web viewbentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut : ... contoh soal....
TRANSCRIPT
1
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x )
Solusi umum y (x ) akan didapatkan bila solusi umum yh x dari Persamaan Diferensial
Homogen diketahui, dimana
Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=0
Kemudian y (x ) dibentuk dengan penambahan yh x sembarang solusi y termasuk konstanta
tak tetapnya.
Sehingga,
y ( x )= yh(x)+ ỹ (x)
Theorema 1:
f ( x ), g ( x )dan r ( x ) merupakan fungsi kontinu pada interval l. y ( x ) merupakan solusi dari
Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y ( x ) dibentuk oleh 2
konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) yh(x ).
Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi ỹ (x ), yaitu sembarang solusi Persamaan
Diferensial pada interval l.
Theorema 2:
Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan
homogeny yh(x ) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) y p(x ).
Sehingga,
y ( x )= yh (x )+ y p(x )
2
Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini
hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.
Terdapat tiga metode:
1.Metode koefisien tak tentuIde dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi y p
(solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi r ( x ) di ruas kanan.
Bentuk persamaan umum:
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x )
Fungsi r (x ) yang merupakan bentuk solusi pertikular y p(x ) diperoleh dengan cara
menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah
dari beberpa fungsi
r (x ) berisikan koefisien tak tentu
Turunkan y p sesuai persamaan umum di atas
Subtitusikan y p dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Tabel Metode Koefisian Tak Tentu
Aturan:
Bila r (x ) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk y p
yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan
r (x ) harus bebas linier pula.
Bila r (x ) merupakan penjumlahan, maka pilih y p yang merupakan penjumlahan
fungsi yang sesuai.
3
Bila r (x ) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat
dimodifikasi seperti berikut
Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2 tergantung dari apakah pada kolom 3
berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.
Contoh Soal
1) Selesaikan persamaan berikut:
y ' '−4 y'+3 y=10e−2 x
Jawab:
Mencari jawaban homogeny yh
y ' '−4 y'+3 y=10e−2 x
λ2−¿ 4 λ+3=10e−2x
( λ−3 ) ( λ−1 )
λ1=3dan λ2=1
Maka,
yh=∑i=1
2
Cierix
yh=C1 e3 x+C2 e
x
Mencari jawaban particular y p
Turunan e−2x adalah Ce−2 x
Maka, y p=C e−2x
y p '=−2C e−2x dan y p ' '=4C e−2x
4Ce−2x−4 (−2C e−2x)+3 (Ce−2 x )=10e−2x
Ce−2 x (4+8+3 )=10e−2x
15 Ce−2 x = 10e−2x
C=10e−2 x
15e−2 x
C=23
Maka, y p=23e−2x
4
Solusi Umum
y= yh+ y p
y=C1 e3 x+C2 e
x+ 23e−2x
2) Selesaikan y ' '+4 y=8x2
Jawab:
Mencari jawaban homogeny yh
y ' '+4 y=8x2
λ2+¿ 4=0
λ1=p+ jq=+ j 2; λ2=p− jq=− j2 ; p=0
Maka, solusi homogeny untuk D<0:
yh=epx [A cosqx+B sinqx ]
yh=¿
Mencari jawaban particular y p
Misal 1 : y=C x2 ; y ' '=2C
2C+4C x2=8 x2 ; 2C=0 ; 4C=8
Gagal, tidak konsisten.
