- classical mechanics -- solutions to problems in goldstein's (2000)

18

Upload: boazsp

Post on 17-Nov-2014

719 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

�������������� ������������������� ����� ����!� "������$#%'&)(+*�*�,.-/(�&10 23-546(�78,.-5* #9���3:3����!<;�!�=�����

>�?A@1BDC�E9BDFHGI�JLKAJLM)N�OPOQRO.SPSPS

TVUXW8Y[Z]\6^ _

`'acb+d6e�fhg ikjli

monqpsrltvu)pswlx�y{z=|~}{|~ns��t~tv������z=u)w��)xL��u)r)���qw]z��{��|vy��{r��=|v�Dult~���q��u)�+|v���=|vns}���n�u)tvu�r���z=y{n�y{�3��y����uln���ps���D�������6u)�] �r{x���ns������z=|v}D¡D�¢��n�}Dtvu�wc�=y���¡su£��|~z�u�r��=|vyDn�y��"�=¡�u£u)tvu�r��=z�yDn���n�u)p���z=|vnsy¤ |v��¡���y{��uln��=p��¥�{� ¦{¦��6u)�] �r{�3§¨¢¡�uh�6u)�©§ª�+|~t~tv|~y{n�u)tvu�r���z=y{n��Dy{tv��«L|¬wR��p�n�|v�Ry���u)n�ulz=}{�Dxpsw�u)��|~n­��y���ulz=n­®�¡q��w�|~r)wlxLu)¯�ps�{tR�=y$�D� °D¦²±³�)¦�´Pµ�ulz=}s��¶�y{z=z�u�w�®Ay{n.��|vns}{t~�{xL�6ul�� �r�|¬w+�p�n�|v��y{�"tv|~n�u)�{zR��y{��u)nD�=p��·u)¯�ps�{t���y+¸�� ��¹]±²�)¦ ´�º¼» }{�+�½rl�9 �w�u)r���«�¾¿n ¤ ¡s������|vz=u)r���|~y{n���yqu)w��¡suknqpsr�t~ulp.whz=u)rly{|~t¬À1Á³¡s���£|¬w£|v�=w£��y{��uln��=p��Â|vn��6ul�� �r)À1¾½�/�=¡�u+���Dw�why��/�=¡�u+z�u�w�|¬��ps�{tnqpsr�t~ulp.w¢|~w5�s� ÃD¦k±��)¦ ´PÄ�Ä }D��x ¤ ¡.���Å|¬w5|Æ��w¢Çq|vn�ul��|¬r]uln�u)z�}D�{x�|~n²ult~u)r��=z�yDn9�Dy{tv�=w�ÀÈ t¬�{rlu���¡su+nqpsrltvu)psw]���É��¡�u+y{z=|~}{|~n�x"��ns��w�p�®s®.y�w�uÊ��¡�u�u)tvu�r���z=y{n�|~wÉul��|v���=u)��|vn���¡�u®AyDw�|Æ�=|v�Du�ËÌ��|~z�u�r���|~y{nÍx3�{ns�1��¡�u6n�u)p���z=|~n�y�|vnÌ�=¡�u6®.y�w�|v��|~�{u6ÎÏ��|vz=u)r���|~y{n���¨¢¡sulnÌ��¡�uz=u)w�p�tÆ����n��5y����¡�u�u)tvu�r���z=y{n²��n.�9n�u)p���z=|~n�y���y{��uln��=�+¡s�Dw¢����}{ns|Æ�=ps��u

Ð Ñ�Ò�ÓÍÔsÐDÕ×Ö §¼�DØ����D« Ä/Ù � Ä ÕÛÚ �6ul�� �r�Ü��n.�9|v�=wÅ��|vz=u)r���|~y{n����{Ç{u�w5��n²��n�}Dtvu

Ý Õ ����n ´�º �{ØÞ���� Õ °{¦Dߤ |v��¡��=¡�u9ÎÌ��±�|~w)�6¨¢¡�u9nqpsrltvu)psw��Êpsw��+�{r)¯�p�|vz=u��6��y{��u)nD�=p��ày��5u)¯�ps�{tR����}Dn�|v��ps��u��n.����|~z=u)r��=u)��|~n��=¡�u]y{®�®AyDw�|v��u���|~z�u�r��=|vyDn��c¨¢¡�u�Çq|vn�ul��|¬r]uln�u)z�}D��y�����¡�u�nqpsrltvu)psw¢|¬w

á Õãâ ÄÚ�ä Õ¹��6ul� Ä r�´AÄÚÉå ��Ø Ã å �)¦ ´AÄ=Ä }D� å

�DØ���æ å �)¦�´AÄ=»É}{����6ul�×r ´AÄ Õ Ã�Ø~�]ul�

¨¢¡�|¬wÉ|~w£�kpsr�¡8w����{tvt~ulz£��¡s�{n��=¡�u�n�p.r�t~ulpsw£z�u�w¼�]ulnsulz=}{�²y��Rw�ul�Dulz���t�¡�psns��z=u)��çÉu)�kx�w�y��¡su�n�y{n��½z=ult¬����|~�q|~w���|¬rÉ��®�®�z=y�±�|v������|~y{n9|¬w�è¼psw���|vésu)���

Page 2: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 Ú

`'acb+d6e�fhg ikj�5¨¢¡�u7698!:<;�=�6?>�69@BAC:!D�E�F6y{�]��®s�{z��=|~rltvu6yDnÌ��¡�u�u���z���¡Ì|~w���¡�u���|~n�|~�kp��ã�{u)tvy�r�|v�¼�$z=u)¯�p�|~z=u)������=¡�u9w�p�z��ª�{r�u�y{���=¡�u�u)�{z��=¡�|vn�yDz=��u)z]��¡s������¡�u9®s��z���|¬r�t~u�rl�{n8u�w�r)��®Au�� z�yD� �=¡�u�u)�{z��=¡HG w}{z����q|Æ�����=|vyDns��t.ésult¬�"�,IÅu)}{t~u)r��=|vns}���¡�u�z=u)w�|¬w¼����nsrluÉy{��=¡�uk������yDw�®�¡�u)z�uDxq��¡�ukw���w¼�=ul� |~wÅrly{n��w�ulz=������|~�{uD�KJ�z=y{� �=¡�u�rly{nsw�ulz=�����=|vyDn���¡�u)y{z=ul� � y{zÊ®.y{��uln��=|~�{t3®stvpsw+Çq|~n�u��=|~r9uln�u)z�}D��w�¡�y ¤��¡.������¡su�u)w=rl�{®.u��{u)tvy�rl|Æ�¼�6� yDz���¡su�u)�{z��=¡�xÍ|~}{n�yDz�|~n�}���¡�u9®�z�u�w�u)nsr�u�y{���=¡�u���yqy{n�x|~w�°s� Ã�¸��|  �w�u�r��¾½���=¡�u�®s��z���|¬r�t~u�w¼����z��=w]���]��¡su+u���z���¡HG w]w�psz��ª�Dr�u ¤ |Æ�=¡��=¡�u�u)w=rl�{®.u+�{u)tvy�r�|v�¼�{xÍ|Æ� ¤ |~tvtè¼psw��Å����ns�{}{uÉ��y���z=u)�{Ç�� z�u)u]y�����¡�u�u���z���¡HG w3ésult¬�²��ns��¡s���Du£nsy���¡s|vn�}�t~u�� ���R¨¢¡qpsw5��� �=ulz|v�]¡.�{wÉu)w=rl�{®.u����=¡�u�u)��z���¡LG w£ésu)t~��|Æ� ¤ |~tvtc¡.���{u+n�y²Ç�|~n�ul��|¬rÊu)n�ulz=}{�²t~u�� ��x��n.���{t~w�y9n�y®Ay���u)n���|¬��t�ulnsulz=}{��w�|vnsrlu5|Æ�CG wLyDp��/y��.��¡�u5u���z���¡HG wésult¬�"x�w�y]|v�=w���y{�=�{t�uln�u)z�}D� ¤ |vt~t��AuNMlulz=ys�O |~nsr�u���¡�u�®.��z���|¬r�t~uPG w¢��y{�=��tÍuln�u)z�}D�9�kp.w¼�h�Aukrly{nsw��=�{nD��x�|v�£�kp.w¼�h�{t~w�y�¡s���{u�M)ulz=y+��y�����tulnsulz=}{�����3��¡�u�w�p�z��ª�{r�u£y����=¡�u]u)�{z��=¡��c¨¢¡�|~w3��u)�{nsw���¡s�����=¡�u]Çq|vn�ul��|¬rÉuln�u)z�}D�+|v�¢¡s�{w¢�����¡suÊw�p�z��ª�Dr�u�y{�c��¡�uÊu)�{z��=¡��kpsw��£ul±��{r��=tv�²rl�{nsr�u)tÍ�=¡�uk}Dz=���q|v�=����|~y{ns�{t"®.y{��uln��=|~�{tu)n�ulz=}{�|v�Å¡s�{w3�=¡�ulz=uPQ

�Ú äSR ÄT�UWV äYX[Z\ Z Õ ¦

w�yR�Õ^] _ Ú V X`Z\ Z a Õb_ ÚÉå § °�Ø °�� å ��¦ º=º �(c]Çq} ´ c w ´PÄ « å § ¸�Ø Ã{æ å ��¦ Äed Ç�}q«

