2007年3月6日 富山大学理学部

ゲージ場の不思議

富山大学理学部 平山 実

1. 序2. 電場・磁場・電磁ポテンシャル3. 量子力学と電磁ポテンシャル4. AB効果5. 非可換ゲージ場6. 非可換ゲージ場がもたらすAB的効果7. 結語

1.序物理法則全体が従っている原理は何だろうか

Principles for laws of physics

運動学的法則：作用原理

δS = 0, S =∫Ldt.

S: 作用, L: ラグランジアンNewtonの運動方程式, etc.

動力学的法則(力の法則): ゲージ原理強い力, 電弱力（電磁力と弱い力）, 重力

2. 電場・磁場・電磁ポテンシャル荷電粒子の古典力学

F: 電荷qに働く力, E: 電場, B: 磁場A = A(x) = (φ,A): 4元電磁ポテンシャルx = (t,x): 4元時空座標

F = q(E +v

c×B),

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t,

B = ∇×A,

md2x

dt2= F.

E,B: 変換 A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c∂Λ∂t の下で不変.

(Λはxの一価微分可能関数)

E, Bは各x = (t,x)で確定した値をもつ場.

A: Newtonの運動方程式の中に現れない.

Maxwell方程式もE, Bのみで書ける.

Λの分だけ値が定まらない.

場? 不要？

ハミルトニアン : H =1

2m

[p− q

cA(t,x)

]2+ qφ(t,x).

荷電粒子の量子力学

i~∂ψ(t,x)∂t = Hψ(t,x), (?)

H = 12m

{p− q

cA(t, x)}2

+ qφ(t, x).

p:正準運動量(−i~∇), p− qcA:力学的運動量(mv)

(?)は下の変換に対して不変：

A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c∂Λ∂t ,

ψ → exp[iΦ]ψ, Φ = qΛ~c .

ψ → exp[iΦ]ψの意味は？

ψ(x)の場の理論要請：大域的位相変換ψ → exp[iΦ]ψ (Φ = const.) のもとで

作用は不変であるべし. → 電荷の保存.

より強い要請 (ゲージ原理)：局所的位相変換 ψ → exp[iΦ(x)]ψ, Φ(x) = qΛ(x)

~cのもとで作用は不変であるべし.

→ A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c∂Λ∂t

のように変換するゲージ場Aがなければならない.

A: U(1)ゲージ場.ゲージ原理によって導かれる. Λ(x)だけの不定性あり.積分 ∮

sA · ds =∫∫SB · dS = 磁束: 不定性なし.

4. AB効果

(M.Ueno. Doctor thesis)

• 電子はコイル外のみを運動.

•コイル内でのみB 6= 0.

•コイル内外でA 6= 0.

スクリーン上の干渉縞はコイル内のBの影響を受けるか.

(電子はBを感じるのか, Aを感じるのか.)

受ける. Aを感じるのだ.

Ehrenberg− Siday(1949)

Aharonov −Bohm(1959)

S-W(1974): Bのみを感じるのだ.

∵ 流体力学的定式化では |ψ|2を決めるのにAは不要.

B-L(1978): 受ける筈がない. Bのみを感じるのだ.

∵ (多価のΛによる)ゲージ変換でコイル外でA = 0とできる.

S-Wの場合 : あらたに波動関数(ψ)の一価性の条件を課す必要あり.

B-Lの場合 : コイル内にAが定義されない点(特異点)が発生する.

実験Mollenstedt-Bayhの実験(1962)

干渉縞への影響を確認.

棒状コイル. 磁場は洩れていないのか.

Tonomura et al.の実験(1984)

ドーナツ状強磁性体. 磁場は洩れていない.

電子はU(1)ゲージ場A = (φ,A)を感じている.Aは実在.

（外村彰：電子通信学会誌, 2000年）

5. 非可換ゲージ場

1930年代の強い力:

核力の理論は陽子と中性子を混ぜ合わせる大局的変換の下で不変.

Yang-Mills 1954

現代的バージョン:

クオークの力学はカラー自由度を混ぜ合わせる局所的SU(3)

変換の下で不変.（ゲージ原理）QRQGQY

→ h(x)

QRQGQY

, h(x) ∈ SU(3).

→Aaµ(x) = (φa(x),Aa(x)), (a = 1 ∼ 8). ８種類のグルーオン.

