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聚英厦大考研网：www.xmukaoyan.com.cn 厦大数学分析专业课复习全书

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聚英人坚持“专业人做专业事”，为广大考研学子奉献“专业作品”!推荐指数：★★★★★

基本信息

【教材名称】《2015厦门大学 616数学分析考研专业课复习全书》(含真题与答案)【编著】聚英教育组编

【页数】420页【字数】98千字【开本】16开【出版日期】2014年 3月

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1. 聚英厦大考研商城：http://www.passxmu.com/2. 聚英教育官方网店：http://joineast.taobao.com/3. 现场购买：厦门市思明区民族路 47号海峡电子商务创业园 3094. 咨询 QQ：40008118975. 咨询电话：0592-2060051 2060052


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《2015厦门大学 616数学分析考研专业课复习全书》【编辑推荐】

聚英教育秉持专注、责任、诚信原则，倾情推出了《厦门大学考研专业课复习全书》系

列丛书，本书系统全面总结考研专业课知识，重难点分明，深度解析历年考研真题并进行命

题预测，为考生节省大量宝贵的复习时间，帮助考生在扎实基础之上迅速提高专业课成绩，

是 2015年考生从基础到冲刺阶段必备的考研专业课资料。

【内容简介】

1.前言——新鲜有趣的备考精神食粮

(1)走进数学科学学院(学院介绍);

(2)专业课资料使用建议;

(3)生活在厦大(饮食、住宿、交通信息);

(4)考研寄语(有一种幸福叫考研);

2.专业课深度解析—— 高度概括的专业课考试剖析

(1)历年考点分布及题型结构(2004—2014 年);

(2)试题分析(难度分析、题型解析、题目来源、逐年分析);

(3)2014 年试题分析及 2015 年命题预测；

(4)专业课全程规划(复习建议、注意事项);

(5)高分学长考研经验谈(初试经验);

3.参考书核心考点解析——面面俱到的专业课内容精粹

这个部分是本书的核心重点内容，根据专业课指定的参考书目章节目录进行编写，每章

由以下几大块内容构成：

(1)复习提示(重点难点、章节分析);

(2)知识框架(高屋建瓴、提纲挈领);

(3)考点解析(抓住重点、突破难点);

(4)考题精选(检验效果、巩固知识)

4.专业课历年真题及答案解析——分析入理的经典真题大观

(1)历年真题原题(2004—2014 年，真题原貌);

(2)参考答案及解题分析(2004—2014 年);

(3)答题技巧

【使用说明】

一、复习全书（主要含核心考点和历年真题）的使用建议


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（一）复习第一招：按图索骥，宏观洞悉（知识思维导图+复习纲要）

1.复习基础阶段：初步浏览及标识复习中的疑惑点，此阶段重在对整体知识内容留有印象，知晓重点，解决疑惑点；

2.复习深化阶段：对应核心考点具体内容，增加标识，此阶段可对照具体内容的复习情况，把未熟练掌握内容进行标识及补充复习中发现的重要内容；

3.复习冲刺阶段：可脱离参考书及复习全书中的核心考点解析部分，单独看框架和纲要回忆知识点并默写，以此查漏补缺，落实记忆。

（二）复习第二招：抽丝剥茧，十拿九稳（核心考点解析）

1.复习基础阶段：结合初试参考书及核心考点进行理解和背诵，根据核心考点的分析进行初步的学习，对教材的内容有所熟悉，并根据真题回顾来了解各章节的历年真题考察情况；

2.复习强化阶段：根据核心考点的分析及重点提示，把知识点归纳为各种考试题型的题目进行记忆，并辅以课后习题进行练习来巩固知识点；

3.复习冲刺阶段：可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和记忆，提高复习效率和复习效果。

（三）复习第三招：真枪实战，画龙点睛（历年真题与答案解析）

1.复习基础阶段：通过专业课深度解析部分中的考试分析及命题预测，对专业课笔试真题的出题风格和作答思路有深度把握和宏观了解，从而提高复习效率和考试命中率；

2.复习深化阶段：根据考试真实时限、时点进行模拟考试，可以反复模拟考试，然后对照参考答案，不断完善充实答案，摸索答题方法。对于重中之重的知识点结合习题进行总结

和拓展；

3.复习冲刺阶段：直接背诵前阶段总结的参考答案，做好考试时间安排，形成自己的答题思路和答题方法。

二、全真模拟卷的使用建议

（四）复习第四招：查漏补缺，面面俱到（全真模拟卷与答案解析）

考研冲刺阶段：考前一个月左右模拟考场进行实战演练，提前适应考场氛围、提升应对

考场突发状况的能力，学会合理分配考试作答时间，把握考试节奏，提升答题技巧。

【亮点介绍】


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1.专业课深度解析部分从考研各知识点历年的考察频率和变化趋势，明确重要考点和参