°�Ø �{æ å ��¦ µ � a ºef=ÄÕ �D�{Ø Ú Çq�9 �w å �]��{Ø °��ÉÇq� Õ °�Ø ÃD¸k�+|  �wlØ

Page 3: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 �

`'acb+d6e�fhg ikj��

� y�r�Ç{ul�=w���z=u�®sz�yD®.u)tvt~u)�k���]�=¡�u¢��y{��uln���ps�×z�u��{r���|~y{n�y{����¡�u¢ul±q¡.��psw���}��{w�u)wu�±�®Ault~tvu���� z=y{���¡su]�=��|~tH� O |~nsrlu]��¡�u�w�u�}��{w�u)w5�{z�|¬w�uÉ� z=y{����¡�u�z=u)�Dr��=|vyDn�y{���=¡�u�� p�u)t~whrl��z=z=|vu��9|~n²��¡�ukz�y�r�Ç{ul���¡su£���{w=w3y����¡�uÉz�y�r�ÇDu��¢|~w3n�y{�¢rly{nsw��=�{nD��xq��p��Å��u)rlz�u��{w�u)w3�{w���¡su£� psult"|¬w�ul±�®.u)ns��u)��� O ¡�y ¤��¡.���É��¡�u+u)¯�ps����|~y{n�y{�R��y���|~y{n�� y{z]��z=y�r�Ç{u��É®�z=y�è¼u)r���u��6�{u)z��=|~r)��t~tv��p�® ¤ �{z=��|vn8�9p�ns|Æ� yDz��}{z����q|Æ�����=|vyDns��t.ésult¬�"x�nsul}{t~u)r���|~n�}����=�+y�w�®s¡�ulz=|~r£z=u)w�|~w��=�{nsr�uDx�|~wä�� R

���Õ U R��� ä�� U ä�� Ü

¤ ¡�u)z�u ä |~w�=¡�u5���{w=wy{�s�=¡�u¢z�y�r�Ç{ul���{ns� R � |¬w��¡�u5�Dult~yqrl|Æ�¼��y{����¡su5u)w=rl��®s|vn�}£}D�Dw�u�wz=ult¬���=|v�Du��y���¡su+z=y�r�Ç{ul�)��¾¿n���u)}{z����=u���¡s|~w]u�¯Dp.����|~y{n���y²y{���=��|~n R �Dw]�9� psnsr��=|vyDn�y{� ä x��{w=w�p���|~n�}²�r�yDnsw��=��n��£��|~�+u�z����=uÊy{��t~yDw=why{�����{w=wl� O ¡�y ¤ xP� y{z���z�y�r�ÇDu��Éw��=�{z��=|vns}�|~n�|v��|¬��t~tv�6� z=y{�Âz=u)w��)x¤ |v��¡ R � u)¯�ps�{tq��y�°{æD¦{¦h� �� �w�u�r5��ns�+�]���{w=wLtvy�w�wL®AulzRw�u)rly{ns�Êu)¯�ps�{t���y��� �°D¦���¡Êy��A��¡�u5|~n�|v��|¬��t���{w=wlxs��¡s���£|~n�yDz=��u)z5��y�z�u��{r�¡���¡suÊu�w�r)��®Au��{u)tvy�r�|v�¼����¡�uÊz=����|~y�y��c�=¡�u ¤ ul|~}{¡��hy{�c��¡�uk� p�ult��y+�=¡�u ¤ u)|v}D¡��¢y{�Í�=¡�u�ul��®��¼��z�y�r�Ç{ul�3�Êpsw��Å�.u��{tv��yDw��Å�{¦D¦� O p�®�®AyDw�u��=¡s����x�������|~��u � xÍ�=¡�u�z=y�r�Ç{u���¡s�Dw����{w=w ä § � «��{ns�8�{ult~y�r�|v�¼� R § � «���¨¢¡�u��y{�=�{tDul±��=ulz=ns��tD� y{z�r�u�y{n��=¡�u3z�y�r�Ç{ul�Í|¬w��=¡�uln�� Õ���ä § � «�x ¤ |Æ�=¡ ��Õ � Ú Øv�R� �� �w Ä x�®Ay{|~n���u����y ¤ n ¤ ��z���wlxqw�yÊ�=¡s���5�=¡�u]��y{�=�{t�r�¡s��n�}Du]|vn²��y{��uln��=p����Au�� ¤ ululn � ��ns� � Ù ��� |¬w

� ��� Õ U �qä § � « ��� Ø §¼��«m3�5��|~��u � x���¡�u�z=y�r�Ç{ul�3¡s�Dw¢��y{��uln���ps�

â § � « Õ ä § � « R § � «�Ø § Ú «� n8��¡�u�y{��¡�u)z�¡s�{ns�"xL��p�z=|vn�}²�=¡�u���|~��u�|~nD�=ulz=����t ��� �=¡�u�z=y�r�Ç{u���z=ult~u)�Dw�u�w��²���Dw�w� ä y��L}D�Dw5���h���Dult~yqrl|Æ�¼� R � ¤ |Æ�=¡6z�u�w�®Au)r��5��y���¡su�z�y�r�Ç{ul�)�c¾¿n�w�y���y{|~n�}sx���¡�u�z=y�r�Ç{ul�*G w�{u)tvy�rl|Æ�¼��|~nsrlz�u��{w�u)w3�q����n²����yDp�n�� � R �R¨¢¡�u]�=y��=�{t���y{��uln��=p�� ���5��|~�+u � Ù �� |¬w¢��¡�uw�p���y�����¡su��+yD��uln��=�+y�����¡su�z�y�r�Ç{ul�¢�{ns��}D�{w*Qâ § � Ù �� « Õ â�� Ù â�� Õ�� ä § � « U � ä���� R § � « Ù � R� Ù � ä�� R § � « Ù R � � §ª�D«O p����=z=�Dr��=|vn�}�§ Ú «5� z=y{� § �D«£��ns��u)¯�ps����|~n�}9�=¡�u���|��Pulz=uln.r�u ¤ |Æ�=¡Ì§���«�x ¤ u+¡s���{u�§ ��yész�w¼�5yDz=��u)z¢|vn6��|��Au)z�u)n���|¬��tͯ�ps�{nD�=|Æ�=|vu�w=«

U �qä § � « ��� Õ³ä § � « � R Ù R � � äy{z

� R��Õ U � U R �

ä § � «� ä���

Page 4: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ¹

¤ ¡�|¬r�¡ ¤ u]����� ¤ z�|v��u��Dw� R��Õ U � U R �

ä § � «�� § ¹�«

¤ ¡�u)z�u

� Õ � ä���Õ �°{¦ ä���� ´�º Ø

¨¢¡�|¬wk|¬w+����|��Au)z�u)n���|¬��t3u)¯�ps���=|vyDn�� y{zÊ��¡su9� p�n.r���|~y{n R § � «k}D|v�q|~n�}6�=¡�u��Dult~y�r�|v�¼��y{�Å��¡�uz=yqr�ÇDu��h�DwÅ��� p�nsr���|~y{n�y{�c��|~��u{�5Á8u ¤ y{p�t¬�²n�y ¤ tv|~Ç{u���y�z=u)r)�{w��5��¡�|¬w£�DwÅ����|��Pulz=uln���|¬��tu)¯�ps����|~y{n6� yDzh�=¡�uÊ� p�nsr��=|vyDn R § ä «h}{|~��|~n�}9��¡�u+z�y�r�ÇDu��*G w£�{ult~y�r�|v�¼���Dw£�9� p�nsr���|~y{n�y��R|v�=w���{w=wl��¨Íy���y²�=¡�|¬wlx ¤ u�é.z=w���y{�sw�ulz=�{uÊ��¡.���Êw�|vn.r�u���¡su�z�y�r�ÇDu��]|~w��e69@"6<;�8 D�����¡�u9���Dw�w� ä ul�Dulz=� �� w�u)r�yDns��w)x���¡�u]�=|v��uk��u)z�|~�����=|v�Du£y{��=¡�u�z�y�r�ÇDu��*G w3���{w=w¢|~w

� ä��Õ U � ä

��Õ U � Ø

Á8u]��¡�u)n�¡.���{u� R��Õ � R

� ä� ä���Õ U � � R

� äØO p��.w¼�=|Æ�=p���|~n�}�|~nD�=y�§ ¹q«�x ¤ u�y{������|~n

U � � R� äÕ U � U R �

ä �y{z

� R�Õ �

� � ä Ù R � � ää ؾ¿n���u)}{z�����|~n�}.x ¤ |v��¡��=¡�u�r�yDns��|v��|~y{n���¡s��� R § ä � « Õ ¦sxR § ä « Õ �

