 모드를 나타낸다.



⋅

(2.73)

여기서 의 단위는 단위 시간당 라디안이다. 이 고유 진동수를 다음과 같이 새로운 변

수를 도입하여 단위 시간당 사이클(보통, 사이클/초)로 나타내면 더 편리할 때가 있다.

(2.74)

이들 고유 진동수의 두 가지 표현 중 하나를 이용하여, 시스템이 특정 고유 진동수에

서 하나의 완전한 진동 사이클을 완료하는 데 소요되는 시간을 계산할 수 있다. 이것을

시스템의 고유 주기(natural period)라고 한다.

(2.75)

실제로 감쇠로 인해 어떠한 시스템도 무한정 진동할 수는 없다. 감쇠(damping)는 분자

수준 또는 시스템을 구성하는 부재 사이의 상호작용으로 인한 시스템의 에너지 손실 때

문에 발생하는 재료의 비효율성을 나타낸다. 일반적으로 감쇠는 시스템의 진동을 지연시

키기 때문에, 시스템을 평형 위치로 되돌아오게 하는 시간 주기는 감쇠 계수 에 의존한

다. 이 감쇠 계수는 시스템의 속도 에 비례하며, 감쇠를 고려하면 식 (2.71)은 다음과

같이 수정된다.

(2.76)

여기서 감쇠비 는 감쇠의 척도로서 다음 식과 같이 계산된다.

(2.77)

여기서 분모 을 시스템의 임계 감쇠(critical damping, 자유 진동을 일으키지 않은 한계

감쇠값 - 역주 )라고 한다. 그러므로 감쇠비는 시스템 내에 존재하는 감쇠량을 임계 감쇠

의 퍼센트로 표시한 것이다.



다음 형태의 조화 해를 가정하면,

(2.78)

식 (2.76)에 대한 일반 해는 다음과 같은 형태로 표현된다.

(2.79)

여기서 과 는 시스템의 초기 조건에 의해 결정되는 상수이다.

감쇠는 시스템의 진동을 결정하는 감쇠비의 범위에 따라 다음과 같이 세 가지로 분류

할 수 있다.

• 과도(overdamped) 감쇠([그림 2.30(a)] 참조) : 이 시스템은 매우 쉽게 감쇠되

므로, 식 (2.79)에 따라 한 번의 진동도 없이 바로 평형점으로 되돌아간다.

• 임계 감쇠([그림 2.30(a)] 참조) : 이 시스템은 진동을 시작하기 직전이므로 가

장 빨리 평형점으로 되돌아간다. 시스템의 운동은 다음 식의 지배를 받는다.

(2.80)

• 과소(underdamped) 감쇠([그림 2.30(b)] 참조) : 이 시스템은 식 (2.81)의 감쇠

된 고유 진동수 로 낮은 속도의 진동을 나타내며 식 (2.81)로 표현된다.

(2.81)

(2.82)

그림 2.30 (a) 과도 감쇠와 임계 감쇠 (b) 와 인 과소 감쇠



식 (2.81)에서는 식 (2.72)와 유사한 형태의 식을 얻기 위하여, 새로운 두 상수 와

를 도입하였으며 이들은 초기 조건에 의해 결정된다.

과소 감쇠계의 감소율은 다음과 같이 연속적인 진폭의 비로 표현된다.

(2.83)

여기서 은 바로 다음 사이클에서의 최고 진폭을 의미한다.

대부분의 기계 구조물은 감쇠비가 보통 10% 이하인 과소 감쇠를 나타낸다. 식 (2.82)

를 통해 10%의 감쇠비에 대한 과 의 차이는 약 0.5%임을 알 수 있다. 따라서 해의

복잡성에 비해 감쇠가 고유 진동수에 크게 영향을 주지 않기 때문에, 일반적으로 모드

해석에서는 감쇠를 고려하지 않는다.

실제로 보 구조물은 [그림 2.31]과 같이 3차원 스프링과 감쇠기에 의해 서로 연결된

일련의 질량으로 표현할 수 있다. 여기서 각각의 질량은 6 자유도(degree of freedom, 미지

수 하나 하나를 일컬음 - 역주 )를 가진다. 즉, 각 질량을 전체 시스템 내에서 매 순간 그

위치를 정의하기 위해 세 개의 병진과 세 개의 회전 자유도가 필요하다. 물론 이들 중 많

은 자유도는 기하학적 형상 또는 경계 조건에 의해 구속될 수 있다. 이처럼 일반화된 좌

표계 집단은 구속을 반영할 수 있으므로 일반적인 운동을 표현할 수 있다. 이 좌표계 집

단은 시스템을 동적으로 정의하는 데 필요한 최소한의 좌표계 개수를 가지며, 그 수는

전체 시스템의 자유도와 같아야 한다.

시스템에 자유도를 추가하면 고유 진동수가 추가로 생성된다. [그림 2.32]는 이 절의

앞부분에서 설명한 외팔보의 1차 고유 진동 모드 형상과 세 개의 고차 진동 모드 형상을

보여준다.

그림 2.31 3차원 스프링과 감쇠기로 구성된 이산화 모델



그림 2.32 외팔보의 모드 해석과 네 개 저차 고유 모드

연속체 구조물은 본질적으로 무한개의 자유도를 가진다. 보에 대한 무한개의 모드는

수학적으로 유도할 수 있다. 그렇지만 매우 복잡한 구조물에 대해서는 앞에서 설명한 보

와 같이 시스템을 유한 개의 요소로 이산화(discretizing)시켜야만 근사해를 구할 수 있

다. 이것이 유한요소해석의 기본 개념이다.

이 개념을 정확히 이해하기 위하여 아주 단순한 진동계를 고려해 보자. [그림 2.33]은

비감쇠 2 자유도 진동계를 나타낸다. 이 진동계의 자유 진동 운동 방정식은 다음 행렬식

으로 표현된다.

그림 2.33 2자유도 진동계



=

=

(2.84)

여기서 은 질량 행렬이고 는 가속도 행렬, 는 강성 행렬, 는 변위 행렬이다.

진동계의 진동을 조화 운동으로 가정하여 다음 식으로 표현한다.

= = (2.85)

여기서 과 는 각각 질량 과 의 진폭이고, 는 진동계의 고유 벡터

(eigenvector) 또는 고유 모드(eigenmode)이다. 이 해를 식 (2.84)에 대입하면 다음과 같

은 행렬식이 된다.

=

= (2.86)

식 (2.86)을 만족하는 각각의 고유 벡터 는 해당 고유 진동수에서 진동계의 고유 모

드 형상을 나타낸다. 고유 벡터의 개수는 진동계의 동적 자유도 개수와 같다. 또한 진동

계의 강체 운동을 의미하는 영(0) 고유 벡터는 일반적으로 자명한 해(trivial solution)라

고 하는데, 물리적으로 의미를 가지는 자명하지 않은 해(nontrivial solution, 즉, ≠)

를 얻기 위해서는 식 (2.87)의 행렬식(determinant)이 0이 되어야 한다.

⌊ ⌋ (2.87)

2 자유도 진동계에 있어서 식 (2.87)은 에 대한 2차 방정식이다. 이 2차 방정식의

근은 시스템의 고유 진동수이며 포괄적인 의미로 고유치(eigenvalue)라고 한다. 따라서

2 자유도 진동계는 두 개의 고유 진동수를 가지며 각각에 대응되는 두 개의 고유 모드

를 가진다.

[그림 2.36]과 같은 진동계나 여타 모든 선형 탄성계의 임의 시점에서의 변형된 형상

은 다음 식과 같이 모든 고유 모드의 선형 조합으로 표현할 수 있다.

(2.88)



여기서 는 시스템의 모든 고유 벡터 로 이루어진 고유 모드 행렬이며, 는 시스템

의 모든 모드 변위 로 이루어진 모드 변위 벡터이다. 이 는 시스템의 주좌표들

(principal coordinates)로서 모드 공간(modal space, 고유 모드들의 선형 조합으로 표현 가능한

모든 변형 형상들의 집단 - 역주 ) 을 정의한다.

비감쇠 자유도 시스템을 풀기 위해 앞의 행렬 표현법을 확장해서 사용할 수 있다.

이러한 행렬들을 이용하여 대부분의 진동 시스템의 운동 방정식을 유도할 수 있다. 그

중에서 가장 주목할 만한 방법은 Rayleigh-Ritz 기법(최소 포텐셜 에너지 원리에 기초한 근

사 해를 구하는 하나의 수치 기법 - 역주 )이다. 그러나 어떤 기법을 사용하든 이 증가함에

따라 행렬의 연산 횟수는 으로 증가한다. 그러므로 다수의 자유도를 가지는 시스템을

수작업으로 계산하는 것은 비현실적일 뿐만 아니라, 대형 구조물에 대해서는 사실상 계

산이 불가능하다. 그렇지만 유한요소해석을 이용하면 대형 행렬의 해를 매우 효율적으로

구할 수 있다.

