- 1 -

一般化された体系におけるcut 除去定理の成立条件

2007/09/19 SLACS

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目次• 1. イントロダクション

– 体系を一般化し、 cut 除去の条件を与えたい• 2. 各種性質の定義

– essential cut 除去– reductive– weakly substitutive

• 3. 証明の流れ– rank と degree による二重数学的帰納法

• 4. 体系の拡張– 右辺が複数の体系

- 3 -

様々な体系における cut 除去定理

成り立つ 成り立たないLK

LJ

K KT S5

FLc

FLcw

FLce FLe

FLewFLw

MALLLL

S4

FLFLwe

古典論理直観主義論理

様相論理

部分構造論理線形論理

体系を一般化

- 4 -

体系の定義

XX

)(,,

,, cutXX

rl

rl

)(......11

inn R

)()(

......11 rX

nn ★★

始式推論規則

cut 規則 構造規則

論理規則)(

),(,......11 lX rl

nn ★★

※1. 英字は変数を、ギリシャ文字は変数列を表す

※2. ★ は任意の論理記号を表す。

※3. 　　　　 は X1,…,Xn が★で結合された論理式を表す。（例　∧（ X ,Y ））

)(X★

- 5 -

推論規則の条件)(......11

inn R

1. 仮定の左辺に現れる変数は全て結論の左辺にも現れる（右辺も同様）2. 左辺と右辺に共通する変数はない例)(

,,,,, sc

rl

rl(exp)

,,,,,

rl

rlXX

X)(,,

, wX rl

rl

XX ,,

XX

,,

　　 　

rl

rlrl,,,

,,,,

21

21

○

○ ○○

× ×

- 6 -

論理規則の条件

1. 主論理式以外の変数について、構造規則と同じ条件が成り立つ2. X1,…,Xn は結論では主論理式の中以外には現れない

例

)(),(,

......11 lX rl

nn ★★

)(

)(......11 r

Xnn ★

★

3. X1,…,Xn は仮定では高々１回ずつしか現れない

4. １つのシークエントに同じ変数が２つ以上現れることはない

)( rYX

YX

)( r

XXXX

○ ×

)(),,(

rZYX

ZYX

○

○○

□□

- 7 -

照井 , Ciabattoni(2006) の結果

reductive cut 除去

右辺が単数の体系 （論理規則は substitutive ）

右辺が複数の体系

reductive かつ

coherent かつpropagating

modular cut 除去reductive かつ

（ exchange 規則を持つ）

essential cut除去

essential cut 除去

weakly substitutive

weakly substitutive

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目次• 1. イントロダクション

– 体系を一般化し、 cut 除去の条件を与えたい• 2. 各種性質の定義

– essential cut 除去– reductive– weakly substitutive

• 3. 証明の流れ– rank と degree による二重数学的帰納法

• 4. 体系の拡張– 右辺が複数の体系

- 9 -

cut 除去

essential cut 除去

全ての論理規則が reductive全ての推論規則が weakly substitutive

essential cut 除去

LKLJ

FLceFLew

FLwMALLFL

FLcFLcw

ここに入る体系を考える

- 10 -

)()(

,,,,,

,,,,,,

cut

A

　 　

　 　　 　　 　

　 　

cut 除去が異質な形で成り立つ例 1

)(,,

,,,,,)(

cut

BArBA

　 　 　 　　 　 　

)(,,

,,, lYX

YX

rl

rl )( r

YXYX

)(,,

,, cutXX

rl

rl

体系 L 1 … 　始式　　　　　および以下の推論規則XX

しかし、 L 1 では cut 除去が成り立つ （　　　は使う機会がないため）)( l

A∧B A∧B

A AB B

?

