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CAPÍTULO P Preparação para o Cálculo 15
y - (-1) = ~(x - 2)
3(y + 1) = 2(x - 2)
2x - 3y - 7 = O
Substitua
Simplifique
Forma geral
(d) Indefinida
(d) O
3(c) -2
1(c) :3
10. (1,2), (- 2,4)
Forma ponto-coeficiente angular
Substitua
(b) - 2
(b) -3
Simplifique
Forma geral
.....•..
J
...•.•....•.
..·f·
~_: 19
.I
-.........
/- -6
(b) A escala no eixo x é a mesma escala no eixo y.
(a) 1
(a) 3
Coeficientes angulares
10
s. y 6.y• j
28242016]284
,X",, ,x
Ponto
9. (3, -4), (5, 2)
7. (2,3)
8. (-4,1)
Nos Exercícios 7 e 8, esboce as retas que passam pelo pontocom o coeficiente angular indicado. Faça os esboços no mesmosistema de eixos coordenados.
Nos Exercícios 9 a 14, marque o par de pontos e encontre ocoeficiente angular da reta que passa por eles.
x
y - Yl = m(x - Xl)
Y - (-1) = -~(x - 2)2(y + 1) = - 3(x - 2)
3x + 2y - 4 = O
y
y
7
6
5
4
3
2
1
2.
-10
(a) A escala no eixo x não é a mesma escala no eixo y.
Figura P.21
4.
1234567
Observe a semelhança com a equação original.
b. Usando a recíproca negativa do coeficiente angular da reta dada, você pode determinar que o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta dada é - ~.Assim,a reta pelo ponto (2, -1) que é perpendicular à reta dada tem a seguinte equação:
ARMADILHA TECNOLÓGICA O coeficiente angular de uma reta aparecerádistorcido se você usar escalas diferentes nos eixos X e y. Por exemplo, as telas decalculadoras gráficas nas Figuras P.21(a) e P.21(b) mostram ambas as retas dadas
por y = 2x e y = -~x + 3. Como estas retas têm inclinações que são recíprocasnegativas, devem ser perpendiculares. Na Figura P.21(a), no entanto, as retas não
parecem ser perpendiculares, porque a escala no eixo x não é a mesma no eixo y.Na Figura P.21(b), as retas parecem perpendiculares pois a escala no eixo x é amesma no eixo y. Diz-se que esse tipo de janela está em uma escala quadrada.
10 6
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• x
Exercícios 1 a 6, faça uma estimativa do coeficiente angureta a partir do gráfico. Para imprimir uma cópia
.da do gráfico, veja o endereço www.mathgraphs.com.
Y I 269,7 I 272,9 I 276,1 I 279,3 I 282,3 I 285,0
5 30
r I 57 43
. 'os Exercícios 15 a 18, use o ponto da reta e o coeficiente~aular da reta para encontrar três pontos adicionais pelosqnais passa a reta. (Há mais de uma resposta correta.)
Ponto CoeI angular Ponto CoeI angular
15. (2, 1) m = O 16. (- 3,4) m indefinida
1. 7) m = - 3 18. (- 2, - 2) m = 2
Xmín =-6Xmáx = 6Xscl = IYmín =-4Ymáx =4Yscl = 1
Xmín = -15Xmáx = 15Xscl = 1Ymín =-10Ymáx = 10Yscl = 1
(b)
(b)
34. (0, O), (- 1, 3)
36. (-3, -4), (1,4)
38. (- 3,6), (I, 2)
40. (1, -2), (3, -2)
42. G, ~), (~, -~)
Xmín =-5Xmáx= 5Xscl = 1Ymín =-5Ymáx = 5Yscl = 1
Xmín =-10Xmáx = 10Xscl = 1Ymín =-10Ymáx = 10Yscl = 1
1
58. y = 2x - 3, y = -!x + 1
(a)
57. y = x + 6, y = -x + 2
(a)
Nos Exercícios 45 a 48, use o resultado do Exercício 44 para
escrever uma equação da reta.
