15장 1 / 51

Chapter 15

질점의질점의동역학동역학 : : 충격량과충격량과운동량운동량(Kinetics of a Particle : (Kinetics of a Particle :

Impulse and Momentum )Impulse and Momentum )

15장 2 / 5115.1 선충격량과 선운동량의 원리

(Principle of Linear Impulse and Momentum)

질점의 운동방정식

∑ ==dtdmm vaF (15-1)

t 에 대해 적분하면

(15-2)122

1

2

1

2

1

vvvFFv

vmmdmdtdt

t

t

t

t−=== ∫∫ ∑ ∑ ∫

의 변화

: 질점에 작용한 힘의 선충격량은 질점의 선운동량의 변화와 같다.

: v와 같은 방향을 갖는벡터(kg m/s)

초기속도와 질점에 주어진 힘을 알면 일정시간이 흐른 후의 속도 v2를 직접구할 수 있다 (힘, 속도, 시간에 관계된 문제 풀때 유용)

Eq. (15-2) can be rewritten

(15-3)

15장 3 / 51∑ ∫ =+

2

121

t

tmdtm vFv

스칼라 방정식(Scalar Equations)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

++=

++=

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

21

21

)()(

)()(

)()(

)()()(

)(

t

t zzz

t

t yyy

t

t xxx

t

t z

t

t y

t

t x

t

t

t

t zyx

vmdtFvm

vmdtFvm

vmdtFvm

dtFdtFdtF

dtFFFdt

kji

kjiF

Principle of Linear Impulse and Momentum in x, y, z directions

respecitvely

@ t2@ t1

15장 4 / 51

문제의 요지 : 시간의 함수인 힘 P = 100t 이 250 N의 상자(초기속도 v1)에2초 동안 가해진 직후의 속도 v2를 구하라.

1. 힘, 속도, 시간의 문제 충격량과 운동량의 원리를 이용한 해법

∑ ∫ =+2

121 )()(

t

t xxx vmdtFvm

ji

WjiiF

)30cos()30sin( oo WNWFP

NFP

c

c

−++−=

++−=∑

dtWNtdtFt

t cx∑ ∫ ∫ +−=2

1

2

0)30sin3.0100( o

Ex 15.2)

o30cos0 WNmaF cyy =⇒==∑

[ ] 2

2

02 81.9250)250)(30sin30cos3.0(100)/s1(

9.81m/s250 vdttmN

=+−++ ∫ oo /s6.132 mv =∴

15장 5 / 512. 운동방정식을 이용한 해법

/s56.1356.121

)356.2924.3(

356.2924.381.9

250)250)(30sin30cos3.0(100

2

012

2

0

2

1

m

dttvv

dtadv

dtdva

ta

at

maF

v

v

xx

=+=

++=

=

=

+=

=+−+

=

∫

∫∫

∑

이므로

oo

ji

WjiiF

)30cos()30sin( oo WNWFP

NFP

c

c

−++−=

++−=∑

∑ xF

Two different methods, but the same results. Why?충격량-운동량 원리도 운동방정식으로부터 유도된 것!

15장 6 / 51

이렇게 같은 결과를 줄 바에야 충격량-운동량원리의 의의는 무엇이란 말인가?

충격의 경우와 같이 큰 힘이 매우 짧은 시간에 작용하는 경우엔 그 힘을 시간의

함수로 표현하기가 어려우므로 힘의 효과(충격량)를 운동의 변화(운동량의 변화)로

대체하는 것이 편리하다.

122

1

vvF mmdtt

t−=∑ ∫

15장 7 / 51

15.2 질점계의 선충격량-선운동량의 원리(Principle of Linear Impulse and Momentum for a System of Particles)

∑∑==

=n

i

ii

n

ii dt

dm11

vF

21 )()( 2

1∑∑ ∑ ∫ =+ ii

t

t iii mdtm vFv

External forces only!