考书目的重要章节，从宏观试题分析、命题预测、全程规划建议、高分学长考研经验等角度

直抵厦门大学专业课考研资讯最前沿，准确把握专业课的考研规律。

2.核心考点解析部分根据最新官方指定的参考书目编写，对教材内容进行精简整合，所

有知识点均根据其历年考察的频率进行重要程度评估，以星号标识其重要性，并对真题考过

的知识点进行明晰，免去考生自己查阅、分析的烦恼，深入探讨重点考点，精准洞察知识脉

络。本部分内容对前几轮复习具有较大辅助作用，在考研后期复习阶段可脱离教材结合核心

考点解析进行理解和记忆，提高考生的复习效率和复习效果。

3.章节考题精选部分各章节后面均配有精选考题，题目选题多样，来自厦大本科历年期

末试卷或国内经典教材习题或其它名校历年考研真题，或是本章曾考过的真题原题。本部分

让考生在复习完相应章节知识点后进行自测练习，不必再四处收集练习题，为考生节省宝贵

的复习时间。

4.历年真题及答案解析部分给出了厦大专业课考试 2004-2014 年共 11 年的考研真题，

内含详细而精准的参考答案和解题分析。答题技巧部分对专业课考试答题思路或解题技巧进

行分析，熟练运用考试的答题技巧，将使读者在考场上如虎添翼

【考生评价】

评价一：我认为选择一本好的专业课辅导资料十分重要；幸运地是当时听了学姐的建议

购买了这本复习全书，很多人都觉得这本书贵，但是我觉得物超所值，全书内容本身不论是

对参考书目的讲解，还是真题答案的解析都十分的详细；并且还有超值的售后服务。不论我

是否可以考上厦大，我都要感谢聚英陪我一起走过的漫长考研路。

评价二：我是跨校跨专业，面对专业课的复习感到一片迷茫，不知从哪里入手，顿时鸭

梨山大；听了同学的介绍买了聚英的复习全书以及配套的模拟卷。说实话这本书对我初期以

及强化阶段的复习帮助非常的大；核心考点解析这个部分当中对参考书知识点的分析很透

彻，不仅用星号表示出知识点的重要性还标出考察年份，让我在复习的时候能很好的把握住

重点，节约了很多的时间来复习公共课的知识。

评价三：聚英给我留下的印象是非常的负责任，在考试的参考书目发生变化之后就及时

的更新复习全书的内容，而且还给我打了好几通的电话；拿到后面发过来的厚厚的补充资料，

十分的感动，因此特地来追加评论，学弟学妹们，不要再犹豫啦，选择聚英没错的！！


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目录

前言

第一部分专业课深度解析

一、试卷结构及考点分析

二、试题分析及预测

三、专业课复习规划

第二部分核心考点解析

导言

第一章集合与映射

第二章数列极限

第三章函数极限与连续函数

第四章微分

第五章微分中值定理及其应用

第六章不定积分

第七章定积分

第八章反常积分

第九章数项级数

第十章函数项级数

第十一章 EUCLID空间上的极限和连续

第十二章多元函数的微分学

第十三章重积分

第十四章曲线积分、曲面积分与场论

第三部分历年真题与答案解析

厦门大学 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题







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厦门大学 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析










答题技巧


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第二部分核心考点解析

第一章集合与映射

本章复习提示

本章主要是一些基础知识，只要掌握就可以了。

知识框架图

、平均值不等式

、三角不等式、两个常用的不等式

、周期性

、奇偶性

、单调性

、有界性

、函数的简单特性

、映射与函数

、集合

集合与映射

21

2

4321

1

2

1

章节分析

本章内容比较简单，且纵观历届考题，本章没有考过的大题，只在 04 和 06 年分别有一

个 6分和 4分的判断题。故建议考生只对本章内容了解即可，但一些重要的知识点一定要掌

握，今后做题可能会频繁用到。

知识点掌握

1. 有理数Q 的表示

}p,{ ZqNpqxxQ 并且其中

.