이 절의 나머지 부분은 강제 응답 해석에 초점을 맞추고 있다. 어떤 부품을 적절한 진

동수로 진동시키면, 입력 효과가 증폭되어 조기 파괴 또는 대형 파괴를 야기할 수 있다.

그러므로 시스템의 고유 진동수를 운영 진동수로부터 멀어지도록 설계하거나, 진동 시스

템을 급격히 증폭시키는 가진 모드를 찾는 것이 해석의 목적이 될 때가 많다. 이러한 경

우에 모드 해석은 문제를 성공적으로 해결하는 데 필수적이다.

모드 해석은 모드 형상 자체를 구하기 위해서도 자주 사용된다. 시스템의 운영 진동수

에서의 변형 모양이 시스템의 취약한 부분에 영향을 미치지 않으면 큰 염려를 할 필요가

없다. 반대로 초음파 용접 장비나 음향 기기와 같은 특정 제품의 경우에는 원하는 동적

변형이 운영 진동수에서 발생하도록 설계하는 것이 목표이다.

주파수 응답 해석

시스템이 알고 있는 진동수로 외부로부터 가진될 경우, 시스템의 고유 진동수를 운영

진동수 범위를 벗어나도록 설계하는 일이 불가능할 수도 있다. 이러한 경우에는 강제 진

동으로 시스템을 평가할 필요가 있다. 가진이 시간에 따라 변하지 않으면 시스템은 운영

진동수에서 정상 상태 응답을 나타내며, 이것을 주파수 응답 해석(frequency response

analysis)이라고 한다. 이 해석의 결과는 일반적으로 시스템의 변위와 속도, 가속도이며,

이들은 구조물의 힘과 응력을 계산할 때 사용될 수 있다.



그림 2.34 조화 가진을 받는 1 자유도 감쇠계

이 개념을 설명하기 위해 [그림 2.34]와 같이 조화 가진(harmonic excitation)을 받는

1 자유도 감쇠계를 고려한다.

위 시스템에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

(2.89)

이 식은 식 (2.5)에서 외력이 강제 조화 함수 인 경우이며, 여기서 는

가진의 진폭이고 는 가진 진동수(driving frequency)이다. 이 식을 자유 진동을 유도하

는 과정과 동일한 방법으로 다음과 같이 표현한다.

(2.90)

위 식의 해는 두 개의 부분 해로 구성된다. 하나는 식 (2.81)과 같이 시간과 더불어 소멸되

는 자유 진동 해인 과도해(transient solution)이고, 다른 하나는 완전한 방정식에 대한 임

의 해인 정상 상태 해(steady state solution)이다. 자유 진동 방정식 유도에 사용된 해와

유사한 형태의 해를 가정하면, 과소 감쇠 시스템에 대한 해는 다음 식으로 표현할 수 있다.

(2.91)

여기서 는 정상 상태 해의 무차원 진폭비 또는 확대 계수(magnification factor)이고, 는 이 해의 위상각(phase angle)이다. 이 계수들은 다음 식을 이용하여 구할 수 있다.

(2.92)

(2.93)



그림 2.35 다양한 감쇠비에 있어 진동수 비에 따른 확대 계수 및 위상각의 변화

[그림 2.35]는 여러 가지 감쇠비 에 대해서, 진동수비 에 따른 및 의 변화

를 나타낸다. 공진은 인 점에 해당되고, 공진 진동수는 고유 진동수(natural

frequency)와 같은 개념의 용어이다. 감쇠가 작은 경우에는 시스템이 공진 진동수에 접근

할수록 진폭비는 발산한다. 과도한 진폭은 바람직하지 않으므로 운영 진동수가 시스템의

고유 진동수로부터 멀리 떨어져 있음을 확인하거나, 그렇지 않은 경우 시스템에 감쇠를

추가해야 한다. 이것은 보통 점탄성 재료로 제작한 감쇠재를 부착하여 해결할 수 있다.

가진 진동수가 0이 되면 진폭비는 1(정적 해)이 되고, 가진 진동수가 무한대가 되면 진폭

비는 0이 된다. 이 놀라운 사실은 매우 중요하다. 즉, 가진 함수(driving function)의 진폭

에 상관없이 시스템을 아주 빠르게 진동시키면 그 응답은 0이 된다.

위상각은 0부터 180°까지 변할 수 있으며, 이것은 사이클상에서 정상 상태 응답이 가

진 함수 보다 지연되는 정도를 나타낸다. 입력 진동수가 0부터 무한대까지의 범위인

경우 시스템 응답은 입력 위상과 완전히 일치하는 경우(0° 지연)로부터 완전히 벗어나는

경우(180° 지연)까지 연속적으로 변하며, 공진에서는 위상각이 항상 90°를 통과한다. 또한

감쇠가 작은 경우에는 시스템의 응답이 언제나 입력 위상과 일치하거나 벗어나 있으며,

공진에서는 급격한 위상 변이가 발생한다.



시스템 감쇠비

탄성 범위 내 금속 < 0.01

조인트가 있는 금속 구조물 ~ 0.03

알루미늄 또는 강 전송선 ~ 4×10－4

자동차 완충기 ~ 0.3

고무 ~ 0.05

지진 상태의 대형 건물 0.01 ~ 0.05

표 2.3 대표적인 감쇠비

앞의 설명에서 자유 진동 해석에서는 감쇠를 무시할 수 있는 것으로 가정했지만, 강제

진동 해석에서는 감쇠가 큰 역할을 하므로 간과할 수 없다. 시스템 전체의 감쇠는 결정

하기가 매우 어려운 값이다. 식 (2.83)을 사용할 수는 있지만 정확한 값은 아니다. 감쇠

값을 정확하게 구할 수 있는 유일한 방법은 실험이며, 고무망치로 충격을 가한 후 자유

진동의 감소로부터 구할 수 있다. 대표적인 감쇠비를 [표 2.3]에 수록하였다.

자유 응답과 비슷한 유도 과정을 적용하면, 자유도 시스템에 대해서도 앞서의 개념

을 모두 행렬 형태로 확장할 수 있다. 식 (2.86)과 동등한 행렬 방정식은 다음과 같다.

(2.94)

여기서 는 가진 진동수이고 는 시스템의 감쇠 행렬, 는 일반화된 좌표계로 표

시한 변위 벡터, 는 강제 함수 벡터이다. 이 행렬 방정식은 유한요소해석으로 풀

수 있으며, 이러한 공식을 이용하는 것을 직접 주파수 응답 해석(direct frequency

response analysis)이라고 한다.

한편, 자유도 시스템을 푸는 다른 방법은 식 (2.88)을 이용하여 식 (2.94)를 모드

공간 ( )으로 변환시키는 것이며 다음 식으로 표현된다.

(2.95)

이 방법을 모드 주파수 응답 해석(modal frequency response)이라고 하며, 일반화된

좌표계 대신에 구조물의 모드 형상을 이용하여 방정식을 표현한 것이다. 식 (2.95)를 풀

기 위해서는 구조물의 모드 형상을 먼저 구해야 한다. 물론 많은 수의 자유도를 가진 시

스템에 대해서는 이 방법을 적용할 수 없다. 그러나 적어도 시스템의 최고 운영 진동수



의 두세 배 되는 진동수 범위 내의 모든 모드만으로 가능한 경우에는 식 (2.95)를 이용

하는 것이 좋다. 왜냐하면 대부분의 경우 이 모드 수는 시스템을 표현하는 일반화된 좌

표 수보다 적기 때문이다. 즉, 이 방법을 사용하면 직접 해석보다는 정확하지 않더라도

매우 효과적으로 해를 구할 수 있다.

유한요소해석 프로그램에 따라 주파수 응답 해석 기법을 선택할 수 있다. 만약 모델이

작거나 짧은 시간 동안 가진 진동수를 받거나, 아니면 높은 가진 진동수를 받는 경우에

는 직접 주파수 응답 해석을 적용해야 한다. 또한 높은 수준의 정확도가 필요할 경우에

도 이 방법을 적용해야 한다. 반면에 모델이 크거나 가진 진동수가 많은 경우에는 모드

주파수 응답 해석을 선택하는 것이 좋다.

과도 응답 해석

동적 시스템이 시간에 따라 변하는 가진을 받으면, 시스템의 응답 또한 시간에 따라

변한다. 과도 응답 해석(transient response analysis)은 시간 영역에서 시스템 응답을 구

하는 것이다. 이 해석의 결과는 시스템의 변위와 속도, 가속도이며, 이들은 시스템의 힘

과 응력 계산에 사용될 수 있다.

지금까지 이 절에서 설명한 모든 개념과 유도 과정을 종합하여 과도 응답 해를 구할

수 있다. 자유도가 인 시스템에 있어서, 행렬 형태의 일반적인 운동 방정식은 다음과

같이 잘 알려져 있다.

(2.96)

직접 과도 응답 해석(direct transient response analysis)에서는 직접적인 수치 적분을

이용하여 이 식의 해를 구한다.