非可換ゲージ場. 相互作用の形態（動力学）が決まる.

ゲージ原理→ Aµ =∑8a=1A

aµT

a, T a: su(3)の生成子.

E, B→ Ea,Ba (a : 1 ∼ 8)

Fµν =8∑

a=1F aµνT

a =∂Aν

∂xµ− ∂Aµ

∂xν− ig(AµAν −AνAµ).

（g:結合定数）

QR, QG, QY の変換に伴って

Aµ(x) → h(x)Aµ(x)h−1(x) +

i

gh(x)

∂h−1(x)

∂xµ,

Fµν(x) → h(x)Fµν(x)h−1(x).

Aµ(x)の量子論

近距離で力が弱まる. 　漸近自由性.

定理：４次元のくりこみ可能で漸近自由な理論は非可換ゲージ場を含まねばならない.

(Gross-Wilczek, Politzer 1973)

漸近自由への補正は（エネルギーについて）対数的.

実験: 電子・陽子の深非弾性散乱, 高エネルギー→ Bjorkenスケーリング則.

エネルギー↓, スケーリング則の対数的破れ.

遠距離でも力が弱まらない. クオークの閉じ込め？

クレイ数学研究所千年期懸賞問題

Prove that the quantum theory of non-Abelian gauge field ex-

ists according to the rigorous standards of mathematical physics

(i.e. constructive quantum field theory) and it has a mass gap.

It has already been well proven at the standards of theoreti-

cal physics, but not mathematical physics, that the quantum

theory of non-Abelian gauge field exhibits a property known as

confinement.

可解方程式の理論へのボーナス

非可換ゲージ場の古典論４次元ユークリッド空間,

ゲージ群G,

反自己双対条件 (Ea,Baについての線形関係式)

G, 離散対称性の選択,

積分定数の選択,

ゲージ固定の仕方,

次元リダクション(4 → d = 1,2,3)

→ 知られているほとんど全ての1,2次元可解方程式.

ex. d = 2, G = SL(2,C): NLS, KdV, etc.

ex. d = 1:

戸田格子 (ゲージ固定)Euler top (G = SL(2,C))Lagrange top (G = SO(3,1))Kovalevskaya top (G = SO(3,2))Painleve eqs. (G = Painleve group ⊂ GL(4,C)))

KdVのd = 2 + 1への一般化= KP : NO.NLSのd = 2 + 1への一般化= Davey-Stewartson: NO.

6.非可換ゲージ場がもたらすAB的効果 ( 松原, 菅野-上野-山腰 1998 )

三つ葉結び目 三つ葉結び目を縁とする面S′

(M.Ueno. Doctor thesis)

S′の変形S”

(M.Ueno. Doctor thesis)

G, Hの近傍でのみEa, Ba 6= 0.

三つ葉結び目={x(κ)| κ = 0 ∼ 1, x(0) = x(1)} ≡ γ

Gγ = Pκ exp

ig

∫ 1

0dκAµ(x(κ))

dxµ(κ)

dκ

,

Aµ =∑

aAaµT

a.

Gγ : Stokes型公式. 面の張り方によらない.

Gγ=Ga(Gb)−1(Ga)−1Gb, Ga,Gb ∈ G. tr Gγ 6= 1.

群の非可換性 ⊗ ループのトポロジーの非自明性→ AB-効果のような効果

( U(1)ゲージ場ではGγ = 1 )

7. 結語重力：局所ローレンツ変換の下で不変な理論を実現するためのゲージ場

が引き起こす力 (Utiyama 1956)

弱電力：局所U(1)× SU(2)変換の下で不変な理論を実現するためのゲージ場が引き起こす力

(Glashow 1961, Weinberg 1967, Salam 1968)

Qα(x), Aaµ(x), Faµν(x)：値が定まらない.

Q：いいのだろうか.

A：いいのだ.

場の概念の拡張：時空Mとゲージ群Gの積：直積M ×G → Mの各点で定義された場MとGのねじれた積

→ ねじり方の自由度→ ファイバー束のConnection(接続), Curvature(曲率)→ Aaµ, F

aµν.

ねじり方の自由度に依存しない量のみが測定可能.

(M0bius Strip-Wikipedia)

本日

頭脳明晰につき休講