초기의운동량의

총합

외력의충격량의

총합

최종상태의운동량의

총합

내부충격량(내력에의한 충격량) =

= 0

mi = m : 질점계의 총질량

miri = mrG : 질점계의 질량중심 G

(모든 질량이 질량중심에 몰려있다고 보고 계산한 운동량과 같다.)

o

관성기준계

Fig. 15-7∑ ∫=

n

i

t

t i dt1

2

1

f

mi

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ =∑=

lawrdsNewtonfn

ii 3',0

1Q

∑

∑

Integrating over dt gives

differentiate

15장 8 / 51

예제 15-2(Problem 15-16)A train consists of a 50-Mg engine and three cars, each having a mass of 30 Mg. If it takes 80 s for the

train to increase its speed uniformly to 40 km/h, starting from rest, determine the force T developed at thecoupling between the engine E and the first car A. The wheels of the engine provide a resultant frictional tractive force F which gives the train forward motion, whereas the car wheels roll freely. Also, determine

F action on the engine wheels.

문제의 요지 : 한 대의 기관차가 세 대의 화물차량을 끌고 있다. 정지상태에서 일정한

가속도로 속도가 증가하여(increase uniformly) 40km/h의 속도에 도달하는 데

80초가 걸린다면 기관차와 선두화물차 사이의 인장력 T 을 구하라. 또한

기관차의 바퀴에 작용하는 마찰견인력 F(frictional tractive force)를 구하라.

Fig.15-16

세 화물차 : T (유일한 외력)

∑ ∫ ∑∑ =+ 21)()( xiixixii vmdtFvm

15장 9 / 51

화물차의 가속도가 일정하므로 작용하는 인장력 T 도 일정하다.또한 (vx)2 = 40 km/h = 11.11 m/s

0 + T (80) = 3 (30) (103 kg) (11.11 m/s)T = 12.5 kN

열차 전체 : 기관차, 세 화물차 사이에 작용하는 힘(예 T )은 내력이므로 유일한 외력은 기관차의

바퀴에 작용하는 마찰견인력 F 이다. 또한 가속도가 일정하므로 F 도 일정하다.

0 + F (80) = [ 50 + 3 (30) ] (103) (11.11)

F = 19.44 kN

12.5/3 12.5/312.5/3 19.44 – 12.5

12.5/3 : 12.5/3 : 12.5/3 : 19.44 – 12.5 = 30 : 30 : 30 : 50 즉 질량비의 관계이다.

4대의 차량의 가속도가 동일하므로 작용하는 힘의 비는 질량비와 같다.

외력의 크기 :

15장 10 / 51

15.3 질점계의 선운동량 보존(Conservation of Linear Momentum for a System of Particles)

∑∑ ∫∑===

=+n

iii

n

i

t

t i

n

iii mdtm

12

111 )()( 2

1

vFv (15-6)

초기의 운동량의

총합

외부 충격량의총합

최종상태의 운동량의총합

외부 충격량(external impulse) 의 총합이 0이면

(15-8)

질량중심의 정의에 따라

선운동량 보존 질점계의 질량중심의 속도는 불변

(15-9)

평균충격력(average impulsive force)

t

dtFF

tt

tavg Δ

=∫

Δ+

F

Favg

tt t+∆t

∑ ∑ == GiiGii mmmm vvrr ,

After the impulse is calculated and impuse가 작용한 시간∆t

를 알고 있을때 tmm

Δ−

= 12 vv

15장 11 / 51

예제 15-3 (Example 15-4)The 15-Mg boxcar A is coasting at 1.5 m/s on the horizontal track when it encounters a 12-Mg

tank car B coasting at 0.75 m/s toward it as shown in Fig. 15-8a. If the cars meet and coupletogether, determine (a) the speed of both cars just after the coupling, and (b) the average forcebetween them if the coupling takes place in 0.8 s.

문제의 요지 : 화물차와 유조차가 각각 1.5 m/s와 0.75 m/s의 속력으로 연결하기 위해 서로

다가 오고 있다. (a) 연결(충돌)한 후에 두 차량의 속도와 (b) 연결이 완료되는

데 0.8초 걸렸다면 평균충격력은 ?