2. 整数集Z是可列集。

3. 可列个可列集之并也是可列集。

4. 有理数集Q 是可列集。

5. 函数的简单特性

（1）有界性★


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定义若存在两个常数m和M，使函数 )(xfy ， Dx 满足

Mxfm )( ， Dx ，

则称函数 f 在D有界。其中m是它的下界，M是它的上界。

（2）单调性★

定义对函数 )(xfy ， Dx ，若对任意 1x ， 2x D ，当 21 xx 时成立 )()( 21 xfxf

))()(( 21 xfxf 或，则称函数 f 在D单调增加（或严格单调增加），通常记作 f （或 f

严格）；若对任意 1x ， Dx 2 ，当 21 xx 时成立 )()( 21 xfxf ))()(( 21 xfxf 或，则

称函数 f 在D单调减少（或严格单调减少），通常记作 f （或 f 严格）。

（3）奇偶性★

定义设函数 f 的定义域D关于原点对称，即 Dx Dx 。若对一切 Dx ，

成立 )()( xfxf ，则称函数 f 是偶函数；若对一切 Dx ，成立 )()( xfxf ，则称

函数 f 是奇函数。

（4）周期性★

定义若存在常数 0T ，使得对一切 Dx ，成立 )()( xfTxf ，则称函数 f 是

周期函数，T 称为它的周期。若存在满足上述的最小的T ，则称它为 f 的最小周期。

（5）Dirichlet 函数★☆

,1,0

)(xD为有理数。

为无理数，

xx

6. 常用不等式

（1）三角不等式★★

对于任意实数a和b，都有bababa .

（2）平均值不等式★★

对任意n个正数 ,,,, 21 naaa 有

)111(21

2121

n

nn

n

aaa

naaan

aaa

,


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等号当且仅当 ,,,, 21 naaa 全部相等时成立。

（3）对数不等式★★

xxxx

)1ln(1

)1( 时当 x ，

等号当且仅当 0x 时成立。

注：当令n

x 1 时，可得到重要的不等式

nnn1)11ln(

11

),2,1( i .

（4）（掌握） xxx sin2

)2

0( 时当

x 。

本章练习

1. 证明上述 6个常用不等式。

2. 证明由n个元素组成的集合 },,,{ 21 naaaT 有n2 个子集。

3. 任意无限集必包含一个可列集。

4. 设 f 为 R 上的奇函数， ),2()()2(,)1( fxfxfaf Rx 。

1）试用a表达 )2(f 和 )5(f ；

2）a为何值时， )(xf 是以 2为周期的周期函数。

参考答案

1. （1）证：因为对于任意实数a和b，都有baabba ,

所以

222222 222 bbaabababbaa ,

开方后就得到上述不等式。

（2）证：先证明左边的不等式

nn

n aaan

aaa

21

21 .

当 2,1n 时，不等式显然成立。


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当 )(2 Nkn k 时，不等式是 abba

2

的直接推论。

当 kn 2 时，取 Nl ，使 ll n 22 1 。记

aaaan n 21 ,

在 naaa ,, ,21 后面加上 )2( nl 个 a ，将其扩充成 l2 个正数。对这 l2 个正数应用不

等式，得到

aaaaaanaaa ll nn

lnl 2

12

2121 )(])2([21

,

整理后即有

nn

n aaan

aaa

21

21 .

对naaa1,,1,1

21

使用上面的结论，便得到右边的不等式。

（3）证：（利用 Lagrange 公式 ),(),)(()()( ' baabfafbf ）记 xxf )(

)1ln( x ，现证 0)( xf （当 1x 且 0x 时），事实上

01

)()0()( '

xxffxf ,

其中 x 0: （当 0x 时）

0 x （当 01 x 时）。待证不等式右端或证。

类似可证， 01

)1ln()(

xxxxg ，且当 0x 时等号显然成立。

（4）证：不妨设xxxf sin)( ，对其求导得

2' sincos)(

xxxxxf

,

再令 xxxxg sincos)( ，对其求导得

0sincossincos)(' xxxxxxxg .

故

0)( xg ,

即有


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0)(' xf .