� § ä U ä�� « Ù R � t~n _ ää � a ØIÅy ¤ x � Õ §¼� ��°D¦D« ä�� w ´�º x ¤ ¡�|~tvu R � Õ �¿°{æD¦{¦�� �� �w)�/¨¢¡�ulnR § ä « Õ ��Ã{�D¦�� �� �w å _ ää ��U � a Ù °{æD¦{¦k� �� �w å t~n�� ä��ä��J�yDz ä����àä ¤ u�r)��n6n�u)}{t~u)r��5��¡�u�é.z=w��5��u)z���|vn²�=¡�u�®s�{z�u)n���¡�u�w�u�w¢y��L��¡�u�ész=w��5��u)z��²x}{|~�q|vns} R § ä « Õ U �)ÃD�{¦k� �� �w Ù °Dæ{¦{¦k� �� �w å t~n�� ä��ä�� ب¢¡�u�u�w�r)��®Au+�Dult~y�r�|v�¼��|~w R�Õ °�Ø ÃD¸k��|  �w Õ �{°sØ�� å �)¦ c£� �� �wl� È t~p�}D}{|~n�}���¡�|¬w�|~nD�=y²��¡�uu)¯�ps����|~y{n����Ay��{uÅ�{ns� ¤ y{z=Ç�|~n�}]�s�Dr�Ç ¤ ��z���w)x ¤ uÅésns�+��¡.����u�w�r)��®Au5�{u)tvy�r�|v�¼�k|¬wR�Dr�¡�|~ul�{u��¤ ¡�u)n ä � � ä6Õ]Ú Ã{�s�¨¢¡s��nsÇqw��=y���z=|¬��n��h��z��L� y{zL®Ay{|~nD�=|vns}ÉyDp��R��n+|~nsr�yDnsw�|¬w���uln.r���|~nÊ�Ê��y{z=|~}{|~ns��t�r�¡�yD|~rluy���n�y������=|vyDn9� yDz¢��¡�|¬w5®�z=y{��t~ul�²�

Page 5: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ¸

`'acb+d6e�fhg ikj��

O ¡�y ¤ �=¡s���É� y{zÉ�9w�|vn�}DtvuÊ®s��z���|¬r�t~u ¤ |v��¡8r�y{n.w¼����n��£���{w=w5�=¡�u+u)¯�ps���=|vyDn6y��/��y��=|vyDn�|~�+®stv|~u)w��¡su]� y{t~tvy ¤ |~n�}���|��Pulz=uln��=|~�{t"u)¯�ps���=|vyDn9� yDz¢��¡�u�Çq|~n�u��=|~r]u)n�ulz=}{� Q� á���Õ��Ìå�� Ü

¤ ¡�|~tvu]|v��=¡�u����{w=w¢����z=|vu�w ¤ |Æ�=¡��=|v��u]�=¡�u�r�yDz�z=u)w�®.yDns��|~n�}+u)¯�ps���=|vyDn�|¬w� § ä á «���Õ��Ìå�Ñ Ø

Á�u�¡.���{u

� Õ��Ñ § ¸{«¾½� ä |~wÅrly{nsw��=�{n��)x

� Õ³ä�� y����=|vns} � |~n���y��Ay���¡6w�|~��u)w)x

�1å���Õ³ä��6å ���Õ �Ú ä ����Ð ��Ð Ä

Õ � á��

§ª°D«� n���¡�u�y{��¡�u)z5¡s��ns��x�|Æ� ä |¬w¢n�y��hrly{nsw��=�{nD��x�|vn.w¼�=u)�{��y�� � ¤ u���y�� Ñ |~nD�=y6§ ¸{«9Q

�1ålÑ�Õ³Ñ�å��ÑÕ³ä��6å � § ä�� «

���Õ³ä��6å _ � � ä��Ù ä�� �

�� aÕ �Ú R Ä ���� ä Ä Ù �Ú ä Ä ��� § R Ä «Õ �Ú ����

§ ä Ä R Ä « Õ � § ä á «���Ø

Page 6: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 °

`'acb+d6e�fhg ikj��È z=y��{uÉ�=¡s���É��¡�uÊ����}{ns|Æ�=ps��u \ y{�c��¡�u+®.y�w�|v��|~y{n��{u)r���yDzÅ� y{zh��¡�u�r�u)n���ulzÉy��/���Dw�wÅ� z�yD�¥�{n��z=��|v��z���z=��y{z=|v}D|vn�|~w¢}D|v�Duln��q����¡�u�u�¯�ps���=|vyDn

X Ä \ Ä Õ X����³ä ��� Ä� U �Ú ����ä � ä �� Ä�� ØÁ�u�¡.���{u \� Õ �X ��� ä � Î �

w�y \ Ä Õ �X Ä �� � � ä Ä� Î Ä� Ù � ���� ä � ä Î � Î �����n.��w�|v��|~t~�{z�t~�

\ Ä� Õ �X Ä �� � � ä Ä� Ë Ä� Ù � ���� ä � ä Ë � Ë ��\ Ä� Õ �X Ä �� ��� ä²Ä���Ä� Ù � ���� ä � ä � � � ��� Ø

mh�s��|vns}sx\ Ä Õ � X Ä

�� � � ä Ä� � Ä� Ù � ���� ä � ä §���� å ����« �� Ø §H��«� n���¡�u�y{��¡�u)z5¡s��ns��x � Ä� Õ � Ä� Ù � Ä U Ú � � å � ���n.�"x�|vn²®s�{z��=|~rlp�t¬��z�x � Ä� � Õ ¦sx�w�y� �"! ä � ä �� Ä� Õ#� ���� � ä � ä �� Ä� Ù ä � ä �� Ä U Ú�ä � ä § �$� å �% « �

ÕÏÚ � ���� ä � ä �� Ä� U Ú � ���� ä � ä § �&� å �� «�Ø §ªæD«

IÅul±q�)xX�� � ä ��� Ä� Õ'� ä )( � � ä �"� Ä�+* Õ,� � ä Ä� � Ä� Ù � ���� ä � ä �� Ä� Ø §ªÃD«

Page 7: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 �

Ý

� ���� �� �

§ªÎÍÜ�Ë�«

J�|v}Dp�z=u+� Qc�6��rly{nsrlul®��=|vyDn�y{�Í��¡su�w�|v��ps����|~y{n²y�� È z=y{��t~ul� �{� æO p�����z��{r��=|vns}+¡.��tv��y{�3§ªæ�«�� z�yD� §ªÃ�«�x ¤ u]¡s���{u

X � ä �"� Ä� U �Ú � ���Dä � ä �� Ä� Õ,��� ä Ä� � Ä� Ù � ���� ä � ä §�� � å � � «��n.��rly{��®s��z=|~n�}k�=¡�|¬w ¤ |Æ�=¡�§H��« ¤ u�w�u)uÉ��¡s��� ¤ u��{z�u]��y{nsu{�

`'acb+d6e�fhg ikj��

¨ ¤ y ¤ ¡�ulu)t~w�y��z=�D��|vp.w�����z=uÅ��y{psnD�=u)�9y{n��=¡�u£u)ns��w�y���Êr�yD�+��yDn9��±�t~uhy���t~ulns}���¡�5w�psr�¡��¡.���c��¡su ¤ ¡�ulu)t~wcz=y������=u3|~ns��u)®.u)ns��u)nD�=tv�D�c¨¢¡�u ¤ ¡�y{t~u5r�yD�k��|~ns���=|vyDnÊz=y{t~t¬w ¤ |Æ�=¡�y{p��3w�t~|v®s®�|vns}y{n²�+®�t¬��n�uD� O ¡�y ¤ �=¡s���5�=¡�ulz=u���z=uÉ� ¤ y�n�yDn�¡�y{t~y{nsy{��|~r£u)¯�ps����|~y{nsw¢y{��rly{nsw���z���|~n��)xr�yDw Ý � Î Ù w�|vn Ý � Ë Õ ¦

w�|vn Ý � Î U r�yDw Ý � Ë Õ �P§ � � Ù � � � «§ ¤ ¡sulz=u Ý x�ÍxP��n.��� � ¡s���Du��+u���n�|~n�}�wÅw�|~��|vt¬��zh��y��=¡�u�®�z=y{�stvu)� y{�c�9w�|~n�}{t~u��Dulz���|¬rl��t��|~w=r�x��n.��§ ÎÜ�Ë�«��{z�uR��¡�u3r�yqy{z���|~ns���=u)w�y{�s�Å®Ay{|~n��y{n���¡�u¢��±�t~u/��|~� ¤ ���É�.ul� ¤ u)uln��=¡�u/� ¤ y ¤ ¡sulult¬w�«��n.�9yDn�u]¡�y{t~y{n�yD��|~rÉu)¯�ps����|~y{n�y��Lr�y{n.w¼�=z=�{|vn��)xÝ Õ � U �

�§�� U � � «

¤ ¡�u)z�u � |~w5��r�yDnsw��=��n�����6� r�y{n.r�ul®���|~y{n y��]��¡su�w�|v��p.����|~y{n³|¬w�|~tvt~psw���z����=u)� |~n J|~}{psz�u��D� Ý |¬w��=¡�u���ns}{t~u�Au�� ¤ ululn���¡su+έ��±�|~w]��n.���=¡�u���±�|¬w£y{���=¡�u+� ¤ y ¤ ¡�u)ult¬wl�����{ns��� � �{z�u+�=¡�u�z�y{�=���=|vyDn��ns}{t~u)wÉy�����¡�u+� ¤ y ¤ ¡�u)ult¬wlx��ns� �9��n.� � � �{z�uÊ��¡�u�t~y�rl���=|vyDnswÉy�����¡�u)|vz�rluln���u)z=w)�ʨ¢¡�ur�u)n���ulz5y{�Í�=¡�u ¤ ¡�ulu)tÍ��±�|¬w¢|~w3�=¡�u�®Ay{|~nD�cè¼p.w¼�Å�Au�� ¤ ulu)n �+��ns� � � Q