(a) 두 차량을 하나의 질점계로 보면 연결시의 충격력은 내력이 되므로 외부

충격량은 영이므로 운동량이 보존된다.

))()(()()()( 222,211 이므로vvvvmmvmvm BABABBAA ==+=+

Fig. 15-8

15장 12 / 51

(1500 kg) (1.5 m/s) + (12000 kg) (– 0.75 m/s) = (27000 kg) v2

v2 = 0.5 m/s

(b) 화물차만을 떼어내면 자유물체도로부터

21)( vmdtFvm AxAA =+ ∑ ∫

(15000 kg) (1.5 m/s) + (–Favg) (0.8 s) = (15000 kg) (0.5 m/s)

평균충격력 Favg = 18.8 kN

15장 13 / 51

Fig. 15-13

15.4 충돌 (Impact)

두 물체가 매우 짧은 시간에 걸쳐 부딪힘으로써 상대적

으로 큰 충격력(impulsive force)을 일으키는 운동Ex) 망치로 못을 박을 때, 골프 클럽으로 공을 칠 때

충돌의 종류

: 충돌하는 물체의운동

방향이 충돌선과 일치하는 경우

: 충돌하는 물체의 운동

방향이 충돌선과 경사각을 이루는 경우

매우크다

F

t

(t1)충돌직전 직후(t2)

t2 – t1 = Δt≈0

•

tm :충격력이 최대가

되는 시간

중심충돌은 경사충돌의 특수한 경우이다.

충돌하는 물체는 질점도 강체도 아니고 이다.

(접선)

(법선)

15장 14 / 51

표면이 매끈한 두 물체의 충돌

중심충돌(Central Impact)

Fig. 15-14

1. 충돌직전의 조건 : (vA)1 > (vB)1(이 조건이 만족되지 않으면 어떻게

될까?), (vA)1 과 (vB)1은 충돌직전의 두 물체의 충돌선 방향의 속도 성분

A가 B의 왼쪽에 위치해 있음과 속도가 오른쪽을 향할

때 양의 성분을 가짐을 유의하라.

2. 물체는 질점도 강체도 아닌 변형체로서 변형기(period of deformation)에 A와 B에 작용한 충격력(impulsive force)을 각각 –P와 P라고 두면 이

힘들에 의한 변형 충격량(deformation impulse)은

3. 최대변형(maximum deformation)의 순간엔 속도가 같다.@ tm

@ t1

15장 15 / 51

4. 반발기(period of restitution) 혹은 회복기(period of restoration)에 A와B에 작용한 충격력을 – R과 R이라고 두면 이 힘들에 의한 반발충격량(restitution impulse)은

F

tt1 tm t2

RP

변형충격량 ≥ 반발충격량 즉 ∫∫ ≥2

1

t

t

t

t m

m dtRdtP

5. 충돌직후의 조건 (vB)2 > (vA)2 (이 조건이 만족되지 않으면 어떻게 될까?)

Fig. 15-14

대부분의 충돌문제에서 충돌직전의 속도는 주어지므로 미지수

는 충돌직후의 속도인 (vA)2 와 (vB)2 2개이므로 2개의 방정식이

필요하다.

t2

15장 16 / 51

두 물체에 작용하는 충격력은 내력이므로 질점계의 총운동량은 보존된다. 따라서

Note. 대부분 실제적인 문제에서 충격선이 중력방향이라 하더라도

식(a)은 성립한다. 왜 그럴까? 중력은 분명히 외력인데.

질량 mA

변형기 : 1)(1

AAA

t

tvmvmdtPm

−=− ∫

회복기 : vmvmdtR AAA

t

tm

−=− ∫ 2)(2

아주 짧은 시간 동안만 작용하므로 매우 큰 힘이 아니면 거의 효과 없음

Two equations

질량 mB

변형기 : 1)(1

BBB

t

tvmvmdtPm

−=∫vmvmdtR BBB

t

tm

−=∫ 2)(2회복기 :

여기서 v = vA(tm)= vB (tm ) : 최대변형시의 A와 B의 속도

15장 17 / 51

11

22

1

2

1

2

)()()()(

)()(

)()(

AB

AB

B

B

A

A

vvvv

vvvv

vvvve

−−

−=−

−=

−−

=

∫∫ =m

m

t

t

t

tdtPdtR

1

2

! :)()(,0 222

속도동일충돌직후BA

t

tvvdtR

m

==∫

DBCA

DC

BA

−−

==Q

Let’s define 반발계수(COR: Coefficient of restitution)

(b)

Two equations (a) & (b) solve for (vA)2 와 (vB)2

(i.e. Move together!)