식 (2.88)을 이용하여 위 식을 모드 공간 으로 변환하면 위 식은 다음과 같이 변

형된다.

(2.97)

이 식은 모드 과도 응답 해석(modal transient response analysis)을 위한 지배 방정식

이며, 수치 적분과 각 모드 응답의 합을 이용하여 해를 구한다. 모드의 개수가 완전치 않



으면 식 (2.97)을 통해 얻은 결과는 단지 근사치에 불과함을 유념해야 한다. 이 근사치가

유효하기 위해서는 과도 하중(transient load)의 진동수를 평가하여 차단 진동수(cutoff

frequency)를 결정해야 한다. 차단 진동수란 어떠한 모드도 이 진동수보다 높은 진동수에

서는 눈에 띄게 가진되지 않는다. 따라서 차단 진동수 이상의 모드들은 모드 과도 응답

해석에서 제외시킬 수 있다.

주파수 응답 해석에서와 마찬가지로, 유한요소해석 프로그램에 따라 과도 응답 해석을

수행하는 기법을 선택할 수 있다. 모델이 작거나 짧은 시간 동안 가진 진동수를 받거나,

높은 가진 진동수를 받는 경우에는 직접 과도 응답 해석을 적용해야 한다. 또한 높은 수

준의 정확도가 필요하다고 생각되는 경우에도 직접적인 방법을 적용해야 한다. 그러나

모델이 크거나 가진 진동수가 많은 경우에는 모드 과도 응답 해석을 적용하는 것이 좋다.

식 (2.89)에서의 정상 상태 조화 강제 함수는 시간에 대해 명확하게 정의되는 함수이

다. 이 함수를 구조물에 적용할 경우에는 정상 상태 응답에 도달하기 전까지 어느 정도

의 정착 시간이 필요하다. 이 정착 시간은 식 (2.91)의 우변 첫 번째 항에 영향을 받는다.

정상 상태 이전의 초기 응답에 관심이 있다면 과도 응답 해석을 수행해야 한다. 물론 이

해석의 결과는 식 (2.91)의 우변 두 항을 모두 포함한다. 이러한 이유 때문에 주파수 응

답 해석은 단순히 과도 응답 해석의 한 부분으로 고려될 수 있으며, 과도 응답 해석 자체

는 강제 응답 해석의 가장 일반적인 형태로 간주할 수 있다. 그러나 과도 응답해가 관심

사항이 아니라면, 주파수 응답 해석이 훨씬 더 적절하고 효율적이다. [그림 2.36]은 정현

파(sinusoidal) 강제 함수가 자유단에 작용하는 외팔보에 대한 과도 응답을 보여준다.

그림 2.36 자유단에 조화 가진 하중을 받는 외팔보의 과도 응답



과도 응답 해석에서 가진은 정해진 시간 내에 특정한 진폭을 가지는 하중 또는 가속

도, 변위가 될 수 있다. 입력 하중의 부하 및 제거 시간 그리고 기울기 등은 시스템의 동

적 응답에 중요한 영향을 미칠 수 있다. 전술한 바와 같이 고무망치 타격을 통해 시스템

을 가진하는 구조 감쇠 실험은 과도 응답을 구하는 것이다. 이들 연구는 주파수 응답 해

석을 수행하기 전에 해석 모델의 감쇠 값을 결정하기 위해 사용될 수 있다.

과도 하중을 받는 동적 시스템의 설계에 있어 하중 작용 시간과 시스템의 고유 주기를

비교하는 것도 종종 도움이 된다. 만약 두 값이 서로 비슷하다면 이 하중에 대한 응답을

우선 해석적으로 평가해 보아야 한다. 일반적으로 과도 해석은 몇 사이클에 한정되어 수

행된다. 만약 보다 긴 시간에 대한 과도 응답이 요구되는 경우에는 주파수 응답 등 다른

방법을 사용해야 한다.

2.7 요약

이 장은 휴대용 계산기나 사전과 같은 소도구로 생각하는 것이 좋다. 이것만 가지고

복잡한 해석을 수행하거나 모든 공학적 조건을 정의할 수 있을 것으로 기대해서는 안 된

다. 그러나 해석 수행에 많은 도움을 주는 간편한 지침서로서, 이 장에서 설명한 기본적

인 공학 기초 이론은 해석의 모든 단계에서 참조가 될 수 있을 것이다.

유한요소해석의 시작 단계에서는 문제의 본질을 파악하는 시간을 항상 가져야 한다.

이렇게 하는 것이 나중에 불필요한 계산을 줄일 수 있으므로 오히려 해석 시간을 최소화

할 수 있다. 해석을 지배하는 기초 원리는 무엇인가? 어떻게 그것들을 정성화하고 정량

화할 것인가? 때로는 간단한 수작업 계산으로 문제를 전부 풀 수 있는 경우도 있기 때문

에 시작 단계에서 이러한 가능성을 놓쳐서는 안 된다.

유한요소해석 모델을 설정할 때는 필요로 하는 해석 결과를 상상해볼 필요가 있다. 모

델의 기하학적 형상과 경계 조건은 어떠한 응력 상태를 만들어낼 것인가? 굽힘 현상이

발생하는가? 비틀림은 어떠한가? 기하학적 형상을 다루기 쉬운 형태로 단순화 또는 분리

할 수 있는가? 응력 상태와 더불어 그 크기까지도 예측해 본다. 이것이 해석 결과를 평가

할 때 매우 중요한 과정임을 알게 될 것이다.



다음으로 경계 조건이 제대로 정의되었는지 확인한다. 항상 자유 물체도를 그려보고

평형 상태를 평가한다. 구속 조건을 정의할 때 예상치 않았거나 원하지 않는 반력이 포

함되지는 않았는가? 하중을 부여하는 과정에서 해석 모델의 강성이 변하지는 않았는가?

시스템의 어떤 부분을 해석 모델에서 제외하기로 결정했다면 그 이유를 명확하게 설명할

수 있어야 한다.

앞에서 언급하였듯이 유한요소해석을 통해 결과를 구했으면, 개략적인 수작업 계산 결

과와 비교하여 근접한 결과인지 확인해야 한다. 두 결과의 차이가 현저하면 면 한 검토

가 필요하다. 공학적 해석은 오래 전부터 사용되어 왔지만 유한요소해석은 비교적 새로

운 도구이다. 유한요소해석을 신중하게 사용한다면 원하는 결과를 효과적으로 구할 수

있다. 그러나 다른 도구들과 마찬가지로, 유한요소해석도 맹목적으로 사용한다면 큰 오

차를 유발시킬 수 있다.

이 장에서는 의도적으로 그 내용을 간결하게 설명하였다. 이 장은 유용한 참고 자료의

역할뿐만 아니라, 공학의 기본적인 개념을 상기시키거나 소개하는 것에 목적을 두었다.

따라서 대학 교재나 소프트웨어 매뉴얼 등을 활용하여 이 주제들을 보다 깊게 탐구할 것

을 권장한다. 공학과 물리학에 대해 충분한 기초 지식을 가진다면, 유한요소해석을 활용

한 제품 설계에서 성공할 수 있을 것이다.


Chapter

03

유한요소해석의 능력과 한계

2장에서는 공학 설계를 위해 필요한 가장 기본적인 이론들을 설명하였다. 일부 구

조물은 하나의 식 또는 여러 수식의 조합으로 정확하게 표현할 수도 있지만, 대부분

의 구조물은 형상이 매우 복잡할 뿐더러 다중 응력(multiple stress) 상태에 있다. 따

라서 유한요소해석은 이러한 복잡한 구조물의 성능을 상당한 정확도로 예측할 수 있

는 유일한 방법이다. 실제로 유한요소해석은 고전적인 방정식의 적용 한계를 극복하

여 Hooke 법칙을 복잡한 구조물로까지 확장시킨다. 공학적 설계 도구로서 유한요소

해석의 잠재력은 사용자의 노력과 창의력에 따라 극대화될 수 있고, 수 페이지에 달

하는 수작업 계산 결과보다 단순한 유한요소해석의 결과가 보다 신뢰할 수 있는 것

으로 인식된다. 그러나 중요한 것은 유한요소해석은 근사적 방법이라는 것이다. 단순

한 보 계산이나 에너지 평형을 복잡한 프레임에 적용할 때와 마찬가지로, 유한요소

해석에서도 가정은 필수적이다. 따라서 해석 방법에 무관하게 해의 정확도는 항상

모든 가정의 타당성에 좌우된다.



3.1 실제 거동과 유한요소해석 결과

문제 해결을 위해 유한요소해석을 제안할 때 가장 흔하게 받는 질문은 ‘해석 결과가

얼마나 정확한가?’이다. 이 질문은 설계자와 엔지니어, 심지어 관리자가 하나같이 던지는

가장 중요한 질문 중 하나이다. 비해석자나 해석 초보자는 보통 이 질문을 ‘현장에서 경

험하는 실제 현상을 컴퓨터 화면상에서 과연 재현할 수 있을까?’ 정도로 이해하지만, 경

험이 많은 해석자는 ‘내가 원하는 답을 정확하게 구할 수 있는가?’라는 의미로 인식한다.