45. Intersecção com o eixo x: (2, O)
lntersecção com o eixo y: (0,3)
46. Intersecção com o eixo x: (- ~, O)
Intersecção com o eixoy: (O, - 2)
47. Ponto na curva: (1,2)
Intersecção com o eixo x: (a, O)
Intersecção com o eixo y: (0, a)
(a =F O)
48. Ponto na curva: (- 3,4)
Intersecção com o eixo x: (a, O)
Intersecção com o eixo y: (0, a)
(a =F O)
Nos Exercícios 49 a 56, desenhe um gráfico da equação.
49. y = - 3 50. x = 4
51. Y = - 2x + 1 52. y = ~x-I
53. y - 2 = ~(x - 1) 54. y - 1 = 3(x + 4)
55. 2x - y - 3 = O 56. x + 2y + 6 = °
43. Encontre uma equação da reta vertical com a intersecção como eixo xem 3.
44. Mostre que a reta com intersecções (a, O) e (O, b) tem aseguinte equação:x y~ + b = I, a =F O, b =F °
Ajustando a Janela Nos Exercícios 57 e 58, use uma ferramenta gráfica para desenhar os gráficos de ambas as retas emcada janela. Compare os gráficos. As retas parecem perpendiculares? São retas perpendiculares? Explique.
Nos Exercícios 33 a 42, encontre uma equação da reta quepassa pelos pontos e esboce a reta.
33. (0, O), (2, 6)
35. (2,1),(0,-3)
37. (2, 8), (5, O)
39. (5, I), (5, 8)
41. (!, ~),(O, ~)
11109
12. (3, - 2), (4, - 2)
14. (~, ~), (~, -D
876
(a) Marque os pontos à mão e conecte os pontos adjacentescom um segmento de reta.
(b) Use o coeficiente angular do segmento de reta para determinar o intervalo em que a taxa do veículo está variando
mais rapidamente. Como a taxa variou?
Nos Exercícios 23 a 26, encontre o coeficiente angular e a
intersecção com o eixo y (se possível) da reta.
23. x + 5y = 20 24. 6x - 5y = 15
25. x = 4 26. y = - I
Nos Exercícios 27 a 32, encontre uma equação da reta quepassa pelo ponto e tem a inclinação indica da. Esboce a reta.
Ponto CoeI angular Ponto CoeI angular
27. (0,3) m = ~ 28. (-1,2) m indefinida
29. (0, O) m = ~ 30. (0,4) m = °31. (3, -2) m = 3 32. (-2,4) m = -~
(a) Marque os pontos à mão e conecte os pontos adjacentescom um segmento de reta.
(b) Use o coeficiente angular do segmento de reta para determinar o ano em que a população aumentou menos rapidamente.
22. Modelando Dados A tabela mostra a taxa r (em milhas porhora) em que um veículo está viajando após t segundos.
19. Projetando uma Esteira Uma esteira móvel é construída
para elevar-se 1 metro para cada 3 metros de deslocamentohorizontal.
(a) Encontre a inclinação da esteira.
(b) Suponha que a esteira liga dois andares em uma fábrica.Encontre o comprimento da esteira se a distância verticalentre os andares é de 10 pés.
20. Taxa de Variação Cada um dos seguintes números é umcoeficiente angular de uma reta representando a receita diáriay em termos do tempo x em dias. Use o coeficiente angular
para interpretar qualquer variação na receita diária para umacréscimo de um dia no tempo.
(a) m = 400 (b) m = 100 (c) m = O
21. Modelando Dados A tabela mostra a população y (em milhões) dos Estados Unidos no período 1996-2001. A variávelt representa o tempo em anos, com t = 6 correspondendo a1996. (Fonte: U. S. Bureau ofthe Census.)
CALCULO Vol. 1
1. ':. 1.2,5)I 1) ( ~ 1)13. --:."3, -4' 6
----------- .....--
CAPÍTULOP Preparação para o Cálculo 17
80. Depreciação Linear Uma pequena empresa adquire umapeça de equipamento por $875. Após 5 anos, o equipamentoestará desatualizado, não possuindo mais valor.
(a) Escreva uma equação linear que forneça o valor y do
equipamento em função do tempo x, O ~ x ~ 5.
(b) Encontre o valor do equipamento quando x = 2.
(c) Faça uma estimativa (com precisão de duas casas decimais) do tempo necessário para que o valor do equipamento seja de $200.