15장 18 / 51

충돌시 에너지 손실 = E2 – E1 = ( T2 + V2 ) – ( T1 + V1 )충돌시 위치변화는 없으므로 V2 = V1

에너지 손실(energy loss) = T2 – T1

[ ][ ] [ ][ ]12121212

21

21

22

22

)()()()(21)()()()(

21

)(21)(

21)(

21)(

21

BBBBBAAAAA

BBAABBAA

vvvvmvvvvm

vmvmvmvm

−++−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

= 0 if e = 1 (완전탄성 충돌)

[ ] [ ]1212

2211

)()()()()()()()(

AAABBB

BBAABBAA

vvmvvmvmvmvmvm

−−=−⇒+=+

[ ][ ]

[ ][ ]112212

121212

)()()()()()(21

)()()()()()(21

BABAAAA

BBAAAAA

vvvvvvm

vvvvvvm

−+−−=

−−+−=

운동량 보존 식 (a)로 부터

15장 19 / 51

–

(vAx)2 와 (vBx)2 는 중심충돌의 (vA)2 와 (vB)2 와 역할이 같다.

따라서

1. x방향(충격선방향)으로의 운동량보존에서

– 충돌이 일어나는 동안 각 물체에 y방향으로 작용한 힘은 없으므로 –

경사충돌 후 미지의 속도로 미지의 방향으로움직인다.

Only in x-direction!

경사충돌 (Oblique Impact)

미지수 : (vAx)2, (vAy)2, (vBx)2, (vBy)2 등 4개

여기서 x방향은 충격선방향(A B)이다.

x 방향

15장 20 / 51

3. mA 의 y 방향운동량은 보존

4. mB 의 경우도 마찬가지로

x방향 :

경사충돌이든 중심충돌이든 반발은 충격선 방향으로의 반발을 의미한다.

2211

2121

)()()()()()(,)()(

BxBAxABxBAxA

BxBBxBAxAAxA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+≠≠

y방향 :

2211

2121

)()()()()()(,)()(

ByBAyAByBAyA

AxAByBAyAAyA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+

==

y 방향

15장 21 / 51

예제 15-5

바닥으로부터 h 만큼 높은 위치의 물체가 자유낙하하여 바닥에 충돌한 후 h/2 만큼

튀어 올랐을 때 반발계수를 구하라.

h

ymA

mB

x

물체 A로부터 바닥 B로 향하는 충격선의 방향을 x방향이라고 잡으면

운동이 x축(충격선)상에서만 일어나므로 중심충돌임을 알 수 있다.

충돌직전의 속도 : 0)(,2)( 11 == BA vghv

충돌 후 h/2에서의 속도 :

반발계수 701.022

21

20)(0

)()()()(

11

33 ===−

−−−=

−−

−=ghgh

vvvve

AB

AB

)(2 122

1 oo ssavv −+=

충돌 직후의 속도 : mA (vA)1 = mA (vA)2 ghv A 2)( 2 =

)(2 2322

23 ssavv −+=

0

1 2

3

ghhgghv =−+= )2/)((223

0)(, 2 =Bv

15장 22 / 51

e>1 과 e<0 의 경우는 각각 폭발과 관통을 의미하므로(왜 그럴까?) 보통의

충돌에선 0<e<1이다.

반발계수는 물체의 재료, 크기, 형상, 표면의 거칠기 뿐만 아니라 속도에도

영향을 받는 값으로서 실험을 통해서만 구해진다. 즉, 실험없이 해결할 수

없기 때문에 충돌문제가 엔지니어의 손을 더 필요로 한다.