이보다 더 나은 의미는 ‘완전한 답을 구하기 위해 올바른 데이터를 완벽하게 입력할 수

있을까?’이다.

대부분의 경우 부품이나 시스템의 실제 성능과 유한요소해석 시뮬레이션을 통한 평가

사이에는 차이가 발생하기 마련이다. 차이가 존재한다는 것은 자명하지만 그 차이를 감

지할 수 없거나, 스트레인 게이지나 가속도계와 같은 특별한 측정 장비가 필요할 만큼

미세한 경우도 많다.

유한요소해석 결과가 실제와 차이가 생기는 데는 많은 이유가 있다. 물론 2장에서의

기본적인 역학과 유한요소해석 사이의 등가 관계는 충분히 입증되었기 때문에 이론적으

로는 다를 이유가 전혀 없다. 그리고 대부분의 해석 프로그램은 실험 결과 또는 이론해

와 해석 결과가 잘 일치하는 검증 예제들을 제공한다. 그렇다면 왜 대부분의 해석 결과

가 현장의 실험 결과와 일치하지 않을까? 그 원인은 해석자가 정확도(accuracy)를 분석

하는데 있어, 구조물의 거동과 연관된 의문점을 충분히 그리고 올바르게 분별하지 못하

기 때문이다. 그러나 가정과 미지수들의 본질을 분별할 수 있게 되면, 유한요소해석으로

부터 보다 쉽게 유용한 설계 정보를 추출하게 될 것이다.

탄성계수 ＝ 3.0×107psi

포아송 비 ＝ 0.30질량 밀도 ＝7.22×10

-4lbm/in

3

그림 3.1 외팔보 형상


Chapter 3 유한요소해석의 능력과 한계 73

단순 외팔보에 대한 이론적 계산과 유한요소해석을 비교해 보면, 유한요소해석 결과가

이 보의 실제 거동과 다를 수밖에 없는 많은 이유들을 발견할 수 있다. 해석 프로그램에

입력되는 각종 계수와 데이터에 내포된 가정(assumption)은 오차의 원인이 된다. 특히

재료 물성치는 대표적인 예들 중의 하나이다. 표준 강재의 재료 물성치를 참고문헌에서

찾아보면 탄성 계수가 29×106로부터 33×106

까지 13.8%의 편차를 가지는 것을

쉽게 발견할 수 있다. 일반적으로 재료 물성치는 원재료 또는 제작 방법에 따라 탄성 계

수가 최대 두 배까지 차이가 날 수 있다. 사출 성형 부품은 몰드 패킹이나 냉각, 유동 방

향, 충진재 방향, 작동 온도, 변형률 속도 등에 기인하여 강성이 변한다. 주물은 다공성

(porosity)과 균질성의 문제를 가지고 있다. 스탬핑은 냉간 가공과 표면 처리로 인해 강

성의 변화가 생길 수 있다.

기하학적 형상은 대부분의 해석에서 오차의 또 다른 원인이 된다. 단순 보를 예로 들

면 입력 데이터로 길이와 폭, 두께를 요구한다. 이러한 구조용 강재에 있어서 폭과 높이

는 인치의 공차를 가지는 것이 보통이다. 보 모델이 가지는 또 다른 가정은 보가 하중과

지지대에 대해 수직하다는 것이다. 하지만 이 수직성에서 벗어난 만큼 하중은 보의 축

방향으로 기울게 되므로, 부품에 작용하는 하중의 실제 수직 성분은 줄어들게 된다. 또한

보 단면이 보의 축과 직교하지 않으면, 유효 관성 모멘트가 증가하게 되어 보의 강성을

실제보다 크게 한다.

펌프 하우징이나 엔진 커넥팅 로드와 같이 실제 복잡한 형상을 고려해 보면, 형상을

정의하기 위해 엄청난 량의 치수가 필요하며 각각은 공차를 가진다. CAD 솔리드 모델은

일반적으로 공차를 무시한 표준 치수로 모델링되고, 가공 작업이 형상 데이터를 받아

CAM 방식으로 수행되면 대부분의 치수는 공차 내에 있을 확률이 높다. 그러나 대부분

복잡한 부품은 조립에 필요한 중요 치수만 점검하고, 나머지 부분은 외관상 문제가 없으

면 승인하는 것이 보통이다.

3차원 좌표 측정기(3D Coordinate Measuring Machine, 3D CMM)로도 검사하기 힘든

복잡한 곡선상의 치수는 어떻게 할 것인가? 이러한 경우는 대체로 시각적으로 판단하여

외형상 문제가 없고 조립상 다른 부분과 간섭을 일으키지 않으면 만족스러운 것으로 받

아들인다. 최근 레이저 스캐닝 기술은 복잡한 부품 형상의 불일치에 대한 상세한 데이터

를 제공한다. [그림 3.2]는 3차원으로 레이저 스캐닝한 부품 데이터를 원래 CAD 형상에

겹친 결과를 나타낸다. 이러한 비교를 통해 설계자들은 적절하다고 승인하였던 부품 치

수의 차이에 종종 놀란다.



그림 3.2 가공한 부품을 스캐닝한 데이터와 CAD 형상과의 비교

이 논의를 유한요소해석의 정확성과 결부시키면, 형상 불일치에 따른 영향을 예측한다

는 것이 거의 불가능하다는 결론에 도달한다. 곡률 오차는 부품의 기능이나 미학적 측면

에서는 영향을 미치지 않지만 강성에는 분명히 영향을 미치며, 그 영향이 작을지라도 중

요하다. 부품 형상의 작은 변화는 스트레인 게이지로 측정한 값에서 상당한 차이를 발생

시키며, 유한요소해석 결과에 의문을 가지게 한다.

유한요소 모델은 하나의 연속체를 유한 개의 조각이나 요소로 분할한다. 1차원 형상을

예를 들면, 꼭지점에 해당하는 두 절점만을 연결한 1차 요소는 요소의 형상이 항상 직선

이고, 요소의 변위는 보간 함수(interpolation function, 한 요소 내에서 구조물의 변형을 근사적

으로 표현하기 위한 근사 함수로서, 그 차수에 따라 1차, 2차, … 차 요소라고 함 - 역주 )로 근

사된다. 꼭지점 사이에 한 개의 중간 절점을 가지는 2차 요소는 변의 형상이 직선 또는

2차 곡선이고, 요소의 변위는 2차 보간 함수로 근사된다. 일반적으로 2차 요소는 곡선 형

상을 표현할 수 있기 때문에, 변형을 보다 정확하게 근사할 수 있다. 하지만 대부분의 요

소망 생성기(mesher)들은 기본적으로 1차 요소를 사용한다.

유한요소해석 모델은 단순히 요소 생성의 범위를 넘어 실제 부품의 형상을 항상 어느

정도는 이상화시킨다. 최소한의 이상화에서는 유한요소 모델 내 필렛(fillet)과 모따기

(chamfer), 작은 특징 형상들만을 무시한다. 반면에 극단적인 이상화에서는 복잡한 단면

을 두께를 무시하고 수학적으로 1차원 보 요소로 혹은 중간 면만을 쉘 요소로 표현하기

도 한다. 즉, 단순화와 이상화로 인해 실제 형상과 모델 형상 간의 차이는 더욱 커진다.



실제 거동과 이상화된 모델로 예측한 거동 사이의 불일치는 경사진 벽을 일정한 두께

의 쉘로 모델링한 경우를 예로 들 수 있다. 또한 구멍이나 볼트, 다른 불연속적인 형상은

보 요소에서는 전혀 반영되지 않는다. 또한 인접한 쉘이나 보 사이의 조인트 또는 형상

의 변화 등도 제대로 반영하기 어렵다. 동해석 또는 중력을 포함시킨 해석에서, 쉘과 보

의 형상 간략화 또는 연결부의 중첩은 모델의 질량을 실제와 다르게 하는 요인이다.

이 절에서는 유한요소해석 결과와 실험 결과의 차이를 유발시키는 원인에 대해 언급

하였다. 이러한 원인들에 대한 분별력과 결과에 영향을 미치는 영향에 대한 이해력, 해석

결과의 올바른 공학적 판단 등은 해석 전문가가 해석 초보자에 비해 갖추고 있는 차별화

된 능력이다.

3.2 유한요소해석에서의 계산 방법

유한요소해석의 개념과 원리를 이해하고 있다면, 해석 모델을 보다 정확히 정의할 뿐

더러 가정할 수도 있다. 해석 전문가나 의욕적인 설계 해석자를 위해 유한요소해석 이론

과 행렬 유도에 관한 좋은 책들이 많지만, 여기서는 해석 기술을 이해하기 위해 꼭 필요

한 기본 이론들에 대해서만 설명한다.