§ ÎÜ�Ë�« Õ �Ú §� Ù �

� Ü � � Ù ��� «�Ø

Page 8: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 æ

¾½�P��¡�u � ¤ ¡�u)ult.z�y{�=���=u)w��=¡�z�yDp�}{¡��{n��{n�}{t~u � �Íx��=¡�uÅ�{u�r��=y{z/��|¬w�®st~�Dr�ul��u)nD�/y{�"|Æ��wRr�u)n���ulz¤ |~tvt¡s���{u�����}Dn�|v��ps��u � � �8��ns�6��|vz=u)r���|~y{n���ul��ulz=��|vnsu)�6�q� Ý Ø/Jsy{zhul±�����®�t~u{xs|v� Ý Õ ¦��¡suln��=¡�u ¤ ¡�ulu)tL��±�|~w£|~w£®s�{z=�{tvt~ult��y9��¡�u�Î���±�|~w)xP|vn ¤ ¡�|¬r�¡�rl�Dw�uÊz�yDtvt~|vns}���¡su � ¤ ¡�u)ultr�t~y�r�Ç ¤ |~w�u ¤ |~tvt�r)��psw�uÉ|Æ�¢��y+��y��{u£|vn���¡�u]n�u)}D����|~�{uhË���|vz=u)r���|~y{n��c¾¿n�}{ulnsulz���tHx�z=u�� u)z�z=|~n�}��y+�=¡�u4J�|v}Dp�z�uDx ¤ u]¡s���Du� � Õ � � � � w�|~n Ý��� U r�yDw Ý��� � §��)¦D«� � �AÕ � � � � � w�|~n Ý � � U rlyDw Ý �� � §��{��«

mh�s��|vns}���¡�u�w�u�r�yD��®.yDn�uln�� ¤ |¬w�u ¤ uÉ¡.���{u º� Î Õ

�Ú � � � Ù � � � � w�|~n Ý

� Ë Õ U � Ú � � � Ù � � ��� r�y�w Ý�6p�tv��|~®�t~�q|vn�}��=¡�u)w�u]�q��w�|vn Ý y{z U r�y�w Ý ��ns�²�{�s��|vns}+yDzÅw�ps����z��{r���|~n�}sx ¤ u]y{������|~n

w�|vn Ý � Î U r�y�w Ý � Ë Õ � � � � Ù � � � �rlyDw Ý � Î Ù w�|~n Ý � Ë Õ ¦sØIÅul±q�)x�r�yDnsw�|~��u)zR�=¡�u]�{u�r���yDz � º�Ä Õ � U � �"rly{n�n�u�r��=|vn�}Ê��¡su]rluln���u)z=w�y��Í��¡�uÉ� ¤ y ¤ ¡�u)ult¬wl�¨¢¡�uk��u�ésn�|v��|~y{n6y{� Ý |~w£w�p.r�¡²��¡s���h|Æ��w5����n�}Duln��h�kp.w¼�/è¼p.w¼�É�.u��=¡�ukz����=|vy�y{�L��¡�u�˲��n.�Î�r�yD��®.yDn�uln��=w¢y{�Í�=¡�|~wÅ�{u)r���yDz*Q�=�{n Ý Õ Ë º¼ÄÎ º�Ä

� w�u)r Ä Ý � Ý Õ U Ë º¼ÄÎ Ä º�Ä � Î º�Ä Ù �Î º�Ä � Ë º¼Ä ØO p�����z��{r��=|vns}²§��{��«/� z=y{� §¼��¦D«�xw�u)r Ä Ý � Ý Õ � � � � U � � � ��_ U Ë º�ÄÎ Ä º�Ä w�|~n Ý U �Î º�Ä rlyDw Ý a

mÅ}���|~n�w�p��sw���|v��p���|~n�}�� y{z5Ë º�Ä ��Î º�Ä |vn��=¡�u]ész�w¼�¢��u)z�� |vn²®s�{z�u)n���¡�u�w�u�wlxw�u)r Ä Ý � Ý Õ U � � � � U � � ���

�Î º�Ä § �=�{n Ý w�|~n Ý Ù r�yDw Ý «

y{z

� Ý Õ U � � � � U � � ����Î º�Ä §ªw�|vn

Ä Ý r�y�w Ý Ù rlyDw c Ý «Õ U � � � � U � � ���

�Î º�Ä rlyDw Ý Ø §�� Ú «

���� ������������� ������! � ��#"�$ &%'�(��)*�(�����#����+,�(-��! &%' �"���(��./��%0./�213�,��#���(�����4�#���5�(�#��+(���6 �78����#�����(�9��%������#���:�-� ;�#���(���=<

Page 9: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 Ã

�Åy ¤ ul�Dulz�x�rly{nsw�|¬��ulz=|vns}Ê�=¡�u���ulésn�|v��|~y{n²y�� Ý x ¤ u]rltvu���z=tv�9¡s���{ur�y�w Ý Õ Î º¼Ä§ªÎ Ä º�Ä Ù Ë Äº¼Ä « ºef=Ä Õ Î º¼Ä��Au)rl�{psw�uÅ��¡suÉ���{}{n�|v��ps��u£y{����¡�u]��|¬w¼����nsrlu£�Au�� ¤ ulu)n

�º �{ns�

�Ä |~w¢r�yDnsw���z���|~n�u)���=yÊ�Au ��q����¡su�z�|~}{|¬����±�|~w)�c¨¢¡�uln�§¼� Ú «��Au)r�yD��u)w

� Ý Õ U � � � � � U � � ���

¤ |v��¡²|v����u)��|~����u�w�y{t~p���|~y{n Ý Õ � U ��� � U � ��� Ø

¤ |v��¡ � ��rly{nsw��=�{nD�5y{�|~nD�=ul}Dz=����|~y{n��`'acb+d6e�fhg ikj��

mX®s�{z��=|~rltvu]��y��{u�w¢|vn���¡su�Î U Ë�®�t¬��n�u�p�n.��ulz5�=¡�u�r�yDnsw���z���|~nD�¢�=¡s���Å|v�=w5�Dult~y�r�|v�¼���{u�r���yDz5|~w��t ¤ ���qwc��|vz=u)r���u)�+�=y ¤ �{z=�swc��®.yD|vn��RyDn���¡�u£Î9��±�|¬w ¤ ¡�y�w�uÅ�{�sw=r�|¬w�w=�]|~w�w�yD��uÅ}{|~�{u)nÊ� psnsr��=|vyDny��q�=|v��u��L§ � «�Ø O ¡�y ¤ ��¡s���Í� yDz��L§ � «Í��|��Au)z�u)nD�=|~�{��t~u{x���p��y{��¡�u)z ¤ |¬w�uR��z=��|v��z���z=�{x��=¡�u�rly{nsw���z���|~n��|¬w¢n�y{n�¡sy{t~y{n�yD�+|¬r��¨¢¡�u]®s��z���|¬r�t~uPG w�®.y�w�|v��|~y{n�|~w]§ªÎ§ � «�Ü�Ë"§ � «�«�x ¤ ¡�|vt~u£��¡�u]®AyDw�|Æ�=|vyDn9y����¡�uÉ��y��q|vn�}+®Ay{|~nD�|¬w�§��L§ � «�Ü�¦�«��/¨¢¡�u)n��=¡�u��{u�r��=y{z � � z=y{�o�=¡�u�®s��z���|¬r�t~uÉ��y��=¡�u�®.yD|vn��Å¡s�Dw5r�yD�+®Ay{nsuln��=w

� Õ Î§ � « U �L§ � « � � Õ ËP§ � «�Ø §��)�D«¨¢¡�u]®s�{z��=|~rltvu G w¢�Dult~yqrl|Æ�¼� � ¡.�{w5r�yD��®.yDn�uln��=w

R Õ � Î���

R � Õ � Ë���

§��l¹�«��n.��� yDz¢��¡�u��Du)r��=y{z�w3|vn�§¼���D«3��n.�8§������=y��.u�|~n���¡�u�w=����u���|~z�u�r���|~y{nÍx ¤ u]z=u)¯�p�|~z�uR �R Õ � �

� y{z

� Ë � ���� Î � ��� Õ � Ë

� ÎÕ Ë"§ � «Î�§ � « U �L§ � «w�y

� ËË Õ � ÎÎ U �L§ � «§���¸{«J�yDz5u�±�����®�t~u{x�|v��L§ � « Õ� � x��=¡�uln ¤ u]�����9|vn���u)}{z����=u£�=y+ésns�tvn5Ë"§ � « Õ t~n � Χ � « U § � « � Ù �y{z ËP§ � « Õ �Ûå� Χ � « U � �¤ ¡�|¬r�¡�|¬w]��¡�y{t~y{n�yD��|~r+r�yDnsw¼�=z=�{|vn���� �3p���� y{z]}{u)n�ulz���t��L§ � «£�=¡�u�z�|~}{¡���w�|¬��u�y��]§¼��¸{«h|~wn�y{�¢|~n���u)}{z�����t~u{x�w�y+��¡�u�rly{nsw���z���|~n��3|¬w5n�yDn�¡�y{t~y{nsy{��|~r{�

Page 10: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ��¦

Ý

��

J�|v}Dp�z�u Ú QL����r�yDnsr�u)®���|~y{n�y�����¡su�w�|v��ps����|~y{n�y�� È z=y{��t~ul�Â�D�v��¦`'acb+d6e�fhg ikj)i��

¨ ¤ yk®Ay{|~nD��w¢y��Í���Dw�w ä ��z=u/è¼yD|vn�u��9�q���Êz�|~}{|¬� ¤ ul|~}{¡��=tvu�w�w�z�y��9y��Ít~uln�}{��¡ � x���¡su]rluln���u)z¢y��¤ ¡�|¬r�¡�|¬wÉrly{nsw���z���|~n�u��²��y���y��{ukyDn���r�|~z=rltvuÊy��Rz��{��|~psw �A� O u��]p�®��=¡�u+Ç�|~n�ul��|¬rÊu)n�ulz=}{��|~n}{u)n�ulz���t~|"Mlu)��r�yqy{z���|~ns���=u)w)��6�²r�y{n.r�ul®���|~y{n²y��L��¡s|~why{n�u�|¬wÅw�¡�y ¤ n²|vn J�|~}{p�z=u Ú � Ý |¬w¢��¡suÊ��ns}{t~u�z�u)®�z�u�w�u)n���|~n�}¡�y ¤ �ª�{z]�{z�yDp�ns����¡�u�r�|~z�r�t~u���¡su�rluln���u)z]y��/�=¡�u�z�y���¡.�{wÉ��y��{u)��� ��|~w£�=¡�u���n�}DtvuÊ��¡�uz=yq������ÇDu)w ¤ |Æ�=¡²��¡�u]Î���±�|~w)�¨¢¡�u­®AyDw�|Æ�=|vyDn y�����¡su$r�u)nD�=ulz�y��+��¡�u1z�y��[|~w1§ ÎÜ�Ë�« Õ § ��rlyDw Ý Ü �3w�|~n Ý «�� ¨¢¡�u®AyDw�|Æ�=|vyDnsw�y{����¡�u1���Dw�w�u)w�z�u)t~����|~�{u��=yÏ��¡su1r�u)n���ulz�y����=¡�u$z=y�� ��z=u�§ Î � T�� Ü�Ë � T�� « Õ

� §¼� � Ú «�§ � rlyDw �Ü � w�|~n �A«�Ø.¨¢¡�u)n���¡�u��{�sw�yDtvp���u]®.y�w�|v��|~y{n.w¢y��Í�=¡�u����{w=w�u�w5��z=u§ ÎÜ�Ë�« Õ § ��rlyDw Ý � �

Ú r�y�w �Ü �3w�|~n Ý ��Ú w�|~n �A«

��n.���=¡�ul|~zÅ�{u)tvy�rl|Æ�=|vu�w5��z=u§ R Ü R � « Õ § U �3w�|vn Ý��Ý�� �

Ú w�|~n � ���Ü���rlyDw Ý��Ý ��Ú r�y�w � ��"«�Ø

¨¢¡�u]����}Dn�|Æ�=ps��u�w5y����¡�u�w�u��{z�uÐ R"Ð{Õ � Ä �Ý Ä Ù � Ĺ �� Ä � � � �Ý ���§ªw�|vn Ý w�|~n � Ù r�y�w Ý r�y�w �P«Õ � Ä �Ý Ä Ù � Ĺ �� Ä � � � �Ý��£r�yDw)§ Ý U �P«

Á³¡�u)n ¤ u��{�����=¡�u9Çq|~n�u��=|~r9uln�u)z�}D|vu�w�y��5�=¡�u�� ¤ y����{w=w�u)w)xÍ�=¡�u��=¡�|vz����=ulz=�àr)��nsrlult¬wlx��n.� ¤ u]¡s���{uá Õ �Ú � äSR Ä ÕÏä § � Ä �Ý Ä Ù � Ĺ �� Ä «�Ø

Page 11: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 �D�

`'acb+d6e�fhg ikj)iki

O ¡�y ¤ ��¡s�����Í�{}{z���n�}DuPG w/u)¯�ps����|~y{nsw¢|~n���¡�u]� yDz���y����R¯A�¢���¼¸��+rl��n²��t¬w�y+�Au ¤ z=|Æ����uln6�Dw� �á� ��

U Ú � á� � Õ�� Ø

¨¢¡�u�w�u���z=u]w�yD�+ul��|~��u)w5Çqn�y ¤ n²�{w���¡su��D�6!@ 8!6 ��� yDz���y��Í�=¡�u�Í�{}{z���n�}Duhu�¯Dp.����|~y{n.wl�`'acb+d6e�fhg ikj)i 5

m¥®Ay{|~nD��®.��z���|¬r�t~u6�+y��Du)w�|~n³w�®s�Dr�u²p�ns��ulz��=¡�u�|~n��sp�u)nsr�u6y{����� yDz=rlu���ulz=|v���{��tvu�� z=y{�ã�}{u)n�ulz���t~|"Mlu)�9®.y{��u)nD�=|~�{t"y�����¡�u]� yDz�� §"��Ü � « Õ�� § � « Ù�� å��

¤ ¡�u)z�u �k|¬w¢�=¡�u�z=�D��|~psw¢�{u�r���yDz¢� z�yD���+é�±�u)��®Ay{|~n��)x � |¬w¢��¡su���n�}Dp�t~�{z5��y{��uln���ps� ���Ay{p����¡.���5®.yD|vn���xs��ns� � |~w5�Êé�±�u����Du)r���y{z¢|~n6w�®s�Dr�uD������ J�|~ns�]�=¡�u�rly{��®.yDn�uln���w�y����=¡�u/� yDz=rlu/y{n]�=¡�uR®.��z���|¬r�t~u/|vnk�.y{��¡+¶3�{z��=u)w�|~�{n]�{ns��w�®�¡�u)z�|¬rl�{t®Ay{t¬��zÅrlyqy{z���|vn.����u�wlxqyDn9�=¡�u��s�{w�|¬w¢y����R¯A�5§¼���¼¸�æ�«������� O ¡�y ¤ �=¡s���É��¡�u�rly{��®.yDn�uln���w£|~n��=¡�u+� ¤ y�r�yqy{z���|~ns���=uÊw���w¼�=ul��w]��z=ukz=ult¬����u��²��y�u)�Dr�¡y{��¡�u)zÅ�{w¢|~n��R¯A�5§¼���½¹DÃ�«������� � ���=�{|vn���¡�u�u�¯�ps���=|vyDnsw¢y����+y{��|~y{n²|~n²w�®�¡�u)z�|¬rl�{tP®.yDt~�{zÅr�yqy{z���|~ns���=u)w)�

`'acb+d6e�fhg ikj)i �

m©®s��z���|¬r�t~uk��y��{u�wÅ|~n���®�t¬��n�uÊp�ns��u)z£�=¡�u+|vn��.p�ulnsrluÊy{����� yDz=rlu{x"�{r���|~n�}���y ¤ ��z��6�9r�u)n���ulzy��� y{z�r�uDx ¤ ¡�yDw�u]���{}{n�|v��p.��u]|~w� Õ �� Ä _ � U �

� Ä U Ú ��+�! Ä a Ü

¤ ¡�u)z�u� |¬wh��¡�u���|¬w¼����nsrluky��c�=¡�u+®s��z���|¬r�t~u���y9��¡�u�r�u)n���ulzÉy��c� yDz=rlu{��J|~ns�²�=¡�u+}{ulnsulz���t~|BM)u)�®Ay���u)n���|¬��t¢��¡.��� ¤ |~tvthz�u�w�p�tv��|vn³w�psr�¡³��� y{z�r�u{x¢��n.�$� z=y{� ��¡s������¡�u"���}Dz=�{n�}{|¬��n�� yDz���¡�u��y��=|vyDn�|~n���®�t¬��n�uD�h§ª¨¢¡�uku�±�®�z=u)w=w�|~y{n9� y{z�J$z�u)®�z�u�w�u)n��=w3��¡su�� y{z�r�u]�Au�� ¤ ululn�� ¤ y�r�¡s��z=}{u�w|~n�Á8ul�AulzCG wÅult~u)r��=z�y����qns�{��|~r)w=«��

¾½� ¤ uÉ�=�{Ç{u § � « Õ �� _ � Ù R Ä

! Ä a Õ �� Ù § �� « Ä! Ä

Page 12: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 � Ú

��¡suln� �

� Õ U �� Ä U �� Ä! Ä

� ��n.�

���� � �

� Õ ����

_ Ú ��! Ä

� a Õ Ú ��! Ä � U Ú § �� « Ä

! Ä� Ä

w�y� � Õ U � � � Ù �

��� � �

� Õ �� Ä _ � Ù Ú��� U § �� «�Ä! Ä a

¨¢¡�u �Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{z5��y{��|~y{n²|vn6�+®�t¬��n�u]|¬w� Õ á U �×Õ �Ú ä �

� Ä Ù �Ú ä �� Ä �Ý Ä U �� Ä _ � Ù Ú��� U § �� « Ä! Ä a Ø

`'acb+d6e�fhg ikj)i �

¾½� � |¬w�� �Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{z9��w���w¼�=ul� y{���[��ul}Dz�u)u)w�y��£� z�u)u)��yD� w=����|¬w�� ��|~n�} �Í�{}{z���n�}DuPG wu)¯�ps����|~y{nsw)x�w�¡sy ¤ �q�9��|~z�u�r��hw�p��sw���|v��p��=|vyDn���¡s���� � Õ � Ù � ��§ � º ÜlØlØ)ØlÜ ��� Ü � «