충돌문제의 예 : 교통사고(항공기의 추락, 선박의 좌초), 자동차의

충돌시험, 각종 스포츠(골프, 테니스, 당구), 안전장치(헬멧), 무기(포탄), 의학(충격에 의한 인체의 손상)

15장 23 / 51

예제 15-6 (Example 15-11)

Two smooth disks A and B, having a mass of 1 kg and 2 kg, respectively,collide with the velocities shown in Fig. 15-18a. If the coefficient of restitution for the disks is e = 0.75, determine the x and y componentsof the final velocity of each disk just after collision.

문제의 요지 : 경사충돌 하는 두 물체의 충돌직전 속도와

반발계수가 주어졌을 때 충돌직후의 속도를 구하라.

jiVjiV

222

222

)()()()(

ByBxB

AyAxA

vvvv

+=

+=

우선 두 물체의 중심을 연결하는 법선 즉 충격선을 그리고

A 에서 B 로 향하는 방향을 x축으로 잡고 수직축을 y축으로

잡는다.

m/s707.0sin451)(m/s707.045cos1)(

m/s1.53sin30)(m/s6.230cos3)(

11

11

−=−=−=−=

====oo

oo

ByBx

AyAx

vv

vvFig. 15-18

15장 24 / 51

• x 방향으로의 총운동량 보존

Fig. 15-18

18.1)(2)()()()()(

22

2211

=++=+

BxAx

BxBAxABxBAxA

vvvmvmvmvm

• 반발계수

m/s 1.22)(m/s,26.1)(

48.2)()(

75.0)()()()(

22

22

11

22

=−=

=−

=−−

−=

BxAx

AxBx

AxBx

AxBx

vv

vvvvvve

• y 방향으로의 운동량 보존

m/s707.0)()(m/s5.1)()(

12

12

−==

==

ByBy

AyAy

vvvv

(*1)

(*2)식 (*1)과 (*2)로부터

15장 25 / 51

15.5

점 O에 대한 질점의 각운동량 = 질점의 선운동량의 점 O에 대한 모멘트

따라서 각운동량은 힘의 모멘트와 개념이 유사하므로 (선)운동량모멘트(moment of (linear) momentum)라고 부르기도 한다.

스칼라 공식(Scalar Formulation) :

x - y 평면내에서 운동하는 물체의 점 O에 대한 각운동량의 크기는

(Ho) = (d) (mv) 운동량의 크기

모멘트의 팔 = 운동량의 작용선과 점 O의 수직거리

mv에 의한 모멘트는 오른나사를 z축방향으로 나아가게

하므로 Ho의 방향은 z축방향이다.

즉 Ho = (d) (mv) k = r × mvFig. 15-19

F

ro

Mo = r × F(힘의)모멘트

Definition

15장 26 / 51

Fig. 15-20

벡터공식 (Vector Formulation)

점 O로부터 mv의 작용점까지의 상대위치벡터

즉 여기선 m의 위치벡터

15장 27 / 51

15.6 힘의 모멘트와 각운동량의 관계(Relation between Moment of a Force and Angular Momentum)

Fig. 15-21

뉴턴의 운동법칙에서

LLvvaF &=====∑ dtdm

dtd

dtdmm )( (15-16)

선운동량의 변화율 = 물체에 작용한 힘

각운동량의 변화율 = 물체에 작용한 힘의 모멘트

o

oo

o

mdtdm

dtd

dtd

m

MFr

vrvrHH

vrH

=×=

×+×==

×=

∑

)(& (15-15)

질점동역학에서 보다는 강체동역학에서 더 유용하게 쓰인다.

그러면 각운동량의 변화율은 힘과 어떠한 관계에 있을까?