단순한 모델

[그림 3.3]은 인장 스프링 조립체를 두 개의 요소로 표현한 해석 모델을 나타낸다. 두

개의 끝점과 변형 전 스프링의 강성으로 각 요소를 정의한다. 스프링의 강성은 스프링

상수 로 정의되며, 이 모델에서 스프링 상수는 왼쪽부터 오른쪽으로 각각 과 로

표시하였다.

그림 3.3 두 개의 스프링 조립체



스프링의 방향을 기준 좌표계로 지정하면, 각 스프링의 양 끝점은 방향으로의

변위 또는 이동만이 허용된다. 각 끝점의 변형 전 상태로부터의 위치 변화는 변수 로

정의할 수 있다. 여기서 는 끝점을 의미하며, 왼쪽에서 오른쪽으로 0, 1, 2의 번호를 부

여한다. 따라서 각 끝점의 초기 상태 위치는 각각 , , 가 될 것이다. 이 조립체에

서 맨 왼쪽 끝점 0을 구속함으로써, 이 조립체는 공간상에서 강체 운동이 구속되며 항상

이다. 이 모델의 정의에 필요한 다른 것은 방향으로 구속되지 않은 각 스프링

의 끝점에 작용하는 힘이다. 이 힘들은 끝점의 위치에 따라 간단히 , 로 표시한다.

앞에서 정의한 매개 변수들을 이용하여 스프링의 거동을 예측하기 위해 다음과 같이

1차 스프링 방정식을 사용한다.

(3.1)

여기서 는 스프링의 변형 전 위치로부터의 길이 변화를 의미한다. 앞에서 정의한 스프

링 매개 변수를 사용하고 힘의 평형을 적용하면, 스프링 각 끝점의 변형은 다음과 같이

표현된다.

(3.2)

(3.3)

그러므로

(3.4)

(3.5)

이고, 이 연립 방정식을 행렬 형태로 표시하면 다음과 같다.

=

(3.6)

이 모델에서 재료 물성치와 형상에 기인하는 강성 과 는 미리 알 수 있으므로,

입력 하중 과 가 주어지면 스프링 조립체의 변형량 과 를 계산할 수 있다.



위 식은 스프링 조립체의 역학적 거동을 표현하고 있지만, 유한요소해석에서 사용되는

주요한 용어를 내포하고 있다. 식 (3.6)의 행렬 표현과 연관시켜 다음에 소개하는 용어들

에 익숙해져야 한다.

식 (3.7)과 같이 스프링 강성으로 구성된 행렬을 유한요소해석에서 특별히 강성 행렬

라고 한다.

(3.7)

두 개의 스프링으로 구성된 시스템에 대한 강성 행렬은 상대적으로 간단하다. 그러나

스프링의 개수가 늘어나고 배열된 방향이 2, 3차원이 되면 강성 행렬은 복잡해지며, 1차

원 스프링 요소는 2차원 또는 3차원 요소로 확장되어야 한다.

자유도는 절점 이동과 하중 전달 능력과 연관된 용어이다. 이 모델에서는 스프링 기준

좌표에서 성분의 변위와 하중만 가지고 있다. 이 모델의 세 개의 끝점 또는 절점에는

각각 1 자유도가 허용되어, 전체 모델은 총 세 개의 자유도를 가진다. 끝점 한 개를 구속

하면 해당되는 자유도 한 개가 모델로부터 제거되므로, 시스템은 2 자유도 모델이 된다.

모델에서 자유도의 수는 그 모델의 거동을 지배하는 방정식의 수를 나타내며, 모델 크기

를 나타내는 지표가 된다.

경계 조건은 모델이 물리적으로 의미를 갖는 유일한 해를 갖도록 하는 조건이다. 이

모델에서 경계 조건은 구속 조건 와 입력 하중 과 이다. 경계 조건으로 힘

대신 변위 를 지정할 수 있으며, 이렇게 되면 모델로부터 하중을 구하는 문제로 바뀐

다. 어느 경우이든지 경계 조건을 부과하면 시스템의 미지수(자유도)는 경계 조건 개수만

큼 줄어든다.

이 모델에서 요소망은 절점이라고 하는 각 스프링의 두 끝점과 요소(element)라고 하

는 두 끝점을 연결한 강성을 가진 직선으로 구성된다. 절점과 요소, 요소망에 대한 개념

은 이 책의 여러 곳에서 매우 자세하게 논의될 것이다.

각각의 스프링은 단지 늘어나거나 압축될 수 있고 항상 선형을 유지하는 것으로 가정

하고, 이 가정에 기초하여 스프링의 최종 변형을 계산할 수 있다. 요소의 변형을 가정한

수학적인 함수를 형상 함수(shape function)라고 한다. 1차원 스프링 요소의 형상 함수는



간단하지만, 2차원 또는 3차원 요소에 대한 형상 함수는 복잡해지고 앞서 설명한 2차 요

소는 훨씬 더 복잡한 함수가 된다. 신축뿐만 아니라 굽힘도 가능한 1차원 요소의 형상

함수는 변위뿐만 아니라 변위의 기울기도 표현할 수 있어야 한다. 기울기는 수학적으로

단순히 변위의 1차 미분으로 정의되지만, 유한요소해석에서는 기울기 역시 형상 함수가

필요하다. 형상 함수의 계수, 즉 미지수는 해석 모델의 위치 에너지(potential energy)와

외력에 의한 총 일의 차이가 최소가 되는 최소 에너지 이론을 적용하여 계산한다.

일반적으로 구조물에 대한 해석 오차는 두 절점 사이에서 형상 함수와 실제 변형 형상

이 얼마나 일치하느냐에 좌우된다. 따라서 두 절점 사이의 거리가 줄어들수록 형상 함수

와 실제 변형 형상과의 차이는 줄어든다.

유한요소해석에서 보다 작은 요소를 사용하거나, 고차의 형상 함수를 사용하여 해석

오차를 줄여가는 과정을 수렴이라고 한다. 일반적으로 이 과정은 형상이 급격히 변하는

모델의 국부 영역 또는 오차가 상대적으로 큰 국부 영역의 요소 도를 증가시키거나 요

소 차수를 높임으로써 달성된다.

3.3 적합성과 정확성

Douglas Adams의 소설 ‘The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy(Balantine Books,

1995)’에 다음과 같은 이야기가 나온다. 당시 가장 뛰어난 슈퍼컴퓨터인 ‘Deep Thought’

로 하여금 ‘인생과 우주, 만물’에 대한 답을 계산하도록 하였고 이 컴퓨터는 오랜 시간에

걸쳐 자체적으로 계산을 수행하였다. 마침내 컴퓨터는 사람들이 이 답을 좋아하지 않을

것이라는 경고와 함께 ‘인생과 우주, 만물’에 대한 해답은 ‘42’라고 선언하였다. 그 답에

대한 설명을 요구했을 때, ‘Deep Thought’는 해답은 정확했지만, ‘사람들이 자신에게 한

질문을 정확히 이해하지 못하고 있다’고 응답했다.

이 이야기는 많은 유한요소해석 초보자들이 경험하는 것과 매우 유사하다. 컴퓨터의

크기와 가격에 상관없이, 서툴고 부정확한 입력 데이터를 입력하면 그 해석 결과는 의미

없는 것이 될 것이다. ‘Deep Thought’가 응답한 ‘42’가 사람들이 찾고 있던 답이 아님을

깨닫는 것은 쉬운 일이지만, 유한요소해석 결과에서 오류를 찾아내는 일은 매우 어려울

수 있다. 유한요소해석에서 믿을 만한 소프트웨어를 사용하면 계산은 항상 정확하지만

입력 데이터의 잘못으로 인한 오류는 피할 수 없다.



적합한 해

적합한 해(correct answer)는 실제 현장에서 부품이나 시스템을 운영하는 사람들이 예

상하는 해답을 의미한다. 유감스럽게도 적합한 해는 변경이나 오차를 허용하지 않는 엄

격한 개념이다.

정확한 해

유한요소해석에서 정확한 해(accurate answer)는 재료의 특성치와 형상, 경계 조건 설

정에 따라 구할 수 있는 최상의 결과, 즉 정의한 해석 모델에 대한 정해를 의미한다. 일

반적으로 정확도의 수준은 오차를 줄이기 위해 필요한 수렴 또는 요소망의 세 화와 관

련된다. 한편 구속 또는 하중 설정에 기인한 모델의 엉뚱한 거동을 제거하기 위해서 경

계 조건을 미세 조정할 필요가 있다. 물론 미세 조정된 경계 조건이 문제에 대한 이상적

인 경계 조건일 필요는 없다. 하지만 해석 모델에 적용한 경계 조건이 실제에 근접할수

록 유한요소해석 결과도 적합한 해에 근접한다.

이 절에서 계속해서 반복되는 중요한 개념은 적합한 해는 구하기 어렵고, 비용이 많이

들며 심지어 계산이 불가능하다는 것이다. 그 이유는 부품과 재료의 공차나 하중의 변동

성 때문에 정확한 입력 데이터를 구하는 것과 해석 프로그램에 올바르게 적용하는 것이

불가능하기 때문이다. 그러나 입력한 데이터에 대한 가정을 이해한다면, 유한요소해석을

통해 설계 결정에 도움이 되는 보다 신뢰할 수 있는 해석 결과를 확보할 수 있다.