所以有

)0()()2( fxff （当

20

x 时）。

即

1sin2

xx

xxx sin2

.

2. 证：由 k个元素组成的子集的个数为 knC ，

nnn

k

knC 2)11(

0

。

3. 证：设T 是一个无限集，先取 Ta 1 。由于T 是无限集，必存在 Ta 2 ， 21 aa 。

再由T 是无限集，必存在 Ta 3 ， 31 aa ， 23 aa 。这样的过程可以无限的进行下去，

于是得到可列集 },,,,{ 21 naaaS ， TS 。

4. 解：1）令 1x ，则得到

)2()1()1( fff ,

又因为 )(xf 是奇函数，故

aff 2)1(2)2( .

再令 1x ，则有

afff 3)2()1()3( .

再令 3x ，故得

afff 5)2()3()5( .

2) 若 )(xf 是以 2为周期的周期函数，则

afxfxf 2)2()()2(0 ,

即

0a .

【具体的内容，详见《2015 厦门大学 616 数学分析考研专业课复习全书》】


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第三部分历年真题与答案解析

厦门大学 2004招收攻读硕士学位研究生

入学考试试题

科目代码：331

科目名称：数学分析

招生专业：数学系各专业

考生须知：全部答案一律写在答题纸上，答在试题纸上的不得分！请用蓝、黑色墨水笔

或圆珠笔作答。

一、判断题（5个小题共 30分，每小题 6分）判断下列命题是否正确，若正确就答“是”，不正确就答“否”（不必写出理由）

1. 设 }{ nx 为实数列。若 nx 不趋于无穷大，则 }{ nx 必存在收敛子列。

2. 设函数 )(xf 在非空开区间 ),( ba 内有连续的导数。则

2121 ),,(,),,( xxbaxxba 使得

)()()( '

21

21 fxxxfxf

3. 设函数 )(xf 在区间 ]1,0[ 上有定义，且极限

n

kn nkf

n 1)(1lim存在。则此时 )(xf 在区

间 ]1,0[ 上可积，且

n

kn nkf

ndxxf

1

1

0)(1lim)( 。

4. 设函数项级数

1)(

nn xf 在有限区间 ),( I 上一致收敛，且

1)(

nn xf 收敛。则

1)(

nn xf 在 I 上必一致收敛。

5. 设 ),( dX 为一个度量空间， XA 为一个非空集合。 A 为闭集的充要条件为

Xx ，若 0}:),(inf{),( AaaxdAxd ，则 Ax 。


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二、求下列极限（20分）；

1. nna

lim ，其中 111 na ；

2. 22

)(lim 22

,

yx

yxyx

三、（20 分）设 )(xf 在 ),[ a 上二阶可微，且 ,0)(,0)( ' afaf 当 ax 时，

0)('' xf 。证明方程 0)( xf 在 ),[ a 内有唯一的一个实根。

四、（20分）设有界函数 )(xf 在 ],[ ba 上可积，且 0)( dxxfb

a。证明在 )(xf 的连

续点处有 0)( xf 。

五、（20分）讨论级数 )0()ln1(11

pnnx

nn

np

的收敛性。

六、（20 分）设 ),( yxzz 满足 02

2

2

2

yz

xzz 。作满足

uv

vu

的变换

),(),(vuyvux

，证明：此时也有 02

2

2

2

vz

uz

。

七、（20分）若函数 ),,( zyxuu 在某一区域内具有直到二阶的连续导数，且满足

02

2

2

2

2

2

zu

yu

xuu ，则称 ),,( zyxuu 为该区域内的调和函数。证明：若

),,( zyxuu 为区域 })()()(:),,{( 220

20

20

3 azzyyxxRzyx 内的调和

函数，则

S

dSzyxua

zyxu ),,(41),,( 2000

其中 0a 为常数， S为球的面。


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厦门大学 2004年招收攻读硕士学位研究生

入学考试试题答案解析

一、判断题（5个小题共 30分，每小题 6分）判断下列命题是否正确，若正确就答“是”，不正确就答“否”（不必写出理由）

1. 设 }{ nx 为实数列。若 nx 不趋于无穷大，则}{ nx 必存在收敛子列。

解：是。根据无穷大的反向定义。

2. 设函数 )(xf 在非空开区间 ),( ba 内有连续的导数。则

2121 ),,(,),,( xxbaxxba 使得

)()()( '