�����t¬w�y­w�����|¬w¼ésu�w ���}{z���ns}{uPG w�u)¯�ps����|~y{nsw)x ¤ ¡�u)z�u �à|¬w���nq�Ì�{z��s|Æ�=z=�{z��Dx���p��²��|��Pulz=uln���|¬����t~u{x� p�nsr���|~y{n²y���|Æ��wÅ��z=}{ps�+u)n��=w)�Á�u�¡.���{u

� � �� �

� Õ � �� �

� ٠�� �

� � ���

§��)°D«��n.�

� � �� ��

� Õ � �� ��

� ٠�� ��

� � ����Ø §�����«J�yDz¢��¡�u]� psnsr��=|vyDn � ¤ u������ ¤ z=|v��u

� ����Õ'� � � �

� ����� ٠� �

� ���n.��� z=y{�o�=¡�|¬w ¤ u�������z=u)�D�9y�

�� ��

� � ���Õ � �� �

� ب¢¡�u)n�����Çq|~n�}+��¡�uÉ��|~��uk��u)z�|~������|~�{uÉy��5§¼����«�}{|~�{u�w

���� � �� ��

� Õ ����� �� ��

� ٠���� �� �

Page 13: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ���

w�y ¤ u]¡s���{u� � �� �

� U ���� � �� ��

� Õ � �� �

� U ����� �� ��

� ٠�� �

� � ��� U �

���� �� �

� ب¢¡�ukész=w��h� ¤ y��=ulz=��whyDn6��¡�u � � O rl�{nsr�u)t�Au)r)��psw�u � w�����|¬w¼ésu�wÅ�=¡�u �/p�t~ulz�� ���}Dz=�{n�}{uu)¯�ps����|~y{nsw)x ¤ ¡s|vt~uÅ�=¡�u£w�u)rly{ns��� ¤ y��=ulz=��w�rl�{nsr�u)ts�Au)rl�{psw�u �X|¬wR��|��Au)z�u)n���|¬����t~u{� �Åu)nsr�u� � w=���=|~w�ésu�w3��¡�u�Rp�tvu)z����Í�{}{z���n�}DuÅu)¯�ps����|~y{nsw)�

`'acb+d6e�fhg ikj)i��

m �Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{zh�+®s�{z��=|~rlp�t¬��z¢®�¡q��w�|¬rl�{t�w���w���ul� rl��n��Au ¤ z�|v���=uln6�{w� �.Õ ä Ú § � �Î Ä Ù Ú � �Î �Ë Ù ! �Ë Ä « U � Ú § ��Î Ä Ù Ú ��ÎsË Ù ! Ë Ä «�Ü

¤ ¡�u)z�u �Ax ��x���ns� ! ��z=uÅ��z=��|v��z���z=��r�yDnsw¼����n��=wL�sp���w�p���è¼u)r��c��y]�=¡�uhr�yDns��|v��|~y{n+��¡.����� Ä U � !��Õ¦��Á³¡s���R�{z�u���¡su3u�¯�ps���=|vyDnswLy��A�+y{��|~y{n.À �/±��{��|vn�u3®s�{z��=|~rlp�t~�{z�t~�]��¡su�� ¤ y�rl�Dw�u�w � Õ ¦ Õ !��n.� � Õ ¦sÜ ! Õ U �A��Á³¡s���c|¬wÍ�=¡�u¢®�¡q��w�|¬rl�{tqw���w¼�=ul�×��u�w�rlz�|~�Au)�Ê���]�=¡�u5���Ay��{u �Í��}Dz=�{n�}{|¬��nAÀO ¡�y ¤ ��¡s���5��¡�u�p.w�ps�{t �Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{z¢�=¡�|~whw���w���ul� �{w5��ulésn�u)���q� ��¯A�¢§����¼¸�°�«R|¬w¢z=ult¬����u����y � �.�����k®.yD|vn��R�=z=�{nsw�� y{z=������|~y{n6§ªr��¼���c±�ulz�r�|¬w�u���¸��{�.y��Du�«���Á³¡s����|¬w/�=¡�uÉw�|~}{n�|vé.rl�{nsr�uhy����¡su�r�y{n.��|Æ�=|vyDn�yDn9�=¡�u�����t~p�u�y�� � Ä U � ! À¶�tvu���z=tv� ¤ u]¡s���Du

� ��AÎ Õ U � ��Î U � ��Ë � �

� �Î Õ³ä � �Î Ù ä � �Ëw�yÊ�=¡�u�/pstvu)z����Í�{}{z���n�}DuÅu)¯�ps����|~y{n�� y{z5Î6|¬w

� ��AÎ Õ �

��� �� �Î � ä § � �Î Ù � �Ëq« Õ U � § �DÎ Ù ��Ë�«�ØO |~��|vt¬��z=tv�Dxq� y{z5Ë ¤ u�y{���=��|~nä § � �Ë Ù ! �Ë�« Õ U � §���Î Ù ! Ë�«�Ø

¨¢¡�u�w�u+��z=u���¡suÊu�¯Dp.����|~y{n.wÅy����+y{��|~y{n6� yDzÉ��®s�{z��=|~rltvuÊy��/���{w=w ä p�n.��ulz=}{yD|vn�}�w�|~��®�tvu¡s�{z���y{ns|~r���y{��|~y{n6|~n�� ¤ y9��|~�+u)nsw�|vyDnswlxP�{wh|Æ���.yDp�ns�6�q��� ¤ y�w�®�z=|~n�}Dwhy��Rw�®�z�|~n�}9rly{n��w��=��n�� � �7Ihy{z=����t~tv� ¤ u ¤ y{pst~�$u�±�®�z=u)w=w��=¡�u��Í��}Dz=�{n�}{|¬��n�|~nÌp�n�z����{ult~t~u)��� yDz��²x/�q���z���n.w¼� yDz���|~n�}k�=y�n�u ¤ r�yqy{z���|~ns���=u)w�� º ��ns��� Ä ¤ |v��¡� º Õ ��Î Ù ��Ë � Ä Õ ��Î Ù ! ËAØ

¨¢¡�u+r�y{n.��|Æ�=|vyDn � Ä U � !��Õ ¦�|~wh��¡�u�r�yDns��|v��|~y{n6�=¡s���£��¡�u�r�yqyDz=��|~ns����u��=z=�{nsw¼� yDz�������|~y{nn�y{�3�Au���ul}Duln�u)z=����u{x�|H� uD�L��¡s���3�=¡�ulz=u]��z=u£�{r���ps�{tvt~��� ¤ yÊ��|¬w¼�=|vn.r��Å��|~�+u)nsw�|vyDnsw3|vn ¤ ¡�|¬r�¡��¡su+®.��z���|¬r�t~uku�±�®Aulz=|vu)nsr�u�w]�9z=u)w���yDz�|~n�}�� yDz=rlu{��¾½� � Ä Õ � ! �=¡�uln ¤ u+¡s���Duhè¼psw����9yDn�u����|~��ulnsw�|vyDns��t"®sz�yD��tvu)�²�

Page 14: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 �)¹

`'acb+d6e�fhg ikj)i��

� ������|~n6��¡�u ���}{z���ns}{|¬��n²u)¯�ps����|~y{nsw£y��R��y{��|~y{n�� yDz��9w�®�¡�ulz=|¬rl��t�®Aulns��pstvp��²x�|H� u{�k�9���Dw�w®Ay{|~nD�Åw�psw�®.u)ns��u)���q���+z=|v}D|~� ¤ ul|~}{¡���t~u)w=w3z�y��"� u)n�y��=|vns}���¡su����{w=w�y{�Å��¡su9®s�{z��=|~rltvu���� ä xL��¡�u�tvu)n�}��=¡­y��5�=¡�u�z�y����q� � xc��n.���¡su��{n�}{t~u��.ul� ¤ u)uln���¡�u�z=y����{ns����¡�u��Dulz���|¬rl��tL�q� Ý x ¤ u�¡s���Duk�=¡�u�®s�{z��=|~rltvu G w]t~|vnsu)��z�{u)tvy�rl|Æ�¼��}D|v�Duln²|~n6���{}{n�|v��p.��u��q� R�Õ � �Ý x ¤ ¡s|vt~u�|v�=w5¡�u)|v}D¡��h|~w�� Õ U � rlyDw Ý § ¤ ¡�u)z�u��¡su]� p�t~rlz�ps��y����¡�u�®Auln.��p�t~p�� |¬w3�=�{Ç{u)n��Dw3��¡�u�yDz�|~}{|~n�y{��rly�yDz=��|vns����u�w=«��L¨¢¡suln

� Õ á U �×Õ �Ú ä � Ä �Ý Ä Ù ä � � r�y�w Ýw�yÊ�=¡�u�u)¯�ps����|~y{n�y����+y{��|~y{n²|¬w

� �� Ý Õ �

���� �� �Ý � U � w�|vn Ý Õ � �Ý Ø`'acb+d6e�fhg ikj)i �

m[®s��z���|¬r�t~u�y������{w=w ä ��y��{u)w3|~n²y{n�u���|~��ulnsw�|vyDn�w�psr�¡���¡.���5|Æ�Å¡.�{w¢�=¡�u�Í�{}{z���n�}D|~�{n� Õ ä Ä �Î d� Ú Ù ä �Î Ä � §ªÎA« U � Ä § ÎP«�Ü