)( l

)(cut

- 11 -

体系 L 2 … 　始式　　　　　および以下の推論規則

cut 除去が異質な形で成り立つ例 2

)(,,

cutABA

AA

AA

　 　 　　 　　 　　 　

　 　

),(,

, lYX

X

　 　　 　 )(

,,,,, c

XXX

rl

rl )(cut

XX

)( lABA

AA

しかし、 L 2 では cut 除去が成り立つ

(exp),,,

,,

rl

rlXX

Xetc

A AA )( l

(exp)

ZZ

AA∧B

)(,

,,

l

ABAABA

AAAAA

　 　 　　 　 　

(exp))( l

)(c

AA A∧B

A∧B

- 12 -

essential cut 除去の準備

T

SS n

1

1. 前提集合 A

2. 論理階数 Ω

… 　原子論理式のみからなるシークエントの集合

右のような証明図が存在するとき、

T は前提集合 {S1,...,Sn } から導出可能という

… 　証明図中の論理規則をある法則に従って数えた数

1)},({max),(1

nii DSDT

0),( DT

ni

i DSDT

1

)},({max),(

),(),(),( 21 DSDSDT

T が始式または前提集合の要素の場合(I) が構造規則の場合(I) が論理規則の場合(I) が (cut) の場合

)(1 IT

SS n

D

・ cut 規則について閉じている。すなわち、A A 0

0

2121 )(, Scut

SSSSS 　　　　 ならばかつ

- 13 -

essential cut 除去体系 L において、任意の論理式 S0 について次の２条件が成り立つとき、L は essential cut 除去を満たす、という。

1. S0 が前提集合 A から導出可能ならば、 S0 は A から (cut) なしで導出可能

2. S0 が前提集合 A から導出可能かつ cut 論理式が全て原子論理式ならば、　 S0 は A から (cut) なしで論理階数が増えないように導出可能

S1 …… Sn

S0

(cut) (cut

)

S1 …… Sn

S0

S1 …… Sn

S0

(cut) (cut

)

S1 …… Sn

S0

原子論理式論理階数 )()( 21 DD D1 D2

- 14 -

essential cut 除去 2

前述の例(L1)

前述の 2 つの例では cut 除去は成り立つが、 essential cut 除去は成り立たない

前提集合として 　 をとるとessential cut 除去の条件 1 を満たさない。

},,,,,{ BABA

（条件 1. S0 が前提集合 A から導出可能ならば、 S0 は A から (cut) なしで導出可能）

)(,,

,,,,,)(

cut

BArBA

　 　 　 　　 　 　A∧B A∧B

)( l

)()(

,,,,,

,,,,,,

cut

A

　 　

　 　　 　　 　

　 　

A AB B

?

)(cut

- 15 -

essential cut 除去 3

前述の例(L2)

前述の 2 つの例では cut 除去は成り立つが、 essential cut 除去は成り立たない

下の変型は論理階数が増加しているため、条件 2 を満たさない条件 2. S0 が前提集合 A から導出可能かつ cut 論理式が全て原子論理式ならば、　　　　　 S0 は A から (cut) なしで論理階数が増えないように導出可能

)(,,

cutABA

ABAAA

AA

　 　　 　

　 　 )( lABA

AA

A AA )( l

(exp)

)(,,

,

l

ABAABABA

ABAAAAA

AA

(exp))( l

)(c

- 16 -

cut 除去

essential cut 除去

全ての論理規則が reductive全ての推論規則が weakly substitutive

essential cut 除去

LKLJ

FLceFLew

FLwLLFL

FLcFLcw

L2L1

- 17 -

　　　　　　　　の主論理式を cut したシークエントを論理規則なしでもとの仮定から導出可能

性質 1. reductive

)(),( rl ★★ が reductive である)(),( rl ★★

)(,,'

)(,,',')(,

cutl

BABAr

BABA

)(,,'

)(,,'

,',

cutcut

ABBA

A

は reductive である)(),( rl

例

- 18 -

性質 2. weakly substitutive( 構造規則 )

が weakly substitutive である)(......11i

nn R

例)(

,,,,, c

XXX

rl

rl の結論の X に Y,Z を代入した場合を考える

)(,,,

,,,,, scZY

ZYZY

rl

rl

)()(

,,,,,,,

)(,,,,,,,,,,

cc

ZYZZY

eZZYYZYZY

rl

rl

rl

rl

(c) は (sc) または (e) を持つ体系では weakly substitutive である

結論の任意の変数に変数列 Φ を代入したシークエントは、仮定の同じ変数に Φ を代入したシークエントから構造規則のみで導出可能

- 19 -

性質 2. weakly substitutive( 論理規則 )