Misal 2 : y p=C x2+Lx+m ; y ' '=2C
2C+4(C x2+Lx+m)=8 x2
4C x2+4 Lx+(2C+4m)=8 x2
Dengan metode identifikasi:
C=2 ; L=0 ;M=1
Maka, y p=2x2+1
Solusi Umum
y= y p+ yh
y=A cos 2x+B sin2 x+¿2x2+1¿
3) Selesaikan y ' '− y '−2 y=10 cos x
Jawab:
Mencari jawaban homogeny yh
5
y ' '− y '−2 y=10cos x
λ2− y−2=0
( λ−1 ) ( λ+1 )=0
λ1=1dan λ2=−1
Maka,
yh=∑i=1
2
Cierix
yh=C1 ex+C2 e
−x
Mencari jawaban particular y py p=k cos x+msin x
y p' =−k sin x+mcos x
y p' '=−k cos x−msin x
Masukan ke persamaan:
y ' '− y '−2 y=10cos x
(−k cos x−msin x )−(−k sin x+m cos x )−2 (k cos x+msin x )
¿10 cos x
(−3m−m ) cosx+(k−3m ) sinx=10cosx
−3m−m=10 ; k−3m=0
k=−¿3 ; m=−1
y p=−3cosx−sinx
Solusi Umum
y= y p+ yh
y=−3cosx−sinx+C1ex+C2 e
−x
4) Selesaikan: y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x
Jawab:
Mencari jawaban homogeny yh
y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x
λ2−3 y+2=0
( λ−2 ) ( λ−1 )=0
λ1=2dan λ2=1
Maka,
6
yh=∑i=1
2
Cierix
yh=C1 e2 x+C2 e
x
Mencari jawaban particular y p
y p=k1 x+k 0+C e3x
y p' =k1+3C e3 x
y p' '=9Ce3 x
Masukan ke persamaan:
y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x
9C e3 x−3 (k1+3Ce3x )+2 (k1 x+k 0+C e3 x )=4 x+e3x
k1=2 ; k 0=3 ; C=( 12)
y p=2x+3+( 12)Ce3x
Solusi Umum
y= y p+ yh
y=2x+3+( 12)Ce3x+C1e
2x+C2ex
2.Metode KompleksBentuk umumnya seperti persamaan
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x ).
Contoh:
Ϊ+ İ+2 I=6 cos t
Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh:
I P ( t )=3cos t+3 sin t
Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ϊ+ İ+2 I=6 cos t, 6cos t adalah
komponen nyata (real) karena:
6e¿=6¿
7
Sehingga persamaan Ϊ + İ+2 I=6 cos t dapat ditulis dengan:
Ϊ+ İ+2 I=6 e¿
Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:
Ip¿(t)=k e¿
dan İ p¿=ik e¿ Ϊ p¿=−ik e¿
bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ϊ+ İ+2 I=6 e¿:
(−1+ I+2)k e¿=6e¿
k= 61+i
=3−i3
Sehingga solusi umum persamaan Ϊ + İ+2 I=6 e¿ adalah:
İ p¿ (t)= (3−i3 ) eit=(3−i3 ) ¿
Dan komponen nyatanya adalah:
İ p (t )=3cos t+3sin t
3.Metode UmumBentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x )
Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=0
8
Maka solusi umumnya yh(x ) pada interval terbuka I berbentuk:
yh ( x )=c1 y1 ( x )+c2 y2 (x )
Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular pada
interval terbuka I, sbb:
y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v (x) y2 ( x )
Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:
y p' =u ' y1+u y1
' +v ' y2+v y2 '
Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c1 dan c2, maka:
u' y1+v' y2=0
Sehingga y p' menjadi:
y p' =uy1 '+v y2 '
Bila persamaan An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x ) diturunkan
hasilnya:
y p' =u ' y1
' +u y1' '+v ' y2 '+v y2 ' '
Persamaan y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v ( x ) y2(x), y p' =uy1 '+v y2 ', dan
y p' =u ' y1
' +u y1' '+v ' y2 '+v y2 ' ' disubtitusikan ke dalam persamaan
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=r (x ), dan mengumpulkan komponen
yang mengandung u dan v:
9
Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogeny dari persamaan
An yn+An−1 y
n−1+An−2 yn−2+…+A1 y
'+A0 y=0, sehingga terjadi penyederhanaan
persamaan, menjadi:
Persamaan u' y1+v' y2=0
Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak
diketahui.
Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:
W = Bilangan Wronskian dari y1 dan y2
Dengan integrasi diperoleh:
Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v ( x ) y2(x), sehingga
didapatkan :