3.4 유한요소해석에서의 주요 가정

유한요소해석 결과의 정확성에 영향을 미치는 네 가지 주요한 가정들과 가장 보편적

으로 사용되는 모델 조건인 선형 정적(linear static) 가정에 대하여 논의한다.

네 가지 주요한 가정

앞에서 설명한 것처럼 구조와 전자기, 유체 유동, 제작 시뮬레이션 등과 같은 유한요소

해석을 위해서는 다음 네 가지 항목과 관련된 주요한 가정이 고려되어야 한다.



• 기하학적 형상(geometry)

• 특성치(property)

• 요소망(mesh)

• 경계 조건(boundary condition)

기하학적 형상

실제로 유한요소해석에서 CAD 형상은 요소망을 만들기 위한 템플릿(template, CAD에

서 자주 사용하기 위해 미리 정해 놓은 그림이나 이미지의 일정한 패턴 - 역주 )에 불과하다. 유

한요소해석 소프트웨어에서 솔버는 형상을 이해하는 능력이 CAD보다 못하다. 솔버는

단지 절점과 절점을 연결하는 요소만을 이해한다. 요소의 크기가 작을수록 그리고 요소

의 차수가 높을수록 형상을 보다 잘 표현한다. 해석 모델을 솔버로 보낼 때 내재된 가정

은 요소망이 해석의 목적에 적합하도록 형상을 표현하고 있다는 것이다. 따라서 불필요

한 특징 형상의 일부를 삭제하거나, 3차원 구조물을 곡면(쉘)이나 직선(보)으로 대체하는

방식으로 형상을 이상화하는 것이 보통이다.

유한요소해석을 위한 CAD 형상의 생성와 관련된 기법은 5장에서 자세히 설명한다.

특성치

유한요소해석에서 부품에 대해 단일 재료 물성치를 지정하는 것은 제조 과정에서 모

든 부품의 재료 물성치가 동일하다고 가정하는 것이다. 또한 대부분의 부품이 등방성이

고 균질하다고 가정하는 것이다. 그러나 이 가정은 일부 제조 방식에만 한정된다. 대부분

의 부품 또는 시스템의 제조 과정은 플라스틱 부품의 유리섬유 방향이나 냉간압연 판재

의 입자 방향과 같이 어느 정도 이방성을 유발시킨다.

특성치를 선정할 때는 가정의 한계를 항상 염두에 두어야 한다. 재료의 강성과 쉘 두

께, 보의 재료 물성치와 같은 특성치들은 부품의 이상화된 수준에 맞추어 결정한다. 만약

특성치의 변동을 이해하지 못하면 해석 결과를 제대로 분석하였다고 생각할 수 없다. 특

성치의 변동이 해석 결과에 예측 가능한 변화를 보인다면, 그에 맞추어 결과를 분석하는

것이 가능하다. 보의 굽힘 거동은 탄성 계수에 선형적으로 비례하기 때문에 만약 재료

강성이 ±15% 변하면 굽힘 거동도 ±15%만큼 변할 것이다. 그러나 특성치 변화에 따른

해석 결과의 변동을 그렇게 단순하게 정량화할 수 없으므로 특성치를 일정하게 가정하지

않는 것이 가장 이상적이다. 시간이 소요되더라도 특성치의 여러 가지 조합에 대해 해석



을 수행하고 해의 상한과 하한을 파악해야 한다. 극단적인 해도 구해 보아야 한다. 일련

의 가정들은 더욱 복잡해지겠지만, 해석 결과는 설계 결정에 큰 도움이 될 것이다.

유한요소해석에 보통 사용되는 특성치의 유형과 의미들은 6장에서 자세하게 설명한다.

요소망

요소망은 형상을 유한요소해석 솔버에 전달하는 수단으로, 해의 정확도는 주로 요소망

의 품질에 좌우된다. 요소망의 품질은 해석의 수렴에 의해 가장 잘 판단할 수 있다. 전체

변위는 안정된 값으로 수렴해야 하며, 특정 관심 영역의 결과들은 국부적으로 수렴해야

한다. 요소망의 품질을 좀 더 주관적으로 판단하자면, 그 외관과 시각적인 요소망의 형상

에도 좌우된다. 유한요소해석 모델링의 재미있는 특징은 요소망이 좋아 보일수록 해석

품질도 좋아진다는 것이다. 좋아 보이는 요소망이 가장 좋은 요소망이라고 할 수는 없지

만, 나빠 보이는 요소망은 대부분 문제를 야기시킨다. 좋은 요소망은 좋은 형상의 요소를

가져야 하며 보통 정삼각형 또는 정사각형이 이상적이다. 즉, 요소망 도의 변화가 부실

하거나 뒤틀린 요소가 없이 매끈하고 점진적이어야 한다. 해석을 위해 요소망이 준비되

었다는 것은 요소망이 대상 구조물의 강성이나 특성치들을 정확하게 표현할 것이라고 가

정하는 것이다.

보와 쉘과 같은 이상화된 요소를 사용하는 것은 이 요소들이 구조물의 형상을 적절히

표현하고 구조물의 거동을 올바로 표현할 수 있다는 가정을 전제로 한다. 그러나 이 가

정이 항상 옳을 것이라고 단정짓기는 어렵다. 해석 결과의 오류를 최소화하기 위해서는

요소의 유형과 요소망의 품질에 대한 가정이 미치는 영향을 이해할 수 있어야 한다. 요

소망의 생성과 품질 평가에 대한 지침은 7장에서 설명한다.

경계 조건

경계 조건의 정의는 해석 초보자 입장에서는 많은 노력이 필요한 부분이다. 명확하게

모델링할 수 없는 부품과 이 부품의 영향을 반영하기 위해 경계 조건을 사용하는 경우,

모델에 포함되지 않은 부품의 영향을 확실하게 시뮬레이션할 수 있다는 중대한 가정이

내포되어 있다. 해석 전문가들은 복잡한 구성품 사이의 상호작용을 아주 정확하게 근사

할 수 있지만, 해석 초보자는 경계 조건의 단순한 파생 효과부터 이해해야 한다.

경계 조건을 정의할 때 항상 피해야 할 부정확한 방법들도 있지만 사용 가능한 방법들

도 많이 있다. 그러나 사용 가능한 방법에 대해서도 사용자가 가정한 경계 조건을 제대



로 이해하고 있어야만 한다. 예를 들어 시간 부족으로 해석 모델을 과도하게 구속했더라

도, 해석자가 그것에 맞추어 해석 결과를 분석해야 한다는 것을 알고 있다면 틀렸다고

할 수는 없다. 이 경우 해석자는 경계 조건이 좀 더 적절했더라면, 변위가 더 적었을 것

이라는 것을 이해하고 있을 것이다. 응력 크기는 적용된 구속 조건에 따라 더 커지거나

낮아질 수 있다. 만약 경계 조건을 개략적으로 정의하였다면, 가정의 수준에 맞게 해석

결과를 분석해야 한다. 경계 조건의 유형과 기법에 대해서는 8장에서 자세하게 설명한다.

선형 정적 가정

2장에서 언급한 것처럼, 유한요소해석을 이용한 여러 유형의 구조 해석과 다양한 활용

방법이 있다. 선형 정적 해석은 공학 분야에서 가장 보편적으로 사용되고 있는 기본적인

해석 유형이다. 그 이유는 단순함과 속도, 유용성 때문이다. 해석자가 이용할 수 있는 가

장 저렴하고 기본적인 프로그램이 선형 정적 해석 프로그램이다. 비선형 해석이나 진동

해석 등은 선형 정적 해석에 비해 특별한 기술과 지식을 필요로 한다. 그러나 선형 정적

해석이 널리 사용되는 것에 비해 ‘얼마나 많은 현상이 진실로 선형이고 정적인가?’ 하는

질문은 쉽게 답할 수 없다. 이 질문에 제대로 답하기 위해서는 먼저 유한요소해석에서

이들 용어가 의미하는 것을 충분히 이해하고 있어야 한다.

선형

선형 가정에는 몇 개의 하위 가정들을 포함하며, 이 가정이 성립되기 위해서는 하위

가정 모두가 타당해야 한다. 물체 전체의 선형성 또는 비선형성을 결정하는 세 가지 주

요 항목은 다음과 같다.

• 재료 물성치

• 기하학적 형상

• 경계 조건

여기서는 이들 내용을 간단히 소개하고, 상세한 내용은 15장에서 설명하기로 한다.

재료 물성치

재료의 응력과 변형률이 선형적인 관계를 보인다면, 그 재료는 선형이라고 가정할 수

있다. 선형 재료는 응력의 관점에서 Hooke의 법칙을 따라야 한다.