¤ ¡�u)z�u � |¬whw�y{��uk��|��Pulz=uln���|¬���stvu�� psnsr��=|vyDn6y��cÎÍ�J�|~ns�²��¡suku)¯�ps����|~y{n²y��c��y��=|vyDn²� y{z£Î§ � «��n.����u�w�rlz�|~�Au£�=¡�u�®�¡q��w�|¬rl�{t"ns���=p�z=uÉy{��=¡�u�w��qw���u)��y{n���¡su��s�{w�|~w¢y{��=¡�|¬w5u)¯�ps����|~y{n��Á8u�¡s���{u

� ��.Î ÕÏä �Î Ä��

� Î U Ú � §ªÎA« � �� Î� �� �Î Õ

ä Ä �Î/c� Ù Ú�ä �Î � § ÎP«����� �� �Î ÕÏä Ä § �Î"« Ä �Î Ù Ú�ä �Î � §ªÎA« Ù Ú�ä �Î ����

� §ªÎA«¾¿n���¡�u]t¬�{w��Åu)¯�ps����|~y{n ¤ u�rl�{n�p.w�u

����� § ÎP« Õ �Î � �

� ÎØ

¨¢¡�u)n��=¡�u �/p�t~ulz����Í��}Dz=�{n�}{uhu)¯�ps���=|vyDn�|¬w����� �� �Î U � �

�AÎ Õ ¦ � ä Ä § �Î"« Ä �Î Ù Ú�ä �Î � § ÎP« Ù ä �Î Ä � �� ÎÙ Ú � §ªÎA« � �

� Î

Page 15: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ��¸

y{z _sä �Î Ù � �� Î a�� ä �Î Ä Ù Ú � §ªÎA«�� Õ ¦sؾ½� ¤ u]|¬��uln���|v� ��� Õ U � � � � Î���ns� á Õ ä �Î Ä � Ú x ¤ u]����� ¤ z�|v��uÉ�=¡�|~wh�{w§ � U ä �Î"«�§ á Ù � « Õ ¦O y.xs�=¡�|~w£|¬w£w=���q|vn�}���¡s���)xP���É�{tvt��|~��u)w)xPul|v��¡�u)zh�=¡�uÊ��|��Pulz=ulnsrluk�Au�� ¤ ululn �o��ns� ä ��|~wMlu)z�y.xHA ����¡�u�w�p���y{��Çq|~n�u��=|~r]�{ns��®.y{��uln��=|~�{t"uln�u)z�}D��|~w,M)ulz=ys�`'acb+d6e�fhg ikj)i �

¨ ¤ y����{w=w�®Ay{|~nD��w�y{�Å���Dw�w ä º ��ns� ä Ä �{z�u�r�y{nsn�u)r���u)�­������w���z=|~n�}�®s�Dw�w�|vns}²��¡�z=y{p�}D¡��¡�y{t~u�|vn��6w��+yqy{��¡��=���stvu�w�y��=¡s��� ä º z�u�w¼��w]y{n���¡�u�������t~u���n.� ä Ä ¡s��ns}Dw]w�p.w�®Aulns��u)�"�mhw=w�p���|vn�} ä Ä ��y��Du)w]y{nstv�8|vn­���{ulz���|¬rl�{tctv|~n�uDx ¤ ¡.���Ê�{z�u��=¡�u�}{u)n�ulz���t~|"Mlu)��rly�yDz=��|vns����u�w� y{zR��¡�uÉw���w���u)��À�Á8z=|Æ�=u£��y ¤ n��=¡�u ���}Dz=�{n�}{u¢u)¯�ps����|~y{nsw/� y{zR��¡�u]w���w���u)� �{ns�"xq|Æ��®AyDw=w�|v��t~u{x��|¬w�rlpsw=wR�=¡�u�®�¡q��w�|¬rl�{t"w�|~}{n�|vé.r)��nsrlu]�{nq��y��Í�=¡�ul� ��|v}D¡D�5¡s���Du{� � u���psr�uÉ�=¡�u�®�z=y{��t~ul�o�=y��w�|vn�}Dtvu]w�u)r�yDns�q�½y{z���ulz¢��|��Au)z�u)n���|¬��t"u)¯�ps����|~y{n���ns��y{������|~n��Êész�w��¢|~n���u)}{z���tPy����¡�u]u)¯�ps����|~y{n��Á³¡s���Å|~w¢|v�=w5®s¡���w�|~r)��t�w�|v}Dn�|vé.rl�{nsr�u�À�§H¶�y{n.w�|¬��ulz¢�=¡�u���y��=|vyDn�yDn�t~�9w�y�t~y{n�}��Dw¢n�ul|v��¡�u)z ä ºn�yDz ä Ä ®s�Dw�w�u)w3�=¡�z�yDp�}{¡���¡suÉ¡sy{t~u�«����ul� � �.u���¡�u�¡�ul|~}{¡��+y�� ä Ä ���Ay��{u�|v�=wÊt~y ¤ u�w¼�k®AyDw=w�|v��t~u�®AyDw�|Æ�=|vyDn�x/w�y6��¡s��� � Õ¦ ¤ ¡�u)n1�=¡�u�w���z=|vns}�|~w�� pstvt~�1ul±q��uln.��u)�Ì�Auln�u�����¡ �=¡�u6������t~u���ns� ä º |¬w]è¼psw������Ay{p����y��ª��t~tR�=¡�z=y{p�}D¡���¡�u�¡�y{t~u{�8mÅt¬w�y.xctvul� Ý �.u���¡�u²��ns}{p�t¬��zkrlyqy{z���|vn.����u9y�� ä º yDn���¡�u�=�{��t~u{�k¨¢¡�u)n��=¡�u�Ç�|~n�ul��|¬rÊu)n�ulz=}{�²y{� ä Ä |¬w�è¼psw¼� ä Ä �� Ä � Ú x ¤ ¡�|~tvu+�=¡�u�Ç�|~n�ul��|¬rku)n�ulz=}{�y�� ä º |~w ä º �� Ä � Ú Ù ä º � Ä �Ý{Ä � Ú xq�{ns���=¡�u]®.y{��uln��=|~�{tAu)n�ulz=}{��y{����¡�u]w��qw���u)�o|~wè¼psw��¢��¡�u}{z����q|Æ�����=|vyDns��tA®.y{��u)nD�=|~�{t"uln�u)z�}D��y�� ä Ä x Õ³ä Ä � � �/¨¢¡�uln���¡�u���}Dz=�{n�}{|¬��n�|¬w

� Õ �Ú § ä º Ù ä Ä « �� Ä Ù�Ú ä º � Ä �Ý Ä U ä Ä � �

��n.���=¡�u�/p�t~ulz����Í��}Dz=�{n�}{uhu)¯�ps���=|vyDnsw5��z=u����§ ä º � Ä �Ý « Õ ¦

§ ä º Ù ä Ä « �� Õ U ä Ä � Ù ä º � �Ý ÄJ�z=y{� ��¡su�ész�w¼�£u)¯�ps���=|vyDn ¤ uÊrl��n6|¬��u)nD�=|Æ� ����ész=w��h|~n���ul}Dz=�{t x ä º � Ä �Ý Õ � ¤ ¡�ulz=u � |¬wh�r�yDnsw��=��n�����Á³|v��¡��=¡�|~w ¤ u�rl�{n6w�p��.w¼�=|Æ�=p���u]� yDz �Ý |~n���¡�u�w�u)rly{ns��u)¯�ps����|~y{nHQ§ ä º Ù ä Ä « �� Õ U ä Ä � Ù � Ä

ä º � c�3u)r)��psw�u5��¡suÉw�|v}Dn�y��"�=¡�u£� ¤ yk��ulz=��wRyDn���¡su � � O |¬w���|��Pulz=uln��)x��=¡�|~w3|¬w�w=���q|vns}���¡s���)x�|v�� |¬wÅ��|~}�u)n�y{p�}D¡­§ |v� ä º |~w£w�®s|vn�ns|vn�}��ª�{w��£ulnsy{p�}D¡.«�xs��¡�u+r�uln��=z�|v� p�}D�{t�� yDz=rlu�y�� ä º rl�{n�s�{t~�{nsr�uÉ��¡su���y ¤ n ¤ �{z=��®sp�tvtÍy�� ä Ä xs��ns�9��¡su�w���w���ul� rl��n²�Au�|vn�u)¯�p�|~t~|v��z=|~p��²�

Page 16: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ��°

`'acb+d6e�fhg ikj 5 �� ������|~n���¡su ���}Dz=�{n�}{|¬��n��{ns��u�¯Dp.����|~y{n.wy{�.��y��=|vyDn�� yDz�=¡�u5��y{ps��tvu¢®Aulns��p�tvps�'|~tvt~psw���z�����u��|~n J�|v}.�R���½¹sx ¤ ¡�u)z�uR��¡�u�tvu)n�}��=¡swÍy{����¡�u�®.u)ns��p�t¬�h�{z�u � º ��n.� � Ä ¤ |v��¡+r�y{z=z=u)w�®.yDns��|~n�}5���{w=w�u�wä º �{ns� ä Ä �¨�{Çq|vn�}9��¡�uÊy{z=|v}D|vn����h�=¡�u�� p�t¬r�z=p��Ây{�c��¡�ukész=w��£®Auln.��p�t~p��²x ¤ u+rl��n ¤ z�|v��u+��y ¤ n��¡su�r�yqy{z���|~ns���=u)w3y����¡�u]ész�w��Å���Dw�w¢®Ay{|~n��*Q