が weakly substitutive である

例

)(),(,

......11 lX rl

nn ★★

結論の主論理式以外の任意の変数に変数列 Φ を代入したシークエントは、仮定の同じ変数に Φ を代入したシークエントから構造規則と縦に高々１回の (★,l) のみで導出可能

),(,

, lYX

X

　 　　 　Z

Z の Z に空列を代入した場合を考える

)(,,

,

l

YXYX

XX

　 　 　　 　 　

(exp))( l

)(c

XX X∧Y

X∧Y

(∧l) を縦に２回使っているため、 weakly substitutive でない。(★,r ) の weakly substitutive の定義も同様

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目次• 1. イントロダクション

– 体系を一般化し、 cut 除去の条件を与えたい• 2. 各種性質の定義

– essential cut 除去– reductive– weakly substitutive

• 3. 証明の流れ– rank と degree による二重数学的帰納法

• 4. 体系の拡張– 右辺が複数の体系

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十分性の証明

• cut 規則を拡張した n-cut を定義– 構造規則が自由に使えないため、 mix 規則のように大きい拡張はできない

• degree と rank の２重数学的帰納法による– ゲンツェンによる cut 除去と同様、 degree と rank を定義– n-cut の制限と前提集合 A の存在により、複雑な手順が必要– essential cut 除去を示すためには、論理階数も考慮

essential cut 除去全ての論理規則が reductive全ての推論規則が weakly substitutive

証明の手法

- 22 -

degree と rank

degree … 　論理式中の論理結合子の数

l-rank … cut 論理式が左上に連続して出現する最大の段数r-rank … cut 論理式が右上に連続して出現する最大の段数rank = l-rank + r-rank

)(,,

,)(

,,

)(,

cutXZXY

XYX

XX

rZX

ZZXZZw

XZXXX

　 　 　 　　 　 　

　 　

例

例

l-rank = 1 r-rank = 2 rank = 3

))(( ZYXWV の degree は 4

)(w )( l)(wX∧Z X∧Z

X∧Z

- 23 -

n-cut

)(,,,...,,,,

,,,...,,,,

121

121 cutnXXXX

nn

nn

ただし、 l-rank > 1 ならば n = 1

cut 規則を拡張した以下の規則を用いる

証明の手順• 証明図中の (cut) を全て (1-cut) に書き換える• 証明図中で最も上にある (1-cut) に着目• degree と rank による２重数学的帰納法

– 1. 1-cut のまま l-rank を下げる– 2. l-rank =1 となったら、 r-rank を下げる（この過程で n が増加）– 3. l-rank = r-rank = 1 となったら、

• degree が下がり、 1-cut のみになる。　 1. へ戻る• そのまま除去できる

• degree = 1 のときは論理階数が増加しないことも確認する

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)1(

)(

,,

cut

w

EBAEBA

DCA

　 　 　　 　 　

)1(

)(,

cut

wEBA

EAEA

　 　 　　 　 　

C∧D C∧D

具体例 ( 手順 1. l-rank を下げる )

weakly substitutive ( 結論に代入したものは仮定に代入したものから導出可能 )C∧D C∧D

C ∧ D に E を代入

- 25 -

)( rDACA

)2(

)(,

, cut

wEBA

EAEAA

EA

　 　 　 　 　 　 　　 　 　EDCC

EC

,

)(c

)( l

)(w

C∧D C∧D,C∧D

具体例 ( 手順 2. r-rank を下げる )

)( rDACA

)1(

)(,

cut

wEBA

EAEA

　 　 　　 　 　C∧D C∧D

EDCDCEDCC

EC

,, )( l

)(c

)(wweakly substitutive

C ∧ D に A を代入

- 26 -

)( rDACA

)1(

)(,

,,

cut

wEBA

EAEAA

EAA

　 　 　 　　 　 　 )(,

,

lEAC

ECEC

ADACA

　　 　 　　 　 　