(3.8)

여기서 비례 상수 를 재료의 탄성 계수라고 한다. 대부분의 강은 실제로는 재료의 항

복점까지 선형을 유지하며, 주철과 같은 다른 금속재료나 플라스틱 같은 재료는 변형률

측면에서 비교적 작은 선형 범위를 가진다. 이들 재료의 탄성 범위 거동은 변형률이 증

가함에 따라 강성이 감소하는 곡선으로 가장 잘 표현된다. 그러나 이들 재료를 선형으로

가정하고 해석 결과를 분석하는 것이 일반적이다. 선형에 가까운 조건에서는 하중에 따

른 변위는 작게 예측되고 응력은 과대하게 예측된다. 선형 해석에서 변위의 오차는 크지

않지만, 보통 기하학적 형상 강화(geometric stiffening)를 무시함에 따른 오차보다는 크

다. 과대 예측된 전단 응력을 최악의 경우로 생각할 수 있다.

기하학적 형상 강화

앞서 언급한 것처럼, 기하학적 형상 강화는 변위가 증가함에 따라 유한요소해석 결과

에 영향을 미칠 수 있다. 형상 강화의 주요 결과는 하중이 증가함에 따라 변위가 감소하

는 것이다. 이 강화의 주요 원인은 변형 중인 영역 내에서 증가한 인장 응력에 있다. 보

에서 축 방향 인장 응력 또는 쉘에서 평면 내 인장 응력이 증가함에 따라, 부품은 물리적

으로 강화되는데 이것을 응력 강화(stress stiffening)라고 한다. 재료 물성치의 변화인 변

형률 강화(strain hardening)와 혼동하지 않아야 한다. 재료 물성치로 인한 부품의 비선형

성을 평가하는 일은 간단하지만, 기하학적 강화가 부품에 영향을 미치면 측정이 불가능

하지는 않더라도 매우 어렵다. 이 영향을 반영하기 위해서는 대변형 비선형 해석을 수행

해야 하며, 관심 영역에서 선형 해석과 비선형 해석의 결과 차이가 크면 비선형 결과를

채택해야 한다.

경계 조건

선형성의 마지막 가정은 경계 조건이 하중 작용 시점부터 최종 변형 상태까지 변하지

않는다는 것이다. 하중은 크기와 방향, 분포가 일정해야 하는데, 이들 중 어느 하나라도

부품의 변형에 따라 심하게 변하면 선형 가정은 유효하지 못하다. 접촉면이나 접촉변들

은 이러한 현상의 좋은 예이다. 한 쌍의 곡면이 하중의 작용으로 접촉하게 되면, 접촉 영

역에서 반력이 발생하므로 하중 분포가 변한다. 비선형 경계 조건의 다른 일반적인 예는

하중의 방향과 그 하중이 작용하는 형상이 결합되어 있는 경우이다. 만약 형상이 심하게

변형되면, 그 결과로서 발생하는 하중 벡터의 변화는 부품의 전반적인 응력 상태를 심하

게 변화시킬 수 있다.



선형 가정 사용

실제로 적당한 수준의 비선형성을 가지는 많은 문제들은 선형 해석으로 만족스럽게

풀린다. 해석자가 비선형성의 세부 사항을 이해하고 해석 결과 분석을 조정한다면 대개

선형 가정은 유효하다. 선형 해석에서 비선형성을 다루는 또 다른 일반적인 수단은 안전

계수를 사용하는 것이다. 네 가지 주요 가정 중 하나 이상의 불확실성 때문에 안전 계수

가 높아졌다면, 선형에 가까운 해에 있어 비선형 오차는 무시할 수 있다. 선형 가정으로

결과 분석을 시작하기 위해서는 다음 두 가지가 선행되어야 한다. 첫째로 비선형성의 가

능성을 인식하고 검증해야 하고, 둘째로 비선형 문제가 부품의 거동에 미치는 영향을 이

해하고 있어야 한다. 고도로 변형되는 박판 부품이나 작은 선형 영역을 가진 재료를 사

용할 경우, 선형 가정의 중요성을 이해하는 과정이 반드시 필요하다. 비선형 해석 전문

가가 될 필요는 없지만, 이러한 문제의 해결을 도와 줄 수 있는 사내외 전문가의 지원을

받아야 한다.

정적 가정

선형 가정과 더불어 모든 하중은 최대 크기까지 점진적으로 작용한다고 가정한다. 이

가정의 타당성은 선형 가정과는 달리 유한요소해석에 경험이 없는 엔지니어에게도 명확

하다. 하중이 진동이나 사인파 형태로 작용하거나, 충격이나 다른 물체와의 충돌에 의해

발생하면 이것은 정적 하중이 아니다. 하중이 짧은 시간 동안에 작용하는 과도 응답 상

태일지라도, 많은 경우에 정적 하중으로 모델링할 수 있다. 정적 가정을 이해할 수 있는

가장 좋은 예는 정상 상태와 크기가 일정한 하중의 작용이다. 이 경우 일정한 속도로 회

전하거나 일정한 가속도로 움직이는 물체의 구조적 응답은 정적 가정으로 모델링할 수

있다. 하중의 지속 시간이 짧아 구조물이 완전한 응답에 도달하기 전에 하중이 제거되면

정적 가정의 유효성은 상실된다. 또한 충격이나 사인파 형태의 하중이 구조물에서 공진

을 발생시키고, 이 하중의 효과가 공진에 의해 확대되면 정적 가정은 성립되지 않는다.

유한요소해석에서 동적 하중(dynamic loading)에 대해 다음과 같은 세 가지 주요한 유

형이 있으며, 적절한 응답 해를 구하기 위해서는 별도의 해석이 필요하다.

• 과도 응답 또는 시간 의존형 하중

• 주파수 응답 또는 사인파 하중

• 랜덤(random) 응답



처음 두 가지 유형은 제품 설계에 있어서 일반적으로 수행되지만, 세 번째 랜덤 응답은

전문가가 해석을 수행해야 한다. 여기서는 이 개념에 대해서 간단히 설명하고 상세한 내

용은 18장에서 설명한다.

과도 응답

과도 응답 해석은 다음 두 가지 이유 중 어느 하나 또는 둘 모두 때문에 사용된다. 하

중 지속시간이나 주기가 너무 짧아 하중이 제거되기 전에 구조물이 재빨리 그리고 완전

히 변형되지 않으면, 실제 응력 크기는 정적 해석의 크기보다 훨씬 작다. 그러나 충격 주

기가 해당 구조물에 공진을 일으킬 정도로 짧으면, 감쇠가 작은 취성 구조물은 균열을

발생시키거나 분쇄될 수 있다.

주파수 응답

주파수 응답 해석도 정상 상태이지만, 하중의 크기와 방향이 모두 사인파 형태로 변화

하기 때문에 정적 해석과는 다르다. 입력 진동수가 해당 구조물의 고유 진동수에 근접하

면, 정적 응답과 동적 응답의 차이가 커진다. 진동수가 0으로 근접할 때, 주파수 응답 해석

결과는 동일한 크기의 하중을 받는 정적 해석 결과와 거의 유사한 거동을 보인다. 그러나

감쇠가 크고 공진이 없을 경우 해석 결과는 최대 응답과 응력, 변위에서 과도 응답 특성을

일부 나타내며, 하중이 점진적으로 작용하는 경우보다 작게 나타날 것이다. 재료 감쇠와

구조 감쇠를 위해 사용된 데이터는 정확한 동적 해를 얻는 데 매우 중요하다. 만약 구조물

이 진동 하중을 받는다면, 주파수 응답 해석을 수행하여 정적 가정을 점검할 필요가 있다.

랜덤 응답

랜덤 응답 해석은 하중의 특성에 있어서 주파수 응답 해석과는 다르다. 주파수 응답

해석에서 하중은 보통 파운드(pound)이거나 파운드 대 주파수이지만, 랜덤 응답의 하중

은 가속도 제곱() 대 주파수의 형식이다. 이러한 데이터는 보통 파워 스펙트럴 도

(power spectral density, PSD, 파형 분석에 있어서 분석 구간이 무한대인 경우, 푸리에 변환을 통

해 구한 단위 주파수당 에너지 분포 - 역주 ) 곡선 형태로 구해진다. PSD 곡선의 예는 다양

한 노면 위에서 차량의 노면 소음 또는 지진파 데이터이다. 측정된 진동은 PSD 형식으

로 표현할 수 있도록 필터링된다. 여기서 랜덤 응답의 실제 입력은 전혀 랜덤하지 않으

며, 미리 승인된 가진과 주파수의 스펙트럼임을 확인할 수 있다. 랜덤 응답 해석을 원활

히 수행하기 위해서는 먼저 주파수 응답 해석에 숙달해야 한다. 주파수 응답 해석은 한

번에 한 이벤트만을 다루지만, 랜덤 응답 해석은 연속된 이벤트를 동시에 다룬다.