Î º Õ � º w�|vn Ý ºË º Õ U � º r�y�w Ý º¨¢¡�u6r�yqyDz=��|~ns����u)wÊy��£��¡�u6w�u)rly{ns�$���Dw�w+®Ay{|~n����{z�u²��ulésn�u)�1z=ult¬����|~�{u���y���¡su²rlyqy{z���|Æ�ns����u)wRy��"�=¡�uÅész�w��R���{w=w/®Ay{|~nD�3�q�+ul±��{r��=tv����n.��t~y{}{yDpswLu�±�®�z=u)w=w�|vyDnswlx�w�ykz�u)t~����|~�{u¢��yk��¡�ur�yqyDz=��|~ns����uÉy{z=|v}D|vn ¤ u]¡s���Du

Î Ä Õ Î º Ù � Ä w�|vn Ý ÄË Ä Õ Ë º U � Ä r�y�w Ý Ä |��Pulz=uln���|¬���=|vns}��{ns�²��y{|~n�}��+tv|v���=tvu��{tv}Dul��z�� ¤ uÉésns�

�Î Ä º Ù �Ë Äº Õ � ĺ �Ý Äº�Î ÄÄ Ù �Ë ÄÄ Õ � ĺ �Ý Äº Ù � ÄÄ �Ý ÄÄ U Ú � º � Ä �Ý º �Ý Ä r�y�w)§ Ý º U Ý Ä «

¨¢¡�u�Í�{}{z���n�}D|~�{n�|¬w� Õ �Ú § ä º Ù ä Ä « � ĺ �Ý Äº Ù

�Ú ä Ä � ÄÄ �Ý ÄÄ U ä Ä � º � Ä �Ý º �Ý Ä r�yDw)§ Ý º U Ý Ä « Ù § ä º Ù ä Ä « � � Ä r�yDw Ý º Ù ä Ä � � Ä r�yDw Ý Ä

¤ |v��¡²u)¯�ps����|~y{nsw¢y{���y��=|vyDn����

� § ä º Ù ä Ä « � ĺ �Ý º U ä Ä � º � Ä �Ý Ä r�y�w)§ Ý º U Ý Ä «�� Õ U § ä º Ù ä Ä « � � Ä w�|~n Ý º��n.�

����

� � Ä �Ý Ä U � º �Ý º r�yDw)§ Ý º U Ý Ä « � Õ U � w�|~n Ý Ä Ø¾½� �Ý º Õ ¦sxAw�y��=¡s���£��¡�uÊ� p�t¬r�z=p���� y{z£��¡�u�w�u�r�yDns�²®.u)ns��p�t~p�� |¬wÉw¼������|~y{n.��z=�{x��=¡�uln���¡�uw�u)r�yDns��y��Í�=¡�u)w�u�u)¯�ps����|~y{nsw¢z=u)��psr�u�w3��y+��¡�u�u�¯�ps���=|vyDn ¤ u���ulz=|v�Du)��|vn È z�yD��tvu)�Â�{�~�����

Page 17: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ���

`'acb+d6e�fhg ikj 5�i¨¢¡�u�u)tvu�r��=z�yD���{}{n�ul��|¬rÊésult¬��|¬w�|~n����{z�|¬��n���p�ns��u)zÊ�6}���p�}Du���z���nsw�� y{z=�����=|vyDn�y{�3�=¡�u9w=rl�{t~�{z��n.�9�Du)r��=y{z¢®Ay���u)n���|¬��t�}D|v�Duln���� �

�Ù���� §��qÜ � «�Ü� � � U �! � �� � Ü

¤ ¡�u)z�u � |~w��z=��|v��z���z=��§ ��p��L��|��Au)z�u)nD�=|~�{��t~u�«��Á³¡s���u �Pu)r�����yqu)w"�=¡�|¬w�}D�{p�}{u��=z=�{nsw¼� yDz�������|~y{n¡s���Du+yDn���¡�u �Í��}Dz=�{n�}{|¬��n�y��5�6®s�{z��=|~rltvu���y��q|vns}6|vn��=¡�u�ult~u)r���z=y{����}Dn�u��=|~rÊésu)t~�.À ¾¼w]��¡�u��y��=|vyDn�� �Au�r���u��sÀ¨¢¡�u�Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{zÅ�+®s�{z��=|~rltvu]|~n6��n�ult~u)r��=z�yD����}{nsu���|¬r£ésult¬��|~w

� Õ á U � � §��/§ � «�« Ù �!

�§��/§ � «�« å�� § � «

¾½� ¤ u]����ÇDu£�=¡�u�w�p�}{}Du)w���u)�9}D�{p�}{u£��z���nsw�� y{z=�����=|vyDn�x���¡�|¬w5�Au)r�yD��u)w

� á U � � §��/§ � «�« U �! � �

� �� � � �� ����� ٠�

!�

�§��/§ � «�« å � § � « Ù �6å ��� §��/§ � «�« �

Õ á U � � §��/§ � «�« Ù �!

�§��/§ � «�« å � § � « Ù �

!�� � �� � Ù �6å ��� §��/§ � «�«��Õ á U � � §��/§ � «�« Ù �

!

�§��/§ � «�« å � § � « Ù �

!����� §��/§ � «�«

Õ � Ù �!���� §��/§ � «�«�ØO yk��¡�uh��z���nsw�� y{z=��u)� �Í�{}{z���n�}D|~�{nÊu�¯�ps��t¬w/�=¡�uhyDz�|~}{|~ns�{t �Í�{}{z���n�}D|~�{nÊ®stvpsw3���=y�����t.��|~�+u��u)z�|~������|~�{uD� �3p�� ¤ u5®�z=y��{u��k|~n È z=y{��t~ul���{�~��¸h��¡s�����{�s��|vns}]��¡�u5�=y�����t��=|v��uh��u)z�|~�����=|v�Duy��¢��nq�²� p�nsr���|~y{n8��y��=¡�u �Í�{}{z���n�}D|~�{n���yqu)w]n�y{��� �Pu)r��]�=¡�u�u)¯�ps����|~y{nswÉy��3��y���|~y{nÍxw�y��¡su��+y{��|~y{n�y�����¡�u�®.��z���|¬r�t~uÉ|¬w¢p�ns� �Au�r��=u)���q����¡�u�}���p�}DuÉ��z���nsw�� y{z=������|~y{nÍ�

`'acb+d6e�fhg ikj 5 5� ������|~n���¡su�u)¯�ps���=|vyDn�y{����y��=|vyDn�� yDz���®.��z���|¬r�t~uk�ª�{tvt~|vns}��Dulz���|¬rl�{tvt~�6p�ns��u)z]��¡�u�|~n��sp�u)nsr�uy��Å}Dz=���q|v�¼� ¤ ¡suln­� z=|¬r���|~y{n.��t�� y{z�r�u)wÊy{���=��|~ns�{��tvu9� z�yD� ����|¬w=w�|~®s���=|vyDn�� p�nsr���|~y{n ºÄ�� R Ä ��z=u®�z=u)w�uln��)��¾¿n���ul}Dz=����u9��¡�u�u)¯�ps����|~y{n���y8y{���=��|~n��=¡�u��Dult~y�r�|v�¼�8�DwÊ��� p�nsr��=|vyDn$y{�Å��|~��u��{ns�w�¡�y ¤ ��¡.���5��¡su�����±�|v�Êp���®AyDw=w�|~��t~u]�{ult~y�r�|v�¼��� y{z¢�ª�{tvtP� z=y{� z�u�w¼�5|¬w R+ÕÏä � � � �¨¢¡�u�Í�{}{z���n�}D|~�{n�� y{z¢�=¡�u�®s�{z��=|~rltvu]|¬w

� Õ �Ú ä �� Ä U ä � �

Page 18: - Classical Mechanics -- Solutions to Problems in Goldstein's (2000)

����������� ����� ������������������������������ �!�����"�$#%� ��&��'���(�*),+�-/.*01�2� �43 ��æ

��n.���=¡�u���|¬w�w�|v®.����|~y{n�� p�nsr���|~y{n²|¬w � �� Ä � Ú x�w�y+��¡su�u)¯�ps���=|vyDn�y{���y��=|vyDn²|~w����

_ � �� �

� a U � ��

� ٠� �� �

� � ä �� Õ³ä � U � �� ب¢¡�|¬w�w�����w£��¡.������¡su��{rlrlult~ulz����=|vyDn�}{yqu�wÉ��y$Mlu)z�y ¤ ¡�uln ä���Õ � �� xy{z �� Õ ä�� � � xÍw�y��¡su��{ult~y�r�|v�¼�9rl�{n�nsul�{u)z5z�|¬w�u]�{�.y��Duh�=¡�|¬w¢��u)z���|~ns��t����{tvp�u�§ªp�n�t~u)w=w3��¡�u�|~n�|v��|¬��t����{tvp�u�y{���¡su£�Dult~yqrl|Æ�¼��|¬wR}Dz�u����=ulz/�=¡s��n9��¡�u£��u)z���|~ns��tA�{u)tvy�rl|Æ�¼�DxD|~n ¤ ¡�|¬r�¡�r)�{w�uÅ�=¡�u£®.��z���|¬r�t~u ¤ |~tvtw�tvy ¤ ��y ¤ n9�=y���¡�u]�=ulz=�+|~ns�{t"�{ult~y�r�|v�¼�9��n.���=¡�uln�w��=�����=¡�ulz=u�«��