81. Aluguel de Apartamento Uma imobiliária administra um
prédio de apartamentos com 50 unidades. Quando o aluguel é$580 por mês, todas as 50 unidades são alugadas. No entanto,quando o aluguel é $625, o número médio de unidades ocupadas cai para 47. Considere que a relação entre o aluguelmensal p e a demanda x seja linear. (Observação: O termodemanda se refere ao número de unidades ocupadas.)
(a) Escreva uma equação linear que forneça a demanda x emfunção do aluguel p.
m (b) Extrapolação linear Use uma ferramenta gráfica paradesenhar o gráfico da equação da demanda e use os recursos de "trace" para prever o número de unidades ocupadasse o aluguel fosse elevado para $655.
(c) Interpolação linear Faça uma previsão do número deunidades ocupadas se o aluguel fosse diminuído para$595. Verifique graficamente.
82. Modelando Dados Um professor aplica periodicamente testes valendo 20 pontos e provas valendo 100 pontos. As notasmédias de seis alunos, dadas em forma de pares ordenados (x,
y), onde x é a nota média de testes e y a nota média de provas,são (18, 87), (10,55), (19,96), (16,79), (13,76) e (15, 82).
(a) Use os recursos de regressão de uma ferramenta gráfica
para encontrar a reta de regressão por mínimos quadrados para os dados.
(b) Use uma ferramenta gráfica para marcar os pontos edesenhar o gráfica da reta de regressão na mesma janelade visualização.
(a, O)
Reta
(b, c)
~(-a, O)
Medianas
Ponto
74.
72. (0,4), (7, -6), (-5,11)
70. y = x2 - 4x + 3
y=-x2+2x+3
(a, O)
(a, O)
Reta
(b, c)A(b, c)
~
5'Ie que os pontos de intersecção dos Exercícios 73, 74-5 são colineares.
--,1.. O)
ediatrizes
Exercícios 73 a 7S, encontre as coordenadas do ponto de
ção dos segmentos dados. Explique seu raciocínio.
?= x-
= 4x - x2
- 2. 1), (- 1, O), (2, - 2)
ão d';,'Temperatura Encontre uma equação linear<= ::1:presse a relação entre a temperatura em graus Celsius~ ;:-aus Fahrenheit F. Use o fato de que a água congela a- .32~ e ferve a 100cC (212CF). Use a equação para con-
~- ':::oF em graus Celsius.
Exercícios 71 e 72, determine se os pontos são colineares.
pontos são colineares se pertencem à mesma reta.)
Exercícios S9 a 64, escreva uma equação da reta que passa
ponto e que seja (a) paralela a uma reta dada e (b) per.cular à reta dada.
Ponto
78. Gastos com Reembolso Uma companhia reembolsa seus
representantes de vendas com $150 por dia para alojamento ealimentação mais 34 centavos por milha percorrida. Escreva
uma equação linear que forneça o custo diário C para a com-
2. 1) 4x _ 2 = 3 60. (_ 3,2) x + = 7 panhia em fu~ÇãO de x, o número de milhas percorridas.3 7 Y Y Quanto custara para a empresa se um representante de vendas::. 8) 5x - 3y = O 62. (- 6,4) 3x + 4y = 7 percorrer 137 milhas em um certo dia?
2.5) x = 4 64. (-1, O) y = - 3 m79. Escolha de Carreira Um funcionário tem duas opções de car-
de Variação Nos Exercícios 6S a 68, é dado o valor em gos em uma grande corporação. Um cargo paga $12,50 por horade um produto em 2006 e a taxa pela qual é esperado rrwis uma taxa adicional de $0,75 por unidade produzida. O
o produto varie durante os próximos S anos. Escreva uma outro paga $9,20 por hora rrwis uma taxa de $1,30 por unidade.lÇâo linear que dê o valor em dólar V do produto em (a) Encontre equações lineares para a remuneração horária W
.ão do ano t. (Faça t = O representar 2000.) em função de x, o número de unidades produzidas por
; 'alor em 2006 Taxa hora, para cada opção.
- ~2540 Aumento de $125 por ano (b) Use uma ferramenta gráfica para desenhar as equaçõeslineares e encontre o ponto de intersecção.