Summary

강체의 질량중심의 운동방정식(강체의 병진운동방정식)

강체의 회전운동방정식

유도에사용

15장 28 / 51질점계 (System of Particles)

∑ ∑∑ ×+×=

×+×=+×=

×=

=iiii

n

ioi

iiiiiiioi

iiioi

i

mm

frFrH

frFrfFrH

vrH

1

)(

)()(

)(

&

&

합하면대해전체에질점계

대하여에

⋅⋅⋅+×+×+×+×=

×=×= ∑∑∑∑≠≠

=

313131212121

1

frfrfrfr

frfri

ijj

iji

n

ijj

ij

n

ii

내력의 총모멘트 계산

O

r1

r2

m1

m2

f12

f21 = – f12

두 벡터가 평행하므로

점 O 에 대한 질점계의 총 각운동량의 변화율 = 질점계에

작용한

Fig. 15-21

mi

, i = 1, 2, ···, n.

15장 29 / 51

Example 15-12The box shown in Fig. 15-22a has a mass m and is traveling down the smooth circular ramp

such that when it is at angle θ it has a speed v. Determine its angular momentum about point Oat this instant and rate of increase in its speed, i.e., at .

문제의 요지 : 원운동하는 질점의 원의 중심에 대한

각운동량을 구하고 속력의 변화율(접선가속도

성분)을 구하라.

벡터해석

kuuvrH mvrmvrm tno −=×−=×=

t

nj

θ

kMuuj

ujuFrM

θθθ

sincossin

)(

mgr

Nmgr

o

nt

nno

−=+−=

+−×−=×=이므로

θ

θ

sin

sin

gdtdv

dtdvrmrmgoo

=∴

== 이므로HM &

x

y

15장 30 / 51

운동방정식( F = ma ) 로부터 구해보면

θ

θ

sin

sin

gdtdv

dtdvmmgmaF tt

=∴

==

충격량-운동량의 원리도 운동방정식으로부터 유도된 것이므로

같은 정보를 주는 다른 표현일 뿐이다.

15장 31 / 51

15.7 각충격량과 각운동량의 원리(Angular Impulse and Momentum Principles)

m 에 작용한합력

① 질량이 m 인 하나의 질점에 대하여 (합력이나 합모멘트를

나타내는 데 Σ 표현은 생략)

122

1

2

1

,

ooo

t

t o

oo

o

o

o

ddt

mdt

d

HHHM

vrHHM

H

H−==

×==

∫∫

로부터

각충격량(angular impulse)

각운동량의 변화

(15-18)

t1 에서의 각운동량 + ∆t = t2 – t1동안의 각충격량 = t2 에서의 각운동량

Om

r

F

Mo = r × F

V

15장 32 / 51

② 질량이 인 질점계에 대해서 (n 은 질점의 갯수)∑=

=n

iimm

1

∑∑ ∑∫ =+

×=

21 )()( 2

1io

t

t ioio

iiiio

dt

m

HMH

vrH(15-20)

iiiio m=×= FrM 에 작용한 외력 Fi 의 점 O에 대한 모멘트

Summarizing principle of impulse and momentum (충격량과 운동량의 원리)

(15-21)

6 scalar equations But if 질점이 x - y 평면내에서만 운동하고 있다면?

15장 33 / 51

O

y

m

v = vx i + vy j

x

F = Fx i + Fy j

dF

r = x i + y j

dv

kkji

vrH )(00 xy

yx

o yvxvmmvmv

yxm −==×=

= 선운동량의 크기

×모멘트 팔

mv dv = Ho

∫

∫

∫

=+

=+

=+

2

1

2

1

2

1

21

21

21

t

t ooo

t

t yyy

t

t xxx

HdtMH

mvdtFmv

mvdtFmv

여기서

(15-22)

kkji

FrM )(00 xy

yx

o yFxFFFyx −==×=

Mo= F dF = 힘의 크기 × 모멘트 팔

여기서 dv 와 dF 는 각각 점 O로부터 v 와 F 의 작용선까지의 (수직)거리(모멘트 팔)

Note. 평면운동하는 질점의 경우 충격량과 운동량의 원리는 개의

스칼라방정식으로 표현된다.