21

21 fxxxfxf

解：是。由 )(' xf 的连续性，得到。

3. 设函数 )(xf 在区间 ]1,0[ 上有定义，且极限

n

kn nkf

n 1)(1lim存在。则此时 )(xf 在区

间 ]1,0[ 上可积，且

n

kn nkf

ndxxf

1

1

0)(1lim)( 。

解：否。由积分的定义，是在区间任意取分点。而本结论 ]1,0[ 平均n等分，不能保证可

积性。

4. 设函数项级数

1)(

nn xf

在有限区间 ),( I 上一致收敛，且

1)(

nn xf

收敛。

则

1)(

nn xf

在 I上必一致收敛。

解：否。不妨考虑nx

xf nn

sin)1()( .

5、设 ),( dX 为一个度量空间， XA 为一个非空集合。 A 为闭集的充要条件为

Xx ，若 0}:),(inf{),( AaaxdAxd ，则 Ax 。

解：否。应是 Ax 。


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二、求下列极限（20分）；1. nn

a

lim ，其中 111 na ；

2. 22

)(lim 22

,

yx

yxyx

解：（1）我们知道 nn aa 11 ，由数学归纳法知 1na 。 1112

1

nnn

n

aaaa

。

单调下降有下界，必收敛。令 Aann

lim ，计算得

251

A 。

（2）2、令

sin,cos

ryrx

则

22422 sincos2

0

22

0,)(lim)(lim r

r

yx

yxryx

取对数

0)41(limcossin21

lncossin2lim 5

0

22

4

22

0

r

r

rrr

应用 L'Hospital法则。

故

1)(lim2222

0,

yx

yxyx 。

三、（20 分）设 )(xf 在 ),[ a 上二阶可微，且 ,0)(,0)( ' afaf 当 ax 时，

0)('' xf 。证明方程 0)( xf 在 ),[ a 内有唯一的一个实根。

证：任取 ),[ ax ，应用 Lagrange中值定理，存在 ),( xa

0))(()()( '''' axfafxf

故

0)()( '' afxf 。

即 )(xf 严格的单调减少。得证。

四、（20分）设有界函数 )(xf 在 ],[ ba 上可积，且 0)( dxxfb

a。证明在 )(xf 的连

续点处有 0)( xf 。


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解：用反证法。若在 ],[ ba 中某点的邻域D 0)( xf ，则

0)()(],[

dxxfdxxfDba

b

a ，矛盾。

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二、聚英公共课全程一卡通

1.英语一卡通（考研复习指导+导学班+基础班+强化班+冲刺班+配套讲义）2.政治一卡通（考研复习指导+导学班+基础班+强化班+大纲解析班+时政班+冲刺班+点题班+配套讲义）3.数学一卡通（考研复习指导+导学班+基础班+强化班+冲刺班+配套讲义）

三、教材及辅导书推荐

（一）公共课

1.数学1) 高等数学：高等教育出版社，同济大学主编第六版；

2) 线性代数：高等教育出版社，同济大学主编第五版；

3) 概率论与数理统计：高等教育出版社，浙江大学主编第四版。

2.政治1) 2015教育部考试中心的《大纲解析》高等教育出版社


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2) 2015教育部考试中心的《考试分析》高等教育出版社

3.圆梦卡学员公共课全年用书及学习资料科目序号书名

政治

1 2016年全国硕士研究生入学统一考试政治理论考试大纲解析2 2016届圆梦卡学员 Ⅰ阶段 VIP课程讲义3 2016届圆梦卡学员Ⅱ 阶段 VIP课程讲义4 考研政治形势与政策

5 考研政治模拟题训练

6 考研政治历年真题解析

7 考研政治 20天 20题

英语

序号书名

1 考研英语词汇

2 考研英语历年真题超精读基础篇（1994— 2004）3 考研英语真题同源外刊超精读

4 考研英语真题超精读提高篇（2005=2013）5 历年考研英语真题解析及复习思路（英语黄皮书）

6 考研英语阅读·新题型·翻译·完形填空专项训练

7 考研英语写作专项训练

8 2016届圆梦卡学员Ⅰ 阶段 VIP课程讲义9 2016届圆梦卡学员 Ⅱ阶段 VIP课程讲义10 考研英语模拟题训练

数学序号书名

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