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Conjuntos
Contenidos del tema: Definición de conjunto Notaciones Relaciones elemento- conjunto y
Conjunto- conjunto Conjuntos especiales: . U, N, Z, Q,
R Diagramas de Venn – Euler Operaciones con conjuntos
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Definición de conjunto
Un conjunto es una colección de elementos bien determinada.
colección :sinónimo de famila, clase, etc
elemento:Sinónimo de objeto, miembro, etc
bien determinada: significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto
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Notación
Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,....
A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....
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Relación Elemento-
Conjunto: Pertenencia
La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia
Escribimos y decimos: a A (el elemento a pertenece al conjunto A)
……y en caso de que no pertenezca escribimos: a A ( a no pertenece a A)
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Representación con Diagramas de Venn-
Euler
b.a
BA
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¿Son conjuntos o no?
Los mejores cantantes del mundoLos hombres altosLos hombresLas chicas simpáticasLos perros dálmatasLos ganadores del premio Oscar
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¿Cómo se definen los conjuntos?
Por descripción verbalPor extensión o listado
Cuando se listan o especifican sus elementos
Por comprensión Cuando se da la propiedad que
verifican sus elementos. Predicados
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EjemplosDescripción verbal:
El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría
Listado: A ={Luis, María, Pedro, Iván, José}
Comprensión: A ={x / x es uno de los 5 primeros
ganadores de la rifa de Fe y Alegría} A ={x / P(x)}
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Ejemplos
Dados los siguientes conjuntos: A ={1,2,3,4,5,6,7,8} B = {Luisa, Ana, Pedro}
Diremos : 2 A Luisa B 10 A Pedro A
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Representación con Diagramas de Venn-
Euler
Luisa
Ana
Pedro
1 2 34
5 6 7 8
BA
1 2 34
5 6 7 8
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Subconjuntos
Relación Conjunto- Conjunto
Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B.
Esto lo escribimos como:
A B x : x A x B
A
B
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EjemplosDados los siguientes conjuntos:
A ={1,2,3,4,5,6,7,8} B = {2,4,6,8} C = {1,3,5,7}
Diremos : B A ( B subconjunto de A) C A ( C subconjunto de A) C B ( C no es subconjunto de B)
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Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si:
A B y B A
Es decir : A = B x : (x A x B y
x B x A)
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EjemploSean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; C = { {a,b },{c} }. Diga si las siguientes
aseveraciones son Verdaderas o Falsas.
{ c} B o { c} A { c} B y { c} A c A{ c, d, a } B{ c} C{a,b,c} B{{a,b }} C
F
V
FV
F
V
F
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Complemento de un conjunto
Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A
A ‘ = { x / x A }
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Conjuntos numéricos
Naturales :N = {1, 2, 3, 4, 5, …………………..}Enteros:Z = {……., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,
……}Racionales:Q = { p/q , p y q enteros y q 0}Irracionales:
I = Q ’
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Q
Z
N
I
Reales
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Operaciones con
conjuntosLa Unión
Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos.
A B = { x / x A x B }
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Ejemplo
A = { a,b,c }B = { d, e }A B = { a,b,c,d,e }
A B
A B
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Operaciones con
conjuntosLa Intersección
Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
A B = { x / x A x B }
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Ejemplo
A = { a,b,c, d, e }B = { d, e , f }A B = {d, e }
AB
A B
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Operaciones con conjuntosDiferencia
Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B
A -B = { x / x A x B }
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Ejemplo
A = { a,b,c, d, e }B = { d, e , f }A - B = {a,b,c }
AB
AB
A - B
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Algunas propiedades A A(basta probar que x : x A x A )¿Cuándo es este condicional verdadero?
A(basta probar que x : x x A )¿Cuándo es este condicional verdadero?¿Cómo es el antecedente?
(A ’) ’ = A
(Ver que esto es equivalente a probar ~ ~ P(x) P(x) , siendo P(x) : x A
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Algunas propiedades
Conmutativa : A B = B A y A B = B
A Asociativa:
A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
Neutro para la Unión: A = A
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Algunas propiedades
Neutro para la intersección A U = A
Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
De Morgan
(A B) ’ = A ’ B ’ (A B) ’ = A ’ B ’
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Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn
U
A
B
C
ABC
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Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn
U
A
B
C
A- B
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Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn
U
A
B
AB - AB
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Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn
U
A
B
C C - AB
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Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn
U
A
C
U - AC
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A continuación se dan una serie de conjuntos definidos por comprensión. Se pide definirlos por extensión .(Z es el conjunto de números enteros)
A = { x Z / 3 < x 10} B = { x Z / x 1 x 5 } C= { x Z / x < 12 x 8 }
Utilizando los conjuntos definidos en el ejercicio anterior Encuentre:
a.A C b. A C c. B Cd. A B
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¿Verdadero o falso? ….Justificar la respuesta
{ -2,0,2 } { -2,-1,1,2 } {2,5 } { 0,1,2,3,4,5} Para cualquier conjunto A se verifica: A A { -7,4,9 } { x / x es un número impar}
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EJERCICIOS