15장 34 / 51

각운동량 보존 (Conservation of Angular Momentum)

각충격량

0201

2

1

HH

0M

=

=∫t

tdt

즉 각운동량이 보존된다.(15-23)

Note. 물체에 전혀 힘이 작용하지 않으면 선운동량이든 각운동량이든 모두

보존되겠지만 ( : 힘의 작용선이 모멘트 중심점을 통과하는 경우)이작용하면 선운동량은 보존되지 않지만 중심력이 만드는 모멘트가 0 이므로

각운동량은 보존된다. (Fig. 15-23).

Fig. 15-23

질점계의 각운동량 보존

(15-24)

이면

15장 35 / 51Ex 15.13)

문제의 요지 : 정지된 물체에 P의 힘과 M의 모멘트가 작용할 때 4초 후의 물체의 속도?

Sol)

212

1B

t

t BB dt HMH =+ ∫Apply angular impulse and momentum principle

smv

vdtt

mvrdtPr

/20

)5(4.0)43(0

)(0

2

2

4

0

2

4

0

=

=++

×=×++

∫∫ M

15장 36 / 51

Fr

mMG e =2

m

r ur

Me

r = ∞

D 기준위치V (r = ∞) = 0

예제 15-8 (Problem 14-97)If the mass of the earth is Me, show that the gravitational potential energy of a body of mass m located

a distance r from the center of the earth is Vg = – GMe m/r. Recall that the gravitational force acting between the earth and the body is F = G(Me m/r2), Eq. 13-1. For the calculation, locate the datum an “infinite” distance from the earth. Also, prove that F is a conservative force.

문제의 요지 : 물체의 고도변화가 상당히 큰 경우엔 중력

가속도를 더 이상 일정하다고 볼 수 없다. 이경우엔 중력위치에너지가 어떻게 표현될까?

보존력이 되기 위해

따라서 F = – ∇ Vg 이므로 F 는 보존력이다. zrr

zyx

zr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

uuu

kji

θθ

15장 37 / 51

예제 15-9The two blocks A and B each have a mass of 400 g. The blocks are fixed to the horizontal rods, and

their velocity is 2 m/s in the direction shown. If a couple moment of M = 0.6 N·m is applied about CDof the frame, determine the speed of the blocks when t = 3 s. The mass of the frame is negligible, and it is free to rotate about CD. Neglect the size of the blocks.

문제의 요지 : 초기에 2 m/s 의 속력을 가지고 회전하는 block A, B(각 질량 400 g)를 가진 Frame에 0.6 N ·m 인모멘트를 3초 동안 가한 후의 block의 속력을 구하라.

일정한 모멘트

m/s5.9])3.0)(4.0[(23)6.0(]2)3.0)(4.0[(2

26.02

)mN(6.0

2

2

2

3

01

212

1

=∴⋅=+⋅

=+

=+

⋅=

∫

∫

vv

mrvdtmrv

HdtMH o

t

t oo

o kM

15장 38 / 51

예제 15-11 (Problem 15-103)

An earth satellite of mass 700 kg is launched into a free-flight trajectory about the earth with an initial speed of vA = 10 km/s when the distance from the center of the earth is rA = 15 Mm. If the launch angleat this position is φA = 70°, determine the speed vB of the satellite and its closest distance rB from the center of the earth. The earth has a mass Me = 5.976(1024) kg. Hint : Under these conditions, the satelliteis subjected only to the earth’s gravitational force, F = GMe m/r2, Eq.13-1. For part of the solution, useconservation of energy(see Prob. 14-97).

Fig. 15-103

문제의 요지 : 발사각도 70°와 발사속도 10 km/s 으로 발사된 인공

위성이 지구주위의 타원궤도를 따라 운동하다가

근지점(지구로부터 가장 가까운 위치)에 도달했을 때의

속력(vB)과 지구중심으로부터 근지점까지의 거리 rB를

구하라.

중심력문제(central force problem) 각운동량은 보존된다.

BBsAAAs

oo

rvmrvmHH

==

φsin21

15장 39 / 51

에너지 보존으로부터

B

seBs

A

seAs

BBAA

rmGMvm

rmGMvm

VTVT

−=−

+=+

22

21

21

위의 두 식으로부터 두 미지수 vB와 rB를 구하면

vB = 10.2 km/srB = 13.8 Mm