5156 Aumento de $4,50 por ano
_~ ... _ $ (c) Interprete o significado do ponto de intersecção dos gráfi-• ::_0.400 DnnlllUlçao de 2000 por ano d (b) C A' • f -cos a parte . orno voce usana esta III ormaçao para.,;245.000 Diminuição de $5600 por ano selecionar a opção correta se a meta fosse obter a maior
remuneração horária?Exercícios 69 e 70, use uma ferramenta gráfica para
~h~r as parábolas e encontrar seus pontos de intersecção.tre uma equação da reta que passa pelos pontos de
ção e desenhe o gráfico da reta na mesma janela deção.
Funções e seus Gráficos
• Usar a notação de função para representar e avaliar uma função.• Encontrar o domínio e a imagem de uma função.• Esboçar o gráfico de uma função.• Identificar diferentes tipos de transformações de funções.• Classificar funções e reconhecer combinações entre funções.
ceLO Vol. 1
_,r~ :i reta de regressão para fazer uma previsão da nota.é-±a de prova para um aluno com uma nota média de
-â-rede 17.
Interprete o significado do coeficiente angular da reta deregressão.
e O professor acrescenta 4 pontos à nota média de provapara todos na classe. Descreva as variações nas posiçõesdos pontos marcados e a variação na equação da reta.
83. Reta Tangente Encontre uma equação da reta tangente ao
círculo x2 + y2 = 169 no ponto (5, 12).
84. Reta Tangente Encontre uma equação da reta tangente aocírculo (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 no ponto (4, - 3).
Distância Nos Exercícios 85 a 90, encontre a distância entreo ponto e a reta, ou entre as retas, usando a fórmula para adistância entre o ponto (Xl' YI) e a reta Ax + By +C = O.
Distância = _IAx_I---;+=B=YI=+CI~A2 + B2
85. Ponto: (O, O)
Reta: 4x + 3y = 10
86. Ponto: (2, 3)
Reta: 4x + 3y = 10
87. Ponto: (- 2, 1)
Reta: x - y - 2 = O
88. Ponto: (6,2)Reta: x = -1
89. Reta: x + y = 1
Reta: x + y = 5
90. Reta: 3x - 4y = 1
Reta: 3x - 4y = 10
Seção P.3
91. Mostre que a distância entre o ponto (x" YI) e a retaAx+By+C=Oé
. IAx, + BYI + CI
DistânCIa = ~ A2 + B2
92. Escreva a distância d entre o ponto (3, 1) e a reta Y = mx + 4em função de m. Use uma ferramenta gráfica para desenhar o
gráfico da equação. Em que momento a distância é 07Explique o resultado geometricamente.
93. Prove que as diagonais de um losango intersectam-se perpendicularmente (um losango é um quadrilátero com lados demesmas medidas).
94. Demonstre que a figura formada ligando pontos médios de
lados consecutivos de qualquer quadrilátero é um paralelogramo.
95. Prove que se os pontos (x" Yl) e (x2, yJ estão na mesma reta
que (xt, yr) e (x;, y~), então
y~ - yt = Y2 - YI
x~ - xt x2 - Xl
Assuma que Xl *' x2 e xt *' x~.
96. Prove que se as inclinações de duas retas não verticais sãorecíprocas negativas entre si, então as retas são perpendiculares.
Verdadeiro ou Falso? Nos Exercícios 97 e 98, determine se aafirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique por queou dê um exemplo mostrando que é falsa.
97. As retas representadas por ax + by = c, e bx - ay = c2 sãoperpendiculares. Assuma a *' O e b *' O.
98. É possível que duas retas com coeficientes angulares positivos sejam perpendiculares entre si.
Funções e Notação de FunçãoUma relação entre dois conjuntos X e Y é um conjunto de pares ordenados, cada umda forma (x, y), em que x é um elemento de X e y é um elemento de Y. Uma funçãode X em Y é uma relação entre X e Y que tem a propriedade de que todos os paresordenados com o mesmo valor de x também tenham o mesmo valor de y. A variávelx é a variável independente, e a variável y é a variável dependente.
Muitas situações da vida real podem ser modeladas por funções. Por exemplo, aárea A de um círculo é uma função do raio r do círculo.
A é uma função de r
Nesse caso, r é a variável independente e A é a variável dependente.