정적 가정 사용

구조물에 대한 주요 하중이 진동이나 짧은 시간의 충격 형태이면, 정적 가정은 항상

동해석을 통해 검증되어야 한다. 정적 해석은 요소망의 오류를 수정하거나 경계 조건을

검증하는 데 사용될 수 있지만, 동적 응답은 동해석으로 풀어야 한다.

3.5 일반적으로 사용되는 가정

해석을 수행하기 전에 반드시 고려해야 하는 주요 가정(형상, 특성치, 요소망, 경계 조건,

선형, 정적) 외에도 해석 문제에 구체적으로 적용할 수 있는 가정들을 검토할 필요가 있

다. 다음에 당면한 해석의 목표와 설정을 검토할 때 도움이 될 수 있는 가정들을 정리하

였다. 이 목록들은 포괄적인 용도는 아니지만, 당면한 해석에서 적용 가능한 가정들을 유

추할 수 있도록 다양한 상황을 포함하고 있다. 이 가정들이 모든 상황에 적용되는 것은

아니며, 어떤 것들은 서로 모순될 수도 있기 때문에 해당되는 해석에 적용할 수 있는 것

들만 선별해서 사용해야 한다.

기하학적 형상

• 제공된 CAD 형상은 부품을 적절히 표현한다.

• 비선형 기하학적 형상 강화는 구조물의 거동에 영향을 미치지 않는다.

• 변위가 매우 작아서 선형 해석이 타당하다.

• 관심 영역 밖의 응력 거동은 이 해석에서 중요하지 않으며, 그러한 영역의 형상 단

순화는 결과에 영향을 미치지 않는다.

• 관심 영역 내에 존재하는 필렛만 해석에 포함한다.

• 부품 두께가 폭이나 길이에 비해 매우 작아서, 쉘로 이상화하는 것이 타당하다.

• 벽 두께가 균일하여 일정한 두께의 쉘 요소로 이상화하는 것이 타당하다.

• 모서리와 얇은 면의 교차점에서 국부적인 거동은 주요 관심 대상이 아니므로, 이러

한 영역에 대한 특별한 모델링은 필요하지 않다.

• 구조물의 주요 부재는 길고 얇아서 보로 이상화하는 것이 타당하다.

• 보의 조인트나 다른 불연속부에서의 국부적인 거동은 주요 관심 대상이 아니므로,

이러한 영역에 대한 특별한 모델링은 필요치 않다.



• 외부 장식물은 부품의 강성과 성능에 중요하지 않다고 가정할 수 있으며, 모델에서

생략될 수 있다.

• 삭제된 특징 형상으로 인한 질량의 변화는 무시할 수 있다.

• 2차원 축대칭 해석을 적용할 때, 축대칭이 아닌 부품형상은 주요 거동에 영향을 미

치지 않는다.

• 2차원 평면 응력 또는 평면 변형률 해석을 적용할 때, 평면 가정에 벗어나는 부품

형상은 주요 거동에 영향을 미치지 않는다.

• 대칭성을 적용할 때, 형상과 경계 조건은 대칭 평면에 대해 동일하거나 동일하다고

가정할 수 있다.

재료 물성치

• 재료 물성치는 선형 범위를 벗어나지 않는다. 항복을 초과하는 응력이나 과도한 변

위는 부품의 파괴를 의미하며, 비선형 거동은 고려하지 않는다.

• 재료 물성치는 해당 재료의 거동을 적절히 표현한다.

• 재료 물성치는 하중 속도에 영향을 받지 않는다.

• 재료 물성치는 등방성(또는 직교 이방성)이고 균질성이라고 가정할 수 있다.

• 부품에는 응력을 상승시키거나 국부적인 뒤틀림을 발생시킬 수 있는 기공이나 표면

결함이 없다.

• 구조물의 실제 비선형 거동은 선형 해석 결과로부터 추정할 수 있다.

• 용접 재료와 열 영향부는 모재와 동일한 재료 물성치를 갖는다고 가정할 수 있다.

• 온도 변화는 재료 물성치에 중요한 영향을 미칠 수 있지만, 모든 시뮬레이션은 상온

에서 수행하는 것으로 가정한다. 특별한 경우를 제외하고 재료 물성치에서 온도 변

화는 무시할 수 있다.

• 재료에 대한 상대 습도 또는 수분 흡수는 무시될 수 있다.

• 사용된 재료 물성치는 제조업자의 재료 데이터에 명시한 것과 같이 건조, 50% 또는

100% 상대 습도에서의 물성치로 가정할 수 있다.

• 부품의 장기적인 구조 건전성에 영향을 줄 수 있는 자외선, 화학 물질, 부식, 마모

등의 효과를 보정하지 않아도 무관하다고 가정한다.

• 재료의 감쇠는 무시할 수 있거나, 관심 영역 혹은 실험 등을 통하여 제시된 모든 주

기에서는 일정하다.



경계 조건

• 변위가 매우 작아서, 변형 전 과정에 걸쳐 하중의 크기와 방향, 분포는 일정하다.

• 정적 해석이 사용될 때, 하중 속도는 정적 가정이 유효할 수 있을 만큼 충분히 느리

다고 기대할 수 있다.

• 구조물에서 마찰로 인한 손실은 무시할 수 있는 것으로 간주한다.

• 모든 경계면에서의 주위 부품은 강체로 가정한다.

• 구조물의 일부분은 구조물의 나머지 부분과 분리된다고 가정할 수 있으므로, 인접한

부분으로부터 발생하는 반력이나 입력은 무시할 수 있다.

• 모델의 크기와 복잡성을 최소화하기 위하여 대칭성을 가정할 수 있다.

• 해석에서 하중은 순수하게 압축 또는 인장, 비틀림, 열 하중만 가정하고, 다른 하중

성분은 포함하지 않는다.

• 압력 하중은 모든 하중 작용면에서 균일하다.

• 힘 역할을 위해 모델링된 구성 요소는 실제 구조물에 추가적인 강성을 부여하지 않

는다.

체결구

• 제조 또는 볼트의 프리로드(pre-load), 용접, 조립 과정 등으로 인한 잔류 응력은 무시

될 수 있다.

• 볼트의 하중은 주로 축 방향이다.

• 볼트 머리 또는 와셔 면의 토크 하중은 주로 축 방향이다. 마찰로 인한 면의 토크 하중

은 국부적인 효과만 발생시킨다.

• 체결구(fastener) 또는 다른 조립체 구성품의 응력 이완은 고려하지 않는다. 파괴는 조

립체의 사용 수명 초기에 발생한다고 가정한다.

• 부품의 나사산 부분에서의 하중은 맞물리는 나사 부위에 고르게 분포한다.

• 수많은 볼트 또는 용접, 리벳, 체결구 등을 사용하여 고정하였으므로, 두 구성품 사이

의 체결은 완벽한 것으로 가정한다.

• 구성품 간의 모든 용접은 이상적이고 연속적인 것으로 가정한다.

• 체결구의 파괴는 고려하지 않는다.



일반 사항

• 관심 영역의 해석 결과만 중요하며, 요소망의 수렴은 이 영역에 한정한다.

• 경계면에서 구성품들 간의 미끄러짐은 없다.

• 미끄럼 접촉 경계면에서 마찰은 없다.

• 구조물의 감쇠는 무시할 수 있거나, 관심 영역 혹은 시험 등을 통하여 제시된 모든 주

기에서 일정하다.

• 반경 방향 또는 축 방향으로 베어링 강성은 무한대이거나 강체로 간주한다.

• 최적 형상이 아닌 요소는 관심 대상이 아닌 영역에서만 허용되고, 모델의 전체 거동에

는 영향을 미치지 않는다.

3.6 요약

유한요소해석은 설계의 구조적 건전성을 평가하고, 여러 가지 설계안을 비교할 수 있

는 강력한 공학 도구이다. 그렇다고 해서 유한요소해석이 실험을 대체하고, 공학 기초 원

리에 대한 충분한 이해 없이도 엔지니어가 제품을 설계할 수 있도록 해주는 만능 수단은

아니다. 설계 엔지니어가 해석 모델을 생성할 때 고유한 가정을 이해하지 못하면, 잘못을

바로잡는 데 많은 시간과 비용이 소요될 것이다.

가정에 대한 타당성 검증은 성공적인 유한요소해석을 위한 핵심 사항이다. 가정을 검

증하기 위해서는 모델에 대한 재료역학과 제품에 발생할 수 있는 파괴 모드, 제품의 제

조 환경과 사용 환경 등을 먼저 이해해야 한다. 또한 사용할 요소의 유형과 해석 방법에

대한 능력과 한계를 이해해야 한다. 유한요소 모델링에서 모든 결정의 배후에는 가정이

존재한다. 일단 이 개념을 숙지하고 관련 지식에 따라 해석을 수행한다면, 성공적인 해석

자가 될 수 있는 단계에 이미 진입한 것이다. 그리고 더 나아가 유한요소해석 기술의 잠

재력을 파악하게 되면, 이 기술에 심취하게 될 것이다.

유한요소해석과 해석 방법 소개 - scitech.co.kr ele anal-ch1~3.pdf · 해석...

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