)(c

)( r )(w

)1( cut

C∧D C∧D

C∧D C∧D

具体例 ( 手順 2. r-rank を下げる )

)( rDACA

)2(

)(,

, cut

wEBA

EAEAA

EA

　 　 　 　 　 　 　　 　 　EDCC

EC

,

)(c

)( l

)(w

C∧D C∧D,C∧D

weakly substitutive

C ∧ D に A を代入

- 27 -

)1(

)(,

,,

cut

wEBA

EAEAA

EAA

　 　 　 　　 　 　)( r

DACA

)(

,l

EACEC

)(c

)(w

C∧D C∧D

)( rDACA

)1(

)(,

,,

cut

wEBA

EAEAA

EAA

　 　 　 　　 　 　 )(,

,

lEAC

ECEC

ADACA

　　 　 　　 　 　

)(c

)( r )(w

)1( cut

C∧D C∧D

C∧D C∧D

具体例 ( 手順 3. cut を除去もしくは degree を下げる )

)1(

)(,

,,

cut

wEBA

EAEAA

EAEC

A

　 　　 　

)(c

C C)(w

weakly substitutive

C ∧ D に A を代入reductive

- 28 -

具体例 ( 手順 4. degree を下げて手順 1 から繰り返す )

)(,

,

wEBA

EAEAA

EA

)(w)(c

)1(

)(,

,

cut

wEBA

EAEAA

EAEA

　 　　 　C C

)(w)(c

)1(

)(,

,,

cut

wEBA

EAEAA

EAEC

A

　 　　 　

)(c

C C)(w

weakly substitutive

C に A を代入前提集合は cut 規則について閉じている

これも前提集合に含まれる

essential cut 除去が成立！

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目次• 1. イントロダクション

– 体系を一般化し、 cut 除去の条件を与えたい• 2. 各種性質の定義

– essential cut 除去– reductive– weakly substitutive

• 3. 証明の流れ– rank と degree による二重数学的帰納法

• 4. 体系の拡張– 右辺が複数の体系

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右辺が複数の場合への拡張体系の定義

)(,,,,,,,, cut

XX

rlrl

rlrl

)(),(,

......11 rX rl

nn ★★

推論規則cut 規則 論理規則（右）

条件の定義• essential cut 除去、 reductive 、 weakly substitutive などの定義は、今までのものをほぼそのまま拡張• 前提集合の定義に条件を１つ追加

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体系の定義

XX

)(......11i

nn R

始式推論規則

cut 規則 構造規則

論理規則)(

),(,......11 lX rl

nn ★★

• essential cut 除去、 reductive 、 weakly substitutive などの定義は、今までのものをほぼそのまま拡張• 前提集合の定義に条件を１つ追加

)(,,,,,,,, cut

XX

rlrl

rlrl

)(),(,

......11 rX rl

nn ★★

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右辺が複数の場合の十分性の証明

)(,,,,,...,,,,

,,,...,,,,,,

121

121 cutnlXXXXnr

nlnn

nnrl

cut 規則を拡張した以下の規則を用いる

)(,,,...,,,,,,

,,,,,...,,,,

121

121 cutnrXXXX

nnnn

l

rlnn

r

前提集合の要素に応じて、 nl-cut と nr-cut に優先順位を付ける。

それに応じて変型を行えば、 essential cut 除去を示すことができる。

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まとめと今後の課題• まとめ

– cut 除去の一般的な特徴づけを行った– 統語論的な証明を行った– exchange 規則を仮定しなくてもよいように

• 条件を加えて essential cut 除去 とした• weakly substitutive の定義を多少変更した

• 今後の課題– 様相論理を含むように拡張– 定義をシンプルに改良

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主な参考文献• A. Ciabattoni and K. Terui. "Towards a semantic char

acterization of cut-elimination". Studia Logica. Vol. 82(1). pp. 95 - 119. 2006.

• A. Ciabattoni and K. Terui. "Modular Cut-Elimination: Finding Proofs or Counterexamples". Proceedings of Logic for Programming and Automated Reasoning (LPAR'2006), LNAI. Phnom Pehn, November 2006.

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ご清聴ありがとうございました。